Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Produções Didático-Pedagógicas

FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO DA

PRODUÇÃO DIDÁTICO – PEDAGÓGIGA

Titulo: Conhecendo, Demonstrando e Aplicando o Teorema de Pitágoras

Autor Maria Cristina Gerino Campos de Souza

Disciplina/Área Matemática

Escola de implementação e sua

localização

Colégio Estadual Princesa Izabel – Ensino

Fundamental e Médio - Rua Recife, 1171

Município da Escola Marilena - PR

Núcleo Regional de Educação Loanda

Professor Orientador Profª. Ms. Adriana Strieder Philippsen

Instituição de Ensino Superior Universidade Estadual do Paraná –

UNESPAR/FAFIPA

Relação Interdisciplinar Não

Resumo

Esta unidade didática foi desenvolvida para o

Programa de Desenvolvimento Educacional

(PDE) da Secretaria de Estado da Educação

(SEED). O projeto em questão será aplicado no

Colégio Estadual Princesa Izabel, E. F. M. do

município de Marilena, pertencente ao NRE de

Loanda, no 1º semestre de 2014 para alunos do

9º ano do E. F. e 1º ano do E. M. no período

regular. O principal objetivo é proporcionar aos

alunos, através de quebra cabeças e resolução

de situações problema, o conhecimento, e

algumas maneiras de demonstrar e aplicar o

Teorema de Pitágoras. Para tanto, faz-se

necessário que os educandos conheçam a

história de Pitágoras, quem foi e quais foram as

suas contribuições para as diversas áreas do

conhecimento, principalmente na Matemática,

especificamente na Geometria, visando assim,

um melhor entendimento sobre o teorema

abordado e o triângulo retângulo, suas

particularidades, especificidades e aplicações,

unindo história, teoria e prática, facilitando com

isso, a aprendizagem.

Palavras-chave Resolução de problemas. Teorema de

Pitágoras. Situações Problema.

Formato do Material Didático Unidade Didática Pedagógica

Público-alvo Alunos do 9º ano E. F. e 1º ano E.M.

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO – SEED SUPERINTENDENCIA DA EDUCAÇÃO – SUED

DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS - DPPE PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PARANÁ - UNESPAR - CAMPUS DE

PARANAVAÍ Faculdade Estadual de Educação, Ciências e Letras de Paranavaí

UNIDADE DIDÁTICA PEDAGÓGICA

TÍTULO: CONHECENDO, DEMONSTRANDO E APLICANDO O TEOREMA DE PITÁGORAS

TEMA DE ESTUDO: RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS QUE ABORDAM O TEOREMA DE PITÁGORAS

PROFESSOR PDE: MARIA CRISTINA GERINO CAMPOS DE SOUZA

ÁREA DO PDE: MATEMÁTICA

NRE: LOANDA

MARILENA 2013

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL - PDE

Maria Cristina Gerino Campos de Souza

CONHECENDO, DEMONSTRANDO E APLICANDO O TEOREMA DE PITÁGORAS

Unidade Didática Pedagógica apresentada ao Programa PDE - Programa de Desenvolvimento Educacional da Secretaria de Estado da Educação do Paraná. Orientadora: Prof

a Ms. Adriana

Strieder Philippsen.

MARILENA 2013

Apresentação

Durante os períodos da história, o homem sempre se defrontou com

problemas de comparação entre períodos de tempo, tamanhos, distâncias, e a partir

daí houve a necessidade de se criar valores quantitativos e qualitativos para que as

medições fossem precisas. Nesse contexto foram criados os instrumentos

destinados às medições.

Na maioria das vezes, as pessoas não conseguem associar o saber escolar

com as situações problemas vividas em seu cotidiano, como por exemplo, formular,

resolver e elaborar soluções partindo de uma situação prática, e, encontrar na

Matemática, respostas para essas questões.

