Teorema de bayes.

5.1 Considérense dos urnas, una con tres pelotas de color rojo y siete de color blanco, la otra con seis de color blanco. Si se elige una urna al azar y después se saca una pelota, ¿cuál es la probabilidad de que sea de color rojo?

5.2 La urna I contiene una bola de color blanco y tres de color negro. La urna II contiene tres bolas de color blanco y dos de color negro. Se elige una urna aleatoriamente y se extrae una bola de ella. En el supuesto de que la bola extraída es de color negro, ¿cuál es la probabilidad de que la urna seleccionada sea la I?

5.3 Fernando López conoce a una nueva chica en la mitad de las fiestas a las que asiste. Tres cuartas partes de las veces en que conoce a una nueva joven, se divierte, pero la probabilidad de que se divierta cuando no conoce una nueva chica es solamente de 0.10. Fernando López acaba de decir que se está divirtiendo, ¿cuál es la probabilidad de que haya conocido una nueva joven?

5.4 Una caja contiene cinco canicas de color blanco y dos de color negro. Una segunda caja contiene tres canicas de color blanco y cinco de color negro. Si se selecciona al azar una de estas cajas y se extrae una canica, ¿cuál es la probabilidad de que sea de color blanco?

5.5 Se tienen dos monedas, ambas cagadas; la primera tiene probabilidad 0.3 de “caer cara”; la segunda, 0.6. Un jugador elige al azar una de las monedas y la lanza dos veces obteniendo dos caras. ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga una tercera cara?

5.6 Una urna contiene dos bolas de color rojo, dos de color blanco y dos de color azul. Se seleccionan al azar y sin remplazo dos bolas de la urna. Calcular la probabilidad de que la segunda bola extraída sea de color rojo.

5.7 Una bolsa contiene cuatro pelotas de color blanco y tres de color negro: una segunda bolsa contiene tres de color blanco y cinco de color negro. Se saca una pelota aleatoriamente de la segunda bolsa y se coloca, sin verla, en la primera. ¿Cuál es la probabilidad de que una de las pelotas extraída en estas condiciones de la primera bolsa sea de color blanco?

5.8 A una rata se le permite seleccionar al azar uno de cinco laberintos diferentes. Si las probabilidades de que pase por cada uno de los diferentes laberintos en tres minutos son de 0.6, 0.3, 0.2, 0.1 y 0.1, respectivamente, y la rata escapa en tres minutos:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya escogido el primer laberinto?

b) ¿Cuáles la probabilidad de que haya escogido el segundo?

5.9 Se tienen cinco cajas que contienen cada una 100 focos para cámara fotográfica. Dos de las cajas tienen 10 focos defectuosos cada una; dos de ellas tienen cinco focos defectuosos cada una, y una tiene dos focos defectuosos. Si se selecciona al azar una de estas cajas y de ella se toma un foco, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuoso?

5.10 Un estudiante contesta una pregunta que ofrece cuatro soluciones posibles en un examen de opción múltiple. Suponga que la probabilidad de que el estudiante sepa la respuesta a la

pregunta es de 0.8 y la probabilidad de que tenga que contestar al azar es de 0.1. Suponga además que la probabilidad de seleccionar la respuesta correcta al azar es de0.25. Si el estudiante contesta correctamente la pregunta, ¿Cuál es la probabilidad de que realmente sepa la respuesta correcta?

5.11 Una urna contiene dos bolas de color blanco y cuatro de color negro; otra urna, tres de color blanco y una de color negro. Dos bolas pasan de la primera urna a la segunda. Hallar la probabilidad de que la bola extraída de la segunda urna, después de pasar a ella dos bolas de la primera, sea de color blanco.

5.12 Un bolso contiene dos monedas de plata y cuatro de cobre, y otro contiene cuatro de plata y tres de cobre. Si se elige al azar una moneda de uno de los bolsos, ¿cuál es la probabilidad de que sea de plata?

5.13 Considérense tres urnas. Cada una de las dos primeras tienen tres pelotas de color rojo y siete de color verde, pero la tercera tiene cuatro pelotas de color rojo y cuatro de color verde. Si se elige una urna al azar y después se saca una pelota, ¿cuál es la probabilidad de que sea de color rojo?

5.14 La urna 1 contiene dos bolas de color rojo y cuatro de color azul; la urna 2 contiene 10 bolas de color rojo y dos de color azul. Si se elige al azar una urna y se saca una bola de ésta:

a) ¿cuál es la probabilidad de que la bola seleccionada sea de color azul?

b) ¿De que sea de color rojo?

5.15. Se tienen dos urnas. La primera contiene cinco bolas de color blanco, 11 de color negro y ocho de color verde. La segunda 10 bolas de color blanco, ocho de color negro y seis de color verde. De cada urna seleccionamos una bola; ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean del mismo color?

5.16. Un estudiante presenta un examen de selección múltiple en el cual cada pregunta tiene cinco posibles respuestas, de las cuales una es correcta. Suponga que el estudiante conoce la respuesta de 70% de las preguntas.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante, sobre una pregunta dada, conteste la respuesta correcta?

b) Si el estudiante contesta correctamente la pregunta, ¿cuál es la probabilidad de que conozca la respuesta?

5.17 Se supone que una cierta máquina detecta el cáncer con probabilidad de 0.8, entre gente que padece de cáncer, y no detecta el 20% restante. Si una persona no padece cáncer la prueba indicará este hecho 90% de las veces e indicará que tiene cáncer 10% de ellas. Supondremos que 5% de las personas de la población de prueba padecen cáncer y la prueba de una persona determinada, seleccionada al azar, indica que tiene cáncer. ¿Cuál es la probabilidad de que efectivamente padezca dicha enfermedad?

5.18 Una urna contiene dos bolas de color negro y cinco de color café. Se selecciona una bola al azar. Si la bola es de color café, se devuelve a la urna y se agregan otras dos bolas de color café. Si la bola es de color negro, entonces nos el remplaza en la urna, y tampoco se agregan bolas adicionales. Se saca de la urna una segunda bola. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de color café?

5.19. Se tienen tres urnas idénticas cada una con dos cajones. La primera urna contiene una moneda de oro en cada cajón; la segunda, una de oro en el primero y una de plata en el segundo, y la tercera, una de plata en cada cajón. Se elige una urna al azar y luego uno de sus cajones, en el que se encuentra una moneda de oro. ¿Cuál es la probabilidad de que el otro cajón contenga una moneda de plata?

5.20. En tres urnas se colocan canicas de color rojo, de color blanco y de color azul, distribuidas como se indican en la siguiente tabla:

Rojas Blancas AzulesUrna 1 5 3 2Urna 2 1 8 1Urna 3 3 1 6

Si se selecciona una urna al azar y se saca una canica, también al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la urna haya sido la número tres, si la canica es de color rojo?

5.21. En una fábrica hay dos máquinas, A y B, que realizan 60 y 40 % de la producción total, respectivamente. De su producción, la máquina A produce 3% de material defectuoso, y la B, 5 %. Encontrar la probabilidad de que dado un material defectuoso, provenga de la máquina B.

5.22. Supongamos que 5% de todos los hombres y 0.25% de todas las mujeres son daltonianos. Una persona elegida al azar resulta ser daltoniana. ¿Cuál es la probabilidad de que esta persona sea un hombre? (Se considera que la cantidad de hombres y mujeres es igual.)

5.23. La caja 1 contiene cuatro focos defectuosos y 16 focos en buen estado. La caja 2 contiene un foco defectuosos y uno en buen estado. Se tira un dado no cargado una sola vez. Si sale uno o un dos, entonces se saca al azar un foco de la caja 1; de lo contrario, se selecciona un foco de la caja 2. ¿Cuál es la probabilidad de que el foco seleccionado sea defectuoso?

5.24. Se supone que 0.95 es la probabilidad de que un jurado seleccionado para juzgar un caso criminal emita el veredicto adecuado. Esto significa que si se presenta a juicio un individuo culpable, la probabilidad de que el jurado lo condene es de 0.95; además, recíprocamente, si el individuo juzgado es inocente, la probabilidad el que el jurado lo absuelva es de 0.95. Se supone también que el cuerpo de la policía local realiza su labor a conciencia, de manera que 99% de las personas que se presentan en la corte para ser juzgadas son verdaderamente culpables. Se pide calcular la probabilidad de que el acusado sea inocente, si el jurado lo encuentra inocente.

5.25. Suponer que la ciencia médica ha desarrollado una prueba para el diagnóstico del SIDA que tiene 95% de exactitud, tanto en los que padecen SIDA como entre los que no lo padecen. Si 0.005 de la población realmente tiene SIDA, calcular la probabilidad de que determinado individuo tenga SIDA si la prueba indica que lo tiene.

5.26. Dos proveedores, A y B, entregan la misma pieza a un fabricante, el mismo que guarda todas las existencias de esta pieza en un mismo lugar: los antecedentes demuestran que 5% de las piezas entregadas por A estaban defectuosas, y que 9% de las piezas entregadas por B también lo estaban. Además, A entrega cuatro veces más piezas que B. Si se saca al azar una pieza y se encuentra que no está defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que la haya fabricado A?

