pter rzsa - jtk a vgtelennel

8/20/2019 Pter Rzsa - Jtk a Vgtelennel

1/260

JÁTÉK A

VÉGTELENNEL

Matematika kívülállóknak

ÍRTA: PÉTER RÓZSA

Hetedik

kiadás

TYPOT^X

Budapest

999


2/260

TARTALOM

Előszó a 7. kiadáshoz 7

Bevezetés 9

I. RÉSZA BŰVÉSZINAS

1 .

Játék az

ujjakkal

1 5

2.

A

műveletek

lázgörbéi 1 8

3 .

A

végtelen

számsor parcellázása

25

4. A bűvészinas 3 l

5.

Egy alaptém a va riációi 3 8

Utóirat a mérték nélküli

mértanról

4 2

6. Minden lehetőséget megjátszunk

4 9

7. A szürke számsor színezése 6 0

8.

„Gondoltam

egy

számot"

68

1 1 . RÉSZA TEREMTŐ FORMA

9. Szétfutó számok 79

1 0. Határtalan sűrűség

89

l I. Ismét megfogjuk a végtelen 1 00

1 2 .

M e g t e l i k a

s z á m v o n a l

1 1 3

1 3 .

A

lázgörbék kisimulnak

1 26

1 4 .

E g y

a matematika 1 3 8

Utóirat

a

hullámokról

és az árnyékról 1 49

l 5 .

„írja" elemek

1 5 7

1 6 .

M ű h e l y t i t k o k

1 72

1 7. So k kicsi sokra megy

1 89

III. RÉSZA TISZTA ÉSZ

ÖNKRITIKÁJA

18.

És mégis sokféle a matematika 209

Utóirat a negyedik dimenzióról 2 1 9

1 9.

Az épület meginog

2 2 1

20 .

Önállósul

a forma ,. .. 227


3/260

2 1 . A felettesmatematika ítéiőszéke előtt 2 3 5

Utóirat a végtelenbe

v e t í t e t t

szemléletről 2 4 2

22. Mit nem tud a matematika? 244

FÜGGELÉK: Formabontás a „Két kultúra" ellen 25 7

HASZNÁLATÚJÁN 265

Előszó az első kiadáshoz 267

Előszó

az f

9 57 es kiadáshoz

26 9

Előszó az l 969es kiadáshoz .. 270


4/260

E L Ő S Z Ó A 7 .

KIADÁSHOZ

Örömmel

és fájdalommal teszek eleget a

megtisztelő

felkérésnek, hogy

előszót írjak Péter Rózsa világsikert

aratott

játék

a

végtelennel című könyvének

a

Typotex

Kiadónál

megjelenő

új kiadásához. Örömmel, mert a könyvet (termé

szetesen)

én is a

matematikai ismeretterjesztő

irodalom

egyik csúcspontjának

tartom,

d e

ugyanakkor fájdalommal

is ,

hiszen olyasmit teszek, amihez igazában

csak

a

könyv szerzőjének volna joga;

d e

fiát

Ö t,

sajnos, 1977

ó ta m á r

elhunyt

nagyjaink között tarthatjuk

csak

számon.

Miért remekmű ez a könyv?

Erre

az a felületes válasz, hogy hiszen lefordí

tották

s z á m o s

nyelvre,

és e

fordítások számottevő része több kiadásban

is

megje

lent. A mélyebbre ásó válasz azonban arra kísérel meg magyarázatot találni, vajon a

könyvnek mely tulajdonságai indokolják ezt a tényekkel alátámasztott sikert.

M a t e m a t i k a i ismeretterjesztés csak a matematika formalizmusának teljes vagy

c s a k n e m teljes mellőzésével, a logikai szigorúság matematikai művekben joggal

megkívánt

lazításával,

szemléletes képekkel való helyettesítésével végezhető haté

konyan; éneikül nem ismeretterjesztő rnü, hanem szakkönyv jön létre, amelyet

csak matematikusok,

esetleg

csak

a matematika valamely szűkebb ágának szakértői

tudnak megérteni és méltányolni. A ki valóban a nemmatematikus (sőt a

ha jlam ánál,

neveltetésénéi

fogva

magát

a

matematikától távolállónak

érző,

esetleg éppen

a

m a t e m a t i k á v a l szemben elfogult) olvasó számára ír , annak mindezeket a mate

m a tik a i irodalomban meg nem engedett lazaságokat léptennyomon a lkalmaznia

kell,

de

eközben

ne m szabad

a matematikai gon dolatokat meghamisítania.

Ahhoz, hogy ez a tojástánchoz hasonlítható

feladat

sikeresen megvalósítha

tó legyen, a szerzőnek mindazt, amiről ir, a kutató tudós mélységéig kell ismer

nie.

