pontificia universidad catÓlica de valparaÍso facultad de …
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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE VALPARAÍSO
FACULTAD DE CIENCIAS
INSTITUTO DE MATEMÁTICAS
M a g i s t e r e n D i d á c t i c a d e l a M a t e m á t i c a
CONSTRUCCIÓN COGNITIVA DE
LA RAÍZ CUADRADA
Una mirada desde la teoría APOE
Trabajo final para obtener al grado académico de
Magister en Didáctica-de-la-Matemática
Dirigido por
Dra. Marcela Parraguez González
Presentado por
Mauricio Gamboa Inostroza
Proyecto financiado por CONICYT-Chile
Valparaíso, Julio de 2013
Proyecto financiado por el Programa de Formación de Capital Humano
Avanzado de CONICYT-CHILE.
i
Agradecimientos
A mi amada esposa Debora, por soportar mis ausencias y falta de tiempo, por comprender
mis locuras y apoyarme en todas ellas, sinceramente sin ti este proyecto no habría llegado a
buen término.
A mi Apóstol Ademir, por sus sabios consejos de padre y mentor, sus palabras de
aliento y oraciones que hicieron posible este proyecto.
A los profesores del programa, por creer en mí, en especial a Arturo Mena,
quien hizo que me impregnara de la Didáctica-de-la-Matemática; a Jaime
Mena y Patricia Vásquez, que me hicieron mirar la Matemática desde un
punto de vista superior; a mi Profesora Guía, la Dra. Marcela Parraguez, un
ejemplo de perseverancia, pasión y dedicación por lo que hace; y finalmente a
un amigo incondicional, Miguel Alejandro Rodríguez, gracias por esas charlas
interminables en las que nos fortalecíamos mutuamente.
A la Dra. María Del Valle, quien fue la persona que me inspiró y me
“empujó” a la disciplina de la Didáctica-de-la-Matemática, gracias por
plantar esa semilla, que otros regaron y hoy ya está germinada.
A todos mis amigos que creyeron en mí...., pero
A Dios por sobre todas las cosas, por ser la fuente de vida, mi proveedor y poner a mi lado a
la gente correcta… todo lo que soy es gracias a Él
ii
Contenido Agradecimientos................................................................................................................... i
Contenido ............................................................................................................................ ii
Resumen ............................................................................................................................. 1
Abstract ............................................................................................................................... 2
Glosario ................................................................................................................................. 3
Introducción .......................................................................................................................... 6
Capítulo 1 : Antecedentes y Problemática ........................................................................... 9
1.1. Antecedentes históricos epistemológicos ................................................................... 9
1.2. Investigaciones reportadas ...................................................................................... 12
1.3. La raíz cuadrada en la Matemática Escolar .............................................................. 13
1.4. La Raíz Cuadrada en los textos ............................................................................... 15
1.5. El problema de investigación .................................................................................. 16
Capítulo 2 : Marco Teórico ................................................................................................ 20
2.1. Una primera aproximación .......................................................................................... 20
2.1.1 El conocimiento matemático ............................................................................ 21
2.2.1 El aprendizaje de la matemática ....................................................................... 21
2.2. La teoría APOE .......................................................................................................... 21
2.2.1 Las Construcciones Mentales ........................................................................... 22
2.2.2 Abstracción Reflexiva ...................................................................................... 25
2.2.3 La Descomposición Genética ........................................................................... 28
2.3 Ciclo de investigación en APOE ............................................................................. 29
2.3.1 El Análisis teórico............................................................................................ 30
2.3.2 Diseño e implementación de la enseñanza ........................................................ 31
2.3.3 Análisis de los datos ........................................................................................ 31
iii
2.4 El ciclo ACE ........................................................................................................... 32
Capítulo 3 : Hipótesis y Objetivos de investigación ........................................................... 33
3.1. APOE y la Problemática ......................................................................................... 33
3.2. Hipótesis de investigación ....................................................................................... 33
3.3. Objetivos de investigación ...................................................................................... 34
3.3.1 Objetivo general .................................................................................................... 34
3.3.2 Objetivos específicos ............................................................................................. 34
Capítulo 4 : Metodología .................................................................................................... 35
4.1. Análisis Teórico ...................................................................................................... 35
4.1.1. Lo que nos dejan los antecedentes .................................................................... 36
4.1.2. La Raíz Cuadrada en la Matemática ................................................................. 37
4.1.3. Descomposición Genética hipotética de la Raíz Cuadrada ................................ 40
4.2. Diseño y Análisis a priori del instrumento ............................................................... 43
4.2.1. El Cuestionario ................................................................................................ 43
4.2.2. Análisis a priori de las preguntas del Cuestionario ........................................... 44
4.3. Justificación del cuestionario en relación a la DG.................................................... 49
4.4. Acerca del Análisis de los datos .............................................................................. 60
4.4.1. Paradigma de investigación .............................................................................. 61
4.4.2. El estudio de casos ........................................................................................... 61
4.4.3. Criterios de selección de los casos de estudios ................................................. 62
Capítulo 5 : Análisis y Verificación de los datos ................................................................ 64
5.1 Resultados del cuestionario ..................................................................................... 64
5.1.1 Resultados del Caso 1 ...................................................................................... 65
5.1.2 Resultados del Caso 2 ...................................................................................... 89
5.1.3 Resultados del Caso 3 .................................................................................... 103
iv
5.1.4 Resultados del Caso 4 .................................................................................... 113
5.1.5 Análisis de los datos y comentarios ................................................................ 120
Capítulo 6 : Conclusiones ................................................................................................. 121
6.1 Conclusiones en base a la DG ............................................................................... 121
6.2 Conclusiones en base a la pregunta de investigación ............................................. 122
6.3 Una propuesta en base a la noción de esquema ...................................................... 122
6.4 Desafíos y continuidad de la investigación ............................................................ 123
Referencias Bibliográficas ................................................................................................ 125
Anexo 1: Cuestionario....................................................................................................... 130
Anexo 2: Páginas de textos analizados ............................................................................. 137
Anexo 3: Participación en eventos científicos .................................................................. 143
1
Resumen
Con base en la teoría APOE (Acción, Proceso, Objeto y Esquema), desarrollada por Dubinsky
y sus colaboradores (Asiala, M., Brown, A., DeVries, D.J., Dubinsky, E., Mathews, D. y
Thomas, K., 1996) y considerando antecedentes de la Raíz Cuadrada, en investigaciones
reportadas, currículum y textos, proponemos una Descomposición Genética (DG) —modelo
cognitivo mediante el cual un estudiante puede construir un concepto (Dubinsky, 1991) — que
permite explicitar aquellas construcciones y mecanismos mentales, que hipotéticamente un
estudiante pone de manifiesto, al construir la raíz cuadrada como objeto.
Para testear la viabilidad de la DG teórica propuesta, utilizamos el ciclo metodológico que
viene aplicando exitosamente el grupo RUMEC (Research in Undergraduate Mathematics
Education Community) en sus investigaciones, con el fin de documentar la DG respecto de
las construcciones y mecanismos mentales que muestran los estudiantes al construir el objeto
en cuestión. Los resultados del análisis de los cuatro (4) casos de estudio indicaron la que la
DG es viable y dieron luces de la falta de coordinación de procesos entre los aritmético y
geométrico, para generalizar en lo algebraico.
Finalizada la investigación, se expone una propuesta en base a la noción de Esquema, que
modela la construcción de la raíz cuadrada en base a los cuatro (4) aspectos históricos
epistemológicos.
Palabras clave: APOE, Construcciones Mentales, Descomposición genética, Raíz cuadrada.
2
Abstract
Based on APOS theory (Action, Process, Object and Schema), developed by Dubinsky and
colleagues (Asiala, M., Brown, A., DeVries, DJ, Dubinsky, E., Mathews, D. and Thomas, K .,
1996) and considering background Square Root in reported research, curriculum and texts, we
propose a genetic decomposition, (DG),-cognitive model by which a student can build a
concept (Dubinsky, 1991), which allows explicit those constructions and mental mechanisms
that hypothetically a student demonstrates, to build the square root as object.
To validate the feasibility of the proposed genetic decomposition, we use the cycle being used
successfully methodological RUMEC group (Research in Undergraduate Mathematics
Education Community) in their research, in order to document the genetic decomposition, with
respect to construction and mental mechanisms showing the students to build the object. The
results of the analysis of the four (4) case studies indicated that genetic ladescomposición is
viable and lights were uncoordinated processes between the arithmetic and geometric,
algebraic generalize it.
Following the investigation, it presents a proposal based on the notion of scheme, which
models the construction of the square root based on the four (4) historical aspects
epistemological.
Keywords: APOS, Mental constructions, Genetic decomposition, Square root.
3
Glosario
Abstracción Reflexiva – Mecanismo que nos sirve para extraer o separar una característica de
un objeto, a partir no exactamente de los objetos, sino de las acciones que realizamos sobre
ellos. La palabra Reflexiva tiene doble connotación: una es reflexionar sobre nuestras
acciones, otra es proyectar nuestra acción sobre el plano de las operaciones.
Construcción mental – Existen variadas definiciones, pero en general se refiere a la
organización de las ideas para intentar comprender algo.
Construcción Acción – Resulta de una operación mental o física repetible que transforma de
alguna manera un objeto físico o mental. Es, de manera general, algorítmica y con estímulos
externos.
Construcción Proceso – Resulta de la interiorización una Acción. Esta construcción no se
deja conducir por los estímulos externos, sino por los internos.
Construcción Objeto – Resulta de la reflexión sobre las operaciones aplicadas en el proceso,
que es dinámico inicialmente, y quien que la posee puede actuar sobre el proceso, puede
realizar transformaciones y pensarlo como algo estático, como algo involucrado en sí mismo,
es decir encapsulado.
Construcción Esquema – Formar un nuevo esquema resulta de la organización de las
construcciones acción, proceso, objeto y también otros esquemas previamente construidos.
Coordinación – Un tipo de abstracción reflexiva. Un acto cognitivo de hacer coincidir dos o
más procesos para construir un nuevo proceso; esta coincidencia de procesos puede realizarse
por simple concatenación.
4
Desencapsulación – Mecanismo de abstracción reflexiva que permite mirar un objeto desde el
proceso que lo encapsulo. Un individuo solo puede desencapsular un objeto en el proceso que
lo generó (Mena, 2011)
Encapsulación – Un tipo de abstracción reflexiva en la cual uno puede pasar de una
concepción proceso a una concepción objeto. Tal abstracción permite al individuo mirar un
proceso como algo cerrado en sí mismo con ―existencia propia‖ lo que permite mirarlo como
un objeto.
Interiorización – Un tipo de abstracción reflexiva. Una construcción de procesos internos
como una manera de atribuir sentido a fenómenos observados. Piaget se refiere a esa
construcción como ―traducción de una sucesión de acciones materiales en un sistema de
operaciones interiorizadas‖. (Dubinsky 1991a)
Nivel Intra – Nivel de esquema que es caracterizado por una observación individual en los
ítems, aislado de acciones, procesos y objetos de naturaleza similar. Uno no consigue hacer
interrelaciones entre los ítems, entre las características del concepto.
Nivel Inter – Nivel de esquema que es caracterizado por la posibilidad de construcción de
interrelaciones entre acciones, procesos y objetos de otros conceptos o de lo mismo. Uno es
capaz de percibir y utilizar, si es necesario, ítems de naturaleza similar.
Nivel Trans – Nivel de esquema que corresponde a una estructura fundamental que el
individuo construye o empieza a construir a través de las interrelaciones obtenidas en otro
nivel y ella es entendida como algo que le da armonía, relación lógica o coherencia al
esquema.
Raíz Cuadrada: Si 0,a la Raíz Cuadrada de ,a se rotula a y corresponde al único
número no negativo tal que su cuadrado es .a En lenguaje algebraico se escribe:
20 ! 0 ,x y y x y x .
5
Reversión –Un tipo de abstracción reflexiva. Una vez que un proceso existe internamente, es
posible para el sujeto a pensar a la inversa, no necesariamente en el sentido de deshacer, pero
como medio de la construcción de un nuevo proceso que consiste en invertir el proceso
original.
Teoría APOE – Estructura teórica, basada en las ideas de Piaget, que busca describir
cognitivamente la comprensión matemática de un individuo. Es compuesta de 4 elementos:
Acción, Proceso, Objeto y Esquema.
Tríada Piagetiana - Niveles de desarrollo de los esquemas: Intra, Inter y Trans.
6
Introducción
La Didáctica-de-la-Matemática como programa de investigación científica, constituye un
esfuerzo multidisciplinario que se caracteriza por poner a la Matemática en un lugar central y
además por trabajar en base a teorías explícitas. En este sentido se quiere dar respuestas al
problema de la enseñanza-aprendizaje de la matemática. En nuestro país, cómo en otros
lugares del mundo, no se está indiferente a la presencia de estos problemas en la educación
matemática, es más, los resultados de mediciones nacionales (SIMCE, PSU) e internacionales
(TIM’s, PISA) indican que el problema es global. Dentro de mi práctica docente he observado
cierta dificultad de los estudiantes para comprender/construir determinados objetos
matemáticos. En el ámbito de la matemática escolar, los estudiantes cometen errores, que
permanecen en el tiempo y que son independientes del lugar geográfico y/o cultural, como por
ejemplo pensar linealmente al resolver un cuadrado de binomio o asignarle un doble signo al
calcular la Raíz Cuadrada de un número y aún más, pensar que existen ―números inexactos‖.
Por lo anterior esta investigación apunta al estudio del objeto matemático Raíz Cuadrada y la
construcción que realizan los estudiantes de esta.
En el currículum escolar chileno1, la Raíz Cuadrada está presente no solo como objeto de
estudio de la Matemática, sino en otras ciencias como la química, biología, física, economía,
entre otras. Es así como se hace interesante el preguntarse ¿Qué tanto conocen los estudiantes
de la Raíz Cuadrada? ¿Tienen clara su definición matemática? ¿Han conceptualizado el objeto
matemático en su mente?
Esta investigación está situada en la construcción cognitiva del concepto matemático Raíz
Cuadrada en estudiantes de enseñanza media y superior (16-24 años). El propósito es indagar
cómo estos estudiantes logran construir la Raíz Cuadrada, noción que se presenta desde 7º
básico en el Marco Curricular (2009) vigente en Chile. Esta inquietud nace en la experiencia
1 Se expone así debido a la localidad, pero no quiere decir que suceda solo en Chile.
7
docente, al identificar una serie de fenómenos en la actividad matemática de estudiantes de
enseñanza media con respecto a la raíz cuadrada, entre ellos:
Le asignan un doble signo al calcular la raíz cuadrada de un número.
Declaran que números no cuadrados perfectos, no tienen ―raíz exacta‖ y en general lo
expresan aproximado como un decimal.
Confunden la idea de raíz cuadrada, con la idea de raíz de una ecuación.
Para esta investigación, el foco de indagación estará centrado en la construcción cognitiva de
un concepto matemático, por ende se utilizará la teoría APOE (Acción, Proceso, Objeto y
Esquema) como marco teórico, que tiene como principio entender cómo se aprende la
matemática, observando los fenómenos que ocurren en los alumnos que intentan construir un
concepto matemático (Salgado, 2007) y en base a esto se pretende establecer qué
construcciones y mecanismos mentales necesitan mostrar los estudiantes para (re)construir el
concepto raíz cuadrada
En el Capítulo 1 se establecerán los elementos que dan origen al problema de investigación,
para ello se consideran las investigaciones existentes en relación al objeto matemático Raíz
Cuadrada; un estudio histórico epistemológico que da cuenta cómo emergió el objeto, las
dificultades que se presentaron y su evolución; un análisis del currículum escolar chileno y de
los textos de estudio de circulación en el sistema escolar (enseñanza media) en relación al
objeto matemático raíz cuadrada. Estos elementos darán fuerza a la presentación de la
problemática de estudio y la pregunta de investigación, siendo esta última expuesta en base a
APOE más adelante.
En el Capítulo 2 se expondrá el Marco Teórico que sustenta esta investigación. En este caso
corresponde a la teoría APOE, teoría cognitiva creada por Dubinsky en base a la
epistemología genética de Piaget, cuyo fin es establecer un modelo teórico, Descomposición
Genética, en relación a las construcciones y mecanismos mentales necesarios para construir un
concepto. Además se explicita la metodología propia de investigación de APOE y la forma
que tiene de llegar al aula mediante el ciclo ACE.
8
El Capítulo 3 corresponde a la continuación de la problemática expuesta en el Capítulo, pero
ahora descrita en función del marco teórico APOE. Se presentan las hipótesis de investigación
y los objetivos de investigación.
En el Capítulo 4 presentamos la metodología de investigación, describiendo en mayor
profundidad el ciclo de investigación de la teoría APOE en relación a nuestra problemática y
al objeto de estudio. Se dará a conocer nuestra Descomposición Genética (DG) hipotética de la
Raíz Cuadrada y el instrumento (cuestionario) diseñado en base a la DG para la recolección de
datos. Además se dan a conocer el tipo de investigación (estudio de casos múltiples), la
unidad de análisis, etc.
En el capítulo 5 se mostrará el análisis de los datos que fueron recogidos por medio del
cuestionario, y su contrastación con al análisis a priori de éste, teniendo como base nuestra
Descomposición Genética hipotética. Se mostraran las respuestas por casos de informantes
que evidencian las construcciones mentales de la DG, así como de quienes no, y luego un
estudio comparativo de los casos, para poder sacar conclusiones finales.
El Capítulo 6 corresponde a las conclusiones en base al análisis realizado en el Capítulo 5.
Aquí se darán los lineamientos en base a la refinación de la Descomposición Genética, sobre
las sugerencias didácticas para el trabajo en el aula con la Raíz Cuadrada. Además se expondrá
una propuesta en base al concepto de Esquema que posee la teoría APOE, y a las ideas
piagetianas de la epistemología genética.
9
Capítulo 1 : Antecedentes y Problemática
1.1. Antecedentes históricos epistemológicos
A pesar de no contar con una formalización de la matemática que usaban, existen antecedentes
que muestran que los egipcios tenían una noción de la raíz cuadrada. El papiro de Ahmes es
una copia del 1650 a.C. de un trabajo incluso anterior y muestra cómo estos extraían raíces
cuadradas. Según Vidal (2009), es probable que la raíz cuadrada fuera pensada por las
antiguas civilizaciones, unida al conocimiento de los cuadrados perfectos. Pese a esto no
existiría aun como concepto sino hasta el estudio de la matemática como ciencia abstracta y
sistemática, estatus que le dieron los griegos a la matemática. Desde este periodo podemos
decir que comienza a nacer formalmente la idea de raíz cuadrada. Un estudio epistemológico
anterior de la raíz cuadrada, realizado por Colín (2005), destaca que los aspectos en los que se
desenvuelve la raíz cuadrada desde una mirada histórica son cuatro: (1) Geométrico, (2)
Aritmético, (3) Algebraico, y (4) Funcional (Colín y Martínez-Sierra, 2007).
Aunque existe discrepancia entre algunos autores en el momento preciso de su aparición,
queda muy claro que en una primera instancia de su nacimiento es de forma geométrica (raíz
cuadrada como un trazo). Según Vidal (2009), es en el siglo V a.C. con la aparición del
teorema de Pitágoras (noción que era conocida por culturas anteriores como la babilónica y/o
egipcia), donde la necesidad de buscar tríos pitagóricos denotaba la idea de la operación
inversa a elevar al cuadrado. Otra investigación (Colín, 2005), menciona que el nacimiento
data de los elementos de Euclides (libro II), en donde su uso se da para el cálculo de la ―línea
recta‖, al considerar esa ―línea‖ como la longitud del lado de un cuadrado que se quiere
calcular dada la superficie de este (p.16). Colín también nombra como dato al papiro de
Berlín en donde se encuentra un problema que muestra el cálculo de raíces cuadradas, el cual
se cita textual:
―Te dicen que el área de un cuadrado de 100 codos cuadrados es igual a la suma de
la de otros 2 cuadrados más pequeños. El lado de uno de ellos es 1/2 + 1/4 del otro.
Averigua los lados de los cuadrados”.