5.27. Un sospechoso es juzgado en el tribunal y la probabilidad de que se le encuentre culpable es de 0.8, siempre que cierto testigo no sea llamado a declarar por el fiscal. La probabilidad de que el testigo sea llamada a declarar es de 0.1 y la probabilidad de que al sospechoso se le halle culpable si se llama al testigo a declarar es de 0.9.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que al sospechoso se le halle culpable?

b) Si al sospechoso se le encuentra culpable, ¿cuál es la probabilidad de que el testigo no haya sido llamado a declarar?

5.28. De los artículos producidos diariamente por cierta fábrica, 40% proviene de la línea I y 60% de la línea II. El porcentaje de artículos defectuosos de la línea I es 8%, mientras que el porcentaje de defectuosos de la línea II es 10%. Si se elige un artículo al azar de la producción diaria; calcule la probabilidad de que no sea defectuoso.

5.29. Una agencia de publicidad se da cuenta de que casi uno de cada 50 compradores potenciales de un producto ve cierto anuncio en una revista y uno de cada cinco ve un anuncio correspondiente en la televisión; uno de cada tres compra realmente el producto si vio el anuncio, y de cada 10 que no han visto el anuncio, uno lo compra. ¿Cuál es la probabilidad de que un comprador potencial seleccionado al azar compre el producto?

5.30. Se ha observado que los hombres y las mujeres reaccionan de una manera diferente en ciertas circunstancias: 70% de las mujeres reaccionan positivamente en dichas circunstancias, mientras que el porcentaje en los hombres es solamente de 40%. Se sometió a prueba un grupo de 20 personas – 15 mujeres y 5 hombres- y se les pidió llenar un cuestionario para descubrir sus reacciones. Una respuesta elegida al azar de las 20 resultó negativa. ¿Cuál es la probabilidad de que haya contestado un hombre?

5.31. Cuando los artículos llegan al final de una línea de producción, un supervisor escoge los que deben pasar por una inspección completa; 10% de todos los artículos producidos son defectuosos; 60% de todos los artículos defectuosos y 20% de todos los artículos buenos pasan por una inspección completa. ¿Cuál es la probabilidad de que un artículo sea defectuoso dado que pasó por una inspección completa?

5.32. De acuerdo con los registros de una gran compañía de seguros, 20% de las personas que preguntan acerca de las pólizas de seguro de vida terminan comprando una póliza y 80% no. Además, 30% de las personas que preguntan y compran seguros de vida tienen un ingreso anual entre $15000 y $30000, mientras que solamente 20% de aquellos que preguntan pero no compran tienen el mismo nivel de ingreso. Una persona que pregunta por el seguro de vida tiene un ingreso anual de $20000.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que compre una póliza de seguro de vida?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que pregunta y tiene un ingreso de $50000 adquiera una póliza de seguro de vida?

3.33. En cierta población de votantes 40% son conservadores y 60% liberales. Se reporta que 30% de los conservadores y 70% de los liberales están a favor de cierta elección. Se elige una persona al azar de esta población y declara a favor de dicha elección. Encuentre la probabilidad condicional de que esta persona sea un liberal.

5.34. Cierto artículo es manufacturado por tres fábricas, designadas éstas como 1, 2 y 3. Se sabe que la primera produce el doble de artículos que la segunda y que ésta y la tercera producen el mismo número de artículos. Se sabe también que 2% de los artículos producidos por las dos primeras es defectuoso mientras que 4% de los manufacturados por la tercera es defectuoso. Se colocan juntos todos los artículos producidos en una fila y se elige uno al azar.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que este artículo sea defectuoso?

b) Supongamos que del depósito se elige un artículo y que es defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que se produjo en la primera fábrica?

5.35. Los porcentajes de votantes clasificados como liberales en tres distritos electorales distintos se reparten como sigue: en el primer distrito, 21%, en el segundo, 45%, y en el tercero, 75%. Si un distrito se selecciona al azar y un votante del mismo se selecciona aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que sea liberal?

5.36. En las semifinales de un torneo de tenis, A jugará contra B y C contra D. Los ganadores se encontrarán en la final. La probabilidad de que A derrote a B es de 2/3; de que C derrote a D, de 5/6, de que A derrote a C ( si juegan), de ¼, y de que A derrote a D (si juegan), de 4/5. Encuéntrese la probabilidad de que A gane el torneo.

5.37. Supóngase que en una población de 50% de hombres y 50% de mujeres, 4% de los hombres son daltónicos y 1% de las mujeres son daltónicas. Si una persona es elegida al azar, ¿cuál es la probabilidad de que esa persona sea daltónica?

5.38. En una escuela, 35% de los alumnos son de primer grado; 25%, de segundo; 20%, del penúltimo grado, y 20%, del último. Todos los de primer grado cursan matemáticas, pero sólo 50% de los de segundo, 20% de los del penúltimo y 10% de los del último grado. Si se elige al azar un alumno y éste cursa matemáticas, ¿cuál es la probabilidad de que sea de segundo grado?

5.39. Supóngase que 30% de las botellas fabricadas en una planta son defectuosas. Si una botella es defectuosa, la probabilidad de que un controlador la detecte y la saque de la cadena de producción es de 0.9. Si una botella no es defectuosa, la probabilidad de que el controlador piense que es defectuosa y la saque de la cadena de producción es de 0.2.

a) Si una botella se saca de la cadena de producción, ¿cuál es a probabilidad de que sea defectuosa?

b) Si un cliente compra una botella que no ha sido sacada de la cadena de producción, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuosa?

5.40. Una clase de matemáticas avanzadas está formada por 10 estudiantes de segundo año, 30 de cuarto año y 10 graduados. Tres estudiantes de segundo año, 10 de cuarto año y cinco graduados obtuvieron una calificación de A. Si se selecciona al azar un estudiante de esta clase y se encuentra que su calificación es A, ¿cuál es la probabilidad de que sea un graduado?

5.41. Tres máquinas tragamonedas se arreglaron de modo que, en general, paguen al jugador una de cada 10 veces y que el jugador pierda nueve de cada 10. Sin embargo, una de las máquinas está descompuesta y paga al jugador tres de cada 10 veces, pero no se sabe cuál es la máquina descompuesta. Si usted elige una máquina, juega una vez y gana, ¿cuál es la probabilidad de que haya seleccionado la máquina descompuesta?

5.42. Supóngase que 80% de los estadísticos son tímidos, mientras que solamente 15% de los economistas lo son. Supóngase también que 90% de las personas en una reunión son economistas y el 10% restante son estadísticos. Si en la reunión se conoce a una persona tímida, ¿cuál es la probabilidad de que esa persona sea un estadístico?

5.43. Suponga que una población de trabajadores, 40% son graduados de escuela primaria, 50% de segundaria y 10% de la universidad. Entre los trabajadores con educación primaria hay 5% de desempleo; y sólo 2% entre los trabajadores con educación segundaria. Si se elige un trabajador al azar y se encuentra que es un desempleado, ¿cuál es la probabilidad de que haya terminado sus estudios secundarios?

5.44. Una compañía emplea a 100 personas -75 hombres y 25 mujeres-. El departamento de contabilidad da trabajo a 12% de los hombres y 20% de las mujeres. Si se elige un nombre al azar del departamento de contabilidad, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre? ¿De que sea mujer?

5.45. Por la noche, dos automóviles se aproximan uno al otro en una autopista. Sin ninguno de los conductores está adormecido, ambos pasarán a salvo con una probabilidad de 0.999. Cada uno puede estar adormecido con una probabilidad de 0.1; la probabilidad de que ambos estén adormecidos es de 0.1. Si sólo el conductor A esta adormecido, pasarán a salvo con una probabilidad de 0.7. Si sólo el conductor B está adormecido, pasaran a salvo con una probabilidad de 0.8. Si ambos están adormecidos, pasarán sin peligro con una probabilidad de 0.4. ¿Cuál es la probabilidad de que pasen a salvo?

5.46. Un armador de ventiladores eléctricos usa motores de dos proveedores. La compalía A le surte 90% de los motores, y la compañía B, el 10% restante. Supóngase que se sabe que 5% de los motores que suministra la compañía A son defectuosos y que 3% de los que suministra la compañía B también lo son. S encuentra que un ventilador ya armado tiene un motor defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que ese motor lo haya suministrado la compañía B?

5.47. Se dice que una prueba de diagnóstico para determinada enfermedad tiene 90% de exactitud y que, si una persona tiene la enfermedad, la prueba la detectará con una probabilidad de 0.9. También, si una persona no tiene la enfermedad, el resultado del diagnóstico será que no la tiene, con una probabilidad. Sólo 1% de la población tiene la

enfermedad en cuestión. Si se selecciona una persona al azar de entre la población y la prueba de diagnóstico asegura que tiene la enfermedad, ¿cuál es la probabilidad condicional de que la tenga en realidad? ¿Le sorprende la respuesta? ¿Diría que esa prueba de diagnóstico es fiable?

