Optimización con restricciones de no negatividad

C. Hernández, L. M. Neira, J. Ramírez y M. Rojas

1. Restricciones de no-negatividad de las variables

Las restricciones de no-negatividad de las variables surgen con naturalidad en los problemas de economía yadministración. Por ejemplo, la cantidad de pelotas de golf a producir en una fábrica debe ser positiva. Ud.no puede decidir fabricar una cantidad negativa de pelotas de golf! Tampoco el precio que decida cobrarpuede ser negativo, eso implicaría que ud. estaría dispuesto a pagar por que le compren su producto. Al igualque con el caso de las pelotas de golf existen muchos otros ejemplos donde las variables son no negativas:

La cantidad de habitaciones que decidan construir los dueños de un hotel.

El número de personas a contratar por una empresa.

El número de máquinas a comprar para un proceso productivo.

El precio que fijaremos para vender un producto o servicio.

Cantidad a producir de bienes.

Y muchos otros más.

En los capítulos anteriores vimos que al resolver un problema de optimización en una variable sin restriccionesse cumple que en el óptimo la derivada de la función objetivo es igual a cero.

df (x∗)

dx= 0

Para el caso de múltiples variables debe cumplirse que el gradiente de la función objetivo es igual a cero, esdecir, todas las derivadas parciales de la función objetivo son iguales a cero.

∇f (~x∗) = 0

∂f (~x∗)

∂xi= 0 ∀i

En la figura 1.1 vemos que para un problema de maximización sin restricciones, el óptimo global puededarse para x < 0. Sin embargo, esto no ocurre cuando incorporamos la restricción de no-negatividad de lasvariables. Todos los x < 0 quedan excluidos del dominio del problema, por lo tanto no los consideramos. Elresultado se muestra en la figura 1.2, donde el máximo global se encuentra para un valor de x > 0.

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Figura 1.1: Puntos críticos máximos en un problema de optimización sin restricciones

Figura 1.2: Puntos críticos máximos en un problema de optimización con restricción de no-negatividad delas variables

Ahora bien, ¿qué ocurre si el óptimo se encuentra en x∗ = 0? En la figura 1.3 vemos que el máximo globalse encuentra en el borde del dominio, es decir, en x = 0. ¿Se cumplen las restricciones de optimalidad queconocemos en este punto? Observando la figura, vemos que en ese punto, la derivada de la función objetivoes distinta de cero.

df (x∗)

dx6= 0

En este caso, la condición de optimalidad que conocemos no es suficiente. En general, las condiciones de opti-malidad para un problema sin restricciones no son suficientes para caracterizar un problema con restricciones

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de no-negatividad1. Para los puntos críticos que no se encuentran en el borde del dominio, la condición deoptimalidad sigue siendo la misma: la derivada debe ser igual a cero en el punto. Pero, si el óptimo está enel borde del dominio, no necesariamente debe cumplirse que la derivada sea igual a cero.

Matemáticamente,

df (x∗)

dx= 0 si x∗ 6= 0

df (x∗)

dx6= 0 si x∗ = 0

Figura 1.3: Puntos críticos máximos en un problema de optimización con restricción de no-negatividad delas variables

Estas condiciones pueden resumirse en una sola, que será la condición de optimalidad para problemas conrestricciones no-negativas.

x∗ df (x∗)

dx= 0

La condición anterior implica que se cumple alguno de los 2 casos: en el punto crítico x = 0, no importa quela derivada sea igual a cero, y en los puntos críticos x 6= 0 la derivada debe ser igual a cero.

Para el caso multivariable, la condición de optimalidad es muy similar al caso anterior y es la siguiente:

x∗i

∂f (~x∗)

∂xi= 0 ∀i

Esta condición también es válida para problemas de minimización con restricciones de no negatividad en lasvariables.

¿Cómo sabemos si los puntos críticos son máximos o mínimos? Para los puntos que no se encuentran en elborde, se utiliza la misma condición de segundo orden que en el caso sin restricciones.

1A medida que en el curso vayamos introduciendo distintos tipos de restricciones al dominio veremos que las condiciones deoptimalidad se van complejizando.

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Si

d2f (x∗)

dx2< 0 x∗ es un máximo

d2f (x∗)

dx2> 0 x∗ es un mínimo

¿Y para los puntos en el borde del dominio? Debemos ver el signo de la derivada de primer orden. Porejemplo, en la figura 1.3, en x∗ = 0 la derivada es negativa, por lo tanto podemos concluir que el puntox∗ = 0 es un máximo. Matemáticamente, si

∂f∂x > 0, el punto es un mínimo.

∂f∂x < 0, el punto es un máximo.

Luego de encontrar todos los puntos críticos (en el borde y fuera del borde) debemos compararlos paradeterminar cuál es el máximo o mínimo global, y encontrar así la solución óptima.

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