pantle rlc

INSTITUTO

POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA

MECÁNICA Y ELÉCTRICA

INGENIERÍA EN COMUNICACIONES Y

ELECTRÓNICA

Academia de circuitos

RESPUESTA LIBRE Y FORZADA DE UN CIRCUITO RLC

GRUPO: 5CM4

ALUMNO: LOEZA SAAVEDRA ALEJANDRO IVÁN

FECHA DE ENTREGA: 03/10/2013

ÍNDICEMarco teórico 2Teoría Respuesta Forzada de un circuito RLC 3Solución: Caso 1 Respuesta forzada de un circuito RLC 6Solución: Caso 2 Respuesta forzada de un circuito RLC 7Solución: Caso 3 Respuesta forzada de un circuito RLC 8Solución: Caso 4 Respuesta forzada de un circuito RLC 9Teoría Respuesta Libre de un circuito RLC 10Solución: Caso 1 Respuesta forzada de un circuito RLC 12Solución: Caso 2 Respuesta forzada de un circuito RLC 13Solución: Caso 3 Respuesta forzada de un circuito RLC 14Solución: Caso 4 Respuesta forzada de un circuito RLC 15Memoria de cálculo respuesta Forzada Caso 2 16Memoria de cálculo respuesta Libre Caso 2 20Tabla de Respuesta forzada y grafica a mano 24Tabla de Respuesta Libre y grafica a mano 25Simulación del 2do Caso Libre y Forzada de un RLC 26Simulación del 1ro Caso Libre y Forzada de un RLC 27Simulación del 3ro Caso Libre y Forzada de un RLC 28Simulación del 4to Caso Libre y Forzada de un RLC 29Objetivo 30Material 30Desarrollo 30Observaciones 32Conclusiones 32Recomendaciones 32Bibliografía 32

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA

MECÁNICA Y ELÉCTRICA

INGENIERÍA EN COMUNICACIONES Y

ELECTRÓNICA

Academia de circuitos

RESPUESTA LIBRE Y FORZADA DE UN CIRCUITO RLC

GRUPO: 5CM4

ALUMNO: LOEZA SAAVEDRA ALEJANDRO IVÁN

FECHA DE ENTREGA: 03/10/2013

MARCO TEÓRICO Se llama régimen transitorio, o solamente "transitorio", a aquella respuesta de un circuito

eléctrico que se extingue en el tiempo, en contraposición al régimen permanente, que es la respuesta que permanece constante hasta que se varía bien el circuito o bien la excitación del mismo.

La figura muestra un transitorio de tensión, que dura el tiempo de carga del condensador. Una vez cargado, la salida ya no varía. No existe un punto donde el régimen cambia, pasando de transitorio a permanente, sino que el transitorio tiende asintóticamente al régimen permanente. En la práctica se elige un valor arbitrario que depende de la aplicación de que se trate.

Desde el punto de vista del análisis circuital, el régimen transitorio viene dado por la solución homogénea de la ecuación diferencial lineal que describe el circuito, mientras que el régimen permanente se obtiene de la solución de la particular. El amortiguamiento nos indica la evolución del transitorio, que se puede aproximar monótonamente al régimen permanente, como en la figura 1, o bien sufrir oscilaciones amortiguadas.

Desde el punto de vista tecnológico, los transitorios son de gran importancia. Se producen en todos los circuitos (el encendido ya es un transitorio) y se suelen extinguir de forma natural sin causar problemas, pero existen casos donde se deben limitar pues pueden provocar un mal funcionamiento o incluso la destrucción de algún componente. Debe prestarse atención a los transitorios principalmente en las siguientes situaciones:

Encendido. Transitorios en las líneas de alimentación pueden destruir algún componente. En los amplificadores operacionales o circuitos cmos puede presentarse el fenómeno de Latch-up.

Conmutación de inductancias: relés, motores, actuadores electromagnéticos... Son peligrosos para el elemento de potencia que los gobierna. Se suelen proteger con diodos.

