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Problemas aritmeacuteticos de varias operaciones combinadas (de maacutes de una etapa) 1

Introduccioacuten 1El meacutetodo de anaacutelisis-siacutentesis 4

Antecedentes histoacutericos 4La regla de anaacutelisis-siacutentesis en accioacuten 7El meacutetodo como algoritmo 11

La estructura de los problemas aritmeacuteticos de varias operaciones combinadas 14

Construccioacuten de un diagrama de la estructura del problema 14El diagrama como traductor 16Diagrama y estructura del problema 17Del diagrama de estructura al problema utilidad para el profesor 20El diagrama en los liacutemites del meacutetodo de A-S 25

Del anaacutelisis al meacutetodo cartesiano 30El modelo cartesiano 32

Los escolares y el anaacutelisis-siacutentesis 33Los estudios sovieacuteticos 34

La descripcioacuten global de la actividad analiacutetico-sinteacutetica 35La exposicioacuten oral del anaacutelisis de problemas ya resueltos 36El uso del meacutetodo de anaacutelisis para resolver problemas 40

5 Problemas aritmeacuteticos de

varias operaciones combinadas (de maacutes de una etapa)

mdashYa le tengo explicado que todo aquello que se sale de lo vulgar no resulta un obstaacuteculo sino que es maacutes bien una guiacutea El gran factor cuando se trata de resolver un problema de esta clase es la capacidad de razonar hacia atraacutes Esta es una cualidad muy uacutetil y muy faacutecil pero la gente no se ejercita mucho en ella En las tareas corrientes de la vida cotidiana resulta de mayor utilidad el razonar hacia adelante y por eso se la desatiende Por cada persona que sabe analizar hay cincuenta que saben razonar por siacutentesis

mdashConfieso que no le comprendo mdashle dije mdashNo esperaba que me comprendiese Veamos si puedo plantearlo de manera

maacutes clara Son muchas las personas que si usted les describe una serie de hechos le anunciaraacuten cuaacutel va a ser el resultado Son capaces de coordinar en su cerebro los hechos y deducir que han de tener una consecuencia determinada Sin embargo son pocas las personas que dicieacutendoles usted el resultado son capaces de extraer de lo maacutes hondo de su propia conciencia los pasos que condujeron a ese resultado A esta facultad me refiero cuando hablo de razonar hacia atraacutes es decir analiacuteticamente

A Conan Doyle Estudio en escarlata

INTRODUCCIOacuteN

En el capiacutetulo 3 indicamos que con el objeto de estudiar los problemas aritmeacuteticos conviene distinguir entre los problemas de una etapa y los de maacutes de una etapa En los dos capiacutetulos anteriores que se han dedicado al estudio de los problemas de una etapa se ha podido ver que el proceso de resolucioacuten de esos problemas dependiacutea fundamentalmente de la traduccioacuten del enunciado verbal a la expresioacuten aritmeacutetica y que esta traduccioacuten se realiza en funcioacuten de las interpretaciones de las operaciones aritmeacuteticas y los significados evocados por el texto del problema Sin embargo en los problemas que van a ser objeto de estudio en este capiacutetulo el proceso de resolucioacuten no puede reducirse ni en lo fundamental ni en lo accesorio a traducir ndashentendiendo esto como mirar en diccionario adecuar significado a contexto y proseguirndash al menos por dos motivos obvios el primero porque la traduccioacuten que hay que realizar aquiacute no es tan simple ndashla correspondiente a una uacutenica operacioacuten aritmeacuteticandash el segundo porque hay que realizar alguacuten trabajo previo sobre el texto del enunciado antes de proceder a la traduccioacuten propiamente dicha

La lectura y la resolucioacuten de alguno de estos problemas puede ayudarnos a entender mejor algo de lo dicho

Cap 5 pg 2 Problemas aritmeacuteticos escolares Luis Puig y Fernando Cerdaacuten

Problema 1 Un tren lleva 5 coches de pasajeros En el primero van 32 personas en el segundo van 13 viajeros maacutes que en el primero en el tercero van tantos viajeros como en el primero y en el segundo el cuarto y quinto coche llevan cada uno 43 viajeros iquestCuaacutentos viajeros lleva el tren

Problema 2 En un vagoacuten caben 80 pasajeros iquestCuaacutentos pasajeros podraacute llevar un tren de 6 vagones Si el tren lleva 4 vagones completos y en los otros dos viajan 56 pasajeros en uno y 73 en el otro iquestcuaacutentos viajeros lleva el tren

Problema 3 Un nintildeo ha comprado 4 chicles de 3 ptas cada uno 4 piruletas de 5 ptas cada una y 4 bolsas de pipas de 10 ptas cada una iquestCuaacutento dinero ha gastado en total

Problema 4 Un comerciante ha comprado 385 botellas de aceite a 154 ptas cada una Despueacutes las vende a 179 ptas cada una iquestCuaacutento ganaraacute en la venta de todas las botellas

Problema 5 En una tienda hay 147 cajas de pinturas En cada caja hay 10 estuches de pinturas Si en cada estuche hay 8 pinturas iquestcuaacutentas pinturas hay en la tienda

Puede verse que la estructura de estos problemas es diferente de la de los de una etapa En primer lugar el nuacutemero de datos es distinto en un problema de una etapa hay siempre dos datos1 y en eacutestos hay maacutes de dos En segundo lugar las relaciones entre los datos y la incoacutegnita son maacutes complejas aunque soacutelo sea por el hecho de que hay maacutes datos Estos dos hechos hacen que la expresioacuten aritmeacutetica que indica los caacutelculos que hay que realizar para obtener la respuesta a la pregunta del problema no sea una expresioacuten aritmeacutetica simple

Por otro lado desde el punto de vista de las decisiones que ha de tomar el resolutor en el curso del proceso de resolucioacuten tambieacuten podemos encontrar diferencias entre estos problemas y los de una etapa En los de una etapa hay una sola decisioacuten que tomar que consiste en elegir la operacioacuten que hay que realizar no cabe dudar entre queacute cantidades hay que realizarla entre los datos del problema En los problemas 1 a 5 por el contrario hay maacutes decisiones que tomar decisiones que son de tres tipos queacute operaciones entre queacute cantidades y en queacute orden

1Al decir que hay siempre dos datos se dejan de lado los posibles datos no pertinentes

redundantes etc que puedan aparecer en el texto del problema

Problemas aritmeacuteticos escolares Cap 5 pg 3 Luis Puig y Fernando Cerdaacuten

El enunciado del problema 2 toma buena nota de alguna de las dificultades asociadas con la necesidad de tomar todas estas decisiones al presentar el texto del problema descompuesto en dos partes De hecho este problema escolar es una secuencia de problemas que consta de dos problemas el primero de los cuales es un subproblema del otro En el primero el proceso de traduccioacuten simple basta para obtener la solucioacuten Y en el otro la traduccioacuten viene facilitada por la que ya se ha tenido que realizar antes que sirve para aclarar el contenido de las relaciones entre los datos y la incoacutegnita dando pistas sobre el orden en que deben realizarse las operaciones

Una viacutea para empezar a comprender lo que tiene de especiacutefico el proceso de resolucioacuten de estos problemas es considerar un argumento resolutorio que podriacutea ndashy suelendash utilizarse para atacar el problema 1

mdash Para determinar los viajeros que lleva el tren (esto es la incoacutegnita del problema) hemos de determinar los viajeros que lleva cada uno de los vagones

mdash Sabemos cuaacutentos viajeros llevan los vagones 1ordm 4ordm y 5ordm porque son datos del problema No sabemos los pasajeros que llevan los vagones 2ordm y 3ordm luego hemos de determinar los viajeros que llevan estos vagones

mdash Para determinar los viajeros del segundo vagoacuten hemos de saber los que lleva el primer vagoacuten (lo sabemos) y antildeadir 13 (una condicioacuten del problema)

mdash Para determinar los viajeros del tercer vagoacuten hemos de saber los que llevan el primer vagoacuten y el segundo (lo sabemos)

Asiacute en el transcurso del argumento los viajeros de cada vagoacuten se han convertido en nuevas incoacutegnitas que no figuraban como tales en el texto del problema y que es preciso determinar (incoacutegnitas auxiliares) Algunas incoacutegnitas auxiliares (vagones 1ordm 4ordm y 5ordm) se ha visto que eran datos del problema De las que no eran datos (vagones 2ordm y 3ordm) se ha buscado de nuevo a partir de doacutende pueden determinarse hasta llegar a los datos En cada paso se han examinado las relaciones que permiten en las condiciones del problema conectar incoacutegnita con incoacutegnitas auxiliares y eacutestas con los datos y determinar por tanto eacutestas y aqueacutella

Una vez hecho esto ya se sabe coacutemo hallar la solucioacuten del problema esto es el problema ya estaacute resuelto a falta uacutenicamente de efectuar los caacutelculos indicados por el anaacutelisis Para efectuar estos caacutelculos basta con recorrer el camino del anaacutelisis en sentido inverso partiendo de los datos caminar a traveacutes de las incoacutegnitas auxiliares hasta llegar a la incoacutegnita del problema

Como puede verse en alguno de los pasos del anaacutelisis se resuelven de hecho problemas de una etapa Asiacute ldquopara determinar los viajeros del segundo vagoacuten hemos de saber los que lleva el primer vagoacuten y antildeadir 13 (una condicioacuten del problema)rdquo frase que aparece en el argumento resolutorio corresponde a un fragmento del texto del problema (ldquoEn el primero van 32 personas en el segundo van 13 viajeros maacutesrdquo) La tarea del anaacutelisis consiste entre otras cosas en construir enunciados de problemas


de una etapa mediante la introduccioacuten de nuevas incoacutegnitas que no estaacuten presentes expliacutecitamente en el texto del problema las incoacutegnitas auxiliares aquiacute en particular al considerar el nuacutemero de viajeros del segundo vagoacuten como una cantidad que hay que determinar se construye el problema de una etapa ldquoEn el primero (vagoacuten) van 32 personas en el segundo van 13 viajeros maacutes iquestcuaacutentos viajeros van en el segundo vagoacutenrdquo Estaacute claro que para la resolucioacuten de este problema de una etapa es pertinente todo lo que se ha expuesto en el capiacutetulo 3 pero aquiacute no vamos a volver sobre ello lo que va a ser objeto de estudio en este capiacutetulo es el conjunto de elementos nuevos que aparecen en el proceso de resolucioacuten de un problema de maacutes de una etapa y que no estaacuten presentes en los de una etapa El examen de la resolucioacuten del problema que se ha hecho a partir del argumento resolutorio anterior muestra algunos de ellos queacute datos se combinan (los que permiten determinar incoacutegnitas auxiliares uacutetiles) y coacutemo se produce el orden en que han de realizarse las operaciones En los paacuterrafos siguientes entraremos en los detalles

EL MEacuteTODO DE ANAacuteLISIS-SIacuteNTESIS

ANTECEDENTES HISTOacuteRICOS

El argumento resolutorio que hemos esbozado en el paacuterrafo anterior tiene una larga tradicioacuten en las matemaacuteticas ya que fue estudiado y sistematizado por primera vez en la Grecia claacutesica

El camino que lleva desde la incoacutegnita a los datos estableciendo progresivamente sus relaciones mutuas fue llamado por los griegos Anaacutelisis y proporciona como hemos visto el plan de solucioacuten del problema

El camino contrario que va desde los datos hasta la incoacutegnita fue llamado Siacutentesis Por tanto cuando el anaacutelisis ha proporcionado el plan de solucioacuten de un problema la siacutentesis ejecuta el plan obteniendo la solucioacuten del problema

En el libro XIII de los Elemento de Euclides se encuentran definidos el Anaacutelisis y la Siacutentesis en los teacuterminos siguientes

Anaacutelisis es la suposicioacuten de lo que se busca como dado (y el paso) a traveacutes de sus consecuencias a algo admitido como verdadero

Siacutentesis es la suposicioacuten de lo ya admitido (y el paso) a traveacutes de sus consecuencias para obtener lo que se busca

Pappus (siglo IV) explica maacutes en detalle en queacute consiste el meacutetodo de anaacutelisis y siacutentesis distinguiendo ademaacutes entre dos tipos de anaacutelisis que eacutel llama teoreacutetico y problemaacutetico en el siguiente texto


El llamado ἀναλυόμενος (ldquoTesoro del Anaacutelisisrdquo) es para decirlo brevemente un cuerpo especial de doctrina habilitado para uso de aqueacutellos que tras haber terminado los Elementos ordinarios estaacuten deseosos de adquirir la facultad de resolver problemas que se les puedan plantear y que implican (la construccioacuten de) liacuteneas dicho cuerpo de doctrina es uacutetil soacutelo por esto Constituye la obra de tres hombres Euclides el autor de los Elementos Apolonio de Perga y Aristeo el viejo y procede por viacutea de anaacutelisis y siacutentesis

El anaacutelisis pues considera aquello que se busca como si fuera algo aceptado y pasa desde ello a traveacutes de sus consecuencias sucesivas a algo que es aceptado como resultado de la siacutentesis pues en el anaacutelisis damos por supuesto aquello que se busca como si (ya) estuviera dado (γεγόνος) e inquirimos queacute es aquello de lo cual resulta esto y a su vez cuaacutel es la causa antecedente de lo posterior y asiacute sucesivamente hasta que volviendo asiacute sobre nuestros pasos llegamos a algo ya conocido o que pertenezca a la clase de los primeros principios y a un tal meacutetodo lo llamamos anaacutelisis por ser una solucioacuten hacia atraacutes (ἀνάπολιν λύσις)

Pero en la siacutentesis invirtiendo el proceso tomamos como ya dado aquello a lo que llegamos en uacuteltimo teacutermino en el anaacutelisis y alineando en su orden natural como consecuencias lo que antes eran antecedentes y conectaacutendolas unas con otras sucesivamente llegamos finalmente a la construccioacuten de lo que se buscaba y a esto llamamos siacutentesis

Ahora bien el anaacutelisis es de dos tipos uno va dirigido a la buacutesqueda de la verdad y se llama teoacuterico el otro se dirige a encontrar aquello que se nos ha dicho que encontremos y se llama problemaacutetico 1) En el tipo teoacuterico de anaacutelisis asumimos lo que se busca como si fuera algo existente y verdadero tras lo cual pasamos a traveacutes de sus consecuencias sucesivas como si tambieacuten ellas fueran verdaderas y estuvieran establecidas en virtud de nuestra hipoacutetesis a algo aceptado entonces a) si ese algo aceptado es verdadero aquello que se busca seraacute tambieacuten verdadero y la prueba corresponderaacute en el orden inverso al anaacutelisis pero b) si llegamos a algo reconocidamente falso aquello que se busca seraacute tambieacuten falso 2) En el tipo problemaacutetico asumimos aquello que es propuesto como si fuera algo conocido tras lo cual pasamos a traveacutes de sus consecuencias sucesivas consideraacutendolas verdaderas hasta algo aceptado luego si a) lo que es aceptado es posible y obtenible es decir lo que los matemaacuteticos llaman dado lo que se propuso originalmente seraacute tambieacuten posible y la prueba corresponderaacute de nuevo en orden inverso al anaacutelisis pero si b) llegamos a algo reconocidamente imposible el problema seraacute tambieacuten imposible (Lakatos 1981 pgs 107-108)

