Pontificia Universidad Católica de Valparaíso Facultad de Ciencias

Instituto de Matemáticas

UN MODELO PARA LA COMPRENSIÓN DE LA

DERIVADA EN SU PERSPECTIVA LOCAL: UN

ESTUDIO DE CASOS EN EL CONTEXTO

UNIVERSITARIO

Tesis para optar al Grado de

Doctor en Didáctica de la Matemática

Irma Ercira Pinto Rojas

Tesis dirigida por

Dra. Marcela Parraguez González Valparaíso – Chile

2019

ii

UN MODELO PARA LA COMPRENSIÓN DE LA DERIVADA EN SU PERSPECTIVA LOCAL: UN ESTUDIO DE CASOS

EN EL CONTEXTO UNIVERSITARIO de

IRMA ERCIRA PINTO ROJAS

TESIS DOCTORAL presentada a la

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE VALPARAÍSO Defendida públicamente el día 12 de agosto del año 2019 ante la Comisión de Tesis integrada

por:

- Dr. José Carrillo Yáñez, Universidad de Huelva, Profesor externo.

- Dra. Nielka Rojas González, Universidad Católica del Norte, Profesor externo.

- Dra. Astrid Morales Soto, Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, Profesor interno.

- Dra. Diana Zakaryan, Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, Profesor interno.

- Dra. Marcela Parraguez, Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, Directora de tesis.

Año 2019

CHILE

iii

Esta investigación contó con el financiamiento de la Comisión Nacional de Investigación Ciencia y Tecnología (CONICYT), del gobierno de Chile. Adjudicación de Beca Doctorado Nacional/ Folio: 21161074.

Asimismo, la investigadora ha contado con el patrocinio para perfeccionamiento docente, otorgado por la Vicerrectoría de Investigación y Desarrollo Tecnológico de la Universidad Católica del Norte, Chile.

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DDedicada a Antonia

Mis nietos Maximiliano y Martín Mi nieta Lorenza

A mis padres

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AAgradecimientos Tengo mucho que agradecer a cada una de las personas que de una u otra forma han estado presente durante estos intensos años de estudio, todos han contribuido a que se cumpla un objetivo muy importante en mi vida personal y profesional, a todos muchas gracias. Quiero, y tengo mucho que agradecer a quien ha guiado mi crecimiento académico, mi directora de tesis, Marcela Parraguez, gracias Marce, por tu ejemplo, por tu paciencia, compromiso, guía, apoyo, aliento, exigencia, han sido precisos en todas las etapas de este arduo pero magnífico trabajo. Gracias Marce, por cada corrección, por cada aporte, por tu amistad, gracias por ayudarme a creer en mí. A cada uno de los profesores del IMA por su generosidad académica, a sus directivos y colaboradores. Al Dr. José Carrillo Yáñez de la Universidad de Huelva mi gratitud especial por su apoyo académico y personal. Por invitarme a participar en el grupo de investigadores de tan buen nivel en el SIDM, muchas gracias Pepe, por darme la oportunidad de seguir participando con ustedes. A mis colegas del Departamento de Matemáticas de la Universidad Católica del Norte que han participado en el desarrollo de esta tesis. También a los estudiantes que participaron en este trabajo, muchas gracias. Finalmente, agradezco a mi familia, mi esposo Francisco, mi hermana Sylvia, a mi hermano Ramón y su esposa Mónica, a mi hija Camila y su esposo Víctor, a todos muchas gracias.

GGracias

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Listado de siglas .......................................................................................................... 5

Resumen ..................................................................................................................... 6

Abstract ....................................................................................................................... 7

Introducción ................................................................................................................. 9

CAPÍTULO 1. ............................................................................................................ 12

PROBLEMÁTICA DE INVESTIGACIÓN Y ANTECEDENTES .................................. 12

1.1 Motivación y contexto de investigación ............................................................ 13

1.1.1 Contexto de la investigación ..................................................................... 14

1.2 Antecedentes respecto del programa y libros de texto .................................... 17

1.2.1 La derivada en el programa de estudio y en libros de texto ...................... 17

1.3 Antecedentes respecto del aprendizaje de la derivada ................................... 21

1.3.1 Sobre las dificultades en el aprendizaje del concepto de límite ................ 21

1.3.2 Sobre las dificultades en las distintas interpretaciones de la derivada ...... 24

1.3.3 Sobre las dificultades de la derivada en un punto ..................................... 25

1.4 Antecedentes respecto de la enseñanza de la derivada ................................. 27

1.5 Comprensión en Didáctica de la Matemática ................................................... 29

1.6 Una aproximación al problema de investigación .............................................. 33

1.7 Síntesis representativa del capítulo ................................................................. 37

CAPÍTULO 2. ............................................................................................................ 38

MARCO TEÓRICO Y PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN ........................................ 38

2.1 Los Modos de Pensamiento de Sierpinska (2000) .......................................... 39

2.1.1 Descripción de los Modos de Pensar de Sierpinska para el Álgebra Lineal en relación con la DPL ....................................................................................... 39

2.2 Extensión de los modos de pensamiento de Sierpinska al dominio de Cálculo Diferencial .............................................................................................................. 41

2.3 Análisis epistemológico de la derivada: dos concepciones que históricamente determinan su desarrollo ....................................................................................... 41

2.3.1 Génesis del desarrollo de la derivada en la matemática griega ................ 43

2.3.2 Primera etapa: Cálculo de tangentes, máximos y mínimos ....................... 43

2.3.3 Segunda etapa: Tangentes, áreas y razones de cambio .......................... 48

2.3.4 Tercera Etapa: Series de Taylor y las ecuaciones diferenciales ............... 50

2

2.3.5 Cuarta Etapa: Definición y rigor de la derivada ......................................... 51

2.3.6 Interpretación de los antecedentes ........................................................... 55

2.4 Obstáculos epistemológicos para la comprensión de DPL .............................. 57

2.5 Modos de pensar la derivada desde su perspectiva local (DPL) ..................... 58

2.5.1 Modo Sintético-Geométrico-Convergente de la DPL (SGC-DPL) ............. 59

2.5.2 Modo Analítico-Operacional de la DPL (AO-DPL) ..................................... 59

2.5.3 Modo Analítico-Estructural de la DPL (AE-DPL) ....................................... 60

2.5.4 Presentación de los modos de comprensión para la derivada desde una perspectiva local ................................................................................................ 61

2.6 Conocimiento especializado del profesor que aborda la DPL .......................... 63

2.6.1 Fundamentos del conocimiento especializado del profesor de matemáticas ........................................................................................................................... 63

2.6.2 Componentes del conocimiento especializado del profesor de matemáticas ........................................................................................................................... 65

2.7 Indicadores de conocimiento especializado (MTSK-DPL) ............................... 67

2.7.1 Conocimiento Matemático (MK-DPL) ........................................................ 68

2.7.2 Conocimiento Didáctico del Contenido (PCK-DPL) ................................... 72

2.8 Problema de investigación ............................................................................... 77

2.8.1 Objetivos generales (OGi): ........................................................................ 79

2.8.2 Objetivos específicos (OEi) ....................................................................... 80

2.9 Relación entre los Modos de Pensar la DPL y el Conocimiento Especializado del Profesor de Matemáticas (MTSK) .................................................................... 80

2.10 Síntesis representativa del Capítulo .............................................................. 82

CAPÍTULO 3. ............................................................................................................ 83

MARCO METODOLÓGICO ...................................................................................... 83

3.1 Perspectiva de investigación ........................................................................... 84

3.2 Validación teórica del modelo .......................................................................... 87

3.2.1 Levantamiento del modelo de comprensión para DPL .............................. 87

3.3 Evaluación del modelo ..................................................................................... 88

3.3.1 Perspectiva metodológica ......................................................................... 88

3.3.2 Estudio de casos como diseño de investigación ....................................... 89

3.4 Preguntas y objetivo de investigación .............................................................. 90

3.5 Método ............................................................................................................. 91

3.5.1 Procedimiento ........................................................................................... 91

3

Momento 1 ................................................................................................................ 91

3.6 Caracterización del caso y contexto ................................................................ 91

3.6.1 Implementación y aplicación del cuestionario ........................................... 92

3.6.2 Técnica e instrumento de recogida de la información ............................... 92

3.6.3 Indicadores de conocimiento para análisis de respuesta. ......................... 93

3.6.4 Descripción de las respuestas del Cuestionario para la DPL .................... 94

3.6.5 Organización y análisis de la información ................................................. 98

Momento 2 ................................................................................................................ 99

3.7 Caracterización de casos y contexto ............................................................... 99

3.7.1 Implementación y fundamento de la entrevista ....................................... 100

3.7.2 Organización de la información ............................................................... 103

3.7.3 Fundamentos para el análisis de documentos (entrevistas) ................... 104

3.7.4 Unidades de información ......................................................................... 106

3.7.5 Categorías y códigos ............................................................................... 107

3.8 Análisis de documentos y contaste con hipótesis: H1, H2 y H3. ................... 108

3.8.1 Análisis con MTSK –DPL para cada profesor participante ...................... 108

3.8.2 Relación entre MTSK y el modelo de comprensión profunda para la DPL ......................................................................................................................... 110

3.8.3 Relación entre MTSK-DPL con el Cuestionario del Momento 1 .............. 111

3.9 Síntesis representativa del capítulo ............................................................... 113

CAPÍTULO 4. .......................................................................................................... 114

ANÁLISIS DE DATOS Y RESULTADOS ................................................................ 114

4.1 Análisis de datos: Primer momento Fase 2 ................................................... 116

4.1.1 Análisis de datos en relación a los objetivos (OE1, OE3) ......................... 116

4.2 Análisis de datos: Segundo momento Fase 2 ................................................ 120

4.2.1 Análisis del conocimiento especializado del profesor P1 (MTSK-DPL) ... 122

4.2.2 Análisis del conocimiento especializado del profesor P2 (MTSK-DPL) ... 140

4.2.3 Análisis del conocimiento especializado del profesor P3 (MTSK-DPL) ... 152

4.3 Análisis conjunto de MTSK-DPL y el modelo de comprensión profunda de la DPL ...................................................................................................................... 162

4.4 Análisis del Cuestionario en contraste con el dominio MK-DPL .................... 167

CAPÍTULO 5. .......................................................................................................... 172

DISCUSIÓN DE RESULTADOS Y CONCLUSIONES ............................................ 172

4

5.1 Breve resumen del problema de investigación .............................................. 173

5.2 Discusión sobre la validación teórica del Modelo de Comprensión Profunda de la DPL y sus implicaciones (Fase 1) .................................................................... 174

5.2.1 El rol de los obstáculos epistemológicos ................................................. 174

5.2.2 El rol del pensamiento práctico y teórico ................................................. 175

5.2.3 Implicaciones del modelo para el aprendizaje ......................................... 177

5.2.4 Implicaciones del modelo para la enseñanza .......................................... 177

5.3 Discusión sobre la evaluación del Modelo de Comprensión Profunda de la DPL y sus implicaciones (Fase 2) ................................................................................ 178

5.3.1 Respecto del objetivo OE1 y OE3 (Momento 1) ....................................... 179

5.3.2 Desde el punto de vista de los Modos de pensamiento para la DPL ...... 180

5.3.3 Desde el punto de vista de MTSK-DPL ................................................... 183

5.4 Discusión respecto de los objetivos OE2 y OE4 ............................................. 184

5.4.1 Respecto del objetivo OE2 ...................................................................... 184

5.4.2 Respecto del objetivo OE4 ...................................................................... 187

5.4.3 Discusión teórica del MTSK-DPL y el Modelo de Comprensión Profunda de la DPL .............................................................................................................. 187

5.5 Limitaciones del estudio y perspectivas para el avance de la investigación .. 191

5.5.1 Limitaciones del estudio .......................................................................... 191

5.5.2 Proyección de la investigación ................................................................ 192

5.5.3 Contribución a la comunidad de investigación ........................................ 195

REFERENCIAS ....................................................................................................... 197

ANEXOS ................................................................................................................. 207

Anexo 1. Matriz de datos ......................................................................................... 207

Anexo 2. Programa de la asignatura ....................................................................... 209

Anexo 3. Tabla G: Sistema de categorías y subcategorías del MTSK .................... 211

Anexo 4. Transcripción de entrevistas .................................................................... 212

Profesor (P2) ........................................................................................................... 216

Profesor (P3) ........................................................................................................... 219

5

Listado de siglas MTSK – Conocimiento especializado del profesor de matemáticas

(Mathematics Teacher’s Specialized Knowledge)

MK – Conocimiento del contenido matemático

PCK – Conocimiento didáctico del contenido KoT – Conocimiento de los temas KSM – Conocimiento de la estructura de la matemática KPM – Conocimiento de la práctica matemática KMT – Conocimiento de la enseñanza de la matemática KFLM – Conocimiento de las características del aprendizaje de

las matemáticas

KMLS – Conocimiento de los estándares de aprendizaje de las matemáticas

SGC-DPL– Sintético Geométrico Convergente de la DPL AO-DPL – Analítico Operacional de la DPL AE-DPL – Analítico Estructural de la DPL

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Resumen Esta tesis doctoral presenta el proceso de investigación que permitió la validación y evaluación de un modelo para la comprensión profunda de la derivada desde su perspectiva local, sustentado en una extensión de los Modos de Pensamiento de Sierpinska para el Álgebra Lineal hacia el dominio del Cálculo Diferencial. Con base en un estudio histórico-epistemológico y didáctico de la derivada, se identificaron tres formas de pensar su perspectiva local descritas como los modos Sintético-Geométrico-Convergente (SGC-DPL), Analítico-Operacional (AO-DPL) y Analítico-Estructural (AE-DPL), componentes que, junto a sus articuladores, conforman un modelo de comprensión profunda para la derivada desde su perspectiva local. Para lograr el objetivo de validar y evaluar el modelo propuesto, el proceso realizado se dividió en dos fases complementarias. La Fase 1 comprendió la validación teórica de los componentes y presentación de articuladores hipotéticos para el modelo, resultado de la descripción de obstáculos epistemológicos de la derivada en su perspectiva local, con una discusión teórica de los Modos de Pensamiento de Sierpinska. La Fase 2 comprendió la evaluación del modelo, para lo cual se necesitó operacionalizar los articuladores hipotéticos debiendo ser explícitos en el conocimiento de estudiantes y profesores universitarios, estos, dispuestos en cinco casos de estudio. En esta Fase 2, se distinguieron dos momentos, en el Momento 1 se aplicó un cuestionario de cuatro preguntas a dos grupos de estudiantes de un curso de Cálculo I –etiquetados como Casos 1 y 2–. Al contrastar las respuestas de estos informantes con los articuladores hipotéticos no hubo evidencias explícitas de los articuladores, condicionando las decisiones metodológicas asumidas en el Momento 2. En relación con este último, y con la intención de indagar en los articuladores, se aplicó una entrevista semi estructurada a tres profesores universitarios –etiquetados como Casos 3, 4 y 5–. Para analizar los documentos obtenidos de la aplicación de los instrumentos a profesores y estudiantes, surgió la necesidad de profundizar en el marco teórico Mathematics Teacher’s Specialized Knowledge (MTSK) para que atendiera el conocimiento especializado de los profesores a través de sus dominios de conocimiento matemático (MK) y didáctico (PCK), el cual permitió caracterizar los subdominios y categorías internas del conocimiento de la derivada desde su perspectiva local (MTSK-DPL), para describir y comprender cómo los estudiantes y profesores interactúan con el modelo propuesto. Específicamente, Momento 1. Datos obtenidos, analizados desde el punto de vista de este modelo se contrastan con MK-DPL, Momento 2. Datos analizados con los indicadores de MTSK-DPL de los profesores. Los resultados obtenidos permitieron constatar que los elementos articuladores fueron explícitos en el conocimiento de los profesores y se identificaron conocimientos matemáticos que deben ser fortalecidos en los estudiantes para el logro de la comprensión profunda de la DPL. También, se identificaron relaciones entre los subdominios de conocimiento, mostrando el carácter integrado del conocimiento especializado en los profesores, los cuales podrían apoyar aquellos conocimientos requeridos por los docentes interesados en la enseñanza de esta temática.

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La conclusión principal de la investigación consiste en que el modelo de comprensión profunda de la DPL es una herramienta que favorece la reflexión sobre el significado del concepto, ampliando el pensamiento puramente algebraico de este tópico que va en beneficio de la superación del límite y tangencia como obstáculos epistemológicos para la comprensión de la derivada, de manera que la persistencia de estos obstáculos disminuya la fuerza con la cual se han constituido en el conocimiento de los estudiantes.

Palabras clave: Derivada, modos de pensar, conocimiento especializado, profesor de matemáticas, estudio de casos.

Abstract This doctoral thesis presents the research process that allowed the validation of a model for a deep understanding of the derivative from its local perspective, supported by an extension of the Sierpinska Thinking Modes for Linear Algebra, towards the domain of Differential Calculus. Based on a historical-epistemological and didactic study of the derivative, we identified three ways of thinking of the derivative from its local perspective, described as the Synthetic-Geometric-Convergent Modes (SGC-DPL), Analytic-Operational (AO-DPL), and Analytic-Structural (AE-DPL). These components, together with its articulators, form a model for the deep understanding of the derivative form its local perspective. In order to validate the proposed model, the process was divided in two complementary phases. Phase 1 included the theoretical validation of the components and the presentation of hypothetical articulators for the model, resulting from the description of epistemological obstacles of the derivative in its local perspective, with a theoretical discussion of the Sierpinska Thinking Modes. Phase 2 included the evaluation of the model, for which we had to operationalize the hypothetical articulators, that must be explicit in the knowledge of university students and faculty, displayed in five case studies. In this second phase we identified two moments. In moment 1, we applied a questionnaire with 4 questions to two groups of students of a Calculus I class – labeled as Cases 1 and 2 – and when comparing the answers of these informants with the hypothetical articulators, there was no evidence of explicit articulators, which conditioned the methodological decisions made in Moment 2. In relation to the aforementioned, and with the purpose of inquiring on the articulators, we applied a semi-structured interview to three university professors – labeled as Cases 3, 4 and 5 –. In order to analyze the documents obtained from the application of instruments to faculty and students, the need emerged to supplement the research with the Mathematics Teacher’s Specialized Knowledge (MTSK) theoretical framework, to attend to the specialized knowledge of teachers, through their domain of mathematical knowledge (MK) and didactic knowledge (PCK). This allowed to characterize subdomains and internal categories of knowledge of the derivative from its local perspective (MTSK-DPL), to describe and understand how students and faculty interact with the proposed model. In particular, the data obtained in Moment 1, were analyzed

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from the perspective of the proposed model in contrast with MK-DPL and in Moment 2, data were analyzed with the MTSK-DPL indicators. The obtained results allowed us to verify that the articulating elements were explicit in faculty knowledge and we were able to identify mathematical knowledge that must be strengthened in students in order to achieve a deep understanding of the derivative from its local perspective. We also identified relationships between the knowledge subdomains, which showed the integrated character of specialized knowledge in faculty, that could support the knowledge that is required in teachers that are interested in the teaching of this subject. The main conclusion is that the model for a deep understanding of the derivative from its local perspective is a tool that favors reflection about the meaning of the concept, expanding the purely algebraic thinking about this topic. This model benefits the overcoming of limit and tangency as epistemological obstacles for the local perspective of the derivative, in a way that the persistence of these, diminishes the power with which they have established in students’ knowledge. Keywords: Derivative, thinking modes, mathematics teacher, specialized knowledge, case of study.

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Introducción La investigación que presenta este escrito, es una aproximación desde la Didáctica de la Matemática al problema de la comprensión de la derivada en estudiantes y profesores, la cual se desarrolla en el contexto de enseñanza y aprendizaje de la derivada en un curso de Cálculo I en una universidad del norte de Chile. La derivada constituye una dimensión matemática que juega un rol fundamental para los estudiantes que inician el estudio del Cálculo Diferencial, presente en la mayoría de los planes de estudios de carreras universitarias vinculadas a las ciencias y a las ingenierías, representando un hito de transición entre la matemática elemental y la matemática avanzada. No obstante, el primer encuentro de los estudiantes con esta noción matemática los enfrenta a un campo de múltiples complejidades para la apropiación del concepto (Fuentealba, Badillo, Sánchez-Matamoros y Cárcamo, 2018). Las dificultades que enfrentan los estudiantes son un argumento por el cual la noción de derivada ha sido un objeto matemático de especial atención desde distintas aproximaciones teóricas, en particular, en los temas relacionados con aspectos cognitivos y didácticos. Un antecedente, de especial interés para esta investigación son las dificultades que tienen los estudiantes para comprender la diferencia entre la derivada en un punto y la función derivada (Sánchez-Matamoros, García y Llinares, 2008). Con base en lo inmediatamente anterior, se han identificado otras dificultades para la comprensión de la derivada, que se relacionan con su uso algorítmico y orientación a prácticas algebraicas por parte de los estudiantes, lo cual dificulta su comprensión conceptual, generando obstáculos para enfrentar problemas que están fuera de este contexto (Artigue, 1995). Por otra parte, las múltiples interpretaciones de la derivada a partir de las representaciones –gráfica, simbólica, analítica, entre otras–presentan dificultades para los estudiantes. Si bien, ellos muestran conocer algunas conexiones entre ellas, generalmente, no son observadas explícitamente en sus argumentos, siendo fundamentales para una comprensión integral del concepto (Zandieh, 2000). Investigaciones recientes evidencian que la comprensión de la derivada es problemática para los estudiantes (Gutiérrez, Buitrago & Ariza, 2017; Jaafar y Lin, 2017; Kinley, 2016; Tallman, Carlson, Bressoud y Pearson, 2016), sin embargo, la comprensión de la DPL sigue siendo un problema abierto de indagación desde la Didáctica de la Matemática. Con base en estos antecedentes, esta investigación asume el objetivo de caracterizar las diferentes interpretaciones de la derivada desde una perspectiva local (DPL) e interpretar las relaciones entre ellas, entendiendo la DPL a partir de lo que hace la función en un punto y su vecindad. En este sentido, es relevante identificar y describir los elementos matemáticos en esta relación, dado que en su entendimiento los estudiantes adquieren las habilidades y competencias para plantear y resolver problemas de la matemática que no están precisamente en un contexto puramente algebraico. Lograr este objetivo significa concebir la DPL como una organización conceptual que relaciona sus distintas interpretaciones. En razón de lo anterior se propone un modelo de comprensión profunda de la DPL conformado por tres formas de ver y entender este objeto matemático, a través, de

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una extensión de los Modos de Pensar el Álgebra Lineal de Sierpinska (2000) hacia el Cálculo Diferencial, fundamentada en un análisis histórico y epistemológico de la derivada en el cual se identifica el concepto de tangencia y límite como dos obstáculos epistemológicos para la comprensión de la derivada. Para la superación de estos obstáculos, se definen elementos hipotéticos –etiquetados como articuladores de los modos de comprender la DPL–, precisamente, estos articuladores son los elementos matemáticos que permiten explicar la relación entre estas tres formas de interpretar la DPL y dar el estatus de modelo de comprensión a estas tres formas de interpretar este concepto en estudio. Con la validación que se ha realizado de este modelo, se espera brindar, desde la investigación en Didáctica de la Matemática, un aporte teórico que consiste en extender un marco teórico a otro dominio matemático, que integra tres interpretaciones de la DPL, la geométrica (como la pendiente de la recta tangente) con otras dos analíticas (una a través del límite y la otra como la recta tangente que mejor aproxima a la curva). También se espera que este modelo se utilice en un contexto universitario, como una herramienta viable en los procesos de comprender la derivada en su perspectiva local, con la finalidad de propiciar instancias de reflexión en la comunidad interesada en estos temas en pro de generar secuencias didácticas para enseñar y aprender la DPL. El desarrollo de esta tesis está estructurado en cinco capítulos, a través de los cuales se presentan evidencias de esta investigación. En el Capítulo 1 se presentan los hechos que motivaron el interés de investigar aspectos cognitivos relacionados con la comprensión de la derivada en estudiantes universitarios de primer año. Para delimitar el contexto de la investigación se considera una revisión de un programa de estudio para un curso de Cálculo Diferencial, una revisión de libros de texto de un curso de Cálculo I y una revisión a las investigaciones en Didáctica de la Matemática, específicamente, las que se refieren a problemáticas de la comprensión a las que se enfrentan estudiantes y profesores en el aprender y el enseñar la derivada. Las investigaciones consultadas fueron divididas en dos grupos con la finalidad de obtener evidencias de las dificultades de los estudiantes con la comprensión de la derivada: 1º) Las que tratan aspectos cognitivos para el caso del aprendizaje de la derivada; 2º) Las que abordan conocimientos didácticos y matemáticos de los profesores en relación a la enseñanza de la derivada. Este primer Capítulo finaliza con una aproximación al problema de investigación. En el Capítulo 2 se describen los referentes teóricos que dan sustento a las decisiones teórico-metodológicas en todo el desarrollo de esta investigación para analizar, identificar, describir y evaluar un modelo de comprensión profunda de la DPL. La base teórica para la validación del modelo que se propone se ha sustentado desde el marco teórico desarrollado en Sierpinska (2000), dado que las bases que respaldan los Modos de Pensamiento que esta autora desarrolla para la comprensión del Álgebra Lineal, son compatibles con la expansión de dicha teoría a otro dominio de la matemática. Desde esta perspectiva, con base en un estudio histórico-epistemológico y didáctico de la derivada, se presentan antecedentes que motivaron el interés científico para analizar e interpretar los aspectos cognitivos involucrados en la compresión profunda de la DPL. Este capítulo propone como resultando, el modelo

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hipotético de los –Modos de Pensar la DPL–. Declarados los planteamientos teóricos de este estudio, se hace indispensable complementar la investigación con el marco teórico, MTSK, para alcanzar el objetivo que pretende esta investigación. El capítulo finaliza con el planteamiento de la pregunta de investigación y los objetivos de la misma. En el Capítulo 3 se explicitan los criterios de selección de los estudiantes y profesores informantes, se presentan los instrumentos para la toma de datos y el análisis de la información, considerando el desarrollo del estudio en dos fases, Fase 1 comprende la justificación de cómo esta investigación identifica en el análisis histórico y epistemológico de la derivada los obstáculos epistemológicos de su perspectiva local, con una discusión teórica de los Modos de Pensar de Sierpinska desde donde son explorados y descritos los elementos teóricos del pensamiento práctico y teórico que permiten la propuesta del modelo de comprensión, Fase 2 considera las justificaciones de un diseño metodológico, para evaluar el modelo de comprensión con profesores y estudiantes dispuestos a pensar en el modelo propuesto. El Capítulo 4 presenta el análisis detallado de los datos recogidos en la Fase 2 de la investigación, en un Momento 1 con los Casos 1 y 2 a los que se aplica un cuestionario, y en un Momento 2 con los Casos 3, 4 y 5 a los cuales se les aplican entrevistas semiestructuradas en relación a la comprensión de la DPL. Se utilizan distintas técnicas e instrumentos que responden a los objetivos generales y específicos, permitiendo evaluar la operacionalización del modelo propuesto. Inicialmente se presenta un resumen general de los resultados más relevantes que se han obtenido durante el desarrollo de esta investigación, en particular aquellos relacionados con los objetivos específicos OE1, OE2, OE3, OE4, como vías para responder a la pregunta de investigación. El Capítulo 5 presenta el alcance de los objetivos. El aporte central desde el ámbito de la Didáctica de la Matemática lo constituye el modelo con las tres formas de pensar la DPL junto con sus elementos articuladores, validado teóricamente y evaluado de modo que puede permitir los desplazamientos cognitivos de los estudiantes y conformar una herramienta que podría apoyar a los profesores que enseñan y están interesados en este tópico. Se presentan las limitaciones del estudio, así también, reflexiones sobre la proyección de ésta. También se incluyen los productos que desprenden de esta investigación. Por último, se incluyen los anexos, en los cuales el lector podrá ubicar: los productos relacionados con los resultados de esta investigación, los programas de estudios de Cálculo I, la tabla de categorías del MTSK, cuestionario aplicado a los Casos 1 y 2 y las transcripciones de las entrevistas.

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CAPÍTULO 1.

PROBLEMÁTICA DE INVESTIGACIÓN Y ANTECEDENTES Este capítulo presenta los hechos que determinan el interés de investigar aspectos cognitivos relacionados con el entendimiento de la derivada en estudiantes universitarios de primer año. La motivación para indagar estos aspectos, nace de la búsqueda de argumentos para explicar datos estadísticos que muestran un alto porcentaje de estudiantes reprobados en los cursos de Cálculo I (en apartado 1.1) ¿Cómo favorecer los rendimientos de los estudiantes de un curso de Cálculo I? Esta investigación, comenzó con esta pregunta y se ha puesto el interés en la derivada, puesto que es uno de los tópicos más importantes en este curso. Para justificar las dificultades de los estudiantes con la derivada, se aplica una medición inicial, cuyos resultados aportaron los argumentos para indagar su comprensión en los estudiantes, y así orientar de mejor manera la ruta de investigación y por consiguiente delinear el propósito de investigación que se quiere alcanzar. Esto es favorecer una mejor comprensión de la derivada en estudiantes de primer año de universidad, que les permita completar con éxito un curso de Cálculo I. Para establecer el contexto de la investigación, se considera una revisión del programa y libros de texto del curso de Cálculo I y una indagación en las investigaciones en el área de la Didáctica de la Matemática que abordan problemáticas a las que se enfrentan tanto profesores como estudiantes en la enseñanza y aprendizaje de la derivada. En este sentido, las investigaciones se han dividido en dos grupos: 1) Las interesadas en la comprensión desde aspectos cognitivos para el caso del aprendizaje de la derivada; 2) Las interesadas en los conocimientos didácticos y matemáticos de los profesores en relación a la enseñanza de la derivada. Finalmente, en el contexto del problema de investigación, se realiza una reflexión sobre la comprensión en matemáticas, desde la perspectiva de la Didáctica de la Matemática, para sustentar las bases y reinterpretar la pregunta de investigación en el siguiente capítulo, exponiendo elementos del marco teórico elegido, brindando los conocimientos necesarios para el desarrollo de esta investigación.

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1.1 Motivación y contexto de investigación La motivación para emprender esta tesis doctoral está matizada por varios factores, entre ellos, la preocupación por realizar aportaciones y mejoras para que los estudiantes de un curso de Cálculo Diferencial entiendan los conceptos más relevantes de sus tópicos, con el objetivo de elevar los niveles de aprobación de los estudiantes. Inicialmente, se dirige la atención a los resultados de un estudio cuantitativo que mide tasas de aprobación y reprobación de un curso de Cálculo I en el contexto de los proyectos, MECESUP-UCN0605 (2010); FIAC2-UCN1111 (2012)1, en una universidad del norte de Chile. Como muestra el gráfico de la Figura 1.12, existen evidencias de un gran número de estudiantes que no logran buenos resultados, presentando altas tasas de reprobación de la asignatura de Cálculo I. La lectura de estos datos puede tener múltiples interpretaciones y deberse a diferentes causalidades, sin embargo, y considerando que el tópico de la derivada conforma casi el 50% del programa del curso de Cálculo I se ha considerado indagar en aspectos cognitivos del aprendizaje, de este tópico, en estudiantes de primer año de esta universidad. La finalidad será identificar y describir las dificultades que podrían estar teniendo los estudiantes con el tópico de la derivada y, con el desarrollo de la investigación, lograr una propuesta para mejorar el aprendizaje, en pro de ampliar los índices de aprobación.

Figura1.1 Número de alumnos aprobados y reprobados.

Para delimitar el contexto de estudio, la investigación propone analizar aquellos aspectos más específicos del aprendizaje de la derivada. A priori, se puede observar 1 Proyectos MECESUP-UCN0605 (2009); FIAC2-UCN1111 (2011), planes institucionales de nivelación en competencias para la adaptación e integración universitaria de los estudiantes del primer ciclo de la Universidad Católica del Norte.

2 En el contexto de estos proyectos, este gráfico muestra los resultados que permiten caracterizar en términos académicos a los estudiantes que ingresan al ciclo básico, con el objetivo de diseñar e implementar un programa de nivelación de competencias en matemáticas. Los resultados esperados es la reducción de los tiempos de permanencia de los estudiantes en las asignaturas de Cálculo I, II y III.

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que la principal dificultad de los estudiantes para entender las ideas matemáticas del Cálculo, dice relación con una exagerada atención por algebrizarlo todo (Vranker y Engler, 2014). En los cursos de Cálculo de primer año universitario se presta mucha atención en Cálculos algebraicos y a la manipulación de fórmulas, en lugar de tratar el por qué y cómo funciona ese andamiaje teórico y geométrico que sustenta a la derivada, más aún, el entendimiento conceptual es ignorado muchas veces, y los estudiantes se especializan en el uso de algoritmos con derivadas (Kinley, 2016). En este contexto surgieron las preguntas, ¿cómo comprenden la derivada los estudiantes universitarios?, ¿qué estrategias utilizan los estudiantes al resolver problemas con la derivada? Responder estas preguntas no es nada fácil, sin tener a la mano el desarrollo de un estudio previo, sin embargo, el primer paso para comenzar a abordarlas, es poder identificar las dificultades en el entendimiento de la derivada que muestran los estudiantes y poder apoyar el logro de un rendimiento satisfactorio en estos cursos de Cálculo. Cabe señalar, que el interés de este estudio no está solo en el estudiante, sino también va dirigido al profesor como fuente principal para que los estudiantes mejoren su rendimiento (Godino, 2009). Para abordar esto último, se plantea la pregunta ¿qué conocimientos activa y necesita el profesor para propiciar la comprensión de la derivada en los estudiantes?, asumiendo que este conocimiento está involucrado con el conocimiento disciplinar y didáctico del profesor que enseña la derivada en un curso de Cálculo de primer año. Una aproximación al problema de investigación se inicia desde el interés por fundamentar cómo se comprende la derivada y, por otra parte, los conocimientos que despliega el profesor para favorecer la comprensión de la derivada en estos estudiantes. En el apartado que sigue, y a modo de antecedentes, se muestran datos que orientan este estudio.

1.1.1 Contexto de la investigación Con la finalidad de constatar evidencias de las dificultades en la comprensión de la derivada, como las señaladas en las referencias del apartado anterior, se realizó una medición inicial en un primer curso universitario de Cálculo, con estudiantes voluntariamente dispuestos a resolver un cuestionario de actividades (Anexo 1), con base en lo cual se sustenta la problemática de investigación. En los cursos de Cálculo en el contexto universitario, en general, se prioriza la derivada como un algoritmo o una fórmula que se opera (Gutiérrez et al., 2017). Una de las nociones fundamentales para el logro de un entendimiento de la derivada identificado en el análisis de los libros de texto y que no está abordada explícitamente en el plan de estudio, corresponde a la razón expresada en , este cociente, ha sido una fuente de grandes dificultades para los estudiantes, así como lo fue para los científicos de los siglos diecisiete al diecinueve, en particular, las implicancias de esta aproximación a cero, desarrolladas en el Capítulo 3, corresponde a las cantidades infinitamente pequeñas explicadas matemáticamente en un proceso complejo del desarrollo de la derivada. Para buscar evidencias de lo antes señalado, se consideraron problemas que se relacionan con las distintas interpretaciones de la derivada, también, se consideraron problemas donde tenían que aplicar fórmulas de derivación y un problema para indagar

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cómo estos estudiantes entienden la idea de tangencia, esto con el interés de identificar dificultades en la comprensión de la derivada. Una interpretación de la derivada, desde un punto de vista geométrico, comprende la idea de rectas secantes que declinan en la tangente, representada como el límite de las pendientes de estas secantes que se aproximan a la pendiente de la recta tangente, esta noción matemática considerada en la cercanía del punto, y representada por el

, fue presentada a los estudiantes, con el propósito de indagar cómo ellos, comprenden esta noción y las relaciones que podrían desarrollar con otras interpretaciones. Para este propósito se les planteó el siguiente problema.

Pregunta 2

Sea la función , la tabla muestra los valores resultantes del cociente que son las pendientes de las rectas secantes cuando se aproxima a .

Comente y explique la información que tiene en la tabla, en relación a la derivada de la función y la recta tangente en el punto . Justifique sus observaciones. Las respuestas de los estudiantes muestran la utilización de elementos algebraicos en el desarrollo de la respuesta, con más del 50 % de estos estudiantes que simplifican en el límite la cantidad evitando explicar cómo se va generando el proceso con las pendientes, perspectiva que se oculta con argumentos que emergen directamente con el cálculo del límite como una expresión solo algebraica, como muestra la Figura 1.2, los intentos a través de la gráfica de la función, para resolver la situación no permiten una respuesta satisfactoria, al simplificar, no les permite un buen desempeño en las tareas sobre la comprensión de la derivada en la cercanía de un punto específico de la curva.

Figura 1.2. Desarrollo realizado por un estudiante universitario.

En síntesis, los estudiantes describen una actividad cognitiva que está orientada a fortalecer habilidades algorítmicas, con un deslizamiento hacia procesos algebraicos donde caminan a ciegas en este sistema (Hitt, 2003) y no les permite resolver problemas fuera de este contexto, sin embargo, sí son capaces de resolver correctamente problemas donde pueden aplicar algoritmos (derivada de un producto, de un cociente etc.), que no están sustentados en una comprensión conceptual de la

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derivada (Artigue, 1998), con poca explicación o nula de cómo están entendiendo la derivada y alejados de realizar conexiones entre las distintas interpretaciones de la derivada, desde un punto de vista algebraico (Figura 1.2) y geométrico como muestra la Figura 1.3.

Figura 1.3. Desarrollo realizado por un estudiante universitario.

La Pregunta 5, relacionada con la dificultad de diferenciar la velocidad media e instantánea, como evidencia para comprender lo que sucede con la función en la cercanía del punto y en la función en su dominio completo. Los estudiantes que muestran diferenciar estos dos conceptos, comprenden mejor estas dos perspectivas de la derivada (Sánchez-Matamoros et al., 2008). La dificultad que presentan los estudiantes al no diferenciar lo que pasa en un momento específico, como muestra la Figura 1.4, la tasa o razón de cambio como indicador de la velocidad media, es invisible para los estudiantes y en general no consideran diferencias entre velocidad media e instantánea y no se observan estrategias que muestren la relación en estas dos nociones.

Pregunta 5 La ley de movimiento de un punto es ¿Cuál es la velocidad media entre ¿Cuál es la velocidad instantánea en ? Explique su razonamiento.

Figura 1.4. Respuesta a la Pregunta 5, desarrollada por un estudiante universitario.

Además, los símbolos que se incorporan en la definición son aplicados sin dar espacio a una interpretación de estos elementos, por ejemplo, , requiere que los estudiantes dominen una comprensión puntual de la derivada (Inglada y Font, 2003; D’Amore y Godino, 2007). La expresión que representa la razón de cambio, presenta una serie de complejidades debido a que los estudiantes desconocen la idea asociada entre este cociente y la pendiente de la recta tangente, , se vuelve a producir un

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deslizamiento hacia lo algebraico debido a que los estudiantes sí son capaces de resolver problemas sobre la recta tangente, no obstante, fallan en la conexión con este cociente, es decir, lo que pasa en el punto es desentendido, quedando oculto en el tratamiento de la función. Para ir situando y delimitando el contexto de este estudio, se comenzará con una revisión al programa de estudio de Cálculo I, junto con una revisión en los libros de texto sugeridos por este programa, porque se consideran insumos de importancia para la investigación, en relación de poder discutir la forma en que se aborda la derivada en la universidad, dado que podría aportar a la discusión de los resultados.

1.2 Antecedentes respecto del programa y libros de texto La derivada constituye un tópico fundamental en el currículo de estudios universitarios de primer año para estudiantes de ciencias, ingenierías u otros (Sofronas, De Franco, Vinsonhaler, Gorgievski y Hamelin, 2011). Los objetivos del programa del curso (Anexo 2), hacen referencia al dominio de: estructura de los números reales, funciones reales y sus gráficas, límite, continuidad y derivada, ésta última, como uno de los tópicos centrales en este programa, donde se abordan los siguientes temas: la definición de la derivada como límite, interpretación geométrica y física, continuidad y derivada, reglas básicas de derivación, derivada de funciones trigonométricas derivadas de orden superior, regla de la cadena, derivación implícita, variables ligadas (aplicaciones), teorema de Rolle, teorema del valor medio, funciones crecientes y decrecientes, puntos críticos, concavidad y convexidad, puntos de inflexión, trazado de curvas.

1.2.1 La derivada en el programa de estudio y en libros de texto La idea de comparar estas dos fuentes de información, permite conocer cómo se aproxima el estudiante el concepto que nos ocupa, para eso, se considera el programa en relación a los libros de texto sugeridos para el curso. La forma como este concepto es desarrollado en el programa del curso está fuertemente ligado y muchas veces condicionado a los libros de texto que los estudiantes usan para estudiar Cálculo (Inglada y Font, 2003). En este sentido, es de interés revisar el recorrido para el tratamiento de la derivada en los libros de textos sugeridos en el programa, y a la vez ir situando la problemática de investigación. Para ello, se han revisado dos de los seis libros, Thomas y Larson (Tabla 1.1, resaltados en color azul), dado que son los libros más usados por los estudiantes, sugeridos como apoyo para el programa de Cálculo I (Anexo 1). El criterio utilizado, considera los siguientes puntos de vista, el desarrollo de la derivada que presentan estos libros de texto:

1) Presentación de la derivada.

2) El desarrollo de la derivada en relación al programa.

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Tabla 1.1. Libros de texto sugeridos en los programas de Cálculo 1

Libros de texto en un curso de Cálculo 1

1 Stewart, J. (2010). Cálculo de una variable. Conceptos y contextos. Cálculo. México: G Cengage Learning Latinoamérica.

2 Thomas, G. (2006). Cálculo. Una variable. México: Pearson Education.

3 Apóstol. (2002). Cálculus. Madrid: McGraw-Hill.

4 Larson, R., Hostetler, R., Edwards, B. (2009). Cálculo Diferencial. México: Mc Graw Hill Interamericana, S.A. de C. V.

5 Purcell, E. y Varberg, D. (2000). Cálculo Diferencial e Integral. 6º ed. México, Pearson Education.

6 Lang, S. (1990). Cálculo. México: Addison-Wesley Iberoamericana, S. A.

Fuente: elaboración propia.

En este sentido, investigaciones como la de Badillo, Azcárate y Font (2011), ya muestran a través de un análisis de libros textos, que la forma en que el tópico se aborda puede estar provocando conflictos cognitivos en los estudiantes, por ejemplo, el uso de la notación para definir la derivada, presenta dificultad dado que este cociente depende de este , con explicación desde una perspectiva que necesita justificaciones más complejas en su estudio.

Respecto del Libro de Texto 2: Cálculo. Una variable Respecto del libro de texto 2, la definición de la derivada se introduce en el capítulo 2, como pendiente de la recta tangente en un punto de la curva considerando el límite en cada punto del dominio de la función, siguiendo con la definición de la derivada como función, presentando una forma gráfica de la derivada y su expresión analítica. Los conceptos que se definen en esta sección son: la derivada como límite de las pendientes de sus secantes en un punto, la derivada como función y como una razón de cambio, donde se aborda el concepto con el movimiento a través de la velocidad. Contiene proposiciones de funciones algebraicas centradas en el uso de reglas de derivación, se presentan ejemplos, estos representados en forma gráfica y las funciones consideradas son siempre funciones reales de variable real, su desarrollo centrado especialmente en su gráfica en un punto específico de las funciones. El capítulo tres dedicado íntegramente a las aplicaciones de la derivada y son referidas al cálculo de rectas tangentes, velocidades, donde se proponen problemas para calcular máximos y mínimos y dibujar gráficas de funciones. También, se introduce el uso de la derivada para calcular límites mediante la regla de L´Hôpital. En este capítulo se resalta el apartado 3.7, dado que presenta la relación de la linealización como la

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mejor aproximación lineal de la curva en un punto en relación al diferencial, presentado como un ejercicio alejado del énfasis que tiene respecto de otras aplicaciones como la derivada para resolver variables ligadas.

Respecto del Libro de Texto 4. Cálculo Diferencial Respecto al libro de texto 4: la presentación del concepto, inicia con la definición de derivada como límite, para enseguida presentar la función derivada, y continúa de manera similar a la que entrega el programa del curso, con ejemplos resueltos y propuestos, que incorporan una interpretación gráfica de la derivada, con el límite de cociente de diferencias, presentando las reglas de derivación, con ejercicios. Posteriormente son presentadas las aplicaciones, la interpretación geométrica y física de la derivada, también muestra ejemplos y ejercicios de aplicaciones como el cálculo de máximos y mínimos, uso de la derivada en el análisis de gráficos de funciones. Expone demostraciones de algunos teoremas que se relacionan con la derivada en el uso de la interpretación geométrica de la derivada, realiza hasta cuatro diagramas geométricos para ilustrar un solo teorema o definición. Con respecto a esto último, se debe resaltar que, a mediados del siglo XX, los matemáticos Emil Artin (1957) y Serge Lang (1964/1973) propusieron, una definición intuitiva del límite como un concepto nuevo adoptado para la enseñanza y dominante en la actualidad, en especial en este libro de texto. Respecto a los dos libros de textos revisados (destacados en la Tabla 1.1) hay un hecho relevante, esto es, el paso de la derivada en un punto de la curva al trabajo con derivadas en intervalos, está representado por un cambio de , en particular considerado en la demostración del teorema de Rolle y del valor medio para estudiar la gráfica de funciones, con énfasis en el trabajo con gráfica de funciones y la derivada como una herramienta de uso para este análisis, en cuanto a otras interpretaciones de la derivada encontradas en estos libros, se encuentran, razón de cambio instantáneo y razones de cambio relacionadas. La interpretación geométrica y física junto con la noción de límite de las pendientes de las rectas secantes están consideradas dentro de las aplicaciones, este hecho podría estar afectando negativamente el acceso a la comprensión de la derivada en los estudiantes (Şahin, Aydogan-Yenmez, y Erbas, 2015), dado que los profesores podrían interpretar como menos relevantes en la comprensión de la derivada. Una dificultad para acceder a una comprensión satisfactoria de la derivada detectada en los libros de texto, podría deberse a que algunas de las interpretaciones de la derivada son abordadas en un apartado de ejercicios propuestos, como es el caso de la derivada como aproximación lineal, una noción central para la comprensión del Cálculo en primer año (Sofronas et al. 2011), más aún, no está contemplada en el plan de estudio, esto podría estar influyendo en los profesores, al no considerar importantes las interpretaciones de la derivada propuestas en un apartado de ejercicios y podría explicar las dificultades para el logro de resultados exitosos en este curso. Esta complementariedad entre plan de estudio y libros de texto permite, como se muestra en la Figura 1.5, representar con líneas continuas las interpretaciones de las distintas representaciones de la definición de derivada, muy relacionadas en el programa y en los libros de texto, con líneas segmentadas las interpretaciones de la

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derivada sólo como aplicaciones, donde se puede observar que no existe relación entre ellas, como es el caso de la derivada como mejor aproximación y la pendiente de la recta tangente, se considera que debe existir una relación para el logro de una comprensión satisfactoria de la derivada (Sierpinska, 1994).

Figura 1.5. Interpretaciones y perspectivas de la derivada en el plan de estudio en relación con los

libros de texto en un curso de Cálculo I.

En resumen, el análisis del Plan de estudio y libros de texto del curso de Cálculo I, muestran el concepto de límite como la noción central para definir la derivada, donde su interpretación geométrica y la derivada como razón de cambio son consideradas aplicaciones, no obstante, el concepto de límite define y rige una perspectiva de la derivada que es puntual, no hay evidencias en el programa del tratamiento en un punto de la función. Específicamente, se sigue la forma clásica para la estructura de un curso de primer año universitario, la secuencia, definición a los teoremas, del teorema a la demostración y de ésta a las aplicaciones y ejercicios. Es decir, concede demasiada importancia a desarrollos algorítmicos y al manejo algebraico de la derivada (Gutiérrez et al., 2017). Artigue (2001), señala:

La enseñanza de la derivada se protege en el aprendizaje de prácticas algorítmicas y algebraicas que son a su vez el centro de la evaluación, situación que aún se mantiene y los estudiantes la conservan como una forma segura para trabajar, no tratar de comprender, sino solo de funcionar en este dominio. (p. 213)

En este sentido, pareciera que tanto el programa como los libros de textos podrían estar contribuyendo a favorecer esta práctica en el aprendizaje y la enseñanza de la derivada. Por lo que el interés de esta investigación se dirige en indagar el rol de las distintas interpretaciones de la derivada, para ello, se buscan antecedentes en las investigaciones en Didáctica de la Matemática con estudiantes y profesores que aprenden y enseñan la derivada respectivamente.

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1.3 Antecedentes respecto del aprendizaje de la derivada La enseñanza y aprendizaje de los contenidos de un curso de Cálculo son una fuente de múltiples dificultades para los estudiantes que se enfrentan a problemas donde están en juego conceptos fundamentales como la derivada, así lo muestran las evidencias descritas en el apartado 1.2 y en el ámbito de la enseñanza, que se ha caracterizado por un tratamiento frecuentemente enfocado al manejo y aplicaciones de algoritmos, con una fuerte tendencia a favorecer prácticas algebraicas. Para enmarcar el contexto de estudio se consideran dos vías de interés para esta investigación, del aprendizaje y la enseñanza. El interés en las distintas aproximaciones teóricas en Didáctica de la Matemática, se centran en las cuestiones relativas a la cognición respecto del aprendizaje, las formas cómo los estudiantes conciben la derivada o los errores y obstáculos que deben ser superados para entender satisfactoriamente este concepto matemático. Para la vía de la enseñanza, se revisan las investigaciones ligadas al conocimiento matemático de los profesores en relación a este concepto, es decir, describir cómo manifiestan las nociones matemáticas relacionadas con la derivada, propiedades, definiciones, siendo el interés las nociones que están directamente ligadas al concepto de derivada, como es el límite, desarrollado en el siguiente apartado.

1.3.1 Sobre las dificultades en el aprendizaje del concepto de límite En el campo de la investigación en Didáctica de la Matemática, existe diversidad de estudios sobre aprendizaje del Cálculo y las dificultades que manifiestan los estudiantes respecto de la apropiación de los conceptos fundamentales de sus tópicos. Una de las investigaciones bastante citada en artículos relacionados, lo encontramos en Artigue (1995), ella identifica dificultades de aprendizaje de los estudiantes, diferenciadas y agrupadas en tres categorías:

Las dificultades asociadas al concepto de límite, noción fundamental para el estudio del Cálculo.

Las dificultades asociadas con los conceptos básicos del Cálculo, como los números reales y las funciones, que se conceptualizan plenamente cuando se inicia la enseñanza del Cálculo.

Las dificultades vinculadas con la ruptura de un pensamiento puramente algebraico.

Por otra parte, existen evidencias de que estas categorías de dificultades siguen vigentes, (Fuentealba et al., 2018) para el caso de la derivada. Esto evidenciado en los estudiantes participantes de la medición inicial, como se muestra en el apartado 1.1.1 ellos pudieron resolver problemas donde debían aplicar reglas de derivación, sin embargo, cuando tuvieron que resolver problemas fuera de este contexto, tuvieron múltiples dificultades como fue el caso de la pregunta dos, vinculada a la derivada a través del límite, y planteada fuera de un contexto puramente algebraico. Por otro lado, Sánchez-Matamoros, García y Llinares (2008), proporcionan tres ámbitos de estudio de la derivada en la investigación en Didáctica de la Matemática:

a) Tasa de cambio y cociente de diferencias

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b) Las distintas interpretaciones de la derivada y su integración para la comprensión conceptual de la derivada

c) La derivada de una función en un punto y la función derivada. Además, considerando que la derivada es un concepto básico del Cálculo, estrechamente ligado a las nociones de tasa de cambio y el concepto de límite, junto con las tres categorías de dificultades anunciadas, se organizan los antecedentes de la siguiente manera:

1. Las investigaciones que tratan dificultades para la comprensión de la derivada cuando está definida a través del límite y sus elementos subyacentes.

2. Las investigaciones que tratan las dificultades de la comprensión de la derivada desde las interpretaciones de sus distintas representaciones de la derivada.

Respecto del punto 1., el concepto de límite como objeto de investigación en Didáctica de la Matemática tiene ya una larga data. Sierpinska (1994), muestra la existencia de dificultades en el significado del límite, su entendimiento en el lenguaje común en conflicto con su significado matemático, dado que los estudiantes cuando empiezan a familiarizarse con este concepto deben descubrir por si mismos la idea de cercanía o aproximación. Al analizar los trabajos que se centran en los problemas cognitivos de la derivada que tienen sustento en la noción de límite, razón de cambio y su relación con la recta tangente, no se pretende recordar la extensa literatura existente sobre la noción de límite, sino, cuestionar los resultados encontrados, a la luz de esta investigación, y comenzar a identificar aspectos específicos que dificultan al estudiante el acceso a la comprensión de la derivada. El concepto de límite vinculado al concepto de derivada ha constituido un concepto matemático de gran dificultad en los inicios de los estudios universitarios, tanto para los estudiantes en Chile como en otras latitudes. Numerosas investigaciones (Sierpinska, 1985; Tall y Katz, 2014) dan fe sobre esto. Además, existen evidencias en la literatura en cuanto al límite como idea de aproximación, en Sierpinska (1994), como muestra la Figura 1.6 en una actividad con estudiantes donde se les pide encontrar la tangente en T de la curva , sólo con una regla, ellos determinan el “0” como punto de ruptura, dado que su

coeficiente angular aumenta y disminuye en torno a éste, conjeturaron que la diferencia lentamente se hace más y más pequeña hasta que se convierte en 1. Este hecho, muestra la proximidad a una comprensión del límite, sin embargo, este término “límite” depende si se piensa en función o una secuencia y si la secuencia es numérica o no, este nivel de comprensión no sería suficiente para entender la derivada. Si bien la actividad aportó elementos para entender la relación entre cercanía en un punto y su relación con la recta tangente en ese punto, no fue mostrada por los estudiantes. Un elemento importante que aparece en esta actividad es el comportamiento de una secuencia de posición, dado en la secante OP a la curva, que se entiende sobre la base de una conjetura al final la secante se convierte en la recta , y tiende a esta posición. Estas ideas, en un acto de comprensión según Sierpinska (1994), aproximan a los estudiantes al entendimiento intuitivo del límite (Valls, Pons, y Llinares, 2011), y también, la comprensión de la recta tangente en un punto de la curva, nociones fundamentales para comprender la derivada, sin embargo, en estos datos no fueron mencionados.

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Figura 1.6. Calculando la tangente a la curva en el punto (Sierpinska, 1987, p.42-45)

Los trabajos realizados por Sierpinska (1985) y Cornu (2011), en los que se combinan estudios epistemológicos con el análisis de las tareas que enfrentan los estudiantes y el proceso de aprendizaje del límite, los autores han reportado que la dificultad de la enseñanza y aprendizaje del concepto no solo radica en su riqueza y complejidad matemática, sino en el hecho de que los aspectos cognitivos implicados no se pueden generar solo a partir de la definición formal del límite. Otro elemento de interés es el problema con las vecindades del punto para tratar con funciones. En el ámbito de las investigaciones se describen las dificultades que subyacen en la comprensión de esta perspectiva, y tiene que ver con que los estudiantes de nivel universitario, al comenzar su trabajo con las funciones, tienen que adoptar un punto de vista centrado en un intervalo cuya concepción no se construye en la escuela secundaria y se acepta, por ejemplo, que 1 es el límite de

constituyendo un obstáculo epistemológico, el cual muchas veces no es advertido en la enseñanza del límite (Sierpinska, 2005, Vandebrouck, 2011; Mena, Mena, Montoya, Morales, y Parraguez, 2015), quedando en la mayoría de los casos planteado como un desafío conceptual para los estudiantes, debido a que éstos aprenden reglas de los límites, a menudo sin entender por qué esto es así en la matemática. Investigaciones recientes muestran evidencias de la persistencia en las dificultades cognitivas de los estudiantes para entender el límite y la derivada, y un obstáculo para el aprendizaje (Gutiérrez et al., 2017). Los estudiantes desarrollan procesos algorítmicos correctos en el cálculo de las derivadas, con dificultades para abordar la derivada como una razón de cambio, dado que la derivada, a partir de la definición con límite, no se comprende ni se conceptualiza, ni en la misma función ni en un punto específico. Además, para comprender la relación de la derivada con la pendiente de la recta tangente, se debe considerar una explicación del proceso que lleva la razón , , como el cociente entre dos diferencias que pueden ser longitudes, distancia, tiempos etc., pasando por el proceso de límite, con la noción de aproximación que puede ser considerado un proceso dinámico con acercamientos a un valor, representando una

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pendiente o la velocidad instantánea. En resumen, el proceso del paso de este cociente al límite es una dificultad para que los estudiantes se apropien de la derivada, y estaría explicando las confusiones de los estudiantes cuando enfrentan estos problemas (Font y Contreras, 2008). La noción de límite descansará en la idea de aproximación como un proceso dinámico (Zandieh 2000), y una exigencia cognitiva en el contexto del Cálculo Diferencial, lo que permite argumentos sólidos para concluir que una comprensión completa sobre la derivada no se puede lograr si no se conoce el proceso de razón en , siendo, una componente trascendental en la comprensión de su relación con el límite y la pendiente de la recta tangente (Tall y Katz, 2014).