Líneas de transmisión. En líneas de transmisión incorrectamente adaptadas se producen reflexiones que, en el caso de circuitos digitales, se comportan como transitorios. También estas líneas son susceptibles de captar ruidos de diversa procedencia que se acoplan a ellas llevando la señal fuera del margen de funcionamiento. Algunas familias digitales incluyen clamp diodes para proteger las entradas de estos transitorios.

Figura 1. Muestra el comportamiento transitorio y permanente de un circuito RC simple

Para la solución debe tener en cuenta los siguientes tiempos en nuestro circuito de interés:

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_lineal

http://es.wikipedia.org/wiki/Circuito_el%C3%A9ctrico

http://es.wikipedia.org/wiki/Circuito_el%C3%A9ctrico

1. t<0 o t=0−¿¿: es el tiempo transcurrido antes de accionar el interruptor, se calcula desde −∞ a un instante antes de t=0 cuya respuesta obtenida es la condición inicial..

2. t=0: es cuando se abre y cierra el interruptor conectando y desconectando la red iniciando el análisis transitorio.

3. t>0 ot=¿: corresponde a un instante después det=0, a partir de este instante se hace el análisis con ecuaciones diferenciales.

Los distintos elementos que integran un circuito RLC son esencialmente la bobina, el resistor y el capacitor, en los cuales se comportan de distintas maneras de acuerdo con la tabla 1.

Elemento t=0 t=∞Sin condiciones

iniciales

Con condiciones

iniciales V1

V = 1

Tabla 1 Comportamiento de la bobina, la resistencia y el capacitor con y sin condiciones iniciales

Respuesta Forzada de Circuitos RLC.Calcular i (t ) suponiendo que el circuito ha permanecido conectado durante mucho tiempo de tal manera que ha alcanzado su estado permanente.

Figura 2 Circuito RLC en Respuesta ForzadaSolución

t<0 Condiciones iniciales

Figura 3 Circuito RLC en t<0

vC¿iL¿

t=0 Se acciona el switch

Figura 4 Circuito para t=0

iL (0 )=0 ---------- condición inicial

vC (0 )=0 ---------- condición inicial

i (0 )=0di (0 )dt

vL (0 )=L di (0 )dt

di (0 )dt

=vL (0 )L

Por LKVvR (0 )+vL (0 )+vC (0 )=EvL (0 )=E−vR (0 )−vC (0 )vL (0 )=E−Ri (0 )−0vL (0 )=E

di (0 )dt

=EL

t>0 Se establece la Ecuación Diferencial

Figura 5 Circuito para t>0Por LKV

vR ( t )+vL (t )+vC ( t )=EQue puede expresarse

Ri ( t )+ L di (t )dt

+ 1C∫ i ( t )dt=E

Ld2 i ( t )dt 2

+Rdi ( t )dt

+i ( t )C

=0

LD2i (t )+RDi (t )+ 1Ci (t )=0

Factorizando:

i (t )(LD2+RD+ 1C )=0

Entonces:

LD2+RD+ 1C

=0

Las raíces son

D1=−R2L

+√( R2L )2

− 1LC

D2=−R2L

−√( R2 L )2

− 1LC

D1=−α+√α 2−ω2β=√α 2−ω2

α= R2L

coeficiente deamortiguamiento

ω= 1

√LCfrec . natural

β=frec . de amortiguamiento

Casos:Caso Condición Tipo de raíces Tipo de sistema

1 ¿ Raíces Complejas Conjugadas.

Sistema Subamortiguado.

2 ¿ Raíces Reales Iguales. Sistema Críticamente Amortiguado.

3 ¿ Raíces Reales Diferentes. Sistema Amortiguado4 R=0 Raíces Puramente

ImaginariasSistema Oscilatorio.

