probleme trigonometrie
TRANSCRIPT
7/24/2019 Probleme trigonometrie
http://slidepdf.com/reader/full/probleme-trigonometrie 1/31
Vom deduce valorile sin2x, cos2x, tg2x, apoi ca aplicatie valorile sin3x,cos3x.
sin2x = 2sinx×cosx , (') x I R
a.i. cosx ¹ , cos2x
!vem urmatoarele "ormule#
Demonstratie
sin2x = sin(x$x) = sinx×cosx $ sinx×cosx = 2sinx×cosx
(am aplicat "ormula sin(a$%) = sina×cos% $ sin%×cosa, inlocuind a = % = x )
cos2x = cos(x$x) = cosx×cosx & sinx×sinx = cos2x sin2x
(am aplicat "ormula cos(a$%) = cosa×cos% & sin%×sina, inlocuind a = % = x )
cos2x = cos2x sin2x = cos2x (&cos2x) = 2×cos2x & sau
cos2x = cos2x sin2x = sin2x sin2x = 2 sin2x
tg2x = tg(x$x) =
(am aplicat "ormula tg(a$%) = )
Aplicatii
7/24/2019 Probleme trigonometrie
http://slidepdf.com/reader/full/probleme-trigonometrie 2/31
sin3x = sinx×(3 & sin2x) , (') x I R
cos3x = cosx×(cos2x 3) , (') x I
Vom deduce prima "ormula, pentru cea de&a doua procedandu&se analog.
sin3x = sin(2x$x) = sin2x×cosx $ sinx×cos2x = 2sinx×cos2x $ sinx( 2sin2x) = 2sinx×( sin2x) $ sinx 2sin3x = 3sinx sin3x = sinx×(3 sin2x).
*in "ormula cos2x = 2sin2x, deducem , (') x I R,
iar din "ormula cos 2x = 2cos2x , decucem , (') x I R.
!ceste doua ultime "ormule se mai numesc "ormule de liniari+are siele sunt utile in aplicatii intrucat permit trecerea de la patrate de "unctiitrigonometrice la "unctii trigonometrice la puterea intai, insa avandargumentul du%lu.
In multe aplicatii sunt utile si "ormulele#
care sunt deduse imediat din "ormullele ceexprima sin3x, respectiv cos3x.
2. Probleme rezolvate
) *emonstrati identitatile trigonometrice#
a) (cos a $ cos %)2 $ (sin a $ sin %)2 =
7/24/2019 Probleme trigonometrie
http://slidepdf.com/reader/full/probleme-trigonometrie 3/31
c) (cos a & cos %)2 $ (sin a & sin %)2 =
%) (cos a $ cos 2a)×(2cos a ) = cos 3a $
Rezolvare
Vom veri"ica %), a) si c) veri"icandu&se analog.
(cos a & cos %)2 $ (sin a & sin %)2 = cos2a $ cos2% 2cos a×cos % $ sin2a $sin2% 2sin a×sin % =
= 2 2(cos a×cos % $ sina×sin %) = 2 & 2cos(a&%) = 2 cos(a&%)- =
2) *emonstrati ca#
Rezolvare#
olosim "ormula
7/24/2019 Probleme trigonometrie
http://slidepdf.com/reader/full/probleme-trigonometrie 4/31
3) /a se arate ca#
cos0×cos00×cos2×cos1 = , demonstrand mai intai
×cos a×cos(0
& a)×cos(0
$ a) = cos 3aRezolvare :
×cos a×cos(0 & a)×cos(0 $ a)=×cos a×(cos0×cos a $sin0×sin a)×( cos0×cos a & sin0×sin a)=
In identitatea veri"icata inlocuim a = 0 si a = si o%tinem#
cos0×cos×cos00 = cos cos×cos2×cos1 =cos
Inmultind mem%ru cu mem%ru cele doua egalitati o%tinem re+ultatul dorit.
) *emonstrati ca
Re+olvare#
Impartim prin
4vident alegem numai solutia po+itiva, intrucat
7/24/2019 Probleme trigonometrie
http://slidepdf.com/reader/full/probleme-trigonometrie 5/31
) *emonstrati identitatea#
Re+olvare#
5em%rul stang se scrie ast"el#
1) 6alculati valoarea produsului 7 = cosx×cos2x×cos22x×8.cos2nx.
