polinomios y ecuaciones polinómicas
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Polinómicas
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Se dice que los polinomios y son iguales o idénticos si:
,
Es decir, si a la vez cumplen con:
1. Tienen el mismo grado
2. Los coefcientes de términos idénticos deen ser iguales
Lo anterior implica que al asignar un valor a , se otiensiempre los mismos resultados para y para .
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"gualdad de dos #olinomios
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Es posile realizar operaciones con polinom
modo que den lugar a nuevos polinomiosoperaciones son:
• *ultiplicaci%n por una constante
•Suma
• *ultiplicaci%n
+peraciones con #olinomios
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onsideremos una constante . Si se multiplica un polinomio
constante, se determina el polinomio , que se otiene multipliccoefciente del polinomio por la constante .
Sim%licamente:
E)emplo:
Sea y sea . -alle .
Soluci%n:
•
*ultiplicaci%n por unaonstante
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ados dos polinomios y la suma de ellos es un nuevo polinomotiene sumando los coefcientes de las potencias de la variale/ponente. Sim%licamente:
E)emplo:
Sea y 0
Entonces:
Luego:
•
Suma de #olinomios
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ados dos polinomios y la resta de ellos es un nuevo polinomio que sumando el polinomio con el polinomio .
E)emplo:
Sea y 0
Entonces:
Luego:
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3esta de dos #olinomios
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4otemos que si y y , entonces al sumar 5r
amos polinomios, se tiene que el gradopolinomio resultante es menor o igual que . Es d
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+servaci%n
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El producto de dos polinomios se defne como:
E)emplo:
Si y , entonces:
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*ultiplicaci%n de #olinomios
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Si y , entonces:
E)emplo:
Si se multiplica el polinomio con el polinom
grado del polinomio resultante ser6 7, es desuma del grado del polinomio , que es 8, y polinomio , que es 9.
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+servaci%n
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En la aritmética elemental, la divisi%n de dos
enteros, y ;, denotada : ; y con 2,28 que NO es un n(mero entero
Sin emargo, podemos realizar esta misma divsacar decimal?, esto es, podemos escriir:
ivisi%n de #olinomios
@ reconocemos esta divisi%n comodivisi%n con ?resto?.
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+servemos que en esta divisi%n, se tieneque:
Dividendo
Divisor
Cociente
Resto o Residuo
dem6s, oserve que:
= > ⋅ 2 A 1
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e esta Borma si y ; son enteros y <;, entonces, al dividir en ;, se otendr6un cociente y un residuo o resto 3
Sim%licamente:
Dividendo
Divisor
Cociente
Resto o Residuo
@ Se cumple que:
A = B C + R
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Estas mismas ideas son v6lidas en el casodos polinomios y , siempre que se cumque:
Es decir, si se cumple esta condici%n,dividir por , se otendr6 un polinomcociente y un polinomio residuo :
•
Dividendo
Divisor
Cociente
Resto o Residuo
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@ E;E cumplirse que:
E)emplo:
Si y , entonces, si se divide por , se otiene que y .
#odemos comproarlo si escriimos:
l realizar las operaciones respectivas, otenemos:
•
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#aso 1: Se ordena los polinomios enorden decreciente de los e/ponentes delas variales.
#aso 2: Se divide entre . Se otiene .Este término, , ser6 el primer término delpolinomio cociente.
#aso 9: Se multiplica por . Los resultados
se colocan ?dea)o? del polinomio y seles camia sus signos. Cinalmente sesuman.
#aso : Se otiene la e/presi%n . Serepite el proceso anterior dividiendo eltérmino entre , que luego se multiplicapor el polinomio .
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E)emplo del #rocedimiento para3ealizar la ivisi%n de #olinomios
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E)emplo
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Supongamos que se tiene que . Si realizamos la divisi%n, saese otiene:
Entonces:1.
2.
9.
. Si , entonces > D o ien
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+servaciones
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Supongamos que se divide un polinomio por ot
polinomio :
1. Si el polinomio residuo 5o resto , se dice que divisi%n es ?e/acta?
2. dem6s se dice que el polinomio es un !acto
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+servaciones
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Si se divide por el polinomio 9, entonces se otiene cpolinomio cociente y como residuo .
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E)emplo
e esta Borma:
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omo en el e)emplo anterior el residuo , en#olinomio es:
1. ?ivisile? por el polinomio .
2. El polinomio se puede ?Bactorizar? utilizpolinomios y , es decir:
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El determinar si el residuo es cero es uno
aspectos m6s importantes de la divisi%n dpolinomios, pues ello nos permite estalecdescomposici%n Bactorial de un polinomio.
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-emos estalecido que si se divide por se otipolinomio cociente y un polinomio residuoadem6s:
nalicemos el caso particular en el que , donden(mero real cualquiera.
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ivisi%n de un polinomio por upolinomio
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#or e)emplo, si el polinomio es:
entonces 2
entonces F
entonces
entonces
entonces 2
entonces F
entonces
entonces
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l dividir un polinomio por un polinomio , se tiene que:
E)emplo:
Si se divide por , se otiene:
Es decir:
4%tese adem6s que el grado de es e"actamente una unidamenos que el polinomio .
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continuaci%nse procedecomo sigue:
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9 7 9 2
& 9 2 1 Descripci%n:
1. Se repite el n(mero en ro)o inmediatamente dea)o de él 5en este caso el n(mero 9
2. Se multiplica 2 5en color lila por 9, se otiene H y se suma con 7. El resultado de ees 2 se coloca inmediatamente a)o 7.
9. Se repite el proceso anterior, esta vez multiplicando 2 5color lila por 2, lo que dase suma con el valor 9 5en color anaran)ado y se otiene 1.
. 4uevamente se repite el proceso multiplicando 2 5color lila por 1 y se suma al valoeste caso, cero.
8. El polinomio tendr6 por grado uno menos que el polinomio . omo este (ltimentonces ser6 de grado 2.
H. #ara determinarlo, asta considerar los n(meros en las celadas de color celeste, qcoefcientes del polinomio de grado 2 al que nos estamos refriendo, es decir:
F. 3especto del residuo, est6 representado por el valor en la celda de color amarillo
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• Se deduce entonces que divide en !orma e"apues el residuo es cero.
• e modo que $emos $allado una !actori'para en términos de .
• #or (ltimo como el residuo Bue cero, se dedu2 es una ra( z de , es decir .
•
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ividir el polinomio H por el polinomio .
Soluci%n:
En este caso el polinomio 4+ es e/actamente de la Borma , de modo que deemos procsiguiente manera:
•
ivisi%n Sintética: E)emplo 2
) * * $& *
2 1
) * * $& *
2 1
En este caso el polinomio se otiene dividiendo cada coefciente 5celdas por 2 n(mero en color ro)o, de modo que:
El residuo se otiene dividiendo el n(mero en la celda amarilla por el mismo2 en color ro)o. e esta manera el residuo es
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E)ercicio
3ealice un an6lisis completo de las raIces del polinoBactorice el mismo en J y resuelva, en J, la ecuaci%•
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