3.3. Cálculos y resultados:

3.3.1 datos de la barra metálica

Tabla 1. Datos del laboratorio con la barra metálica

Dimensiones de la barra metálica

La barra es homogénea y tiene las siguientes dimensiones y medidas.

A = 0.67 cm N° de agujeros= 21

B = 3.56 cm masa (M) = 1854 gr

C = 110 cm

Dimensiones de los agujeros

l(cm) t1 (s) t2 (s) t3 (s) # de oscilaciones

Promedio del tiempo

Periodo T (promedio)

1 51 34 33.73 33.61 20 33.78 1.6892 45.8 32.84 32.78 32.73 20 32.78 1.6393 40.9 32.36 32.26 32.4 20 32.34 1.6174 36 32.06 31.93 31.65 20 31.88 1.5945 30.9 31.81 31.72 31.77 20 31.77 1.5886 25.8 32.07 31.87 31.97 20 31.97 1.5987 20.8 33.46 33.39 33.42 20 33.42 1.6718 15.9 17.7 17.45 17.56 10 17.57 1.7579 10.8 20.28 20.31 20.29 10 20.29 2.02910 5.8 26.72 26.67 26.8 10 26.73 2.673

Ancho de la barra metálica (A) a = 0.67 cm

Diámetro del agujero b = 1.58 cm

Hallando su volumen y densidad:

Volumen

V 1=AxBxC−21 x π x r2 xA

V 1=0.67 x 3.56 x110−21 x π x0.792 x0.67

V 1=234.785 cm3

Densidad

ρ= masavolumen

ρ= 1854234.785

ρ=7.896gr

cm3

M = masa de la barra con agujeros

m = masa de un cilindro sólido, cuyo volumen es igual al volumen de un agujero de la barra y cuya densidad es la misma que la de la barra.

M+21m = masa de una barra solida sin agujeros.

Z = distancia entre los centros de dos agujeros consecutivos

L = distancia entre el c.g de la barra y el eje de giro “o”.

0 10 20 30 40 50 60 -

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

LONGITUD (CM)

Figura1 .grafica periodo (s) vs Longitud (cm)

Calculo del momento de inercia

La siguiente figura muestra la barra usada para el experimento:

O

Figura 2. Barra metálica con agujeros

Los cálculos y análisis que haremos se basaran considerando a la barra con sus respectivos agujeros cuyo número es de 21.

El momento de inercia de la barra metálica respecto al eje que pasa por “O” será (I 0 ) igual al

Momento de inercia de la barra solida (sin agujeros “ I 1”) respecto al eje que pasa por “O” menos

el Momento de inercia del conjunto de cilindros solidos (agujeros de la barra “I 2”) respecto al eje que pasa por “O”.

Entonces la ecuación será:

I 0=I 1−I 2 …….. (α )

Hallando I 1:

Usando el momento de inercia de un paralelepípedo y el teorema de Steiner, tenemos:

I 1=M +21 m12

( B2+C2 )+( M +21 m)L2

………(β

)

Donde “L” es igual a la distancia entre el centro de gravedad “C.G” y el eje de giro “o”

Ahora hallamos I 2 .

Sea el siguiente grafico la representación de todos los cilindros sólidos, faltantes en la barra con huecos.

a b c d e f g h i j k

Datos:

m= masa de cada cilindro

m=δ×vcilindro

m=7.896 x π x r2 x a

m=7.896 x π x 0.792 x 0.67

Centro de gravedad del conjunto de cilindros “C.G”

m=10.37 g r

La distancia entre los centros de dos cilindros consecutivos (z) aproximadamente es 5 cm

El momento de inercia del conjunto de cilindros sólidos respecto al centro de gravedad del conjunto, será igual a la suma de los momentos de cada uno de los cilindros respecto del centro de gravedad del conjunto de cilindros.

Las siguientes ecuaciones representan los momentos de inercia respecto del centro de gravedad “C.G” (utilizando momento de inercia de un cilindro y el teorema de Steiner).

I a=m2

r 2

I b=I a+m( z )2

I c=I a+m(2 z )2

I d=I a+m(3 z )2

⋮I k=I a+m(10 z )2

Sea ∑ I C . G =momento de inercia del conjunto de cilindros respecto su centro de gravedad.

Entonces ∑ I C . G será la sumatoria de todos los momentos de inercia de todos los cilindros respecto “C.G”:

∑ I C . G=I a+2 ( I b+ I c+ I d+…+ I k )operando :

∑ I C . G=I a+2 (10 I a+m(z )2+m(2 z )2+…+m(10 z )2 )

∑ I C . G=21 I a+2 mz2 (12+22+…+102)

∑ I C . G=21 I a+770 mz2

∑ I C . G=21m2

r2+770 mz2

Por lo tanto:

∑ I C . G=21m2

r2+770 mz2

Se tendrán que duplicar, pues solo representan los cilindros sólidos ubicados al lado derecho del centro de gravedad y para tener en cuenta los del lado izquierdo (por ser simétrica la barra) solo tendremos que multiplicar por dos.