Tabla 2 Casos para las Diferentes Raíces en Respuesta Forzada

Soluciones:1er Caso:D1=−α+ jβD2=−α− jβ

La solución propuesta es:

i (t )=k1 eD1 t+k2e

D2 t

i (t )=k1 e−(α− jβ )t+k2 e

−(α+ jβ ) t…….(a)Para calcular las k´s utilizar c.i.De c.i. i (0 )=0, entonces evaluando (a) en t=0

i (0 )=k 1e−(α− jβ )0+k 2e

−(α+ jβ )0…….(a)i (0 )=k 1+k2=0→k1=−k2Derivando (a)di ( t )dt

=−(α− jβ ) k1 e−(α− jβ )t−(α+ jβ ) k2e

−(α+ jβ ) t

Ahora derivando en t=0di (0 )dt

=−(α− jβ ) k1−(α+ jβ )k 2

Pero de c.i. di(0 )dt

=vL (0 )L

Entonces:

−(α− jβ ) k1−(α+ jβ ) k2=v L (0 )L

Pero k 1=−k2

(α− jβ ) k2−(α+ jβ ) k2=v L (0 )L

α k2− jβ k2−α k2− jβ k2=v L (0 )L

−2 jβ k 2=vL (0 )L

k 2=−vL (0 )2 jβL

→k1=vL (0 )2 jβL

Sustituyendo k 1 y k 2 en (a)

i (t )=v L (0 )2 jβL

e− (α− jβ ) t−v L (0 )2 jβL

e−(α + jβ )t

i (t )=v L (0 )2 jβL

e−αt e jβt−v L (0 )2 jβL

e−αt e− jβt

i (t )=v L (0 )2 jβL

e−αt (e jβt−e− jβt )

i (t )=vL (0 )βL

e−αt( e jβt−e− jβt

2 j )i (t )=

vL (0 )βL

e−αt sin (βt )amp .

→τ= 1α

=2 LR

2° Caso:Raíces reales iguales α 2=ω2

EntoncesD1=−αD2=−αLa solución propuesta:

i (t )=k1 eD1 t+k2e

D2 t

i (t )=k1 e−αt+k2 te

−αt……(a)Evaluando en t=0 para calcular las k´s

i (0 )=k 1e−α (0 )+k2(0)e

−α (0)

→k1=0Derivando (a)di (t )dt

=−α k1 e−αt−α k2 te

−αt+k2 e−αt

Ahora derivando en t=0

di (0 )dt

=−α k 1+k2


=vL (0 )L

−α k1+k2=vL (0 )L

Como k 1=0 entonces:

k 2=vL (0 )L

Sustituyendo k 1k2 en (a)

i (t )=vL (0 )L

t e−αt

3er Caso:D1=−α+βD2=−α−βLa solución propuesta es:

i (t )=k1 eD1 t+k2e

D2 t

i (t )=k1 e−(α−β ) t+k 2e

−(α+β) t…….(a)Para calcular las k´s utilizar c.i.De c.i. i (0 )=0, entonces evaluando (a) en t=0

i (0 )=k 1e−(α−β )0+k2 e

−(α+β )0…….(a)i (0 )=k 1+k2=0→k1=−k2Derivando (a)di (t )dt

=−(α−β ) k1 e−(α−β ) t−(α+ β ) k2 e

−(α +β ) t


=−(α−β ) k1−(α+β ) k2


=vL (0 )L

Entonces:

−(α−β ) k1−(α+β ) k2=v L (0 )L

Pero k 1=−k2

(α−β ) k2−(α+β ) k2=v L (0 )L

α k2−β k2−α k2−β k2=vL (0 )L

−2 βk 2=vL (0 )L

k 2=−vL (0 )2βL

→k1=v L (0 )2 βL


i (t )=vL (0 )2 βL

e−(α− β) t−vL (0 )2 βL

e−(α+β ) t

i (t )=vL (0 )2 βL

e−αt eβt−vL (0 )2βL

e−αt e−βt

i (t )=vL (0 )2 βL

e−αt (eβt−e− βt )

i (t )=vL (0 )βL

e−αt( e βt−e−βt

2 )i (t )=

vL (0 )βL

e−αt sinh (βt )amp .

