PLANO DE AULA

1)Escola de Educação Básica Bulcão Viana

Município: Praia Grande/SC

Disciplina: Matemática

Série: 1º ano Nível: Ensino Médio

Turma: Única

Professora: Mariani Constante de Jesus

Tempo previsto: 3h.a.

2)Tema: Funções

Subtemas: Função Composta, Função Inversa, Qualidades

3) Justificativa

O conceito de função é um dos mais importantes da Matemática e ocupa lugar

de destaque em vários de seus ramos, bem como em outras áreas do conhecimento. É

muito comum e conveniente expressar fenômenos físicos, biológicos, sociais, etc. por

meio de funções (DANTE, 2012).

As funções correspondem a uma lei de proporcionalidade entre grandezas.

Quando é possível relacionar mais de duas grandezas através de uma mesma função, por

exemplo, a altura que a lava e o vapor atingem em um vulcão em erupção é obtida em

função da pressão dos gases no interior do Vulcão e da Terra. Contudo, essa pressão

depende da temperatura atingida pela atividade vulcânica (OLIVEIRA, 2013).

4) Objetivos:

Definir função composta;

Resolver problemas que envolvem função composta;

Classificar funções quanto ao seu crescimento ou decrescimento;

Analisar e construir gráficos de funções crescentes e decrescentes;

Classificar funções em pares ou ímpares;

Esboçar gráficos de funções pares e ímpares;

Identificar funções em injetora, bijetora, sobrejetora, por meio de diagrama de

flechas e gráficos;

Determinar a inversa de uma função bijetora;

Construir (desenvolver) gráficos de funções inversas.

5) Conteúdos envolvidos

Função por meio de conjuntos, domínio, contradomínio e conjunto imagem de

uma função, construção de gráficos de funções.

6) Estratégias:

6.1- recursos: Quadro, projetor de slides, software matemático.

6.2- técnicas: Aula expositiva e dialogada.

7) Procedimentos:

7.1- Problematização:

Problema I:

Você já ouviu falar dos Direitos do Trabalhador?

Uma boa parte das relações trabalhistas no Brasil é regida pela Consolidação das Leis

do Trabalho, cuja sigla é CLT. É importante que todos os trabalhadores como também

os empregadores conheçam quais são os direitos de cada trabalhador, evitando assim

problemas gerados pela falta de conhecimento. Como exemplo, vamos citar alguns itens

que constam na CLT.

GARANTIAS E BENBEFÍCIOS: Assistência gratuita aos filhos e dependentes desde o

nascimento até 6 anos de idade em creches e pré-escolas; Redução dos riscos inerentes

ao trabalhado, por meio de normas de saúde, higiene e segurança; Seguro contra

acidentes de trabalho, a cargo do empregador, sem excluir a indenização a que está

obrigado; Proibição de trabalho noturno, perigoso ou insalubre a menores de 18 anos e

de qualquer trabalho a menores de 16 anos, salvo na condição de aprendiz, a partir de 14

anos.

IGUALDADE: Proibição de diferença de salários, de exercício de funções e de critérios

de admissão por motivo de sexo, idade, cor ou estado civil; Proibição de qualquer

discriminação no tocante a salário e critérios de admissão do trabalhador portador de

deficiência.

Sabemos que são inúmeros os problemas que ainda existem em relação ao não-

cumprimento das leis, entretanto, uma maneira de diminuir tais problemas, antes de

mais nada, é a tomada de consciência. Mesmo sendo este material didático de

Matemática, ele também deve ter preocupações com as questões de cidadania. Por falar

nisso, vamos discutir agora uma situação relacionada a salário, a desconto.

O salário de um trabalhador, que recebe “por hora”, depende do número de horas

trabalhadas. Da mesma forma, o desconto referente ao Imposto de Renda que ele tem

que pagar depende do salário que recebe. Temos aqui a ideia de três funções:

Salário é uma função do número de horas

S = f(n): 𝑆: 𝑠𝑎𝑙á𝑟𝑖𝑜𝑓 é 𝑓𝑢𝑛çã𝑜

𝑛: 𝑛º 𝑑𝑒 𝑕𝑜𝑟𝑎𝑠

Desconto é uma função do salário

d = g(s): 𝑑: 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜𝑔 é 𝑓𝑢𝑛çã𝑜𝑠: 𝑠𝑎𝑙á𝑟𝑖𝑜

e, como consequência dessas duas,

Desconto é uma função do número de horas

d = h(n): 𝑑: 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜𝑕 é 𝑓𝑢𝑛çã𝑜

𝑛: 𝑛º 𝑑𝑒 𝑕𝑜𝑟𝑎𝑠

Então:

Qual o salário do trabalhador por 110 horas trabalhadas?

