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PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE
MECÁNICA VECTORIAL
(ESTÁTICA). PARA ESTUDIANTES DE INGENIERÍA, CIENCIA
Y TECNOLOGÍA.
CAPÍTULO 1: ESTÁTICA DE
PARTÍCULAS. FUERZAS EN EL PLANO.
Ing. Willians Medina.
Maturín, septiembre de 2017.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 2
CONTENIDO.
CONTENIDO. .................................................................................................................. 2
PRESENTACIÓN. ........................................................................................................... 5 ACERCA DEL AUTOR. ................................................................................................. 7
1.1.- FUERZAS EN UN PLANO. ...................................................................................... 9 Adición o suma de vectores. Solución gráfica. ................................................................ 9
Ejemplo 1.1. Ejemplo 2.1 del Hibbeler. Décima Edición. Página 22. Ejemplo 2.1 del
Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 23. ............................................................. 9
Ejercicios propuestos. .................................................................................................. 9 Trigonometría (Teorema del seno y teorema del coseno)............................................... 13
Ejemplo 1.2. Problema resuelto 2.1 del Beer – Johnston. Estática. Novena Edición.
Página 22. Problema resuelto 2.1 del Beer . Johnston. Décima Edición. Página 18. .... 13
Ejemplo 1.3. Problema resuelto 2.2 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 23.
Problema resuelto 2.2 del Beer – Johnston. Décima Edición. Página 19. .................... 13
Ejemplo 1.4. Ejemplo 2.3 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 25.............. 14 Ejemplo 1.5. Guía de Ejercicios Prof. Jacqueline Balza. UDOA. ............................... 14
Ejercicios propuestos. ................................................................................................ 14 Ejemplo 1.6. Ejemplo 2.4 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 26.............. 20
Ejercicios propuestos. ................................................................................................ 20 Ejemplo 1.7. Problema 2.30 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 31. ......... 26
Ejercicios propuestos. ................................................................................................ 26 Componentes de una fuerza a lo largo de dos ejes. ........................................................ 28
Ejemplo 1.8. Problema 2.9 del Hibbeler. Séptima Edición. ........................................ 28 Ejemplo 1.9. Ejemplo 2.2 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 24.............. 28 Ejemplo 1.10. Problema 2.15 del Hibbeler. Décima Edición. Página 28. Problema 2.14
del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 29. ..................................................... 29 Ejemplo 1.11. Problema 2.14 del Hibbeler. Séptima Edición. .................................... 29
Ejemplo 1.12. Problema 2.26 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 34. ........ 30 Ejercicios propuestos. ................................................................................................ 31
Componentes rectangulares de una fuerza. .................................................................... 33 Teorema. ...................................................................................................................... 35
Ejemplo 1.13. Ejemplo 1 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 28. ............... 36 Ejercicios propuestos. ................................................................................................ 37
Ejemplo 1.14. Ejemplo 2 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 29. ............... 40 Ejemplo 1.15. Ejemplo 2.5 del Hibbeler. Décima Edición. Página 35. Ejemplo 2.5 del
Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 35. ........................................................... 40 Ejemplo 1.16. Problema 2.36 del Hibbeler. Séptima Edición. .................................... 41
Ejemplo 1.17. Problema 2.230 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 34........ 41 Ejercicios propuestos. ................................................................................................ 42
Vectores unitarios. ........................................................................................................ 45 Notación vectorial cartesiana. ....................................................................................... 45
Ejemplo 1.18. Ejemplo 3 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 29. ............... 46
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 3
Operaciones con vectores. ............................................................................................. 46 Resultante de fuerzas coplanares. .................................................................................. 46
Ejemplo 1.19. Ejemplo 2.6 del Hibbeler. Décima Edición. Página 36. ....................... 47 Ejemplo 1.20. Problema 2.41 del Hibbeler. Séptima Edición. .................................... 47
Ejercicios propuestos. ................................................................................................ 48 Suma de un sistema de fuerzas coplanares. ................................................................... 53
Ejemplo 1.21. Problema resuelto 2.3 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 31.
Problema resuelto 2.3 del Beer – Johnston. Décima Edición. Página 26. .................... 53 Ejemplo 1.22. Guía de Ejercicios Prof. Jacqueline Balza. UDOA. ............................. 54
Ejemplo 1.23. Ejemplo 2.7 del Hibbeler. Décima Edición. Página 37. Ejemplo 2.7 del
Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 37. ........................................................... 54
Ejemplo 1.24. Problema 2.42 del Hibbeler. Décima Edición. Página 39. .................... 55 Ejemplo 1.25. Problema 2.38 del Hibbeler. Décima Edición. Página 39. .................... 55
Ejemplo 1.26. Problema 2.38 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 40. ....... 56 Ejemplo 1.27. Problema 2.10 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 38. ....... 56
Ejemplo 1.28. Problema 2.52 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 41. ....... 57 Ejemplo 1.29. Problema 2.35 del Hibbeler. Décima Edición. Página 39. .................... 57
Ejemplo 1.30. Problema 2.56 del Hibbeler. Séptima Edición. .................................... 58 Ejemplo 1.31. Problema 2.37 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 35. ........ 58
Ejercicios propuestos. ................................................................................................ 59 1.2.- EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA EN EL PLANO. .......................................... 69
Cuerpos sometidos a tres fuerzas. ................................................................................. 69 Ejemplo 1.32. Problema 3.66 del Hibbeler. Décima Edición. Página 110. .................. 69
Ejemplo 1.33. Ejemplo 5.4 del Serway. Séptima Edición. Página 111. ....................... 70 Ejemplo 1.34. Problema resuelto 2.4 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 39.
Problema resuelto 2.4 del Beer – Johnston. Décima Edición. Página 32. .................... 70 Ejemplo 1.35. Problema 2.47 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 42.
Problema 2.45 del Beer – Johnston. Décima Edición. Página 36. ............................... 71 Ejemplo 1.36. Problema 2.58 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 42.
Problema 2.59 del Beer – Johnston. Décima Edición. Página 36. ............................... 71 Ejemplo 1.37. Problema 3.10 del Hibbeler. Décima Edición. Página 92. .................... 72
Ejercicios propuestos. ................................................................................................ 72 Cuerpos sometidos a más de tres fuerzas. ...................................................................... 77
Ejemplo 1.38. Problema resuelto 2.6 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 39.
Problema resuelto 2.6 del Beer – Johnston. Décima Edición. Página 33. .................... 77
Ejemplo 1.39. Problema 2.55 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 43.
Problema 2.53 del Beer – Johnston. Décima Edición. Página 37. ............................... 77
Ejemplo 1.40. Problema 2.56 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 43.
Problema 2.54 del Beer – Johnston. Décima Edición. Página 37. ............................... 78
Ejercicios propuestos. ................................................................................................ 79 Sistemas que involucran resortes. .................................................................................. 83
Ejemplo 1.41. Ejemplo 3.4 del Hibbeler. Décima Edición. Página 89. Ejemplo 3.4 del
Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 93. ........................................................... 83
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 4
Ejemplo 1.42. Problema 3.14 del Hibbeler. Décima Edición. Página 92. Problema 3.15
del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 96. ..................................................... 83
Ejemplo 1.43. Problema 3.13 del Hibbeler. Décima Edición. Página 92. Problema 3.14
del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 96. ..................................................... 84
Ejemplo 1.44. Problema 2.57 del Beer – Johnston. Octava Edición. Página 43........... 85 Ejemplo 1.45. Problema 3.31 del Hibbeler. Décima Edición. Página 95. Problema 3.22
del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 97. ..................................................... 85 Ejercicios propuestos. ................................................................................................ 86
BIBLIOGRAFÍA. .......................................................................................................... 91
TÍTULOS DE LA SERIE PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE
MECÁNICA VECTORIAL (ESTÁTICA). .................................................................. 92
OBRAS DEL MISMO AUTOR..................................................................................... 93
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 5
PRESENTACIÓN.
El presente es un manual de Ejercicios de Mecánica Vectorial para estudiantes de
Ingeniería, Ciencia y Tecnología dictada en las carreras de Ingeniería Civil, Industrial,
Mecánica y de Petróleo de reconocidas Universidades en Venezuela.
El material presentado no es en modo alguno original, excepto la solución de
algunos ejemplos con una metodología que ofrece mejor comprensión por parte del
estudiante así como la inclusión de las respuestas a algunos ejercicios seleccionados y su
compilación en atención al contenido programático de la asignatura y al orden de dificultad
de los mismos.
Dicho manual ha sido elaborado tomando como fuente la bibliografía especializada
en la materia y citada al final de la obra, por lo que el crédito y responsabilidad del autor
sólo consiste en la organización y presentación en forma integrada de información existente
en la literatura.
Este manual, cuyo contenido se limita al estudio de las fuerzas en el plano, contiene
los fundamentos teóricos, 30 ejercicios resueltos paso a paso y 144 ejercicios propuestos
para su resolución, y es ideal para ser utilizada por estudiantes autodidactas y/o de libre
escolaridad (Universidad Abierta) y por estudiantes que están tomando un curso
universitario de Mecánica Vectorial, así como por profesores que estén impartiendo clases
en el área de enseñanza de la Mecánica Vectorial y Física I para estudiantes de Ingeniería,
Ciencia y Tecnología.