5.48. Se dispone de dos métodos, el A y el B, para enseñar determinada destreza en manufactura. El índice de reprobados es de 20% para el método A y 0% para el B. Sin embrago, el método B es más caro y, por lo tanto, sólo se usa 30% del tiempo, y el A, el 70% restante. A un trabajador se le capacita con uno de los métodos, pero no puede aprender en forma correcta. ¿Cuál es la probabilidad de que se la haya capacitado con el método A?

5.49. Los motores eléctricos que salen de dos líneas de ensamble se almacenan en una bodega común. Dicha bodega contiene un número igual de motores de cada línea. Los motores se muestra en forma periódica, en esa bodega, y se prueban,. Se sabe que 10% de los motores de la línea I son defectuosos y 15% de los de la línea II. Si se selecciona un motor al azar en la bodega y se encuentra que tiene defectuosos, calcule la probabilidad de que provenga de la línea I.

5.50. La policía planea reforzar el respecto a los límites de velocidad mediante la utilización de sistemas de radar en cuatro diferentes sitios dentro de la ciudad. Los sistemas de radar en cada sitio L1, L2, L3 y L4 se ponen a funcionar, respectivamente, 40%, 30%, 20% y 30% del tiempo, y si una persona que conduce a gran velocidad rumbo a su trabajo tiene, respectivamente las probabilidades de 0.2, 0.1, 0.5 y 0.2 de pasar por alguno de estos sitios, ¿cuál es la probabilidad de que le levanten una multa?

5.51. En una fábrica, una línea de producción termina dos tipos de piezas ensambladas por dos autómatas. El primer autómata ensambla tres partes de la producción, y en 65% de los casos del acabado es de primera calidad. El segundo autómata ensambla dos partes de la producción y en 85% de los casos es de primera calidad.

a) Si en esta línea se elige una pieza, ¿cuál es la probabilidad de que sea de primera calidad?

b) Si una pieza es de primera calidad, ¿qué es más probable: que sea del primer autómata o del segundo?

5.52. Se conduce una investigación detallada de accidentes aéreos. La probabilidad de que un accidente por falla estructural se identifique correctamente es de 0.9 y la probabilidad de que un accidente no se deba a una falla estructural y se identifique en forma incorrecta como un accidente por falla estructural es de 0.2. Si 25% de los accidentes aéreos se deben a fallas estructurales, determine la probabilidad de que un accidente aéreo debido a una falla estructural se diagnostique como falla de este tipo.

5.53. Se están estudiando tres teorías económicas. A partir de la información que se tiene, cada una de ellas parece ser un modelo tan bueno para una economía dada, como para cualquiera de las otras. Estas teorías predicen la probabilidad de una recesión para el año siguiente: la teoría I, P(R)=0.6; la teoría II, P(R)=0.3 y la teoría II, P(R)=0.2. Si en realidad ocurre una recesión, ¿cuál es la probabilidad de que la teoría II sea la correcta?

5.54. En una ciudad determinada, 30% de la personas son conservadores, 50% son liberales y 20% son independientes. Los registros muestran que en unas elecciones concretas, votaron 65% de los conservadores, 82% de los liberales y 50% de los independientes. Si se selecciona a lazar una persona de la ciudad y se sabe que no votó en las elecciones pasadas, ¿Cuál es la probabilidad de que sea liberal?

5.55. Tres servicios de mensajería anuncian que entregarán un paquete en cualquier part de México en 24 horas o menos. Las compañías A, B y C transportan 55, 35 y 10%, respectivamente, del número total de paquetes que se entregan. Si 0.65% de los paquetes entregados por la compañía A, 0.35% de los paquetes entregados por la compañía B y 2.1% de la compañía C fueron entregados con retraso, ¿cuáles son las probabilidades de que un paquete entregado con retardo haya sido llevado por:

a) La compañía A?

b) La compañía B?

c) la compañía C?

5.56 En un almacén se encuentran 80 cajas con 100 fusibles cada una. 20 cajas contienen fusibles producidos por la máquina A, 30 cajas contienen fusibles producidos por la máquina B, y 30 cajas tienen fusibles producidos por la máquina C. Las cajas están almacenadas al azar, sin que importe la máquina de procedencia. La máquina A produce 5% de fusibles defectuosos; la B, 3%, y la C, 2%. Si se selecciona una de estas cajas al azar, se toma uno de sus fusibles y se encuentra que es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido producido por la máquina B?

5.57. En cierto país llueve 40% de los días y 60% de los días son claros. Un fabricante de barómetros probó su instrumento en un laboratorio y descubrió que a veces fallaba, porque en días lluviosos hacía predicciones de “claro” 10% de la veces y en día claros hacía predicciones de “lluvia” 30% de las veces.

a) Al predecir el tiempo del día siguiente antes de mirar el barómetro, la probabilidad prior de que llueva es de 40%. Después de ver el barómetro, y su pronóstico de “lluvia”, ¿cuál es la probabilidad a posteriori de que llueva?

b) ¿Cuál es la probabilidad a posteriori de lluvia si un barómetro corregido (con tasas de error de 10% y 20% respectivamente) predice “lluvia”?

c) ¿Cuál es la probabilidad a posterior de que sea un día claro si el barómetro corregido predice “lluvia”?

5.58. Tres máquinas producen piezas fundidas de metales no ferrosos. La máquina A produce 1% de piezas defectuosas, la máquina B, 2%, y la máquina C, 5%. Cada máquina produce 1/3 de la producción total. Un inspector examina una pieza fundida y determina que no está defectuosa. Estima las probabilidades de que dicha pieza haya sido producida por cada máquina.

5.59. La larga experiencia de una clínica en el diagnóstico de pacientes que acuden a ella es de 1/10 tiene la enfermedad A, 2/10 la enfermedad B y 7/10 goza de buena salud. De los enfermos de A, 9/10 padece dolores de cabeza, ½ de los enfermos de B sufre de dichos dolores y ocurre los mismo con 1/20 de quienes están sanos. Si usted debe diagnosticar a un paciente en esta clínica y éste tiene dolor de cabeza, ¿cuál es la probabilidad de que tenga:

a) la enfermedad A?

b) la enfermedad B?

c) buena salud?

5.60. Un invitado a un día de campo selecciona al azar dos latas de refresco de un paquete de seis de marca X, que contiene cuatro latas de refresco de cola y dos de ginger ale; o de un paquete de seis latas de marca Y, que contiene cuatro latas de ginger ale y dos de refresco de cola. Pero el invitado tiene tre veces mayor probabilidad de seleccionar la marca Y que la marca X.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambas latas seleccionadas por el invitado sean de ginger ale?

b) Si ambas latas seleccionadas por el invitado son de ginger ale, ¿cuál es la probabilidad de que sean de la marca Y?

c) Si el invitado selecciona cuando menos una lata de refresco de cola, ¿cuál es la probabilidad de que el refresco sea de la marca X?

5.61. A y B participan en un duelo. A, cuya probabilidad de acertar es de 0.2 si dispara primero; el segundo disparo (de haberlo) puede hacerlo cualquiera de ellos con igual probabilidad, y, por último, puede haber un tercer disparo que hará B si es que aún está ileso. B tiene una probabilidad de acertar de 0.3. ¿Cuál es la probabilidad de que:

a) B mate a A?

b) ambos salgan ilesos?

c) A salga ileso sabiendo que hubo tres disparos?

d) A haya disparado dos veces sabiendo que salió ileso?

5.62. En el juego de ping-pong los dos participantes juegan hasta que alguno de los dos haya ganado tres juegos consecutivos o no. Se supone que el jugador A tiene probabilidad 0.6 de ganar el primer juego; 0.7 de ganar cualquier juego posterior si gano también el anterior, y 0.5 si perdió el anterior. Calcular la probabilidad de que:

a) A gane el encuentro pero sólo después de cinco juegos,

b) A pierda el encuentro.

c) se jueguen exactamente cuatro juegos,

d) A haya perdido el encuentro sabiendo que ganó el primero juego,

e) A haya ganado el encuentro sabiendo que se jugaron más de tres juegos.

5.63. Una bolsa contiene un millar de monedas, una de la cuales tienen águila en los dos lados. Se extrae una moneda al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que si se lanza una moneda y sale águila:

a) tres veces seguidas, sea la moneda sesgada?

b) 10 veces seguidas, sea la monea sesgada?

c) 20 veces seguidas, sea la moneda sesgada?

5.64. En una línea de aviación s envían dos tipos de señales con códigos 111 o 000, con probabilidad 0.15 y 0.35, respectivamente. Estas señales son distorsionadas por ruidos, lo que provoca que al enviarse un 1 pueda recibirse como 0 con probabilidad 0.2, y con la misma probabilidad el cero puede recibirse como 1. Supongamos que los símbolos o 0 sufren de estos ruidos de manera independiente.

a) ¿Cuál es la probabilidad e que en la salida recibamos las señales 111, 000, 010?

b) Si se recibió la señal 010, ¿cuál es la probabilidad de que se haya mandado el 000?

c) Calcular la probabilidad de que se envió un 111 y se recibió el 111?

