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Profke, Forum Gießen, 05.10.2004 1

Lehrerkompetenzen für den Mathematikunterricht

erörtert an einer „großen Unterrichtsvorbereitung“ zum Thema Wurzelgesetze

Lehrerkompetenzen für den Mathematikunterricht

erörtert an einer „großen Unterrichtsvorbereitung“ zum Thema Wurzelgesetze

Lothar Profke

Institut für Didaktik der Mathematik

Justus-Liebig-Universität Gießen

Lothar Profke

Institut für Didaktik der Mathematik

Justus-Liebig-Universität Gießen

Vortrag zum Einsehen und Herunterladen unter

http://www.uni-giessen.de/math-didaktik/

Vortrag zum Einsehen und Herunterladen unter





0 Einleitung0 Einleitung


0 Einleitung 0 Einleitung

Aufgabe des Referats• Erörtern der folgenden Fragen am Beispiel Wurzelgesetze:

– Welche Qualifikationen (Kompetenzen) braucht ein Lehrer,… um allgemeinbildenden Mathematikunterricht zu erteilen… und um die Forderungen der Bildungsstandards

Mathematik zu erfüllen?– Wo und wie erwirbt ein Lehrer solche Qualifikationen?– Was darf man einem angehenden Mathematiklehrer in der

Ausbildung zumuten?

Aufgabe des Referats• Erörtern der folgenden Fragen am Beispiel Wurzelgesetze:

– Welche Qualifikationen (Kompetenzen) braucht ein Lehrer,… um allgemeinbildenden Mathematikunterricht zu erteilen… und um die Forderungen der Bildungsstandards

Mathematik zu erfüllen?– Wo und wie erwirbt ein Lehrer solche Qualifikationen?– Was darf man einem angehenden Mathematiklehrer in der

Ausbildung zumuten?



Durchführung• Wie bei einer großen Unterrichtsvorbereitung mit

– Sachanalyse– didaktische Analyse– methodische Analyse– ...

• Diese Einteilung erfolgt nachträglich.– Wegen der Interdependenz aller Aspekte springt das

Denken zwischen ihnen hin und her.• Vieles nur andeutungsweise, da bekannt.• Zustimmung oder Ablehnung zu Einzelheiten der Unterrichts-

vorbereitung berührt nicht die Folgerungen für die Ausbildung von Mathematiklehrern.

Durchführung• Wie bei einer großen Unterrichtsvorbereitung mit

– Sachanalyse– didaktische Analyse– methodische Analyse– ...

• Diese Einteilung erfolgt nachträglich.– Wegen der Interdependenz aller Aspekte springt das

Denken zwischen ihnen hin und her.• Vieles nur andeutungsweise, da bekannt.• Zustimmung oder Ablehnung zu Einzelheiten der Unterrichts-

vorbereitung berührt nicht die Folgerungen für die Ausbildung von Mathematiklehrern.



Hinweise• Manche Aussagen, die wie Feststellungen klingen, sind fragend

gemeint.• Etliche Fragen lassen meine Antworten erkennen.

• Einige Folien werden hier übersprungen.

Hinweise• Manche Aussagen, die wie Feststellungen klingen, sind fragend

gemeint.• Etliche Fragen lassen meine Antworten erkennen.

• Einige Folien werden hier übersprungen.



Gliederung

0 Einleitung

1 Sachanalyse zu Wurzelgesetzen

und Überlegungen zur Mathematiklehrerausbildung

2 Didaktische Analyse zu Wurzelgesetzen


3 Methodische Analyse

4 Mathematikunterricht aus dem Schulbuch

5 Schlussbemerkungen

Gliederung

0 Einleitung

1 Sachanalyse zu Wurzelgesetzen


2 Didaktische Analyse zu Wurzelgesetzen


3 Methodische Analyse

4 Mathematikunterricht aus dem Schulbuch

5 Schlussbemerkungen



Quellen• Kultusministerkonferenz: Bildungsstandards im Fach Mathe-

matik für den Mittleren Schulabschluss. Beschluss der Kultus-ministerkonferenz vom 04.12.2003

• Hessisches Kultusministerium: Lehrplan Mathematik, Bildungsgang Realschule, Jahrgangsstufen 5 bis 10.

• Hessisches Kultusministerium: Abschlussarbeit Mathematik Bildungsgang Realschule, Versionen A und B, Haupttermin 24.05.2004

• Profke, L.: Didaktik der Mathematik I, II. Vorlesung mit Übungen http://www.uni-giessen.de/math-didaktik/

• Profke, L.: Aufsätze und Vorträge einsehen und herunterladen unter


Quellen• Kultusministerkonferenz: Bildungsstandards im Fach Mathe-

matik für den Mittleren Schulabschluss. Beschluss der Kultus-ministerkonferenz vom 04.12.2003


• Hessisches Kultusministerium: Abschlussarbeit Mathematik Bildungsgang Realschule, Versionen A und B, Haupttermin 24.05.2004

• Profke, L.: Didaktik der Mathematik I, II. Vorlesung mit Übungen http://www.uni-giessen.de/math-didaktik/

• Profke, L.: Aufsätze und Vorträge einsehen und herunterladen unter









1 Sachanalyse zu Wurzelgesetzen1 Sachanalyse zu Wurzelgesetzen

Was soll eine Sachanalyse leisten? Über Mathematik nachdenken Überlegungen zur Mathematiklehrerausbildung

Was soll eine Sachanalyse leisten? Über Mathematik nachdenken Überlegungen zur Mathematiklehrerausbildung


1 Sachanalyse: Warum eine Sachanalyse? 1 Sachanalyse: Warum eine Sachanalyse?

Was soll eine Sachanalyse leisten?• Eine Hintergrundstheorie des Lehrers reaktivieren

– Soll, darf er die Sachanalyse von Anfang an auf die Lerngruppe ausrichten?

… „Das können meine (Haupt-, Real-) Schüler sowieso nicht.“

… Ehrliches Argument oder Ausrede für eigene Schwierig-keiten mit der Mathematik?

• Wie ausführlich muss diese Hintergrundstheorie des Lehrers entwickelt sein (und dargestellt werden)?

– Einordnen in größere Zusammenhänge?… Höhere Wurzeln… Potenzen mit gebrochenen Exponenten… Logarithmieren als zweite Umkehrung des Potenzierens… Radizieren als Rechenoperation und Wurzelfunktionen

Was soll eine Sachanalyse leisten?• Eine Hintergrundstheorie des Lehrers reaktivieren

– Soll, darf er die Sachanalyse von Anfang an auf die Lerngruppe ausrichten?

… „Das können meine (Haupt-, Real-) Schüler sowieso nicht.“

… Ehrliches Argument oder Ausrede für eigene Schwierig-keiten mit der Mathematik?

• Wie ausführlich muss diese Hintergrundstheorie des Lehrers entwickelt sein (und dargestellt werden)?

– Einordnen in größere Zusammenhänge?… Höhere Wurzeln… Potenzen mit gebrochenen Exponenten… Logarithmieren als zweite Umkehrung des Potenzierens… Radizieren als Rechenoperation und Wurzelfunktionen


1 Sachanalyse: Warum eine Sachanalyse?1 Sachanalyse: Warum eine Sachanalyse?

– Verschiedene Entwicklungen des Gebietes?… Radizieren als Umkehroperation des Potenzierens… Wurzeln als andere Schreibweise für gewisse Potenzen

mit gebrochenen Exponenten dabei die allgemeine Potenzrechnung entwickeln

aus exponentiellen Wachstumsprozessen– Mehrere Herleitungen von Sätzen?

… Wohldefiniertheit höherer Wurzeln und Potenzen mit gebrochenen Exponenten

… Wurzel- und Potenzgesetze– Was braucht man später?

… Die Erweiterung des Potenzbegriffs gelingt ohne Wurzeln und Wurzelgesetze.