El concepto de vector fuerza es fundamental en el estudio de la Mecánica Vectorial,
pues es la base de la mayoría de las definiciones involucradas en el estudio de esta materia
(momento de una fuerza, reducción de un sistema de fuerzas, equilibrio de cuerpos rígidos,
cargas distribuidas en vigas y análisis de estructuras.), y en este manual el autor presenta de
manera clara y rigurosa el espectro de situaciones involucradas en el manejo de vectores
fuerza en el plano y las diferentes formas de obtener las componentes rectangulares de un
vector fuerza así como las operaciones que se pueden realizar con dichos vectores.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 6
Adicionalmente se presentan la condición requerida para el equilibrio de cuerpos en el
plano.
Una vez comprendidos los conocimientos involucrados en este manual, el estudiante
puede abordar sin mayor dificultad el tema correspondiente a fuerzas en el espacio.
Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta
contribución en la enseñanza y aprendizaje de la Mecánica Vectorial, así como las
sugerencias que tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar
directamente a través de los teléfonos: +58-424-9744352, correo electrónico:
[email protected] ó [email protected], twitter: @medinawj ó personalmente en
la sección de Matemáticas, Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas, Maturín, Estado
Monagas, Venezuela.
Ing. Willians Medina.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 7
ACERCA DEL AUTOR.
Willians Medina (Barcelona, 1972) es Ingeniero Químico (1997), egresado de la
Universidad de Oriente, Núcleo de Anzoátegui, Venezuela y recientemente (2016) culminó
sus estudios conducentes al grado de Magister Scientiarum en Ciencias Administrativas
mención Finanzas en el Núcleo de Monagas de la misma Universidad. Fue becado por
LAGOVEN S.A (Filial de Petróleos de Venezuela, PDVSA) para cursar sus estudios
universitarios de pregrado y durante el transcurso de su carrera universitaria se desempeñó
como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y Termodinámica
Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad. En 1996 ingresó a
la Industria Petrolera Venezolana, (PDVSA), desempeñando el cargo de Ingeniero de
Procesos en la Planta de Producción de Orimulsión, en Morichal, al sur del Estado
Monagas hasta el año 1998, momento en el cual comenzó su desempeño en la misma
corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el Complejo Operativo Jusepín, al norte
del Estado Monagas hasta finales del año 2000. Durante el año 2001 formó parte del Plan
Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé, Estado Anzoátegui, donde recibió cursos de
preparación integral en las áreas de producción y manejo de petróleo y gas, pasando
finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte del Estado Monagas, en la localidad
de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento químico anticorrosivo de gasoductos
de la zona de producción de petróleo y gas hasta finales del año 2002. Desde el año 2006,
forma parte del Staff de Profesores de Matemáticas, adscrito al Departamento de Ciencias,
Unidad de Cursos Básicos del Núcleo de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO),
cargo en el cual ha dictado asignaturas tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial),
Matemáticas II (Cálculo Integral), Matemáticas III (Cálculo Vectorial), Matemáticas IV
(Ecuaciones diferenciales), Métodos Numéricos, Termodinámica, Fenómenos de
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 8
Transporte y Estadística para estudiantes de Ingeniería. Es autor de video tutoriales para la
enseñanza de la matemática en el área de límites, derivadas y ecuaciones diferenciales a
través del portal http://www.tareasplus.com/ y también es autor de compendios de
ejercicios propuestos, ejercicios resueltos y formularios en el área de Matemáticas, Física,
Química, Mecánica Vectorial, Métodos Numéricos, Termodinámica, Estadística, Diseño de
Experimentos, Fenómenos de Transporte, Mecánica de los Fluidos e Ingeniería Económica.
En sus trabajos escritos el Ing. Medina ha dejado en evidencia su capacidad de integración
de los conocimientos en el área de la enseñanza en Ingeniería, así como el análisis riguroso
y detallado en el planteamiento y la solución de ejercicios en cada asignatura que aborda,
siendo considerado un profesional prolífico en la generación de material académico útil a
los estudiantes de Ingeniería y reconocido en lo personal y a través de sus escritos como
una referencia importante de consulta por estudiantes y profesores. En la actualidad (2017)
ha emprendido el proyecto de difusión de sus obras escritas en las áreas antes citadas a
través de internet de manera pública y gratuita (versión de sólo lectura en línea y con
privilegios limitados) en la página http://www.slideshare.net/asesoracademico/, en la cual
cuenta con un promedio de 3500 visitas diarias, y en forma privada (versión completa)
mediante la corporación http://www.amazon.com/ y su página académica
http://www.tutoruniversitario.com. Es miembro del Colegio de Ingenieros de Venezuela.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 9
1.1.- FUERZAS EN UN PLANO.
Adición o suma de vectores. Solución gráfica.
Ejemplo 1.1. Ejemplo 2.1 del Hibbeler. Décima Edición. Página 22. Ejemplo 2.1 del
Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 23.
La armella roscada de la figura está sometida a dos fuerzas F1 y F2. Determine la magnitud
y la dirección de la fuerza resultante.
VER SOLUCIÓN.
Ejercicios propuestos.
1. [BJ] Dos fuerzas P y Q se aplican en el punto A del gancho que se muestra en la figura.
Si se sabe que P = 75 N y Q = 125 N, determine en forma gráfica la magnitud y la
dirección de su resultante mediante a) la ley del paralelogramo, b) la regla del triángulo.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 10
Figura Problemas 1 y 2.
Respuesta: 179 N, 75.1°.
2. [BJ] Dos fuerzas P y Q se aplican en el punto A del gancho que se muestra en la figura.
Si se sabe que P = 60 lb y Q = 25 lb, determine gráficamente la magnitud y la dirección de
su resultante mediante a) la ley del paralelogramo, b) la regla del triángulo.
Respuesta: 77.1 lb, 85.4°.
3. [BJ] Se aplican dos fuerzas en el punto B de la viga. Determine gráficamente la magnitud
y la dirección de su resultante con a) la ley del paralelogramo y b) la regla del triángulo.
Respuesta: R = 3.30 kN, 6.66 .
4. [BJ] Dos fuerzas se aplican a una armella sujeta a una viga. Determine gráficamente la
magnitud y la dirección de su resultante usando a) la ley del paralelogramo y b) la regla del
triángulo.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 11
Respuesta: 8.40 kN, 19.0°.
5. Un automóvil descompuesto es jalado por medio de cuerdas sujetas a las dos fuerzas que
se muestran en la figura. Determine en forma gráfica la magnitud y la dirección de su
resultante usando a) la ley del paralelogramo, b) la regla del triángulo.
Respuesta: 5.4 kN, 12°.
6. [BJ] Los tirantes de cable AB y AD ayudan a sostener el poste AC. Si se sabe que la
tensión es de 120 lb en AB y 40 lb en AD, determine gráficamente la magnitud y la
dirección de la resultante de las fuerzas ejercidas por los tirantes en A con a) la ley del
paralelogramo y b) la regla del triángulo.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 12
Respuesta: R =139.1 lb, 0.67 .
Dos elementos estructurales B y C están sujetos con pernos a la ménsula A.
Figura Problemas 7 y 8.
7. [BJ] Si se sabe que ambos elementos están en tensión, y que kN 10P y kN 15Q ,
determine gráficamente la magnitud y la dirección de la fuerza resultante ejercida sobre la
ménsula con a) la ley del paralelogramo y b) la regla del triángulo.
8. [BJ] Si se sabe que ambos elementos están en tensión, y que kips 6P (1 kip = 1000
lb) y kips 4Q , determine gráficamente la magnitud y la dirección de la fuerza resultante
ejercida sobre la ménsula con a) la ley del paralelogramo y b) la regla del triángulo.
Respuesta: R = 8.03 kips, 8.3 .
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 13
Trigonometría (Teorema del seno y teorema del coseno).
Ejemplo 1.2. Problema resuelto 2.1 del Beer – Johnston. Estática. Novena Edición.
Página 22. Problema resuelto 2.1 del Beer . Johnston. Décima Edición. Página 18.
Las dos fuerzas P y Q actúan sobre el perno A. Determínese su resultante.
VER SOLUCIÓN.
Ejemplo 1.3. Problema resuelto 2.2 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 23.
Problema resuelto 2.2 del Beer – Johnston. Décima Edición. Página 19.
Un lanchón es arrastrado por dos remolcadores. Si la resultante de las fuerzas ejercidas por
los remolcadores es una fuerza de 5000 lb dirigida a lo largo del eje del lanchón, determine:
a) la tensión en cada una de las cuerdas, sabiendo que º45 , y b) el valor de tal que
la tensión en la cuerda 2 sea mínima.
VER SOLUCIÓN.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 14
Ejemplo 1.4. Ejemplo 2.3 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 25.
Determine la magnitud de la fuerza componente F en la figura y la magnitud de la fuerza
resultante FR si FR está dirigida a lo largo del eje positivo y.
VER SOLUCIÓN.
Ejemplo 1.5. Guía de Ejercicios Prof. Jacqueline Balza. UDOA.
La ménsula mostrada soporta dos fuerzas. Determine el ángulo de manera tal que la línea
de acción de la resultante quede a lo largo del eje x. ¿Cuál es la magnitud de la resultante?
VER SOLUCIÓN.
Ejercicios propuestos.
9. [BJ] Resuelva el problema 2 mediante trigonometría.
Respuesta: 77.1 lb, 85.4°.
10. [BJ] Resuelva el problema 3 mediante trigonometría.
Respuesta: 3 .30 kN, 66.6°.
x
y
30º
500 N
650 N
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 15
11. [BJ] Resuelva el problema 4 mediante trigonometría.
Respuesta: 8.38 kN, 18.76°.
12. [BJ] Resuelva el problema 6 mediante trigonometría.
Respuesta: R =139.1 lb, 67.0°.
13. [BJ] Resuelva el problema 8 mediante trigonometría.
