Trimester 1

Elektriciteit (deel 1)

Leerkracht: Jurgen Nijs Klassen: 5IW/5EM Trimester 1

Complexe ketensStroomkring anders bekeken.

In een stroomkring krijg je een evenwicht tussen de bronnen en de verbruikers. We zien dat in bovenstaand stroomschema de spanning over de weerstand overeenkomt met de spanning geleverd door de bron. Het enige verschil is dat de spanning over de weerstand tegengesteld is aan de spanning van de bron. Als we deze polariteit in rekening te brengen moeten we gebruik maken van een teken. Je moet eerst kiezen welke polariteit je positief neemt. Nemen we bijvoorbeeld wijzerzin positief, dan zal tegenwijzerzin negatief zijn. Omdat beide spanningen in grootte gelijk zijn maar tegengesteld krijg je dat: + =0

Wanneer we een serieschakeling van weerstanden bekijken dan wordt dit:

+

+

+

=0

Wanneer we dit evenwicht gaan verstoren door bijvoorbeeld een weerstand kort te sluiten dan zal er een nieuw evenwicht gezocht worden.

1

+

+ 0V + = +

=0

Als Ub constant blijft, dan moet UR1 en UR3 stijgen. Daardoor zal de stroom stijgen totdat

of

=

+

Je kan dit ook toepassen op een meer complexe serieschakeling

Je ziet haar dat een aantal spanningen in tegen-wijzerzin (UR1, UR2, UR3 maar ook Ub2)werken, en een aantal in wijzerzin (Ub1 en Ub3). Je krijgt dan: + + + + + =0

of

+

=0

Andere tegenwerkingen(Herhaling 4de jaar)

CondensatorIn het vierde jaar heb je gezien dat een condensator1 een elektrische component die elektrische lading en elektrische energie opslaat. De meest simpele condensator bestaan uit twee geleidende oppervlakken (1) die met twee geleiders (3) verbonden kunnen worden met de rest van de stroomkring. De twee platen zijn van elkaar gescheiden door een isolator, een dilektricum (2) De hoeveelheid lading (Q) per aangelegde spanning (U) heet de capaciteit van de condensator (C).

1

De naam is afgeleid van het latijn condensare: samenpersen, dus condensator = samenperser, wat betrekking heeft op de ladingen die samengeperst worden bij de polen (platen) van de condensator.

2

= De capaciteit is rechtevenredig met de grootte van de platen en omgekeerd evenredig met de afstand tussen de platen. C

~A ~ =

of

Deze constante is de permitiviteit2 . Je krijgt dan dat: =

In de praktijk laat het materiaal in de tussenruimte (het dilektricum) toch een kleine lekstroom door. Bovendien is er een bovengrens aan de sterkte van het elektrisch veld dat tussen de geleiders van een condensator kan worden aangelegd: de doorslagspanning. Vele elektrische componenten zoals kabels zijn onbedoeld tevens condensatoren met een zekere capaciteit.

Wanneer we een ongeladen condensator gaan aansluiten op een gelijkspanningsbron dan zal de stroom in eerste instantie de stroom niet beperkt worden (I zeer groot). De ladingQ op de condensator zal zeer sterk stijgen, immers =

waardoor de spanning over de condensator zeer snel zal stijgen = =

Permittiviteit (vroeger: dilektrische constante) is een fysische grootheid die beschrijft hoe een elektrisch veld een medium benvloedt en erdoor benvloed wordt.

2

3

en in zeer korte tijd zal UC gelijk zijn aan de bronspanning Ub. Let op, in tegenstelling tot weerstanden stelling zal op dit ogenblik de stroom stoppen met vloeien. Indien dit niet het geval zou zijn, zou Q blijven toenemen waardoor UC zal blijven stijgen, en UC groter wordt dan Ub. Laadcurve Gaan we de ladingen die per tijdseenheid vloeien beperken door het plaatsen van een grote beperken weerstand dan krijg je de typische laadcurve van een condensator.

Merk op dat de stroom i, en de spanningen uR en uC niet voorgesteld zijn met hoofdletters maar met , kleine letters. Dit is om aan te tonen dat deze grootheden niet constant blijven maar veranderen. Op elk ogenblik geldt =0

Men beschouwt de condensator als volledig opgeladen na een tijd van 5 keer de tijdsconstante 3.

3

De tijdconstante komt overeen met de tijd nodig om 63% van het nog te vervolledigen overgangsverschijnsel te volbrengen. l

4

Opdracht Teken met Excel twee grafieken voor een weerstand van 1 M in serie met een condensator van 60 F. Doe dit in stapjes van 0,5 s voor het tijdsinterval 0 s 300 s. Ontlaadcurve

Gaan we als de condensator volledig is opgeladen de bron uit de schakeling halen en de kring terug sluiten, dan krijgen we: 0 =0 =0

Meten we de spanning over de weerstand en over de In het begin zal de spanning geleverd door de condensator groot zijn omdat deze goed geladen is, maar geleidelijk aan zal de spanning dalen.4Spanning (V) 21 18 15 12 9 6 3 0 -3 0 -6 -9 -12 -15 -18 -21

tijd (s) 50 100 150 200 250 300

Spanning condensator

spanning weerstand

Grafiek geld voor een condensator van 60F in serie met een weerstand van 1 M aangesloten op een bron van 20 V

