1

KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN

OLASILIK DAĞILIMLARI

• Kesikli Üniform Dağılımı

• Bernoulli Dağılımı

• Binom Dağılımı

• Negatif Binom Dağılımı

• Geometrik Dağılım

• Hipergeometrik Dağılım

• Poisson Dağılımı

2

Kesikli Üniform Dağılımı • Kesikli bir şans değişkeni tanımlı olduğu tüm noktalarda eşit olasılık değerine sahip ise bir başka ifadeyle tanımlı olduğu değerlerin hepsinde olasılık fonksiyonun aldığı değer sabit ise bu kesikli şans değişkeni üniform dağılımına uygundur.

• Üniform dağılımı gösteren bir şans değişkeni k farklı noktada tanımlı ise olasılık dağılımı;

şeklinde ifade edilir.

d.d0

k....,3,2,1xk

1

)xX(P

3

Kesikli Üniform Dağılımının

Beklenen Değer ve Varyansı

2

1

2

)1(11)()(

11

kkk

kx

kxPxxE

k

xi

k

xii

12

)1)(1()(

kkxVar

• =

22 xExE)x(Var

2n

1x

2

2

1k

k

1x

4

)1k(

6

)1k2)(1k(k

k

1 2

4

Örnek: Hilesiz bir zar atıldığında X şans değişkeni

ortaya çıkabilecek farklı durum sayısını ifade ettiğine

göre X’in olasılık dağılımını oluşturarak beklenen

değerini ve varyansını bulunuz.

S = { x / 1,2,3,4,5,6 }

Ortaya çıkan olaylar eşit olasılıklı olaylar x şans

değişkeninin dağılımı k = 6 olan kesikli üniform

dağılımına uygundur.

12

35

12

)16)(16()(

xVar5,3

2

16)(

xE

dd

xxXP

.0

6,5,4,3,2,16

1

)(

6

Bernoulli Dağılımı

• Bir şans değişkeninin bernoulli dağılımı göstermesi için

ilgilenilen süreçte bernoulli deneyinin varsayımlarının

sağlanması gereklidir.

Bernoulli Deneyinin Varsayımları:

1. Deneyler aynı koşullarda tekrarlanabilirlik özelliğine sahip

olmalıdır.

2. Deneylerin yalnız iki mümkün sonucu olması gereklidir.

3. Başarı olasılığı (p), deneyden deneye değişmemektedir

(Başarısızlık olasılığı q = 1-p ile gösterilir)

4. Denemeler birbirinden bağımsız olmalıdır.

7

Örnekler:

• Bir fabrikada üretilen bir ürünün hatalı veya sağlam olması,

• Bir madeni para atıldığında üst yüze yazı veya tura gelmesi,

• Hilesiz bir zar atıldığında zarın tek veya çift gelmesi,

• Bernoulli deneyinde ortaya çıkan sonuçlardan

bir tanesi başarı durumu, diğeri ise başarısızlık

olarak ifade edilir. Bernoulli şans değişkeninin

dağılımı ifade edilirken deneyin sadece 1 kez

tekrarlanması gereklidir.

8

Bernoulli dağılışında X şans değişkeni başarı

durumu için 1, başarısızlık durumu için ise 0 değerini

alır.

• S = { x / 0,1 }

Bernoulli Dağılımının Olasılık Fonksiyonu;

m = E ( x ) = p s2= Var ( x ) = p (1-p) = pq

dd

xppxXP

xx

.0

1,0)1()(

1

9

Örnek: Bir deste iskambilden çekilen bir kağıdın as

olup olmaması ile ilgileniyor. As gelmesi başarı

olarak ifade edildiği durum için olasılık fonksiyonunu

oluşturunuz.

x = 0 (as gelmemesi) x = 1 ( as gelmesi)

S = { x / 0,1 }

P( X = 0 ) = 48 / 52 P( X = 1 ) = 4 / 52

dd

xxXP

xx

.0

1,052

48

52

4

)(

1

10

Binom Dağılımı • Birbirinden bağımsız n adet bernoulli deneyinin bir

araya gelmesi sonucunda binom deneyi gerçekleşir.