Respuesta: R = 8.03 kips, 3.8°.
Se aplican dos fuerzas en el gancho de apoyo que se muestra en la figura.
Figura Problemas 14 y 15.
14. [BJ] Sabiendo que la magnitud de P es de 600 N, determine por trigonometría a) el
ángulo requerido si la resultante R de las dos fuerzas aplicadas en el gancho es vertical,
y b) la magnitud correspondiente de R.
Respuesta: 72.2°, 1.391 kN.
15. [BJ] Determine, por trigonometría, la magnitud y la dirección de la resultante de las dos
fuerzas aplicadas en el gancho, si se sabe que P = 500 N y 60 .
Respuesta: 1.302 kN, 75.8°.
Un carrito que se desplaza a lo largo de una viga horizontal está sometido a dos fuerzas,
como se muestran en la figura.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 16
Figura Problemas 16 y 17.
16. [BJ] a) Si se sabe que º25 , determine por trigonometría la magnitud de la fuerza P
tal que la fuerza resultante ejercida sobre el carrito sea vertical. b) ¿Cuál es la magnitud
correspondiente de la resultante?
Respuesta: a) 3660 N. b) 3730 N.
17. [BJ] Determine por trigonometría la magnitud y dirección de la fuerza P tal que la
resultante sea una fuerza vertical de 2500 N.
Respuesta: 2 600 N, 53.5°.
Dos varillas de control están unidas en A a la palanca AB.
Figura Problemas 18 y 19.
18. [BJ] Aplique trigonometría y, sabiendo que la fuerza en la varilla de la izquierda es F1 =
30 lb, determine a) la fuerza F2 requerida en la varilla derecha si la resultante R de las
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 17
fuerzas ejercidas por las varillas sobre la palanca es vertical, b) la magnitud correspondiente
de R.
Respuesta: a) 26.9 lb; b) 18.75 lb.
19. [BJ] Aplique trigonometría y, sabiendo que la fuerza en la varilla derecha es F2 = 20 lb,
determine a) la fuerza F1 requerida en la varilla izquierda si la resultante R de las fuerzas
ejercidas por las varillas sobre la palanca es vertical, b) la magnitud correspondiente de R.
20. [JB] Dos remolcadores A y C arrastran un barco B. La tensión en el cable AB es 4000 lb
y la resultante de las dos fuerzas aplicadas en B está dirigida a lo largo del eje del barco.
Determinar: a) La tensión en el cable BC. b) La magnitud de la resultante de las dos fuerzas
aplicadas en B.
Respuesta: TBC = (2383.5072 i – 2000 j) lb, lb 6068.5847R .
21. [JB] Para mover una mula atravesada en medio de la vía se aplican dos tensiones T1 y
T2. Determinar la magnitud de cada una de ellas sabiendo que la fuerza resultante tendrá
una magnitud de 6 N y estará dirigida a lo largo del eje x.
x
y
30º
40º
A
B
C
x
2T
y
1T
20º
A 25º
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 18
Respuesta: T1 = 3.5860 N, T2 = 2.9021 N.
22. [JB] Se arrastra un automóvil por medio de dos cables como se aprecia en la figura. Si
la resultante de las dos fuerzas ejercidas por los cables es una fuerza de 300 lb, paralela al
eje del automóvil, calcule la tensión en cada cable sabiendo que º30 y º20 .
Respuesta: T1 = 133.9427 lb, T2 = 195.8111 lb.
23. [JB] Para el esquema mostrado, determinar la magnitud de F y su dirección de manera
tal que la resultante tenga una magnitud de 1.5 N y esté dirigida a lo largo del eje x.
Respuesta: º6025.46 , N 5906.1F
Dos elementos estructurales A y B están remachados al apoyo que se muestra en la figura
x
y
20º
30º
1T
2T
x
y
70º
F
N 25.11 F
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 19
Figura Problemas 24 y 25.
24. [BJ] Si se sabe que ambos elementos están en compresión y que la fuerza en el
elemento A es de 15 kN y en el elemento B es de 10 kN, determine por trigonometría la
magnitud y la dirección de la resultante de las fuerzas aplicadas al apoyo por los elementos
A y B.
25. [BJ] Si se sabe que ambos elementos están en compresión y que la fuerza en el
elemento A es de 10 kN y en el elemento B es de 15 kN, determine por trigonometría la
magnitud y la dirección de la resultante de las fuerzas aplicadas al apoyo por los elementos
A y B.
Respuesta: 21.8 kN, 86.6°.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 20
Ejemplo 1.6. Ejemplo 2.4 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 26.
Se requiere que la fuerza resultante que actúa sobre la arnella roscada de la figura esté
dirigida a lo largo del eje positivo x y que F2 tenga una magnitud mínima. Determine esta
magnitud, el ángulo y la fuerza resultante correspondiente.
VER SOLUCIÓN.
Ejercicios propuestos.
26. [RH] El camión se va a remolcar con dos cuerdas. Determine las magnitudes de las
fuerzas FA y FB que actúan en cada cuerda para desarrollar una fuerza resultante de 950 N
dirigida a lo largo del eje x positivo. Considere que 50 .
Respuesta: FA = 774 N, FB = 346 N.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 21
Figura Problemas 26 y 27.
27. [RH] El camión se va a remolcar con dos cuerdas. Si la fuerza resultante debe ser de
950 N, dirigida a lo largo del eje x positivo, determine las magnitudes de las fuerzas FA y
FB que actúan en cada cuerda y el ángulo de FB de manera que la magnitud de FB sea un
mínimo. FA actúa a 20° medidos desde el eje x, como se muestra en la figura.
Respuesta: FA = 893 N, FB = 325 N, 0.70 .
28. [RH] En tronco de un árbol es remolcado por dos tractores A y B. Determine la
magnitud de las dos fuerzas de remolque FA y FB si se requiere que la fuerza resultante
tenga una magnitud FR = 10 kN y esté dirigida a lo largo del eje x. Considere que 5 .
Respuesta: FA = 3.66 kN, FB = 7.07 kN.
Figura Problemas 28 y 29.
29. [RH] Si la resultante FR de las dos fuerzas que actúan sobre el tronco debe estar dirigida
a lo largo del eje x positivo y tener una magnitud de 10 kN, determine el ángulo del
cable unido a B de modo que la fuerza FB en este cable sea mínima. ¿Cuál es la magnitud
de la fuerza en cada cable para esta situación?
Respuesta: FA = 8.66 kN, FB = 5.00 kN, 60 .
30. [RH] Se va a levantar una viga mediante dos cadenas. Determine las magnitudes de las
fuerzas FA y FB que actúan sobre cada cadena para que desarrollen una fuerza resultante de
600 N dirigida a lo largo del eje y positivo. Considere que 45 .
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 22
Figura Problemas 30 y 31.
31. [RH] La viga se va a levantar con dos cadenas. Si la fuerza resultante debe ser de 600 N
dirigida a lo largo del eje y positivo, determine las magnitudes de las fuerzas FA y FB sobre
cada cadena y el ángulo de FB de manera que la magnitud de FB sea mínima. FA actúa a
30° desde el eje y, como se muestra en la figura.
Respuesta: FA = 520 N, FB = 300 N.
Se aplican dos fuerzas en el gancho de apoyo que se muestra en la figura.
Figura Problemas 32, 33 y 34.
32. [BJ] Si se sabe que la magnitud de P es 35 N, determine por trigonometría a) el ángulo
, requerido si la resultante R de las dos fuerzas aplicada en el gancho debe ser horizontal
y b) la magnitud correspondiente de R.
Respuesta: a) 37.1°. b) 73.2 N.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 23
33. [BJ] Determine por trigonometría a) la magnitud y la dirección de la fuerza P más
pequeña para la cual la resultante de las dos fuerzas aplicadas en el gancho sea horizontal y
b) la magnitud correspondiente de R.
Respuesta: a) 21.1 N. b) 45.3 N.
34. [BJ] Si se sabe que P = 75 N y º50 , determine por trigonometría la magnitud y
dirección de la resultante de las dos fuerzas aplicadas en el gancho.
Un recipiente de acero debe colocarse dentro de una excavación.
Figura Problemas 35, 36 y 37.
35. [BJ] Si se sabe que º20 , determine por trigonometría a) la magnitud requerida de la
fuerza P si la resultante de las dos fuerzas aplicadas en A debe ser vertical y b) la magnitud
correspondiente de R.
Respuesta: a) 392 lb; b) 346 lb.
36. [BJ] Si se sabe que la magnitud de P es 500 lb, determine por trigonometría a) el ángulo
requerido si la resultante R de las dos fuerzas aplicadas en A debe ser vertical y b) la
magnitud correspondiente de R.
37. [BJ] Determine por trigonometría a) la magnitud y la dirección de la fuerza P más
pequeña para la cual la resultante R de las dos fuerzas aplicadas en A sea vertical y b) la
magnitud correspondiente de R.
Respuesta: a) 368 lb; b) 213 lb.
Dos cables sujetan un anuncio en el punto A para mantenerlo estable mientras es bajado a
su posición definitiva.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 24
Figura Problemas 38, 39 y 40.
38. [BJ] Sabiendo que º25 , determine por trigonometría, a) la magnitud requerida de la
fuerza P si la resultante de las dos fuerzas aplicadas en A es vertical, b) la magnitud
correspondiente de R.
Respuesta: a) 108.6 lb; b) 163.9 lb.
39. [BJ] Sabiendo que la magnitud de P es de 70 lb, determine, por trigonometría, a) el
ángulo requerido si la resultante R de las dos fuerza aplicadas en A es vertical, b) la
magnitud correspondiente de R.