4

5

In bijlage A op Smartschool wordt aangetoond dat: artschool Laden = Ontladen 1

Vervangingscapaciteit Serieschakeling van condensators schakeling

Parallelschakeling van condensators

C1

C2

C3

1

1

1

1

C1

C2

C3

Opgeslagen energie De energie in Joule van de opgeladen condensator is te berekenen met de definitie van span spanning als energie per lading (1V = 1J/1C). Energie is dan spanning maal lading. De energie op de condensator met lading Q is gelijk aan de totale energie die nodig is om de condensator vanaf q = 0 tot q = Q op te laden. Omdat de spanning en de lading niet constant zijn kan ik niet gewoon de eindlading constant vermenigvuldigen met de eindspanning. We plotten daarom uc = f(q)5

5

Grafiek geld voor een condensator van 60F aangesloten op een bron van 20 V

6

De richtingscofficint van deze rechte komt overeen met , terwijl het oppervlakte onder deze grafiek komt overeen met de arbeid nodig om deze condensator van nul op te laden en is dus ook een maat is voor de opgeslagen energie. = = 1 2

SpoelEen spoel is een elektrische component bestaande uit geleidende wikkelingen, meestal van koperdraad, op een spoelvorm (meestal van kunststof) waarin zich al dan niet een magnetiseerbare (weekijzeren) kern bevindt, die wel of niet beweegbaar is. rsted (Oersted) heeft aangetaand dat wanneer een elektrische stroom door een draad heen loopt rsted er een magnetisch veld wordt opgewekt. De richting van dit magnetisch veld kan je bepalen m.b.v. een gekend magneet of met de rechterhandgreep.

Als de draad op een buis gewikkeld wordt, dan wordt het magnetische veld gebundeld en krijgt het gebundeld een richting. Als er in de buis een magnetiseerbaar materiaal (weekijzer, ferriet) wordt geplaatst, dan wordt de bundeling van het opgewekte magnetisme sterk vergroot.

Omgekeerd zal de spoel een veranderlijk magnetisch veld omzetten in een veranderlijke elektrische omzetten spanning. Flux Bij een spoel met een ferromagnetische kern kan men met de wet van Hopkinson de flux die door de spoel wordt opgewekt berekenen.

7

met:

= : magnetisch motorische kracht of de magnetische bronspanning o : aantal windingen o : stroom =

: Reluctantie of magnetische weerstand

o o o

: gemiddelde lengte van de magnetische kern : magnetische permeabiliteit : de oppervlakte van het kernmateriaal loodrecht op de flux-richting

Zelfinductie Als een geleider zich in een veranderend magnetisch veld bevindt, wordt in die geleider een inductiespanning opgewekt. Heeft deze inductiespanning een inductiestroom tot gevolg, dan wordt de energie hiervoor onttrokken aan het magnetische veld. Is het betreffende magnetische veld afkomstig van de geleider zlf, dan spreken we van zelfinductie. De voor de inductiestroom benodigde energie wordt nu onttrokken aan de stroom in de geleider zelf. Deze stroom zal daardoor kleiner zijn dan op grond van de 'ohmse' weerstand van het materiaal verwacht kon worden. Bij een gelijkstroom zal zelfinductie plaatsvinden bij het sluiten en openen van de kring, of wanneer we bijvoorbeeld de spanning gaan wijzigen. De opgewekte inductiespanning kan berekend worden met: = of =

Het min-teken duidt erop dat de inductiespanning de bestaansoorzaak tegenwerkt, met andere woorden, dit is een tegenwerking. In tegenstelling tot het laden en ontladen van een condensator is deze tegenwerking van zeer korte duur. Eenmaal dit overgangverschijnsel voorbij, zal de tegenwerking van de spoel enkel bestaan uit de ohmse weerstand van de draad waarmee de spoel gemaakt is en wordt volledig bepaald door de wet van Pouillet: = met : soortelijke weerstand of resistiviteit van het materiaal : lengte van de draad : doorsnede van de draad

Het overgangsverschijnsel neemt een tijd van 5 in beslag met = . De stroom die na dit overgangsverschijnsel vloeit en die enkel bepaald wordt door de ohmse weerstand noemt de regimestroom. Omdat de tijdsconstante bij een TL veel kleiner is dan de tijdsconstante bij een RC, zal dit overgangsverschijnsel slechts zeer kort duren.

8

Net zoals bij de condensator kunnen we hier i = f(t), uL = f(t) en uR f(t). Deze zijn echter nog moeilijker af te leiden dan bij de RC-keten. Ter volledigheid wordt deze wel gegeven in bijlage B op Smartschool. Onderstaande grafieken tonen het overgangsverschijnsel wanneer een spoel van 50 mH in serie met een weerstand van 10 geschakeld wordt over een bron van 100 V.

Bij het uitschakelen van de bron krijgen we

Opgeslagen energie Uit de elektriciteit weten we dat = . en uit de fysica dat

= = .