1.3.2 Sobre las dificultades en las distintas interpretaciones de la derivada Como se ha descrito en el apartado 1.2.1, la derivada de funciones reales de variable real tiene distintas interpretaciones desde las distintas formas de su representación, razón de cambio, pendiente de la recta tangente, límite de las pendientes de las rectas secantes, mejor aproximación de la curva y velocidad instantánea, constituyendo distintos significados del concepto que permiten a través de su uso, un mejor acceso a su comprensión (D’Amore, 2006, Sánchez-Matamoros et al., 2008). En cuanto a las investigaciones enfocadas en el carácter multifacético de la derivada y en la potencialidad de las diversas representaciones, se destaca, Sánchez-Matamoros, García y Llinares (2008), donde detectan dificultades que tienen los estudiantes con el significado de la derivada a través de su expresión analítica, como límite del cociente incremental o en su interpretación geométrica, como pendiente de la recta tangente. Las conclusiones obtenidas por los investigadores determinan que los estudiantes fallan en los usos apropiados de la representación geométrica de la derivada y la representación algebraica de la función, domina la forma de pensar de los estudiantes, lo que crea un obstáculo en sus mentes cuando enfrentan estas interpretaciones en los problemas, hecho que se atribuye a que las definiciones matemáticas son analíticas y los estudiantes priorizan un uso algebraico de propiedades en la resolución de problemas. Según este estudio, cuando los estudiantes se familiarizan con las distintas interpretaciones de la derivada, estos modos de representación adquieren significados sin conexión en los estudiantes, es decir, el contexto gráfico y algebraico son modos separados donde se aplican algoritmos sin conexión, existiendo inconsistencias entre las formas de interpretar estas representaciones. Como resultado, existe desconexión entre los significados de las distintas representaciones de la derivada desde el punto de vista de la cognición para el aprendizaje. En este contexto, se destaca la importancia de investigar las conexiones entre las distintas interpretaciones de la derivada. De acuerdo con Sánchez-Matamoros, García y Llinares (2008), en Didáctica de la Matemática se abren caminos para investigar la derivada en un punto y la función derivada y permite indagar, cómo los estudiantes entienden o manifiestan comprender sus distintas representaciones, tal relación podría ser determinante en la superación de las dificultades que los estudiantes presentan para comprender la derivada. Badillo, Azcárate y Font (2011) muestran desde el enfoque Ontosemiótico (EOS) la complejidad semiótica de las actividades relacionadas con la derivada en un punto y

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la función derivada, planteando la relación puntual y global, como el resultado de conexión entre tres objetos: la pendiente de la recta tangente, el límite de las tasas medias de variación y la razón de cambio; estos autores entre sus resultados sugieren que se deben diseñar actividades para el aula que relacionen estos tres objetos, sin embargo, no queda claro si las estrategias propuestas permiten la superación del problema en torno a la comprensión. En Robles, Del Castillo y Font (2010) se presenta una interpretación de la derivada desde la linealidad local, perspectiva que no está considerada en el programa del curso de Cálculo I discutido en el apartado 1.2.1, sin embargo, aporta buenos argumentos para explorar en este sentido. Estos investigadores proponen una secuencia didáctica asistida por computadora, donde el comportamiento de la curva en una cercanía del punto y su relación con la recta tangente como mejor aproximación, con la ayuda de un software –Applet Descarte–interactivo, tienen la finalidad de explicar el origen de las dificultades en la comprensión de la derivada desde la interpretación geométrica como la pendiente de la recta tangente. Además permitió un primer encuentro con la derivada de , actividad que fue posible gracias al zoom, que permite el software, como un medidor de pendientes que facilita la obtención de a través la fórmula de y su gráfica, su análisis didáctico permitió explicar las limitaciones de los significados que manejan los estudiantes. En este sentido, la comprensión de la derivada a través de la linealidad en un punto, es una interpretación de la derivada que puede ser viable incorporar a los conocimientos del estudiante de primer año universitario, con posibilidades de mejorar la comprensión que ellos tienen de la derivada como conocimiento matemático y como concepto que cumple un rol fundamental para comprender el Cálculo Diferencial. Estas investigaciones analizadas, distinguen la importancia de las distintas interpretaciones de la derivada, entre las cuales se encuentra la interpretación geométrica y analítica a través del límite, las más estudiadas, sin embargo, existen otras factibles de explorar para incorporar otros elementos matemáticos o de la física que aporten al estudio. También, cómo las distintas interpretaciones de la derivada dejan en evidencia que se aprenden de forma distinta sin conexión, Harel, Selden y Selden (2006) manifiestan la importancia que tiene comprender los conceptos a través de observaciones entre las definiciones equivalentes y sus diferentes representaciones al igual que sus propiedades.

1.3.3 Sobre las dificultades de la derivada en un punto Como se ha descrito en el apartado 1.3.2, el concepto de límite y la definición analítica de la derivada, presenta problemas para los estudiantes, visto el límite como un proceso de aproximación de las rectas secantes (Sierpinska 1985), dado que los estudiantes se encuentran con un punto, el de tangencia, cuando han estado viendo en la curva siempre dos puntos, y los estudiantes tienen en su mente la tangencia en la circunferencia (Vivier 2010). Algunos autores muestran que el problema de la tangencia vista en un punto específico de la curva como las secantes que se aproximan, son dos puntos de vista que se

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puede comprender a través de la linealidad3 en las cercanías del punto. En este sentido Maschietto (2008) realiza con estudiantes universitarios y con una herramienta tecnológica, un estudio para explorar con zooms sobre la gráfica de la función, hasta conseguir que la recta y la curva aparezcan como líneas paralelas. En las últimas décadas, el uso de tecnología en la enseñanza y el aprendizaje del cálculo ha sido de gran interés (Gutiérrez et al. 2017, Haciomeroglu y Andreasen, 2013). Los estudiantes pueden explorar diversos conceptos matemáticos, lo que a menudo es difícil sin utilizar la tecnología. En particular, cuando se analiza el comportamiento de la función en un punto específico, el uso de tecnología permite aproximaciones muy precisas en la cercanía de este, Tall, Smith, y Piez (2008). muestra, la importancia de múltiples representaciones y conexiones en la enseñanza y el aprendizaje del Cálculo para una comprensión más significativa de conceptos, haciendo que los estudiantes visualicen objetos matemáticos desde una perspectiva diferente, esto puede ayudarlos a sintetizar el pensamiento analítico y visual, un proceso que mejoraría su comprensión conceptual, de lo que sucede con el zoom de algún sofware (Haciomeroglu, Aspinwall, y Presmerg, 2010). En Sari, Hadiyan y Antari (2018), explorando la derivada desde una visualización dinámica con GeoGebra, y una metodología del diseño instruccional (Rasmussen, Marrongelle y Borba, 2014), presentan una trayectoria hipotética del aprendizaje de la derivada, la que fue comparada con los datos reales tomados en un curso de Cálculo Diferencial. El análisis de los datos recopilados en grabaciones de videos, observaciones y entrevistas mostró que la función dinámica de GeoGebra ofrece la posibilidad de acercar un gráfico, lo que equivale a tomar infinitesimales cuando una recta secante se transforma en la recta tangente. El objetivo de esta investigación fue responder a la pregunta: ¿cómo se puede usar GeoGebra en un curso de Cálculo Diferencial para explorar la derivada proporcionando visualizaciones dinámicas del concepto?, las respuestas encontradas en el desarrollo de las trayectorias de aprendizaje fue un acercamiento a la recta tangente desde las rectas secantes donde los estudiantes pudieran observar la distancia infinitamente pequeña entre dos puntos de la curva y que pudieran desarrollar una comprensión intuitiva del proceso del límite, para después determinar la pendiente de la recta tangente. La trayectoria hipotética de aprendizaje permitió a los estudiantes que no podían percibir la distancia infinitesimal entre dos puntos, dado que el profesor les dio una pista asumiendo la coordenada del punto C como y la coordenada del punto D como donde h es muy pequeño. Luego, la discusión se desarrolló en torno a la expresión:

. (1)

Esta actividad consistió en que la discusión en torno a (1), es justamente , cociente que dificulta a los estudiantes entender, como se ha justificado en el apartado

3 Linealidad refiere a pensar que en las proximidades del punto la curva se comporta como la recta (Robles, Del Castillo y Font, 2010).

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1.3, especialmente en los casos en que la recta es horizontal o vertical, es de interés observar, las mejoras en la comprensión de este cociente, sin embargo, los datos sugieren que las dificultades de los estudiantes persisten en lo que refiere a conectar las representaciones geométricas y analíticas, al mismo tiempo, estos estudiantes mostraron confusiones para conectar la derivada de una función en un punto con la pendiente de la recta tangente y el valor de la función, al parecer no se está poniendo en cuestionamiento la relación de cercanía en el punto. Desde el punto de vista de esta investigación, el uso de herramientas tecnológicas para visualizar lo que sucede en torno a un punto específico de la curva, abre una posibilidad de ayuda para vencer las dificultades en torno a la derivada y da la posibilidad de incorporar nuevos conceptos, que para los estudiantes pudieran ser muy abstractos (Arigue 1991), como sería incorporar otra dimensión de la derivada: la linealidad local.

1.4 Antecedentes respecto de la enseñanza de la derivada El rol del profesor en la enseñanza de la derivada en un contexto universitario se ha abordado escasamente en las investigaciones en Didáctica de la Matemática. Entre las investigaciones existentes se encuentran aquellas relativas al conocimiento del profesor de secundaria y sobre la práctica de éste. Para iniciar este estudio, se ha considerado la tesis desarrollada por Badillo (2003); aunque no ha sido un estudio de nivel universitario, el interés de revisar es porque aporta elementos que ayudan a situar el contexto del estudio. Teniendo en cuenta el interés en describir los distintos tipos de conocimiento que los profesores activan cuando enseñan la derivada en un nivel universitario, es pertinente indagar antecedentes de estudios existentes para un nivel de enseñanza media, dado que los profesores que enseñan en este nivel escolar son formados en la universidad, lo que podría aportar datos relevantes. Se ha constatado, a raíz de este estudio, que bajo supuestos de formación docente, curriculares y epistemológicos, se estudia el nivel de esquema que los profesores en ejercicio construyen de la relación entre la derivada y la velocidad, para ello, han considerado el marco teórico creado por Dubinsky y colaboradores (APOS). El análisis de datos de acuerdo con uno de los objetivos específicos, en Badillo (2003), describir la comprensión de esquema de la derivada que tienen los profesores en ejercicio, permitió identificar y describir las ideas inconsistentes (errores) que evidencian los profesores participantes en este estudio. Los datos mostraron que los profesores informantes del estudio generan conflictos en el uso de la notación , y presentan confusión entre la noción de derivada en un punto y la función derivada, incluso en el orden en que se introducen en la enseñanza, estas confusiones podrían explicar confusiones en los estudiantes. En este enfoque se incluye el trabajo con zooms en curvas, tal como lo proponen Maschietto (2008). Esta propuesta, probada en profesores (Páez Murillo y Vivier 2013), ha demostrado el alcance de una concepción global, entendida como la función en todo su dominio en el trabajo de los profesores de matemáticas, así como algunas

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dificultades relacionadas con el uso de una concepción asociada a la derivación en una tarea gráfica sobre tangentes. Otro estudio de interés, Pino-Fan, Godino y Font (2011), aborda el conocimiento especializado del contenido, referido a la derivada en futuros profesores de secundaria en el contexto del marco teórico propuesto en Godino (2009), el Modelo de Conocimiento Didáctico-Matemático (DMD) dentro del enfoque Ontosemiótico para la cognición y la instrucción (Godino, Batanero y Font, 2007). El modelo de conocimiento Didáctico-Matemático, propone dos niveles para el conocimiento especializado del contenido. En el primer nivel, los futuros profesores deberían utilizar no solo diferentes representaciones, conceptos, proposiciones, procedimientos y justificaciones, sino también el alcance de los significados matemáticos de la noción de derivada. El segundo nivel se refiere a la competencia de los docentes para identificar elementos del lenguaje, conceptos, definiciones, propiedades, proposiciones, procedimientos y justificaciones que se lleva a cabo durante la resolución de tareas con la derivada. Está claro que el conocimiento del contenido especializado implica el conocimiento del contenido común y algunas características del conocimiento extendido, según este modelo. Uno de los problemas planteados a 53 futuros profesores de una universidad en México, para explorar, la actividad matemática, y probar las conexiones o asociaciones entre los diferentes significados de la derivada en la tarea 2, mostrado en la Figura 1.7, permite argumentar que los resultados de este estudio fueron identificados en tres tipos de respuestas, nombradas como: tres tipos de configuración cognitiva como: gráfica-verbal, técnica y formal.

Tarea 2

Considere la función y su gráfica.

a) Para qué valor de es derivable ? b) Si es posible, calcular y dibujar su

solución, si no es posible, explicar por qué. c) Si es posible, calcular y dibujar su

solución, si no es posible, explicar por qué. d) Basado en la definición de derivada, justificar

por qué el gráfico de una función derivable no tiene esquinas, ángulos.

e) ¿Qué conocimientos se ponen en juego al resolver esta tarea?

Figure 1.7. Tarea 2 del cuestionario de EF-DMK (Pino-Fan et al. 2015, p.15)

Este estudio muestra un alto porcentaje de los futuros profesores, el 88,6% y el 54,7%, respectivamente, que proporcionaron una configuración gráfica verbal a los ítems a) y c) (p. Ej., "... no es derivable en x = 0 porque un número infinito de líneas tangentes se pueden identificar, a la función en ese punto ". Para la sección b), la mayoría de los futuros profesores, 62, 3%, proporcionaron una configuración técnica (utilizando tanto las reglas para calcular derivadas como la definición de la función de valor absoluto). Uno de ellos (1,9%) proporcionó una solución formal, utilizando el significado de la derivada como una tasa de cambio instantánea (límite del cociente de incremento), para los primeros cuatro ítems de la tarea. Este ejemplo que hemos considerado

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representativo en el estudio, nos muestra que los conocimientos puestos en juego al desarrollar una tarea con derivada están centrados fuertemente en una representación gráfica de la derivada, si bien, la tarea está dada en este registro, no se realiza un cuestionamiento de la dimensión puntual que tiene el ítem b) y c), por ejemplo, las respuestas podrían ser abordadas desde otras interpretaciones. García, Gavilán y Llinares (2012), presentan el caso de Juan, un docente de último año de secundaria, destacando la ruta cognitiva utilizada por este docente en la enseñanza de la derivada, partiendo por definir el concepto a través de la recta tangente a la curva, dimensión puntual, pasando por el concepto de límite, presentada como una herramienta algebraica, para finalmente llegar a una explicación que se basa en los algoritmos para calcular derivadas, lo que parece ser el estado de confort de su enseñanza y la forma de desarrollar su proceso de medir la comprensión de sus estudiantes. En conclusión, estos antecedentes muestran que la enseñanza de la derivada está centrada en la adquisición de habilidades procedimentales más que en la comprensión conceptual de la misma. A pesar, de la existencia de una amplia gama de investigaciones en torno a las problemáticas de enseñanza de la derivada, las dificultades identificadas indican que son insuficientes para responder una gama, no menor, de interrogantes respecto a la relación entre la enseñanza de la derivada y cómo los estudiantes están comprendiendo este concepto (Jaafar y Lin, 2017; Tallman, Carlson, Bressoud y Pearson, 2016). El asunto es, cómo entender las dificultades de muchos estudiantes con la comprensión de los contenidos matemáticos en torno a la derivada, en este sentido, se hace necesario poder entender los distintos procesos que son necesarios para la adquisición del conocimiento matemático y cómo se está comprendiendo la derivada, para ello, el siguiente apartado muestra distintos enfoques del significado de comprensión, necesarios para avanzar en esta investigación junto con la posición que asumirá esta investigación indagar en la comprensión de la derivada.

1.5 Comprensión en Didáctica de la Matemática La comprensión de un concepto matemático en Didáctica de la Matemática tiene distintas interpretaciones desde distintos puntos de vista (Vera, 2016). En la necesidad de explicitar la posición que asumirá esta investigación respecto de cómo se entenderá la comprensión de la derivada, se realiza una discusión en torno a la siguiente pregunta: ¿Cómo se entiende la comprensión que asume esta investigación y las razones que

motivan su elección? Dar respuesta a esta pregunta, permitirá comprender las bases sobre las que se constituye el problema de investigación y el diseño metodológico de esta investigación. Desde el punto de vista de la cognición, la comprensión se puede entender desde la perspectiva que desarrolla Godino (2002), el Enfoque Ontosemiótico (EOS), es un marco teórico que permite un análisis didáctico que comprende cinco niveles de análisis, un primer nivel que explora las prácticas matemáticas realizadas en el proceso de instrucción, en el segundo nivel se elaboran las situaciones problemas,

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lenguaje, conceptos, proposiciones, argumentos y procedimientos; el tercer nivel está orientado al análisis de las trayectorias condicionadas por una trama de normas que regulan su dimensión epistémica de los niveles 1 y 2 y otras dimensiones como las cognitivas y afectivas; el cuarto nivel de análisis estudia las tramas del nivel 3; el quinto nivel corresponde a las identificaciones de mejoras potenciales en el proceso de nuevas implementaciones. Para el diseño de la secuencia didáctica en estos estudios, se consideró la derivada de como un proceso formado por: 1) Traducciones y conversiones entre las representaciones; 2) El paso de una representación de la función a una de la derivada de ; 3) Traducciones y conversiones entre representaciones de la derivada de . En cuanto a las representaciones consideradas para , consideran el enunciado, gráfica, fórmulas y tablas. Otra forma de comprensión, desarrollada por Zandieh (2000) para la derivada, considera dos componentes principales:

Representaciones múltiples o contextos. La derivada se puede representar como: 1) representación gráfica como la pendiente de la recta tangente a la función en un punto; 2) representación verbal como la tasa instantánea de cambio; 3) representación física como la velocidad o rapidez 4) representación simbólica como el límite del cociente diferencial.

Capas de pares proceso-objeto. Si se considera la definición formal de la derivada, se observa que la derivada de f, f’, es una función cuyo valor en un punto está definido como el límite de la razón.

El punto de vista de las representaciones descrito como: (a) la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto; (b) como la tasa instantánea de cambio; (c) como la velocidad; (d) como el límite del cociente de diferencia componen las capas de pares proceso-objeto, considerando, que la derivada de es una función cuyo valor en un punto corresponde al límite de una razón,–función, límite y razón– constituyen las capas en relación a proceso-objeto, los procesos son operaciones sobre los objetos que a su vez actúa sobre otros procesos, reificación según Sfard (1991), donde cada capa se puede ver como un proceso dinámico y como un objeto, por ejemplo, el límite puede ser considerado dinámicamente como un proceso de aproximación o estáticamente a través de la definición épsilon-delta. En resumen, la información que se extrae de los resultados obtenidos, es que los estudiantes pueden desarrollar entendimientos diferentes de la derivada, como un conjunto de estructuras cognitivas asociadas al concepto. Desde la perspectiva que plantea Sfard (1991), los conceptos matemáticos se comprenden de dos formas distintas, operacional como proceso y Estructural como objeto, con una naturaleza dual Operacional/Estructural con la que un sujeto puede concebir un mismo concepto, formas complementarias para la apropiación de una misma idea matemática. La comprensión de un concepto es concebida como un proceso de construcción que implica establecer vínculos entre acciones y sus representaciones internas en el sujeto. Considerando que el conocimiento operacional antecede siempre al estructural y el proceso de la comprensión del objeto tiene tres etapas o grados (Sfard, 1991).

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a) Interiorización, corresponde de manera semejante a la construcción del nivel de proceso en la interiorización de acciones en la teoría APOE (Asiala, Cottrill, Dubinsky y Schwingendorf,1997), el sujeto lleva a cabo un procedimiento a través de representaciones mentales para familiarizarse con los procesos que dan origen a nuevos conceptos.

b) Condensación, es una etapa en la que el proceso puede darse como un todo y se puede alternar con diferentes representaciones del concepto.

c) Reificación, es un cambio ontológico, como una habilidad repentina que permite

entender una cosa de una forma totalmente nueva (Vera, 2016). Otra perspectiva de comprensión muestra Pirie y Kieren (1994), con un modelo de la evolución de la comprensión matemática como un proceso dinámico de organización constante de las estructuras del conocimiento. La representación del proceso de comprensión tiene una naturaleza estratificada mediante un esquema de ocho anillos que muestran distintos niveles por los que un estudiante podría transitar. Respondiendo a la pregunta planteada en esta parte del estudio, es de interés la perspectiva que presenta Sierpinska (2000) para la comprensión en matemáticas, para esta autora, la comprensión es un acto que se produce en un proceso de interpretación de un concepto matemático. Al respecto, Sierpinska (1990) señala:

“comprender el concepto será concebido como un acto de captar su significado. Este acto será probablemente un acto de generalización y síntesis de significados relacionados a elementos particulares de la “estructura” del concepto (estructura es la red de sentidos de las sentencias). Estos significados particulares tienen que ser captados en actos de comprensión” (p.27).

Las experiencias mentales que ocurren en algún momento y terminan rápidamente, son los actos de comprensión, que refiere la autora, entendidos como actos de superación de obstáculos, dado que el aprendizaje se produce en una concentración mental del individuo donde el pensamiento está en juego, en particular, para explicar los obstáculos que deben ser superados en la comprensión del Álgebra Lineal. Los modos de pensamiento práctico y teórico (Sierpinska, 2000), son dos formas distintas y complementarias que se producen en la mente de un sujeto para captar el significado de un objeto. Particularmente, es de interés entonces, para esta investigación indagar en el pensamiento teórico y práctico que está en juego en la comprensión de un concepto matemático. La caracterización del pensamiento teórico y práctico se distingue en las relaciones entre el pensamiento del sujeto y su objeto de estudio. Así, el pensamiento práctico puede ser visto como el pensamiento en acción, es decir, los cambios en el pensamiento influyen directamente en los cambios en la acción, mientras el pensamiento teórico se caracteriza por reflexiones sobre los significados semióticos que representan el conocimiento y el razonamiento se realiza sobre sistemas de conceptos, con relaciones que se producen por las conexiones realizadas entre los conceptos y los objetos dentro de un sistema.

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Sierpinska, Nnadozie y Oktaç (2002), dan cuenta de la influencia que tiene el pensamiento teórico en el alto rendimiento de los aprendices en Álgebra Lineal, para ello diseñan un modelo de pensamiento teórico, cuyas componentes son definidas como sigue. El pensamiento teórico es sistémico, consiste en pensar acerca de sistemas de conceptos, donde el significado de un concepto está basado en sus relaciones con otros conceptos. Esta categoría sistémica del pensamiento teórico está basada en lo que Vygotsky llama concepto científico:

La diferencia clave en la naturaleza psicológica de los conceptos científicos y cotidianos es la presencia o ausencia de un sistema. Los conceptos permanecen en una relación diferente respecto a los objetos cuando existen fuera de un sistema que cuando están dentro. Fuera de un sistema, las únicas conexiones posibles son aquellas que existen entre los objetos por sí mismos, esto es, conexiones empíricas. Esta es la fuente del dominio de la lógica de acción y de conexiones sincréticas de las imitaciones en los niños. Con un sistema, las relaciones entre los conceptos emergen. Estas relaciones median las relaciones de los conceptos hacia el objeto a través de sus relaciones con otros conceptos (Vygotsky, 1987, pp.234-235; citado en Sierpinska et al., 2002).

Al respecto se señala, que el pensamiento teórico sólo se logra cuando el estudiante toma conciencia de los conceptos, cuando tienen significado para él y logra conexiones entre éstos, cuando el sistema de significados forma parte de una estructura conceptual, es decir, es definicional, esto es que los significados de los conceptos se consolidan a través de las definiciones; es demostrativo: el pensamiento teórico se preocupa de la coherencia interna de los sistemas conceptuales; es hipotético: el pensamiento teórico es consciente del carácter condicionado de sus enunciados y trata de descubrir las suposiciones implícitas, mientras el pensamiento práctico pone su atención en los objetos concretos, no tiene atención sobre los conceptos relacionados. La tabla 1.2 muestra ejemplos de estas características del pensamiento teórico.

Tabla 1.2.

Ejemplos del pensamiento teórico sistémico

Definicional Demostrativo Hipotético

Referir las definiciones en contextos algebraicos para decidir sobre los significados. Referir las definiciones en contexto gráfico para

Participar en demostrar la actividad. Refutar un enunciado general por contradicción.

Utilizar el Teorema sin tener las condiciones. Estar conscientes del carácter condicional de los enunciados matemáticos y participar

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decidir sobre los significados.

Participar en el razonamiento axiomático.

en los debates sobre las posibles consecuencias de la adopción de diferentes conjuntos de supuestos.

El pensamiento teórico es reflexivo, consiste en pensar por el propio afán de pensar, el pensador es consciente de pensar en sus propios pensamientos, no hay pensamientos impuestos por otros. A modo de ejemplo, el investigador, tiene una actitud hacia los problemas matemáticos, evaluando el significado intrínseco de los conceptos, utiliza un discurso racional. El pensamiento teórico es analítico, tiene una aproximación analítica del concepto, una característica de este pensamiento es su sensibilidad lingüística, esto es, un mismo objeto puede representar dos cosas; que puede ser también una sensibilidad a las notaciones formales y simbólicas: la interpretación de las expresiones algebraicas de una manera rigurosa; sensibilidad a la terminología especializada: articular y usar correctamente la terminología. Otra de sus características es su sensibilidad meta-lingüística, es decir, distancia simbólica entre el signo y objeto, ejemplos, las letras se interpretan como variables, la interpretación de gráficos que representan las relaciones entre variables, sensibilidad a la estructura y la lógica del lenguaje matemático, sensibilidad a los conectivos lógicos, en particular la implicación y la negación, estar conscientes del rol y el significado de expresiones como –para todo–, –para algunos–, tener un sentido de la cuantificación de las variable universales implícitas en sentencias condicionales, negar el cuantificador universal por la existencial y viceversa. Distinguir entre una implicación y una equivalencia, en una proposición. A modo de conclusión, las distintas posturas mostradas, son similares a las que desarrolla Sierpinska, sin embargo, es de interés la incorporación en este marco teórico para la comprensión matemática, de los obstáculos epistemológicos como categorías del pensamiento teórico-práctico, que permiten describir la comprensión de un concepto matemático.

1.6 Una aproximación al problema de investigación Las actividades matemáticas de los estudiantes, cuando calculan límites en su representación analítica o trabajan con la tangente, pueden ser explicadas de mejor forma desde una perspectiva y localización (Vandebrouck, 2011). La noción de perspectiva de localización según Montoya Delgadillo, Páez Murillo, Vandebrouck y Vivier (2017), emergen de las distintas representaciones que puede tener un objeto matemático, un ejemplo puede ser en el ámbito de las funciones, la gráfica podría ser representada como un conjunto de puntos (x, f(x)) o como una curva y vista no como una representación, sino desde una noción de perspectiva. Esta investigación considera pertinente considerar estas perspectivas para el estudio de la derivada:

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1. La perspectiva puntual (PP) comprende los objetos y conceptos matemáticos como números aislados. Por ejemplo, f(x0) de una función.

2. La perspectiva global (PG) refiere a objetos matemáticos vistos como un todo, o en al menos una gran parte.

3. La perspectiva local (PL) se refiere a las propiedades que subyacen o posiblemente están implícitas en la estructura de los números reales. Definición que se conforma en base a vecindades de un punto.

Considerando los argumentos antes expuestos, y la perspectiva local (PL), como una definición de base en el entendimiento de los conceptos del Análisis y del Cálculo Diferencial (Vandebrouck, 2011), esta investigación considera estas perspectiva puntual, local y global, con interés en lo “que hace la función en un punto y su vecindad”, vecindades próximas al punto, perspectiva local y aquellas tan amplias como todo el dominio de la función, como una perspectiva global. Para avanzar en este estudio y una vez definida la perspectiva de interés los temas tratados en este capítulo respecto a las problemáticas de la enseñanza y aprendizaje de la derivada, son evidencias de que ha sido también un concepto matemático complejo, se ha ido abstrayendo de su origen para conformar un concepto universal, despersonalizado y atemporal, (Bourbaki, 1972), en este proceso de más de doscientos años, de entendimiento en la matemática, no ha dejado ajena a las distintas y amplia gama de líneas de investigación en Didáctica de la Matemática, donde la atención desde distintos enfoques investigativos ha conformado a la derivada como un objeto de especial atención. La existencia de las distintas interpretaciones o representaciones, perspectivas local y global de la derivada, presentadas en Figura 1.8, constituyen una síntesis de los resultados interpretados desde distintos enfoques en las investigaciones analizadas, donde la perspectiva local en sinergia con su perspectiva global, juegan un rol importante desde el punto de vista de la comprensión de la derivada, no obstante, en los análisis realizados, se tienen evidencias que la perspectiva global se favorece, tanto en la enseñanza como en el aprendizaje de este concepto, quedando la perspectiva local oculta o simplemente desechada. Con respecto a las distintas representaciones de la derivada descritas en la Figura 1.8, conectado, con líneas segmentadas las interpretaciones de la derivada que han sido menos tratadas en los estudios considerados para esta investigación, existe la interpretación más tratada y con más dificultades, según este análisis y corresponde al límite de y su conexión con otras interpretaciones.

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Figura 1.8 Reinterpretación de la Figura 1.5 y Síntesis de los antecedentes en el contexto de las

investigaciones y los aspectos abordados.

En cuanto a la revisión de libros de textos, junto con el programa de estudio y los datos emanados de la medición inicial realizada, se plantea el desafío de indagar las complejidades del fenómeno de la comprensión de este concepto, tanto para el aprendizaje como para la enseñanza. En esta perspectiva, la comprensión de un concepto matemático será entendido, a lo largo de toda esta investigación, como las distintas formas de ver y entender interpretaciones de las distintas representaciones de la derivada que están en conexión. En este contexto, la dirección de interés de la investigación será identificar relaciones entre las diferentes interpretaciones que describen la comprensión de la derivada desde una perspectiva local, representada en la Figura 1.9, con el diagrama que muestra la ruta que pretende esta investigación.

Figura 1.9 las interpretaciones de la derivada desde una perspectiva local.

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La existencia de problemas en la comprensión desde la enseñanza y aprendizaje de la derivada, ya justificado, junto con la perspectiva local que se viene anunciando en los párrafos anteriores, focalizada inicialmente desde una explicación en el sistema de los números reales, la cual parece no estar considerada en la enseñanza de los números reales –es más se confunde la definición local con una explicación dinámica, de la derivada– la cual obstaculiza la comprensión de la derivada en su perspectiva local. En este sentido, Inglada y Font (2003), muestran que el uso de la notación incremental , requiere que los estudiantes manifiesten una comprensión del aspecto local de la derivada. En este sentido, la investigación plantea la siguiente pregunta:

¿Qué elementos matemáticos favorecen la comprensión de la perspectiva local de la derivada en profesores y estudiantes de un curso de Cálculo I?

Para avanzar en esta vía de investigación, se propone caracterizar aquellos elementos propios del conocimiento matemático que deberían estar presentes en el conocimiento de los estudiantes y los profesores para abordar problemáticas donde esté involucrada la perspectiva local de la derivada. Para responder esta pregunta, aún se debe establecer ciertas pautas, que nos permitan acciones de aproximación a una respuesta, planteando la siguiente sub-pregunta:

¿Cómo comprenden los estudiantes y profesores la perspectiva local de la derivada, en un curso de Cálculo I?

Abordar estas preguntas, permite delimitar la ruta que llevará la investigación, e ir situando el contexto del problema de investigación. Direccionar un estudio para describir la comprensión de la derivada en estos estudiantes orienta esta investigación hacia dos fuentes de información, por una parte indagar los elementos matemáticos que activan los estudiantes en una tarea determinada y que permita describir su razonamiento puesto en juego en una tarea con derivadas, y por otra parte indagar desde la perspectiva de la enseñanza, el rol del profesor, visto éste como una “oportunidad de aprendizaje” en los estudiantes y comprender los conocimientos que despliega el docente para favorecer los procesos cognitivos o el pensamiento puesto en juego por los estudiantes (Carpenter, Fennema, Peterson, Chiang, y Loef, 1989). Se espera que el desarrollo de este estudio contribuya a la discusión en torno a la comprensión de la derivada en su perspectiva local, en consideración a que una comprensión profunda y dominio desde distintas interpretaciones son el centro de la construcción de este importante concepto del Cálculo Diferencial.

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1.7 Síntesis representativa del capítulo A continuación, se puede observar los principales puntos abordados.

PROBLEMÁTICA DE INVESTIGACIÓN

MOTIVACIÓN CONTEXTO

Estudiantes con bajos niveles de aprobación

Curso de Cálculo I en una universidad del Norte de Chile

Mejorar niveles de aprobación

Estudiantes de primer año: Pedagogía en Educación en Enseñanza Media Licenciatura en Matemáticas

Incidencia del tópico de la derivada en el fracaso del curso

Alto nivel de fracaso en el curso Medición inicial

ANTECEDENTES DE INVESTIGACIÓN

Revisión de dos libros de texto Revisión del programa de estudio

EN INVESTIGACIONES EN DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA

Sobre las dificultades en la enseñanza Sobre las dificultades en el aprendizaje

COMPRENSIÓN COMO OBJETO DE INVESTIGACIÓN

Diferentes perspectivas y posicionamientos teóricos de la

comprensión

Noción de comprensión que asume la investigación

APROXIMACIÓN AL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN

Perspectiva puntual Perspectiva local Perspectiva global

¿Qué elementos matemáticos favorecen la comprensión de la perspectiva local de la derivada en estudiantes y profesores en un curso de Cálculo I? ¿Cómo comprenden los estudiantes y profesores la perspectiva local de la derivada en un curso de Cálculo I?

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CAPÍTULO 2.

MARCO TEÓRICO Y PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN En este capítulo se describen y conectan los referentes teóricos que dan sustento a las decisiones teórico-metodológicas de esta investigación, con el propósito de validar y operacionalizar un modelo para la comprensión profunda de la derivada en su perspectiva local. Este modelo emerge desde los Modos de Pensar en Álgebra Lineal desarrollado en Sierpinska (2000) como una variedad a otro dominio de la matemática, la DPL. Se realiza un estudio histórico-epistemológico de la derivada junto con una revisión de las investigaciones en Didáctica de la Matemática, para identificar dificultades en el aprendizaje y enseñanza de este concepto. Este capítulo presenta las evidencias que motivaron el interés científico y su conexión con la teoría de Sierpinska para analizar e interpretar los aspectos cognitivos involucrados en la compresión profunda de la DPL en estudiantes y profesores de un curso de cálculo en el ámbito universitario, plasmado en lo que este Capítulo 2 se propone como resultante –el Modelo Modos de Pensar la DPL–. En consideración a las necesidades investigativas, este modelo para la DPL, debe ser validado o refutado factible de ser empíricamente probado. En este contexto se considera el marco teórico MTSK que viene a complementar desde el conocimiento especializado de los profesores. Con el propósito de analizar y describir los conocimientos desplegados por el profesor que enseña la derivada en un curso de Cálculo I, se considera la investigación realizada por Carrillo, Climent, Contreras y Muñoz-Catalán (2013). MTSK brinda los elementos de análisis para describir e interpretar los conocimientos desplegados por el profesor en relación a los elementos articuladores que esta investigación plantea en forma hipotética permitiendo completar la evaluación de este modelo de comprensión profunda. En este contexto, esta investigación se permite una reinterpretación de la pregunta y objetivos de investigación, planteando y describiendo las tareas tendientes a evaluar el modelo propuesto, para ello se indagan los conocimientos en profesores y estudiantes de Calculo Diferencial, que, en definitiva, consiste en tener evidencias explícitas de los componentes y conexiones que conforman el modelo para la comprensión profunda de la DPL.

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2.1 Los Modos de Pensamiento de Sierpinska (2000) Describir y entender las acciones realizadas por un estudiante en el proceso de comprender un concepto matemático, es sin duda, uno de los mayores desafíos de la investigación cognitiva en Didáctica de la Matemática, dar explicaciones de los fenómenos que ocurren en la mente no es susceptible de observar directamente, esto es posible solo a través de productos elaborados por la mente, como el uso del lenguaje matemático, las interpretaciones de los conceptos o por procesos racionales del intelecto o bien por abstracción de la imaginación plasmada en hechos observables para el investigador (Sierpinska, 2000). La comprensión, por tanto, vista como el resultado del pensamiento que se hace perceptible en las acciones o estrategias que un estudiante realiza, implica tener evidencias del tipo de pensamiento involucrado en una tarea matemática, se necesita entonces, poseer un andamiaje conceptual que permita a los estudiantes trabajar con los conceptos en forma articulada, pero también, que conozca procedimientos que les permitan realizar estas reflexiones para poder hacer conexiones coherentes entre sus conocimientos. Tener evidencias de esto que ocurre en la mente de los aprendices, es que la investigación se centrará en esta manera articulada de pensar. Desde el punto de vista de Sierpinska, el interés estará en el pensamiento teórico y práctico desarrollado en el apartado 1.6 del Capítulo 1, para ello, se plantea la siguiente pregunta:

¿Cómo hacer explícitos los Modos de Pensar la DPL en los estudiantes de Cálculo Diferencial?

¿Qué pensamientos de los estudiantes de Cálculo Diferencial están involucrados cuando comprenden la DPL?

Para avanzar en la respuesta a esta pregunta, la presente investigación se propone indagar cómo el pensamiento teórico y práctico se refleja en la comprensión de conceptos matemáticos.

2.1.1 Descripción de los Modos de Pensar de Sierpinska para el Álgebra Lineal en relación con la DPL Los Modos de Pensamiento que se presentan en Sierpinska (2000), denotados como: los modos –Sintético-Geométrico (SG), Analítico-Aritmético (AA), Analítico-Estructural (AE) – representan los componentes de los diferentes significados que adquieren los objetos matemáticos en el álgebra lineal, así, el primer modo utiliza el lenguaje de las figuras, el segundo las ecuaciones que lo representan y el tercero como un todo estructural. Según Sierpinska (2000), estos modos no constituyen etapas en el desarrollo del pensamiento, sino que son vistos como modos de pensamiento igualmente útiles especialmente cuando están en interacción. Estos modos de pensamiento son formas de entender los objetos matemáticos, y dependen del tipo de relación entre los elementos matemáticos evocados en el momento de resolver una tarea y cualquiera sea la forma de razonar en ésta, siempre están en juego dos categorías de pensamiento, uno práctico y uno teórico, como una dualidad en tensión desde donde surge la necesidad de hacer explícito el pensamiento teórico, caracterizado por un sistema de conceptos, en conexiones lógicas y

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semánticas, actividad cognitiva necesaria para la comprensión de cualquier concepto en la matemática. Estos tres modos de razonar en el álgebra lineal, que se están anunciando –SG, AA y AE–, corresponden a tres significados distintos (Sierpinska, 2005), interactuando entre ellos a través de conexiones que promueven una comprensión profunda de conceptos matemáticos, al mismo tiempo, cada uno de los tres modos de razonamiento y el pensamiento en el Álgebra Lineal conducen a diferentes significados de los conceptos involucrados, porque cada uno de ellos está relacionado con una perspectiva teórica diferente. Sin embargo, la comprensión se logra con la superación de obstáculos epistemológicos en el álgebra lineal, que emergen del análisis histórico y epistemológico de este dominio matemático, como dos posiciones dogmáticas opuestas, para ser superadas en su enseñanza y aprendizaje:

“…una rechazando la incorporación de los números en la geometría y la otra de la intuición geométrica en el dominio puro de la aritmética” (Sierpinska, 2000)4

Para conseguir la superación de estos obstáculos Sierpinska distingue en álgebra lineal la coexistencia de los tres modos, definidos de la siguiente forma: Modo SG-AL: Los objetos están dados para ser descritos directamente por la mente,

es la imagen directa entre el sujeto y el objeto donde se considera el lenguaje de las figuras geométricas, puntos, líneas y planos, así como sus representaciones gráficas convencionales, correspondiente al pensamiento práctico (Sierpinska, 2000).

Modo AA-AL: Se recurre a la búsqueda algebraica para la representación del objeto, por ejemplo, los objetos son dados a través de relaciones numéricas, son vistas como conjuntos de n-uplas de números que cumplen ciertas condiciones. En este modo, el pensamiento es teórico desde el momento en que el estudiante debe interpretar los objetos a partir de ciertas relaciones numéricas o simbólicas, correspondiente al pensamiento teórico (Sierpinska, 2000).

Modo AE-AL: El objeto matemático es visto como un todo estructural que puede ser identificado a partir de un conjunto de propiedades o axiomas que lo describen, correspondiente al pensamiento teórico (Sierpinska, 2000).

Cada uno de estos modos, permite una mirada diferente del objeto matemático en el álgebra lineal, hecho que la teoría plantea como esencial, para alcanzar niveles superiores de abstracción, que se logran a través de las interacciones entre los tres modos. Sin embargo, éstos no constituyen etapas en el desarrollo del pensamiento del álgebra lineal, sino que más bien, son entendidos como modos distintos e igualmente útiles cuando interactúan en una tarea específica (Parraguez, 2012). Estos modos de comprensión atienden la problemática fundamental de la superación de obstáculos epistemológicos de este fragmento de la matemática, además de hacer explícito el pensamiento teórico. En forma análoga, Sierpinska (2000), brinda los

4 […] the most interesting fact is that linear algebra can be seen as the result of an overcoming of two obstacles or two opposed dogmatic positions: one refusing the entry of numbers into the geometry, and the other that of `geometric intuition´ into the pure domain of arithmetic. (Sierpinska, 2000).

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elementos teóricos basales en que se sustenta una ampliación del marco teórico, para levantar –Los Modos de pensar la Derivada en su Perspectiva Local–, con la finalidad de indagar las distintas formas en que los aprendices piensan, entienden y relacionan los conceptos matemáticos involucrados en la comprensión profunda de la derivada desde esta perspectiva. A continuación, se presentan los elementos teóricos a considerar en la comprensión profunda de la DPL, con el objetivo de identificar y describir los modos de pensar la derivada.

2.2 Extensión de los modos de pensamiento de Sierpinska al dominio de Cálculo Diferencial

Los Modos de Pensamiento de Sierpinska, como vía cognitiva para significar y entender los objetos matemáticos, muestra la existencia de distintas maneras de interpretar un objeto matemático y los tipos de relaciones que son evocados al momento de pensar un concepto o al intentar resolver un problema, para este estudio, la DPL, con la finalidad de llegar entender ¿qué modos de pensamiento del estudiante debe estar involucrado cuando resuelve una tarea con la DPL?¿qué nociones matemáticas pone en juego cuando resuelve esta tareas con la DPL? Responder estas preguntas, implica realizar una indagación en el tipo de pensamiento involucrado en una actividad matemática, para ir avanzando en esta vía, se consideran dos aspectos del pensamiento en juego, un pensamiento práctico y un pensamiento teórico, según Sierpinska, distinción Vigotskiana entre conceptos cotidianos y científicos (Sierpinska et al., 2002). Para el caso de esta investigación, se buscan elementos que brinden posibilidades concretas para indagar las distintas formas que los estudiantes entienden y relacionan los conceptos matemáticos involucrados en la comprensión de la derivada de la DPL. El pensamiento práctico y teórico como formas simplificadas de conocer la actividad cognitiva del estudiante en una tarea matemática con la DPL, es una distinción epistemológica, dado que depende del objeto matemático, pensamientos separados solo en teoría, dado que éste tiene lugar simultáneamente en varios planos de acción (Sierpinska, 2005). Para sustentar una extensión de Sierpinska (2000), con los elementos teóricos que nos permite ese marco, se deben identificar los obstáculos epistemológicos propios de la DPL, como formas de pensar que se interponen en el camino de otras formas de razonar, así, los obstáculos epistemológicos para la comprensión del álgebra lineal no tienen por qué ser los mismos que se presentan para el cálculo, en particular para la DPL, por lo que es fundamental realizar un análisis histórico y epistemológico de las ideas matemáticas en torno a la DPL, que servirán de base para esta investigación.

2.3 Análisis epistemológico de la derivada: dos concepciones que históricamente determinan su desarrollo

Los conceptos matemáticos en el Cálculo Diferencial son uno de los mayores logros del intelecto humano (Hughes-Hallett, Gleason, Lock, Flath, 2008), la derivada en particular, ha demostrado el poder de reducir grandes problemas de las ciencias

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físicas, biológicas e ingeniería a reglas y procedimientos simples usando símbolos y presentando fórmulas, donde sus notaciones no sólo representan una manera simplificada de la escritura sino también utilizadas para encontrar las soluciones más exactas, este proceso no ha estado libre de obstáculos, especialmente los relacionados con la búsqueda de la precisión matemática. Como parte del desarrollo de esta investigación, se analiza la ruta epistemológica de la DPL, con la intención de poner en relieve los obstáculos que debieron ser superados por matemáticos y estudiosos de distintas épocas en el desarrollo de la derivada. Asumiendo las premisas teóricas del pensamiento de Sierpinska (2000), se identifican aquellas nociones matemáticas con características de obstáculos epistemológicos y didácticos (Sierpinska y Nnadozie, 2001), para la comprensión de la derivada. Una distinción importante, para iniciar este análisis, se corresponde con recordar que esta indagación presentada a manera síntesis, está centrada en la perspectiva local de la derivada, bien se trata de las vecindades del punto para el caso local, considerando que para el global el interés es una vecindad del punto específico suficientemente grande como el dominio de la función, como se ha descrito en el apartado 1.4. Básicamente, la derivada de una función es la medida de la rapidez con la que cambia el valor de la función, según cambie el valor de su variable independiente, esta idea está fundada esencialmente en la noción de límite, como se conoce actualmente (Figura 2.1) y es la manera cómo se encuentra en los libros de texto.

Figura 2.1. Definición actual de la derivada en los libros de Cálculo diferencial (Spivak, p.201).

Definición aceptada por la comunidad matemática en la enseñanza del Cálculo Diferencial, pero ¿cómo se llegó hasta esta definición? ¿Cómo ha sido desarrollada la derivada en la historia del Cálculo Diferencial? ¿Qué elementos de su desarrollo podrían ser de interés para esta investigación? Para responder estas interrogantes, el estudio indaga los hitos relevantes en el desarrollo de la derivada, con una descripción de los temas que aportarán elementos de interés para esta investigación. Históricamente, se describen cuatro etapas importantes en el desarrollo de la derivada hasta su definición actual (Figura 2.1), resumido a través de la siguiente frase: “Primero fue usada, después descubierta, explorada y desarrollada y solo entonces definida” (Grabiner, 1983, p.195). Antes de comenzar la descripción de estas etapas, se muestra una síntesis de la génesis de su evolución.

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2.3.1 Génesis del desarrollo de la derivada en la matemática griega Los hitos temáticos de la génesis de la derivada emergen del estudio de tres problemas, el trazado de rectas tangentes, el cálculo de máximos y mínimos y las velocidades (Bourbaki, 1972). En este periodo, considerado anterior al siglo XVII, el trazado de tangentes tiene una concepción estática en la geometría griega (320-200 a.C.), los matemáticos Euclides, Arquímedes, Eudoxo y Apolonio entre otros, ya tenían conocimiento de cómo encontrar la tangente en un buen número de situaciones, por ejemplo, la búsqueda de rectas tangentes en curvas específicas, como la circunferencia, donde la rigurosidad matemática era a través de pruebas geométricas. La tangencia que Euclides considera es una recta que toca a la circunferencia y prolongada no la toca. Apolonio de Perga, también trabajó con las tangentes y en su tratado del tema, plantea El problema de Apolonio, este es: dados tres elementos, cada uno de los cuales puede ser un punto, una recta o una circunferencia, trácese una circunferencia que sea tangente a cada uno de los tres elementos dados. En su obra Cónicas, Apolonio introduce algunas proposiciones respecto a las tangentes, similares a la concepción que tenía Euclides: Proposición 32: La paralela desde el vértice de una sección cónica a una recta trazada ordenadamente es tangente a la sección y ninguna otra recta caerá entre la tangente y la sección (Vera, 2016). En resumen, la búsqueda de tangentes como una de las componentes que fundamenta la comprensión geométrica de la derivada, entra en conflicto con la aparición de otras curvas, por lo que no existían métodos ni algoritmos para resolver casos generales, notar que las tangentes se venían abordando desde los griegos para casos particulares, las cónicas ya eran conocidas por Apolonio en el siglo III a. C., como la espiral de Euclides o la concoide de Nicomedes. Las técnicas para calcular tangentes, aunque geométricas no eran de mucha utilidad, sobre todo si trata de las tangentes en una curva espiral, la definición considerada inicialmente como una recta que toca a la curva sin cortarla era apropiada para la circunferencia, pero inapropiada para otras curvas. Los trabajos de Arquímedes son de los pocos trabajos de naturaleza diferencial, pero sus métodos no son suficientemente generales, se cree que consideró un punto de vista desde la cinemática (Edwards, 1979). Otra de las problemáticas que empiezan a enfrentar los científicos griegos, es relativo a lo infinitamente pequeño e infinitamente grande, que se origina por el estudio del movimiento o al considerar la continuidad del espacio. Al respecto, Heath (1981), señala que el método de exhausción surge como una manera de afrontar el problema del infinito, resuelto por las técnicas de los infinitesimales y posteriormente por la definición rigurosa del límite. En este contexto se ha identificado el inicio de una primera etapa en el desarrollo de la derivada.

2.3.2 Primera etapa: Cálculo de tangentes, máximos y mínimos La herencia matemática griega pasó a los árabes de donde regresa a Europa en el siglo XII, destacando en estos siglos el desarrollo sobre la aritmética y los comienzos del álgebra. Los cambios significativos de la matemática en Europa comienzan a desarrollarse y abren nuevas perspectivas de la forma de hacer matemática, que se caracterizan en la segunda etapa del desarrollo de la derivada. Para responder la

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pregunta ¿cómo se comprende la derivada en esta época? Se presenta una síntesis de las características principales (hitos) de la matemática desarrollada entre XVII-XVIII, desde el punto de vista de esta investigación en la literatura existente, tanto en Grabiner (1981) como en Bourbaki (1972), entre otros. Algunos hitos relevantes en esta etapa, se destacan:

La asimilación y síntesis de la tradición clásica griega y del legado árabe. Se sigue utilizando el rigor demostrativo Euclidiano, pero se buscan métodos

heurísticos de prueba. Desarrollo del simbolismo algebraico (Viéte, Stevin). Concepto de cantidad

abstracta. Invención de la geometría analítica que comienza con Fermat y Descartes y se

consolida con la importante contribución de Euler. Multitud de nuevas curvas, como la cicloide, que traen consigo problemas con

la tangente, centro de gravedad, máximos y mínimos. Libre interpretación del infinito y la invención de métodos infinitesimales para

tratar problemas con tangentes. Inicio del estudio del movimiento, cantidad variable. La revolución científica, protagonizada por Copérnico, Galileo y Kepler. Invención de los logaritmos por Neper. Progresos de la astronomía y de la

trigonometría, desarrollo de la óptica. Creación de instituciones como la Royal Society (1660) en Londres y la

Académie des Sciences (1666) en París y el comienzo de las publicaciones científicas periódicas.

En los inicios del siglo XVII, el desarrollo del Cálculo Diferencial está caracterizado por la introducción de conceptos como los indivisibles o infinitésimos que permiten desarrollar técnicas para calcular tangentes, con problemas donde las demostraciones carecen de rigor matemático, con prioridad en métodos heurísticos, tanto en su producción como en la forma de entender los conceptos. Con la invención de la geometría analítica, los matemáticos de la época se vieron en la necesidad de crear nuevos métodos para el cálculo de las tangentes a las nuevas curvas. Para familiarizarse con las problemáticas de la época, se señala que Fermat no está pensando en una cantidad como función, sino que habla de cantidad mínima y máxima, no habla de infinitesimal, ni magnitudes pequeñas, su método está aplicado a problemas de construcciones geométricas (Bourbaki, 1972). Uno de los ejemplos que caracteriza las técnicas desarrolladas por Fermat, en su método para calcular cantidades máximas y mínimas a través de la tangente, se presenta a continuación.

Método de las tangentes de Fermat El problema de la tangente en relación con la búsqueda de máximos y mínimos de una función, fue estudiada por Descartes y Fermat (Figura 2.2), abordando el problema específico de dividir un segmento de longitud , de tal forma que los segmentos resultantes , originan un rectángulo de área máxima, con área igual a y perímetro . Fermat trató de encontrar en forma analítica el punto , en , para obtener un rectángulo de área máxima.

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Figura 2.2. Fermat encontró el máximo, que corresponde a la función área del

rectángulo.

Interpretando los procedimientos de Fermat, sería observar cómo cambia la función al variar en una cantidad , cuando se hace cada vez más pequeña, la idea fue, considerando los puntos: donde la pendiente de la secante que pasa por esos dos puntos permite llegar a la tangente, con la consideración dada en el cociente , la misma idea para este caso, es que la pendiente de la recta tangente en el punto , se acerca al valor , como se muestra:

Resultando

Esta cantidad es despreciable en el resultado y , se corresponde finalmente con la derivada en . Importante señalar que Fermat no explicó por qué se podía dividir por , ni tampoco usó la noción de límite. Este es un desarrollo basado en los infinitesimales, los que posteriormente la escuela de Bourbaki desterró del análisis, siendo desechados con la aparición de la definición de función y de la definición de límite (Bourbaki, 1972). También, Fermat introduce un método para el cálculo de máximos y mínimos basado en la tangente a una curva, denominado adigualdades, consistente esencialmente, en calcular la derivada e igualar a (González, 1992). También hace aportaciones como la ecuación f(x,y)=0 es una curva (función implícita), en un punto se alcanza un máximo si para un incremento infinitesimal de la variable, la función no cambia, este descubrimiento jugará un papel importante en los trabajos de Newton y Leibniz, como descubridores del Cálculo Diferencial.

Fermat (1601-1665)

Figura 2.3. Método de las tangentes de Fermat, expresada la pendiente por semejanza de triángulos (Arcos-Quezada y Sepúlveda-López, p. 61).

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En la Figura 2.3, el segmento TQ es la subtangente a la parábola en un punto dado P. El vértice de la parábola V y teniendo en cuenta que los triángulos TQP yTQ1P1 son semejantes, resulta:

además, si en la parábola

y

, cancelando términos y dividiendo por se

tiene:

Eliminando el término , dado que se considera una cantidad muy pequeña, es decir, se ignoran los términos que contienen a , igualando y simplificando por , se obtiene que . Resultando ya conocido, que la subtangente es el doble de la abscisa. Procedimiento duramente criticado por Descartes, pues la cantidad denotada, , no tiene explicación convincente en el procedimiento realizado, al que Fermat responde en 1638 con una memoria en donde aborda un problema general para cálculo de tangentes. La idea de adigualdades que utiliza Fermat puede ser interpretada como una cantidad infinitamente próxima y de alguna manera él está considerando cantidades infinitamente pequeñas (Alarcón, Suescún y Torres, 2005). En términos actuales, en la Figura 2.3, si, en , una función real de variable real y calculamos la pendiente de la recta tangente en . Se tendría lo siguiente: Sea un incremento de en una cantidad

, como diría Fermat,

Tendríamos la adigualdad

(**)

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Según Fermat, se ignoran los términos que contengan , esta consideración, tendría las mismas observaciones del ejemplo dado en relación al cálculo

de máximos y mínimos de Fermat. La interpretación de este caso, es que se está considerando como una perspectiva centrada en lo que hace la función en un punto y su vecindad, representada en este incremento , cuando se acerca a cero, que en términos modernos se trata del límite. Es decir, la pendiente de la recta tangente es:

Esto muestra que tanto Fermat, Barrow, Descartes entre otros matemáticos, ya usaban el concepto de derivada, sin embargo, la justificación matemática de las cantidades infinitamente pequeñas, o de no tiene explicación matemática convincente en este cociente, produciendo una crisis paradigmática en los matemáticos de la época y poniendo en conflicto los argumentos defendidos en el contexto de la justificación matemática para existencia de este límite, formado por diferencias que se aproximan a cero como una variable que tiende a cero. Hecho que determina un cambio en la naturaleza del trabajo matemático, siendo un obstáculo porque cambian las técnicas, como el campo de problemas que se aborda. (Grabiner, 1983). En este contexto, la derivada se muestra con un entendimiento incompleto, faltando las explicaciones y razones matemáticas de las cantidades infinitamente pequeñas, interpretadas en un sentido semántico, como una perspectiva local de la derivada que permanece oculta en el límite (Chorlay, 2011). Siguiendo con las tangentes, su cálculo fue de gran interés durante el siglo XVII, y se consideraba como una secante en la cual dos puntos distintos se acercaban hasta coincidir (Figura 2,4), era un método que funcionaba basado en la idea de aproximación, usado por Fermat, Descartes, matemáticos como Wallis y otros. Tampoco se tiene claridad en la explicación de cómo estas secantes se convierten en tangentes. Sin embargo, utilizan esta noción de la derivada para resolver problemáticas en fenómenos de la física, la geometría y la mecánica, con aplicaciones de la derivada que brindaron resultados con grandes logros en el avance científico, (Grabiner, 1983).

Figura 2.4. Secante de una curva, con la idea del siglo XVII (Grabiner, 1983, p.198).

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En términos de la época, en la figura 2.4, se leería que h se desvanece (hoy sería, h tiende a cero), la secante se convierte en tangente, así se elimina el término h en la expresión para la pendiente de la secante. En resumen, no existía una definición satisfactoria de tangente ni tampoco existía la definición de límite, esto indica entonces que el concepto de tangente y límite involucradas en la definición actual (Figura 2.1), no se ha podido resolver. ¿Cómo es que la derivada se concibió, como la conocemos ahora? La respuesta a esta pregunta, motiva una indagación en las relaciones de tangente con la razón de cambio, para ello, se estudia una segunda etapa el apartado siguiente.

