ENSEÑANZA REVISTA MEXICANA DE FÍSICA 47 (2) 175-180

Pasos para la resolución de problemas. 2

ABRIL 2001

Angel ManzufDepartamento de F(sica, Ciencias Básicas e ¡"generia, Univcrsúlad Autónomo Metropolitan(J4/¿tapalapa

Apartado posfa/55-534, OY340 México, D,F., Mexicoe-mai!: amg@X(lIlU11l,IlWll.nLt

Recibido el 8 de septiembre de 2000; aceptado el 6 de noviembre de 2000

Una pníctica usual en la evaluación de los estudiantes es pedirles que resuelvan problemas, pero, además de los temas del curso. ¿lesenseñamos realmente a resolver problemas? Aquí se hace una revisión de los pasos que se deben seguir para adquirir las habilidadesnecesarias para resolver problemas. haciendo énfasis en la interpretación física de la solución. Los pasos se ilustran con un ejemplo desoluci6n de un problema de mecánica elemental.

Dncriptores: Solución de problemas; trayectoria parabólica

\Vhen evalualing students, we usually ask Ihem lo solve prohlems. Rut hesidcs the suhjccts studied in c1ass. are we rcally tcaching them howto solvc problcms? In lhis papcr we review nnd cxplain the steps that shollld he tnken when solving problems. emphnsizing the physicalinlerpretntion 01"Ihe solution. The steps are i:lustraled by Ihe solutiotl 01'an elcmcntary mcchanics problcm.

Kl'.I'WOf{I.\.: Problcm solving; parnbolic trajcctory

rAes: OI.40Grn: 03.20.+;

l. IntroducciónLos profesores de ciencias biÍsicas observamos COIl preocu-pación que la mayoría de los estudiantes cuando ingresanal nivel profesional tienen pocas habilidades para aprendcrcicncia. Esta deficiencia se debe, en parte, a que no se tic-ne formulado un curso completo de ciencia desde el nivel dela primaria con el propósito principal de que los estudiantcsadquieran dominio en las habilidades necesarias para hacertrabajo científko apropiadamente en los diferentes niveles deinstrucción. Es importante desarrollar habilidades que son in-hcrcntes en la resolución de problcmas de ciencia al mismolicmpo que se ohtienen nuevos conocimientos en materias es-pecíficas.

Muchas hahilidadcs se desarrollan a través de la resolu.ción de prohlemas, ya sea en forma teórica, experimental omediante simulación. Una combinación de éstas permite unentrenamiento integral del estudiante cuando participa desdeel principio en actividades elemcntales, y dcspués en acti-vidadcs más elahoradas, tales como la identifkación del pro-blcma, la formulación de hipótcsis, elahoración de un modeloteórico de la situación física, la predicción de resultados, esti4mación del efecto en el resultado al variar valores de algunospar •.ímetros, diseñar un experimento y realizarlo ya sea cua-litativa o cuantitativamente y, finalmente, escribir un infor-me dc su experiencia. Dche recordarse que el desarrollo delas habilidades es principalmente de una naturaleza intelec-tual y que, por tanto, estamos compromctidos principalmentecon el entrenamiento intelectual de los estudiantes [1}. En ellaboratorio estas hahilidades pueden ser demostradas activa-mente. pero los cursos teóricos dc física tamhién ofrecen mu-chas oportunidades para aprendcr y aplicar estas habilidades.Cuando se comprende la solución teórica de un prohlcma defísica se tiene el primcr paso en la resolución integral; el pasosiguiente sería diseñar un experimento y rcalizarlo.