Este texto de Pappus y lo que en eacutel se dice puede entenderse mejor si enunciamos una regla praacutectica en el espiacuteritu del meacutetodo con la cual podamos abordar problemas Tal regla rezariacutea asiacute

REGLA DEL ANALISIS-SINTESIS

Si x es la incoacutegnita del problema supoacutengala conocida

Indague e investigue cuaacuteles son aquellos antecedentes de los cuales x resulta y que permiten determinar x


Considere cada uno de estos antecedentes como una nueva incoacutegnita (auxiliar)

Indague e investigue de nuevo iterando el proceso hasta que

1) o bien todos los antecedentes sean datos del problema

2) o bien alguno de los antecedentes entre en contradiccioacuten con los datos del problema

En el caso 1) volviendo sobre sus pasos y trabajando hacia atraacutes esto es desde los datos hasta la incoacutegnita podraacute determinar esta uacuteltima

En el caso 2) abandone el problema su solucioacuten es imposible

Polya (1957) presentoacute un ejemplo magniacutefico para ilustrar el trabajo hacia atraacutes o la buacutesqueda de antecedentes que supone el anaacutelisis mediante un problema que no es aritmeacutetico sino un divertimento matemaacutetico claacutesico El problema es el siguiente

Problema 6 iquestCoacutemo hariacutea Vd para traer de un riacuteo 6 litros de agua si no tiene a su disposicioacuten para medir el agua maacutes que dos recipientes uno de 4 litros y otro de 9

6

9

1

9

5

1

1

El resultado deseadoEl resultado deseado

iquestCuaacutel puede ser un antecedente

Un resultado deseable


El resultado deseado

La solucioacuten


La regla del anaacutelisis-siacutentesis que hemos enunciado estaacute hecha parafraseando la enunciada por Lakatos (1981) para el anaacutelisis que Pappus llamoacute teoacuterico y adaptaacutendola al anaacutelisis problemaacutetico teniendo presente el campo de problemas objeto de este capiacutetulo esto es los problemas aritmeacuteticos de varias operaciones combinadas La regla enunciada por Lakatos dice asiacute

Saca conclusiones de tu conjetura una tras otra suponiendo que la conjetura es verdadera Si llegas a una conclusioacuten falsa entonces tu conjetura era falsa Si llegas a una conclusioacuten indudablemente verdadera tu conjetura quizaacute haya sido verdadera En este caso invierte el proceso trabaja hacia atraacutes e intenta deducir tu conjetura original por el camino inverso desde la verdad indudable hasta la conjetura dudosa Si tienes eacutexito habraacutes probado tu conjetura (Lakatos 1981 pgs 106-107)

El funcionamiento de la regla que hemos enunciado puede ilustrarse mediante las figuras 1 y 2 donde la incoacutegnita es x y los datos d1 d2 d3 y d4 La figura 1 representa el anaacutelisis y la figura 2 la siacutentesis Con y1 e y2 se representan dos incoacutegnitas auxiliares que se supone que han aparecido en el curso del anaacutelisis

3 4

X

D1 Y1 2Y

DDD2 3 4

X

D1 Y1 2Y

DDD2

figuras 1 y 2

LA REGLA DE ANAacuteLISIS-SIacuteNTESIS EN ACCIOacuteN

La regla enunciada por Lakatos corresponde al anaacutelisis teoacuterico de Pappus que es el pertinente para los problemas que Polya llama de probar La regla que hemos enunciado nosotros corresponde al anaacutelisis problemaacutetico de Pappus y es por tanto la pertinente para los problemas que Polya llama de encontrar La regla no es una herramienta heuriacutestica ni una teacutecnica especiacutefica sino un meacutetodo general para resolver esa clase de problemas Los reflejos en la heuriacutestica del meacutetodo de anaacutelisis-siacutentesis quedan recogidos por las sugerencias heuriacutesticas ldquotrabaja hacia atraacutesrdquo ldquoda el problema por resueltordquo ldquomira queacute puedes obtener a partir de los datosrdquo2 Sin embargo tales sugerencias son soacutelo ideas para comenzar a atacar el problema y no suponen cuando

2Cuando se quiere hacer simultaacuteneamente el trabajo hacia adelante y hacia atraacutes se utiliza la

teacutecnica de ldquoanaacutelisis medios-finesrdquo Eacutesta es una de las teacutecnicas que se consideran heuriacutesticas en el mundo de la inteligencia artificial (cf pe Newell amp Simon 1972) En el mundo de la economiacutea la teacutecnica equivalente es la conocida con el nombre de ldquopresupuesto cerordquo


se dejan caer el que se tenga un meacutetodo para resolver el problema o un plan para su solucioacuten Se utilizan normalmente en fases de exploracioacuten o comprensioacuten o en momentos en que se estaacute atascado y no se sabe por doacutende seguir La regla enunciada por el contrario es un meacutetodo en el sentido de que dado un problema aritmeacutetico siguieacutendola paso a paso se obtiene la solucioacuten del problema con el uacutenico recurso adicional a los conocimientos aritmeacuteticos pertinentes

Resumiendo la regla de anaacutelisis-siacutentesis proporciona un meacutetodo de validez universal para cualquier problema aritmeacutetico de varias operaciones combinadas No obstante veremos que hay algunos problemas en los que la regla es de difiacutecil aplicacioacuten y que se tratan maacutes adecuadamente mediante procedimientos algebraicos ndashaunque podriacutean resolverse de hecho por la combinacioacuten de operaciones aritmeacuteticas sin necesidad de trasladar su enunciado a una o maacutes ecuaciones Maacutes adelante veremos tambieacuten coacutemo aunque se tenga el plan que proporciona la regla pueden surgir dificultades en su ejecucioacuten derivadas de la eleccioacuten de las incoacutegnitas auxiliares y que en ese caso es pertinente el recurso a la heuriacutestica

En particular puede verse que la eleccioacuten de las incoacutegnitas auxiliares y el anaacutelisis de las relaciones entre incoacutegnita incoacutegnitas auxiliares y datos es mucho maacutes faacutecil en los problemas 8 y 9 versiones del problema 7 con datos maacutes sencillos o en un caso liacutemite y quizaacute todaviacutea maacutes faacutecil en el caso del problema 10 si se dispone de la ayuda visual proporcionada por el dibujo adjunto

Problema 7 Unos granjeros almacenaron heno para 57 diacuteas pero como el heno era de mejor calidad de lo que pensaban ahorraron 113 kg por diacutea con lo que tuvieron heno para 73 diacuteas iquestCuaacutentos kilos de heno almacenaron


Problema 9 Unos granjeros almacenaron heno para 1 diacutea pero como el heno era de mejor calidad de lo que pensaban ahorraron 240 kg con lo que tuvieron heno para 2 diacuteas iquestCuaacutentos kilos de heno almacenaron



Veamos ahora la regla en accioacuten con un problema aritmeacutetico tomado de Kalmykova(1975)

Problema 11 Un aeroplano recorrioacute 1940 km el primer diacutea el segundo recorrioacute 340 km maacutes que el primero y el tercero 890 km menos que entre los dos anteriores iquestCuaacutentos km recorrioacute el aeroplano en total

ANAacuteLISIS

1mdash La pregunta es iquestCuaacutentos km recorrioacute en total 2mdash Para determinar los kiloacutemetros recorridos en total necesitamos conocer

los kiloacutemetros recorridos cada uno de los diacuteas 3mdash Conocemos los kiloacutemetros recorridos el primer diacutea (datos del

problema) pero desconocemos los recorridos en el segundo y tercer diacuteas (incoacutegnitas auxiliares)

4mdash Para conocer los kiloacutemetros recorridos el segundo diacutea disponemos de los kiloacutemetros recorridos el primer diacutea y los kiloacutemetros recorridos de maacutes (datos)

5mdash Para conocer los kiloacutemetros recorridos el tercer diacutea necesitamos conocer los kiloacutemetros recorridos los diacuteas primero (datos) y segundo (analizado en 4) y los kiloacutemetros recorridos de menos (datos)

6mdash Como todo lo que es necesario conocer seguacuten 2 ha quedado reducido a datos del problema el anaacutelisis ha concluido

SIacuteNTESIS

1mdash Conozco lo recorrido el primer diacutea y cuaacutentos maacutes el segundo luego conozco lo recorrido el segundo basta sumar 1940+340=2280

2mdash Conozco lo recorrido el primer diacutea lo recorrido el segundo diacutea y cuaacutento menos el tercero luego conozco lo recorrido el el tercero basta sumar y restar 2280+1940minus890=3330


3mdash Conozco lo recorrido los diacuteas primero segundo y tercero luego conozco lo recorrido en total basta sumar 1940+2280+3330=7550

4mdash La incoacutegnita estaacute determinada luego la siacutentesis ha concluido

Aunque no sea el objeto de este libro conviene observar coacutemo funciona la regla enunciada para los problemas de probar Zubieta (1975) proporciona un buen ejemplo en el que puede verse que el razonamiento regresivo que supone el anaacutelisis es maacutes dificultoso en el anaacutelisis teoacuterico pues en eacuteste nos es desconocida a priori la verdad indudable o el teorema establecido al que nos veremos conducidos en nuestra buacutesqueda de antecedentes mientras que en el anaacutelisis problemaacutetico los datos nos sirven de guiacutea

D

EF

C

G

A B

Q

H K

L

figura 3


Estudiemos la demostracioacuten del teorema de Pitaacutegoras atribuida a Leonardo de Vinci figura 3 donde el triaacutengulo rectaacutengulo dado es ABC

Anaacutelisis Suponer demostrado el teorema por hipoacutetesis el cuadrado de la hipotenusa (AHKB) es igual a la suma (CBED+ACFG) de los cuadrados de los catetos Por tanto el hexaacutegono ABEDFG (parte superior de la figura) tiene igual aacuterea que el hexaacutegono AHLKBC porque el primero se compone de la suma de los cuadrados de los catetos maacutes dos triaacutengulos iguales al dado y el segundo se compone del cuadrado de la hipotenusa maacutes dos triaacutengulos iguales al dado

Siacutentesis Partiendo ahora de principios elementales podemos probar que ambos hexaacutegonos son iguales o tienen la misma aacuterea Porque la recta GCE es un eje de simetriacutea del hexaacutegono superior que lo divide en dos trapezoides simeacutetricos (por tanto iguales) respecto de dicha recta en tanto que el punto Q (centro del cuadrado AHKB) es el centro de simetriacutea del hexaacutegono inferior por lo que la recta CQL divide a este hexaacutegono en dos trapezoides simeacutetricos (por tanto iguales) respecto del centro Q Ahora bien un giro de 90deg en torno del punto A haraacute que el trapezoide AHLQC (mitad del hexaacutegono inferior) venga a coincidir con el trapezoide ABECG (mitad del hexaacutegono superior) lo que prueba que ambos trapezoides son iguales y que los hexaacutegonos considerados tienen igual aacuterea

Si del hexaacutegono superior ABEDFG suprimimos los dos triaacutengulos iguales ABC y CDF nos quedan los cuadrados de los catetos

Si del hexaacutegono inferior AHLKBC suprimimos los dos triaacutengulos iguales ABC y HLK nos queda el cuadrado de la hipotenusa

De donde inferimos (puesto que ambos hexaacutegonos son iguales y de ambos suprimimos triaacutengulos iguales) que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos

(Zubieta 1975 pgs 65-66)

EL MEacuteTODO COMO ALGORITMO

La descripcioacuten del meacutetodo de anaacutelisis-siacutentesis y los ejemplos en los que se ha presentado en funcionamiento muestran claramente coacutemo el meacutetodo tiene caracter algoriacutetmico es una regla que se ejecuta paso a paso que contiene decisiones que hay que tomar y acciones que hay que ejecutar y el conjunto de decisiones y acciones se reitera hasta la obtencioacuten del resultado Esto permite representar el anaacutelisis y la siacutentesis mediante sendos diagramas de flujo que organizan la secuencia de acciones y decisiones


INCOGNITA

A N A L I S I SA N A L I S I S

Datos del problema

Determiacutenese la incoacutegnita

Problema resuelto

Otros datos

Toacutemense esos datos como incoacutegnitas

COMIENZO

iquestQueacutedatos

se juzgannecesarios paradeterminar la

incoacutegnita


Seleccioacutenense las maacutes proacuteximas a la incoacutegnita inicial

DATOS

S I N T E S I SS I N T E S I S

Incoacutegnita

Determiacutenese

Problema resuelto

Otras incoacutegnitas

COMIENZO

iquestQueacutepodemos

determinardirectamente a

partir de losdatos

Determiacutenense

Toacutemense como nuevos datos


Es necesario hacer algunas observaciones sobre los diagramas que representan el anaacutelisis y la siacutentesis una que el diagrama tiene caraacutecter de esquema y otra que muestra con claridad el lugar del proceso de resolucioacuten en que el resolutor recurre a los conocimientos que posee y que son pertinentes para la comprensioacuten de las relaciones que aparecen en el problema

En primer lugar en el diagrama del anaacutelisis aparece un primer punto de decisioacuten en el que hay que preguntarse ldquoqueacute datos se juzgan necesarios para determinar la incoacutegnitardquo en el diagrama se presentan dos caminos alternativos por los que hay que circular ahora bien en la praacutectica el asunto no es tan simple Por ejemplo en el anaacutelisis que hemos presentado del problema 7 puede verse que hay momentos en que es preciso circular por los dos caminos asiacute en el punto 2 de dicho anaacutelisis al contestar a la pregunta ldquoqueacute datos se juzgan necesarios para determinar la incoacutegnitardquo se encuentran tres datos como antecedentes dos de ellos son datos que no estaacuten presentes en el enunciado del problema y el otro es un dato del problema con lo que por un lado hay que circular por el lado izquierdo del diagrama ndashel lado de lo conocidondash y por el otro por el derecho ndashel lado de lo desconocido Como se muestra en el diagrama el proceso se reitera hasta que se acabe circulando soacutelo por el lado de lo conocido

Por otro lado el resolutor utiliza sus conocimientos sobre la naturaleza de las relaciones que aparecen en el problema para decidir ldquoqueacute datos juzga necesarios para determinar la incoacutegnitardquo Asiacute por ejemplo en el problema 7 como se pregunta por los kiloacutemetros totales recorridos y en el problema se habla de los diacuteas durante los que vuela el aeroplano el resolutor evoca sus conocimientos pertinentes y decide que los totales se pueden obtener sumando los tres de cada diacutea Posteriormente examina si esas tres cosas necesarias son datos del problema o no para determinar por doacutende tiene que circular en el diagrama Por tanto en este momento inicial y al pasar de nuevo por este punto de decisioacuten en las iteraciones sucesivas el resolutor realiza la traduccioacuten que se ha descrito en los capiacutetulos anteriores y ahiacute por tanto intervienen todas los procesos cognitivos descritos en esos capiacutetulos

