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Permutations de Baxter & Orientations bipolaires planes
ALEA 2008
Nicolas Bonichon, Mireille Bousquet-Mélou & Eric Fusy
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Permutations
• Une permutation = (1)(2)…(n), est une bijection de [n] sur [n]
• Le diagramme d’une permutation , est l’ensemble des points (i, (i)).
• On note Sn l’ensemble des permutations de [n].
• Montée, descente, saillants …
= 5 3 4 9 7 8 10 6 1 2
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Permutation de Baxter [Glen Baxter 64]
est de Baxter ssi : Bn = Sn(25314, 41352)
Motifs interdits :
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Orientation bipolaire plane
Une orientation bipolaire plane est une carte planaire orientée :
• Acyclique • 1 seule source et• 1 seul puits tous 2 sur la face
externe.Prop 1 :
Prop 2 : Une carte M admet une orientation bipolaire ssi M+(s,t) est 2-connexe.
V: F:
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Orientation bipolaire plane : applications
Dessin de visibilitéDessins orthogonauxStructures transverses…
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Enumération
• [Chung et al 79] [Mallows’79]
• Permutation
• Bijections • [Cori, Dulucq, Viennot,
Guibert, Gire] – Arbres jumeaux– Triplets de chemins de
grand Dyck
• [Rodney Baxter’01]• Bipolaires planes
• Bijections– [Fusy, Poulalhon,
Schaeffer’07] Triplets de chemins de grand Dyck
– [Fusy’07] Structures Transverses
– [Felsner, Fusy, Noy, Ordner’07] permutations.
[MBM’03]
m
jn
mn
in
m
jn
mm
in
m
n
nn
ij 1
1
1
1
1
2
1
1
1
)1(
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Résultat principal
taille n k descentes
l montées i saillants sup gauche
i’ saillants inf droite j saillants sup droite
j’ saillants inf gauche
n arêtesk faces internesl+2 sommetsChemin gauche de longueur iChemin droit de longueur i’Puits de degré jSource de degré j’
Thm : Une bijection qui envoie les permutations de Baxter sur les bipolaires :
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: Etape 1
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: Etape 2
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Propriétés
Prop 1 : est une application des permutations de Baxter vers les orientations bipolaires
Lemme 1 : les sommets noirs sont de degré 2.
Lemme 2 : Le dessin est planaire.
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Arbre de génération des Baxter
• Bn+1 -> Bn : suppression de l’élément n+1.
• Bn -> Bn+1 : ajout du n+1 – (a) avant le k-ème saillant sup.
gauche – (b) après le k-ème saillant sup droit.
• Lemme : l’arbre de génération des Baxter est isomorphe à l’arbre :– (1,1)– (i,j) -> {(k, j+1) : 1 <= k <= i} U {(i+1,
k) : 1 <= k <= j}
• Rq : Ces paramètres correspondent aux nombres de saillants supérieurs gauches et droits.
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Arbre de génération des Baxter
• Bn+1 -> Bn : suppression de l’élément n+1.
• Bn -> Bn+1 : ajout du n+1 – (a) avant le k-ème saillant sup.
gauche – (b) après le k-ème saillant sup droit.
• Lemme : l’arbre de génération des Baxter est isomorphe à l’arbre :– (1,1)– (i,j) -> {(k, j+1) : 1 <= k <= i} U {(i+1,
k) : 1 <= k <= j}
• Rq : Ces paramètres correspondent aux nombres de saillants supérieurs gauches et droits.
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Arbre de génération des Bipolaires
On+1 -> On Soit e=(t,v) l’arête la plus à droite du puits.
• (a) deg-(v) > 1
– Supprimer e
• (b) deg-(v) = 1
– Contracter e
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Arbre de génération des Bipolaires
On -> On+1 :
• (a) Ajouter une arête vers le k-ème sommet du bord gauche.
• (b) « déléguer les k premières arêtes »
Lemme : l’arbre de génération des bipolaires est isomorphe à l’arbre :
(1,1)(i,j) -> {(t, j+1) : 1 <= t <= i} U {(i+1, t) : 1 <= t <= j}
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est bien une bijection.
Arbres isomorphes une bijection .Par récurrence sur n on montre que
() =()
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Symétrie selon la 1ère diagonale
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Rotation de 90° et Dualité
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-1
Tx Ty
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Remarque
On retrouve l’algorithme de dessin de [di Battista et al. 92]
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Treillis des orientations bipolaires
• Thm [Ossona de Mendez 94] : l’ensembles des orientations bipolaires d’une carte a une structure de treillis distributif. La relation de couverture est la suivante :
• Corollaire : les cartes 2-connexes sont en bijection avec les bipolaires sans LOP
• Lemme : les cartes séries-parallèles sont en bijection avec les bipolaires sans LOP ni ROP.
LOP ROP
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Spécialisations de
• Lemme : () contient un LOP contient 41352 () contient un ROP contient 25314
• Rq : – Sn(25314,3142) = Sn(25314, 41352 , 41352)
– Sn(2413,3142) = Sn(25314, 25314, 41352 , 41352)
• Corollaire : est une bijection de
– Sn(25314,3142) vers les cartes 2-connexes à n+1 arêtes
– Sn(2413,3142) vers les cartes séries-parallèles à n arêtes
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Orientationsbipolaires
Sn(25314, 41352)
Orientations Min
Sn(25314,3142)
Cartes 2-connexes
Orientation Min&Max
Sn(2413,3142)
Cartes séries-parallèles
Spécialisations de
Baxter Sn(2413,3142)Baxter Sn(2413)= = =
[Dulucq Gire West 96] [Gire 93]
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• Permutations de Baxter alternantes 2n (2n+1)– Enumérées par Cn.Cn
(Cn.Cn+1 )[Cori Dulucq Viennot’86] [Dulucq Guibert’98]
• Permutations de Baxter doublement alternantes 2n (2n+1)– Enumérées par Cn
[Guibert Linusson’00]
Perspectives
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Travaux en cours
• Orientations mono-source– Involutions de Baxter– Liens avec les cartes
Eulériennes
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Motif exclu contient le motif si le diagramme de est obtenu à partir de celui de en supprimant des lignes et des colonnes.
On note Sn() l’ensemble des permutations qui excluent .
Ex : Sn()=213
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Arbre de génération
Un arbre de génération d’un ensemble E est un arbre tel que :– Chaque objet de En apparaît une fois au niveau n.– Les arêtes reliant les sommets de niveau n à ceux du niveau n+1
correspondent aux règles de génération permettant de construire les objets de En+1 à partir de ceux de En.
• Ex : Chemins de Dyck : – En+1 -> En : suppression du dernier pic– En -> En+1 : ajout d’un pic dans la dernière descente.
• L’arbre de génération des chemins de Dyck est isomorphe à l’arbre :– (0)– (p) -> (1), (2), …,(p), (p+1)
• Rq : Ce paramètre correspond à la longueur de la dernière descente.
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Motif barré. Ex : 25314Une permutation barrée est une permutation avec un élément distingué. On note ’ la permutation sans l’élément barré.Ex : = 25314 ’ = 2413
On dit qu’une permutation contient le motif barré , s’il existe une occurrence de ’ qui ne soit pas une sous-occurrence de .
Rq : Sn(25314) ssi toute sous-suite 2413 de est aussi une sous-suite de 25314.
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Permutation de Baxter = Sn(25314, 41352)
Définition par factorisation :
[Glen Baxter]