2.3.3 Segunda etapa: Tangentes, áreas y razones de cambio En este período se destacan las investigaciones sobre el movimiento en relación con la recta tangente y la identificamos en las leyes que establece Galileo sobre la composición vectorial del movimiento, al representar éste en un gráfico desplazamiento-tiempo, cuya dirección corresponde a la tangente de la trayectoria y su velocidad a la pendiente de la recta tangente (González, 1992). Roberval y Torricelli en el año 1630, descubren un método para calcular tangentes mediante consideraciones cinemáticas, con las ideas básicas de considerar una curva como la trayectoria de un punto móvil que obedece a dos movimientos simultáneos y la consideración de la tangente en un punto de la curva como la dirección del movimiento en ese mismo punto. La razón de sus velocidades, conocidas entre los dos movimientos tiene como resultante la dirección del movimiento por la ley del paralelogramo. En la Figura 2.5, se representa esta idea, que podía ser aplicada sólo a curvas mecánicas, es decir, curvas generadas por el movimiento de un punto P situado en una circunferencia que rueda, siguiendo la idea de Galileo, relacionando geometría y dinámica.

Figura 2.5. Tangente de la cicloide en el punto P (Arcos-Quezada y Sepúlveda-López, p. 195).

Si consideramos una circunferencia que rueda sin deslizar, se genera una curva llamada cicloide, el punto que genera la cicloide tiene una velocidad angular igual a la velocidad de avance horizontal, por lo tanto, su tangente en el punto P se obtiene sumando el vector tangente a la circunferencia generadora en P y un vector horizontal en P y ambos vectores tienen el mismo módulo. Durante la revolución científica, nacen nuevas ideas, por ejemplo, la aplicación del álgebra simbólica al estudio de problemas geométricos mediante la asociación de

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curvas y ecuaciones en un sistema coordenado. Otros matemáticos que abordan el enfoque dinámico de estas problemáticas fueron, Bolzano, en 1817, quien define por primera vez la derivada como un límite, Lagrange (1736-1813), Robinson (1918-1974). Fue hasta fines del siglo XVII y principios del siglo XVIII con Newton (1642-1727) y Leibniz (1646-1716) que se desarrollaron los procedimientos para resolver, entre otros, el trazado de la recta tangente a una curva, la velocidad instantánea de los cuerpos en movimiento, el cálculo de máximos y mínimos en una curva, etc., dando origen a lo que actualmente conocemos como el cálculo diferencial.

El descubrimiento del Cálculo Diferencial Durante los siglos XVIII y XIX la derivada fue ampliamente desarrollada en diversos campos, y no fue hasta el último tercio del siglo XIX que se define en los términos que se le conoce hoy en día (Grabiner, 1983). En el último tercio del siglo XVII, Newton y Leibniz (Figura 2.6), conciben de manera independiente, la idea de una operación analítica, única, la diferenciación. El trabajo más significativo de estos dos científicos se resume en los siguientes puntos:

Sir Isaac Newton

1642-1727

Gottfried Wilhelm von Leibniz

1646-1716

Figura 2.6. Los inventores del cálculo diferencial y descubridores de la derivada.

Unificaron y resumieron la variedad de técnicas y diversos problemas que se abordaron con métodos particulares en dos conceptos generales, la integral y la derivada.

Crearon reglas formales de cálculo y un simbolismo que les permitía aplicar tanto en funciones algebraicas y trascendentes, independiente de cualquier interpretación geométrica con las integrales y las derivadas.

Formalizaron la relación inversa fundamental entre la derivación y la integración, el teorema fundamental del cálculo. “ Newton es el primero en concebir las ideas de reemplazar todas las operaciones

geométricas del análisis infinitesimal, basando su lenguaje en un parámetro del tiempo, llamando fluente a las cantidades variables en función de este parámetro y

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fluxiones o razón de cambio o flujo a sus derivadas, que denota como , basado en ideas intuitivas de movimiento continuo” (Edwards, 1979, p. 266).

Leibniz, no obstante, de carácter generalizador, aventurado en un lenguaje simbólico universal, busca sus notaciones que han sido invariantes hasta hoy, en discretas diferencias infinitesimales de variables geométricas. Su principal contribución fue la creación de un conjunto de reglas claras para la manipulación de las cantidades infinitesimales, permitiendo el cálculo de las derivadas de segundo orden y de orden superior, regla del producto y regla de la cadena en su forma diferencial e integral. Una vez que se tiene la definición geométrica o cinemática de una curva y se ha obtenido su ecuación algebraica asociada en un sistema de coordenadas, se establecen las propiedades geométricas restantes de la curva, siendo una cuestión de cálculo algebraico. Y, por ejemplo, si se cortan o si son tangentes, se pueden predecir estudiando las relaciones algebraicas que existen entre sus ecuaciones. El poder algorítmico del Álgebra aplicada a la Geometría en coordenadas, convierte a la Geometría Analítica en un maravilloso instrumento de investigación, donde resolver problemas de la geometría se traslada de forma eficiente a resolver en álgebra, utilizando el cálculo analítico. Se debe mencionar que en esta etapa no estaba totalmente estudiada la estructura matemática de los números reales para explicar las cantidades infinitamente pequeñas, las producciones matemáticas estaban centradas en la algebrización del análisis infinitesimal, quedando reducido a un cálculo operacional (Bourbaki, 1972, p. 262), como se ha identificado a esta segunda etapa. En esta etapa, la tangencia ya no era una dificultad, la consideración de las secantes como proceso dinámico lo explica, sin embargo, aún no existe justificación rigurosa del concepto de límite, apareciendo otras formas de resolver problemas, sin tener que enfrentar el límite, es así, como aparece el trabajo de las series convergentes.

2.3.4 Tercera Etapa: Series de Taylor y las ecuaciones diferenciales En el siglo XVIII, las series de Taylor y las ecuaciones diferenciales se habían convertido en herramientas indispensables en la matemática y en la física, en este periodo el cociente diferencial de todos los órdenes está vinculado a la solución de problemas de extremos y con la caracterización de máximos y mínimos. Brook Taylor (1685-1731), considerando las propiedades de diferencias finitas escribió una ecuación expresada como se conoce actualmente en términos de y sus cocientes de diferencias de varios órdenes (Taylor, 1715). Posteriormente considerando diferencias más pequeñas, junto con un paso al límite, define la fórmula que se conoce como: Serie de Taylor. Reconocida por Maclaurin (1698-1746), Euler (1707-183), quienes la utilizaron para el estudio de funciones y para calcular soluciones aproximadas de ecuaciones. Permitió también comprender algunos elementos de la naturaleza de la derivada. Taylor responde las siguientes interrogantes teóricas respecto a las series: ¿Dónde converge la serie?, ¿se podrá encontrar una serie de potencias que se comporte como la función? Cuando se responde positivamente o parcialmente a la última, se dirá que

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por teorema de Taylor, la función admite un desarrollo en serie de potencias centrado en , y se cumple la igualdad siguiente:

Si es derivable de orden esta serie se escribe:

El resto de orden para cada , entonces:

De esta manera una forma de determinar la derivada en un punto, consiste en desarrollar la serie de potencias en torno al punto. Se debe mencionar que Euler asumía que la función tenía una serie de Taylor y que además era única.

2.3.5 Cuarta Etapa: Definición y rigor de la derivada En esta cuarta etapa de la evolución histórica-epistemológica de la derivada se viene a dar respuesta a la pregunta formulada en el apartado 2.3 de este capítulo. Esta etapa denominada del análisis, involucra el último tercio del siglo XIX y parte del XX, una época en que la derivada es definida formalmente, el Cálculo infinitesimal dio por primera vez un tratamiento claro y potente de la derivada en 1823, cuando Cauchy tomó el viejo concepto de cociente diferencial, y le dio un nuevo significado a la derivada con la definición épsilon–delta a través del límite, tal como se conoce hoy en día, aunque aún no explicada totalmente la definición. En lo que sigue, se presenta una síntesis temática del extenso trabajo matemático involucrado en el desarrollo y evolución de la derivada, como también los distintos actores relacionados a la caracterización de estas etapas de formalización matemática de la derivada. En esta parte, se resaltan dos perspectivas, de Lagrange y de Cauchy a razón de sus importantes contribuciones al desarrollo del Cálculo Diferencial.

Perspectiva de Lagrange (1736-1813) Desde Lagrange se cree que el desarrollo de Taylor de la serie de una función era esencialmente un proceso algebraico, que trató derivadas de todos los órdenes como funciones, no proporciones de los infinitesimales, con magnitudes variables y constante que contribuyen a los modelos matemáticos de interés, para estudiar cómo se producen los cambios en estas funciones. Lagrange observa la naturaleza de la derivada y establece el cálculo para estudiar funciones, no infinitesimales, ni diferencias u objetos geométricos. Aún en los estudios de Euler no existe explicación precisa del cociente diferencial, a pesar del trabajo excepcional realizado en el análisis de máximos y mínimos de funciones, fue Lagrange quien identificó problemas lógicos en estas justificaciones.

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La definición de diferencial, con la noción de lo infinitamente pequeño, queda como sigue. Definición de diferencial: la diferencial de la variable se denota , es el cambio que experimenta la variable cuando la variable cambia de magnitud infinitesimal ;

Desde la perspectiva de Lagrange (Figura 2.7) en términos gráficos, la prolongación del segmento infinitesimal sería la tangente a la curva en el punto .

Figura 2.7. Es una magnitud infinitesimal, triángulo característico (Stewart, 2010, p. 191)

Para mostrar la perspectiva de Lagrange, se presenta el siguiente ejemplo. Para calcular la velocidad de un cuerpo que se mueve de acuerdo a la fórmula:

, en el instante Se sabe que:

, donde cambios infinitamente pequeños de implican cambios infinitamente pequeños de ,

es decir, si entonces , de manera que:

Y su velocidad instantánea estaría entonces determinada de la siguiente forma:

Esta expresión contiene , es decir 5 está multiplicado por una cantidad infinitamente pequeña, por lo tanto es despreciable en este resultado, por lo que la velocidad instantánea es, , para este caso en particular en la velocidad instantánea queda: . Otro ejemplo que muestra la perspectiva de Lagrange, la derivada será entendida como el coeficiente lineal del desarrollo en series de potencias de una función en torno a un punto dado, esta función debe ser analítica, y no todas las funciones cumplen esta condición, ejemplo, la función:

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La función no es analítica en “0”. Quiere decir que no tiene representación en serie de potencias en torno a ese punto. A propósito del ejemplo, lo que se quiere decir es que siendo esta función infinitamente diferenciable, de clase , no es analítica en cero. En la perspectiva de Lagrange la primera derivada de una función estará representada por el coeficiente de en la expansión de su serie. A modo de ejemplo: Si

+3

+3

3

Se define la función de primera derivada como el coeficiente en el desarrollo de Taylor .

Perspectiva de Cauchy (1789-1957) La presentación de esta perspectiva inicia con una imagen (Figura 2.8) del texto original de la primera lección que prepara Cauchy en 1823, donde define la derivada.

Tercera lección

Derivada de funciones de una sola variable

Cuando la función se mantiene continua entre dos límites dados de la variable x, y asignamos a esta variable un valor entre los dos límites en cuestión, un aumento infinitamente pequeño, atribuido a la variable, produce un incremento infinitamente pequeño de la función en sí. Por lo tanto, si luego aumenta , los dos términos de la relación a las diferencias.

Figura 2.8. Definición de Cauchy para la derivada de una función de una variable real (Cauchy, 1994, p. 22)

La definición de Cauchy de la derivada, es la definición que actualmente se utiliza en los textos de estudio (Thomas, 2006).

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, donde Δ representa la diferencia de dos cantidades reales.

Siempre que este límite exista.

A modo de ejemplo: Si En la perspectiva de Cauchy su derivada estará representada por:

El enfoque de Cauchy se plantea como una mejora lógica significativa respecto al enfoque infinitesimal de Leibniz, dado que sus argumentos se sustentan en definiciones consistentes de cómo se entienden las variables y las constantes (Figura 2.9), que le permiten la justificación matemática para el límite.

Se dirá una cantidad variable aquella que considera que tiene que recibir sucesivamente y esos diferentes valores entre sí. Por otro lado, llamamos cantidad constante a cualquier cantidad que recibe un valor fijo y determinado, cuando los valores sucesivamente atribuidos a la misma variable se fijan indefinidamente por un valor fijo para que termine tan poco como deseamos, este último se llama el límite todos los demás. Así, por ejemplo, la superficie del círculo es el límite hacia el cual convergen las superficies de los polígonos regulares inscritos, tendencias que aumentan más el número de sus lados; y el rayo vectorial, tomado desde el centro de un hiperespacio hasta un punto de la curva que es más que…

Figura 2.9. Definición de Cauchy para las variables y constantes (Cauchy, 1994, p. 4-5)

Para definir la derivada en términos de su definición de límite, Cauchy considera el límite de la relación de las diferencias en intervalos de continuidad de f(x). Se necesitaba la continuidad de modo que puede tanto acercarse indefinidamente y al mismo tiempo el límite cero, o lo que es equivalente, cantidades infinitamente pequeñas, como una variable cuyo límite es cero, Cauchy nunca indica que toda función diferenciable debe ser continua, si el agrega a este límite, cuando existe. Aún falta para explicar la dependencia y el nombre de función derivada. Por otra parte, también desarrollado en el siglo XVIII, incluye la aplicación de las derivadas para la solución de problemas: encontrar tangentes a las curvas, planos tangentes a las superficies, radios de curvatura, máximos y mínimos, y así sucesivamente. En este siglo, se plantea la cuestión de los fundamentos del Cálculo.

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Figura 2.10. Los inventores del Cálculo Diferencial y descubridores de la derivada (Grabiner, 2005)

La formalización de la derivada desde su perspectiva local se concreta con la definición de límite a través de la definición de épsilon y delta dado por Weierstrass, a fines del siglo XIX, como se aprecia en la Figura 2.10, se ha seguido la ruta de lo que Grabiner considera, el desarrollo de la derivada desde Fermat a Weirstrass. El concepto de derivada junto con las ideas de función, continuidad, límite y los números reales, lleva a definir la derivada, después de este periodo, cuando se desarrolla el análisis real como una disciplina separada del Calculo Diferencial (Grabiner, 1983).

2.3.6 Interpretación de los antecedentes Para llegar a la definición actual de la derivada ha sido necesario recorrer un largo camino, que comienza en la Grecia clásica, con los primeros problemas de tangentes y termina a fines del siglo XIX, cuando se formula una definición de la derivada en forma de límite con épsilon-delta, cabe notar que el comienzo del Cálculo Diferencial se inicia con Newton y Leibniz. El logro del Cálculo Diferencial entre los siglos XVII y XVIII, es que establece el escenario para el reconocimiento del infinito. El razonamiento de lo infinitamente grande e infinitamente pequeño como cantidades finitas, se desprende de los escrúpulos de la tradición griega, a pesar que aún las nociones de número real y función no tienen la suficiente justificación matemática (Lombardi, 2011). Se destaca un gran avance en las aplicaciones de la derivada en el campo del desarrollo tecnológico y de la ciencia en general, caracterizando el poder de la derivada como una herramienta matemática operacional. Aunque Euler hizo un buen trabajo en el análisis de máximos y mínimos, también llevó un poco más de comprensión a la naturaleza del cociente diferencial .

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La importancia dada a la serie de Taylor significaba que había que tener en cuenta no sólo el primer y segundo cociente de diferenciales, sino de cocientes diferenciales de cualquier orden.

Lagrange, logra definir una nueva función (*), con el coeficiente del término lineal en h que es en la expansión y la llamó, la primera función derivada de

(*)

En el periodo de tiempo transcurrido de más de doscientos años, contado desde Fermat, la derivada es utilizada implícitamente; Newton y Leibniz la descubren; Taylor, Euler, Maclaurin la desarrollan; Lagrange la nombra y caracteriza; y sólo al final de este periodo, Cauchy y Weierstrass la definen (Grabiner, 2005). Este orden descrito es sin duda un orden inverso al que habitualmente se enfrentan profesores y estudiantes a este conocimiento de la matemática, donde primero se expone la definición acabada de la derivada, a continuación, se exploran algunos resultados y después de esto las aplicaciones, situación que también se repite en la mayoría de los libros de textos (Thomas, 2006). En este sentido se quiere observar, que la presentación acabada de la definición de límite es un riesgo para la enseñanza, debido a que se pierde o se olvida la riqueza de los aportes del propio desarrollo (Sierpinska, 1985), como se ha descrito, por ejemplo, para la recta tangente, que es parte de la evolución de la derivada y en la enseñanza se muestra como una aplicación de ésta. Además, en la enseñanza se explica y desarrolla su concepción euclideana que se torna inadecuada para comprender la derivada cuando la función tiene, por ejemplo, puntos de inflexión. El concepto de límite, es abordado en la enseñanza con un enfoque algorítmico, donde se prefiere resolver algebraicamente (Artigue, 1991), sin consideración de sus obstáculos. Desde el punto de vista histórico, no hay evidencias de una cronología para determinar en qué momento se manifiesta lo local y global (Chorlay, 2011), sin embargo, como se muestra en la Figura 2.11, la perspectiva local tiene un momento histórico que viene de las propiedades de las funciones sobre las vecindades del punto.

Figura 2.11. Perspectiva Local y Global interpretada desde el referente teórico.

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2.4 Obstáculos epistemológicos para la comprensión de DPL Según muestra Sierpinska (2000), la existencia de obstáculos epistemológicos en la matemática también explica las dificultades de los aprendices en álgebra lineal y se deben a su tendencia al pensamiento práctico en oposición al pensamiento teórico (Sierpinska, Dreyfus, y Hillel, 1999, Sierpinska 2000, Sierpinska y Nnadozie, 2001). Tal como se ha desarrollado en el apartado 2.1.1, emergen las tres categorías de pensamiento en álgebra lineal: SG-AL, AA-AL y AE-AL, de manera análoga, esta investigación identifica los modos de pensar la derivada en su PL, así como también los obstáculos que deben ser superados para la comprensión de la derivada en su perspectiva local. El contexto de la historia del pensamiento matemático de la derivada permite describir las dificultades epistemológicas, de gran similitud con las dificultades que enfrentan los estudiantes, por lo que se facilita la determinación de los obstáculos epistemológicos para el aprendizaje (Sierpinska, 1994). Así, esta investigación, con el desarrollo histórico y epistemológico de la DPL, ha identificado dos obstáculos o posiciones dogmáticas opuestas, para ser superadas en su enseñanza y aprendizaje de la DPL:

“…por un lado la incorporación de elementos del dominio geométrico para medir cambios y por otro que la abstracción de carácter geométrico de lo infinitamente pequeño pueda ser llevada a un dominio puramente algebraico del límite” (Pinto-Rojas y Parraguez, 2017).

Desde donde emergen la recta tangente y el límite, como dos obstáculos para la comprensión profunda de la derivada. La recta tangente como obstáculo para su comprensión, tratado en el apartado 2.3, presenta tres modos de comprensión: una euclidiana, una cartesiana y una Leibniziana, tres significados que han debido sufrir cambios desde las distintas visiones para resolver las necesidades científicas en las distintas etapas del desarrollo de la derivada. En cuanto se ha descrito, los estudiantes, inician el curso, sólo con la noción euclidiana de este concepto (Páez, Murillo y Vivier, 2013 y otros). Desde el punto de vista de Bachelard (2000), pasa de ser un objeto de estudio para medir el espacio, a un objeto de estudio para medir movimiento. Respecto del concepto de límite, como se ha mostrado en el análisis histórico y epistemológico, en la segunda etapa descrita, el concepto de límite fue utilizado para resolver problemas geométricos, convergencia y el problema de la diferenciación, en particular en el siglo XVII, este concepto estuvo inmerso en situaciones confusas y oscuras, hecho que duró hasta el siglo XIX, cuando Weierstrass lo define formalmente, de la siguiente forma:

es el límite de una función para , si, dado arbitrariamente cualquier número pequeño puede ser encontrado un número tal que para todo valor de difiriendo de por menos que , el valor de diferirá de por menos el valor de (Weierstrass, citado por Boyer, 1959, p. 287).

Definición que se encuentra en los libros de textos actuales (Thomas, 2006), de la siguiente forma: Supongamos que está definida en determinada vecindad del punto a o en ciertos puntos de la misma. La función tiende al límite

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cuando tiende si para cada número positivo por pequeño que este sea es posible indicar un número positivo tal que para todos los valores de , diferentes de , que satisfacen la desigualdad , se verificará la desigualdad

.

Figura 2.12. Definición de límite a través de la épsilon-delta dado (Thomas, 2006 p.95)

Esta definición de límite definida con la rigurosidad matemática requerida, sustenta la definición de la derivada que se utiliza hoy en día en el Cálculo Diferencial, como se muestra en Figura 2.12, y corresponde a una interpretación analítica de la DPL. En esta etapa de la investigación, se tienen identificados, el obstáculo epistemológico para la comprensión de la derivada en su perspectiva local y las características del pensamiento práctico y teórico, que constituyen los elementos necesarios para levantar el modelo de comprensión para la derivada en su perspectiva local. En este contexto se proponen tres modos de comprensión para la derivada que son descritos a continuación.

2.5 Modos de pensar la derivada desde su perspectiva local (DPL) Asumiendo como problemática fundamental, la superación del obstáculo histórico y epistemológico de la derivada desde su perspectiva local, caracterizado a través de la noción de límite y de tangencia, se propone una ampliación de la teoría, que se nombrará en adelante, –extensión de los modos de pensar de Sierpinska (2000)– al dominio de la DPL. El modo sintético de la DPL se pone de relieve en la segunda etapa descrita en el análisis histórico y epistemológico, delimitando el modo de pensamiento práctico de la derivada. Los otros dos modos –AA y AE de la DPL– se corresponden con el pensar teórico de la derivada, no obstante, para determinar esta forma de pensamiento, se debe distinguir su relación analítica como el límite de las pendientes de las rectas secantes, perdiendo el carácter aritmético mencionado en la segunda etapa del momento histórico y sobresaliendo el carácter operacional de la derivada localmente. En la tercera etapa, una propiedad local de la derivada se explicita desde la comprensión de mejor aproximación lineal a la curva, teniendo en consideración el contexto del cálculo diferencial, en sintonía con el tratamiento intuitivo del límite. A continuación, se presenta la fundamentación y descripción de los tres modos de comprensión de la derivada en lo local.

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2.5.1 Modo Sintético-Geométrico-Convergente de la DPL (SGC-DPL) La interpretación geométrica de la derivada de una función desde una perspectiva local, está sustentada en la vecindad del punto de tangencia y para describir el modo sintético y geométrico se recurre a la definición realizada por D´Alembert (1717-1783), esto es, la pendiente de la tangente como límite de las pendientes de las rectas secantes. Desde el punto de vista matemático la convergencia está sustentada en la idea de rectas, pero pensadas como límites de conjuntos, porque la recta tangente es el límite de las rectas secantes que vienen por la izquierda y por la derecha, y la recta límite de las secantes por la derecha coincide con la recta límite de las secantes por la izquierda y este límite es la tangente. Esto último consolida la convergencia, considerada en este modo de comprensión de la derivada, constituyendo el modo Sintético-Geométrico-Convergente de la derivada desde su perspectiva local (SGC), así, las funciones reales continuas y un punto dado sobre su gráfico cuyo tránsito de la recta secante llegando a esta posición límite, que es cuando está próximo a será representada por la pendiente de la recta tangente en (Figura 2.13).

Figura 2.13. Modo SGC-DPL, para la comprensión de la derivada en lo local.

El modo SGC coincide en el sentido de Zimmermann y Cunningham (1991), con la recta tangente al gráfico de una función en un punto dado, y la recta tangente como la noción fundamental para conseguir la imagen directa y observable del concepto de derivada en un punto.

2.5.2 Modo Analítico-Operacional de la DPL (AO-DPL) Este modo se presenta como la recta tangente con múltiples rectas secantes, que tienen distancias progresivamente más pequeñas entre los dos puntos en el gráfico de la función, cada recta secante tiene asociada una única pendiente y esa pendiente depende de ( representa una cantidad pequeña, que desaparece cuando se aproxima a en el punto dado . Las pendientes convergen tanto por la derecha como por la izquierda, al considerar el límite de las pendientes de las rectas secantes de esta progresión se consigue la pendiente de la recta tangente. Con esta idea se define la derivada de una función definida en su dominio y continua, como la pendiente de la recta tangente de en el punto . La pendiente de la recta secante ( que pasa por los puntos:

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Es:

Con este propósito el número relativamente pequeño representa un cambio también pequeño en , y la derivada de en un punto dado, que es el límite del valor del cociente de diferencias, en la medida que las pendientes de las rectas secantes convergen a la pendiente de la recta tangente, esto es:

.

Si este límite existe, entonces se dice que la derivada de en el punto es . Este límite formaliza la idea intuitiva de aproximación, la función se aproxima al límite, mientras la variable se aproxima a “ ” operación sobre las diferencias que no es puramente aritmética, por tal razón el modo AA-AL definido por Sierpinska, se ha reinterpretado como el modo Analítico-Operacional (AO-DPL) para atender la comprensión de la derivada desde su perspectiva local.

2.5.3 Modo Analítico-Estructural de la DPL (AE-DPL) Para interpretar el concepto de derivada en su PL en su forma estructural, en el sentido de Sierpinska (2000), se recurre a propiedades inherentes del propio concepto o a los axiomas que le son propios y que permiten explicarlo como un objeto único dentro de la matemática, esto es la derivada como la mejor aproximación lineal de la curva en el punto . De esto último, una función real diferenciable f de variable real, se puede expresar de la siguiente manera:

donde ) es el punto y , es una función que representa el error, a través del (Lang, 1972), y la derivada es una transformación lineal (Poole, 2014). Las vías de acceso a la –derivada en su perspectiva local– en correspondencia con los modos que plantea Sierpinska (2000), se han sintetizado en la Figura 2.14.

Figura. 2.14. Caracterización de los modos de comprensión del aspecto local de la derivada en relación a los Modos de Pensamiento de Sierpinska (2000).

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Esta investigación presenta una variedad como extensión de los modos de pensar de Sierpinska al dominio de la derivada (Figura 2.14), para describir su comprensión en su perspectiva local, asumiendo como problemática teórica fundamental, la superación del obstáculo epistemológico de la derivada, a través de la noción de límite y la noción de recta tangente, que sustentan vías de acceso a la –derivada en lo local– en correspondencia con los modos que plantea Sierpinska (2000).

2.5.4 Presentación de los modos de comprensión para la derivada desde una perspectiva local Presentados y sustentados los modos de pensar la derivada desde su perspectiva local, SGC-DPL, AO-DPL y AE-DPL sintetizados en la Figura 2.15, interesa también describir los elementos matemáticos explícitos en las conexiones que se logran en estos tres modos, para ello esta investigación se centra en los componentes del pensamiento teórico, descrito en el apartado 2.1, especialmente en su componente sistémica, que da garantías de la existencia de conexión entre estos modos.

Figura 2.15. Descripción de los modos SGC-DPL, AO-DPL y AE-DPL para la DPL.

Concretando, la investigación propone que el razonamiento descrito a través de la interacción entre los modos, SGC-DPL, AO-DPL y AE-DPL corresponde a tres significados distintos de la DPL, interactuando entre ellos a través de elementos de conexión, que en adelante serán llamados –articuladores 5 – para promover una comprensión profunda de la derivada en esta perspectiva. En la Figura 2.16, se muestra el diagrama en relación a la búsqueda de los elementos articuladores. Para ello se hace necesario atender la pregunta, ¿qué elementos matemáticos articulan los modos SGC-DPL, AO-DPL y AE-DPL del concepto de derivada en su perspectiva local? (Pinto-Rojas y Parraguez, 2017). En general la hipótesis que subyace en la caracterización de los elementos observables para comprender la DPL, es que el razonamiento es descrito a través de

5 Los articuladores son ideas matemáticas que permiten vincular los diferentes modos de ver y entender la DPL (Pinto-Rojas y Parraguez, 2017).

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la interacción del pensamiento práctico y pensamiento teórico, manifestado en la capacidad del estudiante para interactuar entre los modos SGC-DPL, AO-DPL y AE-DPL de la derivada, de tal forma que las técnicas de recolección de datos permitan identificar y describir aquellos elementos que favorecen este tránsito –articuladores–, cuestión fundamental para el desarrollo de lo que este estudio precisa comunicar.

Los modos de comprensión para la DPL y la interacción con los articuladores

Figura 2.16. Relación de los articuladores con los modos de pensar la DPL.

En lo específico, con base en el estudio histórico y epistemológico de la derivada en lo local, se presenta una propuesta de elementos articuladores entre estos tres modos, SGC-DPL, AO-DPL y AE-DPL.

H1: El triángulo rectángulo en el sistema coordenado (formado por la recta secante y la recta horizontal), como articulador entre AO y SGC.

H2: La pendiente de la recta tangente en un punto de la curva, como articulador entre AO y AE.

H3: La ecuación de la recta tangente, como articulador entre SGC y AE.

Este modelo para la comprensión profunda de la DPL, permite conocer rutas de la actividad cognitiva de un sujeto con la comprensión profunda de dicho concepto, haciendo posible indagar los elementos articuladores, hasta el momento, propuestos hipotéticamente. Los argumentos teóricos obtenidos hasta este punto, indican que este modelo podría explicar la relación de la comprensión de la derivada que podría incidir en el rendimiento de los aprendices en su curso de Cálculo I. Para desarrollar un método de evaluación del modelo propuesto, se plantea la realización de un estudio para la evaluación particular de los articuladores descritos hipotéticamente en la Figura 2.16, para lo cual se considera en esta investigación, un marco teórico especializado para analizar el conocimiento de los profesores, MTSK, que complementa el diseño metodológico para indagar de manera profunda en los

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elementos articuladores, que permiten la evaluación del modelo de comprensión profunda que se propone para la DPL, como se describe en el siguiente apartado.

2.6 Conocimiento especializado del profesor que aborda la DPL El grupo SIDM6 de la Universidad de Huelva (España) ha desarrollado un modelo de conocimiento especializado del profesor de matemáticas (MTSK, por sus siglas en inglés de Mathematics Teacher’s Specialized Knowledge), un modelo que aborda el contenido de los conocimientos que el profesor activa y opera en su trabajo profesional docente en la enseñanza de la matemática (Carrillo, Climent, Contreras y Muñoz-Catalán, 2013).

2.6.1 Fundamentos del conocimiento especializado del profesor de matemáticas Este modelo analítico, MTSK, se compone de dos dominios del modelo de Shulman (1986), el dominio del conocimiento matemático (MK) y el dominio del conocimiento pedagógico del contenido (PCK7), en uno de cuyos subdominios (el del conocimiento de los estándares de aprendizaje de las matemáticas - KMLS), incluye el conocimiento curricular de Shulman; y considera, además, las concepciones y creencias del profesor acerca de la matemática y sus procesos de enseñanza y aprendizaje como elementos que permean todo el conocimiento (Carrillo et al., 2013). El conocimiento especializado en este modelo, se extiende de la propuesta de Ball y colaboradores (1987), en el modelo Mathematical Knowledge for Teaching (MKT), donde lo especializado se restringe a un subdominio del conocimiento matemático, sin embargo, en el MTSK se habla de lo especializado como la integración de tres dominios: los conocimientos matemáticos, los conocimientos didácticos matemáticos específicos del profesor (los cuales a su vez se dividen en tres subdominios respectivamente), (Figura 2.17) y un tercer dominio referente a las concepciones que tiene el profesor acerca de las matemáticas de su aprendizaje y enseñanza. Mientras que en el MKT la especialización atañe, entre otras cosas, a la exclusividad de uso de elementos de conocimiento por parte del profesor frente a otros profesionales, en el MTSK la especialización procede del uso y de la necesidad de uso de esos elementos de conocimiento en la enseñanza de las matemáticas, independientemente de que esos elementos se compartan o no con otros profesionales. Desde el punto de vista de esta investigación, este modelo (Figura 2.17) aporta elementos teóricos y analíticos –categorías en el conocimiento especializado del profesor– con un enfoque centrado en la matemática que permite en este estudio, realizar interpretaciones del conocimiento del profesor.

6 El SIDM es el Seminario de Investigación en Didáctica de la Matemática, con sede en la Universidad de Huelva, España. Estos investigadores interactúan en red con universidades de España, Portugal, México, Chile, Perú, Ecuador y Brasil, la investigadora de esta tesis es parte de esta red. 7 Las siglas corresponden a sus notaciones en inglés. PCK, en esta investigación será descrito como Conocimiento Didáctico del Contenido.

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Figura 2.17. Subdominios del MTSK (Carrillo et al., 2018)8

Es importante señalar que este modelo de análisis no determina lo que el profesor debe saber, o que permita realizar juicios si ese conocimiento es válido o no, no obstante, permite describir, analizar e interpretar el conocimiento especializado del profesor. Para esta investigación en particular, se trata de una interpretación del conocimiento del profesor, desde un punto de vista del modelo de comprensión profunda de la DPL, propuesto en Figura 2.16. Tomando en cuenta, tanto el dominio matemático de la DPL, MK-DPL como el dominio didáctico de la DPL, PCK-DPL, es decir, considera las diferencias que existen en cuanto a los criterios de validez de uno y otro dominio y destaca diferentes facetas en las que el profesor conoce el contenido matemático. Las razones que apoyan esta elección, se ajustan a tres fundamentos de conceptualización de MTSK: (1) en sus elementos teóricos sobre la naturaleza del conocimiento especializado del profesor, (2) una perspectiva interpretativa y (3) un enfoque centrado en la matemática (Carrillo, Montes, Contreras y Climent, 2017). Asimismo, el interés de esta investigación, tiene su foco en los conocimientos de profesores, que será especializado en la DPL, en el sentido que forma parte de su conocimiento profesional ligado a la matemática de educación superior (Schoenfeld, 2010), contexto adecuado para investigar el conocimiento involucrado en la enseñanza y aprendizaje de la DPL.

8 MK: Mathematical Knowledge; KoT: Knowledge of Topics; KSM: Knowledge of the Structure of Mathematics; KPM: Knowledge of Practices in Mathematics; PCK: Pedagogical Content Knowledge; KMT: Knowledge of Mathematics Teaching; KFLM: Knowledge of Features of Learning Mathematics; KMLS: Knowledge of Mathematics Learning Standards.

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2.6.2 Componentes del conocimiento especializado del profesor de matemáticas El conocimiento especializado del profesor de matemáticas (MTSK), considera el Conocimiento del Contenido Matemático (MK) como el conocimiento matemático del profesor, resaltando el conocimiento en profundidad el contenido matemático que enseña, dominio que también posee diferencias, así como su expresión o manifestación, lo que implica diferentes acercamientos con posibilidades de profundizar y ampliar la organización del conocimiento matemático (Schoenfeld y Kilpatrick, 2008), uno de ellos es el Conocimiento de los Temas (KoT), el cual supone el conocimiento de las propiedades, definiciones y significados, de manera fundamentada y de los procedimientos que se emplean al abordar un determinado contenido (cómo se hace, cuándo puede hacer, por qué se hace así), o las distintas formas de representación matemática o registros de representación asociados al mismo, además de la fenomenología asociada a la naturaleza de los contenidos, así como aspectos epistemológicos que permiten al profesor comprender diferentes significados que pueden atribuirse al contenido (Carrillo et al., 2013). También se establece otro subdominio, Conocimiento de la Estructura Matemática (KSM), el cual permite al profesor reconocer conexiones de complejización, simplificación del contenido que se aborda y por último, el subdominio del Conocimiento de la Práctica Matemática (KPM), se refiere al conocimiento sobre las formas de proceder propias de la matemática y en especial de la matemática que se enseña, así como los distintos tipos de razonamiento matemático y en qué contexto uno es más adecuado que otro. Esto en consideración de la necesidad que tiene el profesor de reconocer en la matemática prácticas como la jerarquización y planificación, como formas de proceder en la resolución de problemas matemáticos, las formas de validación y demostración, el papel de los símbolos y uso del lenguaje formal, los procesos asociados a la resolución de problemas como forma de producir matemáticas, las prácticas particulares del quehacer matemático (por ejemplo, modelación), así como las condiciones necesarias y suficientes para generar definiciones. En relación al dominio de Conocimiento Didáctico del Contenido (PCK), se reconocen las características propias que tiene el profesor del conocimiento didáctico del objeto de estudio, con una estructura y naturaleza propia de la Didáctica de la Matemática (Azcárate, Bosch, Casdevall, y Casellas, 1996). El subdominio de los Conocimientos de las Características de Aprendizaje (KFLM), refiere a lo que sabe el profesor sobre cómo se aprenden los contenidos, conoce las dificultades y fortalezas que surgen en el proceso de aprendizaje de un contenido, las formas de interacción, los intereses y expectativas que tienen los estudiantes con un determinado contenido matemático. El subdominio de Conocimiento de la Enseñanza de la Matemática (KMT), comprende los conocimientos que tiene el profesor sobre las teorías personales o institucionalizadas de enseñanza, las distintas actividades, tareas, analogías o ejemplos que usa el profesor, así como los conocimientos sobre el potencial y limitaciones que pueden tener los recursos materiales o virtuales disponibles para la enseñanza al abordar determinados contenidos matemáticos (Escudero-Ávila, Carrillo, Flores-Medrano, Climent, Contreras y Montes, 2015). El subdominio de Conocimiento de los Estándares de Aprendizaje de las Matemáticas (KMLS), refiere a lo que conoce el profesor sobre los estándares institucionales, curriculares o cognitivos que se tienen sobre la enseñanza y aprendizaje de un contenido matemático, clasifica lo que el

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profesor sabe sobre el nivel de desarrollo que se espera que los estudiantes aprendan a distintos niveles educativos. Respecto de las concepciones, corresponde a las creencias del profesor como verdades personales indiscutibles, derivadas de la experiencia o la visión con un fuerte componente afectivo y evaluativo (Ponte, 1994). Por su parte, tienen esencialmente naturaleza cognitiva (Ibid, p. 199). La relación entre creencias y concepciones, así como su integración en el conocimiento, es una faceta que no se ha explorado en la profundidad necesaria como para llegar a puntos de consenso, es por ello que este modelo adopta los términos creencias y concepciones en el mismo sentido y con el mismo significado, representado en el centro del modelo, para indicar su íntima relación con todos los subdominios de conocimiento del profesor, estas creencias no pueden ser directamente observadas o medidas, solamente inferidas. (Carrillo et al., 2013). Para determinar los componentes del conocimiento especializado del profesor que aborda el concepto de la DPL para su enseñanza, se han debido determinar los indicadores de conocimiento que fundamentan los pasos a seguir en el proceso de análisis del MTSK de cada participante; es decir, su MTSK-DPL, como muestra la Figura 2.18. Este proceso realizado con elementos que aporta, el análisis histórico y epistemológico de la derivada, en el campo de la investigación en Didáctica de la Matemática y en libros de textos, presentados en Capítulo I, son la base para especificar el contenido matemático de la DPL para la enseñanza.

Figura 2.18. Procedimiento para identificar indicadores para MTSK-DPL.

La elaboración de indicadores de conocimiento, permite a esta investigación operar sobre datos aportados en la aplicación del instrumento a los participantes del estudio; es decir, el MTSK permitirá el desarrollo del diseño metodológico presentado en el Capítulo 3.

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2.7 Indicadores de conocimiento especializado (MTSK-DPL) El conocimiento especializado del profesor (MTSK), permite organizar el conocimiento del contenido matemático de la DPL. Dado que, el propósito de la investigación es la búsqueda de los elementos articuladores en los profesores participantes del estudio, de tal forma, esta investigación considera las categorías y subcategorías de la Tabla G (Anexo 3), con algunas categorías adaptadas o no consideradas para este estudio. Para describir los componentes que conforman el MTSK del profesor que aborda la DPL se consideran los dominios de conocimiento matemático como disciplina de conocimiento que activa y opera el profesor al momento de impartir la DPL (MK-DPL) y un segundo dominio de conocimientos didácticos del profesor desde una perspectiva de la matemática que se enseña (PCK-DPL). Para definir los elementos matemáticos descriptores de los distintos subdominios del MTSK en relación al modelo de comprensión planteado, se han considerado desde el análisis histórico y epistemológico de la derivada, en apartado 2.3, tanto en su génesis y evolución, distintos significados de la derivada, comenzando por la matemática griega, el trazado de la tangente en una curva, posteriormente, los métodos algebraicos para hallar las tangentes a distintas curvas, la noción de variación, la concepción cinemática para el trazado de tangentes, las ideas intuitivas del límite para el cálculo de máximos y mínimos, los métodos infinitesimales en el cálculo de tangentes, la derivada como fluxiones, el cálculo de diferencias, la derivada como la componente de una serie, la derivada como proceso inverso de la integración (Teorema fundamental del cálculo) y finalmente la derivada como límite. En resumen, la derivada en cuatro campos de estudio de la matemática, Cálculo Diferencial, Integral, Ecuaciones Diferenciales y Cálculo Vectorial. Todos estos conocimientos han aportado a los componentes de MTSK que se analizan y forman parte de los mismos. Otros componentes del conocimiento, declarados en el campo de la investigación en Didáctica de la Matemática, emergen desde las distintas aproximaciones investigativas de este concepto. En el Capítulo 1, se presentaron evidencias de las dificultades que se encuentran con frecuencia en el campo del aprendizaje y enseñanza de la DPL que permitirán organizar los componentes de PCK-DPL. Las dificultades encontradas en relación a la DPL se han identificado con relación directa o indirecta en los conceptos matemáticos, como: las funciones y sus propiedades, la continuidad de las funciones, derivada en un punto, función derivada como la pendiente de la recta tangente y como el límite del cociente de incrementos, diferenciabilidad local y global, el modo analítico y representación geométrica, como registros de representación para la DPL, derivadas laterales, procedimientos y argumentos intuitivos y formales de la derivada, su relación con la noción de límite que está contenido en la estructura de los números reales, la concepción de lo infinitamente pequeño o infinitamente grande (Montes 2014). Todos estos conocimientos, integran el universo matemático para la enseñanza y aprendizaje de la DPL, los que formarán parte de las distintas categorías de conocimiento en los subdominios del MTSK que se busca profundizar.

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2.7.1 Conocimiento Matemático (MK-DPL) El dominio de conocimiento matemático de la DPL (MK-DPL), distingue los subdominios de conocimientos: de los temas, KoT, de la estructura, KSM y de la práctica, KPM, cada uno con sus distintas categorías de conocimientos con sus indicadores, como se presentan en lo que sigue.

Conocimiento de los tópicos matemáticos (KoT-DPL) Un primer subdominio de este conocimiento (KoT-DPL), corresponde al conocimiento matemático del profesor respecto de la DPL y se relaciona con conocimientos formales de la matemática, los procedimientos o fundamentos teóricos que le permiten conocer en profundidad los razonamientos matemáticos. En este subdominio se van a considerar todos los conceptos, estructuras e ideas matemáticas que están en relación con la DPL, por ejemplo, el concepto de límite sustenta la definición de la DPL, y se han considerado los diferentes significados que adopta la derivada y los diferentes conceptos que hacen uso de los significados de la DPL, por ejemplo, la idea de aproximación que aporta el límite para entender las secantes que devienen en tangente. Este subdominio también considera las formas en que se representa la DPL, es decir, se consideran los distintos registros de representación (Duval, 1993). De modo que la DPL adquiere distintos significados, como por ejemplo su representación geométrica. También se han considerado en este subdominio elementos del lenguaje matemático de la DPL, como por ejemplo, las nociones de variables, cuantificadores y la simbología del lenguaje matemático que permite aludir a otros conceptos, por ejemplo,

, permite relacionar la DPL con la velocidad.

De lo anteriormente expuesto se derivan las siguientes categorías: los estándares de los procedimientos matemáticos, las propiedades, definiciones y sus fundamentos, conocimiento de las representaciones y las nociones que organizan la definición de la DPL. A continuación, se describen en detalle los indicadores de conocimiento. Los códigos9 asignados, con letras mayúsculas y números correlativos, en el orden que presenta la Tabla G (Anexo 3), en adelante, se hará referencia a la Tabla 2.1.

9 La asignación de códigos fue realizada, según Miles y Huberman (1994), considerando, indispensable que los códigos tengan una definición operacional clara e identificar rápidamente la unidad de información para que puedan ser aplicados de manera consistente.

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Tabla 2.1. Indicadores de conocimiento de los tópicos matemáticos (KoT-DPL)

Procedimientos (A 1)

Conoce los procedimientos estándares asociados al campo de problemas en relación con la derivada, siendo consciente de los aspectos matemáticos que surgen cuando va a explicar en una sesión con la DPL. A1.1 Conocimiento de algoritmos de la estructura algebraica de las funciones para resolver la diferenciabilidad local. A1.2 Conocimiento de condiciones necesarias y suficientes para la diferenciabilidad, por ejemplo, la continuidad, vértices en la curva. A1.3 Conocimiento de la no diferenciabilidad a partir del límite por la derecha y por la izquierda.

Definiciones, propiedades y sus fundamentos (A 2)

A2.1 Conocimiento de los conceptos y propiedades de función, límite, continuidad, diferenciabilidad en forma intuitiva y formal en un intervalo. A2.2 Conocimiento de las propiedades asociadas a la DPL. Conoce la recta tangente como la recta límite de las secantes.

Registro de representación de DPL (A 3)

Conoce las distintas formas de representar la derivada, tales como: A3.1 La representación geométrica (una curva con la tangente trazada en un punto específico). A3.2 La representación analítica: conoce la derivada por su definición a través el límite (numérica y algebraica). A3.3 La interpretación de la derivada como la mejor aproximación lineal de la función en un punto.

Conexiones intraconceptuales (A 4)

En esta categoría A4.1, A4.2 y A4.3, corresponden a conexiones intraconceptuales, definidas y relacionadas con los elementos articuladores propuestos en forma hipotética para los modos de comprensión profunda de la DPL. A4.1 El triángulo rectángulo en el sistema coordenado, formado con la secante y la horizontal, en relación con la pendiente de la recta tangente. Articulador hipotético entre SGC y AO.

A4.2 El cociente de diferencias en el límite, en relación a la pendiente de la recta tangente. Articulador hipotético entre AO y AE.

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A4.3 La ecuación de la recta tangente en su relación con la expresión gráfica de la DPL. Articulador hipotético entre SGC y AE.

Fenomenología y aplicaciones (A 5)

La perspectiva sobre fenomenología, como una de las dimensiones desde las que se aborda el significado de un concepto matemático (Rojas 2014). En esta categoría se consideran las conexiones extra matemáticas como: A5.1 Conocimiento de campos de utilidad de la derivada en áreas específicas de la matemática, por ejemplo, si la función es creciente o decreciente o en espacios vectoriales. A5.2 Conocimiento de los aspectos epistemológicos de los distintos significados que tiene la DPL, límite de las tasas de variación media, límite del cociente incremental, mejor aproximación lineal, la derivada como operación inversa de la integración. A5.3 Conocimiento de la relación de la DPL con conocimientos de la física o de otras disciplinas.

Conocimiento de la Estructura Matemática (KSM-DPL) El conocimiento de la estructura matemática (KSM), corresponde al conocimiento matemático interpretado como un sistema de conexiones interconceptuales, que le permite al profesor, comprender otros contenidos matemáticos, en cursos anteriores o posteriores ligados a la DPL. Esta categoría considera la estructura matemática del profesor en un nivel interno y personal (Montes, 2014), en un proceso de complejización y simplificación de la DPL. Corresponde a los conocimientos que el profesor domina condicionados por su propia formación matemática e incluso los conocimientos matemáticos adquiridos desde su experiencia docente. Las categorías de este subdominio son las relaciones entre componentes de la estructura conceptual de la DPL y sus respectivos indicadores, se muestran en la Tabla 2.2.

Tabla 2.2. Indicadores de conocimiento de la estructura de la DPL (KSM-DPL)

Conexiones de complejización (B1)

B1.1 Relaciona la DPL con contenidos posteriores dentro de la matemática, derivada como función, operador derivada, espacio tangente, espacios vectoriales.

Conexiones de simplificación (B2)

Desarrolla conceptos con una visión de la matemática avanzada desde un punto de vista elemental, por ejemplo: (Escudero, 2015, p. 32).

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B2.1 Relaciona la DPL con contenidos anteriores dentro de la matemática, como propiedades algebraicas o de las fracciones numéricas para operar con el límite o la derivada.

Conexiones transversales y/o auxiliares (B3)

Las conexiones transversales son las ideas matemáticas como elementos que estructuran diferentes contenidos, ejemplo, patrones de igualdad, de congruencia. Las conexiones auxiliares se establecen entre conceptos matemáticos, ejemplo, la función como ecuación (Escudero, 2015, p.32).

Conocimiento de la práctica matemática (KPM-DPL) El conocimiento de la práctica matemática, trata el conocimiento que un profesor tiene sobre las formas de proceder propias de la matemática y en especial de la matemática escolar, así como el razonamiento matemático, su conocimiento sobre distintos tipos de razonamiento y saber en qué contexto matemático un razonamiento es más adecuado que otro. Interesa saber cómo se genera conocimiento en la matemática, en el sentido de que saber matemáticas para enseñar no implica conocer la matemática y poder replicarla (Montes 2014).

Definimos a una práctica matemática como aquella actividad cuyo uso constituye un pilar en la creación matemática y que tiene un sustento lógico que nos permite abstraer reglas para esta. Su conocimiento por parte del profesor de matemáticas incluye, entre otras cosas, el que tiene acerca de qué es demostrar, justificar, definir, deducir, inducir…, incluye el conocimiento de la lógica que sustenta cada una de estas prácticas, el del uso y funcionamiento del ejemplo y contraejemplo, en resumen, se trata un conocimiento sintáctico sobre cómo hacer matemáticas. (Flores-Medrano, 2016, p.30).

Este conocimiento de la práctica matemática considera dos tipos de conocimiento, un conocimiento general en la matemática y un conocimiento ligado al tópico. Los indicadores para este subdominio se presentan en la Tabla 2.3.

Tabla 2.3. Indicadores de conocimiento de la práctica matemática (KPM-DPL)

Formas de proceder en matemáticas (C1)

C1.1 Hace uso de distintas formas de proceder en matemática, como la jerarquización y planificación en la resolución de problemas matemáticos. C1.2 Conoce y emplea los argumentos lógicos como formas de validar y demostrar en matemáticas. Como el uso de contra-ejemplos para validar. C1.3 Conoce el significado de definición, axioma, teorema y cómo son usados para demostrar.

Formas de proceder ligadas a la DPL (C2)

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C2.1 Conoce la continuidad como condición necesaria para que la función sea derivable.

2.7.2 Conocimiento Didáctico del Contenido (PCK-DPL) Con respecto al dominio de conocimiento didáctico de la DPL, el foco se establece en el profesor como conocedor de las características específicas del concepto matemático como objeto de aprendizaje, en la dirección de Shulman (1986), “formas de hacer el contenido comprensible a otros” (p.9), en el sentido que el profesor necesita comprender cómo piensa, actúa y las expectativas que tiene el aprendiz cuando se enfrenta a tareas matemáticas con la DPL, para poder hacer que este conocimiento sea comprensible para ellos. La idea central en este dominio, es que existe un proceso comunicativo en el conocimiento del profesor que es adquirido y desarrollado por el aprendiz, en el contexto de la práctica de la enseñanza, el contenido del aprendizaje y su fenomenología10 (Rojas, 2014). En el contexto de este estudio, conocer la matemática de la DPL desde un punto de vista de un contenido a aprender (Conocimiento de las características de aprendizaje de la DPL), se compone de tres subdominios, conocimiento de la enseñanza de un contenido, KMT; conocimiento de las características de aprendizaje de un contenido, KFLM y conocimiento de los estándares de aprendizaje de un contenido, KMLS, cada uno de éstos con sus categorías de conocimiento, que se detallan a continuación.

Conocimiento de la enseñanza de las matemáticas (KMT-DPL) Este subdominio contempla aspectos de la enseñanza de la DPL, considera el conocimiento de las formas más efectivas de representación y formulación de este contenido matemático, de manera que pueda ser comprensible para los aprendices. Corresponde al conocimiento del profesor de teorías personales o institucionalizadas como estrategias específicas de enseñanza. Comprende también el conocimiento del profesor de recursos materiales y virtuales para la enseñanza de la DPL, por ejemplo, libros de textos, software, reconociendo los beneficios y dificultades que tienen estos recursos para la adquisición de este conocimiento.

10 La fenomenología didáctica según Rojas (2014), tiene su punto de partida en la práctica de la enseñanza, no en su trasmisión y la constituyen los conceptos, ideas matemáticas que organizan los diferentes significados que adopta el objeto o fenómeno, y los medios de organización de éstos significados, por ejemplo, los números ordenan el fenómeno de la cantidad, el límite como fenomenología de DPL.

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Tabla 2.4. Indicadores de conocimiento de la enseñanza de la DPL (KMT)

Teorías de enseñanza (D1)

D1.1 Desarrolla el concepto basado en una teoría de la Didáctica de la Matemática. D1.2 Tiene una propuesta de enseñanza para DPL, basada en su experiencia como docente. D1.3 Considera su enseñanza en una teoría institucionalizada, por ejemplo, la enseñanza basada en competencias.

Recursos materiales y virtuales (D2)

D2.1 Conocimiento de características específicas de recursos y materiales utilizados por la enseñanza de la DPL, por ejemplo, uso programas computacionales, GeoGebra, MAPLE.

Estrategias, técnicas, tareas y ejemplos (D3)

D3.1 Reconoce ejemplos, tareas y estrategias que son apropiadas en el aprendizaje de la DPL, ejemplo, el valor absoluto como una estrategia para entender la DPL.

Para la categoría de las estrategias, técnicas, tareas y ejemplos que podrían ser incluidas en la categoría (D2), serán consideradas como la intencionalidad de enseñanza que el profesor utiliza en la DPL, por ejemplo, sabe en qué momento un ejemplo o una tarea tiene más potencial para propiciar el aprendizaje.

Conocimiento de las características de aprendizaje de la DPL (KFLM-DPL) Este subdominio de conocimientos desde el punto de vista del aprendizaje, permite al profesor conocer las dificultades que los aprendices podrían presentar cuando resuelven una tarea con DPL, por ejemplo, cuando calculan la derivada usando la definición de límite. Las ideas de base para definir estos indicadores han sido las dificultades reportadas en investigaciones relacionadas y otros datos aportados en el primer momento de esta investigación. Este subdominio comprende las categorías de las fortalezas y dificultades que conoce el profesor, incluye conocimientos sobre los errores, obstáculos y dificultades, asociadas directamente con las características matemáticas de la DPL, es decir, el rol del aprendiz, solo en el sentido que interactúa con el contenido matemático, siendo de interés las características de su aprendizaje. Las formas de interacción con la DPL, refiere al conocimiento que tiene el profesor sobre los procesos y estrategias de los aprendices, tanto los típicos como los no habituales. Con respecto a la categoría de conocimiento de los principales intereses y expectativas de los estudiantes al abordar el contenido matemático de la DPL. En la Tabla 2.5 se presentan los indicadores.

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Tabla 2.5. Indicadores de conocimiento de las características de aprendizaje (KFLM-DPL)

Fortalezas y dificultades en la DPL (E1)

E1.1 Conoce los errores y las dificultades que los aprendices pueden presentar en la aplicación de conceptos y procedimientos en la resolución de tareas con DPL. Por ejemplo, dificultades para relacionar la expresión del límite de una función con su representación gráfica o viceversa. E1.2 Reconoce la potencialidad del aprendizaje de los tres modos de la DPL.

E1.3 Es consciente de las dificultades de , en el concepto de derivada a través del límite.

Formas de interacción con la DPL (E2)

E2.1 Las formas que pueden intentar responder los aprendices a un problema con DPL. E2.2 Es consciente del obstáculo entre la velocidad media e instantánea. E2.3 Conocimiento de algoritmos o estrategias de los aprendices usados generalmente para responder problemas con la DPL.

Intereses y expectativas (E3)

E3.1 Tiene preconcepciones de facilidad o dificultad que los estudiantes asocian a la DPL.

Conocimiento de los estándares de aprendizaje de las matemáticas (KMLS-DPL) Este subdominio corresponde al conocimiento de los estándares de aprendizaje matemático, más que de un conocimiento curricular, el profesor adopta una postura crítica y reflexiva al momento de abordar un determinado contenido matemático en relación a, ¿cuál es la práctica habitual en el nivel en que se encuentra? Una primera categoría de conocimiento refiere a lo que el profesor conoce acerca de los tópicos que se requieren enseñar en un curso de Cálculo I de primer año universitario donde se aborda la DPL, conocimiento que puede adquirir, consultando los programas de estudio o como una abstracción de las capacidades específicas que quiere desarrollar en sus estudiantes. La segunda categoría considerada corresponde al nivel de desarrollo conceptual y procedimental esperado para la DPL, y una tercerea categoría, refiere a la forma de poner en secuencia la DPL, es decir, lo que manifiesta el profesor de los conocimientos y capacidades de un aprendiz para enfrentar la DPL, y el conocimiento del profesor sobre las potencialidades que debe desarrollar un estudiante al estudiar la DPL para enfrentar otras materias. Para establecer los indicadores de este conocimiento se ha recurrido a los libros de textos y plan de estudio de cálculo y se ha considerado la relación que tiene con KSM, en lo que se refiere a

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conocimientos previos y posteriores, considerando que éste tiene una justificación matemática y KMLS tiene una justificación didáctica. Este conocimiento es usado para indagar si el modelo de la DPL es adecuado en el curso de Cálculo I, en función de su grado de complejidad. En la Tabla 2.6 se presentan los indicadores.

Tabla 2.6. Indicadores de conocimiento de la enseñanza de la DPL (KMLS-DPL)

Expectativas de aprendizaje (F1)

F1.1 Dispone de criterios para asociar los objetivos de aprendizaje planteados (implícitos o explícitos) con el desarrollo de la DPL según los documentos oficiales o programas de estudio. F1.2 Hace referencia a contenidos esperados que aprendan los estudiantes, teniendo en consideración lo que saben los estudiantes de la DPL.

