problèmes de graphes et protection de la biodiversité...
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Journée Optimisation dans les Réseaux
19 juin 2015
Problèmes de graphes
et protection de la biodiversité :
quelques exemples
Alain Billionnet
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2
Développement durable
« Développement qui répond aux besoins du présent sans
compromettre la capacité des générations futures à répondre
aux leurs »
Rapport de la commission des nations unies sur l’environnement et le
développement (1987)
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3
Finalités du développement durable
Lutte contre le changement climatique
Préservation de la biodiversité
Cohésion sociale et solidarité entre les
territoires et les générations
Épanouissement de tous les êtres humains
Développement suivant des modes de
production et de consommation responsables
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4
Biodiversité (JORF 2009)
Diversité des organismes vivants, qui s'apprécie
en considérant la diversité des espèces, celle des
gènes au sein de chaque espèce, ainsi que
l'organisation et la répartition des écosystèmes
Stopper la perte de biodiversité :
un des grands défis auxquels la communauté
internationale est confrontée
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5
Modèles et méthodes d’optimisation
↓ Outils d’aide à la décision pour
la protection de la biodiversité
Réserves naturelles
Fragmentation des paysages
Diversité phylogénétique
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6
I
Réserves naturelles
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7
De nombreux pays ont élaboré des stratégies
pour stopper la perte de biodiversité
Aires protégées (ou réserves naturelles) :
contribution décisive à ces stratégies
Protection directe des éléments de la
biodiversité risquant de disparaître
→ Avenir garanti pour chaque espèce
ou habitat menacé
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8
Ressources limitées
pour protéger ou restaurer les zones concernées
investir de façon efficace
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9
I.1
Sélection de réserves naturelles :
problème de base et variantes
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10
Données
Parcelles (patchs, taches, ilôts) : P1, P2, …, Pn
Espèces à protéger : e1, e2,…, em
On connaît Sk : parcelles permettant de protéger ek
(une parcelle de Sk sélectionnée ek protégée)
Problème
Sélectionner un nombre minimal de parcelles
permettant de protéger toutes les espèces considérées
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Formulation par un programme linéaire en 0-1
(problème de recouvrement)
1ix parcelle Pi sélectionnée
n
kSi i
n
i i
x
x
x
k
1,0
e espèce1 s.c.
min1
Autre objectif :
n
i ii xc1
min
parcelles contenant ek
coût associé à Pi
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Une variante : richesse spécifique
Maximiser le nombre d’espèces protégées
1,0,1,0
e espèce
s.c.
max
1
1
ki
n
iii
Sikik
m
kk
yx
Bxc
xy
y
k
Contrainte
budgétaire
yk = 1 ssi au moins
une des parcelles
retenues protége ek
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Nombreuses variantes du problème
dans la littérature de la conservation biologique :
Nombre ou coût des parcelles protégées, nombre
d’espèces protégées, connexité des parcelles retenues,
compacité des parcelles retenues, aspect probabiliste, …
fragmentée connexe compacte
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I.II
Sélection d’une
réserve connexe et compacte
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Connexité et compacité :
Augmentation des chances de survies des espèces
Déplacements facilités (migration, fuite, nourriture)
Augmentation de la transmission des gènes
Diminution des effets de bordure (détérioration de l’habitat)
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Espèces : me,...,e,e 21
Zone étudiée : matrice de nm parcelles carrées
Effectif de l’espèce ek dans la parcelle Pij : aijk
Une espèce ek est protégée si sa population dans la
réserve est supérieure ou égale à bk
Parcelles adjacentes un côté commun
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Connexité
Mouvement possible entre 2 parcelles quelconques
de la réserve sans quitter la réserve
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Mesures possibles de la compacité
Distance entre les 2 parcelles les plus éloignées
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Périmètre total de la réserve
Aire totale de la réserve
jin
i
n
ij ijn
i ii xxlxl
1
1 112
n
i ii xa1
longueur frontière
commune Pi / Pj
P2
P1
P3
périmètre de Pi
aire de Pi
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Rayon du plus petit cercle contenant la réserve
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Critère retenu
dijkl : distance minimale à parcourir pour relier Pij
et Pkl sans quitter la réserve R
parcelle de R : RP:max)P( klijklij de
Compacité :
RP:)P(min ijije
7)P( 56 e
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Problème : trouver un ensemble de parcelles qui
protègent un nombre maximal d’espèces et qui
respectent les contraintes :
de budget
de connexité
de compacité : re ijij
RéserveP:)P(min
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Un graphe connexe ),( EXG
),( yxd longueur de la chaîne de longueur minimale
reliant x et y
Écartement de x : Xyyxdxe :),(max)(
Centre de G : sommet 0x d’écartement minimal
Rayon de G : écartement de 0x
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24
Formulation en termes de graphes
Ensemble des parcelles graphe ),( EXG
Sommets : parcelles
Arêtes : { klij P,P } ssi ijP et klP sont adjacentes
1,1 1,2 1,3 1,4
2,1 2,2 2,3 2,4
3,1 3,2 3,3 3,4
4,1 4,2 4,3 4,4
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Problème : trouver XS tel que
- sous-graphe induit par S connexe
- de coût ≤ B
- qui protège le plus grand nombre d’espèces
- de rayon ≤ r
qui admet un arbre couvrant de hauteur ≤ r
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26
1,1 1,2 1,3 1,4
1,1 1,2 1,3
2,1 2,2 2,3 2,4
2,2 2,3
3,1 3,2 3,3 3,4
3,2 3,3 3,4
4,1 4,2 4,3 4,4
4,3
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Modélisation par un PL en variables 0-1
Variables booléennes
xijh = 1 ssi parcelle Pij retenue au niveau h de l’arbre
( chaîne de longueur 1 h entre la racine et Pij)
1…............