Előfordul, hogy

valaki ,

esetleg

a

legteljesebb jóhiszeműséggel, megkísérli

a z

oivasmányaiból

megismert eredményeket közvetíteni anélkül, hogy mindezeket

a z

alkotó tudós azonosulásának szintjéig magáévá tette vo lna , s ebből óhatatlanul

félrevezető pontatlanságok jönnek

létre,

Péter Rózsa könyvének nagyszerűsége

éppen abból ered, hogy ő maga alkotó matematikus volt, aki szerelmének tár

gyát (melyik igazi tudós nem szerelmes az általa művelt t u d o m á n y b a ? ) kívánta

(legalábbis

a

lehetőséghez képest) ismertté

é s

vonzóvá tenni

a

kívülállók számá

ra .

Természetesen

a z a

körülmény, hogy Péter Rózsa

a

matematikai kutatás

a k

tív művelője

volt, csak egyik szükséges fettétele az

elért

eredménynek (nem

minden alkotó matematikus képes ilyen magas szintű ismeretterjesztésre),

de

mindenesetre

alapvetően fontos, nélkülözhetetlen feltétele a sikernek.

Legyen s z a ba d most e gy kissé szubjektívnek lennem. A J á t é k

a

végtelennel

első

kiadása, tudjuk,

1 9 4 5

nyarán jelent meg.

É n

akkor

mint

későbbi feleségem


5/260

nek hadifogságból éppen hazatért friss vőlegénye, megvettem és neki ajánlottam

a

könyvet, amely azután

kettőnk

egyik kedvenc

o lva s m á ny á vá

vált. Belelapozva

az

első

k iadásba,

észrevettem

egy

apró különbséget

a

későbbi kiadásokhoz

ké

pest.

Az első kiadásban a Bevezetés

egyik

mondata

Így szól:

„Én nem azért sze

retem

a matematikát, mert így mesélték nekem alkalmazni lehet a techniká

ban, hanem azért, mert szép."

Ez a

mondat

a

negyedik ( 1 9 6 9 e s )

k iadásban így

hangzik:

„Én

nemcsak azért szeretem

a matematikát, mert

alkalmazni lehet

a

technikában,

hanem főleg

azért,

mert szép."

A

szerző egyébként gondosan

és

matematikushoz

illő

pontossággal felsorolja az

ú j a b b

kiadásokban mutatkozó

vál

toztatásokat, mert hiszen

a

könyv

a

matematika legfrissebb eredményeit

is be

akarja

mutatni az olvasónak, és ezek az újabb és

újabb

kiadások

között

is fejlőd

tek, amit

a

szöveg (természetesen) figyelembe

vett,

a

bevezetésnek

ezt a kts

módosítását

azonban

nem

említi.

Anélkül,

hogy ehhez

a

húsz évnél régebben

el

hunyt szerző hozzájárulását elnyerhetném, legyen szabad

feltételeznem,

hogy

Péter Rózsának ( 9 4 5

é s

1969

között

belső viszonyulása

változott m e g a

mate

m a t ik a alkalmazásaihoz; amitől 1 9 4 5 b e n még távol állt. azt

1 9 6 9 b e n

már magá

énak érezte, sőt mint a

halála előtt

k e v é s s e l

megjelent,

a

matematikai logiká

na k a számítógéptudományban való alkalmazásairól

szóló monográfiájából

kitű

nik

alkotóan művelte.

E b b ő l

az apró szövegváltoztatásból, talán nem túlozva, szeretnék egy a ma

tematika és a

v a l ó s á g

viszonyának (súlyos filozófiai kérdéseket

felvető) problé

májáig eljutni.

A

matematikának számos

(a régebbi

századokban

szinte

vala

mennyi) kérdésköre

a

mindennapi élet vagy

m á s

tudományok felvetette

fe lada

tok

megoldásának szándékából eredt. Előfordul azonban, hogy egyegy

ma

tematikai kérdés nem

kívülről,

hanem a matematika belső problémáiból fakadt,

és

ilyenkor hosszú

ideig úgy tűnt,

hogy

az

élettől távol álló,

alkalmazásokhoz so

hasem

vezető,

é s ezért

s o k a k részérő elutasított gondolatkörről, esetleg

egész

elméletről van

szó.

Aki

azonban elég türelmes

és

képes

kellő

ideig

várni,

mindig

rájön, hogy

az élettől e l r u g a s z k o d o t t n a k tűnő

matematikai elméletek előbb

utóbb

megtalálják

a l k a l m a z á s u k a t ,

így

volt

ez a

Péter Rózsától elsősorban művelt

kérdéskörrel,

a rekurzív

függvények elméletéve is, amely indulásakor pusztán

a

matematikai logika szempontjából látszott érdekesnek, de alig néhány évtized

elteltével a

számítógéptudomány egyik fontos

és

hasznos fegyverévé vált,

A

fej

lődésnek ezt az állomását még éppen megérte Péter Rózsa, s

{talán

éppen

ezért) törölte

az „így

mesélték nekem" félmondatot.

S ok élvezetes

percet kívánok az új

k i a d á s

olvasóinak.

Budapest,

1 9 9 9 .