• Binom deneyinin gerçekleşmesi için bernoulli

deneyinin bütün varsayımlarının sağlanması gereklidir.

• Binom şans değişkeni X, n adet denemedeki başarı

sayısını ifade etmektedir.

• n denemede en az 0, en fazla n adet başarı

gözlenebileceğinden

S = { x / 0,1,2,……,n }

olur.

11

Binom Olasılık Fonksiyonunun

Elde Edilmesi

Gerçekleştirilen her bir Bernoulli deneyi birbirinden

bağımsızdır ve olasılık fonksiyonu

olarak ifade edilmiş idi. Bernoulli deneyi n defa

tekrarlandığı durumda toplam x adet başarı

olmasının olasılığı, x adet başarı olasılığı (p) ile

n - x adet başarısızlık olasılığının (q=1-p) çarpımını

içermelidir.

0,11 xq.pP(x) xx

12

Başarı ve başarısızlıkların oluşum sırası yani

sıralama önemsiz ise faklı şekilde ortaya

çıktığı için ;

xnCx

n

dd

nxp..px

n

xXP

xnx

.0

,....,2,1,0)1()(

olarak elde edilir.

13

Örnekler:

• Bir fabrikanın deposundan seçilen 10 üründen

2’sinin hatalı olması ,

• Bir madeni para 5 kez atıldığında hiç tura

gelmemesi, üst yüze yazı veya tura gelmesi,

• Hilesiz bir zar 4 kez atıldığında zarın en çok 1

kez çift gelmesi,

14

Binom Dağılımının

Karakteristikleri

n = 5 p = 0.1

n = 5 p = 0.5

Aritmetik Ortalama

Varyans

m

s2

E X np

( )

.0

.2

.4

.6

0 1 2 3 4 5

X

P(X)

.0

.2

.4

.6

0 1 2 3 4 5

X

P(X) npqpnp )1(

15

Örnek: Bir işletmede üretilen ürünlerin % 6’sının hatalı

olduğu bilinmektedir. Rasgele ve iadeli olarak seçilen 5

üründen,

a)1 tanesinin hatalı olmasının olasılığını,

b) En az 4 tanesinin hatalı olmasının olasılığını

hesaplayınız.

p = 0,06 1- p = 0,94 n = 5

a)P ( X = 1 ) = ?

b)P ( X ≥ 4 ) = ?

P ( X ≥ 4 ) = P ( X = 4) + P ( X = 5 )

23,0)94,0()06,0(1

5)1( 41

..XP

0514 )94,0()06,0(5

5)94,0()06,0(

4

5....

Örnek: Metal hilesiz bir para 10 kez fırlatılıyor

(n=10 p=q=1/2=0.5)

a)bir kez yazı gelmesi olasılığı

1 9 10 1010 10! 10.9!

1 . 0,5 . 0,5 (0.5) (0.5)1 1!9! 9!

p x

b) hiç yazı gelmemesi olasılığı

0 10 1010

0 . 0,5 . 0,5 0,50

p x

c) en az 2 kez yazı gelmesi olasılığı

10...22 xpxpxp

1 9 0 10

10 10 10 10

1 2

1 1

1 1 0

10 101 . 0,5 . 0,5 . 0,5 . 0,5

1 0

1 10.(0.5) (0.5) 1 (0.5) (10 1) 1 11(0.5)

p x

p x

p x p x

18

Negatif Binom (Pascal)Dağılımı

• Bernoulli deneyinin tüm varsayımları negatif binom

dağılımı içinde geçerlidir.

• Binom dağılımında n denemede x adet başarı

olasılığı ile ilgilenilirken, negatif binom dağılımında ise

şans değişkeni (X), k ncı başarıyı elde edinceye

kadar yapılan deney sayısına karşılık gelir.