Deze formule zijn enkel maar geldig als het vermogen, en dus het product van de spanning en de stroom, .constant is. Tijdens het overgangsverschijnsel is dit niet het geval en moet ik schrijven = . We gaan de energie in kleine stapjes moeten berekenen en dan de som maken van al deze kleine energien. Wiskundig doen we dit met een integraal. Meer uitleg over integralen krijg je wel later in de wiskunde = Voor de energie wordt dit = = =

=

9

Wetten van KirchhoffTopologie van een netwerk Tak: serieschakeling van bronnen en weerstanden (tussen twee knopen) (gele stippellijn)6 Knooppunt: punt waar ten minste 3 takken samenkomen (zwarte bolletjes) Maas : gebied tussen takken (blauwe lijn) Hoofdlus: gesloten pad van takken die een maas omringen (groene gestippelde lijn)

Stroomwet van KirchhoffIn een knooppunt is de som van de stromen nul. =0

+ + +

+ =0

=

+

Spanningswet van KirchhoffIn een lus is de som van alle spanningverschillen nul = 0

6

Voor de kleuren kan je de digitale versie op Smartschool bekijken.

10

I: II: III:

=0 U U U 0 U U +U U U = 0 U1 = 20 V U2 = 30 V R1 = 20 R2 = 60 R3 = 50 R4 = 10 R5 = 30

Oplossingsmethode

1. Duid in elke tak een vermoedelijke stroomzin aan. Zorg er wel voor dat er in elk knoop telkens minstens in 1 tak stroom richting knoop vloeit en in minstens 1 tak stroom weg van de knoopvloeit. 2. Benoem deze stromen en stel de vergelijkingen op in de knopen m.b.v. de eerste wet van Kirchoff I. I1 I2 I3 = 0 II. I3 I4 I5 = 0

I1

I3 I2

I4

I5

3. Duid over elke tegenwerking de zin (polariteit) van de spanning over deze tegenwerking. De spanning over elke tegenwerking kan berekend worden met de wet van Ohm. = +

+ +12

+

+

4. Stel m.b.v. de tweede wet van Kirchoff de vergelijkingen op voor de verschillende lussen. I. U1 R1 R2 U1: 20 6.I1 12 . I2 = 0 II. U1 R1 R3 R4 U1: 20 6.I1 4 . I3 3. I4 = 0 III. U1 R1 R3 R5 U2 U1: 20 6.I1 4 . I3 6. I5 18= 0 IV. U2 R5 R4 U2: 18 + 6.I5 3 . I4 = 0 V. U2 R5 R3 R2 U2: 18 + 6.I5 + 4. I3 12 . I2 = 0

12

11

5. Vergelijkingen kiezen (met ingevulde gekende waarden en gerangschikt volgens oplopende index) I. I1 I2 I3 = 0 II. I3 I4 I5 = 0 III. 6.I1 + 12 . I2 = 20 IV. 6.I1 + 4 . I3 + 3. I4 = 20 V. 6.I1 + 4 . I3 + 6. I5 = 2 VI. 3.I4 6 . I5 = 18 VII. 12.I2 4 I3 6 . I5 = 18

6. Oplossen stelsel

= , Opmerking: Het min-teken bij I5 betekent dat de stroom niet in de zin gaat zoals door ons aangeduid maar in de tegenovergestelde zin.

=0 =0 6 + 12 = 20 6 +4 +6 =2 3 6 = 18

= = =

= 1,6, ,

,

OefeningenBereken de stroom door elke weerstand en geleverd door de bron indien: U = 576 V R1 = 8 R2 = 24 R3 = 10 R4 = 12 R5 = 6 Oplossing:I1= 27 A; I3= 12 A; I5= 40 A; I2= 15 A; I4=28 A; Itot = 55 A

Bereken de stroom door elke weerstand: U1 = 108 V U2 = 48 V R1 = 6 R2 = 4 R3 = 12 Oplossing: I1= 14,6 A; I2= 16,9 A en I3= 2,31 A

12

Bereken de stroom door elke weerstand en geleverd door de bron indien: U1 = U2 = U3 =10 V R1 = R2 = R2 = 10

Bereken de stroom door elke weerstand en geleverd door de bron indien: U1 = 4 V U2 = 8 V R1 = 4 R2 = 6 R3 = 8 Bereken wat we op de volt- en ampre-meter zullen aflezen als U1 = 3 V, U2 = 3 V, UR1 = UR2 = 6 V en UR3 = 3 V. Wat voor een element zal het onbekende component zijn: een weerstand of een bron? Welk vermogen zal het onbekende ontwikkelen?

+Oplossing: 6 V; 7 A; weerstand; 42 W

+

Componenten A t/m F kunnen zowel bronnen als weerstanden zijn. Bepaal het vermogen geleverd door component B en het vermogen ontvangen door component F.

