practico matematica basica julio vargas herbas

Materia: Matemática Básica UTEPSA

JULIO VARGAS HERBAS QUADOSH+ ALLAHU AKBAR AD SUM 72633488 [email protected] Página 1

PRÁCTICO # 1

Resolver los siguientes ejercicios.

1)

2)

3)

4)

úúúúú

û

ù

êêêêê

ë

é

-+

÷ø

öçè

æ

-÷øö

çèæ

-10

00

0

0

253415

75

32

5)

÷

×

÷

×

6)

⎣⎢⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎥⎤

÷ –

7)

.

–

8)

.

–

⎣⎢⎢⎢⎢⎡

–

⎦⎥⎥⎥⎥⎤

Resolver los siguientes ejercicios.

( )

( ) 122

121

214

23

32223

342

21

-----

--

-

-

+÷÷ø

öççè

æ

÷÷ø

öççè

æúûù

êëé -

1-

2

qp

qp3

34) baba)2

aa)3 xx )

cbacba)7 .

xyyxyx)

xx

xxx)5ba

baba

bababa

4

320

221

22

1221

32

2323

5332

6-

-

--

--

----

-

+-

-+-

÷÷ø

öççè

æ

-+

÷÷ø

öççè

æ

¸

××

( )

( )( )

22

08

2

1232

32

2

3

31

21

35

23

41

31

21

43

35

59

8

-

---

-

-

---

-

úúú

û

ù

êêê

ë

é

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

÷÷ø

öççè

æ

úúúúúú

û

ù

êêêêêê

ë

é

÷÷ø

öççè

æ÷÷ø

öççè

æ

zyxxy

zyx)

zxy

zyx

zxy

yx

)1-

9) En los siguientes ejercicios escribe el resultado

como potencia de base 2 y exponente positivo. a) 2-4 *43= b) 14*2-3 – 6*2-3= c) 42*83*16-3= d) 15*2-5 + 2-5= 10) En cada uno de los siguientes casos simplifica y

expresa el resultado con exponentes positivos.

8

41

32

21

÷÷ø

öççè

æ × -

aaa)a

21

32

52

21

41916

-

-

-

÷÷ø

öççè

æ

yayx)b

( ) ( ) 21

53

442 22 -++ xxx)c

11) En cada uno de los siguientes ejercicios simplifica y expresa el resultado con exponentes positivos.

4 3 1 ) -xxa ( )[ ] ( )[ ]33) nnyxyxb +¸- -

( )( )21

23

21

23) aaaac +-

( ) ( ) 21

21

442) 22 -++ xxxb

( )( ) ( ) 43

41

1281223) -+-+ - xxxeba

b

aba

b

ba

xx

xxf

--+

÷÷ø

öççè

æ×÷÷

ø

öççè

æ)

( ) 32

21

32 3

)-

-

úûù

êëé yxg

aa

a

a

x

x)h

12

11

11

-

+

-

÷÷

ø

ö

çç

è

æ

( ) 31

34

31

31

21

úû

ùêë

é - xxxa)i

12) Aplicando las propiedades de los radicales hallar el resultado de:

3250 4

334

22227

37584

)e )d

abba)c aa)b yxx)a

,

-

( ) ( )

222 792 37

322

22

22

35

22

5

-×

+++-

+-+

-- )j bb)i

aa)h yxyxbaba)g

baba)f

n nn n

( )

( )( ) x

yxyx p)

yxyxx)o

xx)n bac)m

ba)l yx)k aa

5105

28

4214

5 4 3 15156 186

3 5 10153 33

53

32

×+

-

-

( )

yx

xx)r x

xx)q

x

xxxx)p

5 36

10107

14

47

2

22

91526

-

-

--×--



Suma y resta de radicales. 1) 2√363− 5√243 + √192

2) √3 + √81− √27 + 5√3

3) 3√147− −

4) 2 − 4√8− 5

5) √−24 + 2√375 + √162

6) − −

7) 3 √ + 4 √ − 2√

Racionalizar.

1) √

8) √

2) 9) √ √

3) √ √

10) √√ √

4) √√

11) √√ √

5) √√ √

12) √√ √

6) √√

13) √ √√ √

7) ( )

( ) 14) √ √

√ √

8)

√ 22)

√

9) 23) √

√

10) √ √

24) √

√

11) 25) √

√

12) √ √

26) √

√

13) 27)

√

14) ( ) 28) √

√

15) √

29) √√ √ √

Hallar el valor de “x”

( )

( )( ) 323

263

322

1

2

213

22

3

2

8

=-+

=-

-=÷÷ø

öççè

æ

=

=+

xxe

xd

c

xb

xa

x

log)

log)

log)

log)

log)

( ) ( )( )

( )[ ]{ }

( )[ ]( ){ } 01

27452

0112

2

73

43

23

2531

2

7

7

3

=+

=-++

=+-=

=-++

++

xo

xxn

xmaal

kxaxa

xx

a

logloglog)

log)

logloglog)

)

)log

log

( ) 121322

425 =þýü

îíì +úû

ùêëé +- xp logloglog)

Aplica las propiedades de los logaritmos par escribir cada logaritmo en su forma desarrollada.

( )

( )( )( )3

5

6

2

32

83

724

+

+-

+×

xx

xxi

z

xyh

b

baacg

a

a

log)

log)

log)

( )( )3753

96752

7

5 2

3

2

32

4

+

-+

÷÷

ø

ö

çç

è

æ

xx

xxl

dc

abk

babaj

a

a

log)

log)

log)

Regla de tres simple o compuesta.

1. Un grupo de combate de 36 soldados esta perdido en al jungla, solo tienen raciones para 9 días, pero el primer día que se

perdieron, se encontraron con otros 7 soldados perdidos sin raciones. ¿Para cuantos días les alcanzará las raciones a los soldados perdidos?

2. En una carretera en construcción se pueden hacer los trabajos de pavimentación en 18 meses con 126 obreros. ¿Cuántos obreros serán necesarios par hacer el mismo trabajo en 11 meses?

3. Se emplean 12 hombres durante 6 días para cavar una zanja de 30 metros de largo, 8 metros de ancho y 4 metros de alto; trabajando 6 horas diarias. Si se emplea doble número de obreros durante 5 días, para cavar otra zanja de 20 metros de largo, 12 metros de ancho y 3 metros de alto. ¿Cuántas horas diarias han trabajado?

4. Dos ejecutivos han cobrado $ 350 por un trabajo realizado por los dos. El primero trabajó durante 20 días a razón de 9 horas diarias y recibió $ 150. ¿Cuántos días, a razón de 6 horas diarias, trabajo el segundo?.

5. Se emplean 14 hombres en hacer 45 metros de una obra, trabajando durante 20 días. ¿cuánto tiempo empleara la mitad de esos hombres en hacer 16 metros de la misma obra, siendo en esta obra el triple de dificultad que la anterior?

6. Los 2/5 de capacidad de un estanque son 500 litros. ¿Cuál será, la capacidad de los 3/8 del mismo estanque? Sol: 468,75 litros.

7. Dos personas alquilan una estancia. El primero ocupa los 5/11 de la estancia y paga Bs. 6000, de alquiler al año. ¿Cuánto paga de alquiler anual el segundo? Sol: Bs. 7200

8. 9 obreros pueden hacer una obra en 5 días. ¿Cuántos obreros más harían falta para hacer la obra en un día? ¿Cuántos hombres menos para hacerla en 15 días? 36 más; 6



9. 50 hombres tienen provisiones para 20 días a razón de 3 raciones diarias. Si las raciones se disminuyen de 1/3 y se aumentan 10 hombres, ¿Cuántos días duraran los víveres? Sol: 25 días.

10. Se emplean 14 días en hacer una obra de 15 metros de largo, 8 metros de ancho y 4,75 metros de alto, a razón de 6 horas de trabajo cada día. Si se emplean 8 días en hacer otra obra del mismo ancho y de doble largo, trabajando 7 horas diarias, y siendo la dificultad de esta obra los ¾ de la anterior. ¿Cuál es la altura de la obra? Sol: 2 1/9 m.