Tradicionalmente la resolución dc problemas es la piedraangular de un curso de física. Usualmente para evaluar a unestudiante se le pide que resuelva prohlemas. pero, ademásde los temas del curso, i.le enseñamos sólo a ohtener resulta-dos numéricos o expresiones algehraicas o realmente le en-señamos a analizar la solución hasta extracr toda la informa-ción que contiene'! El interés es que el estudiante, con lapr:íctica dc resolver prohlcmas. tenga su maquinaria mentalhien ejercitada para que cuando sea profesionista pueda re-solver los prohlcmas que se le presenten. Nuestra meta, des~pués de todo, es preparar estudiantes para todos los posiblesfuturos, armúndolos con el modo científico de pensar.

El propósito de poner prohlemas de física cs que desca-mas que los estudiantes dellluestren el uso correcto de con-ceptos físicos. Lo que se desea no es la aplicación de unareceta. sino la comprensión y uso de las hahilidades para rc-almente resolver prohlemas. Después de todo la rcspuesta acualquier prohlema en el nivel introductorio no es realmenteimportante como tal. Lo que es importante son las hahilidadeso herramientas usadas y la experiencia que se adquiere al tra-bajar en la solución. Algunos estudiantes no solamente traendeficiencias en ciencias cuando ingresan, sino tamhién acti-tudes equivocadas, las cuales son difíciles de cambiar; unade estas actitudes es aquella quc manifiestan al preguntarsesohre qué rórmula aplicar, cuando empiczan a resolver unprohlema.

Algunas personas se refieren a la física como una de lasciencias duras. Ciertamente, la física no es f.kil, pero a menu-do se acentúa esta dificutad. La hacernos dura al insistir quelos estudiantes ohtcngan la respuesta correcta cuando hace-mos poco para ayudarles a aprender cómo resolver proble-mas [21. Prohahlemente haccmos irrazonahlemente difícil ala física 1) cuando no ayudamos a los estudiantes a adquirirhuenas hahilidades para resolver prohlemas; 2) cuando no les

176 ANGEL MANZUR

mostramos el razonamiento que conduce a la primera ecua-ción que escrihimos en la solución de un problema: 3) cuan-do los llevamos a creer que las ecuaciones son todo lo que esimportante para resolver un prohlema, y que lo que resta porhacer es pura manipulación algehraica; y 4) cuando no lesayudamos a interpretar la solución y a descuhrir loda la in-formación que ella contiene. Por otro lado. la clase de ayuday énfasis correctos en la solución de prohlemas puede resul-lar en estudiantes con herramientas superiores como algo queposeen por el esfuerzo y el tiempo que ellos invierten.

Dando a los estudiantes una guía de cómo resolver pro-hlcmas. que les indique qué lan hien ellos han implcrncnl,ul0ese plan en un prohlema y que les muestre que una huenasolución sigue a un huen procedimiento, les ayuda venlade-ramente a convertirse en mejores resolvcdores de prohlemas.Esla guía ayuda principalmente a los estudiantes que no tie-Ilell el soporte ~H.lecuad() en matemáticas y en física. Una di-ferencia entre un novato y un huen resolvedor de prohlemases que eslL' LÍltimo trahaja a partir de principios fundamenta-les para construir primero una bucna representación física delprohlema. La solución al prohlema se genera a partir dc estarepresentación o esqucma.

A cOlltinuación se descrihen los tres pasos principalesque dehen seguirse en el proceso de resolución de prohle.mas [3,,11,

2. Planteamiento y análisis cualitativo

El enullciado del prohlema dehe scr leído cuidadosamentc.identilicando los datos y las cantidades desconocidas que sedesean encontrar. E" recolllendahle poner atención en los as-pectos siguiL'nles.

¡\//(í/isis del ('/IIH1ciado. Asegurarse dc que se entiende elsignilicado preciso de todas las palahras del enunciado, yaSl'<ln ]lalahras técnicas o palabras del lenguaje coloquial.

Rc¡ne.HJlHuciúl/ grlÍjicu. Casi siempre es posihle hal'er UIldibujo () Irazar un croquis con las anotaciones apropiadas.

