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PREDICCIÓN DE SALIDAS Y OBSERVACIÓN DEL ESTADO
EN SISTEMAS NO L INEALES CON MEDIDAS ESCASAS
Ignacio Penarrocha Alos
Departamento de Ingenierıa de Sistemas y Automatica.
Universidad Politecnica de Valencia.
Red Tematica en Ingenierıa de Control.
Jornadas sobre Control No Lineal.
ÍndiceIntroducción
Predicción de salidas
Observador del estado
Estimación de parámetros
Ejemplo
CEA-IFAC — Red de Ingenierıa de Control — Sevilla 4-5 de marzo de 2004 1/21
IntroducciónEl problema de escasez de medidas
Señal de control se actualiza a periodo T constante
Problema: la salida no está disponible en los instantes de actualización.
Factores de fallo:sobrecarga computacional
sensores compartidos
fallo de un sensorerrores de comunicaciónsensores lentos: procesos químicossensores binarios
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CEA-IFAC — Red de Ingenierıa de Control — Sevilla 4-5 de marzo de 2004 2/21
Introducción
Estrategia de control directa Estrategia de control indire cta
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CEA-IFAC — Red de Ingenierıa de Control — Sevilla 4-5 de marzo de 2004 3/21
IntroducciónMuestreo síncrono Muestreo asíncrono
Muestreo síncrono periódico Muestreo asíncrono aleatorio
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Muestreo síncrono aleatorio Muestreo con sensores binarios
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²²²²²²
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½ » ¹ ¼
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CEA-IFAC — Red de Ingenierıa de Control — Sevilla 4-5 de marzo de 2004 4/21
IntroducciónPatrón de muestreo síncrono
Factor de disponibilidad de medidas: δk =
{0 no hay medida en k
1 hay medida en k
Relación entre periodos: Ty = N T
Objetivos
Predicción de salidas
Observación del estado
Estimación de parámetros
Control de procesos
CEA-IFAC — Red de Ingenierıa de Control — Sevilla 4-5 de marzo de 2004 5/21
IntroducciónControl de procesos con medidas escasas
- -Control ZOH - Proceso -rk
6
uk u(t)yk
NTT
- -Control ZOH - Proceso -rk
6
uk u(t)yk
NTT
Predictor-yk
- -Control ZOH - Proceso -rk
yk
6
uk u(t)yk
NTT
? -
Controlmultifrecuencia
Predictor
Controlinferencial
en BA
-
Control conpredictoren BC
CEA-IFAC — Red de Ingenierıa de Control — Sevilla 4-5 de marzo de 2004 6/21
Predicción de salidasPredictores de interpolación
y(tn) = f(y(t1), t1, . . . , y(tn−1), tn−1)
Predicción por extrapolación
Estimación de datos intermuestreo mediante interpolación
Ventajas
Coste reducidoAplicable a todo tipo de muestreosNo requiere de un modelo
Útil para la fase de identificación
InconvenientesLa precisión depende del periodo de muestreoNecesidad de un observador del estado
CEA-IFAC — Red de Ingenierıa de Control — Sevilla 4-5 de marzo de 2004 7/21
Predicción de salidasPredictor basado en modelo E-S (SISO)
yk = −
n∑
i=1
ai yk−i +
n∑
i=1
bi uk−i = −θᵀ
a Yk−1 + θᵀ
b Uk−1
Predictor en bucle abierto
yk = −θᵀ
a Yk−1 + θᵀ
b Uk−1
Store uUk
-
- θb
- ZOH - G(s)
Store yYk
-
- θa-
-
uk
T
NT yk
6-yk+
−
CEA-IFAC — Red de Ingenierıa de Control — Sevilla 4-5 de marzo de 2004 8/21
Predicción de salidasPredictor en bucle cerrado
yk|k−1 = −θaYᵀ
k−1 + θbUᵀ
k−1
yk|k = yk|k−1 + l1 (yk − yk|k−1) δk
yk−j|k = yk−j|k−1 + lj+1 (yk − yk|k−1) δk; j = 1, . . . , n − 1
Yk = [yk|k · · · yk−(n−1)|k]ᵀ
Uk = [uk · · · uk−(n−1)]ᵀ
Store uUk
-
- θb
- ZOH - G(s)
Store yYk
-
- θa-
uk
T
NT yk
- ?
yk−i−1
li δk
1−liδk
6
6
?
? -
+
−
+
+
CEA-IFAC — Red de Ingenierıa de Control — Sevilla 4-5 de marzo de 2004 9/21
Predicción de salidasError de predicción
Notación matricial
Yk|k−1 = A Yᵀ
k−1 + B Uᵀ
k−1
Yk = Yk|k−1 + L h(Yk − Yk|k−1
)δk
A =
−θ
ᵀ
a
I(n−1)×(n)
; B =
θ
ᵀ
b
0(n−1)×(n)
L = [l1 · · · ln]ᵀ
; h = [1 0 · · · 0]
Error de predicción: Ek = Y − Yk
Dinámica del error con predictor BA: Ek+N = AN Ek
Dinámica del error con predictor BC: Ek+N = (I − L h) AN Ek
CEA-IFAC — Red de Ingenierıa de Control — Sevilla 4-5 de marzo de 2004 10/21
Predicción de salidasPredictor basado en E-S
Diseño del vector de ganancias (Dinámica (I − L h) AN )