4° Caso:D1= jβ

D2=− jβ


i (t )=k1 eD1 t+k2e

D2 t

i (t )=k1 ejβt+k2 e

− jβt…….(a)Para calcular las k´s utilizar c.i.De c.i. i (0 )=0, entonces evaluando (a) en t=0

i (0 )=k 1ejβ 0+k2e

− jβ 0……. (a)i (0 )=k 1+k2=0→k1=−k2Derivando (a)di (t )dt

= jβ k1ejβt− jβ k2 e

− jβt


= jβ k1− jβ k2


=vL (0 )L

Entonces:

jβ k1− jβ k2=v L (0 )L

Pero k 1=−k2

− jβ k2− jβ k2=v L (0 )L

−2 jβ k 2=vL (0 )L

k 2=−vL (0 )2 jβL

→k1=vL (0 )2 jβL


i (t )=v L (0 )2 jβL

e jβt−vL (0 )2 jβL

e− jβt

i (t )=v L (0 )2 jβL

(e jβt−e− jβt )

i (t )=vL (0 )βL ( e jβt−e− jβt

2 j )i (t )=

vL (0 )βL

sin (βt )amp .

Respuesta Libre de Circuitos RLC.Calcular i (t ) suponiendo que el circuito ha permanecido conectado durante mucho tiempo de tal manera que ha alcanzado su estado permanente.

Figura 6 Circuito RLC para Respuesta libre

Solución t<0 Se establecen las condiciones iniciales

Figura 7 Circuito para t<0vC¿iL¿

t=0 Se acciona el interruptor



vC (0 )=E ---------- condición inicial

i (0 )=0di (0 )dt

vL (0 )=L di (0 )dt

di (0 )dt

=vL (0 )L

Por LKVvR (0 )+vL (0 )+vC (0 )=0vL (0 )=−v R (0 )−vC (0 )vL (0 )=−Ri (0 )−EvL (0 )=−E

di (0 )dt

=−EL

t>0 Se establecen ecuaciones diferenciales

Figura 9 Circuito para t>0Por LKVvR ( t )+vL (t )+vC ( t )=0Que puede expresarse


+ 1C∫ i ( t )dt=0

Ld2 i ( t )dt 2

+Rdi ( t )dt

+i ( t )C

=0

LD2i (t )+RDi (t )+ 1Ci (t )=0

Factorizando:

i (t )(LD2+RD+ 1C )=0

Entonces:

LD2+RD+ 1C

=0

Las raíces son

D1=−R2L

+√( R2L )2

− 1LC

D2=−R2L

−√( R2 L )2

− 1LC

D1=−α+√α 2−ω2β=√α 2−ω2

α= R2L


ω= 1

√LCfrec . natural

β=frec . de amortiguamientoCasos:

Caso Condición Tipo de raíces Tipo de sistema1 ¿ Raíces Complejas

Conjugadas.Sistema

Subamortiguado.

2 ¿ Raíces Reales Iguales. Sistema Críticamente Amortiguado.

3 ¿ Raíces Reales Diferentes. Sistema Amortiguado4 R=0 Raíces Puramente

ImaginariasSistema Oscilatorio.

Tabla 3 Casos para las Diferentes Raíces en Respuesta Libre

Soluciones1er Caso:D1=−α+ jβD2=−α− jβ


i (t )=k1 eD1 t+k2e

D2 t

i (t )=k1 e−(α− jβ )t+k2 e

−(α+ jβ ) t…….(a)Para calcular las k´s utilizar c.i.De c.i. i (0 )=0, entonces evaluando (a) en t=0

i (0 )=k 1e−(α− jβ )0+k 2e

−(α+ jβ )0…….(a)i (0 )=k 1+k2=0→k1=−k2Derivando (a)di ( t )dt

=−(α− jβ ) k1 e−(α− jβ )t−(α+ jβ ) k2e

−(α+ jβ ) t


=−(α− jβ ) k1−(α+ jβ )k 2


=−vC (0 )L

Entonces:

−(α− jβ ) k1−(α+ jβ ) k2=−vC (0 )L

Pero k 1=−k2

(α− jβ ) k2−(α+ jβ ) k2=−vC (0 )L

α k2− jβ k2−α k2− jβ k2=−vC (0 )L

−2 jβ k 2=−vC (0 )L

k 2=vC (0 )2 jβL

→k1=−vC (0 )2 jβL


i (t )=−vC (0 )2 jβL

e−(α− jβ) t+vC (0 )2 jβL

e− (α+ jβ ) t

i (t )=−vC (0 )2 jβL

e−αt e jβt+vC (0 )2 jβ L

e−αt e− jβt

i (t )=−vC (0 )2 jβL

e−αt (e jβt−e− jβt )

i (t )=−vC (0 )βL

e−αt( e jβt−e− jβt

2 j )i (t )=

−vC (0 )βL

e−αt sin (βt )amp.