áprilisában

Császár

Ákos


6/260

B E V E Z E T É S

Es ze m be

jut e g y régi be s zé lg e t é s . E g y írónk, a k i igen

k e d v e s

e m b e r e m ,

p an as zo lt a

n e k e m , h o g y h i á n y o s n a k

érzi m ű v e l t s é g é t ,

m e r t

n e m t u d

m a t e

m a t i k á t . A s a já t t e r ü l e t é n érzi e n n e k a h i á n y á t ,

írás

k ö z b e n . M e r t p é l d á u l a

k o o r d i n á t a r e n d s z e r r e

m é g

e m l é k s z ik

a z

i s k o l á s m a t e m a t i k á b ó l

és ezt már

ké p b e n , h a s o n l a t b a n Is f e lh a s z n á l t a . Ü gy érzi, hogy m ég s ok i l y e n fe l használ h a t ó

a nya g

van a m a t e m a t i k á b a n , é s a k i f e j e z ő k é p e s s é g e

sz egényeb b

a t tó l , hogy

n e m m e r í t h e t e b b ő l a g a z d a g f o r r á s b ó l . D e m i n de z r e m é n y t e l e n panasz,

mert

a b b a n b i z o n y o s , h o g y a

m a t e m a t i k á b a

n e m t u d n a b e h a t o l n i.

Ez a

beszélgetés

a z ó t a s o k s z o r f e l é l e d t b e n n e m ,

g o n d o l a t o k a t ,

t e r v e k e t

éb res ztő én. Hogy it t t e n n i v a l ó v a n , a z t a z ets ő p i l l a n a t r a b e l á t t a m , h is zen

a b b a n , a m i t a m a t e m a t i k a az é n s z á m o m r a j e l e n t, m i n d ig a h a n g u l a t i e lem

volt a döntő és ez b izony á ra közös f orrá s , a m ib ő l a z

író,

a m ű v é s z is meríthet.

E s z e m b e

jut egy

példa

diákkoromból:

Több e gy e te m i t á r s a m m a l e g y ü t t

S h a w e g y i k s z í n m ű v é t o l v a s t u k . O tt tartottunk, a h o l a h ő s m e g k é r d e z i a

h ő s n ő t :

m i a t i t k a , h o g y t u d j a o l y a n jó l v e z e t n i é s m e g n y e r n i n l e g n e h e z e b b e n

k e z e l h e t ő e m b e r e k e t is? A hő s nő elgondolkozik: Ta lá n a z a

m a g y a r á z a t a

ennek, hogy

ő

v a l ó j á b a n

e g y

k i c s i t t á v o í

va n m i n d e n k i t ő l .

E rre

a f e lolv a s ó

tá rs nő m

( B e n k ö

k a )

felkiált:

,,Ez

u g y a n a z ,

m i n t

a m a

t a n u l t m a t e m a t i k a i

t é t e l " A m a t e m a t i k a i k é r d é s u g y a n i s e z volt: l e h e t e e g y p o n t h a l m a z h o z

e gy k í v ü l f e k v ő

p o n t b ó l

ú gy

közeledni, hogy

e g y s z e r r e v a l a m e n n y i

pont já

h o z k ö z e l e d j ü n k ? A f e l e l e t : E n n e k a z a f e l t é t e l e ,

h o g y a

k í v ül f ekv ő pont e lég

messze essék

a z

egész h a l m a z t ó l :

innen

ne m

l e h e t ,

m íg

eg/es

pon t okhoz

innen

mir

lehet,

közel edün k,

a

t ö b b i t ő l

t á v o l o d u n k :


7/260

10

B E V E Z E T É S

A z

író m á s i k á l l í t á s á t :

hogy ne m t u d n a

b e h a t o l n i

a m a t e m a t i k á b a , p é l d á u l

sohasem

t u d n á

m e g é r t e n i a s o k a t e m l e g e t e t t

d i f fe r e n c i á l h á n y a d o s f o g a l m á t ,

ne m

a k a r t a m

elhinni.

M e g p r ó b á l t a m s z é t t a g o l n i

e f o g al o m

b e v e z e t é s é t

a

le

hető

l e g e g y s z e r ű b b ,

v i lágos lépésekre,

A v á l a s z

n a g y o n m e g l e p ő

vök: A m a

t e m a t i k u s el sem t u d j a k é p z e l n i ,

hogy

a

l a i k u s n a k

a

l e g e g y s z e r ű b b k é p l e t

is

m i l y e n

n e h é z s é g e k e t o k o z h a t . A h o g y a n

a

p e d a g ó g u s

se m

érti, hogy

l e h e t a z,

hogy

a

nebuló

m á r

h u s zad s zo r s i labi zál ja , h o g y

b . . . a ...b é s m é g

m i n d i g

ne m l á t j a , hogy b a b r ó l v a n s z ó ; it t p e d i g ne m is b a b r ó l v a n szó.

