politecnico di milano facoltà di ingegneria dell...

POLITECNICO DI MILANO

Facoltà di Ingegneria dell’informazione Corso di laurea in Ingegneria Elettronica

ESPERIENZE DIDATTICHE DI CONTROLLO AVANZATO

DEL PENDOLO DI FURUTA TRAMITE EASY JAVA SIMULATIONS

Relatore Prof. Alberto LEVA

Tesi di laurea di Nicholas COMOTTI

Matr. 681625

Anno Accademico 2006/2007

Dedicata alla mia famiglia

Fiorenzo, Francesca e Luisa

Indice

I

1. INTRODUZIONE............................................................................................................................................... 1

2. IL MODELLO DEL PENDOLO DI FURUTA ........................................................................................................... 5

1. PREMESSE ................................................................................................................................................................ 5 2. CINEMATICA DEL PENDOLO .......................................................................................................................................... 6 3. ENERGIA DEL PENDOLO ............................................................................................................................................... 8 4. EQUAZIONI DEL MOTO .............................................................................................................................................. 10 5. MODELLO IN VARIABILI DI STATO ................................................................................................................................ 12 6. PUNTI DI EQUILIBRIO ................................................................................................................................................ 13 7. SISTEMA LINEARIZZATO ............................................................................................................................................. 14 8. AUTOVALORI DEL SISTEMA LINEARIZZATO E STABILITÀ DEGLI EQUILIBRI ............................................................................... 17 9. CALCOLO DELLA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO .............................................................................................................. 22 10. SISTEMA APPROSSIMATO .......................................................................................................................................... 23 11. SIMULATORE MATLAB ............................................................................................................................................ 25

3. IL CONTROLLO DEL PENDOLO DI FURUTA ...................................................................................................... 27

1. PREMESSE .............................................................................................................................................................. 27 2. SINTESI DEL CONTROLLO BASATO SU PID ...................................................................................................................... 29 3. SINTESI DEL CONTROLLORE LQR ................................................................................................................................. 43 4. SWINGING UP CON CONTROLLO DELL’ENERGIA (EC) ....................................................................................................... 51 5. CONTROLLO DEL PENDOLO CON STRATEGIA EC‐LQR ...................................................................................................... 61 6. CONTROLLO VIRTUAL GRAVITY (VG) ........................................................................................................................... 63 7. CONTROLLO VIRTUAL SPRING (VS) ............................................................................................................................. 69

4. LE ESPERIENZE DI CONTROLLO SIMULATE ...................................................................................................... 81

1. INTRODUZIONE A EASY JAVA SIMULATIONS ................................................................................................................... 81 2. IL SIMULATORE DEL PENDOLO DI FURUTA ..................................................................................................................... 82 3. ESPERIENZE CON CONTROLLO EC‐LQR ........................................................................................................................ 86 4. ESPERIENZE CON CONTROLLO VIRTUAL GRAVITY ............................................................................................................ 90 5. ESPERIENZE CON CONTROLLO VIRTUAL SPRING .............................................................................................................. 92

5. CONCLUSIONI ............................................................................................................................................... 95

6. BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................................................. 101

7. INDICE DELLE FIGURE .................................................................................................................................. 103

Politecnico di Milano

II

Introduzione

1

1. Introduzione Questa tesi tratta della realizzazione di esperienze di controllo relative al pendolo di Furuta e

implementate con l'ambiente Easy Java Simulations.

Le esperienza di cui sopra sono state concepite a scopo essenzialmente didattico; tuttavia,

l'implementazione in un ambiente altamente interattivo di metodi di controllo avanzati può

rivestire un certo interesse anche dal punto di vista della ricerca.

Il pendolo di Furuta è un oggetto di largo uso per la sperimentazione di metodologie di controllo.

Esso infatti presenta delle caratteristiche dinamiche relativamente semplici da comprendere (dal

che il suo vasto uso anche in ambito didattico) ma tutt'altro che banali da regolare (dal che la sua

presenza come “test bed” anche in molti lavori di ricerca).

Easy Java Simulations (Ejs) è un ambiente interattivo per la simulazione di sistemi, di concezione

recente e sempre più diffuso per applicazioni didattiche e/o dimostrative. Oltre a ciò, Ejs sta oggi

integrandosi con ambienti meno concepiti per l'interattività ma più per applicazioni avanzate di

modellistica, simulazione e controllo (quali Matlab, Scilab e traduttori Modelica). Riferimenti in

proposito sono ad esempio [24]. Da ultimo, Ejs è free software distribuito nei termini della licenza

GNU GPL, il che risolve a priori qualsiasi problema relativo alla disseminazione dei risultati

ottenuti.

Tutto ciò premesso, in questa tesi s'implementano e si analizzano algoritmi di controllo sia

“classici” che “avanzati” per il pendolo di Furuta, ottenendone poi tramite Ejs dei programmi di

simulazione interattiva fruibili sia in modalità stand‐alone che tramite il web, nella forma di applet

Java. In dettaglio, gli algoritmi considerati sono:


2

• PID: classico controllo che agisce sul segnale errore, sulla sua derivata e sul suo valore

integrale soppesando i singoli contributi con tre guadagni scelti in fase di progettazione;

• LQR: algoritmo di controllo che ottimizza una indice quadratico funzione dello stato e del

segnale di controllo stesso, tramite la tecnica della retroazione di stato;

• Speed Gradient: strategia di controllo avanzata per l’ottimizzazione del gradiente di un

indice di costo funzione dello stato del sistema;

• Virtual Gravity : metodo di regolazione che simula il funzionamento del processo in un

ambiente “a gravità invertita” tramite la sintesi di un opportuno segnale di controllo;

• Virtual Spring : tecnica di controllo innovativa per la sintesi di un segnale di controllo atto a

simulare il funzionamento del processo sottoposto a dei “vincoli virtuali”, quale appunto

un sistema molla – smorzatore, il cui effetto è portare il sistema medesimo nella posizione

desiderata come risultato del controllo.

La tesi è organizzata come segue:

Il capitolo 1 è dedicato allo studio del pendolo di Furuta. In questa sezione si ricavano le

equazioni dinamiche che regolano il moto del pendolo di Furuta, si studiano i punti di

equilibrio del modello (non lineare) ottenuto e si caratterizza il processo, attorno a tali

punti di equilibrio, con le funzioni di trasferimento degli opportuni sistemi linearizzati.

Successivamente si cerca di ridurre la complessità del modello non lineare, approssimando

il pendolo di Furuta con un pendolo semplice. L’ultima parte del capitolo è dedicata

all’implementazione dei modelli ricavati in ambiente Matlab/Simulink.

Il capitolo 2 è dedicato alla sintesi dei sistemi di controllo per il pendolo di Furuta. Si

analizzano inizialmente due tecniche classiche (PID e LQR) per stabilizzare il sistema,

passando poi alla sintesi di un controllore avanzato per la generazione di oscillazioni

controllate tramite la tecnica “speed gradient”. I tre sistemi di controllo così ottenuti sono

poi implementati in ambiente Matlab/Simulink per effettuarne un'analisi comparativa ed

evidenziarne pregi e difetti. Successivamente si realizzano due sistemi di controllo avanzati,

il primo basato sul concetto di “gravità virtuale” e il secondo su quello di “vincolo virtuale”.

Anche in quest’ultimo caso, le due tecniche di controllo sono poi implementate in

ambiente Matlab/Simulink e analizzate in dettaglio.

Introduzione

3

Il capitolo 3 è dedicato alla realizzazione, in ambiente Ejs, di simulatori del pendolo di

Furuta e dei sistemi di controllo sintetizzati. Al termine del lavoro si hanno quindi a

disposizione dei programmi di simulazione completamente indipendenti che possono

essere usati sia a scopo didattico, per spiegare in modo semplice la dinamica del pendolo di

Furuta e le possibili soluzioni per il suo controllo, sia a scopo di ricerca, per effettuare delle

analisi comparative sui sistemi i controllo considerati. E' ovviamente possibile estendere i

risultati ottenuti includendovi altre tecnche di controllo. Il software realizzato è disponibile

nei termini della licenza GNU GPL ed è scaricabile dalla sezione “progetti” del sito web del

relatore (http://home.dei.polimi.it/leva).


4

Il modello del Pendolo di Furuta

5

2. Il modello del pendolo di Furuta 1. Premesse

Figura 1 : Modello del pendolo di Furuta

Il pendolo di Furuta è mostrato in figura 1.

Il sistema è composto da due corpi rigidi connessi tra di loro:

un pilastro centrale, con momento di inerzia J, rigidamente connesso ad un braccio

orizzontale di lunghezza La, di massa (linearmente distribuita) Ma

e un pendolo di lunghezza Lp, di massa (linearmente distribuita) Mp.

Il pendolo è poi connesso ad un corpo di bilanciamento con massa (ritenuta puntiforme) M.

I parametri del sistema sono quindi, con riferimento alla figura 1, i seguenti:

Mp [Kg] Lp [m] Ma [Kg] La [m] M [Kg] J [Kgm^2] 0.00775 0.4125 0.072 0.250 0.02025 0.0000972


6

2. Cinematica del pendolo Anzitutto una breve premessa terminologica. Dato l’uso (anche in letteratura) del termine

“pendolo” per riferirsi sia al pendolo di Furuta nel suo complesso che alla parte di esso compresa

tra il braccio e la massa (l’elemento di lunghezza Lp in figura 1), qui si dirà, a costo di qualche

ridondanza ma con l’effetto di evitare confusioni, “pendolo di Furuta” per riferirsi al tutto e

“pendolo” tout court per riferirsi alla parte.

La posizione di un generico elemento infinitesimo del pendolo di Furuta, assimilato nel seguito per

comodità ad un punto generico detto P, può essere descritta da un vettore posizione

TRpRaRzRpRaRyRpRaRxRpRaR )],(),,(),,([),( = (1)

Dove

ϑϑφφϑφφ

cos),(sincossin),(sinsincos),(

RpRpRaRzRpRaRpRaRyRpRaRpRaRx

=+=−=

(2)

La variabile Ra rappresenta la distanza dall’origine dell’elemento di pendolo di Furuta assimilato al

punto P quando tale elemento appartiene al braccio, mentre la variabile Rp ha lo stesso significato

quando l’elemento (ossia il punto P) appartiene al pendolo. La distanza è misurata dal centro di

rotazione per entrambi i corpi.

Derivando la (1) rispetto al tempo si ricava l’espressione del vettore velocità

TRpRaVzRpRaVyRpRaVxRpRaV )],(),,(),,([),( = (3)

Dove

ϑϑ

φφϑϑφϑφφ

φφϑϑφϑφφ

&

&&&

&&&

sin),(sinsincoscoscos),(

cossinsincoscos),(

RpRpRaVzRpRpRaRpRaVy

RpRpRaRpRaVx

−=

−+=

−−−=

(4)


7

Infine è possibile calcolare il modulo del vettore velocità nel punto P

2222222 cos2)sin(),( ϑϑφϑφϑ &&&& RpRaRpRpRaRpRaV +++= (5)


8

3. Energia del pendolo In questa sezione verranno calcolate le espressioni dell’energia cinetica e potenziale del sistema in

studio.

L’energia cinetica di un corpo è definita come

dmVT ∫= 2

21

(6)

Mentre l’energia potenziale può essere calcolata tramite la seguente relazione

∫= RzdmgV (7)

Per semplicità, al posto di utilizzare le espressioni riportate sul sistema totale, si procederà in

modo additivo e si calcoleranno le due energie separatamente per ogni corpo.

• Pilastro centrale

02 2

==

VcJTc φ& (8)

• Braccio orizzontale

031)0,(2

0

222

=

== ∫Va

MaLadsLaMasVTa

La

φ& (9)


9

• Pendolo

∫

∫

==

+++==

Lp

Lp

gMpLpdsLpMpsLaRzgVp

MpLpMpLaLpLpLaMpdsLpMpsRaVTp

0

0

2222222

cos21),(

31cos)sin

31(),(2

ϑ

ϑϑφϑφϑ &&&&

(10)

• Massa di bilanciamento

ϑϑϑφϑφϑ

coscos2)sin(2 222222

gMLpVmMLpMLaLpLpLaMTm

=+++= &&&&

(11)

Una volta calcolate tutte le energie necessarie è possibile ricavare l’energia cinetica totale

TmTpTaTcT +++= (12)

e l’energia potenziale totale

VmVpVaVcV +++= (13)


10

4. Equazioni del moto La funzione Lagrangiana [1,2] può essere costruita come combinazione lineare dell’energia cinetica

e potenziale

VTL −= (14)

Questa funzione soddisfa il seguente sistema di equazioni differenziali

ξϑϑ

τφφ

=∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

LLdtd

LLdtd

&

& (15)

Dove τ e ζ sono forzanti esterne applicate rispettivamente alla giuntura del braccio orizzontale e

alla giuntura del pendolo.