10
No es contradictorio encontrarnos con estas dos posturas, pues se piensa que los pitagóricos
mantuvieron oculto durante siglos el Teorema de Pitágoras del que se tenía noción al menos
un milenio antes de la escuela pitagórica, el cual planteó un problema insoluble2 cuando el
triángulo rectángulo es isósceles de catetos con medida 1 unidad (Mena, 2005). En base a esto
Mena expone:
“Es este un problema de consecuencias tan catastróficas que originó la leyenda
acerca de Hippasos de Metapontum (o de Sybaris, o Croton), quien, hacia -400,
habría sido ahogado, probablemente en el mar, por divulgar el Teorema de Pitágoras
el cual, según se aprecia, para los pitagóricos, no fue el motivo de celebración que se
suele asumir”
La raíz cuadrada como en su aspecto aritmético aparece basándose en la idea de los números
Euclidianos en el libro VII, pero no se encuentra explícitamente un proceso -–inverso al de
elevar al cuadrado– como en el ámbito geométrico. Se tienen antecedentes de que los
babilónicos usaban tablillas que contenían multiplicaciones y operaciones inversas con
números, pues existen evidencias que estos desde la prehistoria trabajaban con operaciones
inversas (como lo inverso de elevar al cuadrado, no formalizada como raíz cuadrada) y que la
utilizaban como herramienta para resolver ecuaciones cuadráticas.
Es notorio, que con respecto a lo anterior pudiera existir una confusión al establecer en qué
aspecto se está trabajando (geométrico–aritmético), lo cual incluso hasta hoy no queda claro,
pues se nota la necesidad de una dialéctica entre estos aspectos para definir el concepto de raíz
cuadrada.
En cuanto al aspecto algebraico, considerando el álgebra como una generalización de la
aritmética por medio de letras, se pueden ver los distintos significados que se le puede dar a
las letras, ya que se pueden considerar una incógnita en donde la letra se puede pensar como
2 Para la época, el no poder representar un número de la forma m/n, era contradictorio con la noción de número
existente.
11
un número particular, una variable donde hay que tener un conjunto referencial, un número
cualquiera generalizado (donde la letra puede ser cualquier número e incluso varios números).
En este periodo, donde por medio de lo algebraico, se toma como requisito fundamental la
existencia de un algoritmo para extraer la raíz cuadrada para algún número en particular.
Finalmente el aspecto funcional pues aunque en el siglo XVI donde no es posible encontrar
curvas con ecuaciones que involucren la raíz cuadrada pero sí que representen 2y x . Fermat
es quien habla de porciones parabólicas e hiperbólicas y, en otros escritos contemporáneos a
Fermat se comienzan a hacer las distinciones entre 2y x e y x . En relación al aspecto
funcional, el trabajo realizado con la raíz cuadrada es netamente analítico, pues aun no existía
un desarrollo avanzado acerca del estudio de las funciones, por lo que es más adelante cuando
se define la raíz cuadrada como la inversa de la función 2( )f x x .
Un aspecto importante a señalar, corresponde a un comentario hecho por el gran matemático
Euler en 1770: …”la raíz cuadrada de un número tiene siempre dos valores, uno positivo y
otro negativo; esto es que 4 es igualmente 2 y -2, se puede adoptar tanto a ó a
para la raíz de a .” (Buhlea y Gómez, 2008 p. 3).
Para finalizar podemos nombrar algunas particularidades del objeto, con respecto a su
simbología. En Cajori (1983), se dice que el símbolo fue introducido en 1525 por el
matemático alemán Christoph Rudolff, para representar esta operación apareciendo en su libro
Coss. El signo no es otra cosa que la forma estirada de la letra r minúscula, para hacerla
elegante, que representa la palabra latina radix, que significa raíz. Otro aspecto importante a
destacar es que el matemático Nicole Oresme, obispo de Normandía (murió en1382), concibió
por primera vez una notación de potencias fraccionarias, luego re-descubierta por Stevin, y dio
las reglas para operar con ellos. Su anotación fue totalmente diferente de la nuestra.
12
1.2. Investigaciones reportadas
Existen investigaciones en Didáctica de la Matemática que abordan el objeto matemático de
raíz cuadrada, a continuación presentamos una descripción de cada una de ellas:
Colín (2005) hace un estudio de la raíz cuadrada desde la aritmética al cálculo, centrando su
investigación en el desarrollo del pensamiento y el lenguaje variacional; es en este trabajo
donde se exponen varios fenómenos acerca de la enseñanza de la raíz cuadrada, entre ellos el
de asignarle un doble signo al calcular la raíz cuadrada a un número, y su objetivo es elaborar
descripciones y explicaciones sobre el funcionamiento del sistema didáctico: saber – profesor
– estudiante.
Buhlea & Gómez (2008), hacen un estudio de textos para analizar la trasposición de la raíz
cuadrada, estudio que compara textos de dos países (España y Rumania) investigación que
reporta el obstáculo didáctico en los manuales Españoles para la transposición del objeto en
cuestión y muestra que la presentación matemática de los textos rumanos es más cercana a la
matemática formal.
Gómez, (2011) en su investigación se refiere a la ambigüedad del signo radical como
problema matemático y como problema didáctico, haciendo un estudio de manuales en
España, estableciendo la necesidad de diferenciar entre la definición de radical y raíz.
Vidal (2009) en su tesis doctoral titulada ―Las raíces y radicales en libros de texto en Chile
(1969-2009)‖, hace un estudio de la presentación del objeto matemático raíz cuadrada en los
texto de circulación nacional en Chile entre los años 1969 y 2009 por medio de la teoría de la
Transposición Didáctica, y la incorporación de la Historia de la Matemática en el aula. Al
igual que Gómez, Vidal hace diferencia entre el radical y la raíz, argumentando desde la
matemática pura (saber sabio) esta distinción y hace una crítica a esta confusión de los libros
de texto en Chile.
Pese a la existencia de investigaciones sobre el objeto matemático raíz cuadrada, no existen
antecedentes de alguna investigación que trate la construcción por parte de los estudiantes de
13
este objeto matemático, es decir, que le den una mirada cognitiva a la construcción de la raíz
cuadrada.
1.3. La raíz cuadrada en la Matemática Escolar3
En el Marco Curricular de Chile (MINEDUC, 2005), el objeto matemático raíz cuadrada,
aparece en 3º medio (NM3) de manera formal, habiéndose presentado antes como la operación
inversa de elevar al cuadrado (teniendo en consideración a los números cuadrados perfectos
para este caso), el estudio del Teorema de Pitágoras y el cálculo de la distancia entre dos
puntos del plano cartesiano, entre otros.
Para fortalecer y contextualizar nuestro estudio es necesario hacer mención que en el año 2009
se realizó una Adaptación Curricular (MINEDUC, 2009), la que hace énfasis en cuatro ejes
temáticos: Números y operaciones, Algebra, Geometría, Datos y Azar, la cual entra en
vigencia en toda su magnitud el año 2013. De acuerdo a este nuevo Ajuste, nos encontramos
con el tratamiento de la raíz cuadrada en los siguientes niveles:
En 7º básico se propone el siguiente Objetivo Fundamental (OF) para el Eje Números:
“Comprender el significado de la raíz cuadrada de un número entero positivo, calcular o
estimar su valor y establecer su relación con las potencias de exponente dos” (p. 172)
En relación con este OF, están los siguientes Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO):
“Caracterización de la raíz cuadrada de un número entero positivo en relación con potencias
de exponente 2, y empleo de procedimientos de cálculo mental de raíces cuadradas en casos
simples o de cálculo, utilizando herramientas tecnológicas, en situaciones que implican la
resolución de problemas” (p. 174)
En 2º Medio encontramos los siguientes Objetivos Fundamentales (p. 184) para elEje
Números:
OF 1: Comprender que los números irracionales constituyen un conjunto numérico en el que
es posible resolver problemas que no tienen solución en los números racionales, y los
números reales como aquellos que corresponden a la unión de los números racionales e
irracionales. En relación con este OF, están los siguientes CMO:
3 Nos referimos a la enseñanza obligatoria en el Currículum Escolar Chileno.
14
CMO 1: Aproximación del valor de un número irracional por defecto, por exceso y por
redondeo.
CMO 2: Ubicación de algunas raíces en la recta numérica; exploración de situaciones
geométricas en que ellas están presentes; y, análisis de la demostración de la irracionalidad
de algunas raíces cuadradas. (p. 186)
Eje Álgebra:
OF2: Utilizar las funciones exponencial, logarítmica y raíz cuadrada como modelos de
situaciones o fenómenos en contextos significativos y representarlas gráficamente en forma
manual o usando herramientas tecnológicas.
En relación con este OF, está el CMO:
CMO 3: Uso de un software gráfico en la interpretación de funciones exponenciales,
logarítmicas y raíz cuadrada; análisis de las situaciones que modela y estudio de las
variaciones que se producen por la modificación de sus parámetros.
El mismo Marco Curricular, presenta implícitamente a la raíz cuadrada en 2º medio en el Eje
Geometría, tras el tratamiento de los teoremas de Euclides y Pitágoras; en 3º medio se utiliza
nuevamente en Geometría para la noción de distancia en el plano cartesiano. En 4º medio, en
el Eje Álgebra, se presentan los siguientes CMO (p. 194):
CMO 1: Análisis de la función potencia f (x)=axn
con a y x en los reales y n entero, en
situaciones que representen comparación de tasas de crecimiento aritmético y geométrico y
cálculo de interés compuesto, mediante el uso de un software gráfico.
CM 2: Identificación de funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas y determinación de la
función inversa cuando proceda.
Lo anterior nos muestra la posibilidad de definir la función raíz cuadrada como la función
inversa de la función potencia de exponente 2, pero el Marco Curricular no lo deja claro.
15
1.4. La Raíz Cuadrada en los textos
Se analizaron textos de estudio de circulación nacional, los cuales son entregados por el
MINEDUC, de manera gratuita a los establecimientos educacionales municipales y
subvencionados del país. Estos están mencionados en la Tabla 1.1.
TABLA 1.1: Textos de estudio, autores y editoriales
Id. Nombre Autores Editorial y año
1 Matemática 2º medio
Rodrigo Bamón, Patricio
Gonzalez, Jorge Soto
Andrade
Mare Nostrum, 2003
2 Matemática 2º medio
Mario Zañartu, Florencia
Darrigrandi, Mauricio
Ramos
Santillana, 2013
3 Matemática 3º medio
Rodrigo Bamón, Patricio
Gonzalez, Carmen Medina,
Jorge Soto Andrade
Mare Nostrum, 2003
4 Matemática 3º medio Roberto Hojman, Jorge
Yutronic Zig-Zag 2010
5 Matemática 3º medio Sergio Muñoz Venegas,
Florencia Darrigrandi Santillana, 2011
En cuanto a la exposición del saber, los textos 2 y 5 exponen la definición correcta, pero
juntamente con la ésta, muestran la idea de raíz como solución de una ecuación, generando
confusión en la definición del concepto, especialmente con el problema del doble signo. Los
textos 3 y 4 exponen el concepto desde el aspecto aritmético. El texto 3 presenta situaciones
problema en donde se pretende establecer la necesidad de pensar la potencia a la inversa. El
texto 4 recurre a los cuadrados perfectos para luego generalizar a la raíz cuadrada, entregando
su definición (p.14)4.
4 Cf. Anexo 2.
16
En cuanto a la ubicación de raíces en la recta numérica, los textos 2, 3 y 5 exponen el tema
utilizando el teorema de Pitágoras, es decir relacionan el valor numérico de la raíz cuadrada
con una medida (representación), mientras que el texto 4 expone un método de aproximación
para raíces cuadradas por iteración de un algoritmo.
Respecto de la función raíz cuadrada, los textos no la exponen como la función inversa de la
restringida función cuadrática. El texto 2 lo expone de manera gráfica en base al OF expuesto
en el punto 1.3 de este escrito. Los textos 3, 4 y 5 modelan situaciones por medio de la función
raíz cuadrada, pero no clarifican el asunto del dominio y recorrido.
En el aspecto geométrico, en el texto 1 se expone la idea de construir raíces por medio del
teorema de Euclides (p.96), al igual que en el texto 3 (ambos de la misma editorial),
evidenciando que el texto presenta actividades con la idea de coordinar lo geométrico con lo
aritmético (p.163). El texto 4 también presenta esta situación de coordinación para la
construcción de 2 (p.150 y 151) y desde ahí generaliza. El texto 2 y 5, a pesar de que
presentan en lo geométrico el teorema de Euclides, no hacen la coordinación entre lo
geométrico y aritmético.
En cuanto a lo algebraico, se reafirma lo expuesto por Vidal (2009) en base a la excesiva
algoritmización.
1.5. El problema de investigación
Desde mi experiencia como docente, he pesquisado con cierta frecuencia algunos errores5 en
los estudiantes cuando se ven enfrentados a problemas referentes a la Raíz Cuadrada, que
generan dificultades en la construcción del concepto raíz cuadrada. Algunos de estos errores se
describen a continuación:
escriben 4 2 , es decir, asimilan que la raíz cuadrada de un número tiene doble
resultado, por lo que al resolver 4 4 , se podrían tener tres resultados, 4, 0 ó -4.
consideran que las raíces de números ―no cuadrados perfectos” no tienen un valor
exacto o las llaman ―números inexactos‖
5 En Didáctica-de-la-Matemática se habla de fenómenos.
17
establecen la siguiente equivalencia para definir la Raíz Cuadrada: 2x y y x ,
dejando de lado la restricción para los valores de x e y .
Lo anterior hace que confundan el concepto de raíz cuadrada, con la noción de raíz
como solución de una ecuación.
Muchos de estos errores corresponden a los evidenciados por Colín (2005) en su investigación
en México, denotando que no equivalen a hechos locales solamente.
Según Vidal (2009) los textos de estudio de circulación nacional para la enseñanza de la
matemática en el nivel secundario, en especial el tema de la raíz cuadrada, generan estos
fenómenos, al alejarse en demasía en el momento de la transposición del saber sabio. Un
ejemplo claro de esto es lo que ocurre en el texto Santillana de 3º medio 2011, pues presenta
una buena definición de la Raíz Cuadrada, pero luego desarrolla la idea de Raíz de un
polinomio6 (Muñoz y Darrigrandi, 2011, p.17). Desde nuestro estudio epistemológico
7, y los
aspectos en que se desenvuelve la Raíz Cuadrada (Geométrico, Aritmético, Algebraico,
Funcional), podemos sustentar que un individuo que logra articular lo funcional, puede ser
capaz de responder y justificar por qué 9 tiene un solo resultado, es más los textos de
divulgación del saber inducen a estos errores8 al confundir con la idea de solución de una
ecuación.
Para evidenciar aún más las dificultades en la (re)construcción de la raíz cuadrada que
muestran los estudiantes de enseñanza media, se diseñó y aplicó un cuestionario exploratorio a
seis estudiantes de buen desempeño en matemáticas, que habían trabajado con anterioridad la
raíz cuadrada en 2º medio. Las preguntas de este cuestionario fueron las siguientes:
Pregunta 1: Dado un cuadrado cuya medida de área es 6 cm2, determine la longitud de su
lado.
Pregunta 2: Existe un número que al elevarlo al cuadrado resulte 29. Explique.
6 Esto se declara y muestra en el apartado anterior (1.4) y se muestra en el Anexo 2. 7 Ver 1.1 8 Ver 1.4
18
Pregunta 3: Sea un cuadrado de área a cm2, determine la longitud de su lado.
Entre las respuestas, los estudiantes evidencian ideas de pensar en números ―no exactos‖,
recurriendo a aproximaciones por ―tanteo‖ para dar respuesta a las preguntas 1 y 2 del
cuestionario exploratorio. En base a lo anterior se puede concluir que el estudiante no ha
logrado comprender/construir el objeto Raíz Cuadrada y solo tiene una noción numérica de
ésta, basada en la idea de ―lo inverso de elevar al cuadrado”. A continuación (figura 1 y 2) se
muestran algunas de las respuestas de los estudiantes a estas preguntas:
Figura 1.1: Respuesta del estudiante 2 a la pregunta 1 del exploratorio
La Figura 1.1 da cuenta que el estudiante recurre a aproximaciones para encontrar la medida
del lado del cuadrado.
Figura 1.2: Respuesta del estudiante 5 a la pregunta 2 del exploratorio
19
La Figura 1.2 muestra evidencias que el estudiante recurre a aproximar para encontrar el
número que elevado al cuadrado da como resultado 29. Además en su respuesta expone que
dicho número no es exacto.
Para la pregunta 3 no hubo respuestas de estos estudiantes. Se les consultó a los estudiantes el
por qué de esto y la respuesta fue “no sabíamos cuanto valía a ”. Lo anterior da cuenta de una
dificultad en el traspaso de la Raíz Cuadrada al álgebra, retomando fuerza lo expuesto por
Vidal (2009) en relación a la excesiva algoritmización, en desmedro de la comprensión de la
Raíz Cuadrada en el aspecto algebraico.
En base a los antecedentes, y las evidencias presentadas, enunciamos la pregunta de
investigación:
¿Cómo construyen los estudiantes de enseñanza media y/o superior
el concepto matemático Raíz Cuadrada?
A partir de esta pregunta se pretende estudiar, si los estudiantes articulan los 4 aspectos
históricos epistemológicos (Aritmético, Geométrico, Algebraico y Funcional) para establecer
la construcción como objeto de la Raíz Cuadrada. Para dar sustento teórico a las evidencias
que apoyan la respuesta a esta pregunta, optamos por la teoría APOE, teoría cognitiva que
permite investigar cómo un estudiante construye un concepto. En el siguiente Capítulo se
expondrá la teoría APOE, y se considera necesario volver a interpretar la problemática luego
de esto, para exponerla del todo en función de la teoría y junto con ello mencionar tanto las
hipótesis como los objetivos de la investigación.
20
Capítulo 2 : Marco Teórico
2.1. Una primera aproximación
Ed Dubinsky ha venido desarrollando una aproximación a la enseñanza de la matemática
basada en ideas de la epistemología genética de Piaget. Fundó el grupo Research in
Undergraduate Mathematics Education Community (RUMEC), con la idea de contribuir al
conocimiento básico acerca del pensamiento humano y de servir en ese objetivo,
especialmente en el área de las Matemáticas. Con ese fin, el grupo desarrolla investigación en
educación matemática generando aportes al desarrollo curricular en el área de la matemática
por medio de la teoría APOE (APOS en inglés)
Según Campero (2010), la teoría APOE ha demostrado su eficiencia en trabajos de
investigación en la que el investigador requiere comparar las dificultades de un estudiante
sobre un concepto matemático cualquiera, con las construcciones mentales que dicho
estudiante pueda haber hecho o le falten por hacer. Ante esto, en Mena (2011) se expone que
una de las ventajas principales de tomar como referente teórico a la teoría APOE es que
―considera un ciclo de investigación que permite integrar bien las evidencias empíricas en los
diseños de investigación y en las propuestas didácticas, y aun en la corrección de los diseños
iníciales: a la postre, una buena manera de ir enfrentando el aspecto epistemológico
global”(Mena, 2011, p. 76).
Otra ventaja de investigar con este sustento teórico, tiene relación con su base epistemológica
y la idea cognitiva que expone en el ámbito del conocimiento y del aprendizaje de la
matemática. En este sentido se pueden considerar los ―errores conceptuales‖9 evidenciados
por los estudiantes que quieren construir el objeto matemático en cuestión. Ante la
construcción de conceptos, Mena (2011), afirma que en un determinado nivel de desarrollo
(estadio), puede ser adecuado para el ambiente matemático en dicho momento construir un
concepto, pero cuando hay que confrontar fenómenos nuevos, los conceptos deben ser
9 Me refiero a los errores (fenómenos) mencionados en 1.5 de este escrito.
21
construidos en un nivel superior. ―En tales ocasiones, el estado del aprendiz puede comportar
una dificultad de carácter epistemológico” (p. 77).
2.1.1 El conocimiento matemático
Para Dubinsky (1996), el conocimiento matemático de un individuo es ―su tendencia a
responder a las situaciones matemáticas problemáticas reflexionando sobre ellas en un
contexto social y construyendo y reconstruyendo acciones, procesos y objetos matemáticos y
organizándolos en esquemas con el fin de manejar esas situaciones‖. (Dubinsky, 1996, p.32-
33).
En base a lo anterior es que Dubinsky y su grupo RUMEC se proponen ayudar a los
estudiantes a construir estructuras adecuadas para cada concepto, de modo que establezcan las
conexiones necesarias en relación a los conocimientos previos.
2.2.1 El aprendizaje de la matemática
En relación al aprendizaje de conceptos por medio de APOE, Maharaj expone:
“Una persona no aprende conceptos matemáticos directamente. Él individuo aplica
estructuras mentales para dar sentido a un concepto (Piaget, 1964). El aprendizaje se
facilita si el individuo posee estructuras mentales adecuadas para un concepto
matemático determinado. Si las estructuras mentales apropiadas no están presentes,
entonces el aprendizaje del concepto es casi imposible.” (Maharaj, 2010, p. 42)
Todo lo anterior nos muestra la fuerza que entrega la teoría APOE para la construcción de
conocimiento matemático en los estudiantes, y específicamente en nuestro caso de la Raíz
Cuadrada, debido a la gran cantidad de estructuras matemáticas que se deben coordinar para
construir dicho concepto.