• Örnekler:

Bir parayı 5 kez tura gelinceye kadar attığımızda 5 nci turayı elde ettiğimiz deneme sayısı,

Bir basketbolcunun 3 sayılık atışlarda 10 ncu isabeti sağlaması için gerekli olan atış sayısı.

19

• x : deney sayısı k : başarı sayısı

• p : başarı olasılığı S = { x / k, k+1, k+2, k+3… }

1 2 3 ………………. x-1 x

1 2 3 ...……………. k-1 k

dd

kkkxppk

x

xXP

kxk

.0

,.....2,1,11

1

)(

Binom dağılımını kullanarak x-1 denemede k-1 adet başarı

olasılığı hesaplanır ve x nci denemedeki k ncı başarıyı

elde etme olasılığı p ile bağımsız olaylar olduğundan

çarpılarak aşağıdaki olasılık fonksiyonu elde edilir.

20

Negatif Binom Dağılımının

Beklenen Değer ve Varyansı

p

kxE m)( 2

)1()(

p

pkxVar

21

Örnek: Bir kişinin hilesiz bir zarı 10 kez atması sonucunda,

10 ncu atışında 5 nci kez 6 gelmesi olasılığını hesaplayınız.

p = 1 / 6 1- p = 5 / 6 x = 10 (deney sayısı) k = 5

(başarı sayısı)

5 5

10 1 1 5( 10; 5) ( ) ( )

5 1 6 6P X k . .

• Zarın kaçıncı kez atılması sonucu 5 nci kez 6 gelmesini

beklersiniz?

3061

5)(

p

kxE

dd

kkkxppk

x

xXP

kxk

.0

,.....2,1,11

1

)(

22

Geometrik Dağılım • Bernoulli deneyinin tüm varsayımları geometrik dağılım içinde geçerlidir.

• Negatif Binom dağılımının özel bir durumudur.

• k = 1 olduğunda negatif binom dağılımı geometrik dağılımı olarak ifade edilir.

• Geometrik dağılım gösteren şans değişkeni X, ilk

başarıyı elde edinceye kadar yapılan deney sayısını

ifade eder.

Örnekler:

• Bir parayı tura gelinceye kadar attığımızda tura gelmesi için yapılan atış sayısı,

• Bir işletmenin deposundan ilk hatalı ürünü bulana kadar alınan örnek sayısı.

23

• x: deney sayısı p: başarı olasılığı

• S = { x / 1, 2, 3, 4….. }

dd

kkkxppk

x

xXP

kxk

.0

,.....2,1,11

1

)(

11 111

1)(

xpp

xxXP

Negatif Binom dağılımında k = 1 alındığında;

dd

xppxXP

x

.0

,.....3,2,11)(

1

24

Geometrik Dağılımının

Beklenen Değer ve Varyansı

pxE

1)( m

2

1)(

p

pxVar

25

Örnek: Bir avcı hedefe isabet sağlayana kadar ateş etmektedir. Avcının hedefi vurma olasılığı 0,75 olduğuna göre avcının hedefi ilk kez 8 nci kez atış yaptığında isabet ettirmesinin olasılığını hesaplayınız.

x = 8 P ( X = 8) = ?

dd

xxXP

x

.0

....3,2,175,0175,0)(

1

718 25,075,075,0175,0)8( XP

26

Hipergeometrik Dağılım

Varsayımları,

• n deneme benzer koşullarda tekrarlanabilir.

• Her denemenin 2 mümkün sonucu vardır.

• Sonlu populasyondan iadesiz örnekleme yapılır.

• Örnekleme iadesiz olduğundan başarı olasılığı

( p ) deneyden deneye değişir.

