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Optimización

ContenidosArtículos

Optimización (matemática) 1Optimización combinatoria 3Optimización multiobjetivo 4

ReferenciasFuentes y contribuyentes del artículo 7Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 8

Licencias de artículosLicencia 9

Optimización (matemática) 1

Optimización (matemática)

El máximo de un paraboloide.

En matemáticas la optimización o programación matemática intentadar respuesta a un tipo general de problemas donde se desea elegir elmejor entre un conjunto de elementos. En su forma más simple, elproblema equivale a resolver una ecuación de este tipo:

Donde es un vector y representa variables de decisión, es llamada función objetivo yrepresenta o mide la calidad de las decisiones (usualmente números enteros o reales) y es el conjunto dedecisiones factibles o restricciones del problema.Algunas veces es posible expresar el conjunto de restricciones como solución de un sistema de igualdades odesigualdades.

Un problema de optimización trata entonces de tomar una decisión óptima para maximizar (ganancias, velocidad,eficiencia, etc.) o minimizar un criterio determinado (costos, tiempo, riesgo, error, etc). Las restricciones significanque no cualquier decisión es posible.

Tipos de optimizacionesSegún el nivel de generalidad que tome el problema, será la resolución que se plantee.

Optimización clásicaSi la restricción no existe, o es una restricción de igualdad, con menor o igual número de variables que la funciónobjetivo entonces, el cálculo diferencial, da la respuesta, ya que solo se trata de buscar los valores extremos de unafunción.

Optimización con restricciones de desigualdad - optimización no clásicaSi la restricción contiene mayor cantidad de variables que la función objetivo, o la restricción contiene restriccionesde desigualdad, existen métodos en los que en algunos casos se pueden encontrar los valores máximos o mínimos.Si tanto restricciones como función objetivo son lineales (Programación lineal o PL), la existencia de máximo(mínimo), esta asegurada, y el problema se reduce a la aplicación de unos simples algoritmos de álgebra linealelemental los llamados método simplex; y método dual. Sin embargo, si estas condiciones no se cumplen, existen,las llamadas condiciones de Khun -Tucker, las cuales en algunos casos, pueden ser utilizables, para probar encontrarpuntos críticos, máximos o mínimos. Sin embargo, esta es un área aún muy poco desarrollada de la matemática,frecuentemente, las condiciones de Khun-Tucker fallan, o no son suficientes, para la existencia de extremos.

Optimización (matemática) 2

Optimización estocásticaCuando las variables del problema (función objetivo y/o restricciones) son variables aleatorias el tipo deoptimización realizada es optimización estocástica.

Optimización con información no perfectaEn este caso la cantidad de variables, o más aún la función objetivo puede ser desconocida o también variable. Eneste campo, la matemática conocida como matemática borrosa[1], está realizando esfuerzos, por resolver elproblema. Sin embargo, como el desarrollo de esta área de la matemática es aún demasiado incipiente, son escasoslos resultados obtenidos.

Enlaces externos• Investigación Operativa - El Sitio de Investigación Operativa en Español del Ing. Santiago Javez Valladares-Perú

[2]

• COPA, Centro para la Optimización y la Probabilidad Aplicada ,Universidad de los Andes [3]

Véase también• Categoría:Optimización• Optimización multiobjetivo• Eficiencia de Pareto• Información parcial lineal

Referencias[1] http:/ / es. wikipedia. org/ wiki/ L%C3%B3gica_difusa[2] http:/ / www. invope. com[3] http:/ / copa. uniandes. edu. co

