probleme de oscilatii

8/13/2019 Probleme de Oscilatii

1/8

Probleme de oscilaii mecanice

1. S se determine raportul frecvenelor proprii de vibraie 0 i 0 n cazul a doumolecule biatomice compuse din atomi de izotopi diferii, dac masele atomilor sunt

egale cu 1m , 2m i respectiv 1m i 2m .ezolvare!cuaia micrii oscilatorii armonice neamortizate este"

0d

d 202

2

=+ xt

x

n carem

k=0 este frecvena ung#iular proprie de vibraie a oscilatorului de mas mi

constant elastic k.Pentru o molecul biatomic micarea oscilatorie a celor doi atomi cu masele 1m i

2m

este ec#ivalent cu micarea unui singur oscilator cu masa

, cunoscut sub numele demas redus, care are valoarea"

21

21

mm

mm

+=

$a urmare, pentru cele dou molecule, pulsaiile proprii sunt"

k=0 %

= k

0

&eoarece atomii celor doi izotopi interacioneaz n acelai mod, se poate consideraegalitatea kk = i raportul pulsaiilor proprii ale celor dou molecule biatomice devine"

21

21

21

21

0

0

mm

mm

mm

mm

+

+

=

2. 'n corp av(nd masa )g1=m este at(rnat de captul unui fir ine*tensibil. Se

imprim pendulului o micare n plan vertical cu amplitudinea ung#iular+

= i

perioada s2

=T . S se calculeze" a viteza ma*im atins n timpul oscilaiei% b

raportul dintre energia cinetic i energia potenial n punctul de elongaie-

1

= .

S se scrie ecuaia de micare a pendulului i soluia acesteia.

+. 'n oscilator sinusoidal e*ecut o micare a crei elongaie este

m.+

1,0sin./

+= tx , n care timpul se msoar n secunde. S se determine" a

condiiile iniiale% b poziia, viteza i acceleraia oscilatorului la momentul de timps=t .

/. particul oscileaz sinusoidal cu perioada s2=T . a momentul iniial 0=t particula are viteza nul, iar la momentul s,0=t viteza este egal cu m3s . Sse scrie ecuaia de micare a particulei i legea de micare.

1


2/8

. 'n automobil are caroseria suspendat pe patru resorturi amortizoare, care npoziia de repaus a automobilului au fiecare deformaia liniar m104 2=l .5utomobilul se deplaseaz pe o strad al crui profil este asimilabil cu o sinusoid cu

perioada de 10 m. S se afle viteza critic a ve#iculului.ezolvare

a ec#ilibru greutatea caroseriei este egal cu fora elastic dezvoltat n resoarte"lkMg =

5stfel, perioada de oscilaie a resoartelor este"

g

l

k

MT

===

22

2

Strada acioneaz asupra resoartelor cu o for sinusoidal. &ac automobilul se deplaseazcu viteza v, perioada forei sinusoidale e*T este dat de relaia"

v

dT =e*

unde d6 10 m.

7iteza este critic la rezonan, atunci c(nd"e*TT=

&in aceast egalitate se obine"

g

l

v

d = 2 i

#

)m8,-+

2=

=

l

gdv

.

-. serie de e*periene efectuate cu un resort 5, suspendat i de mas negli9abil, audus la urmtoarele rezultate"

:asa at(rnatde captul liber

al resortului)g

5lungirearesortului

m

1 1/ +102 2; 210+ /+, 210/ 4 210

a S se afle care este perioada de oscilaie a corpului cu masa de 2 )g suspendat lae*tremitatea acestui resort.

b Se introduce ntre resortul 5 i corpul cu masa de 2 )g un al doilea resort 4,-8

102;

4,;225

=

=

=

= l

mg

l

Fk

deoarece alungirea l la ec#ilibru a resortului sub aciunea masei meste dat de ec#ilibruldintre fora elastic i greutatea corpului suspendat 0=+GF

2


3/8

Perioada de oscilaie a corpului de mas msuspendat de resort este dat de relaia"

s08,1225

=

==g

l

k

mT

b 5lungirea total a celor dou resorturi sub aciunea greutii gm este egal cu sumaalungirilor a celor dou resorturi"


4/8

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.00.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

T[

s]

m [kg]

8. 5cul unui galvanometru oscileaz n 9urul diviziunii zero. ?n dou oscilaii succesive

av(nd acelai sens, acul atinge diviziunile 1d i 2d , cu 21 dd > . &eterminaideviaia acului la cea de a n@a oscilaie. 5plicaie numeric" +01 =d , 242 =d ,10=n .