11. 10 obreros se comprometieron a realizar en 24 días cierta obra. Trabajando 6 días a razón de 8 horas diarias. Entonces se les pidió que acabaran la obra 8 días antes del plazo que se les dio al principio. Se colocaron mas obreros, trabajaron todas 12 horas diarias y terminaron la obra en el plazo pedido. ¿Cuántos obreros se aumentaron? R2

12. 80 obreros trabajando 8 horas diarias construyen 480 m2 de una obra en 15 días. ¿Cuántos días se requiere para que 120 obreros trabajando 10 horas diarias hagan 960 m2 de la misma obra? a) 22 días b) 16 días c) 30 días d) 20 días e) 18 días

13. En una comunidad de Santa Cruz, por problemas de las lluvias un pueblo “A”. Con 16000 habitantes ha quedado aislado y solo tienen víveres para 24 días a 3 raciones diarias por cada habitante. Si el pueblo “A” socorre a otro pueblo “B” con 2000 habitantes y sin víveres ¿Cuántos días duraran los víveres par los dos pueblos juntos, si cada habitante toma 2 raciones diarias? Considerar que llegará una ayuda de la capital 30 días después de iniciada A y B el compartimiento de víveres.

a) Los víveres se terminan antes de llegar la ayuda b) Los víveres duraran 30 días. c) Los víveres duraran hasta un día después de llegar la ayuda. d) los víveres duraran hasta 2 días después de llegar la ayuda e) Faltan datos para hacer el cálculo.

Porcentaje o tanto por ciento

1. En la UAGRM se presentaron a rendir examen de ingreso 7.500 estudiantes y solo aprobaron el 11%. ¿cuántos alumnos ingresaron a la “U”?.

2. La carrera de contabilidad tiene 380 estudiantes de los cuales 321 son mujeres, ¿Qué porcentaje de mujeres hay en al carrera de contabilidad? ¿y cual es el porcentaje de hombres?

3. El señor Carlos realiza una compra por Bs. 1.280 por la cual le hacen un descuento del 4.5%. ¿cuánto es el monto que debe cancelar?

4. Una promotora de ventas gana el 65% sobre las ventas que ella realiza, si en un mes vende Bs. 6.850. ¿cuánto es la ganancia de la promotora?

5. Si la matricula en el los talleres, era de $ 40 y la administración decide incrementar a $ 76. ¿en que porcentaje ha subido la matricula?

6. Si usted gana Bs. 2850 por mes y gasta el 23% en la colegiatura de sus hijos ¿cuánto de dinero ahora al mes?

7. La señora Carmen Villarroel compra mercaderías por un valor de Bs. 3.590. Le descuentan Bs. 1.200 por pagar al contado, ¿qué porcentaje le descontaron?¿y cuanto es lo que tiene que pagar al final?

8. La empresa comercial el “GATO BLANCO”, vende mercaderías por un valor de Bs. 126.989,90 de cancelan de la siguiente manera: 23,4% en efectivo, 13% con cheque del Mercantil Santa Cruz, 25,8% al crédito por el cual le firma una letra de cambio a 90 días y por el saldo le firma un pagare a 60 días plazo. ¿qué porcentaje representa cada una de e3stas formas de pago?.

9. La señora Casimira Vaca de Toro compra mercadería por un valor de Bs. 3.890.765,89 paga el 56% al contado, 23% con cheque del Banco Unión y por el saldo le firma una letra de cambio a 90 días recargándole el 3% mensual. ¿Por cuánto debe firmar la letra de cambio?.

10. La casa comercial “TOLEDO SRL” vende mercaderías al Supermercado “REYES”, por un valor de Bs. 38.947.857,89 pagaderos dentro de 6 meses por lo cual le hace firmar una Letra de Cambio, recargándole una tasa de interés del 18%. ¿por cuánto se firmará la letra de cambio?



11. La auto – venta “TOYOTA”, cobra el 5% de comisiones sobre el precio total de cada movilidad que vende, durante el presente mes vendió lo siguiente: 3 movilidades marca Honda en $ 7.700, 4.560 y 3.890; respectivamente. ¿Cuánto habrá ganado la auto – venta?.

12. La Compañía “Evo Marinkovic”, obtuvo en préstamo del banco “MERCANTIL SANTA CRUZ” de $ 5.000 a una tasa de interés del 22% anual, a 24 meses de plazo. ¿cuánto de interés tendrá que pagar al terminar su deuda?

PRÁCTICO UNIDAD # 3

Reducir los siguientes términos semejantes. 1. -3/4a2 + ½ab – 5/6b2 + 7/3a2 – ¾ab + 1/6b2 – 1/3b2 – 2ab.

2. 0,4x2y + 31 + 3/8xy2 – 0,6y3 – 2/5x2y – 0,2xy2 +1/4y3 – 6

3. am+2 – xm+3 – 5 + 8 – 3 am+2 + 5xm+3 – 6 + am+2 + 5xm+3.

4) – [- (- a)] – [+ (- a)] + {- [- b + c] – [+ (- c)]}.

5) – {- [- (a + b – c)]} – {+ [- (c – a + b)]} + {- [- a + (- b)]}. 6) – {3m + [- m – (n – m – 4)] + [- (m + n) + (- 2n + 3)]}.

7) – { - [ - (a + b)]} – { + [ - (-b - a)]} – (a + b).

8) – { - [ - (a + b - c)]} – {+[ - (c – a + b)]} + {-[-a + (-b)]}.

Resolver los siguientes ejercicios:

1) Sea: F(x)= x2 + 3x – 1; Hallar: ( ) ( )

( ) ( )11

22 2

-

-

-

-

FF

FF

2) Sea: F(x)= x3 – 3x + 1; Hallar: ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )212

123

---

+-

FFF

FFF

3) Calcula: = ( ) ( )

( ) ( ), SI ( ) = + 3 − 1

4) Si ( ) ( ) ;11

-+

=xxf x y Hallar:

5) Calcular: = ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

, SI ( ) = − 3 + 1

Resolver los siguientes productos notables:

1) (a2b3 – a5)2 2) (7x5- 8x3y5)2 3) (9ab5+ 8a3b3)2

( )2

7352322332

73

91

53

65734 ÷

øö

çèæ -÷

øö

çèæ +- baa)6 xyx)5 yxyx)

2

2

5

26

2

6

4

7223

94

83

103

65

74

87 ÷

÷ø

öççè

æ-÷

÷ø

öççè

æ-÷

÷ø

öççè

æ+

baa)9

xy

yx)8

baa)

2

( )32

653424

54

23

74

877810 ÷

÷ø

öççè

æ+÷

øö

çèæ --

bba)12 yx)11 yxx)

3

( )3

2

23

23232 6

613

25313 ÷

÷ø

öççè

æ-÷÷

ø

öççè

æ+-

mnm)15

xy

yx)14 baba)

3

Factorizar: 1) 3ax2 – 3a. 13) x3 – 6xy + 12xy2 – 8y3. 24) (x2 – 2xy)(a+1) + y2(a+1) 2) 2a2x – 4abx + 2b2x. 14) 32a5x – 48a3bx+ 18ab2x 26) a2x – 4b2x + 2a2y – 8b2y. 3) a3 – 3a2 – 28a. 15) 4x2 + 32x – 36. 27) a4 – (a – 12)2. 4) 3ax3 + 3ay3. 16) (a+b)(a2 – b2)–(a2 – b2) 28) 2x4 + 6x3 – 56x2. 5) x4 – 3x2 – 4. 17) x6 – 25x3 – 54. 29) 9(x – y)3 – (x – y). 6) 2ax2 – 4ax + 2a 18) a3b + 2a2bx + abx2 – aby2 30) 64a – 125a4. 7) 2a3 + 6a2 – 8a. 19) 81x4y + 3xy4. 31) a7 + 6a5 – 55a3. 8) 3x3– x2y – 3xy2+y3 20) x – 3x2 – 18x3. 32) 7x6 + 32a2x4 – 15a4x2. 9) 6ax2 – ax – 2a. 21) am3 – 7am2 + 12am. 33) 2x4 + 5x3 – 54x – 135. 10) n4 – 81. 22) 28x3y – 7xy3. 34) (x + y)4 – 1. 11) 8ax2 – 2a. 23) x4 – 8x2 – 128. 35) 3a5 + 3a3 + 3a. 12) x3 – 6x2 – 7x. 24) 18x2y + 60xy2 + 50y3. 36) 4a2x3 – 4a2.

a) En los siguientes ejercicios descomponer en cuatro factores. 1) a6 – 1. 7) a5 – a3b2 – a2b3 + b5. 13) a2x3 + 2ax3 – 8a2 – 16a. 2) a4 – 2a2b2 + b4. 8) a4 – 25a2 + 144. 14) 5ax3 + 10ax2 – 5ax – 10a 3) 2x4 + 6x3 – 2x–6. 9) a4 + 2a3 – a2 – 2a. 15) x8 + x4 – 2. 4) 16x4 – 8x2y2 + y4. 10) m6 – 729. 16) a2x2+ a2x+ 6a2–x2–x + 6. 5) 12ax4 + 33ax2–9a. 11) x5 – x3y2 + x2y3 – y5. 17) 3abx2 – 12ab +3bx2 – 12b 6) x6 – 7x3 – 8. 12) (a2+2a)2–2(a2+2a)–3 18) x2(x2–y2)–(2x – 1)(x2 – y2)

( ) ( ) .1+

=x

xG x

( ) .)(*)(

)(

12212

Gf

Gf

-

+



b) Descomponer en cinco y seis factores.