LA ESTRUCTURA DE LOS PROBLEMAS ARITMEacuteTICOS DE VARIAS OPERACIONES COMBINADAS

CONSTRUCCIOacuteN DE UN DIAGRAMA DE LA ESTRUCTURA DEL PROBLEMA

El diagrama de flujo del anaacutelisis representa el conjunto de las acciones que hay que realizar y de las decisiones que hay que tomar en el proceso de resolucioacuten de un problema de varias operaciones combinadas Ahora bien por su caraacutecter general no presenta de forma expliacutecita queacute operaciones hay que realizar entre queacute datos y en queacute orden Sin embargo es posible elaborar un diagrama que recoja estos tres aspectos


esenciales del proceso de resolucioacuten de estos problemas a partir del meacutetodo de anaacutelisis-siacutentesis y verlo como una representacioacuten de la estructura del problema A este tipo de diagrama se dedica este paacuterrafo

Consideremos el problema 12

Problema 12 Juan compra 3 laacutepices a 15 ptas cada uno Da al tendero 50 ptas iquestCuaacutento le devuelven

El anaacutelisis de este problema establece que

1) la cantidad que hay que devolver se puede determinar en funcioacuten de la cantidad entregada y el coste de los laacutepices y

2) el coste se puede determinar en funcioacuten del precio de cada laacutepiz y la cantidad de laacutepices comprados

Estas dos relaciones

1) lsquocantidad devueltarsquo = lsquocantidad entregadarsquo - lsquocostersquo

2) lsquocostersquo = lsquoprecio unitariorsquo - lsquonuacutemero de unidadesrsquo

pueden representarse por

Cantidad devuelta

Cantidad pagada Coste

mdash

Precio unitario Nordm de unidades

Coste

times

figura 3

El coste es la incoacutegnita auxiliar que el anaacutelisis dice que debe determinarse para obtener la cantidad que hay que devolver Luego la cadena de relaciones construida al iterar el anaacutelisis puede representarse por


Cantidad devuelta

Cantidad pagada

mdash


Coste

times

figura 4

Esta representacioacuten puede esquematizarse auacuten maacutes con el fin de resaltar como lo hace el anaacutelisis incoacutegnitas y datos empleando un signo de interrogacioacuten para las incoacutegnitas y un punto para los datos El esquema anterior queda entonces asiacute introduciendo los datos concretos del problema

mdash

50

15

times

3

figura 5

La siacutentesis ndashque da la respuesta a la pregunta del problema ejecutando el plan que elabora el anaacutelisisndash se reduce a efectuar los caacutelculos que aparecen en el diagrama en el orden que el propio diagrama muestra

EL DIAGRAMA COMO TRADUCTOR

Consideremos el problema 13 y el diagrama de la figura 6

Problema 13 En un taller de confeccioacuten disponen de 4 piezas de tela de 50 m cada una Con ellas van a confeccionar 20 trajes que necesitan 3 m de tela cada uno Con el resto de la tela piensan hacer abrigos que necesitan 4 m cada uno iquestCuaacutentos abrigos pueden hacerse


4m

4m

50piezas

3m 20piezas

mdash

times times

divide

Nordm de abrigos

Tela abrigos

Tela disponible

Tela trajes

figura 6

El diagrama correspondiente al anaacutelisis del problema muestra con precisioacuten la estructura de la cadena deductiva que conecta datos con incoacutegnita ya que aparecen en eacutel

1mdash Las etapas necesarias para ir desde la incoacutegnita a los datos (En este caso tres)

2mdash El nuacutemero de incoacutegnitas auxiliares (Que se corresponde con el nuacutemero de veces que se recorre el diagrama de flujo del anaacutelisis)

3mdash Las conexiones entre datos incoacutegnitas auxiliares e incoacutegnita del problema

4mdash Las operaciones concretas que es preciso realizar para obtener a partir de los datos las incoacutegnitas auxiliares y la incoacutegnita del problema

Esto es el diagrama es un instrumento que permite traducir el enunciado verbal de un problema aritmeacutetico de varias operaciones combinadas a la expresioacuten aritmeacutetica que lo resuelve al indicar con toda precisioacuten los tres elementos esenciales del proceso de resolucioacuten queacute operaciones hay que realizar entre queacute datos y en queacute orden

DIAGRAMA Y ESTRUCTURA DEL PROBLEMA

Una buena ilustracioacuten de la representacioacuten de la estructura del problema por medio del diagrama y de la complejidad del proceso de traduccioacuten es la siguiente secuencia de problemas y diagramas

Problema 14 Juan compra 3 laacutepices a 15 pts cada uno iquestCuaacutento paga


15

times

3

Problema 15 Un laacutepiz cuesta 15 pts Juan compra 3 laacutepices y paga 50 pts iquestCuaacutento le devuelven

mdash

50

15

times

3

Problema 16 Juan compra 3 laacutepices de 15 pts y Mariacutea 2 cuadernos de 25 pts iquestCuaacutento gastaron

15

times

3

times

25 2

+

Problema 17 Juan y Mariacutea son hermanos Juan compra 3 laacutepices de 15 pts y Mariacutea 2 cuadernos de 25 pts Pagan 100 pts iquestCuaacutento les devuelven


15

times

3

times

25 2

+

mdash

100

Hay que tener en cuenta que no hay una correspondencia uniacutevoca entre el diagrama y la estructura del problema En efecto en ocasiones un problema puede ser resuelto mediante varias expresiones aritmeacuteticas distintas pero equivalentes Eacuteste es el caso por ejemplo del problema 4 que gracias a la propiedad distributiva se puede traducir a las expresiones aritmeacuteticas

385sdot(179 minus154) o 385sdot179 minus385sdot154

El camino del anaacutelisis puede ser tambieacuten doble decir en primer lugar que lo ganado en total puede obtenerse en funcioacuten de la ganancia por botella y el nuacutemero de botellas vendidas o decir que puede ser obtenido en funcioacuten de lo invertido en la compra y lo ingresado en su venta Los diagramas correspondientes reflejan esa doble estructura producida por la propiedad distributiva

times

times

times

mdash

mdash

385

179 154 385179 154


DEL DIAGRAMA DE ESTRUCTURA AL PROBLEMA UTILIDAD PARA EL PROFESOR

Inversamente no es difiacutecil construir el enunciado de un problema que tenga la estructura representada por un diagrama dado basta para ello elegir un contexto determinado que permita dotar de interpretaciones a las operaciones aritmeacuteticas alliacute indicadas

times

mdash

Problema 18 Un ciclista tarda 55 segundos y 7 deacutecimas en dar una vuelta al circuito del veloacutedromo Otro ciclista tarda 54 segundos y 5 deacutecimas En una carrera a 30 vueltas iquestcuaacutento tiempo le sacaraacute de ventaja el primero al segundo

Asiacute como el diagrama da cuenta de la estructura del problema el profesor puede controlar variables que sin duda afectan al proceso de resolucioacuten de estos problemas En efecto el diagrama muestra variables que giran alrededor de los tres elementos ya indicados como por ejemplo

mdash la complejidad de la cadena deductiva

mdash el nuacutemero de incoacutegnitas auxiliares

mdash la naturaleza de las relaciones

mdash el nuacutemero de datos del problema

mdash el nuacutemero de etapas

Los tres diagramas de la figura 7 comparten el nuacutemero de datos presentes en el enunciado del problema (cuatro) y el nuacutemero de incoacutegnitas auxiliares necesarias (dos)


times

times

+

times

+

mdash

times

+

mdash

(a) (b) (c)

figura 7

Los diagramas a y b representan problemas de anaacuteloga dificultad en cuanto a la construccioacuten de la cadena deductiva pues se utilizan un dato y una incoacutegnita auxiliar en las dos primeras etapas y dos datos en la tercera

1ordf etapa

2ordf etapa

3ordf etapa

figura 8

Sin embargo los diagramas a y b difieren en la naturaleza de las relaciones que en las primeras etapas permiten determinar la incoacutegnita del problema mediante las incoacutegnitas auxiliares y los datos


mdash

+

(a) (b)

Diferencia Suma

1ordf etapa

2ordf etapa

+

mdash

Suma

+

mdash

Diferencia

(a) (b)

figura 9

El diagrama c por su parte es muy distinto de los anteriores ya que la determinacioacuten de la incoacutegnita del problema se realiza ya desde la primera etapa en funcioacuten de dos incoacutegnitas auxiliares y no de un dato del problema y de una incoacutegnita auxiliar como era el caso de los diagramas a y b

(a) o (b)

(c)

Dato Incoacutegnita auxiliar

Incoacutegnita auxiliar


figura 10

Es posible pues construir formalmente diagramas de estructura de diversos grados de complejidad y de estilo distinto Por ejemplo imponieacutendose la condicioacuten de que aparezcan cuatro datos en el enunciado del problema pueden aparecer al menos teoacutericamente problemas de estructura tan diversa como los que se presentan en la figura 11 en la que hay desde diagramas que muestran el uso directo de todos los datos para determinar la incoacutegnita a otros en los que un dato es utilizado para determinar varias incoacutegnitas auxiliares


(a)

(c)

(b)

(d)

(e)

figura 11

Cuando el profesor se enfrenta con la tarea de construir enunciados verbales de problemas aritmeacuteticos de varias operaciones combinadas se encuentra normalmente con dificultades derivadas del contexto que haya elegido para la elaboracioacuten del enunciado verbal y con dificultades derivadas de las restricciones que impone la sintaxis Asiacute aunque tenga en mente la operacioacuten o las operaciones aritmeacuteticas que quiere poner en juego no le es faacutecil controlar el campo de variabilidad de la estructura del problema El uso del diagrama a priori y la elaboracioacuten a posteriori del enunciado verbal facilita esta tarea al ofrecer una imagen graacutefica de la estructura del problema

Aunque algunos diagramas de la figura 11 puedan parecer pura especulacioacuten teoacuterica y cabe pensar que difiacutecilmente aparezcan en la escuela problemas que tengan


una estructura tan compleja el anaacutelisis mediante el diagrama de los problemas que se encuentran efectivamente en los libros de texto usuales y en la praacutectica cotidiana de las escuelas permite encontrar ejemplos de problemas de un cierto grado de complejidad desde el punto de vista de su estructura

Para terminar conviene hacer notar que las relaciones entre datos incoacutegnita e incoacutegnitas auxiliares que muestra el diagrama no tienen por queacute ser de naturaleza estrictamente aritmeacutetica En efecto el diagrama puede utilizarse para dar cuenta de la estructura de cualquier problema que sea susceptible de tratarse mediante el meacutetodo de anaacutelisis-siacutentesis Si esto se hace con un problema geomeacutetrico de corte escolar claacutesico como el problema 19 aparecen naturalmente relaciones entre los elementos del problema como las que estaacuten escritas en la figura 12

Problema 19 En un triaacutengulo determinar el lado opuesto a un aacutengulo conocidos eacuteste y los lados adyacentes

mh

A

B

C

a

b

c

n mh

Diferencia de segmentos

Relacioacuten entre segmento y proyeccioacuten

Relacioacuten pitagoacuterica


a

h m

n b

C A

a

n b

C A

h2a = +m2

2n+2ch=m=b-n

n=ccosA

figura 12


EL DIAGRAMA EN LOS LIacuteMITES DEL MEacuteTODO DE A-S

El diagrama construido aquiacute puede ser una ayuda visual para resolver el problema pero hay que considerarlo fundamentalmente como un instrumento o artefacto didaacutectico que de momento permite como se ha visto dar cuenta de la estructura del problema reflejar el proceso de traduccioacuten y servir de ayuda a los profesores en el arte de plantear problemas De la misma manera que con cualquier otro artefacto didaacutectico hay que tener cuidado de no caer en la tentacioacuten de convertirlo en una panacea universal para resolver todos los problemas que plantea la ensentildeanza de la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos de varias operaciones combinadas

Veamos por ejemplo queacute sucede con un problema como el 20 cuyo diagrama es el de la figura 13

Problema 20 Juan ha hecho 3 problemas maacutes que Pedro Pedro ha hecho el doble que Enrique Enrique ha hecho 9 problemas iquestCuaacutentos problemas ha hecho Juan

times

+

3

2 9

figura 13

El enunciado de este problema estaacute construido de forma que da el anaacutelisis hecho El diagrama por tanto puede utilizarse para resolver el problema pero ademaacutes puede haber sido utilizado previamente por el profesor para construir el enunciado del problema de manera que cada una de las oraciones del texto del problema se corresponda con cada una de las etapas que aparecen representadas en el diagrama y que esteacuten dispuestas en el mismo orden ndashcon la salvedad de la oracioacuten en la que se hace la pregunta del problema que como es usual aparece al final del enunciado Por otro lado las incoacutegnitas auxiliares que es preciso introducir se mencionan expliacutecitamente en el enunciado del problema En casos tan simples como eacuteste no hace falta insistir en la utilidad del diagrama

Hay otro conjunto de problemas que aparecen usualmente en los libros de texto y forman parte de la praacutectica usual en las escuelas en los que tambieacuten aparece en ocasiones de forma expliacutecita el uso de los diagramas Nos referimos a los problemas en los que las relaciones que existen entre las incoacutegnitas principal y auxiliares y los


datos son relaciones que se establecen entre dos cantidades y que pertenecen a estructuras conceptuales que forman parte del curriacuteculo escolar Por ejemplo las relaciones entre precio total precio unitario y nuacutemero de unidades saldo ingresos y gastos periacutemetro longitud del lado y nuacutemero de lados se presentan en la coleccioacuten de textos ldquoEl mundo del nuacutemerordquo editada hace antildeos por InterducSchroedel mediante los diagramas siguientes3

Ingresos Gastos

Diferencia

mdash

Saldo Gasto

Nuevo saldo

mdash

times

Nuacutemero de unidades Peso unitario

Peso total

times

Nuacutemero de unidades Precio unitario

Precio total

3Obseacutervese que estos diagramas muestran la siacutentesis en lugar del anaacutelisis


times

Longitud de un lado Nuacutemero de lados

Periacutemetro de la figura

Sin embargo en otros problemas de varias operaciones combinadas que pueden parecer igualmente simples la utilidad del diagrama resulta dudosa tanto para expresar la estructura del problema como para las otras funciones que se han sentildealado

Veamos por ejemplo el problema 21 y su diagrama (figura 14)

Problema 21 Tengo 48 libros colocados en 8 estanteriacuteas En una estanteriacutea hay 8 libros maacutes que en la otra iquestCuaacutentos libros hay en cada estanteriacutea

minus

divide

48 8

2

figura 14

En un problema como eacuteste el diagrama sentildeala el orden de las operaciones para determinar una de las incoacutegnitas pero es difiacutecil dotar de sentido a la incoacutegnita auxiliar que es preciso introducir para poder construir de hecho ese diagrama ya que dicha incoacutegnita auxiliar ha de ser ldquoel nuacutemero de libros que tendriacutea cada una de las estanteriacuteas si ambas tuvieran el mismo nuacutemero de librosrdquo En este caso el recurso al esquema de la divisioacuten con resto permite resolver el problema sin necesidad de considerar el sentido que pueda tener la incoacutegnita auxiliar que se utiliza impliacutecitamente dentro del esquema Un procedimiento alternativo para este problema podriacutea ser el tanteo por ensayo y error