Nivel de desarrollo conceptual o procedimental esperado (F2)

F2.1 Hace énfasis en los contenidos mínimos para enseñar la DPL, provistos por el programa de estudio (áreas temáticas del curso). F2.2 Conoce estándares de aprendizaje que surgen de investigaciones o libros de textos como guía de enseñanza.

Secuenciación con temas anteriores y posteriores (F3)

F3.1 Conoce la secuencia de conceptos en relación de la DPL con otros contenidos, ejemplo, derivada en diferentes funciones, resolver problemas de optimización, etc. F3.2 Conoce el programa de estudio y la organización de los contenidos en relación a la DPL.

Estas categorías para el conocimiento del profesor que enseña la DPL, caracterizado con los indicadores de su conocimiento especializado, serán contrastadas con los datos –en el Capítulo 4–, para responder a los objetivos específicos y generales de esta investigación. El proceso de razonamiento que organiza el conocimiento especializado del profesor, desde una perspectiva cognitiva, se complementa con las creencias o concepciones que tiene el profesor (Escudero 2015), sobre el tópico que aborda, su rol en la enseñanza, su visión de la enseñanza, los procedimientos matemáticos más apropiados, los resultados que espera, tal como muestra la Figura 2.16, en el Capítulo 2 se encuentra en el centro del MTSK-DPL, indicando cómo impregna todo el conocimiento especializado del profesor.

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Respecto de las creencias, esta investigación no profundiza en el tema, sin embargo, en consideración a lo antes dicho, estas podrían incidir en las reflexiones que haga el profesor sobre la enseñanza y aprendizaje de la DPL. En este sentido, las creencias permean todo su conocimiento y representan la predisposición del profesor a través de sus reflexiones, no pueden ser observadas ni medidas, solamente inferidas. Para responder al desarrollo metodológico de esta investigación cada categoría tiene asignado un código con sus respectivos indicadores, como muestra la Tabla 2.7, que será utilizada para el análisis de los documentos aportados por los participantes de los Casos 3, 4 y 5.

Tabla 2.7. Categorías con sus respectivos indicadores codificados: MTSK-DPL, del profesor

Categorías Indicadores

KoT (A)

A1 Procedimientos A1.1, A1.2, A1.3

A2 Definiciones y propiedades y sus fundamentos A2.1, A2.2, A2.3, A2.4

A3 A4

Registro de representación Conexiones intraconceptuales

A3.1, A3.2, A3.3 A4.1, A4.2, A4.3

A5 Fenomenología y aplicaciones A5.1, A5.2, A5.3

KSM (B)

B1 Conexiones de complejización B1.1

B2 Conexiones de simplificación B2.1

B3 Conexiones transversales y/o auxiliares

B3.1

KPM (C)

C1 Formas de proceder en matemáticas C1.1, C1.2, C1.3

C2 Formas de proceder ligadas a la DPL C2.1

KMT (D)

D1 Teorías de enseñanza D1.1, D1.2, D1.3

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D2 Recursos materiales y virtuales

D2.1

D3 Estrategias, técnicas, tareas y ejemplos

D3.1

KFLM (E)

E1 Fortalezas y dificultades en la DPL. E1.1, E1.2, E1.3

E2 Formas de interacción con la DPL. E2.1, E2.2, E2.3

E3 Intereses y expectativas E3.1

KMLS (F)

F1 Expectativas de aprendizaje F1.1, F1.2

F2 Nivel de desarrollo conceptual o procedimental esperado

F2.1, F2.2

F3 Secuenciación con temas anteriores y posteriores

F3.1, F3.2

Una vez desarrolladas las categorías y los indicadores de conocimientos, se ha solicitado revisión de expertos11, los investigadores han realizado observaciones, especialmente en el proceso de asignación de códigos, con la finalidad de asegurar si ha sido adecuada esta asignación, dado que de esto depende una correcta interpretación de la información. De igual forma, para los indicadores de conocimiento y su relación con las unidades de información. Las observaciones de los revisores fueron consideradas y han contribuido en asegurar la validez de los indicadores y asignaciones. En este momento de la investigación, se está en condiciones de plantear el problema de investigación que conducirá el desarrollo de la misma.

2.8 Problema de investigación Como se ha ido desarrollando en este escrito, la perspectiva local es una dimensión matemática que juega un rol fundamental en la comprensión de la derivada, sin embargo, para los estudiantes que entran en el estudio del Cálculo Diferencial presenta una serie de obstáculos que dificultan su comprensión. Los antecedentes en las investigaciones, discutidos en el Capítulo 1, muestran que muchos de los errores que cometen los estudiantes podrían explicarse por la falta de conexiones que

11 Dos doctores que pertenecen al Seminario de Investigación en Didáctica de la Matemática de la Universidad de Huelva (SIDM).

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deberían realizar los estudiantes entre la interpretación geométrica y analítica de la derivada, situación que dificulta una comprensión satisfactoria de la DPL. En cuanto a la enseñanza, se favorece el trabajo algorítmico con propiedades algebraicas, situación que deja oculta la perspectiva local de la derivada. La detección de este fenómeno podría permitir que los profesores puedan enfocarse en estas conexiones, que deberían desarrollarse en los estudiantes para favorecer una comprensión profunda de la DPL. Esta perspectiva local que se viene anunciando en los párrafos anteriores, se puede focalizar desde una explicación en el sistema de los números reales, relacionado con lo infinitamente pequeño, la cual parece no estar considerada en la enseñanza de los números reales –es más se confunde la definición local con una explicación dinámica, de la derivada– la cual obstaculiza más la comprensión de la derivada en su aspecto local. En este sentido, Inglada y Font (2003), muestran desde un análisis de textos, que el uso de la notación incremental , requiere que los estudiantes manifiesten una comprensión de la DPL, dado que este cociente es clave, para la apropiación conceptual de la DPL (Font y Contreras, 2008, D’Amore y Godino, 2007). Además, los antecedentes expuestos en el apartado 1.3, muestran que muchas de las dificultades de los estudiantes para acceder a una comprensión satisfactoria de la derivada, se deben a la existencia de una perspectiva local que no es bien comprendida. Una de las razones para este hecho, como muestra el apartado 1.3.1, justamente es , cociente que subyace en el límite y en la estructura de la derivada. Desde el análisis realizado en el apartado 2.3, hay evidencias que este cociente fue ampliamente discutido por los matemáticos del siglo XVII y XVIII, con libres interpretaciones de este cociente. En la enseñanza y aprendizaje de esta noción sucede algo similar, los estudiantes deben descubrir por sí mismos la idea de cercanía o aproximación (Vandebrouck, 2011), debido a que no se aborda debidamente esta perspectiva en la enseñanza secundaria. El diseño de comprensión propuesto (Figura 2.16), propone que la noción de mejor aproximación de la recta tangente a la curva, es una de las interpretaciones de la derivada que debería estar en los conocimientos de los estudiantes, así también, Sofronas,Virsonhaler, Gorgievski, Schroender &Hamelin (2011), muestra que el 33.3% de los expertos consultados reconocen e identificaron esta interpretación, central para la comprensión profunda de la DPL, sin embargo los dos tercios restantes (24 expertos en total), no lo consideran fundamental, esto podría estar explicando algunas de las dificultades que tienen los aprendices para acceder a la comprensión de la DPL. Además, los libros de texto revisados (Larson et al. 2009, Thomas, 2006), tratan esta interpretación de la derivada como una aplicación, presentados en un apartado de ejercicios propuestos y no es contenido de los programas, esto podría contribuir a que los aprendices no presten suficiente atención a esta dimensión en sus conocimientos. En resumen, la propuesta de esta investigación consiste en el modelo de comprensión profunda de la DPL como muestra la Figura 2.17, cuyos componentes son las distintas interpretaciones de la DPL, que favorece la comprensión profunda cuando el sujeto muestra evidencias explícitas de sus elementos matemáticos que los conectan. Es así,

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que la validez y confiabilidad del modelo se explica con una indagación en la interacción de estudiantes y profesores con este modelo. Además, permitiría evaluar la incidencia que puede llegar a tener la incorporación de este modelo de comprensión profunda en la práctica docente, debido a que amplía la producción de actividades que pueden ser llevadas al aula para ser estudiadas por los estudiantes, fortaleciendo sus conocimientos para superar los bajos niveles de aprobación en el curso de Cálculo I. En la Figura 2.17, se presenta un modelo hipotético de compresión profunda para la derivada en su perspectiva local junto con sus elementos articuladores.

Figura 2.17. La relación de los articuladores con los modos de pensar la DPL.

Con el modelo de comprensión profunda que enmarca esta investigación, es de interés indagar los elementos articuladores, propuestos como las Hipótesis H1, H2 y H3, entre los distintos modos de comprender la DPL. En este contexto, se está en condiciones de replantear las preguntas de investigación propuestas en el apartado 1.7 del Capítulo 1, junto con los objetivos que esta investigación desarrolla. Se espera entonces, dar respuesta a las siguientes preguntas:

¿Qué elementos matemáticos manifiestan los estudiantes al trabajar contenidos de Cálculo I, para articular las diferentes interpretaciones de la DPL?

¿Qué elementos matemáticos manifiestan los profesores al trabajar contenidos de Cálculo I, para articular las diferentes interpretaciones de la DPL?

Para dar respuesta a estas preguntas de investigación se proponen los siguientes objetivos.

2.8.1 Objetivos generales (OGi): OG1: Caracterizar los elementos articuladores matemáticos que presentan los estudiantes en la asignatura de Cálculo I. OG2: Caracterizar los elementos articuladores matemáticos que evidencian los profesores en la asignatura de Cálculo I.

Hipótesis 1

Hipótesis 2

Hipótesis 3

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Para el desarrollo de la investigación, se plantean objetivos específicos, que van respondiendo a las preguntas que emanan del proceso. Estas son:

¿Qué interpretaciones de la derivada priorizan los estudiantes para resolver problemas con la DPL?

¿Qué elementos matemáticos ponen en juego los estudiantes y profesores, para relacionar las diferentes interpretaciones de la DPL?

¿Los profesores y estudiantes, evidencian los mismos elementos articuladores?

2.8.2 Objetivos específicos (OEi) OE1: Describir e interpretar los argumentos observables en los estudiantes desde el modelo de comprensión de DPL. OE2: Describir los componentes de conocimiento según el modelo MTSK que presentan los profesores al abordar la DPL. OE3: Identificar explícitamente los elementos matemáticos articuladores en el conocimiento de los estudiantes. OE4: Identificar explícitamente los elementos matemáticos articuladores en el conocimiento de los profesores.

2.9 Relación entre los Modos de Pensar la DPL y el Conocimiento Especializado del Profesor de Matemáticas (MTSK)

El modelo de comprensión profunda de la DPL es producto de una extensión del marco teórico de Sierpinska (2000), en este contexto, el marco teórico del conocimiento especializado del profesor de matemáticas (MTSK), complementa las necesidades teórico-metodológicas de esta investigación, aportando criterios para operacionalizar el modelo de comprensión profunda para la DPL. En específico, MTSK permite delimitar los conocimientos de los profesores, para indagar las distintas formas en que los profesores abordan las formas de ver y entender los modos de comprensión profunda de la DPL, generando vínculos para interpretar y describir el conocimiento especializado en torno a la DPL. Esta relación interna establecida entre el modelo y el conocimiento especializado MTSK-DPL, constituye el marco teórico de investigación, como se muestra en la Figura 2.18. Los modos de pensamiento SGC, AO y AE, son los modos de comprensión de la DPL que se relacionan desde un punto de vista teórico con las distintas representaciones de la DPL, con las propiedades y fundamentos matemáticos que componen su MTSK-DPL y las conexiones intraconceptuales12 de éste, correspondiendo a los elementos articuladores presentados como Hipótesis, respectivamente H1, H2 y H3.

12 Las conexiones intraconceptuales son los conocimientos de las características internas de la DPL, conocimientos que permiten describir o caracterizar sólo a la DPL (Vasco, 2015), también refiere a los conocimientos sobre las bases, cimientos o exhaustividad del empleo de una propiedad, por lo tanto en KoT.

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Figura 2.18. Marco teórico de investigación, el Modelo de Comprensión profunda de la DPL y MTSK

Desde el punto de vista del contenido matemático, como muestra la Figura 2.19, el modelo de comprensión profunda para la DPL, está contenido en el KoT del MTSK. Sin embargo, se hace necesario considerar de forma integrada todos los subdominios y categorías en el dominio de conocimiento matemático (MK), como los conocimientos de la estructura de la matemática (KMS-DPL) y de la práctica matemática (KPM-DPL), indispensables para profundizar en la operacionalización del modelo.

Figura 2.19. Relación entre el Modelo de Comprensión profunda de la DPL y MTSK.

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2.10 Síntesis representativa del Capítulo A continuación, se puede observar los principales puntos abordados en este capítulo.

MARCO TEÓRICO

Modos de Pensamiento Sierpinska (2000)

Variedad como extensión de los Modos de Pensamiento de

Sierpinska (2000)

El Conocimiento Especializado del

Profesor de Cálculo I: MTSK

Análisis histórico y epistemológico de la derivada

Discusión teórica de los elementos: Pensamiento práctico y pensamiento teórico

MODELO DE COMPRENSIÓN PROFUNDA DE LA DERIVADA DESDE SU PERSPECTIVA LOCAL

PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN

LOS ARTICULADORES DEBEN ESTAR EXPLÍCITOS

Preguntas de investigación

Vía del aprendizaje Vía de la enseñanza

¿Qué articuladores entre los tres modos de pensar la derivada desde su perspectiva local evidencian estudiantes de un curso de Cálculo I?

¿Qué articuladores entre los tres modos de pensar la derivada desde su perspectiva local evidencian profesores de un curso de Cálculo I?

Objetivos de investigación Evaluar un modelo de comprensión profunda para la DPL

OG1: Caracterizar los elementos matemáticos articuladores que presentan los estudiantes en la asignatura de Cálculo I. OE1: Describir e interpretar los argumentos observables en los estudiantes desde el modelo de comprensión profunda de la DPL. OE3: Identificar explícitamente los elementos matemáticos articuladores en el conocimiento de los estudiantes.

OG2: Caracterizar los elementos articuladores matemáticos que evidencian los profesores en la asignatura de Cálculo I. OE2: Describir los componentes de conocimiento según el modelo MTSK que presentan los profesores al abordar DPL. OE4: Identificar explícitamente los elementos matemáticos articuladores en el conocimiento de los profesores.

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CAPÍTULO 3.

MARCO METODOLÓGICO En este capítulo se exponen los fundamentos del diseño metodológico para validar y evaluar un modelo hipotético de comprensión profunda de la DPL. De esta forma, la organización e interpretación de la información obtenida se ha considerado en dos fases, identificadas de la siguiente forma a) Fase 1: comprende la validación teórica de los componentes del modelo propuesto y cómo esta investigación identifica los obstáculos epistemológicos de la derivada en su perspectiva local, con una discusión teórica de Los Modos de Pensar de Sierpinska, desde donde se han indagado los elementos del pensamiento práctico y teórico que conforman la base teórica que sustenta la propuesta del modelo de comprensión; b) Fase 2: comprende el diseño metodológico que permite evaluar el modelo de comprensión profunda, se explicitan los criterios de selección de estudiantes y profesores dispuestos a pensar en el modelo propuesto en a), se presentan los instrumentos para la toma de datos y análisis de la información. Un referente para la primera fase de este estudio han sido los trabajos presentados por Sierpinska (2000); Sierpinska, Nnadozie y Oktaç (2002), a través de los cuales se valida teóricamente el modelo que permite delimitar la Fase 2 de esta investigación.

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3.1 Perspectiva de investigación La Didáctica de la Matemática como disciplina científica está sostenida por tres pilares fundamentales, un marco teórico, un marco metodológico y un ámbito de acción, siendo su principal objeto de estudio los fenómenos de la enseñanza y aprendizaje de la matemática; desde el punto de vista del investigador en esta disciplina, el interés está en comprender la naturaleza del pensar, enseñar y aprender matemáticas, así como también proponer mejoras (Shoenfeld, 2010). Un investigador en este campo, se interesa por comprender e interpretar una realidad que observa para dar sentido al fenómeno que pretende indagar, y sus decisiones de cómo investiga y qué investigar dependen de su perspectiva científica y de un enfoque, llamado también paradigma13 de investigación. Un paradigma de investigación le permite al investigador acceder a diversas formas de conocer científicamente la realidad que le interesa. En el campo de la investigación en Didáctica de la Matemática, diferentes autores definen sus distintos paradigmas, por ejemplo, Bassey (2003), señala:

Un paradigma de investigación es una red de ideas coherentes sobre la naturaleza del mundo y de las funciones de los investigadores que, aceptadas por una comunidad de investigadores, condicionan las pautas de razonamiento y sustentan las acciones en la investigación (p.42)

Es así como en el campo de la investigación en Didáctica de la Matemática se destacan tres paradigmas: positivista, interpretativo y sociocrítico, que surge como respuesta a las tradiciones positivistas e interpretativas. El enfoque positivista o proceso-producto trata de encontrar leyes y confirmar hipótesis, utilizando preferentemente métodos cuantitativos, asociados con mediciones sistemáticas y con modelos matemáticos; mientras que el enfoque interpretativo está orientado a la búsqueda del significado personal, describiendo e interpretando un fenómeno, utilizando estudios cualitativos, que se comparte con otros a través de diferentes casos de estudio (Stake, 2010). Bajo esta perspectiva, esta investigación distingue una dimensión del conocimiento que permite establecer limitaciones y explicar el mundo que se observa, construyendo una representación racional válida de los fenómenos en la enseñanza y aprendizaje de la DPL, y otra dimensión que permite elaborar –investigando– el acceso al problema de manera intencionada para mejorar, cambiar y actuar en el contexto de la realidad que se está indagando (Redón y Angulo, 2017). Respecto del paradigma elegido para la investigación que se presenta, se ha considerado el paradigma interpretativo, dado que es coherente con los objetivos generales que se pretenden, esto es, identificar, describir y comprender los elementos matemáticos explícitos en conexión con los componentes de un modelo de comprensión en la matemática, en una realidad situada y contextualizada en un curso de Cálculo Diferencial, en que interesa la interpretación de la interacción con el sujeto

13 Existe en la literatura una amplia y diversas formas de entender un paradigma o enfoque de investigación (Kuhn, 1971). En Didáctica de la Matemática (Lakatos, 1983, entre otros).

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–en esta tesis, estudiantes y profesores–, en el tópico de la DPL, como el objeto de conocimiento. Para precisar el paradigma elegido en este estudio, se identificaron tres elementos que componen un paradigma de investigación, (i) una perspectiva ontológica, (ii) una perspectiva epistemológica y (iii) las perspectivas metodológicas. La perspectiva ontológica, que más se ajusta a esta investigación, es relativista, en cuanto las verdades son subjetivas, dado que se interpreta una realidad específica, de la cual sólo se pueden conocer aspectos limitados, en contraste, la realidad objetiva, que asume la existencia de una verdad que se puede llegar a conocer de manera inequívoca y completa, una vez que se tiene el modelo adecuado, –es una postura realista del positivismo– (Lincoln y Guba, 1985), que no está en sintonía con la interpretación. Respecto a la perspectiva epistemológica, ésta se asegura con los elementos teóricos que brinda el marco teórico que da la consistencia y sustento a la investigación, y una perspectiva metodológica que aporta la técnica y el método de la investigación, en este sentido, se considera un estudio de casos con enfoque hermenéutico, desarrollados en el apartado 3.3 de este escrito. Para profundizar la perspectiva metodológica, en esta investigación, se distinguen dos dimensiones o contextos del estudio (a) una que considera el modelo de comprensión hipotético, (b) el desarrollo de un método que permita operacionalizar14 el modelo propuesto (Sierpinska, Nnadozie y Oktaç, 2002). En este contexto, se direcciona la investigación en dos fases para su desarrollo metodológico. Fase 1, comprende la validación teórica del modelo propuesto; Fase 2, justifica el proceso de operacionalización del modelo. Con este propósito, se buscan las fuentes de información, para la Fase 1, herramientas metodológicas teóricas, y para la Fase 2, una indagación con profesores y aprendices dispuestos a pensar desde el modelo. Así, se conforma una metodología desarrollada en interacción con la indagación en tres fuentes de información, como muestra la Figura 3.1.

Figura 3.1. Diseño metodológico de la investigación.

14 Operacionalizar, en el sentido de que los elementos articuladores, deben estar explícitos en la producción de los aprendices y en el discurso de los profesores.

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Fuente 1: El análisis realizado en Sierpinska (2000) y la indagación en la literatura existente sobre el desarrollo histórico y epistemológico de la derivada. Esta fuente proporciona categorías conceptuales para la construcción del modelo de comprensión profunda de la DPL propuesto y en la justificación de por qué, este modelo es relevante para el aprendizaje de la DPL. Fuente 2: Las respuestas o argumentos observables de un cuestionario aplicado a trece aprendices universitarios, diez de ellos cursando una asignatura de Cálculo I y tres cursando asignaturas de nivel superior, por lo tanto, aprobada esta asignatura. Fuente 3: Documentos que contienen transcripciones de entrevistas a tres matemáticos y profesores de un curso de Cálculo I. Estas entrevistas, se realizaron con la finalidad de indagar en los articuladores, debiendo ser explícitos para evaluar el potencial teórico y práctico del modelo propuesto.

Validez, autenticidad y rigor de la investigación En el contexto de una investigación cualitativa existen criterios que deben ser considerados en la valoración y evaluación de la calidad del estudio que se presenta. En Didáctica de la Matemática, se distinguen también criterios tales como: Pertinencia, Validez, Objetividad, Originalidad, Capacidad de predecir, Reproductividad, Coherencia, Ética (Lester, 2010; Carrillo, 1998). Criterios que han orientado esta investigación y se han explicitado de la siguiente forma:

Pertinencia: El modelo propuesto aporta conocimiento que permite la comprensión profunda de los estudiantes y brinda posibilidades para profundizar en este conocimiento a los profesores que enseñan la DPL.

Validez: La fundamentación teórica, desarrollada en el Capítulo 2 permite en un contexto interpretativo, realizar afirmaciones explícitas y bien delimitadas de este estudio, proceso que ha estado sujeto en todo momento a la revisión y ratificación de lo interpretado, en un constante cuestionamiento, supervisado y guiado por la directora de esta tesis.

Objetividad: Como se ha explicado en el párrafo anterior, la investigación es interpretativa, controlándose con distintas estrategias el carácter subjetivo de sus interpretaciones, además, en toda la investigación se ha tenido control de esto, a través de los contrastes de la información (apartados 3.7.2 y 3.9).

Originalidad: El modelo de comprensión profunda para DPL, que se valida y evalúa en este manuscrito, sintetiza formas de pensar un concepto matemático (DPL), que permite distinguir la ruta cognitiva de un sujeto que aprende o enseña este tópico matemático. Además, ha aportado información relevante en el contexto del conocimiento especializado del profesor.

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Capacidad de predecir: Este criterio, propio de la investigación cuantitativa, tiene una interpretación en el contexto de esta investigación que se ha sustentado como una oportunidad de comprender un suceso en situación y condiciones similares, provistas por un marco teórico y una metodología que permite el buen manejo de los resultados (Carrillo,1998).

Reproductividad: Esta investigación describe criterios del marco teórico y metodológico utilizado, por lo que el lector podrá encontrar todos los elementos que necesite, de modo que le sea posible realizar reproducciones, ampliar el estudio del fenómeno a otros sujetos informantes.

Ética: Se ha tenido en consideración los protocolos de consentimiento para la aplicación del cuestionario, de las entrevistas y el manejo de los datos con honradez profesional, evitando la manipulación voluntaria de los datos, que pudieran influir en la interpretación de éstos.

Aunque este criterio de Ética, no es tangible en el manuscrito, se declara implícito en todo el desarrollo de esta investigación, esto es, en la Fase 1 y en la Fase 2 que se describen a continuación.

FASE 1

3.2 Validación teórica del modelo En esta fase de la investigación se consideró un estudio exploratorio y descriptivo (Stake, 2010), con el propósito de dar sentido a las hipótesis que se han logrado, por medio de una variación realizada sobre los componentes que conforman los modos de comprender de Sierpinska (2000). Se presenta en el Capítulo 2 la justificación de cómo se fue conformando el modelo hipotético de compresión que se propone. Para ello se muestra la manera de cómo se obtienen los elementos matemáticos que articulan los modos de pensar la DPL, con base en un proceso de discusión teórica, de un modelo de comprensión para el Álgebra Lineal, que se ha extendido a un tópico específico del Cálculo Diferencial.

3.2.1 Levantamiento del modelo de comprensión para DPL Como se ha mostrado en el Capítulo 2, las componentes del modelo propuesto en el apartado 2.5.4, emergen de un obstáculo epistemológico para la derivada, descrito en el apartado 2.4. La ruta seguida en esta fase, se presenta en el siguiente diagrama (Figura 3.2).

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Figura 3.2. Desarrollo metodológico para la Fase 1 de la investigación.

La justificación, de cómo se adquiere el conocimiento en el desarrollo de esta fase, se enmarca en un proceso deductivo-inductivo (Dávila Newman, 2006). Deductivo, en consideración a que se realiza un proceso de deducción lógica, tal como se anunció en párrafo anterior, derivado, de la discusión teórica de Los Modos de Pensamiento de Sierpinska para el Álgebra Lineal. Se considera inductivo, dado que emerge de los datos, obstáculos epistemológicos y las distintas interpretaciones de la derivada que conformar un todo coherente en el Modelo de Comprensión profunda de la DPL.

FASE 2

3.3 Evaluación del modelo La presente investigación se ha delimitado en un paradigma interpretativo, descrito en párrafos anteriores, coherente con lo que se pretende describir, comprender e interpretar la naturaleza de los elementos que articulan profesores y estudiantes entre las distintas componentes del modelo de comprensión para la DPL.

3.3.1 Perspectiva metodológica El posicionamiento epistemológico proporciona un enfoque relativista, como postura ontológica, dado que se reconoce la existencia de múltiples realidades, que son producto de la actividad humana, a las que se puede acceder a través de la investigación, en contraposición con un enfoque positivista que considera un acceso a la realidad que es independiente de los humanos y en el cual la realidad preexiste (Santos, 2002). La justificación del paradigma relativista, responde a las necesidades que demandan los objetivos generales y específicos de este estudio para entender el actuar de los estudiantes y profesores como consecuencia de la interacción con el modelo de comprensión propuesto, tomando en cuenta que el fenómeno que se estudia depende de los significados que atribuyen los participantes.

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3.3.2 Estudio de casos como diseño de investigación Centrado en un modelo hipotético de comprensión profunda para la DPL se ha considerado el estudio de casos, como diseño metodológico, dado que permitió organizar las actividades que se fueron realizando para poder comprender e interpretar el problema de investigación propuesto. Caracterizar los elementos articuladores matemáticos que presentan los estudiantes y profesores en la asignatura de Cálculo I. Un estudio de casos dado que aporta las técnicas para un estudio minucioso y en profundidad de los informantes en estudio, también, pautas para realizar los procedimientos específicos de recogida, organización y análisis de la información (Stake, 2010). Un estudio de caso interpretativo aporta descripciones que permiten interpretar y teorizar sobre el caso, con un modelo de análisis inductivo para desarrollar categorías conceptuales que ilustren, ratifiquen o desafíen supuestos teóricos difundidos antes de la obtención de la información. Para este propósito se ha considerado, como muestra la Figura 3.3. un estudio de caso instrumental en cuanto permite analizar varios casos para fundamentar la evaluación del modelo propuesto (Stake, 2010), como se muestra en el segundo momento de esta Fase 2

Figura. 3.3. Tipos de análisis para estudios de casos cualitativos.

La organización que guía el desarrollo de este estudio de casos tiene los pasos a seguir desde, Miles y Huberman (1994), correspondiente a los siguientes criterios: Selección y definición del caso: Se identificó el ámbito en los que es relevante el estudio, los estudiantes y profesores, pertenecientes a las fuentes de información, considerado en función del problema y los objetivos. Elaboración y lista de preguntas: Se elabora un conjunto de preguntas que guían la atención de la investigadora, se desglosan en un conjunto de acciones tras los contactos con los casos orientando la recogida de datos, todo esto guiado por el objetivo de la investigación. Localización de las fuentes de datos: La elección de los casos, generan la información que se recoge a través de las respuestas de un cuestionario y entrevistas que son interpretados, ambos instrumentos, desde el marco teórico de referencia. Análisis e interpretación: Se sigue la lógica del análisis de datos cualitativos, con una interpretación con rigor y credibilidad.

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El diseño metodológico contemplado para la organización de las actividades que se realizarán permite comprender el problema de investigación y la pregunta de investigación planteados, transformando este proceso en el diseño y construcción de un puente entre la pregunta de investigación y la interpretación de los datos. Para poder desarrollar este proceso se formulan las preguntas con sus objetivos de investigación, de acuerdo con la realidad a estudiar y las posibilidades de acceso a las fuentes de información, retomando los objetivos generales y específicos, como se detalla en el apartado siguiente.

3.4 Preguntas y objetivo de investigación Con respecto a la necesidad de evaluación de este modelo de comprensión profunda, esta investigación considera indagar en los elementos articuladores entre los modos de pensar la DPL en estudiantes y profesores, como se ha declarado, en el apartado 2.8, permiten operacionalizar el modelo. La pregunta que ha orientado esta Fase 2 de la investigación es: ¿Qué elementos matemáticos manifiestan los estudiantes y profesores al trabajar contenidos de Cálculo I, para relacionar las diferentes interpretaciones de la DPL? De la cual se han desprendido los siguientes objetivos (OGi): OG1: Caracterizar los elementos articuladores matemáticos que evidencian los estudiantes en la asignatura de Cálculo I. OG2: Caracterizar los elementos articuladores matemáticos que muestran los profesores en la asignatura de Cálculo I. Sustentados todos por sus respectivos objetivos específicos (OEi) OE1: Describir e interpretar los argumentos observables en los profesores desde el modelo de comprensión de DPL. OE2: Describir los componentes de conocimiento de la DPL, según el modelo MTSK que presentan los profesores al abordar la DPL. OE3: Identificar explícitamente los elementos articuladores en el conocimiento de los estudiantes cuando resuelven problemas con la DPL. OE4: Identificar explícitamente los elementos articuladores en el conocimiento de los profesores al abordar la DPL. Si bien el foco de la investigación está en OE3 y OE4, los otros objetivos se precisan para alcanzarlos, y así brindar mayor consistencia al análisis y control de la subjetividad propia del enfoque interpretativo. Las decisiones metodológicas orientadas con la intención de dar sentido y consecución al diseño y construcción de este puente, entre la pregunta de investigación y la interpretación de los datos, se han determinado dos vías de estudio, uno direccionado a los estudiantes y otro a los profesores, con fuentes de información específicas en el escenario de la enseñanza y aprendizaje de la DPL, situadas en un curso de Cálculo I. Ahora, para seguir avanzando en la comunicación escrita de los procesos que permitieron alcanzar los objetivos propuestos en la investigación, se describe en el

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siguiente apartado la forma de organizar los elementos que constituyen su diseño metodológico.

3.5 Método A continuación, se presenta el desarrollo de la Fase 2 de la investigación, comprendiendo el proceso de operacionalización del modelo con profesores y estudiantes dispuestos a pensar en el modelo propuesto. Para ello, el diseño que se describe, pretende alcanzar los objetivos con los cuales se realizó la recolección y análisis de datos.

3.5.1 Procedimiento Con este fin se considera un primer momento con un estudio de casos con dos grupos de estudiantes, Caso 1 y Caso 2, diferenciados para fundamentar con mayor claridad la interpretación de los resultados, dado que podrían ocurrir diferencias significativas en las respuestas de los informantes de ambos Casos, esto debido específicamente a uno de los criterios que definen a los casos –tener o no aprobado el curso de Cálculo I al momento de la aplicación del cuestionario–. Posteriormente, se implementa un estudio de casos instrumental, etiquetados como Caso 3, Caso 4 y Caso 5 que corresponden a tres profesores que responden una entrevista semiestructurada, con el objetivo específico de indagar y precisar los elementos articuladores entre los modos de pensar la DPL, SGC, AO y AE.

Momento 1 3.6 Caracterización del caso y contexto Para alcanzar las evidencias que muestran el logro de los objetivos específicos, esto es, identificar explícitamente los elementos matemáticos articuladores de la DPL en el conocimiento de los aprendices (OE3), se eligieron dos grupos de estudiantes de primer año de las carreras de Pedagogía en matemáticas en educación Media y Licenciatura en Matemáticas (con edades correspondientes entre 18 y 19 años) en una universidad del norte de Chile. En el contexto de un curso de Cálculo I, en una clase de ejercicios, estos estudiantes se disponen voluntariamente a abordar las preguntas de un cuestionario, oportunidad favorable de acceso, que permitió a la investigadora interpretar los argumentos observables de las producciones desarrolladas por estos informantes, desde los tres modos propuestos –SGC, AO y AE–. Para el primer caso, llamado, Caso 1, se han considerado diez estudiantes de Pedagogía en Matemática para Educación Media que están cursando la asignatura de Cálculo I al momento del estudio, etiquetados como PM1, …, PM10, informantes, en adelante. Para el segundo, Caso 2, tres estudiantes de Licenciatura en Matemáticas que han cursado Cálculo I en un semestre anterior a la toma de datos, etiquetados como, LM11, LM12 y LM13. En la Tabla 3.2 se muestra la descripción de los casos.

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Tabla 3.2. Resumen de los participantes por cada caso de estudio

Casos Informantes Etiquetas

Caso 1 Aprendices de primer año de Pedagogía en Matemáticas en Educación Media PM1,…,PM10

Caso 2 Aprendices de Licenciatura en Matemática LM11, LM12, LM13

3.6.1 Implementación y aplicación del cuestionario En este primer momento se diseñó y aplicó un cuestionario de cuatro preguntas a los Casos 1 y 2 (Anexo 1), cuyas preguntas fueron fundamentadas y validadas a través de un juicio experto, sometido a diversas instancias de validación y ajuste, discutidos con colegas del grupo de investigación. La finalidad del instrumento se presenta en la siguiente tabla.

Tabla 3.3. Instrumento aplicado al Caso 1 y 2

Instrumento Registro Finalidad

Cuestionario La propia producción escrita del informante

Recoger información directa, para identificar los articuladores que propone el modelo, junto con los modos de pensamiento que muestran los aprendices

Cada informante recibió la primera pregunta en una hoja separada del resto del cuestionario, donde la respuesta fue desarrollada con lápiz y papel, información que luego se retira para su análisis. Paso seguido, se procede a entregar las tres preguntas restantes del cuestionario, en la que cada respuesta se desarrolla por los estudiantes en una hoja separadamente, con una duración de una hora y media para contestar. Durante esta aplicación se atendieron dudas acerca de la comprensión de enunciados. Las respuestas obtenidas se digitalizaron, para luego proceder al análisis de ellas.

3.6.2 Técnica e instrumento de recogida de la información Se consideran las respuestas expertas esperadas de las cuatro preguntas de un cuestionario (Apartado 3.6.4), desde los modos descritos (SGC, AO y AE), con la finalidad de contrastar con las respuestas proporcionadas por el Caso 1 y Caso 2. Cabe señalar que las preguntas del cuestionario aplicado, reúnen los elementos del pensamiento práctico y del pensamiento teórico del informante, según él haga referencia en sus respuestas a aspectos algebraicos, analíticos, geométricos o estructurales del concepto de la DPL, que están en sintonía con la razón de ser del diseño del instrumento, esto es, obtener datos que den cuenta de los elementos

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matemáticos que pone en acción el estudiante. La interpretación de las producciones de estos informantes se ha realizado en función y desde el modelo propuesto, siendo su principal interés la búsqueda de los articuladores; es decir, éstos deben ser mostrados en forma explícita en las producciones de estos informantes. Los articuladores propuestos como hipótesis (H1, H2 y H3), descritos en el apartado 2.5, son contrastados con los datos aportados por los informantes, en un proceso de triangulación, siendo también de interés, detectar las posibles dificultades que puede presentar la articulación de los modos SGC, AO y AE. A continuación, en los apartados que siguen, se presentan las preguntas del cuestionario, en las cuales se específica la intención investigativa explícita de cada pregunta. Para ello, se utiliza la codificación de la Tabla 3.4, que contiene los indicadores y códigos asignados, que permiten sintetizar la información y contrastar con los articuladores hipotéticos, representados en el objetivo OE3.

3.6.3 Indicadores de conocimiento para análisis de respuesta. Tabla 3.4. Instrumento aplicado al Caso 1 y 2

Objetivos Indicadores Códigos

El estudiante sitúa la respuesta en el modo SGC SGC

El estudiante sitúa la respuesta en el modo AO AO

El estudiante sitúa la respuesta en el modo AE AE

El estudiante sitúa inicialmente la respuesta en el modo SGC y transita al modo AO SGC AO

OE3 El estudiante sitúa inicialmente la respuesta en el modo SGC y transita al modo AO y viceversa SGC AO

El estudiante sitúa inicialmente la respuesta en el modo AO y transita al modo AE AO AE

OE3 El estudiante sitúa inicialmente la respuesta en el modo AE y transita al modo AO y viceversa AE AO

El estudiante sitúa inicialmente la respuesta en el modo SGC y transita al modo AO SGC AO

OE3 El estudiante sitúa inicialmente la respuesta en el modo SGC y transita al modo AE y viceversa SGC AE

En la Tabla 3.4, se destaca la relación entre el objetivo específico OE3 y la respuesta que se espera del informante para que emerjan los articuladores. El cuestionario aplicado contiene las preguntas intencionadas en función de la operacionalización del modelo de comprensión, es decir, se quiere indagar los articuladores y modos de

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comprensión en el conocimiento mostrado por los informantes. Esto, desarrollado en detalle en el apartado siguiente.

3.6.4 Descripción de las respuestas del Cuestionario para la DPL El Cuestionario CDPL15, muestra las respuestas analizadas desde el marco teórico de referencia, en que se describe su intención desde el marco, para contrastar las respuestas del Cuestionario aplicado.

Cuestionario CDPL Pregunta 1 ¿Cómo explicaría usted la derivada desde su perspectiva local a un estudiante de secundaria o a un compañero? El objetivo de esta pregunta es indagar en el modo de pensar la derivada que priorizan los estudiantes. La Tabla 3.5 muestra las posibles interpretaciones o respuestas.

Tabla 3.5. Posibles interpretaciones desde los modos de pensar la DPL.

Posibles argumentos observables del informante

Interpretación desde los modos de pensar la derivada en lo local

La pendiente de en el punto .

SGC

El límite de razón de cambio promedio. La velocidad instantánea. El límite de la velocidad media. El límite de las pendientes de las rectas secantes que pasan por el punto específico.

AO

La mejor aproximación de la curva localmente en un punto específico. La función que se comporta como una recta en un punto específico.

AE

15 Este cuestionario, se ha rotulado como CDPL: Contiene las posibles respuestas de los informantes, que se han considerado desde el Modelo de Comprensión de la DPL, éste permite realizar un contraste con el Cuestionario aplicado.

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Pregunta 2 Sea la función , la tabla muestra los valores resultantes del cociente

que son las pendientes de las rectas secantes cuando se aproxima a 1.

0.59 0.9 0.99 0.999 1.001 1.01 1.1

1.59 1.9 1.99 1.999 2.001 2.01 2.1

Comente y explique la información que tiene la tabla, en relación a la derivada de la función y la recta tangente en el punto . Justifique sus observaciones. Esta pregunta, está intencionada para que el estudiante se sitúe en cualquiera de los modos y transite a los otros: de AO → SGC, de SGC→ AE y AE → AO. La Tabla 3.6, muestra las posibles interpretaciones o respuestas.

Tabla 3.6. Argumentos posibles e interpretación desde los modos de pensar la derivada en lo local

Posibles argumentos observables del informante Interpretación

desde los modos de pensar la DPL

SGC

Calcula el límite de las pendientes de las rectas secantes en el punto, e indica que es la pendiente de la recta tangente

AO

En su relato escribe que la mejor pendiente para aproximar la curva en el punto está entre los valores de

,

AE

Si =2, existe en , entonces hay una recta tangente de pendiente, .

El cociente de diferencias , = m es una pendiente

AO → SGC

Si =2, entonces, m=2, es la pendiente de la recta que mejor aproxima a la función

AO → AE

En hay una recta tangente a la curva, , tal que: SGC → AE

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Pregunta 3

Suponga que es una función, tal que: .

a) ¿Cómo es el comportamiento del gráfico de la función, próximo a ?

b) ¿qué características tiene la mejor aproximación a la función en ?

Esta pregunta tiene el propósito de indagar si el estudiante tiene la comprensión del concepto de diferenciabilidad en un punto La Tabla 3.7, muestra las posibles interpretaciones o respuestas.

Tabla 3.7. Argumentos posibles e interpretación desde los modos de pensar la DPL

Posibles argumentos observables del informante

Interpretación desde los modos de pensar la derivada en lo local

SGC

Da cuenta que el límite corresponde a la derivada de la función evaluada en x=2 y corresponde a un máximo o un mínimo.

AO

Argumenta que si la pendiente es cero en x=2, en torno a ese punto existe una recta horizontal que es su mejor aproximación local.

AE

, es la tasa de variación, que indica aproximación de la función al cero.

AO → SGC

Si el límite es cero entonces la pendiente de la recta tangente es cero, por lo tanto, su mejor aproximación local es una recta horizontal.

AO → AE

SGC → AE

O un punto de Inflexión

En la proximidad del punto (2, f (2))

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Pregunta 4 Si consideramos que la ley del movimiento de un punto es ¿cuál es la velocidad media del punto entre ? ¿Cuál es la velocidad en ? Justifique su respuesta. Esta pregunta está intencionada para observar si el estudiante comprende el aspecto local de la derivada y los posibles tránsitos entre sus modos. La Tabla 3.8 muestra las posibles interpretaciones o respuestas. Tabla 3.8. Argumentos posibles e interpretación desde los modos de pensar la DPL.

Posibles argumentos observables del informante

Interpretación desde los modos de pensar la derivada en lo local

SGC

La velocidad instantánea en , 15 (m/seg).

AO

AE

Si y son dos puntos escribe: la tasa de cambio o razón de cambio:

La velocidad media corresponde a calcula:

, así la velocidad media del

punto entre es

AO →SGC

, donde m es la pendiente de la recta tangente

AO → AE

En existe una recta que es la mejor aproximación lineal del grafico de SGC → AE

La información obtenida de las respuestas de los informantes en el Cuestionario fue contrastada con las respuestas del cuestionario (CDPL), un proceso que se desarrolló con apoyo de una matriz de datos (Miles y Huberman 1994). Organizada como se explica en el apartado siguiente.

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3.6.5 Organización y análisis de la información Una vez recogidas las producciones de los informantes se inició el momento de darle sentido a la información obtenida, para ello, se consideró una matriz de datos (Figura 3.4), en el cual la información es interpretada a través de un proceso de contraste con el Cuestionario, además se registra en cada entrada de la matriz, los códigos asignados a la unidad de significado, con la interpretación de los datos, serán puesto en contraste con las hipótesis16. Este proceso se realiza a partir de una revisión por pregunta para mostrar una visión del análisis de las respuestas dadas por los informantes (columnas) y un relato de lo analizado por cada informante (filas). Luego del análisis de las preguntas se realiza una triangulación con las hipótesis planteadas (objetivo OE3 de la investigación).

La triangulación es un medio para el análisis cruzado de la relevancia e importancia de los temas o para analizar nuestros argumentos y opiniones desde diferentes ángulos, para generar y reforzar pruebas en las que poder apoyar las afirmaciones más importantes. (Simons, 2011, p.181).

El proceso seguido se presenta en la Figura 3.4, donde las conclusiones serán discutidas en el capítulo siguiente.

Figura 3.4.Proceso de análisis Momento 1 Fase 2.

16 H1: El triángulo rectángulo en el sistema coordenado (formado por la recta secante y la recta horizontal), como articulador entre AO y SGC.

H2: La pendiente de la recta tangente en un punto de la curva, como articulador entre AO y AE.

H3: La ecuación de la recta tangente, como articulador entre SGC y AE.

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El segundo momento de la investigación en esta Fase 2, corresponde, por decisiones metodológicas, a la incorporación de otros casos de estudio, con la finalidad de poder completar la operacionalización del modelo propuesto, cuyo objetivo es obtener evidencias explícitas de los articuladores en el conocimiento de los profesores.

Momento 2 En consideración al objetivo general de esta investigación, esto es, caracterizar los elementos matemáticos articuladores que evidencian los profesores en la asignatura de Cálculo I (OG2), junto con dos de los objetivos específicos: (1) describir los componentes de conocimiento según el modelo MTSK que presentan los profesores al abordar la DPL (OE2); (2) identificar explícitamente los elementos matemáticos articuladores en el conocimiento de los profesores (OE4), es que esta parte de la investigación se orienta hacia el conocimiento especializado del profesor.

3.7 Caracterización de casos y contexto Los tres profesores a los que tuvo acceso esta investigación corresponden a profesores universitarios que imparten o han impartido la asignatura de Cálculo I, elegidos en base a su predisposición para colaborar en el estudio, y debido a que forman parte del cuerpo docente del Departamento de Matemáticas de la universidad, donde la investigadora de esta tesis se desempeña como docente. Los tres participantes17 han sido individualizados como casos de estudio, cuyas características se detallan a continuación. Estos tres académicos son doctores en matemáticas, investigadores con gran experiencia en el campo de la enseñanza universitaria, en este estudio cada uno conforma un caso de estudio, para ello se asignan las siguientes etiquetas: profesor P1, profesor P2 y profesor P3, para hacer referencia a ellos a lo largo del escrito.

Caso 3: (profesor P1) Dr. Adscrito a la línea de investigación en Diferential Geometry Control Theory, Lie Groups, Lie Álgebras and its Applications Semigroups, Optimality. Caso 4: (profesor P2) Dr. Adscrito a la línea de investigación en Teoría de Control Geométrico y Geometría Sub-Rimmaniana. Caso 5: (profesor P3) Dr. en Ciencias Matemáticas mención Estadística e Investigación Operativa.

Se muestra en la Tabla 3.9, un resumen de estos tres participantes.

17 Se denotan como participantes, para diferenciar de los informantes que se han considerado para Caso 1 y 2, evitando posible confusión al lector.

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Tabla 3.9. Resumen de los participantes del Caso 3,4 y 5 del estudio

Caso Informantes Etiquetas

Caso 3 Profesor universitario e investigador P1

Caso 4 Profesor universitario e investigador P2

Caso 5 Profesor universitario e investigador P3

Para el logro de los objetivos (OG2, OE2 y OE4), que favorecen la operacionalización del modelo propuesto, según lo planteado en apartado 3.4, se considera un estudio de casos instrumental, como se declara en el apartado 3.3.1, se considera instrumental, dado que, siendo los participantes de estos casos expertos en la disciplina y en particular en este tópico matemático, podrían brindar un espacio considerable de información sobre su conocimiento especializado para una evaluación cualitativa en la validación teórica del modelo, en este sentido, se justifica el estudio de carácter instrumental (Stake, 2010).

3.7.1 Implementación y fundamento de la entrevista La entrevista semiestructurada consiste en una técnica metodológica para indagar en profundidad los elementos articuladores (Redón y Angulo, 2017), que podrían evidenciar los profesores, a través de un diálogo interpersonal y flexible. La entrevista aplicada a los Casos 3, 4 y 5, se desarrolla en torno a una conversación reflexiva del participante sobre la DPL, logrando el entrevistado expresar sus puntos de vista con la posibilidad de aclarar dudas durante el proceso, asegurando con ello respuestas más efectivas para el propósito investigativo. La finalidad de aplicar esta técnica, es obtener información lo más detallada posible de los articuladores entre los tres modos SGC, AO y AE e indagar en profundidad en los conocimientos puestos en juego sobre los modos de comprensión de la DPL. Se presentan a cada participante, tres tarjetas, como se muestra en la Figura 3.6, rotuladas como TARJETA 1, 2 y 3 que representan implícitamente los tres modos de comprensión para la DPL, cabe destacar que no fueron rotuladas con el modo correspondiente (en sintonía con el modelo propuesto). Esta consideración fue debido a que se quiere favorecer una reflexión del entrevistado, sin influencia del propósito de la investigación. Para guiar al lector, la TARJETA 1 es modo SGC; TARJETA 2 el modo AO; la TARJETA 3 el modo AE de la DPL.

101

Figura 3.6. Las tarjetas presentadas en las entrevistas para los Casos 3, 4 y 5.

La entrevista se realiza sin límite de tiempo, fotografiando las reproducciones escritas, y grabando todas las conversaciones, para posteriormente realizar una transcripción e impresión de cada documento como fuente principal de información. Para desarrollar la entrevista se considera un guion, con la finalidad de abarcar todos los puntos de interés en relación a los objetivos de la investigación (OE2, OE4), como muestra la Tabla 3.10. La intención es dar cabida a un diálogo conversacional, en la dirección de los objetivos generales y específicos del estudio.

Tabla 3.10. Guion de la entrevista semiestructurada 1. ¿Qué conceptos de la matemática, podrían ayudar a relacionar estos

aspectos de la derivada? (Se presentan las tres tarjetas)

2. ¿Existe alguna otra noción matemática que pudiera estar en conexión con estas tarjetas?

3. ¿Si tuviera que dar algún nombre representativo de cada tarjeta? ¿Cómo las denotaría?

4. ¿Cuáles de estos aspectos de la derivada son considerados en la enseñanza?

5. Desde la enseñanza, ¿cree usted que existe un orden, o ve algún orden en estos aspectos para la enseñanza?

6. ¿Podría existir otro u otros aspectos de la derivada que no son los presentados?

7. ¿Cuáles de estas tarjetas presentaría más dificultad en los aprendices?

8. ¿Cómo considera la relación la derivada con la velocidad instantánea? Para la enseñanza.

9. ¿Cómo presentaría usted estas tarjetas, al enseñar la DPL?

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Tal y como indica la Tabla 3.10, estas preguntas sirven de guía, dado que se van incorporando sin orden establecido, solo, en la medida que la conversación lo requiera. Al respecto, se puede señalar que la investigadora tuvo un rol activo, en el sentido que le interesó captar en este instrumento la mayor información posible desde las reflexiones del participante. Para dar mayor claridad a este proceso, se han seguido algunos de los criterios descritos por Stake (2010), sobre cualidades del entrevistador, como se define a continuación. Conocedor del tema: La investigadora posee claridad y dominio del tema que se presenta a cada participante, teniendo conciencia siempre del propósito de la investigación. Estructurada: la investigadora informa –al inicio de la entrevista con cada participante– el propósito de ésta, respondiendo todas las preguntas que se fueron generando en el diálogo, aunque teniendo conciencia de la existencia del guion. Claridad: Conducir la reflexión del participante de manera precisa; sin embargo, se produjeron instancias en que el tema de reflexión fue un tanto complejo para algunos de los participantes, hablar de curva y función, especialmente al considerar ejemplos. Amable y diplomática: El interés de la entrevista fue lograr en el entrevistado, reflexiones completas y acabadas, por lo que no se ha considerado tiempo de término, así, esto estuvo sujeto a la disponibilidad del participante, sin presión y haciendo pausa, según lo solicitado por cada entrevistado. Sensible: Al coordinar la entrevista, se solicitó a cada entrevistado su disponibilidad, siendo suspendida algunas de ellas en varias ocasiones, para así tener las condiciones óptimas del participante en la entrevista. Flexible: En coherencia con punto anterior, las entrevistas fueron pactadas en varias sesiones o con cambios de horarios y tiempo, en función de la disponibilidad de cada participante. Conciencia del propósito: En las situaciones en que se consideró que el participante no daba información necesaria, se re-orientaron las preguntas para explorar la reflexión y en algunas ocasiones se improvisaron preguntas. Crítica: la investigadora en todo momento estuvo atenta a los argumentos en el razonamiento del participante, poniendo ejemplos o contra ejemplos según lo que fue planteando el entrevistado, todo esto sin perder de vista el propósito de la investigación. Ética: En el momento de contactar la entrevista se informa el propósito de ésta en la investigación, como también resguardar la confidencialidad y el permiso de grabar, considerando el anonimato en la posibilidad de publicación de los datos obtenidos en la conversación. Aclarada la naturaleza del proceso de implementación y fundamento de las entrevistas, se busca en el apartado siguiente, profundizar en la forma como se ha organizado la información obtenida.

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3.7.2 Organización de la información Al centrar la atención en la comprensión e interpretación de la naturaleza del conocimiento especializado de los participantes con la DPL, se sigue el proceso de recogida de la información, descrito en la Figura 3.7.

Figura 3.7. Proceso de recogida de datos de la investigación.

Con base en la transcripción de la información se identifican los episodios de interés, con un criterio de credibilidad18 necesario, para poder interpretar los puntos de vista de cada participante en los Casos 3, 4 y 5, con las siguientes consideraciones. Consideraciones éticas para la recogida de datos Cada entrevista realizada es grabada en audio19 y posteriormente se transcribe literal con las siguientes especificaciones:

Las palabras repetidas sólo se consideran una vez. Las palabras, aunque hayan sido incorrectamente pronunciadas o empleada,

se corrigen, sin perder su sentido. Las palabras inacabadas se completan cuando se tiene certeza de lo

expresado. Los silencios superiores a 3’’ se constatan como pausa, con la expresión […].

Una de las bondades de la técnica, de grabación, es su potencial práctico para obtener la información se requiere, sin embargo, existen algunos inconvenientes. La toma de datos en una grabación requiere mucho tiempo de transcripción y su análisis. En el caso de la investigación que se presenta, la entrevista y la transcripción fueron realizadas por la investigadora, en los Casos, 3, 4 y 5, del estudio. La información proporcionada por cada uno de los participantes ha sido dispuesta en párrafos, para poder identificar los episodios que contienen los fragmentos de interés, con la filosofía general de no alterar ni la forma, ni el contenido de ésta (Anexo 4).

18 En el sentido que la investigación exige reglas fiables y válidas propias de la metodología cualitativa (Bisquerra, 1996, p.259-270). 19 Una grabación asegura la veracidad de lo dicho por el entrevistado, se asegura al lector las palabras exactas del diálogo, evita distracción del entrevistador, permite comprobar en cualquier momento lo dicho.

104

3.7.3 Fundamentos para el análisis de documentos (entrevistas) Para poder entender y caracterizar en profundidad el análisis20 de los documentos, se consideran tres tipos diferentes de conocimientos, identificados en fragmentos de los documentos de las entrevistas, descritos en este estudio como: evidencias de conocimiento, indicios de conocimiento y oportunidad para explorar el conocimiento (Escudero, 2015). Respecto a las evidencias de conocimiento, éstas contienen las unidades de análisis21, que aportan los datos más relevantes y conforman el mapa general del MTSK del informante; indicio de conocimiento, cuando la evidencia aportada en algún fragmento del documento, no es concluyente para identificar el conocimiento del informante y se necesita una exploración más profunda para ser considerada como parte de su MTSK. Mientras, una oportunidad para explorar, indica que el fragmento del documento permite especular sobre la información que aporta, en el sentido que la información, muestra una posibilidad potencial de profundizar una idea o explorar temas distintos de los que fueron pensados para el análisis. A continuación se muestran tres ejemplos, que representan los tres tipos de conocimientos identificados en los fragmentos de los documentos analizados en los Casos 3, 4 y 5. En un primer acercamiento al análisis, como muestra la Figura 3.8, se identifica un párrafo, que contiene información de interés, posteriormente codificadas, según las categorías presentadas en Tabla G22 (Anexo3). A este respecto, la unidad de análisis o de información, corresponde al conocimiento que tiene el participante de las formas de validación y demostración en el subdominio de conocimiento de la práctica matemática (KPM) y su correspondiente indicador (2) que refiere a la categoría de validación y demostración, {KPM: 2}; {KFLM: 3}, representa el conocimiento que evidencia el informante de las características de aprendizaje de la DPL en la categoría, formas de interacción con este contenido. El proceso realizado para llegar a conformar una evidencia de conocimiento, se presenta en el apartado siguiente.

20 Según el Diccionario de la Real Academia Española, análisis se define como: distinción y separación de las partes de algo para conocer su composición y una segunda acepción, como: estudio detallado de algo, especialmente de una obra o de un escrito. 21 Las unidades de análisis o de información, corresponden a los fragmentos de contenido en el documento (Carrillo, 1998), que se han de codificar para formar parte del mapa de MTSK de cada participante, como resultado del contraste con los indicadores. 22 Tabla que contiene un sistema de categorías y subcategorías del MTSK, desarrolladas por los investigadores del SIDM de la Universidad de Huelva, España.

105

Figura 3.8. Relato que muestra evidencia de conocimiento de P1, P2 o P3.

Para el conocimiento que se muestra como indicio (Figura 3.9), se identifican ciertos episodios en que, si bien, no existe duda que el participante posee un conocimiento profundo de la derivada, en su discurso no hay evidencia de ese conocimiento.

Figura 3.9. No es información contundente para ser evidencia de conocimiento.

En el ejemplo que sigue (Figura 3.10), se observa entre la línea [3-4], información que muestra una posibilidad para explorar otras áreas del conocimiento matemático.

Figura 3.10. Una idea con potencial para explorar.