Doch nützen diese für heuristische Überlegungen.• Über Mathematik nachdenken

– Verschiedene Entwicklungen des Gebietes?… Radizieren als Umkehroperation des Potenzierens… Wurzeln als andere Schreibweise für gewisse Potenzen

mit gebrochenen Exponenten dabei die allgemeine Potenzrechnung entwickeln

aus exponentiellen Wachstumsprozessen– Mehrere Herleitungen von Sätzen?

… Wohldefiniertheit höherer Wurzeln und Potenzen mit gebrochenen Exponenten

… Wurzel- und Potenzgesetze– Was braucht man später?

… Die Erweiterung des Potenzbegriffs gelingt ohne Wurzeln und Wurzelgesetze.

Doch nützen diese für heuristische Überlegungen.• Über Mathematik nachdenken


1 Sachanalyse: Metamathematisches1 Sachanalyse: Metamathematisches

Über Mathematik nachdenken• In der Mathematik untersucht man zu einem neuen Konzept

– seine Eigenschaften,– seine Beziehungen zu anderen Sachverhalten.

… Eigenschaften des Radizierens… Verträglichkeit des Radizierens mit anderen

Rechenoperationen Radizieren und Grundrechenarten mehrfaches Radizieren

• Verallgemeinern eines Konzepts– höhere Wurzeln

• Vergleich verschiedener Konzepte– Radizieren, Potenzieren, Logarithmieren

Über Mathematik nachdenken• In der Mathematik untersucht man zu einem neuen Konzept

– seine Eigenschaften,– seine Beziehungen zu anderen Sachverhalten.

… Eigenschaften des Radizierens… Verträglichkeit des Radizierens mit anderen

Rechenoperationen Radizieren und Grundrechenarten mehrfaches Radizieren

• Verallgemeinern eines Konzepts– höhere Wurzeln

• Vergleich verschiedener Konzepte– Radizieren, Potenzieren, Logarithmieren



• Wozu taugen Eigenschaften eines Konzepts?– Hilfe bei theoretischen Untersuchungen

… algebraische Terme umformen mit Hilfe von Wurzelgesetzen

– Kennzeichnen von Konzepten… entfällt in der Wurzelrechnung

– Rechenvorteile durch geschicktes Umformen algebraischer Terme

– Hilfe bei der Konstruktion effektiver Algorithmen… entfällt in der Wurzelrechnung (?)

• Abstrahieren allgemeiner Ideen?– Eigenschaften einer Operation gewinnt man (vielleicht) aus

Eigenschaften der Umkehroperation.

• Wozu taugen Eigenschaften eines Konzepts?– Hilfe bei theoretischen Untersuchungen

… algebraische Terme umformen mit Hilfe von Wurzelgesetzen

– Kennzeichnen von Konzepten… entfällt in der Wurzelrechnung

– Rechenvorteile durch geschicktes Umformen algebraischer Terme

– Hilfe bei der Konstruktion effektiver Algorithmen… entfällt in der Wurzelrechnung (?)

• Abstrahieren allgemeiner Ideen?– Eigenschaften einer Operation gewinnt man (vielleicht) aus

Eigenschaften der Umkehroperation.Folie 27



• „Nachdenken über Mathematik“ findet man nur versteckt in den– Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren

Schulabschluss:2 Allgemeine mathematische Kompetenzen im Fach

Mathematik

(K 1) Mathematisch argumentieren Fragen stellen, die für die Mathematik charakteristisch

sind ...

(K 2) Probleme mathematisch lösen

3.1 Mathematische Leitideen

Standards für inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen ... sind jeweils ausgewählten mathematischen Leitideen zuge- ordnet, um Verständnis von grundlegenden mathematischen Konzepten zu erreichen, Besonderheiten mathematischen Denkens zu verdeutlichen sowie Bedeutung und Funktion der Mathematik für die Gestaltung und Erkenntnis der Welt erfah- ren zu lassen.

• „Nachdenken über Mathematik“ findet man nur versteckt in den– Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren

Schulabschluss:2 Allgemeine mathematische Kompetenzen im Fach

Mathematik

(K 1) Mathematisch argumentieren Fragen stellen, die für die Mathematik charakteristisch

sind ...

(K 2) Probleme mathematisch lösen

3.1 Mathematische Leitideen

Standards für inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen ... sind jeweils ausgewählten mathematischen Leitideen zuge- ordnet, um Verständnis von grundlegenden mathematischen Konzepten zu erreichen, Besonderheiten mathematischen Denkens zu verdeutlichen sowie Bedeutung und Funktion der Mathematik für die Gestaltung und Erkenntnis der Welt erfah- ren zu lassen.

Folei 25


1 Sachanalyse: Wesentliches1 Sachanalyse: Wesentliches

Was sollte eine Sachanalyse „unbedingt“ klären?• Motiv: Warum

beschäftigt man sich mit dem betreffenden Sachverhalt?– Weshalb sind Primzahlen bemerkenswert?– Was macht man mit dem ggT und dem kgV ?– Welchen Sinn haben Termumformungen?– Warum betrachtet man Aussagen und ihre Verknüpfungen?

• Kern:Welches sind die eigentlichen Probleme?

– Metamathematisches zum betreffenden Sachverhalt• Weg:

Wie kommt der Mathematiker (der Schüler) auf das Motiv, den Kern und auf Antworten?

Was sollte eine Sachanalyse „unbedingt“ klären?• Motiv: Warum

beschäftigt man sich mit dem betreffenden Sachverhalt?– Weshalb sind Primzahlen bemerkenswert?– Was macht man mit dem ggT und dem kgV ?– Welchen Sinn haben Termumformungen?– Warum betrachtet man Aussagen und ihre Verknüpfungen?

• Kern:Welches sind die eigentlichen Probleme?

– Metamathematisches zum betreffenden Sachverhalt• Weg:

Wie kommt der Mathematiker (der Schüler) auf das Motiv, den Kern und auf Antworten?


1 Sachanalyse: Mathematiklehrerausbildung1 Sachanalyse: Mathematiklehrerausbildung

Überlegungen zur Mathematiklehrerausbildung• Wo sollte der angehende Lehrer die Fähigkeiten für Sach-

analysen erwerben?– Auf der Universität in Veranstaltungen zur Mathematik

… dabei mathematisches Denken vermitteln zu Lasten schnell vergessenen Wissens

• Darf man jedem (auch dem mittelmäßigen) Lehrer eine solche Sachanalyse zumuten?

– Wirkt sich die Sachanalyse auf den realen Mathematik-unterricht aus

… oder stellt sie nur ein Ritual dar in der Referendars-ausbildung?

– Viele Lehrer halten sich eng an das eingeführte Schulbuch oder sonstige verfügbare Unterrichtsmaterialien.

… Warum nicht?

Überlegungen zur Mathematiklehrerausbildung• Wo sollte der angehende Lehrer die Fähigkeiten für Sach-

analysen erwerben?– Auf der Universität in Veranstaltungen zur Mathematik

… dabei mathematisches Denken vermitteln zu Lasten schnell vergessenen Wissens

• Darf man jedem (auch dem mittelmäßigen) Lehrer eine solche Sachanalyse zumuten?

– Wirkt sich die Sachanalyse auf den realen Mathematik-unterricht aus

… oder stellt sie nur ein Ritual dar in der Referendars-ausbildung?

– Viele Lehrer halten sich eng an das eingeführte Schulbuch oder sonstige verfügbare Unterrichtsmaterialien.

… Warum nicht?



• Wer muss eine Sachanalyse durchführen (können)?– Einzelne Expertenlehrer an jeder Schule, in einem

Schulverbund, ... ?– Schulbuchautoren?– Lehrplankonstrukteure?

• Wie soll eine Sachanalyse zu einem Thema entstehen?– Jedes Schuljahr ganz neu– oder nur bei geplanten Änderungen und dann weitgehend

Vorlagen nachvollziehend?