2.2. La teoría APOE
La teoría APOE –Acción, Proceso, Objeto, Esquema– como se mencionó anteriormente toma
como base la epistemología genética de Piaget. Según Kú, Trigueros y Oktaç (2008), esta
22
teoría nace al estudiar el mecanismo de entendimiento de la Abstracción Reflexiva piagetiana,
que se refiere a la reflexión sobre las acciones y procesos que se efectúan desde un objeto de
conocimiento. Desde esta perspectiva teórica del conocimiento matemático, Dubinsky
(1991a), y Asiala et al. (1996) consideran que los individuos realizan construcciones mentales
para obtener significados de los problemas y situaciones matemáticas.
2.2.1 Las Construcciones Mentales
Desde el punto de vista de la teoría APOE la construcción del conocimiento pasa por tres
etapas básicas: Acciones, Procesos y Objetos, las cuales no necesariamente son secuenciales.
A continuación presentamos una descripción de estos mecanismos de construcción:
ACCIÓN: Una acción consiste en una transformación de un objeto que es percibida
por el individuo como externa y se realiza como una reacción a sugerencias que
proporcionan detalles de los pasos a seguir. Un individuo que tiene una profunda
comprensión sobre un cambio dado puede ejecutar una acción cuando sea necesario,
pero no se limita a operar en el nivel de acciones (Asiala et al., 1996).Si el sujeto solo
es capaz de trabajar sobre un objeto en base a estímulos externos, decimos que está
operando a concepción acción. ―Las acciones son más limitadas que otras
construcciones mentales, pero son el principio crucial en la construcción del
conocimiento.” (Dubinsky, 1996, p. 34)
En nuestro caso de estudio, la Raíz Cuadrada, un individuo se encuentra en concepción acción
cuando realiza transformaciones sobre las potencias de exponente 2, calculando el valor de
alguna expresión en situaciones que se le da la base y el exponente. Si el individuo comienza a
hacer transformaciones por sí mismo quiere decir que internalizó (interiorizó) la acción en un
proceso.
PROCESO: Cuando una acción se repite y el individuo reflexiona sobre ella, puede
interiorizarse en un proceso. Es decir se realiza una construcción interna que ejecuta la
misma acción en la mente del individuo, pero ahora no necesariamente dirigida por un
estímulo externo. Un individuo que tiene una concepción de proceso de una
transformación puede reflexionar sobre ésta, describirla, o incluso invertir los pasos de
23
la transformación sin realizar dichos pasos (Asiala et al, 1996) Lo anterior quiere decir
que esencialmente el individuo realiza la misma transformación enteramente en su
mente, o solo es imaginada, y la realiza sin la necesidad de recorrer todos los pasos
específicos, es decir, puede reflexionar sobre él sin realizar acciones específicas.
En el caso de la Raíz Cuadrada, cuando un individuo reflexiona sobre la potencia de
exponente 2 y logra establecer una relación entre la base de potencia y la potencia, quiere
decir que evidencia una concepción proceso, pues es capaz de hacer transformaciones al
objeto de manera interna, incluso pensar a la inversa; es decir, encontrar la base de una
potencia de exponente 2 dado un número a, es decir: 2
con 0.a a
OBJETO: ―Cuando un individuo reflexiona sobre las operaciones aplicadas a un
proceso en particular, toma conciencia del proceso como un todo, realiza aquellas
transformaciones (ya sean acciones o procesos) que pueden actuar sobre él, y puede
construir de hecho esas transformaciones, entonces está pensando en este proceso
como un objeto. En este caso, decimos que el proceso ha sido encapsulado en un
objeto‖ (Ibíd.). “Un individuo tiene una concepción objeto de un concepto si él puede
desencapsular el concepto de vuelta al proceso subyacente y construir
transformaciones que pueden ser aplicadas al objeto" (Dubinsky et al., 2005, p. 5).
Un ejemplo de la concepción objeto de la Raíz Cuadrada, es cuando a un individuo se le
pregunta si un número real positivo se puede escribir como potencia de exponente 2 y este es
capaz de construir más allá de la potencia, estableciendo que todo número real positivo o cero,
se puede escribir como una potencia de exponente 2, es decir 2
0, : a b a b y además
define que b es la Raíz Cuadrada de a. ―Una vez que se ha encapsulado el objeto (existe el
objeto en la mente) es fácil asignarle un rótulo” (Mena, 2011, p.81).
En resumen, el tránsito por las construcciones mentales desde APOE se puede ver de la
siguiente manera: se dice que un individuo evidencia una concepción Acción cuando
solamente es capaz de realizar transformaciones a algún objeto motivado por estímulos
externos y no por sí solo. Si este individuo reflexiona sobre estas acciones y las realiza
24
conscientemente, se dice que las acciones se han interiorizado, por lo que muestra una
concepción Proceso. Dos o más procesos se pueden coordinar en un nuevo proceso. Cuando
surge internamente la necesidad de transformar los procesos desarrollados, el individuo los
encapsula en Objetos, sobre los cuales puede volver a aplicar acciones. Los objetos se
organizan en esquemas, que a su vez se relacionan con otros esquemas.
Como se ha mencionado anteriormente, el paso por estas construcciones no es secuencial y no
es seguro que un estudiante llegue a la construcción del objeto. Un estudiante puede pasar
mucho tiempo en etapas intermedias e incluso estar en una etapa de construcción para ciertos
aspectos de un concepto y en otra para otros (Trigueros y Oktaç, 2005). Por ejemplo, se puede
mencionar el caso del concepto función, en donde un estudiante puede estar mucho tiempo en
una concepción acción, es decir, solo manipulándolo por estímulos externos, graficándola,
evaluando, entre otras; también se puede dar el caso en donde se evidencie que las acciones se
han interiorizado en un proceso, como por ejemplo encontrar preimágenes dadas las imágenes
o definiendo la función inversa a través de la reversión de otro proceso. Lo anterior no quiere
decir que se haya encapsulado en el objeto función, para esto debe entenderse como un todo,
es decir, que se puede operar, derivar, integrar, analizar la continuidad, etc.
La forma de pasar de un estado de construcción de conocimiento matemático a otro en la
teoría APOE es por medio del mecanismo de abstracción reflexiva (se profundizará más sobre
este tema en el apartado 2.2.2 de este escrito). ―De este modo, la construcción del
conocimiento matemático se realiza a través de distintas abstracciones sucesivas hasta llegar
a construir de manera coherente un esquema asociado a un objeto matemático.” (Parraguez,
2009, p.42). El esquema: ―es un nivel de mayor elaboración en la comprensión de un concepto
matemático y está relacionado de manera coherente en la mente del estudiante.‖ (Asiala et al,
1996, p. 12).
ESQUEMA: ―Se puede decir que un esquema es una colección coherente de acciones,
procesos y objetos y otros esquemas que se tienen para un concepto en particular‖
(Ibíd.).
Cuando un sujeto se encuentra frente a un problema específico en el ámbito de las
matemáticas, evoca un esquema para tratarlo. Al hacerlo, pone en juego aquellos
25
conceptos de los que dispone en ese momento y utiliza relaciones entre esos conceptos.
Ante una misma situación, diferentes estudiantes utilizan los mismos conceptos y
diferentes relaciones entre ellos. El tipo de relaciones que cada sujeto establece entre
los conceptos que utiliza, así como el tipo de construcción del concepto que muestra,
dependen de su conocimiento matemático. Se espera que a mayor conocimiento, se
hayan construido más relaciones entre conceptos y que estas relaciones formen
estructuras cognitivas coherentes en el sentido de que el individuo distinga claramente
aquellas situaciones que pueden tratarse poniendo en juego un esquema específico y
aquéllas para las que no es adecuado (Trigueros, 2005).
Las acciones, procesos y objetos se organizan en un esquema de manera que se pueden
establecer nuevas relaciones. Un esquema puede llegar a ser considerado un nuevo objeto, en
tal caso se dirá que el objeto se ha tematizado. (Parraguez, 2009). Mena (2011) reafirma lo
anterior, “El esquema está siempre en evolución, y puede llegar a considerarse como un
nuevo objeto, al cual pueden aplicársele acciones y procesos; en tal caso, se dice que el
esquema se ha tematizado. Tematizar es una manera para la construcción de objetos,
alternativa a la encapsulación de procesos –por tanto, puede hacer luego acciones sobre el
esquema.” (Mena, 2011, p.81)
2.2.2 Abstracción Reflexiva
Piaget y García (1982, p. 10) definen la abstracción reflexiva, como “el mecanismo por el cual
el individuo se mueve de un nivel a otro”. Para Dubinsky es una herramienta mental, un
dispositivo del que se hace uso en los procesos de construcción del conocimiento, que permite
al estudiante, a partir de las acciones sobre los objetos, inferir sus propiedades o las relaciones
entre objetos de un mismo nivel de pensamiento, lo que implica, entre otras cosas, la
organización de la información en un marco intelectual organizado a nivel superior (Dubinsky,
1991a, 1991b; citado en Parraguez, 2009, p.40)
La teoría APOE expone que la construcción en matemática se hace por medio de acciones,
procesos, objetos y esquemas. Lo anterior no tiene un orden establecido, es más un individuo
puede construir un conocimiento a partir de la desencapsulación de un objeto en un proceso y
26
ese proceso coordinarlo con otro proceso de manera que se cree un nuevo proceso, el cual se
puede encapsular en un objeto, o por medio de acciones sobre un objeto, es decir
manipulaciones en base a estímulos externos, interiorizar dichas acciones en procesos y lograr
la encapsulación en el objeto. En general, no es simple pasar de una acción a un proceso, y de
un proceso al objeto. “El mecanismo para pasar de un nivel a otro siempre es la abstracción
reflexiva, comprendida en el sentido del razonamiento que hace el sujeto sobre el significado
de las operaciones que realiza sobre el objeto matemático y de los resultados que produce en
el propio sujeto” (Trigueros, 2005, p. 9), es decir no pueden establecerse las construcciones
mentales sin la existencia de los mecanismos de abstracción reflexiva.
Dubinsky afirma que el fundamento principal de la teoría APOE es el concepto de abstracción
reflexiva, que él utiliza para describir cómo un individuo realiza ciertas construcciones
mentales acerca de un concepto determinado. Los 5 tipos de mecanismos de abstracción
reflexiva que menciona Dubinsky son: interiorización, coordinación, encapsulación,
generalización y reversión10
. Por medio de estas se originan las construcciones mentales:
Acciones, Procesos, Objetos y Esquemas; los cuales dan el nombre a la teoría.11
Interiorización: Piaget caracterizó este mecanismo como la traducción de una sucesión
de acciones materiales a un sistema de operaciones interiorizado. Dubinsky resume
este mecanismo como la transferencia de una actividad específica del mundo externo al
mundo interno. Así, mediante este mecanismo es posible que una acción sea
transformada en un proceso.
Coordinación: Este mecanismo fue descrito por Piaget como la coordinación general
de acciones, refiriéndose a todas las maneras de usar una o más acciones para construir
nuevos objetos o acciones. Mediante este mecanismo, dos ó más procesos pueden
coordinarse para generar nuevos procesos.
10
En algunos escritos aparece traducido al español como inversión.
11 Teoría APOE; existen algunos investigadores que piensan que debió llamarse ICEGR (en algún orden), por las
primeras letras de los 5 mecanismos de abstracción reflexiva.
27
Encapsulación: Este mecanismo es considerado como el más importante para la
construcción del conocimiento matemático y consiste básicamente en la conversión de
un proceso (una estructura dinámica) en un objeto (una construcción estática).
Generalización: Este mecanismo está relacionado con la capacidad del individuo para
aplicar un determinado esquema en un contexto distinto, está determinado por su
capacidad para determinar los alcances de sus construcciones. En este mecanismo, los
esquemas no cambian, pero otros objetos pueden ser asimilados por un esquema para
ser contextualizados en otros contextos.
Reversión: Este mecanismo fue agregado por Dubinsky como un caso particular de
abstracción reflexiva. Consiste básicamente en pensar un proceso a la inversa, no
necesariamente en el sentido de deshacer, pero si como medio de la construcción de un
nuevo proceso que consiste en invertir el proceso original.
En las investigaciones también se habla de la desencapsulación de un objeto. Hay muchos
casos en que es esencial volver desde un objeto al proceso que lo forma. Según APOE esto
solo puede realizarse desencapsulando el objeto, es decir volviendo al proceso que fue
encapsulado para construir ese objeto (Mena, 2011).
“Se considera que el mecanismo de encapsulación es el más importante para la construcción
del conocimiento matemático, pero, también, que es el más difícil de lograr: puede dilatarse
mucho o incluso no ocurrir” (Ibíd., p.81).
Desde la teoría APOE, el conocimiento se puede construir de dos maneras distintas. La
primera es por medio de acciones, las cuales se interiorizan en procesos, lo cuales se pueden
coordinar con otros procesos y/o revertir en otro proceso. Un proceso se encapsula en un
objeto. La otra forma es por medio de la desencapsulación de objetos; es decir, un objeto se
puede desencapsular en el proceso que lo generó, de esta manera dicho proceso se puede
coordinar con otros procesos (los cuales se pueden haber generado ya sea por interiorización
y/o desencapsulación) generando nuevos procesos que se pueden encapsular en un objeto
distinto del que se inició por desencapsulación.
28
En la figura 2.1 se muestra un diagrama de las construcciones y la abstracción reflexiva según
Asiala et al.
Figura 2.1: Esquema de la teoría APOE (Asiala et al., 1996)
La Asimilación
Naturalmente y según se puede comprobar, la construcción que un individuo hace de un
concepto está ligada tanto a las estructuras que ya posee como a las ideas que pueda hacerse
de ese concepto a partir de su experiencia con el mismo: cuando aborda una situación
matemática –digamos, un problema–, debe recurrir a sus propias ideas acerca de los conceptos
implícitos en la situación. Como resultado de su reflexión acerca del problema, hace una
reconstrucción de su conocimiento, reestructurándolo; a ese mecanismo, Piaget y García
(1989) lo llaman asimilación (Mena, 2011).
2.2.3 La Descomposición Genética
Una Descomposición Genética (DG) está definida como un modelo cognitivo donde se
describen las posibles construcciones mentales que un estudiante realiza para
comprender/construir un concepto a partir de ciertas habilidades cognitivas previas. La teoría
APOE trata de explicar el entendimiento de un concepto mediante las construcciones mentales
y los mecanismos de construcción. Asiala et al., (1996, p. 7), define la descomposición
29
genética del concepto como “conjunto de estructuras mentales que pueden describir cómo se
desarrolla el concepto en la mente del individuo”. La DG pone en relieve las construcciones
cognitivas que pueden ser necesarias para el aprendizaje de un concepto. En ella se destacan
las acciones y los distintos procesos, además de la forma que se pueden ir estructurando para
posibilitar la construcción de la concepción objeto, para favorecer la construcción de las
relaciones entre estas acciones, procesos y objetos (Salgado, 2007)
La DG comienza por el análisis de las construcciones que hace un individuo cuando aprende
un concepto matemático en términos de lo que es observable. Se construye como una primera
aproximación para modelar el aprendizaje de algún concepto matemático, se utiliza como base
teórica para elaborar materiales que se emplean en el aula, pues debe ser sometida a prueba
con los individuos en situación de clase (Ibíd.)
Una DG es una vía para aprender/construir conscientemente un concepto matemático por parte
del individuo, pensando que la DG de un concepto no es única; y que ―pueden coexistir varias
descomposiciones genéticas del mismo concepto en estudio” (Trigueros, 2005, p. 8). Es
posible que distintas DG coexistan para un mismo concepto, pero es importante que cualquier
descomposición genética del concepto matemático sea un instrumento que describa
efectivamente las observaciones de los trabajos de los estudiantes (Trigueros y Oktac, 2005).
2.3 Ciclo de investigación en APOE
La teoría APOE nos provee de un ciclo de investigación, que se visualiza en la figura N°3, el
cual integra tres componentes a considerar en el proceso de investigación: (i) análisis teórico,
(ii) diseño e implementación de enseñanza, y (iii) observación, análisis y verificación de
datos. (Ver Figura 2.2 )
Figura 2.2: Ciclo de investigación (Asiala, et al., 1996)
30
Este ciclo procura conseguir una descripción próxima de la construcción de los conceptos
matemáticos y tener una mirada más cercana y detallada del proceso de construcción por parte
de los estudiantes en relación a los conceptos que deseamos investigar (Roa & Oktaç, 2010).
2.3.1 El Análisis teórico
El objetivo principal del Análisis teórico es diseñar una Descomposición Genética hipotética,
lo que permitirá por medio de la descripción de las construcciones mentales, modelar de
manera cognitiva y epistemológica el concepto matemático en estudio (Roa, et al., 2010, p.
90). El análisis teórico consiste fundamentalmente en describir las construcciones mentales
(acciones, procesos, objetos y esquemas) y los mecanismos mentales (interiorización,
coordinación, encapsulación, entre otras) que un individuo puede realizar para construir un
determinado concepto matemático.
De esta manera, es posible considerar las interrelaciones que un estudiante puede establecer
entre las construcciones que ya ha hecho y un concepto nuevo que asimila o construye.
Además, resaltan que de los tres componentes, el componente teórico es el más importante
pues es en esta instancia donde se establece la descomposición genética que dará cuenta de los
resultados que se obtengan al desarrollar este ciclo de investigación y de la cual debe
entenderse que no es única pues dependerá de los conocimientos que tengan los estudiantes y
la visión de los investigadores. (Roa, et al., 2010). El Análisis teórico considera, en primer
lugar, la comprensión y la experiencia del investigador (o de los investigadores) y teniendo en
cuenta la relación cercana entre la naturaleza de los conceptos matemáticos y su desarrollo en
la mente de un individuo, se comienza desde la reflexión matemática acerca de los conceptos,
por esto se considera que el análisis es epistemológico y psicológico a la vez (Dubinsky,
Weller, Stenger, Vidakovic, 2008, p.100). Además se utilizan los resultados de investigaciones
previas, el análisis de libros de texto y otros aspectos que se estime que contribuyan a la
delineación de un camino posible de construcción de un concepto determinado.
Según Asiala et al. (1996), hay dos preguntas que deben guiar el trabajo en esta componente:
¿Qué significa comprender un concepto matemático? y ¿Cómo esa comprensión puede ser
alcanzada por un individuo? El objetivo de esas preguntas es motivar la reflexión acerca de
qué es comprender un concepto determinado y cómo un individuo puede concebirlo.
31
2.3.2 Diseño e implementación de la enseñanza
El diseño y la implementación de la enseñanza se sustentan expresamente en el análisis teórico
inicial, y su objetivo es ayudar a los estudiantes a realizar las construcciones mentales
propuestas. En Roa-Fuentes y Oktaç (2012), se mencionan aspectos como el tiempo, cantidad
de integrantes del grupo de investigación necesarios para los seguimientos, como variables
que han generado la realización de investigaciones que pasan de la primera a la tercera
componente, entre las que se encuentran, Parraguez (2009), Parraguez & Oktaç (2010), Roa-
Fuentes (2008), Pérez (2012) y Roa-Fuentes y Oktaç (2012). En nuestro caso particular, luego
del diseño de la DG hipotética, se diseñará un Cuestionario basado en las construcciones
mentales explicitadas en la DG, para analizar cómo los individuos han construido y/o están
construyendo (Roa-Fuentes y Oktaç 2012), para esta investigación, el concepto Raíz
Cuadrada. Un aspecto fundamental es el análisis a priori que debe acompañar el instrumento,
de tal manera que se muestre que las situaciones planteadas permitan generar en los individuos
desequilibrios cognitivos. Esto permitirá que los datos obtenidos aporten elementos en
relación a la DG (Ibíd.)
Lo anterior permite “que aun sin haber desarrollado un proceso de enseñanza, se analice la
viabilidad de los aspectos puramente teóricos de la DG preliminar” (Ibíd.,p 205).
2.3.3 Análisis de los datos
El tercer paso del ciclo de investigación es la reunión, observación y verificación de datos para
su análisis. Los resultados deben ser analizados desde la DG hipotética detectando qué
elementos no han sido considerados o cuáles de las construcciones mencionadas
hipotéticamente en la DG no se evidencian. Lo anterior lleva a una reformulación de la DG
hipotética y una determinación de la versión refinada de ésta por la aplicación del ciclo.