Re+olvare#
6alculam
Observatie
Retineti modalitatea de calcul a acestui produs de cosinusuri in careargumentele "ormea+a o progresie geometrica. 7entru calculul sau, a "ostnecesar un 9%o%arnac: acesta "iind sinx, cu care am inmultit egalitatea,"actorii din mem%rul drept 9consumandu&se: doi cate doi pe %a+a "ormulei
sin a×cosa= ×sin2a
) a) *emonstrati identitatea trigonometrica
7/24/2019 Probleme trigonometrie
http://slidepdf.com/reader/full/probleme-trigonometrie 6/31
%) *educeti valoarea produsului#
Rezolvare#
3. Probleme propuse
) *emonstrati identitatile trigonometrice#
a) sin 0x = 2sin x×cosx sin
x c)
%) cos 0x = 2cos x×cos x cos x
2) /a se arate ca#
a) e) sin(a $ %)×sin c $ sin(% c)×sin a = sin(a $ c)×sin %
%) cos2 (x $ ;) cos2(x ;) $ sin 2x×sin 2; = ") sin(a $ %)×cosc cos(% c)×sin a = cos(a $ c)×sin %
c) sin2(x $ ;) $ sin2(x ;)-×cos2(x $ ;) $ cos2(x ;)- = cos2 2x×cos2 2;
d) ( $ tgx)
2
$ ( $ ctgx)
2
= × g) (sin 2a $ sin a)
2
$(cos 2a $ cos a)2 = ×cos2 a
3) *emonstrati identitatile#
7/24/2019 Probleme trigonometrie
http://slidepdf.com/reader/full/probleme-trigonometrie 7/31
) *emonstrati ca#
a) cos2 2x $ cos2 (x ;) & 2×cos(x ;)×cos(x $ ;)×cos 2x = sin2 x $ sin2 ; $2sin x×sin ;×cos(x $ ;) , (') x, ; I R
%) cos x < , (') x I (, p)
c) sin(x $ ;)×sin(; $ +)×sin(+ $ x) sin 2x×sin 2;×sin 2+, (') x, ;, +, I , -
) 6alculati#
0) 6alculati produsul#
4xprimarea "unctiilor trigonometrice in "unctie de tangenta arcului pe >umatate
unctiile trigonometrice sin, cos, tg, ctg se exprima rational in"unctie de tangenta semiung?iului dupa urmatoarele "ormule#
7/24/2019 Probleme trigonometrie
http://slidepdf.com/reader/full/probleme-trigonometrie 8/31
, cos
*emonstram primele doua egalitati#
7ro%leme re+olvate
) *eterminati imaginea "unctiei " # R @ R, "(x) = a sin x $ % cos x A a, % I R.
R. Botam si atunci "unctia " in varia%ila t este "(t) = .
Botam "(t) = ; si o%tinem 2at $ % %t2 = ; $ ; t2 sau (%$;)×t2 2at % $ ; =, care este o ecuatie de gradul al doilea in varia%ila t. Intrucat t I R seimpune conditia * C sau a2 (;2 %2) C .
*eci
2) *aca tg a = 2, calculati sin a si cos a.
R. 6alculam si
7/24/2019 Probleme trigonometrie
http://slidepdf.com/reader/full/probleme-trigonometrie 9/31
!nalog pentru cos a.
5. Transformarea sumei !iferentei" !e functii trigonometrice in pro!us.
!u loc urmatoarele identitati#
*emonstratie#
sin(a$%) = sin a×cos % $ sin %×cos a sin(a&%) = sin a×cos % sin %×cos a
Botam a$% = x A a&% = ; , re+ulta .
!dunam primele egalitati mem%ru cu mem%ru si
o%tinem#
7entru ; @ &; re+ulta, tinand cont de imparitatea
sinusului#
7entru celelalte doua identitati "olosim#
cos(a$%) = cos a×cos % sin a×sin % cos(a&%) = cos a×cos % $ sin a×sin%
si cu aceleasi notatii, adunand si sca+and egalitatile mem%ru cu mem%ruo%tinem re+ultatele anuntate.