Muestreo periódico:Asignación de polosRelación con el filtro de Kalman
Muestreo aleatorio (N variable): teoría de procesos estocásticos
Mk = (I − L h) ANk
∃P > 0 / E{Mᵀ
k P Mk} − P < 0 → Estable
Ejemplo: N = {4, 5, 6} con la misma probabilidad.¦ Cálculo de L para N = 5
¦ Mᵀ
4 P M4 + Mᵀ
5 P M5 + Mᵀ
6 P M6 − 3P = −3I, ¿P > 0?
Simplicidad de implementación
Se asegura la estabilidad frente a predictores de BA
Es necesario reconstruir el estado o incluir observador
CEA-IFAC — Red de Ingenierıa de Control — Sevilla 4-5 de marzo de 2004 11/21
Predicción de salidasPredicción de salidas en sistemas no lineales basada en mode lo E-S
Modeloyk = f(yk−i, . . . , yk−n, uk−i, . . . , uk−n)
∆yk ≈ −θᵀ
a ∆Yk−1 + θᵀ
b ∆Uk−1
Predicciónyk|k−1 = f(yk−i|k−1, . . . , yk−n|k−1, uk−i, . . . , uk−n)
yk|k = yk|k−1 + l1 (yk − yk|k−1) δk
yk−j|k = yk−j|k−1 + lj+1 (yk − yk|k−1) δk; j = 1, . . . , n − 1
Dinámica del error de predicción: ∆Ek+N = (I − L h) AN ∆Ek
?
f--
f- -1−liδk
-+
uk
li δk
+
yk
- yk−i−1-
?-
NT
CEA-IFAC — Red de Ingenierıa de Control — Sevilla 4-5 de marzo de 2004 12/21
Observador del estadoObservador en sistemas no lineales con medidas escasas
xk+1 = f(xk, uk) ∆xk+1 = A ∆xk + b ∆uk
yk = h(xk) ∆yk = c ∆xk
Observador de Luenberger
xk|k−1 = f(xk−1, uk−1)
xk = xk|k−1 + K (yk − h(xk|k−1)) δk
Error de estimación aproximado
∆xk = ∆xk − ∆xk
∆xk+N = (I − K c) AN ∆xk
Relación con el predictor basado en modelo E-S
K = An−1 O−1L
CEA-IFAC — Red de Ingenierıa de Control — Sevilla 4-5 de marzo de 2004 13/21
Observador del estadoFiltro de Kalman extendido
Modeloxk+1 = f(xk, uk, wk) wk ∼ N(0, Q)
yk+1 = h(xk+1, vk+1) vk ∼ N(0, R)
Ciclo de propagación
xk|k−1 = f(xk−1, uk−1, 0)
Pk|k−1 = Ak−1Pk−1Aᵀ
k + Wk−1QWᵀ
k−1
Ciclo de actualización
Kk = Pk|k−1Hᵀ
k−1
[VkRV
ᵀ
k + HkPk|k−1Hᵀ
k
]−1
xk = xk|k−1 + Kk
[yk − Hkxk|k−1
]δk
Pk = (I − KkHk)Pk|k−1
Ak =∂fk
∂xk
∣∣∣∣xk,uk
, Wk =∂fk
∂wk
∣∣∣∣xk,uk
, Hk =∂hk
∂xk
∣∣∣∣xk+1|k
, Vk =∂hk
∂vk
∣∣∣∣xk+1|k
CEA-IFAC — Red de Ingenierıa de Control — Sevilla 4-5 de marzo de 2004 14/21
EjemploPéndulo de Furuta
6
ª
-
x
ϕ
θ
y
z
Brazo: Jb, r
Pendulo:m,Jp, l
?mg
(xp, yp, zp)
(xb, yb)
τ-
τ = (Jb+m r2+m l2 sin2 θ)ϕ+m r l cos θ θ
+2 m l2 sin θ cos θ θ ϕ−m r l sin θ θ2+βb ϕ
0 = (Jp+m l2)θ+m r l cos θϕ−m l2 sin θ cos θ ϕ2
−m g l sin θ+βp θ
CEA-IFAC — Red de Ingenierıa de Control — Sevilla 4-5 de marzo de 2004 15/21
EjemploPredicción de salidas en el péndulo de Furuta basada en E-S
ϕk =2 ϕk−1 − ϕk−2 −
1
C2 cos2 θk−2 − D(A + B sin2 θk−2)[D τk−2
− 2BD sin θk−2 cos θk−2(ϕk−1 − ϕk−2)(θk−1 − θk−2)
−BC sin θk−2 cos2 θk−2(ϕk−1 − ϕk−2)2 + CD sin θk−2(θk−1 − θk−2)
2
−CE sin θk−2 cos θk−2 − βbD(ϕk−1 − ϕk−2) + βpC cos θk−2 (θk−1 − θk−2)]
θk =2 θk−1 − θk−2 +1
C2 cos2 θk−2 − D(A + B sin2 θk−2)
[
C cos θk−2 τk−2
+ C2 cos θk−2 sin θk−2 (θk−1 − θk−2)2
− B (A + B sin2 θk−2) sin θk−2 cos θk−2 (ϕk−1 − ϕk−2)2
− 2B C sin θk−2 cos2 θk−2 (ϕk−1 − ϕk−2) (θk−1 − θk−2)
− E (A + B sin2 θk−2) sin θk−2
