propuesta de aplicación para el aprendizaje del Álgebra

Consideraciones para un producto de software educativo para el aprendizaje del álgebra.

Eugenio Jacobo Hernández Valdelamar

Febrero, 2007

Eugenio Jacobo Hernández Valdelamar. 2007.2

Requerimientos

Se necesita un programa de software educativo para el tema de álgebra a nivel medio superior.

El programa no resuelve problemas; es una herramienta para que el usuario lo haga.

El programa puede integrar objetos de aprendizaje para conceptos específicos.


Antecedentes – planes de estudio de nivel medio superior

Números y operaciones básica

Ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales

Variación directamente proporcional y funciones lineales

Ecuaciones cuadráticas y factorización

CCH

Conjuntos, sistemas de numeración y números reales

Productos notables y factorización

Operaciones con fracciones y radicales

Operaciones con monomios y polinomios

Ecuaciones y desigualdades

ENP

Sistemas de ecuaciones y desigualdades

Aritmética: una introducción al álgebra

Ecuaciones: modelos generalizadores

Función lineal y ecuaciones de primer grado con 2 variables

Lenguaje algebraico: operatividad

Funciones polinomiales

CB

Análisis de funciones

Estos temas corresponden a los 2 primeros semestres


Antecedentes – PISA

Mathematical literacy is an individual’s capacity to identify and understand the role that mathematics plays in the world, to make well-founded judgements and to use and engage with mathematics in ways that meet the needs of that individual’s life as a constructive, concerned and reflective citizen.

Espacio y forma

Cambio y relaciones

Cantidad

Incertidumbre

Contenidos

Thinking and reasoning: Argumentation: Communication: Modelling: Problem posing and solving: Representation: Using symbolic, formal and technical language and operations: Use of aids and tools:

Competencias


Antecedentes – software educativo para algebra

Calculadoras. Evaluadores de expresiones. Drill & practice: contienen una base

de datos de ejercicios que el usuario debe resolver (cientos de ejercicios para “machetearle”).

Objetos de aprendizaje específicos.


Selección del área de conocimiento: criterios Tentación 1: Poner todos los temas en un

solo producto. En este caso son muchos temas y muy amplios.

Dar preferencia a la solución de problemas, más que a la práctica repetitiva (drilling).

Conceptos básicos a explorar: operaciones, variable, expresión, función, ecuación.

Tratar de que los problemas propuestos tengan un contexto práctico.

Proponer representaciones que inspiren a la solución de problemas.


Clave: el álgebra tiene aplicaciones Sirve para comunicar, modelar situaciones reales Problemas por tópicos/contextos:

Números Edades Longitudes, perímetros, áreas y volúmenes Movimiento Recursión Trabajo Mezclas Finanzas Conversión de unidades Proporciones Porcentajes Cambios logarítmicos y exponenciales Probabilidad Aplicación de fórmulas, definiciones y principios

Henri Picciotto


Pensamiento algebraico y solución de problemas

Pensamiento algebraicoHerramientas de pensamiento

matemáticoIdeas algebraicas: ¿qué enfoque

adoptamos?• Álgebra como aritmética abstracta.• Álgebra como un lenguaje.• Álgebra como herramienta de estudio de

funciones y modelado matemático.


Ecuaciones lineales – planes de estudio de nivel medio superior

Números y operaciones básica

Ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales

Variación directamente proporcional y funciones lineales

Ecuaciones cuadráticas y factorización

CCH

Conjuntos, sistemas de numeración y números reales

Productos notables y factorización

Operaciones con fracciones y radicales

Operaciones con monomios y polinomios

Ecuaciones y desigualdades

ENP

Sistemas de ecuaciones y desigualdades

Aritmética: una introducción al álgebra

Ecuaciones: modelos generalizadores

Función lineal y ecuaciones de primer grado con 2 variables

Lenguaje algebraico: operatividad

Funciones polinomiales

CB

Análisis de funciones

Estos temas corresponden a los 2 primeros semestres

Un área interesante es la de funciones/ecuaciones lineales. Hay muchos problemas que involucran estas construcciones.