Sendo assim, esta Produção Didático-Pedagógica desenvolvida para o

Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE) da Secretaria da Educação do

Estado do Paraná, tendo como público alvo alunos do 9° ano do Ensino

Fundamental e 1º ano do Ensino Médio e o Teorema de Pitágoras como tema de

estudo, tem como objetivo principal abordar, explicitar e destacar a importância de

tal teorema de modo que os alunos consigam ver o Teorema de Pitágoras como

ferramenta de auxílio na resolução de problemas, nas atividades diárias ligadas a

agrimensura, arquitetura, edificações, urbanização, física, dentre outras áreas,

inclusive a própria Matemática, unindo história, teoria e prática, facilitando com isso,

a aprendizagem.

UNIDADE DIDÁTICA

CONHECENDO, DEMONSTRANDO E APLICANDO O TEOREMA DE

PITÁGORAS

Nesta Unidade Didática exploraremos os Conteúdos de Matemática:

Estruturante: Grandezas e Medidas; Básico: Trigonometria; Específico:

Trigonometria no Triângulo Retângulo.

Quem foi, onde viveu e o que fez Pitágoras

Segundo Fainguelent (1999):

Um regime educacional é difícil de ser conceituado e

contextualizado, quanto mais de ser realizado. Por outro lado,

existem algumas informações sobre a capacidade das pessoas,

estilos, desejos e características individuais dentro de um

determinado contexto e, por outro lado, existe uma grande

quantidade de conhecimentos que o indivíduo precisa e pode querer

aprender, desenvolver, ir adiante, criando, explorando e construindo

novas formas de conhecimentos ou habilidades (Fainguelernt, 1999).

Partindo dessa reflexão o presente estudo decorre da necessidade e da

importância do conhecimento e da utilização do teorema de Pitágoras a partir da

dificuldade do homem em resolver problemas do cotidiano.

O Teorema de Pitágoras possui diversas aplicações nas mais variadas áreas

do conhecimento. A área de transportes é uma delas, aqui o teorema contribui na

logística, no cálculo de largura de rios e distâncias entre cidades, por exemplo. Na

trigonometria, temos o cálculo de seno, cosseno, tangente, relação fundamental da

trigonometria e a lei dos cossenos. Na geometria, é utilizado para o cálculo da

diagonal do quadrado, cálculo da altura do triângulo equilátero, são calculadas

distâncias: é possível realizar levantamentos topográficos através de uma

triangulação. Na Física, para cálculo de grandezas escalares e vetoriais e na

Biologia, na representação geométrica dos desenhos mostrando as proporções

entre homens e animais e na contagem de frações de medicamentos, usando por

exemplo, o conta gotas. Na aeronáutica, tais conceitos são aplicados para que não

haja colisões em rotas de aviões.

Para iniciarmos o estudo é preciso conhecer um pouco mais quem foi, onde

e quando nasceu e morreu Pitágoras e o que ele fez. Segundo Eves (2004):

Ao que parece Pitágoras nasceu por volta de 572 a. C. na ilha egeia

de Samos. É possível que tenha sido discípulo de Tales, pois era

cinquenta anos mais novo do que este e morava perto de Mileto,

onde viva Tales. Depois parece que residiu por algum tempo no Egito

e pode mesmo ter-se abalançado a viagens mais extensas. Ao

retornar a Samos encontrou o poder nas mãos do tirano Polícrates e

a Jônia sob o domínio persa; decidiu então emigrar para o porto

marítimo de Cretona, uma colônia grega situada no sul da Itália. Lá

ele fundou a famosa escola pitagórica, que, além de ser um centro

de estudo de filosofia, matemática e ciências naturais, era também

uma irmandade estreitamente unida por ritos secretos e cerimônias.

Com o tempo, a influência e as tendências aristocráticas da

irmandade tornaram-se tão grandes que forças democráticas do sul

da Itália destruíram os prédios da escola fazendo com que a

confraria se dispersasse. Segundo um relato, Pitágoras fugiu para

Metaponto onde morreu, talvez assassinado, com uma idade

avançada entre setenta e oitenta anos de idade. A irmandade,

embora dispersa, continuou a existir por pelo menos mais dois

séculos (Eves, 2004, p.97).