Oplossing: (-)18 W; 70 W

13

WisselstroomInleidingEen wisselspanning (of wisselstroom) is een spanning (of stroom) die in functie van de tijd varieert. Meestal spreken we van wisselstroom (spanning) slechts als de variatie zo snel gebeurt dat de optredende verschijnselen niet meer volledig op gelijkspanningsgebied kunnen beschreven worden. Voor traag varierende signalen volstaat een studie op gelijkstroomgebied. De in dit hoofdstuk bestudeerde signalen zijn periodieke signalen : het verloop van spanning of stroom in functie van de tijd is periodiek. In dit onderdeel van de cursus beperken we ons tot sinusodale spanningen en stromen. Dit zijn stromen die voldoen aan volgende functievoorschriften: hierbij is: u(t) en i(t) zijn de momentele waardes. Um en Im de maximale afwijking t.o.v. de nulwaarde die deze functies kunnen bereiken. Dit wordt de amplitude genoemd. f is de frequentie van de wisselspanning/stroom. De frequentie van een periodieke stroom of spanning is het aantal cycli dat per seconde doorlopen worden. = 0 is de hoek die in de sinus-functie wordt ingevoerd worden zodat op t=0 s sin = 0 = Enkele zeer specifieke gevallen van 0 zijn in onderstaande tabel gegeven. = = 2 2 + +

00V + 0 of 180 90 270

Periode (T)Onder n periode verstaan we de tijdsduur (in seconden) tussen twee opeenvolgende tijdstippen waarop de spanning (of stroom) op dezelfde wijze door nul gaat, of op dezelfde wijze een minimale of maximale waarde bereikt. Bij een periodiek signaal herhaalt het verloop van spanning of stroom in functie van de tijd zich dus in elke periode.

14

De relatie tussen de periode (T) en de frequentie (f) is: = = + 1

Je kan de momentele waarde dan ook berekenen met: = +

Top-top waarde (Utt of Upp)De top-top waarde is het verschil tussen de maximale (+Um)en de minimale waarde die een spanning/stroom kan bereiken. =2

Het vector- of wijzerdiagramEen wisselstroomgrootheid kan men door een draaiende vector voorstellen. Een vector is een lijnstuk met een lengte, een richting en een zin. Voor de lengte van de vector nemen we Um of Im. We laten deze vector nu roteren met een hoeksnelheid tegen de wijzers van de klok in.

Om duidelijk aan te geven dat stroom en spanning vectorieel moeten beschouwd worden, gebruiken we I enU. Indien twee vectoren met dezelfde snelheid en dezelfde richting ronddraaien, zullen ze ten opzichte van elkaar niet van stand veranderen. We kunnen ze samen voorstellen in een vectordiagram.

15

Eenfasige wisselstroomkringenJe weet ondertussen dat er bij wisselspanningen drie soorten componenten zijn die zich elk op een andere manier gedragen: weerstanden, spoelen en condensatoren. We herhalen even de drie componenten los van elkaar.

Enkelvoudige ketens.Enkelvoudige ketens zijn ketens met slechts n component in de kring. Ideale weerstand, ideale spoel en ideale condensator. Een ideale weerstand heeft geen cofficint van zelfinductie L en bezit ook geen capaciteit C. Een ideale spoel heeft geen ohmse weerstandswaarde R en bezit ook geen capaciteit C. Een ideale capaciteit heeft geen ohmse weerstand R en heeft ook geen cofficint van zelfinductie L. Ideale weerstand In een weerstand wordt elektrische energie omgezet in warmte; een bekend voorbeeld hiervan is de weerstand in een straalkacheltje. Bij dit component is het spanningsverschil tussen beide uiteinden van de weerstand op elke ogenblik evenredig met de stroom door de weerstand: = . = = =

=

=

0 =

+0 =

Het enige verband tussen de spanning en de stroom die we kennen is de wet van Ohm.

of =

=

sin

Bij functieonderzoek blijkt dat er geen faseverschuiving plaatsvindt bij een zuivere weerstand. We zeggen dat bij een weerstand is de spanning over en de stroom door de weerstand in fase.

16

Stroom Spanning

Stroom/spanningsvectordiagram

De zuiver inductieve ketenUit het voorgaande weten we reeds dat :

i = I m sin ( t )eL = L i t

Als door de keten een sinusvormige stroom i = I m sin ( t ) vloeit, dan zal in de spoel een spanning

eL = L

i genduceerd worden. t

Hoe zal de genduceerde spanning veranderen in functie van de tijd? De verhouding

i is eigenlijk de richtingscofficint van de grafiek. Grafisch kunnen we dit t

voorstellen door de raaklijnen te tekenen in de punten waarin we de richtingscofficint willen weten (pijlen).

17

6,0

4,0

2,0

i(A)

0,0 0,00

i (A)

0,25

0,50

0,75

1,00

-2,0

-4,0

-6,0t(T)

We zien zo onmiddellijk dat de richtingscofficient het grootste is (in absolute waarde) op het moment van de nuldoorgang en dat de richtingscofficient nul is op het moment dat i door een maximum of minimum gaat.

t 0T 0,25T 0,25 T 0,25 T 0,5T 0,5 T 0,5T 0,75T 0,75 T 0,75T 1T 1T 0T

i tMaximaal, stijgend + Max Stijgend + 0 Dalend Maximaal, dalend Max Dalend 0 Stijgend + Maximaal, stijgend + Max

eL = L Max 0 + + Max + 0 Max

i t

De juiste curve kan berekend worden met Excel door telkens voor een zeer klein tijdsinterval (bijv. 0,02 . T) de verhouding

i i en eL = L te berekenen. In onderstaande grafiek kan je de t t

ogenblikkelijke stroom en genduceerde spanning zien*

In excel wordt de berekening gedaan met een stroomamplitude van 5A en een zelfinductiecofficient L van 5 H. De blokjes op de grafiek zijn de berekende waarden waartussen de best passende curve getekend wordt.