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3.7.4 Unidades de información Las unidades de análisis o de información, como indica el ejemplo de la Figura 3.7, corresponden a las frases del documento que forman las unidades con significado para la investigación, éstas se han de observar y registrar, como los componentes que conforman un mapa en el MTSK de cada participante. Son elementos que dan fiabilidad y validez al dato y al objetivo de la investigación. En este sentido, es de suma importancia el análisis del contenido del documento que contiene la transcripción de la entrevista (Rojas 2014). Con respecto al análisis del contenido, Bardin (1998), señala:

Así, corresponden al campo del análisis del contenido las actividades en las que, partiendo de un conjunto de técnicas parciales pero complementarias, consisten en explicar y sistematizar el contenido de los mensajes y la expresión de ese contenido con la ayuda de indicios cuantificables o no. Todo ello con la finalidad de efectuar deducciones lógicas y justificables concernientes a la fuente (el emisor y su contexto) o, eventualmente, a los efectos de los mensajes tomados en consideración. (p.32)

El análisis realizado en los tres documentos –transcripciones de los casos 3, 4 y 5–, se ejecuta en etapas que permiten seleccionar y simplificar la información a seguir: a) Se enumera cada párrafo de la entrevista; b) Se extraen contenidos ajenos; c) Se identifican y clasifican los episodios; d) Se determinan las unidades de información y se codifican, como muestra, Figura 3.11.

Figura 3.11. Fases para establecer las unidades de información.

a) Los fragmentos de información en la conversación se separan con el criterio de cambios de turno en la conversación (entrevistador-entrevistado).

b) Corresponde la eliminación de las partes de la entrevista que no se relacionan con el tema de interés, no considerándose como episodios con información. Además, no se contemplan los fragmentos correspondientes a la intervención de la entrevistadora.

c) Corresponde a una segunda revisión del contenido, identificándose los episodios de interés con sentido completo y que tiene significado para los participantes (Rojas, 2014). Por ejemplo, la validación de un concepto matemático, la explicación matemática de un ejercicio.

d) En el momento que se identifican los episodios de interés, el párrafo al que corresponde, se identifica como: [Número del párrafo]. Posteriormente se realiza un contraste con los indicadores de conocimiento especializado para

Párrafo enumerado

Se extaen los contenidos no relacionados

Se identifican y clasifican los

episodiosUnidades de infomación

107

formar las unidades de información que se han de codificar para formar parte del mapa de MTSK de cada participante.

Los indicadores de conocimiento especializado se describen en función de las categorías y subcategorías de conocimiento que se encuentran en la Tabla G, instrumento que se utilizó también para asignar los códigos a las unidades de información, al respecto Carrillo (1998), señala:

Defino Unidad de Información como aquellos enunciados correspondientes a una misma pregunta base con ligazón sintáctica y semántica. Por tanto, podemos encontrarla dentro de una respuesta concreta o a través de varias respuestas coordinadas. Además, en una unidad de información, el sujeto puede ofrecer datos sobre uno o más parámetros (indicadores de las categorías). (p.31)

El objetivo de este proceso de análisis es brindar consistencia a la manera de cómo se obtienen las unidades de información y en consecuencia el mapa de conocimiento especializado (MTSK) de cada participante.

3.7.5 Categorías y códigos Las categorías de conocimiento consideradas en esta investigación corresponden a un protocolo establecido con anterioridad a la recopilación de datos, se construyen con elementos teóricos aportados por el marco teórico del modelo MTSK, en el cual las categorías y sub-categorías se han determinado según se describen en la Tabla G (Anexo 3) y en el apartado 2.7 del Capítulo 2. Para determinar los componentes del conocimiento especializado del profesor que aborda el concepto de la DPL para su enseñanza, se han debido determinar los indicadores de conocimiento que fundamentan los pasos a seguir en el proceso de análisis del MTSK de cada participante, es decir, su MTSK, como muestra la Figura 3.13. Este proceso realizado con elementos que aporta el análisis histórico y epistemológico de la derivada en el Capítulo 2, en el campo de la investigación en Didáctica de la Matemática y en libros de textos, presentados en Capítulo 1, son la base para especificar el contenido matemático de la DPL para la enseñanza.

108

3.8 Análisis de documentos y contaste con hipótesis: H1, H2 y H3. Como se ha indicado en el apartado 3.7, este estudio de casos considera el análisis en dos etapas consecutivas, primero, el interés está en los casos como individualidades, por lo que el análisis debe ser coherente con esta perspectiva, para luego realizar un análisis conjunto de los datos en la perspectiva de estudio instrumental, permitiendo interpretar los resultados finales a través de un contraste con las hipótesis, proceso que se muestra en la Figura 3.13.

Figura 3.13. Proceso de análisis por participante, Casos 3, 4 y 5.

En el apartado que sigue se detallan los pasos en el análisis del documento de la entrevista por participante.

3.8.1 Análisis con MTSK –DPL para cada profesor participante Una vez realizadas las fases del análisis, como indica la Figura 3.11, las unidades de información fueron contrastadas con el registro de indicadores23 para el conocimiento especializado (MTSK-DPL). Proceso que termina con las unidades de información codificadas y descritas en una Tabla de registro por categorías. La Tabla 3.18, muestra un ejemplo del proceso de asignación de código a cada unidad de información. En este caso, el código A2.1, corresponde en la categoría de definiciones, propiedades y sus fundamentos a la subcategoría de conocimiento de los conceptos y propiedades de: función, límite, continuidad y diferenciabilidad, intuitiva y formal. Este proceso se realiza con todas las categorías y con mayor profundidad en las categorías de conocimiento que están en relación con el modelo que se propone.

23 Los indicadores de cada categoría y subcategoría del MTSK - DPL, se han presentado en el apartado 3.8.

109

Tabla.3.18. Asignación de códigos a las categorías por profesor participante

Dominio de conocimiento especializado del profesor (Pi)24 sobre la DPL

Categoría Unidad de información Asignación de código Interpretación

Con

ocim

ient

o de

l tem

a:

KoT

Def

inic

ione

s, p

ropi

edad

es y

fu

ndam

ento

s [2] Uno podría ver también que la función es derivable cuando se puede asociar una única pendiente a una recta tangente ¿entiendes?...este límite….

A 2.

1 Define la derivada a partir del concepto de tangencia.

Una vez terminado este proceso se realiza una narrativa que complementa la interpretación realizada. Para mostrar al lector el conocimiento especializado de cada profesor, se presenta un mapa donde se realiza una identificación, con representación icónica de las unidades de información encontradas, como muestra el ejemplo de la Figura 3.14, se han diferenciado por color y tipo de línea el conocimiento de las representaciones y de las conexiones intraconceptuales con evidencia, siendo el hilo conductor de esta parte, el modelo de comprensión profunda de la DPL.

Figura 3.14. Resumen de KoT identificado en el profesor (Pi).

Para ello, se cruzan los datos obtenidos de una interpretación conjunta de los datos con el modelo de comprensión profunda para DPL.

24 (Pi), corresponde a los profesores participantes P1, P2 y P3.

110

3.8.2 Relación entre MTSK y el modelo de comprensión profunda para la DPL El objetivo de este apartado es destacar las relaciones entre los subdominios de conocimiento desde una visión conjunta de los mapas de conocimientos explicados en el apartado anterior. MTSK-DPL permite interpretar y describir el conocimiento especializado del profesor en torno al modelo de comprensión profunda para la DPL. Este análisis comprende una interpretación conjunta de los mapas de conocimiento de cada profesor para responder al objetivo general (OG2), como se muestra en el diagrama de Figura 3.13. Finalmente, como se muestra en la Figura 3.15, se genera un gráfico que sintetiza la información obtenida desde los mapas de conocimiento de cada profesor y el modelo MTSK-DPL. El propósito de este gráfico es aportar evidencias de los elementos articuladores para el modelo de comprensión profunda de la DPL. A continuación, se muestra el diagrama que indica cómo se disponen los datos interpretados, que conforman la relación conjunta de conocimientos en los profesores en función de la DPL.

Figura 3.15. Resumen gráfico del MTSK-DPL de manera conjunta de los profesores P1, P2 y P3.

Los distintos fragmentos que provienen de los datos son interpretados con la finalidad de descubrir semejanzas, diferencias y relaciones entre los subdominios de conocimientos que permitirán explicar la existencia o no existencia explícita de los elementos articuladores en los profesores. Para finalizar el diseño metodológico de esta investigación, en el apartado siguiente, se expone la forma cómo se realiza el cruce entre las preguntas del cuestionario aplicado y el modelo MTSK-DPL. El objetivo en esta parte del estudio es la triangulación entre los datos aportados en el MTSK-DPL y los datos aportados en las respuestas de los estudiantes al Cuestionario.

111

3.8.3 Relación entre MTSK-DPL con el Cuestionario del Momento 1 Para la consecución de los objetivos específicos planteados, en esta parte de la investigación, se considera un análisis de las respuestas de los estudiantes al Cuestionario en contraste con MK-DPL en la perspectiva del MTSK-DPL, Tabla 3.19. Este proceso cierra metodológicamente la búsqueda de evidencia empírica de los articuladores o conexiones intraconceptuales que permiten operacionalizar el modelo de comprensión profunda para la DPL, el objetivo es poder identificar las categorías del conocimiento matemático de la DPL que podrían explicar en profundidad los conocimientos de los estudiantes para observar los articuladores o conexiones intraconceptuales. Tal como muestra la Figura 3.16.

Figura 3.16. Representación del contraste entre el cuestionario y MK-DPL.

Tabla.3.19. Relación entre MTSK-DPL y las preguntas del Cuestionario

CUESTIONARIO CDPL DESDE EL MODELO PROPUESTO

MTSK-DPL

Pregunta 1 Indagar el modo

de pensar la DPL. Posibles respuestas, Tabla 3.5.

Corresponde a las categorías de conocimiento, A3: representaciones, A3.1, A3.2 y A3.3.

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A2: definiciones, propiedades y fundamentos, A2.1, A2.2, A2.3.

Pregunta 2 Indagar Articuladores H1, H2 y H3. Posibles respuestas. Tabla 3.6

Corresponde a la categoría de conocimiento, A4: categorías, conexiones intraconceptuales, A4.1; A4.2; A4.3.

Pregunta 3 Indagar conocimiento de la diferenciabilidad local. Posibles respuestas, Tabla 3.7

Corresponde a la categoría de conocimiento, A3: representaciones en las categorías, A3.1, A3.2 y A3.3. A4: intencionada para indagar conexiones intraconceptuales, A4.1; A4.2; A4.3. A5: Se relaciona con aspectos fenomenológicos en la categoría A5.1.

Pregunta 4 Indagar el conocimiento de los estudiantes en la DPL, los articuladores. Posibles respuestas, Tabla 3.8.

A3: intencionada para indagar representaciones en las categorías, A3.1, A3.2 y A3.3. A4: intencionada para indagar conexiones intraconceptuales, A4.1; A4.2; A4.3. A5: Se relaciona con aspectos fenomenológicos en la categoría A5.1.

En este capítulo se han presentado los elementos teóricos y el contexto que enmarca el desarrollo metodológico de esta investigación, elementos que contribuirán al logro de cada uno de los objetivos, generales y específicos, para dar respuesta a las preguntas que esta investigación se ha propuesto. En lo que sigue se muestra una síntesis general de este capítulo.

113

3.9 Síntesis representativa del capítulo El diseño metodológico desarrollado para obtener evidencia de los articuladores.

DISEÑO METODOLÓGICO: Paradigma interpretativo

Perspectiva Epistemológica

Perspectiva Ontológica

Perspectiva Metodológica

VALIDAR Y OPERACIONALIZAR UN MODELO DE COMPRENSIÓN PROFUNDA PARA LA DPL

FASE1: Validación Teórica

FUENTE 1

FASE 2: Operacionalización del modelo

Pregunta de Investigación: ¿Qué elementos matemáticos ponen en juego los aprendices y profesores para

articular las diferentes interpretaciones de la DPL?

MOMENTO 1

FUENTE 2

MOMENTO 2

FUENTE 3

OBJETIVOS DE INVESTIGACIÓN

OG1, OE1, OE3 OG2, OE2, OE4

CARACTERIZAR Y COMPRENDER EL CONOCIMIENTO ESPECIALIZADO: MTSK

Estudio de casos como diseño de investigación

Stake (2010)

Casos Casos

Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 Caso 5

MÉTODO CUALITATIVO

Inst

rum

ento

s

y té

cnic

a

Recogida de datos Caso 1 y 2 Cuestionario

Recogida de datos Caso 3, 4 y 5 Entrevista semiestructurada

Análisis Caso 1y 2 Contraste,

Figura 3.4

Análisis Caso 3, 4 y 5 Contraste,

Figura 3.12

114

CAPÍTULO 4.

ANÁLISIS DE DATOS Y RESULTADOS En este capítulo se exponen los análisis y resultados concernientes a los objetivos generales y específicos de la investigación. Para tal propósito se ha organizado este capítulo en cuatro partes: (1) Análisis de los datos aportados por los informantes de los Casos 1 y 2, respecto de los articuladores y modos de pensamiento para la comprensión profunda de la DPL. (2) Análisis del conocimiento especializado MTSK-DPL, de cada uno de los profesores participantes con las evidencias de episodios dispuestos en tablas, junto con una narrativa que detalla los hallazgos más relevantes, conformando finalmente un mapa de conocimientos para cada participante. (3) Un análisis conjunto de los datos representados en un gráfico ilustrativo donde se puede observar desde un punto de vista global cómo estos profesores muestran evidencias de los articuladores y las relaciones entre los subdominios de conocimiento (4) Se realiza una triangulación entre los datos obtenidos en (1) con un instrumento de análisis que se genera del contraste entre MTSK-DPL y CDPL, como indica la Tabla 3.19. La búsqueda de evidencias de los elementos articuladores guía el análisis de modo que las relaciones encontradas ayudan a entender y poner de relieve cómo los elementos articuladores se activan para la comprensión profunda de la DPL. Para describir el desarrollo de este análisis, como se ha mencionado en Capítulo 3, se utilizan distintas técnicas e instrumentos, que responden a los objetivos generales y específicos, para evaluar la operacionalización de un modelo de comprensión para la DPL. Se presentan los resultados más relevantes que se han obtenido durante el desarrollo de esta investigación, en particular aquellos relacionados con los objetivos específicos OE1, OE2, OE3 y OE4, en pro de responder a la pregunta de investigación planteada en el Capítulo 1 y reformulada con elementos del referente teórico en el Capítulo 2.

115

FASE 1 Los modos de comprensión profunda para la DPL se han validado mediante el desarrollo de los Capítulos 2 y 3, y el resultado de este proceso ha sido justificado en lo que muestra la Tabla 3.1, que se presenta a continuación.

Tal como muestra esta Tabla 3.1 se identificaron los elementos teóricos que se extendieron del marco teórico de Sierpinska (2000) en el Álgebra Lineal, al dominio de la derivada en el Cálculo Diferencial.

Tabla 3.1. Resultados de la discusión teórica de deducción lógica para la extensión

Modos de pensamiento de Sierpinska (2000) para el álgebra

lineal (AL)

Extensión de los Modos de pensamiento para la comprensión

de DPL

Problemática Fundamental: Obstáculo epistemológico del AL.

Problemática Fundamental: Obstáculo epistemológico de la DPL.

Fenómeno Didáctico: Nivel superior de abstracción del AL

Fenómeno Didáctico: la comprensión profunda de la DPL

Problema Didáctico: Hallar la forma de alcanzar Nivel abstracción

Problema Didáctico: Hallar la forma de alcanzar Nivel de abstracción

Pregunta de Investigación: Pregunta de Investigación: ¿Qué elementos matemáticos articulan las componentes del modelo de DPL?

Evidencia empírica: Diseño de Actividades e implementación

Evidencia empírica: Modelo de comprensión operacionalizado en profesores y aprendices

Resultado: Reinterpretación del fenómeno didáctico

Resultado: Reinterpretación del fenómeno didáctico

La evolución del modelo que se propone, ha sido presentado a la comunidad científica, como congresos (COMCA 25 , RELME 26 ) y seminarios (SEIEM 27 , SIDM 28 ) y publicaciones, las que se muestran en el apartado 5.6 del Capítulo 5.

25 Congreso de Matemática Capricornio, Chile. 26 Reunión Latinoamericana de Matemática Educativa. 27 Simposio de la Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática. 28 Seminario de Investigación en Didáctica de la Matemática de la Universidad de Huelva.

116

FASE 2

4.1 Análisis de datos: Primer momento Fase 2 Esta fase de la investigación corresponde a la evaluación del modelo de comprensión profunda para la DPL propuesto en el Capítulo 2. Desde el punto de vista metodológico, interesa la operacionalización del modelo con una indagación específica en los elementos articuladores del conocimiento de los estudiantes dispuestos a pensar en la DPL. El contexto de este primer momento en la Fase 2 considera los informantes de los Casos 1 y 2, como se ha explicado en Capítulo 3. Para ello, se han considerado los objetivos que se describen a continuación.

4.1.1 Análisis de datos en relación a los objetivos (OE1, OE3)

Pregunta 1 ¿Cómo explicaría usted la derivada a un compañero o a un estudiante? Esta pregunta tiene la intencionalidad de indagar en los modos que priorizan estos informantes. La interpretación desde los modos de la DPL indica que ninguno de los estudiantes del Caso 1 y 2 considera el modo AE de la derivada en sus argumentos. Los estudiantes del Caso 2 se sitúan en el modo SGC y AO. El estudiante PM4 se sitúa en el modo AO para responder, posteriormente en el modo SGC, a través de la definición de la pendiente de la recta tangente –que fueron los argumentos más recurrentes dados por los estudiantes– (Figura 4.1), para situarse en el modo AO.

Figura 4.1. Respuesta de PM4. Muestra situarse en el modo AO y SGC.

El informante LM12, perteneciente al Caso 2, es un representante de la respuesta más común (Figura 4.2) de este grupo, con evidencias explícitas de que conoce el modo SGC, con una perspectiva que se interpreta como puntual del concepto y perspectiva local si se considera una vecindad del punto. Si bien, los informantes de este Caso 2, muestran conocimiento de los dos modos de comprensión de la DPL como la pendiente de la recta tangente y su forma analítica a través de la definición formal con límite, no se evidencian los elementos matemáticos de conexión entre los dos modos SGC y AO. Esto último mostrado en la Figura 4.2,

117

donde este informante LM12, muestra a través de sus argumentos observables que sí conoce la interpretación geométrica, la definición analítica desde la perspectiva global de la derivada.

Figura 4.2. Respuesta de LM12. Muestra situarse en el modo SGC y AO

Pregunta 2 Esta pregunta se explicita intencionada para indagar en los elementos articuladores entre los modos de la DPL, donde se espera que los informantes de esta investigación, expliquen el cociente y lo relacionen con la pendiente de las rectas secantes que se van aproximando a la tangente a través del límite. Las evidencias encontradas muestran que los informantes de los dos casos de estudio tienen dificultad para relacionar el cociente con la pendiente, cuando se han situado primero en el modo SGC. Tal como muestran los informantes PM3 y PM6, ellos analizan correctamente la información dada en la pregunta en forma independiente, indicando una relación del límite con los datos dados en la Tabla 4.1, primero situados en el modo AO. Sin embargo, no logran hacer la conexión entre estos modos. Esto también se observa en los argumentos de PM5 que, situado en el modo SGC muestra un intento de tránsito hacia AO, pero su argumento no alcanza para explicitar cómo los relaciona. Así también, PM2 y PM4 tratan de argumentar su respuesta en el modo, SGC, sin éxito. Otro estudiante, PM7, se sitúa en el modo SGC, pero su argumento es confuso en relación a la pendiente, se observa que él ha identificado el valor de la pendiente –que es 2–, esto se podría interpretar como un argumento erróneo respecto de la pendiente (Figura 4.3). PM7 la confunde con la imagen de la función. PM7 muestra que, sí hay un cambio de modo de pensar DPL, sin embargo, no se alcanza a observar cómo y qué le permite el tránsito de uno a otro.

118

Bueno, se puede observar, cuando está más lejos del 1 por la derecha su imagen se aleja del 2 por la derecha, igual y por ende los puntos que corresponden a la recta secante se acercan más a la función .

Figura 4.3. El informante PM7, muestra su resolución en el modo SGC AO.

Otro informante, LM11, representa la respuesta más recurrente en los aprendices del Caso 2, en la cual se reconoce la conexión entre el límite del cociente dado y la pendiente de la tangente en el punto (Figura 4.4), el argumento de LM11 está situado en el modo AO y en este se evidencia que hay un cambio de modo de pensar, sin embargo, de la evidencia no se puede obtener explícitamente el articulador entre AO y SGC.

Figura 4.4. Comprensión desde el modo AO SGC del estudiante LM11.

Pregunta 3 En esta pregunta se le solicita al informante que explique con sus palabras lo que entiende del límite que se les presenta. El propósito es indagar cómo entiende la función diferenciable en el punto , y cuál es el comportamiento de la recta en una vecindad del punto y las implicancias del límite que es cero. Las evidencias recopiladas muestran que esta pregunta presentó problemas para la mayoría de los informantes del Caso 1, dado que sólo PM1 y PM10 trataron de responder, pero sin éxito. Sin embargo, los informantes del Caso 2, respondieron todos, no obstante, los que responden situados en el modo AO, identificando el punto (2, f (2)) como lo muestra el estudiante LM12 (Figura 4.5), identifican la recta horizontal, con la existencia de punto máximo o mínimo, mostrando que conocen una representación geométrica SGC de la DPL, pero no se identifica evidencia de

AO

119

articulador. LM12 es quién argumenta más su respuesta, especificando que la recta tangente es una recta horizontal en el punto, pero él no declara que puede ser la mejor aproximación de la curva en el punto en cuestión. En su argumento se evidencia un tránsito hacia el modo SGC, sin embargo, no hay evidencia del elemento matemático que le permite articular estos modos.

Figura 4.5. Comprensión del modo AO SGC del estudiante LM12.

Pregunta 4 En esta pregunta se espera que los informantes de esta investigación realicen un cálculo en relación a la comprensión de la velocidad media e instantánea, esto en el sentido de lo que en Sánchez-Matamoros et al. (2008), señalan, indicando que los aprendices tienen una comprensión local de la derivada cuando hacen diferencia entre estas dos ideas de la cinemática. En relación a esta pregunta los resultados muestran que los informantes, en general, entienden la velocidad instantánea de la misma forma que la velocidad media. Un ejemplo representativo de esto último lo muestra el estudiante PM7 (Figura 4.6), quien posicionado en AO intenta responder calculando la derivada con el tiempo promedio. Esta dificultad se refleja en que PM7 no logra resolver correctamente el problema propuesto. No hay evidencias de que conoce la diferencia entre velocidad media e instantánea.

Figura 4.6. PM7, en AO confunde velocidad media con velocidad instantánea.

En síntesis, los informantes del caso 1 y 2, responden la pregunta 1 en su mayoría desde el modo AO-DPL, es decir, considerando solo la definición formal del límite. En los argumentos observables de los informantes no se encuentra evidencia de

120

relaciones entre la derivada y la pendiente, excepto la que conocen a través del límite (Tabla 3.5). Falta, por ejemplo, activar argumentos que relacionen la derivada con la pendiente de las rectas secantes y además con la velocidad instantánea. Respecto de la representación geométrica de la DPL hay evidencias que muestran que estos informantes conocen el modo SGC-DPL. La interacción entre acciones inmediatas y reflexivas en las preguntas aplicadas al Caso 1 y 2, dio cuenta de un pensamiento analítico pero parcial, evidenciado en las preguntas dos y tres del cuestionario, en las cuales los estudiantes necesitaron conocer la mejor aproximación de la curva en el punto para poder responder. El modo AE-DPL, no es parte de sus conocimientos matemáticos, es decir, el pensamiento analítico que es operacional y estructural para este diseño no fue alcanzado por los estudiantes, en consecuencia, en estos informantes estaría debilitada la comprensión profunda del concepto en estudio. La incorporación del modo AE-DPL en este modelo de comprensión profunda, contribuye a re-interpretar la descripción que realizan los estudiantes del Caso 1 y 2 de la DPL en relación con la recta tangente, en el sentido de ampliar la condición de uso que tiene la DPL, en pro de ser aplicada en análisis más profundos en otras áreas del conocimiento. De hecho, el modo AE-DPL no está considerado explícitamente en los tópicos de los programas de estudio del Cálculo I en los primeros años de universidad. En el contexto de las preguntas de investigación planteadas, los modos de pensar el concepto en estudio –SGC-DPL, AO-DPL y AE-DPL–, después del análisis de los resultados obtenidos, da cuenta que los informantes de este estudio no han tenido evidencia explícita de los elementos articuladores entre los tres modos propuestos para pensar la DPL. Por lo tanto, la búsqueda de evidencia empírica en los Casos 1 y 2 que permita argumentar la existencia y la descripción explícita de los articuladores en los modos de pensar la DPL en estos estudiantes, no ha sido posible, por ende, ampliamos la investigación para poder avanzar en determinar los articuladores de la DPL y así poder completar el modelo de comprensión propuesto en el Capítulo 2. Para alcanzar esto último se han incorporado al estudio tres profesores universitarios que imparten la asignatura de Cálculo I. A estos profesores participantes –etiquetados como Casos 3, 4 y 5– se les han aplicado entrevistas semiestructuradas, orientadas a la búsqueda de los articuladores, como indica el diseño metodológico. En el apartado siguiente se muestra el proceso de indagación en estos casos.

4.2 Análisis de datos: Segundo momento Fase 2 Esta sección comprende la indagación profunda de los elementos articuladores en el conocimiento de los profesores participantes, para lo cual, como indica el diseño metodológico presentado en el Capítulo 3, incorpora al estudio, el marco teórico MTSK, que proporciona un marco teórico para el análisis del conocimiento del profesor basado en la especialización, con una estructura que permite de manera intrínseca analizar el conocimiento matemático del profesor al abordar la DPL ( MK-DPL) y su conocimiento sobre la enseñanza de la DPL (PCK-DPL), dos dominios que conforman el conocimiento especializado del profesor cuando aborda la enseñanza y aprendizaje de la DPL. Se debe considerar también que estos conocimientos contienen un conjunto

121

de creencias que permean todo el conocimiento especializado del profesor, no obstante, este estudio no profundiza en este aspecto. El MTSK proporciona indicadores de conocimiento para el análisis del conocimiento especializado del profesor que enseña la DPL, permitiendo la indagación de los elementos articuladores. Desde esta perspectiva las conexiones intraconceptuales que deben ser explícitas en el conocimiento del profesor se visibiliza a través de los articuladores y el modelo de comprensión que los contiene. El modelo para la comprensión profunda de la DPL emerge como un instrumento que favorece el aprendizaje del objeto matemático en estudio, sin embargo, la especificidad de los subdominios del MTSK, son una herramienta potente que permiten otra visión y aproximación a la DPL y proporciona una herramienta para indagar de otra forma en los articuladores, en este sentido, esta parte de la investigación propone un análisis interpretativo de los documentos de las entrevistas realizadas a los casos 3, 4 y 5, al alero del instrumento descrito en el apartado 3.17 del Capítulo 3 y siguiendo los lineamientos metodológicos definidos para ello, considerando los tres profesores participantes, primero, como casos individuales y posteriormente de manera conjunta, todo esto en la perspectiva del modelo de comprensión profunda para la DPL y siguiendo el hilo conductor que guía el estudio en esta parte de la investigación, para así llegar a obtener una respuesta a la pregunta de investigación:

¿Qué elementos matemáticos manifiestan los profesores al trabajar contenidos de Cálculo I para relacionar las diferentes interpretaciones de la DPL?

Para ello se considera el objetivo general OG2: Caracterizar los elementos articuladores que evidencian los profesores en la asignatura de Cálculo I, con sus objetivos específicos: OE2: Describir los componentes de conocimiento según el modelo MTSK que presentan los profesores al abordar la DPL. OE4: Identificar explícitamente los articuladores presentes en el conocimiento de los profesores.

Para el logro de estos objetivos se presenta, en los apartados siguientes una descripción de los componentes del conocimiento matemático especializado de cada profesor, con un análisis que va dirigido a la búsqueda de evidencia explícita de las conexiones intraconceptuales que corresponden a H1, H2 y H3 –articuladores en el modelo–. Así, la información contenida en las entrevistas 29 , está organizada y analizada desde los subdominios y categorías de conocimiento especializado de cada profesor MTSK-DPL, presentando las correspondientes unidades de información codificadas según los indicadores definidos en el apartado 3.8 del Capítulo 3. Con el propósito de completar la interpretación del MTSK-DPL e indagar la existencia explícita de los articuladores propuestos en el modelo de comprensión profunda para la DPL, se complementa la interpretación de los datos con una narrativa en donde se incorporan imágenes del pizarrón o producciones en papel que ha realizado el profesor

29 El Anexo 4 contiene las entrevistas completas con la asignación de códigos, identificadas las unidades de información conversacionales que dan sentido al análisis de esta parte de la investigación.

122

durante la entrevista. Finalmente, se configura un mapa de conocimientos con representación icónica para cada profesor participante. En el contexto de la entrevista, las tres tarjetas 1, 2 y 3 representan tres interpretaciones distintas de la DPL, identificadas como parte de la categoría de conocimiento de registros de representación en el subdominio del conocimiento matemático, KoT, detallado en el Capítulo 3. Por lo tanto, las evidencias de los tres modos de pensamiento para la DPL han de ser interpretados a medida que son descritas estas tarjetas en el desarrollo de la entrevista. A continuación, se presentan los análisis de los tres profesores participantes de este estudio, etiquetados como P1, P2 y P3, separadamente. El proceso de obtención de resultados, comprende el dominio de conocimiento matemático MK en el MTSK y cada uno se compone de tres subdominios, KoT, KSM y KPM. En el apartado que sigue se presenta el análisis realizado al Caso 3 de esta investigación y corresponde al profesor P1. Las evidencias encontradas están organizadas de acuerdo a la estructura que presenta la Tabla G, explicada en el Capítulo 3, con la cual se ha configurado la Tabla 3.18 explicitada en apartado 3.9.1, donde se muestra la asignación de códigos, identificando las unidades de información correspondientes a las evidencias encontradas para cada categoría en los subdominios del MTSK-DPL de los profesores. De igual manera, el análisis que se describe a continuación considera tablas, las cuales tienen las siguientes indicaciones, éstas están divididas en columnas, leídas de izquierda a derecha. La primera columna indica los correspondientes subdominios de conocimiento, la siguiente indica las categorías; luego la asignación de códigos, donde [X] indica la ubicación del párrafo y en la última columna, interpretación y comentarios de los hallazgos, indicadas como unidades de información. En el apartado siguiente se describen los subdominios y categorías que tienen significado para el estudio.

4.2.1 Análisis del conocimiento especializado del profesor P1 (MTSK-DPL)

CASO 3 En esta sección se presenta el desarrollo del estudio de los datos recogidos al aplicar una entrevista semiestructurada al profesor P1. Con un análisis comparativo entre la Tabla 3.17 y la transcripción de la entrevista se han identificado para el caso de la DPL, las categorías de conocimientos del profesor en el dominio de la matemática y como conocimiento para la enseñanza de la DPL, con la perspectiva que permite el MTSK-DPL, para brindar una visión más amplia a la investigación y para interpretar los fragmentos y unidades de información que aportan los profesores, de esta forma, las evidencias encontradas del conocimiento especializado de este profesor (P1), aseguran la fiabilidad de las evidencias en torno a la indagación de los articuladores o conexiones intraconceptuales. Antes de iniciar la asignación de categorías se hace necesario exponer algunos puntos que ayudarán al lector a comprender el contexto de este profesor y el análisis de las respuestas que se presenta en la narrativa de esta sección.

123

En primer lugar, se han encontrado fragmentos que no tienen la suficiente identidad para ser reportados como evidencias en el conocimiento especializado de este profesor, sin embargo, pueden ayudar a entender cómo las creencias30 que se han podido identificar en algunos de los fragmentos reflejan su conocimiento de la DPL y la matemática en general, hasta su forma de entender la enseñanza de la DPL. En el contexto de la búsqueda de conexiones intraconceptuales realizada por el profesor, se destaca el fragmento [12] como representante del cierre de varias reflexiones, su interpretación como una oportunidad para explorar en su conocimiento de la práctica matemática, KPM, se debe a que el análisis comparativo realizado con el instrumento aplicado lo deja fuera del conocimiento especializado. No obstante, refleja su gran capacidad de argumentar ideas nuevas dentro de la matemática, como también el poder refutar las ideas expuestas mientras reflexiona, hecho que se interpreta como nivel alto de KPM.

[12]…No es que el área del triángulo se vaya a hacer cero, no, no; para nada. Lo que va a pasar, que esta área se va a hacer cero, …

Como se resalta en la Figura 4.7, argumentando con sustento matemático no explícito, que es el área del triángulo la que se hace cero, reflexión que llevó a P1 a refutar su argumento respecto del área, para concluir finalmente sobre el área achurada, en el óvalo azul.

Figura 4.7. Posibilidad de explorar KPM-DPL del profesor P1.

Desde la perspectiva de su MTSK-DPL, esto podría ayudar a entender su forma de explicar y enseñar la DPL, en el sentido que las concepciones que tiene este profesor P1 acerca de la forma de hacer matemática podrían estar influyendo en su conocimiento sobre el aprendizaje de la DPL (Flores-Medrano y Carrillo, 2015). Para comprender con mayor profundidad este punto se ha considerado un estudio realizado por Aguilar-González, Muñoz-Catalán, Carrillo-Yáñez y Rodríguez-Muñiz (2018), donde aportan una metodología para identificar y analizar estas relaciones. Con base en el instrumento CEAM (Concepciones sobre la Enseñanza y Aprendizaje de

30 Aunque esta investigación, por decisiones metodológica no profundiza en este tema, se considera necesario para entender la intencionalidad y forma de realizar las reflexiones de este profesor.

124

Matemáticas) estos investigadores establecen relaciones con los subdominios de MTSK, para comprender el conocimiento del profesor y su influencia en la enseñanza y aprendizaje, determinando indicadores de tendencia didáctica. En el caso particular de este profesor P1, podría estar basada en una metodología de resolución de situaciones problemáticas, con apoyo a la reflexión y a la autonomía del alumno, donde interesan los conceptos y procedimientos, por lo tanto, su tendencia didáctica podría ser Investigativa (Aguilar- González et al. 2018), concepción que también podría estar ligada a la forma de investigar de este profesor en la propia matemática. Desde esta perspectiva, comprender la relación de las concepciones con el conocimiento especializado, se muestra como una propuesta útil para comprender los conocimientos que influyeron en este profesor P1 para la búsqueda de las conexiones intraconceptuales –objetivo de la investigación–, que podría explicar su tendencia a explorar otros conocimientos matemáticos. Otra característica que destaca en este profesor P1 es cómo el uso de ejemplos le permite desarrollar matemáticas, los párrafos que se muestran a continuación indican cómo P1 utiliza los ejemplos para explicar matemáticamente la no diferenciabilidad, con la función valor absoluto de funciones reales de variable real, construyendo el cono de vectores en una variedad diferenciable. Esta forma de proceder en la matemática de este profesor sustenta su conocimiento de la práctica matemática KPM, que, junto con su experiencia docente, como fuente de sus concepciones, le permite transformar los ejemplos como parte de su KMT en la categoría de estrategias de enseñanza (E3). Los fragmentos que se presentan a continuación son una muestra de este proceder en el profesor P1.

[3] Y en caso que se produzca un vértice como en el caso de la función módulo de por ejemplo, no existe una única recta que pasa por ese punto… [30]…tu puedes mostrar, el ejemplo, que una función que tiene esa recta tangente y tiene un vector normal y después una que no…

[48]…Por ejemplo entonces digamos que , entonces tengo el punto , digamos que ,…

Este profesor P1, muestra que los ejemplos son importantes para que los estudiantes comprendan la DPL.

Conocimiento matemático de la DPL (MK-DPL) Para interpretar las evidencias de conocimiento especializado en este profesor P1, se considera en primer lugar el conocimiento matemático de la DPL (MK-DPL), este dominio de conocimiento comprende tres subdominios: conocimiento del tema, KoT, de la estructura matemática, KSM y de la práctica matemática, KPM, todos descritos en el apartado 3.8.1 del Capítulo 3.

125

Conocimiento de los temas en el subdominio (KoT-DPL) Respecto del primer subdominio, conocimiento de los temas matemáticos (KoT-DPL), éste comprende las categorías: procedimientos matemáticos (A1), definiciones propiedades y fundamentos (A2), registros de representaciones (A3), conexiones intraconceptuales (A4), fenomenología y aplicaciones (A5), con sus respectivos indicadores de conocimiento. En cuanto al conocimiento del contenido matemático (KoT-DPL) del profesor P1, para la categoría de procedimientos (A1), las evidencias encontradas en este profesor se han guiado por las preguntas: ¿cómo se hace? y ¿cuándo se puede hacer?, P1 explica un procedimiento para una función que es diferenciable en un punto, poniendo como evidencia la existencia de una única pendiente como una condición necesaria y suficiente para la diferenciabilidad, estableciendo las limitaciones con el ejemplo del valor absoluto para probar la no-diferenciabilidad, las infinitas tangentes que pasan por el cero, argumentando no tener sentido hablar de diferenciabilidad, en ese caso. El entrevistado desarrolló este argumento para explicar el funcionamiento de la tarjeta 1, reflexión inmediata después de describir lo que observa, es buscar un ejemplo donde existe un vértice, como bien lo explica en el episodio [3] y [4], las evidencias de conocimiento en esta categoría son interpretadas como se muestra en la Tabla 4.2.

Tabla 4.2 Asignación de códigos para las categorías A1 del profesor P1 (KoT-DPL)

UNIDAD DE INFORMACIÓN COD INTERPRETACIÓN

Con

ocim

ient

o de

l tem

a: K

oT

(A1)

Cat

egor

ía: P

roce

dim

ient

os [4]…Uno podría ver también que

la función es derivable cuando se puede asociar una única pendiente a una recta tangente ¿entiendes?

A1.

1

Cómo se hace: Estrategia algebraica, usar la ecuación de la recta tangente, para determinar una única pendiente.

Cuándo se puede hacer: Cuando la curva no tiene vértices.

126

[3] Y en caso que se produzca un vértice como en el caso de la función módulo de , por ejemplo, no existe una única recta que pasa por ese punto, que podría ser considerada como tangente, sino que hay varias, es por ese concepto como hay tantas pendientes, no tiene sentido la derivada en ese punto, se puede mirar al revés.

A1.

3

Cómo se hace: Utiliza una estrategia gráfica, para ver que la curva tiene en un punto muchas pendientes, le permite ver que la función no es derivable.

Cuándo se puede hacer: La curva tiene vértices.

Respecto de la categoría de conocimiento de las definiciones, propiedades y sus fundamentos atribuibles al (KoT- DPL), en la categoría (A2), P1 describe lo que va observando partiendo en la reflexión desde la tarjeta 1 (SGC), definiciones y propiedades de las rectas secantes que convergen a la tangente y la pendiente que es única para cada tangente y que se representa a través del límite, haciendo la conexión con la tarjeta 2, esto se ha interpretado como evidencias para las categorías A2.1 y A2.2. Estas evidencias son desplegadas por el profesor P1 en el contexto de sus reflexiones en torno a las tarjetas presentadas como muestra el párrafo [2].

[2]… O sea, tu concepto de derivada lo que hace, pasa primero por definir la recta tangente [describe tarjeta 1] ¿no es cierto? y asociar el concepto de derivada en un punto como la pendiente de esa recta tangente [describe tarjeta 2] yo supongo que es así… [Pausa]... Uno podría ver también que la función es derivable cuando se puede asociar una única pendiente a una recta tangente ¿entiendes? Este límite [Indica la tarjeta 2] representa esa recta y se puede comprender como la mejor aproximación… [Describe tarjeta 3].

Se muestra en la Tabla 4.3, las evidencias encontradas de esta categoría, cuando P1 está reflexionando sobre las tarjetas.

127

Tabla 4.3 Asignación de códigos para las categorías A2 del profesor P1 (KoT-DPL)

UNIDAD DE INFORMACIÓN COD INTERPRETACIÓN C

onoc

imie

nto

de lo

s tó

pico

s: K

oT (A

2)

Cat

egor

ías:

Def

inic

ione

s, p

ropi

edad

es y

sus

fund

amen

tos

[6]… [Pausa…] necesario colocar ese término ahí pero es cierto que se puede expresar como convergencia que tanto por la izquierda como por la derecha y ambos límites, considerando que el límite es una recta, ambos límites coinciden en ese sentido.

A2.

1

Propiedad de la función diferenciable en un punto.

[7]…o sea la recta límite de la secante por la derecha coincide con la recta límite de la secante por la izquierda es cierto en ese sentido hay convergencia.

A2.

1

Definición de convergencia de límites.

[8] Matemáticamente es un concepto de convergencia porque viene el límite por la derecha y el límite por la izquierda, solo que ya no es un límite de puntos, sino que son rectas secantes que se van moviendo y convergen a una recta y esa recta, la convergencia, es tanto por la derecha como por la izquierda. Ese es el concepto de convergencia matemática.

A2.

1

Definición, garantiza la existencia de límite laterales que coinciden. Reflexión en torno a la Tarjeta 1.

[23] Y ahí te lo estoy dibujando, entonces cuando la cosa es así, ese cono se reduce a un único punto que es el vector normal, o sea ese cono es una medida de la no diferenciabilidad de tu función.

A2.

1

Propiedad del vector normal.

[37] No, no, aquí la situación cambia, porque resulta que el concepto de velocidad se refiere a curvas, cierto, curva en el plano en este caso, obviamente cada gráfico se puede interpretar como una curva, en donde el tiempo es la variable real.

A2.

1

Propiedades del gráfico de una función. Concepto de variable.

En esta Tabla 4.3 se han presentado evidencias de conocimiento de este profesor P1, sobre la definición de convergencia, continuidad, diferenciabilidad puntual y local, pendiente de rectas secantes y propiedades, tales como, el vector normal en la curva

128

para indicar si una función es diferenciable, expresa las definiciones y propiedades a partir de la recta tangente, la función diferenciable cuando se puede asociar una única pendiente y la pendiente de la recta tangente es la derivada de la función en el punto. Respecto de la categoría de conocimiento de Registro de representaciones atribuibles al (KoT-DPL), el profesor P1 muestra evidencias de conocimiento en las tres categorías, A3.1, A3.2 y A3.3, como muestra la Tabla 4.4.

Tabla 4.4 Asignación de códigos para las categorías A3 del profesor P1 (KoT-DPL)

UNIDAD DE INFORMACIÓN COD INTERPRETACIÓN

Con

ocim

ient

o de

l tem

a: K

oT

Cat

egor

ía: R

egis

tros

de re

pres

enta

ción

[2]… O sea, tu concepto de derivada lo que hace, pasa primero por definir la recta tangente [tarjeta 1] ¿no es cierto?, y asociar el concepto de derivada en un punto como la pendiente de esa recta tangente.

A3.

1

Reconoce el registro gráfico de la DPL.

[4]Yo a esta tarjeta (Tarjeta1), primero lo que yo veo, es la gráfica de una función y después lo que yo veo la recta tangente a un cierto punto de la gráfica ¿cierto?

¿Entiendes?, [Pausa]...este límite representa esa recta (Tarjeta 2).

A3.

2

Registro algebraico de la derivada. {indicio de que existe articulador}.

[4]… [Indica la tarjeta 2] representa esa recta y se puede comprender como la mejor aproximación… [Indicando la tarjeta 3]. [Pausa], mm… bueno, la derivada es un concepto local ¿estamos pensando en lo mismo?

Es que, en la vecindad del punto, esta recta tangente se comporta como la misma curva, todo esto es local ¿entiendes?

A3.

3

En este fragmento describe el modo analítico estructural de la DPL

La categoría de conocimiento de las Conexiones intraconceptuales (A4) atribuibles al (KoT-DPL), permite indagar en los elementos articuladores que propone el modelo de comprensión que se estudia. El profesor P1 va hilando las propiedades y conceptos involucrados, tarjeta 1 y 2, sin embargo, en su relato no explica directamente en qué elemento articulador está pensando. Para indagar cómo hace la conexión entre la tarjeta 1 y 2, se pregunta nuevamente, ¿qué elementos considera para conectar las tarjetas? Después de varias pausas él reflexiona explorando una nueva forma de conexión. Este fragmento de la entrevista fue descrito, con evidencia, en Figura 4.7.

129

Finalmente, el profesor P1 reconoce propiedades del triángulo rectángulo para conectar la tarjeta 1 y 2, explicitando que las rectas secantes son las que determinan el triángulo, concluyendo las bondades de considerar el triángulo rectángulo para conectarlas, reafirmando este elemento como articulador. Se muestra en los párrafos siguientes este hecho. [12] Perfecto, este triángulo es perfecto… [Pausa…]

[16] Pero lo que es cierto, es que tú necesitas el triángulo. Porque así se define la tangente.

El triángulo le permite al profesor P1, obtener la tangente por medio de la secante, él construye explícitamente el triángulo con los puntos que determinan la secante que pasa por los puntos .

Argumenta que el límite de estas secantes le da exactamente la pendiente de la recta tangente y conecta con la tarjeta 2. Concluyendo finalmente que este triángulo es un articulador bidireccional para la tarjeta 1 y 2. Las evidencias de conexiones intraconceptuales de la DPL se muestran en la Tabla 4.5.

Tabla 4.5 Asignación de códigos para las categorías A4 del profesor P1

UNIDAD DE INFORMACIÓN COD INTERPRETACIÓN

Con

ocim

ient

o de

l tem

a: K

oT

Cat

egor

ía: c

onex

ione

s in

traco

ncep

tual

es

[21] ,pendiente de la secante, esa es la relación o sea esto, lo que pasa es que porque es biunívoca, cada tangente[tarjeta 1] tiene una única pendiente, y esa pendiente es esta [tarjeta 2] que es la pendiente que es biunívoca ahora como pasa de aquí para acá, necesita de un concepto de pendiente. El concepto de pendiente depende ¿cierto?, la pendiente depende, entonces, el concepto depende del triángulo, de un triángulo, en este caso.

A4.

1 Conocimiento de, H1: El triángulo rectángulo en el sistema coordenado (formado por la recta secante y la recta horizontal), como articulador entre AO y SGC, se reconoce en su reflexión la condición bidireccional del triángulo para relacionar la tarjeta 1 y 2.

[22]…Y esa secante tiene una pendiente ¿no es cierto? que con el triángulo tú calculas la pendiente. Ya, si tienes este valor que esta acá está aquí, igual tienes el triángulo y tienes la pendiente o sea al tener la pendiente tú tienes la recta, entonces es lo mismo.

A4.

2

Conocimiento de, H2: La pendiente de la recta tangente en un punto de la curva, como articulador entre AO y AE. Tarjeta 2 y 3.

130

[18] en este caso tienes la recta tangente, que es la mejor aproximación de la curva en ese punto, se comporta igual, esto es todo lo mismo. A

4.3

Conocimiento de, H3: La ecuación de la recta tangente, como articulador entre SGC y AE. Tarjeta 1 y 3.

Respecto de las conexiones intraconceptuales para las tarjetas 2 y 3, el profesor P1 afirma que debe ser la recta tangente, como también la pendiente debe ser la conexión de la tarjeta 1 y 3. En su relato indica que las tres tarjetas son lo mismo, esto se interpreta como evidencia de los articuladores. En el caso de la conexión entre la tarjeta 1 y 3 por ejemplo, el profesor P1 da más información de cómo el cociente , se relaciona con la pendiente. Las justificaciones de los articuladores son sustentadas como muestra la Figura 4.8, mostrando evidencia de los tres elementos articuladores propuestos como hipótesis.

Figura 4.8. Evidencia de las tres conexiones intraconceptuales del profesor P1.

Respecto de la categoría de conocimiento de Fenomenología (A5) atribuibles al (KoT- DPL), se observa el conocimiento que este profesor P1 tiene sobre campos de utilidad de la DPL en áreas específicas de la matemática o la relación de la DPL con otras áreas del conocimiento. En el caso de este profesor P1, los aspectos fenomenológicos son abordados de manera transversal en las reflexiones, las conexiones interconceptuales dentro de la matemática son un campo de dominio elevado en sus reflexiones. Una evidencia de la categoría A5.1, para identificar campos de utilidad de la DPL, se muestra en el siguiente párrafo.

[5] Se puede ver que la integración, por ejemplo, tiene una estructura subyacente que es el espacio de medida, formado por conjuntos medibles, mientras en la diferenciación subyace la estructura de variedad diferenciable, es muy difícil ver en la diferencia de estas estructuras.

131

Este párrafo en particular, contiene indicios de conocimiento de fenomenología con la estructura de , en particular la relación con el concepto la variedad diferenciable.

Conocimiento de la Estructura Matemática en el subdominio (KSM-DPL) Para el subdominio de conocimiento de la estructura matemática (KSM-DPL), se consideraron las categorías: conexiones de complejización (B1), conexiones de simplificación (B2), conexiones transversales y auxiliares (B3), cada una de éstas con sus respectivos indicadores de conocimiento. En lo que sigue se muestran las evidencias encontradas en la entrevista a P1. Sobre el conocimiento del profesor P1 en el subdominio de la estructura matemática: KSM-DPL, existe evidencia de la categoría de conocimiento de la complejización (B1) del contenido, donde P1 muestra desde el espacio de funciones, la no diferenciabilidad, que se puede expresar como un cono de vectores normales, y si ese cono se reduce a un punto, está indicando que la función es diferenciable en el punto. Este hecho explicado a partir de un caso particular en el plano, tomando al valor absoluto, como un ejemplo que le permite a P1 explicar la diferenciabilidad en el espacio de funciones. Las derivadas laterales que no coinciden en el cero, por tanto la función no es diferenciable en el punto . En el episodio que sigue se muestra como la reflexión de P1 considera el cono de vectores normales, para caso del valor absoluto en el plano, dando cuenta de la abstracción en un conocimiento avanzado de la matemática.

[23] Mirando del punto de vista de la ortogonalidad de los vectores normales, uno podría llegar a decir lo siguiente: que la no diferenciabilidad de una función en un punto, es en cierta medida determinada por el cono de los vectores normales en ese punto ¿Y cómo se calcula eso? [Valor absoluto] Se toma por el lado izquierdo la derivada lateral, y con esas dos semirrectas tú formas un cono. En el espacio que te mueves si ese cono se reduce a un punto, quiere decir que ambas laterales coinciden y entonces hay un único vector normal.

[3] En el concepto de continuidad es un concepto clave y tiene como estructura matemática el de variedad.

La noción de continuidad para explicar la noción de variedad diferenciable, se podría interpretar como posibilidad de explorar en el conocimiento de este profesor P1. Respecto a las conexiones de simplificación, transversales o auxiliares, no se ha obtenido evidencias o indicios que pudieran dar lugar a oportunidades para indagar. La falta de evidencia puede deberse a que este subdominio requiere información específica ligada a la resolución de problemas con la DPL, no obstante, la información se obtiene desde reflexiones en una entrevista.

Conocimientos en el subdominio de la práctica matemática (KPM-DPL) Para el subdominio de conocimiento de la práctica matemática (KPM-DPL), se consideraron las categorías: formas de proceder en matemáticas (C1), formas de proceder ligadas a la DPL (C2), cada una de éstas con sus respectivos indicadores de conocimiento.

132

Sobre el conocimiento en el subdominio correspondiente a la práctica matemática: KPM-DPL, se identifican las formas de proceder matemáticamente, es decir, se interpreta al profesor en el conocimiento de las jerarquías y planificación en la resolución de un problema empleando argumentos lógicos como formas de validar y demostrar en matemáticas. En el caso de este profesor P1, los argumentos que valida y prueba, están ligados fuertemente a su KoT, como muestra el párrafo siguiente.

[24] Claro, claro, tú puedes explicar eso. Observe que el caso diferenciable hay un vector normal y observe que en el caso no diferenciable hay un cono de vectores normales. Y ahí te lo estoy dibujando, entonces cuando la cosa es así, ese cono se reduce a un único punto, que es el vector normal, o sea ese cono es una medida de la no diferenciabilidad de tu función.

El profesor P1 muestra evidencias de conocimientos en el uso de ejemplos y contraejemplos como formas de producir conocimiento matemático, mostrando un alto nivel de conocimiento del uso que realiza de las formas de proceder en matemáticas, en particular el uso de jerarquías, esto lo muestra en sus reflexiones exploratorias dentro de la matemática. En síntesis, se observa un amplio dominio de sus conocimientos matemáticos, con capacidad de plantear nuevas ideas y refutar las ideas exploradas, por lo que se interpreta como parte de su KPM: heurísticos, en la categoría C1.2 y C1.3. Sobre el conocimiento en el subdominio de la práctica matemática, KPM, el conocimiento de las jerarquías, empleando argumentos lógicos como formas de validar y demostrar en matemáticas. En el caso de este profesor P1, se han encontrado evidencias e indicios de este conocimiento en los párrafos [7], [10] y [15], en el sentido que muestra formas de proceder en matemáticas, con fundamentos lógicos para validar un concepto. El párrafo [8] indica la importancia de los contraejemplos como conocimiento necesario para la validación de la continuidad y su importancia en la DPL.

Conocimiento didáctico de la DPL (PCK-DPL) El dominio de Conocimiento Didáctico (PCK), se refiere al conocimiento que evidencia el profesor del contenido como objeto de enseñanza y aprendizaje. Este dominio de conocimientos se divide en tres subdominios: el conocimiento de la Enseñanza de la Matemática (KMT) considera el conocimiento que tiene el profesor sobre las distintas estrategias que le permiten desarrollar capacidades matemáticas en los estudiantes, el conocimiento de las distintas representaciones que le permiten hacer más comprensible un objeto matemático, el conocimiento de recursos para ayudar a los aprendices a descubrir las ideas matemáticas que les permite descubrir otros conocimientos. El subdominio de conocimiento de las Características de Aprendizaje de la Matemática (KFLM), refiere al conocimiento que muestra el profesor sobre los estudiantes, en cuanto a las características del proceso de comprensión de la matemática. En este sentido interesa observar lo que conoce este profesor P1 de las dificultades, obstáculos y el lenguaje utilizado por los aprendices en relación al tópico tratado. El subdominio de conocimiento de Los Estándares de Aprendizaje de la Matemática (KMLS), es el conocimiento que tiene el profesor de lo que debe y puede lograr un aprendiz en un contexto de aprendizaje, como un año escolar, su

133

conocimiento de los planes de estudio institucionales, en la investigación o en su propia experiencia. En el contexto de esta investigación se considera la DPL, el objeto matemático que guía la interpretación de las unidades de información que componen el PCK de este profesor P1, en adelante, PCK-DPL, con sus subdominios, KMT-DPL, KFLM-DPL y KMLS-DPL, desarrollados en los apartados que siguen. Respecto al conocimiento didáctico de la DPL, PCK-DPL, se observan los subdominios de conocimiento KFLM-DPL, KMT-DPL y KMLS-DPL, el interés está en el conocimiento que muestra el profesor P1 de las características de aprendizaje como consecuencia de su interacción con la DPL, especialmente en los subdominios, KFLM-DPL, interesa explorar el conocimiento del profesor en cuanto al aprendizaje, cómo aprenden los estudiantes la DPL y KMT-DPL. Interesan las habilidades comunicativas del profesor al abordar la DPL. En cuanto al subdominio KMLS-DPL, comprende los conocimientos del profesor sobre condicionantes externos que influyen en su enseñanza.

Conocimiento de la enseñanza (KMT-DPL) Este subdominio corresponde a las habilidades comunicativas del profesor, en especial las vías y signos que utiliza el profesor en el proceso de trasmitir el tópico de interés, de manera que sea comprensible para los aprendices. Para este subdominio de conocimientos de la enseñanza de la matemática (KMT-DPL), se consideraron las categorías: teorías de enseñanza (D1), recursos materiales y virtuales (D2), estrategias, técnicas, tareas y ejemplos (D3), cada una de éstas con sus respectivos indicadores de conocimiento. En lo que sigue, se muestran las evidencias encontradas en la entrevista. En el caso del profesor P1, como muestra el párrafo siguiente, los ejemplos podrían ser recursos que emplea este profesor para lograr sus objetivos de aprendizaje (D2) o basado en la experiencia docente, por lo que se podría interpretar en la categoría D1. Este hecho se discutirá en el capítulo siguiente.

[30] Mostrar el ejemplo de una función que tiene esa recta tangente y tiene un vector normal y después una que no, el módulo por ejemplo que tiene más, no tiene un único vector se puede llamar normal, en realidad como en la, …

Una interpretación de las reflexiones de este profesor P1, podría indicar que los ejemplos son estrategias apropiadas para el aprendizaje de la DPL, como bien lo expresa cuando toma como ejemplo el valor absoluto, su intencionalidad va dirigida para que el concepto de no diferenciabilidad sea comprensible. Esto podría indicar evidencias en la categoría, D3.1.

Conocimientos de las características de aprendizaje (KFLM-DPL) Para este subdominio de conocimiento, se consideraron las categorías: fortalezas y dificultades (E1), formas de interacción con la DPL (E2), intereses y expectativas (E3), cada una de éstas con sus respectivos indicadores de conocimiento.

134

Sobre este subdominio de conocimiento de las características de aprendizaje (KFLM-DPL), en la categoría de conocimiento de las fortalezas y dificultades (E1), asociadas al aprendizaje de la DPL, no se encuentra evidencias en este profesor, hecho que se discutirá en las limitaciones del estudio, dado que las reflexiones de este profesor están intencionadas para hacer que se comprenda el concepto. Constantemente recurre a ejemplos, esto podría estar explicado desde sus concepciones, en el sentido de que las dificultades en la comprensión de los estudiantes podrían estar en vinculación con la presentación de ejemplos.

[12]…, porque primero uno le explica al alumno el triángulo, la tangente y con eso el tipo [alumno] entiende se da cuenta que después este triángulo comienza a bajar acá hasta que... [Pausa…].

Formas de interacción de los aprendices con el contenido, en este caso con el triángulo rectángulo y la tangente, en la categoría, E2.1.