"!/onlUlciáll. SL' dL'he distinguir en el enunciado la infor-maciún que se conoce y la inforrnal'i61l que se husca. Algunas"L'ces lus datos del problema aparccen en forma numérica y"U" unidades identifican a la cantidad física; otras vcccs losda[{l" aparecen cn forma genérica sin unidades y cl Icctor de-be teller en cucnta el cartÍcter escalar o \'eclOrial de cada call-tidad física. Las ["rases que contiencn palabras C0ll10 "qué","ellCLlelllrL"', "cLl,ínto" o "cu;índo". indican la cantidad qUl' sebusca .

.rúú¡/)(I/os. Es conveniente represL'ntar mediante símholosalgehraico." adccuados cada una de las cantidades físicas qUL'intervienen; los símholos con suhíndiccs suelen usar."c parareprL'."entar la cantidaJ correspondiente a diferentes cucrposo a \':lIorcs particulares. ESlc es llllO de los pasos l:l"ucialcsque lacilitan la húsqucda de la soluciún!

/\nálisis COf/Ceplllo/. Identificar los conceptos, variahles ocantidades físicas que interviencn en el cnunciado. así C0ll10las relaciones o leyes físicas que los conectan.

Análisis clwliraliw). Considerar la pregunta o la informa-ci6n huscada tratando de estimar (parcial y aproximadamen-te) la solución. Es de gran ayuda responder a preguntas ta.les corno: ¡.qué cantidad física se husca'?, ¿qué unidades tie-ne'?, ¡,es un escalar o un vector'? ¡,qué orden de magnitudtiene'!, ¿qué valores Iluméricos no pueden ohtenerse"!, ¡,declJ~lles cantidades físicas depende'!. ¡.qué tipo de dependen.cia se espera (lineal. invcrsa, cuadr:ítica.)'.)

3. Amílisis matemático

Es importante reconocer que las matemtÍticas son la herra-micnta fundamcntal para L'studiar física y que sin ella no esposible resolver los prohlemas. Los aspel'tos importantes eneste paso son.

U,lidudes. Escrihir matcll1<Íticamente la información da-da y asegurarsc que la infonnaL'ión numérica dada esté expre-sada en unidadcs dc un mismo sistema y de preferellcia delsistema internacional SI.

,\1orco dc refercncia, Es l"(lnVeniellte estahlecer un Itlar-U) de referencia (l "isll'ma dc coordenadas: las regioncs dclos valores positi\"{)s o ncgatin)s a lo largo de los ejes deL'oordenadas se pUL'dL'11e1cgir según convenga, aunquc. por10 general, la dirección positiva se elige en la dirección delmovimiento. En algunos casos el cálculo se facilita m.ís conalglín sistema de referencia partil'ular.

Ecuaciones. Las relaciones físicas se dehen representarmediante relaciolles matem~ílicas. es decir. mediante ecua-L'iones. Comprohar quc las L'.lI1tid~l(lesconocidas y las que sebuscan están en las ecuaciones: una ayuda para lograr (.~stoesrcspondiendo a la pregunta ¡.cómo escrihir lo que no sc l'ono.ce en términos tic lo quc sí se conoce'!. Tamhién es aconse-jahle comprohar la ulIlgrucllcia dimensional de cada términode las ecuacioncs.

Má(}(/o. Analilar cl problema matemático, identilicandoel tipo de variahles y de operaciones que en él aparece. Usarel método apropiado para resolver cl prohlema matemático.

Grt~fic(f. Representar gr:ílicamellte el prohlema ma-letlHítico. !>.Iuchas vel'CS esta representación ayuda a escogerla solución apropiada y a interprctarla.

ot. Interprelaciún física de la solucilÍn

Esta cs la parle con qUl' culmina el proccso dc rcsolver pro-blemas y sería poco provechoso si no se llediL'a ticlllJlo paraanalizar e illlL'rprClar el resultado. Se hacL'n a continuaciúnalgunas sugel"L'llcias.