5.65. Cada una de N urnas contiene m bolas de color blanco y n de color negro. De la primera urna se sacó una bola y se colocó en la segunda. Después de la segunda, se seleccionó una más y se colocó en la tercera, y así sucesivamente ¿Cuál es la probabilidad de que la bola que se elige de la última urna sea de color blanco?

5.66. Una urna contiene n boletos entre los cuales m ganan (m<n) 10 pesos y el resto pierde. Cada uno de n jugadores selecciona los boletos en orden. ¿Tendrán todos los jugadores la misma oportunidad de ganar? ¿Cuál será el mejor momento para seleccionar los boletos?

Probabilidad geométrica.

6.1. José es un niño de 2 años y, según su historia familiar, parece razonable suponer que cuando sea adulto su estatura tenga la misma probabilidad de estar comprendida entre 5 pies 9 pulgadas y 6 pies 2 pulgadas. Con base en este suposición, ¿cuáles la probabilidad de que tenga al menos 6 pies de estatura cuando sea adulto?

6.2. Una persona viaja diariamente en el tren suburbano para ir de su casa a su trabajo. Los trenes salen de la estación a las 7, 7:13, 7:20, 7:25, 7:32, 7:45 y 7:55 a.m. y esta persona aborda el primero, tan pronto llega a la estación. Debido a que se levanta a diferentes horas y a las condiciones variables del tránsito, las horas en que esa persona llega a la estación, tienen la misma probabilidad de estar comprendidas entre las 7:15 y las 7:45 a.m. De acuerdo con lo anterior, ¿cuál es la probabilidad de que tenga que esperar en la estación menos de 5 minutos un día cualquiera? ¿Menos de 10 minutos? En el supuesto de que los trenes de las 7:25 y las 7:45 son expresos, ¿cuál es la probabilidad de que aborde uno de ellos en determinado día?

6.3. Se rompe una regla de 12 pulgadas al azar en dos partes a lo largo. ¿Cuál es la probabilidad de que la longitud de la parte más larga sea al menos el doble de la más corta?

6.4. Se selecciona un punto (x,y) del cuadrado S que contiene todos los puntos (x,y) tales que 0<=x<=1 y 0<=y<=1. Supóngase que la probabilidad de que el punto seleccionado pertenezca a cualquier subconjunto específico de S es igual al área de ese subconjunto. Determínese la probabilidad de cada uno de los siguientes subconjuntos:

a) el subconjunto del puntos tales que (x-1/2)2 + (y-1/2)2 >= ¼

b) el subconjunto de puntos tales que ½ < x+y<3/2

c) el subconjunto de puntos tales que y<=1-x2

d) el subconjunto de puntos tales que x=y

6.5. A y B deciden encontrarse entre las tres y cuatro de la tarde, pero acuerdan que cada uno no espera más de 10 minutos al otro. Hallas la probabilidad de que se encuentren.

6.6. Dado un triángulo cualquiera con un punto O colocado en su interior, con la condición de que cada vértice del triángulo se identifica con un solo lado del mismo. Sean P1, P2 y P3 la probabilidad de que la recta l corte el correspondiente lado del triángulo. Demostrar que Pi + P2 + P3 0 2.

6.7. (Problema de Buffon) En el plano horizontal se dibujan dos rectas paralelas de distancia 2L. Calcular la probabilidad de que, si se lanza aleatoriamente una aguja con longitud 2l, corte una de las rectas.

6.8. (Problema de Laplace) En el plano se encuentran dibujados rectángulos con lados a y b. Si se lanza al azar una aguja de tamaño l con l<min(a,b), ¿cuál es la probabilidad de que la aguja no intercepta ningún lado del rectángulo?

6,9. (Paradoja de Bertrand) En una circunferencia con radio R se eligió al azar una secante. Calcular la probabilidad de que la distancia de ambos puntos extremos de una cuerda no exceda al lado de cualquier triángulo inscrito.

6.10. En un segmento de longitud l se seleccionaron al azar dos puntos. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las tres partes obtenidas del segmento sea menos que a, donde 0<=a<=1/3?

6.11. Un piso de madera está formado por triángulos equiláteros de lado a. Se lanzó la una moneda sobre el piso con el radio r <a sqrt(3)/6. Calcular la probabilidad de que no intercepte el perímetro de ningún triángulo.

6.12. De un segmento se seleccionaron dos puntos que lo dividen en tres partes. ¿Cuál es la probabilidad de que se pueda construir un triángulo?

6.13. De manera aleatoria se lanzan tres puntos en un segmento AB. Calcular la probabilidad de que con las longitudes de A a cada uno de los puntos, se pueda formar un triángulo.

6.14. En dos tiempos aleatorios tx y ty del intervalo [0, T], deberían ocurrir los eventos X y Y de manera independiente. Dichos eventos se dice que coinciden si –a<=tx –ty<=b con a>0 y b>0. Calcular la probabilidad de que:

a) X ocurra antes de Y.

b) X y Y coincidan.

c) Y ocurra antes que X, dado que X y Y coincidan.

6.15. Se elige al azar un punto en un cuadrado de lado 1, con 0<=x<=1 y 0<=y<=1. Calcular la probabilidad de que:

a) x >= ½ dado que x+y >= 1/3.

b) x>= ½ dado que xy>=4

c) x<=1/2 dado que x=1/2

6.16. En un segmento con longitud l se escogió un punto al azar que divide este segmento en dos partes. Calcular la probabilidad de que con estos dos segmentos y con un segmento de longitud ½ se pueda construir un triángulo.

6.17. En un segmento con longitud unitaria se seleccionaron dos puntos al azar, X y Y. Calcular la probabilidad de que la distancia entre estos dos puntos sea mayor que x, con 0<x<1.

6.18. En el plano se trazan dos familias de rectas paralelas distintas, las cuales dividen este plano en rectángulos con lados a y b con a<=b. Si se lanza al azar una moneda con diámetro 2r<=a. Calcular la probabilidad de que no intercepte ninguna de estas dos rectas.

6.19. En un plano, se trazó un haz infinito de rectas paralelas con una distancia alterna entre las rectas de 3 y 16 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que un disco circular con radio de 5 cm lanzado al azar sobre el plano no corte ninguna de las rectas?

6.20. En el interior de un hexágono regular con lado a se escogió un punto al azar. ¿Cuáles la probabilidad de que la distancia de este punto al centro del hexágono sea mayor que x, donde 0<x<a*sqrt(3)/2?

6.21. Un evento A puede ocurrir con igual probabilidad en cada momento del intervalo de tiempo [0, T]. La probabilidad de que A ocurra en este intervalo es igual a p. Se sabe que A no ocurrió hasta el tiempo t con 0<t<T. Calcular la probabilidad de que el evento A ocurra en el intervalo [t,T].

6.22. Un alambre de cobre con longitud de 20cm se dobló en un punto de manera aleatoria. La parte mayor se volvió a doblar en dos puntos de manera tal que se pudo construir un rectángulo. Calcular la probabilidad de que el área de este rectángulo no exceda 21 cm2.

6.23. En el segmento AB de tamaño 1 se colocaron al azar dos puntos L y M. Calcular la probabilidad de que L está más cerca de M que de A.

6.24. Sean a y b la longitud de dos lados de un triángulo. El tercer lado es un segmento con longitud de un número elegido al azar en el intervalo (a-b, a+b) con a>b. ¿Cuál es la probabilidad de que el triángulo sea acutángulo?

6.25. Se colocaron aleatoriamente tres puntos en un círculo. ¿Cuál es la probabilidad de que el triángulo que se forma sea un acutángulo?

6.26. Sean C(0,R) y Cq(0,R1) dos circunferencias concéntricas con R1 < R. Se selecciona al azar una recta que corta la circunferencia C. Calcular la probabilidad de que la recta corte también la circunferencia C1.

6.27. En una circunferencia se inscribió un cuadrado. Calcular la probabilidad que:

a) un punto que se lanzó al azar sobre la circunferencia se encuentre dentro del cuadrado.

b) de cinco puntos lanzados sobre la circunferencia, uno caiga dentro del cuadrado y los cuatro restantes en cada una (indistintamente) de las regiones formadas por los cuatro arcos y lados del cuadrado.

6.28. Calcular la probabilidad de que las raíces de la ecuación cuadrática x2+2ax+b=0 sean reales si los coeficientes pueden tomar cada valor en el rectángulo –k<=a<=k, l<=b<=1.

6.29. En el interior de una circunferencia se seleccionaron al azar dos puntos: A y B. Calcular la probabilidad de que la circunferencia con centro en A y radio AB esté dentro de la primera circunferencia.

6.30. En el interior de una esfera se eligen al azar dos puntos: A y B. Calcular la probabilidad que la esfera con centro en A y radio AB esté dentro de la primera esfera.