Optimización combinatoria 3

Optimización combinatoriaLa optimización combinatoria es una rama de la optimización en matemáticas aplicadas y en ciencias de lacomputación, relacionada a la investigación de operaciones, teoría de algoritmos y teoría de la complejidadcomputacional. También está relacionada con otros campos, como la inteligencia artificial e ingeniería de software.Los algoritmos de optimización combinatoria resuelven instancias de problemas que se creen ser difíciles en general,explorando el espacio de soluciones (usualmente grande) para estas instancias. Los algoritmos de optimizacióncombinatoria logran esto reduciendo el tamaño efectivo del espacio, y explorando el espacio de búsquedaeficientemente.Los algoritmos de optimización combinatoria a menudo son implementados en lenguajes imperativos como C yC++,en lenguajes de programación lógicos tales como Prolog, o incluso en lenguajes multi-paradigma tales comoOz.Mediante el estudio de la teoría de la complejidad computacional es posible comprender la importancia de laoptimización combinatoria. Los algoritmos de optimización combinatoria se relacionan comúnmente con problemasNP-hard. Dichos problemas en general no son resueltos eficientemente, sin embargo, varias aproximaciones de lateoría de la complejidad sugieren que ciertas instancias (ej. "pequeñas" instancias) de estos problemas pueden serresueltas eficientemente. Dichas instancias a menudo tienen ramificaciones prácticas muy importantes.

Definición formalUna instancia de un problema de optimización combinatoria puede ser descrito formalmente como una tupla

donde• X es el espacio de soluciones (en el cual f y P están definidos)• P es la factibilidad predicado.• Y es el conjunto de soluciones factibles.• f es la función objetivo.• extr es el extremo (normalmente min o max).

Ejemplo de problemas• El problema del vendedor viajero,• Programación lineal• El problema de las n-reinas

MétodosLos métodos de búsqueda heurísticos (algoritmos metaheuristicos) como los listados abajo han sido usado pararesolver problemas de este tipo.• Búsqueda local• Simulated annealing• GRASP• Swarm intelligence• Tabu search• Algoritmos genéticos• Optimización basada en colonias de hormigas• Reactive search

Optimización combinatoria 4

Véase también• Optimización discreta• Algoritmos de búsqueda

Referencias• William J. Cook, William H. Cunningham, William R. Pulleyblank, Alexander Schrijver; Combinatorial

Optimization; John Wiley & Sons; 1 edition (November 12, 1997); ISBN 047155894X.• Pierluigi Crescenzi, Viggo Kann, Magnús Halldórsson, Marek Karpinski, Gerhard Woeginger, A Compendium of

NP Optimization Problems [1].• Christos H. Papadimitriou, and Kenneth Steiglitz; Combinatorial Optimization : Algorithms and Complexity;

Dover Pubns; (paperback, Unabridged edition, July 1998) ISBN 0486402584.

Referencias[1] http:/ / www. nada. kth. se/ %7Eviggo/ wwwcompendium/

Optimización multiobjetivoEn un problema de optimización se tratará de encontrar una solución que represente el valor óptimo para unafunción objetivo.

En el caso más sencillo se tendrá un único objetivo, que estará representado por una función del tipo , donde y . Tanto el dominio como la imagen de la función serán números reales (escalares), yel valor óptimo corresponderá a un mínimo o a un máximo.

Ejemplo: Al minimizar la función , el valor óptimo es , y se da para ,según puede verse en la figura 1.

Optimización multiobjetivo 5

Figura 1: Mínimo de la función

Extensión a múltiples objetivosPero en ciencias e ingeniería se dan, en bastantes ocasiones, problemas que requieren la optimización simultánea demás de un objetivo (optimización multiobjetivo[1] [2] ). Habrá que optimizar por tanto una función de la forma

, donde y . Pero el problema está en que normalmente no existe un elemento de Sque produzca un óptimo de forma simultánea para cada uno de los k objetivos que componen f. Esto se deberá a laexistencia de conflictos entre objetivos, que harán que la mejora de uno de ellos dé lugar a un empeoramiento dealgún otro. Pensemos por ejemplo en el caso de un avión con dos objetivos que fueran su velocidad y el ahorro decombustible: un aumento de la velocidad traería consigo una disminución del ahorro. Habrá que llegar por tanto auna situación de compromiso en la que todos los objetivos sean satisfechos en un grado aceptable, desde el punto devista de diseño.A diferencia de los problemas de optimización con un único objetivo, el concepto de óptimo es ahora relativo y seránecesario decidir de alguna forma cuál es la mejor solución (o cuáles son las mejores soluciones) al problema.En términos matemáticos, el problema de optimización multiobjetivo, puede establecerse de la siguiente forma:

Encontrar un vector , que satisfaga las m restricciones:

y las p restricciones:

y optimice la función vectorial

Optimización multiobjetivo 6

donde es el vector de variables de decisión.En otras palabras, se desea determinar la solución particular , del conjunto S formado por todos losvalores que satisfacen (1) y (2), que dé lugar a los valores óptimos para todas las funciones objetivo. Pero como ya seha comentado, no existe normalmente una solución que optimice de forma simultánea todas las funciones objetivo.

