Apéndice A

PLL

En el presente capítulo se realizará una breve reseña sobre el esquema y funcionamiento de los PLL revisando los siguientes tópicos:

Diagrama de Bloques de un PLL.

Señales del lazo.

Filtro de Lazo.

Oscilador Controlado por voltaje.Análisis linealizado del PLL.

i

ii PLL – Apéndice A

A.1 Introducción.Básicamente un PLL es un lazo cerrado de control de

fase: Un oscilador controlado por voltaje (frecuencia proporcional al voltaje de

control), se mantiene “enganchado” en fase con la señal periódica. Al variar la

frecuencia de la señal (en rigor entonces no es periódica), el oscilador la sigue, es

decir, genera la misma frecuencia de la señal de entrada.

Para ello es necesario que el voltaje de control sea proporcional a la frecuencia de la señal de entrada. En consecuencia, se tiene un sistema que genera un voltaje proporcional a la frecuencia.

A.2 Diagrama de Bloques de un PLL

Figura A.2.1 . Diagrama estructural de un PLL

El comparador de fase entrega una señal proporcional a la diferencia de fase entreEl comparador de fase entrega una señal proporcional a la diferencia de fase entre sus entradas. Una forma sencilla de lograr esto, es mediante un moduladorsus entradas. Una forma sencilla de lograr esto, es mediante un modulador balanceado seguido por un filtro pasabajos:balanceado seguido por un filtro pasabajos:

DETECTOR DE FASE

Amplificador y LPF

VCO

M(t) señal demodulada

SFM señal de entrada

1 cos( ( ))c iA t t

2 sin( ( ))c fA t t

)(tvi

)(tvo

Apéndice A – PLL iii

Figura A.2. 2 Modulador Balanceado y filtro pasabajos.

El multiplicador entrega:El multiplicador entrega:

(A.2.1)

El segundo término es eliminado por el filtro pasabajos, obteniendo:El segundo término es eliminado por el filtro pasabajos, obteniendo:

(A.2.2)(A.2.2)

X

iv PLL – Apéndice A

SiSi , , se aprecia el siguiente fenómenose aprecia el siguiente fenómeno::

Figura A.2.3. Figura A.2.3. Vc(t) para distintos ángulosVc(t) para distintos ángulos

El detector de fase indicado es sólo lineal para diferencias angulares pequeñas. SeEl detector de fase indicado es sólo lineal para diferencias angulares pequeñas. Se observa que su salida es cero cuando lasd señales están en cuadratura.observa que su salida es cero cuando lasd señales están en cuadratura.

De la figura anterior se puede desprender que:De la figura anterior se puede desprender que:

Se puede lograr una respuesta lineal en un rango –90º a 90º de desfaseSe puede lograr una respuesta lineal en un rango –90º a 90º de desfase amplificando y limitando las señales de entrada al multiplicador (o bienamplificando y limitando las señales de entrada al multiplicador (o bien limitando a la salida).limitando a la salida).Normalmente no es deseable que la ganancia delNormalmente no es deseable que la ganancia del detector de fase dependa de la amplitud de la señal de entrada. Ladetector de fase dependa de la amplitud de la señal de entrada. La limitación de la señal de entrada resuelve ese problema.limitación de la señal de entrada resuelve ese problema.A.3.A.3. Filtro deFiltro de Lazo.Lazo.La señal La señal vvcc((tt) es aplicada a un filtro denominado “filtro de lazo “) es aplicada a un filtro denominado “filtro de lazo “ cuya respuesta determina la dinámica del PLL para corregir la fase.cuya respuesta determina la dinámica del PLL para corregir la fase.EsteEste filtro es siempre de tipo pasabajos, por lo cual se encargará, además, defiltro es siempre de tipo pasabajos, por lo cual se encargará, además, de

vc(t)

/2 i(t)- f(t)

