perhitungan fungsi gelombang
TRANSCRIPT
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Ide keadaan stasioner di dalam atom yang berhubungan dengan
gelombang materi tegak digunakan oleh Schrodinger pada tahun 1962 untuk
memformulasikan mekanika gelombang. Kuantitas yang memegang peranan
penting dalam mekanika gelombang adalah fungsi gelombang sebagai ukuran
gangguan gelombang dari gelombang materi. Sebagai contoh gelombang tali,
gangguan gelombang adalah ukuran pergeseran transversal.
Mekanika gelombang diinspirasi oleh teori gelombang materi de Broglie,
yang mengatakan “panjang gelombang materi sama dengan suatu konstanta
fundamental (konstanta Planck) dibagi dengan momen linearnya”. Arti fisis
mekanika gelombang pada tahapan ini belumlah jelas. Schrodinger pertama-tama
meninjau gelombang materi de Broglie sebagai suatu dentitas fisis, interpretasi ini
menemukan kendala, karena gelombang dapat sebagian direfleksikan dan
sebagian ditransmisikan pada suatu batas medium. Kendala ini diselesaikan oleh
Max Born yang mengusulkan interpretasi statistik gelombang materi de Broglie.
Melalui pengembangan persamaan gelombang materi, Schrodinger
mengetahui adanya analogi antara mekanika Newton untuk partikel dan optika
geometris. Schrodinger mempostulatkan “mekanika klasik Newton adalah bentuk
khusus dari mekanika gelombang”. Oleh karena itu, untuk membuktikan dan
mempelajari postulat tersebut dalam perhitungan fungsi gelombang, maka
dilakukanlah percobaan ini.
1.2 Maksud Percobaan
1. Melatih mengerjakan perhitungan mekanika kuantum sederhana
2. Mengenal pemanfaatan komputer dalam perhitungan mekanika kuantum
3. Mengenal persamaan gelombang Schrodinger sebagai persamaan sentral
dalam kimia Teori (Theoritical Chemistry)
1.3 Tujuan percobaan
1. Membuktikan persamaan Schrodinger secara tiga dimensi dengan
menggunakan Microsoft Excel
2. Membedakan sistem ψ dan ψ2
1.4 Prinsip Percobaan
Penentuan dan penggambaran orbital atom secara tiga dimensi dengan
menggunakan hasil pemecahan persamaan fungsi gelombang Schrodinger dengan
penggunaan program Microsoft Excel. Serta membedakan sistem ψ dan ψ2 yang
didapatkan.
1.5 Manfaat Percobaan
Manfaat dari percobaan ini yakni kita dapat mengetahui cara penggunaan
Microsoft office terutama Microsoft Excel, dan mengetahui penentuan fungsi
gelombang melalui persamaan Schrodinger.
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
Persamaan dalam struktur atom dan molekul diperoleh dari dua pengkajian
bebas yang dibuat oleh Heisenberg dan Scrodinger. Pengkajian menurut
Heisenberg disebut “mekanika matriks” dan pengkaijian menurut Schrodinger
disebut “mekanika gelombang”. Tetapi kedua pendekatan ini memberikan hasil
akhir yang sama (Dogra dan Dogra, 1990).
Pada tahun 1926, ahli fisika Austria Erwin Schrodinger mengajukan
sebuah persamaan untuk menentukan fungsi gelombang dari sembarang sistem.
Persamaan Schrodinger untuk sebuah partikel yang bergerak pada satu dimensi
dengan massa m dan energi E adalah
-h2 d2ψ2mdx2 +Vψ=Eψ
V adalah energi potensial partikel; h merupakan pengubahan yang mudah dari
konstanta planck (Atkins, 1994).