Ahora mediante el teorema de Steiner hallamos el momento de inercia del conjunto de cilindros

respecto de un centro de giro “o” ( I 2 ) paralela al “C.G”.

I 2=21m2

r2+770 mz2+21 mL2

…………. (θ

)

Reemplazando (β) y (θ) en (α ) tenemos:

I 0=I 1−I 2

I 0 =

M+21 m12

(B2+C2)+(M +21 m) L2

- (21

m2

r2+770 mz2+21mL2

)

I 0 Representa el momento de inercia de la barra con agujeros respecto un eje que pasa por “O”.

Calculo del periodo mínimo

A partir de la ecuación T=2 π √ I 0

MgL

Con I 0 =

M+21 m12

(B2+C2)+(M +21 m) L2

-(21

m2

r2+770 mz2+21mL2

)

Encontramos un valor “L” para el cual el periodo sea mínimo.

Reemplazando las ecuaciones tenemos:

T=2 π √ M +21 m12

( B2+C2 )+( M +21 m)L2−(21m2

r2+770 mz2+21 mL2 )

MgL

Para que el periodo sea mínimo aplicamos el criterio de la primera derivada:

Derivando:

∂T∂ L

=2 π [(2( M +21 m)L−42 mL)MgL−Mg ( M +21 m

12( B2+C2 )+( M +21 m) L2−(21

m2

r2+770 mz2+21 mL2 ))]√ M +21 m

12( B2+C2 )+( M +21 m) L2−(21

m2

r2+770 mz2+21 mL2 )(√ MgL )3

Si T esmin⇒ δTδL

=0

Despejando “L” tenemos L=√ M +21 m

12( B2+C2 )−(21

m2

r2+770 mz2 )

M …. (i)

“L” es igual a la raíz cuadrada del momento de inercia, del objeto en análisis respecto su centro de gravedad sobre su masa

Reemplazando datos en (i):

Lmin (teorico)=√ 1854+21 (10.37 ) (3.562+1102 )12

−⦋2110.37

20.792+770 (10.37 )52 ⦌

¿1854

¿

Lmin (teorico)=31.9412 cm

Hallamos “T” en

T=2 π √ M +21 m12

( B2+C2 )+( M +21 m)L2−(21m2

r2+770 mz2+21 mL2 )

MgL

Reemplazando datos:

T teorico=√ 1854+21 (10.37 ) ( 3.562+110

2 )12

+(1854+21 (10.37 ) )31.942−⦋2110.37

20.792+770 (10.37 ) 52+21 (10.37 )31 .942 ⦌

1854 (9.81 ) (31.94 )

T teorico=2 π √0 . 065 =1.60 s

Comparación de los valores teórico y experimental de “l” para “t” mínimo

Del siguiente grafico experimental se elige L para un T mínimo.

Figura 3. periodo vs longitud

Un acercamiento de la imagen nos permite visualizar de mejor manera el periodo mínimo.

0 10 20 30 40 50 60 -

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

LONGITUD (CM)

Figura4. Acercamiento de la figura 3

Hallamos el periodo mínimo experimental mediante proporcionalidad

Por lo tanto:

Tabla 2. Comparación del experimento con la teoría

Experimentalmente. Teóricamente

“T” mínimo =1.58s “T” mínimo = 1.6

“L”=30.9 cm “L”= 31.94 cm

Puntos de oscilación con el mismo periodo:

figura4. Puntos del mismo periodo

Estos puntos señalados, en la gráfica representan aquellos que tienen el mismo periodo; los valores de las longitudes donde ocurren este hecho experimentalmente, son los siguientes :

L1 = 25.8 cm

L2 = 36.0 cm

Encontrando los valores de los momentos de inercia con la fórmula:

T=2 π √ IO

MgL ….. (1)

Ahora empezamos a llenar una tabla con los valores de sus periodos y sus respectivos momentos de inercia.

Tabla 4. Valores del momento de inercia

T(s) lreal(cm) T 2(s2) lreal2(m2) I O(kg.m2)

1.689 51 2.852721 0.2601 0.67026677

1.639 45.8 2.686321 0.209764 0.56681534

1.617 40.9 2.614689 0.167281 0.49267617

1.594 36 2.540836 0.1296 0.42140273

1.588 30.9 2.521744 0.095481 0.35898615

1.598 25.8 2.553604 0.066564 0.3035229

1.671 20.8 2.792241 0.043264 0.26756817

1.757 15.9 3.087049 0.025281 0.22613035

2.029 10.8 4.116841 0.011664 0.20483589

2.673 5.8 7.144929 0.003364 0.19091679

Figura5. Grafica momento de inercia vs longitud al cuadrado

Comparamos valores obtenidos y la ecuación de la gráfica 5

I 1=IO + ml2 …..(2)

y= 1.8557x + 0.1824 …. (3)Al comparar las ecuaciones (2) y (3) podemos afirmar que:

La masa (M) teórica es = 1.8557 kg

El momento de inercia I O (teórica) = 0.1824 kg .m2

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

f(x) = 1.85570106120342 x + 0.182447817802912R² = 0.999591898011771

I VS L .L

MO

ME

NT

O D

E I

NE

RC

IA (

KG

.M2)

LONGITUD AL CUADRADO (L . L)

Obtención del error experimental para IG

Aplicando la fórmula para una barra homogénea:

Ι G=M (C2+ A2)12

Donde:

A: ancho de la barraC: largo de la barraM: masa

Reemplazando los datos tenemos

I O=1854.(1.12+0.03562)

12

IG = 0.18714 Kg.m2

El error experimental es:

% error=0 .18714−0 . 18240. 18714

×100

%error=2.53 %

Cálculos del péndulo simple equivalente al péndulo del experimento:

Para encontrar la longitud del péndulo simple equivalente, a nuestro experimento tomaremos el punto “8”

Sabiendo que la longitud en el hueco número 8 es

l8=15.9cm

T=2 π √ M +21m12

( B2+C2 )+( M +21m)L2−(21m2

r2+770mz2+21 mL2 )

MgL

T

8=¿2 π √ 1854+21 (10.37 )( 3.562+1102 )12

+( 1854+21( 10.37)) 15.92−⦋21 10.372

0.792+770 (10.37 )52+21(10.37 ) 15.92 ⦌

1854 (9.81) (15.9 )¿

T 8= 1.79 s

Mediante la fórmula del periodo para un péndulo simple se calcula la longitud que debería tener este para ser equivalente al péndulo físico conformado por la barra metálica

T=2 π √ lg=1.79

l=1.792 x 9.814 π2

l=0.444 m

Demostración de la fórmula del periodo para un péndulo físico:

Usamos la 2da ley de Newton para cuerpos rígidos:

Ecuación diferencial del movimiento del péndulo físico

−mg ( Lsenθ )=Ι o θ. .

O L

paraθ<15osenθ≈θ

−mg ( Lsenθ )=Ι o θ. .

L

θ

mg

C . G

C . GLsenθ

Usando técnicas de solución de ecuaciones diferenciales se llega al siguiente resultado:

Demostración del teorema de Steiner

Sea el vector unitario α perteneciente a la recta :

Usando la definición de momento de Inercia obtenemos:

Si definimos a en el sistema cartesiano tendremos: Ahora si hacemos coincidir la recta aleatoria con un eje conocido, por ejemplo el eje X, tendríamos que:

α=i ⇒ s .α=X Ι x=∫(Y 2+Z2 )dm

Ι oθ. .

+mg ( Lsenθ )=0

θ=θmax sen ( pt+φ ) donde p=√ mgLΙ o

además : p=2 πΤ

∴Τ=2 π √ Ι o

mgL

L

( s . α )αs

r

dm

Ι L=∫ [s2−(s .α )2 ]dmmg

L

s=X i+Y j+Z k

sL

A continuación, hacemos coincidir el origen de un nuevo eje de coordenadas con el centro de gravedad del cuerpo, de manera que el eje sea paralelo al eje .

La definición de la posición del CG nos dice lo siguiente:

x

Y ´Z ´

YZ

C .G

C . Gy ´

yz ´

z

xx ´x ´

Ι G=∫ [Y ´2+Z ´2 ]dmℓ

Ι G=∫ (Y 2+Z2 ) dm+∫ [ (Y −Y ´ )2+ (Z−Z ´ )2] dm−2 (Y−Y ´ )∫Ydm−2 (Z−Z ´ )∫Zdm

yG= 1m∑i=1

n

mi y i=1m∫ yi dm y i=Y ; yG=Y−Y ´ ⇒∫Ydm=(Y−Y ´ ) m

∴ Ι x=Ι G+mℓ2⇒ [ (Y 2−Y ´ 2)+( Z2−Z ´2 ) ]=ℓ2

Ι G=Ι x+ [ (Y 2−Y ´2)+ (Z2−Z ´2 ) ] m−2 [ (Y 2−Y ´2 )+ (Z2−Z ´ 2) ] m

Calcular el momento de inercia de la rueda de maxwell:

Tabla 2. Datos del experimento con la rueda de maxwell

Rueda de maxwell

t1 (s) t2 (s) t3 (s) # de oscilacion

es

Promedio del

tiempo

Periodo T (promedio)

12.51 12.45 12.45 20 12.47 0.6235

Dimensiones de la rueda de MAXWEL

Figura 6. Rueda de maxwell

Diámetro = 10.13 cm

Masa = 350.gr

Hallando su momento de inercia con la fórmula:

T=2 π √ I 1

MgL ….(1)

Donde:

I 1=I 0+mr2 … (2)

I 1=T 2 x mgl

4 π2

I 1=0.62352 x 0.35 x9.81 x0.05065

4 π2

I 1=0.1712 kg . m2

Hallando el momento e inercia en su c.g. :

I 0=I 1−m r2

I 0=0.1712−0.35 x0.050652

I 0=0.170302 kg . m2