*

18

6,0

250

200

4,0150

100

2,050 i(A)

0,0 0,00

0

0,25

0,50

0,75

1,00-50

-2,0-100

-150

-4,0-200

-6,0t(T) i (A) Genduceerde spanning

-250

Aangezien de spoel geen weerstand heeft, is de zelfinductiespanning de enige tegenwerking. Die zelfinductiespanning moet door de aangelegde spanning u worden overwonnen; dus

u = eL = U m sin(t + ) 2met U m = ELm = I m L of I m =

Um . L U L250

Voor de effectieve waarden wordt dit I =

6,0

200

4,0150

100

2,050 i(A)

0,0 0,00

0

0,25

0,50

0,75

1,00-50

-2,0-100

-150

-4,0-200

-6,0t(T) i (A) Genduceerde spanning Bronspanning

-250

Hierin zien we dat de stroom 90 naijlt op de spanning

19

In een vectordiagram kunnen we dit op de volgende manier voorstellen : We nemen de aangelegde spanning als referentie, en leggen deze referentiespanning op de horizontale (reele) as. De stroom ijlt 90 na.

Voor een ideale spoel is de totale impedantie Z gelijk aan de inductantie.

Z = X L = L90I = U = 90 ( L90 ) 2 fL

(U 0 )

De zuiver capacitieve ketenUit het voorgaande weten we reeds dat :

u = U m .sin (t )

q = I .t (Wet van Coulomb)Indien we een zeer korte tijdsspanne t nemen dan kan men zeggen dat

i=

q t

20

Combineren we dit met q = C.u dan krijgen we

i=

q t C.u = t

i = C.

u t

We gaan het onderzoek naar de grafiek van i = f(t) op dezelfde manier doen als bij de inductieve keten.

u (V)6,00

4,00

2,00

0,00 0,00 -2,00

t (T)0,25 0,50 0,75 1,00

-4,00

-6,00

Bronspanning

t 0T 0T 0,25T 0,25 T 0,25 T 0,5T 0,5 T 0,5T 0,75T 0,75 T 0,75T 1T 1T

i tMaximaal, stijgend + Max Stijgend + 0 Dalend Maximaal, dalend Max Dalend 0 Stijgend + Maximaal, stijgend + Max

i = C.+ Max + 0 Max 0 + +Max

u t

21

We weten nu reeds waar de functie door een maximum en een minimum zal gaan, en waar de functie zal stijgen en waar ze zal dalen maar m.b.v. Excel kunnen we net als de vorige keer aantonen dat het verloop lijkt op een sinus curve.

u (V)6,00

i (A)0,20 0,15

4,000,10

2,000,05

0,00 0,00 -2,00

t (T)0,25 0,50 0,75

0,00 -0,05 -0,10

1,00

-4,00-0,15

-6,00

-0,20

Bronspanning

Stroomsterkte

We zien dat de stroom eerst door een maximum terwijl de spanning dat een kwart periode later doet. (een kwart periode 902

). We zeggen dat de stroom 90 (of

2

) voorijlt.

Zo krijgen we als uitdrukking voor de ogenblikkelijke spanning i = I m .sin t +

2

I m = .C.U m =

Um 1 C

Of

I = .C.U =

U (voor de effectieve waarden) 1 C

waarin X c =

1 zodat C

22

In een vectordiagram kunnen we dit op de volgende manier voorstellen : We nemen de aangelegde spanning als referentie, en leggen deze referentiespanning op de horizontale (reele) as. De stroom ijlt 90 voor.

Voor een ideale condensator is de totale impedantie Z gelijk aan de capacitantie. In bijlage C vind je een overzicht van alle belangrijke eigenschappen van de zuivere componenten. Praktische spoel, praktische condensator In realiteit komt alleen een ideale weerstand voor. Een spoel bestaat uit een aantal windingen draad. Die draad heeft een bepaalde ohmse weerstand. Een echte of praktische spoel bestaat uit een inductantie en een ohmse weerstand.

Een ideale condensator bestaat ook niet omdat het dielectricum geen volkomen isolator is en een zeer kleine stroom doorlaat. Daardoor wordt bij de berekening een praktische condensator voorgesteld door een ideale condensator met een ohmse weerstand.