1) x8 – y8. 5) 2a4 – 2a3 – 4a2 – 2a2b2 + 2ab2 – 4b2 8) a6 + a3b3 – a4 – ab3. 2) 3 – 3x6. 6) a7 – ab6. 9) x7 + x4 – 81x3 – 81. 3) x17 – x 7) a6x2 – x2 + a6x – x. 10) 3x6 – 75x4 – 48x2 + 1200. 4) (a2 - ax)(x4 – 82x2 + 81).

@ Resolver los siguientes ejercicios por regla de Ruffini. 1) x3+ x2 – x – 1.

2) 2x3 – x2 –18 x + 9. 3) 8a4 – 18a3 – 75a2 + 46a + 120. 4) 15x4 + 94x3 – 5x2 – 164x – 144. 5) 4x5+ 3x4 – 108x3 – 25x2 + 522x + 360. 6) 6x5 – 13x4 – 81x3 + 112x2 + 180x – 144.

7) x6+ 6x5+ 4x4- 42x3- 113x2- 108x - 36. 8) a6- 32a4+ 18a3+ 247a2 – 162a – 360. 9) x6+ 41x4+ 184x2 – 144. 10) a6- 8a5+ 6a4+ 103a3- 344a2+ 396a - 144. 11) x7- 20x5- 2x4+ 64x3+ 40x2- 128.

@ Simplificar las siguientes fracciones algebraicas.

98767

107206

115

92144

23

63422

3321

24

24

2

2

34

3

3

23

22

22

2

-+-+

+---

-+-+-

-+

++-

++-

--

aaaa)

aaaa)

aaaa)

xxxxx)

yxyxxy)

byaybxax)

xxx)

( )( ) 92

3414

6324913

456864312

10712251611

208415410

91589

27938

2

22

23

24

2

23

2

2

24

4

24

3

23

-+

---+

---

+----

---

---

+--

++

xaxa)

xxxxx)

nnbbnaan)

aaaxxa)

aaaa)

xxx)

mmnnmnm)

( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )

( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )

12207212821

1284320

14168119

912437230734418

11317

25261444416

6329215

234

23

23

23

22

22

22

22

2234

33

22

22

22

22

-+--

+----+

-+

--

+--

+++-

-+-+

-++

--

+--+

+-+-

-+--

---

xxxxxxx)

xxxxx)

xxxxxx)

xxxxxxxx)

xxxxxxx)

aaaaaaaa)

xxxxxxx)

@ Transformar los siguientes enunciados en expresiones algebraicas. 1. Un numero aumentado sus 15% 2. El triple de la edad de Juan disminuido en la mitad de su edad. 3. El quíntuplo del costo de un televisor aumentado un su raíz

cuadrada. 4. La suma de tres números consecutivos 5. La suma de tres números consecutivos pares 6. El cuadrado de la velocidad de un tigre aumentado en tres veces

mas su velocidad. 7. Siendo “m” un número entero, escríbanse los dos números

enteros consecutivos posteriores a “m”. 8. Siendo “y” un número entero par, escríbanse los tres números

pares consecutivos posteriores a “y”. 9. Carlos tenia Bs. a, le pagaron Bs. x, y le regalaron Bs. m. ¿Cuánto

de dinero tiene Carlos? 10. Debía Bs. x. y page Bs. 6. ¿Cuánto debo ahora? 11. La distancia entre una ciudad y otra es de “x” kilómetros, si Pablo

ha recorrido “m” kilómetros. ¿Cuánto le falta por andar? 12. Al vender una cas en Bs. “n”, gano Bs. 300. ¿Cuánto me costó la

casa? 13. Recibo Bs. a y después Bs. b si gasto Bs. x ¿Cuánto me queda?

14. Si han transcurrido “x” días de un año. ¿Cuántos días faltan por transcurrir?

15. Si un celular cuesta Bs. a, ¿Cuánto costaran 8 celulares, 15 celulares, n celulares?

16. Escríbase la suma del duplo de “a” con el triplo de “b” y la mitad de “c”.

17. ¿Cuál será la superficie de un cuadrado de “x” metros de lado? 18. Si una soda vale Bs. a y una salteña Bs. b, ¿Cuánto costaran 3

sodas y 6 salteñas? ¿x sodas y n salteñas? 19. El cuádruplo de un número incrementado en sus dos tercios es

mayor que cinco. 20. El costo de una camisa es de Bs. 65, con un descuento del 10%

del costo, el precio pagado es de Bs. 840. ¿Cuál es la ecuación que expresa un número de camisa compradas?

21. La velocidad de un bus es dos veces de la velocidad de un ciclista y ambas velocidades suman 78.

22. Una tienda esta en su semana de ofertas, liquida televisores con el 24% de descuento. El precio de oferta es de Bs. 245. ¿Cuál es la ecuación que expresa el precio real de cada televisor?



23. El salario de un trabajador por día es de Bs. 60 y por cada hora extra se le paga Bs. 12.5, si en una semana recibe Bs. 740. Escribe una ecuación que exprese el salario del trabajador.

24. Un bebe que esta aprendiendo a caminar da un paso que es igual a la quinta parte de su hermano aumentado en 4 cm.

25. El largo de una habitación es el doble del ancho aumentado en 4,5 metros y la altura es la mitad del ancho incrementado en 90 cm, el volumen de la habitación es 120 m3.

26. 5/8 del cubo de un número aumentado en su doble es menor igual a 150.

@ Simplificar los siguientes ejercicios.

18185

661

331

22)11

306014

204052

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4232

22)9

11

13

1)8

13

12

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662

331)5

268162

81212)4

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241212

1261

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674

23

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32

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11

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@ Analiza y simplifica.

21

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15365

18

2225

182122

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1222217

236642

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44482

16215

2

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2

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@ Resolver

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2

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23

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2

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2

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Ø ECUACIONES DE PRIMER GRADO.

1) 71 + [- 5x + (- 2x + 3)] = 25 – [- (3x + 4) – (4x + 3)]. 2) – {3x + 8 – [- 15 + 6x – (- 3x + 2) – (5x + 4)] – 29} = - 5. 3) 3x(x – 3) + 5(x + 7) – x(x + 1) – 2(x2 + 7) + 4 = 0. 4) (x – 2)2 + x(x – 3) = 3(x + 4)(x – 3) – (x + 2)(x – 1) + 2. 5) 5(x – 2)2 – 5(x + 3)2 + (2x – 1)(5x + 2) – 10x2 =0. 6) (3x – 1)2 – 5(x – 2) – (2x + 3)2 – (5x + 2)(x – 1) = 0. 7) 2(x –3)2 –3(x +1)2 + (x –5)(x –3) +4(x2 –5x +1) = 4x2 –12. 8) 3(5x – 6)(3x + 2) – 6(3x + 4)(x – 1) – 3(9x + 1)(x – 2) = 0. 9) 5(1 – x)2 – 6(x2 – 3x – 7) = x(x – 3) – 2x(x + 5) – 2. 10) (3x – 7)2 – 5(2x + 1)(x – 2) = – x2 – [- (3x + 1)]. 11) (x + 6)2 – (x – 7)2 = 4x2 – (2x – 5)2. 12) (x + 6)2 – 3[ - 5 + 2(x + 1)] = (x – 3)2 13) (x + 5)(x + 2) – 3(4x – 3) = (5 – x)2.