A filosofia pitagórica, de acordo com Eves (2004), supunha que as

características do homem e da matéria eram atribuídas aos números inteiros. Diante

disso, exaltavam os números juntamente com a geometria, a música e a astronomia

que eram consideradas as artes básicas dos estudos pitagóricos. Esse grupo de

matérias ficou conhecido na Idade Média como quadrivium, ao qual foi acrescentado

o trivium, formado pela gramática, lógica e retórica. Essas sete artes, ditas liberais,

eram consideradas como extremamente e indispensáveis na época para que uma

pessoa fosse dita como educada.

A Pitágoras e aos pitagóricos foi ainda atribuído, segundo os registros da

física-matemática, o estudo científico das escalas musicais, usadas até hoje.

Guedj (1999) ressalta que:

Com os pitagóricos o universo da matemática se ampliou. Eles

introduziram a música e a mecânica. Sua visão mística dos números

não os impediu de fundar a aritmética como a ciência dos números.

É a eles que devemos as primeiras demonstrações verdadeiras da

História. Além da demonstração da irracionalidade da raiz de 2,

demonstraram por exemplo que todos os triângulos têm em comum o

fato da soma de seus ângulos ser igual a 180 graus (Guedj, 1999,

p.111).

Figura 1 – Pitágoras na Escola de Atenas

Fonte: http://commons.wikimedia.org

Triângulo Retângulo

O triângulo retângulo é um triângulo que possui um ângulo reto, isto é, um

dos seus ângulos mede noventa graus, daí o nome (reto-ângulo). Como já sabemos

a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é sempre igual a 180 graus,

então, a soma dos outros dois ângulos medirá 90 graus Esses ângulos são

denominados complementares.

Figura 2 – Triângulo Retângulo

Catetos: a e b

Hipotenusa: c

Fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/teorema-pitagoras.htm

Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais, que são

dados de acordo com a posição em relação ao ângulo reto. O lado oposto ao ângulo

reto (lado maior) é chamado de hipotenusa e os lados que formam o ângulo reto,

que são adjacentes a ele, são os catetos.

Quadro 1 – Origem das palavras cateto e hipotenusa

Termo Origem da palavra

Cateto Cathetós:

(perpendicular)

Hipotenusa Hypoteinusa:

Hypó(por baixo) + teino(eu estendo) Fonte: http://quimsigaud.tripod.com/trianguloretangulo/

Os catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posição em

relação ao ângulo que se está analisando. De acordo com a figura abaixo, se

estivermos analisando o ângulo C, então o lado oposto, indicado por c, é o cateto

oposto ao ângulo C e o lado adjacente ao ângulo C, indicado por b, é o cateto

adjacente ao ângulo C.

Quadro 2 – Cateto oposto e cateto adjacente

Ângulo Lado oposto Lado adjacente

C c cateto oposto b cateto adjacente

B b cateto oposto c cateto adjacente

Fonte: http://quimsigaud.tripod.com/trianguloretangulo/

A altura do triângulo retângulo é um segmento que tem uma extremidade

num vértice e a outra extremidade no lado oposto ao vértice, sendo que este

segmento é perpendicular (forma ângulo de 90°) ao lado oposto ao vértice. Vale

lembrar que existem três alturas no triângulo retângulo, sendo que duas delas são

os próprios catetos. A outra altura é obtida tomando como base a hipotenusa, a

altura relativa a este lado será o segmento AD, denominado por h e perpendicular à

base, como mostra a figura:

Figura 3 – Altura do triângulo retângulo

Fonte: http://quimsigaud.tripod.com/trianguloretangulo/

Analisando a figura acima, obtemos:

- o segmento AD denominado por h, é a altura relativa à hipotenusa BC, indicada

por a.

- o segmento BD, denominado por m, é a projeção ortogonal do cateto c sobre a

hipotenusa BC, indicada por a.

- o segmento CD, denominado por n, é a projeção ortogonal do cateto b sobre a

hipotenusa BC, indicada por a.