Le derivate parziali contenute nel sistema (15) hanno la seguente forma

ϑφϑϑ

ϑϑφϑφϑϑϑ

ϑϑφϑφ

φ

&&&

&&&

&&&

2

22

222

)31(cos)

21(

sin)21(sin)

21(sincos)

31(

cos)21(]sin)

31()

31([

0

LpMpMLaLpMpML

gLpMpMLaLpMpMLpMpML

LaLpMpMLpMpMLaMpMaMJL

L

+++=∂∂

+++−+=∂∂

+++++++=∂∂

=∂∂

(16)

Sostituendo la (16) nella (15) e introducendo quattro costanti geometriche

gLpMpM

LpMpM

LaLpMpM

LaMpMaMJ

)21(

)31(

)21(

)31( 22

+=

+=

+=

+++=

δ

β

χ

α

(17)

si ricavano le equazioni del moto del pendolo di Furuta [3,4]


11

ξϑδφϑϑβϑβφϑχ

τϑϑχϑφϑϑβϑϑχφϑβα

=−−+

=−+++

sinsincoscossinsincos2cos)sin(

2

22

&&&&&

&&&&&&&

(18)

E’ possibile inoltre considerare l’attrito presenti nei due giunti come un termine dissipativo

proporzionale alla velocità angolare che si sottrae alle forzanti applicate

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ϑξφτ

ξξττ

ξτ

ϑ

φ

ϑ

φ

&

&

fe

a

a (19)

Tali equazioni possono anche essere espresse in forma matriciale

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

ϑ

φ

ξτ

ϑφϑφ

ϑφϑφϑφ

ϑφ ),(),,,(),( gCD&

&&&

&&

&&

(20)

definendo la matrice d’inerzia

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +=

βϑχϑχϑβα

ϑφcos

cos)sin(),(

2

D (21)

la matrice dei momenti centripeti e di Coriolis

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−+

=f

eC

φϑϑβϑϑχφϑϑβϑϑϑβ

ϑφϑφ&

&&&&&

sincossinsincossincos

),,,( (22)

e la matrice dei momenti gravitazionali

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=ϑδ

φϑsin0

),(g (23)


12

5. Modello in variabili di stato Studiando il sistema di equazioni appena ricavato è possibile vedere che il pendolo di Furuta è

caratterizzato da quattro variabili di stato, la posizione angolare θ del pendolo, quella del braccio

φ e le relative velocità angolari.

Ridefinendo queste grandezze in termini di Xi

φ

φϑ

ϑ

&

&

=

==

=

4

3

2

1

X

XX

X

(24)

e chiamando le forzanti

ξτ

==

2

1

UU

(25)

È possibile riscrivere il sistema (18) in modo integrale

]coscossincos

sinsincos2sin)1(sin[sin)(

1

]sincos

)sin(cossin)sin(sincos

sin)sin1(2sincos)sin([sin)(

1

21421111

2214211

22411

2

122224

43

212

241

212

111122

2112

421122

41112

122222

21

XXfeXUXUXX

XXXXXXXXXX

X

XX

XXffXXXe

UXUXXXXXX

XXXXXXXXX

X

XX

χβχβχδ

βχββχχβχαβ

βαχ

βαχβαδχ

βχβαβχβχαβ

+−−+−

++−−++−

=

=

−−+

+++−++−

+−++++−

=

=

&

&

&

&

(26)


13

6. Punti di equilibrio I generici punti di equilibrio di un qualsiasi sistema possono essere calcolati annullando le derivate

delle variabili di stato e risolvendo il sistema.

Nel caso in esame annullando velocità e accelerazione dei moti angolari, in presenza di forzanti e

attriti nulli, si ricavano i seguenti punti di equilibrio:

0

0

4

3

2

1

=ℜ∈=

=Ζ∈=

XNconNX

XKconKX π

(27)

Ovvero il sistema in condizioni statiche avrà velocità angolari nulle in entrambi i giunti, l’angolo di

rotazione del braccio potrà assumere ogni valore e l’angolo del pendolo potrà essere 0° oppure

180°.


14

7. Sistema linearizzato Definito il vettore delle variabili di stato X e degl’ingressi U

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

2

1

4

3

2

1

UU

U

XXXX

X (28)

E riscritto il sistema dinamico in forma normale ),(/ UXfdtdX =

Il sistema può essere linearizzato nell’intorno del punto di equilibrio di interesse

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

00

0000

U

X (29)

La linearizzazione consiste nell’introdurre le variazioni δu(t), δx(t), ponendo

)()( tuutu δ+= )()( tuxtx δ+= (30)

Supponendo la funzione f(x(t),u(t)), che definisce il sistema non lineare sufficientemente regolare,

le matrici A, B, si ottengono ponendo:

uuxxx

uxfA==∂

∂=

),(

uuxxu

uxfB==∂

∂=

),( (31)


15

É quindi possibile scrivere il sistema come

UBXAX δδδ +=& (32)

Dove le matrici A e B, calcolate attraverso la formula di linearizzazione, hanno la seguente forma

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

−

−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−−

−−−

−=

2

2

2

2

222

222

0

0

0

0

01000

00010

χαβχ

χαβα

χαββ

χαβχ

χαββ

χαβχ

χαβχδ

χαβχ

χαβα

χαβαδ

B

ef

ef

A

(33)

Semplificando ulteriormente il modello è possibile porre uguale a zero la forzante applicata sul

giunto del pendolo (di fatto il sistema comunemente usato nelle applicazioni in letteratura è in

tale condizione, ovvero è sotto attuato).

In questo modo elaborando la (32) è possibile scrivere il sistema linearizzato del pendolo di Furuta

124222124

43

124222122

21

UXeXfXX

XX

UXeXfXX

XX

χαββ

χαββ

χαβχ

χαβχδ

χαβχ

χαβχ

χαβα

χαβαδ

−+

−−

−+

−−=

=

−−

−+

−−

−=

=

&

&

&

&

(34)

La stessa cosa può essere fatta nel secondo punto di equilibrio, ovvero quando l’angolo di

rotazione del pendolo assume il valore di 180°.

Seguendo lo stesso procedimento precedentemente esposto, una volta definiti i vettori


16

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

00

000

U

X

π

(35)

Si ricavano le seguenti matrici

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

−=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

−−

−−

−−

=

2

2

2

2

222

222

0

0

0

0

01000

00010

χαβχ

χαβα

χαββ

χαβχ

χαββ

χαβχ

χαβχδ

χαβχ

χαβα

χαβαδ

B

ef

ef

A

(36)

Che permettono di ottenere, una volta annullata la forzante sul giunto del pendolo (ovvero ancora

considerando il sistema sotto attuato), il seguente sistema linearizzato

124222124

43

124222122

21

UXeXfXX

XX

UXeXfXX

XX

χαββ

χαββ

χαβχ

χαβχδ

χαβχ

χαβχ

χαβα

χαβαδ

−+

−−

−−

−−=

=

−+

−−

−−

−−=

=

&

&

&

&

(37)


17

8. Autovalori del sistema linearizzato e stabilità degli equilibri Per caratterizzare i punti di equilibrio ricavati si procederà in due fasi, nella prima si trascureranno

le componenti di attrito ( )0( == fe ) e si ricaveranno analiticamente gli autovalori della matrice

caratteristica. Successivamente si simulerà la risposta libera del sistema in ambiente Matlab e si

tracceranno gli andamenti delle variabili di stato; qui si potranno verificare le considerazioni fatte

analiticamente e si potrà verificare il contributo della componente d’attrito.

Il sistema caratterizzato dalle matrici (33), ponendo )0( == fe può essere riscritto come

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

−

−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

2

2

2

2

2

2

0

0

0

0

0001000

0000010

χαβχ

χαβα

χαββ

χαβχ

χαβχδ

χαβαδ

B

A

Risolvendo il polinomio caratteristico )0( =− IA λ si ricavano i seguenti autovalori:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−

−+ 22 ,,0,0

χαβαδ

χαβαδ

(38)

Come si può constatare uno di essi ha parte reale maggiore di zero, conseguentemente il sistema

linearizzato risulta instabile. Essendo instabile il sistema linearizzato, tramite il metodo indiretto di

Liapunov, è possibile affermare che il punto di equilibrio del sistema non lineare è instabile.


18

Il sistema caratterizzato dalle matrici (36) con attrito nullo )0( == fe

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

−

−=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

=

2

2

2

2

2

2

0

0

0

0

0001000

0000010

χαβχ

χαβα

χαββ

χαβχ

χαβχδ

χαβαδ

B

A

ammette, invece, come autovalori della matrice A i valori

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−

−+ 22 ,,0,0

χαβαδ

χαβαδ ii (39)

In questo caso gli autovalori che nel sistema (33) portavano all’instabilità, si sono tramutati in

valori immaginari. Essendo autovalori posti sull’asse immaginario originano delle orbite

periodiche. Tali orbite, stabili per il sistema linearizzato, non permettono di caratterizzare il

sistema non lineare in quanto il metodo indiretto di Liapunov nulla dice a riguardo. Rifacendoci

alla fisica del problema però ci si può attendere che tale punto di equilibrio risulti sicuramente

stabile in quanto punto a minima energia per il sistema. L’andamento puramente oscillatorio non

deve spaventare in quanto generato solamente dall’assenza dell’attrito. Durante la simulazione

Matlab ci si dovranno quindi aspettare degli autovalori a parte reale sicuramente negativa e quindi

si potrà affermare con sicurezza che questo stato di equilibrio è asintoticamente stabile.

Utilizzando Matlab è possibile introdurre le matrici dinamiche del sistema e, una volta inizializzate

con le costanti opportune e scelte le condizioni iniziali, simulare la risposta libera del sistema e

verificare quanto affermato precedentemente.

Il seguente sorgente definisce le matrici caratteristiche del sistema (33) e (36) e esegue la

simulazione della risposta libera quando il sistema risulta in stato di quiete con l’angolo di

rotazione del pendolo pari a 0.1rad.


19

Figura 2 : Script matlab per il calcolo degli autovalori e della risposta libera


20

Il risultato di tale operazione viene riportato di seguito:

Figura 3 : Risposta libera con attrito

Come volevasi dimostrare il sistema ammette quattro autovalori (Do e Dp) di cui quelli associati al

punto di equilibrio instabile con parte reale maggiore di zero e quelli associati al punto di

equilibrio stabile con parte reale negativa.

Il grafico riporta l’andamento delle quattro variabili di stato; risulta di facile interpretazione il

significato del termine instabilità, in quanto nel primo grafico, quello associato all’equilibrio (0°),

tutte le grandezze tendono a divergere mentre nel secondo (equilibrio 180°) tutte le variabili di

stato tendono asintoticamente a zero.

Rieseguendo la simulazione annullando i termini di attrito si ricava proprio quello esposto

precedentemente, ovvero gli andamenti delle variabili di stato sono oscillatori; questo


21

esperimento verifica quanto esposto ovvero che gli autovalori puramente immaginari sono

originati solo dall’assenza dell’attrito e non da un instabilità del punto di equilibrio 180° nel

sistema non lineare.

Figura 4 : Risposta libera senza attrito


22

9. Calcolo della funzione di trasferimento Consideriamo il sistema dinamico completo delle componenti d’attrito:

(40)

Linearizzando le equazione nel punto di equilibrio superiore

)0,0,0,0(),,,( =φφϑϑ &&

E annullando la forzante sul giunto del pendolo, si ricava il seguente modello lineare:

0=+−+

=++

ϑδϑϑβφχ

τϕϑχφα&&&&&

&&&&&

fe

Esplicitando dalla seconda equazione l’accelerazione angolare del braccio e trasformandola

secondo Laplace si ottiene:

χϑβϑδϑφ 2

2

ssfs −−

=

Sostituendo questo termine nella prima equazione è possibile ricavare la funzione di

trasferimento:

δαδβααβχχ

τϑ

eefsefsss

+−+−−+−=

)()()( 223 (41)

Tale funzione di trasferimento è caratterizzata da uno zero nell’origine e da tre poli.