−βb C cos θk−2 (ϕk−1 − ϕk−2) + βp (A + B sin2 θk−2) (θk−1 − θk−2)]
A=Jb+m r2, B=m l2, C=m r l, D=Jp+m l2, E=m g l
ϕk
θk
ϕk−1
θk−1
=
ϕk
θk
ϕk−1
θk−1
+
l1 1 l1 2
l2 1 l2 2
l3 1 l3 2
l4 1 l4 2
[
ϕk − ϕk
θk − θk
]
δk
A=
2 −
βb D TA D−C2
βp C T
A D−C2 −1 + βb D TA D−C2 −
C E T 2+βp C T
A D−C2
βb C TA D−C2 2 −
βp A T
A D−C2 −
βb C TA D−C2 −1 +
βp A T 2+AET 2
A D−C2
1 0 0 00 1 0 0
CEA-IFAC — Red de Ingenierıa de Control — Sevilla 4-5 de marzo de 2004 16/21
EjemploPredicción de salidas basada en modelo ( N = 10)
0 100 200 300 400−2
0
2
4
6
8
Muestra
φ(ra
d)
0 100 200 300 400−2
−1
0
1
2
3
Muestra
e φ(%)
0 100 200 300 4001
2
3
4
5
Muestra
θ(ra
d)
0 100 200 300 400−2
−1
0
1
2
3
Muestra
e θ(%)
CEA-IFAC — Red de Ingenierıa de Control — Sevilla 4-5 de marzo de 2004 17/21
EjemploPredicción de salidas mediante extrapolación en el péndulo de Furuta ( N = 10)
0 200 400 600−4
−3
−2
−1
0
1
2
Muestra
φ(ra
d)
0 200 400 600−15
−10
−5
0
5
10
15
Muestra
e φ(%)
0 200 400 6001.5
2
2.5
3
3.5
4
Muestra
θ(ra
d)
0 200 400 600−15
−10
−5
0
5
10
15
Muestra
e θ(%)
CEA-IFAC — Red de Ingenierıa de Control — Sevilla 4-5 de marzo de 2004 18/21
EjemploPredicción de salidas mediante interpolación en el péndulo de Furuta ( N = 10)
0 200 400 600−4
−3
−2
−1
0
1
2
Muestra
φ(ra
d)
0 200 400 600−1
−0.5
0
0.5
1
Muestra
e φ(%)
0 200 400 6001.5
2
2.5
3
3.5
4
Muestra
θ(ra
d)
0 200 400 600−1
−0.5
0
0.5
1
Muestra
e θ(%)
CEA-IFAC — Red de Ingenierıa de Control — Sevilla 4-5 de marzo de 2004 19/21
Estimación de parámetrosMétodos de identificación en línea de sistemas LP con medidas e scasas
RLS y predicción de interpolación
Convergencia sesgada
PRLS y predictor basado en modelo E-S
Convergencia dependiente de la inicialización, T y escasez (N/n)
Aparición de atractores erróneos
Basado en modelo (PRLS) Cambio de predictor (RLS → PRLS)
0 5 10 15 20 25 30 35 40−4
−2
0
2
4
6
tiempo (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40−5
0
5
tiempo (s)
a1, a
2
b1
b2
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−3
−2
−1
0
1
2
tiempo (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
0.2
0.4
0.6
0.8
1
tiempo (s)
a2
a1
b1
b2
CEA-IFAC — Red de Ingenierıa de Control — Sevilla 4-5 de marzo de 2004 20/21
EjemploPéndulo de Furuta
6
ª
-
x
ϕ
θ
y
z
Brazo: Jb, r
Pendulo:m,Jp, l
?mg
(xp, yp, zp)
(xb, yb)
τ-
Modelo continuo
τ = (Jb+m r2+m l2 sin2 θ)ϕ+m r l cos θ θ
+2 m l2 sin θ cos θ θ ϕ−m r l sin θ θ2+βb ϕ
0 = (Jp+m l2)θ+m r l cos θϕ−m l2 sin θ cos θ ϕ2
−m g l sin θ+βp θ
Discretización (LP)
Estimación de parámetros
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
0
2
4
6
8
10Θ
CEA-IFAC — Red de Ingenierıa de Control — Sevilla 4-5 de marzo de 2004 21/21
PREDICCIÓN DE SALIDAS Y OBSERVACIÓN DEL ESTADO
EN SISTEMAS NO L INEALES CON MEDIDAS ESCASAS
Ignacio Penarrocha Alos
Departamento de Ingenierıa de Sistemas y Automatica.
Universidad Politecnica de Valencia.
Red Tematica en Ingenierıa de Control.
Jornadas sobre Control No Lineal.