Teorema de Pitágoras

Se perguntarmos a uma pessoa com uma educação média o que diz o

teorema de Pitágoras, provavelmente receberemos como resposta:

a² = b² + c²

Se aprofundarmos nossa pergunta, sobre o que as letras a, b e c significam,

com certeza ficaremos sem resposta.

Descobrimos através da história, segundo Berlinghoff e Gouvêa (2010) que

tal teorema era usado na Mesopotâmia, no Egito, na Índia, na China e na Grécia. As

referências são mais antigas na Índia. Desse modo, há evidências que o teorema de

Pitágoras era, de fato, conhecido por todas as culturas matemáticas bem antes da

época do próprio Pitágoras.

Contudo, ressalta Eves (2004) que:

Desde os tempos de Pitágoras, muitas demonstrações do teorema

em consideração foram dadas. E. S. Loomis, na segunda edição de

seu livro, The Pythagorean Proposition , coletou e classificou nada

menos que 370 dessas demonstrações (Eves, 2004, p.104).

Mas é a ele, Pitágoras, que cabe a primeira e genial demonstração do

teorema, daí a homenagem do nome.

Vejamos então, o que diz tal teorema:

“A medida da área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à

soma das medidas das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos”, ou

simplesmente:

“O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”.

Usando a linguagem matemática, ou seja, a simbologia, podemos diminuir

essa frase e escrevê-la de uma forma que possa ser compreendida em qualquer

país do mundo.

Para tal, vamos representar pela letra c a medida da hipotenusa de um

triângulo retângulo. Assim, a área do quadrado construído sobre a hipotenusa será

c². Representando-se as medidas dos catetos por a e b, as áreas dos quadrados

construídos sobre esses catetos serão, respectivamente, a² e b² .

Figura 4 – Teorema de Pitágoras

Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras

Logo, podemos afirmar que:

c² = a² + b²

De acordo com este teorema é possível calcular o lado de um triângulo

retângulo, conhecendo os outros dois.

Essa equação sintetiza e universaliza as conclusões tiradas até aqui, e é

conhecida mundialmente como Teorema de Pitágoras devido ao modo genial como

Pitágoras o demonstrou.

O Teorema de Pitágoras é considerado uma das mais importantes relações

da Matemática, sendo utilizado no cálculo de perímetros, áreas e volumes de

objetos relacionados com a Geometria. Portanto, vejamos uma demonstração,

dentre várias, desse teorema.

Consideremos um triângulo retângulo cujos lados medem, a e b, e a

hipotenusa mede c.

Construiremos dois quadrados iguais de lados a + b:

Num dos quadrados construiremos quatro triângulos da seguinte forma:

E, no outro, dois quadrados e quatro triângulos, de acordo com a figura

abaixo:

Se em cada figura o quadrado inicial tem lados medindo a + b, e um dos

quadrados foi dividido em quatro triângulos e um quadrado com medida de lado

igual a c (medida da hipotenusa do triângulo considerado inicialmente), então, temos

dois quadrados iniciais geometricamente iguais e ambos contêm quatro triângulos

geometricamente iguais ao triângulo retângulo considerado inicialmente, logo, o que

resta num quadrado tem que ser igual ao que resta no outro.

Comparemos, então, as áreas dos quadrados que restam e teremos:

Isto é, c² = a² + b²

A partir dessa equação podemos solucionar vários tipos de problemas como

por exemplo, os de Geometria que podem ser trabalhados com figuras que facilitam

a visualização, o raciocínio lógico e, consequentemente, a interpretação e a

resolução do mesmo.

Para Dante (2010), existem vários tipos de problemas. Vejamos:

1) Exercícios de reconhecimento, tem com objetivo que o aluno reconheça,

identifique ou lembre um conceito, um fato específico, uma definição,

uma propriedade. Este tipo de problema é bastante presente na escola e

nos livros didáticos.

2) Exercícios de algoritmo podem ser resolvidos passo a passo. Tem como

objetivo treinar a habilidade em executar algoritmos, reforçando

conhecimentos anteriores. Aparece também nos livros didáticos.