ϑξϑδφϑϑβϑβφϑχ

ϕτϑϑχϑφϑϑβϑϑχφϑβα&&&&&&

&&&&&&&&

f

e

−=−−+

−=−+++

sinsincoscos

sinsincos2cos)sin(2

22


23

10. Sistema approssimato Il modello del pendolo di Furuta, che, per chiarezza di esposizione viene riportato di seguito,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

ϑ

φ

ξτ

ϑφϑφ

ϑφϑφϑφ

ϑφ ),(),,,(),( gCD&

&&&

&&

&&

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +=

βϑχϑχϑβα

ϑφcos

cos)sin(),(

2

D

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−+

=f

eC

φϑϑβϑϑχφϑϑβϑϑϑβ

ϑφϑφ&

&&&&&

sincossinsincossincos

),,,(

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=ϑδ

φϑsin0

),(g

può essere approssimato ad un sistema del secondo ordine sotto alcune ipotesi realizzative.

Se si ipotizza che le velocità angolari ϑφ &&, sono abbastanza piccole, i valori quadratici 22 ,ϑφ && e

i prodotti misti ϑφ &&* posso essere trascurati ed è possibile porre uguale a zero i termini relativi

ai momenti centripeti e di Coriolis ( 0),,,( =ϑφϑφ &&C ).

Inoltre, se pMM >> , le costanti presenti nel modello possono essere semplificate

MgLpMLaLpMLpLaMaMJ ===++= δχβα 22)31(

Con questa scelta e imponendo pa LL >> il primo termine della matrice d’inerzia diventa

effJLaMaMJ

MLpLaMaMJMLpLaMaMJ

=++≈

+++≤+++=+

2

222222

)31(

)31(sin)

31()sin( ϑϑβα

Riscrivendo il sistema dinamico con le ipotesi semplificative esposte:

0sincos

cos2 =−+

=+

ϑϑφϑ

τϑϑφ

pppa

paeff

MgLMLLML

LMLJ&&&&

&&&&


24

E definendo φ&&aLa = , accelerazione del braccio,

a

effeff

eff

aeff

eff

a

eff

apaa

LJ

se

JL

JL

JLLML

La

),(

),()cos(

ϑϑττ

τϑϑττϑϑτφ

&

&&&

&&

>>

≈−=−

==

Si giunge al modello semplificato:

0sincos 2 =−+ ϑϑϑ ppp MgLMLaML && (42)

Tale modello rappresenta un semplice pendolo piano, privo di attrito e alimentato da un segnale

di accelerazione proporzionale alla coppia generata. Studiandone i punti di equilibrio si ricavano

ancora le stesse conclusioni fatte precedentemente. Tale approssimazione può essere utilizzata

come modello base per la sintesi dei regolatori per poi verificare il loro funzionamento sul modello

completo. Già da ora si può notare che tra tutte le ipotesi fatte quella più restrittiva riguarda la

condizione sull’accelerazione proporzionale alla coppia di controllo. In tale approssimazione si è

trascurato del tutto sia la dinamica del braccio che l’influenza dell’angolo del pendolo

sull’accelerazione stessa ( 0),( =ϑϑτ &eff ).


25

11. Simulatore MATLAB

I sistemi dinamici (18) e (42) sono stati implementati in ambiente Matlab/Simulink cosi da poter

testare e paragonare in maniera semplice i controllori sintetizzati. Di seguito vengono riportati gli

schemi Simulink: essi contengono dei blocchi “Fcn” con cui sono state implementate le equazioni

non lineari che caratterizzano i modelli e degli integratori per ottenere il vettore di stato.

Figura 5 : Simulatore matlab del pendolo di Furuta

Figura 6 : Simulatore matlab del pendolo approssimato


26

Tali modelli per essere utilizzati devono essere inizializzati, di seguito vengono riportati i sorgenti

Matlab di inizializzazione.

Figura 7 : Script matlab per l’inizializzazione del pendolo di Furuta

Figura 8 : Script matlab per l’inizializzazione del

pendolo approssimato

Il controllo del Pendolo di Furuta

27

3. Il controllo del Pendolo di Furuta 1. Premesse Il pendolo di Furuta, come risulta evidente dal modello ricavato, presenta (a meno dell'angolo del

braccio, che può assumere all'equilibrio qualsiasi valore) due punti di equilibrio, uno stabile e

l’altro instabile.

Scopo di questa sezione sarà quello di controllare il sistema e di stabilizzare la seconda condizione

stazionaria, ovvero quella col pendolo “in alto” )0( ==== ϑϑϕϕ && .

Studiando il punto di equilibrio di interesse risulta evidente che, per un buon controllo e

adottando per un momento una terminologia più suggestiva che rigorosa, il sistema dovrà arrivarci

con una velocità pressoché nulla.

Una leggera variazione di velocità, infatti, farebbe oltrepassare tale punto e conseguentemente

riportare il pendolo in regime oscillatorio nell’intorno del punto di equilibrio stabile.

Per far si che ciò accada, e più in generale per l'instabilità della dinamica del sistema attorno

all'equilibrio d'interesse, per mantenere il pendolo nella posizione “in alto” sarà ovviamente

necessario un regolatore in retroazione.

Molto diversa è tuttavia la situazione se al controllo si chiede non soltanto di mantenere il pendolo

nella posizione “in alto” (UP d'ora in poi) ma anche di portarvelo a partire da uno stato di riposo,

ad esempio con esso in un equilibrio stabile (DOWN con ovvio significato del termine).

Sorge quindi l’esigenza di dividere il controllo in due parti:

• una che si occupi di far oscillare il pendolo, al fine di posizionarlo nei pressi della posizione

verticale (UP)

• e l’altra di stabilizzare tale oscillazione al fine di annullare la velocità di rotazione e quindi di

stabilizzare definitivamente il sistema.

Il lavoro verrà quindi diviso in due parti; inizialmente si ipotizzerà il pendolo già in posizione UP e

si ricaveranno due leggi di controllo atte a stabilizzare tale situazione. La prima legge di controllo

utilizzerà dei semplici regolatori PID mentre la seconda un regolatore LQR.


28

La seconda fase del lavoro consisterà nello studio di leggi di controllo non lineari al fine di far

oscillare il sistema per portarlo dalla posizione DOWN a quella UP. Tale situazione verrà chiamata

di SWINGING UP.

Una volta sintetizzati i controllori atti a mantenere la posizione UP verrà scelta la configurazione di

controllo migliore e verrà simulata la dinamica completa del sistema. Si affronterà qui il problema

della gestione della commutazione tra il controllo SWINGING UP e quello di mantenimento della

posizione UP, ottenendo con ciò il controllore “completo” [5,6].

Una volta controllato il sistema con l’utilizzo della configurazione completa sintetizzata, si

cercheranno delle nuove leggi di controllo atte ad eseguire contemporaneamente la fase di

SWINGING UP e quella di mantenimento (STABILIZZAZIONE d'ora in poi). Si cercherà di sviluppare

due tipologie di controllori, una basata sulla compensazione della gravita (CONTROLLO VIRTUAL

GRAVITY) e l’altra sulla generazione di vincoli virtuali che impongano delle orbite al sistema

(CONTROLLO VIRTUAL SPRING).


29

2. Sintesi del controllo basato su PID In generale una struttura PID [7,8,9,10] implementa un regolatore in grado di trasferire in uscita

una variabile di controllo legata alla somma di tre contributi.

Questi tre fattori sono proporzionali all’errore, al suo integrale e alla sua derivata.

Tramite questa struttura sarà cosi possibile annullare asintoticamente l’errore, a fronte di segnali

di riferimento o disturbi additivi costanti e prevedere il suo andamento negli istanti futuri.

Un regolatore PID è caratterizzato dalla seguente funzione di trasferimento (nel caso ideale):

( )s

KsKsKsPID IPD ++=

2

(43)

Dove Kp, Kd, e Ki sono, rispettivamente, i coefficienti dell’azione proporzionale, derivativa e

integrativa.

Tale funzione di trasferimento genera una rete a sella ideale; come noto tale funzione di

trasferimento genererebbe un sistema improprio, ovvero non realizzabile.

Nella pratica, allora, viene introdotto un polo ad alta frequenza proporzionale ad una costante

positiva N. La scelta di tale parametro dovrà essere fatta per spostare tale polo al di fuori della

banda di frequenze di interesse per il controllo.

Concludendo, la sintesi di un regolatore PID può essere fatta scegliendo opportunamente le

quattro costanti menzionate.

I valori ottimi di tali parametri possono essere ricavati principalmente in due modi; tramite lo

studio del modello del sistema da controllare, oppure tramite delle tecniche automatiche, tipo il

metodo di Ziegler e Nichols.

Ipotizzando che il sistema da controllare sia in posizione UP è possibile approssimare il suo

andamento con il modello linearizzato sviluppato in (34) e riportato di seguito


30

124222124

43

124222122

21

UXeXfXX

XX

UXeXfXX

XX

χαββ

χαββ

χαβχ

χαβχδ

χαβχ

χαβχ

χαβα

χαβαδ

−+

−−

−+

−−=

=

−−

−+

−−

−=

=

&

&

&

&

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−−

−−−

−=

2

2

222

222

0

0

01000

00010

χαββ

χαβχ

χαββ

χαβχ

χαβχδ

χαβχ

χαβα

χαβαδ

B

ef

ef

A

Supponendo che l’unica variabile di stato misurabile sia la posizione del pendolo, la

trasformazione d’uscita può essere scritta in forma matriciale come

[ ] [ ]UXDUCXy 00001 +=+=

Rielaborando le matrici A,B,C,D è possibile riscrivere il sistema per mezzo della sua funzione di

trasferimento [ ] DBAsICsG +−= −1)( . Tale calcolo è già stato eseguito analiticamente durante lo

sviluppo del modello del pendolo di Furuta. Di seguito viene riportato il risultato finale.

δαδβααβχχ

τϑ

eefsefsss

+−+−−+−=

)()()( 223

Valutiamo ora la funzione di trasferimento sostituendo i valori utilizzati precedentemente tramite

il seguente script Matlab:


31

Figura 9 : Script matlab per il calcolo della funzione di trasferimento


32

Il risultato di tale operazione viene riportato di seguito:

Per la sintesi del controllore è meglio riscrivere la funzione di trasferimento fattorizzando il

denominatore. Dopo semplici passaggi matematici si ottiene:

(44)

La funzione di trasferimento da controllare sarà quindi caratterizzata da tre poli e da uno zero.

)2277.01)(3791.01)(0808.01(5472.2)(

sssssG

−++=


33

Quando il sistema sotto controllo è instabile, come in questo caso, per la presenza di poli a parte

reale positiva, non è possibile utilizzare i metodi di sintesi in frequenza basati sul criterio di Bode.

In questi casi il progetto del controllore può essere effettuato mediante il metodo del luogo delle

radici. Tuttavia la definizione delle specifiche risulta spesso poco agevole in quanto i requisiti di

velocità e robustezza non sono più legati direttamente a indicatori quali il margine di guadagno, il

margine di fase e la pulsazione critica.

Per sopperire a tale problema è possibile utilizzare un sistema di controllo a doppia retroazione,

dove l’anello interno serve a rendere stabile il sistema mentre quello esterno viene sintetizzato

successivamente al fine di soddisfare i requisiti di progetto.

Di seguito viene riportato lo schema di riferimento:

Figura 10 : Sistema di controllo a doppia retroazione

Effettuando una prima analisi sul sistema di controllo da progettare si nota che il valore di

riferimento dell’angolo del pendolo deve essere nullo. Tale vincolo semplifica notevolmente il

lavoro in quanto il controllore non dovrà necessariamente essere pronto a fronte di variazioni sul

SET POINT ma dovrà solo annullare eventuali disturbi presenti sulla linea d’andata. Tale disturbi

saranno generati principalmente dal moto del braccio che genera una coppia motrice fittizia sul

pendolo stesso.


34

Presa per valida questa osservazione, anche lo schema di riferimento può essere semplificato

come segue:

Figura 11 : Sistema di controllo semplificato

Definendo le funzioni di trasferimento:

)1)(1)(1()2277.01)(3791.01)(0808.01(5472.2)(

321 sTsTsTsg

sssssG

−++=

−++=

( )s

KsKsKsR IPD ++=

2

La funzione di trasferimento del sistema retroazionato risulta:

)1()()()(

)()(1)()(

3212

3231213

321 ++−+++−−++−=

=+

=

IPD gKsTTTgKsTTTTTTgKsTTTsg

sRsGsGsH

Scegliendo 18020 −=−=−= DIP KKK e sostituendo i restanti parametri si ottiene:

(45)

Caratterizzata da uno zero nell’origine e da tre poli reali a pulsazione ‐355.61, ‐14.63 e ‐5.59.

