Condiciones Kuhn Tucker y Lagrange.

República Bolivariana de VenezuelaMinisterio del Poder Popular para la Educación Universitaria

Instituto Universitario Politécnico Santiago MariñoCátedra: Optimización de Sistemas y Evaluación de Funciones.

Autor: Argenis VicentDiciembre, 2013

Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker (CKKT)

Las condiciones de Karush, Kuhn and Tucker constituyen el resultado más importante de programación no lineal. Deben ser satisfechas por cualquier óptimo restringido, sea éste local o global, y para cualquier función objetivo, ya sea lineal o no lineal. Además, los criterios de parada de los métodos iterativos se basan en estas condiciones. Mientras que en los problemas diferenciables sin restricciones el gradiente se anula en los mínimos locales, esto no ocurre para problemas con restricciones, tal como ilustra la figura 11 en el punto . Esto se debe a las restricciones del problema. Las condiciones de Karush-Khun-Tucker generalizan las condiciones necesarias de óptimo para los problemas con restricciones.

La figura representa problemas restringidos diferenciables el gradiente no es necesariamente cero en la solución óptima

ax

(Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker):El vector satisface las condiciones de Karush-Khun-Tucker para el PPNL (1)-(2) si existe un par de vectores y tales que

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

Los vectores µ y ¸ son los multiplicadores de Khun-Tucker. La condición (6) es la condición complementaria de holgura. La (7) son las condiciones duales de factibilidad y requieren la no-negatividad de los multiplicadores de las restricciones de desigualdad. Las condiciones (4)-(5) se llaman condiciones primales de factibilidad.Con el Lagrangiano las condiciones KKT se escriben como

nx m l

m1,...,j ,0

m1,...,j ,0)(

l1,...,k ,0)(

m1,...,j ,0)(

0)()()(11

j

jj

k

j

m

jjj

l

kkk

xg

xh

xg

xgxhxf

)()()(),,( xgxhxfxL TT

0),,(

0),,(

0),,(

xL

xL

xLx

0

0),,(

xLT

Ilustración de las condiciones de Karush–Kuhn–Tucker para el caso de una restricción de igualdad y dos variables.

Ilustración de las condiciones de Karush–Kuhn–Tucker para el caso de dos restricciones de desigualdad y dos variables.

Casos EspecialesSi falta una restricción en un PPNL, el multiplicador asociado a la restricción “ausente" es nulo, y la restricción se elimina de la formulación de las condiciones de KKT. En estos casos resulta:

Cuando se presentan problemas sin restricciones En estos casos solo se tiene la condición:

En cambio cuando se presentan problemas con restricciones de igualdad solamente Las condiciones de KKT son una extensión del principio clásico del método de los multiplicadores de Lagrange. Este método sólo surge con problemas que únicamente tienen restricciones de igualdad:

0)( Xf

lkXh

XhXf

k

k

l

kk

,...,1 ,0)(

0)()(1

En los Problemas con restricciones de desigualdad solamente Las condiciones de KKTC son:

m1,...,j ,0

m1,...,j ,0)(

m1,...,j ,0)(

0)()(1

j

jj

j

m

jjj

Xg

Xg

XgXf

Condiciones de Optimalidad KKT

Cualificación de las restricciones

Condicion KKT de suficiencia de primer orden

Condiciones de segundo orden

Resolución mediante KKT

En los problemas de optimización, los multiplicadores de Lagrange, nombrados así en honor a Joseph Louis Lagrange, son un método para trabajar con funciones de varias variables que nos interesa maximizar o minimizar, y está sujeta a ciertas restricciones. Este método reduce el problema restringido en n variables en uno sin restricciones de n + 1 variables cuyas ecuaciones pueden ser resueltas.

Este método introduce una nueva variable escalar desconocida, el multiplicador de Lagrange, para cada restricción y forma una combinación lineal involucrando los multiplicadores como coeficientes. Su demostración involucra derivadas parciales, o bien usando diferenciales totales, o sus parientes cercanos, la regla de la cadena. El fin es, usando alguna función implícita, encontrar las condiciones para que la derivada con respecto a las variables independientes de una función sea igual a cero.

Lagrange

Multiplicadores de Lagrange