• Didaktische Funktionen von Sachanalysen in der ersten und der zweiten Phase der Mathematiklehrerausbildung:

– Auslegung und Bewertung von Lehrgängen, Lehrplänen, Bildungsstandards

• Wer muss eine Sachanalyse durchführen (können)?– Einzelne Expertenlehrer an jeder Schule, in einem


• Wie soll eine Sachanalyse zu einem Thema entstehen?– Jedes Schuljahr ganz neu– oder nur bei geplanten Änderungen und dann weitgehend


• Didaktische Funktionen von Sachanalysen in der ersten und der zweiten Phase der Mathematiklehrerausbildung:

– Auslegung und Bewertung von Lehrgängen, Lehrplänen, Bildungsstandards



• Die Fragen reizen zur Differenzierung.– Die Antworten werden dadurch nicht leichter:

… Wo sollen Grenzen verlaufen?

• Die Fragen reizen zur Differenzierung.– Die Antworten werden dadurch nicht leichter:

… Wo sollen Grenzen verlaufen?


2 Didaktische Analyse zu Wurzelgesetzen2 Didaktische Analyse zu Wurzelgesetzen

Auswahl von Lehrzielen Didaktische Prinzipien Entscheidungen Überlegungen zur Mathematiklehrerausbildung

Auswahl von Lehrzielen Didaktische Prinzipien Entscheidungen Überlegungen zur Mathematiklehrerausbildung


2 Didaktische Analyse: Auswahl von Lehrzielen2 Didaktische Analyse: Auswahl von Lehrzielen

Was soll man erreichen wollen?• Vgl. Checkliste zur Unterrichtsvorbereitung (Folie 20)• Mögliche Entscheidungshilfen:

– Schulbuch, sonstiges Unterrichtsmaterial– Lehrplan– Abschlussprüfungen– Bildungsstandards (Folie 23)

• Beobachtungen:– Auf Herleitungen von Sätzen greift man später nicht zurück.– Höhere Wurzeln kommen kaum vor.– Anwendung von Wurzelgesetzen nur zum Umformen eigens

dafür erfundener Terme und Gleichungen.– Ein Nachdenken über Mathematik findet nicht statt.

(Folie 11)

Was soll man erreichen wollen?• Vgl. Checkliste zur Unterrichtsvorbereitung (Folie 20)• Mögliche Entscheidungshilfen:

– Schulbuch, sonstiges Unterrichtsmaterial– Lehrplan– Abschlussprüfungen– Bildungsstandards (Folie 23)

• Beobachtungen:– Auf Herleitungen von Sätzen greift man später nicht zurück.– Höhere Wurzeln kommen kaum vor.– Anwendung von Wurzelgesetzen nur zum Umformen eigens

dafür erfundener Terme und Gleichungen.– Ein Nachdenken über Mathematik findet nicht statt.

(Folie 11)Folie 27

Folie 31


Checkliste zur Unterrichtsvorbereitung: Seite 1Checkliste zur Unterrichtsvorbereitung: Seite 1

• Was will ich erreichen mit der Behandlung dieses Inhalts? “Ich”: Der Lehrer als Repräsentant und Beauftragter der

Gesellschaft sowie als Anwalt seiner Schüler. Frage meint allgemeine und spezielle Lehrziele.

• Mit welchen Schülern? Problem der Differenzierung nach Leistungsvermögen und

nach Interesse Lerngruppe nicht als Kollektiv fiktiver mittlerer Schüler

behandeln, sondern jeden Schüler als Individuum.• Was kann ich erreichen?

Keine unerfüllbaren Forderungen stellen. Nicht zu wenig verlangen.

• Was will ich erreichen mit der Behandlung dieses Inhalts? “Ich”: Der Lehrer als Repräsentant und Beauftragter der

Gesellschaft sowie als Anwalt seiner Schüler. Frage meint allgemeine und spezielle Lehrziele.

• Mit welchen Schülern? Problem der Differenzierung nach Leistungsvermögen und

nach Interesse Lerngruppe nicht als Kollektiv fiktiver mittlerer Schüler

behandeln, sondern jeden Schüler als Individuum.• Was kann ich erreichen?

Keine unerfüllbaren Forderungen stellen. Nicht zu wenig verlangen.



• Weshalb setze ich gerade diese Ziele? Abwägen zwischen allgemeiner Bildung und speziellen

Wünschen Konzentrieren auf Wesentliches

• Wie gehe ich vor, um die gewählten Ziele zu erreichen? Mit welcher “Wolle stricken”? Frage nach der methodischen Entwicklung des Stoffs Frage nach den Aktivitäten von Schülern und des Lehrer,

nach der Gestaltung der Unterrichtskultur Frage nach dem Einsatz von Medien

• Weshalb setze ich gerade diese Ziele? Abwägen zwischen allgemeiner Bildung und speziellen

Wünschen Konzentrieren auf Wesentliches

• Wie gehe ich vor, um die gewählten Ziele zu erreichen? Mit welcher “Wolle stricken”? Frage nach der methodischen Entwicklung des Stoffs Frage nach den Aktivitäten von Schülern und des Lehrer,

nach der Gestaltung der Unterrichtskultur Frage nach dem Einsatz von Medien



• Habe ich Erfolg? Welchen Erfolg verspricht der Plan? Frage nach Lernerfolgskontrollen: Woran erkenne ich,

welche Ziele wie gut oder schlecht im Unterricht erreicht werden?

Kritische Nachbereitung von Planung und Unterricht• Gibt es andere, vielleicht bessere Gelegenheiten, meine

Ziele zu erreichen? “Konkurrenz belebt das Geschäft.” Zum Wettbewerb zugelassen sind andere Themen des-

selben Fachs und andere Fächer. Weg vom Egoismus des eigenen Fachs. Das “Ganze von

Schule” über die Interessen eines Faches stellen.

• Habe ich Erfolg? Welchen Erfolg verspricht der Plan? Frage nach Lernerfolgskontrollen: Woran erkenne ich,

welche Ziele wie gut oder schlecht im Unterricht erreicht werden?

Kritische Nachbereitung von Planung und Unterricht• Gibt es andere, vielleicht bessere Gelegenheiten, meine

Ziele zu erreichen? “Konkurrenz belebt das Geschäft.” Zum Wettbewerb zugelassen sind andere Themen des-

selben Fachs und andere Fächer. Weg vom Egoismus des eigenen Fachs. Das “Ganze von

Schule” über die Interessen eines Faches stellen.Folie 19




– Teil A Grundlegung für das Unterrichtsfach Mathematik… Zeitgemäße Allgemeinbildung:

In erster Linie die Befähigung zur Bewältigung von Anforderungen aus der Lebenswelt

Angemessene Nutzung elektronischer Medien– Teil B Unterrichtspraktischer Teil

… 9.2 Reelle Zahlen Verbindlich: Wurzelziehen als die Umkehrung des

Quadrierens, Rechnen mit Quadratwurzeln, Umformen von Wurzeltermen

Fakultativ: Kubikwurzel


– Teil A Grundlegung für das Unterrichtsfach Mathematik… Zeitgemäße Allgemeinbildung:

In erster Linie die Befähigung zur Bewältigung von Anforderungen aus der Lebenswelt

Angemessene Nutzung elektronischer Medien– Teil B Unterrichtspraktischer Teil

… 9.2 Reelle Zahlen Verbindlich: Wurzelziehen als die Umkehrung des

Quadrierens, Rechnen mit Quadratwurzeln, Umformen von Wurzeltermen

Fakultativ: Kubikwurzel



… 10.4 Potenzfunktion, Exponentialfunktion Verbindlich: Erweiterung des Potenzbegriffs,

Potenzgesetze, Potenzfunktion Fakultativ: Logarithmen, Exponentialfunktion

– Abschlussprofil der Jahrgangsstufe 10… Fähigkeiten, Fertigkeiten, Qualifikationen:

Berechnen von Potenzen und Quadratwurzeln, Grundrechenarten von Potenzen, Informationen beschaffen

… Kenntnisse: Regeln der Potenzrechnung• Hessisches Kultusministerium: Abschlussarbeit Mathematik

Bildungsgang Realschule, Versionen A und B, 24.05.2004– Wahlaufgaben

… W 5.3 Vereinfache:

… 10.4 Potenzfunktion, Exponentialfunktion Verbindlich: Erweiterung des Potenzbegriffs,

Potenzgesetze, Potenzfunktion Fakultativ: Logarithmen, Exponentialfunktion

– Abschlussprofil der Jahrgangsstufe 10… Fähigkeiten, Fertigkeiten, Qualifikationen:

Berechnen von Potenzen und Quadratwurzeln, Grundrechenarten von Potenzen, Informationen beschaffen

… Kenntnisse: Regeln der Potenzrechnung• Hessisches Kultusministerium: Abschlussarbeit Mathematik

Bildungsgang Realschule, Versionen A und B, 24.05.2004– Wahlaufgaben

… W 5.3 Vereinfache:24c25abyx4a 42



• Kultusministerkonferenz: Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren Schulabschluss

– 1 Der Beitrag des Faches Mathematik zur Bildung… Grunderfahrungen ermöglichen

Mathematik ... in der Bedeutung für die Beschrei-bung und Bearbeitung von Aufgaben und Proble-men inner- und außerhalb der Mathematik kennen und begreifen

– 2 Allgemeine mathematische Kompetenzen im Fach Mathematik

… (K 5) Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen

mathematische Werkzeuge (wie Formelsamm-lungen, Taschenrechner, Software) sinnvoll und verständig einsetzen

• Kultusministerkonferenz: Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren Schulabschluss

– 1 Der Beitrag des Faches Mathematik zur Bildung… Grunderfahrungen ermöglichen

Mathematik ... in der Bedeutung für die Beschrei-bung und Bearbeitung von Aufgaben und Proble-men inner- und außerhalb der Mathematik kennen und begreifen

– 2 Allgemeine mathematische Kompetenzen im Fach Mathematik

… (K 5) Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen

mathematische Werkzeuge (wie Formelsamm-lungen, Taschenrechner, Software) sinnvoll und verständig einsetzen

Folie 13



– 3.2 Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen… (L 1) Leitidee Zahl

Rechengesetze nutzen an Beispielen den Zusammenhang zwischen

Rechenoperationen und deren Umkehrungen erläutern und nutzen

… (L 4) Leitidee Funktionaler Zusammenhang funktionale Zusammenhänge erkennen und

beschreiben– 4 Aufgabenbeispiele

(keine)

– 3.2 Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen… (L 1) Leitidee Zahl

Rechengesetze nutzen an Beispielen den Zusammenhang zwischen

Rechenoperationen und deren Umkehrungen erläutern und nutzen

… (L 4) Leitidee Funktionaler Zusammenhang funktionale Zusammenhänge erkennen und

beschreiben– 4 Aufgabenbeispiele

(keine)

Folie 19



• Was geht verloren, verzichtet man hier auf gewisse Lehrziele?– Gibt es andere bessere Möglichkeiten für diese Lehrziele?

… Herleiten mathematischer Sachverhalte ...

… Nachdenken über Mathematik: Eigenschaften und Kennzeichnen von Objekten in

der Geometrie Verallgemeinern von Begriffen, Sätzen:

Zahl, Funktion, Figur, Größe, ...besondere Punkte und Linien bei Dreiecken und

Vierecken, Peripheriewinkelsatz, ...– Allgemeinere Lehrziele erreicht man nur langfristig

… bei besonders typischen Gelegenheiten… und mit geeigneten Unterrichtsmethoden.… Bei einem Thema nicht alles wollen.

• Was geht verloren, verzichtet man hier auf gewisse Lehrziele?– Gibt es andere bessere Möglichkeiten für diese Lehrziele?

… Herleiten mathematischer Sachverhalte ...

… Nachdenken über Mathematik: Eigenschaften und Kennzeichnen von Objekten in

der Geometrie Verallgemeinern von Begriffen, Sätzen:

Zahl, Funktion, Figur, Größe, ...besondere Punkte und Linien bei Dreiecken und

Vierecken, Peripheriewinkelsatz, ...– Allgemeinere Lehrziele erreicht man nur langfristig

… bei besonders typischen Gelegenheiten… und mit geeigneten Unterrichtsmethoden.… Bei einem Thema nicht alles wollen.

Folie 11



• Lehrziele und Lehrgang– Lehrziele zu setzen genügt nicht, um sie auch zu erreichen.

… Konstruiere zu gewünschten (speziellen und allge-meineren) Lehrzielen einen verträglichen Lehrgang.

… Analysiere vorliegenden Lehrgang auf Lehrziele, die sich mit ihm verknüpfen lassen.

Dies auch beim eigenen Unterrichtsentwurf… Kombiniere Beides miteinander.

• Lehrziele und Lehrgang– Lehrziele zu setzen genügt nicht, um sie auch zu erreichen.

… Konstruiere zu gewünschten (speziellen und allge-meineren) Lehrzielen einen verträglichen Lehrgang.

… Analysiere vorliegenden Lehrgang auf Lehrziele, die sich mit ihm verknüpfen lassen.

Dies auch beim eigenen Unterrichtsentwurf… Kombiniere Beides miteinander.


2 Didaktische Analyse: Didaktische Prinzipien2 Didaktische Analyse: Didaktische Prinzipien

Didaktische Prinzipien berücksichtigen• Lehrziele festigen und überprüfen:

– Schüler lernen allenfalls, was gefestigt und abgeprüft wird.… Meistens hat eine Einführung andere Lehrziele als die

Festigung und die Lernerfolgskontrolle.… Dies gilt bereits für fachliche Ziele, erst recht für

übergreifende (methodische, soziale, ... ) Ziele.… Wozu also Herleitungen?

• Veranschaulichen, Handlungsorientierung, ...– Was soll und kann man wie für wen veranschaulichen?

… Aussage und Richtigkeit von Wurzelgesetzen– Handlungsorientierung ist mehr als Geschäftigsein.

… Numerisches Rechnen vermittelt keine Handlungs-erfahrungen zu Wurzelgesetzen.

Didaktische Prinzipien berücksichtigen• Lehrziele festigen und überprüfen:

– Schüler lernen allenfalls, was gefestigt und abgeprüft wird.… Meistens hat eine Einführung andere Lehrziele als die

Festigung und die Lernerfolgskontrolle.… Dies gilt bereits für fachliche Ziele, erst recht für

übergreifende (methodische, soziale, ... ) Ziele.… Wozu also Herleitungen?

• Veranschaulichen, Handlungsorientierung, ...– Was soll und kann man wie für wen veranschaulichen?

… Aussage und Richtigkeit von Wurzelgesetzen– Handlungsorientierung ist mehr als Geschäftigsein.

… Numerisches Rechnen vermittelt keine Handlungs-erfahrungen zu Wurzelgesetzen.


2 Didaktische Analyse: Didaktische Prinzipien2 Didaktische Analyse: Didaktische Prinzipien

• Einstieg und Motivation– Überlegungen und Entscheidungen stützen durch

pädagogisch-psychologische Theorien… Leitendes Problem suchen

Was macht man mit Wurzelgesetzen?… Vorinformation geben

Radizieren kombinieren mit anderen Rechen-operationen

– Aufmerksamkeit gezielt auf den Unterrichtsgegenstand richten

… bloße Animation genügt nicht• Verbindlichkeit von Tipps kritisch prüfen

– Viele sogenannte „didaktische Prinzipien“… beruhen auf unreflektierten Erfahrungen Einzelner,… drücken Wünsche und Hoffnungen aus.