2…....................
3…............................
4…...............................
5…....................
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28
1,0,,
)(rayon compacitéet connexité de ont.C
espèce
),( parcelle
s.c.
max
parcelle),(
1
1
parcelle),(
espèce
kijhij
jikkijijk
r
h ijhij
jiijij
kk
yxw
r
kybwa
jixw
Bwc
y
wij = 1 ssi Pij retenue
yk = 1 ssi ek protégée
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29
Connexité et compacité
ijkl
ij
hxx
x
ijhlkijh
ij
P à adjacente P1,,
parcelleP1
2,P parcelle
1
Une parcelle est choisie
comme racine
budgétaire
Pij affectée au niveau h
au moins une parcelle adjacente
affectée au niveau h-1
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30
Connexité des parcelles extérieures à la réserve
))1(1(
12 P2
P
E
ijE
ij
ijij
xEx
E1 : ens. de parcelles « isolantes »
E2 : ens. de parcelles « isolées » par les parcelles de E1
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31
Conclusion
Approche efficace pour 100 espèces et 400 parcelles
Connexité : problème classique (difficile) de graphes
Définition réaliste de la compacité ne compliquant
pas la formulation de la connexité
Prise en compte de la connexité à l’extérieur de la
réserve
Une façon de traiter le problème
Parcelles candidates : pas obligatoirement une grille
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32
II
Fragmentation des
paysages
Corridors biologiques
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33
Développement urbain et agricole
exploitation des forêts
Fragmentation des paysages
Les espèces ne peuvent se déplacer
comme elles le devraient
Diminution de la biodiversité
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34
Matw (Wikipedia allemand)
Massifs boisés non connectés
Nombreux invertébrés isolés dans les boisements
Sangliers et cervidés peuvent encore circuler
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35
Rufus46 (GFDL)
Boisements relativement connectés
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36
Ligne TGV avec une double clôture
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37
Senet (personal work)
Tunnel et viaduc : beaucoup moins fragmentant
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38
Corridors biologiques : la trame verte et bleue
Mesure phare du Grenelle Environnement
« Porte l’ambition d’enrayer le déclin de la biodiversité
au travers de la préservation et de la restauration des
continuités écologiques »
(Ministère de l’écologie, du développement durable et de l’énergie)
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39
Les corridors biologiques
« Chemins » empruntés par les espèces animales
pour se déplacer, se reproduire, fuir, migrer, etc.
Essentiels au développement des différentes
espèces et donc à la biodiversité
Dépendent des espèces
Restauration des réseaux de corridors : une des
grandes stratégies de protection des espèces
menacées par la fragmentation de leur habitat
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40
Bruno Robert (Œuvre personnelle)
Les anciennes voies ferrées peuvent avoir des fonctions de
corridors jusque dans les zones urbaines et industrielles
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41
Un premier problème :
Restauration optimale
de parcelles pour connecter un
ensemble de réserves
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42
Zone étudiée : ensemble de parcelles disjointes
Plusieurs états possibles pour chaque parcelle
Irrémédiablement
dégradée
Hautement
dégradée
Partiellement
dégradée Restaurée
Ensemble de réserves (sous-ensemble connexe de
parcelles) = zones d’habitat de certaines espèces
Parcelles adjacentes : un côté commun
Problème : Parcelles à restaurer pour relier entre elles
toutes les réserves, au moindre coût ?