8.20271.50621.2006975.0547.2)( 23 +++

−=sss

ssH


35

Il sistema di controllo progettato risulta quindi stabile e capace di annullare eventuali disturbi

presenti all’ingresso del pendolo. Tale sistema però risulta non realizzabile in quanto il regolatore

presenta un numero di zeri maggiore del numero di poli. Per risolvere questo problema basta

aggiungere un ulteriore polo al regolatore. Tale polo deve essere scelto per non influenzare la

dinamica dell’anello sintetizzato, quindi deve stare all’esterno della banda di frequenze di

interesse nel controllo, ma non può nemmeno essere spostato troppo ad alta frequenza per non

aumentare troppo il guadagno del regolatore fuori banda.

Scegliamo:

(46)

Figura 12 : Diagrammi di Bode del regolatore PID

Come si nota dal diagramma di Bode riportato, il polo introdotto genera un guadagno ad alta

frequenza pari a circa 40 dB, valore più che soddisfacente.

( ))

1001(

2

ss

KsKsKsR IPD

+

++=


36

Valutiamo ora il diagramma di Nyquist della funzione d’anello:

Figura 13 : Diagramma di Nyquist della funzione d'anello

Il diagramma di Nyquist compie un giro antiorario intorno al punto ‐1 quindi la stabilità dell’anello

risulta soddisfatta anche introducendo il polo che rende realizzabile la rete correttrice PID.


37

Effettuando la risposta ad un impulso e ad un gradino si ottengono i seguenti grafici:

Figura 14 : Risposta all'impulso con il regolatore PID

Figura 15 : Risposta al gradino con il regolatore PID


38

Effettuiamo ora la simulazione del sistema progettato in ambiente Simulink:

Figura 16 : Schema simulink del controllo PID


39

Inizializzando il sistema con lo script Matlab si ottiene la seguente evoluzione delle variabili di

stato:

Figura 17 : Simulazione del controllo PID

Il pendolo di Furuta è stato inizializzato con un angolo theta di 0.1 rad ed il sistema ha risposto

prontamente muovendo il braccio in modo tale da recuperare questo scostamento. Confrontiamo

ora il comportamento del sistema al variare dell’angolo iniziale del pendolo:

Figura 18 : Confronto risposta del controllo PID


40

In questo caso è possibile constatare il limite di utilizzo del controllore sintetizzato. Il sistema

risponde in modo corretto solo entro un range limitato da un’inizializzazione pari a 0.4 rad. Tale

limite è imposto non tanto dalla scelte dei parameri del PID ma dall’ipotesi di linearità del sistema

da controllare, ovvero oltre questo itelimϑ la linearizzazione del sistema nell’interno del punto di

equilibrio UP (34) non vale più.

Il controllore sintetizzato soffre anche di un altro problema.

Il pendolo di Furuta presenta quattro variabili di stato. Durante la sintesi del controllore proposto,

è stata retroazionato l’angolo di rotazione del pendolo (G(s)): come dimostrato in simulazione, è

così possibile far tendere a zero le variabili di stato ϑϑ &, ma (ovviamente) non si ha alcun

controllo sulle rimanenti due ϕϕ &, .


41

Questo concetto può essere meglio compreso con il grafico seguente:

Figura 19 : Andamento delle variabili di stato del pendolo di Furuta con il controllo PID

Si nota come l’evoluzione del pendolo tende a zero sia in rotazione che in velocità mentre quella

del braccio ad un moto rotativo a velocità costante.

Volendo risolvere tale problema si possono seguire due strade diverse: la prima consiste nel

sommare alla variabile di controllo un ulteriore termine a banda stretta che il regolatore

dell'angolo del pendolo vede come un disturbo in andata entro la banda di controllo. Tale disturbo

può essere generato da un anello esterno, sintetizzato per controllare (con dinamica appunto più

lenta) l'angolo del braccio. Tale soluzione richiede però uno sforzo di sintesi non trascurabile in

quanto i due segnali di controllo non devono influenzarsi “troppo” a vicenda. Quindi la sintesi deve

tener conto sia della separazione in frequenza che del peso da dare ai singoli contributi al fine di

non saturare l’organo di attuazione.

La seconda strada prevede invece l’utilizzo di una retroazione multipla, secondo la tecnica nota in

letteratura come “retroazione dello stato”. Questa modalità risulta molto più semplice da

affrontare in quando esiste una tecnica standard per la sintesi del controllore. Sarà scopo del


42

paragrafo successivo introdurre questa tecnica per poi sintetizzare e simulare il controllore

ricercato.


43

3. Sintesi del controllore LQR Una tecnica alternativa per la sintesi del controllore consiste nell’usare il metodo del controllo

ottimo del tipo lineare quadratico (LQR) [11,12,13,14,15]. Tale tecnica minimizza la funzione costo

quadratica:

( )∫∞

+=0

)()()()( dttRUtUtQXtXJ TT

(47) Per un noto teorema, se la coppia (A,B) è raggiungibile esiste una soluzione al problema e questa è

unica se la coppia (A,C) è osservabile.

Valutiamo quindi le matrici di raggiungibilità e osservabilità del sistema (34) sostituendo i soliti

parametri caratteristici e definendo la trasformazione d’uscita come:

UXDUCXy ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=+=

00

01000001

(48)

(49)

(50)

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

−−

==

3630.65328.00458.00057.05328.00458.00057.00419.65326.00387.00037.05326.00387.00037.00

01 532 BABAABBR

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

8.4504.742.3787.3804.856.3657.506.36.35

6.309.49.471000001001000001

3

2

CACACAC

O


44

Le matrici di raggiungibilità e osservabilità hanno rango massimo quindi la legge di controllo

ottima è data da )()( tKXtu −= con PBRK T1−= dove P è la soluzione dell’equazione algebrica di

Riccati 01 =−++ − PBPBRQPAPA TT

Il problema principale consiste ora nel determinare il valore delle matrici peso R e Q. Si tratta in

realtà di determinare univocamente la matrice Q in quanto solo l’entità relativa degli elementi di

tali matrici modifica la regolazione.

Se Q è relativamente grande rispetto a R, la procedura di ottimizzazione fornisce un vettore di

stato X relativamente piccolo rispetto all’ingresso U. Ciò corrisponde a prediligere la velocità del

controllo rispetto all’entità dello sforzo richiesto all’attuatore.

Se viceversa Q è relativamente piccola rispetto a R, la priorità è assegnata alla limitazione

dell’azione di controllo.

Si sceglie R pari alla matrice unitaria, ed essendo in questo caso uno scalare si pone:

PuR = (51)

La matrice Q può essere definita a partire dalla matrice C moltiplicandola per due costanti che

tengono conto del peso che si vuole dare alla dinamica delle variabili d’uscita:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

→

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

00000000000000

0000010000000001

ϕ

ϑ

P

P

CCQ T

(52)

In questo caso si stanno pesando solo i contributi relativi agli angoli di rotazione e non le rispettive

velocità. Questo modo di operare semplifica notevolmente la sintesi del controllore, in quanto

elimina due gradi di libertà, e non inficia il funzionamento del sistema, in quanto una volta

annullate le variazione angolari anche le velocità andranno a zero.

Ora non resta che sostituire alcuni valori ai tre parametri di progetto e simulare la risposta

ottenuta. Questo può essere fatto in modo agevole in Matlab ricorrendo alla funzione LQR che

calcola automaticamente il valore del guadagno ottimo passandogli come parametro le matrici

A,B,Q,R.


45

Di seguito viene riportato lo script Matlab usato:

Figura 20 : Script matlab del controllo LQR


46

Il guadagno ottimo K è stato utilizzato per inizializzare il seguente modello Simulink:

Figura 21 : Schema simulink del controllo LQR

Dove il blocco LQR è cosi definito:

Figura 22 : Schema simulink del blocco LQR

La simulazione ha confermato quanto evidenziato in via teorica (si vedano i grafici riportati di

seguito). All’aumentare del parametro Pu il segnale di controllo diventa via via più piccolo

mantenendo inalterato il tempo di assestamento a zero. Se si variano, invece, i parametri sugli

stati Pt,Pp si riscontra un aumento di velocità nella risposta del sistema alla convergenza nello

stato di equilibrio.


47

Figura 23 : Simulazione del controllo LQR



48


Per quanto riguardo il caso specifico, dopo alcune prove sul simulatore, si è scelto:

50=R

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

0000010000000000300

Q

In questo modo si è giunti ad un sistema in anello chiuso caratterizzato dai quattro poli complessi

coniugati ‐22.5734+20.5453i, ‐22.5734‐20.5453i, ‐2.1229+1.5394i, ‐2.1229‐1.5394i.

Tale scelta è risultata la più adeguata in quanto “buon compromesso” tra velocità di risposta e

ampiezza del segnale di controllo.


49

Di seguito vengono riportati i grafici di simulazione per un angolo iniziale del pendolo pari a 0.3

rad.

Figura 26 : Andamento delle variabili di stato del pendolo di Furuta con il controllo LQR

Come si può notare dai grafici il controllore LQR sintetizzato riesce a controllare il sistema e a farlo

ritornare nella sua posizione di equilibrio risolvendo il problema della perdita di controllo

sull’angolo di rotazione del braccio che aveva il controllore a PID.

Tale controllore risulta anche robusto a fronte di significative saturazioni sull’attuatore, come

evidenziato dal seguente grafico in cui si riporta l’andamento dell’angolo di rotazione del pendolo

e del segnale di controllo:


50

Figura 27 : Simulazione del controllo LQR saturato

Impostando una saturazione pari a 0.2 si nota un allungamento del tempo di assestamento, con

generazione di un ulteriore oscillazione intorno al punto di equilibrio, senza però perdere la

convergenza dell’angolo di rotazione del pendolo alla posizione desiderata.


51

4. Swinging Up con controllo dell’energia (EC) Consideriamo il sistema approssimato del pendolo di Furuta (42) ipotizzando che valgano le

considerazioni fatte nel capitolo ad esso dedicato.

0sincos 2 =−+ ϑϑϑ ppp MgLMLaML &&

Il sistema è caratterizzato da due variabili di stato, l’angolo di rotazione ϑ e la relativa velocità

angolare ϑ& , ed ammette due punti di equilibrio )0,0(),( =ϑϑ &e )0,(),( πϑϑ =&

. Anche in

questo caso, come facilmente dimostrabile, il primo punto di equilibrio risulta stabile mentre il

secondo no.

Per la sintesi del controllore si utilizzerà il metodo del gradiente di velocità (Speed Gradient

Method), soffermiamoci brevemente sulla sua analisi [19,20,21].

Consideriamo un generico sistema dinamico non lineare descritto dalla seguente equazione

differenziale vettoriale:

uxgxfX )()( +=& (53)

Dove nRX ∈ è il vettore di stato,

mRu ∈ vettore dell’ingresso di controllo e f(x),g(x) due

funzioni vettoriali differenziabili.

È possibile definire una funzione costo Q(x,t) e pretendere che essa tenda a zero per un tempo t

che tende all’infinito. Tale funzione deve essere differenziabile due volte e tale per cui

0),( ≥txQ , 0)ˆ,ˆ( =txQ nel punto di equilibrio x̂ .

Valutiamo l’evoluzione temporale della funzione costo approssimandola al primo ordine:

tttutxWttxQttttxQ Δ+=Δ+Δ+ )),(),(()),(()),(( (54)


52

Dove

))()(()),(),(( uxgxfxQ

tQ

tx

xQ

tt

tQ

tQttutxW +

∂∂

+∂∂

=∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=∂∂

= (55)

Per prevenire delle escursioni troppo ampie sul segnale di controllo è possibile introdurre un

termine penalizzante proporzionale al controllo stesso scalato di un fattore K:

)ˆ()ˆ(21)),(),(()),((

)),((

uuK

tuutttutxWttxQ

ttttxQ

T −Δ

−+Δ+=

=Δ+Δ+

(56)

La minimizzazione dell’evoluzione della funzione costo può essere effettuata ponendo uguale a

zero la sua derivata rispetto al segnale di controllo stesso.

(57)

Risolvendo rispetto a u si ricava:

)()(ˆ xgxxQKuu

∂∂

−= (58)

Il metodo SG, oltre a fornire un modo analitico per il calcolo della variabile di controllo, garantisce

anche l’asintotica stabilità della funzione costo, perché Q(x) è una funzione di Lyapunov.

[ ]

0)ˆ()()ˆ(

)ˆ()ˆ(21)),(),((

)),((

=Δ

−+Δ∂∂

=Δ

−+Δ∂∂

=

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

Δ−+Δ

∂∂

=

=Δ+Δ+∂∂

Ktuutxg

xQ

Ktuut

uW

uuK

tuutttutxWu

ttttxQu

T


53

Applichiamo ora il metodo esaminato al caso specifico [16,17,18].