3) Problemas-padrão envolvem a aplicação de algoritmos. Tem por objetivo

transformar a linguagem usual em linguagem matemática. Aparecem no

final dos conteúdos dos livros didáticos e não necessitam de uma

estratégia para serem resolvidos. Em geral, não despertam a curiosidade

e não desafiam o aluno para resolvê-lo.

4) Problemas-processo ou heurísticos são mais elaborados e cuja solução

envolve operações que não estão contidas no enunciado. Exigem do

aluno um plano de ação para elaborar estratégias para solucioná-lo.

Desenvolvem a criatividade e a iniciativa na tomada de decisões.

5) Problemas de aplicação retratam situações reais do dia a dia e precisam

do uso da Matemática para serem resolvidos. São também chamados de

situações-problema contextualizadas. São problemas que exigem

pesquisa e levantamento de dados e, podem estar relacionados com

outras áreas do conhecimento sob forma de projetos.

6) Problemas de quebra-cabeça, na grande maioria, desafiam e envolvem

os alunos, que para tentar resolvê-los necessitam de um golpe de sorte

ou percebem algum tipo de truque ou alguma regularidade, que na

maioria das vezes, é a chave da resolução. Esse tipo de problema

constitui a chamada matemática recreativa.

De acordo com Dante (2010):

Ensinar a resolver problemas é uma tarefa mais difícil do que ensinar

conceitos, habilidades e algoritmos matemáticos. Não é um

mecanismo direto de ensino, mas uma variedade de processos de

pensamento que precisam ser cuidadosamente desenvolvidos pelo

aluno com o apoio e incentivo do professor (Dante, 2010, p. 36).

Partindo desse pressuposto, espero que os alunos consigam ver o Teorema

de Pitágoras, com outros olhos, que leve o aluno a utilizar os conhecimentos

adquiridos para responder diversas situações, que estejam aptos a relacionar a

Matemática do saber científico com a Matemática utilizada no dia a dia, bem como

também, despertar nesses jovens, o gosto pelo estudo e que possam sentir quão

prazeroso é o saber matemático.

1º MOMENTO

ATIVIDADES:

1a: INVESTIGAÇÃO DO CONHECIMENTO DO ALUNO SOBRE O TRIÂNGULO

RETÂNGULO E O TEOREMA DE PITÁGORAS

Instrumento: Questionário Investigatório.

Objetivo: Com a aplicação e a análise desse documento será possível saber o nível

de conhecimento do aluno sobre o triângulo retângulo e o Teorema de Pitágoras.

1 – Por que o triângulo retângulo recebe esse nome?

2 – Que nomes recebem os lados de um triângulo retângulo?

3 – O que é um ângulo reto?

4 – Quando um ângulo é chamado agudo?

a) ( ) maior que 90° b) ( ) menor que 90

c) ( ) igual a 90° d) ( ) não sabe

5 – Quando um ângulo é chamado obtuso?

a) ( ) maior que 90° b) ( ) menor que 90

c ) ( ) igual a 90° d) ( ) não sabe

6 – Você conhece o Teorema de Pitágoras?

( ) sim ( ) não

7 – Você sabe quando aplicar o Teorema de Pitágoras em situações problemas?

( ) sim ( ) não

8 – Além da Matemática, você sabe em quais outras áreas Pitágoras atuou?

( ) sim ( ) não

9 – Qual a relação do triângulo retângulo com o Teorema de Pitágoras?

a) ( ) a2 + b2= c2 b) ( ) a2= b2 + c2

c) ( ) a2= b2 – c2 d) ( ) b2 = a2 + c2

2a: CONHECENDO PITÁGORAS E A MATEMÁTICA

Essa atividade será iniciada com a apresentação de dois vídeos. O primeiro

filme, “Donald no país da Matemágica”, relata um pouco da história de Pitágoras, da

sociedade em que vivia, da irmandade formada por ele e os pitagóricos, e o que

estudavam. Retrata as várias contribuições deixadas por ele nas diversas ciências,

tais como na música, onde mostra a descoberta da escala musical utilizando

frações. Nos jogos em geral, quando necessitamos dos números para a contagem

de pontos, e também nas estratégias geométricas e aritméticas para efetuarmos as

jogadas, como por exemplo, no jogo de bilhar. Mostra ainda, o poder de nossas

mentes quando fazemos o exercício da abstração, nada é pequeno ou grande

demais quanto podemos imaginar. O segundo, “Dia Nacional da Matemática”,

mostra a aplicação da Matemática no dia a dia e fala sobre o dia em que foi

instituído essa comemoração: 06 de maio.