El caso del problema anterior no es uacutenico La utilidad del diagrama resulta dudosa en general para todos aquellos problemas de varias operaciones combinadas en los que las relaciones que se establecen entre las incoacutegnitas y los datos son relaciones que pertenecen a estructuras conceptuales tratadas en el curriacuteculo y para las que se dispone tradicionalmente de esquemas que representan las relaciones y permiten resolver los problemas en los que eacutestas intervienen Como hemos mostrado en las reflexiones anteriores cuando estas relaciones se establecen entre dos cantidades los esquemas se incorporan de forma natural al propio diagrama y eacuteste se construye faacutecilmente ya que las incoacutegnitas auxiliares y las relaciones en cuestioacuten adquieren su sentido de forma inmediata gracias al propio esquema ndashes decir el resolutor no ha de realizar un trabajo especiacutefico para dotarlas de sentido Ahora bien cuando los esquemas corresponden a relaciones entre maacutes de dos cantidades como es el caso de las relaciones que aparecen en la estructura conceptual de proporcionalidad el uso posible del diagrama para representar la estructura del problema obliga a construir unas relaciones entre las cantidades implicadas que parecen entrar en conflicto con las relaciones que estaacuten representadas en el esquema de proporcionalidad

Asiacute el diagrama (figura 15) del problema 22 o el diagrama maacutes complejo (figura 16) del problema 23 hace aparecer como incoacutegnitas auxiliares imprescindibles lsquoel nuacutemero de diacuteas que tarda 1 obrerorsquo o lsquolos metros que construye 1 obrero en 4 diacuteasrsquo o lsquolos metros que construye 1 obrero en 1 diacutearsquo

Problema 22 Si 20 obreros hacen una obra en 6 diacuteas iquestcuaacutentos diacuteas tardaraacuten en hacer esa obra 8 obreros

20

divide

8nordm diacuteas 1 obrero

6

times

figura 15

Problema 23 100 obreros construyen una tapia de 50 m en 10 diacuteas iquestCuaacutentos obreros se necesitariacutean para construir 40 m de tapia en 4 diacuteas


nordm metros 100 obreros en 1 diacutea

nordm metros 1 obrero en 1 diacutea

nordm metros 1 obrero en 4 diacuteas

divide

divide

divide

times

40

4

100

50 10

figura 16

Estas incoacutegnitas auxiliares han desaparecido en el esquema de reparto proporcional claacutesico Aunque la reduccioacuten a la unidad que es la operacioacuten que da cuenta de las incoacutegnitas auxiliares desaparecidas ha tenido que formar parte de la secuencia de instruccioacuten en torno a la estructura conceptual de proporcionalidad que permite construir y dotar de sentido al esquema de reparto proporcional esta reduccioacuten a la unidad desaparece en el proceso didaacutectico de esquematizacioacuten progresiva que lleva de la presentacioacuten de la idea de proporcionalidad a la construccioacuten de un esquema operativo para la resolucioacuten de problemas en el interior de tal estructura conceptual Podriacuteamos por tanto concluir con caracter general que el diagrama da cuenta de la estructura del problema en aquellos casos en los que el resolutor no dispone de un esquema ad hoc producido en el interior de una estructura conceptual determinada para las relaciones que aparecen en el problema o cuando el esquema no ha hecho desaparecer las incoacutegnitas auxiliares En los casos en que el esquema las ha hecho desaparecer el diagrama representa una estructura maacutes profunda que el resolutor no necesita hacer consciente para resolver el problema siempre que sea capaz de invocar el esquema correspondiente


DEL ANAacuteLISIS AL MEacuteTODO CARTESIANO

Hemos visto coacutemo el meacutetodo de anaacutelisis-siacutentesis permite comprender y resolver problemas aritmeacuteticos de varias operaciones combinadas En este libro hemos restringido el estudio de la resolucioacuten de problemas a los problemas que se resuelven por procedimientos aritmeacuteticos Sin embargo el meacutetodo de anaacutelisis aunque tenga su origen en el terreno de la aritmeacutetica puede aplicarse igualmente a problemas que suelen resolverse actualmente por medio de procedimientos algebraicos

En efecto todos los problemas de varias operaciones combinadas que hemos examinado hasta aquiacute pueden ser tratados mediante el anaacutelisis-siacutentesis porque el anaacutelisis de la incoacutegnita culmina efectivamente en los datos del problema y por tanto la siacutentesis es posible Esto no sucede siempre como lo muestra el anaacutelisis (figura 17) del problema 24

Problema 24 Un automoacutevil parte de un punto A con velocidad uniforme de 40 kmh hacia otro punto D Dos horas despueacutes sale de A hacia B otro automoacutevil con velocidad uniforme de 60 kmh Diacutegase a queacute distancia de A se encuentran

El diagrama de este problema ndashy cualquier intento de anaacutelisis que se hagandash indica que no es posible reducir la incoacutegnita a los datos por muchas vueltas que se deacute al organigrama del anaacutelisis ya que se vuelve inexorablemente a la incoacutegnita original del problema En problemas como eacuteste el anaacutelisis parece no acabar al no encontrarnos en ninguno de los casos enunciados en la regla de anaacutelisis-siacutentesis entrando si se quiere seguir adelante en un bucle sin fin con lo que la siacutentesis es imposible

Sin embargo el intento de anaacutelisis lo que siacute que ha puesto de manifiesto es la naturaleza de las relaciones que existen entre la incoacutegnita las incoacutegnitas auxiliares y los datos del problema y el orden que permite encadenarlos Con los instrumentos de la aritmeacutetica esto soacutelo no permite encontrar la solucioacuten del problema Ahora bien si se dispone de la herramienta algebraica basta llamar d a la incoacutegnita del problema para encontrarnos con que el anaacutelisis que refleja el diagrama da un procedimiento de traduccioacuten automaacutetica del enunciado del problema a una ecuacioacuten cuya solucioacuten es la del problema

Esto es en el campo de los problemas aritmeacuteticos de varias operaciones combinadas aparecen naturalmente problemas que soacutelo son susceptibles de resolverse por procedimientos algebraicos El anaacutelisis que acabamos de realizar del problema 24 indica que esta clase de problemas es un lugar natural para realizar el traacutensito de la aritmeacutetica al aacutelgebra4 Por otra parte mirando el discurrir de los problemas por el

4Filloy y Rojano (1985) han determinado en el terreno de la resolucioacuten de ecuaciones un corte

entre el aritmeacutetica y el aacutelgebra que seguacuten ellos estaacute en el momento que es necesario operar con la incoacutegnita para resolver la ecuacioacuten Aquiacute sentildealamos como posible punto de transicioacuten entre los


curriacuteculo escolar en el momento en que en eacuteste aparecen los procedimiento algebraicos eacutestos se usan no soacutelo para resolver los problemas que precisan el aacutelgebra sino tambiaacuten para resolver los problemas de varias operaciones combinadas que pueden ser resueltos ndashy que han sido resueltos antesndash por procedimientos aritmeacuteticos Mostraremos en el paacuterrafo siguiente coacutemo en presencia del instrumento algebraico el meacutetodo de anaacutelisis y el diagrama pueden seguir siendo instrumentos uacutetiles y en queacute medida se puede modificar su uso

times

tiempo 2ordm

d

60

divide

-

times

tiempo 2ordm

d

60

tiempo 1ordm

d 40

2divide

+

times

tiempo 1ordm

d

40

tiempo 2ordm

d 60

2

+

times

tiempo 1ordm

d

40

tiempo 2ordm 2

d = 60t d = 40(t+2)

d = 40 (d60 + 2)d = 60 (d40 - 2)

figura 17

problemas aritmeacuteticos y algebraicos el momento en que el anaacutelisis de la incoacutegnita no es posible realizarlo uacutenicamente a partir de los datos en esos casos la traduccioacuten ahora algebraica que corresponde al anaacutelisis realizado conduce a una ecuacioacuten de las que Filloy y Rojano colocan del lado del aacutelgebra


EL MODELO CARTESIANO

Polya (1966) reescribe las reglas cartesianas desde el punto de vista de la resolucioacuten de problemas de matemaacuteticas y tratando de precisar las tareas que es preciso realizar para reducir un problema de matemaacuteticas a la resolucioacuten de un sistema de ecuaciones

1 En primer lugar comprender bien el problema luego convertirlo en la determinacioacuten de cierto nuacutemero de cantidades desconocidas (Reglas XIII a XVI)

2 Examinar el problema de la manera maacutes natural consideraacutendolo como resuelto y presentando en un orden conveniente todas las relaciones que deben verificarse entre las incoacutegnitas y los datos seguacuten la condicioacuten planteada (Regla XVII)

3 Separar una parte de la condicioacuten que permita expresar una misma cantidad de dos maneras diferentes y obtener asiacute una ecuacioacuten entre las incoacutegnitas Descomponer eventualmente la condicioacuten en varias partes Obtendreacuteis asiacute un sistema con tantas ecuaciones como incoacutegnitas (Regla XIX)

4 Transformar el sistema de ecuaciones en una uacutenica ecuacioacuten (Regla XXI)

Como puede verse las reglas del meacutetodo cartesiano difieren de la del anaacutelisis-siacutentesis Para empezar estas reglas no tienen caraacutecter algoriacutetmico sino que maacutes bien constituyen un plan general de actuacioacuten para poner un problema en ecuaciones Pero ademaacutes la consideracioacuten de los datos y las incoacutegnitas y la forma de expresar las relaciones entre ellos es distinta Tanto datos como incoacutegnitas se tratan como si fueran datos esto es se puede operar formalmente ndashgracias al instrumento algebraicondash con ellos Como consecuencia de esto el examen de las relaciones que estaacuten contenidas en la condicioacuten del problema no ha de comenzar desde la incoacutegnita ni ha de terminar en su reduccioacuten a los datos Lo que se hace (regla 3) es buscar una cantidad ndashque no tiene por queacute coincidir con la incoacutegnita del problemandash que pueda expresarse de dos maneras distintas cada una de ellas en funcioacuten de una parte de la condicioacuten

Ahora bien aunque las diferencias sean tantas y tan radicales hay algo presente en el meacutetodo de anaacutelisis-siacutentesis ndashy que es una parte esencial de eacutestendash que reaparece en el interior del meacutetodo cartesiano En efecto una vez establecida la cantidad que puede expresarse de dos maneras distintas lo que hay que hacer en el meacutetodo cartesiano es analizar esa cantidad El organigrama del anaacutelisis y el tipo de razonamiento que eacuteste implica para la buacutesqueda de las relaciones a traveacutes de la buacutesqueda de antecedentes es pertinente tambieacuten aquiacute con una uacutenica salvedad el anaacutelisis no ha de terminar con los datos del problema sino con una combinacioacuten de datos e incoacutegnitas lo que es coherente ya que eacutestas uacuteltimas expresadas algebraicamente se estaacuten considerando tambieacuten como datos La regla 3 establece ademaacutes que el anaacutelisis de cada cantidad se haga dos veces y que se igualen las expresiones algebraicas que traducen los dos anaacutelisis de cada cantidad para formar las ecuaciones cuya solucioacuten es la del problema


El diagrama que expresa el anaacutelisis puede pues servir tambieacuten en el interior del meacutetodo cartesiano para representar los anaacutelisis que hay que hacer de cada cantidad El camino de la siacutentesis no produce ahora la solucioacuten del problema sino la escritura de la expresioacuten algebraica correspondiente

Los ejemplos siguientes lo ilustran y muestran varias situaciones distintas

En los dos anaacutelisis del problema 24 que aparecen en la parte inferior de la figura 17 se analiza la incoacutegnita y se obtiene una expresioacuten del tipo x=f(x) En la parte superior dos anaacutelisis distintos de la incoacutegnita conducen a un sistema de ecuaciones con la incoacutegnita y una incoacutegnita auxiliar y ndashexpresioacuten del tipo x=f(y) x=g(y)ndash o a una uacutenica ecuacioacuten en la que soacutelo aparece la incoacutegnita auxiliar ndashexpresioacuten del tipo f(y)=g(y)

Por otro lado si el problema 25 se traduce a la ecuacioacuten

x + 1213

=x minus13

12

el anaacutelisis realizado no es el de la incoacutegnita sino de otra cantidad y eacutesta cantidad se ha analizado de dos maneras distintas como pide el meacutetodo cartesiano ndashexpresioacuten del tipo f(x)=g(x)

Problema 25 Un profesor dice a un nintildeo que tiene que antildeadir 12 a un nuacutemero dado y dividir el resultado por 13 Pero el nintildeo que no presta atencioacuten resta 13 del nuacutemero dado y divide el resultado por 12 Se extrantildea pues la respuesta es correcta iquestCuaacutel es el nuacutemero dado

LOS ESCOLARES Y EL ANAacuteLISIS-SIacuteNTESIS

En capiacutetulos anteriores hemos visto que de los problemas de una etapa ndashsobre todo de los problemas aditivosndash se han realizado gran cantidad de investigaciones de las que se han obtenido un gran fondo de datos que compartidos por investigadores de varios paiacuteses han dado lugar a la elaboracioacuten de un marco teoacuterico general de referencia para esa clase de problemas Esto permite disponer en la actualidad de una descripcioacuten de la estructura de esos problemas un cataacutelogo de las estrategias que utilizan los nintildeos para su resolucioacuten una visioacuten general de su nivel de dificultad y algunas sugerencias sobre coacutemo organizar la instruccioacuten teniendo en cuenta todo lo que se sabe de ellos y la finalidad con que se traten en el curriacuteculo

Sin embargo no ocurre lo mismo con los problemas aritmeacuteticos de varias operaciones combinadas Un examen de la literatura de resolucioacuten de problemas muestra que hay pocos trabajos sobre esta clase de problemas y ademaacutes cuando estos problemas aparecen en alguna investigacioacuten el centro del estudio no es lo que


tienen de especiacutefico estos problemas tal como hemos analizado nosotros en los paacuterrafos anteriores sino que se centran en aspectos conceptuales particulares ndashpor ejemplo los derivados de ideas conceptuales como razoacuten y proporcioacutenndash o cualquier otro tipo de variables de la tarea de las que hicimos mencioacuten en el capiacutetulo 1

Las razones para esta carencia de trabajos no hay que buscarlas uacutenicamente en los caprichos de los investigadores ni en las modas imperantes sino tambieacuten en la dificultad intriacutenseca del estudio del proceso de resolucioacuten de estos problemas En efecto la descripcioacuten del proceso de resolucioacuten que hemos esbozado requiere que se tengan en cuenta a la hora de establecer una clasificacioacuten por dificultad al menos dos aspectos la estructura que muestra el diagrama y la naturaleza de las operaciones implicadas