Conocimiento de los estándares de aprendizaje: KMLS-DPL Para el subdominio de conocimiento de los estándares de aprendizaje (KMLS-DPL), se consideraron las categorías: expectativas de aprendizaje (F1), nivel de desarrollo conceptual o procedimental esperado (F2), secuenciación con temas anteriores y posteriores (F3), cada una de éstas con sus respectivos indicadores de conocimiento. No se tiene evidencias de este conocimiento en las categorías F1 y F2, en este participante, sin embargo, se puede interpretar que tiene elementos de la categoría F3, en el sentido que P1 realiza una secuenciación de conocimientos en su reflexión respecto de las conexiones intraconceptuales, que da información sobre la relación entre KMLS y KoT. En síntesis, la estructura de los subdominios MTSK-DPL, permiten profundizar en el conocimiento especializado de este profesor P1, para poder comprender no sólo lo que conoce, sino cómo lo conoce, usa y relaciona al abordar la DPL. Para mostrar cómo se relacionan estos conocimientos de manera que reflejen su carácter integrado, se diseña una tabla, con representación icónica 31 (Escudero, 2014) de los conocimientos evidenciados, en sintonía con el objetivo específico, OE4, por cada participante. Como se muestra en la Tabla 4.6 y 4.7.

31 Esta relación icónica (Escudero, 2014), solo se mostrará para este primer análisis, para dar claridad al lector sobre el uso del instrumento. Para los siguientes análisis sólo se mostrará el mapa de conocimientos del MTSK de cada participante.

135

Tabla 4.6 Relación icónica del MTSK-DPL del profesor P1

Con

ocim

ient

o de

los

tem

as :

KoT

Conocimientos identificados Forma de representar

Proc

edim

ient

os

Cómo se prueba

Diferenciabilidad en un punto

Cuando se puede hacer

Existe una única pendiente

Cómo se hace

Límites laterales coinciden

Cómo se Prueba

No diferenciabilidad en un punto

Cuando se puede hacer

Existen infinitas pendientes

Cómo se hace

Límites laterales distintos

Oportunidad para explorar: El área achurada tiende a cero

Prop

ieda

des

y su

s fu

ndam

ento

s

Asociados a la DPL

La derivada en un punto, es el límite de las pendientes de las secantes.

La pendiente de la secante se define por:

, en el punto.

La función es derivable cuando se puede asociar una única pendiente a una recta tangente.

La derivada en un punto como la pendiente de la recta tangente.

Con

exio

nes

intr

acon

cept

uale

s

Evidencias de los elementos matemáticos presentados en las hipótesis. H1, H2 y H3.

La secante determina el triángulo.

El triángulo rectángulo define la tangente.

La recta tangente es la mejor aproximación de la curva en el punto.

Su pendiente, una condición necesaria.

136

Reg

istr

os d

e re

pres

enta

ción

Sintético-Gráfico-Convergente

SGC

Analítico- Operacional

AO

Analítico-Estructural

AE

Para representar en el mapa de conocimientos y las relaciones entre los subdominios como muestra la Tabla 4.7, se identifican los subdominios con formas geométricas diferenciadas, con la intención de mostrar al lector el carácter integrado de éstos.

137

Tabla 4.7 Relación icónica de subdominios identificados en el profesor P1

Subdominio y categoría Conocimientos identificados Forma de representar

Subd

omin

io:

KSM

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de

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a El cono de vectores normales reducido a un punto, es un indicador de diferenciabilidad de la función en un punto.

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a El cono de vectores normales reducido a un punto, es un indicador de diferenciabilidad de la función en un punto.

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comprenden mejor con ejemplos

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[30] Mostrar el ejemplo, de una función que tiene esa recta tangente y tiene un vector normal y después una que no, el módulo por ejemplo que tiene más, no tiene un único vector se puede llamar normal,

Su

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KM

LS

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Evid

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a

Existe evidencia en su relato de las conexiones intraconceptuales, en los párrafos [18] al [22], donde reconoce ciertas formas de desarrollar una secuenciación desde el punto de vista didáctico.

El siguiente apartado muestra una síntesis representativa de los subdominios y categorías más característicos del conocimiento del profesor P1, junto con las relaciones entre los subdominios, indicadas por flechas bidireccionales y con flechas unidireccionales para señalar conocimientos que surgen de otros, conformando un mapa de conocimientos, como se presenta a continuación. El objetivo que persigue

138

este mapa está en relación directa con OG2: caracterizar los elementos articuladores que evidencian los profesores en la asignatura de Cálculo I.

Mapa de conocimientos mostrados por el profesor P1 Para conformar el mapa que muestra la Figura 4.9, se consideran las relaciones entre el MTSK-DPL y el modelo de comprensión profunda de la DPL, siguiendo la ruta cognitiva de las reflexiones realizadas por el profesor P1, desde la información contenida en el desarrollo de los apartados anteriores. Obedece a los objetivos específicos OE2: describir los componentes de conocimiento según el modelo MTSK-DPL, que presentan los profesores al abordar la DPL y OE4 e identificar explícitamente los articuladores presentes en el conocimiento de los profesores. Las figuras y líneas interpretan las relaciones más significativas encontradas. Cabe recordar que el modelo de comprensión profunda de la DPL sigue siendo el eje central de la interpretación, con sus componentes que se corresponden con las categorías de representaciones y conexiones intraconceptuales en el KoT-DPL de su MTSK-DPL. El profesor P1 inicia su reflexión desde la categoría A3.1 del subdominio KoT-DPL, la representación geométrica de la DPL, desplegando su conocimiento hacia las propiedades y definiciones de la DPL como a los otros componentes del modelo de comprensión profunda. Es así que, el surgimiento de las conexiones intraconceptuales, (articuladores: H1, H2 y H3) emergen desde y en la matemática con poca relación con los subdominios de conocimientos para la enseñanza de la PCK-DPL, sí son explícitamente visibles en el conocimiento de este profesor P1, el triángulo rectángulo como elemento de conexión intraconceptual (A4.1), articulador para el modelo de comprensión profunda de la DPL, –pero no es inmediato en su relato como ya se ha explicado–, dado que explora dentro de la matemática otras conexiones.

139

Figura 4.9. Mapa de conocimientos según el MTSK-DPL del profesor P1 en relación al Modelo de comprensión profunda de la DPL.

Desde esta perspectiva el MTSK-DPL del profesor P1, descrito en el mapa de conocimientos de la Figura 4.9, muestra que el KoT-DPL es la base que le permite al profesor P1 estructurar sus conocimientos, relacionarlos y utilizarlos de forma que estos le puedan ser funcionales para explicar la DPL. El profesor P1 evidencia relación entre su KoT-DPL y su KPM-DPL, dado que la práctica matemática de este profesor está fuertemente ligada a la forma de sustentar las justificaciones matemáticas, es decir, las formas de proceder en matemáticas, como la argumentación, la validación y la prueba, mientras en el KPM-DPL interesa, por ejemplo, el conocimiento que tiene de una demostración para la derivabilidad. En el KoT-DPL interesa, por ejemplo, la demostración que los límites laterales coinciden. En definitiva, el KPM-DPL le permite

140

al profesor P1 generar conocimientos que están en el KoT-DPL, hecho que se discutirá con más profundidad en el capítulo siguiente. A continuación, se presenta el desarrollo del análisis de MTSK-DPL para el profesor P2.

4.2.2 Análisis del conocimiento especializado del profesor P2 (MTSK-DPL)

CASO 4 Con la intención del análisis adoptado para el caso del profesor P1, se buscan los componentes de conocimiento especializado manifestado por el profesor P2 al abordar la DPL. Así, la narrativa en esta sección, se complementa con las producciones escritas o fotografiadas del pizarrón. Para iniciar este análisis se presenta una descripción de aspectos contextuales que ayudan a entender la participación de este profesor P2, reflejando con el menor grado de subjetividad posible los fragmentos que no tienen la suficiente identidad para ser reportadas como evidencias en su conocimiento especializado. En la entrevista con este profesor P2 se distingue una reflexión respecto de la relación entre las dos perspectivas matemáticas en juego para la enseñanza de la derivada, una perspectiva local y otra global, si bien, la derivada está definida localmente en la matemática, según este profesor P2, su perspectiva global es necesaria para desarrollar muchas de las aplicaciones en las distintas áreas de la ciencia. Desde una visión muy general, la postura de este profesor P2 está relacionada con aspectos fenomenológicos de la DPL. Esta relación será discutida en el capítulo siguiente, puesto que involucra cuestiones relacionadas con las decisiones metodológicas de este estudio. No obstante, llama la atención en el párrafo [5], la interesante sugerencia que realiza el profesor P2 sobre el cuantificador universal, elemento matemático que extiende la DPL a todo el intervalo (perspectiva global), consideración que muestra, si se observa la intencionalidad de su reflexión, una idea matemática para la enseñanza.

[5] Si yo pienso en el límite puntual… ¿para retornar al general?, es una buena pregunta, no he pensado esa situación (pausa...), Ah, pero lo que usted tiene acá (toma tarjeta 2), es que, si hay un cuantificador universal, con eso considero el intervalo completo, para ver lo global, entonces, esto va de lo local a lo global.

Además, este profesor P2 considera el modo AE definido en el modelo como un caso particular de la perspectiva global de la derivada. Este hecho pone nuevamente en discusión el rol de la perspectiva global para comprender la perspectiva local en el modelo de comprensión profunda. Como muestra el párrafo siguiente, si bien, queda fuera del instrumento de análisis aplicado (Tabla 3.17), proporciona suficiente información de la importancia en una indagación futura entre la perspectiva global y la DPL, como lo indica P2 en el párrafo siguiente.

[16]Obviamente que tiene relación, para mí cuando pienso en la tarjeta 3 de la derivada, pienso en el espacio de funciones de dos variables, tres variables, funciones de y en todas se puede definir la derivada.

141

Aunque este profesor P2 está consciente de que la representación de la tarjeta 3, (A3.3) en MTSK-DPL, no es parte de los temas que se abordan en la enseñanza del cálculo en el primer año de universidad, sería muy bueno que los aprendices lo tengan en sus conocimientos, si bien esto se discute como parte de su KMLS, se entiende desde el punto de vista de este estudio que pone de relieve la operalización del modelo de comprensión profunda para la DPL, este punto se retoma en el capítulo siguiente.

Conocimiento matemático de la DPL (MK-DPL) Para interpretar las evidencias en el dominio de conocimiento matemático (MK-DPL) en este profesor P2, se observan los tres subdominios: conocimiento matemático de la DPL, KoT-DPL, conocimiento de la estructura matemática de la DPL, KSM-DPL y conocimiento de la práctica matemática de la DPL, KPM-DPL.

Conocimiento de los temas en el subdominio (KoT-DPL) Para el subdominio de conocimiento de los temas matemáticos (KoT-DPL), se consideraron las categorías: procedimientos matemáticos (A1), definiciones propiedades y fundamentos (A2), registros de representaciones de la DPL (A3), conexiones intraconceptuales (A4), fenomenología y aplicaciones (A5), con sus respectivos indicadores de conocimiento. Respecto del conocimiento del contenido matemático de la DPL, (KoT-DPL), manifestado por este profesor P2, no se encuentran evidencias en la categoría de procedimientos (A1), sin embargo, al momento de argumentar la representación gráfica de la DPL, Figura 4.10, P2 expone los conocimientos sobre procedimientos matemáticos que aportan indicios que conoce formas de resolver problemas, justificando las propiedades del triángulo rectángulo y de la tangente para llegar a la definición de la DPL, correspondiendo al indicador A1.2 y A1.3.

Figura 4.10. Evidencia de conocimiento del articulador entre la tarjeta 1 y 2 en P2.

Respecto de la categoría de conocimiento, de las definiciones, propiedades y sus fundamentos (A2), el profesor P2 muestra evidencias de las propiedades y definiciones, que son abordadas en la mayor parte del tiempo en un lenguaje formal de la matemática, con evidencias de conocimiento de las propiedades en torno a las funciones diferenciables A2.1, de la recta tangente, propiedades del triángulo rectángulo (A2.2). El profesor P2 describe lo que observa iniciando la reflexión desde

142

la tarjeta 2 (AO), haciendo la conexión con la tarjeta 1(SGC), como muestran las unidades de información identificadas en la Tabla 4.14.

Tabla 4.14 Asignación de códigos para las categorías A2 del profesor P2

UNIDAD DE INFORMACIÓN COD INTERPRETACIÓN

Con

ocim

ient

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los

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KoT

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CA

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OR

IA:

Def

inic

ione

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edad

es y

sus

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amen

tos

[2] Primero es que usted puede fijar el f(x) del punto P y puede decir que f(x+h) es el extremo del triángulo, en conexión con el punto Q, o puede ser mirando cualquier punto del otro lado, a la izquierda o derecha de P.

A2.

1

Propiedad de la función diferenciable en un punto.

[3] El ángulo de tangencia da exactamente la pendiente de la recta tangente, cuando h tiende a cero.

A2.

2

Conoce las propiedades de la recta tangente.

[6] Generalmente cuando yo me detengo a mirar, cuando construyo un modo de pensar en ello, construyo una relación de equivalencia, ir y venir, para mí la relación de equivalencia es dada sólo por el triángulo, nunca pensé en que podría ser otro elemento.

A2.

2 Propiedades del triángulo rectángulo.

[19] La continuidad es una definición que es puramente matemática. In

dici

o Conocimiento para la continuidad de una

función.

En cuanto a la categoría de registro de representación (A3), en el subdominio KoT-DPL, se encuentran evidencias de conocimiento en la categoría: A3.1, conoce la representación geométrica, A3.2, conoce la DPL por su definición analítica a través del límite y A3.3, conoce la DPL como la mejor aproximación lineal. Estos tres registros de representación para la DPL son narrados por el profesor P2, mostrando las tarjetas como evidencias, tal como se presenta en los párrafos [9], [10] y [14] de la Tabla 4.15. El profesor P2 en particular muestra la representación de la tarjeta 3 como un caso particular de la derivada de funciones diferenciables en un espacio vectorial de dimensión infinita, perspectiva global de la derivada.

143

Tabla 4.15 Asignación de códigos para las categorías A3 del profesor P2

UNIDAD DE INFORMACIÓN COD INTERPRETACIÓN C

onoc

imie

nto

del t

ema:

KoT

Cat

egor

ía: R

egis

tros

de re

pres

enta

ción

[9] El dibujo que mejor representa la expresión de la derivada, le llamaría modelo geométrico de la derivada, es lo que muestra la tarjeta 1.

A3.

1

Reconoce la representación geométrica de la derivada.

[10] Bien, en cuanto a la relación anterior, ver el modelo geométrico como la representación geométrica del modelo AO, el AE es una generalización del AO en el sentido que usted ya no está preocupado de los puntos y simplemente se quiere, desde un punto de vista de las relaciones. AE generaliza al AO.

A3.

2

Identifica los tres modos presentados AE, refiere a una forma de comprender en un sentido más amplio el AO y SGC.

[14]… “señores olvídense de los puntos, ahora trabajamos con funciones”, es decir queremos hacer álgebra lineal en un espacio vectorial de dimensión infinita que es el espacio de las funciones y vemos la derivada como la primera transformación lineal, como es lo que muestra la tarjeta 3. En ese caso particular sí tiene sentido la mejor aproximación.

A3.

3

Este fragmento describe el modo analítico estructural de la DPL. Muestra relaciones fenomenológicas con el espacio de funciones, la derivada como primera transformación lineal.

Respecto de las conexiones intraconceptuales (A4), para indagar los articuladores, este profesor P2 va hilando las propiedades y conceptos involucrados entre la tarjeta 1, 2 y 3, relacionando el límite con la tangente a través de las pendientes de las secantes:

Con todo esto P2 concluye que la relación de este cociente genera el triángulo que hace esta conexión, que es bidireccional y única, según justifica en su relato, como se muestra en la Figura. 4.10 y en la unidad de información que sigue:

[4] No encuentro otro, para mí el dibujo del triángulo es el que conecta el modelo geométrico de la derivada con la expresión de la derivada a través del límite.

Evidencias de conexión entre las tarjetas 2 y 3, junto con las tarjetas 1 y 3, en este profesor P2 están explícitas, con la condición que sería válido en el caso particular de funciones reales de variable real, que es el contexto matemático en el que se ha gestionado el modelo de comprensión profunda para la DPL. Esto último, coincide con

144

lo expresado por el profesor P1, dado que el modo de comprensión propuesto para AE es la tarjeta 3. Sin embargo, esto podría estar en relación con su KMLS-DPL en el sentido que su reflexión muestra una secuenciación desde un punto de vista de la enseñanza. Evidencia sustentada en el siguiente párrafo:

[16]…al caso de funciones de una variable y de variable real, es decir, esa la puedo representar geométricamente como en las tarjetas, y se pueden conectar estas dos tarjetas (Tarjeta 2 y 3) con la pendiente.

El triángulo le permite a P2 obtener la tangente, por medio de la secante. Él construye explícitamente el triángulo con los puntos que determinan la secante que pasa por los puntos e identifica y muestra explícitamente los elementos articuladores para las tres tarjetas. En cuanto a la explicación realizada para justificar el Modo AE, se podría entender que en este profesor P2, emerge la DPL como caso particular, donde las funciones reales de variable real cumplen con la idea de mejor aproximación local, así lo declara en el párrafo [11] de las unidades de información dispuestas en la Tabla 4.16.

Tabla 4.16 Asignación de códigos para las categorías A4 del profesor P2

UNIDAD DE INFORMACIÓN COD INTERPRETACIÓN

Con

ocim

ient

o de

l tem

a: K

oT

Cat

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ione

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traco

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tual

es

[2] Con relación al cociente, usted, tiene un triángulo, con eso estamos pensando en el límite, y con eso relaciono, el valor de h que es lo que define el cateto del triángulo.

Entonces, el límite me da la tangente, porque con este cociente sólo tengo la pendiente de esas secantes.

[4] No encuentro otro, para mí el dibujo del triángulo es el que conecta el modelo geométrico de la derivada con la expresión de la derivada a través del límite.

A4.

1 Conocimiento de, H1: El triángulo rectángulo en el sistema coordenado (formado por la recta secante y la recta horizontal), como articulador entre AO y SGC, se reconoce en su reflexión la condición bidireccional del triángulo para relacionar la tarjeta 1 y 2.

[16]* …No veo mucha relación excepto cuando aplicamos al caso de funciones de una variable y de variable real, es decir, esa la puedo representar geométricamente como el modelo y se pueden conectar estas dos tarjetas con la pendiente.

A4.

2

Conocimiento de, H2: La pendiente de la recta tangente en un punto de la curva, como articulador entre AO y AE. Tarjeta 2 y 3. (*) Corresponde a la segunda parte del párrafo 16.

145

[11] De un punto de vista didáctico, sólo con funciones reales y de variable real, el alumno podría ver la recta de esta tarjeta (tarjeta 1) que se conecte con la mejor la mejor aproximación, sólo local.

A4.

3

Conocimiento de, H3: La ecuación de la recta tangente, como articulador entre SGC y AE. Tarjeta 1 y 3.

Conocimiento de la estructura matemática de la DPL (KSM-DPL) Para este subdominio, se consideraron las categorías: de complejización (B1), de simplificación y de conexiones transversales o auxiliares (B3), cada una de éstas con sus respectivos indicadores de conocimiento. En lo que sigue se muestran las evidencias encontradas en la entrevista. Con respecto al conocimiento que muestra el profesor P2, sobre la estructura de la matemática KSM-DPL, existe indicio de la categoría de conocimiento de la complejización, B1.1, como se muestra en el siguiente párrafo, a P2 le faltan argumentos para justificar si el conocimiento del modo AE le permite explicar la derivada en el espacio de las funciones. diferenciables.

[16]Obviamente que tiene relación, para mí cuando pienso en la tarjeta 3 de la derivada, pienso en el espacio de funciones de dos variables, tres variables, funciones de y en todas se puede definir la derivada.

Respecto a las conexiones de simplificación, transversales o auxiliares no se ha obtenido evidencias o indicios en P2 que pudieran dar lugar a oportunidades para indagar. Si bien, este profesor P2 relaciona contenidos dentro de la matemática con la DPL, se han considerado insuficientes como evidencias. La falta de la evidencia puede deberse a que este subdominio requiere información específica ligada a la resolución de problemas con la DPL, como se presenta en la Tabla 4.17.

Tabla 4.17 Asignación de códigos para las categorías B1 del profesor P2

UNIDAD DE INFORMACIÓN COD INTERPRETACIÓN

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De

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plej

izac

ión

[16] Obviamente que tiene relación, para mí cuando pienso en la tarjeta 3 de la derivada, pienso en el espacio de funciones de dos variables, tres variables, funciones de y en todas se puede definir la derivada..

Indi

cio

de B

1.1 El conocimiento del

modo estructural le permite ver el concepto en el espacio de funciones, pero no se identifica la evidencia de esto.

146

Conocimiento de la práctica matemática de la DPL (KPM-DPL) Para este subdominio se consideran las categorías: forma de proceder en matemáticas (C1), formas de proceder ligadas a la DPL (C2), cada una de éstas con sus respectivos indicadores de conocimiento. En lo que sigue se muestran las evidencias encontradas en la entrevista a P2. Sobre el conocimiento en el subdominio de la práctica matemática, KPM-DPL, este profesor P2 muestra conocimientos de jerarquías dentro de la matemática, muestra conocimiento de ideas matemáticas que son necesarias, como la continuidad en la categoría C1.1. Las reflexiones de P2 en torno a las tarjetas muestran que constantemente está empleando argumentos lógicos como formas de validar y demostrar en matemáticas, por ejemplo, la convergencia a través del límite. En el caso de este profesor P2 se han encontrado evidencias e indicios de este conocimiento en los párrafos [7], [10] y [15] mostrados en la Tabla 4.18, en el sentido que P2 muestra formas de proceder en matemáticas, con fundamentos lógicos para validar un concepto, El párrafo [8] indica la importancia de los contraejemplos como conocimiento necesario para la validación de la continuidad y su importancia en la DPL.

Tabla 4.18 Asignación de códigos para las categorías C1y C2 del profesor P2

UNIDAD DE INFORMACIÓN COD INTERPRETACIÓN

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ica:

K

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Form

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En m

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átic

as

[7] usted define de cierta manera una relación de equivalencia, con estas secantes que se aproximan a la tangente, pero considero que falta rigor matemático, en el sentido que es necesario demostrar la existencia de esta convergencia.

C1.

1 Emplea argumentos lógicos para analizar convergencia. La importancia de las jerarquías conceptuales.

[10]…desde un punto de vista de las relaciones, AE generaliza al AO.

[8]… para mostrar la continuidad de funciones, pero está claro que el concepto matemáticamente no es eso. Los contra-ejemplos son importantes.

Indi

cio

los contra ejemplos como argumento para probar continuidad.

Conocimiento Didáctico de la DPL (PCK-DPL) Respecto al Conocimiento Didáctico de la DPL, se observan los subdominios de conocimiento KFLM-DPL, KMT-DPL y KMLS-DPL, el interés está en el conocimiento que muestra el profesor P2 de las características de aprendizaje como consecuencia

147

de su interacción con la DPL, especialmente en los subdominios KFLM-DPL, interesa explorar el conocimiento del profesor P2 en cuanto al aprendizaje, cómo aprenden los estudiantes la DPL y KMT-DPL, donde interesan las habilidades comunicativas del profesor P2 al abordar la DPL. En cuanto al subdominio KMLS-DPL, este comprende los conocimientos del profesor sobre condicionantes externos que influyen en la enseñanza de la DPL.

Conocimiento de la enseñanza de la DPL (KMT-DPL) Sobre el subdominio de conocimiento de la enseñanza de la DPL: KMT-DPL, interesa observar habilidades comunicativas del profesor P2, en especial las vías y signos que utiliza en el proceso de trasmitir la DPL de manera que sea comprensible para los aprendices. Para este subdominio de conocimiento se consideraron las categorías: teorías de enseñanza (D1), Recursos materiales y virtuales (D2), estrategias, técnicas, tareas y ejemplos (D3), cada una de estas categorías con sus respectivos indicadores de conocimiento. Este profesor P2 ha mostrado conocimientos de las categorías D3.1, tal como, estrategias para explicar la continuidad, como se muestra en la Tabla 4.19. El P2 considera el uso de una analogía y la velocidad como un estímulo para que los aprendices comprendan la DPL.

Tabla 4.19 Asignación de códigos para las categorías D3 del profesor P2

UNIDAD DE INFORMACIÓN COD INTERPRETACIÓN

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empl

os

[8] En este caso, pienso que podría ser una idea didáctica de trabajar el concepto, por ejemplo mi profesor para enseñar continuidad, para alumnos de primer año, partía haciéndonos pasar un lápiz por una gráfica, para mostrar la continuidad de funciones

D3.

1

Emerge el uso de analogías para enseñar la continuidad.

[18] La velocidad es un estímulo concreto para comprender la derivada, pero existen alumnos que no entienden desde lo concreto, es raro pero acontece. D

3.1

Conocimiento de la velocidad, como ejemplo para comprender la derivada en su DPL. Relación fenomenológica de la velocidad con la DPL.

Se interpreta como un indicio, el uso de contraejemplos que P2 realiza, dado que no explica cuáles son los contraejemplos y para qué le sirven, como se muestra en el párrafo [8].

148

[8] para mostrar la continuidad de funciones, pero está claro que el concepto matemáticamente no es eso. Los contra ejemplos son importantes.

También muestra conocer la velocidad y la utiliza como un ejemplo para el aprendizaje de la derivada, en el párrafo [18]. [18] La velocidad es un estímulo concreto para comprender la derivada, pero existen alumnos que no entienden desde lo concreto, es raro, pero acontece.

Este párrafo también puede ser indicio de su KFLM-DPL, en el sentido que la velocidad sustenta una explicación del proceso de apropiación de la DPL y la velocidad como recurso para el aprendizaje de la DPL. Así, una interpretación desde la intención del relato del profesor P2 se interpreta como parte de su KMT-DPL.

Conocimiento de las características de aprendizaje de la DPL (KFLM-DPL) Para este subdominio se consideraron las categorías: fortalezas y dificultades en la DPL (E1), formas de interacción con la DPL (E2), intereses y expectativas (E3) con sus respectivos indicadores de conocimiento. En lo que sigue se muestran las evidencias encontradas en la entrevista a P2. Sobre el subdominio de conocimiento de las características de aprendizaje de la DPL (KFLM-DPL) de este profesor P2, en la categoría de conocimiento de las fortalezas y dificultades asociadas al aprendizaje (E1.1), P2, muestra evidencias en los párrafos [11], [15]*, [19], como muestra la Tabla 4.20, también en la categoría E3.1, como el conocimiento que tiene de facilidad o dificultad que los aprendices tienen asociados a la DPL, todo esto desde la intencionalidad de sus reflexiones.

Tabla 4.20 Asignación de códigos para las categorías E1, E2 y E3 del profesor P2

UNIDAD DE INFORMACIÓN COD INTERPRETACIÓN

Con

ocim

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o de

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Forta

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ulta

des

con

la D

PL

[19] Antes de pensar en la derivada, creo que la continuidad es una definición que es puramente matemática un concepto impuesto que no es natural y es abstracto, por lo que es más complejo para entender por parte del alumno.

E1.1

{KFLM: E1.1, fortalezas y dificultades de los estudiantes}.

La continuidad como una dificultad para comprender la matemática.

[11]… además el alumno debe y es muy necesario que tenga un buen conocimiento del modo que presenta la tarjeta 2 (AO, es decir un total dominio del AO para comprender y pasar a AE.

E3.1

KoT:A3.2, representación; KFLM: E1.2, reconoce la potencialidad de que los estudiantes conozcan este modo}

149

Form

as d

e

inte

racc

ión

con

la D

PL. [15]* Considero muy

importante que el estudiante tenga muy comprendido las funciones continuas junto con sus contra ejemplos.

E3.1

*indica que es la segunda parte del párrafo preconcepción de facilidad y dificultad.

Inte

rese

s

y ex

pect

ativ

as

[11]... en la mayoría de los casos, los alumnos son más concretos que abstractos. In

dici

o Formas de interacción

En particular, se interpreta un fragmento del párrafo siguiente: [19] creo que la continuidad es una definición que es puramente matemática, un concepto impuesto que no es natural y abstracto, por lo que es más complejo para entender por parte del alumno.

Como conocimiento de dificultad desde el punto de vista que describe cualidades de la continuidad con las que interactúan los aprendices, aunque no se han especificado cuales son las dificultades, se observa la intención de su reflexión, en el sentido que está consciente de las dificultades que podrían tener los aprendices, por lo tanto, interpretada en la categoría E1.1.

Conocimiento de los estándares de aprendizaje de la DPL (KMLS-DPL) Sobre el subdominio de los estándares de aprendizaje, KMLS-DPL, se consideraron las categorías: expectativas de aprendizaje (F1), nivel de desarrollo conceptual o procedimental esperado (F2), secuenciación con temas anteriores y posteriores (F3), cada una de éstas con sus respectivos indicadores de conocimiento. En lo que sigue se muestran las evidencias encontradas en la entrevista a P2. Este profesor P2 muestra evidencias de conocimientos en la categoría F1.2 que corresponden a conocimientos del profesor que le permiten valorar la tarea desde lo que se espera que conozca un aprendiz respecto de la DPL en el nivel de estudio, esto en el párrafo [12], realiza una secuencia con temas anteriores, como justificación didáctica del contenido. En la categoría F3.2, en el párrafo [17], muestra conocimiento del programa de estudio y organización didáctica.

150

Tabla 4.21 Asignación de códigos para las categorías F1y F3 del profesor P2

UNIDAD DE INFORMACIÓN COD INTERPRETACIÓN

Con

ocim

ient

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KM

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Cat

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cuen

ciac

ión

[12]Me refiero a que debe tener un buen conocimiento de las funciones básicas, resolver problemas con regla de la cadena, las propiedades, la derivada de la suma es la suma de las derivadas,..

F1.2

{KMLS: F3.1, secuencia con temas anteriores, indicio}

Justificación didáctica del contenido.

Perspectiva global, emerge en su relato.

Prog

ram

as y

org

aniz

ació

n

[17] Nunca he visto el aspecto de AE en mis clases, he dictado cursos de cálculo I y II, y empiezo con la idea del cero, es decir, construyo la definición con un ejemplo de la velocidad media, refinando hasta llegar al concepto, con un caso específico, construyo el triángulo rectángulo hasta llegar a la definición formal, se toma el dibujo y se explica con el triángulo la idea matemática.

F3.2

Justificación didáctica {KMLS: F3.2, reconoce el programa y su organización}. Presenta una secuencia de conocimientos desde el punto de vista de la enseñanza.

Este profesor P2 realiza una valoración de la importancia del modo AE en el conocimiento de los aprendices, es consciente que la DPL no es parte de los programas de estudio de un curso de Cálculo I, interpretado esto como posibilidad de explorar en su KMLS-DPL, como muestra el siguiente párrafo.

[21] La primera vez que vi el aspecto AE de la derivada fue cuando empecé el postgrado de magister, si el alumno entiende el AE es mejor para ellos.

Como síntesis de esta etapa y siguiendo el hilo conductor de este estudio con los objetivos específicos OE1 y OE3, las conexiones intraconceptuales y los registros de representación son explícitos en su MTSK-DPL. A continuación, en consideración de los datos analizados se elabora un mapa de conocimientos MTSK-DPL en relación al modelo de comprensión profunda de la DPL.

Mapa de conocimientos mostrado por el profesor P2 Para conformar el mapa que muestra la Figura 4.9, se consideran las relaciones entre el MTSK-DPL y el modelo de comprensión profunda de la DPL, siguiendo la ruta cognitiva de las reflexiones realizadas por el profesor P2, desde la información contenida en el desarrollo de los apartados anteriores.

151

Para la elaboración del mapa que se muestra en la Figura 4.11, se establece una síntesis de los conocimientos en el MTSK-DPL de este profesor P2, destacando los hallazgos más relevantes de las relaciones entre los subdominios, sin perder el núcleo de este análisis –el modelo de comprensión profunda para la DPL–. De esta manera es posible observar ciertas relaciones entre los subdominios, KoT-DPL y KPM-DPL, éstas surgen desde las conexiones intraconceptuales, en la categoría A4, haciendo el profesor una secuenciación de nociones matemáticas anteriores y posteriores que se relacionan también con la categoría F3 del subdominio KMLS-DPL, dado que presenta justificaciones didácticas para la secuenciación de los temas matemáticos involucrados. Se ha encontrado evidencia de la relación entre los subdominios, KMLS-KFLM, dado que reconoce la existencia de diversas formas de desarrollar propuestas curriculares, que están relacionadas con la búsqueda de un desarrollo cognitivo adecuado por parte de los aprendices. En cuanto a KFLM-KMT, el conocimiento que sustenta una determinada decisión del profesor P2 acerca del proceso de apropiación de la DPL, se relaciona con su KMT-DPL en el sentido que considera las herramientas y recursos que emplea el profesor P2 para el logro de este propósito. P2 realiza una reflexión crítica, desde el punto de vista de la matemática y de la enseñanza, respecto del modo AE, no obstante, este profesor resalta la importancia de considerar el modo AE, para una mayor comprensión matemática de los aprendices, se representa en el mapa con borde segmentado, como indica la Figura 4.11. Para finalizar se han representado las conexiones intraconceptuales de las categorías A4.1, A4.2 y A4.3 respectivamente, correspondiendo a los elementos articuladores del modelo, identificados como H1, H2 y H3, con evidencia explícita en los párrafos [4], [11] y [16].

152

Figura 4.11. Mapa de conocimientos según el MTSK-DPL del profesor P2 en relación al Modelo de comprensión profunda de la DPL.

En lo que sigue, se presenta el análisis del conocimiento especializado del profesor P3 al reflexionar sobre los articuladores en relación con las tarjetas presentadas, tal como se ha realizado en los dos casos anteriores.

4.2.3 Análisis del conocimiento especializado del profesor P3 (MTSK-DPL)

CASO 5 Para el análisis del conocimiento especializado de este profesor P3, se ha considerado poner en contexto algunas de sus reflexiones que permitirán al lector entender el desarrollo de sus reflexiones, por ejemplo, este profesor considera, como forma de razonamiento que favorece la comprensión del modo AE el uso de analogías, argumentando que las ideas matemáticas en los aprendices, especialmente la idea de aproximación lineal es fundamental para comprender la estructura de la DPL, como

153

muestra el párrafo [9], el razonamiento analógico ( Moreira, 1999, p. 5-11) brinda una perspectiva que orienta la idea matemática desde la DPL. Desde el punto de vista del MTSK-DPL, la intención de la reflexión indica una interpretación como una estrategia de enseñanza, de tal forma que podría estar en la categoría del subdominio, KMT-DPL.

[9] Si tu estás en la luna y miras la tierra ves la curva, pero si estás en la tierra ves la recta. Es un ejemplo sencillo, que los estudiantes comprenden perfectamente.

Las reflexiones de este profesor P3 están en su mayoría centradas en el modo AE de la DPL, consciente P3 que la DPL no es parte del currículo en el contexto de un curso de Cálculo I. Las ideas que expone P3 favorecen la incorporación del modo analítico estructural AE en el modelo de comprensión profunda para la DPL. La imagen que muestra la Figura 4.14, corresponde a las razones teóricas que sigue este profesor P3 para fundamentar por qué sería importante y sencillo mostrar este conocimiento a los aprendices de Cálculo I. Como se observa en la imagen fotografiada del pizarrón, P3 explica los aspectos teóricos que ayudan a plantear la validez del modo AE-DPL.

Figura 4.14. Evidencia teórica del modo AE desarrollada por el profesor P3.

La organización que se detalla a continuación, incluyendo las tablas que se presentan, contienen los conocimientos manifestados por este profesor P3 en los seis subdominios de conocimiento especializado del modelo MTSK-DPL, con sus respectivos indicadores de conocimiento definidos en el Capítulo 3. Tal como se ha realizado para los otros dos profesores P1 y P2 participantes del estudio. Las tablas divididas en columnas y leídas de izquierda a derecha, donde la primera columna

154

indica los correspondientes subdominios de conocimiento: las categorías, asignación de códigos, donde [X] indica la ubicación del párrafo; en última columna, interpretación y comentarios de los hallazgos en las unidades de información asignadas. Este proceso permite describir los conocimientos del profesor P3 para luego hacer las interpretaciones, como se muestra a continuación.

Conocimiento matemático de la DPL (MK-DPL) Para interpretar las evidencias en el dominio de conocimiento matemático (MK-DPL) en este profesor P3, se observan los tres subdominios, conocimiento matemático de la DPL, KoT-DPL, conocimiento de la estructura matemática de la DPL, KSM-DPL y conocimiento de la práctica matemática de la DPL, KPM-DPL.

Conocimiento de los temas matemáticos (KoT –DPL) Para este subdominio de conocimiento matemático se consideraron las categorías: procedimientos matemáticos (A1), definiciones propiedades y fundamentos (A2), registros de representaciones (A3), conexiones intraconceptuales (A4) y fenomenología y aplicaciones (A5), cada una de éstas analizadas con sus respectivos indicadores de conocimiento, como se muestra en el apartado 3.8.1 del Capítulo 3. En lo que sigue, se detallan los hallazgos en el conocimiento de este profesor, P3. Las evidencias de la categoría de procedimientos matemáticos (A1), se identifican en un ejemplo presentado por el profesor P3 para explicar cómo encontrar la mejor aproximación lineal de la curva en un punto, reflexionando sobre la tarjeta 3. (Anexo 4, párrafos 18 al 25). P3 utiliza un corolario que le permite mostrar los elementos matemáticos que se necesitan para entender la mejor aproximación de la curva en un punto. 18 Un ejemplo: que permite mostrar la función lineal que mejor

aproxima a una curva en torno a un punto. Desde la perspectiva local.

Sea:

19 Suponemos de manera inicial,

la función que:

20 Vamos a considerar una función lineal cualquiera L(x), la pregunta a responder será:

¿L(x), será la mejor aproximación de en torno a

21 Supongamos que: ,

22 ¿Cómo lo pruebo?

23

24 Una aproximación de la curva, en torno al cero, pero sin embargo

155

veremos que no es la mejor aproximación.

25

Tiene parte lineal, por tanto, no es la mejor aproximación, ya que:

Para el análisis de resultados respecto de la categoría A1, se consideran los indicadores de conocimientos A1.1, A1.2 y A1.3, para lo cual se responden las preguntas: ¿cómo se hace?, ¿cuándo puede hacerse?, ¿por qué se hace?, explicitados en la tabla 3.11 del Capítulo 3. En este contexto, el conocimiento de procedimientos, mostrado por P3, se refiere a una estrategia algebraica , sobre la función lineal propuesta. ¿cuándo puede hacerse?: cuando se quiere encontrar la mejor aproximación lineal. ¿Por qué se hace así?, la mejor aproximación debe contener toda la parte lineal. Evidencia que corresponde a la categoría A2.1. La función debe tener toda la parte lineal, que justifica matemáticamente a través del límite. En la línea 25 se muestra un argumento de su conocimiento y de la forma de proceder matemáticamente, por lo tanto, conocimiento que se identifica en el KPM-DPL. Desde el punto de vista que se le atribuye al interés del profesor para abordar la enseñanza a través de este ejemplo, se podría interpretar como parte de su KMT-DPL, en la categoría de estrategias (E3.1), la intencionalidad del profesor P3 está puesta en que se comprenda con el ejemplo de manera práctica la mejor aproximación lineal a una curva desde su perspectiva local. Respecto del conocimiento que muestra este profesor P3 de propiedades y fundamentos, en la categoría (A2), se puede señalar que este profesor domina a cabalidad las propiedades y fundamentos matemáticos en la propia matemática y los relacionados a la DPL. Se muestran algunas de las evidencias e indicios encontrados en varios de los párrafos, en línea 31 y 32. 31 Corolario:

32 Lineal, es la transformación lineal que mejor aproxima a en cero. Si, . Donde , es una

función que contiene toda la parte lineal de la función.

Respecto de la categoría de conocimiento de registro de representaciones atribuibles al (KoT-DPL), que corresponde al conocimiento que tiene el profesor P3 de las distintas representaciones de la DPL; indicadores de conocimiento: A3.1, A3.2 y A3.3. Este profesor P3 presenta evidencias de conocimiento en las tres categorías, tal como muestra la Tabla 4.22.

156

Tabla 4.22 Asignación de códigos para las categorías A3 del profesor P3

UNIDAD DE INFORMACIÓN COD INTERPRETACIÓN C

onoc

imie

nto

de lo

s tó

pico

s: K

oT

Cat

egor

ía: R

egis

tros

de re

pres

enta

ción

[10] Hay que considerar que la derivada es un concepto local, y tú puedes decir que estás en un punto y en ese punto tienes la recta tangente, y un elemento importante acá es la pendiente de esta recta.

[10]

A3.

1

Registro de representación SGC. Esta reflexión la realiza en torno a la tarjeta 1.

, que corresponde a la derivada de en

A3.

2

Esta unidad de información da cuenta del modo AO, con la particularidad que este profesor construye la definición desde un ejemplo.

[8] Explicar desde la mejor aproximación me parece muy bueno, ya que los estudiantes tienen una comprensión global.

A3.

3 Se evidencia el Modo AE, con una reflexión para la enseñanza que se relaciona con su óptica didáctica. Las evidencias de este registro se tienen en toda la segunda parte de la entrevista (Anexo 4).

Respecto del conocimiento de conexiones intraconceptuales A4 Respecto de la categoría de conocimiento de las Conexiones intraconceptuales (A4) atribuibles al (KoT-DPL), correspondiente al conocimiento que despliega el profesor P3 y que permiten indagar en los elementos articuladores que propone el modelo de comprensión que se estudia, se tiene la siguiente información en la Tabla 4.23 en los tres indicadores de conocimiento.

157

Tabla 4.23 Asignación de códigos para las categorías A4 del profesor P3

UNIDAD DE INFORMACIÓN COD INTERPRETACIÓN C

onoc

imie

nto

del t

ema:

KoT

Cat

egor

ía: c

onex

ione

s in

traco

ncep

tual

es

[10] Considero que para un estudiante sería importante entender la idea de aproximación lineal, para completar lo que se presenta en la tarjeta 1 y 2, se ve claro que el estudiante debe conectar su representación geométrica con la idea de límite, y eso se conecta con la razón que se produce en el triángulo rectángulo, esto cuando se explica la tasa de cambio.

A4.

1

Conocimiento de H1: se reconoce en su reflexión la condición bidireccional del triángulo para relacionar la tarjeta 1 y 2 {KoT: A4.1, conexiones intraconceptuales} KMLS: secuenciación de los temas.

[11]* En cuanto a la relación de las tarjetas 2 y 3, primero el estudiante debe saber que la m (la pendiente) viene de la definición de la derivada por límite.

A4.

2

Conocimiento de, H2: La pendiente de la recta tangente en un punto de la curva, como articulador entre AO y AE. Tarjeta 2 y 3. Relación con el subdominio KFLM. (*) Continuación del párrafo.

[18] en este caso, tienes la recta tangente, que es la mejor aproximación de la curva en ese punto, se comporta igual, esto es lo interesante de la derivada localmente.

A4.

3

Conocimiento de, H3: La ecuación de la recta tangente, como articulador entre SGC y AE. Tarjeta 1 y 3.

Respecto del conocimiento de fenomenología y aplicaciones A5 Con respecto a los conocimientos de la fenomenología y aplicaciones, este profesor P3 muestra evidencias al referir a la estructura de , que subyace en el concepto de la derivada y relaciona aspectos de su epistemología, como la relación con el tópico de integración. En el párrafo [4], se muestra a continuación un indicio, dado que los aspectos fenomenológicos en a torno a la estructura de los números reales que no son explicados por el profesor P3.

[4] Desde el punto de vista teórico, lo más claro es que se ve como la potencia de los números reales , lo hace en sí mismo muy complejo como sistema, debido a que en convergen distintas estructuras que finalmente son equivalentes.

158

[5] Se puede ver que la integración por ejemplo tiene una estructura subyacente que es el espacio de medida, formado por conjuntos medibles, mientras en la diferenciación subyace la estructura de variedad diferenciable. Es muy difícil ver en la diferencia de estas estructuras.

Estos aspectos fenomenológicos evidenciados por el profesor P3 también dan cuenta de su conocimiento en la categoría de la estructura matemática, KSM, en el sentido que el conocimiento de la DPL le permite explicar la integración a través del Teorema Fundamental del Cálculo.

Respecto del conocimiento de la estructura de las matemáticas (KSM –DPL) Para este subdominio, se consideraron las categorías de complejización (B1), de simplificación (B2) y de conexiones transversales o auxiliares (B3), cada una de éstas con sus respectivos indicadores de conocimiento. En este profesor P3 no se encontraron evidencias de la categoría B2 y B3, sin embargo, sí se tienen evidencias de la categoría B1, que refiere a la categoría de conexiones de complejización.

[7] Hay que salir de para ver las estructuras que sustentan los conceptos de integración y diferenciación, y existe el teorema fundamental del cálculo que hace que las dos estructuras sean equivalentes y esto pasa en .

En el párrafo siguiente, si bien P3 expresa una explicación didáctica, esto se ha interpretado en la categoría B1, dado que este profesor P3 resalta que el conocimiento de la estructura de los números reales explica tanto los conceptos de continuidad, límite y la derivada.

[6] …primero con la integración y después la derivada, y al final la estructura de R, es complejo para los estudiantes ver que la estructura de los números reales está subyacente en la continuidad, en el límite y en la definición de la derivada. Del punto de vista de PCK-DPL, visto como una explicación didáctica, este párrafo se podría considerar en el subdominio KMLS, en la categoría de secuenciación de temas, F3, por lo que se podría argumentar que existe una relación entre el subdominio KSM-DPL y KSM-DPL.

Conocimiento de la práctica matemática (KPM –DPL) Para este subdominio se consideraron las categorías: forma de proceder en matemáticas (C1), formas de proceder ligadas a la DPL (C2), cada una de éstas con sus respectivos indicadores de conocimiento. En lo que sigue se muestran las evidencias encontradas en la entrevista a P3. En las líneas que se presentan a continuación, se evidencia el conocimiento de la práctica matemática de este profesor P3, donde él muestra conocer las condiciones para garantizar la linealidad de la función para la mejor aproximación, considerados en la categoría C1.3. 13

159

14

15

16 Donde =0 ¿Cuál es la garantía de que tiene toda la parte lineal?

17 Si tuviera parte lineal, se tendría:

Para la categoría de procedimientos ligados a la DPL, las evidencias se encuentran en el ejemplo desarrollado por el profesor P3 en las líneas 23 a la 25, dado que muestra explícitamente cómo usar definiciones y propiedades de la DPL.

Conocimiento didáctico de la DPL (PCK –DPL) Respecto del conocimiento didáctico, interesa conocer las características específicas de la DPL como objeto de aprendizaje, por tanto, comprender cómo este profesor muestra conocimiento de los tres subdominios, que se desarrollan a continuación: KMT-DPL, KFLM-DPL y KMLS-DPL.

Conocimiento de la enseñanza de la DPL (KMT-DPL) Para este subdominio de conocimiento se consideraron las categorías: teorías de enseñanza (D1), Recursos materiales y virtuales (D2), Estrategias, técnicas, tareas y ejemplos (D3), cada una de éstas con sus respectivos indicadores de conocimiento. Para este profesor P3 en particular no se encontró evidencias para la categoría D1 y D2, no obstante, en la categoría D3 se tiene un indicio de conocimiento en la primera parte del párrafo [11], donde la interpretación se centra en una intencionalidad del profesor, vista la aproximación lineal como un conocimiento apropiado que facilita la comprensión de los aprendices, por tanto, podría ser parte de una estrategia de enseñanza de P3, dado que utiliza el concepto a través de ejemplo.

[11] Considero que para un estudiante sería importante entender la idea de aproximación lineal, para completar lo que se presenta en la tarjeta 1 y 2,

Conocimiento de las características de aprendizaje de la DPL (KFLM-DPL) Para este subdominio se consideraron las categorías: fortalezas y dificultades en la DPL (E1), Formas de interacción con la DPL (E2), intereses y expectativas (E3), con sus respectivos indicadores de conocimiento. En lo que sigue se muestran las evidencias en la Tabla 4.24.

160

Tabla 4.24 Asignación de códigos para las categorías E1 y E3 del profesor P3

UNIDAD DE INFORMACIÓN COD INTERPRETACIÓN

Con

ocim

ient

o de

las

cara

cter

ístic

as d

e ap

rend

izaj

e de

la

DPL

: KFL

M-D

PL

Forta

leza

s y

dific

ulta

des

[5] es complejo para los estudiantes ver que la estructura de los números reales está subyacente en la continuidad, en el límite y en la definición de la derivada.

Indi

cio Se considera como

indicio dado que no muestra cuales son las dificultades.

Inte

rese

s y

expe

ctat

ivas

[12] Bueno, [pausa], considerando que los estudiantes saben de funciones, Conocen la definición de función lineal y R como espacio vectorial, esto se puede explicar de manera simple. Entonces:

E3.1

La interpretación en esta categoría obedece más bien a que el profesor necesita que los aprendices tengan algunos conocimientos con la intención de que podrían así estar preparados captar la idea de mejor aproximación.

Conocimiento de los estándares de aprendizaje (KMLS–DPL) Para este subdominio de conocimiento se consideraron las categorías: expectativas de aprendizaje (F1), nivel de desarrollo conceptual o procedimental esperado (F2), secuenciación con temas anteriores y posteriores (F3), cada una de éstas con sus respectivos indicadores de conocimiento. En lo que sigue se muestran las evidencias encontradas en la entrevista a P3. El análisis de este subdominio dio cuenta sólo de la categoría F3, con evidencias en la secuenciación de temas para explicar las conexiones intraconceptuales que identifica cuando reflexiona sobre las tarjetas presentadas. El apartado que sigue contiene información que resume los conocimientos encontrados, complementados con las producciones escritas y/o fotografiadas del pizarrón. Ideas que favorecen la incorporación del modo analítico estructural AE en el modelo de comprensión profunda para la DPL. La imagen que sigue corresponde a una fotografía tomada del pizarrón, donde explican los aspectos teóricos del ejemplo que desarrolla, en función de esta analogía. Se ha encontrado evidencia en P3 de la relación entre su KoT-DPL con su KMLS-DPL, éstas surgen desde las conexiones intraconceptuales, en la categoría A4, haciendo el

161

profesor una secuenciación de nociones matemáticas anteriores y posteriores que se relacionan también con la categoría F3 del subdominio KMLS-DPL, dado que presenta justificaciones didácticas para la secuenciación de los temas.

Mapa de conocimientos mostrados por el profesor P3 Para conformar el mapa que se muestra en la Figura 4.15, se consideran las relaciones entre el MTSK-DPL y el modelo de comprensión profunda de la DPL, siguiendo la ruta cognitiva de las reflexiones realizadas por el profesor P3, desde la información contenida en el desarrollo de los apartados anteriores. Este mapa sintetiza los subdominios de conocimientos en el MTSK-DPL de este profesor P3, con figuras y líneas que permiten entender las relaciones más significativas entre éstos. Para la interpretación de los datos, se sigue la ruta cognitiva de sus reflexiones en torno al modelo de comprensión propuesto para la comprensión profunda de la DPL, por lo que interesan las evidencias de la categoría de representaciones y conexiones intraconceptuales en el KoT-DPL, que son el eje central del análisis de resultados. En el conocimiento especializado de este profesor P3 existen evidencias explícitas de las categorías A3.1, A3.2 y A3.3, que corresponden respectivamente a los tres modos que sustentan el modelo de comprensión profunda, además, las categorías A4.1, A4.2 y A4.3, de las conexiones intraconceptuales, correspondientes a los articuladores propuestos en el modelo como H1, H2 y H3, los que son evidenciados en el conocimiento del profesor P3. También se pueden distinguir en este mapa, las relaciones entre los subdominios de conocimiento KoT-DPL y KFLM-DPL, KMT-DPL, desde la categoría A3.3, como también su KPM-DPL, KMLS-DPL y KSM-DPL en relación a su KoT-DPL desde la categoría A3.2, que muestran el carácter integrado de su MTSK-DPL.

162

Figura 4.15. Mapa de conocimientos según el MTSK-DPL del profesor P3 en relación al Modelo de comprensión profunda de la DPL.

En el siguiente apartado el interés es presentar un análisis de los resultados de P1, P2 y P3 de manera conjunta, respondiendo a los objetivos específicos de la investigación, como se indica en el apartado 3.9.2, Figura 3.13, del desarrollo metodológico. Para ello cada mapa de conocimientos de los participantes conforma el gráfico que presenta la Figura 4.16, brindando una visión global del conocimiento de los tres profesores y de las relaciones que podrían tener los subdominios de conocimientos y las categorías identificadas de manera conjunta.

4.3 Análisis conjunto de MTSK-DPL y el modelo de comprensión profunda de la DPL

Como se ha indicado en el apartado 3.9.2 del capítulo anterior, la interpretación de los datos en forma colectiva (Stake, 2010), tiene la finalidad de descubrir las semejanzas, diferencias y relaciones en el conocimiento que den evidencia exhaustiva de la

163

existencia explícita de las conexiones intraconceptuales y en definitiva, brindar los elementos empíricos que justifican la operacionalización del modelo planteado. Para ello la información antes narrada, junto con los mapas de cada profesor, se presenta en un gráfico, tomando como base el MTSK-DPL, como se muestra en la Figura 4.16. Para una mejor comprensión y familiarizar al lector con el gráfico se tendrán las siguientes consideraciones. Las subdivisiones del gráfico corresponden a las categorías de cada subdominio, la explicación del gráfico parte en el subdominio KoT, pintado de amarillo intenso, con las categorías numeradas e identificadas, por ejemplo, KoT tiene cinco subdivisiones que corresponden a las categorías: Procedimientos matemáticos (A1), Definiciones propiedades y fundamentos (A2), Registros de representación para la DPL (A3), Conexiones intraconceptuales (A4), Fenomenología y aplicaciones (A5). El resto de la numeración sigue según Tabla 3.17, conteniendo los códigos asignados a los indicadores de conocimiento para cada categoría. La franja exterior representa las evidencias de conocimiento del profesor P1, la del medio al profesor P2 y la interior al profesor P3. En los espacios en blanco se debe interpretar que no existe información, por ejemplo, la categoría B2 del KSM-DPL que corresponde al conocimiento de la simplificación, en los tres casos no se encontraron evidencias.

Figura 4.16. Mapa de conocimientos según MTSK-DPL de los profesores P1, P2 y P3.

Respecto del MK-DPL, en los subdominios, KoT-DPL, KSM-DPL y KPM-DPL, descritos en los apartados anteriores, los tres profesores participantes, muestran un gran dominio de conocimiento del contenido matemático (KoT-DPL) y de la práctica matemática (KPM-DPL), como muestra la Figura 4.16. La configuración de conocimientos en el KoT-DPL, presenta evidencias en las cinco categorías. En cuanto a procedimientos, el profesor P1, muestra una estrategia gráfica para determinar diferenciabilidad, el profesor P3, desarrolla una estrategia algebraica para encontrar la mejor aproximación lineal, si bien el profesor P2, no muestra evidencias en esta categoría, es posible argumentar, con base en el análisis realizado en el apartado 4.2.2, un acabado conocimiento de la práctica matemática para argumentar, desde la matemática y en la DPL conocimiento de ejemplos y contra-ejemplos para validar con

164

un alto nivel de conocimiento del tema en relación con la práctica matemática de estos profesores. Las evidencias de los conocimientos en cuanto a definiciones, propiedades y la fenomenología de KoT-DPL están en directa relación con los conocimientos y argumentos propios de la matemática y de la DPL, como formas de validar y argumentar, que son parte de su KPM-DPL. Por otra parte, se observa en los participantes que este subdominio de conocimiento de la práctica matemática le permite a cada profesor gestionar y organizar sus propios conocimientos matemáticos. Con respecto al subdominio de la estructura matemática, KSM-DPL, no se encontró evidencias de la categoría B2 en los tres profesores, esto podría estar explicado por la naturaleza de la entrevista y dado que esta categoría está relacionada con aspectos de la enseñanza en el KMLS, en el sentido de las justificaciones didácticas de las conexiones de complejización, simplificación, transversales y auxiliares. En este sentido se puede observar una limitación de la investigación, dado que el modelo de comprensión profunda para la DPL se nutre de KoT. En este sentido se podrían explicar las distintas distribuciones que muestra el gráfico en el dominio de conocimiento para la enseñanza de la DPL (PCK). Tal como muestra la Figura 4.16, en los subdominios KMT-DPL, KFLM-DPL y KMLS-DPL las evidencias están dispersas en los distintos subdominios, en particular el conocimiento en las categorías E1, E2 y E3 que corresponden al subdominio de KFLM-DPL, en el caso del profesor P1, se encuentra poca evidencia de la categoría E2, mientras los profesores P2 y P3 no presentan evidencias de esta categoría. Solo el profesor P3 muestra evidencias de la categoría E3. En el subdominio KMT-DPL se obtuvo información en los tres profesores, sobre conocimiento de ejemplos y estrategias apropiadas para el aprendizaje de la DPL, categoría D3, como muestra la Figura 4.14. En la categoría F3, de secuenciación de temas, los tres profesores muestran conocimiento al realizar las reflexiones en torno a las tarjetas, no obstante, en el profesor P2 hay evidencias de conocimiento de una organización del programa de estudio y muestra una secuencia de temas en torno a la DPL, como muestra el párrafo [17].

[17]… empiezo con la idea del cero, construyo la definición con un ejemplo de la velocidad media, refinando hasta llegar al concepto, con un caso específico, construyo el triángulo rectángulo hasta llegar a la definición formal, se toma el dibujo y se explica con el triángulo la idea matemática.