40. [BJ] Determine, por trigonometría, a) la magnitud y la dirección de la fuerza mínima P
cuya resultante R de las dos fuerzas aplicadas en A es vertical, b) la magnitud
correspondiente de R.
Respuesta: 45.9 lb; 65.5 lb.
Una banda elástica para hacer ejercicio está sujeta y se estira como indica la figura.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 25
Figura Problemas 41 y 42.
41. [BJ] Si la tensión en las porciones BC y DE es igual a 80 y 60 N, respectivamente,
determine, por trigonometría, a) el ángulo requerido si la resultante R de las dos fuerzas
ejercidas en la mano en el punto A es vertical, b) la magnitud correspondiente de R.
Respuesta: a) 7.48°; b) 138.4 N.
42. [BJ] Si la tensión en la porción DE de la banda es igual a 70 N, determine, por
trigonometría, a) la magnitud y la dirección de la fuerza mínima en la porción BC para que
la resultante de las dos fuerzas ejercidas sobre la mano en el punto A se dirige a lo largo de
una línea que une los puntos A y H, b) la magnitud correspondiente de R.
Respuesta: a) 4.88 N, 6.00°; b) 59.8 N.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 26
Ejemplo 1.7. Problema 2.30 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 31.
Tres cadenas actúan sobre la ménsula de forma que generan una fuerza resultante con una
magnitud de 500 lb. Si dos de las cadenas están sometidas a fuerzas conocidas, como se
muestra en la figura, determine el ángulo de la tercera cadena, medido en el sentido de
las manecillas del reloj desde el eje x positivo, de manera que la magnitud de la fuerza F en
esta cadena sea mínima. Todas las fuerzas se encuentran en el plano x – y. ¿Cuál es la
magnitud de F? Sugerencia: encuentre primero la resultante de las dos fuerzas conocidas.
La fuerza F actúa en esta dirección.
VER SOLUCIÓN.
Ejercicios propuestos.
43. [RH] Tres cables jalan un tubo de forma que generan una fuerza resultante con
magnitud de 900 lb. Si dos de los cables están sometidos a fuerzas conocidas, como se
muestra en la figura, determine el ángulo del tercer cable de modo que la magnitud de la
fuerza F en este cable sea mínima. Todas las fuerzas se encuentran en el plano x – y. ¿Cuál
es la magnitud de F? Sugerencia: encuentre primero la resultante de las dos fuerzas
conocidas.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 27
Respuesta: Fmin = 97.4 lb, 2.16 .
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 28
Componentes de una fuerza a lo largo de dos ejes.
Ejemplo 1.8. Problema 2.9 del Hibbeler. Séptima Edición.
La rueda acanalada en V se utiliza para que corra a lo largo de un riel. Si el riel ejerce una
fuerza vertical de 200 libras sobre la rueda, determine las componentes de esta fuerza que
actúa a lo largo de los ejes a y b, que son perpendiculares a los lados del riel.
VER SOLUCIÓN.
Ejemplo 1.9. Ejemplo 2.2 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 24.
Descomponga la fuerza horizontal de 600 lb que se muestra en la figura en componentes
que actúan a lo largo de los ejes u y v, y determine la magnitud de estas componentes.
VER SOLUCIÓN.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 29
Ejemplo 1.10. Problema 2.15 del Hibbeler. Décima Edición. Página 28. Problema 2.14
del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 29.
Determine el ángulo de diseño ( 900 ) para la barra AB de manera que la fuerza
horizontal de 400 lb tenga una componente de 500 lb dirigida de A hacia C. ¿Cuál es la
componente de la fuerza que actúa a lo largo del elemento AB?. Considere 40 .
VER SOLUCIÓN.
Ejemplo 1.11. Problema 2.14 del Hibbeler. Séptima Edición.
Una fuerza vertical de F = 60 libras actúa hacia abajo en el punto A de una estructura de
dos partes. Determine el ángulo ( 900 ) del miembro AB de tal forma que la
componente de F que actúa a lo largo del eje AB sea de 80 libras. ¿Cuál es la magnitud de
la componente de la fuerza que actúa a lo largo del eje del miembro AC?
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 30
VER SOLUCIÓN.
Ejemplo 1.12. Problema 2.26 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 34.
El cilindro hidráulico BD ejerce una fuerza P sobre el elemento ABC, dicha fuerza está
dirigida a lo largo de la línea BD. Si se sabe que P debe tener una componente de 750 N
perpendicular al elemento ABC, determine a) la magnitud de la fuerza P, b) su componente
paralela a ABC.
VER SOLUCIÓN.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 31
Ejercicios propuestos.
44. [RH] Descomponga F1 y F2 en sus componentes a lo largo de los ejes u y v; y determine
las magnitudes de estas componentes.
Respuesta: F2v = 77.6 N, F2u = 150 N.
45. [RH] Si la fuerza F debe tener una componente a lo largo del eje u con magnitud Fu = 6
kN, determine la magnitud de F y la magnitud de su componente Fv a lo largo del eje v.
Respuesta: F = 3.11 kN, Fv = 4.39 kN.
46. [RH] Descomponga la fuerza de 30 lb en componentes a lo largo de los ejes u y v;
además, determine la magnitud de cada una de estas componentes.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 32
Respuesta: Fu = 22.0 lb; Fv = 15.5 lb.
La fuerza de 300 lb se debe descomponer en componentes a lo largo de las líneas a-a´ y b-
b´.
Figura Problemas 47 y 48.
47. [BJ] a) Determine por trigonometría el ángulo α si se sabe que la componente a lo largo
de a-a´ es de 240 lb. b) ¿Cuál es el valor correspondiente de la componente a lo largo de b-
b´?
Respuesta: a) 76.1°, b) 336 lb.
48. [BJ] a) Determine por trigonometría el ángulo α si se sabe que la componente a lo largo
de b-b´ es de 120 lb. b) ¿Cuál es el valor correspondiente de la componente a lo largo de a-
a´?
49. [RH] Determine las componentes x y y de la fuerza de 700 lb.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 33
50. [RH] La fuerza F = 450 lb actúa sobre la estructura. Descomponga esta fuerza en
componentes que actúan a lo largo de los elementos AB y AC; además, determine la
magnitud de cada componente.
Respuesta: FAB = 869 lb, FAC = 636 lb.
Componentes rectangulares de una fuerza.
Cuando una fuerza se descompone en dos componentes a lo largo de los ejes x y y, dichas
componentes suelen denominarse componentes rectangulares. Para el trabajo analítico,
podemos representar estos componentes en dos formas, mediante notación escalar, o por
notación vectorial cartesiana.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 34
Notación escalar.
Las componentes rectangulares de la fuerza F que se muestran en la figura se encuentran al
usar la ley del paralelogramo, de manera que F = Fx + Fy.
Como estas componentes forman un triángulo rectángulo, sus magnitudes se pueden
determinar a partir de las siguientes ecuaciones:
cosFFx y sen FFy .
Si el ángulo es medido con respecto a la vertical, entonces por trigonometría se tiene que
las magnitudes de las componentes son:
sen FFx y cosFFy .
Debido a la ambigüedad en las fórmulas para el cálculo de las componentes rectangulares
de un vector, y la confusión que suele generar sobre si debe utilizar la función seno o la
función coseno para una u otra componente, se ha enunciado un teorema, según el cual la
determinación de las componentes rectangulares de un vector no está determinada por
identidades trigonométricas tomadas a partir de un triángulo rectángulo, sino por la
proyección del vector sobre los ejes coordenados.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 35
Teorema.
Si un vector de módulo V en el plano forma un ángulo con respecto a uno de los
semiejes coordenados, se tiene que el valor absoluto de la componente proyectada a lo
largo de dicho semieje es cosV , mientras que la proyección en su semieje
complementario es sen V .
Otra forma útil de enunciar el teorema anterior es: El valor absoluto de la componente de
un vector sobre un semieje es igual al producto del módulo del vector por el coseno del
ángulo barrido en la proyección, mientras que a lo largo del semieje complementario, es
igual al producto del módulo del vector por el seno del ángulo.
Para la siguiente figura:
Si se desea obtener la componente horizontal, la fuerza F debe proyectarse en el eje x, y
para ello en su proyección pasa por encima del ángulo (hace el barrido del ángulo), por
lo cual debe utilizarse la función coseno: cosFFx .
Si se desea obtener la componente vertical (componente complementaria), la fuerza F debe
proyectarse en el eje y , y para ello su proyección no pasa por encima del ángulo , por lo
cual debe utilizarse la función seno: sen FFy . El signo negativo se coloca puesto que
la componente vertical yF apunta hacia la parte negativa del eje.
La dirección de F también se puede definir mediante un pequeño triángulo de
“pendiente”, como el que se muestra en la figura
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 36
Como este triángulo y el triángulo sombreado más grande son semejantes, la longitud
proporcional de los lados da las componentes rectangulares de la fuerza.
Componente x.
c
F
a
Fx
Fc
aFx
Componente y.
c
F
b
Fy
Fc
bFy
Ejemplo 1.13. Ejemplo 1 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 28.
Una fuerza de 800 N se ejerce sobre un perno A como se muestra en la figura. Determínese
las componentes horizontal y vertical de la fuerza.
VER SOLUCIÓN.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 37
Ejercicios propuestos.
51. [JB] Una fuerza de 2.5 kN se aplica por medio de un cable al soporte como se indica en
la figura. ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical de esta fuerza?
Respuesta: Fx = –2.3492 N, Fy = 0.8550 N.