6.31. Se escogieron al azar tres puntos sobre una circunferencia. Calcular la probabilidad de que los tres puntos pertenezcan a un arco de longitud “a” radianes.

Variables aleatorias discretas.

7.1. Encontrar la función de distribución de la variable aleatoria X = número de águilas que se obtienen al lanzar cuatro monedas.

7.2. Encontrar la función de probabilidad de la variable aleatoria X = producto de los dos números que se obtienen al lanzar dos dados.

7.3. Dos tiradores disparan sobre el m ismo blanco un tiro de forma independiente. Investigaciones estadísticas registraron la probabilidad de acierto P1 y P2 para el tirador 1 y el tirador 2, respectivamente.

a) determine la función de probabilidad respecto a la variable aleatoria X = X1+X2, donde Xi es el número de aciertos del tirador i(i=1,2).

b) ¿Cuáles valores se obtienen en especial para P1=0.9 y P2=0.8?

7.4. De una caja con cuatro pelotas de color negro y dos de color verde, se seleccionan tres en sucesión con reemplazo. Encuentre la distribución de probabilidad para el número de pelotas de color verde.

7.5. Encontrar la función de probabilidad de la variable aleatoria X = suma de los dos números que se obtienen al lanzar dos dados.

7.6. Suponga que se lanzan dos dados equilibrados y sea X el valor absoluto de la diferencia entre los dos números que aparecen. Determine la función de densidad de X.

7.7. De un paquete de cartas se sacan tres en sucesión sin reemplazo. Encuentre la distribución de probabilidad para el número de cartas de espadas.

7.8. En un problema de una prueba aplicada a niños pequeños, se les pide que hagan corresponder a cada uno de los tres dibujos de animales con la palabra que identifica al animal respectivo. Si un niño asigna aleatoriamente las tres palabras a los tres dibujos, encuentre la distribución de probabilidad para X, el número de correspondencias correctas.

7.9. Con el propósito de verificar la exactitud de sus estados financieros, las compañías tienen auditores permanentes para verificar los asientos contables. Supóngase que los empleados de una compañía efectúan asientos erróneos 5% de las veces. Si un auditor verifica tres asientos al azar, encuentre la distribución de probabilidad para X, el número de errores detectados por el auditor.

7.10. Un vendedor de equipos pesados puede entrevistar a uno o dos clientes por día, con probabilidad 1/3 y 2/3, respectivamente. Cada entrevista produce una venta de 50 mil pesos o ninguna venta con probabilidades 1/10 y 9/10, respectivamente. ¿Cuál es el valor esperado de sus ventas diarias?

7.11. Un vendedor calcula que cada entrevista con un cliente conduce a una venta con probabilidad 0.2. Cierto día, entrevista a dos cliente. Calcule la distribución de probabilidad del número X de clientes que firman un contrato de ventas.

7.12. Un llaveo contiene cuatro llaves casi idénticas de una oficina, pero sólo abre la puerta de la oficina. Supongamos que se selecciona una al azar y se prueba. Si no es la llave adecuada, se selecciona al azar una de las tres restantes. Si ésta tampoco es la llave adecuada, se selecciona al azar una de las dos restantes. Sea X igual al número de llaves que pueden probarse hasta encontrar la llave que abre (X=1,2,3,4). Encuentre la distribución de probabilidad de X.

7.13. Suponga que se ha cargado un dado de modo que la probabilidad de que salga un número determinado es proporcional al mismo. Calcular las probabilidades de los eventos de un solo elemento y usarlas para calcular la probabilidad de ocurrencia de

a) un número par

b) un número mayor que cuatro.

7.14. En un tablero de ajedrez de tamaño 8x8 se coloca al azar un caballo. Sea X el número de casillas a donde puede moverse el caballo desde la posición en que está colocado. ¿Cuál es la distribución de probabilidad de X?

7.15. Los registros de una compañía de seguros de automóviles dan la siguiente información sobre accidentes: la probabilidad de que un conductor asegurado tenga un accidente automovilístico es de 0.15. Si ocurre un accidente, el daño al vehículo es 20% de su valor en el mercado con probabilidad 0.80; 60% de su valor con probabilidad 0.12, y una pérdida total con probabilidad 0.08.

¿Qué prima debe cobrar la compañía por un automóvil de cuatro mil pesos para que la ganancia esperada de la compañía sea cero?

7.16. Un embarque de siete televisores contiene dos aparatos defectuosos. Un hotel realiza una compra aleatoria de tres de ellos. Si X es el número de unidades defectuosas que se adquiere, encuentre la distribución de probabilidad de X. Exprese los resultados gráficamente como un histograma de probabilidad.

7.17. De una caja que contiene cuatro monedas de mil pesos y dos de 500, se seleccionan tres monedas al azar sin remplazo. Determine la distribución de probabilidad para el total T de las tres monedas.

7.18. En una urna hay cinco pelotas con los número 1, 2, 3, 4 y 5. Se sacan dos pelotas al azar y se anotan sus número respectivos. Encuentre la distribución de probabilidad para:

a) el mayor de los dos números seleccionados

b) la suma de los dos números seleccionados.

7.19. Supóngase que en una lotería se venden 10 mil boletos de un peso cada uno. El ganador recibirá un premio cuyo valor es de 500 pesos. Si alguien compra boleto, ¿cuál es su esperanza?

7.20. ¿Cuál es el precio justo que debe pagarse para entrar en un juego en el que se pueden ganar 100 pesos con 0.1 de probabilidad, cico pesos con 0.4 de probabilidad y nada con 0.5 de probabilidad?

7.21. Un piloto de automóviles de carreras estima que las posibilidades de que se presenten 0, 1, 2 o 3 fallas durante una carrera larga son 0.33, 0.28, 0.24 y 0.15. La probabilidad de que haya más de tres fallas es insignificante. ¿Cuántas fallas puede esperar el piloto durante la carrera?

7.22. Un equipo electrónico contiene seis transistores, dos de los cuales son defectuosos. Se seleccionan tres transistores al azar, se sacan del equipo y se inspeccionan. Sea X el número de transistores defectuosos observados, donde X = 0,1 , 2. Encuentre la distribución de probabilidad de X.

7.23. Al evaluar la calificación que puede obtener en el examen final de contabilidad, un estudiante considera que las probabilidades de recibir una calificación de 100, 90, 80 o 60 % son de 0.10, 0.15, 0.35 y 0.40, respectivamente. ¿Cuál es la calificación esperada?.

7.24. A un distribuidor de software para computadoras se le ofrece un embarque valuado en $35000. Las posibilidades de que venda software en $39000, $37000, $35000 o $33000 son de 0.25, 0.50, 0.15 y 0.10. Si compra el software, ¿cuál es la unidad bruta esperada?

7.25. Una inversión puede producir uno de tres resultados: una ganancia de siente mil pesos, una ganancia de cuatro mil pesos o una pérdida de 0 mil pesos con probabilidades 0.55, 0.20 y 0.25, respectivamente. Encuentre la ganancia esperada del inversionista.

7.26. Las probabilidades de que una persona compre 0, 1, 2, 3 o 4 artículos al hacer compras en una miscelánea son de 0.05, 0.07, 0.23, 0.45 y 0.20. ¿Cuántos artículos puede esperarse que adquiera una persona que hace compras en esa tienda?

7.27. Un juego de azar justo es aquel en que la probabilidad de que gane un jugador es ½. De los siguientes juegos, ¿cuáles son justos? Si el juego no es justo, ¿cuál es la probabilidad de que gane el jugador?

a) Se corta un juego de cartas que están dispuestas al azar. Si aparece un diamante, un as, un rey, una reina o una sota, gana el jugador.

b) Un pequeño tetraedro regular tiene sus cuatro caras con los números 1, 2, 3 y 4, respectivamente. Un jugador hace dos lanzamientos y gana si la suma de los números que aparece es par.

c) Se lanza un par de dados. Gana el jugador si obtiene una suma de siete o 12, o si aparece un cinco en uno o ambos dados.

7.28. Un juego de azar se realiza del amanera siguiente: el tallador baraja cuatro cartas, cada una de palo diferente, y entrega una carta abierta a cada jugador. Si se da una carta de color rojo, el juego termina en ese momento. Sin embargo, si se da una de color negro, el jugador recibe una carta adicional 8 sin cambiar la primera) y después de eso el juego termina en forma definitiva. Si el jugador recibe $1.00 por cada carta de color negro entregada y pierde $1.00 por cada carta de color rojo, ¿cuál es su esperanza?

7.29. Una bolsa con paquetes sorpresa contiene cinco paquetes que valen $1 cada uno, otro cinco que valen $3 la pieza y 10 que valen $5 por paquete. ¿Es lógico pagar $4 por tener el privilegio de escoger uno de estos paquetes al azar?

7.30. Encuentre la distribución de probabilidad para el número de discos de jazz cuando cuatro se seleccionan al azar de una colección formada por cinco discos de jazz, dos de música clásica y tres de polka. Exprese el resultado mediante una fórmula.