Sol/lcú;n o/gl'hmicl1. Elllrohlcma dehe re."olvcrsc primc-ro algehraicalllelltc y después numéricamcnte. Rel:uérdeseque si se re.'\Uch'c cl prohlcma usando dl'slk el principiolos datos en forma llllJllérica. al o.:fcctuar las operacioneslluméricas la probabilidad dc comcler errorcs aUlTlcnta y esIllUYdifícil delcctarl()s; pucdcn aparecerclTorcs de rCd(llldeo.y la siwacillrl sc hacL' JII;i" complicada si los nLÍmeros son JIIUYgra1llks o IllUY pcqucrlos y. adcmás, se quiere conservar l'H

Ni'\: Mi'x. rú, -17 (2) (2()D]) 175-llMl

PASOS PARA LA RESOLUCiÓN DE PROBLEMAS. 2 177

FIGURA 1. Sistema de l'oorden ••d.ls X-Y. datos del problema ylIna posible tr;:¡yecloria para el prohlema del pateador de un equipode futhol americano.

las operacioncs el número adecuado de cifras signifkativas.Es m<Ísf<ÍciI hacer operaciones algehraicas sólo con símbolosque cuando tamhién aparecen números. notoriamente si noson enteros.

Con la soluci6n en forma algebraica se puedcn realizarlas actividades siguientcs:

a) Representar gráficamente la solución encontrada.

h) Comparar la solución con la predicción hecha en elan.í1isis cualitativo.

c) Analizar IOdo el procedimiento de solución tornandoen cuenta los siguientes aspectos:

y

h

) x

5.2. Análisis lllatclll;ítico

5.1. Plantc3llliC'nto y an:.ílisis cualitativo

5. Prohlema [5]

( I )

(2).1" =1'".,,(.

En estas dos ecuill'iollCS se ha escrito explícitamente lafalta de aceleración en la dirección horizontal y que la ace-leración de la gravedad es vcnical y dirigida hacia la tierra;es decir. la aceleración es -y de acuerdo con el sistema decoordenadas elegido.

Suponiendo quc el aire no opone resistencia. la posición dela pelota en el tiel11po I después de ser pateada está descritapor las ecuaciones cincmáticas en las direcciones horizontaly venical, respectivamente. como

El pateador de un equipo de futbol americano puede sumi-nistrar a la pelota una velocidad inicial 'vo' Se encuentra enun punto situado a una distancia 1 (sobre el terreno) enfrentede los postes de gol cuya barra horizontal está a una altura hsohre el terreno. ¡,Dentro de qué intervalo angular deher<i serpateada la pelota para anotar un gol de campo?

En la Fig. 1 se muestran el sistema de coordenadas que seusad (el eje}' es vertical y positivo hacia arriba. el eje X eshorizontal y positivo hacia la portería), los datos del problemay una posihle trayectoria de la pelota.

La pelota se encuentra inicialmente en el origen, se lcimparte una velocidad de magnitud l'O en una dirección es-pecilicada por cl ángulo 00, y debe pasar por el punto concoordenadas (1, J¡) o por arriha. tia estrategia para resolver elproblema es primero encontrar la ecuación de la traycl'toriacorrespondiente al <Íngulo Oo' es dccir, la ordenada !J C0l110función de ;r; después. sustituir los valores del punto (!, 11) enla ecuación de la trayectoria. La fórmula que resulte debe seruna cuadrática. pues se trata de una paráhola; a partir de ellase deben ohtener los dos ,íngulos que la satisfacen. Estos dos~íngulos representan los límites del intervalo angular que sehusca.

Casos pllrticlllare.\. y casos límites. A partir de la solu-ción en forma algehraica es fácil analizar casos particula-res y casos límites; los primcros se logran asignando valoresnuméricos paniculares a algunas cantidades y los segundos"'c logran asignando los valores extremos de algunas cantida-des. De esta manera se husca que la solución encontrada sereduzca a la de un prohlema más sencillo o a uno ya conocidoo a una solución evidente. Si esto no se logra pucde sucederque el prohlema no esté hien resuelto. en cuyo caso convienerevisarlo desde el principio.