52. [RS] Un vector fuerza en el plano x y tiene una magnitud de 50.0 kips y está dirigido en
un ángulo de 120.0º en relación con el eje x positivo. ¿Cuáles son las componentes
rectangulares de este vector?
Respuesta: Fx = –25.0000 kips, Fy = 43.3013 kips.
53. [BJ] Determine las componentes x y y de cada una de las fuerzas que se muestran en la
figura.
54. [BJ] Determine las componentes x y y de cada una de las fuerzas que se muestran en la
figura.
x
y
F
20º
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 38
55. [JB] Determinar las componentes en x y y de cada una de las fuerzas mostradas. F1 = 50
N, F2 = 100 N, F3 = 20 N.
Respuesta: F1,x = 43.3013 N, F1,y = –25.0000 N, F2,x = 34.2020 N, F2,y = –93.9693 N, F3,x =
–15.3209 N, F3,y = –12.8558 N.
56. [JB] Un vector fuerza F, forma un ángulo con el eje x+. Halle las componentes
rectangulares de F para los siguientes valores:
a) F = 8 N, º60
b) F = 6 lb, º120
c) F = 12 N, º225
Respuesta: a) Fx = 4.0000 N, Fy = 6.9282 N; b) Fx = –3.0000 lb, Fy = 5.1962 lb; c) Fx = –
8.4853 N, Fy = –8.4853 N.
57. [JB] Descomponer los vectores B, C y D en sus componentes rectangulares. B = C = 5
N. D = 10 N. BD , CD .
x
3F
y
1F
30º
20º
50º
2F
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 39
Respuesta: Bx = –2.5000 N, By = 4.3301 N, Cx = 2.5000 N, Cy = –4.3301 N, Dx = –8.6602
N, Dy = –5.0000 N.
x
D
y B
30º
C
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 40
Ejemplo 1.14. Ejemplo 2 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 29.
Un hombre jala una cuerda atada a un edificio con una fuerza de 300 N, como se muestra
en la figura. ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical de la fuerza ejercida por la
cuerda en el punto A?
VER SOLUCIÓN.
Ejemplo 1.15. Ejemplo 2.5 del Hibbeler. Décima Edición. Página 35. Ejemplo 2.5 del
Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 35.
Determine las componentes x y y de F1 y F2 que actúan sobre la barra mostrada en la figura.
Exprese cada fuerza como un vector cartesiano.
VER SOLUCIÓN.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 41
Ejemplo 1.16. Problema 2.36 del Hibbeler. Séptima Edición.
Exprese las fuerzas F1, F2 y F3 como vectores cartesianos.
VER SOLUCIÓN.
Ejemplo 1.17. Problema 2.230 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 34.
El cable AC ejerce sobre la viga AB una fuerza P dirigida a lo largo de la línea AC. Si se
sabe que P debe tener una componente vertical de 350 lb, determine a) la magnitud de la
fuerza P y b) su componente horizontal.
VER SOLUCIÓN.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 42
Ejercicios propuestos.
El alambre atirantado BD ejerce sobre el poste telefónico AC una fuerza P dirigida a lo
largo de BD.
Figura Problemas 58 y 59.
58. [BJ] Si se sabe que P tiene una componente de 120 N perpendicular al poste AC,
determine a) la magnitud de la fuerza P, b) su componente a lo largo de la línea AC.
59. [BJ] Si se sabe que P tiene una componente de 180 N a lo largo de la línea AC,
determine a) la magnitud de la fuerza P, b) su componente en una dirección perpendicular a
AC.
60. [BJ] El elemento CB de la prensa de banco que se muestra en la figura, ejerce sobre el
bloque B una fuerza P dirigida a lo largo de la línea CB. Si se sabe que la componente
horizontal de P debe tener una magnitud de 1 220 N, determine a) la magnitud de la fuerza
P y b) su componente vertical.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 43
61. [BJ] El elemento BD ejerce sobre el elemento ABC una fuerza P dirigida a lo largo de la
línea BD. Si se sabe que P debe tener una componente horizontal de 300 lb, determine a) la
magnitud de la fuerza P y b) su componente vertical.
62. Determine las componentes x y y de cada una de las fuerzas que se muestran en la
figura.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 44
63. Determine las componentes x y y de cada una de las fuerzas que se muestran en la
figura.
64. [RH] Descomponga cada fuerza que actúa sobre el pilote en sus componentes x y y.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 45
Respuesta: F1x = 0, F1y = 300 N, F2x = –318 N, F2y = 318 N, F3x = 360 N, F3y = 480 N.
Vectores unitarios.
Notación vectorial cartesiana.
También es posible representar las componentes x y y de una fuerza en términos de
vectores unitarios cartesianos i y j. Cada uno de estos vectores unitarios tiene una magnitud
adimensional de uno, y por lo tanto pueden usarse para designar as direcciones de los ejes x
y y, respectivamente.
Como la magnitud de cada componente de F es siempre una cantidad positiva, la cual está
representada por los escalares (positivos) Fx y Fy , entonces podemos expresar F como un
vector cartesiano.
jFiFF yx
Magnitud de la fuerza.
22
yx FFF
Dirección de la fuerza.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 46
x
y
F
F1tan
Ejemplo 1.18. Ejemplo 3 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 29.
Una fuerza jiF )lb1500()lb700( se aplica a un perno A. Determínese la magnitud de
la fuerza y el ángulo que forma con la horizontal.
VER SOLUCIÓN.
Operaciones con vectores.
Resultante de fuerzas coplanares.
Podemos representar en forma simbólica las componentes de la fuerza resultante de
cualquier número de fuerzas coplanares mediante la suma algebraica de las componentes x
y y de todas las fuerzas, esto es,
xxR FF
yyR FF
Una vez que se determinen estas componentes, pueden bosquejarse a lo largo de los ejes x y
y con un sentido de dirección adecuado, y la fuerza resultante puede determinarse con base
en una suma vectorial como se muestra en la figura
Después, a partir de este bosquejo, se encuentra la magnitud de RF por medio del teorema
de Pitágoras; es decir,
22
yRxRR FFF
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 47
Asimismo, el ángulo , que especifica la dirección de la fuerza resultante, se determina por
trigonometría:
xR
yR
F
F1tan
Ejemplo 1.19. Ejemplo 2.6 del Hibbeler. Décima Edición. Página 36.
La armella que se muestra en la figura está sometida a las dos fuerzas F1 y F2. Determine la
magnitud y la dirección de la fuerza resultante.
VER SOLUCIÓN.
Ejemplo 1.20. Problema 2.41 del Hibbeler. Séptima Edición.
Determine la magnitud de la fuerza resultante y su dirección, medida en sentido contrario a
las manecillas del reloj con respecto al eje positivo de las x .
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 48
VER SOLUCIÓN.
Ejercicios propuestos.
65. [RH] Determine la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre la armella roscada y
su dirección medida en el sentido de las manecillas del reloj desde el eje x.
Respuesta: FR = 6.80 kN, 103 .
66. [JB] Determine la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre el pasador y
especifique su dirección con respecto al eje x+. Considere F = 5 N y P = 7 N.
Respuesta: R = 7.0355 i – 2.5266 j.
67. [JB] Determinar la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre el apoyo mostrado.
Especifique la dirección con respecto a x+.
x
P
y
F
30º
45º
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 49
Respuesta: R = (–299.2726 i + 201.0868 j) N, N 5551.360R , º10.146 .
68. [JB] Dos personas tiran de una mula obstinada que interrumpe el tránsito y utilizan dos
cuerdas como se muestra en la figura. Las magnitudes de las tensiones en las cuerdas son
TAC = 400 N y TAB = 500 N. Determine la magnitud y dirección de la resultante de las dos
fuerzas ejercidas por las cuerdas.
Respuesta: R = (–126.5949 i + 7.1150 j) N, N 7947.126R , º78.176 .
69. [RH] Si la tensión en el cable es de 400 N, determine la magnitud y la dirección de la
fuerza resultante que actúa sobre la polea. Este ángulo es el mismo ángulo que forma la
línea AB sobre el bloque de escalera.
x
300 N
y
100º
400 N
40º
x
B
y
C
40º
A 60º
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 50
Respuesta: FR = 400 N, º60 .
70. [RH] Determine la magnitud de la fuerza resultante y su dirección, medida en sentido
contrario al de las manecillas del reloj desde el eje x positivo.
Respuesta: FR = 721 N, 9.43 .
71. [JB] Determinar la magnitud y dirección de la resultante de las dos fuerzas dadas, a
partir de la ley de coseno y aplicando métodos geométricos. F1 = 1500 N, F2 = 2000 N.
x
y
1F
30º 45º
2F
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 51
Respuesta: R = (–2120.2794 i + 2448.8887 j) N, N 2346.3239R , º89.130 .
72. [RH] Dos fuerzas actúan sobre el gancho. Determine la magnitud de la fuerza
resultante.
Respuesta: FR = 666 N.
73. [JB] Determinar la magnitud de la fuerza resultante si: a) FR = F1 + F2, b) FR = F1 – F2.
Respuesta: a) FR = (–30.0340 i + 106.5685 j) N, N 7200.110RF , º74.105 . b) FR =
(–143.1711 i – 6.5685 j) N, N 3216.143RF , º63.182 .
74. [JB] Determinar la magnitud y dirección de la resultante en la figura mostrada (Método
de las componentes).
x
y
F2 = 80 N
60º 45º
F1 = 100 N
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 52
Respuesta: FR = (–85.2474 i + 15.6109 j) N, N 6650.86RF , º62.169 .