• Einstieg und Motivation– Überlegungen und Entscheidungen stützen durch

pädagogisch-psychologische Theorien… Leitendes Problem suchen

Was macht man mit Wurzelgesetzen?… Vorinformation geben

Radizieren kombinieren mit anderen Rechen-operationen

– Aufmerksamkeit gezielt auf den Unterrichtsgegenstand richten

… bloße Animation genügt nicht• Verbindlichkeit von Tipps kritisch prüfen

– Viele sogenannte „didaktische Prinzipien“… beruhen auf unreflektierten Erfahrungen Einzelner,… drücken Wünsche und Hoffnungen aus.


2 Didaktische Analyse: Entscheidungen2 Didaktische Analyse: Entscheidungen

Mögliche Entscheidungen

Entweder

(1) Wurzelgesetze weglassen (Folie 19)

oder

(2) Wurzelgesetze als typisches Beispiel für– Eigenschaften einer Rechenoperation– Verträglichkeit von Rechenoperationen miteinander– Nutzen von Rechengesetzen in Theorie und Praxis

Dabei

(3) Wurzelgesetze nachschlagen– als typisch für Anwender– als Beispiel für das Ziel Informationen beschaffen können– samt Plausibilitätsprüfungen

… Durchrechnen von Zahlenbeispielen

Mögliche Entscheidungen

Entweder

(1) Wurzelgesetze weglassen (Folie 19)

oder

(2) Wurzelgesetze als typisches Beispiel für– Eigenschaften einer Rechenoperation– Verträglichkeit von Rechenoperationen miteinander– Nutzen von Rechengesetzen in Theorie und Praxis

Dabei

(3) Wurzelgesetze nachschlagen– als typisch für Anwender– als Beispiel für das Ziel Informationen beschaffen können– samt Plausibilitätsprüfungen

… Durchrechnen von Zahlenbeispielen


2 Didaktische Analyse: Mathematiklehrerausbildung2 Didaktische Analyse: Mathematiklehrerausbildung

Überlegungen zur Mathematiklehrerausbildung• Wo sollte der angehende Lehrer die Fähigkeiten für didaktische

Analysen erwerben?– In mathematikdidaktischen Veranstaltungen (erste Phase)

… didaktische Analysen vormachen und trainieren,… zuerst in Teilen bei „jeder“ Gelegenheit,… dann an wenigen Beispielen komplett:

Abzeichnen mit Hilfe von Rastern (ab Klasse 3) Wurzelrechnung Kreismessung ...

… einzelne Themen in einem Schulbuch, im Lehrplan, in Abschlussprüfungen, in den Bildungsstandards didaktisch analysieren.

Positive und negative Beispiele

Überlegungen zur Mathematiklehrerausbildung• Wo sollte der angehende Lehrer die Fähigkeiten für didaktische

Analysen erwerben?– In mathematikdidaktischen Veranstaltungen (erste Phase)

… didaktische Analysen vormachen und trainieren,… zuerst in Teilen bei „jeder“ Gelegenheit,… dann an wenigen Beispielen komplett:

Abzeichnen mit Hilfe von Rastern (ab Klasse 3) Wurzelrechnung Kreismessung ...

… einzelne Themen in einem Schulbuch, im Lehrplan, in Abschlussprüfungen, in den Bildungsstandards didaktisch analysieren.

Positive und negative Beispiele



• Darf man jedem (auch dem mittelmäßigen) Lehrer eine solche didaktische Analyse zumuten?

– Vielen Lehrerstudenten fallen didaktische Analysen schwer.– Wie wirkt sich eine didaktische Analyse auf den realen

Mathematikunterricht aus?… Viele Lehrer halten sich eng an das eingeführte Schul-

buch oder sonstige verfügbare Unterrichtsmaterialien.– Darf ein Lehrer sich didaktische Entscheidungen abnehmen

lassen vom eingeführten Schulbuch, vom Lehrplan, ...?… Warum nicht?

Aber didaktische Entscheidungen können pädagogische Auswirkungen haben.

… Muss jeder Lehrer das Weglassen von Stoff können oder reichen kollegiale Abmachungen?

• Darf man jedem (auch dem mittelmäßigen) Lehrer eine solche didaktische Analyse zumuten?

– Vielen Lehrerstudenten fallen didaktische Analysen schwer.– Wie wirkt sich eine didaktische Analyse auf den realen

Mathematikunterricht aus?… Viele Lehrer halten sich eng an das eingeführte Schul-

buch oder sonstige verfügbare Unterrichtsmaterialien.– Darf ein Lehrer sich didaktische Entscheidungen abnehmen

lassen vom eingeführten Schulbuch, vom Lehrplan, ...?… Warum nicht?

Aber didaktische Entscheidungen können pädagogische Auswirkungen haben.

… Muss jeder Lehrer das Weglassen von Stoff können oder reichen kollegiale Abmachungen?



• Wer muss eine didaktische Analyse durchführen (können)?– Einzelne Expertenlehrer an jeder Schule, in einem


• Wie soll eine didaktische Analyse zu einem Thema entstehen?– Jedes Schuljahr ganz neu– oder nur bei geplanten Änderungen und dann weitgehend


• Wer muss eine didaktische Analyse durchführen (können)?– Einzelne Expertenlehrer an jeder Schule, in einem


• Wie soll eine didaktische Analyse zu einem Thema entstehen?– Jedes Schuljahr ganz neu– oder nur bei geplanten Änderungen und dann weitgehend



3 Methodische Analyse3 Methodische Analyse

Lehrziele und Unterrichtsmethoden Entdeckenlassend vs. darbietend Lehrziele festigen Arbeitsblätter Wurzelgesetze lehren

Lehrziele und Unterrichtsmethoden Entdeckenlassend vs. darbietend Lehrziele festigen Arbeitsblätter Wurzelgesetze lehren


3 Methodische Analyse: Lehrziele und Methoden3 Methodische Analyse: Lehrziele und Methoden

Lehrziele und Unterrichtsmethoden• Irgendeine Behandlung von Stoff sichert nicht das Erreichen von

Lehrzielen.• Entscheidend ist die Unterrichtskultur:

– Wie gehen Lehrer und Schüler miteinander und mit dem Stoff um?

– Schüler müssen ausreichend Gelegenheiten bekommen, wünschenswerte Aktivitäten auszuüben, zu lernen, zu festigen, anzuwenden.

– Beobachtung:… Schüler lernen in jedem Unterricht etwas, aber oft

Dinge, die wir nicht wünschen.… Heimliche Lehrpläne beschreiben solche nicht

beabsichtigten Auswirkungen.

Lehrziele und Unterrichtsmethoden• Irgendeine Behandlung von Stoff sichert nicht das Erreichen von

Lehrzielen.• Entscheidend ist die Unterrichtskultur:

– Wie gehen Lehrer und Schüler miteinander und mit dem Stoff um?

– Schüler müssen ausreichend Gelegenheiten bekommen, wünschenswerte Aktivitäten auszuüben, zu lernen, zu festigen, anzuwenden.

– Beobachtung:… Schüler lernen in jedem Unterricht etwas, aber oft

Dinge, die wir nicht wünschen.… Heimliche Lehrpläne beschreiben solche nicht

beabsichtigten Auswirkungen.



• Negativbeispiele– Lehrziel: Aufgaben selbstständig planen, ausführen,

kontrollieren… Tatsächlicher Mathematikunterricht:

Kleinschrittiges enges Führen durch den Lehrer Über Richtig / Falsch entscheidet alleine der Lehrer.

– Lehrziel: Genau, zuverlässig, ausdauernd arbeiten;… Tatsächlicher Mathematikunterricht:

nachlässige Tafelbilder, schlampige Heftführung unpräzise Formulierungen bei Merksätzen Lehrer nimmt Schülern viele Mühen ab.

– Lehrziel: Argumentieren lernen

… Herleitungen wirkungslos, wenn der Lehrer fast alles nur vormacht und dann nur mechanische Übungen folgen.