Métodos de soluciónPara tratar el problema comentado del conflicto entre objetivos se han utilizado diversos métodos:• Métodos basados en el concepto de eficiencia de Pareto.• Métodos basados en la combinación de objetivos. Dentro de estos métodos se puede mencionar el método de la

suma ponderada, en el que se optimizará el valor obtenido mediante la suma de los valores correspondientes alos distintos objetivos, multiplicados cada uno por un coeficiente de peso. Estos coeficientes de peso estableceránla importancia relativa de cada objetivo. El problema de optimización multiobjetivo se transforma así en otro deoptimización escalar, que para el caso de la minimización será de la forma

donde es el coeficiente de peso correspondiente al objetivo i.Existen variantes del método anterior, como el método de la programación por metas, en el que se estableceuna meta para cada objetivo y lo que se suma ahora (multiplicado por el correspondiente coeficiente) es ladistancia de cada objetivo a su meta. Para un caso de minimización sería

donde representa la meta del i-ésimo objetivo.• Métodos basados en la asignación de prioridades. Estos métodos tienen en común que establecen unas

prioridades entre los distintos objetivos, teniéndose en cuenta su importacia relativa durante el proceso deoptimización.

Todos los métodos anteriores han sido utilizados por distintos autores en combinación con los algoritmos evolutivos,que se han mostrado como una herramienta muy adecuada para resolver este tipo de problemas. Estos métodospueden englobarse en lo que se conoce como MOEA[3] [4] (Multi-Objective Evolutionary Algorithms, en españolalgoritmos evolutivos multiobjetivo).

Véase también• Optimización• Eficiencia de Pareto• Algoritmo evolutivo

Referencias[1] Steuer, R.E. (1986). Multiple Criteria Optimization: Theory, Computations, and Application. John Wiley & Sons, Inc. ISBN: 047188846X.[2] Sawaragi, Y.; Nakayama, H. and Tanino, T. (1985). Theory of Multiobjective Optimization (vol. 176 of Mathematics in Science and

Engineering). Orlando, FL: Academic Press Inc. ISBN: 0126203709.[3] (May 2002) Evolutionary Algorithms for Solving Multi-Objective Problems (Volume 5 of the Book Series on Genetic Algorithms and

Evolutionary Computation). Kluwer Academic Publishers. ISBN: 0306467623.[4] (2001) Multi-objective optimization using evolutionary algorithms. Chichester, New York: John Wiley & Sons.

Fuentes y contribuyentes del artículo 7

Fuentes y contribuyentes del artículoOptimización (matemática)  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=36429286  Contribuyentes: AlfonsoERomero, Antur, Chabacano, Chfiguer, Davidsevilla, Drini, Ef sacco, Enen,Farisori, Fibonacci, FrancoGG, Fvmeteo, Gafotas, Gerkijel, Guevonaso, Gusgus, Hflores, Ingenioso Hidalgo, Jcuesta, Juan Mayordomo, Kavanagh, Krzysiulek, Libertad y Saber, Matdrodes,Millars, Moriel, Mparri, Ncespedes, Nigro, Numbo3, Periku, Rhernan, Ricardo Oliveros Ramos, RoyFocker, Segedano, Spangineer, SpeedyGonzalez, Superzerocool, Tano4595, Tessier,Tostadora, TuringTest, 60 ediciones anónimas

Optimización combinatoria  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=35537980  Contribuyentes: Boja, Chfiguer, Gerkijel, Global.minimum, Poc-oban, 8 ediciones anónimas

Optimización multiobjetivo  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=35175988  Contribuyentes: Mparri, Nihilo, TuringTest, 3 ediciones anónimas

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 8

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentesArchivo:MaximumParaboloid.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:MaximumParaboloid.png  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes: Originaluploader was Sam Derbyshire at en.wikipediaArchivo:MinimoParabola.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:MinimoParabola.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0  Contribuyentes:User:Parri

Licencia 9

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