Ez

i s m é t n ag yo n

e l g o n d o l k o z t a t ó

t a p a s z t a l a t

volt

s z á m o m r a . M i n d e d d i g

a zt hittem, hogy a k ö z ö n s é g m a t e m a t i k a

t á j é k o z a t l a n s á g á n a k

a z a z oka, hogy

s e n k i sem trt jó n é p s ze rű k ö n yv e t , p é ld áu l a d i f fe re n c i á ls zám ft ás ról ja n ag yk ö

zönség

s zám ára.

H isz en

a z

é r d e k l ő d é s

s z e m m e l lá t h a t ó a n m e g v a n , a k ö z ö n s é g

valósággal

s z é tk a p k o d j a ,

a m it

e n e m b e n j u t t a t n a k n e k i , d e h i v at ás o s m at e m a

t i k u s m i n d e d d i g n e m f r t i l y e n k ö n y v e t . I g a z i s z a k e m b e r r e g o n d o l o k , a k i

pontosan t u dja, h o g y m i l y e n m é rt é k be n le h e t le e g ys ze rű s í t e n i v a lam i t , an é l

kül, hogy ez h a m i s í t á s v o l n a , a k i é r t a h h o z , hogy n e a ré gi k e s e rű o rv o s s ág o t

adja

b e

v a l a m i te t s z e t ő s

t á l a l á s b a n

(hiszen

a z

i s k o l á s m a t e m a t i k a

a nagy

t ö b b

s é g n e k

k e s e r ű

e m l é k e ) ,

h a n e m m a g á t

a

l é n y e g e t t u d j a a n n y i r a

m e g v i l á g í t a n i ,

hogy egészen s z e m b e s z ö k őv é v á l i k , ás aki maga is i s m e r i a m a t e m a t ik a i a l k o t á s

örömét,

ez ad az í r á s á n a k o l y a n l e n d ü l e t e t , h og y a z o l v a s ó t is m ag áv al rag ad ja.

Most

m á r

k e z d e m

a zt

hinni,

h og y s o k a k s zám ára

m é g a z

i g azi n é p s ze rű k ö n yv

se m lesz

h o z z áférh et ő.

Talán

éppen ez a d ö n t ő m a t e m a t i k u s t u l a j d o n s á g : a z ú t k e s e r v e s

v o l t á n a k

vál la lása. ,,Á m a t e m a t i k á h o z nem v e z e t k i r á l y i út" m o n d t a E u k l i d é s z az

é r d e k l ő d ő

u r a l k o d ó n a k

ezt

k i r á l y o k s z á m á r a

sem

le h e t

k é n y e l m e s s é tenni.

F e l ü l e t e s e n ne m lehet

m a t e m a t i k á t o l v a s n i ,

a k é n y s z e r ű

a b s z t r a k c i ó

mincf ig

b i z onyos ö n k l n z á s s a l j ár , é s m a t e m a t i k u s a z , a k i n e k e z a z ö n k t n z á s örömet

o k o z . M é g a le g jo bb n é p s ze rű k ö n yv e t i s

csak

azok fogják

k ö v e t n i

t u d n i ,

a k i k

egy

bizonyos

f o k i g

vál lal ják ezt .

Akik

v á l l a l j á k a k e s e r v e s s i l a b i z á l á s t m i n d a d

dig,

míg a

k é p l e t

é r t e l m e m e g n e m

v i lágosodik

e l ő t t ü k .

É n ne m

e ze k s zám ára

írok

m o st. K é p l e t n é l k ü li m a t e m a t i k á t

írok,

v a l a

m it a b b ó l a

b i z o n y o s

k ö z ö s h a n g u l a t i

f orrá s b ó l .

N e m t u d o m , s í k e r ü l h e t e e z

a v á l la lk o zás . A k é p l e t t e l a m a t e m a t i k a e g y i k l é n y e g e s j e g y é r ő l m o n d o k le ;

hogy a

f o r m a

a lé n ye g h e z tartozik, a zt író é s m a t e m a t i k u s e g y a r á n t t u d j a .

K é p z e l j ü k

el,

h o g y a n lehetne egy s z o n e t t

h a n g u l a t á t

k i fe je zn i a s zo n e t t fo rm a

nélkül . Mégis

m e g

a k a r o m k í s é r e l n i : h á t h a á t m e n t h e t ő

így is

v a l a m i

a z

igazi

m a t e m a t i k a s z e l l e m é b ő l .