LOS ESTUDIOS SOVIEacuteTICOS

La excepcioacuten a esta escasez de estudios de este estilo sobre los problemas que estamos considerando la constituye los trabajos realizados en la URSS hace varias deacutecadas Hay al menos dos razones para ello una de orden curricular el estilo del curriacuteculo de matemaacuteticas que imperaba en la URSS conllevaba que se planteasen gran cantidad de problemas aritmeacuteticos y otra de orden ideoloacutegico que aparece expliacutecitamente en Kalmykova (1975) al comienzo del capiacutetulo que describe el marco teoacuterico ldquoPodemos empezar con el principio familiar en materialismo dialeacutectico de que el pensamiento es analiacutetico y sinteacutetico y que los procesos analiacuteticos y sinteacuteticos estaacuten vinculados el uno al otro inseparablementerdquo (pg 5) El corolario a esta proposicioacuten general aparece necesariamente a continuacioacuten ldquoResolver problemas aritmeacuteticos como cualquier otro proceso de pensamiento es un proceso analiacutetico-sinteacuteticordquo (pg 6) y de ahiacute se pasa naturalmente a concebir la resolucioacuten de problemas como el lugar adecuado para desarrollar el tipo de razonamiento que constituye la esencia del pensamiento materialista y dialeacutectico ldquoEl propoacutesito de la actividad analiacutetica-sinteacutetica al resolver un problema deberiacutea ser exponer su contenido matemaacutetico tal como estaacute descrito por la situacioacuten concreta en la hipoacutetesis asiacute como averiguar las relaciones de los datos unos con otros y con la cantidad desconocida y una vez aislados los principios apropiados determinar el valor de la incoacutegnita a partir de los datos conocidosrdquo (pg 7)

En este contexto lo que nos parece maacutes importante traer a colacioacuten aquiacute de los estudios sovieacuteticos es lo siguiente

1) Coacutemo se ve y coacutemo se describe la actividad analiacutetico-sinteacutetica de los nintildeos en la resolucioacuten problemas aritmeacuteticos y las preguntas que pueden formularse desde esa oacuteptica

2) Hasta queacute punto la instruccioacuten en anaacutelisis permite comprender el problema y su proceso de resolucioacuten


3) Si la praacutectica y la instruccioacuten en anaacutelisis es un procedimiento uacutetil y eficaz para la buacutesqueda de la solucioacuten de estos problemas

4) Si es posible disentildear en base al anaacutelisis-siacutentesis un procedimiento de instruccioacuten productivo para la resolucioacuten de estos problemas De esto uacuteltimo hablamos en el capiacutetulo 6 subapartado En accioacuten

La descripcioacuten global de la actividad analiacutetico-sinteacutetica

Como es razonable pensar para Kalmykova el anaacutelisis comienza en cuanto el nintildeo descompone el texto del problema en partes separadas

Esto ocurre cuando el nintildeo se fija en las cantidades que aparecen en el texto y en algunas palabras ndashque corresponden con las que en otro lugar hemos denominado lsquopalabras-claversquondash y las aiacutesla Kalmykova siguiendo a Menchinskaya califica a este anaacutelisis de elemental e indica que si la siacutentesis sigue a un anaacutelisis de este tipo se producen naturalmente errores y lo que ella llama siacutentesis superfluas esto es se calculan cantidades que se derivan de los datos pero que no conducen a la determinacioacuten de la incoacutegnita del problema Lo que Kalmykova llama anaacutelisis elemental es la actividad del resolutor que se corresponde con el anaacutelisis del enunciado verbal del problema que nosotros calificamos de superficial que como vimos para los problemas de una etapa no es capaz de dar cuenta de la estructura semaacutentica del problema

El anaacutelisis global del contenido del problema que permite dar cuenta de su estructura semaacutentica y que tratamos en el capiacutetulo 3 aparece seguacuten Kalmykova como actividad de los nintildeos ldquotan pronto como la incoacutegnita y los datos del problema y sus interrelaciones se definen no por palabras aisladas sino por combinaciones de ellas (que forman complejos definidos)rdquo ldquoUna solucioacuten productiva del problema ndashsigue Kalmykovandash exige una siacutentesis en el nivel de [este] anaacutelisis complejordquo (pg 7)

Kalmykova cumpliendo quizaacute con su obligacioacuten ideoloacutegicamente impuesta de calificar de anaacutelisis a cualquier actividad mental del resolutor que conduzca a la solucioacuten del problema llama anaacutelisis anticipatorio a la actividad que eacuteste realiza cuando ve clara e inmediatamente las operaciones que son necesarias para determinar la incoacutegnita porque el problema tiene una estructura similar a otros que ha resuelto frecuentemente A nuestro entender ldquola familiaridad que ndashseguacuten Kalmykovandash le sirve de base para descomponer las relaciones entre datos e incoacutegnitardquo lo que hace es invocar un esquema que le sirve de guiacutea para la resolucioacuten del problema sin necesidad de descender a la descomposicioacuten de las relaciones inobservable en todo caso cuando hay un esquema presente

Al anaacutelisis elemental el anticipatorio y el complejo antildeade Kalmykova el anaacutelisis especial Este anaacutelisis se produce cuando el problema es complicado o nuevo para el nintildeo esto es si datos e incoacutegnita estaacuten suficientemente separados y se requiere para entender las relaciones entre ellos de una serie de elementos intermedios Este


anaacutelisis especial se centra en la incoacutegnita los datos y las relaciones funcionales entre ellos En eacutel se precisa el contenido de la incoacutegnita y de los datos se desvela la composicioacuten de los datos complicados y se aiacuteslan las propiedades y caracteriacutesticas de datos e incoacutegnita En cuanto a las relaciones funcionales se aiacuteslan los principios sobre cuya base pueden establecerse y se aiacuteslan en particular aquellas que permiten determinar la incoacutegnita del problema

Eacutesta es la actividad analiacutetica que permite siacutentesis productivas ya que en el proceso de resolucioacuten de problemas hay una interdependencia entre anaacutelisis y siacutentesis como en todo proceso mental visto en la perspectiva marxiana que sigue Kalmykova5

Con esta descripcioacuten de la actividad analiacutetico-sinteacutetica y tras constatar las diferencias baacutesicas entre quienes se dedican a la metodologiacutea didaacutectica al evaluar el meacutetodo de anaacutelisis en la ensentildeanza de la resolucioacuten de problemas Kalmykova hace una serie de preguntas de gran intereacutes muchas de las cuales necesitan auacuten hoy en diacutea ser investigadas

mdash Los metodoacutelogos aseguran que el meacutetodo de anaacutelisis es uacutetil porque desarrolla el pensamiento loacutegico iquestQueacute fundamento tiene esa afirmacioacuten

mdash iquestBasta el argumento meramente loacutegico de que el meacutetodo de anaacutelisis requiere que se construya una cadena rigurosa de deducciones

mdash iquestHasta queacute punto el meacutetodo de anaacutelisis y la construccioacuten de la cadena de deducciones ayuda a elaborar el significado de un problema concreto o a encontrar una viacutea de solucioacuten

mdash iquestEs posible descomponer por el meacutetodo del anaacutelisis un problema no familiar

mdash iquestEs uacutetil la descomposicioacuten analiacutetica de los problemas una vez han sido resueltos Si es asiacute iquestpara queacute

mdash iquestQueacute influencia tiene la instruccioacuten en el anaacutelisis en la habilidad para resolver problemas

La exposicioacuten oral del anaacutelisis de problemas ya resueltos

Para indagar hasta queacute punto los alumnos eran capaces de comprender y practicar el anaacutelisis despueacutes de haber resuelto el problema y coacutemo depende esto de la instruccioacuten recibida Kalmykova realizoacute observaciones sistemaacuteticas en varias aulas y

5Kalmykova cita la autoridad de Engels ldquo[hellip] el pensamiento consiste tanto en la separacioacuten de

objetos de consciencia en sus elementos cuanto en la unificacioacuten de elementos correspondientes en una unidad No hay siacutentesis sin anaacutelisisrdquo (Anti Duumlhring trad Manuel Sacristaacuten pg 29 Grijalbo Meacutexico 1964)


niveles en lo que ella denomina la ldquoescuela de masasrdquo con distintos profesores y meacutetodos de instruccioacuten que aquiacute indicaremos por a b y c

a) Los nintildeos se familiarizan con el meacutetodo de anaacutelisis en 2ordm de vez en cuando descomponen problemas despueacutes de haberlos resuelto pero sin ninguacuten sistema

El profesor corrige los errores en las descomposiciones pero no trabaja sistemaacuteticamente en su eliminacioacuten y no es preciso en la formulacioacuten de las descomposiciones

Cuando en 3ordm se mira el estilo de la actividad analiacutetica del nintildeo se encuentran distintos comportamientos ante un problema como el problema 13 Los mejores alumnos aiacuteslan la incoacutegnita e indican los datos6 que pueden ayudar a determinarla los metros utilizados para hacer trajes y los utilizados para hacer abrigos para determinar el nuacutemero de abrigos Sin embargo a partir de aquiacute vuelven a la siacutentesis

Los alumnos promedio pueden producir anaacutelisis como el siguiente

Tenemos que encontrar cuaacutentos abrigos se hicieron y por tanto tenemos que saber cuaacutentos metros habiacutea en total en la tienda y cuaacutentos metros se usaron para los trajes y tenemos que saber cuaacutentos metros de tela se quedaron para los abrigos

Los alumnos maacutes flojos hacen cosas como eacutesta

Tenemos que encontrar cuaacutentos abrigos se hicieron Para esto tenemos que saber cuaacutentas piezas de tela habiacutea cuaacutentos trajes se hicieron y cuaacutenta tela entraba en un traje y cuaacutenta en un abrigo

En resumen en ausencia de entrenamiento sistemaacutetico especial soacutelo se retienen unos pocos elementos externos del meacutetodo que los alumnos usan como sentildeal de que estaacuten hablando en la jerga en que el maestro espera que hablen (ldquoDebemos encontrarhelliprdquo ldquoEsto no puede encontrarse inmediatamentehelliprdquo) pero ninguacuten alumno es capaz de dar una descomposicioacuten completa de ese problema

b) Se trata de la clase de un profesor que considera el meacutetodo de anaacutelisis extremadamente valioso y de una gran influencia en el desarrollo del pensamiento matemaacutetico de sus alumnos

Los alumnos toman contacto con el meacutetodo el 1ordm y en 2ordm la ensentildeanza con el meacutetodo es regular y maacutes o menos sistemaacutetica En 3ordm y 4ordm cuando Kalmykova realiza sus observaciones encuentra que la descomposicioacuten tiacutepica que realizan los alumnos es la siguiente

6En todo este apartado vamos a llamar lsquodatosrsquo no a lo dado sino a cantidades que si se miran

desde el punto de vista del meacutetodo de anaacutelisis-siacutentesis pueden ser incoacutegnitas auxiliares cuando se sigue el camino del anaacutelisis o datos intermedios cuando se sigue el camino de la siacutentesis


No podemos contestar a la pregunta del problema inmediatamente porque no sabemos cuaacutentos metros de tela quedaron despueacutes de hacer los trajes

Esto no lo podemos hallar porque no sabemos cuaacutentos metros entraron en todos los trajes

No podemos hallar cuaacutentos metros entraron en todos los trajes porque no sabemos cuaacutenta tela habiacutea en total Pero esto lo podemos hallar

Como puede verse se indica un dato como necesario para determinar la incoacutegnita y este dato se refiere a la determinacioacuten de otro hasta que se da por ldquoacabadordquo el anaacutelisis Esto es los alumnos simplemente recuerdan el curso de la solucioacuten disponen los problemas simples resueltos en orden inverso los combinan mecaacutenicamente y en el lenguaje tiacutepico del anaacutelisis aseguran que determinar la incoacutegnita de uno de esos problemas simples es imposible sin determinar la incoacutegnita del precedente

Kalmykova encuentra faacutecil explicar por queacute se da este tipo de anaacutelisis en 2ordm y 3ordm se resuelven muchos problemas-cadena7 esto es problemas en los que lo obtenido en la primera pregunta del problema se usa inmediatamente para contestar a la siguiente pregunta y asiacute sucesivamente

Que los alumnos lleguen a ver tal tipo de anaacutelisis como prototipo del anaacutelisis lo atribuye Kalmykova ademaacutes de a la praacutectica de problemas-cadena a la ausencia de esquemas graacuteficos cuando se realiza el anaacutelisis de eacutestos y otros problemas pues aunque el profesor haga en la pizarra alguacuten anaacutelisis graacutefico no lo presenta como tarea que los alumnos hayan de realizar y cuando se realiza el anaacutelisis oral la atencioacuten de los alumnos se relaja o no se presta

c) Un profesor con 25 antildeos de experiencia y en posesioacuten de la Orden de Lenin

Los alumnos de su clase se distinguen por su ldquomaravillosa disciplina y capacidad de trabajordquo Al comienzo de 2ordm pueden distinguir los once8 tipos de problemas simples son capaces de enunciar un problema para cualquiera de los once tipos de seleccionar un problema como ejemplo de uno de ellos y de escribir la expresioacuten aritmeacutetica que lo resuelve e incluso son capaces de pensar en las preguntas que pueden plantearse ante unos datos determinados

El profesor comienza la instruccioacuten en el meacutetodo de anaacutelisis hacia la mitad de 2ordm Tiene que mostrar las caracteriacutesticas especiacuteficas del meacutetodo descomposicioacuten desde la incoacutegnita y buacutesqueda de eslabones Y contrastarlo y diferenciarlo del meacutetodo de siacutentesis que ya es familiar para los alumnos

7Kalmykova llama lsquoproblema-cadenarsquo a un problema que tiene la estructura que muestra los

diagramas a y b de la figura 7 8En la instruccioacuten recibida los tipos de problemas son once ni uno maacutes ni uno menos


Tropieza aquiacute con un escollo que es comuacuten en el inicio del aprendizaje en cualquier meacutetodo de resolucioacuten de problemas El profesor ha de instruir a los alumnos en un meacutetodo que es maacutes apropiado para resolver problemas maacutes complejos que los que eacutestos ya han resuelto hasta la fecha El meacutetodo no se puede ensentildear a traveacutes de esos problemas para los que es uacutetil ya que los alumnos no pueden resolverlos Pero si el profesor utiliza problemas maacutes simples eacutestos son resueltos por los alumnos faacutecilmente y al tener la solucioacuten en su cabeza los alumnos no comprenderaacuten la necesidad del razonamiento tan complicado que supone el nuevo meacutetodo para resolver un problema que ya tienen resuelto

La receta que este profesor utiliza para salvar este escollo general en el caso del paso de los problemas aritmeacuteticos de una etapa a los de varias etapas consiste en utilizar situaciones problemaacuteticas problemas-adivinanza y diagramas

Problema 26 Hay 2 cajas con 450 huevos en cada una En un comedor colectivo se gastan en 5 diacuteas iquestCuaacutentos huevos se usan en ese comedor diariamente si todos los diacuteas usan el mismo nuacutemero de huevos

Lyusya una de las mejoras alumnas de este profesor es capaz de analizar como sigue el problema 26

El problema pregunta cuaacutentos huevos se usaban cada diacutea Para encontrarlo tenemos que encontrar cuaacutentos huevos habiacutea en las dos cajas y en cuaacutentos diacuteas se usaron