Propuesta 1: un juego de entretenimiento educativo Juego de exploración

El escenario es un laberinto con varios cuartos, y en cada cuarto hay retos.

Recursos Puesto que se requiere que el usuario ejercite sus

habilidades matemáticas, el uso de unidades de cambio para adquirir recursos es un mecanismo ideal para proponer problemas.

Problemas en el contexto del juego Los problemas planteados usan ecuaciones lineales,

y los planteamientos tienen que ver con el juego. Pero las ecuaciones no se presentan en su forma simbólica, sino usando metáforas de máquinas y otros artilugios. Estos dispositivos los elige el jugador como parte de su plan para resolver el problema.


Elementos del juego

Personaje Máquinas / dispositivos /software para una PDA

Pistas, mensajes, trampas, cofres

EscenarioContactos de intercambio/comercio

Peligros, trampas


Ejemplos – cerraduras y mensajes Mientras se explora el espacio de juego,

para obtener recompensas y seguir avanzando, hay que abrir varias puertas.

Cada puerta tiene una cerradura con un mecanismo que requiere parametrizar una ecuación lineal.

Las pistas en el espacio de juego pueden estar codificadas, por lo que se requiere que se ajuste un visor de claves para descubrir lo que dice el mensaje (los cifradores César son ecuaciones lineales).


Otras actividades

Obtener un valor a partir de un nombre con la máquina de variables. Abrir cerraduras completando series de patrones. Descifrar mensajes ajustando una máquina descifradora (se ve el texto en

clave y el texto transformado). Calcular valores con una de las siguientes máquinas:

D1 (para operaciones en la recta numérica) D2 (para operaciones en el plano cartesiano) R3 (regla de 3 para proporciones) Balanza Mezcladora TU (para transformación de unidades) PAV (para calcular perímetros, áreas y volúmenes)

Temáticas: Aventura detectivesca donde hay que solucionar un caso. Búsqueda de tesoros (aka Código daVinci, Indiana Jones). Escape de un sitio (el Cubo, Alcatraz).


Valoración de la propuesta

Un juego ayuda a motivar a los usuarios.

Se requiere incrustar los procesos de aprendizaje en la dinámica del juego.

Es un sistema cerrado donde el usuario solo avanzará en el contexto planteado.


Propuesta 2: una herramienta para modelar y solucionar problemas

Galileo tiene como antecedente haber desarrollado los laboratorios de geometría analítica y de funciones (para cálculo).

Este enfoque permite a los estudiantes manipular y explorar sus objetos de estudio.

En el caso del álgebra, se debe contar con una estrategia para que el usuario sea quien plantee y resuelva problemas.


Acotando el objeto de estudio Es importante acotar el tipo de ecuaciones con las que se

trabajará, para que las representaciones y herramientas sean efectivas.

Por ejemplo, para expresiones del tipo x+a=b, x*a=b, x/a=b/c, es posible usar una recta numérica para representar la solución.

En el caso de funciones o sistemas de ecuaciones de una o dos variables, el plano cartesiano permite visualizar la solución.

Para estudiar cambios, seria necesario introducir un elemento que permita incrementos en el tiempo.

Pero, ante todo, debe establecerse un proceso claro donde el usuario alimente al sistema para representar el problema y obtener el resultado.


Ejemplo del proceso de planteamiento y solución de un problema v.0.1

Enunciado del problema:María tiene una cubeta con 5 litros de agua; usa dos para lavar los trastes y pone 1 de nuevo en la cubeta; ¿cuantos litros de agua tiene?