• Negativbeispiele– Lehrziel: Aufgaben selbstständig planen, ausführen,

kontrollieren… Tatsächlicher Mathematikunterricht:

Kleinschrittiges enges Führen durch den Lehrer Über Richtig / Falsch entscheidet alleine der Lehrer.

– Lehrziel: Genau, zuverlässig, ausdauernd arbeiten;… Tatsächlicher Mathematikunterricht:

nachlässige Tafelbilder, schlampige Heftführung unpräzise Formulierungen bei Merksätzen Lehrer nimmt Schülern viele Mühen ab.

– Lehrziel: Argumentieren lernen

… Herleitungen wirkungslos, wenn der Lehrer fast alles nur vormacht und dann nur mechanische Übungen folgen.



– Lehrziel: Verstehen… „Das habe ich verstanden“

meint oft nur die Abfolge von Handlungsschritten.• Analysiere daher fertige Unterrichtsvorbereitung auf (nicht)

beabsichtigte Auswirkungen,– ebenso den gehaltenen Unterricht.

• Einheitliches Gestalten des Mathematikunterrichts in typischen Situationen?

– Einführen… Begriff, Satz, Verfahren

– Festigen– Anwenden

Erleichterung für das Planen und methodische Starrheit?

– Lehrziel: Verstehen… „Das habe ich verstanden“

meint oft nur die Abfolge von Handlungsschritten.• Analysiere daher fertige Unterrichtsvorbereitung auf (nicht)

beabsichtigte Auswirkungen,– ebenso den gehaltenen Unterricht.

• Einheitliches Gestalten des Mathematikunterrichts in typischen Situationen?

– Einführen… Begriff, Satz, Verfahren

– Festigen– Anwenden

Erleichterung für das Planen und methodische Starrheit?


3 Methodische Analyse: Selbsttätigkeit3 Methodische Analyse: Selbsttätigkeit

Entdeckenlassend vs. darbietend• Entdeckenlassendes Lehren

– Selbstständiges Entdecken durch Schüler kommt nur selten im Mathematikunterricht vor.

– Entdecken als Tätigkeit muss zuvor unter Anleitung gelernt werden:

… Entdeckenlassendes Lehren unter Führung– Schüler sollen den Eindruck gewinnen:

… „Darauf hätte ich auch selbst kommen können.“… „Das habe ich selbst gefunden.“

Entdeckenlassend vs. darbietend• Entdeckenlassendes Lehren

– Selbstständiges Entdecken durch Schüler kommt nur selten im Mathematikunterricht vor.

– Entdecken als Tätigkeit muss zuvor unter Anleitung gelernt werden:

… Entdeckenlassendes Lehren unter Führung– Schüler sollen den Eindruck gewinnen:

… „Darauf hätte ich auch selbst kommen können.“… „Das habe ich selbst gefunden.“



• Darbietendes Lehren– Der Lehrer bereitet den Stoff inhaltlich und methodisch bis

ins Einzelne auf und lehrt ihn plangemäß:… Erarbeitend mit den Schülern oder ihnen darbietend

– Lernschwierigkeiten voraussehen und Wege zum Überwinden solcher Probleme planen.

… Sorgfältige methodische Stufung des Lehrstoffs… Bereitstellen von Hilfen:

Impulse, Hinweise, ... Vereinfachungen, didaktische Modelle Veranschaulichungen

• Darbietendes Lehren– Der Lehrer bereitet den Stoff inhaltlich und methodisch bis

ins Einzelne auf und lehrt ihn plangemäß:… Erarbeitend mit den Schülern oder ihnen darbietend

– Lernschwierigkeiten voraussehen und Wege zum Überwinden solcher Probleme planen.

… Sorgfältige methodische Stufung des Lehrstoffs… Bereitstellen von Hilfen:

Impulse, Hinweise, ... Vereinfachungen, didaktische Modelle Veranschaulichungen



• Entdeckenlassendes vs. darbietendes Lehren?– Darbietender Unterricht möchte dieselben Ziele erreichen,

welche beim entdeckenlassenden Lehren genannt sind.– Häufig wird der Schüler auch im angeblich entdecken-

lassenden Unterricht gegängelt:… Sehr kleinschrittiges Vorgehen, damit möglichst alle

Schüler ohne viel Nachdenken zu Erfolgen kommen (besonders bei Arbeitsblättern).

… Hilfen sind sehr direkt (verraten zu viel).… Über die Brauchbarkeit von Schülerbeiträgen

entscheidet meistens nur der Lehrer.… Kein Vergleich verschiedener Bearbeitungswege. Nur

selten wird die Wahl eines Weges begründet.

• Entdeckenlassendes vs. darbietendes Lehren?– Darbietender Unterricht möchte dieselben Ziele erreichen,

welche beim entdeckenlassenden Lehren genannt sind.– Häufig wird der Schüler auch im angeblich entdecken-

lassenden Unterricht gegängelt:… Sehr kleinschrittiges Vorgehen, damit möglichst alle

Schüler ohne viel Nachdenken zu Erfolgen kommen (besonders bei Arbeitsblättern).

… Hilfen sind sehr direkt (verraten zu viel).… Über die Brauchbarkeit von Schülerbeiträgen

entscheidet meistens nur der Lehrer.… Kein Vergleich verschiedener Bearbeitungswege. Nur

selten wird die Wahl eines Weges begründet.



• Darbietender Unterricht kann auch produktive Leistungen von Schülern anregen.

– Dem Schüler Gelegenheit zur Eigentätigkeit und zu kleinen „Entdeckungen“ geben.

… Verschiedene Bearbeitungswege zulassen, anregen, ... … Heuristische Hilfen thematisieren (vor, während,

darnach).… So wenig Hilfe geben wie möglich.

– Lehren nach der genetischen Methode… „Genetisches Dozieren“

• Darbietender Unterricht kann auch produktive Leistungen von Schülern anregen.

– Dem Schüler Gelegenheit zur Eigentätigkeit und zu kleinen „Entdeckungen“ geben.

… Verschiedene Bearbeitungswege zulassen, anregen, ... … Heuristische Hilfen thematisieren (vor, während,

darnach).… So wenig Hilfe geben wie möglich.

– Lehren nach der genetischen Methode… „Genetisches Dozieren“


3 Methodische Analyse: Lehrziele festigen3 Methodische Analyse: Lehrziele festigen

Allgemeinere Lehrziele festigen• Zugehörige Aktivitäten muss jeder Schüler selbst (aus-) üben

– und der Lehrer kontrollieren und korrigieren.… Einsichtiges Üben vs. rezeptartigem Nachvollziehen… Verstehen vs. „Verstehen“… Durcharbeiten, Vertiefen

• Anfangs im Klassenunterricht fragend-entwickelnd festigen– mit Hilfe des Lehrers:

… Nachfragen, wiederholen lassen, Wichtiges hervor-heben, an der Tafel festhalten, ...

… Musterlösung(en)… vorbildliche Aufschriebe… nicht zu schnell automatisieren (wenn überhaupt)

• Unterrichtsmaterialien enthalten nur selten Aufgaben zum Festigen allgemeinerer Lehrziele.

Allgemeinere Lehrziele festigen• Zugehörige Aktivitäten muss jeder Schüler selbst (aus-) üben

– und der Lehrer kontrollieren und korrigieren.… Einsichtiges Üben vs. rezeptartigem Nachvollziehen… Verstehen vs. „Verstehen“… Durcharbeiten, Vertiefen

• Anfangs im Klassenunterricht fragend-entwickelnd festigen– mit Hilfe des Lehrers:

… Nachfragen, wiederholen lassen, Wichtiges hervor-heben, an der Tafel festhalten, ...

… Musterlösung(en)… vorbildliche Aufschriebe… nicht zu schnell automatisieren (wenn überhaupt)

• Unterrichtsmaterialien enthalten nur selten Aufgaben zum Festigen allgemeinerer Lehrziele.