→τ= 1α

=2 LR


EntoncesD1=−αD2=−αLa solución propuesta:

i (t )=k1 eD1 t+k2e

D2 t



i (0 )=k 1e−α (0 )+k2(0)e

−α (0)



−αt+k2 e−αt


=−α k 1+k2


=−vC (0 )L

−α k1+k2=−vC (0 )L


k 2=−vC (0 )L


i (t )=−vC (0 )L

te−αt

3er Caso:D1=−α+βD2=−α−βLa solución propuesta es:

i (t )=k1 eD1 t+k2e

D2 t

i (t )=k1 e−(α−β ) t+k 2e

−(α+β) t…….(a)Para calcular las k´s utilizar c.i.De c.i. i (0 )=0, entonces evaluando (a) en t=0

i (0 )=k 1e−(α−β )0+k2 e

−(α+β )0…….(a)i (0 )=k 1+k2=0→k1=−k2Derivando (a)di (t )dt

=−(α−β ) k1 e−(α−β ) t−(α+ β ) k2 e

−(α +β ) t


=−(α−β ) k1−(α+β ) k2


=−vC (0 )L

Entonces:

−(α−β ) k1−(α+β ) k2=−vC (0 )L

Pero k 1=−k2

(α−β ) k2−(α+β ) k2=−vC (0 )L

α k2−β k2−α k2−β k2=−vC (0 )L

−2 βk 2=−vC (0 )L

k 2=vC (0 )2 βL

→k1=−vC (0 )2βL


i (t )=−vC (0 )2 βL

e−(α−β )t+vC (0 )2 βL

e−(α +β ) t

i (t )=−vC (0 )2 βL

e−αt eβt+vC (0 )2 βL

e−αt e− βt

i (t )=−vC (0 )2 βL

e−αt (e βt−e−βt )

i (t )=−vC (0 )βL

e−αt( e βt−e−βt

2 )i (t )=

−vC (0 )βL

e−αt sinh (βt )amp.

4° Caso:D1= jβ

D2=− jβ


i (t )=k1 eD1 t+k2e

D2 t

i (t )=k1 ejβt+k2 e

− jβt…….(a)Para calcular las k´s utilizar c.i.De c.i. i (0 )=0, entonces evaluando (a) en t=0

i (0 )=k 1ejβ 0+k2e

− jβ 0……. (a)i (0 )=k 1+k2=0→k1=−k2Derivando (a)di (t )dt

= jβ k1ejβt− jβ k2 e

− jβt


= jβ k1− jβ k2


=−vC (0 )L

Entonces:

jβ k1− jβ k2=−vC (0 )L

Pero k 1=−k2

− jβ k2− jβ k2=−vC (0 )L

−2 jβ k 2=−vC (0 )L

k 2=vC (0 )2 jβL

→k1=−vC (0 )2 jβL


i (t )=−vC (0 )2 jβL

e jβt+vC (0 )2 jβL

e− jβt

i (t )=−vC (0 )2 jβL

(e jβt−e− jβt )

i (t )=−vC (0 )βL ( e jβt−e− jβt

2 j )i (t )=

−vC (0 )βL

sin (βt )amp .