Egy

k ö n n y í t é s t

n e m í g é r h e t e k :

e g y e g y f e j e z e t e t

o l v a s a t l a n u l

á t l a p o z n i ,

k é s őbbre h a las zt an i , v ag y csak f e l ü l e t e s e n f u t n i át : nem s z a b a d . M a t e m a t i k á i

csak

t é g l á n k é n t

l e h e t

f e l é p í t e n i :

itt

e g ye t le n

szó sem

fe le s le g e s , m i n d e n

k ö

v e t k e z ő ré s zle t a z

e l ő z ő r e

é p í t , ha ez i t t nem is a n n y i r a s z e m b e s z ö k ő ,

m i n t


8/260

B E V E Z E T É S

11

e g y u n a l m a s á n

s z i s z t e m a t i z á ló

k ö n y v b e n . A k e v é s u t a s í t á s t

i s k ö v e t n i

k e l l :

i g a z á n r á néz ni

a z

á b r á r a ,

v a l ó b a n p r ó b á l g a t n i e g y e g y s z e r ű rajzot v á g / s z á mo

l á s t , h a ittott er r e

kér em

a z

o lv a s ó t . V i s z o n t

e n g e s z t e l é s ü l

megígér em, hogy

ne m

l e sz u n a l m a s .

A z

i s k o l á s

m a t e m a t i k á b ó l

s e m m i t

s e m fogok f e l h a s z n á l n i ; a számlálással

k e z d e m é s e l

fogok

jutni

a

m a t e m a t i k a

l e g m a i b b

á g á i g :

a

m a t e m a t i k a i

logi

káig.


9/260

ELSŐ RÉSZ

A

bűvészinas


10/260

1 5

1 . J Á T É K AZ. U J J A K K A L

K e z d j ü k

elölről.

N e m

m a t e m a t i k a t ö r t é n e t e t

írok;

e z t

kül önb en

is

csak

írásos e m l é k e k a l a p j á n t e h e t n é m ,

és hol van már az

első írásos

e m l é k

a

kez

d e t t ő l

El

kel l k é p z e l n ü n k

a z

ő s e m b e r t ,

a

maga

primitív

k ö r n y e z e t é b e n ,

a m i n t s z á m l á l n i k e z d . E b b e n a z e l k é p z e l é s b e n mindig s e g í t s é g ü n k r e van az a

primitív

e m b e r k e , a kt a s z e m ü n k

előtt

fe j lődik

kultúremberré:

a k i s b a b a ,

aki a

v i l á g g a l

é s

e b b e n s a j á t t e s t é v e l

i s m e r k e d i k , a t iz

uj jacskájával játszik.

L e h e t ,

hogy a z ,,egy", „kettő",

..három",

„négy" csak r ö v i d í t é s a h e l y e t t ,

hogy

„e z e l m e n t

n y u l á s z n i " . , , e z

m e g l á t t a " , „e z meglőtte", ,,ez megs üt öt t e"

s t b .

és ez nem is

t r é f a :

e gy

o r v o s t ó l

hallottam,

hogy v a n n a k o l y a n a g y s é r ü l

t e k ,

a k i k

ne m

t u d j á k

a z u j j a i k a t

megkülönböztetni,

é s

ezzel mindig

e g y ü t t já r

a s z á mol á s i készség k i es és e

is ; ez a

t u d a t

a íá

jutott kapcsolat t e h á t

még a

k u l

t ú r e m b e r b e n Is e l s z a k k h a t a t l a n u l szoros. Én fg y k é p z e l e m : a m a t e m a t i k a

e g y i k

forrása a z e m b e r j á t é k o s t e r m é s z e t e , é s é p p e n e z é r t n e m c s a k t u d o m á n y

a m a t e m a t i k a , h a n e m le g a lá b b u g y a n o ly a n m é r té k b e n m ű v é s z e t

is .

Ú g y g o n d o l j u k , h o g y a

számlálás

m á r k e z d e t b e n c é l s z e r ű t e v é k e n y s é g

volt:

t a l á n

a t u l a j d o n á t a k a r t a ü g y s z á m o n

tartani

az ősem be r, hogy meg

s z á ml á l t a , há ny á l l a t b ő r e va n. D e

e l k é p z e l h e t ő ,

hogy va l a mi má gi kus s z er

t a r t á s is

volt

a számlálás, hiszen ma is látjuk, hogy a k é n y s z e r n e u r o t i k u s o k

g y a k r a n h a s z n á l j á k m á g i k u s r e n d s z a b á l y g y a n á n t , a m el l yel b i zonyos me g nem

e n g e d e t t g o n d o l a t o k a t a k a r n a k izolálni; például 1től

20ig

kel l számolni,

c s a k

a z u t á n s z a b a d v a l a m i m á s r a g o n d o l n i.

Akár

így, akár amúgy, á l l a t b ő r ö k r e

v a g y

e g y m á s t

k ö v e t ő i d ő k ö z ö k r e v o n a t k o z t a t v a ,

a

számlálás m indig

a zt

j e l e n t i ,

hogy m é g e g g y e l t ú l m e g y ü n k a m á r m e g l e v ő n , a tfz

ujjon

is t ú l j u t h a t u n k ,

és így l é t r e j ö n a z e m b e r

e l s ő

na gys z er ű ma t ema t i ka i a l k o t á s a , a z

1, 2. 3, 4. 5, 6 , 7 , 8, 9,

1 0,

1 1

v é g t e l e n s z á m s o r o z a t ,

a z ú g y n e v e z e t t t e r m é s z e t e s s zá m s or .