Fungsi gelombang adalah suatu fungsi dengan 3N posisi koordinat dan
waktu, yaitu ψ(x1,x2, x3,….,x3N, t) dan probablitas (P) menemukan sebuah partikel
dalam suatu volume dr yaitu suatu besaran yang lebih dapat diamati secara fisik,
diberikan oleh persamaan :
P=ψ*ψdr; dimana dr adalah elemen dengan volume kecil dan ψ* adalah konjugat
dari ψ. Intergrasi dilakukan pada daerah yang diinginkan dari fungsi gelombang
(Dogra dan Dogra, 1990).
Persamaan gelombang Schrodinger untuk atom hidrogen dapat
diselesaikan dengan memuaskan untuk ψ, hanya bila harga telah diberikan oleh
Bohr untuk atom dalam keadaan stasioner. Pendekatan dengan mekanika
gelombang dapat menjelaskan terjadinya spektra atom yang tidak dapat dijelaskan
dengan teori terdahulu. Untuk menjelaskan hal tersebut maka digunakan
persamaan Schrodinger. Penyelesaian persamaan Schrodinger dalam tiga dimensi,
memerlukan tiga koordinat. Untuk ini biasanya dipakai koordinat polar (r, θ, Ф).
Penyelesaian persamaan gelombang Schrodinger dapat dinyatakan sebagai hasil
kali ketiga fungsi:
ψ = R(r). θ(θ). Ф(Ф)
R(r) adalah fungsi r sendiri, θ(θ) fungsi dari θ sendiri dan Ф(Ф) adalah fungsi Ф
sendiri. Fungsi ini dibagi menjadi dua yaitu fungsi radial dan fungsi angular.
Namun demikian lebih berarti membicarakan kuadrat dari fungsi-fungsi ini yaitu
R2(r) dan θ2(θ) Ф(Ф), karena hal ini menyatakan distribusi probablitas radial dan
angular dari rapat elektron (Sukardjo, 1989).
Telaah mikroskopis atom hidrogen dengan menggunakan persamaan
Schrödinger sejauh ini telah dikerjakan dengan baik secara analitik (Brasden dkk,
1995; Gasiorowicz, 1995; Thankappan, 1985). Untuk atom bukan atom
hidrogenik (atom multi elektron), maka solusi analitik yang diinginkan sebagai
pemecahan persamaan Schrödingernya menjadi makin rumit diperoleh dan
memerlukan aproksimasi-aproksimasi lebih lanjut. Metode numerik pemecahan
persamaan diferensial misalnya persamaan Schrödinger (Supriyadi, dkk.,2006).
Untuk sebuah partikel dengan massa m dalam ruang 3 dimensi, energi kinetik
yang diperlukan untuk menghasilkan operator Hamiltonian diekspresikan sebagai
berikut (Ohno, 2009) :
DAFTAR PUSTAKA
Atkins, P. W., 1994, Kimia Fisika, Jilid 1 Edisi 4, Erlangga, Jakarta.
Dogra, S. K., dan Dogra, S., 1990, Kimia Fisik dan Soal-Soal, UI-Press, Jakarta
Ohno, K., 2009, , (Online), (http://org phys.chem .itb. ac. id /web/ DIDAC /Didac03/Content/R21.htm), diakses pada 26 Maret 2009, pukul 20.00 WITA.
Sukardjo, 1989, Kimia Fisika, Bina Aksara, Jakarta.
Supriyadi, Arkundato, A., Rofi’I, I., 2006, Berkala Mipa, Solusi Numerik Persamaan Schrodinger Atom Hidrogen Dengan Metode Elemen Hingga,16(2).
BAB III
METODE PERCOBAAN
3.1 Bahan
Adapun bahan yang dipergunakan pada percobaan ini, adalah program
Microsoft Excel.