75. [JB] Determinar la magnitud y dirección de la fuerza resultante representada en la
figura, siendo A = 50 N la primera fuerza y B = 20 N la segunda. (Método de las
componentes).
Respuesta: R = (18.9723 i + 46.8269 j) N, N 5243.50R , º94.67 .
76. [JB] Dos remolcadores A y C arrastran un barco B. En un instante la tensión AB es de
4500 lb y la tensión en el cable BC es 2000 lb. Determine la magnitud y dirección de la
resultante de las dos fuerzas aplicadas en B.
Respuesta: FR = (5960.6676 i + 2539.0906 j) N, N 9304.6478R , º07.23 .
x
y
45º 50 N
100º 80 N
x
y
45º
A
100º B
x
y
20º
30º
A
B
C
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 53
77. [JB] Para el esquema mostrado determine la magnitud de F de tal manera que la fuerza
resultante actúe a lo largo del eje AB. ¿Cuál sería la magnitud de la fuerza resultante?
Respuesta: F = 715.9063; 3427.716R .
Suma de un sistema de fuerzas coplanares.
Ejemplo 1.21. Problema resuelto 2.3 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 31.
Problema resuelto 2.3 del Beer – Johnston. Décima Edición. Página 26.
Cuatro fuerzas actúan sobre un perno A como se muestra en la figura. Determine la
resultante de las fuerzas sobre el perno.
VER SOLUCIÓN.
x
y
88º
F
B
25 N
A
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 54
Ejemplo 1.22. Guía de Ejercicios Prof. Jacqueline Balza. UDOA.
Determinar la magnitud y dirección de la resultante en la figura mostrada (Método de las
componentes).
VER SOLUCIÓN.
Ejemplo 1.23. Ejemplo 2.7 del Hibbeler. Décima Edición. Página 37. Ejemplo 2.7 del
Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 37.
El extremo de la barra O mostrada en la figura está sometido a tres fuerzas coplanares
concurrentes. Determine la magnitud y la dirección de la fuerza resultante.
VER SOLUCIÓN.
x
y
60º
45º
100 N
200 N
300 N
200 N
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 55
Ejemplo 1.24. Problema 2.42 del Hibbeler. Décima Edición. Página 39.
Determine la magnitud y la dirección de la resultante FR = F1 + F2 + F3 de las tres fuerzas
sumando las componentes rectangulares o x, y de las fuerzas para obtener la fuerza
resultante.
VER SOLUCIÓN.
Ejemplo 1.25. Problema 2.38 del Hibbeler. Décima Edición. Página 39.
Determine la magnitud y la dirección, medida ésta en sentido contrario al de las manecillas
del reloj desde el eje x positivo, de la fuerza resultante de las tres fuerzas que actúan sobre
el anillo A. Considere F1 = 500 N y 20 .
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 56
VER SOLUCIÓN.
Ejemplo 1.26. Problema 2.38 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 40.
Si 30 y la fuerza resultante que actúa sobre la placa de refuerzo está dirigida a lo largo
del eje x positivo, determine las magnitudes de F2 y la fuerza resultante.
VER SOLUCIÓN.
Ejemplo 1.27. Problema 2.10 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 38.
Si la fuerza resultante que actúa sobre la ménsula debe ser de 750 N y estar dirigida a lo
largo del eje x positivo, determine la magnitud de F y su dirección .
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 57
VER SOLUCIÓN.
Ejemplo 1.28. Problema 2.52 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 41.
Si la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre la ménsula debe ser de 450 N y está
dirigida a lo largo del eje u positivo, determine la magnitud de F1 y su dirección .
VER SOLUCIÓN.
Ejemplo 1.29. Problema 2.35 del Hibbeler. Décima Edición. Página 39.
Tres fuerzas actúan sobre la ménsula. Determine la magnitud y la dirección de F1 de
manera que la fuerza resultante esté dirigida a lo largo del eje x positivo y tenga una
magnitud de 1 kN.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 58
VER SOLUCIÓN.
Ejemplo 1.30. Problema 2.56 del Hibbeler. Séptima Edición.
Tres fuerzas actúan en la ménsula. Determine la magnitud y dirección de F1 de tal forma
que la fuerza resultante se dirija a lo largo del eje positivo de las x y que tenga una
magnitud de 800 N.
VER SOLUCIÓN.
Ejemplo 1.31. Problema 2.37 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 35.
a) Si se sabe que º40 , determine la resultante de las tres fuerzas que se muestran en la
figura. b) determine el valor requerido de si la resultante de las tres fuerzas mostradas
debe ser paralela al plano inclinado y la magnitud correspondiente de la resultante.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 59
VER SOLUCIÓN.
Ejercicios propuestos.
78. [JB] Determine la resultante de las tres fuerzas del problema 53.
79. [JB] Determine la resultante de las tres fuerzas del problema 54.
80. [JB] Determine la resultante de las tres fuerzas del problema 62.
81. [JB] Determine la resultante de las tres fuerzas del problema 63.
82. [RS] Determine la magnitud y dirección de la resultante de tres fuerzas que tienen
componentes rectangulares N )00.2,00.3( , N )00.3,00.5( y N )00.1,00.6( .
Respuesta: 7.2111 m a 56.31º.
83. [JB] Determinar la magnitud y dirección de la resultante en la figura mostrada (Método
de las componentes).
Respuesta: FR = (–1030.4819 i + 74.2541 j) N, N 1544.1033RF , º88.175 .
84. [RS] Tres vectores se orientan como se muestra en la figura, donde 20A unidades,
40B unidades y 30C unidades. Encuentre a) las componentes x y y del vector
resultante, y b) la magnitud y dirección del vector resultante.
x
y
60º
45º
500 N
600 N
700 N
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 60
Respuesta: R = 49.4975 i + 27.0711 j, Unidades4167.56R , º68.28 .
85. [JB] Cuatro fuerzas actúan sobre un perno A como se muestra en la figura. Determinar
la magnitud y la dirección de la resultante de las fuerzas. F1 = 150 N, F2 = 80 N, F3 = 110
N, F4 = 100 N. º20 , º30 , º15 .
Respuesta: FR = (199.1348 i + 14.2935 j) N, N 6471.199RF , º11.4 .
86. [JB] Determine la magnitud de la fuerza resultante FR = F1 + F2 + F3 encontrando la
resultante F* = F1 + F2 y formando después FR = F* + F3. F1 = 30 N, F2 = 40 N, F3 = 20 N.
x
y
1F
2F
3F
4F
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 61
Respuesta: F* = 2.3035 i + 43.2843 j, F3 = 2.3035 i + 23.2843 j.
87. La fuerza resultante se compone de cuatro fuerzas ¿cuál es la fuerzas resultante?
Respuesta: R = (–129.9038 i – 201.7949 j) N, m 9920.239R , º23.237 .
88. [JB] Hallar el vector resultante de los vectores mostrados en la figura sabiendo que la
magnitud de los vectores son iguales 24 CBA unidades.
x
y
30º 45º
3F
1F
2F
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 62
Respuesta: R = 4.1928 i – 0.1928 j, 1972.4R , º38.357 .
89. [RH] Determine la magnitud y la dirección de la fuerza resultante.
Respuesta: FR = 567 N, 1.38 .
90. [RH] Determine la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre la repisa, así como
su dirección medida en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje x.
x
y 30º
B
C
A
45º
45º
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 63
Respuesta: FR = 1254 lb, 259 .
91. [RH] Determine la magnitud de la fuerza resultante, así como su dirección medida en
sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje x positivo.
Respuesta: FR = 31.2 kN, 8.39 .
92. [RH] Determine la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre el pasador, así
como su dirección medida en el sentido de las manecillas del reloj desde el eje x positivo.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 64
93. [JB] La fuerza A tiene una magnitud de 9 N y está dirigido según el eje x. Otra fuerza B
está en el plano x y, su magnitud es de 6 N y forma un ángulo de 45º con el eje x. La fuera
C se halla en el plano x y, su magnitud es 15 N y forma un ángulo de 75º con el eje x.
Determine la magnitud y la dirección de la fuerza resultante. Utilice métodos geométricos y
analíticos.
Respuesta: R = (17.1249 i + 18.7315 j) lb, cm 3799.25R , º57.47 .
94. [JB] Tres fuerzas horizontales actúan sobre un objeto. La magnitud de la fuerza A es de
25 kgf en dirección 60º al noreste. La magnitud de la fuerza B es de 70 kgf y actúa hacia el
eje y. La magnitud de C es 55 kgf y actúa hacia el sudoeste 45º. Determine la magnitud y
dirección de la fuerza resultante utilizando el método de las componentes.
Respuesta: FR = (51.3939 i + 52.7598 j) kgf, fkg 6520.73RF , º75.45 .
95. [JB] Dados las fuerzas A, B, C y D, de magnitudes y direcciones con respecto al eje x
están dadas por:
A = 2500 N, º290
B = 1800 N, º330
C = 3500 N, º195
D = 7000 N, º39
a) Encontrar el vector suma.
b) Demostrar la propiedad asociativa de los vectores para la adición.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 65
c) Determinar (A – C) y (C – A). ¿Se cumple la propiedad conmutativa para la sustracción
de vectores?
d) Comprobar la propiedad conmutativa para la adición de vectores.
Respuesta: a) R = (4473.1774 i + 250.1445 j) N; c) A – C = (4235.7908 i – 1443.3649 j) N,
C – A = (–4235.7908 i + 1443.3649 j) N, No se cumple la propiedad conmutativa para la
sustracción de vectores.