L’energia totale del sistema può essere espressa come somma dell’energia cinetica e di quella

potenziale; considerando nulla l’energia potenziale quando il pendolo si trova in posizione

orizzontale )2/( πϑ = si ottiene:

Calcolando la derivata dell’energia rispetto al tempo si ottiene:

ϑϑϑϑϑϑϑϑϑϑϑϑ coscossin &&&&&&&&&&&&&PPPPpP MaLMaLJJMgLJE −=−−=−=

Dove l’equazione (42) è stata usata per effettuare l’ultima semplificazione.

Tale espressione evidenzia come sia possibile variare l’energia del sistema semplicemente agendo

sull’accelerazione (a). Si avrà una variazione positiva se 0>a quando 0cos <ϑϑ& e tale

variazione sarà tanto più efficiente quanto ϑ è vicina a 0 o π e la velocità angolare è alta. Si avrà

una perdita di controllo, invece, quando il pendolo si trova in posizione orizzontale )2/( πϑ =

o quando si avrà un inversione di moto 0=ϑ& .

Consideriamo ora una funzione di Lyapunov definita come

20

2)( EEQ −

= , tale funzione è

sempre positiva tranne nel punto )0,0(),( =ϑϑ & dove è nulla perché PMgLEE == 0 .

Calcoliamo la derivata di tale funzione rispetto al tempo:

[ ]2000 cos)(cos)()( ϑϑϑϑ &&&& EEKMLMaLEEEEEQ PP −−=−−=−=

Dove si è scelto ϑϑ cos)( 0&EEKa −= come legge di controllo per ottenere 0≤Q& e

l’uguaglianza vale proprio quando l’energia del sistema eguaglia quella della posizione verticale.

La scelta della variabile di controllo è stata effettuata proprio utilizzando il metodo SG descritto

precedentemente. Proviamo a calcolare analiticamente tale valore.

ϑϑϑϑ cos21cos

21 222

pPpP MgLJMgLMLE +=+= &&


54

Riscrivendo il sistema (42) evidenziando le matrici f(x), g(x) si ottiene:

aL

XX

Lg

XX

pp⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡= 1

1

2cos

0

0sin

0&

Dove si è posto ϑϑ &== 21 XX

Calcoliamo il valore ottimo della variabile di controllo:

[ ]

120120

122

010

cos)(~cos)(~ˆ

cos0

)()sin)((ˆ

)()(ˆ

XXEEKXXEEKu

LXXMLEEXMgLEEKu

xgxxQKuu

p

PP

−=−+

=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−−−−−

=∂

∂−=

(59)

Avendo imposto 0ˆ =u


55

Studiando la legge di controllo ricavata si vede che per far variare l’energia del sistema il più

velocemente possibile si deve imporre che il segnale di controllo abbia l'ampiezza massima

possibile. Tale condizione può essere imposta modificando la relazione come segue:

[ ]ϑϑ cos)( 0&EEKSIGNa −=

(60)

Dove si è utilizzata la funzione segno per massimizzare il termine ϑϑ cos)( 0&EE − .

Questa legge di controllo non fa altro che commutare l’accelerazione del sistema tra i suoi due

valori estremi fino a far tendere l’energia al valore voluto. Senza nemmeno simulare il suo

andamento si può subito affermare che essa è certamente affetta da chattering nell’intorno del

punto di equilibrio. Per risolvere anche questo problema è possibile modificare ulteriormente la

legge di controllo introducendo la funzione saturazione.

[ ]{ }ϑϑ cos)( 0&SIGNEEKSATa −=

(61)

Tale legge di controllo può essere pensata come una funzione lineare, per piccole variazioni

dell’energia rispetto al valore imposto, e come un'approssimazione della legge di controllo “a

funzione segno” (o “bang bang”) per variazioni elevate di energia.

Studiamo ora la legge di controllo (61) valutando il significato dei vari parametri.

Il guadagno K influenza la regione di linearità della legge di controllo: se K è elevato il

comportamento è del tutto simile a quello delle legge a funzione segno. Il parametro relativo al

valore di saturazione, invece, riveste un ruolo determinante nel comportamento oscillatorio del

sistema, infatti rappresenta la massima accelerazione applicabile al pendolo.

Volendo portare il pendolo nella posizione verticale, con una sola oscillazione, bisogna imporre

che l’accelerazione introduca l’energia necessaria in una sola volta. Tale energia deve essere pari a

MgL2 quindi servirà un accelerazione minima pari a g2 . Valori maggiori di g2 velocizzeranno il

transitorio mentre valori minori di g2 richiederanno più oscillazioni del pendolo prima che esso

possa raggiungere la posizione UP.


56

Simuliamo il comportamento del sistema approssimato del pendolo di Furuta al variare di tale

parametro utilizzando il seguente schema Simulink:

Figura 28 : Schema simulink del controllo energia per il pendolo approssimato

Il blocco Energy Control, che implementa la legge di controllo ricavata precedentemente, viene

riportato di seguito:

Figura 29 : Schema simulink del blocco Energy Control


57

Valutiamo due simulazione al variare del parametro di saturazione per verificare quanto

enunciato.

Figura 30 : Simulazione del controllo EC per il pendolo approssimato

In questo primo esempio, dove si è utilizzata un’accelerazione massima pari a 5g, si nota come sia

bastata una sola transizione del segnale di controllo per portare il pendolo in posizione verticale.


58

Abbassando a 0.25g il livello di accelerazione massimo si ottine:

Figura 31 : Simulazione del controllo EC per il pendolo approssimato

In questo secondo esempio si nota l’andamento oscillatorio del pendolo prima di raggiungere la

posizione verticale e gli incrementi parziali di energia dovuti alle singole transizioni della variabile

di controllo.

In entrambi i casi però, il sistema raggiunge la condizione ricercata e l’errore di energia tende

asintoticamente a zero. Questo verifica anche sperimentalmente che la legge di controllo ricavata

attraverso il metodo SG può essere utilizzata per lo Swinging Up del pendolo approssimato.


59

Proviamo ora ad applicare la stessa legge di controllo al sistema non approssimato (26) utilizzando

il seguente schema Simulink:

Figura 32 : Schema simulink del controllo energia per il pendolo di Furuta

Figura 33 : Simulazione del controllo EC per il pendolo di Furuta


60

Come si può facilmente verificare dai grafici riportati, anche in questo caso la legge di controllo

sintetizzata risulta adeguata per portare il pendolo nella posizione verticale. Confrontando le

dinamiche temporali ci si accorge addirittura che l’applicazione di tale legge risulta più efficiente in

questo caso rispetto al caso precedente.

Questa osservazione può essere spiegata ricordando che la variazione di energia è proporzionale

all’accelerazione. Nel caso del pendolo semplice la variabile di controllo era l’accelerazione stessa

quindi il suo valore massimo limitava direttamente la variazione di energia. Nel caso del pendolo di

Furuta, invece, la variabile di controllo è la coppia motrice, e tale segnale risulta proporzionale

all’accelerazione del braccio moltiplicata per il prodotto tra la massa del braccio per la sua

lunghezza (basti pensare ad un semplice modello descritto da ττϕ =→= MLaML &&2 )

Essendo il prodotto massa per lunghezza minore di uno, l’accelerazione risulta maggiore che nel

caso precedente e quindi tale è anche la massima variazione di energia.

Il controllore sviluppato con il metodo SG ha quindi il vantaggio il portare il pendolo nella

posizione verticale, con un segnale di controllo limitato, in un tempo proporzionale a tale limite. In

un’applicazione reale è possibile quindi trovare un giusto compromesso tra la coppia che

l’attuatore deve poter erogare e le tempistiche richieste dalle specifiche di progetto.

Il difetto principale del controllore SG, invece, è la necessità di utilizzarlo in unione a un secondo

controllore che stabilizza il pendolo nella posizione verticale. Questo difetto deriva dalla

progettazione stessa, in quanto si è sintetizzato un trasferimento asintoticamente stabile

dell’energia del sistema e non un controllo sull’angolo di rotazione del pendolo.


61

5. Controllo del pendolo con strategia EC-LQR Simuliamo ora il comportamento del sistema completo tramite il seguente schema Simulink:

Figura 34 : Schema simulink del controllo EC-LQR

Lo schema proposto implementa un controllo ibrido composto da due parti, la prima (EC) fa

oscillare il pendolo mentre la seconda (LQR) stabilizza il pendolo nella posizione verticale.


62

Di seguito si riportano i grafici della simulazione:

Figura 35 : Simulazione del controllo EC-LQR

Il risultato conferma quanto ipotizzato nel paragrafo precedente, il controllore EC permette

l’oscillazione del pendolo portandolo nella posizione superiore annullando l’errore di energia (il

terzo grafico riporta la differenza di energia rispetto alla posizione superiore) mentre il controllore

LQR stabilizza tale configurazione.


63

6. Controllo Virtual Gravity (VG) Consideriamo il sistema approssimato del pendolo di Furuta (42) ipotizzando che valgano le

considerazioni fatte nel capitolo ad esso dedicato.

0sincos 2 =−+ ϑϑϑ ppp MgLMLaML &&

Il sistema può essere riscritto in questo modo:

ϑττϑϑ cossin2 aMLdoveMgLML ppp −==−&& (62)

Cosi facendo si è giunti ad un sistema del secondo ordine controllabile tramite il segnale di coppia.

È possibile scegliere tale segnale in modo da invertire l’accelerazione gravitazionale e rendere

attrattiva la posizione verticale [22].

L’asintotica stabilità dell’origine può essere quindi raggiunta introducendo un ulteriore termine al

segnale di controllo al fine di sintetizzare un semplice trasferimento PD e creare la seguente

dinamica ad anello chiuso:

ϑϑϑτ

ϑϑϑϑ&

&&&

10

102

sin2

sin

KKMgLdove

KKMgLML

p

pp

−−−=

−−−=

(63)

Ricaviamo ora l’accelerazione da fornire al sistema per ottenere il segnale di coppia voluto:

ϑϑϑ

ϑϑϑϑ

ϑ

ϑϑϑϑτ

cos)(tan2

cos)(tan2

cossin2'

1'

010

10

&&

&

KKgML

KKga

aMLKKMgL

p

pp

++=

++=

−=−−−=

(64)


64

Simuliamo ora il comportamento del sistema descritto con il seguente schema Simulink:

Figura 36 : Schema simulink del controllo VG per il pendolo approssimato

Il blocco MATLAB Fcn implementa la seguente funzione:

Figura 37 : Script matlab della funzione di controllo VG per il pendolo approssimato

utilizzata per la generazione del segnale di controllo.


65

Di seguito viene riportato l’evoluzione temporale del sistema:

Figura 38 : Simulazione del controllo VG per il pendolo approssimato

I grafici evidenziano come l’origine sia davvero un punto di equilibrio asintoticamente stabile per il

sistema.

Trascurando il termine gravitazionale, la dinamica a ciclo chiuso diventa:

0102 =++ ϑϑϑ &&& KKMLp (65)

Riscrivendo in termini di trasformata di Laplace le variabili di stato e ricavando i poli del sistema si

giunge a:

21

2200

24

P

P

MLKMLKK

s−±−

= (66)

Il sistema è quindi caratterizzato da due poli che possono essere scelti a piacere tramite i

parametri di guadagno della struttura PD.


66

Come già fatto per la sintesi del controllore basato sull’energia, applichiamo ora la legge di

controllo sintetizzata al sistema non approssimato (26) tramite il seguente schema Simulink:

Figura 39 : Schema simulink del controllo VG per il pendolo di Furuta

Anche in questo caso il blocco MATLAB “Fcn” implementa la retroazione di stato con la seguente

funzione:

Figura 40 : Script matlab della funzione di controllo VG per il pendolo di Furuta

Rispetto al caso del pendolo semplice, però, l’accelerazione generata non sarà più quella

tangenziale al pendolo ma quella del braccio. Per risolvere questo problema basta ricordare il

legame aLa =ϕ&& e scrivere aLa /=ϕ&& .

La funzione riportata implementa proprio questa correzione.


67

Inizializzando il sistema con il solito script Matlab ed eseguendo la simulazione si ricavano i

seguenti grafici:

Figura 41 : Simulazione del controllo VG per il pendolo di Furuta

Analizzando gli andamenti delle variabili di stato si nota come il controllore sintetizzato sia in

grado di eseguire la fase di Swinging Up e di stabilizzazione del pendolo senza ricorrere a strutture

ibride, come nel caso del sistema EC‐LQR.

Il difetto principale, invece, riguarda la perdita di controllo nell’angolo di rotazione del braccio.

Questo problema genera una rotazione del braccio a velocità costante come quello già riscontrato

nella sintesi del controllore PID.

Anche in questo caso è possibile risolvere il problema introducendo un secondo anello con una

dinamica limitata in modo da generare un disturbo che annulli la rotazione del braccio.