7.31. ¿Cuáles de las funciones siguientes son distribuciones de probabilidad discretas?

a) p(x) = 1/3 x 0 0, 2/3 x=2, 0 para las demás x

b) p(x) = (5 x) (2/3)x (1/3)5-x x= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 0 para las demás x.

7.32. Encuentre una fórmula para la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X que representa el resultado de un solo lanzamiento de un dado.

7.33. Si llueve, un vendedor de paraguas gana $30 al día; si no llueve, pierde $6 al día. ¿Cuál es su esperanza matemática si la probabilidad de lluvia es de 0.3?

7.34. Supóngase que se realiza una sucesión de lanzamientos independientes con una moneda para la cual la probabilidad de obtener una cara en cualquiera de los lanzamientos es de 1/30.

a) ¿Cuál es el número esperado de lanzamientos que se necesitarán para obtener cinco caras?

b) ¿Cuál es la varianza del número de lanzamientos que se necesitarán para obtener cinco caras?

7.35. ¿Cuál es el precio justo para participar en un juego en el que se ganan $25 con probabilidad de 0.2 y $10 con probabilidad de 0.4?

7.36. Dos agentes de bienes raíces, A y B, tienen lotes de terrenos que ofrecen en venta. Las distribuciones de probabilidad de los precios de venta por lote se muestran a continuación.

Precios $1000 $1050 $1100 $1150 $1200 $1350A 0.2 0.3 0.1 0.3 0.05 0.05B 0.1 0.1 0.3 0.3 0.1 0.1

Suponiendo que A y B trabajan en forma independiente, calcule:

a) El precio de venta esperado de A y de Bb) La probabilidad de que tanto A como B tengan el mismo precio de venta.

7.37. Suponer que se tiene un dado cargado de modo que el número que salga sea inversamente proporcional al mismo. Calcular las probabilidades de todos los eventos de un solo elemento y usarlas para calcular la probabilidad de ocurrencia de:

a) un número par

b) un número mayor que cuatro

7.38. Una fábrica de helados fabrica paletas de chocolate que se venden a 10 centavos. Suponer que se pone una estrella cada 50 paletas; cualquiera que compra una paleta con una estrella obtiene otra en forma gratuita. Si se decide comprar paletas hasta obtener una paleta gratuita, ¿cuántas deberán comprar antes de obtener una gratis?

7.39. La demanda de un producto es de -1, 0, 1 y 2 por día con las probabilidades 0.2, 0.1, 0.4 y 0.3, respectivamente. Una demanda de -1 implica que se regresa una unidad. Encuentre la demanda esperada y la varianza.

7.40. Encontrar la media y la varianza de la variable aleatoria X = al número de caras en un solo lanzamiento de una moneda.

7.41. Si dos finalistas de un juego de tenis participan en un set cuyo ganador recibirá un premio de $24000 en efectivo y el perdedor uno de $16000, ¿cuáles son lsa esperanzas matemáticas de los dos jugadores si:

a) quedan empatados en la clasificación?

b) sus probabilidades de ganar son de ¾ y ¼?

7.42. Si los dos campeones de la liga están empatados en la clasificación, las probabilidades de que la serie final de baloncesto entre “los siente mejores” dure 4, 5, 6 o 7 partidos son de 1/8, ¼, 5/16 y 5/16. En estas condiciones, ¿cuántos juegos se puede esperar que dure esta serie final?

7.43. Un tallador ofrece realizar el juego siguiente con un mazo bien barajado de 52 cartas ordinarias.

a) El jugador apuesta $100 y toma al azar una carta de la baraja. Si la carta es un rey o un as, el jugador gana %550; pero si toma cualquier otra carta, pierde la apuesta. ¿Es éste un juego justo?

b) ¿Cuál es la esperanza matemática si el tallador hace trampa y subrepticiamente quita un rey o un as antes de que el jugador tome una carta?

7.44. La paradoja de San Petersburgo (D. Bernoulli). Se lanza al aire repetidamente una moneda y se le paga a B cuando cae por primera vez un águila. El juego termina cuando se le paga a B. Si el águila aparece en la primera tirada, B recibe un peso; si aparece en la segunda, dos pesos, si aparece en la tercera, cuatro pesos; si aparece en la k-ésima tirada, 2k-1 pesos. ¿Cuál es el pago de entrada con el que el juego será imparcial?

7.45. La variable aleatoria X toma valores 1, 2, 3, …, con probabilidades P(X0r) = k(1-B)r-1 0<B<1. Calcular la constante k.

7.46. Supóngase que una variable aleatoria X tiene una distribución discreta con la siguiente función de densidad

f(x) = c/x2 para x = 1,2, …, y 0 para las demás

Encontrar el valor de la constante c.

7.47. El gerente de un almacén de ropa para caballeros está interesado en el inventario de trajes, que en ese momento es de 30. El número de trajes vendidos a partir de ese momento hasta el final de la temporada se distribuye como:

P(x) = (e-2020x)/x! para x = 0, 1, 2, …, 30 y 0 para las demás x

Encuentre la probabilidad de que le queden trajes sin vender al final de la temporada.

7.48. De una urna que contiene nueve canicas de color azul y tres de color negro, se extraen ocho sin reemplazo. Encontrar la probabilidad de obtener x canicas de color azul.

7.49. Supóngase que una urna contiene siete bolas de color rojo y tres de color azul. Si se seleccionan cinco bolas aleatoriamente y sin reemplazo, determine la función de densidad del número de bolas de color rojo que se obtienen.

7.50. Una variable aleatoria X puede tomar cuatro valores con probabilidades (1+3x)/4, (1-x)/4, (1+2x)/4 y (1-4x)/4. ¿Para qué valores de X es ésta una distribución de probabilidades?

Distribución binomial.

8.1. Se extraen seis cartas con reemplazo de un juego de bridge. Encontrar la probabilidad de obtener al menos tres ases.

8.2. Determinar la probabilidad de sacar tres seises en cinco tiradas de un dado.

8.3. Un ingeniero de control de tráfico informa que 75% de los vehículos que pasan por un punto de verificación tienen matrículas del estado. ¿Cuál es la probabilidad de que más de cuatro de los siguientes nueve vehículos sean del estado?

8.4. Una moneda se lanza 10 veces. Obtener la probabilidad de que caigan seis, siete u ocho caras.

8.5. En una gran compañía, 20 % de los empleados son miembros de algún club deportivo. En una muestra aleatoria de 30 empleados, ¿cuál es la probabilidad de que tres, cuatro o cinco pertenezcan a un club de deportes?

8.7. Entre personas que donan sangre a una clínica, 80% tienen Rh+; es decir, tienen el factor Rhesus en la sangre. Cinco personas donan sangre en la clínica un día determinado.

a) Calcular la probabilidad de que al menos una de las cinco no tenga el factor Rh.

b) Calcular la probabilidad de que cuando mucho cuatro de las cinco tengan sangre Rh+.

8.8. suponga que 10 aparatos de radar están operando independientemente uno del otro y que la probabilidad de que sólo uno de los aparatos detecte un cohete enemigo es de 0.80. ¿Cuál es la probabilidad de que nueve aparatos de radar detecten el cohete?

8.9. Considérese un experimento en el cual se lanza una moneda equilibrada hasta que aparece un águila por primera vez. Si el experimento se repite tres veces, ¿cuál es la

probabilidad de que se necesite exactamente el mismo número de lanzamientos para cada una de las tres repeticiones?

8.10. Un sistema para detectar incendios utiliza tres celdas sensibles a la temperatura que actúan de forma independiente, de modo que una o más pueden activar la alarma. Cada celda tiene una probabilidad p = 0.8 de activar la alarma al alcanzar 100 grados Celsius o más. Encuentre la probabilidad de que la alarma funcione cuando la temperatura llegue a los 100 grados.

8.11. suponga que para cierta clase de flores cerca de 5 % de las semillas no germina. Las semillas se empaquetan y venden en cajas de 10, con la garantía de que al menos nueve germinarán. Hallar la probabilidad de que una caja fija arbitraria no tenga la propiedad garantizada.

8.12. Una nueva técnica quirúrgica tiene una probabilidad p de éxito. Suponga que la operación se efectúa cinco veces y que los resultados son independientes uno de otro.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que las cinco operaciones sean exitosas, si p= 0.8?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente cuatro operaciones sean exitosas, si p = 0.6?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que menos de do s operaciones sean exitosas, si p = 0.3?

8.13. Un informe reciente declara que 70% de los habitantes de Cuba ha reducido bastante el uso de energía eléctrica para disfrutar de descuentos en las tarifas. Si se selecciona al azar cinco residentes de la habana, encuentre la probabilidad de que:

a) los cinco califiquen para tarifas más favorables,

b) al menos cuatro califiquen para tarifas más favorables.