27

Hipergeometrik Dağılımın Olasılık Fonksiyonu

n : örnek hacmi

N : anakütle eleman sayısı

B : populasyondaki başarı sayısı

x : örnekteki başarı sayısı

S = { x / 0,1, 2, 3, …..,n }

dd

nx

n

N

xn

BN

x

B

xXP

.0

......,3,2,1,0)(

28

Hipergeometrik Dağılımın Karakteristikleri

p = B/N için

1)1()(

N

nNpnpxVar

pnxE )(

29

Örnek: Yeni açılan bir bankanın ilk 100 müşterisi içinde

60 tanesi mevduat hesabına sahiptir. İadesiz olarak

rasgele seçilen 8 müşteriden 5 tanesinin mevduat

hesabına sahip olmasının olasılığı nedir?

N= 100 B = 60 n = 8 x = 5

n : örnek hacmi

N : anakütle eleman sayısı

B : populasyondaki başarı sayısı

x : örnekteki başarı sayısı

30

dd

nx

n

N

xn

BN

x

B

xXP

.0

......,3,2,1,0)(

•N= 100 B = 60 n = 8 x = 5

60 100 60

5 8 5( 5)

100

8

P X

31

Poisson Dağılımı

• Kesikli Şans değişkenlerinin olasılık

dağılımlarından en önemlilerinden biri Poisson

Dağılımıdır.

• Günlük hayatta ve uygulamada çok sayıda

kullanım alanı bulunmaktadır.

• Ünlü Fransız matematikçisi Poisson tarafından

bulunmuştur.

• Belirli bir alan içerisinde rasgele dağılan veya

zaman içerisinde rasgele gözlenen olayların

olasılıklarının hesaplanabilmesi için çok kullanışlı bir

modeldir.

32

Poisson Sürecinin Varsayımları

1.Belirlenen periyotta meydana gelen ortalama

olay sayısı sabittir.

2. Herhangi bir zaman diliminde bir olayın meydana

gelmesi bir önceki zaman diliminde meydana

gelen olay sayısından bağımsızdır.(periyotların

kesişimi olmadığı varsayımı ile)

3.Mümkün olabilecek en küçük zaman aralığında

en fazla bir olay gerçekleşebilir.

4. Ortaya çıkan olay sayısı ile periyodun uzunluğu

doğru orantılıdır.

33

Örnekler

• Bir şehirde bir aylık süre içerisinde meydana

gelen hırsızlık olayların sayısı,

• Bir telefon santraline 1 dk. içerisinde gelen

telefon çağrılarının sayısı,

• Bir kitap içindeki baskı hatalarının sayısı,

• İstanbul’da 100 m2’ye düşen kişi sayısı,

• Ege Bölgesinde 3 aylık sürede 4,0 şiddetinden

büyük olarak gerçekleşen deprem sayısı.

34

Poisson Dağılımının Olasılık Fonksiyonu

l : belirlenen periyotta ortaya çıkan olay sayısı

x : ortaya çıkma olasılığı araştırılan olay sayısı

S = { x / 0,1, 2, 3, ….., }

durumlardadiger

xx

e

xXP

x

0

,...2,1,0!)(

ll

35

Poisson Dağılımının Beklenen Değer ve Varyansı

Beklenen Değer

Varyans

lm )(xE

l)(xVar

• Beklenen değeri ve varyansı birbirine eşit

olan tek dağılıştır.

x

Frek

ans

6543210

400

300

200

100

0

l n = 1000

x

Frek

ans

21181512963

140

120

100

80

60

40

20

0

l n= 1000

37

Örnek: Bir mağazaya Cumartesi günleri 5 dakikada ortalama olarak 4 müşteri gelmektedir. Bir Cumartesi günü bu mağazaya,

a) 5 dakika içinde 1 müşteri gelmesi olasılığını,

b)Yarım saate 2’den fazla müşteri gelmesi olasılığını,

ÖDEV: 1 saatte en çok 1 müşteri gelmesinin olasılığını hesaplayınız.

a) l 4 P ( x = 1 ) = ? 4

14

4!1

4)1(

ee

XP

24224124024

3131!2

24

!1

24

!0

241

e

eee

b) 5 dk’da 4 müşteri gelirse, 30 dk’da 24 müşteri gelir.

l 24 P ( x > 2 ) = ?