68

In prima analisi tale strada sembrerebbe la più appropriata da un punto di vista “controllistico” in

quanto la sintesi del'ulteriore anello aggiunto può essere eseguita sfruttando la teoria ben nota

dei controllori PID. Seguendo questa strada però si perde la natura “fisica” della legge di controllo

ricavata visto che non si riesce in modo agevole a dare un origine fisica al segnale aggiunto al

controllo (visto come disturbo dall'anello che regola l'angolo del pendolo) per regolare le posizione

del braccio.

Sorge quindi l’esigenza di chiedersi se non sia possibile perseguire insieme i due obiettivi di

controllo (l’annullamento degli errori sui due spostamenti angolari rispetto ai valori di riferimento)

con un ragionamento basato completamente sull’origine fisica del segnale di controllo.


69

7. Controllo Virtual Spring (VS) L’idea che sta alla base di questa nuova modalità di controllo è quella di generare un segnale che

simuli la dinamica di un sistema meccanico soggetto a dei vincoli posizionati (ed eventualmente

spostati nel tempo) ad hoc per seguire una traiettoria di riferimento.

Pensiamo all’obiettivo di controllo del pendolo di Furuta: creare delle oscillazioni sul pendolo al

fine di portarlo in posizione UP e poi far tendere a zero ogni variazione delle variabili di stato, sia in

posizione che in velocità. Basandoci sulla teoria del controllo si è realizzato un sistema ibrido EC‐

LQR che svolge completamente tale mansione. Per sintetizzare il suddetto sistema si sono dovuti

introdurre due argomenti di non immediata comprensione, il metodo SG e il controllo ottimo.

Si vuole ora veder se, sfruttando l’idea dei vincoli virtuali, è o meno possibile risolvere lo stesso

problema di controllo.

Pensiamo di vincolare la massa del pendolo ad un sistema molla‐smorzatore (MS) appeso ad un

anello situato sopra il pendolo di Furuta. Tale sistema aggiunto non farà altro che attirare a se il

braccio e il pendolo al fine di minimizzare l’energia totale del sistema.

Inoltre avendo a disposizione due gradi di libertà quali la costante elastica della molla e il

coefficiente di attrito dello smorzatore è altresì possibile scegliere la dinamica e quindi

l’evoluzione della variazione di tale energia.


70

Consideriamo il seguente modello:

MS

Come si può notare dal disegno, il sistema meccanico da modellizzare è del tutto simile al classico

pendolo di Furuta con l’aggiunta del blocco MS.

Tale blocco subirà delle deformazioni rispetto alla posizione di riposo che possono essere

proiettate sui tre assi ortogonali x,y,z:

)cos1(),()0,(sincos)sin(sin),()0,(

sinsin)cos(cos),()0,(

00

000

000

ϑϑφφϑφφφϑφφϑφφφϑφφ

−=−=−−=−=+−=−=

RpZZDZRpRaYYDY

RpRaXXDX

(67)

Tale deformazioni non sono altro che la differenza tra le coordinate del punto in cui si è fissato il

sistema MS, in questo caso si è scelto un angolo 0φ generico e si è posto 00 =ϑ , e le coordinate

della massa di bilanciamento.

Figura 42 : Modello del controllo VS


71

Derivando tali deformazioni rispetto al tempo si ricava l’espressione del vettore velocità:

TRpRaDVzRpRaDVyRpRaDVxRpRaDV )],(),,(),,([),( = (68)

Infine è possibile calcolare il modulo del vettore deformazione e del vettore velocità del sistema

MS:

)sincos2cossinsin(cossin2)sinsincos(cos2cos222),(

00

0022222

φφφφφφϑφφφφϑ

−++++−−+=

RaRpRaRpRpRaRpRaDL

(69)

2222222 cos2)sin(),( ϑϑφϑφϑ &&&& RpRaRpRpRaRpRaDV +++= (70)

Una volta ricavati tali vettori, essi possono essere utilizzati per calcolare l’energia potenziale della

molla e la funzione dissipazione dello smorzatore ricordando di sostituire le generiche posizioni Ra

e Rp con le lunghezze effettive del braccio (La) e del pendolo (Lp):

22

21,

21 rDVDkDLV smorzatoremolla ==

(71)

Introducendo le sopracitate grandezze il sistema di equazioni che governa la dinamica del sistema

complessivo diventa:

ϑϑϑϑ

φφφφ

&&

&&

∂∂

−=∂

∂+

∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∂∂

−=∂

∂+

∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

smorzatoremolla

smorzatoremolla

DVLLdtd

DVLLdtd

(72)

Una volta calcolate le derivate opportune, il sistema può essere riscritto in forma matriciale:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡00

),(),,,(),( modmod ϑφϑφ

ϑφϑφϑφ

ϑφ gCD&

&&&

&&

&&

(73)


72

Il nuovo sistema è del tutto analogo al precedente fatta eccezione per le matrici C e g, che

contengono i contributi del sistema MS, e per la scomparsa dei segnali di controllo. Tali segnali

sono volutamente stati omessi in quanto è la struttura stessa del sistema meccanico a garantire

l’orbita di riferimento cercata, che quindi non deve essere forzata esternamente. E' ovvio che poi

nella realtà i segnali di controllo vi sono e nel modello (72) corrispondono alle coppie ai giunti del

pendolo equivalenti all'effetto del blocco MS (si veda più avanti).

Le matrici caratteristiche del sistema sono le seguenti:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +=

βϑχϑχϑβα

ϑφcos

cos)sin(),(

2

D

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

++−+−+++

=2

222

mod cossincoscossinsincos)sin(sincos

),,,(rLpfrLaLp

rLaLpLpLareC

ϑφϑϑβϑϑϑχφϑϑβϑϑϑϑβ

ϑφϑφ&

&&&&&

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−+−++

=ϑδϑφϑφϑϑ

φϑφϑφϑφφϑ

sincossinsin2sinsinsincossin2sinsin2cossinsin

),(2

222

mod kLaLpkLaLpkLpkLaLpkLaLpkLaLpkLa

g


73

Prima di valutare la struttura del sistema di controllo costruiamo un modello simulink in grado di

simulare il sistema pendolo di Furuta modificato. Di seguito viene riportato il risultato di tale

operazione:

Figura 43 : Schema simulink del pendolo di Furuta modificato con il sistema MS

L’inizializzazione del modello viene fatta con il solito script Matlab con l’unica differenza di

introdurre i due termini aggiuntivi del sistema MS, k e r.

Il coefficiente di smorzamento r influenza la presenza o meno di eventuali oscillazioni rispetto alla

posizione di riferimento e il tempo con cui esse tendono ad arrestarsi. Il coefficiente k della molla,

invece, riveste un ruolo decisamente più importante in quanto è proprio questo parametro che

permette la fase di SWINGING UP del pendolo. Per poter portare il pendolo in posizione UP deve

valere la seguente disuguaglianza (si veda la matrice ),(mod φϑg ):

kLp

kkLp ~sinsin 22 =≥→≥

δϑδϑ (74)


74

Valutiamo il risultato della simulazione impostando 1.0=r e kk ~*2= .

Figura 44 : Simulazione del pendolo di Furuta modificato con il sistema MS

Come si può notare dai grafici riportati il sistema risponde proprio come si era ipotizzato e tutte le

variabili di stato tendono al loro valore di riferimento.


75

Proviamo ora ad effettuare la stessa simulazione con un valore di k più basso del valore limite

menzionato precedentemente imponendo 1.0=r e kk ~*5.0= .

Figura 45 : Simulazione del pendolo di Furuta modificato con il sistema MS Anche in questo caso la simulazione conferma quanto esposto precedentemente, la molla non

riesce a contrastare il peso della massa di bilanciamento e la fase di SWINGING UP non viene

eseguita.


76

Infine valutiamo il caso in cui il coefficiente di smorzamento sia più piccolo di quello utilizzato nelle

simulazioni precedenti imponendo 05.0=r e kk ~*2= .

Figura 46 : Simulazione del pendolo di Furuta modificato con il sistema MS Si nota che, avendo imposto un valore kk ~

> , la fase di SWINGING UP viene eseguita

correttamente ma si riscontrano dei notevoli overshoot causati da una scelta del parametro di

smorzamento non ottimale.


77

Una volta capita la dinamica del pendolo di Furuta “modificato” (ovvero del sistema pendolo di

Furuta più molla virtuale) non rimane altro che dedurne il segnale di controllo. Per semplicità di

esposizione riscriviamo i modelli matriciali dei due sistemi meccanici:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

ϑ

φ

ξτ

ϑφϑφ

ϑφϑφϑφ

ϑφ ),(),,,(),( gCD&

&&&

&&

&&

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡00

),(),,,(),( modmod ϑφϑφ

ϑφϑφϑφ

ϑφ gCD&

&&&

&&

&&

Combiniamo algebricamente le due equazioni matriciali eseguendo la differenza delle due:

[ ] [ ] [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

ϑ

φ

ξτ

ϑφϑφϑφ

ϑφϑφϑφϑφϑφ

ϑφϑφ ),(),(),,,(),,,(),(),( modmod ggCCDD&

&&&&&

&&

&&

In questo modo possiamo scrivere:

),(~),,,(~ ϑφϑφ

ϑφϑφξτ

ϑ

φ gC +⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡&

&&&

(75)

Questa espressione rappresenta la retroazione di stato da effettuare per far si che la dinamica del

pendolo di Furuta simuli quella del pendolo di Furuta modificato dall’aggiunta del sistema molla –

smorzatore.


78

Figura 47 : Schema simulink del controllo VS

Il modello Simulink riportato implementa il controllo VS retroazionando il sistema tramite le due

equazioni ricavate precedentemente.

Inizializzando il modello impostando 2.0=r e kk ~*2= si ricavano i seguenti grafici:

Figura 48 : Simulazione del controllo VS


79

L’andamento delle variabili di stato evidenzia come il controllore sintetizzato riesca a soddisfare

perfettamente gli obiettivi di controllo.

Terminata quest’analisi, si potrebbe pensare di confrontare i risultati ottenuti con il controllore EC‐

LQR e il sistema VS. Valutando solamente gli andamenti delle variabili di stato si potrebbe pensare

che i due sistemi siano del tutto equivalenti e quindi affermare che la strada della sintesi basata sul

posizionamento di vincoli sia la migliore e la più semplice in quanto “basata solo sulla natura fisica

del problema”.

Analizzando meglio i segnali di controllo, però, si nota subito come il confronto sia impari in

quanto i due sistemi hanno un numero diverso di ingressi. Il sistema EC‐LQR si basa sul pendolo

sottoattuato mentre il sistema VS per funzionare necessita una completa attuazione dei giunti.

Senza volersi diffondere eccessivamente sul tema, è comunque opportuno sottolineare qui il

valore didattico dell’aver osservato un simile fatto. E’ in molti settori tradizione cercar di

comprendere (e anche a volte di controllare) sistemi meccanici (o a essi assimilabili)

“assemblando” modelli di tali sistemi e dei comportamenti desiderati fatti appunto da masse,

molle, smorzatori e altri simili componenti che dovrebbero “descrivere sinteticamente e in modo

equivalente” i fenomeni con e senza controllo. E’ opinione dell’autore (e del suo relatore) che un

tale modo di procedere mostri a volte la corda, in quanto l’assemblare “elementi meccanici” di cui

sopra altro non è che un modo potenzialmente surrettizio di assemblare equazioni. Quando poi

occorre analizzare i risultati per vedere in termini di teoria dei sistemi e del controllo cosa si è

voluto fare e/o cosa si è fatto, non è infrequente che i risultati ottenuti – come peraltro è successo

qui – non possano essere tradotti in pratica se non assumendo condizioni (qui di attuazione) non

realistiche e neppur necessarie, a patto però di affrontare il problema “da sistemisti” fin da subito.

Lungi dal promuovere una critica aprioristica dell’approccio “a equivalenti meccanici”, l’esperienza

descritta in questo capitolo può pertanto evidenziarne i limiti e chiarire a un eventuale

sperimentatore “discente” i necessari caveat da tenere a mente.


80

Le esperienze di controllo simulate

81

4. Le esperienze di controllo simulate

1. Introduzione a Easy Java Simulations Easy Java Simulations (Ejs) [23,24] è uno strumento software progettato per la simulazione

discreta al computer di modelli fisici.

Una simulazione su elaboratore è un programma destinato alla riproduzione di un fenomeno

naturale descritto mediante sistemi di equazioni differenziali. Tale equazioni saranno

caratterizzate da delle variabili di stato che Ejs farà evolvere e visualizzerà a video.