7/24/2019 Probleme trigonometrie
http://slidepdf.com/reader/full/probleme-trigonometrie 10/31
D%servatie
*educeti "ormulele#
#. Transformarea pro!uselor !e functii trigonometrice in sume.
!u loc urmatoarele identitati#
olosind "ormulele deduse anterior si calculand mem%rul drept, sau"olosind "ormulele ce dau "unctiile trigonometrice ale sumei sau di"erentei(tot calcul in mem%rul drept) o%tinem re+ultatele anuntate.
1. 7ro%leme re+olvate
) 6alculati
R.
2) *emonstrati identitatile#
7/24/2019 Probleme trigonometrie
http://slidepdf.com/reader/full/probleme-trigonometrie 11/31
Rezolvare
a)
%)
c)
3) /impli"icati "ractiile#
7/24/2019 Probleme trigonometrie
http://slidepdf.com/reader/full/probleme-trigonometrie 12/31
A
R.
) *emonstrati ca#
a) , (') x, ; I , p- %)(') x, ; I , pE2-
Rezolvare:
a) Inegalitatea propusa este ec?ivalenta cu
, am%ii "actori "iind po+itivi, deci inegalitatease veri"ica.
!nalog se veri"ica si cea de&a doua.
!ceste inegalitati sunt de tip Fensen pentru "unctiile sinus si cosinus,restrictionate la ,p-, respectiv , pE2-.
) *emonstrati ca#
7/24/2019 Probleme trigonometrie
http://slidepdf.com/reader/full/probleme-trigonometrie 13/31
9n: radicali (') n I BG
R. Botam , n IBG
x=
*emonstram prin inductie ca
7(n) # xn = , n I BG
D%servam ca , (') n I B, n C 2.
7() este o propo+itie adevarata.
7resupunem 7(H) adevarata ( ) si demonstram ca 7(H$) esteadevarata, deci ca
. *ar
inand cont ca xH J , o%tinem , deci 7(H$) este adevarata.
0) 6alculati urmatoarele sume#
a) / = sin x $ sin 2x $ 8.$ sin
nxA c) /3 =
%) /2 = cos x $ cos 2x $ 8.$ cos nxA
Rezolvare:
7/24/2019 Probleme trigonometrie
http://slidepdf.com/reader/full/probleme-trigonometrie 14/31
D%servam in ca+ul primelor doua sume ca argumentele "unctiilor trigonometrice (sinus si cosinus) "ormea+a o progresie aritmetica de ratie r = x.
7entru a le calcula, inmultim am%ii mem%ri cu (in general cu ).
6alculam /, pentru ca /2 se calculea+a in mod asemanator.
c) Vom demonstra mai intai identitatea# (G)
5em%rul drept se scrie succesiv #
6on"orm (G), /3 = (ctg x ctg 2x) $ (ctg 2x ctg22x) $8..$(ctg2n&x ctg2nx)= ctg x ctg2nx.
1) demonstrati ca daca a $ %$ c = , atunci
Rezolvare:
, deci sin a = cos(%$c) si inegalitatea se scrie#
7/24/2019 Probleme trigonometrie
http://slidepdf.com/reader/full/probleme-trigonometrie 15/31
care este evidenta.
8.Probleme propuse
) 6alculati, scriind re+ultatul su% "orma de produs# a) sin $ sin 1A
%) cos 1
$ cos.
2) Veri"icati identitatile#
3) /a se preci+e+e semnul numerelor#
a) sin $ sin A %) cos 2 $ cos
A c))
a) *aca x = ;$+, sa se arate ca# tg x $ ctg ; $ ctg + = tgx×ctg;×ctg+
%) *aca x$;$+ = p, sa se arate ca# tg x $ tg ; $ tg + = tg x×tg ;×tg+
7/24/2019 Probleme trigonometrie
http://slidepdf.com/reader/full/probleme-trigonometrie 16/31
c) *aca x$;$+= 2p , sa se arate ca# sin x $ sin ; $ sin + =
) *emonstrati ca#
cos2x cos2; cos2+ $ 2cosx×cos;×cos+ =
(') x, ;, + I R.