El ciclo de investigación, se puede reiterar cuanto sea necesario para llegar a una comprensión
más profunda de cómo el concepto podría desarrollarse en la mente del estudiante. En cada
ciclo se deben agregar nuevos datos referentes al desempeño de los estudiantes en tareas
matemáticas relacionadas con el concepto en cuestión. Al respecto, el propósito “es obtener
un conocimiento más profundo de la epistemología del concepto. Además, la reiteración hace
posible diseñar estrategias pedagógicas más adecuadas a la manera en que, según las
evidencias, el estudiante llega a entender el concepto” (Mena, 2011: p. 85).
32
2.4 El ciclo ACE
Dubinsky junto al grupo RUMEC han provisto a la teoría APOE de un ciclo de enseñanza
llamado ACE (ACE teaching cycle: Activities, Class discussion and Excercises): se trata de
reemplazar las lecciones con métodos interactivos, constructivos y con aprendizaje
colaborativo, en la traducción al español: (A) actividades que enfrentan al estudiante a nuevas
situaciones o informaciones, donde el trabajo colaborativo es parte importante de ellas;
posteriormente se prosigue con discusiones en clases (C), donde nuevamente interviene el
trabajo colaborativo con el fin de una mejor asimilación y acomodación; y por último se les
entrega a los estudiantes una serie de ejercicios (E) buscando el reforzamiento y posible
extensión de sus ideas. (Ver Figura 2.3)
Figura 2.3: Ciclo ACE como herramienta de enseñanza de la teoría APOE
33
Capítulo 3 : Hipótesis y Objetivos de investigación
3.1. APOE y la Problemática
Como se ha declarado con anterioridad en el Capítulo 1, se optó por exponer la problemática
en base al marco teórico en el que se basa esta investigación: La teoría APOE. La pregunta
que guía esta investigación12
en forma general (para cualquier lector que desconozca APOE)
es: ¿cómo construyen los estudiantes de enseñanza media y/o superior el objeto
matemático raíz cuadrada?
Si bien en la exposición de la problemática se dejó ver los problemas para la construcción
como concepto de la Raíz Cuadrada por parte de estudiantes, es necesario declarar esta
pregunta de forma más precisa en términos de APOE y nuestra DG hipotética que
mostraremos en el siguiente capítulo; esta se puede desglosar en la siguiente pregunta:
¿Qué construcciones y mecanismos mentales evidencian los estudiantes de enseñanza
media y/o superior al construir la Raíz Cuadrada?
La pregunta anterior nos lleva a plantear las siguientes hipótesis de investigación.
3.2. Hipótesis de investigación
El aspecto aritmético es el más utilizado para construir la raíz cuadrada por parte de los
estudiantes, esto es, las construcciones mentales evidenciadas por los estudiantes se
basan en acciones, procesos y/o objetos relacionados en el aspecto aritmético.
Los estudiantes no logran relacionar (coordinar) los aspectos aritméticos y geométrico
entre sí, es decir, los procesos construidos en ambos aspectos no son coordinados.
La DG hipotética que se presentará en el apartado 4.1.3 es un camino viable que
permite describir las construcciones mentales de los individuos.
12 Cf. sección 1.5
34
3.3. Objetivos de investigación
3.3.1 Objetivo general
Diseñar y documentar una Descomposición Genética teórica (hipotética) del concepto raíz
cuadrada, esto es, en términos de APOE, describir construcciones y mecanismos mentales para
la construcción del concepto matemático en estudio.
3.3.2 Objetivos específicos
- Hacer un estudio histórico epistemológico, de los textos y del currículum acerca del
concepto en estudio.
- Diseñar la DG hipotética en base a los antecedentes.
- Diseñar instrumento de recogida de datos, en base a la DG.
- Analizar los datos aplicados en base a la metodología de estudio de casos.
- Reportar la DG en base a los datos recolectados y entregar conclusiones.
35
Capítulo 4 : Metodología
Como fue mencionado anteriormente en la sección 2.3, la teoría APOE tiene incorporado un
ciclo de investigación el cual viene aplicando exitosamente el grupo RUMEC (Research in
Undergraduate Mathematics Education Community) y consta de 3 etápas:
(i) Análisis teórico del concepto o DG,
(ii) Diseño e implementación de la enseñanza
(iii) Análisis y verificación de datos.
Este ciclo de investigación en la teoría APOE, conlleva en su inicio establecer una
Descomposición Genética del concepto en estudio (en este caso el de raíz cuadrada), y
consiste en plasmar en ella las construcciones que se consideran necesarias para aprender un
concepto. En base a esto, Trigueros y Oktaç (2005) lo explican como ―una primera
aproximación para modelar el aprendizaje del concepto matemático en cuestión‖ (Apellido,
año, número de página). En Parraguez (2009), basado en el glosario de la teoría APOE se
expone que una DG está basada en un marco teórico de aprendizaje general, la totalidad de
nuestras observaciones y experiencias, y nuestra propia comprensión de las matemáticas
implicadas.
En nuestro caso, esta investigación estará centrada en el tránsito entre la primera y tercera
componente, modelo tomado por muchas investigaciones hoy en día13
. Por lo anterior nuestra
metodología se centrará diseñar una DG en base al análisis teórico, diseñar un instrumento de
recogida de datos (cuestionario) y analizar los datos recogidos en función de la DG para
refinarla y documentarla.
4.1. Análisis Teórico
Este análisis teórico del objeto matemático Raíz Cuadrada toma en cuenta el estudio
epistemológico, los antecedentes de investigaciones reportadas, el Currículum escolar, los
textos de estudio, el objeto matemático y las estructuras previas necesarias para la
construcción de éste, y la experiencia del investigador. A excepción de los dos últimos, todos
13 Cf. 2.3.2
36
fueron tratados en capítulos anteriores y se generaron conclusiones que se pueden resumir
como sigue.
4.1.1. Lo que nos dejan los antecedentes
El estudio epistemológico (pág. 4 de este escrito) dio cuenta de cuatro (4) distintos
aspectos sobre los cuales se desarrolla el objeto Raíz Cuadrada: el Geométrico, el
Aritmético, el Algebraico y el Funcional.
Las investigaciones reportadas (Colín 2005, Buhlea & Gómez 2008, Vidal 2009)
indican la existencia de problemas en la construcción de la Raíz Cuadrada relacionada
con la existencia de Obstáculos Epistemológicos y Didácticos que generan
fenómenos14
relacionados con la construcción del concepto, como el caso del doble
signo y/o confundir el concepto con la solución de una ecuación polinómica.
En base a una indagación en el Currículum escolar (Chileno) podemos señalar que éste
presenta el objeto matemático Raíz Cuadrada en 7º Básico (MINEDUC, 2009),
considerándolo como lo inverso de elevar al cuadrado, tomando como sustento los
números cuadrados perfectos. Lo anterior genera problemas si se consideran raíces
donde la cantidad subradical no es un cuadrado perfecto y la idea de ―raíces exactas‖ e
―inexactas‖ crean un conflicto aún mayor para el estudiante.15
Además, en el eje
Geometría y Medición se presentan nociones geométricas donde se utiliza la raíz
cuadrada como herramienta para el cálculo de trazos (lados y/o elementos de
triángulos). En el eje álgebra del Marco Curricular se habla de la función raíz
cuadrada, noción trabajada solo de un punto de vista analítico. La noción de media
proporcional geométrica no es nombrada directamente, pese a considerarse el trabajo
con trazos.
Los textos de estudio (presentados en el punto 1.4) presentan inconsistencias en la
presentación del Objeto Matemático en cuestión, al cotejar distintas editoriales y año
del texto existe confusión en el uso de la palabra Raíz, pues se presenta la raíz
cuadrada y luego presentar la idea de Raíz como solución de una ecuación cuadrática
del tipo 2 , x a a , Lo anterior no hace más que confirmar lo expuesto por Vidal
14 Cf. Capítulo 1.
15 Cf. figura 1.2 del Capítulo 1.
37
(2009) en relación a la excesiva algoritmización al trabajar el álgebra de radicales. En
cuanto a los conceptos de geometría que se relacionan con la raíz cuadrada, el trabajo
es en su mayoría algorítmico y poco direccionado a la construcción y/o demostración.
De 5 manuales analizados solo 2 presentan la idea de construir la raíz cuadrada de un
número desde el teorema de Euclides haciendo la coordinación, un tercero construye
un caso particular y luego generaliza.
4.1.2. La Raíz Cuadrada en la Matemática
Raíz cuadrada
Definición del radical n-ésimo o de orden n, n de un número real:
0 0! : n na b b a a b
El caso particular para 2n , define la raíz cuadrada o como algunos autores dicen, el radical
cuadrático:
2 20 0! : , o bien a b b a a b a b
La existencia de la raíz cuadrada de un número real positivo viene dada por el axioma del
supremo.
2
2 32
Tomaremos el caso particular de 2 , buscaremos un número 0 tal que 2.
Consideremos el conjunto : 2 . es acotado superiormente por , además
no es vacío pues 0 . Por el axioma del supre
s s
A r r A A
A
2 2
2
2
mo tenemos que posee supremo.
Demostraremos que no puede ocurrir que 2, ni tampoco 2.
1) No puede ocurrir que 2 :
Probemos que si 2, entonces 0,1 tal que 2. En efecto
A
s s
s
s s
2 2 2
2
2
2 1
s s s
s s
2Si se escoge tal que 2 1 2, se prueba la propiedad.s s
38
2
2
Luego 2, lo cual implica que ( ) , lo que contradice que es cota superior.
Por lo anterior, no puede ser que 2.
s s A s
s
22) No puede ocurrir que 2 :
Se prueba (de manera análoga a lo anterior) que existe una cota superior de menor que ,
lo cual generaría una contradicción pues no sería la menor cota superior de .
s
A s
s A
2
Por lo anterior (1) y (2), podemos definir:
RAÍZ CUADRADA DE 2:
2 sup : 2r r
En base a la diferencia que hace el axioma del supremo entre y , se puede definir:
RAÍZ CUADRADA de un número real positivo
s
x
x
2up :r r x
Elementos de la geometría
Desde la geometría nos encontramos con el teorema particular de Pitágoras con respecto a los
lados de un triángulo rectángulo, que afirma que la suma de las medidas de los catetos al
cuadrado, da como resultado la hipotenusa al cuadrado. De acá, la raíz cuadrada es una
herramienta que permite encontrar tríos pitagóricos.
El teorema de Euclides, con respecto a la altura de un triángulo rectángulo nos permite
construir raíces dado cualquier trazo. Este teorema permitió durante la antigüedad solucionar
el problema de la cuadratura de un rectángulo, es decir construir un cuadrado de área igual a la
de un rectángulo del que se conocen las medidas de los lados.
Teorema: Dado un triángulo ABC rectángulo en C, sea D un punto en la hipotenusa AB tal
que el segmento CD sea altura, se cumple que 2AD DB CD , de donde CD AD DB .
El caso particular para construir las raíces de cualquier trazo es dado 1AD y DB .
39
La función raíz cuadrada
2
0Sea : , , conocida como la función cuadrática y cuya gráfica es:f x x
Se puede observar que dos números reales tienen la misma imagen, por lo cual esta función no
es inyectiva, impidiendo encontrar una función inversa de la idea de elevar al cuadrado. Sin
embargo se puede redefinir la función, restringiendo el dominio a 0
. Bajo esto tendríamos la
función 0 0:rf , definida como 2( )rf x x , asegurando ahora la biyectividad, por tanto
la existencia de 1
rf , definida por 1( )rf x x , cuya gráfica es:
40
4.1.3. Descomposición Genética hipotética de la Raíz Cuadrada
La Descomposición Genética hipotética de la Raíz Cuadrada que hemos construido en base a
los antecedentes y el análisis teórico reporta que un estudiante comienza haciendo acciones
sobre el objeto matemático Potencia, en particular, las potencias de exponente 2. Estas
acciones mediante el mecanismo de abstracción reflexiva de la interiorización, el cual para
este caso está dado por las idea de relacionar un número y su cuadrado como una
correspondencia, da paso a la construcción proceso relación potencia de exponente 2 en los
racionales –que a cada número racional le asigna su cuadrado–. El mecanismo de
interiorización es esa acción cognitiva del estudiante de relacionar los elementos de un
conjunto de entrada con los de llegada, esto es posible lograrlo por medio de registros
tabulares y/o gráficos. El proceso anterior es necesario revertirlo en otro proceso, este último
establecerá la noción de raíz cuadrada (aún no como objeto) desde la operación inversa de
elevar al cuadrado. La reversión para el caso anterior corresponde a pensar en la relación
inversa 2a a .
Con las construcciones realizadas hasta dicho momento, el estudiante no sería capaz de
afirmar la existencia de la raíz cuadrada de cualquier número real. Para lo anterior, desde la
geometría es necesario desencapsular los objetos teorema de Pitágoras y teorema de Euclides
en los procesos hipotenusa como medida de un trazo y media proporcional geométrica,
tomando como caso particular para la última, que un pie de altura tenga de medida 1 unidad.
Estos dos procesos deben ser coordinados para que se construya el proceso Raíz Cuadrada
como un trazo. En imprescindible que el estudiante sea capaz de desencapsular el objeto
teorema de Euclides, pues este se puede concebir como una ―máquina‖ de construcción de
raíces cuadradas para cualquier trazo, tomando en consideración que dicho trazo puede
representar a cualquier número real.
El proceso operación inversa de elevar al cuadrado, que define el aspecto aritmético de raíz
cuadrada y el proceso raíz cuadrada como un trazo (aspecto geométrico) al ser coordinados
nos permiten aceptar la existencia de la raíz cuadrada para cualquier número real –esto viene
de la construcción por medio del teorema de Euclides al inscribir el triángulo rectángulo en
una semicircunferencia– pues para cualquier trazo, se puede construir la altura de dicho
41
triángulo en proyección a la hipotenusa, lo que corresponde a la Raíz Cuadrada del trazo dado.
La coordinación de los dos procesos anteriores (operación inversa a elevar al cuadrado y raíz
cuadrada como un trazo) genera el proceso que define la existencia de toda base de potencia
de exponente 2 para cualquier número real positivo o cero.
El proceso anterior da origen a dos tipos de situaciones en la DG: (1) la encapsulación y
rotulación del objeto Raíz Cuadrada, y (2) la coordinación con el proceso función, en donde
se construye un nuevo proceso –el de encontrar las preimágenes de la función cuadrática
dadas las imágenes– y que se encapsula en la función Raíz Cuadrada como objeto.
En ambas concepciones objeto de la Raíz Cuadrada, el estudiante debe evidenciar la
seguridad de la existencia en los números reales (lo cual viene de la construcción de trazos,
pues un trazo representa la medida de cualquier número real positivo) y la consideración de un
(1) solo resultado al calcular la raíz cuadrada de un número.
La descripción anterior del modelo teórico de Descomposición Genética propuesta a la luz de
los antecedentes se presenta en el siguiente esquema en la Figura 4.1:
42
Figura 4.1: Descomposición Genética hipotética de la Raíz Cuadrada.
43
4.2. Diseño y Análisis a priori del instrumento
Considerando la Descomposición Genética hipotética, basada en el análisis teórico del objeto
matemático Raíz Cuadrada se construye un cuestionario para recoger datos.
4.2.1. El Cuestionario
Como instrumento de recogida de datos, se construye un cuestionario basado en las
construcciones y mecanismos mentales presentados en la Descomposición Genética hipotética.
Cada una de las preguntas del cuestionario, tiene una relación directa con una sección de la
DG propuesta, ya que su objetivo es recoger datos que evidencien el tipo de construcción
mental que poseen los informantes.
En la validación del cuestionario se consideró la opinión de expertos en el área de la Didáctica
de la Matemática, en este caso el Grupo Cognitivo del Instituto de Matemática de la PUCV,
conformado por la Dra. Marcela Parraguez (docente guía de este trabajo), el Dr.© Miguel
Alejandro Rodríguez, la Mg. Patricia Vásquez y tres seminaristas de último semestre del
Magister en Didáctica de la Matemática.
El cuestionario, al estar construido en base a la DG, y esta última en base al análisis teórico y
de los antecedentes presentados, tiene incorporados los cuatro aspectos históricos
epistemológicos en que se presenta la Raíz Cuadrada. Pese a esto, se generó la dificultad al
intentar aislar los aspectos, para evidenciar una construcción por separada de estos, ya que por
lo general existe alguna dialéctica entre estos aspectos. Lo anterior no es un problema, pues
nos da pie a inspeccionar acerca del aspecto que predomina en algún individuo, en base a
preguntarnos a qué aspecto recurre para atender una situación.
Para clarificar más aun lo expuesto anteriormente, presentamos a continuación el análisis a
priori del cuestionario.
44
4.2.2. Análisis a priori de las preguntas del Cuestionario
Pregunta 1:
1. Sea 0,a considere la relación en la cual al número " "a se le relaciona con su cuadrado
(es decir 2 2 ó a a aRa ):
a) Considerando lo anterior:
i. Dado que 2 16a ¿Qué número sería a?
Opción 1: responde 4, porque 24 16 .
Opción 2: responde 2 24 y 4, porque 4 16 y ( 4) 16 . (olvida la restricción)
ii. Si 2 29a , ¿qué número sería a ?
Opción 1: Por aproximaciones intenta calcular el número que elevado al cuadrado da
29.
Opción 2: Afirma que no existe o que no da exacto.
Opción 3: Responde que 29a
b)¿Cómo definiría usted la relación para 0,a en donde al cuadrado de a
2 se le asocia su base ( )a a ? Explique
Opción 1: La base de una potencia de exponente 2, porque 24 16 , en este caso 2 16, luego 4a a
Opción 2: 2 es la raíz cuadrada de a a
Pregunta 2:
2. Responda las siguientes preguntas. Exprese todos sus cálculos
a) Sea un triángulo ABC rectángulo en C. Si 8 cmAB , 5 cm,BC calcule la medida del
lado que falta.
Utiliza el teorema de Pitágoras: 2 2 2AC BC AB , quedando 2 2 28 5 ,AC por lo
que 39AC .
45
b) En la figura, triángulo ABC inscrito en la circunferencia de centro O, AB diámetro.
Encuentre la medida de CD para los siguientes casos:
i) 11AD y 3BD
Por medio del teorema de Euclides escribe: 2BD AD DC , reemplaza 23 11 ,DC
luego 33DC .
ii) 1BD y 6AO
Por medio del teorema de Euclides escribe: 2B D A D D C , luego calcula
AD AO OD , pero OD OB BD , y como OB OA , OD OA BD , por lo que
se tiene 6 6 1 11AD AD por lo que 2 1 11CD por lo que 11CD .
Pregunta 3
3. Ubica en la recta Real los siguientes números: 9; 3; 2; 18 , Explica tu procedimiento.
Opción 1: Construye sobre el segmento de recta 0-1 un cuadrado de lado 1 unidad.
Traza su diagonal y calcula su medida por el teorema de Pitágoras, encontrando 2,
la cual proyecta sobre la recta numérica; y continúa usando Pitágoras en el triángulo
de catetos 1 y 2, para encontrar 3. Repite el proceso para encontrar 9 y 18.
R
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 7 6 8
46
Opción 2: Usa el teorema de Euclides con respecto a la altura de un triangulo
rectángulo, tomando como pies la combinaciones 1 y 2 para 2, 1 y 3 para 3, 3 y 3
para 9, 2 y 9; 3 y 6; 1 y 9 para 18.
Opción 3: Usa métodos de aproximación para estimar la posición de las raíces en la
recta numérica. (Encajonamiento, algoritmo de Herón, entre otros)
Observación: el estudiante puede estimar fácilmente el valor numérico de 9.
Pregunta 4
4. Dado un segmento (trazo) AB :
a) Si supieras que la medida de dicho trazo es 11 unidades, ¿cómo construirías un trazó que
corresponda a la raíz cuadrada de AB ? Explica detalladamente.
Utiliza el teorema de Euclides con respecto a la altura del triangulo rectángulo
inscrito en una semicircunferencia: Dibuja sobre la cuadrícula un segmento CD de
11+1 unidades. Marca el punto E entre CD a 11 unidades de C. Encuentra P, punto
medio de CD y traza la circunferencia de centro P y radio PC=PD. Traza una recta
perpendicular a CD por E la cual se intercepta con la circunferencia en H y H’.
Finalmente EH=EH’= 11
Puede darse el caso que un estudiante utilice Pitágoras para catetos de medidas 3 y
raíz de 2.
b. Es posible construir la raíz cuadrada del trazo CD para cualquier medida de este. Justifica.