4. particul cu masa )g10 +=m se mic pe a*a A sub aciunea a dou fore"una elastic proporional cu elongaia yF 21 10/

= i cealalt o for de

amortizare proporional cu vitezat

yF

d

d102 22

= , ambele fore fiind e*primate n

neBton. Presupun(nd c la momentul iniial 0=t particula se afl n repaus npunctul m2,00 =y , s se determine legea de micare ( )ty a particulei.

;. 'n corp efectueaz o micare oscilatorie amortizat de@a lungul a*ei A. Perioadamicrii este s2=T , iar decrementul logaritmic este ,0= . Ctiind c la momentuliniial 0=t , 00 =y i m3s10 =v , s se determine" a legea de micare ( )ty % becuaia curbelor e*poneniale pe care se afl poziiile e*treme ale corpului.

10. S se determine decrementul logaritmic al unei micri oscilatorii amortizate pentrucare"a 5mplitudinea micrii se reduce la 9umtate dup fiecare perioad.

b 5mplitudinea micrii se reduce la100

1din amplitudinea iniial dup /+ de

perioade.c Dn ipoteza a s se calculeze diferena ntre perioada micrii amortizate i perioadamicrii fr amortizare.

ezolvarescilaiile unui punct material sunt n realitate amortizate din urmtorul motiv" dac

un punct material se afl n micare, atunci apar fore care se opun micrii i care tind s@lopreasc. astfel de for ia natere n urma frecrii cu mediul n care se produce micarea.$(nd punctul material se mic cu o vitez relativ mic ntr@un mediu rezistent, fora defr(nare este proporional n fiecare moment cu viteza punctului material. Pentru micri cu

viteze mari, fora de fr(nare depinde n alt mod de viteza punctului material.S considerm cazul c(nd fora de fr(nare este proporional cu viteza, adic"

vrF =E

/


5/8

n care reste o constant pozitiv de proporionalitate care se numete rezistena mediului.Semnul minus arat c EF este o for de fr(nare orientat n sens invers vitezei punctuluiaflat n micare. $onsider(nd micarea unidimensional, pe direcia *, fora de fr(naredevine"

t

xrFd

dE =

Prin urmare, presupunem c punctul material de mas mse mic sub aciunea forei

elastice xkF = i a forei de fr(naret

xrFd

dE = . !cuaia micrii va fi"

EFFam += adic

t

xrxk

t

xm

d

d

d

d2

2

=

sau

0

d

d

d

d2

2

=++ xkt

xr

t

xm

&ac notm"

2=m

r% 20=

m

k

ecuaia micrii devine"

0d

d2

d

d 202

2

=++ xt

x

t

x

&ac 0202


6/8

=

=

== 1

1

12112

112

2

0

0022

00

0

TTT

11. 'n corp de mas g20=m e*ecut o micare oscilatorie amortizat cu factorul de

amortizare @1s84,0= . Perioada oscilaiilor neamortizate este s+

20 =T .

scilaiile corpului devin forate ca urmare a aciunii unei fore periodice de forma"tF 2sin1,0= >. S se scrie ecuaia oscilaiilor forate.

12. 'n resort sub form de spiral este plasat ntr@un lic#id. a e*tremitatea sa este fi*atun corp cu masa )g1=m i se constat c la ec#ilibru resortul se alungete cu 0,2m. Pun(nd corpul n micare pe vertical se constat c dup 10 oscilaii completeamplitudinea de oscilaie s@a redus la 0,1 din valoarea sa iniial. S se determineamplitudinea oscilaiilor corpului supus aciunii unei fore sinusoidale a crei valoarema*im este 1 > i a crei frecven este egal cu cea de rezonan.

ezolvareDn acest caz ecuaia diferenial a micrii oscilatorii ntreinute este"

tm

Fx

t

x

t

x1

2

02

2

sind

d2

d

d =++

n carem

r

2= i

m

k=20 .

Soluia acestei ecuaii este"( ) ( ) ( )

11

@ sinsine +++= tBtAtx t

unde22

0 =

.&up un interval de timp destul de lung de la nceputul micrii, 0e@ t i primul termenal soluiei ecuaiei devine negli9abil, a9ung(ndu@se la un regim permanent descris de ecuaia"

( ) ( )11sin += tBtx

?mpun(nd condiia ca aceast e*presie s fie o soluie a ecuaiei difereniale a micrii,rezult c"

( ) 21

222

1

2

0 / +=

m

FB

Dn cazul de fa, la rezonan 01 = , astfel c"

02 m

F

B =

$onstanta de elasticitate a resortului se obine din condiia de ec#ilibru" lkmg = , adic"

m

>/;

2,0

4,;1=

=

=

l

mgk

iar pulsaia proprie a corpului este"

s

rad8

0 ==m

k

&ecrementul logaritmic al micrii este"

10ln10e

lnln010@

10

0

0

==== TA

A

A

AT

astfel c"

-


7/8

2-,010

10ln

210

10ln 0

0

===

T

Dnlocuind n e*presia amplitudiniiBa oscilaiilor corpului supus aciunii forei sinusoidale seobine"

m24,082-,012

1

==B .