0) 6alculati produsul#
1) 6alculati urmatoarele sume#
a) /= %) /2 = cos x $ cos 3x $ cos x$ 8.$cos(2n&)x.
) *emonstrati identitatile#
a) %)
sin2×sin×sin0×sin =
$olutii probleme2.3
7/24/2019 Probleme trigonometrie
http://slidepdf.com/reader/full/probleme-trigonometrie 17/31
4xpresia devine
Inegalitatea de demonsrat este#
7/24/2019 Probleme trigonometrie
http://slidepdf.com/reader/full/probleme-trigonometrie 18/31
care este adevarata.
$olutii probleme propuse2.5
7/24/2019 Probleme trigonometrie
http://slidepdf.com/reader/full/probleme-trigonometrie 19/31
$olutii probleme propuse2.%
) a) 4xpresia este egala cu
%) 4xpresia devine# , etc8
2) 5em%rul stang al egalitatii este#
3) a) tg×tgK= tg×ctg = =J tg2×tg = tg2×ctg2 = =J tg×tg0 = tg×tg = =J tg =
%) 5em%rul stang este# , iar mem%rul drept este#
$olutii probleme propuse3.3
) sin = sin( 3) = sin×cos3
sin3×cos = , analog celelalte.
2) sin = sin(K $ ) = cos(K K ) = cos, etc8
7/24/2019 Probleme trigonometrie
http://slidepdf.com/reader/full/probleme-trigonometrie 20/31
3) a) sin(a$%)×sin(a&%)= (sina×cos% $ sin%×cosa)(sina×cos% & sin%×cosa)=sin2a×cos2% sin2%×cos2a = =sin2a(&sin2%) sin2%(&sin2a) = sin2a sin2a×sin2% sin2% $ sin2a×sin2% = sin2a sin2%
%) !nalog cu a)
a $ % este in cadranul II, deci a$% =
a, %, g sunt in cadranul I si toate mai mici decat pE (>usti"icati)
*eoarece tg(a$%$g) J , re+ulta ca a$%$g I (, pE2) sau a$%$g I (p, 3pE2),ultima incadrare ne"iind posi%ila. Ramane a$%$g = pE
7/24/2019 Probleme trigonometrie
http://slidepdf.com/reader/full/probleme-trigonometrie 21/31
) 5em%rul drept al egalitatii se scrie succesiv#
(In demonstratie am "olosit , care se pre+intamai tar+iu, dar care se poate deduce si cu "ormulele utili+ate pana la acestmoment)
K) cosx×sin(;&+) = cox(sin;×cos+ & sin+×cos;) = cosx×sin;×cos+ &cosx×sin+×cos;
cos;×sin(+&x) = cos;×sin+×cosx & cos;×sinx×cos+
cos+×sin(x&;) = co+×sinx×cos; & cos+×sin;×cosx 7rin adunare seo%tine .
7/24/2019 Probleme trigonometrie
http://slidepdf.com/reader/full/probleme-trigonometrie 22/31
) a) 5em%rul stang este#
%) 5em%rul stang este#
c) 5em%rul stang este#
d) 5em%rul stang este#
) /e poate "olosi si gasim
$olutii probleme propuse3
) a) sin 0x = 2sin x×cos x sin x L sin(x $ x) = 2sin x×cos x sin
x L sin x×cosx $ sinx×cos x & 2sin x×cos x = &sin x L sin x×cos x =sin x×cos x $ sin x L sin x×cos x sin x×cos x =
= sin x L sin(x x) = sin x, evident.
%) !nalog cu a).
7/24/2019 Probleme trigonometrie
http://slidepdf.com/reader/full/probleme-trigonometrie 23/31
c) 5em%rul stang se scrie succesiv#
2) a)
5em%rul stang va "i#
%) cos2(x $ ;) cos2(x ;) $ sin 2x×sin 2;=
c) 5em%rul stang este#
7/24/2019 Probleme trigonometrie
http://slidepdf.com/reader/full/probleme-trigonometrie 24/31
d)
e) sin(a $ %)×sin c $ sin(% c)×sin a = sin a×cos %×sin c $sin %×cos a×sin c$ sin %×cos c×sin a sin c×cos %×sin a = sin %(sin a×cos c $ sin c×cos a) =sin %×sin (a$c).