Si. Utilizando el método anterior (Euclides) es posible construir cualquier raíz
cuadrada, sea ,AB a siempre se puede construir y dividir un segmento 1AC AB
, donde 1
2
a sería la medida del radio de la circunferencia sobre la cual se inscribe un
47
triángulo rectángulo ACH de hipotenusa AC, donde H es intersección de la
perpendicular a AC que pasa por B y la circunferencia de radio 1
.2
AB
Pregunta 5
5. Analiza la veracidad de las siguientes afirmaciones, en cada caso justifica de dos maneras
distintas tu respuesta.
a. Con 0 y 0a b , a b a b
FALSO. Justificación A: Da un contraejemplo como 9 16 25 5 , pero
9 16 3 4 7 , y como 5 es distinto de 7, la afirmación es falsa. Justificación
B: Construye geométricamente a b y a b y compara. Justificación C: Usa
la propiedad 2 2x y x y
b. Es cierto que dados ,a b entonces 22
a b a b
FALSO. Justificación A: Acusa problemas con el dominio; si 0,a b la raíz no
está definida en . Justificación B: 2
a b a b , mientras que 2
a b (si
llegase a estar definido) siempre es positivo.
6. Un libro de texto A afirma que " 9 3" , y el texto B afirma que " 9 3" . Si tuvieras
que enseñar a un amigo, compañero y/o algún otro estudiante, ¿Cuál de los dos libros de texto
sería tu apoyo? Argumenta tu elección.
Lo correcto es decir 9 3, puede recurrir a la definición… “la raíz cuadrada de un
número positivo a es el único número positivo ,b tal que 2b a ‖
También puede argumentar utilizando la noción funcional de la raíz cuadrada, por la
cual se afirma que para cada elemento del dominio existe un único elemento en
recorrido.
48
7. El área A de un cuadrado de lado x está dada por la función 2( )A x x , en base a esto:
a. Completa la tabla siguiente:
x 1
2 1 1, 2 2 3
3
2
A x 1
4 1 1,44 2 3
9
4 2
b. ¿Qué función modela la situación: ―el lado l de un cuadrado de área x …‖?
( )l x x , 0x
c. Grafique en el plano cartesiano la función l y explique las siguientes proposiciones:
i) Existe un lado para toda área
ii) Existe un área para todo lado
La función Raíz Cuadrada es continua en todo su dominio, es decir para cualquier número real
positivo x existe x . Este se puede construir geométricamente mediante el teorema de
Euclides en el triangulo rectángulo inscrito en una semicircunferencia, con uno sus pies de
medida 1 y el otro de medida x. De manera análoga, si nos dan la raíz (altura), por medio de
este teorema también se puede encontrar x.
49
4.3. Justificación del cuestionario en relación a la DG
El cuestionario fue creado en base a la Descomposición Genética hipotética de la Raíz
Cuadrada. Para poder analizar la viabilidad de la DG, cada pregunta debe evidenciar una
construcción mental del estudiante por medio de su respuesta y es por eso que cada pregunta
del cuestionario está relacionada con una sección de la DG en base a la construcción que ha
mostrado el estudiante. A continuación presentamos la descripción de cada pregunta del
cuestionario en base a la DG y la explicación acerca de la construcción que evidencia el
estudiante en relación a su respuesta.
Pregunta 1 del cuestionario: (Esta pregunta está subdividida en dos preguntas)
1. Sea a un número real positivo y considere la relación en la cual al número a se le asocia su
cuadrado ( 2a a ):
Pregunta 1.a.i) Considerando lo anterior:
i) Dado que 2 16a ¿Qué número sería a?
El estudiante debería evidenciar una concepción acción de potencia de exponente 2, ya que
para responder solo debe probar con números naturales para encontrar por simple inspección
la respuesta.
En la Figura 4.2, se muestra la sección de DG que se relaciona con la pregunta 1.a.i:
Figura 4.2: Pregunta 1.a.i) en la Descomposición Genética.
50
Pregunta 1.a.ii)
ii) Si 2 29a , ¿qué número sería a ?
Acá el estudiante nuevamente debe mostrar que busca el número que elevado al cuadrado da
el resultado expuesto , dando cuenta de una construcción proceso si comienza a calcular por
aproximaciones y/o algún algoritmo conocido dicho número que elevado al cuadrado de cómo
resultado 29. Al igual que 1.a.i, logra la reversión del proceso que asigna a un número su
cuadrado. Es importante recalcar que si lo hace mediante aproximaciones, está pensando que
el valor de a es un racional.
El estudiante no evidenciaría una concepción proceso si su respuesta es que no encuentra el
número que elevado al cuadrado da resultado 29, argumentando que está entre 5 y 6,
afirmando que no es ―exacto16
‖. En este caso solo estaría a concepción acción, pues no
evidencia interiorización en el proceso ―asignar a un número su cuadrado‖ lo que le
imposibilitaría revertirlo.
En la Figura 4.3 se muestra la sección de DG en relación a la pregunta 1.a.ii):
Figura 4.3: Pregunta 1.a.ii) en la Descomposición Genética.
16 Es necesario destacar que esto equivale a uno de los fenómenos presentados en la problemática de esta
investigación y que se presentó como dato en base a un estudio exploratorio (Cf. 1.5)
51
b) ¿Cómo definiría usted la relación para 20, tal que a a a ? Explique
En esta pregunta se espera que el estudiante evidencie la concepción (construcción) proceso
de la raíz cuadrada como lo inverso de elevar al cuadrado es el aspecto aritmético.
Para establecer dicha construcción, el estudiante debe tener interiorizada la acción de elevar al
cuadrado de manera que construya como proceso la relación 2a a y sea capaz de revertirlo
en 2a a , con a un número racional. Una manera de alcanzar esta reversión es
representando con una tabla que relacione un número con su cuadrado y pensar en la relación
inversa de elevar al cuadrado como un problema de encontrar la base de potencia de
exponente 2 o decir directamente que dado 2b a , .b b
Que un estudiante mencione la raíz cuadrada en esta pregunta, no quiere decir que evidencia la
encapsulación del objeto, puede que solo la tenga construida la concepción proceso y/o
incluso la concepción acción y le haya asignado un rótulo sin haber encapsulado la raíz
cuadrada. Esta pregunta está relacionada en base a la DG y se muestra de manera particular en
la Figura 4.3, expuesta anteriormente.
Pregunta 2 del Cuestionario
2. Responda las siguientes preguntas. Exprese todos sus cálculos
Pregunta 2.a)
a) Sea ABC un triángulo rectángulo en C. Si 8 cmAB , 5 cm,BC calcule el lado que falta.
En esta pregunta se espera que el estudiante evidencie haber construido como objeto el
teorema de Pitágoras, es decir pase a ser un elemento estático al cual puede recurrir para
resolver situaciones. Si el estudiante tiene una concepción objeto del teorema de Pitágoras
puede desencapsularlo en el proceso medida de los lados de un triángulo rectángulo.
En la Figura 4.4, se muestra la sección de la DG que se relaciona la pregunta 2.a):
52
Figura 4.4: Pregunta 2.a) en la Descomposición Genética
Pregunta 2.b)
b) En la figura, triángulo ABC inscrito en la circunferencia de centro O, AB diámetro.
Encuentre la medida de CD para los siguientes casos:
i) 11AD y 3BD
ii) 1BD y 6AO
En esta pregunta se espera que el estudiante evidencie haber construido como objeto el
teorema de Euclides, es decir pase a ser un elemento estático al cual puede recurrir para
resolver situaciones problemas. Si el estudiante tiene una concepción objeto del teorema de
Euclides, puede desencapsularlo en el proceso media proporcional geométrica 2h p q ,
donde h corresponde a la medida de la altura y además si 1p , h q .
En la Figura 4.5, se muestra la sección de DG que corresponde a la pregunta 2.b):
53
Figura 4.5: Pregunta 2.b) en la Descomposición Genética.
Pregunta 3 del cuestionario
Ubica en la recta Real los siguientes números: 9; 3; 2; 18 , Explica tu procedimiento.
En esta pregunta, se espera que el estudiante evidencie la construcción objeto de raíces
cuadradas como número que existe para cualquier cantidad subradical, y para esto es necesario
la coordinación de dos procesos, (1) la raíz cuadrada como la operación inversa de elevar al
cuadrado y (2) la raíz cuadrada como trazo, los que generan el proceso que da la existencia de
la raíz cuadrada a todo número real positivo o cero. Estos dos procesos se coordinan en el
proceso definido: 2
0 0 :b a b a , el cual se encapsula el objeto Raíz Cuadrada.
Si el estudiante no logra coordinar estos procesos anteriores para ubicar las raíces en la recta
numérica real y recurre a aproximar, ya sea mediante técnicas conocidas o por tanteo,
evidenciará que está en camino a la construcción proceso, ya que solo piensa en buscar el
número que elevado al cuadrado da como resultado la cantidad subradical dada.
En la Figura 4.6, se muestra la pregunta 3 del cuestionario en relación a la DG.
54
Figura 4.6: Pregunta 2 en la Descomposición Genética
Pregunta 4 del cuestionario
4. Dado un segmento (trazo) AB :
a. Si supieras que la medida de dicho trazo es 11 unidades, cómo construirías un trazó que
corresponda a la raíz cuadrada de AB ? Explica detalladamente.
b. Construye la raíz cuadrada del trazo CD . Explica tu procedimiento
Esta pregunta, tiene como objetivo que el estudiante logre evidenciar si dado cualquier trazo
(independiente de la medida) puede establecer la raíz cuadrada de dicho trazo. Para la primera
pregunta (a), el estudiante aun puede recurrir al teorema de Pitágoras, pues aun hay medidas
(aspecto de los números) dadas, lo que no sucede en (b). El estudiante mostraría una
concepción proceso si logra definir cómo construir la raíz cuadrada de un trazo. Para esto es
necesario que logre desencapsular el objeto teorema de Euclides, para crear con él, una
máquina de construir raíces (trazos) y coordinarlo con el proceso medida de la hipotenusa en
un triángulo rectángulo para construir la raíz cuadrada como trazo (proceso).
En la Figura 4.7 se observa la sección de la DG que se relaciona con la pregunta 4 en general:
55
Figura 4.7: Pregunta 4.a) y 4.b) en la Descomposición Genética
Pregunta 5 del Cuestionario
5. Analiza la veracidad de las siguientes afirmaciones, en cada caso justifica de dos maneras
distintas tu respuesta.
a. Con 0 y 0a b , a b a b
b. Es cierto que dados ,a b entonces 22
a b a b
En esta pregunta el estudiante debe evidenciar la construcción proceso de la Raíz Cuadrada
que se logra al coordinar los aspectos aritméticos y geométricos de la raíz, ya que para
justificar la falsedad (para estos casos) de las afirmaciones dadas, debe tener clara la idea de
raíz e interpretarla ya sea desde lo aritmético, geométrico y/o algebraico17
.
Si un estudiante no logra dar dos justificaciones distintas hacia la falsedad de las afirmaciones,
esto evidenciaría que no ha coordinado los dos procesos necesarios (desde lo aritmético y
geométrico) para establecer la noción de raíz como un operador.
17 Ver análisis a priori en la sección anterior de este capítulo.
56
En la Figura 4.8 se muestra la sección de la DG relacionada con la pregunta 5 del
cuestionario:
Figura 4.8: Pregunta 5.a) y 5.b) en la Descomposición Genética.
Pregunta 6 del cuestionario
6. Un libro de texto A afirma que ― 9 3 ‖, y el texto B afirma que ― 9 3 ‖. Si tuvieras
que enseñar a un amigo, compañero y/o algún otro estudiante, ¿Cuál de los dos libros de texto
sería tu apoyo? Argumenta tu elección.
En esta pregunta el estudiante debe evidenciar la construcción de la Raíz Cuadrada como
objeto. Pueden generarse dos situaciones: (1) evidencia la construcción objeto de la Raíz
Cuadrada o, (2) evidencia la construcción objeto de la Función Raíz Cuadrada. Lo anterior
depende de su forma de argumentar la elección del texto más apropiado. Si un estudiante elige
correctamente y argumenta por la definición de la Raíz Cuadrada estaría en el caso (1), y si
argumenta por medio de la definición funcional, estaría en el caso (2). Si responde
correctamente en relación a la elección del texto, pero no argumenta de manera correcta o con
suficiente certeza, estaría evidenciando estar en camino a la concepción proceso de la Raíz
Cuadrada en .
57
En la Figura 4.9 se muestra la sección de DG que corresponde a la pregunta 6 del
cuestionario:
Figura 4.9: Pregunta 6 en la Descomposición Genética.
Pregunta 7 del cuestionario
7. El área A de un cuadrado de lado x está dada por la función 2( )A x x , en base a esto:
a. Completa la tabla siguiente:
x 1
2 1 1, 2 2 3
3
2
A x 1
4 1 1,44 2 3
9
4 2
Para esta pregunta se espera que el estudiante evidencie una concepción proceso de la función
Raíz Cuadrada al ser capaz de encontrar preimágenes de la función cuadrática con dominio
positivo. Si un estudiante muestra la Raíz Cuadrada en una concepción proceso y no logra
coordinarlo con el proceso función para responder la tabla ya que sólo es capaz de responder
para ( )A x , quiere decir que no evidencia la construcción proceso requerida, la cual relaciona
las preimágenes de la función cuadrática.
En la Figura 4.10 se presenta la sección de DG que corresponde a la pregunta 7.a) del
cuestionario:
58
Figura 4.10: Pregunta 7.a) en la Descomposición Genética.
b. ¿Qué función modela la situación: ―el lado l de un cuadrado de área x …‖?
En esta se pregunta se espera que el estudiante logre evidenciar la construcción de la función
raíz cuadrada como la función inversa de la cuadrática, en dicho caso estaría en una
concepción proceso de la función raíz cuadrada y/o en vías de encapsular al objeto función
cuadrática. (En la Figura 4.11, se presenta la sección de DG para la pregunta 7.b y 7.c del
cuestionario).
c) Grafica la función l y explica las siguientes proposiciones con respecto a ella:
i) Existe un lado para toda área
ii) Existe un área para todo lado
En esta pregunta se espera que el estudiante logre evidenciar por completo la construcción
objeto de la función Raíz Cuadrada, mediante la argumentación de la continuidad de la
función en los números reales. Lo anterior es un proceso complejo, pues el mecanismo de
encapsulación para la función raíz cuadrada como objeto está condicionado a la aceptación de
que cualquier número real positivo tiene raíz cuadrada, esto es, para todo número real positivo
x , existe un único número real positivo y , de manera que 2a b , por lo anterior se puede
definir x y , que da origen a la función Raíz Cuadrada: 0 0: , ( )x f x x .
59
En la Figura 4.11, se muestra la sección de DG que corresponde a la pregunta 7.b) y 7.c) del
cuestionario:
Figura 4.11: pregunta 7.a) y 7.b) en la Descomposición Genética.
La descripción global del cuestionario en base al análisis a priori, el Aspecto Histórico
Epistemológico (AHE) de la Raíz Cuadrada (RC) tratado y su relación con la DG hipotética se
resume en la siguiente tabla:
TABLA 4.1: Cuestionario Raíz Cuadrada; Construcciones mentales y AHE.
Preg. Cuestionario Construcción Mental en base a la DG AHE
P1.a.i Acción (1) o proceso (2) sobre el objeto potencia
Ar P1.a.ii Proceso (2), reversión del proceso (3) relación: 2aRa
P1.b Proceso (3); RC como lo inverso de elevar al cuadrado Ar/Al
P2.a Objeto (4), Teorema de Pitágoras
G P2.b (i, ii) Objeto (5), Teorema de Euclides
P3 Proceso (3) y/o (8) de la DG: coordinan en proceso (9)
Ar/G P4.a Proceso, Teo. Pitágoras (6) y/o Euclides (7)
P4.b Proceso (8), RC como trazo. G
P5 Proceso (9); RC en el aspecto algebraico. Al
P6 Objeto (10); RC algebraico. Proceso (12); función RC Al/F
P7.a Proceso (12); Función RC
F P7.b Proceso (12); Función RC
P7.c Objeto (13); función RC
60
En donde, RC: Raíz Cuadrada; Ar: Aritmético; G: Geométrico; Al: Algebraico; F: Funcional.
Para explicitar cada una de las construcciones mentales de la tabla anterior, se muestra en la
Figura 4.12 la DG numerada18
:
Figura 4.12: Descomposición Genética numerada referente a Tabla 4.1.
4.4. Acerca del Análisis de los datos
Esta investigación tiene como objetivo evidenciar las construcciones y mecanismos mentales
para la construcción cognitiva de la raíz cuadrada, es decir, hacer una descripción desde la
teoría APOE de las distintas conexiones, nociones y conceptos a los que recurre el estudiante
al momento de enfrentarse a situaciones problema relacionados con la raíz cuadrada y el
aspecto (histórico epistemológico) que predomina en el individuo. En el marco de la
problemática y objetivos de la investigación, se busca establecer evidencias empíricas con
sustento teórico acerca de las construcciones y mecanismos mentales que realizan los
18 Los números solo son referenciales, no indican el orden en que se deben realizar las construcciones.
61
estudiantes, al momento de construir la raíz cuadrada, mediante el enfoque cognitivo de la
teoría APOE.
4.4.1. Paradigma de investigación
En base a lo descrito anteriormente, el tipo de investigación que se ha realizado, es una
investigación cualitativa orientada a establecer cómo los individuos construyen un concepto
matemático; el objetivo es describir e interpretar la realidad educativa desde dentro. La
investigación corresponde en un estudio de casos (en particular nos referiremos al estudio de
caso múltiple el cual nos permite una gran cantidad de comparaciones pese a la cantidad de
individuos involucrados en el estudio), el cual es considerado como una forma de estudiar a un
individuo o a una institución en un entorno o situación única y de una forma lo más intensa y
detallada posible (Castillo, 2008).
4.4.2. El estudio de casos
Un estudio de casos se define como: “una investigación empírica que estudia un fenómeno
contemporáneo dentro de su contexto de la vida real (...). Una investigación de estudio de
caso trata exitosamente con una situación técnicamente distintiva en la cual hay muchas más
variables de interés que datos observacionales; y, como resultado, se basa en múltiples
fuentes de evidencia, con datos que deben converger en un estilo de triangulación; y, también
como resultado, se beneficia del desarrollo previo de proposiciones teóricas que guían la
recolección y el análisis de datos.”(Yin, 1994; p. 13). Este tipo estudio es considerado como
un método de investigación que facilita la búsqueda de respuestas respecto del ―cómo‖ o del
―por qué‖ de los hechos, ya que se centra en el análisis profundo de uno o varios casos
específicos (Yacuzzi, 2005).
―...Los estudios de casos son adecuados para un análisis intensivo y profundo de uno o pocos
ejemplos de ciertos fenómenos;...‖ (Goetz, LeCompte, 1988; p.69)
La metodología del estudio de caso, no nos permite generalizar desde la muestra hacia el
universo, sin embargo, el estudio de caso nos permite generalizar desde la teoría, esto es, una
generalización de tipo analítica a la cual algunos autores le han llamado transferibilidad
(Maxwell, 1998), con lo cual este estudio de caso puede ser generalizado a otros que
representen condiciones teóricas similares. En nuestra investigación utilizaremos el estudio de
62
caso múltiples como medio instrumental para comprender las construcciones mentales de los
individuos/informantes (Estudiantes secundarios y universitarios, y profesores de matemática)
respecto a la raíz cuadrada en base a los cuatro aspectos histórico epistemológicos en los que
se desenvuelve el objeto, a través de un cuestionario, que fue elaborado teniendo como foco la
preguntas de investigación planteadas inicialmente19
y la DG hipotética elaborada tras el
análisis teórico.
4.4.3. Criterios de selección de los casos de estudios
Se trabajará con cuatro casos para documentar la Descomposición Genética de la raíz
cuadrada, pertenecientes a un establecimiento educacional secundario, una universidad
tradicional que presenta altos logros en la formación de profesores; y docentes de
establecimientos educacionales secundarios con experiencia en el cargo. Los criterios de
selección de estas unidades de estudios trabajadas como ―casos‖, se vinculan con las
siguientes categorías:
Formación matemática con respecto del objeto de estudio: Se consideran
estudiantes de buen desempeño en matemáticas (en el caso de los estudiantes
secundarios) y en el caso de los estudiantes universitarios, se consideran estudiantes de
Pedagogía en Matemáticas de la UdeC que tienen más del 75% de su malla curricular
aprobada, esto es, cursos de funciones, cálculo, geometría y álgebra aprobados y que
están iniciando una formación didáctica de la disciplina; otros estudiantes terminales
de la carrera de pedagogía en matemáticas de la UdeC que tienen 100% aprobada su
malla curricular y están en proceso de habilitación profesional. También se consideró a
profesores con experiencia de más de 4 años en el aula de clases.