23

SerieketensRC-serieketen Stroomschema Algemene eigenschappen Stromen zijn gelijk = = (gelijke grootte, gelijke richting, gelijke zin)

Spanningen verdeling zich = + Totale impedantie (wisselstroomtegenwerking) is gelijk aan de som van de deelimpedanties = +

(R: weerstand; XC: capacitieve reactantie of capacitantie; Z: impedantie) Stroom/spanning vectordiagram

= = cos = cos = sin = tan

=

+

Impedantiedriehoek

=

=

+0 =

+ 0 +

=

= cos = cos = sin = tan

24

RL-serieketen Stroomschema Algemene eigenschappen Stromen zijn gelijk = = (gelijke grootte, gelijke richting, gelijke zin)

Spanningen verdeling zich = + Totale impedantie (wisselstroomtegenwerking) is gelijk aan de som van de deelimpedanties = +

(R: weerstand; XL: inductieve reactantie of capacitantie; Z: impedantie) Stroom/spanning vectordiagram = = cos = cos = sin = tan Impedantiedriehoek = +0 = + 0+ + = = +

=

= cos = cos = sin = tan

25

RLC-serieketen Stroomschema Algemene eigenschappen Stromen zijn gelijk = = = (gelijke grootte, gelijke richting, gelijke zin)

Spanningen verdeling zich = + + Totale impedantie (wisselstroomtegenwerking) is gelijk aan de som van de deelimpedanties = + +

Stroom/spanning vectordiagram Tekening aanpassen

Bepalen verticale component: = = cos = sin = tan = +

=

Impedantiedriehoek

=

=

+0 =

+ 0+ = + +

+ 0 =

Met X = verticale component: Met X = verticale component: = cos = sin = tan =

=

Resulterende vectors = en o > 0 o Stroom naijlend op de spanning o Inductieve keten

>

en

>

liggen in het eerste kwadrant.

26

Resulterende vectors = en = o < 0 o Stroom voorijlend op de spanning o Capacitieve keten = en = Resulterende vectors = en o = 0 o Stroom in fase met de spanning o Resistieve keten (ohmse keten) =

(of < ) en > = liggen in het vierde kwadrant.

=

> 0 en

ligt in het eerste kwadrant

Resulterende vectors = en = o > 0 o Stroom voorijlend op de spanning o Capacitieve keten Resulterende vectors = en o = 0 o Stroom in fase met de spanning o Resistieve keten (ohmse keten) o = met = en = o = (of = met ) en = en = = =

liggen in het eerste kwadrant.

< 0 en

ligt in het vierde kwadrant

liggen in horizontaal.

=

resonantie = 0 en ligt horizontaal

OefeningenOefening 1 Bereken de totale stroom en de stroom door ieder component en de totale impedantie onderstaande parallelschakelingen. a) b) c) d) R = 30 ; C = 26,5 F; Ub = 20 V; f= 100 Hz R = 30 ; L = 31,8 mH; Ub = 20 V; f= 100 Hz R = 30 ; C = 26,5 F; L=31,8mH; Ub = 20 V; f= 100 Hz R = 100 ; C = 79,6 F; L=31,8mH; Ub = 100 V; f= 100 Hz voor

33

Oefening 2 De stroom door een weerstand geschakeld over een bron van 20 V / 50 Hz wordt gemeten. Men meet 4 A. Wanneer met over deze weerstand een spoel schakelt, dan zakt de totale stroom tot 2A. Wanneer men parallel over deze weerstand en spoel een condensator plaatst stijgt de stroom terug tot 4 A. Bereken R, L en C.

34

Vermogens bij wisselstroomketensBij de gelijkstroomtheorie hebben we gezegd dat het vermogen gelijk is aan het product van de spanning en de stroom. P = U.I We konden dit zeggen omdat zowel U als I constant is. Bij wisselstromen is dit niet het geval. Hierbij zal zowel u als i een sinusfunctie volgen. Nemen we n van beide grootheden als referentie (d.w.z. op t = 0 is deze grootheid 0) dan krijgen we bijvoorbeeld u = Um sin(t) i = Im sin(t+)

We kunnen dan het ogenblikkelijk vermogen gaan berekenen p=u.i = Um sin(t) Im sin(t+) We kunnen hierop een heel deel wiskunde gaan toepassen en gaan deze vergelijking gaan vereenvoudigen en een functieonderzoek hierop gaan uitvoeren. Gemakkelijker is echter om gewoon gebruik te maken van ons GRM of ons elektronisch rekenblad en dat we even gaan kijken hoe deze functie verloopt. We zullen dit eerst doen voor enkelvoudige ketens, en dan gebruik maken van deze kennis gaan zien hoe de functie verloopt bij samengestelde ketens.

Resistieve ketenBij een resistieve keten is de faseverschuiving = 0. De vergelijkingen voor de ogenblikkelijke spanning en stroom worden dan ook u = Um sin(t) i = Im sin(t)

Als voorbeeld nemen we een Um van 5V en een Im van 2,5A (d.w.z. Z=R = 2 )

Maken we een grafiek die u, i en p geven in functie van de tijd dan krijgen we:

35

14 12 10 8 6 4 2 0 -2 0 -4 -6 T u i p 0,2 0,4 0,6 0,8 1

We merken hierbij op dat de p-curve volledig in het positieve gedeelte van de grafiek ligt. Wanneer we het gemiddeld vermogen gaan berekenen dan krijgen we in dit geval dat in geval gelijk is aan 6,25 W. We kunnen aantonen dat voor een resistieve keten