96. [BJ] Si se sabe que la tensión en el cable BC es de 725 N, determine la resultante de las
tres fuerzas ejercidas en el punto B de la viga AB.
Figura Problemas 96 y 97.
97. [BJ] Determine a) la tensión requerida en el cable BC si la resultante de las tres fuerzas
ejercidas en el punto B debe ser vertical, b) la magnitud correspondiente de la resultante.
98. [BJ] Si se sabe que º35 , determine la resultante de las tres fuerzas mostradas en la
figura.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 66
Figura Problemas 98 y 99.
99. [BJ] Para el collarín del problema anterior, determine a) el valor requerido de si la
resultante de las tres fuerzas mostradas debe ser vertical, b) la magnitud correspondiente de
la resultante.
100. [BJ] Determine a) la tensión requerida en el cable AC, si se sabe que la resultante de
las tres fuerzas ejercidas en el punto C del aguilón BC debe estar dirigida a lo largo de BC,
b) la magnitud correspondiente de la resultante.
101. [BJ] Si se sabe que º75 , determine la resultante de las tres fuerzas que se
muestran en la figura.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 67
Figura Problemas 101 y 102.
102. [BJ] Determine el valor requerido de si la resultante de las tres fuerzas mostradas
debe ser paralela al plano inclinado y la magnitud correspondiente de la resultante.
103. [RH] Si la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre la ménsula debe ser de 80
lb y estar dirigida a lo largo del eje u, determine la magnitud de F y su dirección .
Respuesta: F = 62.5 lb, 3.14 .
104. [RH] Determine la magnitud de F1 y su dirección de manera que la fuerza resultante
esté dirigida verticalmente hacia arriba y tenga una magnitud de 800 N.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 68
Respuesta: F1 = 275 N, 1.29 .
105. [JB] Tres vectores están dados por A = 6 i, B = 9 j y B = – 3 i + 4 j. Determine: a) La
magnitud y dirección del vector resultante, b) Un vector que sumado a estos tres de un
vector resultante igual a cero.
Respuesta: R = 3 i + 13 j, 3417.13R , º01.77 .
106. [RS] La pista del helicóptero en la figura muestra a dos personas que jalan una
obstinada mula. Encuentre: a) la única fuerza equivalente a las dos fuerzas indicadas, y b)
la fuerza que una tercera persona tendría que ejercer sobre la mula para hacer la fuerza
resultante igual a cero.
Respuesta: a) R = (39.2945 i + 181.1971 j) N, b) R = (– 39.2945 i – 181.1971 j) N.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 69
107. [JB] Dos fuerzas A y B que están en el plano x y actúan sobre un objeto pequeño
colocado en el origen. La magnitud de la fuerza A es de 50 N y actúa en la dirección
correspondiente a un ángulo de 30º con el eje x+. La magnitud de la fuerza B es de 80 N y
actúa en la dirección que forma un ángulo de 135º con el eje x+. ¿Qué magnitud y dirección
debe tener una fuerza C que aplicada al cuerpo hará que se anule la resultante de las tres
fuerzas?
Respuesta: C = (13.2673 i – 81.5685 j) N, N 6405.82C , º24.99 .
1.2.- EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA EN EL PLANO.
Cuerpos sometidos a tres fuerzas.
Ejemplo 1.32. Problema 3.66 del Hibbeler. Décima Edición. Página 110.
El tubo es mantenido en su lugar por la prensa mecánica. Si el perno ejerce una fuerza de
50 libras sobre el tubo en la dirección mostrada, determine las fuerzas FA y FB que los
contactos lisos en A y B ejercen sobre el tubo.
VER SOLUCIÓN.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 70
Ejemplo 1.33. Ejemplo 5.4 del Serway. Séptima Edición. Página 111.
Un semáforo que pesa 122 N cuelga de un cable unido a otros dos cables sostenidos a un
soporte como en la figura. Los cables superiores forman ángulos de 37.0° y 53° con la
horizontal. Estos cables superiores no son tan fuertes como el cable vertical y se romperán
si la tensión en ellos supera los 100 N. ¿El semáforo permanecerá colgado en esta situación,
o alguno de los cables se romperá?
VER SOLUCIÓN.
Ejemplo 1.34. Problema resuelto 2.4 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 39.
Problema resuelto 2.4 del Beer – Johnston. Décima Edición. Página 32.
En la operación de descarga de un barco, un automóvil de 3500 lb es soportado por un
cable. Se ata una cuerda al cable en A y se tira para centrar al automóvil sobre la posición
deseada. El ángulo entre el cable y la vertical es de 2°, mientras que el ángulo entre la
cuerda y la horizontal es de 30°. ¿Cuál es la tensión en la cuerda?
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 71
VER SOLUCIÓN.
Ejemplo 1.35. Problema 2.47 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 42.
Problema 2.45 del Beer – Johnston. Décima Edición. Página 36.
Si se sabe que º20 , determine la tensión a) en el cable AC, b) en la cuerda BC.
VER SOLUCIÓN.
Ejemplo 1.36. Problema 2.58 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 42.
Problema 2.59 del Beer – Johnston. Décima Edición. Página 36.
Para la situación descrita en la figura, determine: a) el valor de para el cual la tensión en
el cable BC sea la mínima posible y b) el valor correspondiente de la tensión.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 72
VER SOLUCIÓN.
Ejemplo 1.37. Problema 3.10 del Hibbeler. Décima Edición. Página 92.
El cajón de 500 lb va a ser levantado usando las cuerdas AB y AC. Cada cuerda puede
resistir una tensión máxima de 2500 lb antes de romperse. Si AB siempre permanece
horizontal, determine el ángulo más pequeño con qe el cajón puede ser levantado.
VER SOLUCIÓN.
Ejercicios propuestos.
108. [RS] Un saco de cemento de 325 N de peso cuelga en equilibrio de tres alambres,
como se muestra en la figura. Dos de los alambres forman ángulos 0.601 y 0.252
con la horizontal. Si se supone que el sistema está en equilibrio, encuentre las tensiones T1
y T2 en los alambres.
109. [BJ] En C se amarran dos cables y se cargan como se muestra en la figura. Si se sabe
que º20 , determine la tensión a) en el cable AC y b) en el cable BC.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 73
110. [BJ] En C se amarran dos cables y se cargan como se muestra en la figura. Determine
la tensión a) en el cable AC y b) en el cable BC.
En C se amarran dos cables y se cargan como se muestra en la figura.
Figura Problemas 111 y 112.
111. [BJ] Si se sabe que P = 500 N y º60 , determine la tensión a) en el cable AC y b)
en el cable BC.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 74
112. [BJ] Se sabe que la tensión permisible máxima es de 600 N en el cable AC y 750 N en
el cable BC. Determine a) la máxima fuerza P que puede aplicarse en C, b) el valor
correspondiente de .
113. [BJ] En C se amarran dos cables y se cargan como se muestra en la figura. Determine
la tensión a) en el cable AC y b) en el cable BC.
114. [BJ] Si se sabe que º20 , determine la tensión a) en el cable AC, b) en la cuerda
BC.
Figura Problemas 114 y 115.
115. [BJ] Para la situación descrita en el problema anterior, determine a) el valor de para
el cual la tensión en el cable BC es la mínima posible y b) el valor correspondiente de la
tensión.
116. [BJ] Si se sabe que 55 y que el aguilón AC ejerce sobre la articulación C una
fuerza dirigida a lo largo de la línea AC, determine a) la magnitud de la fuerza y b) la
tensión en el cable BC.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 75
117. [BJ] Para la estructura y la carga del problema anterior, determine a) el valor de
para el que la tensión en el cable BC es mínima, b) el valor correspondiente de la tensión.
118. Si se sabe que las porciones AC y BC del cable ACB deben ser iguales, determine la
longitud mínima que debe tener el cable para soportar la carga mostrada, si la tensión en
éste no debe ser mayor que 870 N.
119. [BJ] En C se amarran dos cables y se cargan como se muestra en la figura. Si se sabe
que la tensión máxima permisible en cada cable es de 800 N, determine a) la magnitud de la
fuerza P máxima que puede aplicarse en C, b) el valor correspondiente de .
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 76
Figura Problemas 119 y 120.
120. [BJ] En C se amarran dos cables y se cargan como se muestra en la figura. Si se sabe
que la tensión máxima permisible en el cable AC es de 1200 N y que en el cable BC es de
600 N, determine a) la magnitud de la fuerza P máxima que puede aplicarse en C, b) el
valor correspondiente de .
El collarín A puede deslizarse sin fricción sobre una barra horizontal y está conectado a una
carga de 50 lb, como se muestra en la figura.
Figura Problemas 121 y 122.
121. Determine la magnitud de la fuerza P requerida para mantener al collarín en equilibrio
cuando a) x = 4.5 in., b) x = 15 in.
122. Determine la distancia x para la cual el collarín se conserva en equilibrio cuando P =
48 lb.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 77
Cuerpos sometidos a más de tres fuerzas.
Ejemplo 1.38. Problema resuelto 2.6 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 39.
Problema resuelto 2.6 del Beer – Johnston. Décima Edición. Página 33.
Como parte del diseño de un nuevo velero, se desea determinar la fuerza de arrastre que
puede esperarse a cierta velocidad. Para hacerlo, se coloca un modelo del casco propuesto
en un canal de prueba y se usan tres cables para mantener su proa en el eje del centro del
canal. Las lecturas de los dinamómetros indican que para una velocidad dada la tensión es
de 40 lb en el cable AB y de 60 lb en el cable AE. Determine la fuerza de arrastre ejercida
sobre el casco y la tensión en el cable AC.
