por qué y para qué estudiar cohomología de de rham p-ádica y su versión logarítmica
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Por que y para que estudiar cohomologıa de De
Rham p-adica y su version logarıtmica
Congreso de la SMM 2016
Geometrıa Algebraica
Dr. J. Rogelio Perez Buendıa
CONACyT-CIMAT Merida
26 de octubre de 2016
Motivacion: Soluciones de ecuaciones sobre campos finitos
I k un campo finito con q elementos; podemos pensar que
k = Fp.
I k una cerradura algebraica de k que mantendresmos fija.
I kn la extension finita de grado n de k dentro de k.
I X ! Spec(k) una variedad algebraica (proyectiva) sobre k.
I Nn = Nn(X ) := |X (kn)| el numero de puntos kn-racionales de
X .
Motivacion: Soluciones de ecuaciones sobre campos finitos
I k un campo finito con q elementos; podemos pensar que
k = Fp.
I k una cerradura algebraica de k que mantendresmos fija.
I kn la extension finita de grado n de k dentro de k.
I X ! Spec(k) una variedad algebraica (proyectiva) sobre k.
I Nn = Nn(X ) := |X (kn)| el numero de puntos kn-racionales de
X .
Motivacion: Soluciones de ecuaciones sobre campos finitos
I k un campo finito con q elementos; podemos pensar que
k = Fp.
I k una cerradura algebraica de k que mantendresmos fija.
I kn la extension finita de grado n de k dentro de k.
I X ! Spec(k) una variedad algebraica (proyectiva) sobre k.
I Nn = Nn(X ) := |X (kn)| el numero de puntos kn-racionales de
X .
Motivacion: Soluciones de ecuaciones sobre campos finitos
I k un campo finito con q elementos; podemos pensar que
k = Fp.
I k una cerradura algebraica de k que mantendresmos fija.
I kn la extension finita de grado n de k dentro de k.
I X ! Spec(k) una variedad algebraica (proyectiva) sobre k.
I Nn = Nn(X ) := |X (kn)| el numero de puntos kn-racionales de
X .
Motivacion: Soluciones de ecuaciones sobre campos finitos
I k un campo finito con q elementos; podemos pensar que
k = Fp.
I k una cerradura algebraica de k que mantendresmos fija.
I kn la extension finita de grado n de k dentro de k.
I X ! Spec(k) una variedad algebraica (proyectiva) sobre k.
I Nn = Nn(X ) := |X (kn)| el numero de puntos kn-racionales de
X .
La funcion Z de Weil
Weil, A. (1949). Numbers of solutions of equations in finite fields.
Bull. Amer. Math. Soc, 1–12.
ZX (t) := exp
1X
s=1
Ns(X )ts
s
!2 Q[[t]]. (0.1)
Notar que si yo conozco a la funcion Z (X ) entonces podemos
recuperar a los numeros Ns .
La funcion Z del espacio proyectivo
Ejemplo
Si X = Pnk entonces Ns(X ) = qs(n+1)+1
qs�1 =Pn
i=0 qsi
Entonces:
1X
s=1
Nsts
s=
1X
s=1
nX
i=0
qsi ts
s
!=
1X
s=1
nX
i=0
(qi t)s
s
!
que usando la identidad: � ln(1� t) =P1
s=1ts
s obtentemos:
ZX (t) =1
(1� t)(1� qt) · · · (1� qnt).
-
Las Conjeturas de Weil
Supongamos que X es suave y proyectiva sobre el campo finito k.
I Racionalidad: La funcion ZX (t) es una funcion racional en t,
es decir ZX (t) 2 Q(t)
I Ecuacion Funcional: Existe un numero E (la caracterıstica
de Euler) tal que:
ZX
✓1
qnt
◆= ±qnE tEZX (t).
I Analogo a la Hipotesis de Riemann: La funcion Z se puede
escribir de la forma:
ZX (t) =P1(t)P3(t) · · ·P2d�1(t)
P0(t)P2(t) · · ·P2d(t)
en donde d = dimX , P0(t) = 1� t; P2d(t) = 1� qd t y para
el resto se tiene que Pi (t) =Q(1� ↵ij t), con los ↵ij enteros
algebraicos con valor absoluto igual a qi/2.