P( x > 2 ) = 1 – [P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)]

38

SÜREKLİ ŞANS

DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK

YOĞUNLUK FONKSİYONLARI

• Üstel Dağılım

• Sürekli Üniform Dağılım

• Normal Dağılım

39

• Meydana gelen iki olay arasındaki geçen süre veya bir başka ifadeyle ilgilenilen olayın ilk defa ortaya çıkması için geçen sürenin dağılışıdır.

Örnek:

• Bir bankada veznede yapılan işlemler arasındaki geçen süre,

• Bir taksi durağına gelen müşteriler arasındaki süre,

• Bir hastanenin acil servisine gelen hastaların arasındaki geçen süre,

• Bir kumaşta iki adet dokuma hatası arasındaki uzunluk (metre).

Üstel Dağılım

40

• Belirli bir zaman aralığında mağazaya gelen

müşteri sayılarının dağılışı Poisson Dağılımına

uygundur.

• Bu müşterilerin mağazaya varış zamanları

arasındaki geçen sürenin dağılımı da

Üstel Dağılıma uyacaktır.

• Üstel Dağılımın parametresi b olmak üzere Üstel

ve Poisson Dağılımlarının parametreleri arasında

şu şekilde bir ilişki vardır.

bl

1

41

Üstel Dağılımın Olasılık

Yoğunluk Fonksiyonu b : iki durumun gözlenmesi için gereken

ortalama süre yada ölçülebilir uzaklık.

x : iki durum arasında veya ilk durumun ortaya

çıkması gereken süre yada uzaklık.

S = { x / 0 < x < ∞ }

durumlardadiger

xexf

x

0

0,1 b

b

42

Üstel Dağılımının Beklenen Değer ve Varyansı

Beklenen Değer

Varyans

bxE

2bxVar

80706050403020100

200

100

0

X

Fre

kans

b = 10 parametreli bir

populasyondan alınan

n = 1000 hacimlik bir

örnek için oluşturulan

histogram.

43

Örnek: Bir taksi durağına bir saatlik zaman dilimi içerisinde gelen

taksilerin geliş sayısı Poisson Dağılışına uygun bir şekilde

gerçekleşmektedir. Durağa saatte ortalama 24 adet taksinin geldiği

bilindiğine göre durağa gelen bir yolcunun en çok 5 dakika

beklemesi olasılığı nedir?

Saatte ( 60 dakikada ) 24 adet taksi geliyorsa,

1 dakikada 24/60 adet taksi gelir. 1 adet taksi gelmesi için gereken

süre b = 2,5 dk olur. P ( x ≤ 5 ) = ?

durumlardadiger

xexf

x

0

0,5,2

1 5,2

25,2

5

5

5,2

15

0

5,2

1

115,2

11

5,2

1)5(

eedxedxexPxx

bb

b

a

a

x

edxeaxP

1

)(

HESAPLAMA KOLAYLIĞI!!

44

Sürekli Üniform Dağılımı • a ve b gibi iki nokta arasından bir sayı seçmek istediğimizde herhangi bir değeri alabilecek x şans değişkeni uniform dağılışı göstermektedir.

• Sürekli üniform dağılımı ilgilenilen şans değişkeninin olasılık fonksiyonu hakkında bir bilgiye sahip olunmadığında ve verilen aralık içerisinde tanımlanan olayın eşit olasılıklarla ortaya çıkacağı varsayımı yapıldığında kullanışlıdır.

45

Sürekli Uniform Dağılımının

Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu

dd

bxaabxf

0

1

Beklenen Değer ve Varyans

2

baxE

12

2ab

xVar

ab

cddxcP

)(

HESAPLAMA KOLAYLIĞI!!