Estes dois vídeos foram escolhidos para mostrar e destacar a importância do

uso da Matemática em nossas vidas, que ela está presente todo o tempo, mesmo

que não percebamos e quais as contribuições deixadas por alguns de seus

estudiosos, neste caso, evidenciando Pitágoras.

Após a exibição dos filmes será realizado um debate sobre os assuntos

abordados nos mesmos, destacando a importância do conhecimento matemático,

histórico e científico, nas relações do dia a dia.

3a: OFICINA SOBRE O TRIÂNGULO RETÂNGULO

Objetivo: promover reflexões sobre o posicionamento dos alunos, no que se refere

ao conhecimento dos lados e dos ângulos do triângulo retângulo, sua nomenclatura

e suas particularidades.

Materiais: papel sulfite, lápis, régua e transferidor.

Procedimento:

1 - Explicar aos alunos o trabalho sobre o tema “triângulo retângulo”, abordando a

importância desse triângulo na Matemática e em suas diversas aplicações em

situações do cotidiano.

2 - Pedir para os alunos desenharem um triângulo retângulo na folha de papel sulfite

usando lápis e régua, sem medidas pré estabelecidas de seus lados.

3 - Pedir para os alunos destacarem os ângulos desse triângulo e, com o auxílio do

transferidor, determinar e anotar a medida de cada ângulo.

4 - Pedir para os alunos darem nomes aos lados desse triângulo.

5 – Sugerir que os alunos desenhem triângulos retângulos de tamanhos diferentes,

meçam os ângulos, anotem os resultados e comparem os mesmos.

Durante a exposição os alunos deverão observar e analisar as diferenças e

semelhanças de cada triângulo atentando que, não importa o tamanho do triângulo e

a medida dos ângulos menores, o ângulo de 90° sempre estará presente.

Questionamentos para discussão:

b) Com base nos desenhos realizados, o que você pôde observar?

c) O tamanho do triângulo interfere na medida do ângulo reto?

d) Você consegue diferenciar o triângulo retângulo dos demais triângulos?

e) Quais são essas diferenças?

f) Você consegue se lembrar de algum objeto do seu cotidiano que tem a forma

do triângulo retângulo em sua construção?

4a: O TEOREMA DE PITÁGORAS:

Objetivo: reconhecer e nominar os lados de um triângulo retângulo.

Materiais: papel quadriculado, régua e lápis.

Procedimento:

1- Pedir que os alunos desenhem no papel quadriculado cinco triângulos

retângulos com as seguintes medidas de lados: a) 3 e 4; b) 5 e 12; c) 7 e 24;

d) 6 e 8; e) 8 e 15.

2- Pedir que os alunos encontrem, a seguir, a medida do lado que falta, no caso,

a hipotenusa.

3- Pedir que os alunos anotem a medida de cada cateto e da hipotenusa, em

cada triângulo retângulo e completem a tabela abaixo.

lado 1 lado 2 hipotenusa

(lado1)² (lado 2)² (hipotenusa)²

a) b) c) d) e) f) a b c

a² b² c²

Questionamentos para discussão:

1- Você sabe os nomes dos lados 1 e 2? E por que recebem esses nomes?

2- Você sabe o que quer dizer hipotenusa?

3- Existe algum padrão entre as três primeiras colunas da tabela com as outras

três? Explique.

4- O que se pode dizer a respeito dos comprimentos dos três lados do triângulo

retângulo?

5- Que relação podemos formar?

