probabilitÀ corsi abilitanti speciali classe 59a iii semestre - 3
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PROBABILITÀ
Corsi Abilitanti Speciali Classe 59A
III semestre - 3
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ESERCIZI!
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Siano date due urne contenenti palline colorate: la prima contiene due palline bianche e tre nere, mentre la seconda tre bianche e quattro nere. Una pallina a caso viene presa dalla prima urna e messa nella seconda e solo in seguito viene estratta una pallina dalla seconda urna e se ne osserva il colore. Qual è la probabilità che sia nera?
ESERCIZIO 1
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Si lancia una moneta due volte.
Calcolare la probabilità che:
a)Escano due teste
b)Esca almeno una croce
c) Non escano croci
d)Esca una testa e una croce
e)Esca prima una testa e poi una croce
ESERCIZIO 2
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Sia dato un mazzo di 40 carte. Calcolare la probabilità di estrarre unasso alla seconda estrazione ( senzareimbussolamento).
ESERCIZIO 3
Calcolare ora la probabilità di estrarre un
asso alla terza estrazione, poi alla quarta ……. ecc
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In un sacchetto ci sono 5 palline, 3 rosse e 2 blu.
Paolo vince 4 euro se esce una pallina rossa, Giovanni 5 euro se esce blu.
Il gioco è equo?
In caso negativo, quanto dovrebbe vincere Giovanni perché il gioco sia equo?
ESERCIZIO 4
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In una classe di 30 alunni, tutti sportivi, 20 praticano il calcio e 15 la pallavolo.
Quanti alunni praticano entrambi gli sport?
Qual è la probabilità, scegliendo un alunno, che pratichi il calcio?
Qual è la probabilità che pratichi il calcio, sapendo che gioca a pallavolo?
ESERCIZIO 5
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PallavoloCalcio
n.alunni = 28
17
3
12
P(calcio) = 15/28
P(calcio\pallavolo) = 3/20 = p(CP)/p(P)
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Siano dati due eventi A e B in uno spazio di probabilità e sia p(B) >0.
Si dice probabilità di A supposto che si verifichi B (o prob. di A condizionata a B):
)(
)()\(
Bp
BApBAp
Cosa comporta il possedere
un’informazione in più?
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Una famiglia ha due figli.
Qual è la probabilità che siano entrambe femmine?
Qual è la probabilità che siano entrambe femmine sapendo che una è femmina?
Qual è la probabilità, sapendo che la prima è femmina, che il figlio successivo sia femmina?
ESERCIZIO 6
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{FF; FM; MF; MM}
F
F F
M
M M
1/2 1/2
1/2 1/2 1/2 1/2Spazio eventi elementari
Grafo ad albero
P1 =1/4
P2= 1/3
P3= 1/2
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In una popolazione il 40% delle persone fuma. Il 25% dei fumatori è affetto da una malattia respiratoria cronica, così come il 7% dei non fumatori.
Determinare la probabilità che una persona scelta a caso sia affetta dalla malattia.
ESERCIZIO 7
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In un gruppo di 100 neonati 51 sono maschi, 68 hanno gli occhi chiari e 38 hanno entrambe le caratteristiche.
Determinare la probabilità che:
a)Un neonato sia maschio se ha gli occhi chiari
b) Un neonato abbia gli occhi chiari se è maschio
ESERCIZIO 8
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Un’urna contiene 10 palline, di cui 6 bianche e 4 rosse.
Qual è la probabilità di estrarre una pallina rossa?
Estraggo una pallina e la metto in tasca senza guardarla. Ne estraggo una seconda e vedo che è rossa.
Qual è la probabilità che la pallina che ho in tasca sia rossa?
ESERCIZIO 9
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Due eventi A e B si dicono indipendenti se il verificarsi di uno non modifica la probabilità che si verifichi l’altro.
p(AB) = p(A) p(B)
EVENTI INDIPENDENTI
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In una popolazione nordica un bambino ha la probabilità di nascere con i capelli biondi è del 60%, mentre quella di raggiungere una statura inferiore a 170 cm è del 35%.
Le due caratteristiche non sono correlate.