V é g t e l e n ,

mer t

b á r m i l y

nagy

számon túl is

lehet

m é g e g g y e l t o v á b b s z á m l á ln i .

N a g y

a b s z t r a k

c i ó k é p e s s é g

k e l l e t t a mega l kot á s á hoz , h i s z en ez ek a s z á m o k c s a k á r n y a i a

v a l ó s á g n a k : p é l d á u l

a 3 it t nem 3

u j j a t ,

3 a l m á t , 3 é r v e r é s t s t b .

j e l e n t , h a n e m

azt,

a m i

m i n d e z e k b e n k ö zö s :

a b e l ő l ü k

a b s z t r a h á l t s z á m u k a t .

A

na gyon na gy

s z á m o k a t ped i g má r nem i s a va l ó s á gb ó l a b s z t r a h á l t a a z e m b e r , h is ze n e g y

m i l l i á r d a l m á t s e n k i

se m látott, e g y

m i l l i á r d é r v e r é s t s e n k i

s e m

s z á ml á l t

m e g ; e z e k e t a s z á m o k a t m á r csak a v a l ó s á g e r e d e t ű kis számok analógiájára

k é p z e l j ü k

e l:

k é p z e l e t b e n le h e t ne m i n d t o v á b b

é s

t o v á b b s z á m l á l n i

a

m i n d

e d d i g m e g i s m e r t s z á m o k o n t ú l.

A z e m b e r nem éri be a s z á m l á lá s s a l . H a m á s n e m , h át az i s mét l és

ö r ö m e

t ú l v i s z i e z e n .

J ól

i s mer i k

ezt a

k ö l t ő k

is: a v i s s za v i s s z a t é r é s t

u g y a n a h h o z

a


11/260

16

LA BŰVÉSZINAS

ritmushoz,

u g y a n a h h o z

a

cs engés hez . E l even

dolog ez: a

k i s g y e r e k

se m

u n j a

m e g

a

játékot;

a

fásult felnőtt

m ár

r égen t eher nek érzi, mikor

ő m é g

mi nd i g

újra m eg újra

d o b n á

a

l a b d á t .

4nél t a r t u n k ? S z á m l á l j u n k t o v á b b

m é g

1gyel

N o m é g

1 gy e l

N o m é g

1 g y e l

Hova

j u t o t t u n k ?

7 h e z;

u g y a n o d a ,

m i n t h a m i n d j á r t

3 m a

s z á m l á l t u n k

volna

tovább: felfedeztük a z

ö s s ze a d á s t :

4

+

1+1+1^4

+ 3=7 .

Most

játsszunk

t o v á b b e z z e l a m ű v e l e t t e l : a d j u n k 3 h oz rnég

3at

é s

m ég

3 a t

és még 3at I tt már

4sze r adtu n k

ös s z e 3at, ez t r öv i d e n így is

m o n d h a t j u k :

4szer

3 a z 1 2 , j e l e k b e n :

3

+ 3 +3 + 3

=43

=12,

e zt pedig m ár szorzásnak nevezik.

H a m á r b e n n e é lünk a z i s m é t l é s örömében, n e h é z a b b a h a g y n i , h i s ze n

a

s z o r z á s s a l u g y a n í g y j á t s z h a t u n k t o v á b b : szorozzuk 4et

4g ye l

és még 4

g y e l , lesz

4 4 4 = 64.

A

s z or z á s na k

e zt az

i s m é t l é s é t ,

,,

terációját",

h a t v á n y o z á s n a k

h í v j á k .

Azt m ondják, hogy it t 4 az

„alap", és

a jobb

felső

s a r ká b a

ír t

kicsi számmal,

a z

un.

,,

k i t e v ő v e l "

jele zzük , hogy hány 4est

k e l l s z o r o z n i ;

e

j e l ö l é s s e l

t e h á t

4

3

=4.4.4 =

64.

Amint

látható, ezek

a z

e re d m é n y e k e g y r e n a g y o b b s z á m o k :

4 3 t ö b b .

m i n t 4 + 3 é s 4

3

a 4 3 n á l is

j ó v a l

több. A

v i d á m i s m é t e l g e t é s

jó magasra

l e n d í t fe m i n k e t a nagy számok

k ö z é .

M ég i n k á b b tg y lesz, ha még a ha t vá

nyozást

is iteráljuk: h a t v á n y o z z u k 4et 4nek a 4ik h a t v á n y á r a ;

4 < =4.4.4.4 =

6 4 4 =

é s

erre

k e l l h a t v á n y o z n i

4et:

4 4 1

=4

zs a

=4.4.4..

nekem

m á r

t o v á b b f r n i

sincs türelmem,

hiszen

2 5 6

4 es t kel l ene i d e í r n o m ,

hát

még va l ó b a n e l végez ni a

sz o rz ást

E l képz el het et l en na gy s z á m l enne a z

e r e d m é n y , úgy, hogy inkább e l ő v e s s z ü k a j ó z a n es z ünket ,és b á r mi l y s z ép is

újra

m e g

újra

iterálnt, a

h a t v á n y o z á s iterációját m é g s e m v e z e t j ü k

b e

elfoga

dott

m ű v e l e t e i n k közé.