Apéndice A – PLL v

eliminar la doble frecuencia que se genera en eleliminar la doble frecuencia que se genera en el multiplicador.multiplicador.Normalmente el detector de fase no incluye filtrajeNormalmente el detector de fase no incluye filtraje pasabajos, basta con el filtro de lazo. pasabajos, basta con el filtro de lazo. A pesar de lo anterior,A pesar de lo anterior, conceptualmente la detección de fase es un proceso separado del filtrajeconceptualmente la detección de fase es un proceso separado del filtraje de lazo.de lazo.La respuesta a impulso de este filtro dará origen a la salida La respuesta a impulso de este filtro dará origen a la salida vv00((tt)) segúnsegún(A.3.1)(A.3.1)A.4.A.4. Oscilador controlado por voltaje.Oscilador controlado por voltaje.ElEl oscilador controlado por voltaje (VCO) tiene una frecuencia central ooscilador controlado por voltaje (VCO) tiene una frecuencia central o frecuencia de oscilación libre respecto de la cual el voltaje de controlfrecuencia de oscilación libre respecto de la cual el voltaje de control produce una desviación.produce una desviación.Sea Sea ωωcc la frecuencia angular del oscilador libre. la frecuencia angular del oscilador libre. La frecuencia instantánea estará dada por:La frecuencia instantánea estará dada por:(A.4.1)(A.4.2)Se observa queSe observa que ωωff(t)(t) es la desviación en frecuencia producida por es la desviación en frecuencia producida por vv00(t)(t) y y kkff es la es la ganancia del VCO en [rad/seg]/volt.ganancia del VCO en [rad/seg]/volt.La desviación de fase producida porLa desviación de fase producida por vv00(t)(t) es entonces, es entonces,(A.4.1)A.5. Análisis linealizado del PLL.Consideremos las ecuaciones que describen el lazo cerrado,Consideremos las ecuaciones que describen el lazo cerrado, asumiendo que éste está enclavado (error de fase “pequeño”):asumiendo que éste está enclavado (error de fase “pequeño”):(A.5.1)(A.5.2)(A.5.3)En el plano de frecuencias:En el plano de frecuencias:(A.5.4)(A.5.5)(A.5.6)LasLas ecuaciones anteriores corresponden al siguiente diagrama deecuaciones anteriores corresponden al siguiente diagrama de bloques:bloques:Figura A.5.1. Diagrama de bloques representativo del sistemadonde E(s) es el error de fase.donde E(s) es el error de fase.Resolviendo las ecuaciones seResolviendo las ecuaciones se despeja:despeja:(A.5.7)(A.5.8)(A.5.9)(A.5.10)La respuesta del lazo depende,La respuesta del lazo depende, como era de esperar, de H(s).como era de esperar, de H(s).Consideremos en primer lugar el caso másConsideremos en primer lugar el caso más sencillo, H(s)=1.sencillo, H(s)=1.Este caso da lugar al “PLL de primer orden”. En laEste caso da lugar al “PLL de primer orden”. En la práctica, desde luego debe siempre haber algún tipo de filtraje pasabajospráctica, desde luego debe siempre haber algún tipo de filtraje pasabajos para eliminar las componentes de doble frecuencia del detector depara eliminar las componentes de doble frecuencia del detector de fase.fase.Si H(s)=1:Si H(s)=1:(A.5.10)Consideremos el caso de un cambio brusco de laConsideremos el caso de un cambio brusco de la fase de la entrada, un escalón de fase:fase de la entrada, un escalón de fase:hasta t = 0hasta t = 0, , ii(t)=0 (t)=0 (la fase(la fase absoluta es ωabsoluta es ωcct)t)

en t = 0,en t = 0, ii(t)= (t)= ( ( < </2)/2)

(A.5.11)

(A.5.12)

(A.5.13)

Un cambio de fase produce un voltaje transiente, paraUn cambio de fase produce un voltaje transiente, para tt, , vv00(t)(t) 0.0.

vi PLL – Apéndice A

El sistema se comporta como un filtro pasabajos de primer orden para losEl sistema se comporta como un filtro pasabajos de primer orden para los cambios de fase. Su constante de tiempo escambios de fase. Su constante de tiempo es 1/( 1/(kkcckkff), es decir, su ancho de banda), es decir, su ancho de banda de –3[dB] es de:de –3[dB] es de:

(A.5.14)(A.5.14)

Si ahora consideramos la desviación de frecuencia de entrada:Si ahora consideramos la desviación de frecuencia de entrada:

lo que corresponde en el plano s a slo que corresponde en el plano s a sii(s(s), tendremos :), tendremos :

(A.5.15)(A.5.15)

Se concluye que el voltaje de salida corresponde al filtraje pasabajos de laSe concluye que el voltaje de salida corresponde al filtraje pasabajos de la desviación de frecuencia de entrada. El ancho de Banda esdesviación de frecuencia de entrada. El ancho de Banda es kkf f kkc c /(2/(2pp)) [Hz].[Hz].

Si este ancho de banda excede al de la señal que produce los cambios de Si este ancho de banda excede al de la señal que produce los cambios de frecuencia, entonces frecuencia, entonces vv00(t)(t) será proporcional a la señal modulante. será proporcional a la señal modulante.

En otras palabrasEn otras palabras ssii(s)(s)= = ωω((ss) = transformada de Fourier de la desviación) = transformada de Fourier de la desviación instantánea de frecuencia.instantánea de frecuencia.

(A.5.16)(A.5.16)

Mientras Mientras (s) (s) corresponda a una señal que varía “lentamente” en comparación corresponda a una señal que varía “lentamente” en comparación a la constante de tiempo 1/(a la constante de tiempo 1/(kkc c kkff) , v) , v00(t) seguirá a (t) seguirá a (t) (t)

Consideremos un escalón de frecuencias :Consideremos un escalón de frecuencias :

(A.5.17)(A.5.17)

Apéndice A – PLL vii

(A.5.18)(A.5.18)

(A.5.19)(A.5.19)

Las ecuaciones anteriores indican que luego de un transiente Las ecuaciones anteriores indican que luego de un transiente vv00(t)(t) tiende a un tiende a un valor proporcional a valor proporcional a ..

(A.5.20)(A.5.20)

El error estacionario de fase se obtiene similarmente, resultando:El error estacionario de fase se obtiene similarmente, resultando:

(A.5.21)(A.5.21)

Para que el resultado anterior sea válido:Para que el resultado anterior sea válido:

(A.5.22)(A.5.22)

Esto determina el Esto determina el rango de enganche del PLLrango de enganche del PLL, es decir, aquel rango de, es decir, aquel rango de frecuencias dentro del cual el PLL una vez enganchado, mantiene tal condición.frecuencias dentro del cual el PLL una vez enganchado, mantiene tal condición.

El rango de enganche corresponde entonces a que se mantenga la condición:El rango de enganche corresponde entonces a que se mantenga la condición:

(A.5.23)(A.5.23)

oo en H en Hzz(A.5.24)(A.5.24)

viii PLL – Apéndice A

KKff k kcc es la es la ganancia de lazoganancia de lazo para señales continuas. Observamos que el ancho de para señales continuas. Observamos que el ancho de banda y la ganancia del lazo (y por lo tanto el error estacionario y rango debanda y la ganancia del lazo (y por lo tanto el error estacionario y rango de enganche) están relacionados entre sí y no pueden ajustarse por separado.enganche) están relacionados entre sí y no pueden ajustarse por separado.Por este motivo no se utiliza el PLL de primer orden, sino un sistema másPor este motivo no se utiliza el PLL de primer orden, sino un sistema más elaborado, el PLL de segundo orden. elaborado, el PLL de segundo orden.

El PLL de 2º orden emplea un filtro de la forma:El PLL de 2º orden emplea un filtro de la forma:

(A.5.25)

Esta configuración permite ajustar el ancho de banda y la estabilidad del lazo enEsta configuración permite ajustar el ancho de banda y la estabilidad del lazo en forma independiente de la ganancia.forma independiente de la ganancia.

No discutiremos los detalles en esta asignatura (ver textos).No discutiremos los detalles en esta asignatura (ver textos).