Respecto de la categoría A3, correspondiente a la representación SGC, AO y AE del modelo de comprensión profunda de la DPL, los tres profesores participantes reconocen las representaciones de la DPL, simbolizadas en el centro del mapa, como muestran las Figuras 4.9, 4.11 y 4.15, al igual que las respectivas conexiones intraconceptuales, que corresponden a la categoría A4 y a los articuladores propuestos A4.1-H1, A4.2-H2 y A4.3-H3. No obstante, cada profesor muestra distintas rutas de reflexión en torno a los elementos articuladores, los tres profesores muestran evidencias que confirman esos elementos matemáticos. Los profesores, P1 y P3, inician sus reflexiones desde el punto de vista geométrico y el profesor P2 inicia su reflexión desde la representación analítica, los tres situados en la categoría de representaciones KoT.

165

En síntesis, el análisis conjunto, como muestra la Figura 4.16 de los datos en el conocimiento especializado de estos tres profesores, permitió encontrar las evidencias de los elementos articuladores para el modelo de comprensión profunda de la DPL. En lo que sigue se muestra en detalle cómo emergen las conexiones intraconceptuales en los tres profesores.

Articulador entre SGC y AO, indicador de la categoría A4.1 de MTSK-DPL Respecto al elemento articulador entre el modo SGC y AO, el profesor P1, al manipular las tarjetas 1 y 2, se sitúa primero en el modo SGC, sin embargo, su reflexión está centrada en una relación de equivalencia que le permite transitar al modo AO, identificando el triángulo rectángulo como un articulador bi-direccional (Figura 4.17), formado por dos puntos del gráfico de la función. El profesor P2 piensa también en el triángulo, pero su relato lo inicia posicionado desde el modo AO, específicamente cuando hace referencia primero al cociente y luego piensa en el triángulo. En la Figura 4.17, se muestra el articulador entre SGC y AO, y además muestra que es bi-direccional y describe el cociente a través del triángulo, siendo la tasa de variación el acceso intuitivo al concepto de límite –y es precisamente el triángulo el que le permitió relacionar con el límite–.

Figura 4.17. Evidencia de los tres articuladores en el MTSK-DPL de los profesores.

Articulador entre AO y AE, indicador de la categoría A4.2 de MTSK-DPL En relación al articulador entre el modo AO y AE los argumentos entregados por los participantes, muestran que ellos identifican la pendiente de la recta tangente como un elemento que relaciona estos dos modos. En la Figura 4.18, se muestra evidencia de esto.

166

Figura 4.18. Evidencia de los tres articuladores en el MTSK-DPL de los profesores.

Articulador entre AE y SGC, indicador de la categoría A4.3 de MTSK-DPL Los tres entrevistados consideran que teniendo la ecuación de la recta tangente en cada punto es posible recuperar el gráfico de la función, esto se consigue observando el valor de la pendiente de la recta tangente (SGC) en varios sectores, en relación con el comportamiento del gráfico de la función.

Figura 4.19. Evidencia de los tres articuladores en el MTSK-DPL de los profesores.

Además, el análisis detallado realizado con MTSK-DPL, ha mostrado posibles relaciones entre los subdominios de conocimiento, como es el caso de KPM-DPL y KoT-DPL en los tres profesores, donde se destaca un alto nivel de conocimiento matemático y de la práctica matemática por sobre el PCK-DPL, esto pone en relieve la necesidad de profundizar en aspectos de la enseñanza de la DPL en estos profesores, para tratar de comprender de mejor forma los elementos integradores en su conocimiento especializado MTSK-DPL. Para finalizar esta investigación, se analizan los argumentos observables de los informantes del Caso 1 y 2 en relación a las categorías de conocimiento definidas en la Tabla 3.17 correspondiente al modelo de análisis MTSK-DPL. De esta forma y centrando el interés en la búsqueda de evidencias explícitas de los elementos articuladores o conexiones intraconceptuales, se configura la Tabla 3.19 que contiene indicadores específicos para buscar estas evidencias, los detalles de este análisis, en el apartado siguiente.

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4.4 Análisis del Cuestionario en contraste con el dominio MK-DPL En este apartado se presenta la parte final de la investigación, como indica el diseño metodológico expuesto en el Capítulo 3, y comprende una triangulación de datos aportados por los informantes de los Casos 1 y 2 con el instrumento de la Tabla 3.1932, definida a partir del MTSK-DPL, en el dominio MK-DPL. El objetivo fundamental, siguiendo el hilo conductor de este estudio, es indagar con mayor profundidad el conocimiento matemático de los aprendices en relación con el conocimiento MK-DPL de los profesores, especialmente en las categorías que relacionan los articuladores H1, H2 y H3 con las conexiones intraconceptuales definidas en el MK-DPL de los profesores. Desde el punto de vista metodológico, en el apartado 3.9.3 del Capítulo 3, permiten a la investigadora una visión más detallada del conocimiento matemático de la DPL en los informantes desde el punto de vista del MK-DPL, en la perspectiva del modelo de comprensión profunda que se pretende evaluar. Los resultados más significativos del análisis comparativo describen cómo los aprendices muestran indicios y/o evidencias de las conexiones intraconceptuales. Además, se discuten las relaciones de las preguntas del cuestionario con el instrumento de análisis aplicado a las respuestas. En lo que sigue, se expone el análisis por pregunta.

Interpretación de los datos obtenidos de la pregunta 1 Esta pregunta abierta, muestra que los estudiantes del Caso 2 presentan indicios de conocimiento de: definiciones y propiedades, en la categoría (A2), aspectos fenomenológicos de la DPL (A5), tales como, ver si la función es creciente, decreciente o constante en un punto determinado, también la relación con el límite. Todos muestran indicio de conocimiento de representación, en la categoría A3.1, A3.2, no obstante, en la categoría A3.3 no hay indicio ni evidencias en los datos. Los informantes del Caso 1 presentan en su mayoría la categoría A3.2 y no existe evidencia de A3.3, al igual que el Caso 2. Un informante, PM8, en la última parte de la respuesta, Figura 4.20, muestra evidencia de conocimiento de las representaciones según la categoría A3, se podría interpretar como indicio de una conexión intraconceptual cuando hace alusión a y, pero, no es suficiente para ser evidencia de ese conocimiento.

Figura 4.20. Respuesta de PM8 a la pregunta 1.

32 Tabla 3.19 contiene los indicadores en la perspectiva de la Tabla 3.17, para analizar las respuestas del Cuestionario, desde el conocimiento en los subdominios y categorías del MTSK de los profesores.

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En la Figura 4.21, se muestran indicios de que este informante del Caso 2 conoce propiedades y fundamentos en el subdominio KoT, así como la representación de la DPL, en la categoría A3.2, representación analítica. Se observa también un indicio de conocimiento en la categoría A4.2, cuando menciona la razón entre el incremento de la función y , sin embargo no alcanza para interpretarla en esta categoría.

Figura 4.21. Respuesta de LM13 a la pregunta 1

En resumen, si bien, estos informantes muestran indicios de conocimientos de aspectos fenomenológicos, propiedades, cómo operar con las funciones, no se encuentra evidencia de la categoría A3.3, descriptor del conocimiento de la representación del modo AE, la interpretación de la derivada como la mejor aproximación en modelo de comprensión profunda. Esta pregunta está intencionada a entender la orientación de los informantes con respecto al modelo.

Interpretación de los datos obtenidos de la pregunta 2 Esta pregunta permite identificar las conexiones intraconceptuales que pudiera activar el aprendiz, correspondiendo a las hipótesis H1, H2 y H3. Las conexiones intraconceptuales entre AO y SGC (A4.1), el triángulo rectángulo formado por las secantes y la horizontal; SGC y AE (A4.2), el cociente de diferencias en relación a la pendiente de la recta tangente; AE y AO (A4.3), la ecuación de la recta tangente en su relación con la expresión gráfica de la DPL. En el análisis de las respuestas del Caso 1 y 2 se encuentran evidencias de conocimiento de propiedades en la categoría, A2.1, es decir, muestran conocimiento de propiedades de las funciones, saben resolver limites algebraicamente y como se relaciona el límite con la derivada. En la mayoría de las respuestas se evidencia conocimiento de la definición formal de la DPL en la categoría A3.2, conocimiento de la representación analítica, tal como muestra la Figura 4.22, como representante de la mayoría de las respuestas. Los conocimientos desplegados por los informantes se muestran en forma aislada, por un lado, resuelven el límite, conocimiento en la categoría A1.1, con indicios de conocimiento de una estrategia gráfica que no le permite resolver el problema, en definitiva, no existe evidencia de que este límite es la pendiente de la recta tangente, como indica este informante. Trato de llegar podría indicar la existencia de una idea matemática que no logra ser evidente y que podría ser un indicio de la conexión intraconceptual (A4.2). También hay un intento de uso de

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una estrategia gráfica que tampoco termina, en definitiva, no hay evidencias de conexiones intraconceptuales.

Figura 4.22. Respuesta de LM11 a la pregunta 2.

La Figura 4.23 muestra evidencia de la dificultad que tiene este informante PM5 para visualizar la información desde una perspectiva geométrica.

Figura 4.23. Respuesta de PM5 a la pregunta 2.

El informante PM8, Figura 4.24, conoce la derivada con sus propiedades algebraicamente, sin embargo, tiene dificultades para relacionar con la representación geométrica de la DPL, en PM8 su conocimiento de la categoría A3.1 se presenta como un conocimiento aislado, en el sentido que sí conoce las dos formas, pero no las puede conectar.

Figura 4.24. Respuesta de PM8 a la pregunta dos.

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Interpretación de los datos obtenidos de la pregunta 3 Esta pregunta comprende dos partes, la primera a) intencionada para visualizar las distintas representaciones de la DPL, categoría A3.1, representación gráfica de la DPL; A3.2, conocimiento de la representación analítica de la DPL y A3.3, la mejor aproximación de la curva, como indica la Tabla 3.7. Los informantes del Caso 2 muestran conocimientos de aspectos fenomenológicos de la DPL en la categoría A5.1, conocimientos de campo de utilidad en la matemática, como determinar características de la función en torno al punto . La segunda parte b), responde a la búsqueda de evidencias en el conocimiento de conexiones intraconceptuales en la categoría A4.3. Específicamente, en esta pregunta, no se encuentra información en ninguno de los casos. El principal problema detectado en los informantes del Caso 1 fue que no conocían la función, tal como indica la Tabla 4.1, su respuesta fue, no sé hacerlo, solo los informantes del Caso 2 aportaron datos. En cuanto a explicar , como se les pedía en la primera parte del ejercicio, el resultado más recurrente en estos informantes del caso 2, fue que la función podría ser creciente o decreciente en la cercanía del punto, es decir, se encontraron conocimientos en la categoría A5.1. No se encontraron evidencias en la categoría A3.3, sin embargo, sí identifican la recta horizontal, como muestra la Figura 4.5 del apartado 4.1.1. Estos informantes del Caso 2 en general no responden todo el problema y esto podría indicar que la mayor dificultad es la falta del conocimiento de la categoría A3.3. Se evidencian cambios en las representaciones, categorías A3.1 y A3.2, pero no se encuentran las conexiones intraconceptuales. Particularmente, la Figura 4.25, muestra cómo este informante LM11 del Caso 2 trata de explicar la expresión de la DPL planteada en el problema, esto podría indicar la necesidad de realizar alguna entrevista que permita indagar los conocimientos que despliega en las conclusiones planteadas.

Figura 4.25. Respuesta de LM11 a la pregunta 2.

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Interpretación de los datos obtenidos de la pregunta 4 Esta pregunta está intencionada para indagar el conocimiento entre velocidad media e instantánea, dado que, según Sánchez-Matamoros et al. (2008), la comprensión de esta diferencia es determinante para la comprensión de la DPL. Las evidencias encontradas en los Casos 1 y 2 son similares, los estudiantes no hacen diferencia entre velocidad media e instantánea, además se hacen latente las dificultades que presentan los informantes con otros conocimientos, como propiedades y aspectos fenomenológicos, tales como la relación entre la derivada y la velocidad, correspondiente a la categoría A5.3. En síntesis, este análisis comparativo permite argumentar que la falta de conocimiento en la categoría A3.3, correspondiente a la interpretación de la DPL como la mejor aproximación lineal de la curva incide en la manifestación de conocimientos de los estudiantes en la categoría A4.2, conocimiento del cociente de diferencias y su relación con la pendiente de la recta tangente y la categoría A4.3, la recta tangente con la expresión gráfica de la DPL. También, podría afectar el conocimiento de aspectos fenomenológicos, categoría A5.1, el conocimiento de campos de utilidad de la DPL en áreas específicas de la matemática, como las relaciones de uso de la DPL para resolver problemas. Respecto de la categoría de procedimientos A1, en las subcategorías A1.1, conocimiento de algoritmos de la estructura algebraica de las funciones; A1.2, conocimiento de condiciones necesarias y suficientes para la diferenciabilidad, existe evidencia de que los informantes tienen estos conocimientos, especialmente cuando trabajan con la representación A3.2, que corresponde a la representación de la DPL con la definición formal de límite, sin embargo, no se observa relación con la categoría A3.1, correspondiente a la representación geométrica de la DPL. Se observa también que los informantes del Caso 1 muestran debilidad para relacionar la recta tangente con la recta secante en la vecindad de un punto, como se evidencia en las respuestas de la pregunta 2 y 3, esto podría indicar que falta el conocimiento de la perspectiva local en su estructura, categoría A3.3. El desarrollado del análisis comparativo en este capítulo con MTSK-DPL y el modelo propuesto para la DPL, muestra el carácter holístico y profundo realizado con estudiantes y profesores, aportando los resultados del estudio que permiten el cierre de esta investigación, como también su continuidad y aporta con espacios para cultivar futuras investigaciones. En este estado de la investigación se da paso al siguiente capítulo, donde se presentan las discusiones finales y conclusiones del estudio.

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CAPÍTULO 5.

DISCUSIÓN DE RESULTADOS Y CONCLUSIONES En este capítulo final, se discuten los resultados y se establecen las conclusiones más relevantes del desarrollo de cada una de las partes que conforman esta investigación. Así también, reflexiones sobre las limitaciones, aportes y posibles proyecciones del estudio, considerando el modelo de comprensión profunda para la DPL como punto de referencia para la discusión de los resultados y conclusión de los mismos. En consecuencia, y en base a los objetivos planteados en esta investigación, se presenta este capítulo en tres secciones interrelacionadas. En la primera sección se exponen las conclusiones que se generan en torno a la validación del modelo de comprensión profunda de la DPL (Fase 1) desde una perspectiva teórica, didáctica y metodológica. En la segunda sección se exponen las conclusiones que se generan de los resultados obtenidos a la luz de los objetivos generales y específicos, junto con los aportes teóricos, didácticos y metodológicos, que corresponden a la Fase 2, declarada en el Capítulo 3. En la tercera sección se enfrenta la tarea de reflexionar sobre los temas que abren un nuevo campo de estudio, las posibilidades de continuidad del mismo y las limitaciones que enfrenta la investigación durante su desarrollo, ligadas a los aspectos metodológicos y a las propias decisiones tomadas que condicionaron el proceso del estudio.

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5.1 Breve resumen del problema de investigación La derivada constituye una dimensión matemática que juega un rol fundamental en los contenidos a aprender para los estudiantes que se inician en el estudio del Cálculo I. No obstante, las distintas representaciones de la DPL son una fuente de múltiples dificultades para los estudiantes, dado que implica una red interna de nociones e ideas matemáticas que los estudiantes deben alcanzar y relacionar para comprender los significados de este concepto (Sierpinska, 2000). Considerando los antecedentes presentados en el Capítulo I en el ámbito de la investigación en Didáctica de la Matemática, las distintas aproximaciones de estudio en las dificultades asociadas al aprendizaje de la DPL, indican que podrían explicarse por la falta de relaciones entre la interpretación geométrica y analítica de la derivada, que influyen en los significados que pueden manejar los estudiantes, creando barreras cognitivas en el proceso de apropiación del concepto cuando no se relacionan sus distintas representaciones. Autores como Ferrini-Mundy y Graham (1994), Badillo (2003), Sánchez-Matamoros et al. (2008), Pino-Fan, Godino y Font (2011), Gutiérrez et al. (2017), Fuentealba et al. (2018), advierten una aparente desconexión entre los distintos significados de la derivada. Particularmente la noción de límite, recta tangente, son entendidas por los estudiantes en forma aislada (Sierpinska, 1994), situación que dificulta una comprensión satisfactoria de la DPL. En cuanto a la enseñanza de la DPL, se favorece el trabajo con propiedades algebraicas del límite, situación que deja oculta la perspectiva local de la derivada (Vivier, 2010). Otra de las causas de las dificultades en la comprensión de la DPL, podría ser, como muestra el apartado 1.3.1.3, el cociente, , que subyace en el límite y en la estructura de la derivada, que fue ampliamente discutido por los matemáticos del siglo XVII y XVIII, por los grandes conflictos que se tenían sobre interpretaciones de este cociente, como es, ∆x →0, el cual formó parte del estudio histórico y epistemológico de la derivada, presentado en el Capítulo 2 de este escrito. Desde el punto de vista de esta investigación, los Modos de Pensamiento en Sierpinska (2000), denotados como los modos –Sintético-Geométrico (SG), Analítico-Aritmético (AA) y Analítico-Estructural (AE)– representan los componentes de los diferentes significados que adquieren los objetos matemáticos en el álgebra lineal, así, el primer modo utiliza el lenguaje de las figuras, el segundo las ecuaciones que lo representan y el tercero como un todo estructural que, según Sierpinska (2000), son formas de entender los objetos matemáticos y dependen del tipo de relación entre los elementos matemáticos evocados en el momento de resolver una tarea y cualquiera sea la forma de razonar en ésta, siempre están en juego dos categorías de pensamiento –uno práctico y uno teórico–, desde donde surge la necesidad de hacer explícito el pensamiento teórico, caracterizado por un sistema de conceptos, en conexiones lógicas y semánticas, actividad cognitiva necesaria para la comprensión de cualquier concepto en la matemática. En esta dirección, esta investigación se propuso avanzar, sobre la base de las ideas en los constructos teóricos desarrollados en Sierpinska (2000), pero en un tópico del Cálculo Diferencial con una variación de los modos de pensar propiamente tal, a través de una re-interpretación de sus componentes, con base en un estudio histórico y epistemológico para la DPL, como se ha descrito en el Capítulo 2, se identifican, la

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noción de límite y recta tangente, como obstáculos epistemológicos (Sierpinska, 1985) para la derivada. De tal manera que las dificultades detectadas en los antecedentes, apartado 1.3.1, del Capítulo1, en un análisis profundo de la problemática y la justificación de la pertinencia de lo que plantea Sierpinska (2000). En esta investigación se planteó la siguiente pregunta general de investigación:

¿Cómo comprenden la DPL los estudiantes de un curso de Cálculo I?

Para dar respuesta a la pregunta de investigación, se propone, el modelo de comprensión profunda de la DPL, cuyos componentes son interpretaciones de sus distintas representaciones. Con la finalidad de alcanzar el objetivo general de investigación, –Validar y evaluar un modelo de comprensión profunda de la DPL con estudiantes y profesores de un primer curso de Cálculo en una universidad, se determinan en este estudio, los conocimientos matemáticos que permiten una comprensión profunda de la DPL–, en el apartado 2.6, del Capítulo 2, se plantean los objetivos específicos que permitieron direccionar la indagación hacia los elementos articuladores entre los distintos modos de comprender la DPL, que en suma son los que validan el modelo planteado. En síntesis, esta investigación propone el modelo de comprensión profunda de la DPL, cuyos componentes son sus distintas interpretaciones, que favorecen la comprensión profunda cuando el sujeto muestra evidencias explícitas de los elementos matemáticos que los articulan. Con el modelo de comprensión profunda que enmarca esta investigación, en el siguiente apartado, se discuten las justificaciones que dan validez al modelo para la DPL.

5.2 Discusión sobre la validación teórica del Modelo de Comprensión Profunda de la DPL y sus implicaciones (Fase 1)

El concepto de derivada es un objeto matemático fundamental en el Cálculo Diferencial y este estudio ha permitido concentrar el interés en la comprensión profunda de la DPL. Para describir cómo los estudiantes manifiestan su comprensión, se considera un modelo sustentado por un análisis teórico que permitió extender los modos de pensamiento de Sierpinska (2000) del Álgebra Lineal, SG, AA y AE, hacia el Cálculo, como, SGC, AO y AE. La nueva conformación teórica –los Modos de Pensar la DPL–, como se ha descrito en el apartado 2.4 del Capítulo 2 está sustentada en dos bases fundamentales, los obstáculos epistemológicos de la DPL y el pensamiento teórico que se quiere hacer explícito para la comprensión profunda de la DPL. Los dos obstáculos epistemológicos para la DPL, el concepto de tangencia y el concepto de límite cumplen un rol fundamental en la conformación del modelo, como se explicita en los apartados siguientes.

5.2.1 El rol de los obstáculos epistemológicos Respecto del rol que tienen los obstáculos epistemológicos, de acuerdo a lo analizado en el apartado 2.4 del Capítulo 2, son detectados con un análisis en la historia de las ideas matemáticas en torno a la DPL, como señalan Pinto-Rojas y Parraguez (2017), son dos posiciones dogmáticas opuestas para ser superadas en la enseñanza y

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aprendizaje de la DPL, desde donde emergen la recta tangente y el límite como dos obstáculos para la comprensión profunda de la DPL. Por lo que, en este contexto teórico, el modelo de comprensión profunda de la DPL que se propone, deberá promover la superación de éstos, a través de los componentes y conexiones (articuladores) de manera que la persistencia de los obstáculos disminuya la fuerza con la cual se han constituido en el conocimiento de los estudiantes. También se ha querido enfatizar bajo los supuestos teóricos de Sierpinska (2000), cómo el pensamiento teórico y práctico tienen un rol fundamental en la conformación de este modelo de comprensión profunda para la DPL.

5.2.2 El rol del pensamiento práctico y teórico Los modos de pensamiento SGC, AO y AE, son tres formas de entender la DPL, y dependen del tipo de relación entre los elementos matemáticos evocados en el momento que un sujeto se enfrenta a resolver una tarea con la DPL y cualquiera sea la forma de razonar, siempre están en juego dos categorías de pensamiento, uno práctico y uno teórico (Sierpinska et al. 2002), como una dualidad en tensión desde donde surge la necesidad de hacer explícito el pensamiento teórico, caracterizado por un sistema de conceptos, en conexiones lógicas y semánticas, una actividad cognitiva necesaria para la comprensión de cualquier concepto en la matemática. De tal manera, el pensamiento SGC se relaciona con el pensamiento práctico y los modos AO y AE se corresponden con el pensamiento teórico, relación explicada en el apartado 2.2 del Capítulo 2, donde cada uno de estos modos se relaciona con una perspectiva diferente de la DPL. Este modelo, de los modos de comprensión profunda para la DPL a través de sus componentes SGC, AO y AE (Figura 5.1), presenta maneras independientes para acceder al concepto, estando en conexión a través de los articuladores, permitiendo describir la ruta de comprensión profunda en los estudiantes al abordar problemas con la DPL. Sin embargo, también se torna insuficiente cuando las tareas presentadas a los estudiantes no permiten movilidad entre los modos de pensar SGC, AO y AE, lo que muestra una nueva fuente de información para encontrar respuestas a nuevas preguntas. La validez, confiabilidad, objetividad y condiciones éticas para la conformación de este modelo se sustentan durante todo el desarrollo de la investigación, como se declara en el apartado 3.1.1 del Capítulo 3, la revisión de los antecedentes históricos y epistemológicos de la DPL en el Capítulo 2 completan su marco teórico. En referencia a la pertinencia, a la fundamentación teórica, que enmarca la validez del modelo, se sustenta considerando el marco teórico de Sierpinska (2000), para fundamentar y justificar la necesidad y pertinencia del mismo. Como se ha mostrado en el Capítulo 2, los componentes del modelo propuesto en el apartado 2.5.4, emergen de obstáculos epistemológicos para la DPL, como se ha señalado en 5.2.1.

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Figura 5.1. Modelo de comprensión profunda de la DPL.

Desde el punto de vista de esta investigación, la propuesta de este modelo de comprensión profunda para la DPL, con base en lo que señalan Hernández, Fernández y Baptista (2014), cumple las especificaciones sobre su elaboración. En primer lugar este modelo revela una nueva perspectiva que permite entender y abordar la DPL, de manera conjunta y se completa con la incorporación de la perspectiva de linealidad local de la función, representada como el modo AE. En conclusión, el modelo presentado en Figura 5.1, con sus componentes re-interpretados (Capítulo 2) como los modos de comprender su perspectiva local, está vinculado con la ruptura de un pensamiento puramente algebraico, hecho que favorece la comprensión profunda de la DPL, caracterización que viene también a colaborar con el diseño de actividades de aula, y que se proyecta como un modelo de comprensión para sustentar si un estudiante comprende en profundidad este concepto. Es así que el modelo se explica con una indagación en la interacción de estudiantes y profesores con los modos de comprensión profunda de la DPL y podría constituir una herramienta para el profesor, permitiendo observar la incidencia que puede llegar a tener la incorporación de este modelo de comprensión profunda en la práctica docente, dado que podría ampliar la producción de actividades que pueden ser consideradas para los estudiantes, además, este modelo de comprensión profunda de la DPL, podría ayudar a fortalecer los conocimientos de los estudiantes para superar los bajos niveles de aprobación en el curso de Cálculo I, hecho que tiene implicancias tanto de aprendizaje como de enseñanza. En definitiva, este modelo de comprensión profunda de la DPL permitirá fortalecer los conocimientos de los estudiantes, hecho que se discute en lo que sigue.

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5.2.3 Implicaciones del modelo para el aprendizaje Desde el punto de vista del aprendizaje el modelo de comprensión profunda que se presenta validado, Figura 5.1, pretende apoyar una reflexión sobre una comprensión profunda en los estudiantes para la DPL. En general estos modos de pensar SGC, AO y AE, junto con sus articuladores, son propuestos como un modelo que permite entender los desplazamientos cognitivos de los estudiantes y ha sido fundamental para describir y evidenciar una resolución de tareas no solo centradas en un paradigma algebraico (Vandebrouck, 2011), sino también en otros que permitan movilidad entre los modos. Con esta idea los articuladores propuestos en un cuestionario fueron aplicados a los Casos 1 y 2, con resultados en el Capítulo 4, donde se obtuvo lo que se mostró en Tabla 4.1, los estudiantes se sitúan en el modo AO y en la mayoría de sus producciones buscan resolver algebraicamente (Kinley 2016), con el límite, sin articular de forma explícita con los modos SGC y AE. Como han mostrado los datos del apartado 4.1 del capítulo 4, si bien los informantes del Caso 1 y 2 identifican la DPL en su representación geométrica, conocido por los estudiantes, ellos describen la DPL como límite en su definición formal, los datos aportados en el apartado 4.1.1, muestran las dificultades que se manifiestan a través de las respuestas analizadas y explicadas en función de los objetivos OE1 y OE3, resultados que se analizarán con profundidad en el apartado 5.3 de este capítulo y que podrían ser asociadas a la naturaleza conceptual del pensamiento teórico de la DPL o las dificultades propias del tipo de pensamiento necesario para comprender la DPL. Para dar sustento a estas implicancias, se presentan a continuación las justificaciones desde la perspectiva del modelo de comprensión profunda como objeto de enseñanza.

5.2.4 Implicaciones del modelo para la enseñanza El rol del profesor es clave para llegar a comprender el proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas y los conocimientos desplegados por los profesores, afectan lo que entienden y perciben sus estudiantes (Schoenfeld, 2000). El profesor, como agente importante del sistema educativo, es clave para el éxito e indispensable para la implementación de cualquier cambio o propuesta didáctica. Desde esta perspectiva, el modelo de comprensión profunda para la DPL que propone esta investigación, pretende ser un aporte como herramienta para elaborar estrategias de enseñanza enfocadas en las conexiones de las distintas interpretaciones que favorece la comprensión profunda a través de los articuladores de tres modos de pensar la DPL, como un recurso para los profesores del sistema universitario, en la asignatura de Cálculo I. A modo de conclusión, poner este modelo a disposición del sistema educativo podría apoyar a los profesores sobre las dificultades de los estudiantes en relación de la comprensión de la DPL, no solo desde la perspectiva del nivel de desarrollo cognitivo de los estudiantes, también reconociendo que muchas de las dificultades presentes en los estudiantes para comprender la DPL, tienen relación directa con el propio sistema de enseñanza, y en particular con la manera en que se exponen y estructuran los contenidos que el estudiante debe aprender, como señalan, Ball, Hill y Rowan (2005), Wilson, Shulman y Richert (1987), el conocimiento matemático de los profesores tiene un efecto en los logros de sus estudiantes, en este sentido la incorporación del modo

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Analítico Estructural (AE) en el modelo que propone esta investigación, tiene como finalidad ampliar el conocimiento de la DPL, tal como señalan, Sierpinska y Nnadozie (2001), el modo AE, contribuye a ampliar el conocimiento teórico de los conceptos matemáticos en los estudiantes. No obstante, el modo AE no está considerado explícitamente en los tópicos de los programas de estudio del Cálculo I en el primer año de universidad, como consta en lo expuesto en el Capítulo 1, por lo que, la investigación considera fundamental el modo AE presente en el conocimiento de los profesores para el logro de la comprensión profunda de la DPL en los estudiantes. Sería un tema que debe ser abordado desde el punto de vista institucional, dado que está fuera de los tópicos que consideran los planes y programas de estudio (Anexo1). Un último criterio de validez para este modelo de comprensión profunda para la DPL, es la evaluación del mismo, para ello, se ha seguido todo el proceso del diseño metodológico, declarado en el Capítulo 3, correspondiente a considerar la Fase 2. La evaluación del Modelo a través de su operacionalización comprende la consideración de dos fuentes de información, con estudiantes y profesores dispuestos a pensar en el modelo planteado para la comprensión profunda de la DPL. Siendo el interés de esta parte del estudio la operacionalización vista a través de los elementos articuladores hipotéticos H1, H2 y H3, considerados éstos como elementos matemáticos que deben ser explícitos en el conocimiento de quién resuelve problemas o enseña la DPL, así, se han considerado dos momentos bien definidos y diferenciados cuyos resultados se discuten en los dos apartados siguientes.

5.3 Discusión sobre la evaluación del Modelo de Comprensión Profunda de la DPL y sus implicaciones (Fase 2)

Como se ha especificado en el Capítulo 3, el diseño metodológico contempla en la Fase 2 de esta investigación la evaluación del modelo de comprensión profunda para la DPL, para ello se ha considerado la operacionalización a través de los articuladores de los componentes del modelo que se propone. Por lo que la indagación se realiza en dos fuentes de datos. Los Casos 1 y 2 con estudiantes y Casos 3, 4 y 5 con profesores, todos dispuestos a pensar en el modelo. En consideración a la necesidad de indagar en los articuladores que deben estar explícitos en los conocimientos de los sujetos, se complementa el estudio con un marco teórico analítico, MTSK, descrito en el Capítulo 2. Las razones para incorporar MTSK se fundamentó con los cinco puntos que se exponen a continuación, respondiendo a la siguiente pregunta, ¿por qué el modelo MTSK?

MTSK es una herramienta teórica para el análisis de conocimiento matemático (MK), que aporta a la investigación categorías e indicadores para analizar los conocimientos desplegados por los informantes en las respuestas de cuestionario aplicado al Caso 1 y 2. Los indicadores de conocimiento permiten hacer explícitas las formas de pensamiento teórico de los estudiantes y permite describir los elementos matemáticos de interés para la investigación, como se mostrará en apartado 5.3.2.

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MTSK brinda los elementos de análisis para describir e interpretar los conocimientos especializados del profesor de matemáticas en dos dominios de conocimiento MK y PCK, como se ha explicado en el Capítulo 2. Un cuerpo de conocimiento que da sentido al conocimiento especializado del profesor que enseña matemática y la delimitación de categorías permite indagar de manera fina y profunda los elementos articuladores que permiten la operacionalización del modelo de comprensión profunda de la DPL, a su vez permite completar su evaluación con los criterios de fiabilidad que se propone en este estudio.

MTSK considera la especialización en todos los subdominios y categorías de conocimientos desde la propia matemática y como conocimiento de contenido matemático, y no se refiere a otra disciplina.

MTSK es una herramienta de análisis que cubre todos los niveles de educación, en el caso de esta investigación, permite indagar el conocimiento especializado de profesores universitarios –Caso 3, 4 y 5– dispuestos a reflexionar sobre el modelo propuesto.

MTSK para analizar la operacionalización del modelo está en conexión con la Didáctica de la Matemática como disciplina científica, el análisis realizado y la fiabilidad de los resultados han sido en base a los aportes teóricos de MTSK-DPL, pues se ocupa de entender la DPL en la matemática y para su enseñanza desde la matemática, siendo la particularidad de este modelo de comprensión profunda para la DPL, que no puede ser entendido en otro ámbito de la ciencia.

Por lo tanto, en esta Fase 2, MTSK se llamará MTSK-DPL, como se ha explicado en el apartado 2.6 del Capítulo 2. Por lo que se contemplan dos momentos en la discusión de resultados que serán desarrollados en los apartados siguientes por objetivos generales y específicos, iniciando con el Momento1, correspondiente a los Caso 1 y 2 con estudiantes, para finalizar en el Momento 2, con una discusión del conocimiento especializado en los profesores participantes, rotulados Casos 3, 4 y 5. Esta parte del capítulo considera la Fase 2 en dos momentos, en el Capítulo 4 de este manuscrito se presentan los resultados de los Momentos 1 y 2 desarrollándose por objetivos generales y específicos como sigue, en primer lugar, el Momento 1 comprende los objetivos: OE1: Describir e interpretar los argumentos observables en los estudiantes desde el modelo de comprensión profunda de la DPL. OE3: Identificar explícitamente los elementos matemáticos articuladores en el conocimiento de los estudiantes.

5.3.1 Respecto del objetivo OE1 y OE3 (Momento 1) Para describir cómo los estudiantes manifiestan la comprensión profunda de la DPL, se considera el análisis de los argumentos observables de los informantes, interpretando sus producciones desde este modelo para la DPL. Como se muestra en el Capítulo 4 de este manuscrito se dispone en la Tabla 4.1 los resultados del proceso

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seguido, según el análisis que presenta la Figura 3.4 del apartado 3.6.5. Proceso que responde a los objetivos: OE1 y OE3. Para guiar al lector cabe recordar que los elementos articuladores que se indagan están propuestos como H1, H2 y H3, respectivamente en los puntos 1), 2) y 3), que a continuación se discuten.

5.3.2 Desde el punto de vista de los Modos de pensamiento para la DPL En el contexto de las preguntas de investigación planteadas, los modos de pensar la DPL, con los componentes –SGC, AO y AE– en el modelo propuesto, después del análisis de los resultados obtenidos, da cuenta que los informantes de este estudio han evidenciado los siguientes articuladores y mostrado algunas dificultades asociadas a ellos.

1. El triángulo rectángulo en el sistema coordenado como elemento articulador entre AO y SGC (H1). En relación a este articulador las dificultades mostradas por los informantes del Caso 1 y 2, se evidencian en la respuesta de la pregunta 2, al estar posicionados los estudiantes en el modo AO, los cocientes mostrados fueron relacionados forzadamente con el límite, como una propiedad de la función sin considerar la relación con los cocientes dados. Este hecho les impidió mostrar la idea de aproximación –visto en forma gráfica–, imposibilitando observar el límite en conexión con lo geométrico. Esto último viene a reforzar la idea de concebir la aproximación asociada directamente con un desarrollo algebraico en el cálculo de límite, corroborando lo señalado por Zandieh (2000), esto es, los estudiantes tienen dificultades para interpretar la derivada como límite en relación con la derivada. Así también los estudiantes del Caso 1 y 2, situados en el modo SGC, no logran articular el modo AO. En este sentido la producción de PM7, en la Figura 4.3 del capítulo anterior, es una evidencia de este hecho, en el cual muestra elementos de los dos modos –SGC y AO–, sin embargo, no se observan evidencias explícitas del elemento articulador que correspondería a expresar H1. Respecto de la pregunta cuatro, explicada en el apartado 3.6.4 del Capítulo 3, ésta fue resuelta por la mayoría de los informantes del Caso 1 y 2 desde el modo AO, sin hacer diferencia entre la velocidad media e instantánea, similar a lo acontecido en la pregunta dos, como se explica en el apartado 3.6.4. Esto último está indicando que no hay comprensión de la DPL, en el sentido que la velocidad media es un cociente de diferencias o razón de cambio medio y los estudiantes no activan este elemento de la matemática. Estos resultados confirman lo obtenido en la investigación realizada por Sánchez et al. (2008), al señalar que la comprensión de la DPL se refleja en la manera que los estudiantes hacen diferencia entre la velocidad media e instantánea, hecho que se ha manifestado en esta investigación como un obstáculo que genera una débil comprensión de la pendiente de las secantes como un cociente y su relación con el límite.

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2. La pendiente de la recta tangente como articulador entre AO y AE, (H2). Los argumentos observables de los estudiantes del Caso 1 y 2 no muestran este articulador, más aún, desconocen que la derivada se pueda representar como la pendiente de la recta tangente que aproxima la función en una vecindad del punto, de hecho, estos informantes no responden la parte b) de la pregunta tres del cuestionario, indicado en el apartado 3.6.4, del capítulo 3, que refiere al modo AE, los estudiantes necesitan entender, la mejor aproximación o la palabra lineal, dificultad que se atribuye a que el estudiante no conoce adecuadamente estas palabras en relación a la DPL.

3. La ecuación de la recta tangente como elemento articulador entre SGC y AE, (H3) La situación observada para este articulador es similar a lo reportado para el caso de la pendiente en el punto anterior, los informantes muestran y conocen la DPL como la pendiente de la recta tangente, sin embargo, no se activa en su conocimiento la idea de mejor aproximación lineal. Además, se ha observado en estos informantes, dificultades con la comprensión de la derivada en su modo SGC en relación a su definición analítica, se observa en los resultados de los informantes del Caso 2, que pueden trabajar el problema dos en el apartado 4.1.1, desde lo geométrico sin relación con lo analítico, esto se corrobora en Sánchez et al. (2008), como también en Ferrini-Mundi y Graham (1994), los estudiantes no realizan conexiones entre las distintas representaciones de la derivada.

En resumen, se evidenciaron las dificultades más recurrentes en los estudiantes relacionadas con las ideas matemáticas que están involucradas con la DPL, como el manejo de las funciones en las propiedades locales de la DPL, esto se observó en la pregunta 3 del cuestionario, apartado 3.6.4, en el Capítulo 3, la relación de la pendiente de la recta tangente con la DPL, se ha observado manejo de los dos modos de la DPL, en su forma SGC y AO, sin embargo no se encontró evidencia explícita de los elementos de conexión. Además, los informantes de estos dos casos muestran gran confusión con respecto a la velocidad media e instantánea, apartado 4.1.1, pregunta 4, se podría afirmar en los estudiantes las dificultades con la razón media de cambio y la razón instantánea, hecho que se corrobora en Badillo, Azcárate y Font (2011), los estudiantes tienen dificultades para conectar los significados de las representaciones de los conceptos matemáticos. Los informantes de los Caso 1 y 2 manifiestan dificultades para representar en un entorno geométrico los problemas planteados en un lenguaje algebraico, por ejemplo, el límite que subyace en la definición en el modo AO de la DPL, no fue posible para ellos relacionar con la pendiente de la recta tangente como se ha mostrado al resolver el problema 2. Estos estudiantes no muestran evidencias de que pueden integrar las diferentes formas de representación de la DPL, propias de cada modo de pensar la DPL y, en consecuencia, la flexibilidad de cambios entre esas representaciones no es evidente o está implícita o simplemente no existen en sus conocimientos. Por otra parte, las dificultades de los estudiantes informantes del Caso 1 y 2, podrían estar ocasionadas por una concepción errónea del concepto de recta tangente que en

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la enseñanza no se considera como una noción que se deba especificar para la comprensión de la derivada, confirmando lo señalado en Montoya-Delgadillo y Vivier (2010), los estudiantes universitarios se enfrentan a la concepción de tangencia en el Cálculo con una idea inapropiada, dado que los estudiantes adquieren la definición de recta tangente para el caso específico de la circunferencia, definición euclidiana, adquirida en cursos de secundaria que vuelve a aparecer con la derivada en los primeros cursos de universidad. Al respecto, Canul, Dolores. y Martínez-Sierra (2011), señalan que esta concepción euclidiana podría confundir a los estudiantes cuando enfrentan las curvas con puntos de inflexión, dado que no tendrían posibilidad de contener en algún punto una recta tangente. Además, se detectaron dificultades en el manejo de las funciones en relación a continuidad y la fórmula de la función, como señala Hitt (1998), las funciones son un obstáculo epistemológico para los estudiantes, y en estos informantes no ha sido diferente. Para concluir este análisis por preguntas, la interacción entre acciones inmediatas y reflexivas en las preguntas aplicadas al Caso 1 y 2 dan cuenta de un pensamiento analítico parcial, evidenciado en las preguntas dos y tres, explicada en el apartado 3.6.4 del Capítulo 3, en las cuales los estudiantes necesitaron conocer el Modo AE, la mejor aproximación, sin embargo, los resultados mostrados en el apartado 4.1.1 del Capítulo 4, que no eran parte de sus conocimientos matemáticos. El pensamiento analítico que es operacional y estructural para este modelo no fue alcanzado por los informantes de los Casos 1 y 2. En conclusión, desde el punto de vista teórico, el modelo provee las conexiones (articuladores, H1, H2 y H3), entre las tres representaciones de la DPL, de tal manera, la no evidencia explícita de los articuladores está indicando que la red interna de los conocimientos matemáticos en estos informantes no es suficiente para argumentar sobre la comprensión profunda de la DPL, más aún, se podría decir que los obstáculos epistemológicos de la DPL, persisten en los estudiantes. Si bien, desde los resultados se han detectado cambios de modos en los informantes del Caso 2, los datos encontrados, de cómo se cambian de modo, no fueron suficientes para describir, cómo ellos manifiestan los articuladores de los modos de representación de la DPL. Determinar en forma exhaustiva cuáles son las dificultades de la articulación, como se muestra en el apartado anterior, respondiendo a los objetivos específicos, OE1, se ha podido alcanzar, mientras el objetivo OE3: Identificar explícitamente los elementos matemáticos articuladores en el conocimiento de los estudiantes, no se logra en este parte de la investigación. Si bien no se evidenciaron explícitamente los articuladores en los resultados obtenidos en el Capítulo 4, los datos han orientado la búsqueda de otra herramienta de análisis para detectar las dificultades y responder a este objetivo específico, OE3, en el sentido de buscar las razones que justifican la no existencia explícita de estos articuladores, para ello, dado que algunos informantes del Caso 2 mostraron cambios en los modos de pensar y evidenciaron conocer al menos dos representaciones de la DPL, como se indica en el diseño metodológico. Para atender de mejor manera esto último, en el desarrollo de la investigación se realiza un análisis en contraste, entre las respuestas del Cuestionario y el MTSK-DPL, en el dominio MK-DPL, descrito en el apartado 3.9.3 del Capítulo 3. Resultados que se discuten en el apartado siguiente.

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5.3.3 Desde el punto de vista de MTSK-DPL Desde la perspectiva del MTSK-DPL se identifican las categorías que se pueden abordar para que se realicen estas conexiones y poder acceder a esta parte del conocimiento en los estudiantes, como se ha mostrado en el apartado 4.4, el análisis en contraste entre el Cuestionario aplicado y MK-DPL, y considerando los resultados en el apartado anterior, los informantes de los Casos 1 y 2, si bien muestran evidencias de conocimiento en dos modos de comprensión SGC y AO, no hay evidencias explícitas de los articuladores. En este sentido, MK-DPL admite un análisis más fino a través de las categorías de conocimiento estipuladas en el Capítulo 3, permitiendo a la investigación indagar e interpretar los argumentos observables en las producciones de los informantes de los Casos 1 y 2. En el contexto de los resultados expuestos en el apartado 4.4, del Capítulo 4, se observa que las dificultades que presentan los estudiantes y los errores que cometen cuando resuelven problemas con la DPL, se podrían explicar desde el subdominio de conocimiento KoT-DPL en las categorías de conexiones intraconceptuales entre las distintas representaciones de la DPL, la detección de estas dificultades apoya un enfoque en las categorías A4.1, A4.2 y A4.3, que se tendrían que reforzar en los estudiantes para favorecer una comprensión adecuada y profunda del concepto. Una de las causas fundamentales de estas dificultades en el conocimiento manifestado, se debe al desconocimiento de la categoría A3.3, que describe el conocimiento en la representación de la mejor aproximación de la función con la recta tangente, el modo AE del modelo propuesto. El análisis realizado, indica también, la existencia de dificultades en aspectos fenomenológicos, en la categoría A5.1, los informantes del Caso 1, muestran débil su conocimiento de trabajo con las funciones, en relación con el concepto de límite. En síntesis, los resultados revelaron que la comprensión de los estudiantes sobre la DPL es aislada de los conocimientos como límites, razón y cálculos de la pendiente. En primer lugar, los hallazgos mostraron que ninguno de los informantes de los Casos 1 y 2 se dieron cuenta y no explicaron el significado de la tasa de cambio y cómo se relaciona con la DPL. Este resultado es consistente con los reportados en la literatura (Sánchez-Matamoros et al., 2008), no están entendiendo la tasa de cambio y no son conscientes de la relación entre los conceptos de derivada y de tasa de cambio. Estos últimos resultados coinciden con lo señalado por Şahin, Aydogan-Yenmez, y Erbas (2015), cuando señalan que las dificultades de estudiantes con la derivada, son estos que se declaran. A la luz del modelo de comprensión profunda que se quiere evaluar, desde el punto de vista del aprendizaje, la importancia del conocimiento del triángulo rectángulo que relaciona la pendiente, como un elemento articulador entre la pendiente de la tangente, razón de cambio con el límite. Otro resultado sobre la pendiente de la recta tangente es que los estudiantes no entendieron la idea de la pendiente de las rectas secantes (apartado 4.1.1, del Capítulo 4) por lo que no logran interpretar el rol del límite en la definición de la DPL, conocimientos en la categoría de aspectos fenomenológicos (Rojas, 2014), como las relaciones interconceptuales de la DPL.

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En conclusión, los resultados proporcionan evidencias de que, si se ignoran las conexiones intraconceptuales entre la representación SGC, AO y AE en el concepto de la DPL puede no entenderse o tener una comprensión que es parcial por parte de los estudiantes, en este sentido, Duval (1993), señala, que las distintas representaciones y la necesidad de articulación por lo menos en dos de éstas, es necesario para una comprensión integral de un concepto matemático. En consecuencia, se ha podido constatar, la existencia de conflictos en la mayoría de los estudiantes de los dos casos considerados en este estudio, cuando se enfrentan a problemas donde deben estar activas las conexiones intraconceptuales o elementos articuladores. Desde el punto de vista del OE3, este no se logra alcanzar en esta parte de la investigación. Dado este escenario, y considerando la importancia del rol que tiene el profesor (apartado 5.2.4), en los conocimientos que manifiestan los estudiantes, y como señala Moreno (2005), el éxito de cualquier propuesta didáctica implica desde la enseñanza, considerar el conocimiento especializado del profesor. En esta dirección, en el siguiente apartado se presentan las conclusiones respecto de los objetivos correspondientes al Momento 2, desde un análisis en el conocimiento especializa del profesor, a la luz de los objetivos específicos OE2 y OE4.

5.4 Discusión respecto de los objetivos OE2 y OE4

Para dar consecución a lo declarado en el Capítulo 3 de esta investigación, se considera una indagación en el conocimiento especializado de los profesores participantes del estudio, Casos 3, 4 y 5. Considerando el objetivo OG2: Caracterizar los elementos articuladores matemáticos que muestran los profesores en la asignatura de Cálculo I y sus correspondientes objetivos específicos: OE2: Describir los componentes de conocimiento de la DPL, según el marco MTSK que presentan los profesores al abordar la DPL. OE4: Identificar explícitamente los elementos articuladores en el conocimiento de los profesores al abordar la DPL.

El análisis de las entrevistas aplicadas a los casos antes señalados, permiten la discusión de los resultados para caracterizar el conocimiento especializado de tres profesores –P1, P2 y P3– reflexionando en el contexto de una entrevista, el contenido de la DPL. El análisis mostrado en el Capítulo 4 permitió establecer relaciones entre el modelo de comprensión profunda de la DPL, como aproximación al conocimiento especializado sobre la DPL de profesores universitarios. En este apartado se discutirá hasta qué punto se cumplen los objetivos que se esperan. También se presentan las conclusiones de la investigación, en función de los objetivos específicos OE2 y OE4.

5.4.1 Respecto del objetivo OE2

Al caracterizar el conocimiento especializado de los profesores cuando abordaron en las entrevistas el contenido de la DPL, permitió establecer relaciones con el conocimiento matemático y didáctico, como una forma de aproximación al conocimiento especializado sobre la DPL de profesores universitarios. A continuación, se presentan las conclusiones de esta parte de la investigación.

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Respecto del objetivo específico OE2, para describir los componentes de conocimiento según el modelo MTSK-DPL que presentan los profesores al abordar la DPL, se realiza un análisis detallado de los datos, identificando componentes de conocimiento para cada subdominio de MTSK-DPL, según se describe en el aparatado 2.6 del Capítulo 2, enseguida, con una síntesis que permitió comprender el conocimiento especializado de cada uno de los profesores con los resultados mostrado en el Capítulo 4, se concluye lo siguiente. Respecto al MTSK-DPL se han obtenido evidencias en casi todos los subdominios de conocimiento en los tres profesores entrevistados, a excepción del subdominio KSM-DPL que no presentó evidencias en las categorías B2, de las conexiones de simplificación y B3, de conexiones transversales y/o auxiliares. La justificación de esto último se podría explicar por el instrumento utilizado, es decir, para indagar estos conocimientos, la entrevista no contempló la resolución de problemas y en el caso de esta categoría, resulta necesario observar la forma de operar en un problema concreto, así lo señalan Montes, Contreras y Carrillo (2013). La misma situación justifica la categoría B3, donde interesan las ideas transversales y conexiones interconceptuales, en la resolución de problemas, por ejemplo, la función con su ecuación (Escudero, 2014), similar para los resultados obtenidos de los profesores P2 y P3. En relación a los resultados obtenidos del conocimiento especializado del profesor P1, se destacan especialmente los conocimientos correspondientes a los subdominios KoT-DPL, en sus categorías A3.1, A3.2 y A3.3, y el subdominio KPM-DPL en las dos categorías C1 y C2. Este profesor P1 mostró conocimiento de las tres representaciones de la DPL, como se muestra en la Figura 4.9 del capítulo anterior, donde se puede observar, además, que la práctica matemática de este profesor KPM-DPL mostró un alto nivel de conocimiento, de las jerarquías y empleo de argumentos lógicos para demostrar en matemáticas, también, se destacó el uso de ejemplos y contraejemplos para validar sus argumentos, junto con el manejo de alto nivel en la producción matemáticas, apartado 4.2.1. Respecto del uso de ejemplos en este profesor P1, los datos analizados mostraron a los ejemplos como la base para explicar ideas matemáticas en torno a la DPL y de cómo los ejemplos funcionan para entender ciertas definiciones, como también para generar conocimientos. Desde el punto de vista de la enseñanza, esto podría explicar, como señalan Rowland, Turner, y Thwaites (2014), los ejemplos son estrategias de enseñanza. Además, se destaca en este profesor P1, cómo el ejemplo del valor absoluto le permite mostrar la no diferenciabilidad de la función en el cero, abordar la existencia de una única tangente para explicar la no diferenciabilidad, ejemplo que los estudiantes podrían considerar como un patrón de resolución de problemas, cuya estructura genérica podría servirles para enfrentar problemas similares (Rowland, Turner, Thwaites, y Huckstep, 2009), es decir, un conocimiento que podría estar en el subdominio KMT-DPL, al considerar los ejemplos como estrategias en la categoría D2, por lo que se identifica como una relación entre el subdominio KoT-DPL y KMT-DPL. Para el conocimiento especializado del profesor P2, en el dominio MTSK-DPL, los resultados dan cuenta que este profesor P2 en particular, muestra activo su conocimiento en el dominio PCK-DPL a través de sus reflexiones en torno a cuestiones curriculares, mostrando estar consciente de cierta jerarquía en la enseñanza de la

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DPL, por lo que se interpretó como conocimiento en el subdominio KMLS-DPL, mostrando evidencias en todas sus categorías, como muestra la Figura 5.2, hecho que se diferencia de los otros profesores. Una reflexión en torno a la importancia de la comprensión profunda de la DPL, proporcionada por el profesor P2, muestra que el enfoque de este estudio se podría proyectar a otros conceptos del Cálculo Diferencial, como es el Teorema del Valor Medio, el Teorema de Rolle u otros conceptos propios de la matemática y de consecuencias inmediatas de la DPL, correspondiente a la categoría de complejización B1, en el subdominio KSM-DPL, el conocimiento de la DPL para explicar otros conceptos. Como se observa en el gráfico ilustrativo (Figura, 5.2), no se encontró evidencias en la categoría B2 y B3, tal como en el profesor P1. En el conocimiento especializado del profesor P2, se ha encontrado una posible relación entre el subdominio KoT-DPL y KMLS-DPL, situación que comparte con los otros profesores, P3 y P1, en el sentido que, al reflexionar sobre los elementos de conexión entre las tarjetas, realizan una secuenciación de conceptos que se pueden considerar parte de la categoría F3 de KMLS-DPL.

Figura5.2. Representación del MTSK-DPL del profesor P2.

Las reflexiones del profesor P2, en torno al conocimiento de la categoría A3.3, que corresponde a la perspectiva de linealidad local de la DPL, como la recta que mejor aproxima a la curva localmente, llama la atención su argumento de que corresponde a un caso particular de funciones diferenciables en un espacio n dimensional, esto lleva a un cuestionamiento del rol que puede tener en la comprensión de la DPL el conocimiento de la perspectiva global de la derivada, tema que se abordará en las proyecciones de esta investigación, en el apartado 5.5. En relación a los resultados obtenidos del conocimiento especializado del profesor P3, en el apartado 4.2.3 del Capítulo 4, además de usar ejemplos, con una intencionalidad similar al profesor P1, se destaca en este profesor P3 el uso de analogías para la representación de ideas matemáticas, considerada en la categoría D2, como parte de las estrategias de enseñanza (Rowland, Turner, Thwaites y Huckstep, 2009).

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En relación a los resultados obtenidos para el objetivo específico, OE4: Identificar explícitamente los articuladores presentes en el conocimiento de los profesores. Se consideran las evidencias encontradas en el subdominio KoT-DPL, específicamente en las categorías A4, categoría de conocimiento de conexiones intraconceptuales, como sigue.

5.4.2 Respecto del objetivo OE4 El análisis de los resultados para identificar los elementos articuladores en el apartado 4.3 del Capítulo 4, se validan los articuladores al confrontar las hipótesis H1, H2 y H3, con los datos aportados en el análisis del MTSK-DPL en las entrevistas del Caso 3, 4 y 5, en las categorías A4.1, A4.2 y A4.3. Considerar una vecindad del punto, definido como perspectiva local, en el apartado 1.4 del Capítulo 1, donde cada punto próximo al punto P dado, determina una secante y ésta a su vez determina el triángulo rectángulo con base h, representado a través del ángulo de tangencia y la pendiente de la recta tangente que se corresponde geométricamente con la derivada de la función en el punto, la información entregada por los tres profesores en el apartado 4.2.3, coincide totalmente con la hipótesis propuesta, por lo que se consolida el triángulo rectángulo como articulador entre SGC y AO, como uno de los resultados principales de esta investigación con base en evidencias mostradas por los tres profesores, se considera fundamental el modo AE para el logro de la comprensión profunda del objeto matemático en cuestión. A partir de los datos analizados se puede concluir que: H1, el triángulo rectángulo formado por la recta secante y la horizontal como articulador entre AO y SGC. La pendiente de la recta tangente como el articulador entre AO y AE. La ecuación de la recta tangente como el elemento articulador entre SGC y AE. Esta información permite argumentar que existe una relación entre el subdominio KoT-DPL con KFLM-DPL dado que los articuladores o conexiones intraconceptuales, representan conocimientos que presentan dificultades para los estudiantes, hecho que se discute en el siguiente apartado.

5.4.3 Discusión teórica del MTSK-DPL y el Modelo de Comprensión Profunda de la DPL El marco de Conocimiento Especializado del Profesor de Matemáticas, MTSK (Carrillo et al., 2017), ha sido un valioso aporte teórico para complementar y profundizar en el conocimiento de la DPL en los profesores partícipes de esa investigación, además la especialización del modelo MTSK-DPL permitió la descomposición del conocimiento de los tres profesores participantes, en subdominios y categorías de conocimiento matemático y didáctico de la DPL en correspondencia con el modelo de comprensión profunda de la DPL, siendo posible constatar en esta investigación relaciones en todos los subdominios de conocimientos, mostrando el carácter integrado de MTSK-DPL con el modelo de comprensión profunda para la DPL. En primer lugar, los resultados discutidos en el apartado 4.2 del Capítulo 4, el desarrollo del análisis para cada profesor participante en el apartado 4.3, consideró un análisis conjunto de los tres profesores P1, P2 y P3, permitiendo ampliar la visión del modelo propuesto, en el sentido que si bien, el objetivo en esta Fase 2 fue indagar

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en las evidencias de los articuladores como conocimiento matemático, que se corresponde con el KoT-DPL de los profesores, como se declara en el Capítulo 2 de este escrito, el modelo propuesto se perfila como una herramienta del profesor para la generación de actividades que favorezcan la comprensión profunda en los estudiantes, es una evidencia que se relaciona con el subdominio KMT-DPL, dado que puede ser considerado el modelo de comprensión profunda de la DPL desde su carácter estratégico. Además, visto el modelo en cuestión, como apoyo para el profesor, en cuanto a un conocimiento para superar dificultades en los estudiantes, éste se relaciona con KFLM-DPL y también puede ser entendido como un espacio que permite producción matemática en los estudiantes y en los profesores, por lo tanto, parte de KPM-DPL. Para finalizar, desde el punto de vista de la incorporación del modo AE, los informantes han mostrado conocimiento de aspectos curriculares y jerarquías en el sistema escolar universitario, por lo que se podría relacionar con el subdominio KSML-DPL, en el subdominio de conocimiento de jerarquías. Por lo que se puede concluir el carácter integrado de MTSK-DPL. Como se ha argumentado en el apartado 2.8 del Capítulo 2, en función de los objetivos específicos de la Fase 2, el modelo se ha considerado dentro de KoT-DPL. Sin embargo, los resultados encontrados, explicitados en los apartados 4.2 y 4.3 del Capítulo 4, mostraron que este modelo de comprensión profunda de la DPL, presenta relaciones con todos los subdominios de conocimiento, como se observa en la Figura 5.3, donde las flechas dibujadas muestran esta relación. En este sentido, se podría argumentar que los elementos articuladores, no sólo deben ser explícitos en el conocimiento matemático (MK-DPL) de los profesores, sino que debe estar latente en el conocimiento didáctico de la DPL (PCK-DPL), de cada profesor, en especial en el KFLM-DPL y KMT-DPL.