Conocemos que habiacutea 450 huevos en cada caja que habiacutea 2 cajas y que los huevos se usaron en 5 diacuteas tenemos que encontrar cuaacutentos huevos habiacutea entre las dos cajas

Lyusya prosiguioacute hasta resolver el problema Cuando despueacutes se le pidioacute que repitiera la descomposicioacuten que habiacutea hecho acompantildeaacutendola de un diagrama hizo el siguiente dibujo

450x2 9005

Como puede verse el diagrama aunque no es formalmente correcto siacute corresponde al anaacutelisis realizado

Finalmente Kalmykova organiza todas sus observaciones estableciendo tres niveles de dominio del meacutetodo de anaacutelisis por parte de los alumnos que son los siguientes


1mdash Aislamiento de algunos elementos superficiales del meacutetodo de anaacutelisis Soacutelo hay una conexioacuten mecaacutenica con lo que se ha hecho mientras se resuelve

2mdash Dominio del anaacutelisis del primer eslaboacuten (la incoacutegnita) Soacutelo hay una conexioacuten mecaacutenica de este anaacutelisis con lo que se ha hecho para resolver el resto del problema

3mdash Singularizacioacuten del principio de combinar los eslabones del anaacutelisis

Como se ha visto el dominio del meacutetodo depende de la instruccioacuten recibida Uacutenicamente alumnos de la clase que ha sido instruida seguacuten la estrategia descrita en c) son capaces de alcanzar el tercer nivel en porcentaje significativo (el 75)

El uso del meacutetodo de anaacutelisis para resolver problemas

Para investigar la validez del meacutetodo de anaacutelisis para la buacutesqueda de la solucioacuten Kalmykova distingue entre dos tipos de problemas

Un tipo comprende los problemas en cuya pregunta hay alguna indicacioacuten de los datos necesarios para determinar la incoacutegnita y en los que ademaacutes eacutestos se pueden determinar a partir de relaciones familiares para los alumnos Un ejemplo de este tipo es el problema 3 En eacutel el gasto total en la compra se determina en funcioacuten de los gastos parciales y cada uno de eacutestos en funcioacuten de la relacioacuten ldquoprecio unitario times nuacutemero de unidadesrdquo

El otro tipo estaacute formado por los problemas en los que no hay indicacioacuten directa de los datos necesarios para determinar la incoacutegnita ndashcon lo que eacutestos han de averiguarse en el curso de la resolucioacuten mediante un anaacutelisis detenido del texto del problemandash y las conexiones funcionales son menos familiares El problema 27 es un ejemplo de eacutestos

Problema 27 Mamaacute gasta 2000 ptas 800 ptas en un perfume y el resto en 3 pares de medias iquestCuaacutento vale un par de medias

Como puede verse para saber lo que vale un par de medias hay que servirse de una incoacutegnita auxiliar y la relacioacuten que aparece es inversa de la anterior ndashque obviamente es menos familiar

Los estudios de Kalmykova muestran que el meacutetodo de anaacutelisis es un procedimiento valioso para los problemas del primer tipo Pero cuando los alumnos lo utilizan con los problemas del segundo tipo ndasho con problemas que son nuevos o parcialmente nuevos para ellosndash se ven abocados maacutes o menos pronto a buscar los datos que son necesarios por ensayo y error

Incluso los alumnos que son capaces de analizar los problemas ya resueltos con un dominio de este anaacutelisis del nivel 3 tienen dificultades en utilizar el meacutetodo para


resolver problemas nuevos Las dificultades son de los dos tipos que cabe esperar siacutentesis superfluas y errores en el anaacutelisis Esto es se indica que es preciso determinar cantidades que no son necesarias para resolver el problema (aunque eacutestas sean cantidades correctamente determinadas) y se combinan datos de modo aleatorio para determinar cantidades que carecen de sentido o se utilizan datos no adecuados para determinar una cantidad elegida

La explicacioacuten que da Kalmykova de estos hechos es la siguiente

El proceso de pensamiento al resolver problemas es analiacutetico-sinteacutetico En eacutel el anaacutelisis estaacute estrechamente entrelazado con la siacutentesis y es inseparable de eacutesta La siacutentesis se lleva a cabo tan pronto como las bases para ella se aiacuteslan en el proceso de anaacutelisis Asiacute el problema se simplifica (en la medida en que el nuacutemero de problemas simples que componen el problema complejo se reduce) y esto simplifica el anaacutelisis subsiguiente del problema el anaacutelisis y la siacutentesis se apoyan mutuamente

El meacutetodo claacutesico de anaacutelisis asume que el proceso de anaacutelisis estaacute aislado del proceso de siacutentesis Se supone que el resolutor lleva a cabo el anaacutelisis guiado desde el principio por la incoacutegnita encuentra todos los datos necesarios para determinarla y uacutenicamente entonces regresa a la siacutentesis Tal aislamiento artificial del proceso de anaacutelisis del de siacutentesis no puede ser provechoso (Kalmykova 1975 pg 117)

La criacutetica baacutesica al meacutetodo claacutesico del anaacutelisis es pues que el anaacutelisis de la incoacutegnita cuando se aiacutesla totalmente de los datos lleva a un anaacutelisis abstracto que no tiene en cuenta ni los datos concretos del problema ni las relaciones particulares presentes en el texto

A pesar de sus supuestos ideoloacutegicos o metodoloacutegicos Kalmykova describe el proceso de resolucioacuten de un problema como algo maacutes que el anaacutelisis y la siacutentesis

El resolutor guiado por el anaacutelisis de la incoacutegnita y de los datos planea el meacutetodo de resolver el problema en su cabeza y comienza a llevarlo a cabo Si falla analiza los errores clarifica por queacute el meacutetodo elegido no le permite alcanzar la solucioacuten intenta corregirlo o toma una viacutea diferente Algunas veces por un momento reconstruye el problema descarta algunos datos simplificando la determinacioacuten de las relaciones entre los datos y la incoacutegnita El trabajo creativo del pensamiento se da en estas construcciones y en la eleccioacuten de las posibles viacuteas de solucioacuten (Kalmykova 1975 pgs 118-119)

Por tanto cuando se practica el meacutetodo de anaacutelisis claacutesico como no hay eleccioacuten de caminos no hay pensamiento creativo ni pensamiento criacutetico ni potenciacioacuten de la habilidad para resolver problemas en solitario ni modo de encontrar coacutemo salir de los atolladeros cuando se estaacute resolviendo un problema pues como ya expusimos los alumnos se limitan cuando estaacuten atorados a manipulaciones mecaacutenicas de los datos Ademaacutes la dedicacioacuten que requiere el meacutetodo claacutesico hace que disminuya dramaacuteticamente el nuacutemero de problemas que se pueden abordar

A pesar de ello Kalmykova considera probado por los experimentos y las observaciones que el meacutetodo de anaacutelisis es productivo en los problemas simples cuando el conocimiento de las relaciones funcionales entre los datos necesita refuerzo


En los problemas maacutes complejos es uacutetil volver al anaacutelisis parcial y recordar las combinaciones de datos que pueden usarse para determinar la incoacutegnita y asiacute desde ahiacute se podraacute proceder a la buacutesqueda de la solucioacuten por otros meacutetodos Para alumnos de edades maacutes avanzadas mostrar el anaacutelisis de algunos problemas sirve para hacer expliacutecito el orden loacutegico de las operaciones que son necesarias para encontrar la solucioacuten del problema

De todo ello Kalmykova concluye que en vez de empentildearse en que los alumnos sean capaces de usar el meacutetodo de anaacutelisis claacutesico lo que hay que hacer es centrarse en el anaacutelisis del texto del problema y proporcionar a los alumnos un arsenal de teacutecnicas que les permitan simplificar los problemas complejos

5 Problemas aritmeacuteticos de

varias operaciones combinadas (de maacutes de una etapa)

mdashYa le tengo explicado que todo aquello que se sale de lo vulgar no resulta un obstaacuteculo sino que es maacutes bien una guiacutea El gran factor cuando se trata de resolver un problema de esta clase es la capacidad de razonar hacia atraacutes Esta es una cualidad muy uacutetil y muy faacutecil pero la gente no se ejercita mucho en ella En las tareas corrientes de la vida cotidiana resulta de mayor utilidad el razonar hacia adelante y por eso se la desatiende Por cada persona que sabe analizar hay cincuenta que saben razonar por siacutentesis

mdashConfieso que no le comprendo mdashle dije mdashNo esperaba que me comprendiese Veamos si puedo plantearlo de manera

maacutes clara Son muchas las personas que si usted les describe una serie de hechos le anunciaraacuten cuaacutel va a ser el resultado Son capaces de coordinar en su cerebro los hechos y deducir que han de tener una consecuencia determinada Sin embargo son pocas las personas que dicieacutendoles usted el resultado son capaces de extraer de lo maacutes hondo de su propia conciencia los pasos que condujeron a ese resultado A esta facultad me refiero cuando hablo de razonar hacia atraacutes es decir analiacuteticamente

A Conan Doyle Estudio en escarlata

INTRODUCCIOacuteN

En el capiacutetulo 3 indicamos que con el objeto de estudiar los problemas aritmeacuteticos conviene distinguir entre los problemas de una etapa y los de maacutes de una etapa En los dos capiacutetulos anteriores que se han dedicado al estudio de los problemas de una etapa se ha podido ver que el proceso de resolucioacuten de esos problemas dependiacutea fundamentalmente de la traduccioacuten del enunciado verbal a la expresioacuten aritmeacutetica y que esta traduccioacuten se realiza en funcioacuten de las interpretaciones de las operaciones aritmeacuteticas y los significados evocados por el texto del problema Sin embargo en los problemas que van a ser objeto de estudio en este capiacutetulo el proceso de resolucioacuten no puede reducirse ni en lo fundamental ni en lo accesorio a traducir ndashentendiendo esto como mirar en diccionario adecuar significado a contexto y proseguirndash al menos por dos motivos obvios el primero porque la traduccioacuten que hay que realizar aquiacute no es tan simple ndashla correspondiente a una uacutenica operacioacuten aritmeacuteticandash el segundo porque hay que realizar alguacuten trabajo previo sobre el texto del enunciado antes de proceder a la traduccioacuten propiamente dicha

La lectura y la resolucioacuten de alguno de estos problemas puede ayudarnos a entender mejor algo de lo dicho


















































6

9

1

9

5

1

1






La solucioacuten





3 4

X

D1 Y1 2Y

DDD2 3 4

X

D1 Y1 2Y

DDD2

figuras 1 y 2
















ANAacuteLISIS







SIacuteNTESIS







D

EF

C

G

A B

Q

H K

L

figura 3












INCOGNITA


Datos del problema


Problema resuelto

Otros datos


COMIENZO

iquestQueacutedatos


incoacutegnita



DATOS


Incoacutegnita

Determiacutenese

Problema resuelto


COMIENZO



partir de losdatos

Determiacutenense




















Cantidad devuelta


mdash


Coste

times

figura 3



Cantidad devuelta

Cantidad pagada

mdash


Coste

times

figura 4


mdash

50

15

times

3

figura 5






4m

4m

50piezas

3m 20piezas

mdash

times times

divide

Nordm de abrigos

Tela abrigos

Tela disponible

Tela trajes

figura 6











15

times

3


mdash

50

15

times

3


15

times

3

times

25 2

+



15

times

3

times

25 2

+

mdash

100




times

times

times

mdash

mdash

385

179 154 385179 154




times

mdash










times

times

+

times

+

mdash

times

+

mdash

(a) (b) (c)

figura 7


1ordf etapa

2ordf etapa

3ordf etapa

figura 8



mdash

+

(a) (b)

Diferencia Suma

1ordf etapa

2ordf etapa

+

mdash

Suma

+

mdash

Diferencia

(a) (b)

figura 9


(a) o (b)

(c)




figura 10



(a)

(c)

(b)

(d)

(e)

figura 11







mh

A

B

C

a

b

c

n mh





a

h m

n b

C A

a

n b

C A

h2a = +m2

2n+2ch=m=b-n

n=ccosA

figura 12






times

+

3

2 9

figura 13





Ingresos Gastos

Diferencia

mdash

Saldo Gasto

Nuevo saldo

mdash

times


Peso total

times


Precio total



times






minus

divide

48 8

2

figura 14






20

divide


6

times

figura 15






divide

divide

divide

times

40

4

100

50 10

figura 16














times

tiempo 2ordm

d

60

divide

-

times

tiempo 2ordm

d

60

tiempo 1ordm

d 40

2divide

+

times

tiempo 1ordm

d

40

tiempo 2ordm

d 60

2

+

times

tiempo 1ordm

d

40

tiempo 2ordm 2

d = 60t d = 40(t+2)

d = 40 (d60 + 2)d = 60 (d40 - 2)

figura 17
















x + 1213

=x minus13

12







































































450x2 9005














































































6

9

1

9

5

1

1






La solucioacuten





3 4

X

D1 Y1 2Y

DDD2 3 4

X

D1 Y1 2Y

DDD2

figuras 1 y 2
















ANAacuteLISIS







SIacuteNTESIS







D

EF

C

G

A B

Q

H K

L

figura 3












INCOGNITA


Datos del problema


Problema resuelto

Otros datos


COMIENZO

iquestQueacutedatos


incoacutegnita



DATOS


Incoacutegnita

Determiacutenese

Problema resuelto


COMIENZO



partir de losdatos

Determiacutenense




















Cantidad devuelta


mdash


Coste

times

figura 3



Cantidad devuelta

Cantidad pagada

mdash


Coste

times

figura 4


mdash

50

15

times

3

figura 5






4m

4m

50piezas

3m 20piezas

mdash

times times

divide

Nordm de abrigos

Tela abrigos

Tela disponible

Tela trajes

figura 6











15

times

3


mdash

50

15

times

3


15

times

3

times

25 2

+



15

times

3

times

25 2

+

mdash

100




times

times

times

mdash

mdash

385

179 154 385179 154




times

mdash










times

times

+

times

+

mdash

times

+

mdash

(a) (b) (c)

figura 7


1ordf etapa

2ordf etapa

3ordf etapa

figura 8



mdash

+

(a) (b)

Diferencia Suma

1ordf etapa

2ordf etapa

+

mdash

Suma

+

mdash

Diferencia

(a) (b)

figura 9


(a) o (b)

(c)




figura 10



(a)

(c)

(b)

(d)