Esistono molti programmi che permettono questo tipo di operazione; qui è stato scelto Ejs perché

nato proprio dall’esigenza di professori e ricercatori di avere un software capace di simulare delle

variabili dinamiche senza perdere troppo tempo nella realizzazione del sorgente.

È proprio questa la potenza di Ejs; il programma fornisce tutti gli strumenti base per essere subito

operativi senza perdere troppe ore di training prima di poter lanciare la prima simulazione.

Questa semplicità di utilizzo però, non rende Ejs meno prestante rispetto a programmi concorrenti

più professionali: con Ejs è possibile tracciare qualsiasi tipo di grafico, disegnare qualsiasi tipo di

modello e analizzare la maggior parte dei fenomeni che interessano l’ambito della ricerca

scientifica.

Un ulteriore punto di forza di Ejs sta nel fatto che genera automaticamente degli Applet Java che

possono essere visualizzati su dei semplici Browser Internet, questa peculiarità permette di

stendere simulazioni multipiattaforma che possono essere visualizzate da qualsiasi utente.


82

2. Il simulatore del Pendolo di Furuta La realizzazione del modello è stata sviluppata in due fasi: inizialmente si è costruita una struttura

3D composta da dei semplici cilindri legati tra loro da dei vincoli di posizionamento,

successivamente sono state inserire le equazioni dinamiche che regolano l’evoluzione degli angoli

e delle relative velocità.

Il risultato di questa operazione è il seguente:

Figura 49 : Modello Ejs del pendolo di Furuta


83

Figura 50 : Equazioni Ejs del pendolo di Furuta

Figura 51 : Definizione delle equazioni del pendolo di Furuta


84

Come già introdotto nel paragrafo precedente, la stesura del modello è stata molto veloce, frutto

della semplicità di utilizzo di Ejs; una volta disegnata la struttura del pendolo sono state

implementate le quattro equazioni differenziali tramite la schermata Evolution. Tali equazioni non

sono altro che una copia del modello integrale sviluppato in (26) definite nella schermata Custom.

Tutte le equazioni scritte sono state parametrizzate tramite l’introduzione di variabili, in modo tale

da poter simulare il pendolo in qualsiasi condizione operativa assegnando a esse i valori opportuni.

Figura 52 : Variabili Ejs del pendolo di Furuta


85

Figura 53 : Inizializzazione Ejs del pendolo di Furuta


86

3. Esperienze con controllo EC-LQR Il controllo EC‐LQR è stato implementato definendo nella schermata Custom le funzioni introdotte

nel paragrafo 3.3 e 3.4 ad esso dedicato.

Figura 54 : Algoritmo di controllo EC-LQR


87

La strategia di switching è stata invece definita nella schermata Evolution

Figura 55 : Strategia di controllo EC-LQR

Il pendolo, per come è stato sviluppato il modello, si troverà a 0° nella posizione UP oppure a 360°,

in base al senso di rotazione del braccio. Per non dover prevedere le due situazioni in fase di

switching si è deciso di utilizzare la funzione coseno: tale funzione, essendo pari, si comporterà

nello stesso modo a fronte di rotazioni orarie o antiorarie del pendolo. Dopo qualche tentativo si è

giunti alla conclusione che un valore limite di 0.9 permette un passaggio appropriato tra le due

politiche di controllo.

Per rendere ancora più generale il simulatore sviluppato si è anche deciso di introdurre una

saturazione sulla variabile di controllo: tale saturazione può essere gestita inzializzando

correttamente la variabile Usat.


88

Le figure sottostanti riportano un esempio di utilizzo del programma realizzato.

Figura 56 : Modello Ejs del controllo EC-LQR

Figura 57 : Simualzione del controllo EC-LQR nella fase EC


89

Figura 58 : Simulazione del controllo EC-LQR nella fase LQR

Il programma, oltre ad offrire una semplice interfaccia interattiva, visualizza anche l’evoluzione dei

segnali che caratterizzano il sistema e una label per identificare il tipo di controllo in azione.

L’esempio riportato mostra l’evoluzione del pendolo dalla posizione DOWN a quella UP

evidenziando lo switch tra il controllo EC e LQR.


90

4. Esperienze con controllo Virtual Gravity Il controllo VG è stato implementato definendo nella schermata Custom le funzioni introdotte nel

paragrafo 3.6 ad esso dedicato.

Figura 59 : Algoritmo di controllo VG

La strategia di controllo è stata definita nella schermata Evolution

Figura 60 : Strategia di controllo VG

Anche in questo caso è stata introdotta una funzione saturazione per permettere la simulazione di

attuatori a dinamica limitata.


91

Le figure sottostanti riportano un esempio di utilizzo del programma realizzato.

Figura 61 : Modello Ejs del controllo VG

Figura 62 : Simulazione del controllo VG

I grafici confermano ancora una volta come il controllo VG sia in grado di eseguire

contemporaneamente la fase di SWINGING UP del pendolo e di stabilizzare la configurazione UP.


92

5. Esperienze con controllo Virtual Spring

Il controllo Vs è stato implementato definendo nella schermata Custom le funzioni introdotte nel

paragrafo 3.7 ad esso dedicato.

Figura 63 : Algoritmo di controllo VS

La strategia di controllo è stata definita nella schermata Evolution

Figura 64 : Strategia di controllo VS

In questo caso è stato necessario ridefinire il set di equazione del simulatore del pendolo di Furuta

per introdurre il secondo segnale di controllo che gestisce l’attuazione del giunto del pendolo.

Questa modifica è stata fatta modificando nella schermata Custom il modello integrale definito

dalle equazione f1 e f2:


93

Figura 65 : Ridefinizioni delle equazioni del pendolo di Furuta


94

Valutiamo ora l’utilizzo del simulatore sviluppato:

Figura 66 : Modello Ejs del controllo VS

Figura 67 : Simulazione del controllo VS

Anche in quest’ultimo caso il simulatore conferma le conclusioni tratte in fase di sintesi:

il sistema di controllo VS riesce perfettamente a stabilizzare il pendolo di Furuta nella posizione

UP.

Conclusioni

95

5. Conclusioni

Si sono realizzate e descritte esperienze di controllo relative al pendolo di Furuta, a scopo didattico

ma anche (potenzialmente) per la sperimentazione in simulazione di tecniche di controllo evolute.

A tale scopo è stato impiegato un ambiente software (Ejs) di simulazione adatto alla

prototipazione rapida di simulatori dotati d'interfaccia utente “ricca” e flessibile, fruibili sia

localmente che tramite il web e col solo utilizzo di software libero.

Il lavoro svolto è stato suddiviso in tre sezioni:

• Studio e analisi del modello del pendolo di Furuta

• Sintesi di sistemi di controllo per il pendolo di Furuta

• Realizzazione di simulatori per il pendolo di Furuta

Il pendolo di Furuta è stato modellizzato per mezzo delle equazioni di Eulero‐Lagrange. Si è anche

deciso di inserire nel modello le componenti di attrito presenti nei giunti del pendolo (in

letteratura si trovano spesso modelli privi di attrito). Si è così giunti ad un modello a parametri

distribuiti caratterizzato da due coppie di controllo (una sul giunto del braccio e l’altra su quello

del pendolo) e da due coppie di attrito.

Il sistema di equazioni non lineari ricavato è stato poi analizzato per caratterizzare i punti di

equilibrio del pendolo di Furuta, che ovviamente ne ammette infiniti (il braccio risulta vincolato ad

un piano del sistema quindi qualsiasi posizione risulta di equilibrio) i quali possono essere suddivisi

in base alla posizione assunta del pendolo. Se il pendolo risulta rivolto verso il basso (posizione

chiamata DOWN) le configurazioni di equilibrio risultano stabili mentre se il pendolo si trova

rivolto verso l’alto (UP) gli equilibri – quelli peraltro d'interesse per il controllo ‐ risultano instabili.

Si è poi pensato ad un modo per approssimare il pendolo di Furuta con un pendolo semplice, utile

in fase di sintesi dei controllori, che non considera il braccio del pendolo.

I modelli sviluppati sono stati implementati in ambiente Matlab per aver un supporto software sul

quale elaborare le varie prove e simulazioni. Anche in questo caso si è deciso di sfruttare la

potenzialità di Matlab per realizzate dei simulatori parametrici al fine di poter testare i sistemi in

ogni condizione operativa. Si è scelto di poter variare tutti i parametri geometrici del pendolo di

Furuta, quali masse e lunghezze, e tutte le condizioni iniziali, ovvero posizione e velocità del

braccio e del pendolo.


96

Durante questa prima fase si è potuto constatare come la stesura di un modello non sia solo la

premessa per la sintesi di un controllore, come spesso capita di leggere, ma riveste un ruolo

fondamentale per semplificare il lavoro di sintesi stesso. La scelta del modello deve essere fatta sia

per massimizzare la semplicità delle equazioni che per comprendere la natura fisica del problema

da affrontare. Quindi un buon progetto di controllo nasce proprio da una buona scelta del

modello di partenza. Un modello ottimo deve possedere due caratteristiche fondamentali:

• Il modello deve essere il più semplice possibile

• Il modello deve essere il più generale possibile

Proprio per queste due regole si è scelto di sviluppare un modello completamente parametrizzato

che include i contributi di attrito ed entrambe le coppie di controllo (una che agisce sul braccio e

l’altra sul pendolo) pur utilizzando nella maggior parte del lavoro un modello sotto attuato del

pendolo di Furuta.

Un altro aspetto fondamentale è anche il modo con cui un modello viene rappresentato. Spesso si

trascura questo aspetto in quanto tutte le possibili rappresentazioni sono equivalenti dal punto di

vista dinamico ma non lo sono dal punto di vista applicativo. Per esempio un modello espresso in

variabili di stato risulta molto più semplice da gestire per la realizzazione di un simulatore rispetto

al suo equivalente differenziale; al contrario una rappresentazione differenziale, riscritta magari in

termini matriciali, risulta più comoda per il calcolo dei punti di equilibrio o di possibili retroazioni di

stato non lineari. Proprio per questo motivo, dato il carattere didattico delle esperienze trattate, si

è deciso di riportare il modello del pendolo di Furuta sia per mezzo della rappresentazione di stato

che in termini matriciali. La prima rappresentazione è stata utilizzata per realizzare i simulatori

Matlab ed Ejs mentre la seconda è tornata utile, per esempio, per calcolare i segnali di controllo

durante la sintesi del controllo “virtual spring”.

Una volta concluso il lavoro di modellizzazione e analisi si è passati alla sintesi dei controllori.

Prima si è operato sul sistema linearizzzato del pendolo di Furuta nella posizione UP e si sono

studiati due controllori standard (PID e LQR), successivamente si è affrontato il problema di

portare il pendolo dalla posizione DOWN alla posizione UP tramite la sintesi del controllo EC (fase

di SWINGING UP). In ultimo si è pensato di sintetizzare un controllo capace di effettuare sia lo

SWINGING UP del pendolo che di stabilizzare la posizione UP (controllo VG e VS).

Conclusioni

97

Si sono presto evidenziati i limiti della struttura PID, che gestisce solo l’angolo di rotazione del

pendolo (quindi a regime il pendolo di Furuta si troverà in posizione UP ma il braccio continuerà a

ruotare).

Per sopperire a tale limite, tra le varie strade possibili, si è deciso di adottare quella di sintetizzare

un controllore LQR, che permette sia la stabilizzazione della posizione UP del pendolo che

l’annullamento della rotazione del braccio. Questo comportamento è stato testato facendo variare

l’angolo di inizializzazione del pendolo è si è ricavato un valore limite entro il quale il controllo LQR

interviene correttamente. Questo parametro è stato in seguito utilizzato per gestire la

commutazione tra la fase di SWINGING UP e quella di stabilizzazione del pendolo di Furuta.

Per portare il pendolo dalla posizione DOWN alla posizione UP si è utilizzato un controllore che in

letteratura è conosciuto con il nome di “Energy Control”. L’idea base è quella di far variare

l’energia interna del sistema in modo che essa tenda ad un valore di riferimento, quella della

posizione UP nel caso del pendolo di Furuta. In letteratura esistono molti riferimenti a riguardo ma

tutti trascurano il procedimento di calcolo di tale legge di controllo dando per scontato che esista

e che dia origine a delle traiettorie stabili subordinando poi alla simulazione numerica il compito di

dimostrarlo. Volendo sopperire a tale lacuna e capire meglio il significato fisico del controllo EC si è

quindi studiato il metodo “Speed Gradient”. Tale metodo non è altro che una sorta di controllo

ottimo che minimizza non un indice di costo funzione dello stato e della variabile di controllo ma il

suo gradiente. Si è inizialmente analizzato il comportamento del metodo SG su un sistema

dinamico generico e poi si sono applicati i risultati ottenuti sul pendolo di Furuta sintetizzando la

legge di controllo EC.