( )( )( )

2467

621

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1. La suma de dos números es 106 y el mayor excede al menor en 8. Hallar los números. Sol: 57 y 49

2. La suma de dos números es 540 y su diferencia 32. Hallar los números. Sol: 286 y 254

3. Entre Diego y Melissa tienen Bs. 1154 y Melissa tiene Bs. 506 menos que Diego. ¿Cuánto tiene cada uno? Sol: Diego $830 y Melissa $324

4. Dividir el número 106 en dos partes tales que al mayor exceda a la menor en 24. Sol: 65 y 41

5. Un alumno tiene 14 años menos que el profesor, y ambas edades suman 56 años. ¿Qué edad tiene cada uno? Sol: 21 y 35

6. Se quiere repartir Bs. 1080 entre Carlos y María de modo que Carlos reciba 1014 más que María. Hallar la parte de cada

uno Sol: 1047 y 33

7. Hallar dos números enteros consecutivos cuya suma sea 103. Sol: 51 y 52

8. Tres números enteros consecutivos suman 204. Hallar los números. Sol: 67,68 y 69

9. Hallar cuatro números enteros consecutivos cuya suma sea 74. Sol: 17, 18, 19 y 20

10. Hallar dos números enteros pares consecutivos cuya suma sea 194. Sol: 96 y 98

11. Pague $325; por la compra de un CPU, una impresora y una pantalla. El CPU costo $80 más que la impresora y la pantalla $25 menos que la impresora. Hallar los precios de cada uno. Sol: 90, 170 y 65

12. La suma de tres números es 200. El mayor excede al del medio en 32 y al menor en 65. hallar los números.

Sol: 99, 67 y 34

13. Tres cestos contienen 575 manzanas. El primer cesto tiene 10 manzanas más que el segundo y 15 más que el tercero. ¿Cuántas manzanas hay en cada cesto?

Sol: 200, 190 y 185 14. Dividir 454 en tres partes sabiendo que al menor es 15 unidades menor que la del medio y 70 unidades menor que la

mayor. Sol: 193, 138 y 123



15. Repartir Bs. 310 entre tres personas de modo que la segunda reciba Bs. 20 menos que la primera y Bs. 40 más que la tercera. Sol: 130, 110 y 70

16. la suma de las edades de tres personas es 88 años. La mayor tiene 20 años más que la menor y al del medio 18 años menos que la mayor. ¿Hallar las edades de cada uno?

Sol: 42, 24 y 22 17. Dividir 642 en dos partes teles que una exceda a la otra en 36.

Sol: 339 y 303 18. Se ha comprado una computadora y su mueble en $ 600. si la computadora costo cuatro veces más que el mueble,

¿Cuánto costó la computadora y cuanto el mueble?

Sol: 480 y 120 19. Si en un hotel de dos pisos hay 48 habitaciones. Si las habitaciones del segundo piso son la mitad de las del primero,

¿cuántas habitaciones hay en cada piso?

Sol: 32 y 16 20. Deseo repartir Bs. 300 entre el 2do A; 2do B y el Tercero del colegio, de modo que la parte del 2do B sea el doble que la

del 2do A y la del tercero el triple de la del 2do A.

Sol: 50, 100 y 150 21. El mayor de dos números es 6 veces el menor y ambos números suman 147. hallar los números.

Sol: 126 y 21

22. Dividir el número 850 en tres partes de modo que la primera sea el cuarto de la segunda y el quinto de la tercera. Sol: 85, 340 y 425

23. El doble de un número equivale al número aumentado en 111. hallar el número.

Sol: 111 24. La edad de María el triple de la de Rosa más quince años y ambas edades suman 59 años. Hallar ambas edades.

Sol: 48 y 11

25. Si un número se multiplica por 8 el resultado es el número aumentado en 21. Hallar el número. Sol: 3

26. Si al triple de mi edad sumo 7 años, tendría 100 años. ¿Qué edad tengo? Sol: 31

27. Dividir 96 en tres partes tales que la primera sea el triple de la segunda y la tercera igual a la suma de la primera y la segunda. Sol: 36, 12 y 48

28. La edad de Enrique es la mitad que la de Pedro; la de Juan el triple que la de Enrique y la de Eugenio el doble de la de

Juan. Si las cuatro edades suman 132 años, ¿Qué edad tiene cada uno? Sol: 22, 11, 33 y 66

29. Dividir 254 en tres partes tales que la segunda sea el triple de la primera y 40 unidades mayor que al tercera.

Sol: 42, 126 y 86

30. La suma de tres números es 238. el primero excede al duplo del segundo en 8 y al tercero en 18. hallar los números. Sol: 104, 48 y 86

31. se ha comprado un traje un bastón y un sombrero por $ 259. el traje costo 8 veces lo que el sombrero y el bastón $ 30

menos que el traje. Hallar los precios respectivos.

Sol: 136, 106 y 17 32. La suma de tres números es 72. El segundo es 1/5 del tercero y el primero excede al tercero en 6. Hallar los números.

Sol: 36, 6 y 30



33. Entre Paola y Jhonny tienen Bs. 99. la parte de Jhonny excede al triple al de Paola en 19. Hallar la parte de cada uno.

Sol: 20 y 79

34. Una varilla de 74 cm., de longitud se ha pintado de azul y blanco. La parte pintada de azul excede en 14 cm., al doble de la parte pintada de blanco. Hallar la longitud de la parte pintada de cada color. Sol: B = 24 cm y A = 54 cm

35. El exceso de un número sobre 80 equivale al exceso de 220 sobre el doble del número. Hallar el número.

Sol: 100

36. Las edades de un padre y su hijo suman 83 años. La edad del padre exceden 3 años al triple de la edad del hijo. Hallar ambas edades. Sol: 63 y 20

37. En una elección en que había 3 candidatos: Evo, Tuto y Samuel, se emitieron 9.000 votos. Tuto obtuvo 500 votos menos

que Evo y 800 votos más que Samuel. ¿Cuántos votos obtuvo el candidato ganador? Sol: 3.600 votos

38. El exceso de 8 veces un numero sobre 60 equivale al exceso de 60 sobre 7 veces el número. Hallar el número. Sol: 8

39. Preguntando un hombre por su edad responde: Si al doble de mi edad se quitan 17 años se tendría lo que me falta para

tener 100 años. ¿Qué edad tiene el hombre?Sol: 39 años

40. La suma de dos números es 100 y el doble del mayor equivale al triple del menor. Hallar los números. Sol: 60 y 40

41. Las edades de un padre y su hijo suman 60 años. Si la edad del padre se disminuyera en 15 años se tendría el doble de la edad del hijo. Hallar ambas edades. Sol: 45 y 15

42. Dividir 1080 en dos partes tales que la mayor disminuida en 132 equivalga a la menor aumentada en 100.

Sol: 656 y 424

43. Dos ángulos suman 180º y el doble del menor excede en 45º al mayor. Hallar los ángulos. Sol: 75º y 105º

44. La suma de dos números es 540 y el mayor excede al triple del menor en 88. Hallar los números. Sol: 427 y 113 45. La diferencia de dos números es 36. Si el mayor se disminuye en 12 se tiene el cuádruplo del menor. Hallar los

números. Sol: 44 y 8

46. Un perro y su collar han costado $ 54, y el perro costo 8 veces más que el collar. ¿Cuánto costo el perro y cuanto el collar? Sol: 48 y 6

47. En una clase hay 60 alumnos entre jóvenes y señoritas. El número de señoritas excede en 15 al doble de los jóvenes.

¿Cuántos jóvenes hay en la clase y cuantos son señoritas? Sol: 45H y 15M

48. Dividir 160 en dos partes tales que el triple de la parte menor disminuido en la parte mayor equivalga a 16. Sol: 116 y 44

49. La suma de dos números es 506 y el triple del menor excede en 50 al mayor aumentado en 100. hallar los números.

Sol: 164 y 342 50. Una varilla de 84 cm., de longitud está pintada de rojo y negro. La parte roja es 4 cm., menor que la parte pintada de

negro. Hallar la longitud de cada parte. Sol: N = 44 cm y R = 40

51. La edad actual de María es el doble que la de Juan, y hace 10 años la edad de Maria era el triple que la de Juan. Hallar las edades actuales. Sol: 40 y 20

52. La edad de Jaime es tres veces más que la de Mauricio y dentro de 5 años será el doble. Hallar las edades actuales.

Sol: 15 y 5



53. En una clase el número de señoritas es 1/3 del número de varones. Si ingresaran 20 señoritas y dejaran de asistir 10 varones, habría 6 señoritas más que varones. ¿Cuántos varones hay y cuantas señoritas? Sol: 12M y 16H

54. La edad de un padre es el triple de la de su hijo. La edad que tenía el padre hace 5 años era el doble de la edad que

tendrá su hijo dentro de 10 años. Hallar las edades actuales. Sol: 75 y 25

55. La suma de dos números es 85 y el número menor aumentado en 36 equivale al doble del mayor disminuido en 20. Hallar los números. Sol: 38 y 47

56. Enrique tiene 5 veces el dinero que tiene su hermano. Si Enrique le diera a su hermano Bs. 50 ambos tendrían lo mismo.