Las Conjeturas de Weil
Supongamos que X es suave y proyectiva sobre el campo finito k.
I Racionalidad: La funcion ZX (t) es una funcion racional en t,
es decir ZX (t) 2 Q(t)
I Ecuacion Funcional: Existe un numero E (la caracterıstica
de Euler) tal que:
ZX
✓1
qnt
◆= ±qnE tEZX (t).
I Analogo a la Hipotesis de Riemann: La funcion Z se puede
escribir de la forma:
ZX (t) =P1(t)P3(t) · · ·P2d�1(t)
P0(t)P2(t) · · ·P2d(t)
en donde d = dimX , P0(t) = 1� t; P2d(t) = 1� qd t y para
el resto se tiene que Pi (t) =Q(1� ↵ij t), con los ↵ij enteros
algebraicos con valor absoluto igual a qi/2.
Las Conjeturas de Weil
Supongamos que X es suave y proyectiva sobre el campo finito k.
I Racionalidad: La funcion ZX (t) es una funcion racional en t,
es decir ZX (t) 2 Q(t)
I Ecuacion Funcional: Existe un numero E (la caracterıstica
de Euler) tal que:
ZX
✓1
qnt
◆= ±qnE tEZX (t).
I Analogo a la Hipotesis de Riemann: La funcion Z se puede
escribir de la forma:
ZX (t) =P1(t)P3(t) · · ·P2d�1(t)
P0(t)P2(t) · · ·P2d(t)
en donde d = dimX , P0(t) = 1� t; P2d(t) = 1� qd t y para
el resto se tiene que Pi (t) =Q(1� ↵ij t), con los ↵ij enteros
algebraicos con valor absoluto igual a qi/2.
Las Conjeturas de Weil: Los Numeros de Betti
Si hacemos Bi := degPi (t) y lo llamamos el i-esimo numero de
Betti de X . Entonces se cumple que:
E =X
(�1)iBi
Recordemos que E aparece en la ecuacion funcional y puede ser
calculado explıcitamente como el numero de autointerseccion de la
diagonal � ⇢ X ⇥ X o como la clase mas grande de Chern del haz
tangente de X .
Si X tiene un levantamiento a caracterıstica cero
Mas aun: Si X se obtiene como la reduccion (en un primo) de una
variedad Y definida sobre un anillo de enteros de un campo
numerico, entonces Bi (X ) coincide con con el numero de Betti de
YC.
¿Existe una teorıa de cohomologıa p-adica que tenga estos
numeros de Betti?
Weill sugirio que deberıa de existir una teorıa de cohomologıa para
variedades en caracterıstica p que nos calcule los numeros de Betti
Bi (X ).
I La racionalidad y la ecuacion funcional la demostro Dwork
usando tecnicas de analisis p-adico (1960).
I Es deseable que esta tenga coeficientes en caracterıstica cero.
I El resto de las conjeturas fueron demostradas por Deligne
(1974) usando cohomologıa `-adica y usando las ideas de
Grothendieck.
¿Existe una teorıa de cohomologıa p-adica que tenga estos
numeros de Betti?
Weill sugirio que deberıa de existir una teorıa de cohomologıa para
variedades en caracterıstica p que nos calcule los numeros de Betti
Bi (X ).
I La racionalidad y la ecuacion funcional la demostro Dwork
usando tecnicas de analisis p-adico (1960).
I Es deseable que esta tenga coeficientes en caracterıstica cero.
I El resto de las conjeturas fueron demostradas por Deligne
(1974) usando cohomologıa `-adica y usando las ideas de
Grothendieck.
¿Existe una teorıa de cohomologıa p-adica que tenga estos
numeros de Betti?
Weill sugirio que deberıa de existir una teorıa de cohomologıa para
variedades en caracterıstica p que nos calcule los numeros de Betti
Bi (X ).