Accesibilidad del investigador: La UdeC fue la casa de estudios de pregrado del
investigador y en ella se mantienen contactos con docentes e investigadores que
permitieron el acceso a estudiantes de la carrera de pedagogía en matemática,
pertenecientes a la facultad de educación de dicha casa de estudios. En cuanto al
acceso a docentes y estudiantes, el trabajo como docente desempeñado por el
19 Cf. Capítulo 3
63
investigador hasta la fecha, lo dota de accesibilidad a estudiantes terminales del nivel
secundario y a colegas (docentes) que respondieron el cuestionario e incluso lo
difundieron con otros colegas.
En la Tabla 4.2, se detallan las unidades de estudios.
Tabla 4.2: Clasificación en casos de los informantes
Caso 1
Estudiantes 4º
año de pedagogía
en matemática
I1, I2, I3, I4, I5,
I6, I7, I8.
Caso 2
Profesores
egresados de
pedagogía en
matemática
I9, I10, I11, I12,
I13.
Caso 3
Profesores con
más de 4 años de
ejercicio
I14, I15, I16, I17
Caso 4
Estudiantes
terminales de
enseñanza media
I18, I19, I20
Análisis teórico
(DG)
Análisis teórico
(DG)
Análisis teórico
(DG)
Análisis teórico
(DG)
Unidad
de
Análisis
Aplicación de
Instrumentos:
1 cuestionario;
Aplicación de
Instrumentos:
1 cuestionario;
Aplicación de
Instrumentos:
1 cuestionario;
Aplicación de
Instrumentos:
1 cuestionario;
64
Capítulo 5 : Análisis y Verificación de los datos
En este capítulo se presentara la tercera componente del ciclo de investigación de la teoría
APOE: el análisis y verificación de datos obtenidos tras la aplicación del cuestionario
construido a partir de la DG hipotética.
Esta componente lleva al análisis de los datos empíricos obtenidos en la etapa anterior (diseño
y aplicación de instrumentos). Los resultados obtenidos con la aplicación del cuestionario son
analizados desde la DG hipotética, detectando qué elementos no han sido considerados o
cuáles de las construcciones dadas hipotéticamente no se perciben. En general el análisis tiene
que ser dado con nitidez, es decir, ejemplos de estudiantes quienes parecen comprender esto y
otros que no lo hacen, y luego discutir que la diferencia radica en la presencia o falta de una
construcción mental en particular que aparece en la Descomposición Genética. Solamente
entonces se puede llegar a la conclusión de que los datos soportan esta construcción mental
particular en la DG. Esto lleva a una reformulación de la DG y a la determinación de una
versión refinada de la descomposición genética para este ciclo, que sin duda aún podrá ser
mejorada mediante la repetición de este ciclo.
5.1 Resultados del cuestionario
A continuación se realizará un análisis pregunta a pregunta de los resultados obtenidos de la
aplicación del cuestionario construido en base a la DG hipotética y de acuerdo a cada caso
mencionado en el capítulo anterior.
En el análisis de las preguntas I1 hará referencia al Informante 1, I2 al Informante 2 y así
sucesivamente en cada uno de los casos.
El análisis se efectuará contrastando con las respuestas esperadas del análisis a priori, con lo
cual se analizarán las respuestas en torno a las construcciones mentales acción, proceso, objeto
explicitadas en la DG20
y justificadas en la sección 4.3 de este escrito.
20 Para este análisis se utilizaran los números referenciales de las construcciones mentales de la DG que fueron
expuestos en la Figura 4.11 de la sección 4.3.
65
5.1.1 Resultados del Caso 1
Pregunta 1.a.i
Los informantes en esta pregunta debían encontrar un valor para positivo para a dado que
2 16a .
Todos los informantes de este caso (I1, I2, I3, I4, I5, I6, I7, I8), muestran la concepción
proceso (2), es decir logran interpretar desde la potencia, incluso algunos en sus argumentos
utilizan directamente la raíz cuadrada para responder lo que indicaría que muestran la
concepción proceso (3), es decir, consideran la existencia de un proceso inverso al de elevar al
cuadrada y le tienen asignado un rótulo , cuestión que como se ha aclarado en la sección 4.3,
no quiere decir que el informante haya construido el objeto. Es clara la presencia de distintas
estrategias para justificar la respuesta, mostrando desde la noción de potencia, ecuación
cuadrática, notación de potencia de exponente racional y raíz cuadrada. A continuación, se
presentan algunas respuestas de los informantes.
El informante I1 presenta un argumento desde la notación potencia de exponente racional de la
raíz cuadrada, pero lo primero que escribe es 2 4 4a y luego justifica.
Figura 5.1: respuesta de I1 a pregunta 1.a.i
El informante I2 responde utilizando la raíz cuadrada. El informante I6, desde la potencia de
exponente 2, explicita la existencia de un número y afirma que la raíz cuadrada es la forma de
encontrar dicho número.
Figura 5.2: respuesta de I2 a pregunta 1.a.i
66
Figura 5.3: respuesta de I6 a pregunta 1.a.i
El informante I3, también responde utilizando la ―raíz cuadrada‖, pero lo aplica sobre la
ecuación formada directamente, respondiendo con un doble signo.
Figura 5.4: respuesta de I3 a pregunta 1.a.i
El informante I7, justifica por medio de la relación que a un número se le asocia su cuadrado.
Figura 5.5: respuesta de I7 a pregunta 1.a.i
Los informantes I4, I8, utilizan la idea de ecuación en sus argumentos, presentándolos desde la
relación potencia de exponente 2.
Figura 5.6: respuesta de I4 a pregunta 1.a.i
Figura 5.7: respuesta de I8 a pregunta 1.a.i
67
Pregunta 1.a.ii
Los informantes en esta pregunta debían encontrar un valor positivo para a dado que 2 29a .
Lo distinto con respecto a la pregunta anterior es que 29 no se puede descomponer en factores
naturales. La idea es que mostraran ese número que elevado al cuadrado da como resultado 29,
pudiendo de acuerdo a nuestro a priori recurrir a la aproximación y/o a la raíz cuadrada, en
ambos casos se considera que se ha revertido el proceso (2).
Ante esta pregunta los informante I2, I3, I4, I5, I6, I7, I8, recurren a la raíz cuadrada, dando
cuenta de la reversión del proceso de elevar al cuadrado.
Figura 5.8: respuesta de I2 a pregunta 1.a.ii
Figura 5.9: respuesta de I3 a pregunta 1.a.ii
Figura 5.10: respuesta de I6 a pregunta 1.a.ii
68
Figura 5.11: respuesta de I8 a pregunta 1.a.ii
El informante I1, utiliza la noción de potencia con exponente racional para mostrar su
respuesta, pero descompone equivocadamente 29 en números naturales. Su bien su
procedimiento es coherente utilizando las potencias, depende de una descomposición en
factores naturales; ante esta respuesta, se puede decir que tiene todos los elementos para
responder pero no llega al proceso (3) de nuestra DG.
Figura 5.12: respuesta de I1 a pregunta 1.a.ii
Pregunta 1.b
En esta pregunta se pedía establecer la relación inversa de elevar al cuadrado (una
generalización), es decir, pensando en pares ordenados: 2 2 2, ; , ; si , ,a a a a b a b b .
Los informantes desde I2 a I8 en la pregunta 1.a.ii evidenciaron la concepción proceso (3) de
la DG e I1 mostró estar en vías de la dicha construcción proceso (3). En esta pregunta (1.b) los
informantes mostraron respuestas ―irregulares‖ en base a lo anterior, pues algunos que
evidenciaban la concepción proceso (3), ahora no lo hacían.
Los informantes I1, I3, I5, I8, muestran en su totalidad la concepción proceso (3), pues
argumentan utilizando la raíz cuadrada directamente, evidenciando la reversión, es decir
pensar el proceso de asociar a un número su cuadrado al revés. A continuación se presentan
las respuestas de estos estudiantes:
69
El informante I1 habla de una transformación, y como lo ha hecho hasta ahora en su discurso,
muestra su idea de raíz cuadrada desde la potencia de exponente racional.
Figura 5.13: respuesta de I1 a la pregunta 1.b
El informante I3, explica desde la idea de base a potencia primeramente y expone la relación
inversa. No lo señala en términos de pares ordenados, pero se puede ver esto implícitamente.
I5 e I8 exponen su respuesta de manera menos elaborada, pero afirman que la relación es la
raíz cuadrada.
Figura 5.14: respuesta de I3 a la pregunta 1.b
Figura 5.15: respuesta de I5 a la pregunta 1.b
Figura 5.16: respuesta de I8 a la pregunta 1.b
70
Los informantes I2, I4, I6, I7, en sus respuestas se remiten a explicar la potencia existente en
el sentido original, es decir en la relación de un número con su potencia de exponente 2. Esto
evidencia que presentan estar en vías de revertir el proceso (2) en el proceso (3), cuestión
contradictoria pues como se mencionó anteriormente, en la pregunta anterior habían
evidenciado dicha concepción. Lo anterior se puede explicar desde el AHE en el que se
trabaja, pues en esta situación esta pregunta está relacionada con el aspecto algebraico.
Algunas de las respuestas que dan estos estudiantes son:
Figura 5.17: Respuesta de I4 a la pregunta 1.b
Figura 5.18: Respuesta de I7 a la pregunta 1.b
Pregunta 2
El objetivo de esta pregunta, separada en dos partes, es identificar la presencia del
objeto/proceso de los teoremas de Euclides y Pitágoras.
71
Pregunta 2.a (Referente al teorema de Pitágoras)
En esta pregunta, todos los informantes de este caso evidenciaron la concepción objeto del
teorema de Pitágoras. En algunos casos persiste la idea de asignar un doble signo al resultado
y no restringir, pese a estar trabajando con trazos. Algunas de las respuestas se presentan a
continuación:
Figura 5.19: Respuesta de I6 a la pregunta 2.a
Figura 5.20: Respuesta de I4 a la pregunta 2.a
Figura 5.21: respuesta de I8 a la pregunta 2.a
72
Pregunta 2.b21
(referente al teorema de Euclides)
Al igual que en la pregunta anterior, todos los informantes del caso evidenciaron la
concepción objeto, en este caso del teorema de Euclides. Se presentan a continuación algunas
de las respuestas de los informantes:
Figura 5.22: Respuesta de I1 a la pregunta 2.b.ii
Figura 5.23: Respuesta de I2 a la pregunta 2.b.ii
21 Se mostraran las evidencias de b.ii pues es la que se quiere analizar al desencapsular en la media geométrica
según nuestra DG.
73
Pregunta 3
En esta pregunta se espera que los estudiantes ubiquen números escritos en raíces, en la recta
numérica. Para esto se les presentó la recta con un cuadriculado para el trabajo requerido. De
acuerdo al a priori pueden recurrir a aproximaciones y/o usar elementos geométricos.
En esta pregunta, solo I8 recurre a lo geométrico para ubicar las raíces en la recta numérica:
Figura 5.24: Respuesta de I2 a la pregunta 3.
74
Su procedimiento se basa en el teorema de Euclides, es decir, por medio de la media
geométrica, construye la altura de un triángulo rectángulo de pies de medidas 1 y la cantidad
subradical de la raíz pedida. Esto indica que evidencia la coordinación de los proceso (3) y
(8) generando el proceso (9).
Los informantes I1, I3, I4, I5, I6, I7, I8, recurren a aproximaciones para responder esta
pregunta, es decir no logran coordinar el proceso (3) con el proceso (8), solo evidenciando la
idea de inverso de elevar al cuadrado –proceso (3) –. Algunas de las respuestas de estos
informantes se presentan a continuación:
Figura 5.25: Respuesta de I3 a la pregunta 3.
El informante I7 usa el mismo argumento que todos los informantes que solo trabajan en el
aspecto aritmético22
, pero afirma que las raíces tienen dos resultados, es decir le asigna un
doble signo al resultado de la raíz cuadrada de un número real positivo (ver Figura 5.26).
22 Todos menos I2
75
Figura 5.26: Respuesta de I7 a la pregunta 3.
Pregunta 4
En esta pregunta los informantes son sometidos una situación relacionada con el aspecto
geométrico de la raíz cuadrada. En la primera pregunta se le presentan segmentos con medida,
en donde puede recurrir a Pitágoras y/o Euclides para responder. La segunda, la situación no
presenta medida y deben construir la raíz cuadrada de un trazo.
Pregunta 4.a
Los informantes I1 e I5 recurren a aproximaciones numéricas para resolver esta situación,
evidenciando la concepción proceso (3), es decir la idea de lo inverso de elevar al cuadrado
ligado al aspecto numérico de la raíz cuadrada. En la pregunta 2, estos individuos evidencian
la concepción objeto (por ende se puede desencapsular en el proceso) del teorema de Pitágoras
y Euclides, es decir, no logran coordinar los procesos para establecer la concepción proceso
(7): la raíz cuadrada como un trazo, por lo que I1 e I5 presentan los elementos para construir el
proceso anterior, evidenciando que están en vías de construir el proceso (7). A continuación
presentamos las evidencias de sus respuestas:
76
Figura 5.27: Respuesta de I1 a la pregunta 4.
Figura 5.28: Respuesta de I5 a la pregunta 4.
Los informantes I2, I3, I4, I6, I7 e I8, evidencian la concepción proceso (7), es decir
construyen la raíz cuadrada de un trazo por medio del teorema de Euclides, específicamente la
media proporcional geométrica. A continuación, se presentan algunas de las respuestas de los
informantes:
77
Figura 5.29: Respuesta de I3 a la pregunta 4.
Figura 5.30: Respuesta de I6 a la pregunta 4.
Pregunta 4.b
Al igual que en la pregunta 4.a los informantes I1 e I5 recurren al aspecto aritmético para
responder, aproximando a un número decimal finito la medida del trazo, evidenciando estar en
vías de de la concepción proceso (7). (ver Figuras 5.31 y 5.32)
78
Figura 5.31: Respuesta de I1 a la pregunta 4.b.
Figura 5.32: Respuesta de I5 a la pregunta 4.b.
Los informantes I2, I3, I4, I6, I7 e I8, evidencian la concepción proceso (7), pues construyen
la raíz cuadrada del trazo por medio del teorema de Euclides, con esto evidencian que se
puede construir la raíz cuadrada de cualquier trazo. A continuación se presentan algunas de las
respuestas de estos informantes,
Figura 5.33: Respuesta de I8 a la pregunta 4.b.
79
Figura 5.34: Respuesta de I4 a la pregunta 4.b.
Pregunta 5
En esta pregunta se pretende establecer a que aspecto o aspectos el informante recurre para
justificar la veracidad o falsedad de las afirmaciones presentadas. Ante esto, según nuestro a
priori puede recurrir tanto a lo geométrico, aritmético y algebraico. Para establecer si
evidencia construcción en más de uno de estos se les pidió que justificaran de dos maneras
distintas. Es necesario recalcar que esta pregunta está conformada de dos partes, ambas tienen
un objetivo similar, por lo que el análisis será en conjunto.
Para esta pregunta, I2, muestra una concepción proceso (9), es decir es capaz de argumentar de
dos formas distintas, haciendo mención específicamente a lo aritmético (caso particular) y a
propiedades algebraicas aplicadas a la raíz cuadrada, que es en realidad lo que se espera
I2 muestra un contraejemplo por medio de números y luego usa la desigualdad triangular
desde el álgebra, evidenciando que logra la concepción proceso de la raíz cuadrada en el
álgebra, su procedimiento es similar tanto en la pregunta 5.a como en 5.b.
80
Figura 5.35: Respuesta de I2 a la pregunta 5.a.
Figura 5.36: Respuesta de I2 a la pregunta 5.a
I1 recurre, como ha sido habitual en su discurso a la notación como potencia de exponente
racional de la raíz cuadrada y a un caso particular en el aspecto aritmético (ver Figura 5.37)
81
Figura 5.37: Respuesta de I1 a la pregunta 5.a.
Pese a desempeñarse de buena manera en la pregunta 5.a, en la pregunta 5.b comete el error de
generalizar para todo número real, basándose en la propiedad de cancelación por medio de la
noción de exponente racional, en este caso 2
1
2
.
Figura 5.38: Respuesta de I1 a la pregunta 5.a.
De la misma forma que I1, los informantes I3, I4, I5, I6, I8 cometen el mismo error al
responder la pregunta 5.b, generalizando para todo número real. Todos los anteriores utilizan
la misma estrategia que I1, ya sea elevando al cuadrado la potencia de exponente un medio, o
directamente la raíz cuadrada; a excepción de I4 que recurre a un ejemplo con números y
desde ahí se puede deducir pues no lo especifica, que pretende generalizar (ver Figura 5.39).
I7, no comete el error anterior, pero en la pregunta 5.a presenta un argumento numérico
solamente y en 5.b intenta dar un argumento algebraico, pero no da una respuesta concreta. Lo
anterior muestra que estos individuos evidencian estar en vías de construir el proceso (9) con
respecto a nuestra DG.
82
Figura 5.39: Respuesta de I4 a la pregunta 5.b.
Pregunta 6
Esta pregunta es fundamental en el cuestionario, porque apunta directamente a uno de los
fenómenos detectados, y que dio origen a esta investigación. Por medio de ésta, se pretende
establecer qué concepción tienen los estudiantes de la raíz cuadrada en base al doble signo,
para esto se les presenta una situación en la cual deben elegir un libro de texto ―idóneo‖
(deben escoger entre dos) para enseñar la raíz cuadrada.
Como se había establecido en las hipótesis de investigación, el fenómeno persiste, de tal
manera que ningún informante de este caso evidenció la construcción del objeto, pues su
elección es el texto A, el cual presentaba la raíz cuadrada con dos resultados. Pese a esto, es
necesario mencionar que I3 es el que está más cerca de construir el objeto, pues en su
justificación escoge el texto B haciendo diferencia de la ecuación cuadrática con la raíz
cuadrada, pero su justificación para esto no es suficiente, pues no restringe el dominio de la
cantidad subradical al escribirlo como potencia (Ver Figura 5.40)
Figura 5.40: Argumento para elección de texto B de I3 en la pregunta 6.
83
I1, I4, I5, e I7, responden que el correcto es el ―texto A‖ (doble signo) argumentando desde lo
inverso de elevar al cuadrado, afirmando que el inverso aditivo también cumple con la
relación al elevar al cuadrado. En la Figura 5.41, se muestra la respuesta de I1, similar a la de
I4, I5 e I7.
Figura 5.41: Respuesta de I1 a la pregunta 6.
I2 en su respuesta, afirma que la raíz cuadrada de nueve es igual al valor absoluto de tres,
9 3 y luego argumenta similar que I1.
Figura 5.42: Respuesta de I2 a la pregunta 6.
Una respuesta bien particular fue la que dieron I6 e I8, pues limitaron su respuesta en función
del contexto de trabajo, ya que afirman que si se trabaja en un contexto aritmético y/o
geométrico utilizarían el texto B, pero en el caso del álgebra utilizarían el texto A. En las
Figuras 5.43 y 5.44 se presentan las respuestas de esto informantes.
84
Figura 5.43: Respuesta de I6 a la pregunta 6.
Figura 5.44: Respuesta de I8 a la pregunta 6.
Pregunta 7
El objetivo de esta pregunta es diagnosticar en los informantes el tipo de construcción mental
referente al aspecto funcional. Las preguntas 7.a y 7.b están relacionadas con la construcción
proceso 12 y la pregunta 7.c se relaciona con la construcción mental objeto (13) de la función
raíz cuadrada.
Pregunta 7.a y 7.b
Los informantes, I2, I3 responden correctamente la pregunta 7.a, es decir completan la tabla
que corresponde a la función área dadas preimágenes como imágenes, pero no logran modelar
la función inversa a la del área, mostrando en su respuesta nuevamente la función cuadrática.
85
Figura 5.45: Respuesta de I2 a la pregunta 7.b
Lo anterior evidencia que estos informantes tienen los elementos para construir el proceso (12)
pero no han logrado generarlo al coordinar desde el proceso función; es decir, están en vías de
construir el proceso (12).
Los informantes I1, I4, I5, I6, I7 e I8, evidencian la construcción de este proceso, pues sus
respuestas tanto para 7.a como 7.b son acertadas, es decir establecen la función inversa al área
del cuadrado (7.b) y como todos los informantes del caso responden correctamente a la
pregunta 7.a, de completar la tabla.