46

1098765

250

200

150

100

50

0

X

Fre

kans

b = 10 ve a = 5 parametreli sürekli üniform

dağılımı gösteren bir populasyondan

n = 10000 hacimlik örnek için oluşturulan

histogram.

47

Örnek: Bir demir-çelik fabrikasında üretilen çelik

levhaların kalınlıklarının 150 ile 200 mm arasında

değiştiği ve bunların sürekli uniform şans değişkenine

uygun olduğu bilinmektedir. Levha kalınlıkları 155 mm

altında çıktığı zaman tekrar üretime gönderildiğine göre

bu dağılımın beklenen değerini ve varyansını bulunuz

ve üretim sürecinde tekrar üretime gönderilen levhaların

oranını bulunuz.

a) Bu dağılışın ortalama ve varyansı;

E(x)=(150+200)/2 =175 mm

Var(x)=(200-150)2/12 = 208.33 mm2 bulunur.

b) Üretime geri döndürülen ürünlerin oranı ise;

P(150 < x < 155 )= (155-150) / (200-150) = 0,1

Ürünlerin %10’u üretime geri gönderilmektedir.

48

NORMAL DAĞILIM

49

• Sürekli ve kesikli şans değişkenlerinin dağılımları

birlikte ele alındığında istatistikte en önemli dağılım

Normal dağılımdır.

• Normal dağılım ilk olarak 1733’te Moivre tarafından

p başarı olasılığı değişmemek koşulu ile binom

dağılımının limit şekli olarak elde edilmiştir. 1774’te

Laplace hipergeometrik dağılımını limit şekli olarak

elde ettikten sonra 19. yüzyılın ilk yıllarında

Gauss 'un katkılarıyla da normal dağılım istatistikte

yerini almıştır.

50

• Normal dağılımın ilk uygulamaları doğada

gerçekleşen olaylara karşı başarılı bir biçimde uyum

göstermiştir. Dağılımın göstermiş olduğu bu uygunluk

adının Normal Dağılım olması sonucunu doğurmuştur.

• İstatistiksel yorumlamanın temelini oluşturan Normal

Dağılım, bir çok rassal süreçlerin dağılımı olarak

karşımıza çıkmaktadır.

• Normal dağılış kullanımının en önemli nedenlerinden

biride bazı varsayımların gerçekleşmesi halinde kesikli

ve sürekli bir çok şans değişkeninin dağılımının

normal dağılışa yaklaşım göstermesidir.

51

Normal Dağılımın Özellikleri

• Çan eğrisi şeklindedir.

• Simetrik bir dağılıştır.

• Normal Dağılımın parametreleri,

m)(xE 2)( sxVar

f(x )

x Ortalama=Mod=Medyan

52

Normal Dağılımın Olasılık

Yoğunluk fonksiyonu

3,459...

e = 2,71828

s = populasyon standart sapması

m = populasyon ortalaması

yerlerdediger

xexf

x

,0

,2

1

)(

2

2

1

s

m

s

53

Parametre Değişikliklerinin

Dağılımın Şekli Üzerindeki Etkisi

f(x )

x

A

B

C

222

CBA sss CBA mmm

54

Normal Dağılımda Olasılık Hesabı

f(x )

x c d

?)()( d

c

dxxfdxcP

Olasılık eğri altında

kalan alana eşittir!!!!

1)()(

dxxfxPÖNEMLİ!!!

55

Normal dağılım ortalama

ve standart sapma

parametrelerinin

değişimi sonucu

birbirinden farklı yapılar

gösterir.

f(x )

x

A

B

C

• Her dağılımın için olasılık

yoğunluk fonksiyonunu kullanarak

olasılık hesaplama güçlüğü

olasılık değerlerini içeren tablolar

kullanma zorunluluğunu ortaya

çıkarmıştır .