8.14. Un examen de opción múltiple está compuesto de 15 preguntas, con cinco respuestas posibles para cada pregunta, de las cuales sólo una es correcta. Suponga que uno de los estudiantes que realiza el examen contesta las preguntas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que conteste correctamente al menos 10?

8.15. La probabilidad de que un enfermo se recupere de un padecimiento gástrico es de 0.8. Suponga que 20 personas han contraído dicho padecimiento.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sobrevivan exactamente 14?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que sobrevivan al menos 10?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que sobrevivan al menos 14, pero no más de 18?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que sobreviva un máximo de 16?

8.16. ¿Cuál es la probabilidad de que una auditora de Hacienda detecte solamente dos declaraciones de impuestos con deducciones ilegales si se selecciona aleatoriamente seis de 18 declaraciones, ocho de las cuales contienen deducciones ilegales?

8.18. Un ingeniero de control de calidad inspecciona una muestra aleatoria de tres acumuladores de cada lote de 24 que están listos para ser embarcados. Si un lote contiene seis acumuladores con pequeños defectos, ¿cuáles son las probabilidades de que la muestra del inspector:

a) no contenga ninguna batería con defectos?

b) contenga sólo una batería defectuosa?

c) contenga al menos dos de las baterías con defectos leves?

8.19. Entre las 16 ciudades que una sociedad profesional está considerando como futura sede para sus próximas tres convenciones anuales, siete están en la parte occidental de México. Para evitar problemas, la selección se deja al azar. Si ninguna de las ciudades se puede elegir más de una vez, ¿cuáles son las probabilidades de que:

a) ninguna de las convenciones se celebre en la parte occidental de México?

b) todas las convenciones se efectúen en la parte occidental de México?

8.20. Si seis de 18 nuevos edificios en una ciudad violan el código de construcción, ¿cuáles la probabilidad de que n inspector de edificios, quien selecciona aleatoriamente cuatro de ellos para inspección, descubra que:

a) ninguno de los nuevos edificios viola el código de construcción?

b) uno viola el código de construcción?

c) dos violan el código de construcción?

d) al menos tres violan el código de construcción?

8.21. Considérese que 50% de los empleados de una gran compañía están casados. Sea X el número de empleados casados. En una muestra aleatoria de 100 empleados, obténgase la media y la desviación típica de X.

8.22. Una clínica necesita cinco donadores Rh+ en un día determinado. ¿Cuántas personas deben donar sangre para que haya una probabilidad mayor que 0.9 de que por lo menos la sangre de cinco donadores sea Rh+?

8.33. Una moneda se lanza al aire ocho veces, cargada de modo que la probabilidad de que caiga águila una vez es de 0.6. Encuéntrese la probabilidad de obtener:

a) al menos un águila,

b) al menos siete soles.

8.24. La probabilidad de que Elena derrote a Saúl en un juego de ajedrez es de 2/3. ¿Cuál es la probabilidad de que derrote a Saúl dos veces en tres juegos de ajedrez?

8.25. Una empres a vende cuatro artículos seleccionados al azar entre un lote grande del que sabe que contiene 10% de piezas defectuosas. Sea X el número de piezas defectuosas de entre las cuatro que se vendieron. El comprador del artículo regresa las piezas defectuosas para su reparación y el costo de la reparación es C = 3X2+X+2. Calcular el costo de reparación esperado.

8.26. La probabilidad de un submarino hunda un barco enemigo con un disparo de sus torpedos es de 0.8. si los disparos son independientes, determine la probabilidad de un hundimiento tanto en los primeros dos disparos como en los primeros tres.

8.27. Un dado se lanza tres veces. ¿Cuál es la probabilidad de que aparezca al menos un cinco o un seis?

8.28. De un lote grande neumáticos nuevos, un comprador potencial selecciona n y se registra el número de neumáticos defectuosos X. Si se observa por lo menos uno defectuoso en la muestra n, el cliente potencial rechazará el lote completo. Calcular n de modo que la probabilidad de que se descubra por lo menos un neumático defectuoso sea aproximadamente de 0.90, en caso de que:

a) 10% del lote sea de neumáticos defectuosos.

b) 5% del lote sea de neumáticos defectuosos.

8.29. En un gran lote de bombas usadas, 20% no sirven y necesitan reparación. Se manda a un mecánico con tres juegos de refacciones, quien selecciona bombas al azar y las prueba una tras otra. Si funciona una bomba, prosigue con la siguiente; sino funciona, le instala uno de sus juegos de refacciones. Supóngase que tarda 10 minutos en probar si una bomba funciona o no, y 30 en probar y reparar una que no funciona. Calcular el valor esperado y la variancia del tiempo total que le llevará terminar con sus tres juegos.

8.30. Un experimento consta de cuatro ensayos de Bernoulli independientes con probabilidad de éxito p en cada uno de ellos. La variable aleatoria X es el número de éxitos. Enumere la distribución de probabilidad de X.

8.31. la compañía XYZ ha planeado presentaciones de ventas a un docena de clientes importantes. La probabilidad de recibir un pedido como resultado de tal presentación se estima en 0.5. ¿Cuál es la probabilidad de recibir cuatro o más pedidos como resultado de las reuniones?

8.32. Un proceso de producción que manufactura transistores genera, en promedio, una fracción de 2 % de piezas defectuosas, Cada dos horas se toma del proceso una muestra aleatoria de tamaño 50. Si la muestra contiene más de dos piezas defectuosas, el proceso debe interrumpirse. Determine la probabilidad de que el proceso deba interrumpirse mediante el esquema de muestreo indicado.

8.33. Se planean seis misiones espaciales independientes a la luna. La probabilidad estimada de éxito de cada misión es de 0.95. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos cinco de las misiones planeadas tengan éxito?

8.34. Un proceso de grabación de discos produce 20% de unidades defectuosas. Suponga que se toma una muestra de tamaño ocho.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que no se encuentren discos defectuosos en la muestra?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentren cinco o más discos defectuosos?

8.35. Un corredor de bolsa llama a sus 20 clientes más importantes cada mañana. Si la probabilidad de que efectúe una transacción como resultado de dichas llamadas es de uno a tres, ¿cuál es la probabilidad de que maneje 10 o más transacciones?

8.36. Una máquina para llenar cajas no llena por completo una proporción p de ellas. Si de las producidas por esa máquina, se seleccionan 25 al azar, calcular la probabilidad de que no haya más de dos cajas incompletas cuando:

a) p = 0.1.

b) p = 0.2.

8.37. Sea X una variable aleatoria que tiene distribución binomial con p = 0.4 y n = 20. Utilizar la tabla A del apéndice para evaluar:

a) P(X <=6)

b) P(X>=12)

c) P(X=8)

8.38. Un laberinto para ratas tiene un corredor recto, al final del cual hay una bifurcación en la que la rata debe ir a la derecha o a la izquierda. Suponer que se colocan 10 ratas en el laberinto, de una en una. Si cada rata toma al azar una de las dos alternativas del camino:

a) ¿Cuál es la distribución del número de las que van a la derecha?

b) ¿Cuál es la distribución de las que van a la izquierda?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que cuando menos nueve vayan al mismo lado?

8.39. suponga la probabilidad de que al tirar un dado y quede un número non hacia arriba es 0.4. ¿Cuál es la probabilidad de que en cinco tiradas de un dado, el número de veces que aparece un non sea:

a) menos de dos?

b) más de dos?

c) entre dos y cuatro inclusive?

8.40. En el curso de psicología se distribuye un examen con 10 preguntas de selección múltiple. Para aprobarlo es necesario responder correctamente siete o más preguntas. Si se supone que se está adivinando la respuesta en cada pregunta, ¿cuál es la probabilidad de aprobar el examen si:

a) cada pregunta tiene tres respuestas opcionales?

b) cada pregunta tiene cuatro respuestas opcionales?

c) las cinco primeras preguntas tienen tres respuestas opcionales y las últimas cinco tienen cuatro respuestas opcionales?

8.41. Un fabricante de piezas las envía a sus clientes en lotes de 20. Suponer que la probabilidad de que cualquiera de ellas esté defectuosa es de 0.05.

a) ¿Cuál es el número esperado de piezas defectuosas por lote?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que determinado lote no contenga piezas defectuosas?

8.42. Un vendedor de radios y televisores otorga créditos a sus clientes. Suponer que con anterioridad 10% de todos los deudores no pagaron y que el vendedor tuvo que absorber la perdida de cada venta; el 90% restante pago todos sus créditos y el vendedor tuvo una utilidad en esas ventas. Suponer que ese vendedor tiene 10 televisores idénticos que va a vender individual e independientemente a crédito a 10 personas. Si el comprador no paga, la pérdida es de $200; si el comprador paga, entonces su utilidad es de $100.

a) ¿Cuál es la distribución del monto de la ganancia obtenida en esas 10 ventas?

b) ¿Cuál es la ganancia esperada en esas 10 ventas?