3 Methodische Analyse: Arbeitsblätter3 Methodische Analyse: Arbeitsblätter

Arbeitsblätter• sollen Schüler zur Eigentätigkeit veranlassen, entdecken-

lassendes Lehren unterstützen und dem Lehrer Zeit geben, einzelnen Schülern zu helfen.

– Viele Arbeitsblätter erfüllen diese Zwecke nicht: s.o.• sind festgelegt und können sich nicht spontan dem Unter-

richtsgeschehen anpassen, wie man es vom Lehrer im Unter-richtsgespräch erwartet.

• erlauben dem Schüler, sein Arbeitstempo selbst zu wählen.– Dieser Vorteil verwandelt sich oft in einen Nachteil:

… Wenn der Lehrer die Arbeit unterbricht, um für die Stunde ein ordentliches Ende zu finden.

… „Der Rest ist Hausaufgabe.“• erleichtern nach Leistungsvermögen differenzierten Unterricht.

Arbeitsblätter• sollen Schüler zur Eigentätigkeit veranlassen, entdecken-

lassendes Lehren unterstützen und dem Lehrer Zeit geben, einzelnen Schülern zu helfen.

– Viele Arbeitsblätter erfüllen diese Zwecke nicht: s.o.• sind festgelegt und können sich nicht spontan dem Unter-

richtsgeschehen anpassen, wie man es vom Lehrer im Unter-richtsgespräch erwartet.

• erlauben dem Schüler, sein Arbeitstempo selbst zu wählen.– Dieser Vorteil verwandelt sich oft in einen Nachteil:

… Wenn der Lehrer die Arbeit unterbricht, um für die Stunde ein ordentliches Ende zu finden.

… „Der Rest ist Hausaufgabe.“• erleichtern nach Leistungsvermögen differenzierten Unterricht.

Folie 50


3 Methodische Analyse: Wurzelgesetze lehren (1)3 Methodische Analyse: Wurzelgesetze lehren (1)

Skizze zur Behandlung von Wurzelgesetzen… mit Texten für Tafel und Heft… mit methodischen Hinweisen

Erste Stunde• Vorinformation und Einstieg

– Überschrift: Wurzelgesetze– Text:

Wir haben eine neue Rechenoperation kennen gelernt, das Wurzelziehen.

Wir untersuchen jetzt, welche Eigenschaften das Wurzelziehen hat, und was solche Eigenschaften nützen.

Dazu betrachten wir zuerst die „alten“ Rechenoperationen.

Skizze zur Behandlung von Wurzelgesetzen… mit Texten für Tafel und Heft… mit methodischen Hinweisen

Erste Stunde• Vorinformation und Einstieg

– Überschrift: Wurzelgesetze– Text:

Wir haben eine neue Rechenoperation kennen gelernt, das Wurzelziehen.

Wir untersuchen jetzt, welche Eigenschaften das Wurzelziehen hat, und was solche Eigenschaften nützen.

Dazu betrachten wir zuerst die „alten“ Rechenoperationen.



• Wiederholung– „Alte“ Rechenoperationen und Eigenschaften

Mögliche Impulse: Termumformungen Im fragend-entwickelnden Klassengespräch oder

mit Hilfe eines Arbeitsblattes– Zusammenfassung notieren:

… Operationen und ihre Eigenschaften (Rechengesetze)… Rolle von Rechengesetzen

– Hausaufgabe:… Potenzgesetze und zu jedem eine typische Aufgabe

notieren als Wiederholung und Vorbereitung der nächsten

Stunde

Ende der Stunde

• Wiederholung– „Alte“ Rechenoperationen und Eigenschaften

Mögliche Impulse: Termumformungen Im fragend-entwickelnden Klassengespräch oder

mit Hilfe eines Arbeitsblattes– Zusammenfassung notieren:

… Operationen und ihre Eigenschaften (Rechengesetze)… Rolle von Rechengesetzen

– Hausaufgabe:… Potenzgesetze und zu jedem eine typische Aufgabe

notieren als Wiederholung und Vorbereitung der nächsten

Stunde

Ende der Stunde



Nächste Stunde• Rückblick und Hausaufgabenbesprechung als Einstieg• Einführung

– Aufgabe… Nenne mögliche Eigenschaften des Wurzelziehens.

– Lösung bearbeiten im Klassengespräch

… Ideen(1) Wir ersetzen in bekannten Rechengesetzen eine Operation durch das Wurzelziehen.(2) Wir suchen im Schulbuch: Inhalts- und Stichwortverzeichnis

Schülervorschläge um falsche Aussagen ergänzen

Nächste Stunde• Rückblick und Hausaufgabenbesprechung als Einstieg• Einführung

– Aufgabe… Nenne mögliche Eigenschaften des Wurzelziehens.

– Lösung bearbeiten im Klassengespräch

… Ideen(1) Wir ersetzen in bekannten Rechengesetzen eine Operation durch das Wurzelziehen.(2) Wir suchen im Schulbuch: Inhalts- und Stichwortverzeichnis

Schülervorschläge um falsche Aussagen ergänzen



…Wie können wir prüfen, welche Aussagen richtig / falsch sind?

Setze Zahlen ein. durchführen

…Genügt dies als Test auf Richtigkeit?(1) Rechengesetze sollen immer richtig sein.(2) Ein Gegenbeispiel genügt für den Nachweis der

Falschheit.(3) Noch so viele richtige Zahlenbeispiele beweisen

nicht, dass etwas immer stimmt. hinweisen auf Herleitungen im Schulbuch

… Wurzelgesetze als „Merk“-Sätze aufschreiben

Ende der Stunde

…Wie können wir prüfen, welche Aussagen richtig / falsch sind?

Setze Zahlen ein. durchführen

…Genügt dies als Test auf Richtigkeit?(1) Rechengesetze sollen immer richtig sein.(2) Ein Gegenbeispiel genügt für den Nachweis der

Falschheit.(3) Noch so viele richtige Zahlenbeispiele beweisen

nicht, dass etwas immer stimmt. hinweisen auf Herleitungen im Schulbuch

… Wurzelgesetze als „Merk“-Sätze aufschreiben

Ende der Stunde



Nächste Stunde• Rückblick als Einstieg• Festigen

– Festigung planen im fragend-entwickelnden Klassengespräch

…Was haben wir gelernt? ... erinnern an allgemeinere Aktivitäten

…Was muss man üben? ... Abschlussprüfungen, Bildungsstandards

Mathematik heranziehen…Wie sehen Übungsaufgaben aus? ...

Schulbuchaufgaben einschätzen– Übungen

erst gemeinsam, dann einzeln oder in Partnerarbeit

Nächste Stunde• Rückblick als Einstieg• Festigen

– Festigung planen im fragend-entwickelnden Klassengespräch

…Was haben wir gelernt? ... erinnern an allgemeinere Aktivitäten

…Was muss man üben? ... Abschlussprüfungen, Bildungsstandards

Mathematik heranziehen…Wie sehen Übungsaufgaben aus? ...

Schulbuchaufgaben einschätzen– Übungen

erst gemeinsam, dann einzeln oder in Partnerarbeit


4 Mathematikunterricht aus dem Schulbuch4 Mathematikunterricht aus dem Schulbuch



Lehrer unterrichtet eng nach einem Schulbuch.• Dies ist der Regelfall.

– Heutige Schulbuchwerke für den Mathematikunterricht sind hierfür geschrieben.

– Lehrerhandbücher mit ausführlichen didaktischen und methodischen Hinweisen haben sich nur für die Primarstufe durchgesetzt.

• Die Mathematiklehrerausbildung muss dies berücksichtigen.– Sachanalysen und didaktische Analysen (wie hier gezeigt)

fallen vielen mittelmäßigen Lehrern (zu) schwer.– Solche sind im Schulalltag auch viel zu zeitaufwändig.– Ziel: mit einem Schulbuch Mathematikunterricht halten ohne

großen Vorbereitungsaufwand

Lehrer unterrichtet eng nach einem Schulbuch.• Dies ist der Regelfall.