MEMORIA DE CÁLCULOSuponiendo que el circuito ha permanecido conectado durante mucho tiempo de tal manera que ha alcanzado su estado permanente, calcular en respuesta forzada del Voltaje en el capacitor para el caso 2 “Raíces reales iguales”

V15 V

R1

430Ω

C110µF

L1

1.5H

J1A

Tecla = A

Rint344Ω

Figura 10 Circuito RLC utilizado en Respuesta ForzadaSolución t<0 Condiciones iniciales

V15 V

R1

430Ω

C110µF

L1

1.5H

Rint344Ω

Figura 11 Circuito RLC en t<0

vC¿iL¿

t=0 Se acciona el switch

V15 V

R1

430Ω

J1A

Tecla = A

Rint344Ω




i (0 )=0di (0 )dt

vL (0 )=L di (0 )dt

di (0 )dt

=vL (0 )L

Por LKVvR (0 )+vL (0 )+vC (0 )=EvL (0 )=E−vR (0 )−vC (0 )vL (0 )=E−Ri (0 )−0vL (0 )=5

di (0 )dt

=EL= 51.5

=3.33

t>0 Se establece la Ecuación Diferencial

V15 V

R1

430Ω

C110µF

L1

1.5H

J1A

Tecla = A

Rint344Ω

Figura 13 Circuito para t>0Por LKV

vR ( t )+vL (t )+vC ( t )=EQue puede expresarse


+ 1C∫ i ( t )dt=E

Ld2 i ( t )dt 2

+Rdi ( t )dt

+i ( t )C

=0

LD2i (t )+RDi (t )+ 1Ci (t )=0

Factorizando:

i (t )(LD2+RD+ 1C )=0

Entonces:

LD2+RD+ 1C

=0

Las raíces son

D1=−R2L

+√( R2L )2

− 1LC

D2=−R2L

−√( R2 L )2

− 1LC

D1=−α+√α 2−ω2β=√α 2−ω2

α= R2L


ω= 1

√LCfrec . natural

β=frec . de amortiguamientoPara que se cumpla el caso 2

R2

¿¿

R=√ 4 LC −R∫¿→R=√ 4×1.5

10×10−6 −344→R=430Ω¿


EntoncesD1=−258D2=−258La solución propuesta:

i (t )=k1 eD1 t+k2e

D2 t



i (0 )=k 1e−α (0 )+k2(0)e

−α (0)



−αt+k2 e−αt


=−α k 1+k2


=vL (0 )L

−α k1+k2=vL (0 )L


k 2=vL (0 )L

→k2=3.33


i (t )=3.33 te−258t

V c (t)1c∫ 3.33 t e

−258t dt→= 3.33

10x 10−6∫ t e−258tdt

¿333000( t e−258 t−258−∫ e−258 t

−258dt)→=333000( t e

−258 t

−258− e−258 t

(−258 )2 )V c (t )=−1290.69-5e−258 t

Por LKVV c ( t )=5−1290 .69te−258 t-5e−258 t

Suponiendo que el circuito ha permanecido conectado durante mucho tiempo de tal manera que ha alcanzado su estado permanente, calcular en respuesta forzada del Voltaje en el capacitor para el caso 2 “Raíces reales iguales”

V15 V

R1

430Ω

Rint344Ω

J1

Key = Espacio

C110µF

L1

1.5H

V25 V


Solución t<0 Se establecen las condiciones iniciales

V25 V

R2

430Ω

Rint1344Ω

J2

Key = Espacio

Figura 15 Circuito para t<0vC¿iL¿

t=0 Se acciona el interruptor

V25 V

R2

430Ω

Rint1344Ω

J2

Key = Espacio

I1

0 A

V3

5 Vrms 0 Hz 0°




i (0 )=0di (0 )dt

vL (0 )=L di (0 )dt

di (0 )dt

=vL (0 )L

Por LKVvR (0 )+vL (0 )+vC (0 )=0vL (0 )=−v R (0 )−vC (0 )

vL (0 )=−Ri (0 )−EvL (0 )=−5

di (0 )dt

=−51.5

=−3.33

t>0 Se establecen ecuaciones diferenciales

R1

430Ω

Rint344Ω

J1

Key = Espacio

C110µF

L1

1.5H

Figura 17 Circuito para t>0Por LKVvR ( t )+vL (t )+vC ( t )=0Que puede expresarse