8.43. Suponga que el gerente de una compañía manufacturera considera que tres de cada 10 personas que lean su folleto de los nuevos automóviles comprarán uno en una de las distribuidoras. Si se selecciona aleatoriamente cinco personas que hayan leído el folleto, ¿cuál es la probabilidad de que:

a) ninguna compre un auto?

b) las cinco compren uno?

c) cuando mucho tres compren uno?

d) al menos tres compren uno?

8.44. Al determinar la concentración letal de una sustancia presente en agua contaminada se encuentra que cierta concentración mata a 20% de los peces que se exponen a ella durante 24 horas. Se colocan 20 peces en un tanque con esta concentración de la sustancia. Calcular la probabilidad de que a las 24 horas:

a) sobrevivan sólo 14

b) sobrevivan por lo menos 10

c) sobrevivan cuando mucho 16.

8.45. Demostrar que para la distribución binomial la función de densidad P(k;n,p) cumple la siguiente relación de recursividad:

P(k+1;n,p) = [(n-k )/(k-1)] * (p/1-p) * P(k;n,p)

Si se sabe que P(3;7,1/4) = 0.173, calcular P(4;7,1/4)

8.46. Las apuestas a favor de que A gane una partida de ajedrez contra B están 3:2. Si se disputan tres partidas, ¿cuáles son las apuestas:

a) a favor de que A gane al menos dos?

b) en contra de que A pierda las dos primeras?

8.47. Una caja contiene un gran número de fichas de colores rojo, blanco, azul y amarillo, en proporción 4:3:2:1, respectivamente. Hallar la probabilidad de que en 10 extracciones salgan:

a) cuatro de color rojo, tres de color blanco, dos de color azul y una de color amarillo.

b) ocho de color rojo y dos de color amarillo.

8.48. Hallar la probabilidad de no sacar 1, 2 o 3 en cuatro tiradas de un dado.

8.49. Se lanza un dado seis veces. Hallar la probabilidad de que:

a) Salgan un número 1, dos números 2 y tres números 3,

b) que salga cada número u na vez.

8.50. Un agente de viene raíces estima que la probabilidad de vender una casa es de 0.10. El día de hoy debe ver a cuatro clientes. Si tiene éxito en las tres primera visitas, ¿cuál es la probabilidad de que la cuarta no sea exitosa?

8.51. En una fábrica se observa que, en promedio, 20% de las tuercas producidas por una máquina son defectuosas. Si se toman 10 tuercas al azar, hallar la probabilidad de que:

a) sólo dos sean defectuosas

b) dos o más sean defectuosas

c) más de cinco sean defectuosas

8.52. Noventa por ciento de todas las familias tiene automóvil. En una muestra de 20 familias, ¿cuál es la probabilidad de que:

a) sólo 18 tengan automóvil

b) 18 o más familias tengan automóvil

c) dos o menos familias tengan automóvil?

8.53. De la clase del último semestre, 60% son muchachas. ¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 10 estudiantes seleccionados aleatoriamente haya:

a) cinco muchachas?

b) al menos cinco muchachas?

c) cuando más cinco muchachas?

d) entre cuatro y seis muchachas inclusive?

8.54. Durante la temporada, un equipo profesional de futbol está programado para jugar 15 partidos. Supóngase que en el área donde se realizarán los partidos, 20 % de los días son lluviosos. ¿Cuál es la probabilidad de que:

a) tres partidos se jueguen en días lluviosos?

b) cuando menos tres partidos se jueguen en la lluvia?

c) cuando más tres partidos se jueguen en la lluvia?

¿Cuál es la media y la varianza para el número de partidos que se jueguen en la lluvia?

8.55. El departamento de investigación de una fábrica de focos ha perfeccionado un recubrimiento para los filamentos capaz de prolongar la duración de aquellos. Para comparar las duraciones de los focos nuevos con la de los focos anteriores, se seleccionan 10 focos fabricados con el nuevo procedimiento y 10 normales, y se forman parejas: un foco nuevo con uno anterior. Se someten los 10 pares a prueba y se anota cuál de los focos de cada par falla primero, si el nuevo o el anterior. Suponiendo que el nuevo proceso realmente no prolonga la duración de los focos, ¿cuál es la probabilidad de que el foco anterior falle primero, en por lo menos nueve de los 10 pares? Si se efectúa el experimento y se encuentra que los focos anteriores fallaron primero en nueve de los pares, ¿se debería adoptar el nuevo proceso de fabricación?

9.56. Una cooperativa agrícola asegura que 90% de los melones embarcados están maduros y listos para comer. Encuéntrese la probabilidad de que entre 18 melones:

a) todos estén maduras y listos para comer

b) al menos 16 estén maduros y listos para comer

c) un máximo de 14 estén maduros y listos para comer.

8.57. Muchos jefes se dan cuenta de que algunas de las personas que contrataron no son lo que pretenden ser. Detectar personas que solicitan un trabajo y que falsifican la información en su solicitud ha generado un nuevo negocio: agencias investigadoras de antecedentes. El periódico El Financiero notificó sobre este problema mencionado que una agencia, en un periodo de dos meses encontró que 35% de los antecedentes examinados había sido alterados. Suponga que usted contrató la semana pasada cinco nuevos empleados y que la probabilidad de que hayan falsificado la información en su solicitud es de 0.35

a) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de esas cinco solicitudes sea falsificada?

b) Dos o más?

8.58. Si en el experimento del nacimiento de un solo hijo los resultados nacimiento de un niño y nacimiento de una niña son igualmente probables y si suponemos independencia de ensayos repetidos, ¿cuál es la probabilidad de que una familia con cuatro hijos tenga:

a) dos niños y dos niñas?

b) tres niños y una niña?

c) cuatro niños?

8.59. Un sistema de protección contra misiles está construido con n unidades de radar que funcionan de forma independiente, cada uno con una probabilidad de 0.9 de detectar un misil:

a) Sin n = 5 y pasa un misil, ¿cuál es la probabilidad de que cuatro unidades detecten el cohete?

b) ¿Cuál debe ser el valor de n para que la probabilidad de detectar un misil sea de 0.999?

8.60. Un fabricante de cera para pisos desarrolla dos productos nuevos, A y B, que desea someter a la evaluación de amas de casa para determinar cuál es el mejor. Las ceras A y B se aplican en los pisos de 15 casas. Se supone que en realidad no hay diferencia en calidad entre las dos marcas.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que 10 o más amas de casa prefieran la marca A?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que 10 o más amas de casa prefieran a A o B?

8.61. De todas las unidades producidas en cierto proceso, 10% es defectuosa. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 12 unidades producidas en este proceso:

a) al menos dos unidades sean defectuosas?

b) cuatro unidades máximo sean defectuosas?

c) entre dos y seis unidades sean defectuosas?

8.62. De todos los votantes registrados, 60% son liberales y 40% conservadores. En una muestra aleatoria de 16 votantes, ¿cuál es la probabilidad de que al menos la mitad sea de conservadores?

8.63. Un fabricante de cereales desea cambiar el diseño de la caja de uno de sus productos, por lo que a cada persona de un grupo de seis se les muestra la caja anterior y la nueva y se le pide que indique su preferencia. Suponiendo que cada una de las personas no tenga una preferencia verdadera por ninguna, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos cinco de las seis personas prefieran el diseño?

8.64. Si 10% de la partes producidas en cierto proceso es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que en 20 partes seleccionadas aleatoriamente haya:

a) al menos dos defectuosas?

b) un máximo de tres defectuosas?

c) entre dos y cinco defectuosas inclusive?

8.65. Un empresario de la industria alimenticia asegura que a lo sumo 10% de sus frascos de café instantáneo contiene menos café del que garantiza en la etiqueta. Para probar esta afirmación, 16 frascos de su café instantáneo son aleatoriamente escogidos y se pesa el contenido; su afirmación es aceptada si menos de tres frascos contienen menos café del que se garantiza en la etiqueta. Encuéntrese las probabilidades de que la afirmación del empresario sea aceptada cuando el porcentaje real de sus frascos que contienen menos café del que se indica en la etiqueta es:

a) 5% b)10% c)15% d)20%

8.66. Un fumador lleva siempre dos paquetes de cerillos. Cada vez que necesita un cerillo lo saca al azar de uno de los dos paquetes. Después de un tiempo se percata que uno de los paquetes está vació ¿Cuál es la probabilidad de que cuando uno de los paquetes se termina el otro tenga k cerillos, si originalmente cada uno tenía n cerillos (problema de Banach)?

8.67. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par de éxitos en n ensayos de Bernoulli con probabilidad de éxito p?

8.68. Se hizo una serie de experimentos según el esquema de Bernoulli, donde la probabilidad del éxito es igual a p. Calcule la probabilidad de obtener el r-ésimo éxito extactamente en el k+r ensayo (k=0, 1, 2, …).

Distribución de Poisson.

9.1. Un distribuidor vende semillas de cierta clase de tulipán rojo en paquetes de mil y sabe, por experiencia, que casi 1% de un gran número de semillas no serán de la clase deseada. ¿Cuál es la probabilidad de que un paquete dado contenga más de 1% de semillas de otra clase?