Figura 5.46: Respuesta de I5 a las preguntas 7.a y 7.b.
Figura 5.46: Respuesta de I4 a la pregunta 7.b.
86
Pregunta 7.c
En esta pregunta, solo I7 responde desde la matemática de funciones, argumentando desde la
lógica, refiriéndose implícitamente al dominio de la función, esto indicaría que evidencia una
concepción objeto de la función raíz cuadrada. El resto de los informantes recurre a
argumentar en función del contexto, es decir desde la figura (cuadrado). Pese a que tienen los
elementos para construir el objeto, aun no lo han encapsulado, es decir no es un elemento al
que puedan recurrir para responder la situación o como I6 que argumenta desde la idea de
número racional, pese a haber respondido correctamente el caso de en 7.a.
Figura 5.47: Respuesta de I7 a la pregunta 7.c
Figura 5.48: Respuesta de I6 a la pregunta 7.c
87
TABLA 5.1: RESUMEN CASO 1
Informantes
Cuestionario
CONSTRUCCIONES MENTALES EVIDENCIADAS POR LOS INFORMANTES
I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7 I8
P1.a.i Concepción
Proceso (2)
Concepción
Proceso (3)
Concepción
Proceso (3)
Concepción
Proceso (2)
Concepción
Proceso (3)
Concepción
Proceso (3)
Concepción
Proceso (2)
Concepción
Proceso (2)
P1.a.ii
En vías de una
construcción
Proceso (3)
Concepción
Proceso (3)
Concepción
Proceso (3)
Concepción
Proceso (3)
Concepción
Proceso (3)
Concepción
Proceso (3)
Concepción
Proceso (3)
Concepción
Proceso (3)
P1.b Concepción
Proceso (3)
En vías de una
construcción
Proceso (3)
Concepción
Proceso (3)
En vías de una
construcción
Proceso (3)
Concepción
Proceso (3)
En vías de una
construcción
Proceso (3)
En vías de una
construcción
Proceso (3)
Concepción
Proceso (3)
P2.a Concepción
Objeto (4)
Concepción
Objeto (4)
Concepción
Objeto (4)
Concepción
Objeto (4)
Concepción
Objeto (4)
Concepción
Objeto (4)
Concepción
Objeto (4)
Concepción
Objeto (4)
P2.b Concepción
Objeto (5)
Concepción
Objeto (5)
Concepción
Objeto (5)
Concepción
Objeto (5)
Concepción
Objeto (5)
Concepción
Objeto (5)
Concepción
Objeto (5)
Concepción
Objeto (5)
P3 Concepción
Proceso (3)
Coordina
procesos (3) y
(8) en Proceso
(9)
Concepción
Proceso (3)
Concepción
Proceso (3)
Concepción
Proceso (3)
Concepción
Proceso (3)
Concepción
Proceso (3)
Concepción
Proceso (3)
P4.a
En vías de
construir
proceso (7)
Concepción
proceso (7)
Concepción
proceso (7)
Concepción
proceso (7)
En vías de
construir
proceso (7)
Concepción
proceso (7)
Concepción
proceso (7)
Concepción
proceso (7)
P4.b
En vías de
construir
proceso (7)
Concepción
Proceso (8)
Concepción
Proceso (8)
Concepción
Proceso (8)
En vías de
construir
proceso (7)
Concepción
Proceso (8)
Concepción
Proceso (8)
Concepción
Proceso (8)
88
P5 Concepción
Proceso (9)
Concepción
Proceso (9)
En vías de una
construcción
Proceso (9)
En vías de una
construcción
Proceso (9)
En vías de una
construcción
Proceso (9)
En vías de una
construcción
Proceso (9)
En vías de una
construcción
Proceso (9)
En vías de una
construcción
Proceso (9)
P6
En vías de una
construcción
Objeto (10)
En vías de una
construcción
Objeto (10)
En vías de una
construcción
Objeto (10) +
En vías de una
construcción
Objeto (10)
En vías de una
construcción
Objeto (10)
En vías de una
construcción
Objeto (10)
En vías de una
construcción
Objeto (10)
En vías de una
construcción
Objeto (10)
P7.a y b Concepción
Proceso (12)
En vías de una
construcción
Proceso (12)
En vías de una
construcción
Proceso (12)
Concepción
Proceso (12)
Concepción
Proceso (12)
Concepción
Proceso (12)
Concepción
Proceso (12)
Concepción
Proceso (12)
P7.c
En vías de una
construcción
objeto (13)
En vías de una
construcción
Proceso (12)
En vías de una
construcción
Proceso (12)
En vías de una
construcción
objeto (13)
En vías de una
construcción
objeto (13)
En vías de una
construcción
objeto (13)
Concepción
objeto (13)
En vías de una
construcción
objeto (13)
89
5.1.2 Resultados del Caso 2
Preguntas 1.a.i y 1.a.ii
Los informantes de este caso, I9, I10, I11, I12, I13, evidencian las construcciones proceso (2)
para la pregunta 1.a.i y proceso (3) para la pregunta 1.a.ii. También se detectó en sus
respuestas, la asignación de un doble signo a la raíz cuadrada. Algunas respuestas de 1.a.i y
1.a.ii de los informantes se presentan a continuación.
Figura 5.49: Respuesta de I10 a la pregunta 1.a.i.
Figura 5.49: Respuesta de I11 a la pregunta 1.a.ii.
Pregunta 1.b
Al igual que los informantes del Caso 1, es en la pregunta 1.b donde presentan complicaciones
al no evidenciar el proceso (3), pese a que en 1.a.ii si se había detectado. Solo I10 evidencia
dicha construcción, el resto de los informantes argumenta utilizando la relación potencia, lo
cual no da luces de la reversión del proceso (2), por lo que evidencian estar en vías de
construir dicho proceso. Lo anterior, como se explicaba en el Caso 1, tiene relación con la
presentación desde el aspecto algebraico de la pregunta, a diferencia del aspecto aritmético en
1.a.ii.
90
Figura 5.50: Respuesta de I10 a la pregunta 1.b.
Figura 5.51: Respuesta de I12 a la pregunta 1.b.
Pregunta 2.a
Todos los informantes de este caso evidencia la concepción objeto del teorema de Pitágoras,
pues hacen uso de él para resolver la situación planteada sin ningún inconveniente. A
continuación se presentan algunas de las respuestas como evidencia de esto.
Figura 5.52: Respuesta de I11 a la pregunta 2.a.
91
Figura 5.53: Respuesta de I13 a la pregunta 2.a.
Pregunta 2.b
Al igual que en la pregunta 2.a, todos los informantes evidencian la construcción objeto del
teorema de Euclides con respecto a la altura de un triángulo rectángulo. A continuación se
presentan algunas evidencias de esto:
Figura 5.54: Respuesta de I9 a la pregunta 2.b.i.
Figura 5.55: Respuesta de I10 a la pregunta 2.b.ii.
92
Pregunta 3
En esta pregunta del cuestionario I9, I10 e I13, logran coordinar los procesos aritméticos (3)
con lo geométrico (8) para establecer el proceso (9) y evidenciarlo al ubicar mediante teorema
de Pitágoras las raíces en la recta numérica. Algunas de las respuestas que evidencian esta
construcción se muestran en las figuras a continuación. Por ejemplo I9 explica su
procedimiento por medio de Pitágoras (Ver Figura 5.56)
Figura 5.56: Respuesta de I9 a pregunta 3.
Figura 5.57: Respuesta de I13 a la pregunta 3.
93
Los informantes I11 e I12, muestran solo una concepción proceso (3), es decir no coordinan
con lo geométrico, pese a haber evidenciado en la pregunta 2 tener los elementos para hacerlo.
Figura 5.58: Respuesta de I12 a la pregunta 3.
Pregunta 4.a
En esta pregunta I11 e I13 no muestran construcción (no responden), I9 e I10 evidencian el
proceso (6) pues construyen desde el teorema de Pitágoras usando la inspección para encontrar
una hipotenusa que se relacione en la medida del lado pedido.
Figura 5.59: Respuesta de I10 a la pregunta 4.a del cuestionario
I12 evidencia estar en camino a construir el proceso (7) referente al teorema de Euclides, pues
presenta elementos de esto, pero su respuesta no llega a concluir (ver Figura 5.60)
94
Figura 5.60: Respuesta de I12 a la pregunta 4.a.
Pregunta 4.b
En esta pregunta se evidencia la necesidad absoluta de números para poder trabajar. I10
responde desde el teorema de Pitágoras e I12 afirma que todo trazo tiene raíz cuadrada, pero
no justifica, cuestión no suficiente pues este elemento de la matemática depende de las
medidas para construir las raíces como un trazo. Con esto evidencian estar en vías de construir
el proceso (8): raíz cuadrada como un trazo.
Figura 5.61: Respuesta de I10 a la pregunta 4.b
95
Figura 5.62: Respuesta de I12 a la pregunta 4.b
Pregunta 5.a y 5.b
En esta pregunta el informante I9 evidencia la construcción proceso (9) al argumentar de dos
formas distintas, siendo uno de estos argumentos de aspecto algebraico. Por ejemplo este
informante responde utilizando un caso particular (contraejemplo) y luego por aspecto
algebraico elevando al cuadrado.
Figura 5.63: Respuesta de I9 a la pregunta 5.a
I11 también evidencia la concepción proceso (9), en la pregunta 5.b, coordina el aspecto
algebraico con el aritmético y responde correctamente al mostrar un contraejemplo a su
argumento algebraico (ver Figura 5.64)
96
Figura 5.64: Respuesta de I11 a la pregunta 5.b.
Los informantes I10, I12 e I13 cometen el error de elevar al cuadrado para justificar, sin fijarse
en qué valores debe tomar la cantidad subradical para que sea válida la afirmación. Esto
evidenciaría que están en vías de construir el proceso (9). En la Figura 5.65 se presenta la
respuesta de I10, similar a la respuesta de I12 e I13.
Figura 5.65: Respuesta de I10 a la pregunta 5.b.
97
Pregunta 6
En esta pregunta, I9, I11, I12, I13 toman como elección el texto A, es decir, afirman que la
raíz cuadrada posee dos resultados. De estos informantes, I9 e I11 en su respuesta agregan que
si el contexto es trabajar con medidas, el resultado solo es positivo.
Figura 5.66: Respuesta de I9 a la pregunta 6.
Figura 5.67: Respuesta de I11 a la pregunta 6
También es necesario mencionar que el argumento de I12 e I13 tiene relación con la idea de
potencia, al argumentar que tanto el número como su inverso cumplen con la condición de la
raíz cuadrada, evidenciando la falta de construcción en los cuantificadores.
Un caso particular y que lo habíamos mencionado en el análisis a priori, es la respuesta que da
I10, justificando desde la función raíz cuadrada en relación a la inyectividad de ésta. Esto
indicaría que no evidencia la construcción del objeto, pero si una articulación del aspecto
funcional de la raíz cuadrada para responder acerca de la definición algebraica de esta.
98
En la Figura 5.68, se presenta el argumento completo dado por I10 a la pregunta 6 del
cuestionario.
Figura 5.69: Respuesta de I10 a la pregunta 6.
Pregunta 7.a y 7.b
En esta pregunta I10, I11, I12 e I13 evidencian la construcción proceso (12) del aspecto
funcional, pues responden correctamente tanto a 7.a como a 7.b. Es decir logran establecer
preimágenes dadas las imágenes de una función y logran modelar la función inversa a la
función área (la cual es parte de la cuadrática).
99
Figura 5.70: Respuesta de I10 a la pregunta 7.a y 7.b.
Figura 5.71: Respuesta de I13 a la pregunta 7.a y 7.b.
El informante I9, responde correctamente la tabla, pero no logra modelar bien la función
pedida, evidenciando la falta de coordinación de procesos para construir proceso (12).
Figura 5.72: Respuesta de I9 a la pregunta 7.a y 7.b
100
Pregunta 7.c
En esta pregunta sólo I10 evidencia una construcción objeto, pues hace alusión al domino de
la función para justificar la continuidad de este (el destacado es nuestro).
Figura 5.73: Respuesta de I10 a la pregunta 7.c
Los informantes I9, I11, I12, I13 utilizan argumentos alejados de la función para justificar esta
pregunta, evidenciando estar en vías de construir el objeto función, por ejemplo la respuesta de
I12 es referente a la idea de superficie y figura.
Figura 5.74: Respuesta de I12 a la pregunta 7.c
101
TABLA 5.2: RESUMEN CASO 2
Informantes
Cuestionario
CONSTRUCCIONES MENTALES EVIDENCIADAS POR LOS INFORMANTES
I9 I10 I11 I12 I13
P1.a.i Concepción
Proceso (2)
Concepción
Proceso (2)
Concepción
Proceso (2)
Concepción
Proceso (2)
Concepción
Proceso (2)
P1.a.ii Concepción
Proceso (3)
Concepción
Proceso (3)
Concepción
Proceso (3)
Concepción
Proceso (3)
Concepción
Proceso (3)
P1.b En vías de construir
proceso (3)
Concepción
Proceso (3)
En vías de construir
proceso (3)
En vías de construir
proceso (3)
En vías de construir
proceso (3)
P2.a Concepción
Objeto (4)
Concepción
Objeto (4)
Concepción
Objeto (4)
Concepción
Objeto (4)
Concepción
Objeto (4)
P2.b Concepción
Objeto (5)
Concepción
Objeto (5)
Concepción
Objeto (5)
Concepción
Objeto (5)
Concepción
Objeto (5)
P3 Coordina procesos (3) y
(8) en Proceso (9)
Coordina procesos (3) y
(8) en Proceso (9)
Concepción
Proceso (3)
Concepción
Proceso (3)
Coordina procesos (3) y
(8) en Proceso (9)
P4.a Concepción
Proceso (6)
Concepción
Proceso (6)
No muestra
construcción
En vías de construir
proceso (7)
No muestra
construcción
P4.b No muestra
construcción
En vías de construir
Proceso (8)
No muestra
construcción
En vías de construir
proceso (8)
No muestra
construcción
P5. Concepción
Proceso (9)
En vías de una
construcción
Proceso (9)
Concepción
Proceso (9)
En vías de una
construcción
Proceso (9)
En vías de una
construcción
Proceso (9)
102
P6
En vías de un
construcción
Objeto (10)
Concepción
Proceso (12)
En vías de un
construcción
Objeto (10)
En vías de un
construcción
Objeto (10)
En vías de un
construcción
Objeto (10)
P7.a y b En vías de construir
Proceso (12)
Concepción
Proceso (12)
Concepción
Proceso (12)
Concepción
Proceso (12)
Concepción
Proceso (12)
P7.c En vías de construir
Objeto (13)
Concepción
Objeto (13)
En vías de una
construcción
Proceso (12)
En vías de una
construcción
Objeto (13)
En vías de una
construcción
Objeto (13)
103
5.1.3 Resultados del Caso 3
Pregunta 1.a.i y 1.a.ii
Todos los informantes del Caso 3, evidencian la concepción proceso (2) en la pregunta 1.a.i y
la concepción proceso (3) en la pregunta 1.a.ii. Es interesante mostrar que I15 recurre a
aproximar en 1.a.ii, mostrando que su idea de raíz está direccionada hacia el aspecto
aritmético.
Figura 5.75: Respuesta de I15 a la pregunta 1.a.ii.
El informante I14, piensa en el número que elevado al cuadrado da como resultado 29, es decir
piensa el proceso potencia de exponente 2 a la inversa (ver Figura 5.76).
Figura 5.76: Respuesta de I14 a la pregunta 1.a.ii.
Pregunta 1.b
En esta pregunta, solo I17 evidencia la reversión del proceso (2) en el proceso (3), es decir al
igual que en los Casos anteriores (Caso 1 y Caso 2) se evidencia la reversión al mostrar la
situación en el aspecto aritmético, pero cuando se declara en aspecto algebraico, no logran
hacerlo. I17, hace una interpretación cartesiana de lo pedido, mostrando pares ordenados, pero
104
no declara directamente el nombre de lo que expone, solo afirma que ―es una función que está
determinada por los pares ordenados… (Figura 5.77).
Figura 5.77: Respuesta de I17 a la pregunta 1.b.
Los informantes I14 e 15 no responden.
El informante I16 recurre a la idea de área de un cuadrado, pero no concluye su pregunta en
relación al lado de un cuadrado y su área. Afirma que la relación no es función.
Figura 5.78: Respuesta de I16 a la pregunta 1.b.
Pregunta 2.a y 2.b
Al igual que en los Casos anteriores (Caso 1 y Caso 2), los informantes de este Caso, muestran
la concepción objeto de los teoremas de Pitágoras y Euclides, pues recurren a estos para
resolver las situaciones que se les presentaron. Las respuestas fueron similares a las de los
casos anteriores.
Pregunta 3
En esta pregunta I14 e I15 muestran la coordinación de procesos (3) y (8) en el proceso (9), es
decir evidencian una coordinación entre lo numérico y lo geométrico, al ubicar raíces en la
recta numérica por medio del teorema de Pitágoras.
105
Figura 5.79: Respuesta de I14 a la pregunta 3.
Los informantes I16 e I17 responde por aproximación, es decir evidencian el proceso (3) o
mejor dicho están en vías de coordinar con lo geométrico del proceso (8).
Pregunta 4.a
En esta pregunta, los todos los informantes de este caso recurren al teorema de Pitágoras para
dibujar el trazo. I14 construye un triángulo de rectángulo de catetos 3 y 1, para obtener raíz de
diez y luego de raíz de diez y 1 para obtener lo `pedido. I15 e I16 construyen la raíz de dos y
luego forman un triángulo rectángulo con catetos 3 y raíz de dos. I17 construye una espiral
con el teorema de Pitágoras, obteniendo todas las raíces de números naturales.
Figura 5.80: Respuesta de I16 a la pregunta 4.a.
106
Figura 5.81: Respuesta de I17 a la pregunta 4.a
Pregunta 4.a
En esta pregunta I14 e I17 no responden. Los informantes I15 e I16 recurren al teorema de
Pitágoras. I15 alude a la necesidad de conocer la medida del trazo para poder construir el trazo
pedido. I16 aproxima a una medida el trazo dado y sobre eso construye la raíz delo trazo por
medio del teorema de Pitágoras. Esto evidencia que están en vías de construir el proceso (8)
Raíz Cuadrada como un trazo.
Figura 5.82: Respuesta de I15 a la pregunta 4.b.
107
Pregunta 5
En esta pregunta todos los informantes evidencian la construcción proceso (9) de la raíz
cuadrada en el aspecto algebraico, ya que muestran las restricciones para ésta en su cantidad
subradical, y recurren al algebra para justificar la falsedad de algunas afirmaciones.
Figura 5.83: Respuesta de I15 a la pregunta 5.ii.
Pregunta 6
Los informantes I14 e I16, afirman que la raíz cuadrada de un número posee dos resultados y
su argumento es desde la potencia de exponente 2.
Figura 5.84: Respuesta de I14 a la pregunta 6
El informante I15 responde que lo correcto es que tiene un solo resultado, pero su argumento
viene desde la geometría de trazos, pues solo positivas.
108
Figura 5.85: Respuesta de I15 a la pregunta 6.
El informante I17, responde desde la función raíz cuadrada, pero en su respuesta dice que 9
tiene dos raíces, es decir argumenta esto, solo utilizando el dominio de la función raíz.
Figura 5.86: Respuesta de I17 a la pregunta 6.
Pregunta 7.a y 7.b
Los informantes I4, I15 e I16 responden correctamente a esto evidenciando la construcción
proceso (12), pues completan correctamente la tabla en base a las preimágenes e imágenes de
la función área de un cuadrado.
109
El informante I17 responde correctamente la tabla de (7.a), pero muestra que la función que
modela lo inverso al área es la cuadrática, es decir está en vías de construir el proceso (12).
Figura 5.87: Respuesta de I17 a las preguntas 7.a y 7.b
Pregunta 7.c
En esta pregunta, los informantes I14 e I16 recurren a una idea matemática de función para
justificar, pero sus argumentos son inversos, es decir, responden desde la función cuadrática al
no darse cuenta en qué sentido están planteadas las afirmaciones. Como ejemplo de esto I16,
expone lo siguiente (Figura 5.88):
Figura 5.88: Respuesta de I16 a la pregunta 7.c (i. e ii.) del cuestionario
110
La respuesta, a pesar de hacer un esfuerzo de responder desde la matemática y mostrar el
proceso (11) función, no evidencia la encapsulación en el objeto función raíz cuadrada; es
decir I14 e I16 evidencian estar en vías de construir el objeto función raíz cuadrada.