I La racionalidad y la ecuacion funcional la demostro Dwork
usando tecnicas de analisis p-adico (1960).
I Es deseable que esta tenga coeficientes en caracterıstica cero.
I El resto de las conjeturas fueron demostradas por Deligne
(1974) usando cohomologıa `-adica y usando las ideas de
Grothendieck.
Interpretacion cohomologica: El morfismo de Frobenius
Sea X := X ⌦K k.
I Un campo k de caracterıstica p es perfecto, si su Frobenius
� : k ! k; x 7! xp es suprayectivo. Supongamos entonces que
nuestro campo k es perfecto (campos finitos son perfectos,
tambien su cerradura algebraica).
I El morfismo de Frobenius f : X ! X es definido de tal
manera que en los puntos k racionales de X actua como xxp
(el Frobenious k-lineal). Es decir:
f : X (k) ! X (k); x 7! xp
xᴾ
Interpretacion Cohomologica: Puntos fijos
I p 2 X (k) es un punto fijo de f si, y solo si p 2 X (k).
I Mas generalmente, p 2 X (kn) si, y solo si p es un punto fijo
de f n.
I Por lo anterior:
Ns(X ) = # {puntos fijos de f s} =: L(f s , X )
I Formula de putos fijos de Lefschetz: Si X una variedad
suave y propia sobre un campo k, y si f : X ! X es un
morfismo con puntos fijos aislados con multiplicidad 1,
entonces el numero de puntos fijos de f se puede calcular
como:
L(f ,X ) =X
(�1)iTr(f ⇤;H i (X ))
Interpretacion cohomologica: En la funcion Z
Ası tenemos que:
ZX (t) =2dY
i=0
"exp
1X
s=1
Tr(f s⇤,H i (X ))
!#(�1)i
(0.2)
Y con un poco de algebra lineal:
ZX (t) =P1(t)P3(t) · · ·P2d�1(t)
P0(t)P2(t) · · ·P2d(t)(0.3)
con Pi (t) = det(1� f ⇤t;H i (X )).
Esto implica que ZX es racional con coeficientes en el anillo de
coeficientes de la cohomologıa. Tambien se puede ver (ver
Hartshorne) que con esto se concluye que E =P
(�1)iBi .
En busca de una buena cohomologıa p-adica
I Cohmologıa de De Rham de X (definida por Grothendieck)
tiene coeficientes en k (No es buena).
I FAC: Las cohomologıas de gavillas coherentes definidas por
Serre no son buenas.
I La cohomologıa de Dwork- Monsky - Washnitzer para
variedades afines suaves: Se tiene una expresion de la funcion
Z en terminos de esta cohomologıa. Tiene coeficientes de
caracterıstica zero. En su tiempo no se sabıa si era de
dimension finita.
En busca de una buena cohomologıa p-adica
I Cohmologıa de De Rham de X (definida por Grothendieck)
tiene coeficientes en k (No es buena).
I FAC: Las cohomologıas de gavillas coherentes definidas por
Serre no son buenas.
I La cohomologıa de Dwork- Monsky - Washnitzer para
variedades afines suaves: Se tiene una expresion de la funcion
Z en terminos de esta cohomologıa. Tiene coeficientes de
caracterıstica zero. En su tiempo no se sabıa si era de
dimension finita.
En busca de una buena cohomologıa p-adica
I Cohmologıa de De Rham de X (definida por Grothendieck)
tiene coeficientes en k (No es buena).
I FAC: Las cohomologıas de gavillas coherentes definidas por
Serre no son buenas.
I La cohomologıa de Dwork- Monsky - Washnitzer para
variedades afines suaves: Se tiene una expresion de la funcion
Z en terminos de esta cohomologıa. Tiene coeficientes de
caracterıstica zero. En su tiempo no se sabıa si era de
dimension finita.
La cohomologıa de De Rham p-adica
I La cohomologıa Cristalina (Grothendieck-Berthelot). Funciona
bien para variedades propias y suaves que tienen un
levantamiento a caracterıstica cero.