!:..\tl'flsir;ndel problema. Modificar el enunciado del pro-hlema para convertirlo en uno que represente una situaciónfísica parccida o un problema más general. y decidir cómomodificar la solución encontrada para que sirva de soluciúndel nuevo problcma o CÓIllOmodificar el planteamicnto.

AI,licacioll£'s. Pcnsar en la posibilidad de que la solucj¡')ncncontrada pueda ser considerada como una solución apro-ximada o idealizada ue un prohlema más complicad~l; () quccl prohlcma resucito pueua servir como modelo para explicaralguna situación física más complicada.

Se presenta un ejemplo de un problema de mec<Ínica ele-mental en cuya solución se han seguido estos pasos propues-tos. El propósito es que el estudiante se percate de los detallesdel uso tanto dc los conceptos físicos como de la herramien-ta matem:ltica involucrados en la obtención de la solución yque, almislllo tiempo. descubra que se aprende física a travésde los prohlcmas cuando uno no se conforma con sólo llegara la solución. sino también cuando se propone indagar la in-formaciún cOlllcnida en ella. La intenci6n es tencr Ull CjClll4

plo de c(írno resolver un prohlema típico y, principalmente,de l'<ÍIllOinterpretar la solución. La clave para resolver pro-hlcmas nucvos y difíciles está contenida en la l"olecci<Índehabilidades que se .lprenden al resolver prohlemas SC1H:illos.Si lJllOno puede resolvcr un problema dado. ello no dehe SCI

motivo para desanimarse. Se requiere esfuerzo y pdctica paraadquirir la hahilidad requerida para resolver prohlemas. ¡Esneccsario seguir insislicndo~

¡,qué efectos son más importantes?

- ¡.qué datos podrían variarse sin afectar radical-mente el resultado?

¡,hay alguna otra manera de ohtcner la solución?

Re,'. M<,x. rúo ~7 (2) (2(XJl) 175-IX()

17X ANGEL r..1ANZUR

La ecuaci6n de la trayectoria se obtiene al despejar elticmpo de la primera ecuación y sustituirlo en la segunda:el resultado es

_ ¡'Oy. !I ..2U--.l-~.l

/'Ox ••OO:r

Pero los coeficientes de ;1' y de .r2 pueden escrihirse entérminos del ángulo Ro C0l110

¡'O'I-' = taneot'o.r

30

20

10

OO 10 20 30 40 50 60

xlm

y C0ll10 FinURA 2. Trayc(,lOria que <;igul.' la pelota con l'o == 25 mis,{ == ;JOm y h == 3 ..1.1 ll1 p;Heada al ángulo (Jo == 31.1 Q Y G2.8°.'nlll1hién muestra la trayectoria que seguirín si fuera paleada n un;íngulo 80 == 4.jo.

Cuando la igualdad en (6) se clImple, el radicando es cero yL'n este caso particular las dos posihles soluciones se colapsanL'll una sola.

La f<írmuia (5) contiene información más específica quela ohtenida en (6); para mostrar esta informaci6n, la fórmu-

Esta ecuación descrihe a todos los puntos de la traycclo~ria: en particular. contiene el punto con coordenadas (l."). Lar6l"lllula (..J) evaluada en eslc punto es una ecuación de segull-do grado en tan (Jo. la cual al rcarreglar los términos puedeescrihirse C0l110

,) 21'(~ (21'5") _1<\11- Bo - - tau Ro + 1 + -1-"- - O

.'11 !J -

(X)

(5' )

(,,~ )- -1 .!JI

(,,~ + 1) (,,~ - 1)!JI !JI

.,l'ii

tanH(l=-::i:!J'

.,1'-

tan e = -!!. :l:o [JI

la (5) puede escrihirse como

NÓlese que aun en este caso en quc ¡, O, las desigualda-des (ó) y (7) no son iguales porque en (7) no eslá consideradoel signo de igualdad.