Qual o desconto referente a 110 horas trabalhadas?

Obtenha a lei de formação d = h(n) que expressa o desconto em função do

número de horas trabalhadas.

Problema II:

Em uma determinada loja de roupas, o salário mensal de uma vendedora é dado

por: R$ 975,00 referente ao salário comercial mais 0,41% referente as vendas que

realizou durante o mês. Utilizando a ideia de função composta, responda: Quanto

receberá a vendedora no fim do mês se vender um total de R$ 28000? Sabendo que é

descontado 5% referente ao INSS.

SOLUÇÃO:

S(x) = 975 + 0,41 % x

I(S) = 5% S

I(S(x))

I = 5% (975 + 0,41% . 28000)

I = 5% (975 + 114,8)

I = 5% . 1089,8

I = 54,49

Salário = 1089,8 – 54,49

Salário = 1035,31

7.2- Historicização

Segundo Dante (2012), o conceito de função é um dos mais importantes da

Matemática. Este conceito sofreu uma grande evolução ao longo dos séculos, sendo que

a introdução do método analítico na definição de função (séc. XVI séc. XVII) veio

revolucionar a Matemática.

Foi Leibniz (1646-1716) quem primeiro usou o termo “função” em 1673 no

manuscrito Latino “Methodus tangentium inversa, seu de fuctionibus”. Leibniz usa o

termo apenas para designar, em termos muito gerais, a dependência de uma curva de

quantidades geométricas como as subtangentes e subnormais. Introduziu igualmente a

terminologia de “constante”, “variável” e “parâmetro”.

Como consequência da evolução do estudo das funções surge numerosas

aplicações da Matemática a outras ciências. Pois, os cientistas partindo de observações

procuravam uma fórmula (uma função), para explicar os sucessivos resultados obtidos.

A função era, então, o modelo matemático que explicava a relação entre as variáveis.

7.3- Operacionalização da aula

Crescimento e decrescimento de uma função

Vamos analisar as seguintes situações:

O gráfico abaixo mostra a população brasileira de 1940 a 2000.

Neste gráfico podemos perceber que a população está aumentando em função do

aumento do tempo (anos), logo a curva é denominada „crescente‟.

Diz-se que f é crescente, se para a < b, então f(a) < f(b).

Este gráfico mostra um tanque de água sendo esvaziado.

Pelo gráfico notamos a diminuição do volume de água em função do aumento de tempo

(minutos), portanto a curva é „decrescente‟.

Diz-se que g é decrescente, se a < b então g(a) > g(b).

Função Constante – os valores da imagem permanecem inalterados, mesmo

aumentando os valores da variável independente.

Construindo e Analisando os gráficos

I. Seja a função real dada por f(x) = 2x + 1. Para analisar se essa função é

crescente ou decrescente, vamos representá-la graficamente.

Atribuindo a x alguns valores reais e substituindo na função dada, obtemos suas

respectivas imagens.

x f(x) = 2x + 1 y

-2 f(-2) = 2 . (-2) + 1 -3

-1 f(-1) = 2 . (-1) + 1 -1

0 f(0) = 2 . 0 + 1 1

1 f(1) = 2 . 1 + 1 3

Podemos notar que, ao aumentarmos

os valores atribuídos a x, os valores

das imagens correspondentes em y

também aumentam.

Nesse caso, dizemos que a função f é crescente em ℝ.

II. Veja o gráfico da função de ℝ em ℝ dada por f(x) = - x².

x f(x) = - x² y

-2 f(-2) = - (-2)² -4

-1 f(-1) = - (-1)² -1

0 f(0) = - (0)² 0

1 f(1) = - (1)² -1

2 f(2) = - (2)² -4

Nesse gráfico podemos perceber que:

Para 𝑥 ≤ 0, essa função é crescente;

Para 𝑥 ≥ 0, essa função é decrescente;

Para 𝑥 = 0, f(x) = 0; para 𝑥 ≠ 0, temos f(x) < 0. Por isso, dizemos que x = 0 é o

ponto de máximo a função.

III. Observe o gráfico da função de ℝ em ℝ dado por 𝑓 𝑥 = 𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 33, 𝑠𝑒 𝑥 > 3

.

x y

-1 -1

0 0

1 1

2 2

3 3

4 3

5 3

Veja que:

Para 𝑥 ≤ 3, essa função é crescente;

Para 𝑥 > 3, essa função e constante;

Para x < 0, f(x) < 0;

Para x = 0, f(x) = 0;

Para x > 0, f(x) > 0.