2. Identificar valores y representarlos como magnitudes (positivas y negativas)

3. Organizar valores, identificar variables y representar relaciones

+

4. Organizar valores con respecto a un sistema de referencia

0 +-

+

x

1. Establecer el enunciado del problema (lenguaje común); las cantidades quedan resaltadas

5. Opera los valores para obtener el resultado

0 +-

5. Resaltar y comentar el resultado

=


El proceso de solución de problemas Debe recordarse que un problema puede solucionarse

de forma analítica o algorítmica. Deben quedar claros los elementos del problema:

Valores, variables, operaciones, el objetivo. La solución puede requerir solo de evaluar la expresión

(o ecuación). Debe quedar clara la secuencia de pasos a seguir para

obtener la solución (en una ecuación lineal, registrar las operaciones inversas aplicadas para aislar la variable).

La estrategia de solución es organizar términos semejantes en cada lado de la ecuación.

Es importante validar el resultado, para que el procedimiento tenga sentido.


Ejemplo del proceso de planteamiento y solución de un problema v.0.2

Enunciado del problema:María tiene una cubeta con 5 litros de agua; usa dos para lavar los trastes y pone 1 de nuevo en la cubeta; ¿cuantos litros de agua tiene?

2. Identificar valores y representarlos como magnitudes (positivas y negativas)

3. Organizar valores y variables con respecto a un sistema de referencia


5 12

0 +- x


x 4=

Enunciado del problema:dada la expresión 7x+2=-54, encuentre el valor de x

2. Identificar valores y representarlos como magnitudes

3. Organizar valores y variables con respecto a un sistema de referencia


2 -54

0 +-

7x


x -8=

7x =

-54 2

x x x x x x x

x

x =


Visualizando la solución de una ecuación lineal Si la ecuación tiene los términos

variables de un solo lado, es posible visualizar el problema como magnitudes en la recta numérica.

Si la ecuación tiene términos variables en ambos lados, puede visualizarse como 2 rectas en el plano, donde su intersección es la solución.


Ejemplo del proceso de planteamiento y solución de un problema v.0.2 a

Enunciado del problema:dada la expresión 8x-1=23-4x, encuentre el valor de x

En este caso, ambos lados de la ecuación tienen una variablepor lo que pueden graficarse 2 rectas.

La intersección está en x=2


Problema

En la granja

En una granja se crían gallinas y conejos.

Si se cuentan las cabezas, son 50, si las patas, son 134.

¿Cuántos animales hay de cada clase?

g = # de gallinasc = # de Conejosg + c = 50 …(1)datos de las patas:4c + 2g = 134 …(2)Al despejar c de (1) obtenemos:c = 50 – g …(3)Sustituyendo (3) en (2)4 (50-g) + 2g = 134200 -4g + 2g = 134-2g = 134 - 200-2g = -66g = 33 …(4)Sustituyendo (4) en (3)c = 50 – 33c = 17


Procesos de cambio

Implica : el uso del tiempo (t) definir las reglas que se aplicarán en cada

instante de tiempo. Establecer una meta para que el proceso

termine. Puede requerirse el resultado exacto en un

instante o al final del proceso. Lo interesante sería ver el desarrollo del

fenómeno.


Ejemplo del proceso de planteamiento y solución de un problema – visualización de procesos de cambio

Enunciado del problema:Un caracol cayó a un pozo de 6 metros de profundidad al iniciarse el día; durante el día trepaba 3 metros, pero por la noche descendía 2.

¿Cuántos días tardó en salir del pozo?

Objeto/móvil

Reglas para cada instante de tiempo:

Unidades de tiempo: día

3

2

Meta (condición de salida): distancia = 6

t

d6

0 +-Toda esta información se usa para iterarlas reglas hasta alcanzar el objetivo.

4

Valida meta

Valida meta


Valoración de la propuesta

¿Nos interesa hacer énfasis en el proceso matemático mecánico o en la resolución de problemas?

Esta propuesta permite llevar orden en el proceso de planteamiento y resolución de problemas.

Se cuenta con herramientas que ayudan a visualizar el proceso de resolución.

El sistema es abierto. El usuario puede explorar sus propios planteamientos.

Se pueden generar reportes del proceso de solución.

propuesta de aplicación para el aprendizaje del Álgebra

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