2º MOMENTO

DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA DE PITÁGORAS:

1ª demonstração: Usando quebra-cabeça.

Objetivo: Estimular a compreensão do Teorema de Pitágoras através de quebra-

cabeça.

Material: desenho-base e peças de quebra-cabeça confeccionadas com cartolina

colorida.

Procedimento:

1- Dividir a classe em grupos de 4 ou 5 alunos.

2- Distribuir os desenhos-base e os quebra-cabeças entre os grupos.

3- Pedir que os alunos encaixem as peças do quebra-cabeça dentro do

quadrado do desenho-base.

Questionamentos para discussão:

1- As peças do quebra-cabeças preencheram o quadrado do desenho-base?

2- Podemos, então, concluir que a área do quadrado do desenho-base é igual a

soma das áreas das figuras do quebra-cabeças?

2ª demonstração: Usando papel quadriculado.

Objetivo: Estimular a compreensão do Teorema de Pitágoras através de

sobreposição.

Material: cartolina, régua, lápis preto e lápis de cor.

Procedimento:

1- Dividir a classe em grupos de 4 ou 5 alunos.

2- Pedir que os alunos desenhem sobre a cartolina um triângulo retângulo com

medidas pré determinadas ( um triângulo por equipe).

3- Pedir que os alunos desenhem quadrados sobre os catetos e sobre a

hipotenusa.

4- Pedir que os alunos dividam os três quadrados em quadradinhos de 1cm de

lado e pintem cada quadrado de cores diferentes.

5- Pedir que os alunos recortem os quadradinhos dos quadrados menores e

tentem preencher o quadrado maior com essas peças.

Questionamentos para discussão:

1- Os quadradinhos dos quadrados menores preencheram o quadrado maior?

2- Por que isso foi possível?

3- Que relação podemos estabelecer?

3ª demonstração: Demonstração geométrica do Teorema de Pitágoras.

Objetivo: Compreender geometricamente o Teorema de Pitágoras.

Material: cartolina, régua, lápis e lápis de cor.

Procedimento:

1- Dividir a classe em grupos de 4 ou 5 alunos.

2- Pedir que os alunos construam sobre a cartolina um triângulo retângulo cujos

catetos tenham 6cm e 8cm de comprimento, e a hipotenusa, 10cm.

3- Pedir que os alunos desenhem quadrados sobre cada lado desse triângulo,

conforme mostra a figura.

4- Pedir que os alunos marquem o ponto central do quadrado com 8cm de lado e tracem uma reta paralela à hipotenusa do triângulo, que passe por esse ponto. Depois, tracem uma reta, perpendicular à outra reta no ponto marcado.

5- Pedir que os alunos recortem os quadrados de 6cm e 8cm de lado e cortem as retas marcadas, obtendo assim cinco polígonos.

6- Pedir que os alunos utilizem esses polígonos para sobrepor o quadrado de 10cm de lado.

Questões para discussão:

1- A sobreposição foi possível? 2- Que relação podemos estabelecer?

3º MOMENTO

APLICAÇÃO DO TEOREMA DE PITÁGORAS NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Objetivo: Aplicar o Teorema de Pitágoras na resolução de problemas.

1ª atividade:

Em um triângulo retângulo ABC, a hipotenusa mede 13cm e um dos catetos mede

12cm. Determinar a medida do outro cateto.

2ª atividade:

Dois ciclistas partem do ponto P, no mesmo instante, segundo as direções indicadas

na figura abaixo. A velocidade média de um é de 15 km/h e a do outro é de 20 km/h.

Após 4 horas, eles estão em pontos A e B, respectivamente. Nesse instante, qual é

a distância entre eles?

3ª atividade:

(UCSal-Ba) Na situação do mapa da figura, deseja-se construir uma estrada que

ligue a cidade A à estrada BC, com o menor comprimento possível. Quanto medirá

essa estrada, em quilômetros?

4ª atividade:

(UFRS) Uma torre vertical é presa por cabos de aço fixos no chão, em um terreno

plano horizontal, conforme mostra a figura. Se o ponto A está a 15m da base B da

torre e o ponto C está a 20m de altura, qual o comprimento do cabo AC?