UmIm 2 U I = m m 2 2 P =U I P=

Capacitieve ketenBij een capacitieve keten is de faseverschuiving = 90. (I ijlt 90 voor op U) De vergelijkingen voor de ogenblikkelijke spanning en stroom worden dan ook u = Um sin(t) i = Im sin(t+/2)

Als voorbeeld nemen we weer Um van 5V en een Im van 2,5A (d.w.z. Z=XC = 2 ) Maken we een grafiek die u, i en p geven in functie van de tijd dan krijgen we:

36

8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 T u i p 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

We merken hierbij op dat de p-curve symmetrisch ligt t.o.v. de t-as (X-as) Wanneer we het gemiddeld vermogen gaan berekenen dan krijgen we dat dit 0 W is. Tijdens het eerste kwart van een cyclus gaat deze keten energie stockeren, en deze terug vrij geven gedurende het tweede kwart van de cyclus. Dit herhaalt zich nog een keer tijdens de tweede helft van de cyclus. Een zuivere capacitieve keten gaat dus geen arbeid verrichten (en dus gemiddeld ook geen vermogen opnemen): We kunnen dus zeggen dat voor elke zuivere capacitieve keten P = 0W

Capacitieve ketenBij een capacitieve keten is de faseverschuiving = 90. (I ijlt 90 na op U) De vergelijkingen voor de ogenblikkelijke spanning en stroom worden dan ook u = Um sin(t) i = Im sin(t-/2)

Als voorbeeld nemen we weer Um van 5V en een Im van 2,5A (d.w.z. Z=XL = 2 ) Maken we een grafiek die u, i en p geven in functie van de tijd dan krijgen we:

37

8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 T u i p 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

We merken hierbij op dat de p-curve terug symmetrisch ligt t.o.v. de t-as (X-as), het gemiddeld vermogen is dus weer 0W. Een zuivere inductieve keten gaat dus geen arbeid verrichten (en dus gemiddeld ook geen vermogen opnemen): We kunnen dus zeggen dat voor elke zuivere inductieve keten P = 0W

Samengestelde ketenDe meeste ketens kunnen herleid worden tot hun vervangingsimpedantie. Deze Z kan capacitieve, inductief of resistief zijn. Keten Impedantiedriehoek Capacitief R Z XC Resistief Z=R Inductief Z R XL

Kan voorgesteld worden door.. Spanning over de componenten

Condensator XC en weerstand in serie

Weerstand

Spoel XL en weerstand in serie.

Condensator: Weerstand: Spoel: UX = UC = U sin UR = U cos = U UX = UL = U sin Weerstand: Weerstand: UR = U cos UR = U cos Het vormogen geleverd door de bron is de som van de opgenomen vermogens. (Ik kan elke component bekijken als een zuivere weerstand, spoel of condensator met een bepaalde spannign en stroom zuivere ketens)

38

Laten we elke component individueel bekijken: Weerstand: Spanning: UR = U cos Stroom: I Vermogen: P = UR.I = U. I. cos Reactantie: Spanning: UX = U sin Stroom: I Vermogen: P = 0 W Gestockeerd vermogen: UX.I = U. I. sin Bron: Spanning: U Stroom: I De bron levert schijnbaar een vermogen van U.I maar in werkelijkheid wordt er slechts een vermogen U.I.cos opgenomen. Schijnbaar vermogen: S = U.I Actief vermogen: P = U.I.cos Reactief vermogen: Q = U.I.sin reactief vermogen Q = U.I.sin

ArbeidsfactorDefinitie De arbeidsfactor is de verhouding tussen het actief vermogen en het schijnbaar geleverde vermogen.

arbeidsfactor =

actief vermogen P = = cos schijnbaar vermogen S

Het getal dat de arbeidsfactor aangeeft, zal dus variren tussen 0 en 1. cos = 0 cos = 1 = 90 = 0 zuiver inductieve of capacitieve keten zuiver resistieve (ohmse) keten

Alle tussenliggende waarden zijn mogelijk naar gelang de samenstelling van de belastingsketen m.a.w. de arbeidsfactor wordt bepaald door de aangesloten verbruikers. Invloed van de arbeidsfactor op de stroomsterkte Stel dat we in een verbruiker een vermogen van 10kW moeten ontwikkelen bij een spanning van 200 V.

39

Bereken de opgenomen stroomsterkte indien dat moet gebeuren met een arbeidsfactor van respectievelijk 1; 0,8; 0,7 en 0,5.

I1 = Iactief U Met: Ir2 reactieve stroom van I2 Ir3 reactieve stroom van I3 Ir4 reactieve stroom van I4

Ir2 Ir3

I2 I3

Ir4

I4

Uit de resultaten en de vectorile voorstelling ervan blijkt duidelijk dat bij een kleiner wordende arbeidsfacotr de stroomsterkte die nodig is om een bepaald actief vermogen onder constante spanning te leveren, snel toeneemt. De actieve component is in elk geval gelijk (P = Iactief. U), terwijl vij afname van de arbeidsfactor de blinde of reactieve component sterk toeneemt. Het praktisch gevolg is dat de doorsnede van de leiidng voor het leveren van een bepaald actief vermogen zal toenemen vij kleiner wordende arbeidsfactor. Vandaar dat men in de praktijk tracht de arbeidsfactor van het net zo groot mogelijk te krijgen door hem met hulpmiddelen te verbeteren. De arbeidsfactor van het toestel en de stroomsterkte die het toestel opneemt, kunnen we echter niet wijzigen omdat die eigen zijn aan de verbruiker. Invloed van de arbeidsfactor op het vermogen dat de stroomleverancier moet leveren. Het actief vermogen dat de stroomleverancier ter beschikking kan stellen daalt met de waarde van de arbeidsfactor van de verbruiker.