I15 e I17 recurren a argumentos de representación como se ha dado en los casos anteriores,
pues sus respuestas vienen de la geometría de áreas y medidas.
En la Tabla 5.3, se muestra un resumen de las construcciones mentales evidenciadas por los
informantes del Caso 3.
111
TABLA 5.3: RESUMEN CASO 3
Informantes
Cuestionario
CONSTRUCCIONES MENTALES EVIDENCIADAS POR LOS INFORMANTES
I14 I15 I16 I17
P1.a.i Concepción
Proceso (2)
Concepción
Proceso (2)
Concepción
Proceso (2)
Concepción
Proceso (2)
P1.a.ii Concepción
Proceso (3)
Concepción
Proceso (3)
Concepción
Proceso (3)
Concepción
Proceso (3)
P1.b No muestra construcción No muestra construcción En vías de construir
el Proceso (3)
Concepción
Proceso (3)
P2.a Concepción
Objeto (4)
Concepción
Objeto (4)
Concepción
Objeto (4)
Concepción
Objeto (4)
P2.b Concepción
Objeto (5)
Concepción
Objeto (5)
Concepción
Objeto (5)
Concepción
Objeto (5)
P3 Coordina procesos (3) y (8)
en Proceso (9)
Coordina procesos (3) y (8)
en Proceso (9)
Concepción
Proceso (3)
Concepción
Proceso (3)
P4.a Concepción
Proceso (6)
Concepción
Proceso (6)
Concepción
Proceso (6)
Concepción
Proceso (6)
P4.b No muestra construcción En vías de construir el
Proceso (8)
En vías de construir el
Proceso (8) No muestra construcción
P5.a Concepción
Proceso (9)
Concepción
Proceso (9)
Concepción
Proceso (9)
Concepción
Proceso (9)
112
P6 En vías de un construcción
Objeto (10)
En vías de un construcción
Objeto (10)
En vías de un construcción
Objeto (10)
Concepción
Proceso (12)
P7.a y 7b Concepción
Proceso (12)
Concepción
Proceso (12)
Concepción
Proceso (12)
Concepción
Proceso (12)
P7.c En vías de construir
Objeto (13)
En vías de construir
Objeto (13)
En vías de construir
Objeto (13)
En vías de construir
Objeto (13)
113
5.1.4 Resultados del Caso 4
Antes de comenzar con este análisis, es necesario recalcar que los antecedentes que entreguen
estos informantes son cruciales, pues de todos los informantes mostrados, son los de este caso
quienes tienen a su mano menos matemática (conocimiento/experiencia) que los informantes
de los casos anteriores. Además que pertenecen al nivel medio (secundaria), y nos mostraran
cómo, con los pocos elementos de la matemática, han construido la raíz cuadrada.
Pregunta 1.a.i y 1.a.ii
Al igual que en los casos anteriores, los informantes I18, I19 e I20 evidencian las
construcciones proceso (2) y proceso (3) en base a la DG hipotéticamente expuesta.
Pregunta 1.b
En esta pregunta se evidenciaron los problemas para estos informantes al intentar revertir el
proceso (2) en una situación que involucra el aspecto algebraico. Los informantes I18 e I20 no
responden esta pregunta. El informante I19 muestra la reversión del proceso (2) de una manera
muy completa (ver Figura 5.89).
Figura 5.89: Respuesta de I19 a la pregunta 1.b.
Pregunta 2.a y 2.b
Los informante I18, I19 e I20 evidencian la concepción objeto del teorema de Pitágoras y
Euclides, ya que responden correctamente a ambas situaciones planteadas y además
evidencian usar la raíz cuadrada para concluir su respuesta.
114
Pregunta 3
En esta pregunta solo el informante I19 evidencia coordinar los procesos (3) y (8), es decir, los
aspectos aritmético y geométrico, en el proceso (9), pues ubican geométricamente las raíces en
la recta numérica por medio del teorema de Pitágoras.
Figura 5.90: Respuesta de I19 a la pregunta 3.
Los informantes I18 e I20, recurren a lo aritmético (aproximaciones) para ubicar las raíces. Es
decir no logran coordinar lo aritmético con lo geométrico, para asignar a un trazo su valor
numérico. El informante I20 en su relato habla acerca de la idea de raíces exactas.
Figura 5.91: Respuesta de I20 a la pregunta 3.
115
Pregunta 4.a y 4.b
En esta pregunta I18 no responde. I19 muestra que toma elementos de lo geométrico para
poder responder, mezclándolo con lo aritmético, pero su estrategia no es la correcta, al dividir
la medida del trazo.
Figura 5.92: Respuesta de I19 a la pregunta 4.a.
De la misma manera I19 en la pregunta 4.b intenta responder asignándole un valor numérico al
trazo dado.
El informante I20, busca por aproximaciones la raíz de 11 y luego construye un trazo de esa
medida. Recurre a la misma estrategia para la pregunta 4.a y 4.b.
Figura 5.93: Respuesta de I20 a la pregunta 4.b.
Pregunta 5
En esta pregunta el informante I18 responde solo de manera aritmética mostrando
contraejemplos, por lo que evidencia estar en vías de construir el proceso (9) de la raíz
cuadrada en el aspecto algebraico. Los informantes I19 e I20, utilizan elementos algebraicos
para responder y además resaltan la necesidad de restringir la cantidad subradical para valores
positivos. I19 afirma que no existen propiedades para sumar raíces.
116
Figura 5.94: Respuesta de I20 a la pregunta 5.b.
Pregunta 6
En esta pregunta, en comparación con los tres casos de estudio anteriores, los tres informantes
evidencian la construcción objeto de la raíz cuadrada. I18 argumenta que la raíz cuadrada por
definición tiene un solo resultado. I19 e I20 explican que existen dos casos de uso de la raíz
cuadrada, cuando solo se quiere calculara la raíz cuadrada y cuando se usa ésta para resolver
una ecuación. En esto evidencian que tienen claridad entre el concepto de raíz cuadrada, y la
raíz como solución de una ecuación.
Figura 5.95: Respuesta de I20 a la pregunta 6.
Pregunta 7.a y 7.b
Los informantes I19 e I20 evidencian la construcción proceso (12) de la función raíz cuadrada,
ya que asignan correctamente las imágenes y preimágenes de la función dada en la tabla y
modelan la función inversa dada. El informante I18, tiene complicaciones al completar la tabla
evidenciando problemas con la continuidad, pues no responde para el valor de .
117
Figura 5.96: Respuesta de I19 a la pregunta 7.b.
El informante I20 evidencia los problemas con los números irracionales.
Figura 5.97: Respuesta de I20 a la pregunta 7.a.
Pregunta 7.c
En esta pregunta, solo I19 evidencia la construcción objeto de la función raíz cuadrada, pues
menciona el dominio y recorrido de dicha función.
Figura 5.98: Respuesta de I19 a la pregunta 7.c.
Los informantes I18 e I20 evidencian estar en vías de construir el objeto función raíz
cuadrada.
118
TABLA 5.4: RESUMEN CASO 4
Informantes
Cuestionario
CONSTRUCCIONES MENTALES EVIDENCIADAS POR LOS INFORMANTES
I18 I19 I20
P1.a.i Concepción
Proceso (2)
Concepción
Proceso (2)
Concepción
Proceso (2)
P1.a.ii Concepción
Proceso (3)
Concepción
Proceso (3)
Concepción
Proceso (3)
P1.b No muestra construcción Concepción
Proceso (3) No muestra construcción
P2.a Concepción
Objeto (4)
Concepción
Objeto (4)
Concepción
Objeto (4)
P2.b Concepción
Objeto (5)
Concepción
Objeto (5)
Concepción
Objeto (5)
P3 Concepción
Proceso (3)
Coordina procesos (3) y (8)
en Proceso (9)
Concepción
Proceso (3)
P4.a No muestra construcción En vías de construir
el proceso (8)
En vías de construir
el proceso (8)
P4.b No muestra construcción En vías de construir
el proceso (8)
En vías de construir
el proceso (8)
P5 En vías de construir
el Proceso (9)
Concepción
proceso (9)
Concepción
Proceso (9)
119
P6 Concepción
Objeto (10)
Concepción
Objeto (10)
Concepción
Objeto (10)
P7.a y b En vías de construir
Proceso (12) Concepción proceso (12) Concepción proceso (12)
P7.c En vías de construir
Objeto (13) Construcción Objeto (13)
En vías de construir
el Objeto (13)
120
5.1.5 Análisis de los datos y comentarios
En base a los resultados de los 4 Casos expuestos anteriormente, se pueden mencionar
cuestiones interesantes de ver en cuanto a las construcciones mentales evidenciadas por lo
informantes y los aspectos histórico epistemológicos (AHE).
En base al proceso (3), que es presentado en dos AHE, aritmético y algebraico, se
evidencia que informantes que lo construyen en el aspecto aritmético, no lo hacen en lo
algebraico.
Otro punto interesante de analizar es la construcción evidenciada por los informantes
en cada uno de los AHE por parte de los informantes, pero la falta de coordinar dichas
construcciones. La evidencia de esto se puede ver en las tablas resúmenes de los casos,
en donde algunos informantes evidenciaban el proceso raíz cuadrada como un trazo
(pregunta 4) pero en la pregunta 3 no lo utilizaban, pues recurrían a lo aritmético para
responder. (Ver Tabla 5.1: construcciones de I3)
Se observan las distintas formas de argumentar la elección de un texto para enseñar la
raíz cuadrada, en donde solo 3 informantes responden en base al objeto raíz cuadrada,
otros 2 informantes utilizan el proceso función para responder aludiendo a la
inyectividad de la función. Existen otros informantes que argumentan desde lo
geométrico, es decir, responden que solo tiene un resultado pero desde la noción
métrica de trazos. Otros informantes exponen que ambos (textos) son correctos, pero
todo depende del nivel educativo y lo que se va a enseñar, pues si se trata de medidas
se debe tomar como base el texto B, pues solo existe un resultado, pero en el caso
algebraico el texto A.
En cuanto a la noción funcional, se evidenciaron en los cuatro (4) casos de estudio
problemas para la construcción objeto, pues el problema radica en la noción de
continuidad y/o enunciar la existencia de un dominio y recorrido para la función.
La falta de coordinación entre lo geométrico y lo aritmético genera problemas para
construir la raíz cuadrada y desde ahí hacer una generalización a lo algebraico. Además
de notar lo importante que es el teorema de Euclides en la construcción de raíces y dar
una idea de la continuidad en ausencia del axioma del supremo.
121
Capítulo 6 : Conclusiones
6.1 Conclusiones en base a la DG
El análisis de los datos nos dice que las construcciones mentales expuestas en la
Descomposición Genética hipotética son viables, es decir, fueron evidenciadas por los
informantes en los cuatro casos estudiados. Pese a evidenciar la construcción en cada AHE,
los datos indican que existe una dificultad para coordinarlos y además que existen
construcciones que se evidencian en un aspecto23
, pero la misma construcción en otro aspecto
no se evidencia. Además se puede concluir que el aspecto predominante es el aritmético, pues
cada vez que los informantes tenían una dificultad al enfrentarse a una de las preguntas del
cuestionario, recurrían a casos particulares en lo numérico o a la asignación de medidas en el
caso de los trazos del aspecto geométrico. La construcción que presentó mayor dificultad fue
el proceso (9) que se genera al coordinar los procesos (3) y (8), es decir lo aritmético con lo
geométrico, junto también con el objeto raíz cuadrada. El problema de lo anterior, genera
dificultades para tratar el aspecto funcional, pues según nuestra DG, el objeto raíz cuadrada es
una construcción previa necesaria para llegar a construir el objeto función raíz cuadrada.
En cuanto a las construcciones mentales que se pueden agregar para refinar nuestra DG, se
puede mostrar necesario un proceso que indique la función inversa, con el fin de que el
estudiante tenga claras las restricciones para la construcción de una función inversa a otra.
Otro punto importante, es establecer una noción de continuidad o existencia de un número real
escrito en forma radical, por lo cual dar mayor realce al teorema de Euclides para construir
raíces y coordinarlo con la idea de continuidad parece ser necesario.
Finalmente, los datos evidencian la potencialidad de nuestra DG, y en esta se presentan los
cuatro AHE, y cada uno de estos aspectos muestra una colección de acciones, procesos y
objetos, e incluso otros esquemas implícitos, lo que da fuerza a considerar como un esquema
cada uno de estos AHE, pensando esto como esa estructura coherente a la que expone la teoría
APOE. En base a lo anterior, es necesario definir lo niveles operacionales de estos esquemas
en base a la triada piagetiana: Inter, Intra, Trans, de manera que se pueda establecer cuál es el
23 AHE: Aspecto Histórico Epistemológico
122
nivel de esquema que evidencia un estudiante al construir la raíz cuadrada (más adelante se
expondrá una propuesta).
La importancia de la noción de esquema en la raíz cuadrada, viene dada por el
desenvolvimiento del concepto en sus cuatro AHE y cómo interactúan para tematizar la
función raíz cuadrada, concepto que engloba todo el trabajo previo, es decir, si un estudiante
ha logrado tematizar la raíz cuadrada, quiere decir que comprende totalmente el objeto.
6.2 Conclusiones en base a la pregunta de investigación
Los datos recogidos y analizados nos entregan evidencias acerca de la construcción de la raíz
cuadrada por parte de los estudiantes tanto de enseñanza media como superior. La forma de
construir la raíz cuadrada se enfoca en un aspecto aritmético, dominando esos procesos de
elevar al cuadrado y la reversión de éste. Los informantes evidenciaron que a partir del
proceso (3) intentan generalizar a lo algebraico, sin establecer una coordinación con otro
proceso. Se pudo evidenciar que algunos coordinaban con las funciones, es decir, utilizaban
una construcción mental más avanzada24
. Esto nos da indicios, que los estudiantes
―construyen‖ muchas de las estructuras mentales, sin tener bien construidas estructuras previas
necesarias, lo que implicaría dificultades para lograr la encapsulación en el objeto. En el caso
de la raíz cuadrada (DG), muchas construcciones mentales se pueden analizar desde dos AHE,
en este caso se vieron resultados contradictorios, pues pocos informantes evidenciaban la
misma construcción mental en distintos aspectos. Esto nos lleva a pensar en la noción de
esquema, y el analizar a que esquema recurre un estudiante al enfrentarse a una situación, y
cómo algunos, por ejemplo, pese a tener dominio de lo geométrico y lo aritmético, no lograban
una asimilación (dialéctica) entre ambos. Esto nos llevó a dar una simplificación a nuestra DG
y como propuesta de refinación en base a la noción de esquema de la teoría APOE, basada en
las ideas de Piaget y García (1982), lo expuesto por Mena (2011) y el trabajo de Parraguez y
Oktaç (2012), lo que se muestra en el punto siguiente.
6.3 Una propuesta en base a la noción de esquema
Una forma de modelar el camino que utilizan los estudiantes para construir la raíz cuadrada se
puede expresar en base a la designación de los esquemas en base a los 4 AHE. La asimilación
24 Esto es lo que se quiere construir.
123
de lo aritmético con lo geométrico y viceversa permitiría la generalización que denotaría el
aspecto algebraico. Estas poderosas estructuras permitirían la tematización de la función Raíz
cuadrada:
Figura 6.1: Modelo en base a Esquemas de la Raíz Cuadrada.
Este modelo puede explicar cómo un individuo construye desde lo aritmético a lo algebraico,
sin tomar en consideración lo geométrico (que en nuestro caso utilizamos para establecer la
continuidad en ausencia del axioma del supremo), lo cual impediría la generalización en lo
algebraico y consigo la tematización en la función.
6.4 Desafíos y continuidad de la investigación
El ciclo de investigación de la teoría APOE, se puede repetir en reiteradas ocasiones,
permitiendo la refinación de la DG. Esto lleva a poder cada vez especificar de mejor manera
las construcciones y mecanismos mentales necesarios para construir la raíz cuadrada. Este
ciclo puede ser llevado a cabo utilizando la componente del diseño e implementación de la
Asimilación
Tematización
Generalización
R. C. Aritmético (Esquema)
R. C. Geométrico (Esquema)
R.C. Algebraico (Esquema)
Función R.C. (Esquema)
124
enseñanza, es decir por medio del ciclo ACE, diseñar actividades de aula que permitan
evidenciar de mejor manera la viabilidad de la DG. Además se puede recurrir a entrevistas, en
las que se puede ir más allá de lo escrito e interpretar desde lo que el estudiante dice que
pensó. En cuanto al diseño de actividades, esta investigación entrega evidencias de la
necesidad de actividades que apunten a la asimilación de lo aritmético con lo geométrico, es
decir, tareas que permitan a los estudiantes coordinar lo geométrico con lo aritmético.
Un punto importante a considerar, es cómo se puede tratar el tema de la continuidad en las
funciones, esto viene de pensar en cómo se asegura a un estudiante que existe y que
corresponde a un punto , en la función raíz cuadrada. Además mencionar que esto se
puede dar en otras funciones, como el logaritmo, la exponencial, trigonométricas, entre otras.
En relación al modelo expuesto en base a la noción de esquema, desde ahí es necesario
trabajar en la definición de los niveles operacionales inter, intra, trans. La literatura existente
en cuanto a esto es escasa, por lo que el trabajo será arduo y un poco a ciegas. Los trabajos
realizados por Mena (2011), Parraguez y Oktaç (2012) permitirán seguir con este desafío.
125
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130
Anexo 1: Cuestionario
Pontificia Universidad Católica de Valparaíso
Facultad de Ciencias - Instituto de Matemática
Magister en Didáctica de la Matemática
CUESTIONARIO: Construcción Cognitiva de la Raíz Cuadrada
Nombre: _________________________________ e-mail: ______________________
Instrucciones: El presente cuestionario tiene relación con la Raíz Cuadrada, concepto que se
ha trabajado durante tus estudios en el área de matemática. Responde en forma clara,
explicando todas tus respuestas. Idealmente usa lápiz pasta para responder, si usas lápiz
grafito por favor marca bien. No usar calculadora.
1. Sea 0,a considere la relación en la cual al número a se le asocia su cuadrado
(2 2 ó a a aRa ):
a) Considerando lo anterior:
i. Dado que 2 16a ¿Qué número sería a?
ii. Si 2 29a , ¿qué número sería a ?
b) ¿Cómo definiría usted la relación para 0, en dondea
2 2al cuadrado se le asocia su base ( ó )a a a Ra ? Explique
131
2. Responda las siguientes preguntas. Exprese todos sus cálculos
a) Sea un triángulo ABC rectángulo en C. Si 8 cmAB , 5 cm,BC calcule la medida del
lado que falta.
b) En la figura, triángulo ABC inscrito en la circunferencia de centro O, AB diámetro y
CD AB . Encuentre la medida de CD para los siguientes casos:
i) 11AD y 3BD
ii) 1BD y 6AO
132
3. Ubica en la recta Real los siguientes números: 9; 3; 2; 18 , Explica tu procedimiento.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 -3 -2 -
1
-6 -5 -4
133
4. Dado un segmento (trazo) AB :
a. Si supieras que la medida de dicho trazo es 11 unidades, ¿cómo construirías el trazó que
corresponda a la raíz cuadrada de AB ? Explica detalladamente.
b. Es posible construir la raíz cuadrada del trazo CD . Justifica.
C D
134
5. Analiza la veracidad de las siguientes afirmaciones, en cada caso justifica de dos maneras
distintas tu respuesta.
a. Con 0 y 0a b , a b a b
b. ¿Es correcto afirmar que dados ,a b entonces 22
a b a b
135
6. Un libro de texto A afirma que " 9 3" , y el texto B afirma que " 9 3" . Si tuvieras
que enseñar a un amigo, compañero y/o algún otro estudiante, ¿Cuál de los dos libros de texto
sería tu apoyo? Argumenta tu elección.
136
7. El área A de un cuadrado de lado x está modelada por la función 2( )A x x , en base a esto:
a. Completa la tabla siguiente:
x 1
2 1, 2 2
A x 1 2 3
9
4
b. ¿Qué función modela la situación: ―el lado l de un cuadrado de área x …‖? Grafícala y en
base a esto explica las siguiente afirmaciones
i) Existe un lado para toda área
ii) Existe un área para todo lado
137
Anexo 2: Páginas de textos analizados
Página 14: Texto 4
138
Página 96: Texto 1
139
Página 163: Texto 2
140
Páginas 150 y 151: Texto 4
141
142
Página 17: Texto 5
143
Anexo 3: Participación en eventos científicos
144
145
146