.,1'-...Q. > 1. (7).'1'

Esta desigualdad es independiente de h y es importante por .que está diciendo.que los valores de 1'0 y I no pucden ser arhi-trarios. Por ejemplo, si I tuviera el. valor dc 50 111 Yel pateadora lo más pudiera impartir a la pelota una velocidad inicial de22 mIs, le diríamos que no lo intentara porque la desigual-dad (7) no se cumpliría y no tendría posihilidades de anotargol. a mcnos que estuviera jugando en un campo situado enla Luna.

l:..)l'11lplo 1II11II£'r;('0. Valores típicos para este prohlcma sonPo= 2;) mIs, I = !JO m y h = 3.,1,1 m. Para estos valores seohtiene que los dos .íngulos son O¡, = 31.1° Y Ht = 02.8°.La f-ig. 2 muestra estas dos trayectorias: también muestra latrayectoria que seguiría la pelota si fuera pateada a un ángulointermedio de -1;)0 manteniendo IIjos los demás datos, en ellaes claro que la pelota pasa por arriha del punto (50,3.44).

Caso particular ¡, = D. Este caso ya no representa laIrayectoria para anol<ir un gol dc campo en el futhol america-no; corresponde al prohkma particular de encontrar los dos.íngulos de disparo con la condición de que el ohjelo caigaen el mismo plinto situado a la distancia I sohre el terreno,es decir, dos trayectorias parahólicas con el mismo alcance.En esta situación particular la expresión para los .íngulos dedisparo [fórmula (5') 1 se reduce a

Aquí se ve claro que para quc el producto de los dos factoresentre paréntesis sea positivo, de he cumplirse necesariamentcquc

(6)

(5)

(4)

( 2I'J")1+-1"rJ -

("2)2 ( ')("2")--!!. - 1+ :.....L!JI 91' .

( .')21'--!!. >!il -

!J(1 + tan2 80) 211 = (tan 80),,, - o ., .,. .. _l~

.,I'ñ

tan 80 = -1 :t!J

De ¡al manera que la ecuación de la trayectoria resulta ser

Al resolver para la tangenle del :íngulo se ohticnc

S.3. Inferpretación físka de la solución

A partir de este resultado se ohtienen los 2 ángulos de dispa-ro (H(~ y H(t) que hacen que la trayectoria pase por el punto(l. h): el superíndice en el ángulo se refiere al signo toma-do en la raíz cuadrada de la fórmula (5). Para cualquier otro,ín1!ulo cuvo \'alor esté comprendido entre ea y H¡j, la pelota- .p.lsarü por arriha del punto (l. h). Es decir, el pateador ano-tar;í Ull gol de campo para cualquier ángulo inicial de disparoL'ompn.'ndido en el intervalo H¡¡ :s eo :s. et. Este resultadoSL' ilustra más adelante con un ejemplo numérico.

Para que el resultado tenga significado físico, se exige queL'l radicando sea un nlÍmero positivo; es decir, de he cumplirseqU¡;

Rel'. Mt'x. F,\-. "¡7 (2) (2001) 175-1 HO

PASOS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ~ 179

(b)

son

10

8

E 6">.

4

2

OO 10 20 30 40 50 60

xlm(a)

30

25

20E>. 15

10

5

FIGURA J. Dircrcntes trayectorias parnhólicas calculadas con losvalores dcl'o, r y J¡ usados en la Fig. 2. (a) 0;;1 = 25.80• Ho =31.10 Y (h) He; :;:;G~.8°. 061 = G-I.2°.