¿Cuánto tiene cada uno? Sol: 125 y 25

57. El número de días que ha trabajado Pedro es 4 veces el número de días que ha trabajado Enrique. Si Pedro hubiera trabajado 15 días menos y Enrique 21 días más, ambos habrían trabajado igual número de días. ¿Cuántos días trabajo cada uno? Sol: 48 y 12

58. Hace 14 años la edad de un padre era el triple de la edad de su hijo y ahora es el doble. Hallar las edades respectivas

hace 14 años. Sol: 42 y 14

59. Dentro de 22 años la edad de Juan será el doble de la de su hijo y actualmente es el triple. Hallar las edades actuales. Sol: 66 y 22

60. Entre Fabiola y Carla tienen $ 84. Si Fabiola gana $ 80 y Carla $4, Fabiola tendrá el triple de lo que tiene Carla.

¿Cuánto tiene cada una? Sol: 46 y 38

61. Compre doble número de sombreros que de trajes por $ 702. Cada sombrero costo $ 2 y cada traje $ 50. ¿Cuántos sombreros y cuantos trajes se compró? Sol: 26 y 13

62. Un hacendado compro caballos y vacas por $ 40.000. por cada caballo pago $ 600 y por cada vaca $ 800. si compró 6 vacas menos que caballos. ¿Cuántas vacas y cuantos caballos compró? Sol: 264 vacas y 32 caballos

63. Un padre pone 16 problemas a su hijo con la condición de que por cada problema que resuelva el muchacho recibirá

Bs. 12 y por cada problema no resuelto perderá Bs. 5. Después de trabajar en los 16 problemas el muchacho recibe Bs. 73. ¿Cuántos problemas resolvió y cuantos no resolvió? Sol: Resuelve 9 y no resuelve 7

64. Un comerciante compró 35 camisas de Bs. 30 y de Bs. 25, pagando por todos Bs. 1015. ¿Cuántos trajes de cada precio

compró? Sol: 28 tra de Bs. 30 y 7 tra de Bs.25

65. Un comerciante compro pantalones de dos calidades por Bs.1624. De la calidad mejor compró 32 pantalones y de la calidad inferior 18. Si cada pantalón de la mejor calidad le costó Bs.7 más que cada pantalón de la calidad inferior, ¿Cuál era el precio de un pantalón de cada calidad? Sol: Mejor = Bs.35 y Inferior = Bs.28

66. Pague $582 por cierto número de quintales de azúcar y arroz. Por cada saco de azúcar pague $5 y por cada saco de arroz

$6.Si el número de sacas de arroz es el triple del número de sacos de azúcar más 5, ¿cuántos sacos de azúcar y cuantos de arroz compré?. Sol: 24 de azúcar y 77 de arroz

67. Dividir el número 1050 en dos partes tales que el triple de la parte mayor disminuido en el doble de la parte menor equivalga a 1825. Sol: Mayor = 785 y Menor = 265

68. Dividir 196 en tres partes tales que la segunda sea el doble de la primera y la suma de las dos primeras exceda a la

tercera en 20. Sol: 36, 72 y 88

69. La edad de María es el triple que al de Juana y hace 5 años era el cuádruple de la de Juana. Hallar las edades actuales. Sol: María 45 y Juana 15



70. Un Comerciante adquiere 50 pantalones y 35 camisas por Bs.16.000. Cada pantalón costo el doble de lo que costo cada camisa más Bs.50. Hallar el precio de un pantalón y de una camisa. Sol: Pan = Bs.250 y Cam = Bs.100

71. 6 personas iban a comparar una casa contribuyendo por partes iguales pero dos de ellas desistieron del negocio y

entonces cada una de las restantes tuvo que poner $2000 más. ¿Cuál era el valor de la casa? Sol: $ 24.000

72. La suma de dos números es 108 y el doble del mayor excede al triple del menor en 156. Hallar los números. Sol: 96 y 12

73. El largo de una habitación, que es 461 pies, excede en 11 pies a 9 veces el ancho. Hallar el ancho. Sol: 50 pies

74. Tenía $85. Gaste cierta suma y lo que me queda es el cuádruplo de lo que gaste. ¿Cuánto gaste? Sol:$17

75. Hace 12 años la edad de Juan era el doble que la de Pedro y dentro de 12 años, la edad de Juan será 68 años menos que el triple de la edad de Pedro. Hallar las edades actuales. Sol: Juan 52 y Pedro 32

76. Si a un número se resta 24 y la diferencia se multiplica por 12, el resultado es el mismo que si al número se resta 27 y la

diferencia se multiplica por 24. Hallar el número. Sol: 30

77. Un terrateniente compra 35 caballos. Si hubiera comprado 5 caballos más por el mismo precio. Cada caballo le habrá costado $10 menos. ¿Cuánto le costó cada caballo? Sol: $80

78. El exceso del triple de un número sobre 55 equivale al exceso de 233 sobre el número. Hallar el número. Sol: 72 79. Hallar tres números enteros consecutivos, tales que el doble del menor más el triple del mediano más el cuádruplo del

mayor equivalga a 740. Sol: 81, 82 y 83

80. Un hombre ha recorrido 150 km. En auto recorrió una distancia triple que a caballo y a pie, 20 kilómetros menos que a caballo. ¿Cuántos kilómetros recorrió de cada modo? Sol. Auto 102 Km., caballo 34 Km. y a pie 14 Km.

81. Un hombre deja una herencia de Bs.16.500 para repartir entre 3 hijos y 2 hijas, y manda que cada hija reciba Bs.2000 más que cada hijo. Hallar la parte de cada hijo y de cada hija. Sol: Hijo Bs.2500 E hija Bs.4500

82. La diferencia de los cuadrados de los números enteros consecutivos es 31. Hallar los números.Sol: 15 y 16 83. La edad de Ana es el triple de la edad de Mario, y la de Mario 5 veces la de Juan. Mario tiene 12 años más que Juan.

¿qué edad tiene cada uno? Sol: Ana 45,Mario 15 y Juan 3

84. El martes gane el doble de lo que gane el lunes: el miércoles el doble de lo que gane el martes; el jueves el doble de lo que gane el miércoles; el viernes $30 menos que el jueves y el sábado $10 más que el viernes. Si en los 6 días he ganado $ 911. ¿Cuánto gane cada día? Sol: L = $31, M=$62, M=$124, J=$248, V=$218 y S=$228

85. Hallar dos números cuya diferencia es 18 y cuya suma es el triple de su diferencia. Sol: 36 y 18

86. Entre Mario y José tienen $36. Si Mario perdiera $16, lo que tiene José seria el triple de lo que le quedaría a Mario.

¿Cuánto tiene cada uno? 87. Cinco personas han comprado una tienda contribuyendo por partes iguales. Si hubiera habido dos socios más, cada uno

hubiera pagado Bs. 800 menos. ¿Cuánto costó la tienda?

88. Compre cuatro veces más número de caballo que de vacas. Si hubiera comprado cinco caballos más y 5 vacas más tendría triple número de caballos que de vacas. ¿Cuántos caballos y cuantas vacas compre?

89. En cada día, de lunes a jueves, gane $6 más que lo que gane el día anterior. Si el jueves gane el cuádruple de lo que gane

el lunes, ¿Cuánto gane cada día?

90. Tenía cierta suma de dinero. Ahorre una suma igual a lo que tenía y gaste Bs.50; luego ahorre una suma igual al doble de lo que me quedaba y gaste Bs.390. Si ahora no tengo nada, ¿Cuánto tenia al principio?



91. Hace cinco años la edad de un padre era tres veces la de su hijo y dentro de cinco años será el doble. ¿Qué edades tienen

ahora el padre y el hijo?

Ø ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.

1) 60 = 8x2 + 157x. 6) x(x – 1) – 5(x – 2) = 2. 11. (4 – x)(4 + x) – x = 2(4x + 3) 2) (x – 2)2 – (2x + 3)2 = -80. 7) (y – 2)3 – (y – 3)3 = 37. 12. y2 – 5y – 10 + 5y2 = 7y.

( )

332

11)5

33

522)4

742)3

2

+=-

+-

=-

-+

=++

xxx

yy

yy

yy

4153

2)10

121495

423)9

5612

3214)8

+=+

-

+-=

+++

=+-

xxx

xu

uuuu

uu

392

11

11)14

11

21

23)13

++

=-+

++-

+=

--

+

xx

xx

xx

xxx

1) (z + 2)3 – (z – 1)3 = z(3z + 4) + 8. 17) 2y2 – 7(y + 3) = (y + 5)(y – 2). 2) (x – 1)(x + 2)–(2x –3)(x + 4) – x + 14= 0 18) (x – 1)2 + 11x + 199 = 3x2 – (x – 2)2.