Função Par - Função Ímpar

Função Par: f é função par se, e somente se, f(x) = f(-x), para qualquer x ϵ D, em que o

domínio é simétrico em relação à origem. O gráfico é simétrico em relação ao eixo y.

Consideremos a função f: ℝ → ℝ, definida por f(x) = x².

Temos o seguinte gráfico:

Observe que:

𝑓 1 = 1² = 1

𝑓 −1 = −1 2 = 1 f(1) = f(-1), ou seja, 1 e -1 têm a mesma imagem

𝑓 2 = 2² = 4

𝑓 −2 = −2 2 = 4 f(2) = f(-2), ou seja, 2 e -2 têm a mesma imagem

Função Ímpar: f é função ímpar se, e somente se, f(-x) = -f(x), para qualquer x ϵ D, onde

o domínio é simétrico em relação a origem e o gráfico também é simétrico em relação a

origem O.

Veja o gráfico da função f: ℝ → ℝ, definida por f(x) = x³.

Analisando o gráfico temos que:

𝑓 1 = 1³ = 1

𝑓 −1 = −1 3 = −1 f(1) = -f(-1), ou seja, 1 e -1 têm imagens opostas

𝑓 2 = 2³ = 8

𝑓 −2 = −2 3 = −8 f(2) = -f(-2), ou seja, 2 e -2 têm imagens opostas

Função Injetora, Sobrejetora e Bijetora

Função Injetora: Diz-se que f é injetora se, e somente se, para quaisquer x1 e x2 ϵ A, com

x1 ≠ x2, se tivermos f(x1) ≠ f(x2).

O diagrama ao lado representa a função

f : A → B, definida por f(x) = x +1.

Veja que f associa elementos distintos

de A a elementos distintos de B.

Portanto f é injetora.

Função Sobrejetora: Uma função f : A → B é sobrejetora quando, para qualquer

elemento y ϵ B, pode-se encontrar um elemento x ϵ A tal que f(x) = y. Ou seja, Im = CD.

O diagrama ao lado representa a função

f : A → B, definida por f(x) = x².

Im = {0, 1, 4} e CD = {0, 1, 4}

Função Bijetora: Diz-se que f é bijetora se, e somente se, f é sobrejetora e injetora

simultaneamente.

Considere o diagrama que representa a função f : A → B, definida por f(x) = 2x + 1.De

acordo com o que vimos anteriormente, a função f é, ao mesmo tempo, sobrejetora e

injetora. Trata-se, portanto, de uma função bijetora.

Função inversa

Dada uma função f : A → B, bijetora, denomina-se função inversa de f a função g : B →

A tal que , se f(a) = b, então g(b) = a, com a ϵ A e b ϵ B.

Para representar a função inversa de f, utilizamos o símbolo f-1

.

Exemplificando no diagrama de flechas:

f : A → B g : B → A

De modo geral, se f é bijetora, temos:

em que g : B → A é a função inversa da função

f : A → B, uma vez que se tem: g(y) = g(f(x)) = x para todo x ϵ A e f(g(y)) = y para todo

y ϵ B.

Determinando a função inversa e construindo seu gráfico

Caso a função seja bijetora, e, portanto, invertível, é possível determinar a sua inversa.

Para isso “trocamos” a variável x por y na lei que define a função e em seguida

“isolamos” o y, obtendo a lei que define a função inversa.

É preciso apenas tomar cuidado com o domínio da nova função obtida.

Vejamos o exemplo:

1. Obter a lei da função inversa da função f dada por y = x + 2.

Resolução:

y = x + 2

↓ ↓

x = y + 2 → trocando y por x e x por y

y = x – 2 → isolando y

Então, y = x – 2 é a lei da função inversa da função dada por y = x + 2.

Vamos agora construir os gráficos das funções f e f-1

num mesmo sistema de

coordenadas:

x f(x)

-1 1

0 2

1 3

2 4

x f-1

(x)

1 -1

2 0

3 1

4 2

2. Determinar a função inversa da função g(x) = 𝑥+5

2𝑥−3, cujo domínio é D = ℝ -

3

2 .

Resolução:

Temos a função 𝑦 = 𝑥+5

2𝑥−3, trocando as variáveis temos: 𝑥 =

𝑦+5

2𝑦−3

x(2y – 3) = y + 5 → 2xy – 3x = y + 5

2xy – y = 3x + 5 → y(2x – 1) = 3x + 5

y = 3𝑥+5

2𝑥−1 ; 2x – 1 ≠ 0 →x ≠

1

2

Logo, g-1

(x): ℝ − 1

2 → ℝ −

3

2 dada por 𝑦 =

3𝑥+5

2𝑥−1 é a função inversa procurada.