I La cohomologıa Rıgida (Berthelot). Generaliza a la
cohomologıa cristalina y a la cohomologıa de
Monsky-Washnitzer. Funciona para el caso propio y suave. Es
de naturaleza global y se necesita hacer una compactificacion
para que funcione.
I La cohomologıa de De Rham p-adica de Zoghman Mebkhout
y Alberto Arabia.
La cohomologıa de De Rham p-adica
I La cohomologıa Cristalina (Grothendieck-Berthelot). Funciona
bien para variedades propias y suaves que tienen un
levantamiento a caracterıstica cero.
I La cohomologıa Rıgida (Berthelot). Generaliza a la
cohomologıa cristalina y a la cohomologıa de
Monsky-Washnitzer. Funciona para el caso propio y suave. Es
de naturaleza global y se necesita hacer una compactificacion
para que funcione.
I La cohomologıa de De Rham p-adica de Zoghman Mebkhout
y Alberto Arabia.
La cohomologıa de De Rham p-adica
I La cohomologıa Cristalina (Grothendieck-Berthelot). Funciona
bien para variedades propias y suaves que tienen un
levantamiento a caracterıstica cero.
I La cohomologıa Rıgida (Berthelot). Generaliza a la
cohomologıa cristalina y a la cohomologıa de
Monsky-Washnitzer. Funciona para el caso propio y suave. Es
de naturaleza global y se necesita hacer una compactificacion
para que funcione.
I La cohomologıa de De Rham p-adica de Zoghman Mebkhout
y Alberto Arabia.
Grothendieck dice:
Alexander Grothendieck writes on page 106 of“Recoltes et Semailles”
La“version Mebkhout”dont j’ai voulu me faire l’interprete, me semble
consister pour l’essentiel en les deux theses que voici: 1. Entre 1972 et
1979, Mebkhout aurait ete seul, dans l’indi↵erence generale et en
s’inspirant de mon oeuvre, a developper“la philosophie des D -Modules”,
en tant que nouvelle theorie des“coefcients cohomologiques”en mon
sens. 2. Il y aurait eu un consensus unanime, tant en France qu’au niveau
international, pour escamoter son nom et son role dans cette theorie
nouvelle, une fois que sa portee a commence a etre reconnue. [...] Je
viens d’avoir connaissance de plusieurs faits nouveaux, qui montrent qu’il
y a lieu de nuancer fortement le point 1 ci-dessus.
Estructuras Pre-Logarıtmicas
I X = (X ,OX ) un espacio anillado.
I Una estructura pre-logarıtmica es un par (P,↵) en donde P es una
gavilla de monoides (conmutativos con uno) y
↵ : P ! OX
es un morfismo de gavillas de monoides (con la estructura
multiplicativa en OX ).
Estructuras Pre-Logarıtmicas
I X = (X ,OX ) un espacio anillado.
I Una estructura pre-logarıtmica es un par (P,↵) en donde P es una
gavilla de monoides (conmutativos con uno) y
↵ : P ! OX
es un morfismo de gavillas de monoides (con la estructura
multiplicativa en OX ).
Morfismos de Estructuras pre-logarıtmicas
I Un morfismo � : (P,↵) ! (Q,�) consiste de un morfismo de
gavillas f : P ! Q tal que:
P
↵
f // Q
�~~OX
conmuta.
I Una estructura pre-logarıtmica (P,↵) es llamada idealizada si esta
dotada de una gavilla de ideales I ⇢ P con la propiedad de que
↵(I) = 0.
I Un morfismo de estructuras logarıtmicas idealizadas (id-pre-log-st)
� : (P,↵, I) ! (Q,�, J)
es un morfismo de pre-log-st tal que f (I) ⇢ J.
Categorıas de Estructuras Logarıtmicas
Denotamos por PreLogSt(X ) y por IdPreLogSt(X ) a las categorıas de
estructuras pre-logarıtmicas y de estructuras pre-logarıtmicas idealizadas
en el espacio anillado (X ,OX ).
A cada pre-log-st le podemos asociar una id-pre-log-st simplemente
considerando el ideal vacıo: (P,↵) ! (P,↵, ;).