( )

22

22

2)8

021

21)7

853

16

15)6

23

221)5

49711)4

2

2

222

2

=+

++

=-+

=+

--

-=

--

+-=-

+

zz

zz

xx

xx

xxxx

xx

xx

( ) ( ) ( )

241

32

54)16

3738

35)15

821

61

1521)14

1281

821

431)13

53515

524

41)12

33

222

222

2

=++

-++

=÷øö

çèæ --÷

øö

çèæ -

-+=

-++

--

+-=

-++

-+

-=-+-

xx

xx

xx

xxxxxx

xxxxxx

xxx

- ECUACIONES CON RADICALES.

a) 7312 -=-- xxx d) 02123 =-++- xxx g) 3342 =-+ xx j)7

872+

++=x

xx

b) 452 =+- xx e) xxx 2315 =--- h) 53

63 =+

++x

x k) xxx 28 =++

c) 3312 =++- xx f) 116513 +=++ xxx i) 54=+

xx l) 011376 =+-++- xxx

Tema: Sistema de Ecuaciones.

1. Resuelve cada sistema utilizando uno de los métodos algebraicos.



îíì

=+=-93

6122)1

yxyx

îíì

-=+-=+

)21(361)6(2

)2yx

xy

îíì

=-=+

9212

)3yx

yx

ïïî

ïïí

ì

=+

=+

613

23

232)4yx

yx

ïî

ïíì

=+

=+

576

15

43)5

yx

yx

ïïî

ïïí

ì

-+

=-

-+

=-

110

287

24

23

129

15

)6yx

xy

ïïî

ïïí

ì

=+

=+

72

112

3

)7yx

yx

ïïî

ïïí

ì

=-

+

=-

-+

125

62

247

36)8yxx

xyyx

ïïî

ïïí

ì

-=-

+-

-=-

--

136

38

3

724

2

)9yxyyx

xxyx

ïïî

ïïí

ì

-=-

+=-

-

yxxy

yyx

335

2362312

)10 ( ) ( )

ïî

ïíì

=-

+-

-=-

01

113

564

)11yx

yxxy

ïïî

ïïí

ì

-=+-

=++

212

741721

65)3(3

)12

yyxyxyx

ïî

ïíì

=---

=-+

0534212

14

)13yx

yx

yx

( ) ( )

( )îíì

=-++-+=+

6323323)14

22

yxyxyxx

( ) ( )( ) ( )î

íì

=+--+--=-yxx

yxx32315

6312)1522

ïïî

ïïí

ì

=-

-=-

1211

203

301

65)16yx

yx

ïïî

ïïí

ì

--

=-+

--

=+-

53

11

57

22

)17

yy

xx

yy

xx

ïïî

ïïí

ì

+=

+-

--=

+-

210

46

1237

6327

)18

yyx

yxyx ( ) ( )( ) ( )î

íì

=+---=-

25364

)19xyyxyxxy

ïïî

ïïí

ì

+=

-=-

43310

25

4

)20yx

yx

ïïî

ïïí

ì

-=-+-+-

+-=+

-

21

21

21

32

)21

yxyx

yxyx

ïïî

ïïí

ì

-=--

-=

+-

1018

723

352

914

)22xyy

yxx

( )

( )ïïî

ïïí

ì

=--+

-=--+

4012

62

60517

52

)23xy

yx

2. Sistema de ecuaciones con tres incógnitas.

ïî

ïí

ì

=-+-=--

=++

131426

132)

zyxzyxzyx

a ïî

ïí

ì

=+--=++

=++

3521243

8324)

zyxzyxzyx

b ïî

ïí

ì

-=-+=+--=-+

27638523

35437)

zyxzyxzyx

c ïî

ïí

ì

=-+=-+-=+-

3332630433654

)zyxzyx

zyxd

ïî

ïí

ì

=-+-=+-=-+

10151212158661049

)zyx

zyxzyx

e ïî

ïí

ì

-=+-=+

=+

61

1)

xzzyyx

f

ïïï

î

ïïï

í

ì

=+-

-=-+

=-+

0636

5263

3332

)

zyx

zyx

zyx

g

ïïï

î

ïïï

í

ì

=-+

=-+

=++

36310

0365

21343

)

zyx

zyx

zyx

h

ïïï

î

ïïï

í

ì

=-

-

=+

-

=+

-

52

108

43

)

xyz

zxy

zyx

i

ïïï

î

ïïï

í

ì

-=-

-

-=+

-

+=+

-

53

7

62

4

45

2

)

yxz

xzy

zyx

j

ïïï

î

ïïï

í

ì

-=--

=-

--

=-

+-

52

042

32

)

xzy

zxyx

zyyx

k

ïïï

î

ïïï

í

ì

+=

-

-=

-

+=+

+

102

3

24

5

54

7

)

xzy

yzx

yyx

n



1. Resolver las siguientes Inecuaciones Lineales:

2317 d) 25 c) 5 12 b) 75-4x ) ³-<-³+< xxxa

¥<££+<<<<<££<-<-<-+£-

5-7x9 l) 1885x8 k) 154x-233 j) 92x-71 i)87-3x2 h) 5921 g) 692 f) 4345) xxxxxe

2. Resolver las siguientes Inecuaciones Cuadráticas y de Grado Mayor.

( ) ( )( ) ( ) 411)

11)

0103)032)045)

110)016)

22

2222

2

2

2

2

2

<--+

-<+

£--

³-+

<+-

<-

<-

xxg

xxf

xxexxdxxc

xbxa

( )

0)01)01)

0)04)04)

02510)

3

4

3

24

2

2

2

<-

<-

>-

<+

<+

<+

£+-

xxnxmxl

xxkxjxi

xxh

0256)045)03613)

0242274)08126)

040183)010178)

8

35

24

234

23

23

23

>-

>+-

>+-

<++--

<-+-

<+--

>-+-

xnxxxt

xxsxxxxr

xxxqxxxpxxxo

3. Resolver las siguientes inecuaciones Algebraicas.

14

2)

02

5)

48)

13)

<-

<-

£

>

xd

xc

xb

xa

153)

2353)

121

)

042)

>--

>--

<--

<--

xxh

xxg

xxf

xxe

091

)

123127)

03486

)

2413

)

2

2

2

2

2

2

<++

<+-+-

>+-+-

<--

xx

l

xxxxk

xxxx

j

xx

i

62

41

23)

33

12)

01

22

1)

23

41

)

<-

+-

+

+>+

<-

--

--

<--

xxxp

xx

xk

xxj

xx

xx

m

132

1920

135 t)

5-x1

4-x11

2098 s)

1

111 r) 1

47

14

)

22

222

-<

--

++>+

+--

--

->

+-<

++

-

xxxxxx

xxxxxxxq

4. Resuelve las siguientes Ecuaciones con Valor Absoluto.

324)

52)

25)

73)

=-+

=-

=+

=+

xxd

xc

xb

xa

223

)

793)

37)

592)

=-

+

-=-

-=-

=-

xx

h

xxg

xxf

xe

231

)

5335)

5432)

47)

=-+

+=-

+=+

-=

xx

l

xxk

xxj

xxi

134)

1125)

43283

)

522

)

=+

=-

=-+

=-+

xp

xoxxn

xxm

5. Resolver las siguientes Inecuaciones con Valor Absoluto.



483)

16)

192)

25)

>-

>-

<-

<-

xd

xc

xb

xa

231)

1252)

131)

>--

<+-

£--

xxg

xxf

xxe

4153)

15

3)

23

4)

>++

<-

>-

xxj

xi

xh

0854)

0632)

059)

057)

<---

<---

>---

<---

xxn

xxm

xxl

xxk

21

125)

036

24)

026

13)

-³

-

<---

+-

£--

-+-

xxq

xx

xxp

xx

xxo

4334)

14

45)

8)

1045)

610)

22

2

2

3

2

2

--£-+

<-

+-

£

<--

<-

xxxxv

xxxu

xt

xxs

xr



PRÁCTICO DE TRIGONOMETRIA

Resolver los siguientes ejercicios. 1. Resolver el triangulo ABC, rectángulo

en B, con los datos dados en cada uno de los siguientes incisos.

a) A=34°; b=12,7cm b) A=41°27´; b=18,83cm c) A=58°40´; a=63,4cm d) b=60m; c=43cm e) b=37,9cm; c=18,5cm f) c=31,6cm; a=12,3cm g) b=141m; c=0,18km 2) Determinar el valor de las 5 funciones trigonométricas restante del ángulo q .

tan)c csc)b 3615

32 == qq

65

35

64

==

==

qq

qq

tani) cos)h

;sec)g ;csc)f

3) Si tanA = 2/5; y hallar el valor de: a) y=sen2A + cos2A b) x=cot2A + sec2A c) m=tanA*cotA+sen2A d) y=cos2A*cotA - sen2A*csc2A 4) Si tanA= 4/3; y cosB= 12/13.

determinar el valor de: a) y=senA - cosB b) x=sec2A – tan2A c) m=csc2B – cot2B d) t= sen3A*cosA + cos3A*senA 5) Calcula el valor de “y” en cada una de

las siguientes figuras: a)

c)

d)

1) En las siguientes graficas hallar el valor de “x”. a)

b)

c)

1. Resuelve el triangulo rectángulo cuya suma de catetos es de 252,4 metros y su diferencia es de 7,6 metros.(Halla sus ángulos y la hipotenusa).