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43
Parcelle habitat intégrée à une réserve
Parcelle habitat non intégrée à une réserve
Parcelle non habitat
R1
R2
R3
R5
R4
R6
R7
Quelles parcelles faut-il
restaurer de façon à
connecter les 7 réserves
R1, R2,…, R7
au moindre coût ?
ci : coût de restauration
de la parcelle Pi
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44
R1
R2
1 3
1 0 3
1 0
0 1 1 2 0
2 2
R3
2
0 2 0 1
1 1 1
R5
R4 3 0
1
2 4
0 2 1
2 1 0
0
R6
R7
Restauration de 34 parcelles connexité
Coût : 41 unités - Longueur corridor R6 → R7 : 29 parcelles
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45
Formulation en termes de graphes
Graphe associé ),( UXG
X : ensemble des parcelles
U : (Pi , Pj) U ssi Pi et Pj sont adjacentes
kiP : parcelle représentant la réserve Rk
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46
Déterminer
Un ens. de sommets S X et un ens. d’arcs A U t.q.
),P(,...,1
ASGki
Nk
admette un chemin de la
parcelle représentant la réserve RN à la parcelle
représentant la réserve Rk (k = 1,…, N-1)
coût de restauration S
i
i
cP
minimal
Arborescence de Steiner
Contrainte: limiter la longueur des corridors
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47
Un deuxième problème
Maximiser la perméabilité d’un
réseau de corridors
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48
Parcelles : P1, P2,…, P6 - Corridors : [P1,P2], [P1,P3],…,[P5,P6]
Objectif
Améliorer au maximum la perméabilité du réseau en
aménageant les corridors sous une contrainte budgétaire
Perméabilité : espérance mathématique de la distance
parcourue par les espèces considérées
P3
P2
P1
P4
P5
P6
?
?
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49
Photo RFF
Passage grande faune sur une ligne TGV
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50
CANOPÉ académie d'Amiens
Passage grande faune sur A26
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51
Recensement national des passages pour la grande faune : inventaire régions Champagne-Ardennes, Alsace Lorraine. Carsignol J., 1991.
Passage à chevreuil sous l'A4
![Page 52: Problèmes de graphes et protection de la biodiversité ...gdrro.lip6.fr/sites/default/files/06_Expose-optimisation-reseaux... · De nombreux pays ont élaboré des stratégies pour](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022031017/5b9b19fe09d3f24f678d0ebe/html5/thumbnails/52.jpg)
52
animal
dans
le patch Pi
choix du
corridor
[Pi, Pj]
essai
d’emprunt
de [Pi, Pj]
l’animal est tué
en empruntant
[Pi, Pj]
l’animal réussit
à atteindre le
patch Pj
1/di qij
rij
1-rij
1-qij
Augmenter la perméabilité du réseau
= augmenter les probabilités qij et rij
Pi
Pk
Pj
Pl
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53
le patch
Pj est
atteint
Mort
État
initial
Pi
pij ijiji
rqd
1
zi j
ijiji
rqd
)1(1
pii j
iji
qd
11
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54
Chaîne de Markov associée
P1 P2 … Pn Pn+1
P1 p11 p12 … p1n p1,n+1
P2 p21 p22 … p2n p2,n+1
… … … … … …
Pn pn1 pn2 … pnn pn,n+1
Pn+1 0 0 0 0 1
n états transitoires : P1 , P2 , … , Pn
1 état absorbant : Pn+1
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55
Trans. Abs.
Trans.
Z D
Abs. 0 I
Théorème : N = (I – Z)-1
nij = nb. moyen de passages par j partant de i avant abs.
nb. moyen de passages de k à l partant de i avant abs.
= nik pkl
Matrice des
probabilités
de transition
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56
Variables : pij (probabilité de transition)
1~
0 s.c.
)(max
nMI
DZ
f
Ensemble des matrices
stochastiques )1()1( nn
Esp. math. de la distance totale parcourue
(n individus initialement dans P1, … , Pn)
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57
Variables
pij : probabilité de transition
wi : j
ji )P departant Ppar passages de moyen (nb.
~
patch1 s.c.
)(max
1
]P,[Pcorridor
ipww
pwpwl
n
j jiji
jijijiij
ji
nombre de passages
dans [Pi,Pj]
longueur du
corridor [Pi,Pj]
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58
Difficultés
Exprimer pij en fonction des aménagements réalisés
dans le corridor [Pi , Pj]
non linéarité du programme : wi pij
-----------------------------------
xijk = 1 investt n°k réalisé dans le corridor [Pi , Pj]
cijk = coût investissement n°k dans le corridor [Pi , Pj]
Programme quadratique en variables mixtes
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59
Conclusion
Une dizaine de patchs
Une vingtaine de corridors
5 niveaux d’aménagement différents
Possibilité d’ajouter des contraintes supplémentaires
par exemple sur le nombre de passages dans chaque
corridor augmentation du temps de calcul
Grandes instances : heuristiques / chaînes de Markov
(Travaux existants : heuristiques / simulations)
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60
III
Diversité phylogénétique
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61
Arbre phylogénétique
T = (Y, X, A)
Y = ensemble des sommets non feuilles
X = ensemble des sommets feuilles (espèces, taxons)
A = ensemble des arcs (évolutions)
2)( yd )( Yy (sauf éventuellement la racine)
arc a de l’arbre valeur l(a) ≥ 0
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62
Arbre phylogénétique
Relations de parenté entre organismes vivants
Indique qui est proche de qui
Fondé sur l'analyse de caractères des espèces
étudiées
Branches : transformations de caractères
Longueur des branches : mesure du changement
évolutif (temps écoulé, caractères morphologiques ou
moléculaires)
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63
Bergeron et al., Sciences de la vie et de la terre, 2002, Hatier, Paris.