Função Composta

Para resolver o problema I, podemos considerar que:

Um trabalhador recebe 15 reais por hora. Assim, se o número de horas que ele

trabalha durante um mês é o n, o seu salário é: S = f(n) → S = 15 . n

Imagine que a Receita Federal adote a seguinte “fórmula” para o cálculo do

desconto referente ao imposto: d = g(s) → d = 1/6 . (S – 450)

Podemos então, escrever o seguinte esquema:

f g

n → 15n → 1/6(15n – 450)

h

A função h, que relaciona o desconto em função do número n de horas trabalhadas é

dita composta de g com f:

h = g composta com f

h = g(f(n)) = gof

f g

h = g(f(n))

Definição: Dadas as funções f: A → B e g: B → C, denomina-se função composta de g

e f, nessa ordem, a função gof: A → C definida por (gof) (x) = g(f(x)) para x ϵ A.

Exemplos:

1. Dados os conjuntos A = {2; 4; 6; 8}, B = {5; 9; 13; 17} e C = {25; 81; 169; 289}

considere as funções f: A → B definida por f(x) = 2x + 1 e g: B → C definida

por g(x) = x².

a) Obtenha g(f(2)); g(f(4)); g(f(6)) e g(f(8)).

b) Obtenha a lei de formação da função composta gof.

2. Sejam as funções reais f e g definidas respectivamente por f(x) = x + 1 e

g(x) = 2x² - 3. Determine:

a) f(g(x)) e g(f(x))

b) Os valores de x para que se tenha f(g(x)) = g(f(x))

8) Avaliação

Os alunos serão avaliados pela realização das atividades propostas em sala de

aula, onde mostrarão o entendimento do conteúdo apresentado.

n f(n) g(f(n))

1

2

3

4

8.1 - Instrumentos de avaliação

A partir do desenvolvimento e compreensão dos conceitos estudados, será

realizado uma avaliação individual com os seguintes exercícios de aplicação do tema:

1. Classifique as seguintes afirmações como verdadeira (V) ou falsa (F)

justificando as alternativas que julgar falsas.

( ) f é função par se, e somente se, f(x) = f(-x), para qualquer x ϵ D, em que o

domínio é simétrico em relação à origem.

( ) Uma função f : A → B é sobrejetora quando Im ≠ CD.

( ) Diz-se que g é decrescente, se para a < b, então f(a) < f(b).

( ) Uma função é constante se os valores da imagem permanecem inalterados,

mesmo aumentando os valores da variável independente.

2. A inversa da função 𝑓 𝑥 =𝑥+3

𝑥+2 , cujo D = ℝ - {-2} e CD = ℝ - {1} é:

a) 𝑓−1(𝑥) =3+2𝑥

𝑥−1 b) 𝑓−1 𝑥 =

3−2𝑥

𝑥−1 c) 𝑓−1 𝑥 =

3−2𝑥

𝑥+1

d) 𝑓−1(𝑥)3+2𝑥

𝑥+1 e) 𝑓−1(𝑥)

3−2𝑥

𝑥−2

3. Sejam as funções reais f e g definidas respectivamente por f(x) = x² + 2x e

g(x) = 1 – 3x. Determine f(g(x)) e g(f(x)).

4. Fundamentados em nossos estudos em sala de aula some as alternativas

verdadeiras.

01 – O diagrama representa uma função f: A → B, que não admite inversa.

5.

6.

9

10

11

12

13

02 – Sejam as funções f(x) = x² - 2x + 1 e g(x) = 2x + 1. A função f(g(1)) = 4.

04 – O gráfico abaixo é de uma função crescente.

08 – A função inversa de f(x) = 3x + 4 é 𝑦 =𝑥+4

3.

SOMA =

9) Referências

DANTE, Luiz Roberto. Matemática Contexto e Aplicações. Volume 1 Ensino Médio.

São Paulo: Ática, 2012.

OLIVEIRA, Gabriel Alessandro de. Função Composta. Disponível em:

http://www.mundoeducacao.com/matematica/funcao-composta.htm. Acesso em 25 Ago

2014.

GIOVANI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática Completa. 1ª série

Ensino Médio. São Paulo: FTD, 2005.

DESAFIOS DO CONHECIMENTO. Curitiba: Posigraf, 2004. v. 4, p.20.