3.2 Alat
Adapun alat yang dipergunakan pada percobaan ini, adalah Laptop
3.3 Prosedur Percobaan
Buka sebuah workbook baru pada sheet 1 dengan lembar aktif
Biarkan baris 1 dan ke 2 kosong untuk judul
Pada sel B3, ketik 0,00 sebagai nilai
Pada sel A4, ketik 0,00 sebagai nilai
Pada sel B4, ketik =(SIN(2*PI()*A4)*SIN(2*PI()*$B$3))^2 sebagai
formula
Fungsi gelombang yang dihitung mulai dari x dengan nilai 0,00 hingga 1,00
dengan kelipatan 0,02. Sama halnya dengan nilai y, nilai yang dihitung mulai dari
0,00 hingga 1,00 dengan kelipatan 0,02. Dalam hal ini metode Excel Edit Fill
Series adalah metode yang cocok untuk pengisian baris ke tiga kolom A dengan
nilai sebelumnya.
Pilih sel A4, kemudian pada menu Edit, pilih Fill dan klik Series
Pada kotak dialog series, untuk Series In, pilih Columns, untuk Type, pilih
Linear; pada Step Value ketik 0,02, dan pada Stop Value, ketik 1,00.
kemudian klik OK.
Pilih sel B3, kemudian pada menu Edit, pilih Fill kemudian klik Series
Pada kotak Dialog Series, untuk series in pilih Rows, untuk Type, pilih
Linear; pada Step Value ketik 0,02 dan pada Stop Value, ketik 1,00.
Kemudian klik OK.
Range antara A4:A54 terisi dengan nilai x mulai 0-1 dengan kelipatan 0,02, dan
pada range B3:AZ terisi dengan nilai y mulai 0-1 dengan kelipatan 0,02. untuk
pengaturan angka desimal:
Klik pada lembar kerja yang kosong untuk label kolom (A, B, C…) dan
untuk label baris (1, 2, 3…)
Pada menu Format, klik Cells, kemudian klik Number tab dan pada kotak
Decimal Places, ketik 3, kemudian klik OK.
Selanjutnya mengisi range B4:B54 dengab formula untuk fungsi gelombang pada
y dengan nilai 0,02 dan x mulai dari 0 hingga 1 dengan kelipatan 0,02.
Pilih beberapa sel di bagian tengah layar
Pada menu Window, klik Split
Klik pada sel B4, dan Shift klik pada sel B54 untuk memilih range B4:B54
Pada menu Edit, pilih Fill dan klik Down
Kolom B memperlihatkan nilai-nilai formula dari fungsi gelombang. Selanjutnya
kita ingin menggunakan metode Edit Fill Right untuk mengisi sel sepanjang baris.
Untuk itu, kita memerlukan beberapa perubahan pada formula kolom B. Klik pada
sel B4 dan perhatikan bahwa formula yang diperlihatkan sekarang hanya A4dan
$B$3. sebelum mengisi ke kanan, kita harus mengubahnya menjadi $A$4 dan B3.
Secara otomatis pada sel B4 dan semua sel dibawahnya. ini adalah salah satu
fungsi dari Excel find dan kapabiliti pengganti.
Pada menu Edit, klik Find, dan ketik A sebagai nilai yang dicari
Klik tab Replace, dan ketik $A$ sebagai nilai pengganti kemudian klik
Replace All
Pada menu Edit, klik Find dan ketik $B$ sebagai nilai yang dicari
Klik tab Replace dan ketik B sebagai nilai pengganti, kemudian klik
Replace All
Langkah selanjutnya adalah memilih range B4:AZ54 dan melengkapi pengisian
pada sel tersebut dengan formula-formula untuk menghitung z(psi squared)
dimana, nilainya ada pada poin xy.