(e)

figura 11







mh

A

B

C

a

b

c

n mh





a

h m

n b

C A

a

n b

C A

h2a = +m2

2n+2ch=m=b-n

n=ccosA

figura 12






times

+

3

2 9

figura 13





Ingresos Gastos

Diferencia

mdash

Saldo Gasto

Nuevo saldo

mdash

times


Peso total

times


Precio total



times






minus

divide

48 8

2

figura 14






20

divide


6

times

figura 15






divide

divide

divide

times

40

4

100

50 10

figura 16














times

tiempo 2ordm

d

60

divide

-

times

tiempo 2ordm

d

60

tiempo 1ordm

d 40

2divide

+

times

tiempo 1ordm

d

40

tiempo 2ordm

d 60

2

+

times

tiempo 1ordm

d

40

tiempo 2ordm 2

d = 60t d = 40(t+2)

d = 40 (d60 + 2)d = 60 (d40 - 2)

figura 17
















x + 1213

=x minus13

12







































































450x2 9005

































3 4

X

D1 Y1 2Y

DDD2 3 4

X

D1 Y1 2Y

DDD2

figuras 1 y 2
















ANAacuteLISIS







SIacuteNTESIS







D

EF

C

G

A B

Q

H K

L

figura 3












INCOGNITA


Datos del problema


Problema resuelto

Otros datos


COMIENZO

iquestQueacutedatos


incoacutegnita



DATOS


Incoacutegnita

Determiacutenese

Problema resuelto


COMIENZO



partir de losdatos

Determiacutenense




















Cantidad devuelta


mdash


Coste

times

figura 3



Cantidad devuelta

Cantidad pagada

mdash


Coste

times

figura 4


mdash

50

15

times

3

figura 5






4m

4m

50piezas

3m 20piezas

mdash

times times

divide

Nordm de abrigos

Tela abrigos

Tela disponible

Tela trajes

figura 6











15

times

3


mdash

50

15

times

3


15

times

3

times

25 2

+



15

times

3

times

25 2

+

mdash

100




times

times

times

mdash

mdash

385

179 154 385179 154




times

mdash










times

times

+

times

+

mdash

times

+

mdash

(a) (b) (c)

figura 7


1ordf etapa

2ordf etapa

3ordf etapa

figura 8



mdash

+

(a) (b)

Diferencia Suma

1ordf etapa

2ordf etapa

+

mdash

Suma

+

mdash

Diferencia

(a) (b)

figura 9


(a) o (b)

(c)




figura 10



(a)

(c)

(b)

(d)

(e)

figura 11







mh

A

B

C

a

b

c

n mh





a

h m

n b

C A

a

n b

C A

h2a = +m2

2n+2ch=m=b-n

n=ccosA

figura 12






times

+

3

2 9

figura 13





Ingresos Gastos

Diferencia

mdash

Saldo Gasto

Nuevo saldo

mdash

times


Peso total

times


Precio total



times






minus

divide

48 8

2

figura 14






20

divide


6

times

figura 15






divide

divide

divide

times

40

4

100

50 10

figura 16














times

tiempo 2ordm

d

60

divide

-

times

tiempo 2ordm

d

60

tiempo 1ordm

d 40

2divide

+

times

tiempo 1ordm

d

40

tiempo 2ordm

d 60

2

+

times

tiempo 1ordm

d

40

tiempo 2ordm 2

d = 60t d = 40(t+2)

d = 40 (d60 + 2)d = 60 (d40 - 2)

figura 17
















x + 1213

=x minus13

12







































































450x2 9005








































ANAacuteLISIS







SIacuteNTESIS







D

EF

C

G

A B

Q

H K

L

figura 3












INCOGNITA


Datos del problema


Problema resuelto

Otros datos


COMIENZO

iquestQueacutedatos


incoacutegnita



DATOS


Incoacutegnita

Determiacutenese

Problema resuelto


COMIENZO



partir de losdatos

Determiacutenense




















Cantidad devuelta


mdash


Coste

times

figura 3



Cantidad devuelta

Cantidad pagada

mdash


Coste

times

figura 4


mdash

50

15

times

3

figura 5






4m

4m

50piezas

3m 20piezas

mdash

times times

divide

Nordm de abrigos

Tela abrigos

Tela disponible

Tela trajes

figura 6











15

times

3


mdash

50

15

times

3


15

times

3

times

25 2

+



15

times

3

times

25 2

+

mdash

100




times

times

times

mdash

mdash

385

179 154 385179 154




times

mdash










times

times

+

times

+

mdash

times

+

mdash

(a) (b) (c)

figura 7


1ordf etapa

2ordf etapa

3ordf etapa

figura 8



mdash

+

(a) (b)

Diferencia Suma

1ordf etapa

2ordf etapa

+

mdash

Suma

+

mdash

Diferencia

(a) (b)

figura 9


(a) o (b)

(c)




figura 10



(a)

(c)

(b)

(d)

(e)

figura 11







mh

A

B

C

a

b

c

n mh





a

h m

n b

C A

a

n b

C A

h2a = +m2

2n+2ch=m=b-n

n=ccosA

figura 12






times

+

3

2 9

figura 13





Ingresos Gastos

Diferencia

mdash

Saldo Gasto

Nuevo saldo

mdash

times


Peso total

times


Precio total



times






minus

divide

48 8

2

figura 14






20

divide


6

times

figura 15






divide

divide

divide

times

40

4

100

50 10

figura 16














times

tiempo 2ordm

d

60

divide

-

times

tiempo 2ordm

d

60

tiempo 1ordm

d 40

2divide

+

times

tiempo 1ordm

d

40

tiempo 2ordm

d 60

2

+

times

tiempo 1ordm

d

40

tiempo 2ordm 2

d = 60t d = 40(t+2)

d = 40 (d60 + 2)d = 60 (d40 - 2)

figura 17
















x + 1213

=x minus13

12







































































450x2 9005

































D

EF

C

G

A B

Q

H K

L

figura 3












INCOGNITA


Datos del problema


Problema resuelto

Otros datos


COMIENZO

iquestQueacutedatos


incoacutegnita



DATOS


Incoacutegnita

Determiacutenese

Problema resuelto


COMIENZO



partir de losdatos

Determiacutenense




















Cantidad devuelta


mdash


Coste

times

figura 3



Cantidad devuelta

Cantidad pagada

mdash


Coste

times

figura 4


mdash

50

15

times

3

figura 5






4m

4m

50piezas

3m 20piezas

mdash

times times

divide

Nordm de abrigos

Tela abrigos

Tela disponible

Tela trajes

figura 6











15

times

3


mdash

50

15

times

3


15

times

3

times

25 2

+



15

times

3

times

25 2

+

mdash

100




times

times

times

mdash

mdash

385

179 154 385179 154




times

mdash










times

times

+

times

+

mdash

times

+

mdash

(a) (b) (c)

figura 7


1ordf etapa

2ordf etapa

3ordf etapa

figura 8



mdash

+

(a) (b)

Diferencia Suma

1ordf etapa

2ordf etapa

+

mdash

Suma

+

mdash

Diferencia

(a) (b)

figura 9


(a) o (b)

(c)




figura 10



(a)

(c)

(b)

(d)

(e)

figura 11







mh

A

B

C

a

b

c

n mh





a

h m

n b

C A

a

n b

C A

h2a = +m2

2n+2ch=m=b-n

n=ccosA

figura 12






times

+

3

2 9

figura 13





Ingresos Gastos

Diferencia

mdash

Saldo Gasto

Nuevo saldo

mdash

times


Peso total

times


Precio total



times






minus

divide

48 8

2

figura 14






20

divide


6

times

figura 15






divide

divide

divide

times

40

4

100

50 10

figura 16














times

tiempo 2ordm

d

60

divide

-

times

tiempo 2ordm

d

60

tiempo 1ordm

d 40

2divide

+

times

tiempo 1ordm

d

40

tiempo 2ordm

d 60

2

+

times

tiempo 1ordm

d

40

tiempo 2ordm 2

d = 60t d = 40(t+2)

d = 40 (d60 + 2)d = 60 (d40 - 2)

figura 17
















x + 1213

=x minus13

12







































































450x2 9005








































INCOGNITA


Datos del problema


Problema resuelto

Otros datos


COMIENZO

iquestQueacutedatos


incoacutegnita



DATOS


Incoacutegnita

Determiacutenese

Problema resuelto


COMIENZO



partir de losdatos

Determiacutenense




















Cantidad devuelta


mdash


Coste

times

figura 3



Cantidad devuelta

Cantidad pagada

mdash


Coste

times

figura 4


mdash

50

15

times

3

figura 5






4m

4m

50piezas

3m 20piezas

mdash

times times

divide

Nordm de abrigos

Tela abrigos

Tela disponible

Tela trajes

figura 6











15

times

3


mdash

50

15

times

3


15

times

3

times

25 2

+



15

times

3

times

25 2

+

mdash

100




times

times

times

mdash

mdash

385

179 154 385179 154




times

mdash










times

times

+

times

+

mdash

times

+

mdash

(a) (b) (c)

figura 7


1ordf etapa

2ordf etapa

3ordf etapa

figura 8



mdash

+

(a) (b)

Diferencia Suma

1ordf etapa

2ordf etapa

+

mdash

Suma

+

mdash

Diferencia

(a) (b)

figura 9


(a) o (b)

(c)




figura 10



(a)

(c)

(b)

(d)

(e)

figura 11







mh

A

B

C

a

b

c

n mh





a

h m

n b

C A

a

n b

C A

h2a = +m2

2n+2ch=m=b-n

n=ccosA

figura 12






times

+

3

2 9

figura 13





Ingresos Gastos

Diferencia

mdash

Saldo Gasto

Nuevo saldo

mdash

times


Peso total

times


Precio total



times






minus

divide

48 8

2

figura 14






20

divide


6

times

figura 15






divide

divide

divide

times

40

4

100

50 10

figura 16














times

tiempo 2ordm

d

60

divide

-

times

tiempo 2ordm

d

60

tiempo 1ordm

d 40

2divide

+

times

tiempo 1ordm

d

40

tiempo 2ordm

d 60

2

+

times

tiempo 1ordm

d

40

tiempo 2ordm 2

d = 60t d = 40(t+2)

d = 40 (d60 + 2)d = 60 (d40 - 2)

figura 17
















x + 1213

=x minus13

12







































































450x2 9005































DATOS


Incoacutegnita

Determiacutenese

Problema resuelto


COMIENZO



partir de losdatos

Determiacutenense




















Cantidad devuelta


mdash


Coste

times

figura 3



Cantidad devuelta

Cantidad pagada

mdash


Coste

times

figura 4


mdash

50

15

times

3

figura 5






4m

4m

50piezas

3m 20piezas

mdash

times times

divide

Nordm de abrigos

Tela abrigos

Tela disponible

Tela trajes

figura 6











15

times

3


mdash

50

15

times

3


15

times

3

times

25 2

+



15

times

3

times

25 2

+

mdash

100




times

times

times

mdash

mdash

385

179 154 385179 154




times

mdash










times

times

+

times

+

mdash

times

+

mdash

(a) (b) (c)

figura 7


1ordf etapa

2ordf etapa

3ordf etapa

figura 8



mdash

+

(a) (b)

Diferencia Suma

1ordf etapa

2ordf etapa

+

mdash

Suma

+

mdash

Diferencia

(a) (b)

figura 9


(a) o (b)

(c)




figura 10



(a)

(c)

(b)

(d)

(e)

figura 11







mh

A

B

C

a

b

c

n mh





a

h m

n b

C A

a

n b

C A

h2a = +m2

2n+2ch=m=b-n

n=ccosA

figura 12






times

+

3

2 9

figura 13





Ingresos Gastos

Diferencia

mdash

Saldo Gasto

Nuevo saldo

mdash

times


Peso total

times


Precio total



times






minus

divide

48 8

2

figura 14






20

divide


6

times

figura 15






divide

divide

divide

times

40

4

100

50 10

figura 16














times

tiempo 2ordm

d

60

divide

-

times

tiempo 2ordm

d

60

tiempo 1ordm

d 40

2divide

+

times

tiempo 1ordm

d

40

tiempo 2ordm

d 60

2

+

times

tiempo 1ordm

d

40

tiempo 2ordm 2

d = 60t d = 40(t+2)

d = 40 (d60 + 2)d = 60 (d40 - 2)

figura 17
















x + 1213

=x minus13

12







































































450x2 9005















































Cantidad devuelta


mdash


Coste

times

figura 3



Cantidad devuelta

Cantidad pagada

mdash


Coste

times

figura 4


mdash

50

15

times

3

figura 5






4m

4m

50piezas

3m 20piezas

mdash

times times

divide

Nordm de abrigos

Tela abrigos

Tela disponible

Tela trajes

figura 6











15

times

3


mdash

50

15

times

3


15

times

3

times

25 2

+



15

times

3

times

25 2

+

mdash

100




times

times

times

mdash

mdash

385

179 154 385179 154




times

mdash










times

times

+

times

+

mdash

times

+

mdash

(a) (b) (c)

figura 7


1ordf etapa

2ordf etapa

3ordf etapa

figura 8



mdash

+

(a) (b)

Diferencia Suma

1ordf etapa

2ordf etapa

+

mdash

Suma

+

mdash

Diferencia

(a) (b)

figura 9


(a) o (b)

(c)




figura 10



(a)

(c)

(b)

(d)

(e)

figura 11







mh

A

B

C

a

b

c

n mh





a

h m

n b

C A

a

n b

C A

h2a = +m2

2n+2ch=m=b-n

n=ccosA

figura 12






times

+

3

2 9

figura 13





Ingresos Gastos

Diferencia

mdash

Saldo Gasto

Nuevo saldo

mdash

times


Peso total

times


Precio total



times






minus

divide

48 8

2

figura 14






20

divide


6

times

figura 15






divide

divide

divide

times

40

4

100

50 10

figura 16














times

tiempo 2ordm

d

60

divide

-

times

tiempo 2ordm

d

60

tiempo 1ordm

d 40

2divide

+

times

tiempo 1ordm

d

40

tiempo 2ordm

d 60

2

+

times

tiempo 1ordm

d

40

tiempo 2ordm 2

d = 60t d = 40(t+2)

d = 40 (d60 + 2)d = 60 (d40 - 2)

figura 17
















x + 1213

=x minus13

12







































































450x2 9005






























Cantidad devuelta

Cantidad pagada

mdash


Coste

times

figura 4


mdash

50

15

times

3

figura 5






4m

4m

50piezas

3m 20piezas

mdash

times times

divide

Nordm de abrigos

Tela abrigos

Tela disponible

Tela trajes

figura 6











15

times

3


mdash

50

15

times

3


15

times

3

times

25 2

+



15

times

3

times

25 2

+

mdash

100




times

times

times

mdash

mdash

385

179 154 385179 154




times

mdash










times

times

+

times

+

mdash

times

+

mdash

(a) (b) (c)

figura 7


1ordf etapa

2ordf etapa

3ordf etapa

figura 8



mdash

+

(a) (b)

Diferencia Suma

1ordf etapa

2ordf etapa

+

mdash

Suma

+

mdash

Diferencia

(a) (b)

figura 9


(a) o (b)

(c)




figura 10



(a)

(c)

(b)

(d)