• Birbirinden farklı sonsuz sayıda

normal dağılış olabileceği için

olasılık hesaplamasında

kullanmak üzere sonsuz sayıda

tablo gereklidir.

56

Standart Normal Dağılım

• Olasılık hesaplamasındaki zorluktan dolayı normal

dağılış gösteren şans değişkeni standart normal

dönüştürülür.

• Böylece tek bir olasılık tablosu kullanarak normal

dağılış ile ilgili olasılık hesaplamaları yapılmış olur.

• Standart normal dağılımda ortalama 0 , varyans

ise 1 değerini alır.

• Standart normal değişken z ile gösterilir.

57

Standart Normal Şans Değişkeni

s

m

xz

f(x )

x

f(z )

z

• X ~ N ( m , s2 )

• Z ~ N ( 0 , 1)

s

m

s

m

58

59

Standart Normal Dağılım

Tablosunu Kullanarak

Olasılık Hesaplama

?)10( zP

f(z )

z0 1

3413,0)10( zP

60

?)1( zP

f(z )

z0 1

1587,03413,01)10(1 zP

61

)0()0( zaPazP

f(z )

z-a a0

SİMETRİKLİK ÖZELLİĞİNDEN DOLAYI 0’DAN

EŞİT UZAKLIKTAKİ Z DEĞERLERİNİN 0 İLE

ARASINDAKİ KALAN ALANLARININ DEĞERLERİ

BİRBİRİNE EŞİTTİR.

62

f(z )

z-1 10

?)11( zP

6826,0)3413,0(2)10(*2

)10()01()11(

zP

zPzPzP

63

f(z )

z-0,95 0-1,56

?)95,056,1( zP

1117,03289,04406,0

)056,0()056,1()95,056,1(

zPzPzP

64

Normal Dağılımın Standart Normal

Dağılım Dönüşümü

?)( bXaP X ~ N ( m , s2 ) Z ~ N ( 0 , 1)

)(

)(

ba zzzP

bxaPbXaP

s

m

s

m

s

m

f(x )

x

f(z )

z

m

a b

za zb

65

• Örnek: Bir işletmede üretilen vidaların çaplarının uzunluğunun, ortalaması 10 mm ve standart sapması 2 mm olan normal dağılıma uygun olduğu bilinmektedir. Buna göre rasgele seçilen bir vidanın uzunluğunun 8,9mm ‘den az olmasının olasılığını hesaplayınız.

)55,0(2

109,8)9,8(

zP

xPXP

s

m

?)9,8( XP X ~ N ( , 4 )

f(z )

z-0,55 0

2912,0

2088,05,0)55,0(

zP

66

Binom Dağılımının Poisson

Dağılımına Yakınsaması

67

• X şans değişkeni n ve p parametreli Binom Dağılımı

göstermek üzere, n deneme sayısının büyük olduğu

ayrıca p başarı olasılığının küçük olduğu durumlarda

( tercihen np ≤ 5 ) , x şans değişkeni ile ilgili olasılık

hesaplamalarında kolaylık sağlaması açısından

Binom Dağılımı yerine Poisson Dağılımı kullanılır.

• Her iki dağılımın beklenen değeri(ortalaması)

birbirine eşitlenir ve buradan λ’nın tahmini elde edilir.

npxE )( l)(xE

•Binom Dağılımı •Poisson Dağılımı

l np

68

• Örnek: Bir sigorta şirketinin müşterilerinin trafik kazası sonucunu hayatını kaybetme olasılığı 0,003’dür. Sigorta şirketinin müşterilerinden 1000 kişilik bir örnek alındığında,

a) 4 müşterinin,

b) En az iki müşterinin trafik kazasında hayatını kaybetme olasılığın hesaplayınız.

343

8

27

!4

3)4(

ee

XP

l np = 1000(0,003)= 3

•n = 1000 p =0,003 np = 3 ≤ 5

•a) P ( X = 4 ) = ?