Pilih beberapa sel di tengah lembar kerja, dan pada menu Window, klik
Split
Blok semua sel mulai B4 hingga AZ54
Pada menu Edit, pilih Fill dan klik Right. sekarang sel terisi dengan
formula dari fungsi gelombang dan nilai-nilainya diperlihatkan
Klik sembarang pada lembar kerja
Pada menu Window, klik Remove Split
MEMBUAT GRAFIK 3-D
sekarang data telah dimasukkan, olehnya itu grafik 3 dimensi dapat dibuat. untuk
itu kita gunakan Chart Wizard
Tempatkan kursor di bagian tengah lembar kerja, kemudian pada menu
Window, klik Split
Klik sel A3 dan shift klik pada sel AZ54 untuk memilih range A3:AZ45
Klik icon Chart Wizard
1. pada Chart wizard, kotak dialog Chart Type, pilih Surface dan pada
icon untuk grafik dengan warna, klik Next
2. pada kotak dialog Chart Source Data, untuk Series in, pilih Rows dan
klik Next
3. pada kotak dialog Chart Option
a. pada kotak Chart Title, Psi Square sebagai judul
b. pada kotak aksis (X), ketik X sebagai label; pada kotak aksis (Y)
ketik Y sebagai label; pada kotak aksis(Z), ketik Psi^2 sebagai
label , klik next
4. pada kotak dialog Chart Option, pilih As object in sheet 1, klik finish
Pilih kotak legend di sebelah kanan grafik, dan tekan DELETE.
Untuk plot psi squared
Pada menu Edit, klik Find dan ketik ^2 sebagai nilai yang dicari
Gantikan dengan nilai kosong
Edit judul : ubah Psi Square menjadi Psi
Untuk mereplot psi square
Pada menu Edit, klik Find dan ketik )) sebagai nilai yang dicari
Ketik ))^2 sebagai nilai pengganti dan klik Replace all
Edit judul, ubah Psi Squared menjadi Psi
Edit kotak aksis(X): ubah Psi ^2 dengan Psi
Untuk membuat Contour Chart, klik grafik, kemudian pada menu Chart,
klik Type. Pilih Contour sebagai subtipe.
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Hasil
Terlampir
4.3 Pembahasan
Pada percobaan perhitungan fungsi gelombang, kita menggunakan
software Microsoft Excel. Hal ini bertujuan untuk mengolah data secara cepat
dibandingkan dengan menggunakan kalkulator, karena banyak data yang
berulang, jadi lebih memudahkan jika digunakan program excel, selain itu, kita
juga dapat mendapatkan grafik tiga dimensi secara cepat dari data yang diolah.
Dalam percobaan ini, digunakan persamaan Schrodinger. Penyelesaian persamaan
Schrodinger dalam tiga dimesi, memerlukan tiga koordinat. Dalam percobaan ini
di gunakan x, y, dan z. Penyelesaian persamaan gelombang Schrodinger ini dapat
dinyatakan sebagai hasil kali ketiga fungsi
ψ= x . y . z
Fungsi ini dibagi atas dua yakni fungsi radial dan fungsi radial. Namun demikian
lebih berarti membicarakan kuadrat-kuadrat dari fungsi-fungsi ini, karena hal ini
menyatakan distribusi probablitas radial dan angular dari rapat elektron.
Probablitas mendapatkan elektron dalalm kulit setebal ψ2dv atau R2dv, disebut
distribusi probablitas radial. Disebut demikian karena hanya bagian radial dari
fungsi gelombang yang diambil. Kalau ketebalan lapisan yang diambil sebesar dr
dan berjarak r dari inti, maka volume dari lapisan adalah 4πr2R2(r)dr. Harga ini
disebut fungsi distribusi radial.