– Heutige Schulbuchwerke für den Mathematikunterricht sind hierfür geschrieben.

– Lehrerhandbücher mit ausführlichen didaktischen und methodischen Hinweisen haben sich nur für die Primarstufe durchgesetzt.

• Die Mathematiklehrerausbildung muss dies berücksichtigen.– Sachanalysen und didaktische Analysen (wie hier gezeigt)

fallen vielen mittelmäßigen Lehrern (zu) schwer.– Solche sind im Schulalltag auch viel zu zeitaufwändig.– Ziel: mit einem Schulbuch Mathematikunterricht halten ohne

großen Vorbereitungsaufwand



Ideale Planung einer Unterrichtseinheit mit dem Schulbuch• Materialien

– Schulbuch, Checkliste zur Unterrichtsvorbereitung– Schulcurriculum, Lehrplan, Abschlussprüfungen,

Bildungsstandards Mathematik• Kerninhalte der Unterrichtseinheit festlegen

– „Weniger ist mehr!“• Analysen der Vorschläge im Schulbuch

– Lehrzielanalysen von Einführung und Festigungen… Lassen sich mit den gefundenen Lehrziele allgemeinere

Ziele verknüpfen?– Kritik von Motivation, Veranschaulichungen, didaktischen

Modellen … Sind sie dem Schüler zugänglich?… Leisten sie, was sie sollen?

Ideale Planung einer Unterrichtseinheit mit dem Schulbuch• Materialien

– Schulbuch, Checkliste zur Unterrichtsvorbereitung– Schulcurriculum, Lehrplan, Abschlussprüfungen,

Bildungsstandards Mathematik• Kerninhalte der Unterrichtseinheit festlegen

– „Weniger ist mehr!“• Analysen der Vorschläge im Schulbuch

– Lehrzielanalysen von Einführung und Festigungen… Lassen sich mit den gefundenen Lehrziele allgemeinere

Ziele verknüpfen?– Kritik von Motivation, Veranschaulichungen, didaktischen

Modellen … Sind sie dem Schüler zugänglich?… Leisten sie, was sie sollen?



• Auswahl von Lehrzielen– „Weniger ist mehr!“– Allgemeinere Lehrziele nicht vergessen

… Lehrplan, Abschlussprüfungen, Bildungsstandards Mathematik berücksichtigen

– Rechtfertigen der Auswahl für sich selbst• Stoffanordnung festlegen

– anhand des Buches oder anderer Materialien• Wahl von Unterrichtsmethoden

– verträglich mit den gesetzten Lehrzielen• Rückblick auf den Plan

– Kritik, Korrektur… besonders nach gehaltenem Unterricht

• Auswahl von Lehrzielen– „Weniger ist mehr!“– Allgemeinere Lehrziele nicht vergessen

… Lehrplan, Abschlussprüfungen, Bildungsstandards Mathematik berücksichtigen

– Rechtfertigen der Auswahl für sich selbst• Stoffanordnung festlegen

– anhand des Buches oder anderer Materialien• Wahl von Unterrichtsmethoden

– verträglich mit den gesetzten Lehrzielen• Rückblick auf den Plan

– Kritik, Korrektur… besonders nach gehaltenem Unterricht



• Planungen für einen Mathematikunterricht aus dem Schulbuch– in allen drei Phasen der Lehrerausbildung

… zeigen und durchführen lassen,… darüber reden,… Planungsentscheidungen begründen,… gelegentlich zu einer großen Unterrichtsvorbereitung

ausweiten.

• Planungen für einen Mathematikunterricht aus dem Schulbuch– in allen drei Phasen der Lehrerausbildung

… zeigen und durchführen lassen,… darüber reden,… Planungsentscheidungen begründen,… gelegentlich zu einer großen Unterrichtsvorbereitung

ausweiten.


4 Schlussbemerkungen4 Schlussbemerkungen



Was soll eine große Unterrichtsvorbereitung?• Man verlangt sie nur im Referendariat und bei Bewerbungen.

– Nicht einmal beim Schreiben von Schulbüchern und Konstruieren von Lehrplänen werden solche erstellt.

• Die Ausbildung von Mathematiklehrern muss aufbauen– ein Repertoire von Unterrichtsmethoden,– ein Archiv mit erprobten Vorlagen zu Standardthemen des

Mathematikunterrichts,– akzeptable „Weltbilder“ zur Mathematik und zum Unterricht.

auch beim mittelmäßigen Absolventen durch– das bewusste Arbeiten mit fertigen und gut dokumentierten

Unterrichtsmaterialien.

Was soll eine große Unterrichtsvorbereitung?• Man verlangt sie nur im Referendariat und bei Bewerbungen.

– Nicht einmal beim Schreiben von Schulbüchern und Konstruieren von Lehrplänen werden solche erstellt.

• Die Ausbildung von Mathematiklehrern muss aufbauen– ein Repertoire von Unterrichtsmethoden,– ein Archiv mit erprobten Vorlagen zu Standardthemen des

Mathematikunterrichts,– akzeptable „Weltbilder“ zur Mathematik und zum Unterricht.

auch beim mittelmäßigen Absolventen durch– das bewusste Arbeiten mit fertigen und gut dokumentierten

Unterrichtsmaterialien.



Ausbildung am Mittelmaß ausrichten• Anstrengungen zur Verbesserung des Mathematikunterrichts

bauen zu sehr auf gute Lehrer,– die man erfahrungsgemäß nicht in ausreichender Zahl hat

und auch nicht bekommen wird.• Die Ausbildung von Mathematiklehrern muss in allen Phasen

berücksichtigen, dass Mittelmaß sowohl bei den (angehenden) Lehrern als auch bei den Ausbildern überwiegt.

– Keine Forderungen stellen, die nur wenige erfüllen können.– Aber auch nicht „weiter wie bisher“.

• Wenig hilfreich für die meisten Lehrer (-studenten) sind– ausgefallene neue Themen („Orchideen“),– seltene Unterrichtsformen (Projekt, Gruppenpuzzle, ...)

• Wichtig sind Vorschläge zum Behandeln von Standardstoffen– mit bescheidenen Ausbildungszielen

Ausbildung am Mittelmaß ausrichten• Anstrengungen zur Verbesserung des Mathematikunterrichts

bauen zu sehr auf gute Lehrer,– die man erfahrungsgemäß nicht in ausreichender Zahl hat

und auch nicht bekommen wird.• Die Ausbildung von Mathematiklehrern muss in allen Phasen

berücksichtigen, dass Mittelmaß sowohl bei den (angehenden) Lehrern als auch bei den Ausbildern überwiegt.

– Keine Forderungen stellen, die nur wenige erfüllen können.– Aber auch nicht „weiter wie bisher“.

• Wenig hilfreich für die meisten Lehrer (-studenten) sind– ausgefallene neue Themen („Orchideen“),– seltene Unterrichtsformen (Projekt, Gruppenpuzzle, ...)

• Wichtig sind Vorschläge zum Behandeln von Standardstoffen– mit bescheidenen Ausbildungszielen



„Mittelmaß“• ist kein Vorwurf an betroffene Lehrer, Studenten, Ausbilder,• sondern eine Tatsachenbeschreibung

– (wie für jede Tätigkeit in Alltag und Beruf),• ist ein Vorwurf an Pädagogik, Fachdidaktik, Politik, ..., diese

Tatsache nicht zu berücksichtigen.

„Mittelmaß“• ist kein Vorwurf an betroffene Lehrer, Studenten, Ausbilder,• sondern eine Tatsachenbeschreibung

– (wie für jede Tätigkeit in Alltag und Beruf),• ist ein Vorwurf an Pädagogik, Fachdidaktik, Politik, ..., diese

Tatsache nicht zu berücksichtigen.

profke, forum gießen, 05.10.20041 lehrerkompetenzen für den mathematikunterricht erörtert an...

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