Figura 5.3. Mapa de conocimientos según MTSK de los profesores P1, P2 y P3 en

correspondencia con el modelo de comprensión profunda de la DPL.

A modo de conclusión, se puede observar que el profesor desempeña un rol crucial en la articulación de los componentes del modelo – los Modos de Comprender la DPL– y MTSK-DPL, para profundizar en el conocimiento especializado del profesor, especialmente, para validar los elementos matemáticos como las conexiones

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intraconceptuales, que permiten comprender el conocimiento que pone en juego el profesor cuando aborda la DPL, por lo que, los objetivos planteados, OE2 y OE4, se logran a través del análisis del conocimiento especializado de los profesores informantes, resultando de esto último el modelo de comprensión profunda de la DPL validada como una herramienta viable para la superación de los obstáculos epistemológicos en la comprensión de la DPL y que va en beneficio de su comprensión profunda, entendida ésta como la capacidad que tiene un estudiante para articular estos modos de pensamiento cuando aborda actividades que se relacionan con la DPL. Sin embargo, desde el punto de vista del objetivo específico, OE3: Identificar explícitamente los elementos matemáticos articuladores en el conocimiento de los estudiantes, no fue posible lograr este objetivo, dado que no se encontraron evidencias explícitas de éstos en los conocimientos de los informantes de los Casos 1 y 2, sin embargo, se pudo identificar aquellos elementos matemáticos que fallan en la articulación, como se ha evidenciado en el apartado 5.3, las dificultades son identificadas en las categorías de MK-DPL, específicamente, con los elementos de conexiones intraconceptuales, categoría A4 y conocimientos de la fenomenología de la DPL, en la categoría A5, del subdominio KoT-DPL, como se ha evidenciado en el apartado 4.4 del Capítulo 4. Desde esta perspectiva, el modelo de comprensión profunda de la DPL es una propuesta que se inicia desde un problema de comprensión y dificultades en el aprendizaje, para concebir un modelo que propicia el proceso de comprensión profunda en los estudiantes. Conviene destacar que, en comparación con la práctica de la enseñanza del Cálculo en el sistema universitario, la investigación contribuye en varios aspectos de la práctica educativa y tiene implicaciones didácticas para los agentes más importantes del sistema educativo: los estudiantes y profesores. El MTSK, es un marco teórico para estudiar analíticamente el conocimiento especializado del profesor de matemáticas, brindando oportunidades para explorar en los distintos subdominios de conocimiento del MTSK-DPL en los profesores participantes. En relación con esto últimos, a la luz de los resultados expuestos en el Capítulo 4, apartado 4.3, se puede argumentar que, los profesores P1, P2 y P3 poseen un alto nivel de KoT-DPL, presentando también un elevado conocimiento de la práctica matemática, KPM-DPL, también se tiene evidencia de KoT-DPL en todas sus categorías, como conocimiento de definiciones, propiedades, de procedimientos tanto en la propia matemática como para la DPL, conocimientos en el subdominio KPM-DPL, como las formas de proceder en la matemática, uso de ejemplos y contraejemplos, conocimientos que les permite refutar ideas, por lo que se podría argumentar que la frontera entre estos subdominios se presenta con línea segmentada, como muestra la Figura 5.4, si bien, cada uno de estos subdominios tiene descriptores bien precisos, en estos profesores están fuertemente relacionados.

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Figura5.4. Frontera entre el KoT-DPL y KPM-DPL de los tres participantes del estudio.

Con base en los objetivos específicos y generales que guiaron esta parte de la investigación, el marco de referencia y los hallazgos presentados, se puede evidenciar que el conocimiento del contenido matemático y didáctico de la DPL son parte importante en las habilidades docentes, si bien, en estos profesores, su conocimiento didáctico de la DPL no fue indagada en profundidad, su alto nivel de KoT-DPL y KPM-DPL, junto con las evidencias del uso de los ejemplos para explicar conceptos y desarrollar ideas matemáticas, podría ser motivo de discusión con lo planteado por Li y Káiser (2012), en el sentido de la importancia que tiene el conocimiento de la matemática avanzada en relación a la matemática que se necesita en el ámbito escolar, es decir, lo que debe saber de la DPL, un profesor experto. Estos profesores P1, P2 y P3, pueden dar muestra de que los ejemplos son estrategias para generar conocimiento, como muestra el profesor P1. No obstante, aún se necesita profundizar en la indagación del nivel de conocimiento didáctico en estos profesores con un avanzado conocimiento matemático, por lo que sería una continuación de la investigación. Considerando que MTSK-DPL incluye categorías e indicadores de conocimientos que refieren específicamente al tipo de conocimiento en la matemática y su enseñanza, también éstos conforman una base de información que podría ser muy útil para los profesores, en cuanto los indicadores de conocimiento desarrollados para la DPL (en el apartado 3.8 del Capítulo 3), podrían aportar información valiosa para el diseño de actividades de enseñanza, para favorecer el aprendizaje de los estudiantes y fortalecer el conocimiento del desarrollo profesional de los profesores (Sosa, 2012 y Blömeke y Káiser, 2017). Un cuestionamiento que emerge de los resultados obtenidos en esta investigación es, dado que los articuladores son explícitos en el KoT-DPL de los tres profesores, P1, P2 y P3, como han mostrado los datos, en el apartado 5.3 y dado que se han alcanzado los objetivos específicos, OE2 y OE4, no fue suficiente para garantizar la existencia de los articuladores en el conocimiento de los estudiantes. En este sentido se proyecta la investigación planteando las siguientes interrogantes: ¿Dónde buscar razones, de por qué, no están los articuladores en el conocimiento de los estudiantes, siendo que en el conocimiento matemático de los profesores están?

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¿La razón es que no se enseñan los articuladores? ¿Los profesores tienen conocimiento de los articuladores, como elementos matemáticos que dificultan a los estudiantes? ¿Conocen los profesores de Cálculo actividades de aprendizaje con articuladores? Estas preguntas permitirán nuevos temas que proyectan la investigación y permiten una reflexión sobre las limitaciones que este estudio ha llevado. En este proceso de investigación se han encontrado dificultades, teóricas y metodológicas que se han debido enfrentar, no obstante, las decisiones tomadas, han direccionado el estudio de tal manera que en la ruta seguida, se pueden considerar, ciertas limitaciones33 , para dejar evidencias de ello, en el apartado siguiente se desarrollan algunas de las más significativas en este proceso.

5.5 Limitaciones del estudio y perspectivas para el avance de la investigación

En este apartado se exponen aspectos importantes que han influido y condicionado, las particularidades que se reflejan en el desarrollo de esta investigación, como las limitaciones que han influido en las decisiones derivadas del contexto teórico, las que han llevado a las decisiones metodológicas y las que se han debido asumir en el transcurso de la tesis, comprendiendo la necesidad fundamental del término de esta tesis doctoral.

5.5.1 Limitaciones del estudio Una primera limitación que esta investigación enfrenta es consecuencia de que se pretende la obtención del grado de doctora en Didáctica de la Matemática, por lo tanto, tiene un tiempo de duración máxima, según estipula el reglamento del programa doctoral de las instituciones patrocinantes. No obstante, se entiende que las últimas producciones que se derivan del estudio, en apartado 5.5.3, tendrán la crítica para mejorar y refinar el trabajo realizado. En este contexto, se generan las cuestiones relativas a proyectar este trabajo con la visión a futuras investigaciones que se podrían generar de las preguntas abiertas que se presentan más adelante. Otro aspecto interesante de considerar, que ha influido en las decisiones metodológicas de esta investigación, se ha planteado en el primer capítulo de esta tesis. La investigación presenta dos focos de atención en la enseñanza y aprendizaje de la derivada, uno de la derivada en su perspectiva local (DPL) y otro en su perspectiva global (DPG). Como se ha explicado en el apartado 1.4.2, esta diferencia de focos de atención y las complejidades de abordar ambos, simultáneamente, ha llevado a la decisión de indagar en profundidad la perspectiva local de la DPL. Si bien, la derivada comprende una relación simbiótica de lo local y global, que al parecer son fundamentales para un conocimiento exhaustivo de la derivada, estudiar a fondo estas dos perspectivas habría permitido profundizar más, en cómo se da esa relación. En

33 En el sentido de los límites o frontera, sin énfasis en su aspecto negativo, sino como guía para la investigadora.

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este contexto, la decisión de estudiar la DPL genera una limitación del estudio, pero a la vez muestra las bondades de un estudio en profundidad de la DPL que orienta una proyección de esta investigación, el estudio de la DPG. Otra limitación, desde el punto de vista del diseño metodológico, se origina con la dificultad de la investigación desde el marco teórico MTSK-DPL, al no haber profundizado más en el dominio de conocimiento didáctico PCK-DPL, especialmente la observación de alguna actividad en la sala de clases de estos profesores, en este sentido se puede argumentar que en esta parte las decisiones metodológicas estaban orientadas en la búsqueda de los articuladores de manera explícita. No obstante, desde el punto de vista de la investigación, se abre un buen campo de interrogantes generadas a partir de este estudio:

Profundizar en el PCK-DPL de cada profesor participante. Profundizar en sus concepciones respecto de la DPL y de su enseñanza. Contrastar lo observado en estos profesores con otros profesores en

otros contextos. Desde el punto de vista de la enseñanza, sería muy interesante poder

estudiar las clases de estos profesores, de manera que se pueda observar cómo opera su KPM-DPL en el uso de los ejemplos.

Profundizar en las relaciones entre los subdominios, KoT-DPL y KMT-DPL, KFLM-DPL y KPM-DPL.

¿Qué MTSK-DPL se promueve en un curso de Cálculo I? ¿Qué MTSK-DPL se espera en el profesor de un curso de Cálculo I?

Al respecto se propone, en futuras investigaciones, aplicar otros instrumentos, grabación de videos en una clase, para tener un análisis más profundo de la asignación de categorías y descripción de los subdominios del MTSK. Próximas investigaciones deberían examinar la naturaleza y extensión del desarrollo profesional de los docentes universitarios y explorar opciones para fundamentar el conocimiento didáctico del contenido en los profesores. Con base en los objetivos generales y específicos que guiaron esta investigación, el modelo de comprensión profunda de la DPL, marco teórico MTSK y los hallazgos presentados, se visualizan aspectos de la investigación que pudieran proyectar otras investigaciones, las que se especifican en el siguiente apartado.

5.5.2 Proyección de la investigación Teniendo en cuenta que en el modelo de conocimiento especializado MTSK-DPL, las concepciones inciden en el conocimiento del profesor, es posible establecer relaciones entre el conocimiento especializado de los profesores participantes y sus concepciones sobre los ejemplos en la enseñanza y aprendizaje de la DPL. Una de las cuestiones abiertas en este trabajo, como también otras complementarias, y mi experiencia como docente universitaria, dejan clara la importancia del modelo en todos sus componentes, por lo que se proyecta de este estudio indagar esta relación.

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En el proceso de ejemplificar, desarrollado por los profesores participantes en este estudio, emergen características de los ejemplos y tipos de ejemplos, usados cuando movilizan su conocimiento en las reflexiones. En los tres profesores se caracteriza el uso de ejemplos para explicar el contenido matemático, interviniendo en su conocimiento del contenido KoT-DPL, pero también los ejemplos son vistos como herramientas para que los estudiantes capten las diferentes explicaciones del contenido de la DPL, por tanto, podrían ser parte del KMT-DPL del profesor al ser considerado como recurso para la enseñanza, cuando sabe qué ejemplos son más potentes considerando la intencionalidad o tarea específica en relación al aprendizaje del contenido (Carrillo et al. 2013). Sin embargo, en este proceso de ejemplificar, emergen particulares características de los ejemplos y tipos de ejemplos que usan estos profesores que estarían aportando información sobre el MTSK-DPL en relación a su KMT-DPL, dado que esto estaría indicando que el profesor selecciona ejemplos para profundizar gradualmente en la enseñanza de un determinado tema, por lo que se podría considerar una relación entre el subdominio KPM-DPL y KMT-DPL de estos profesores, al respecto se podría argumentar que estos profesores con conocimiento profundo de la DPL de la matemática ligada al concepto y de manera holística, tienen también un modo de ejemplificar que se refleja en los ejemplos que mencionan en la reflexión. Lo anteriormente expuesto también provee un campo interesante de ser indagado en el futuro. Una decisión metodológica que ha permitido el estudio profundo de la DPL y la propuesta del modelo, abre también una vía de continuación de este estudio, para indagar en un modelo de comprensión profunda para la perspectiva global de la derivada (DPG). Por otra parte, y desde el punto de vista del desarrollo de la comprensión de la noción de derivada, las investigaciones han señalado la importancia de la integración de los significados de la noción de derivada en un punto (f’(a)) y la función derivada (f’(x)) (Badillo, 2003). Los resultados del trabajo de Badillo señalaron que comprender la idea de función derivada en un punto, f’(a), no implicaba comprender la idea de función derivada f’. Sin embargo, aquellos sujetos que comprendían la idea de función derivada, parecían que entendían la derivada de la función en un punto (Sánchez-Matamoros et al. 2008). Ante esto, se abre una perspectiva de indagación futura para comprender en profundidad el vínculo entre estas perspectivas.

Figura 5.4. Relación de la DPL y DPG manifestada por el profesor P2.

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En este contexto la investigación proyecta dos formas de ver y entender la perspectiva global de la derivada, basado en este estudio, junto con los datos aportados por los profesores, especialmente el profesor P2, uno de los elementos que articulan la perspectiva local y global es el cuantificador universal, en la Figura 5.4, se muestra cómo se proyecta una indagación en esta perspectiva, donde la línea roja indica lo manifestado por el profesor P2, el modo AE-DPL es un caso particular del AE-DPG. En lo que sigue se presenta un avance de la continuación de estudio.

Modo Sintético Geométrico desde la perspectiva global de la derivada (SG-DPG) El concepto de derivada es un concepto local, sin embargo, es posible desde un punto de vista global, dominio todo el intervalo, definir la imagen directa que plantea Sierpinska, esto garantizado por el concepto de diferenciabilidad local, es decir que la vecindad de un punto , por más pequeña que sea en torno al punto en la curva tiene garantizada su continuidad, por lo tanto siempre existe un intervalo de longitud en la imagen del punto, en consecuencia existe un contenido en torno a de longitud y esto vale para todos los abiertos en cada punto de la curva, en consecuencia es posible determinar en cada punto de la curva la recta tangente a esa curva. En la Figura 5.5, se muestra la imagen directa de la representación de las tangentes en cada punto de la curva.

Figura 5.5. Modo Sintético-Geométrico (SG), para la comprensión de la derivada en su perspectiva global (DPL).

Modo Analítico Operacional (AO) desde una perspectiva global de la derivada Pero también, se puede considerar una segunda definición de derivada en la que el algoritmo es global, ya no está atado a un punto específico, y por lo tanto su significado ya no depende del punto elegido. Se trata por lo tanto de un significado global y dinámico. El aspecto global de la derivada se entenderá entonces:

Desde el punto de vista cognitivo, sin embargo, las cosas pueden ser diferentes para los estudiantes. Ellos pueden percibir que las dos definiciones, en y son diferentes, en primer término, porque su escritura simbólica lo es. (Sánchez-Matamoros et al., 2008). Para finaliza este escrito, se debe observar que este trabajo se proyecta y continúa desarrollándose con un modelo que se fortalece, evoluciona, sufre ajustes y cambios

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que han sido posibles con la interacción y discusión en distintos escenarios de la comunidad de la Didáctica de la Matemática, como congresos, seminarios y publicaciones, que se detallan en el aparatado siguiente.

5.5.3 Contribución a la comunidad de investigación En lo que sigue, se indican algunas producciones efectuadas durante el desarrollo de la investigación en relación con el objeto de este estudio. En el año 2014 la investigadora realiza su trabajo de finalización de una maestría en Didáctica de la Matemática centrado en el tema del aprendizaje de la derivada, desde donde se gestan las bases para el estudio de esta tesis doctoral. Los resultados obtenidos orientaron la realización del proyecto de investigación que culmina en este escrito. El propio avance de la investigación concedió divulgar parte de los resultados de este estudio, como se muestra a continuación.

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207

ANEXOS Anexo 1. Matriz de datos PRIMERA PREGUNTA: ¿Cómo explicaría usted la derivada desde su perspectiva local a un estudiante de secundaria o a un compañero? SEGUNDA PREGUNTA:

Sea la función , la tabla muestra los valores resultantes del cociente que son las pendientes de las rectas secantes cuando se aproxima a 1.

0.59 0.9 0.99 0.999 1.001 1.01 1.1

1.59 1.9 1.99 1.999 2.001 2.01 2.1

Comente t explique la información que tiene la tabla, en relación a la derivada de la función y la recta tangente en el punto . Justifique sus observaciones. TERCETA PREGUNTA:

Suponga que es una función, tal que: .

a) ¿Cómo es el comportamiento del gráfico de la función, próximo a ? Explique con sus palabras este límite.

b) ¿qué características tiene la mejor aproximación a la función en ?

CUARTA PREGUNTA:

Si consideramos que la ley del movimiento de un punto es ¿Cuál es la velocidad media del punto entre ? ¿Cuál es la velocidad en ? Justifique su respuesta.

MATRIZ DE RECOGIDA DE DATOS Se recogieron en esta matriz las observaciones de interés para el estudio, organizando en categorías los datos del caso 1 y 2. Se muestra el proceso del Caso 2.

INFORMACIÓN LEVANTADA DEL CASO 2

PREGUNTA 1 PREGUNTA 2 PREGUNTA 3 PREGUNTA 4

208

LM11 Realiza un dibujo de representación con la recta tangente.

Hace la diferencia de la derivada como función y de la derivada en un punto.

Hace alusión a la condición de continuidad para la existencia de derivada.

Hace dibujo, observa que a medida que dibuja las secantes cerca del 1, se ve cada vez más parecido a una tangente, observa que la pendiente se acerca cada vez más a 2. Luego construye la función con los datos y calcula el límite, concluyendo que coincide con la pendiente de la recta tangente.

Plantea que la función debe ser derivable en todas partes y toma los intervalos

faltando analizar en

. Hace las operaciones que corresponde al análisis de continuidad. Concluye correctamente, modo AO.

Responde correctamente, hace la diferencia entre velocidad media y velocidad instantánea.

LM12 No representa gráficamente, sin embargo, define como la cantidad de cambio que se experimenta en un punto, como la recta tangente, y la relación con la velocidad instantánea.

Resuelve el problema desde la condición de tangencia. Ocupa el hecho que la recta es tangente a la parábola.

Utilizando propiedades de la derivada.

Su análisis es puramente geométrico.

Escribe que es simplemente como se comporta la secante cerca del 1, y para corroborar calcula el límite de la función y concluye.

Responde correctamente, hace la diferencia entre la velocidad media, realiza cálculo y la velocidad instantánea como el límite de esas cantidades.

LM13 Plantea dos formas de derivada, dice que una forma geométrica, sería la construcción de la recta tangente. “este informante, declara conocer muy bien el concepto de tangencia.

Plantea posteriormente a través del límite, él llama “una demostración algebraica” escribe la definición sin considerar el caso puntual, sólo como función.

Representa la recta que pasa por el punto, intersecta y aplica condición de tangencia. No utiliza ni relaciona la pendiente con la derivada.

La tabla muestra las pendientes que le corresponden a las rectas secante cuando en 1 se aproximan a la gráfica.

.

Considera para la velocidad media y para la velocidad instantánea, la resolución usando derivada, no hace diferencia entre los dos conceptos de velocidad. Mostrar una imagen de la respuesta.

209

Anexo 2. Programa de la asignatura

IDENTIFICACIÓN DE LA ASIGNATURA Carrera Pedagogía en Matemática en Educación Media Unidad Responsable Departamento de Matemáticas Nombre de la Asignatura Cálculo I Código DAMA 00371 Semestre en la Malla34 3 Créditos SCT – Chile 7

Ciclo de Formación Básico X Profesional

Tipo de Asignatura Obligatoria X Electiva

Clasificación de Área de Conocimiento

Área Matemática Sub área Educación

Requisitos Pre requisitos Geometría Analítica Requisitos Cálculo II

I. RESULTADOS DE APRENDIZAJE

1. Determinar la continuidad de funciones mediante criterios de continuidad. 2. Calcular la derivada de diversas funciones utilizando las reglas de derivación. 3. Resolver problemas de razón de cambio utilizando la derivada en notación de Leibniz. 4. Resolver problemas de optimización y graficar funciones utilizando los criterios de la primera y segunda derivada. 5. Aplicar la regla de L’Hopital en el cálculo de límite de funciones. 6. Calcular la derivada de diversas funciones trascendentes. II ÁREAS TEMÁTICAS

1. LIMITE Y CONTINUIDAD 1.1 Definición formal de límite e interpretación geométrica. 1.2 Límites laterales. 1.3 Algebra de límites. 1.4 Cálculo intuitivo de límite (gráfica y numéricamente). 1.5 Teorema del encaje.

34 Este campo sólo se completa en caso de carreras con programas semestrales.

210

1.6 Límite de funciones trigonométricas. 1.7 Continuidad y límites laterales. 1.8 Teorema del valor intermedio. 1.9 Límites infinitos y asíntotas. 2. TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL Y APLICACIONES 2.1 Definición de derivada de una función. 2.2 Interpretación geométrica y física. 2.3 Derivación y continuidad. 2.4 Reglas básicas de derivación. 2.5 Derivadas de funciones trigonométricas. 2.6 Derivadas de Orden Superior. 2.7 Regla de la cadena. 2.8 Derivación implícita. 2.9 Variables Ligadas. Aplicaciones. 2.10 Teorema de Rolle y teorema del valor medio. 2.11 Funciones crecientes y decrecientes. 2.12 Extremos: puntos críticos, criterios de la primera y segunda derivada. 2.13 Concavidad, convexidad y puntos de inflexión. 2.14 Aplicaciones: trazado de curvas y optimización. III ORIENTACIONES Y CRITERIOS PARA LA EVALUACIÓN

1. Evaluaciones Formativas: evaluaciones individuales y grupales, con uso de pautas de valoración. 2. Evaluaciones Sumativas: aplicación de pruebas objetivas y de desarrollo, talleres teórico–prácticos, entre otros. Las técnicas posibles de considerar son: estudio de casos; proyectos, simulación, juego de roles, autoevaluación, evaluación de pares, entre otras. El sentido de estas evaluaciones es poder retroalimentar al profesor y a los estudiantes sobre la forma de abordar los contenidos del curso, permitiendo tomar las mejores decisiones para mejorar el aprendizaje. Además, se propone evaluar valores, actitudes o destrezas, que permitan identificar el desarrollo de las competencias genéricas de todo egresado de la Universidad. IV RECURSOS BIBLIOGRÁFICOS Bibliografía mínima - Steward James, Cálculo de una variable: Conceptos y Contextos Ed. Thompson. - Larson.Hostetler-Edwards, Cálculo Vol.1 Ed. Mac Graw Hill. - Leithold, El cálculo Ed. Oxford. - Thomas, G. Cálculo. Una variable. México: Pearson Educación.

211

Anexo 3. Tabla G: Sistema de categorías y subcategorías del MTSK

Subdominios Categorías asociadas al subdominio: Conocimiento sobre: C

onoc

imie

nto

mat

emát

ico

Conocimiento de los tópicos

KoT

Procedimientos

¿Cómo se hace? ¿Cuándo puede hacerse?

Características del resultado

Definiciones1, propiedades y sus fundamentos2

Registros de representación

Fenomenología y aplicaciones

Conocimiento de la estructura de las matemáticas

KSM3

Conexiones de complejización Conexiones de simplificación

Conexiones transversales Conexiones auxiliares

Conocimiento de la práctica matemática

KPM4

Jerarquización y planificación como forma de proceder en la resolución de problemas matemáticos

Formas de validación y demostración Papel de los símbolos y uso del lenguaje formal

Procesos asociados a la resolución de problemas como forma de producir matemáticas

Prácticas particulares del quehacer matemático (por ejemplo, modelación)

Condiciones necesarias y suficientes para generar definiciones

Con

ocim

ient

o D

idác

tico

del C

onte

nido

Conocimiento de las características de aprendizaje de las matemáticas

KFLM

Teorías de aprendizaje Fortalezas y dificultades

Formas de interacción con un contenido matemático Intereses y expectativas

Conocimiento de la enseñanza de las matemáticas

KMT

Teorías de enseñanza Recursos materiales y virtuales

Estrategias, técnicas, tareas y ejemplos

Conocimiento de los estándares de aprendizaje KMLS

Expectativas de aprendizaje Nivel de desarrollo conceptual o procedimental esperado

Secuenciación con temas anteriores y posteriores

Fuente: SIDM: Seminario de investigación en Didáctica de la Matemática, Universidad de Huelva.

212

Anexo 4. Transcripción de entrevistas Profesor (P135) ENTREVISTA REALIZADA EL 27 Y 30 DE MARZO DE 2017 Antes de comenzar las preguntas, se explicó los tres aspectos de la DPL, refieren a los modos que se han planteado para la derivada, se presentan en cada tarjeta el aspecto SGC (tarjeta 1), AO (tarjeta 2) y AE (tarjeta 3), respectivamente.

[1I] En mi investigación presento tres aspectos de la derivada, La propuesta es que, al interactuar estos tres aspectos de la derivada el estudiante va a tener una comprensión profunda comprensión del concepto.

[1] Sin duda

[2I] Entonces, la primera pregunta va referida a la tarjeta 1, la representación geométrica de la derivada, ¿Qué piensa usted de esta tarjeta? (parte describiendo las tarjetas)

[2]O sea, tu concepto de derivada lo que hace, pasa primero por definir la recta tangente (tarjeta 1) ¿no es cierto? y asociar el concepto de derivada en un punto como la pendiente de esa recta tangente. {KoT: A3.1}. [3I]Exactamente.

[3]Y en caso que se produzca un vértice como en el caso de la función módulo de por ejemplo, no existe una única recta que pasa por ese punto {KoT: A1.4}, que podría ser considerada como tangente, sino que hay varias, es por ese concepto como hay tantas pendientes, no tiene sentido la derivada en ese punto {KPM: C1.2}, se puede mirar al revés.

[4]Uno podría ver también que la función es derivable cuando se puede asociar una única pendiente a una recta tangente {KoT: A3.1}. ¿Entiendes? [Pausa]...este límite (Tarjeta 2) representa esa recta {KoT: A3.2; indicio de que existen los articuladores}. y se puede comprender como la mejor aproximación {KoT: A3.3; G2: indicio de que existen los articuladores}, [Pausa], mm… bueno, la derivada es un concepto local, {KoT: A2.1} ¿estamos pensando en lo mismo?, es que, en la vecindad del punto, esta recta tangente se comporta como la misma curva {KoT: A3.3}. ¿Entiendes?

[5I]Una pregunta concreta. Si yo tengo esta representación como tu bien lo has explicado ¿Qué le parece, la palabra convergencia, para este aspecto de la derivada? yo tengo acá el hecho de la convergencia matemáticamente, ¿Convergente? ¿Qué nombre le pondría usted a estas tarjetas?

[5]Yo a esta tarjeta (Tarjeta1), primero lo que yo veo, es la gráfica de una función y después lo que yo veo la recta tangente a un cierto punto de la gráfica ¿cierto? {KoT: A3.1}.

[6I]Claro.

[6] Y lo que se puede ver como punto límite, esa recta en cierto sentido es el límite de las secantes que tu bien mencionas que vienen por la izquierda y vienen por la derecha {KoT: A2.2, ecuación de la recta como límite de las secantes}, entonces lo de convergencia es verdad pero no sé si es absolutamente...[Pausa] necesario colocar ese término ahí pero es cierto que se puede expresar como convergencia {KoT: A2.1, definiciones, propiedades, fundamento }que tanto por la izquierda como por la derecha y ambos límites considerando que el límite es una recta ambos límites coinciden en ese sentido. {KoT: A3.1}.

[7I] En ese sentido, sí.

[7] En ese sentido hay convergencia de las rectas que vienen, o sea la recta límite de la secante por la derecha coincide con la recta límite de la secante por la izquierda es cierto en ese sentido hay convergencia {KoT: A3.1, representación geométrica de la DPL}.

35 Se emplean los símbolos {X} para identificar los subdominios de conocimiento, con su indicador, escrito en negrita las evidencias e indicios, para el modelo de la DPL.

213

[8I]¿O sea matemáticamente podría decir?

[8MC]Matemáticamente es un concepto de convergencia porque viene el límite por la derecha y el límite por la izquierda {KoT: A2.1, definiciones, propiedades, fundamento}, solo que ya no es un límite de puntos, sino que son rectas secantes que se van moviendo y convergen a una recta y esa recta la convergencia es tanto por la derecha como por la izquierda ese es el concepto de convergencia matemática {KoT: A2.1, definiciones, propiedades, fundamento}. [9I]¿Yo lo podría definir como “Sintético- Geométrico-Convergente”?

[9]Sí, claro.

[10]En sentido de las rectas, en el límite convergen a esa tangente {KoT: A3.1}. Así es.

[11I]Porque en realidad mi objetivo era buscar consistencia a esta idea que yo tenía del aspecto SGC.

En esta parte de la entrevista, realiza varios dibujos, éstos serán incluidos en el análisis de los resultados de la investigación, en el Capítulo 4.

[12I] Quiero buscar elementos que permita a los estudiantes la comprensión profunda de la derivada. Estoy pensando una manera de transitar cognitivamente desde la Tarjeta 1 aspecto SGC, y buscar “elementos” que permitan al estudiante llegar a la Tarjeta 2, aspecto AO.

[12] Perfecto, este triángulo es perfecto {KoT: conexión intraconceptual, articulador entre SGC y AO}, porque primero uno le explica al alumno el triángulo, la tangente y con eso el tipo entiende, se da cuenta que después este triángulo comienza a bajar acá KFLM: D3.1, preconcepción de facilidad de los aprendices} hasta que... [Pausa…] y límite se construye cuando el triángulo se deforma cuando el triángulo pierde el área KoT: A2.1, definiciones, propiedades, fundamento}. ¿Cuándo el triángulo pierde el área? Está en la línea, entonces el proceso los triángulos en una esquina no es cierto que van disminuyendo, se transforman en la recta tangente por aquí está, si eso es lo que va a pasar, a ver cómo sería a no, no, no… es eso lo que va a pasar. Tú tienes así, por ejemplo, por aquí no más. Entonces, tu vienes de aquí, entonces acá está el punto , acá está el punto . Entonces, cuesta graficar la secante aquí, y esta cosa estas secantes se van achicando aquí, ¿no es cierto?

[13I] Entonces el triángulo se va haciendo como más pequeño? ¿No?

[13] Claro, se van achicando las áreas, si ya. Espera un poquitito a ver ¿Por qué no estoy entendiendo esto a ver?, [gran pausa…] déjame pensar!

[14] Lo que quiero ver es la consistencia matemática de decir que si existe esa “relación”, de la recta con la pendiente, yo la pueda visualizar a través de ese triángulo. No es que el área se vaya a hacer cero, no, no; para nada. Lo que va a pasar, que esta área se va a hacer cero, la que está por encima KPM: heurísticos}. Esa es el área que va a desaparecer KPM: C1.2, conoce y emplea argumentos lógicos como formas de validar y probar en matemáticas}. No he podido, conseguir un dibujo decente, así ¿no es cierto? ahí y luego aquí y vemos que este sea la recta final, la tangente. Entonces tengo esto aquí cierto entonces yo tengo esta área y después yo tengo aquí. Tengo esta área y después ese pedacito que yo tengo aquí, claro. Esa es el área que se va a disminuir se va haciendo cero {Oportunidad para explorar conocimiento}, eso. [15I] ¿Ya no es la del triángulo?

[15] La que va entre el triángulo y la curva. La región achurada.

[16I] ¿Y la curva? Bueno, tal vez se podría mirar algo de ahí, ¿algún elemento?

214

[16] Se podría mirar. Pero lo que es cierto, es que tú necesitas el triángulo. Porque así se define la tangente {KoT: conexión intraconceptual, entre SGC y AO}. [17I] Para poder definir la tangente necesito esta relación, entre el aspecto SGC y AO, como muestran las tarjetas, ¿esto a través del triángulo?

[17] A tú quieres una relación, bueno.

[18I] Puede ser otro elemento?

[18] Evidentemente lo que hemos dicho, y aquí tienes , [señala la tarjeta 2]

, esa es la relación o sea esto, lo que pasa es que por que es biunívoca, lo que pasa es que cada tangente[tarjeta 1] tiene una única pendiente, y esa pendiente es esta [tarjeta 2] que es la pendiente que es biunívoca ahora como pasa de aquí para acá, necesita , de un concepto de pendiente. El concepto de pendiente depende cierto, la pendiente depende de la recta tangente, entonces el concepto de pendiente depende del triángulo, de un triángulo cierto; en este caso, tienes la recta tangente, que es la mejor aproximación de la curva en ese punto, se comporta igual, esto es todo lo mismo {KoT: conexión intraconceptual entre SGC y AO; conexión intraconceptual B3.3, articulador entre AO y AE}. [19I] ¿Usted dice que el triángulo rectángulo podría ser un conector de entre la tarjeta 1 y 2?

[19] Claro.

[20I] ¿Y de aquí para acá, esta relación biunívoca?

[20] Es que es para los dos lados.

[21I] Es para los dos lados?

[21] Es para los dos lados, porque cada secante determina un triángulo. Y ese triángulo te determina exactamente. Bueno, en realidad lo que pasa es que al colocar una secante tú tienes un triángulo. Y esa secante tiene una pendiente ¿no es cierto? que con el triángulo tú calculas la pendiente. Ya, si tienes este valor que esta acá está aquí, igual tienes el triángulo y tienes la pendiente o sea al tener la pendiente tú tienes la recta, entonces es lo mismo {KoT: conexión intraconceptual entre SGC y AO}.

Esto quiere decir, mira:

Este triángulo es para ambos lados, este ayuda en un nuevo sentido, o si tú no quieres eso tienes otro objeto que te ayuda a los dos sentidos, área. Área convergente a cero. [22I] Entre la curva y ese triángulo que se forma ahí el área si tiende a cero. [22] Hay otra forma. Otra forma de ver lo mismo, por la izquierda y por la derecha.

Porque el puede ser positivo o negativo. Todas esas cosas son verdad ¿Qué otra cosa puede? ¿Qué otra cosa podría relacionar a eso a ver? Que otra idea, podría aparecer aquí….

TERCERA SESIÓN Este sería el caso en que la función, ¿no sea diferenciable?

[23] Y ahí te lo estoy dibujando, entonces cuando la cosa es así, ese cono se reduce a un único punto KoT: A2.1, definiciones, propiedades, fundamento}, que es el vector normal, o sea ese cono es una medida de la no diferenciabilidad de tu función. Mirando del punto de vista de la ortogonalidad de los vectores normales, uno podría llegar a decir lo siguiente: que la no diferenciabilidad de una función en un punto, es en cierta medida determinada por el cono de los vectores normales en ese punto {KPM: C1.2, argumentos lógicos, como formas de validar en matemáticas} ¿Y cómo se calcula eso? Se toma por el lado izquierdo la derivada lateral, y con esas dos semirrectas tú formas un cono, en el espacio que te mueves si ese cono se reduce a un punto, quiere decir que ambas laterales coinciden y entonces hay un único vector normal KoT: A2.1, definiciones, propiedades, fundamento}.

215

[24I]¿Entonces este cono? ¿Tú estás pensando en más dimensiones o en el plano?

[24] No, No, No, en el plano, lo deje en pero puede ser en el plano hay un cono, pum pum.

[25I] O sea, por ejemplo, si yo pienso en el valor absoluto.

[25]Claro, el valor absoluto es una buena cosa, tú tienes el valor absoluto aquí, y tú es exactamente ese, ese conjunto.

[26I] Ese es el espacio donde están los vectores normales.

[26]Ese es la derivada extendida de la función módulo, es un conjunto. Si tú quieres la derivada normal, como quieras ¿Entiendes?

[27I] Sí, sí.

[27]O sea ya en un punto no es un vector, es un conjunto de vectores, entonces esto es un conjunto de vectores, en este caso es todo este cono que está aquí.

[28I] Entonces, cuando la función se hace suave el cono se reduce.

[28]Se va cerrando a un punto, entonces tienes el vector normal y tienes su tangente, aquí no tienes un único vector hay miles de tangente que pasan por ese punto, no es posible definir hay muchas que pasan por ese punto, pero no hay una única.

[29I] Entonces, la diferenciabilidad tiene la unicidad como equivalencia.

[29]Es diferenciable si ese conjunto es un singleton, pero yo creo que lo que tú puedes hacer, es mostrar en el plano, el ejemplo.

[30I] En el plano.

[30]Mostrar el ejemplo, de una función que tiene esa recta tangente y tiene un vector normal y después una que no, el módulo por ejemplo que tiene más, no tiene un único vector se puede llamar normal, en realidad como en la, …cuando tú tienes derivación las pendientes por la izquierda y por la derecha coinciden determinan una única recta aquí no, las pendientes no coinciden por lo tanto determinan dos rectas, una pendiente por la izquierda y una por la derecha y todas las rectas que se encuentran entre esas dos pendientes forman el cono, el cono de vectores {KMT: E3.1, estrategias apropiadas para el aprendizaje de la DPL}. [31] O sea podría decir así, para los niños que se están iniciando por ejemplo en el curso primero, si se forma el cono la función no es diferenciable.

[32I] Ya otra consulta, que rol vez aquí con respecto a la derivada en esto en esta parte. A perdón, la velocidad.

[32]A la velocidad, la velocidad está asociada a la curva.

[33I] ¿Podría ser un elemento entre Tarjeta1 y Tarjeta2, o tú ves solamente lo del triángulo?

[33] No, no, aquí la situación cambia, porque resulta que el concepto de velocidad se refiere a curvas, cierto, curva en el plano en este caso, obviamente cada gráfico se puede interpretar como una curva, en donde el tiempo es la variable real, o sea que digamos que.

[34I] Raya, raya todas las hojas que quieras.

[34] Si yo tengo esto, esta curva esta función entonces, yo considero, digamos así donde ahora es la variable real yo puedo mirar esto como una curva y para cada punto yo tengo el valor y

entonces, la curva viene dada por . Muy bien, pero el concepto de curva es mucho mayor que el concepto de gráfico porque hay curvas que no son gráficos.

[35I] Claro.

[35]Igual tiene sentido hablar de velocidad, entonces el concepto de velocidad es intrínseco a la curva no es intrínseco al espacio donde, … Aquí me voy a meter en un problema más grave, pero me voy hacer el tonto yo mismo.

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[36I] Ya.

[36]Se puede explicar lo que voy a decir, el concepto, te das cuenta, tú necesitas un ambiente, para que exista un vector que este en ese ambiente, pero no depende de la coordenada y la coordenada no depende de eso.

[37I] ¿O sea depende de la curva?

[37] Depende de la curva, y del tiempo que ahora el no puede ser tomado como tiempo, porque si tu miras ese caso ya no es el gráfico de una función tienes que mirar el tiempo en otro lado tu curva gamma parte en un tiempo que no es el pero va a parar al plano ahora, cierto, tu curva en este caso, aquí era el , y llevar al plano cierto pero ahora tu curva gamma va a parar de un tiempo fuera ya no es el acá entonces sino, si eso fuese así no podría ser una gráfica.

[38I] Claro, tú te refieres en realidad el concepto está asociado a curvas paramétricas.

[38]A curvas paramétricas, exactamente sí depende del tiempo, para hablar de velocidad.

[39I] Okey, entonces aquí yo no necesito mostrarle la velocidad.

[39] Pero la tienes, pero la tienes, porque aquí tu puedes llamar a esta gráfica donde es el y esa es una curva paramétrica.

[40I] Claro.

[40]Lo que yo estoy diciendo que el concepto de velocidad es para una curva y una curva es más general que el gráfico de una función, pero el gráfico de una función se puede interpretar.

[41] Cierto y en ese caso, y en ese caso que es lo que es el es . Este uno representa como se llama, exactamente la derivada.

[42I] ¿Estoy mirando acá no? el eje dices tú. ¿Cuál uno?

[42] Este, estoy mirando aquí como curva la que es y la segunda componente de esta cosa representa.

[46MC]Entendéis. Entonces la pregunta es ¿qué representa este uno? Acá vamos a ver un ejemplo .

[47I] Ya

[47MC] entonces digamos que , entonces tengo el punto , digamos que , estoy aquí no es cierto entonces igual a uno por aquí un medio igual a uno aquí, entonces ese 1 justamente es el que te normaliza y te da toda la recta pero ahora concentrada en el origen o sea si tienes una recta allá con esa pendiente ahora esa misma la trasladas y la pones aquí, porque ese 1 garantiza el traslado con la misma pendiente, no sé si me entiendes lo que quiero decir.

Profesor (P2) ENTREVISTA REALIZADA EL 22 DE ABRIL DE 2017 Antes de comenzar las preguntas le explico los tres aspectos de la derivada. Los aspectos, refieren a los modos que se han planteado para la derivada, se presentan en tarjetas: Tarjeta 1: SGC; Tarjeta 2: AO; Tarjeta 3: AE.

PREGUNTAS:

[I]: ¿Qué elementos de la matemática cree usted que relacionan los aspectos de la derivada en la tarjeta 1 y 2?

[1]Particularmente lo que yo creo, una buena explicación de los elementos que están en la fórmula de la derivada en cuanto a función y como ellos aparecen en la derivada en su aspecto geométrico, una buena explicación detallada, de cada uno de estos elementos de los términos de la fórmula, la derivada con el aspecto geométrico.

[I]¿Y Cuáles serían estos elementos?

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[2] Primero es que usted puede fijar el f(x) del punto P y puede decir que f(x+h) es el extremo del triángulo, en conexión con el punto Q, o puede ser mirando cualquier punto del otro lado, a la izquierda o derecha de P. {KoT: A2.1 propiedades} Con relación al cociente, usted, tiene un triángulo, con eso estamos pensando en el límite, con relación al cociente, usted, tiene un triángulo y con eso relaciono, el valor de h que es lo que define el cateto del triángulo {KoT: propiedades}

Entonces, el límite me da la tangente, porque con este cociente sólo tengo la pendiente de esas secantes. (se muestra fotografía del pizarrón) Figura 4.17.

[3] El ángulo de tangencia da exactamente la pendiente de la recta tangente, cuando h tiende a cero {KoT: A2.1, definición}. Para mí el concepto que hace la ligazón entre los dos es perfectamente el triángulo rectángulo, porque estoy usando implícitamente que el ángulo está formado entre dos catetos del triángulo {KoT: conexión intraconceptual, entre SGC y AO}. [I]¿Qué otro elemento matemático o no matemático podría ser un conector entre estos dos aspectos?

[4]No encuentro otro, para mí el dibujo del triángulo es el que conecta el modelo geométrico de la derivada con la expresión de la derivada a través del límite {KoT: conexión intraconceptual}. [I]Podría estar en el concepto de límite? La intención de esta pregunta va dirigida a la consideración como elemento que da paso a la comprensión del modo estructural de la derivada.

[5] Si yo pienso en el límite puntual… para retornar al general?, es una buena pregunta, no he pensado esa situación (pausa...), Ah, pero lo que usted tiene acá (toma tarjeta 2), es que, si hay un cuantificador universal, con eso considero el intervalo completo, para ver lo global, entonces, esto va de lo local a lo global.

[I]Luego, vuelve a reflexionar sobre la tarjeta 1 y2.

[6]Generalmente cuando yo me detengo a mirar, cuando construyo un modo de pensar en ello, construyo una relación de equivalencia, ir y venir, para mí la relación de equivalencia es dada sólo por el triángulo, nunca pensé en que podría ser otro elemento. {KoT: A2.1 conocimiento de conceptos} . Bien, otra pregunta,

[I]Puse unas flechas en la representación gráfica para indicar la idea de movimiento, le llamé el aspecto GGC de la derivada, ¿Qué piensas de eso?

[7]De un punto de vista matemático, es un poco vago, usted define de cierta manera una relación de equivalencia, con estas secantes que se aproximan a la tangente, pero considero que falta rigor matemático, en el sentido que es necesario demostrar la existencia de esta convergencia {KPM: C1.1, emplea argumentos lógicos para ver convergencia} yo digo que sólo por el dibujo, me faltaría, no es posible probar eso, me faltarían otras herramientas de la matemática. La cuestión es probar la no existencia de la función derivada por un límite {KPM: C1.1, emplea argumentos lógicos para ver convergencia}, que convencer a alguien geométricamente!

[8] “Podría ser una función continua en todas partes sin embargo no ser diferenciable en ninguna {KPM: C1.3 conoce significado de definición y su uso en la matemática}. En este caso, pienso que podría ser una idea didáctica de trabajar el concepto, por ejemplo mi profesor para enseñar continuidad, para alumnos de primer año, partía haciéndonos pasar un lápiz por una gráfica {KMT: conocimiento de estrategias para enseñar la continuidad}, para mostrar la continuidad de funciones, pero está claro que el concepto matemáticamente no es eso. Los contra- ejemplos son importantes {KPM: C1.2, conoce argumentos lógicos para validar}. [I] Entonces… ¿Que nombre le daría a la representación gráfica de la derivada?

[9]El dibujo que mejor representa la expresión de la derivada, le llamaría modelo geométrico de la derivada, es lo que muestra la tarjeta 1 {KoT: A3.1, representación geométrica de la derivada}. [I] Pensando en el aspecto AO y AE de la derivada, ¿qué elementos matemáticos cree usted que conectan estos dos aspectos de la derivada? ¿Cómo los conectaría?

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[10]Cómo yo los conectaría? Bien, en cuanto a la relación anterior ver el modelo geométrico como la representación geométrica del modelo AO, el AE es una generalización del AO {KoT: A3.3, representación} en el sentido que usted ya no está preocupado de los puntos y simplemente se quiere, desde un punto de vista de las relaciones, AE generaliza al AO {KPM: C1.1, emplea argumentos lógicos para ver convergencia}. [11] De un punto de vista didáctico, sólo con funciones reales y de variable real, el alumno podría ver la recta de esta tarjeta (tarjeta 1) como la mejor aproximación, sólo local, además el alumno debe y es muy necesario que tenga un buen conocimiento del modo que presenta la tarjeta 2 (AO){KoT: A3.2, representación; KFLM: D1.2, reconoce la potencialidad de que los estudiantes conozcan este modo} es decir un total dominio del AO para comprender y pasar a AE, en el sentido que en la mayoría de los casos, los alumnos son más concretos que abstractos{KFLM: D2.1, formas de interacción} , como es mi caso, con ejemplos concretos es más fácil comprender la generalización, {KMT: E3.1 conocimiento de ejemplos; KFLM: D1.1, fortalezas y dificultades de los estudiantes} que generalizar y después comprender casos específicos {KFLM: D1.1, fortalezas y dificultades de los estudiantes} . [I]Usted dice que el alumno debe construir a través de problemas concretos, ¿se refiere a que debe aplicar las propiedades de la función derivada?, usar los teoremas?

[12]Me refiero a que debe tener un buen conocimiento de las funciones básicas {KMLS: F3.1, secuencia con temas anteriores, indicio}, resolver problemas con regla de la cadena, las propiedades, la derivada de la suma es la suma de las derivadas, {KSM: B1.1, relaciona con contenidos posteriores} etc. pero más importante es un buen conocimiento de las funciones {KMLS: F3.1, secuencia con temas anteriores}. Interesa que el alumno retenga el conocimiento y en el aspecto de la estructura debe abstraer al espacio de funciones y conocer operadores lineales y obviamente el operador derivada, me refiero al aspecto global de la derivada... {KMLS: F3.1, secuencia con temas posteriores}, [13]Otro concepto muy importante es el concepto de continuidad, que es un concepto impuesto de la matemática, {KPM: C2.1, conoce la importancia matemática de la continuidad} no es tan natural trabajar con éste y creo que las funciones continuas son la respuesta. [14]Yo me acuerdo como fui enseñado, mi profesor dijo. “señores olvídense de los puntos, ahora trabajamos con funciones” es decir queremos hacer álgebra lineal en un espacio vectorial de dimensión infinita que es el espacio de las funciones y vemos la derivada como la primera transformación lineal, como es lo que muestra la tarjeta 3. {KSM: B1.1 relaciona con contenidos posteriores}. En ese caso particular si tiene sentido la mejor aproximación. {KoT: A3.3 conoce la derivada como mejor aproximación}. [I] ¿Entonces, si conecta la representación geométrica con AO a través del triángulo rectángulo, las funciones continuas hacen entonces esta conexión, AO con AE?

[15]Si en AO fijamos la función, en el AE ya no la fijamos más, son las transformaciones lineales por sobre las funciones, que son los operadores y obtengo propiedades más generales y considero muy importante que el estudiante tenga muy comprendido las funciones continuas junto con sus contra ejemplos {KPM: C2.1, la continuidad como condición necesaria}. [I] ¿Cómo ve la relación del modo geométrico con AE?

[16]Obviamente que tiene relación, para mí cuando pienso en la tarjeta 3 de la derivada, pienso en el espacio de funciones de dos variables, tres variables, funciones de y en todas se puede definir la derivada, {KSM: conexiones de complejización, indicio} .No veo mucha relación excepto cuando aplicamos al caso de funciones de una variable y de variable real, es decir, esa la puedo representar geométricamente como en las tarjetas, y se pueden conectar estas dos tarjetas (Tarjeta 2 y3) con la pendiente {KoT: A4.1, conexión intraconceptual}. [I] Que piensa de la forma como se presentan estos aspectos de la derivada? ¿Usted como docente, cuando enseña este concepto cómo lo explica?

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[17]Nunca he visto el aspecto de AE en mis clases, he dictado cursos de cálculo I y II, y empiezo con la idea del cero, es decir, construyo la definición con un ejemplo de la velocidad media, refinando hasta llegar al concepto, con un caso específico, construyo el triángulo rectángulo hasta llegar a la definición formal, se toma el dibujo y se explica con el triángulo la idea matemática. {KMLS: F3.2, reconoce el programa y su organización}. [18] La velocidad es un estímulo concreto para comprender la derivada, pero existen alumnos que no entienden desde lo concreto, es raro, pero acontece. {KMT: E3.1, como ejemplo}. [I]Qué importancia tiene para usted la enseñanza el concepto?

[19]Antes de pensar en la derivada, creo que la continuidad es una definición que es puramente matemática un concepto impuesto que no es natural y abstracto {KoT: A2.1, conceptos}, por lo que es más complejo para entender por parte del alumno. {KFLM: D1.1, fortalezas y dificultades de los estudiantes}. [20]Creo que sería importante enseñar estos tres aspectos. Para estudiantes matemáticos, ingeniería, física, etc. es importante mostrar cómo el operador derivada se aplica en su área, quiero decir que se debe contextualizar.

[21]La primera vez que vi el aspecto AE de la derivada fue cuando empecé el prostgrado de magister, Si los alumnos entienden el AE es mejor para ellos.

Profesor (P3) ENTREVISTA REALIZADA EL 2 DE JUNIO DE 2017 PRIMERA PARTE Se presentan las tarjetas y se plantea una reflexión para la comprensión de la derivada en la enseñanza.

[I] ¿qué reflexión le sugieren estas tarjetas, pensando en la enseñanza de la derivada?

[2] La tasa de variación, es un elemento que está en la construcción geométrica {KoT: A3.1 registro de representación, indicio}. Sin duda y tú puedes entrar en la estructura subyacente, es un conjunto complejo.

[3] En el concepto de continuidad es un concepto clave, y tiene como estructura matemática el de variedad, cada uno de estos conceptos coinciden. {KSM: conexiones interconceptuales, continuidad y variedad}. [4] Desde el punto de vista teórico, lo más claro es que se ve como la potencia de los números reales

, lo hace en sí mismo muy complejo como sistema, debido a que en convergen distintas estructuras que finalmente son equivalentes, {KoT: A3.3, fenomenología, indicio}. [5] Se puede ver que la integración por ejemplo tiene una estructura subyacente que es el espacio de medida, formado por conjuntos medibles, mientras en la diferenciación subyace la estructura de variedad diferenciable, es muy difícil ver en la diferencia de estas estructuras. {KoT: A5.2, fenomenología}, {KPM: proceder}. [6] Esta es la parte compleja de la enseñanza, primero con la integración y después la derivada, y al final la estructura de R, es complejo para los estudiantes ver que la estructura de los números reales está subyacente en la continuidad, en el límite y en la definición de la derivada. {KFLM: dificultades; KMLS: secuencia de contenidos} [7] Hay que salir de para ver las estructuras que sustentan los conceptos de integración y diferenciación {KSM: conexiones interconceptuales; indicio}, y existe el teorema fundamental del cálculo que hace que las dos estructuras sean equivalentes y esto pasa en . {KoT: fenomenología} [8] Explicar desde la mejor aproximación me parece muy bueno, ya que los estudiantes podrían tener una comprensión global de la derivada {KoT: A3.3, interpretación de la derivada como mejor aproximación}, (Se refiere a la comprensión más amplia del concepto}.

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[9] Si tu estas en la luna y miras la tierra ves la curva, pero si estas en la tierra ves la recta. Es un ejemplo sencillo, que los estudiantes comprenden perfectamente. {KMT: analogía como estrategia de enseñanza} [IP ¿Usted dice que se debe enseñar con esta idea de aproximación?

[10] Hay que considerar que la derivada es un concepto local, {KoT: A2.1, propiedades}. y tú puedes decir que estas en un punto y en ese punto tienes la recta tangente, y un elemento importante acá es la pendiente de esta recta. Con estos elementos tú puedes explicar la relación que hay en estas tarjetas. La recta tangente de la tarjeta 1, está relacionada directamente con la tarjeta 3, en el sentido que en la cercanía del punto esa recta es la misma curva y funciona en los dos sentidos. {KoT: conexión intraconceptual, indicio} [I] ¿Cómo relaciona las tarjetas y cómo explicaría a sus estudiantes?

[11] Considero que para un estudiante sería importante entender la idea de aproximación lineal, {KMT: intencionalidad como estrategia, técnica, tarea} para completar lo que se presenta en la tarjeta 1 y 2, se ve claro que el estudiante debe conectar su representación geométrica con la idea de límite, y eso se conecta con la razón que se produce en el triángulo rectángulo, esto cuando se explica la tasa de cambio. {KoT: A4.1, conexión intraconceptual}. En cuanto a la relación de las tarjetas 2 y 3, primero el estudiante debe saber que la m (pendiente) viene de la definición de la derivada por límite, entonces, esto es lo siguiente: Figura 4.18.

[12] Bueno, [pausa], considerando que los estudiantes saben de funciones, {KFLM: 3.1, intereses y expectativas}. Conocen la definición de función lineal y R como espacio vectorial, esto se puede explicar de manera simple. Entonces: Figura 4.19.

SEGUNDA PARTE DE LA ENTREVISTA Esta parte de la entrevista se centró en desarrollar ideas que favorecen la incorporación del modo analítico estructural AE, definido en el modelo de comprensión profunda para la DPL. La imagen que sigue corresponde a una fotografía tomada del pizarrón, donde explica los aspectos teóricos del ejemplo que desarrolla. La fotografía que se presenta es una muestra, del proceder del profesor, para entender cómo se desarrolla la entrevista y se transcribe y enumeran los pasos que realiza en el ejemplo dado que éste lo ha usado durante todo el relato. Figura 4.14. Para el análisis de esta parte se realiza una identificación por línea, con el objetivo de que el lector siga el orden que se llevó en las producciones del profesor.

13

14

15

16 Donde =0 ¿Cuál es la garantía de que tiene toda la parte lineal?

17 Si tuviera parte lineal, se tendría:

18 Un ejemplo: que permite mostrar la función lineal que mejor aproxima a una curva en torno a un punto. Desde la perspectiva local.

19 Suponemos de manera inicial, la función que cumple:

221

20 Vamos a considerar una función lineal cualquiera L(x), la pregunta a responder será ¿L(x), será la mejor aproximación de en torno a

21 ,

Una aproximación de la curva, en torno al cero, pero sin embargo veremos que no es la mejor

22 ¿Cómo lo pruebo?

23

24 Tiene parte lineal, por tanto, no es la mejor aproximación, ya que:

25

26 Lo que indica que , es la mejor aproximación de en torno a , y corresponde exactamente a la derivada de .

27 Si es cualquier función que no pasa por el origen se tiene que se puede escribir de la forma:

,

28 Como

29

30 , que corresponde a la derivada de en

31 Corolario:

32 Lineal, es la transformación lineal que mejor aproxima a en cero. Si, . Donde , es una función que contiene toda la parte lineal de la función.