") !nalog ca e)
g) (sin 2a $ sin a)2 $ (cos 2a $ cos a)2 = sin2 2a $ cos2 2a $ sin2 a $cos2 a $ 2(sin a.sin 2a $ cos a×cos 2a) = 2 $ 2cos(a 2a) = 2 $2cos 2a = 2($cos 2a) = ×cos2 a.
3) a)
7/24/2019 Probleme trigonometrie
http://slidepdf.com/reader/full/probleme-trigonometrie 25/31
%)
c) Ve+i exercitiul re+olvat nr. 1
d) 7 = cos 2×cos ×cos 0×cos
e) , ") se "ac calcule in mem%rul stang.
g)
) a) 5em%rul stang se scrie ast"el#
cos2 2x 2cos 2x×cos(x&;)×cos(x$;) $ cos2 (x&;)×cos2(x$;) $ cos2 (x&;) cos2 (x&;)×cos2(x$;)=
7/24/2019 Probleme trigonometrie
http://slidepdf.com/reader/full/probleme-trigonometrie 26/31
= cos2x cos(x&;)×cos(x$;)-2 $ cos2 (x&;)×sin2(x$;) = cos 2x (cosx×cos ; $ sin x×sin;)×(cos x×cos; sin x×sin ;)-2 $ cos2(x&;)×sin2(x$;)=(cos 2x cos2 x×cos2 ; $ sin2 x×sin2 ;)2$ cos2(x&;)×sin2(x$;)= (cos2 x cos2x× cos2; $ sin2x×sin2; sin2 x)2$ cos2(x&;)×sin2 (x$;) = (cos2 x×sin2;
& sin2 x×cos2 ;)2 $ cos2 (x&;)×sin2 (x$;) = (sin x×cos ; sin ;×cos x)2×(sinx×cos ; $ sin ;×cos x)2$
$ cos2(x&;)×sin2(x$;) = sin2 (x&;)×sin2 (x$;) $ cos2 (x&;)×sin2 (x$;) =sin2 (x$;).
5em%rul drept este#
sin2 x $ 2sin x×sin ;×cos (x$;) $ sin2 ;×cos2 (x$;) sin2 ;×cos2 (x$;) $sin2 ; =
= sin x $ sin ;×cos(x$;)-2 $ sin2 ;×sin2 (x$;) = (sin x $ sin ;×cos ; sin2 ;×sin x)2 $ sin2;×sin2(x$;)= (sin x×cos2 ; $ sin ;×cos x×cos ;)2 $sin2 ;×sin2 (x$;) = cos2 +(sin x×cos ;
$ sin ;×cos x)2 $ sin2 ;×sin2 (x$;) = cos2 ;×sin2 (x$;) $ sin2 ;×sin2 (x$;) =sin2 (x$;).
%) Inegalitatea este ec?ivalenta cu#
care este adevarata in conditiile pro%lemei
) Ve+i exercitiul re+olvat nr.
0) , api se
procedea+a ca la exercitiul re+olvat nr. 0. /e gaseste
$olutii probleme propuse%
7/24/2019 Probleme trigonometrie
http://slidepdf.com/reader/full/probleme-trigonometrie 27/31
) a) sin $ sin1 =
%) !nalog a)
2) a)
%)
3)
7/24/2019 Probleme trigonometrie
http://slidepdf.com/reader/full/probleme-trigonometrie 29/31
) 5em%rul stang este#
0)
7/24/2019 Probleme trigonometrie
http://slidepdf.com/reader/full/probleme-trigonometrie 30/31
1) a) /e cauta o descompunere a termenului general de tipul "(H) "(H$).
In acest sens, veri"icam identitatea#
sumand egalitatea,
o%tinem #
%) Ve+i exercitiul re+olvat nr. 0)