Esta asociacion nos da un funtor que es adjunto izquierdo de el funtor de
la desidealizacıon.
Estructuras Logarıtmicas
Definicion
Una estructura pre logarıtmica (P,↵) es una estructura logarıtmica
(log-st) si
↵-1(O⇤X ) ' O⇤
X .
Es decir si P contiene a O⇤X vıa ↵.
Un morfismo entre (idealizadas) estructuras logarıtmicas, es un morfismo
de (idealizadas) pre-log-st.
Estructuras Logarıtmicas
Definicion
Una estructura pre logarıtmica (P,↵) es una estructura logarıtmica
(log-st) si
↵-1(O⇤X ) ' O⇤
X .
Es decir si P contiene a O⇤X vıa ↵.
Un morfismo entre (idealizadas) estructuras logarıtmicas, es un morfismo
de (idealizadas) pre-log-st.
A toda Pre-Log-St le corresponde una unica Log-St
El funtor de olvido:
LogSt �! PreLogSt
tiene un adjunto izquierdo de tal manera que a cada pre-log-st (P,↵) le
corresponde una unica log-st (Pa,↵a) con al propiedad de que cualquier
morfismo de pre-log-st:
(P,↵) �! (Q,�)
con (Q,�) una log-st se factoriza por ↵a:
(P,↵) //
$$
(Q,�)
(Pa,↵a)
OO
-a : PreLogSt ! LogSt
Pa esta definido por el producto amalgamado:
Pa := P�↵-1(O⇤X )
O⇤X
y ↵a esta dado por el diagrama cartesiano:
↵-1(O⇤X )
//
↵
✏✏
P
✏✏
↵
O⇤
X// Pa
↵a// OX
Ejemplos:
I La categorıa LogSt(X ) de estructuras logarıtmicas en X tiene un
objeto inicial, llamada la estructura logarıtmica trivial y esta dada
por la inclusion O⇤X ! O⇤
X .
I La categorıa (st.logX
) tambien tiene un objeto final dado por la
aplicacion OX ! OX .
I De hecho tenemos que la categorıa de esquemas es una subcategorıa
plena de la categorıa de esquemas con estructura logarıtmica (a
definir mas adelante), simplemente dotando a un esquema con su
estructura logarıtmica trivial.
Ejemplos:
I La categorıa LogSt(X ) de estructuras logarıtmicas en X tiene un
objeto inicial, llamada la estructura logarıtmica trivial y esta dada
por la inclusion O⇤X ! O⇤
X .
I La categorıa (st.logX
) tambien tiene un objeto final dado por la
aplicacion OX ! OX .
I De hecho tenemos que la categorıa de esquemas es una subcategorıa
plena de la categorıa de esquemas con estructura logarıtmica (a
definir mas adelante), simplemente dotando a un esquema con su
estructura logarıtmica trivial.
Ejemplos:
I La categorıa LogSt(X ) de estructuras logarıtmicas en X tiene un
objeto inicial, llamada la estructura logarıtmica trivial y esta dada
por la inclusion O⇤X ! O⇤
X .
I La categorıa (st.logX
) tambien tiene un objeto final dado por la
aplicacion OX ! OX .
I De hecho tenemos que la categorıa de esquemas es una subcategorıa
plena de la categorıa de esquemas con estructura logarıtmica (a
definir mas adelante), simplemente dotando a un esquema con su
estructura logarıtmica trivial.
Divisor Con Cruzamientos Normales
la estructura logarıtmica MD en X asociada al divisor D como:
MD(U) :=�g 2 OX (U) : g |U\D2 O⇤
X (U \ D) ⇢ OX (U).
El morfismo estructural esta dado por la inclusion, lo que hace de M una
estructuras pre-logarıtmicas. Para ver que es en efecto una estructura
logarıtmica basta notar que toda g 2 O⇤X esta trivialmente incluida en
MD .
El caso en que D sea un divisor con cruzamientos normales es especial.