Secara umum, mekanika kuantum ini memiliki persamaan :
â𝜓=a𝜓jika dimisalkan â adalah
∂∂ x
, dan 𝜓 adalah kx2, sehingga persamaan menjadi:
∂∂ x
(kx2) = 2kx
Untuk persamaan fungsi gelombang :
∫0
a
ψ2 dx=1
persamaan ini memberikan kemungkinan untuk menemukan partikel antara x=0
dan x=a. kemungkina ini, seharusnya bernilai satu, untuk model ini,
persamaannya bisa disubtitusi dari nilai 𝜓 dengan menurunkannya terhadap u du,
sehingga:
aA2
nπ∫
1
a
sin2( nπxa )d ( nπx
a )=1
nilai yang didapat adalah A=( 2a )
1/2
persamaan fungsi gelombangnya menjadi
𝜓= ( 2a )
1/2
sinnπx
a
Persamaan diatas merupakan persamaan umum yang bisa digunakan untuk
persamaan fungsi gelombang tiga dan dua dimensi, namun secara spesifik untuk
persamaan fungsi gelombang tiga dimensi digunakan persamaan:
𝜓(x,y,z)= ( 2a )
3/2
sinnx πx
asin
n y πy
asin
nz πz
a
Pada percobaan langkah pertama yang dilakukan adalah penentuan nilai x
dan y untuk kemudian mendapatkan nilai z. Nilai x dan y yang dipakai adalah 0-1
dengan kelipatan 0,02, jadi keseluruhan, ada 54 nilai x dan juga nilai y. Langkah
selanjutnya yakni memasukkan rumus, secara sederhana rumus yang dimasukkan
adalah (sin(2πx)sin(2πy))2. Pada dasarnya persamaan gelombang ini mempunyai
rumus : sin(2πx)sin(2πy). Fungsi dari pangkat dua ini yakni agar didapatkan nilai
maksimum dari grafik. Nilai maksimum ini berfungsi untuk mengetahui
kemungkinan adanya elektron dalam suatu atom. Adapun nilai maksimum yang
didapatkan dari percobaan ini yakni 𝝍maks adalah 0,961 dan 𝝍2maks adalah
0,996. 𝝍maks tidak dipakai karena didalamnya ada yang bernilai mines, yang
tidak berarti.
0.0000.0800.1600.2400.3200.4000.4800.5600.6400.7200.8000.8800.960
0.0000.1000.2000.3000.4000.5000.6000.7000.8000.9001.000
0,0000,1800,3600,5400,7200,900
0,000 0,020 0,0400,060 0,080 0,1000,120 0,140 0,1600,180 0,200 0,2200,240 0,260 0,2800,300 0,320 0,3400,360 0,380 0,4000,420 0,440 0,4600,480 0,500 0,5200,540 0,560 0,5800,600 0,620 0,6400,660 0,680 0,7000,720 0,740 0,7600,780 0,800 0,8200,840 0,860 0,8800,900 0,920 0,9400,960 0,980 1,000
B. Grafik untuk 𝝍
0.0000.1200.2400.3600.4800.6000.7200.8400.960
-1.000
-0.800
-0.600
-0.400
-0.200
0.000
0.200
0.400
0.600
0.800
1.000
0,0000,540
0,000 0,020 0,040 0,0600,080 0,100 0,120 0,1400,160 0,180 0,200 0,2200,240 0,260 0,280 0,3000,320 0,340 0,360 0,3800,400 0,420 0,440 0,4600,480 0,500 0,520 0,5400,560 0,580 0,600 0,6200,640 0,660 0,680 0,7000,720 0,740 0,760 0,7800,800 0,820 0,840 0,8600,880 0,900 0,920 0,9400,960 0,980 1,000
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Dari hasil percobaan, dapat disimpulkan bahwa :
1. Persamaan Schrodinger yang digunakan dalam percobaan ini adalah
𝝍 = sin(2πx)sin(2πy)
2. Nilai dari 𝝍maks adalah 0,961 dan 𝝍2maks adalah 0,996
5.2 Saran
Adapun saran yang dapat saya berikan pada percobaan ini yaitu sebaiknya
semua prosedur di coba, agar praktikan lebih mengerti dengan apa tujuan
percobaan sesungguhnya.
LEMBAR PENGESAHAN
Makassar, 30 Maret 2009
ASISTEN PRAKTIKAN
(NANANG HERMAWAN) (MUSDALIFAH)
LAPORAN PRAKTIKUMKIMIA FISIKA
PERHITUNGAN FUNGSI GELOMBANG
NAMA : MUSDALIFAH
NIM : H311 07 012
KELOMPOK : IV
HARI/TGL PERCOBAAN : SENIN/23 MARET 2009
ASISTEN : NANANG HERMAWAN
LABORATORIUM KIMIA FISIKAJURUSAN KIMIA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS HASANUDDIN
MAKASSAR2009