•b) P ( X ≥ 2 ) = ? •P ( X ≥ 2 ) = 1 – [ P ( X = 0) + P ( X = 1) ]

31303

41!1

3

!0

31)2(

e

eeXP

69

Binom Dağılımının Normal

Dağılımına Yakınsaması

70

• X şans değişkeni n ve p parametreli Binom Dağılımı

göstermek üzere, n deneme sayısının büyük olduğu

ayrıca p başarı olasılığının 0,5 değerine yaklaşması

sonucunda( tercihen np > 5 ) , x şans değişkeni ile ilgili

olasılık hesaplamalarında kolaylık sağlaması açısından

Binom Dağılımı yerine Normal Dağılım kullanılır.

• Normal Dağılımın parametreleri olan m ve s2 tahmin

edilirken Binom Dağılımının beklenen değer ve varyans

formülleri dikkate alınır.

npxE )( m)(xE •Binom Dağılımı

•Normal Dağılım

)1()( pnpxVar 2)( sxVar

)1(2 pnp snpm

71

Süreklilik Düzeltmesi

5,05,0)( bXaPbXaP

5,0)( aXPaXP

• Binom Dağılımı kesikli, normal dağılım ise sürekli bir dağılım

olduğundan dolayı, binom dağılımını normal dağılıma

yakınsadığı durumlar için olasılık hesaplamalarında süreklilik

düzeltmesi kullanılması zorunluluğu vardır.

• Kesikli bir şans değişkeni gösteren dağılım sürekli bir

dağılıma yakınsadığında tamsayı değerleri sürekli bir eksende

tanımlanır.

5,0)( aXPaXP

72

• Örnek: Bir kampüste okuyan öğrencilerin % 20 si sigara içmektedir. Öğrencilerden 225 kişilik bir örnek alındığında,

a) 40’dan fazla kişinin sigara içme olasılığını,

b) 30 kişinin sigara içme olasılığını hesaplayınız.

m np = 225(0,20)= 45 s

•n = 225 p = 0,20 np = 45 > 5

•a) P ( X ≥ 40) =? → P ( X ≥ 39,5) = ?

6)80,0)(20,0(225)1( pnp

8212,03212,05,0)92,0(6

455,39)5,39(

zPzPXP

•b) P ( X = 30) =? → P ( 29,5 < X < 30,5) = ?

0027,04922,04949,0

)42,258,2(6

455,30

6

455,29)5,305,29(

zPzPXP

73

Poisson Dağılımının Normal

Dağılımına Yakınsaması

74

• X şans değişkeni λ parametreli Poisson Dağılımı

göstermek üzere, λ parametresinin büyük olduğu

durumlarda ( tercihen λ ≥ 20 ) , x şans değişkeni ile ilgili

olasılık hesaplamalarında kolaylık sağlaması açısından

Poisson Dağılımı yerine Normal Dağılım kullanılır.

• Normal Dağılımın parametreleri olan m ve s2 tahmin

edilirken Poisson Dağılımının beklenen değer ve

varyans formülleri dikkate alınır.

l)(xE m)(xE •Poisson Dağılımı

•Normal Dağılım

l)(xVar 2)( sxVar

ls 2lm

75

• Örnek: Bir havaalanından 1 saatlik süre içerisinde ortalama olarak 49 adet uçak kalkmaktadır.1 saatlik süre içerisinde

a) 60’dan fazla uçak kalkmasının olasılığını,

b) 30 ile 40 adet arasında bir uçak kalkmasının olasılığını hesaplayınız.

m = λ = 49 s

•λ = 49 ≥ 20

•a) P ( X > 60) = ? → P ( X > 59,5) = ?

749 l

0668,04332,05,0)5,1(7

495,59)5,59(

zPzPXP

•b) P ( 30 < X < 40) = ? → P (29,5 < X < 40,5) = ?

1105,03869,04974,0

)21,179,2(7

495,40

7

495,29)5,405,29(

zPzPXP