Si è quindi simulato il suo comportamento facendone variare i parametri e anche in questo caso,

come nell’LQR, si è evidenziato un trade‐off tra la prontezza del sistema e l’escursione del segnale

di controllo. Inoltre si è anche visto come tale algoritmo risenta notevolmente della presenza di

attrito nel pendolo di Furuta, per valori troppo elevati di coefficienti di attrito, anche con segnali di

attuazione molto grandi, il sistema non riesce a portare il pendolo oltre il valore limite,

menzionato quando si è parlato del controllore LQR, e quindi non permette la conclusione della

fase di SWINGING UP.


98

Una volta sviluppato il controllore per lo SWINGING UP e quello per la stabilizzazione della

posizione UP si è realizzato un sistema aggregato dei due sottosistemi. Il meccanismo di

regolazione ottenuto è stato testato in ambiente Simulink e si è osservato come esso sia

effettivamente in grado di raggiungere l’obiettivo di controllo prefissato. Durante la prima fase il

sottosistema EC controlla l’oscillazione del pendolo, raggiunto il valore limite sull’angolo un

meccanismo di commutazione attiva il sottosistema LQR che completa, durante la seconda fase

della compensazione, la stabilizzazione della traiettoria facendola convergere alla posizione UP.

Il difetto principale di tale struttura è la necessità di dover sintetizzare due tipologie di controllori

cercando di disaccoppiare il più possibile i due contributi sul pendolo di Furuta durante la fase di

commutazione. Se i due sistemi, per la presenza di disturbi non presi in considerazione,

risentissero l’uno dell’altro durante lo switch, si potrebbero generare dei segnali di controllo tali

da saturare l’attuatore o, nelle peggiore delle ipotesi, da destabilizzare il pendolo di Furuta.

La necessità di sopperire a quest’ultimo difetto ha reso necessario lo studio di un ulteriore sistema

di controllo capace di effettuare contemporaneamente lo SWINGING UP e la stabilizzazione. La

soluzione è stata cercata ragionando sulle forze applicate al pendolo di Furuta e vedendo come sia

solo il contributo gravitazionale a rendere instabile la posizione UP. Una possibile alternativa è

stata quindi cercata sintetizzando un opportuno segnale di controllo capace di “far sentire” al

pendolo una forza di gravità invertita. Inizialmente si è ragionato sul modello approssimato e si è

visto come, con una semplice retroazione non lineare, sia possibile rendere asintoticamente

stabile la posizione UP. Successivamente si è applicato lo stesso ragionamento al modello

completo e il risultato è stato identico. Durante quest’analisi si è visto come una semplice

compensazione di gravità riesca ad invertire lo stato di instabilità del pendolo ma, non essendoci

parametri liberi su cui intervenire, non sia possibile controllare il modo con cui la traiettoria del

pendolo converga alla posizione UP. Si è quindi valutato il contributo di attrito su tale sistema e si

è visto come esso sia in grado di favorire il raggiungimento dell’obiettivo di controllo. Coppie di

attrito basse generano dei moti oscillatori nell’intorno della posizione UP che si smorzano in un

intervallo di tempo proporzionale al modulo stesso della coppia di attrito. Essendo l’attrito un

parametro intrinseco del sistema, non è possibile utilizzarlo per migliorare la risposta del sistema

però è possibile simulare il suo contributo modificando la legge di controllo. Il metodo ricavato è

stato quello di aggiungere al segnale di compensazione una parte proporzionale all’angolo di

rotazione del pendolo e alla sua velocità angolare (regolatore PD). L’introduzione di due parametri

Conclusioni

99

liberi ha quindi reso possibile la sintesi del controllore VG per venire incontro alle specifiche di

progetto sul tempo di assestamento e sulla presenza o meno di oscillazioni nell’intorno della

posizione UP.

Scelti tali parametri è stato quindi possibile simulare il comportamento del sistema VG, applicato

al pendolo di Furuta, e stabilizzare la configurazione in esame. Anche in questo caso si è

riscontrata la perdita di controllo sull’angolo di rotazione del braccio; questo difetto deriva

principalmente dal fatto che la gravità agisce solo sul pendolo (il braccio è vincolato ad un piano

orizzontale) e lo stesso discorso vale anche per il contributo PD.

Il sistema di controllo progettato può essere rivisto da un punto di vista meccanico

schematizzandolo come una sistema molla‐smorzatore che collega il pendolo ad un generico

punto posto sopra la posizione UP. Durante la sintesi del segnale di controllo VG si è quindi

ipotizzato che tale sistema sia soggetto solo all’angolo di rotazione del pendolo e non risenta in

alcun modo dell’angolo di rotazione del braccio. Questa strada è stata generalizzata, introducendo

anche questo secondo contributo, sintetizzando il regolatore VS.

Prima di procedere con la sintesi del segnale di controllo si è voluto verificare se la strada scelta

portasse o meno al controllo contemporaneo dei due angoli di rotazione, modificando il classico

pendolo di Furuta aggiungendo il sistema molla‐smorzatore. Si sono ricavate, sempre tramite la

meccanica Lagrangiana, le equazioni che regolano il moto di questo sistema meccanico e si è

simulato il suo comportamento tramite uno schema Simulink. I risultati ottenuti hanno dimostrato

la validità dell’ipotesi di partenza. Avendo ricavato il set di equazioni del pendolo di Furuta e di

quello modificato si è quindi passati alla sintesi dei segnali di controllo per eguagliare le due

dinamiche. L’algoritmo VS ha quindi reso possibile la realizzazione della fase di SWINGING UP, la

stabilizzazione della posizione UP e la permanenza del braccio in una situazione di quiete.

L’ultima parte del lavoro è stata la stesura dei programmi di simulazione, in ambiente Easy Java

Simulations, in modo da poter verificare sperimentalmente quanto studiato nelle due fasi

precedenti. Il primo programma realizzato è stato il modello del pendolo di Furuta. Utilizzando

questo simulatore è possibile visualizzare sia tramite un animazione 3D che con l’ausilio di grafici

2D, l’evoluzione del pendolo a fronte di qualsiasi tipo di inizializzazione e con qualunque tipo di

settaggio per i parametri quali masse, lunghezze e coefficienti d’attrito.


100

L’utente sarà quindi in grado di comprendere il concetto di punto di equilibrio e convincersi della

differenza tra un equilibrio stabile ed uno instabile.

Successivamente si sono implementati tre controllori atti a regolare il moto del pendolo di Furuta.

Si è deciso di sviluppare un simulatore per il sistema EC‐LQR, uno per il sistema VG e un altro per il

meccanismo VS. Sfruttando la parametrizzazione offerta da Ejs l’utente sarà ancora una volta in

grado di verificare il comportamento del sistema al variare dei parametri di controllo e quindi

effettuare un analisi comparata delle differenze tra le tre tipologie di controllo messe a

disposizione.

Bibliografia

101

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Indice delle figure

103

7. Indice delle figure Figura 1 : Modello del pendolo di Furuta ............................................................................................ 5 Figura 2 : Script matlab per il calcolo degli autovalori e della risposta libera ................................... 19 Figura 3 : Risposta libera con attrito .................................................................................................. 20 Figura 4 : Risposta libera senza attrito ............................................................................................... 21 Figura 5 : Simulatore matlab del pendolo di Furuta .......................................................................... 25 Figura 6 : Simulatore matlab del pendolo approssimato .................................................................. 25 Figura 7 : Script matlab per l’inizializzazione del pendolo di Furuta ................................................. 26 Figura 8 : Script matlab per l’inizializzazione del pendolo approssimato .......................................... 26 Figura 9 : Script matlab per il calcolo della funzione di trasferimento .............................................. 31 Figura 10 : Sistema di controllo a doppia retroazione ....................................................................... 33 Figura 11 : Sistema di controllo semplificato ..................................................................................... 34 Figura 12 : Diagrammi di Bode del regolatore PID ............................................................................ 35 Figura 13 : Diagramma di Nyquist della funzione d'anello ................................................................ 36 Figura 14 : Risposta all'impulso con il regolatore PID ........................................................................ 37 Figura 15 : Risposta al gradino con il regolatore PID ......................................................................... 37 Figura 16 : Schema simulink del controllo PID ................................................................................... 38 Figura 17 : Simulazione del controllo PID .......................................................................................... 39 Figura 18 : Confronto risposta del controllo PID ............................................................................... 39 Figura 19 : Andamento delle variabili di stato del pendolo di Furuta con il controllo PID ................ 41 Figura 20 : Script matlab del controllo LQR ....................................................................................... 45 Figura 21 : Schema simulink del controllo LQR .................................................................................. 46 Figura 22 : Schema simulink del blocco LQR ...................................................................................... 46 Figura 23 : Simulazione del controllo LQR ......................................................................................... 47 Figura 24 : Simulazione del controllo LQR ......................................................................................... 47 Figura 25 : Simulazione del controllo LQR ......................................................................................... 48 Figura 26 : Andamento delle variabili di stato del pendolo di Furuta con il controllo LQR ............... 49 Figura 27 : Simulazione del controllo LQR saturato ........................................................................... 50 Figura 28 : Schema simulink del controllo energia per il pendolo approssimato ............................. 56 Figura 29 : Schema simulink del blocco Energy Control .................................................................... 56 Figura 30 : Simulazione del controllo EC per il pendolo approssimato ............................................. 57 Figura 31 : Simulazione del controllo EC per il pendolo approssimato ............................................. 58 Figura 32 : Schema simulink del controllo energia per il pendolo di Furuta ..................................... 59 Figura 33 : Simulazione del controllo EC per il pendolo di Furuta ..................................................... 59 Figura 34 : Schema simulink del controllo EC‐LQR ............................................................................ 61 Figura 35 : Simulazione del controllo EC‐LQR .................................................................................... 62 Figura 36 : Schema simulink del controllo VG per il pendolo approssimato ..................................... 64 Figura 37 : Script matlab della funzione di controllo VG per il pendolo approssimato ..................... 64 Figura 38 : Simulazione del controllo VG per il pendolo approssimato ............................................ 65 Figura 39 : Schema simulink del controllo VG per il pendolo di Furuta ............................................ 66 Figura 40 : Script matlab della funzione di controllo VG per il pendolo di Furuta ............................ 66 Figura 41 : Simulazione del controllo VG per il pendolo di Furuta .................................................... 67 Figura 42 : Modello del controllo VS .................................................................................................. 70 Figura 43 : Schema simulink del pendolo di Furuta modificato con il sistema MS ........................... 73 Figura 44 : Simulazione del pendolo di Furuta modificato con il sistema MS ................................... 74 Figura 45 : Simulazione del pendolo di Furuta modificato con il sistema MS ................................... 75 Figura 46 : Simulazione del pendolo di Furuta modificato con il sistema MS ................................... 76


104

Figura 47 : Schema simulink del controllo VS .................................................................................... 78 Figura 48 : Simulazione del controllo VS ............................................................................................ 78 Figura 49 : Modello Ejs del pendolo di Furuta ................................................................................... 82 Figura 50 : Equazioni Ejs del pendolo di Furuta ................................................................................. 83 Figura 51 : Definizione delle equazioni del pendolo di Furuta .......................................................... 83 Figura 52 : Variabili Ejs del pendolo di Furuta ................................................................................... 84 Figura 53 : Inizializzazione Ejs del pendolo di Furuta......................................................................... 85 Figura 54 : Algoritmo di controllo EC‐LQR ......................................................................................... 86 Figura 55 : Strategia di controllo EC‐LQR ........................................................................................... 87 Figura 56 : Modello Ejs del controllo EC‐LQR ..................................................................................... 88 Figura 57 : Simualzione del controllo EC‐LQR nella fase EC ............................................................... 88 Figura 58 : Simulazione del controllo EC‐LQR nella fase LQR ............................................................ 89 Figura 59 : Algoritmo di controllo VG ................................................................................................ 90 Figura 60 : Strategia di controllo VG .................................................................................................. 90 Figura 61 : Modello Ejs del controllo VG ............................................................................................ 91 Figura 62 : Simulazione del controllo VG ........................................................................................... 91 Figura 63 : Algoritmo di controllo VS ................................................................................................. 92 Figura 64 : Strategia di controllo VS ................................................................................................... 92 Figura 65 : Ridefinizioni delle equazioni del pendolo di Furuta ......................................................... 93 Figura 66 : Modello Ejs del controllo VS ............................................................................................ 94 Figura 67 : Simulazione del controllo VS ............................................................................................ 94

politecnico di milano facoltà di ingegneria dell...

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