Talán e z az igazság: a z e m b e r i s z el l em megj á t s z i k mi nd en

k í n á l k o z ó

j á t é

kot, de maradandóvá

csak

a z

v á l i k

e j á t é k o k

k ö z ü l ,

a mi t a j ó z a n és z cél s z er ű

ne k ftél.


12/260

1 . l A T É K A Z U J J A K K A L 1 7

A z összeadás, a s z o rz á s é s a h a t v á n y o z á s

na gyon

h a s z n o s n a k é s

c é l s ze r ű

n e k

bizonyuk

a z

e m b e r

józan

t e v é k e n y s é g e i b e n is,

e z é r t

m i n d ö r ö k r e

polgár

j o g o t n y e r t e k a m a t e m a t i k á b a n . M e g á l l a p í t o t t á k m i n d a z o k a t a

t u l a j d o n s á g a i

k a t , a m i k

m e g k ö n n y í t i k

a s z á m o l á s t ; p é l d á u l n a g y

k ö n n y í t é s ,

hogy 7 2 8 nem

c s a k

2 8 n a k

7szeres ö s s ze a d á s á v a l

s z á m í t h a t ó

k i,

h a n e m

ú gy is,

hogy

ké t

t a g r a

s z é t b o n t v a

szorozzuk

:

7 2 0

é s

7 > 8 e l é g k ö n n y e n k i s z á m í t h a t ó , é s

a z t s e m

n e h é z

m e g á l l a p í t a n i , hogy m e n n y i 1 4 0

J

5 6 . A z t á n m eg hosszú oszlopok

ö s s z e a d á s a k o r

m i l y e n

jó t u d n i , hogy

s e m m i l y e n s o r re n d v á l to z t a t á s

s e m

rontja

e l a z

e r e d m é n y t , m e r t ennélfogva

pl.

e z t :

8 ( 7 • ( 2. így

v é g e z h e t e m

e l:

• 8 i

2 1 0 é s 10 h ez m ár k ö n n y ű 7 et hoz z á a d ni ; í g y a k e l l e m e t l e n 8 +7

Ö s s z e a d á s t

r a v a s z u l

e l k e rü l te m .

Cs a k j ó l végi g kel l

g o n d o l n i ,

hogy az össze

a d á s t u l a j d o n k é p p e n t o v á b b s z á m l á l a s t j e l e n t a n n y i v a l , a m e n n y i

a

s z ó b a n forgó

ö s s z e a d a n d ó ,

é s

a k k o r v i l á g o s s á

válik,

hogy

a

fe l c s e ré l é s

ne m

v á l t o z t a t

a z

e r e d m é n y e n . U g y a n e z t

e g y

k i cs i t nehez eb b

a s zo rzás ról i s elhinni,

h i s z e n

4 3 e z t

jelenti;

3

\

3 \ 3

<

3 és 3 4

ezt:

4

\

4

{

4 ,

és

a z

i g a z á n

n e m

magá

t ó l é r t e t ő d ő ,

hogy

3

| 3 | 3 , 3 . 4 |4

H 4 .

D e e z r ö g t ö n

v i l á g o s s á

v á l i k , h a

l e r a j z o l j u k .

R a j z o l j u n k 4szer 3 i l y e n h e l y z e t ű

p o n t o t . . .

e g y m á s a l á :

M i nd enki l á t j a , hogy ez ugya na z , mi nt ha 3 s z or 4 i l yen hel yz et ű p o n t o t

r a j z o l t u n k v o l na e g y m á s m e l l é . T e h á t

4 3 3 > 4 ,

ezért nevez i k

a

ma t ema

t i k u s o k

a

szorzandót

é s a s z o r z ó t

k ö z ö s n é v e n : t é n y e z ő k n e k .

H o g y a h a t v á n y o z á s

t ö r v é n y e i b ő l

is k i r a g a d j a k e g y e t :

4 .4 .4 .4 .4

=45.

H a a s o k

s z o r zá s b a n e l f á r a d o k ,

t a r t h a t o k egy kis p i h e n ő t : a z

első három 4es

s z or z a t a

4

:i

,

hátra

va n

meg 4~ , t e h á t

A z

e r e d m é n y k i t e v ő j e

5 ,

e z é p p e n

3 + 2 ,

t eh á t 4 nek

k é t

h a t v á n y á t e g y s ze


13/260

18 LA BŰVÉSZINAS

fűén úgy szorozhat juk egy mássá l, hogy a k i t e v ő i k e t

ö ssze adj u k . Íg y

van ez

mindig, pl.:

S^S'S

1

5.S.5.5.5.5.5.5.5

5°

és

itt 9

éppen 4 + 2

+ 3.