Qual è la probabilità per un bambino di quel Paese di avere i capelli biondi e una statura inferiore a 170 cm?
ESERCIZIO 10
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Estraggo una pallina da un’urna che ne contiene 10 B, 15 R, 25 N, poi, dopo averla rimessa nell’urna, ne estraggo un’altra.
Qual è la probabilità di estrarre due palline rosse?
E se l’estrazione fosse senza reimbussolamento?
ESERCIZIO 11
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Estraggo una pallina da un’urna che ne contiene 10 B, 15 R, 25 N, poi, dopo averla rimessa nell’urna, ne estraggo un’altra.
Qual è la probabilità di estrarre due palline rosse?
E se l’estrazione fosse senza reimbussolamento?
ESERCIZIO 11
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L’APPROCCIO ASSIOMATICO
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ESPERIMENTO - processo qualunque di cui non possiamo conoscere il risultato, ma del quale ci sono noti gli esiti possibili, che chiamiamo casi elementari.
: spazio dei casi elementari (insieme che ha come elementi i casi elementari).
L’ambiente
• Ogni sottoinsieme di è detto evento.
• Ogni caso elementare è anche un evento
• è l’evento impossibile
• è l’evento certo
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È QUELLO DELLA TEORIA DEGLI INSIEMI
Il linguaggio
Dati due eventi A e B, si indicherà:
• con AB l’evento corrispondente al verificarsi di A o di B ( cioè se si verifica almeno uno dei due eventi)
• con AB l’evento corrispondente al verificarsi di A e di B ( cioè se si verificano entrambi gli eventi)
• con Ac l’evento corrispondente al non verificarsi di A ( evento contrario ad A)
• con A - B l’evento corrispondente al verificarsi di A e al non verificarsi di B (A - B = ABc)
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EVENTI INCOMPATIBILI - la loro intersezione è l’insieme vuoto (non possono verificarsi contemporaneamente)
Il linguaggio
EVENTI INDIPENDENTI- il verificarsi di uno non modifica la probabilità del verificarsi dell’altro
N.B. Due eventi indipendenti possono essere compatibili
Due eventi incompatibili sono sempre dipendenti
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può essere anche un insieme costituito da infiniti elementi
L’approccio assiomatico
Tutti gli eventi sono sottoinsiemi di , ma non è necessario che tutti i sottoinsiemi dello spazio dei casi elementari siano eventi.
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L’approccio assiomatico
Ad ogni esperimento è possibile associare una coppia (; F ), dove
- è l’insieme dei casi elementari ( casi possibili)
- F è una famiglia (-algebra) di sottoinsiemi di che contiene tutti gli eventi a cui siamo interessati.
Es. Nel lancio di un dado, F può essere costituita dagli eventi:“esce un numero pari” e “ esce un numero dispari”
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L’approccio assiomatico
La terna (; F; p ) è detto spazio di probabilità.
Def. : Misura di probabilità su (; F ) è una funzione da R nell’intervallo [0;1], che soddisfa le seguenti proprietà
a) p( ) = 1
b) Se A e B sono elementi disgiunti di F, allora p(AB) = p(A) + p(B)
c) se A1, A2, .....,An, ........ è una collezione di elementi disgiunti di F,
allora proprietà di additività infinita
11
)(i
ii
i ApAp
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L’approccio assiomatico
La probabilità costituisce un caso particolare di misura in (; F ) ed è espressa da un numero reale appartenente all’intervallo [0;1] .
Una misura è una funzione : F[0;+) tale che ()=0 , e valga la proprietà di additività.
Esercizio – Dimostrare le seguenti proprietà:
a) p() = 0;
b) p(Ac) = 1 – p(A)
corollario: p()=1-p()=1-1=0
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L’approccio assiomatico
N.B. Gli eventi che non possono accadere hanno probabilità 0, ma non vale il viceversa; cioè non è vero che un evento con probabilità 0 non può accadere.
Esercizio – Dimostrare:
p(AB) = p(A) + p(B) – p(AB)
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L’approccio assiomatico
Se è un insieme finito di cardinalità n, F è l’insieme delle parti di e
p(A) = A F,
si ritrova la definizione classica di probabilità.
n
AC )(