+ 1C∫ i ( t )dt=0

Ld2 i ( t )dt 2

+Rdi ( t )dt

+i ( t )C

=0

LD2i (t )+RDi ( t )+ 1Ci ( t )=0

Factorizando:

i (t )(LD2+RD+ 1C )=0

Entonces:

LD2+RD+ 1C

=0

Las raíces son

D1=−R2L

+√( R2L )2

− 1LC

D2=−R2L

−√( R2 L )2

− 1LC

D1=−α+√α 2−ω2β=√α 2−ω2

α= R2L


ω= 1

√LCfrec .natural

β=frec . de amortiguamientoPara que se cumpla el caso 2

R2

¿¿

R=√ 4 LC −R∫¿→R=√ 4×1.5

10×10−6 −344→R=430Ω¿


EntoncesD1=−258D2=−258La solución propuesta:

i (t )=k1 eD1 t+k2e

D2 t



i (0 )=k 1e−α (0 )+k2(0)e

−α (0)



−αt+k2 e−αt


=−α k 1+k2


=vL (0 )L

−α k1+k2=vL (0 )L


k 2=vL (0 )L

→k2=3.33


i (t )=3.33 te−258t

V c (t)1c∫−3.33 t e−258t dt→= −3.33

10 x10−6∫ t e−258t dt

¿−333000( t e−258 t−258−∫ e−258t

−258dt )→=−333000( t e

−258 t

−258− e−258 t

(−258 )2 )

V c ( t )=1290.69 t e−258 t + 5e−258 t

τ= 1D

= 1258

=3.875 x 10−3

T=10 τ=38.75x 10−3

f= 1T

= 1

38.75 x10−3=25.8Hz

A continuación se tabulan las unciones de voltaje para respuesta libre y forzada cada una para 5 τ y se grafican cada una de ellas

t[ms] V c ( t )=5−1290 .69te−258 t-5e−258 t

0 03.87 1.317.74 2.96

11.61 4.0015.48 4.5319.35 4.79

Tabla 4 Tabulación del Voltaje en el capacitor en respuesta Forzada

Figura 18. Grafica del comportamiento del capacitor en respuesta forzada

t[ms] V c (t )=1290.69te−258 t+¿5e−258 t

0 53.87 3.687.74 2.03

11.61 0.9915.48 0.4619.35 0.20

Tabla 5. Tabulación del Voltaje en el capacitor en respuesta Forzada

Figura 19. Grafica del comportamiento del capacitor en respuesta libre

SIMULACIONESCaso 2:

R=430 f=25.8Hz V c ( t )=1290.69 t e−258 t + 5e−258 t V c ( t )=5−1290 .69te−258 t-5e−258 t

Figura 20. Simulaciones en multisim y orcad para el caso 2

Time

0s 4ms 8ms 12ms 16ms 20ms 24ms 28ms 32ms 36ms 40msV(C1:1,0) V(V1:+)

0V

2.0V

4.0V

6.0V

(35.027m,496.830m)

(30.087m,1.3132)

(25.218m,2.9961)

(20.035m,4.8259)

(15.131m,4.5081)

(10.122m,3.6774)

(5.0091m,1.8541)

V1

0 V 5 V 20msec 40msec

L1

1.5H

R1

430Ω

Rint

344Ω

C110µF

XSC1

A B

Ext Trig+

+

_

_ + _

Caso 1: CRITICAMENTE SUBAMORTIGUADO

R<430 R=100 f=3.33 Hz


Caso 3: CRITICAMEUBAMORTIGUADOR>430 R=1k f=33.33 Hz

Time

0s 20ms 40ms 60ms 80ms 100ms 120ms 140ms 160ms 180ms 200ms 220ms 240ms 260ms 280ms 300msV(C1:1,0) V(R1:1,0)

-2.0V

0V

2.0V

4.0V

6.0V

V1

0 V 5 V 15msec 30msec

L1

1.5H

R1

1000Ω

Rint

344Ω

C110µF

XSC1

A B

Ext Trig+

+

_

_ + _


Caso 4: R=0

V1

0 V 5 V 0.02 sec 0.04 sec

L1

1.5H

R1

0Ω

Rint

344Ω

C110µF

XSC1

A B

Ext Trig+

+

_

_ + _

ObjetivoPrincipal:

Obtener el análisis del transitorio en un circuito RLC de una sola malla.