Sol: Hip: 178,55; ángulo A = 46°43´29´´ yB = 43°16´31´´ 2. Dos fuerzas que forman un ángulo recto, actúan sobre un cuerpo. Si

el valor de la resultante es de 20 Newton (unidades de fuerza), y una de las fuerzas forma un ángulo de 50° con la resultante, calcular el valor de cada fuerza.Sol: F1 = 15,3209N y F2 = 12,85N

3. Un rectángulo ABCD, tiene como base AB = 4,2m; altura BC = 1,47m. Hallar la medida del ángulo que forma la diagonal AC con la base. Sol: 19°17´24´´

4. Un poste de alumbrado tiene una altura de 4m. Un observador esta parado frente al poste a una distancia de 2m del mismo. Si la estatura del observador es 1,7m. ¿Cuál es la longitud de la sombra que proyecta el observador sobre el piso? Sol: 1,48metros

5. Una escalera se encuentra apoyada contra un muro, de manera que la distancia entre el pie de la escalera y el muro es de 1,2 metros. ¿A que altura del suelo se apoya la escalera y cual es su largo si se forma con él un ángulo de 70°?

Sol: 3,30m de alto y 3,51m el largo de la escalera 6. La altura de un triangulo isósceles tiene una longitud da 10cm, y uno

de los ángulos iguales mide 30°20´10´´. Calcular las medidas de: a) los tres lados del triangulo. b)los ángulos del triangulo. Sol: a) 19,8m; 19,8m y 34,18m

7. Una escalera de 3m esta recostada sobre una pared vertical y sobre el piso horizontal y forma un ángulo de 63°18´ con la horizontal. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared? Sol: 2,68metros

8. Desde un punto situado a 2m sobre el nivel del piso, un hombre de 1,7m observa la torre de un edificio situado a 20m sobre la horizontal. Si el ángulo que forma la visual con la horizontal es de 45°, ¿Cuál es la altura del edificio?Sol: 23,7metros

9. La base de un triangulo isósceles mide 8 metros y el ángulo opuesto a la base 30°. Determinar las longitudes de las tres alturas del triangulo.Sol: h1 = 7,72m; h2 = 7,72m y h3 = 14,93m

10. Desde la torre de un fuerte costero, cuya altura es de 580 metros sobre el nivel del mar, se divisa un barco con un ángulo de depresión de 24°. ¿A que distancia de la base de la torre esta ubicado el barco?Sol: 1302,7m

11. Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que esta situada a 8 metros del suelo y observa el edificio de enfrente de la siguiente manera: La parte superior, con un ángulo de elevación de 30° y la parte inferior con en ángulo de depresión de 45°. Determina la altura del edificio de enfrente. Sol: 12,62m

12. Un observador ve un globo aerostático con un ángulo de elevación de 30°. Acercándose 800m, el globo se ve con un ángulo de 40°, como muestra la figura 1. Determina a que altura se encuentra el globo. Sol: 1480,68m



b)

13. Un ingeniero va en un avión que vuela sobre el mar a 800m, de altura y observa los barcos B1 y B2 con ángulos de depresión 34° y 62° respectivamente. Determiné la distancia entre los barcos. Sol: 760,688m

14. Una bodega de forma rectangular, tiene 40m de largo por 20m de ancho, se desea cubrir con un techo a dos aguas iguales, dispuesto longitudinalmente, de modo que la luz de caballete tenga 100°. Determinar el número de m2 que se desea cubrir. Sol: 1080m2

PRÁCTICO DE GEOMETRIA ANALITICA

1. Hallar el perímetro de los triángulos cuyos vértices son:

a) (-2,5); (4,3) y (7,-2). b) (2,-5);(-3,4) y (0,-3) Solución: a) 23,56 b) 20,74

2) Demostrar que los triángulos dados por las coordenadas de sus vértices son rectángulos.

a)(0,9);(-4,-1);(3,2). b)(-2,8),(-6,1),(0,4)

3) Hallar las coordenadas del punto que equidista de los puntos fijos:

a) (3,3),(6,2),(8,-2). b) (2,3),(4,-1),(5,2). Solución; a) (3,-2). b) (3,1).

4) Demostrar mediante la formula de la distancia, que los puntos siguientes son colineales:

a)(0,4);(3,-2);(-2,8). b)(1,3),(-2,-3),(3,7).

5) Hallar el punto de abscisa 3 que diste 10 unidades del punto (-3,6).Solución: (3,-2), (3,14).

6) Hallar las coordenadas de un punto P(x,y) que divida al segmento dado.

a) A(4,-3) y B(1,4). r=2 b) A(0,3) y B(7,4). r=-2/7 c) A(5,3) y B(-3,-3) r=1/3 Sol: a)(2,5/3);b)(3,3/2);c)(-4/7, 11/7)

7) Hallar las coordenadas del baricentro de los triángulos cuyos

11) Demostrar analíticamente que las rectas que unen los puntos medios de los lados adyacentes del cuadrilátero A(-3,2), B(5,4), C(7,-6) y D(-5,-4) forman otro cuadrilátero cuyo perímetro es igual a la suma de las diagonales del primero.

12) Demostrar que las rectas que unen los puntos medios de dos lados de los triángulos del problema 7 son paralelas al tercer lado e iguales a su mitad.

13) Dado el cuadrilátero A(-2,6), B(4,4), C(6,-6) y D(2,-8),demostrar que:

a. la recta que une los puntos medios de AD y BC pasa por el punto medio del segmento que une los puntos medios de AB y CD.

b. Los segmentos que unen los puntos medios de los lados adyacentes del cuadrilátero forman un paralelogramo.

14) Demuestra que el punto (1,-2) esta situado en la recta que pasa por los puntos (-5,1) y (7,-5) y que equidista de ellos.

15) Hallar los ángulos interiores de los triángulos cuyos vértices son:

a)(6,5);(1,3);(5,-7). Sol. 45°; 45° y 90° b) (6,5);(1,3);(5,-7).Sol.109°; 39,2°

16) Demostrar, hallando los ángulos interiores, que los triángulos siguientes son isósceles, y efectuar la comprobación calculando las longitudes de los lados.

a) (3,2);(5,-4);(1,-2). Sol. 45°; 45°; 90°

22) Los vértices de un triangulo son: A(-1,3), B(3,5) y C(7,-1). Si D es el punto medio del lado AB y E es el punto medio del lado BC, demuestra que la longitud del segmento DE es la mitad de la longitud del lado AC.

23) En un triangulo rectángulo cuyos vértices son: (2,-2), (-8,4) y (5,3), demuestra que el punto medio de la hipotenusa equidista de los tres vértices.

LA LINEA RECTA

1) En cada uno de l os siguientes casos encontrar la ecuación general de la recta con las condiciones dadas:

a) pendiente –3 intercepta con al eje “y” en –2. b) Pendiente − e intercepta al eje “x” en 3.

c) Intercepta al eje “x” en− y al eje “y” en− .

2) En el triangulo de vértices: A(-5,6), B(-1,-4) y C(3,2). Hallar: a) Las ecuaciones de sus medianas Sol: 7x+6y-1=0; x+1=0; x-6y+4=0 b) El punto de intersección de sus medianas.Pto: (-1, 4/3) c) Hallar las ecuaciones de sus alturas. Sol:2x+3y-8=0; 2 x-y-2=0; 2 x-5y+4=0 d) El punto de intersección de sus AlturasPto: (7/4,3/2.) e) Hallar las ecuaciones de sus mediatrices. Sol:2x-5y+11=0; 2 x-y+6=0; 2 x+3y+1=0 f) El punto de intersección de sus mediatricesPto: (-19/8,5/4)

3) Halla el valor de “k” para que la recta que pasa por los puntos (2,3) y (5,0) y la recta que pasa por los puntos (k,-2) y (1,1); sean:

a) Paralelas Sol: 4 b) Perpendiculares. Sol: - 2.