Mas adelante veremos que en este caso el esquema logarıtmico es
log-suave. De hecho, la razon por la que es conveniente usar la
cohomologıa etale (en vez de la de Zariski) es porque el concepto de
cruzamientos normales es en la topologıa etale.
Divisor Con Cruzamientos Normales
la estructura logarıtmica MD en X asociada al divisor D como:
MD(U) :=�g 2 OX (U) : g |U\D2 O⇤
X (U \ D) ⇢ OX (U).
El morfismo estructural esta dado por la inclusion, lo que hace de M una
estructuras pre-logarıtmicas. Para ver que es en efecto una estructura
logarıtmica basta notar que toda g 2 O⇤X esta trivialmente incluida en
MD .
El caso en que D sea un divisor con cruzamientos normales es especial.
Mas adelante veremos que en este caso el esquema logarıtmico es
log-suave. De hecho, la razon por la que es conveniente usar la
cohomologıa etale (en vez de la de Zariski) es porque el concepto de
cruzamientos normales es en la topologıa etale.
Divisor Con Cruzamientos Normales
la estructura logarıtmica MD en X asociada al divisor D como:
MD(U) :=�g 2 OX (U) : g |U\D2 O⇤
X (U \ D) ⇢ OX (U).
El morfismo estructural esta dado por la inclusion, lo que hace de M una
estructuras pre-logarıtmicas. Para ver que es en efecto una estructura
logarıtmica basta notar que toda g 2 O⇤X esta trivialmente incluida en
MD .
El caso en que D sea un divisor con cruzamientos normales es especial.
Mas adelante veremos que en este caso el esquema logarıtmico es
log-suave. De hecho, la razon por la que es conveniente usar la
cohomologıa etale (en vez de la de Zariski) es porque el concepto de
cruzamientos normales es en la topologıa etale.
Imagen inversa
Sea f : X ! Y un morfismo de espacios anillados. Si MY es una
estructura logarıtmica en Y , podemos definir una estructura logarıtmica
en X como la estructura logarıtmica asociada a la estructura
pre-logarıtmica:
f -1(MY ) ! f -1(OY ) ! OX
Esta es llamada la estructura logarıtmica imagen inversa de MY bajo f y
es denotada por f ⇤(MY ) = f ⇤MY .
Morfismos de Esquemas Logarıtmicos
Definicion
Un morfismo de log-esquemas (de esquemas con una estructura
logarıtmica) X ! Y consiste de un morfismo de los respectivos esquemas
f : X ! Y
y un morfismo
f b : f ⇤MY ! MX
de estructuras logarıtmicas en X .
Denotamos por LogSch a la categorıa de esquemas con estructura
logarıtmica y son llamados log-sch o esquemas logarıtmicos.
Morfismos de Esquemas Logarıtmicos
Definicion
Un morfismo de log-esquemas (de esquemas con una estructura
logarıtmica) X ! Y consiste de un morfismo de los respectivos esquemas
f : X ! Y
y un morfismo
f b : f ⇤MY ! MX
de estructuras logarıtmicas en X .
Denotamos por LogSch a la categorıa de esquemas con estructura
logarıtmica y son llamados log-sch o esquemas logarıtmicos.
Layout
Esquemas Logarıtmicos
Esquemas Debilmente Completos Logarıtmicos
Esquemas Formales logarıtmicos
Esquemas Debilmente Completos
log-Diferenciales y Log-Suavidad
Cartas en Estructuras Logarıtmicas
Estructuras Logarıtmicas Finas
Diferenciales logarıtmicas y Morfismos log-suaves
Morfismo Estricto e Inmersion cerrada estricta
Definicion
Un morfismo f : X ! Y de log-equemas es llamado estricto si el
morfismo respectivo
f b : f ⇤MY ! MX
es un isomorfismo.
Es una inmersion cerrada estricta, si es estricto y el morfismo de
esquemas X ! Y es una inmersion cerrada.
Nota:
Consideremos el siguiente diagrama conmutativo de log-esquemas:
T0
� //
j
✏✏
X
f
✏✏T1
�// Y
con j una inmersion cerrada estricta definida por un ideal J tal que
J2 = 0.