Particular: Obtener de manera teórica el Voltaje en el capacitor Vc (t) en respuesta libre por medio

de cálculos y simulaciones, así como de manera experimental. Obtener de manera teórica el Voltaje en el capacitor Vc (t) en respuesta forzada por

medio de cálculos y simulaciones, así como de manera experimental. Graficara el Vc (t) asi como la corriente en la malla i (t) para cada uno de los 4 casos

posibles en un circuito RLC.

MATERIAL Un resistor variable de 10 kΩ a ½ watt. Un capacitor de .1µF. Una Bobina de 1.5H y Rint=344. Tres puntas para osciloscopio. Cables caimán-caimán, banana-caimán. Protoboard. Un Generador de señales. Un Osciloscopio.

DesarrolloArmar en el protoboard el circuito mostrado en la figura alimentándolo con una fuente de pulso cuadrado de 0 a 5 V con una frecuencia de 25.8 Hz

V1

0 V 5 V 0.02 sec 0.04 sec

L1

1.5H

R1

430Ω

Rint

344Ω

C110µF

Figura 24. Circuito RLC a ensamblarMedir el voltaje en el capacitor en respuesta tanto libre como forzada colocando las puntas del osciloscopio como se muestra en la figura

Figura 25. Conexión del osciloscopio Dibujar la grafica del transitorio y obtener los diferentes voltajes en el capacitor para distintos instantes de tiempo

Figura 26. Voltaje del capacitor en los distintos instantes de tiempo

Comparar los valores obtenidos en la medición con los resultados teóricos y simulados que se anexan en la práctica.

Observaciones Cuando se empleo un capacitor cerámico de 0.1µF el caso no se cumplió pues la curva de

carga del capacitor se deformaba, por lo que se cambio a uno de valor menor y dicha curva empeoro, por esta razón el circuito volvió a modificarse poniendo un capacitor mayor, con un valor de 10 µF con lo cual se logro obtener a curva deseada.

Para ajustar el circuito correctamente se empleo un potenciómetro que nos permitió ajustar la resistencia deseada pues el valor obtenido no es un valor comercial

El valor de la resistencia debía ser total así que para medir la resistencia del circuito se midió la resistencia del potenciómetro en conjunto con la bobina.

Recomendaciones Conectar el circuito de manera correcta y cuidando que todo haga bien conexión pues un

falso no permite la correcta apreciación de la curva del capacitor Para una mejor medición conecte el capacitor directamente a la tierra y no entre los

componentes(en medio de la bobina y el resistor) pues de esta manera se mide de manera directa, de lo contrario se deberán restar los voltajes para obtener el del capacitor

Ajuste el potenciómetro lo más exacto posible al valor calculado para una mejor apreciación del fenómeno

Medir los voltajes en cada instante del tiempo por medio de los cursores.

Conclusiones La respuesta forzada es cuando se tiene un circuito sin fuentes, por lo que las condiciones

iniciales son 0 y al accionar el interruptor la bobina se comporta como circuito abierto y el capacitor como corto.

La respuesta libre es cuando se tiene un circuito con fuentes, por lo que las condiciones iniciales son distintas de 0 y al accionar el interruptor la bobina se comporta como fuente de corriente y el capacitor como fuente de voltaje, además el circuito queda libre de fuentes.

En un circuito RLC dependiendo las racices es el amortiguamiento de la señal.

Bibliografía Jiménez, Garza Ramos F., Análisis de Circuitos Eléctricos, Teoría y Problemas, Editorial

Limusa, México, D. F., 1995, 115-526 páginas. Benítez, Serrano I., Teoría de los Circuitos, Volumen III, Academia de Circuitos Eléctricos, ICE -

ESIME - Zacatenco, México, D. F., 2001, 227 páginas. Jiménez, Garza Ramos F., Introducción a la Síntesis de Circuitos Eléctricos, Editorial Limusa.

México, D.F., 1996, 255 páginas.

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