4) Encontrar la ecuación general de la recta que satisface las siguientes condiciones.

a) Pasa por (1,1)y es paralela a la recta que pasa por: (3,2) y (-5,7). b) Pasa por (1,3) y es paralela al eje “x”. c) Pasa por (1,3) y es perpendicular al eje “y” d) Pasa por (0,1) y es perpendicular a la recta que pasa por: (1,2) y (-2,3) e) Pasa por (-1,2) y es paralela a la recta: y-x-1=0 f) Pasa por (3,-2) y es perpendicular a la recta que: 2x-3y-4=0.

5) Las ecuaciones de los lados de un cuadrilátero son:3x-8y+36=0; x+y-10=0;



vértices son: a) (5,7);(1,-3);(-5,1). b) (2,1);(6,7),(-4,-3) Sol: ( ) ( ) ,3

4 b) ;,31 )a 13

5

8) Sabiendo que el punto (9,2) divide al segmento que determinan los puntos ( , ) y ( ; ) en la relación = . Hallar las

coordenadas del . 3

9) Hallar las coordenadas de los vértices de un triangulo sabiendo que las coordenadas de los puntos medios de sus lados son: (-2,1);(5,2) y (2,-3).

Sol: (1,6);(9,-2) y (-5,-4). 10) Demostrar que en los triángulos

isósceles del Problema 16.Dosde las medianas son de la misma longitud.

b) (1,5);(5,-1);(9,6). Sol. 63°26’; 63°26’

17) El ángulo formado por la recta que pasa por los puntos (-4,5) y (3,y) con la que pasa por (-2,4) y(9,1) es de 135°. Hallar el valor de y. Sol. Y=9.

18) Hallar la pendiente de una recta que forma un ángulo de 45° con la recta que pasa por los puntos de coordenadas (2,-1) y (5,3).Sol. 72 -=m

19) Hallar las áreas de los triángulos cuyas coordenadas de los vértices son:

d) (0,4);(-8,0);(-1,-4). Sol. 30 e) (-7,5);(1,1);(-3,3). Sol. 0. Razonar la rpta

20) Hallar las áreas delos polígonos cuyas coordenadas de los vértices son:

a) (25);(7,1);(3,-4) y (-2,3) Sol. 18.5. b) (1,5);(-2,4);(-3,-1);(2,-3) y (5,1) Sol. 28.

21) Demostrar que las rectas que unen los puntos medios de los lados de los triángulos del Problema 31 divides a cada uno de ellos en cuatro triángulos de áreas iguales.

3x-8y-19=0 y x+y+1=0. Demuestra que la figura es un paralelogramo, y halla las coordenadas de sus vértices.

6) Tres de los vértices de un paralelogramo son (-1, 4),(1, -1) y (6,1). Si la ordenada del cuarto vértice es 6, ¿Cuál es su abscisa?

7) Demuestra que los cuatro puntos (2,4), (7,3), (6, -2) y (1,-1) son vértices de un cuadrado y que sus diagonales son perpendiculares y se dividen mutuamente en partes iguales.

8) En el triangulo cuyos vértices son: A(-2,1), B (4,7), C (6,-3).

b) Hallar las ecuaciones de sus lados. c) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el vértice A y es paralela al lado opuesto BC. d) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el vértice B y es paralela al lado opuesto AC. e) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el vértice C y es paralela al lado opuesto AB. f) Hallar los vértices del triangulo formado por las rectas que pasan por los vértices A,

B y C y son paralelas a los lados opuestos. g) Hallar las ecuaciones de las medianas y las coordenadas de su punto de intersección. h) Hallar las ecuaciones de las alturas y su punto de intersección. i) Hallar las ecuaciones de las mediatrices de los lados y las coordenadas de su punto

de intersección.

9) Halla el valor de “k” en las ecuaciones de las rectas siguientes de forma que se verifique la condición que se indica.

a) (2+k)x-(3-k)y+4k+14=0 pase por el punto: (2,3). b) kx+(3-k)y+7=0, la pendiente de la recta sea 7 c) 5x-12y+3+k=0, la distancia de esta recta al punto (-3,2), sea igual a 4.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN A LA ECONOMIA

1. Identificar cual de las dos ecuaciones siguientes es una curva de oferta y cual es una curva de demanda; determinar el punto de equilibrio y graficar ambas ecuaciones: 5x+6y-30=0 y x – 3y + 6 = 0

2. En cada uno de los siguientes pares de ecuaciones donde “x” es la cantidad y “y” el precio: a) Determinar cual ecuación representa una curva de demanda y cual oferta. b) Determinar algebraicamente el precio y la cantidad de equilibrio en el mercado. c) Graficar las curvas con los puntos de equilibrio determinados algebraicamente.

îíì

-=+-=+

)21(361)6(2

)1yx

xy

ïïî

ïïí

ì

=+

=+

613

23

232)2yx

yx

ïî

ïíì

=+

=+

576

15

43)3

yx

yx

ïïî

ïïí

ì

-+

=-

-+

=-

110

287

24

23

129

15

)4yx

xy

ïïî

ïïí

ì

=+

=+

72

112

3

)5yx

yx

ïïî

ïïí

ì

=-

+

=-

-+

125

62

247

36)6yxx

xyyx

ïïî

ïïí

ì

-=-

+=-

-

yxxy

yyx

335

236

2312)7

ïïî

ïïí

ì

-=+-

=++

212

741721

65)3(3

)8

yyxyxyx

( ) ( )( )î

íì

=-++-+=+

6323323)9

22

yxyxyxx

( ) ( )( ) ( )î

íì

=+--+--=-yxx

yxx32315

6312)1022

ïïî

ïïí

ì

=-

-=-

1211

203

301

65)11yx

yx

ïïî

ïïí

ì

-=-+-+-

+-=+

-

21

21

21

32

)12

yxyx

yxyx

ïïî

ïïí

ì

+=

-=-

43310

25

4

)13yx

yx

ïïî

ïïí

ì

-=--

-=+-

1018

723

352

914

)14xyy

yxx

( )

( )ïïî

ïïí

ì

=--+

-=--+

4012

62

60517

52

)15xy

yx



3. La curva de demanda para un articulo es: 2

7y

x -= (Donde “y” representa el precio y “x” la cantidad demandada).

a) Hallar la cantidad demandada si el precio es: i) 2 ii) 8 b) Hallar el precio si la cantidad demandada es: i) 2 ii)18 c) ¿Cuál es el mayor precio que se pagaría por dicho artículo? d) ¿qué cantidad se demandaría si el artículo fuera gratis? e) Gráfica la curva.

4. Cuando el precio es de Bs. 50 hay disponibles 50 cámaras de un tipo dado para el mercado, cuando el precio es de Bs. 75 hay disponible 100 cámaras, ¿Cuál es la ecuación de la oferta?

5. Cuando el precio es de Bs. 25 no hay cámara disponible para el mercado, par cada Bs. 10 de aumento en el precio se dispone de 20 cámaras mas para el mercado ¿Cuál es la ecuación de la oferta?

6. Una compañía de autobuses ha observado que cuando el precio de una excursión es de Bs. 50 se vende 30 puesto, si el precio sube a Bs. 80 solo se venden 10. Obtener la ecuación de demanda y graficar.

7. Hallar la ecuación de demanda. Suponiendo que en comerciante de zapatos, colocara e el mercado 50000 pares cuando el precio es de Bs. 35 el par, y 35000 pares cuando cuestan Bs. 50 el par. Suponga que “p” representa el precio y “q” la cantidad, ambas están relacionados linealmente.

8. Un club consigue en un hotel servicio para sus 100 miembros a un precio de Bs. 15 por cada uno y para los invitados adicionales a Bs. 20. Expresar el costo del servicio en función de los invitados.

9. Un fabricante puede producir radios a un costo de 2 dólares cada una. Las radios han sido vendidas a 5 dólares cada una, y, a este precio, los consumidores han estado comprando 2000 radios al mes. El fabricante esta planteando subir el precio de las radios y estima que por cada dólar de aumento en el precio se venderán 800 radios menos cada mes. Expresar el beneficio mensual del fabricante como una “función del precio” al que se venden las radios.

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