Verbetering van de cos De meeste praktische schakelingen hebben een inductief karakter. De cos verbeteren gebeurt dan ook meestal door condensatoren parallel met de belasting te schakelen.

40

In het vectordiagram zien we dat IC = IZ sin - IZ cos . tg = Iz (sin - cos . tg ) = Ub . C

Hieruit berekenen we C =

sin

cos

tan

waarin de (gewenste) hoek is na de cos verbetering. Het terugbrengen van deze hoek tot een zeer kleine waarde is economisch niet rendabel. Er moet dus een compromis gesloten worden tussen stijgende kosten voor verdere verbetering en dalende uitbatingskosten bij verbeterde cos. Indien enkel het vermogen en de cos van de verbruiker ( te meten met W en cos meter) en de spanning van het net gekend zijn, kan de te plaatsen condensator ook berekend worden uit :

41

OefeningenOefening 1 Een smoorsoel met weerstand R=1 en een zelfinductiecoefficient L=0,02H wordt aan een sinusvormige spanning van 80V, 40Hz gelegd. Bereken P, Q en S. Wanneer is de spannning over de weerstand van 20 maximaal ? Hoe groot is deze spanning ?

Bereken spanningen, stromen en het door de bron geleverde actieve, reactieve en schijnbare vermogen in de volgende kring.

Oefening 2 Voor welke waardes van L is de stroom in de keten maximaal ? Hoe groot is de stroom I dan ?

42

Oefening 3 Bereken voor de volgende gemengde keten :

de totale impedantie de stroom geleverd door de bron de faseverschuiving tussen stroom en spanning van de bron het actief vermogen de stroom in de weerstand R ( )

43

Bijlage A: Formules condensatorWe weten dat = of =

.

In een RC-keten aangesloten op een gelijkspanningsbron krijgen we voor zeer kleine spannings- en landingswijzigingen =

=

=

aan de constante bronspanning elke wijziging van de spanning over de condensator wordt gecompenseerd door een gelijke maar tegengestelde spanning over de weerstand: Toepassing van de wet van Ohm

De som van de spanning over de weerstand en de condensator is gelijk

Op t=0 is de condensator ongeladen = =

44

Bijlage B: Formules spoelIn dit circuit zien we drie componenten namelijk een bron, een spoel en een weerstand. We passen hier de spanningswet van Kirchoff op toe, m.a.w de spanning geleverd door de bron wordt opgenomen deels door de spoel en deels door de weerstand. = = + +

De oplossing van deze differentiaalvergelijking bestaat uit twee delen namelijk Algemene oplossing: Dit is de oplossing van de dierentiaalvergelijking als de bronspanning gelijk is aan 0. Dit is de homogene oplossing of homogeen deel. Dit is een oplossing van de vorm eat. Bijzondere oplossing: Dit is de oplossing van de differentiaalvergelijking als de bronspanning verschillend is van nul en is in ons geval dus een constante spanning. Dit noemt men de particuliere oplossing of particulier deel. Dit is een oplossing van de vorm B (constante). We veronderstellen een oplossing van de vorm: = + +

We vullen deze oplossing in om de onbekenden A,B en a te vinden. = +

+

+

= =0

=

+

+

+

+

Opdat dit de oplossing zou zijn van de differentiaalvergelijking moet deze vergelijking voor alle waarden van de tijd opgaan dus moeten de verschillende cofficinten ieder op zich 0 zijn. Zo bekomen we het stelsel vergelijkingen + =0 =0

Daaruit volgt of

= en

= =

+

Hiermee hebben we slechts twee van de drie onbekenden. Er ontbreekt nog een onbekende namelijk A. Om deze onbekende te berekenen moeten we wat men noemt een randvoorwaarde invoeren. Hiertoe stelt men dat in een spoel de stroom niet onmiddellijk kan veranderen. De spoel tracht de flux zo constant mogelijk te houden, m.a.w. de verandering van flux wordt tegengewerkt. Wiskundig geformuleerd stelt men = 0 = 0. Zo verkrijgt men bijkomende vergelijking =

+

=0

45

= Zo krijgen we = = 1 +

Voor de spanning over de spoel krijgen we = = = =

1

46

Bijlage C Component Weerstand

u = f(t) (stippellijn)

i = f(t) (volle lijn)

Impedantie (Tegenwerking) = = = 0 =

Vectorile voorstelling = = +0 = =

R (: Ohm) Spoel

=

=

L (H: Henry)

met U de spanning over de spoel en I de stroom door de spoel =2

= Condensator

=

+ 90 = 0 + = = =

C (F: Farad)

met U de spanning over de condensator en I de stroom door de condensator 1 = 2 = = 90 = 0

47