VER SOLUCIÓN.
Ejemplo 1.39. Problema 2.55 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 43.
Problema 2.53 del Beer – Johnston. Décima Edición. Página 37.
Se rescata a un marinero con una silla de contramaestre suspendida de una polea, la cual
rueda libremente sobre el cable de apoyo ACB y se jala a una velocidad constante mediante
el cable CD. Si se sabe que 30 y 10 , y que el peso combinado de la silla y el
individuo es de 900 N, determine la tensión a) en el cable de soporte ACB y b) en el cable
de tracción CD.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 78
VER SOLUCIÓN.
Ejemplo 1.40. Problema 2.56 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 43.
Problema 2.54 del Beer – Johnston. Décima Edición. Página 37.
Se rescata a un marinero con una silla de contramaestre suspendida de una polea, la cual
rueda libremente sobre el cable de apoyo ACB y se jala a una velocidad constante mediante
el cable CD. Si se sabe que 25 y 15 , y que la tensión en el cable CD es de 80 N,
determine a) el peso combinado de la silla y el individuo, y b) la tensión en el cable de
soporte ACB y b) en el cable de soporte ACB.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 79
VER SOLUCIÓN.
Ejercicios propuestos.
Las fuerzas P y Q se aplican al componente de una pieza de ensamble de avión como se
muestra en la figura.
Figura Problemas 123 y 124.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 80
123. [BJ] Si se sabe que P = 500 lb y Q = 650 lb y que la pieza de ensamble se encuentra en
equilibrio, determine las magnitudes de las fuerzas ejercidas sobre las varillas A y B.
124. [BJ] Si se sabe que la pieza de ensamble se encuentra en equilibrio y que las
magnitudes de las fuerzas ejercidas sobre las barras A y B son FA = 750 lb y FB = 400 lb,
determine las magnitudes de P y Q.
Una conexión soldada está en equilibrio bajo la acción de las cuatro fuerzas que se
muestran en la figura.
Figura Problemas 125 y 126.
125. [BJ] Si se sabe que FA = 8 kN y que FB = 16 kN, determine las magnitudes de las dos
fuerzas restantes.
126. [BJ] Si se sabe que FA = 5 kN y que FD = 6 kN, determine las magnitudes de las dos
fuerzas restantes.
En C se amarran dos cables y se cargan como se muestra en la figura.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 81
Figura Problemas 127 y 128.
127. [BJ] Si se sabe que Q = 60 lb determine la tensión a) en el cable AC y b) en el cable
BC.
128. [BJ] Determine el rango de valores de Q para los cuales la tensión no será mayor que
60 lb en cualquiera de los cables.
Una carga de 160 kg está sostenida por el arreglo de cuerdas y poleas que se muestra en la
figura.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 82
Figura Problemas 129 y 130.
129. [BJ] Si se sabe que 20 , determine la magnitud y la dirección de la fuerza P que
debe aplicarse en el extremo libre de la cuerda para mantener al sistema en equilibrio.
(Sugerencia: La tensión es la misma en ambos las de una cuerda que pasa por una polea
simple.)
130. [BJ] Si se sabe que 40 , determine a) el ángulo y b) la magnitud de la fuerza P
que debe aplicarse en el extremo libre de la cuerda para mantener al sistema en equilibrio.
La carga Q se aplica a la polea C, la cual puede rodar sobre el cable ACB. La polea se
sostiene en la posición mostrada en la figura mediante un segundo cable CAD, el cual pasa
a través de la polea A y sostiene una carga P.
Figura Problemas 131 y 132.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 83
131. [BJ] Si se sabe que P = 750 N, determine a) la tensión en el cable ACB, b) la magnitud
de la carga Q.
132. [BJ] Una carga Q de 1800 N se aplica a la polea C, determine a) la tensión en el cable
ACB, b) la magnitud de la carga P.
Sistemas que involucran resortes.
Ejemplo 1.41. Ejemplo 3.4 del Hibbeler. Décima Edición. Página 89. Ejemplo 3.4 del
Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 93.
Determine la longitud requerida para el cable de corriente alterna de la figura, de manera
que la lámpara de 8 kg esté suspendida en la posición que se muestra. La longitud no
deformada del resorte AB es m 4.0ABl , y el resorte tiene una rigidez de N/m 300ABk .
VER SOLUCIÓN.
Ejemplo 1.42. Problema 3.14 del Hibbeler. Décima Edición. Página 92. Problema 3.15
del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 96.
La longitud no alargada del resorte AB es de 3 m. Si el bloque se mantiene en la posición de
equilibrio mostrada, determine la masa del bloque en D.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 84
VER SOLUCIÓN.
Ejemplo 1.43. Problema 3.13 del Hibbeler. Décima Edición. Página 92. Problema 3.14
del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 96.
Determine el alargamiento en los resortes AC y AB cuando el bloque de 2 kg está en
equilibrio. Los resortes se muestran en la posición de equilibrio.
VER SOLUCIÓN.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 85
Ejemplo 1.44. Problema 2.57 del Beer – Johnston. Octava Edición. Página 43.
Una carga con peso de 400 N está suspendida de un resorte y dos cuerdas, las cuales se
unen a dos bloques de pesos 3W y W como se muestra en la figura. Si la constante del
resorte es de 800 N/m, determine a) el valor de W, b) la longitud sin estirar del resorte.
VER SOLUCIÓN.
Ejemplo 1.45. Problema 3.31 del Hibbeler. Décima Edición. Página 95. Problema 3.22
del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 97.
Una fuerza vertical P = 10 lb se aplica a los extremos de la cuerda AB de 2 pies y del
resorte AC. Si el resorte tiene una longitud no alargada de 2 pies, determine el ángulo
necesario para el equilibrio. Considere k = 15 lb/pie.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 86
VER SOLUCIÓN.
Ejercicios propuestos.
133. [RH] El resorte ABC tiene una rigidez de 500 N/m y longitud no alargada de 6 m.
Determine el desplazamiento d de la cuerda con respecto a la pared cuando se aplica una
fuerza F = 175N a la cuerda.
134. [RH] La lámpara de 10 lb está suspendida de dos resortes, cada uno con longitud no
alargada de 4 pies y rigidez k = 5 lb/pie. Determine el ángulo por equilibrio.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
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135. [RH] El resorte tiene una rigidez k = 800 N/m y una longitud no alargada de 200 mm.
Determine la fuerza en los cables BC y BD cuando el resorte se mantiene en la posición
mostrada.
136. [RH] Los resortes en el ensamble de cuerdas están originalmente sin estirar cuando
0 . Determine la tensión en cada cuerda cuando F = 90 lb. No tome en cuenta el
tamaño de las poleas localizadas en B y D.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 88
Figura Problemas 136 y 137.
Respuesta: T = 53.1 lb.
137. [RH] Los resortes en el ensamble de cuerdas están originalmente estirados 1 pie
cuando 0 . Determine la fuerza vertical F que debe aplicarse para que 30 .
Respuesta: F = 39.3 lb.
El peso de 10 lb se sostiene mediante la cuerda AC y el rodillo, así como por medio del
resorte.
Figura Problemas 139 y 140.
138. [RH] Si el resorte tiene una rigidez k = 10 lb/pulg y una longitud sin estirar de 12 pulg,
determine la distancia d a la que se ubica el peso cuando éste se encuentra en equilibrio.
Respuesta: d = 7.13 pulg.
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Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 89
139. [RH] Si el resorte tiene una longitud sin estirar de 8 pulg y el peso está en equilibrio
cuando d = 4 pulg, determine la rigidez k del resorte.
Respuesta: k = 6.80 lb/pulg.
140. [RH] Determine la longitud no alargada del resorte AC si una fuerza P = 80 lb genera
un ángulo 60 para la posición de equilibrio. La cuerda AB tiene 2 pies de longitud.
Considere k = 50 lb/pie.
Respuesta: l´ = 2.66 pies.
141. [BJ] Un bloque de peso W está suspendido de una cuerda de 25 in de largo y de dos
resortes cuyas longitudes sin estirar miden 22.5 in cada una. Si las constantes de los
resortes son kAB = 9 lb/in y kAD = 3 lb/in, determine a) la tensión en la cuerda, b) el peso del
bloque.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 90
El collarín A puede deslizarse sin fricción en una barra vertical y está conectado a un
resorte como indica la figura.
Figura Problemas 143 y 144.
142. [BJ] La constante del resorte es de 4 lb/in, y éste no se encuentra estirado cuando h =
12 in. Si el sistema está en equilibrio cuando h = 16 in determine el peso del collarín.
143. [BJ] El peso del collarín A es 9 lb y el resorte no está estirado cuando h = 12 in. Si la
constante del resorte es de 3 lb/in, determine el valor de h para el cual el sistema está en
equilibrio.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 91
BIBLIOGRAFÍA.
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México, S.A de C.V. México, 2004.
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México, S.A de C.V. México, 2010.
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Unidos. 2012.
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TÍTULOS DE LA SERIE PROBLEMAS RESUELTOS Y
PROPUESTOS DE MECÁNICA VECTORIAL (ESTÁTICA).
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano.
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OBRAS DEL MISMO AUTOR.
Serie Problemas Resueltos y Propuestos de:
- Electricidad (Física II).
- Química.
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- Cálculo Diferencial.
- Cálculo Integral.
- Cálculo Vectorial.
- Ecuaciones Diferenciales.
- Métodos Numéricos.
- Estadística.
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- Termodinámica Básica.
- Termodinámica Aplicada.
- Fenómenos de Transporte.