5ª atividade:

Este problema aparece num livro do séc. XII, de autoria do matemático

Bhaskara.Reolva-o.

“Um pavão está no alto de uma coluna vertical de 6m de altura, ao pé da qual fica a

toca de uma cobra. De repente, o pavão vê a cobra, que se encontra a 18m da toca.

A cobra também vê o pavão, e corre para a toca. O pavão faz um vôo em linha reta

e alcança a cobra antes que ela atinja a toca. Pobre cobra!

Sabendo-se que o pavão voou a mesma distância percorrida pela cobra, diga a

quantos metros da toca a cobra foi alcançada.

6ª atividade:

Após a realização de todas as atividades propostas, retomemos o questionário inicial

para que possamos fazer um parâmetro entre os mesmos.

1 – Por que o triângulo retângulo recebe esse nome?

2 – Que nomes recebem os lados de um triângulo retângulo?

3 – O que é um ângulo reto?

4 – Quando um ângulo é chamado agudo?

g) ( ) maior que 90° b) ( ) menor que 90

c) ( ) igual a 90° d) ( ) não sabe

5 – Quando um ângulo é chamado obtuso?

b) ( ) maior que 90° b) ( ) menor que 90

c ) ( ) igual a 90° d) ( ) não sabe

6 – Você conhece o Teorema de Pitágoras?

( ) sim ( ) não

7 – Você sabe quando aplicar o Teorema de Pitágoras em situações problemas?

( ) sim ( ) não

8 – Além da Matemática, você sabe em quais outras áreas Pitágoras atuou?

( ) sim ( ) não

9 – Qual a relação do triângulo retângulo com o Teorema de Pitágoras?

b) ( ) a2 + b2= c2 b) ( ) a2= b2 + c2

c) ( ) a2= b2 – c2 d) ( ) b2 = a2 + c2

PROPOSTA DE AVALIAÇÃO DA UNIDADE DIDÁTICA

A avaliação da Produção Didática Pedagógica será realizada pelos

professores que participarão do Grupo de Trabalho em Rede (GTR), que terão a

oportunidade de analisar e refletir sobre a unidade didática, avaliando a viabilidade e

relevância do material elaborado para a comunidade escolar.

Dessa forma, os participantes poderão opinar, sugerir e solucionar as

dúvidas sobre as atividades propostas, contribuindo para o enriquecimento da

unidade didática e para a disseminação do conhecimento científico ao educando.

ORIENTAÇÃO METODOLÓGICA

No primeiro momento do desenvolvimento da unidade didática, será

realizado a aplicação de um questionário para investigação do nível de

conhecimento dos alunos sobre o triângulo retângulo e o Teorema de Pitágoras.

Partindo das respostas dadas, todos os resultados serão compilados para

discussão.

Na sequência serão apresentados dois vídeos: “Donald no país da

Matemágica” (DVD) e “Dia Nacional da Matemática” disponível em

http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/video/showVideo.php?video=7209

para que sejam destacados a importância do conhecimento matemático, histórico,

científico, seus estudiosos e suas aplicações no cotidiano.

A seguir, serão realizadas algumas oficinas de atividades para averiguação

do conhecimento que os alunos trazem sobre os lados e os ângulos de um triângulo

retângulo, de onde vêm sua nomenclatura e suas particularidades.

No segundo momento serão realizadas três demonstrações do Teorema de

Pitágoras:

1ª) através do uso de quebra-cabeças;

2ª) através da sobreposição utilizando papel quadriculado;

3ª) através da demonstração geométrica, também utilizando sobreposição.

No terceiro e último momento desta Unidade Didática, os alunos aplicarão o

Teorema de Pitágoras em atividades de resolução de problemas e, em seguida,

responderão novamente o questionário proposto no início desta unidade, para que

possamos verificar o grau de entendimento do referido teorema e se houve avanços

no aprendizado dos alunos.

REFERÊNCIAS

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