Notemos que tanto T0
, como T1
tienen al mismo espacio topologico
subyacente. Ademas ambos tienen al mismo sitio etale.
Logarithmic geometry and moduli
Dan Abramovich, Qile Chen, Danny Gillam, Yuhao Huang, Martin Olsson,Matthew Satriano, and Shenghao Sun
Abstract. We discuss the role played by logarithmic structures in the theory ofmoduli.
Contents
1 Introduction 12 Definitions and basic properties 43 Differentials, smoothness, and log smooth deformations 84 Log smooth curves and their moduli 135 Friedman’s concept of d-semistability and log structures 196 Stacks of logarithmic structures 237 Log deformation theory in general 298 Rounding 339 Log de Rham and Hodge structures 3810 The main component of moduli spaces 4611 Twisted curves and log twisted curves 4912 Log stable maps 54
1. Introduction
Logarithmic structures in algebraic geometry
It can be said that Logarithmic Geometry is concerned with a method of findingand using “hidden smoothness” in singular varieties. The original insight comes fromconsideration of de Rham cohomology, where logarithmic differentials can revealsuch hidden smoothness. Since singular varieties naturally occur “at the boundary”of many moduli problems, logarithmic geometry was soon applied in the theory ofmoduli.
Foundations for this theory were first given by Kazuya Kato in [27], followingideas of Fontaine and Illusie. The main body of work on logarithmic geometry
2000 Mathematics Subject Classification. Primary 14A20; Secondary 14Dxx.Key words and phrases. moduli, logarithmic structures.
Compositio Mathematica 118: 11–41, 1999.© 1999 Kluwer Academic Publishers. Printed in the Netherlands. 11
Poincaré Duality for Logarithmic CrystallineCohomology
TAKESHI TSUJIResearch Institute for Mathematical Sciences, Kyoto University, Kyoto, 606-8502, Japan
(Received: 25 March 1997; accepted in final form: 9 March 1998)
Abstract. We prove Poincaré duality for logarithmic crystalline cohomology of log smooth schemeswhose underlying schemes are reduced. This is a generalization of the result of P. Berthelot forusual smooth schemes and that of O. Hyodo for the special fibers of semi-stable families and trivialcoefficients.
Mathematics Subject Classification (1991): 14F30.
Key words: logarithmic crystalline cohomology, Poincaré duality.
Introduction
Let k be a perfect field of characteristic p and letWm be the ring of Witt vectors oflengthmwith coefficients in k for a positive integerm. LetN (resp.Wm(N)) be oneof the following log. structures (in the sense of Fontaine–Illusie) on Spec(k) (resp.Spec(Wm)) ([K1]): (i) The trivial log. structure. (ii) The log. structure associated toN→ k (resp. Wm); 1 "→ 0.We consider an fs log. scheme (X,M) log. smooth ([K1] (3.3)) and univer-
sally saturated (Definition 2.17) over (Spec(k),N) whose underlying scheme isproper over k and of pure dimension n. Denote by f the structure morphism(X,M)→ (Spec(k),N). (In fact, for a smooth morphism of fs log. schemes g :(Y,MY )→ (Spec(k),N), g is universally saturated if and only if Y is reduced([T]). Furthermore, when N is trivial, g is always universally saturated.) In thecase (i) (resp. (ii)), a toric variety (resp. the special fiber of a semi-stable familyover a discrete valuation ring A with residue field k) is a typical example ([K1]Example (3.7)). In this paper, we prove Poincaré duality for the log. crystallinecohomology of (X,M) with coefficients in a locally free OX/Wm -module of finitetype. Since this can be applied to a proper smooth k-scheme with the trivial log.structure, this is a generalization of Poincaré duality for crystalline cohomology ofa proper smooth scheme ([B] VII). For the special fiber of a semi-stable family andtrivial coefficients, Poincaré duality has been proved by O. Hyodo, using de Rham–Witt complexes ([Hyo]). Since we want to treat twisted coefficients, we follow themethod of [B] VII in this paper.