1+. 5supra unui corp de mas )g2=m legat de un resort caracterizat prin constanta deelasticitate >3m+2=k acioneaz o for e*terioar constant >2=F . S se scrielegea de micare a oscilaiilor ntreinute ( )ty , tiind condiiile iniiale" 0=t ,00 =y , 00 =v .

1/. 'n sistem mecanic care e*ecut o micare oscilatorie ntreinut se numeterezonator, iar sistemul care imprim fora periodic se numete e*citator.a S se scrie e*presia puterii medii absorbite de rezonator de la e*citator n regim de

rezonan.b S se afle valoarea ma*im a puterii medii absorbite de rezonator n cazul n careamplitudinea forei sinusoidale e*citatoare este F 6 10 >, iar viteza ma*im a

rezonatorului estes

m1=v .

ezolvarea S considerm cazul cel mai frecvent nt(lnit n practic, cel n care rezonatorul esteamortizat de o for proporional cu viteza acestuia. !cuaia diferenial a micriirezonatorului va fi"

tFxkt

xr

t

xm 12

2

sind

d

d

d=++

5ceast ecuaie mai poate fi scris sub forma"

tFtvkvrt

vm 1sindd

d=++

$um n regim permanent vezi problema 20 micarea este sinusoidal i de pulsaie 1 ,viteza instantanee n condiia de rezonan se poate scrie"

( ) = tVv1

sin

&e aici rezult.

( )

+=

+==

2sin

2sincos

d

d111111 tVtVtV

t

v

i( )

+=

+===

2sin

2sincosd 1

1

1

1

1

1

tV

tV

tV

tvx

?ntroduc(nd aceste e*presii n ecuaia micrii rezonatorului se poate afla defaza9ul dintrevitez i fora e*terioar periodic, precum i valoarea ma*im 7 a vitezei rezonatorului.valoarea medie a puterii absorbite de rezonator de la e*citator este dat de relaia"

=T

tvfT

P0

d1

unde tFf 1sin= este valoarea instantanee a forei e*citatoare, iar v este vitezainstantanee a rezonatorului. Prin urmare"

( ) ( ) ttVtFT

PT

dsinsin1

1

0

1 =

8


8/8

Fransform(nd produsul de sinusuri n diferen de cosinusuri, obinem"

=

=TT

VFt

t

T

VFt

T

VFP

0

1

0

cos2

d2

2cosdcos

2

1

b 7aloarea ma*im a puterii medii absorbite de rezonator se obine pentru un defaza9 0=

i este"VFP =

2

1ma*

i valoarea sa numeric este" G1102

1ma* ==P .

1. 'n corp av(nd masa g100=m este legat de un resort i se deplaseaz pe un planorizontal fr frecare. a distana cm11 =x fa de poziia de ec#ilibru fora dinresort are valoarea >01,01 =F . Se introduce sistemul corp@resort ntr@un lic#id ncare fora de frecare este proporional cu viteza. a viteza cm3s1=v fora defrecare are valoarea m>/=frF . S se calculeze pulsaia micrii oscilatorii nlic#id i decrementul logaritmic.

1-. 'n corp cu masa g100=m at(rn de un resort. &ac este tras n 9os cu 10 cm fade poziia de ec#ilibru i este lsat liber, corpul oscileaz cu perioada s2=T . a$alculai viteza cu care corpul trece prin poziia de ec#ilibru% b calculai constantaelastic a resortului.

18. for de -0 > alungete un resort cu +0 cm. &e resort se at(rn un corp cu masa)g/=m care a9unge n ec#ilibru. $orpul este apoi tras n 9os cu 10 cm i este lsat

liber. S se calculeze" a perioada micrii% b energia total a sistemului% c ce for

e*ercit resortul asupra corpului, atunci c(nd acesta se afl la + cm sub poziia deec#ilibru, mic(ndu@se n sus=

14. 'n corp de mas g20=m e*ecut o micare oscilatorie amortizat cu factorul deamortizare @1s8,0= . Perioada oscilaiilor neamortizate este s20 =T . S secalculeze" a pulsaiile micrilor neamortizat i amortizat% b constanta elastic aresortului% decrementul logaritmic% d scriei ecuaia de micare i legea de micare

pentru aceast micare oscilatorie amortizat.

4

probleme de oscilatii

Documents