colonne
vertébrale
plumes
gésier
choanes
cœur 4 cavités
évolution
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64
Diversité phylogénétique d’un ensemble d’espèces S
DP(S) = somme des valeurs des arcs
du sous-arbre minimal connectant
les sommets de S et la racine
Outil rigoureux pour mesurer la biodiversité
Actuellement considérée comme une des principales
mesures de la biodiversité d’une collection d’espèces
Zoological Society of London
World Wide Fund for Nature (WWF)
…
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65
e1
e3
3
e2
e4
e5 5
3
5
3
2
1
2
1
2
DP({e2,e3,e5}) =12
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66
Un premier problème
Trouver un sous-ensemble de feuilles S (espèces)
- de cardinal K
- qui maximise DP(S)
Algorithme gourmand
S = {Ø}
tant que l’ensemble en construction est de cardinal
K , ajouter le sommet s qui maximise sS DP
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67
Problème de l’ « Arche de Noë »
Un arbre phylogénétique
2 décisions possibles pour chaque espèce ek :
1- Pas d’actions de conservation
Probabilité de survie = k , coût = 0
2 - Actions de conservation
Probabilité de survie = k > k , coût = ck
Politique à appliquer à chaque espèce pour maximiser
l’espérance math. de la diversité phylogénétique ? (probabilités indépendantes)
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68
Aa SFk SFkkka
a a1 2
)1()1(1)DP(Esp
S1 : espèces protégées
S2 : espèces non protégées
a
c
b d
e
e
ensemble des
arcs de l’arbre
ensemble des
feuilles sous l’arc a
probas de
survie de ek
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69
t1
10.5
probas probas probas probas
0.5 0.8 0.3 0.6 0.2 0.7 0.3 0.9
coûts coûts coûts coûts
0 4 0 3 0 7 0 8
...)6.03.6())1.08.04.01(2.4()5.05.10(
t2 t3 t4
c
b
6.3
7 5.1
4.2
4
a
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70
Formulation par un programme mathématique
xk
= 1 ssi actions de conservation appliquées à espèce ek
kk
kk
Aa Fkkkkka
x
Bxc
x
k
a
e espèce1,0
s.c.
)(11max
espècee
Probabilité
extinction ek
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71
Reformulation
kk
kkkka
Abba
Aaaa
x
axz
azz
z
a
e espèce 1,0
budgétaire ontraintec
pendant) arc ( )(1
pendant) non arc (
)1(max
probabilité
extinction ek
probabilité perte
évolution associée à a
c
za
zb
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72
Linéarisation
1,0
budgétaire contrainte
pendant) ( )1log()1()1log(
pendant) non arc(
) arc( log
)1(max
k
kkkka
Abba
aa
Aaaa
x
axxy
ayy
azy
z
a
non linéaire
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73
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
ze
l o
g
ze
log u
)(1
loglog uzu
uz aa
log za
za u
za
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74
aaaa zyzy loglog
Relaxation :
aa zy log )(1
log kak
ka uzu
uy )( Kk
Borne supérieure : valeur optimale de la relaxation
Espérance de la diversité phylogénétique :
Aa Fkkkkka
a
x ))(1(1*
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75
Expérimentation
Arbres phylogénétiques avec des milliers d’arcs
de 20 à 50 points uk pour chaque arête de l’arbre
Solutions approchées avec garantie
(à moins de 0.1% de l’optimum)
Généralisation : plusieurs stratégies de protection
possibles pour chaque espèce
Possibilités de considérer des probabilités de survie
non indépendantes : zones protégées
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76
Conclusion
Actuellement érosion très importante de la
biodiversité
Optimisation combinatoire : un outil naturel pour
aider à prendre des décisions pour enrayer cette
érosion
Beaucoup de publications sur le sujet
(littérature RO et Conservation Biologique)
Simulations, heuristiques
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77
Certains problèmes bien résolus, d’autres pas
recherches nécessaires
Gap important entre recherche et mise en œuvre
collaborations praticiens / chercheurs
Dimension temporelle à considérer
Incertitudes à prendre en compte
Modèles mathématiques :
un aspect de la préservation de la biodiversité