(e)

figura 11







mh

A

B

C

a

b

c

n mh





a

h m

n b

C A

a

n b

C A

h2a = +m2

2n+2ch=m=b-n

n=ccosA

figura 12






times

+

3

2 9

figura 13





Ingresos Gastos

Diferencia

mdash

Saldo Gasto

Nuevo saldo

mdash

times


Peso total

times


Precio total



times






minus

divide

48 8

2

figura 14






20

divide


6

times

figura 15






divide

divide

divide

times

40

4

100

50 10

figura 16














times

tiempo 2ordm

d

60

divide

-

times

tiempo 2ordm

d

60

tiempo 1ordm

d 40

2divide

+

times

tiempo 1ordm

d

40

tiempo 2ordm

d 60

2

+

times

tiempo 1ordm

d

40

tiempo 2ordm 2

d = 60t d = 40(t+2)

d = 40 (d60 + 2)d = 60 (d40 - 2)

figura 17
















x + 1213

=x minus13

12







































































450x2 9005






























4m

4m

50piezas

3m 20piezas

mdash

times times

divide

Nordm de abrigos

Tela abrigos

Tela disponible

Tela trajes

figura 6











15

times

3


mdash

50

15

times

3


15

times

3

times

25 2

+



15

times

3

times

25 2

+

mdash

100




times

times

times

mdash

mdash

385

179 154 385179 154




times

mdash










times

times

+

times

+

mdash

times

+

mdash

(a) (b) (c)

figura 7


1ordf etapa

2ordf etapa

3ordf etapa

figura 8



mdash

+

(a) (b)

Diferencia Suma

1ordf etapa

2ordf etapa

+

mdash

Suma

+

mdash

Diferencia

(a) (b)

figura 9


(a) o (b)

(c)




figura 10



(a)

(c)

(b)

(d)

(e)

figura 11







mh

A

B

C

a

b

c

n mh





a

h m

n b

C A

a

n b

C A

h2a = +m2

2n+2ch=m=b-n

n=ccosA

figura 12






times

+

3

2 9

figura 13





Ingresos Gastos

Diferencia

mdash

Saldo Gasto

Nuevo saldo

mdash

times


Peso total

times


Precio total



times






minus

divide

48 8

2

figura 14






20

divide


6

times

figura 15






divide

divide

divide

times

40

4

100

50 10

figura 16














times

tiempo 2ordm

d

60

divide

-

times

tiempo 2ordm

d

60

tiempo 1ordm

d 40

2divide

+

times

tiempo 1ordm

d

40

tiempo 2ordm

d 60

2

+

times

tiempo 1ordm

d

40

tiempo 2ordm 2

d = 60t d = 40(t+2)

d = 40 (d60 + 2)d = 60 (d40 - 2)

figura 17
















x + 1213

=x minus13

12







































































450x2 9005






























15

times

3


mdash

50

15

times

3


15

times

3

times

25 2

+



15

times

3

times

25 2

+

mdash

100




times

times

times

mdash

mdash

385

179 154 385179 154




times

mdash










times

times

+

times

+

mdash

times

+

mdash

(a) (b) (c)

figura 7


1ordf etapa

2ordf etapa

3ordf etapa

figura 8



mdash

+

(a) (b)

Diferencia Suma

1ordf etapa

2ordf etapa

+

mdash

Suma

+

mdash

Diferencia

(a) (b)

figura 9


(a) o (b)

(c)




figura 10



(a)

(c)

(b)

(d)

(e)

figura 11







mh

A

B

C

a

b

c

n mh





a

h m

n b

C A

a

n b

C A

h2a = +m2

2n+2ch=m=b-n

n=ccosA

figura 12






times

+

3

2 9

figura 13





Ingresos Gastos

Diferencia

mdash

Saldo Gasto

Nuevo saldo

mdash

times


Peso total

times


Precio total



times






minus

divide

48 8

2

figura 14






20

divide


6

times

figura 15






divide

divide

divide

times

40

4

100

50 10

figura 16














times

tiempo 2ordm

d

60

divide

-

times

tiempo 2ordm

d

60

tiempo 1ordm

d 40

2divide

+

times

tiempo 1ordm

d

40

tiempo 2ordm

d 60

2

+

times

tiempo 1ordm

d

40

tiempo 2ordm 2

d = 60t d = 40(t+2)

d = 40 (d60 + 2)d = 60 (d40 - 2)

figura 17
















x + 1213

=x minus13

12







































































450x2 9005






























15

times

3

times

25 2

+

mdash

100




times

times

times

mdash

mdash

385

179 154 385179 154




times

mdash










times

times

+

times

+

mdash

times

+

mdash

(a) (b) (c)

figura 7


1ordf etapa

2ordf etapa

3ordf etapa

figura 8



mdash

+

(a) (b)

Diferencia Suma

1ordf etapa

2ordf etapa

+

mdash

Suma

+

mdash

Diferencia

(a) (b)

figura 9


(a) o (b)

(c)




figura 10



(a)

(c)

(b)

(d)

(e)

figura 11







mh

A

B

C

a

b

c

n mh





a

h m

n b

C A

a

n b

C A

h2a = +m2

2n+2ch=m=b-n

n=ccosA

figura 12






times

+

3

2 9

figura 13





Ingresos Gastos

Diferencia

mdash

Saldo Gasto

Nuevo saldo

mdash

times


Peso total

times


Precio total



times






minus

divide

48 8

2

figura 14






20

divide


6

times

figura 15






divide

divide

divide

times

40

4

100

50 10

figura 16














times

tiempo 2ordm

d

60

divide

-

times

tiempo 2ordm

d

60

tiempo 1ordm

d 40

2divide

+

times

tiempo 1ordm

d

40

tiempo 2ordm

d 60

2

+

times

tiempo 1ordm

d

40

tiempo 2ordm 2

d = 60t d = 40(t+2)

d = 40 (d60 + 2)d = 60 (d40 - 2)

figura 17
















x + 1213

=x minus13

12







































































450x2 9005
































times

mdash










times

times

+

times

+

mdash

times

+

mdash

(a) (b) (c)

figura 7


1ordf etapa

2ordf etapa

3ordf etapa

figura 8



mdash

+

(a) (b)

Diferencia Suma

1ordf etapa

2ordf etapa

+

mdash

Suma

+

mdash

Diferencia

(a) (b)

figura 9


(a) o (b)

(c)




figura 10



(a)

(c)

(b)

(d)

(e)

figura 11







mh

A

B

C

a

b

c

n mh





a

h m

n b

C A

a

n b

C A

h2a = +m2

2n+2ch=m=b-n

n=ccosA

figura 12






times

+

3

2 9

figura 13





Ingresos Gastos

Diferencia

mdash

Saldo Gasto

Nuevo saldo

mdash

times


Peso total

times


Precio total



times






minus

divide

48 8

2

figura 14






20

divide


6

times

figura 15






divide

divide

divide

times

40

4

100

50 10

figura 16














times

tiempo 2ordm

d

60

divide

-

times

tiempo 2ordm

d

60

tiempo 1ordm

d 40

2divide

+

times

tiempo 1ordm

d

40

tiempo 2ordm

d 60

2

+

times

tiempo 1ordm

d

40

tiempo 2ordm 2

d = 60t d = 40(t+2)

d = 40 (d60 + 2)d = 60 (d40 - 2)

figura 17
















x + 1213

=x minus13

12







































































450x2 9005






























times

times

+

times

+

mdash

times

+

mdash

(a) (b) (c)

figura 7


1ordf etapa

2ordf etapa

3ordf etapa

figura 8



mdash

+

(a) (b)

Diferencia Suma

1ordf etapa

2ordf etapa

+

mdash

Suma

+

mdash

Diferencia

(a) (b)

figura 9


(a) o (b)

(c)




figura 10



(a)

(c)

(b)

(d)

(e)

figura 11







mh

A

B

C

a

b

c

n mh





a

h m

n b

C A

a

n b

C A

h2a = +m2

2n+2ch=m=b-n

n=ccosA

figura 12






times

+

3

2 9

figura 13





Ingresos Gastos

Diferencia

mdash

Saldo Gasto

Nuevo saldo

mdash

times


Peso total

times


Precio total



times






minus

divide

48 8

2

figura 14






20

divide


6

times

figura 15






divide

divide

divide

times

40

4

100

50 10

figura 16














times

tiempo 2ordm

d

60

divide

-

times

tiempo 2ordm

d

60

tiempo 1ordm

d 40

2divide

+

times

tiempo 1ordm

d

40

tiempo 2ordm

d 60

2

+

times

tiempo 1ordm

d

40

tiempo 2ordm 2

d = 60t d = 40(t+2)

d = 40 (d60 + 2)d = 60 (d40 - 2)

figura 17
















x + 1213

=x minus13

12







































































450x2 9005






























mdash

+

(a) (b)

Diferencia Suma

1ordf etapa

2ordf etapa

+

mdash

Suma

+

mdash

Diferencia

(a) (b)

figura 9


(a) o (b)

(c)




figura 10



(a)

(c)

(b)

(d)

(e)

figura 11







mh

A

B

C

a

b

c

n mh





a

h m

n b

C A

a

n b

C A

h2a = +m2

2n+2ch=m=b-n

n=ccosA

figura 12






times

+

3

2 9

figura 13





Ingresos Gastos

Diferencia

mdash

Saldo Gasto

Nuevo saldo

mdash

times


Peso total

times


Precio total



times






minus

divide

48 8

2

figura 14






20

divide


6

times

figura 15






divide

divide

divide

times

40

4

100

50 10

figura 16














times

tiempo 2ordm

d

60

divide

-

times

tiempo 2ordm

d

60

tiempo 1ordm

d 40

2divide

+

times

tiempo 1ordm

d

40

tiempo 2ordm

d 60

2

+

times

tiempo 1ordm

d

40

tiempo 2ordm 2

d = 60t d = 40(t+2)

d = 40 (d60 + 2)d = 60 (d40 - 2)

figura 17
















x + 1213

=x minus13

12







































































450x2 9005






























(a)

(c)

(b)

(d)

(e)

figura 11







mh

A

B

C

a

b

c

n mh





a

h m

n b

C A

a

n b

C A

h2a = +m2

2n+2ch=m=b-n

n=ccosA

figura 12






times

+

3

2 9

figura 13





Ingresos Gastos

Diferencia

mdash

Saldo Gasto

Nuevo saldo

mdash

times


Peso total

times


Precio total



times






minus

divide

48 8

2

figura 14






20

divide


6

times

figura 15






divide

divide

divide

times

40

4

100

50 10

figura 16














times

tiempo 2ordm

d

60

divide

-

times

tiempo 2ordm

d

60

tiempo 1ordm

d 40

2divide

+

times

tiempo 1ordm

d

40

tiempo 2ordm

d 60

2

+

times

tiempo 1ordm

d

40

tiempo 2ordm 2

d = 60t d = 40(t+2)

d = 40 (d60 + 2)d = 60 (d40 - 2)

figura 17
















x + 1213

=x minus13

12







































































450x2 9005

































mh

A

B

C

a

b

c

n mh





a

h m

n b

C A

a

n b

C A

h2a = +m2

2n+2ch=m=b-n

n=ccosA

figura 12






times

+

3

2 9

figura 13





Ingresos Gastos

Diferencia

mdash

Saldo Gasto

Nuevo saldo

mdash

times


Peso total

times


Precio total



times






minus

divide

48 8

2

figura 14






20

divide


6

times

figura 15






divide

divide

divide

times

40

4

100

50 10

figura 16














times

tiempo 2ordm

d

60

divide

-

times

tiempo 2ordm

d

60

tiempo 1ordm

d 40

2divide

+

times

tiempo 1ordm

d

40

tiempo 2ordm

d 60

2

+

times

tiempo 1ordm

d

40

tiempo 2ordm 2

d = 60t d = 40(t+2)

d = 40 (d60 + 2)d = 60 (d40 - 2)

figura 17
















x + 1213

=x minus13

12







































































450x2 9005


































times

+

3

2 9

figura 13





Ingresos Gastos

Diferencia

mdash

Saldo Gasto

Nuevo saldo

mdash

times


Peso total

times


Precio total



times






minus

divide

48 8

2

figura 14






20

divide


6

times

figura 15






divide

divide

divide

times

40

4

100

50 10

figura 16














times

tiempo 2ordm

d

60

divide

-

times

tiempo 2ordm

d

60

tiempo 1ordm

d 40

2divide

+

times

tiempo 1ordm

d

40

tiempo 2ordm

d 60

2

+

times

tiempo 1ordm

d

40

tiempo 2ordm 2

d = 60t d = 40(t+2)

d = 40 (d60 + 2)d = 60 (d40 - 2)

figura 17
















x + 1213

=x minus13

12







































































450x2 9005































Ingresos Gastos

Diferencia

mdash

Saldo Gasto

Nuevo saldo

mdash

times


Peso total

times


Precio total



times






minus

divide

48 8

2

figura 14






20

divide


6

times

figura 15






divide

divide

divide

times

40

4

100

50 10

figura 16














times

tiempo 2ordm

d

60

divide

-

times

tiempo 2ordm

d

60

tiempo 1ordm

d 40

2divide

+

times

tiempo 1ordm

d

40

tiempo 2ordm

d 60

2

+

times

tiempo 1ordm

d

40

tiempo 2ordm 2

d = 60t d = 40(t+2)

d = 40 (d60 + 2)d = 60 (d40 - 2)

figura 17
















x + 1213

=x minus13

12







































































450x2 9005






























times






minus

divide

48 8

2

figura 14






20

divide


6

times

figura 15






divide

divide

divide

times

40

4

100

50 10

figura 16














times

tiempo 2ordm

d

60

divide

-

times

tiempo 2ordm

d

60

tiempo 1ordm

d 40

2divide

+

times

tiempo 1ordm

d

40

tiempo 2ordm

d 60

2

+

times

tiempo 1ordm

d

40

tiempo 2ordm 2

d = 60t d = 40(t+2)

d = 40 (d60 + 2)d = 60 (d40 - 2)

figura 17
















x + 1213

=x minus13

12







































































450x2 9005

































20

divide


6

times

figura 15






divide

divide

divide

times

40

4

100

50 10

figura 16














times

tiempo 2ordm

d

60

divide

-

times

tiempo 2ordm

d

60

tiempo 1ordm

d 40

2divide

+

times

tiempo 1ordm

d

40

tiempo 2ordm

d 60

2

+

times

tiempo 1ordm

d

40

tiempo 2ordm 2

d = 60t d = 40(t+2)

d = 40 (d60 + 2)d = 60 (d40 - 2)

figura 17
















x + 1213

=x minus13

12







































































450x2 9005

































divide

divide

divide

times

40

4

100

50 10

figura 16














times

tiempo 2ordm

d

60

divide

-

times

tiempo 2ordm

d

60

tiempo 1ordm

d 40

2divide

+

times

tiempo 1ordm

d

40

tiempo 2ordm

d 60

2

+

times

tiempo 1ordm

d

40

tiempo 2ordm 2

d = 60t d = 40(t+2)

d = 40 (d60 + 2)d = 60 (d40 - 2)

figura 17
















x + 1213

=x minus13

12







































































450x2 9005









































times

tiempo 2ordm

d

60

divide

-

times

tiempo 2ordm

d

60

tiempo 1ordm

d 40

2divide

+

times

tiempo 1ordm

d

40

tiempo 2ordm

d 60

2

+

times

tiempo 1ordm

d

40

tiempo 2ordm 2

d = 60t d = 40(t+2)

d = 40 (d60 + 2)d = 60 (d40 - 2)

figura 17
















x + 1213

=x minus13

12







































































450x2 9005











































x + 1213

=x minus13

12







































































450x2 9005






























































































450x2 9005





























problemas aritméticos de varias operaciones combinadas (de ... · pdf fileproblemas...

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