Se puede adaptar el prohlcma que se ha resuello (futholista)a otras situaciones como las que se prescnlan en el héishol.donde se quiere que la pelota en su caída pase al ras o por

10 20 30 40 50 60

>Jm

Para ilustrar estos resultados, en las Figs. 3a y 3h se mues.Iran diferentes trayectorias parahólicas calculadas con los va.lores de /lo.l Y 11 usados en la Fig. 2. Aunque en este caso delhalompié los valores típicos son diferentes, por ejemplo elvalor de " es de 2.44 m, se usan los valores que ya se usaronantes pues solamente se quiere hacer énfasis en la existen-cia de los dos intervalos angulares. Los valores que limitana un intervalo son HC)/ = 25.80 Y Hi) = 31.10 (Fig. 3a), ylos valores que limitan al otro intervalo son Bt = 62.8° Yot/ = G,1.2° (Fig. 3b). Las curvas que representan las tra-yectorias parahólicas con estos ángulos se trazaron con líneacontinua. Nótese que este tíltimo intervalo es más pequeñoy que las escalas de las ordenadas son diferentes en cada tl.gura. Tamhién se trazó una curva cuyo ángulo inicial tienevalor intermedio en cada intervalo; estas curvas correspon-den a Ro = 28.5° Y Ro = G3.5° Y est.ín trazadas con líneapunteada.

6.2. Béishol~' h:.ís(lucthnl

La solución encontrada en este problema del paleador dc rut-001 americano permite discutir y analizar otras situacionesque se prcscnlan en otros deportes. La solución algebraicaes la misma en algunos casos, pero su aplicación a cada de-porte es diferente, pues los valores numéricos típicos oc losparümctros son diferentes en cada caso. La solución en es-tas otras silUacioncs puede estar completamente contenida enla soluci6n que se ha encontrado aquí, {)bien ésta tiene quemodificarse para poder aplicarla. Veamos algunos ejemplos.

6. ExtensilÍn del problema a otros deportes

(,.1. Futhol

1an B¡;¡ < tan B¡; < lall Bit < tan 0it!. (9)

Para que la solución encontrada para el futbol americano pue-da usarse para describir el caso de fUI bol (balompié. futholS(leee," o fUlbol a secas), es necesario hacer algunas aclaracio-nes. Las ecuaciones cincmáticas expresadas en las Ecs. (1) Y(2), Y las que de ellas se deducen, describen el movimientodc la pelota desde el punto de disparo hasta que llega al suc-Io. Estas ecuaciones no describen los rehotes que la pelotapueda dar en el suelo. por lo tanto, éstos no pueden tomar-se en cuenta. En este caso la situación es más complicada:para anotar un gol de campo, cn el futhol americano se tie.!le que cumplir la restricción de que la pelota pase por arrihadel travesafi.o; mientras que en este otro futhol hay que cum-plir con dos restricciones. que pase por arriba del suelo peroal mismo tiempo que pase por ahajo del travesafi.o. Para estedeporte la trayectoria con el ángulo dc disparo más pequefi.ocorresponde a aquella trayectoria cuyo alcance es igual a l.es decir cuando la pelota toca el suelo en la posición del mar-co de la portería. Llamemos e¡;¡ a este ángulo, el subíndicef indica que se trata de futho!. el de la pelota redonda. Parala otra trayectoria parahólica que tiene clmismo alcance l. lapelota es disparada a un ángulo 0;;/. Estos dos ángulos cst¡índados por la fórmula (X) encontrada en el caso particular de11 :::: O. t\luchos de los .íngulos comprendidos entre estos dosvalores corresponderán a gol, pero no todos ellos pues existela rcstricción de que la pelota dehe pasar por ahajo del tra-\.esaJlOde la portería. La altura del travesaño detlne el valorde los :íngulos de disparo que hacen que la pelota pase justopor él. A éstos les hemos llamado Be) Yot. Ahora se tienen4 <Íngulos para los cu¡¡les la pelota pasa por los límites verti-cales del marco de la portería, es decir, al ras del suelo (l deltravesailo. Al ohservar las expresiones algehraicas de estosángulos dados por las fórmulas (5') y (8), se ve que cumplencon las siguientes relaciones:

En el problema del pateador dc ruthol americano ya se vioque cuando el ¡íngulo de disparo est<Íl:omprendido entre f}lly Ht¡la pl'lota pasa por arriba del travesaño, de tal 111;II1l'raque este intervalo angular está prohibido para el caso de unjugador de futbol soccer. Es decir. para este deporte existen 2intervalos angulares para el {lIlgulo de disparo con la condi-ción de que la pelota pase por la portería; estos intervalos

Re". M•..\. Fú. 47 (2) (2(XJI) 175-IX()

lXIl ANGEL MANZUR

arriha de la harda, o en el hásquctbol o baloncesto, dondese quiere que el halón pase por la cesta o canasta (nuestrosresultados no contemplan el caso en que el halón pase por[a canasta después de rehotar en el tablero). En el caso debéishol se tcndr::i un intervalo angular como en el prohlemaresucIto; pero en el caso del hásquctbol, debido a las dimell-siones del halón y de la cesta, prácticamente sólo los límitesdel intervalo representarán buenos ángulos de tiro. En estos

-deportes debe lOmarsc en cuenta que el punto de disparo csl.ía una altura ha por arriba del sucio. Esta altura inicial tieneque incluirse en la Ec. (2), con lo que se transforma en

I g ., (2. )!J = lO + IlOy! - 2t-.

Las Ecs. (3) y (4) siguen siendo v.íIidas si en lugar de la varia-ble.'J se escrihe!J - !to' ¡\n¡í1ogamcnle.la solución (5) siguesiendo válida si en lugar de la ordenada particular 11. se escriheh - ho.

6..t Tcnis~' vólihnl

En eslos dos deportes se pide que la pelota pase al ras o porarriha de la red y que no IOque el suelo más allá de una dis-(alH.:ialija a partir de la posición de la red. A diferencia de loscasos que se han discutido arriha, ahora existe la posihilidadde que el <Íngulo de disparo esté por dehajo de la horil.on-lal, es decir, sea negativo. En esta situación el signo de la

l. \\'. Brouwer. Thl' Physics T('acha 11 (1973) 483-2. S, Brckkc. T/I(' Physics Tellcha 2-l (1986) 328.:~ EF. Redish amJ R.N. Stcinhcrg. The Physics Tcacha 52 (1999)

24.

componente vertical de la velocidad inicial puede ser positi-vo o ~egativo, y se lendrá que poner alención al signo en lostérminos donde aparezca l'Uy o t.an 60, Además. tamhién esnecesario camhiar h por h - !to'

6.4. Golf

La solución representad3 por la fórmula (5) tiene una aplica-ción más amplia en el caso del golf que en el de futhol ame-ricano, pues la altura h del punto donde dehe caer la pelotapuede ser positiva. negaliva o cero dependiendo de la arqui-leclura del campo de golf. Pero dehido a que el lamaño deldiámetro, tanto de la pelola C0l110 del hoyo es casi el mismo.en lugar de un intervalo angular lo que prácticamente se tieneson los ángulos de las 2 trayectorias posihles.

7. Conclusiones

Se presentó una guía que ayuda a los estudiantes a adquirir lashahilidades requeridas para la resolución de prohlemas. Con-siste de tres pasos principales: planteamiento y análisis cuali-talivo. análisis matcmjticn. e interpretación física de la solu-ci6n. Para iluslrarlos. sc aplicaron a un prohlema de mecánicaclemental donde se enfaliz6 la importancia de la inlerpreta-ci6n física de la solución o resultado.

4. A. Manzur. Contactos 1'\0. 38 (2000) 45.

5. R. Resnick. D. lIalliday. and K.S. Kranc. ¡:':úca 1. cuarta edi-ción (tcrcera CI1 esp:ul(1). (CECSA. ~Iéxico. 1(93) Proh1crna4-43.

Rel'. Mex. Fú. 47 (2) (2001) 175-IXO