G o n d o l j u n k csak

v issza

a b e f u t o t t

útra: minden művelethez

a

szám l álás

v e z e t e t t

e l.

Pe r s z e

fe l lehetne vetni,

hogy

ho l

m ar ad

hát a

k ivo n ás?

A z osztás?

D e e ze k n e m e g y e be k , m i n t az eddigi m ű v e l e t e k

megfor d í t á s a i

(ugyanígy a

g y ö k v o n á s

é s a

logaritmus is). Mert például 20:5

a zt

je lent i , hogy

m ár

i s m e

rem egy

szorzás e r e d m é n y é t ,

ez

20,

és

k e r e se m

azt a

számot,

a m i t

5ször

v é v e 2 0 a t k a p t u n k

e r e d m e n y ü l. E b b e n

a z

e s e tb e n s i k e r ü l

találni

i l y e n s z á m o t ,

hiszen

5 4

2 0 . d e n e m

mindig k ö n n y ű m e g k e r e s n i

ezt a

szám o t

é s n e m is

mindig

van

ilyen;

pl,

2 3 b a n

az 5 már

nincs

meg

m ar adé k n é l k ü l , m e r t 4 5

^20 még

k e v e s e b b , 5 5

=25 már

t ö b b 23nál, t e h á t k é n y t e l e n v a g y o k

beérni

a

k i s e b b i k k e l

és azt

m o n d a n i , h o g y 2 3 b a n

is

4szer

van meg az 5, de

ma r a d 3 . A z i l y e s m i m i n d e n e s e t r e t ö b b fe j törést okoz,

m i n t

a m i v i d á m iterá

cióink; a f o r d í t o t t m ű v e l e t e k

r endszer int

k e s e r v e s m ű v e l e t e k . É p p e n

e z é r t

k e d v e l t t á m a d á s i pont ja i

a

m a t e m a t i k u s k u t a t á s n a k , hiszen

a

m a t e m a t i k u s

t u d v a l e v ő é n a z a z e m b e r , a k i ö r ö m é t

leli

a nehézségekben. A fordított m ű

v e l e t e k r e t e h á t

m é g

vissza

kell

majd t é r n e m

a

to váb bia k so rán.

2 . A M Ü V E L E T E K L Á Z G Ö R B É I

Láttuk, hogy a

m ű v e le t e k

iterációi m in d m a g a s a b b r a l e n d í t e n e k

bennün

ket a

n ag y szám o k k ö r é b e . É r d e m e s

e gy

kicsit e lgo ndo lko zni azon. hogy

m i l y e n ma gasságokba.

H a t v á n y o z n u n k

k e l l

p é l dáu l ,

amikor

a

kocka

k ö b t a r t a l m á t

a k a r j u k

k i

szám ítan i .

Egy

k icsi kockát k inevezünk egységnek

és az a

kérdés, hogy

a

megmérendő nagy kockába hány i lyen kicsi k o c k a

fé r

bele. Legyen

pl. egy

k ö b c e n t i m é t e r az egység,

va gy is

egy

olyan kicsi kocka, melynek hosszúsága

is ,

szélessége

is,

magassága

is 1 cm:

C / T >


14/260

1.A M ŰV E L E TE K

UZGÖRBÉI 19

R akju nk ilyen kicsi kockákból négyet egymás mellé, kapunk e gy ilyen sort:

A z u t á n négy

ilyen

sort rakva eg y más mel lé,

kialakul

e gy i l y e n réteg:

e b b e n 4 4 ~4

Z

ko c ka van. V ég re nég y i ly en rét eg et rakva e g ym ás fölé, e g y

nagy kocka

keletkezik:

és

e z 4 4 4 =4

3

64 kis kockából áll.

Fordítva, h a a nagy kockáb ól indulok ki, melynek hosszúsága is , szélessége

is . magassága is 4 c m, akkor e b b e

4

3

köbcentiméter fér bele; és á l t a lá b a n úgy

kap ju k

m e g e g y

k o c k a k ö b t a r t a lm á t , hogy

a z

e g y i k é l é t

a

harmadik h at vány ra

e m e l j ü k . Ezért nevez ik a h a r m a d i k h a t v á n y t k ö b n e k

is.*

Ennek a h a t v á n y o

* Ismerem a pedagógusok e l l en v et ését : úgy kel lett volna mondanom, hogy a k ö b

t ar t a l om m é r t ékszá m it m eg kapom , ha eg y é l m ér céksiá m á t kö b r e em el em . De i l yen

szőr

szál

hasogacassal

igazan

nem

a k a r o m

untatni

a z

o l v asót .

S ú l y o s a b b

dolog

is

va n

itt, amin

á t s i k l o t t a m : a z a kérdés, hog y l ehet e b á r m i l yen kocka é l e i t

c m e k be n

kifejezni. Er r e

még vissza fogok térni.


15/260

20

I. A B Ű V É S Z I N A S

zásnak azután

a z a z

e r e d m é n y e , h o g y

a r á n y l a g elég

r ö v i d

é lű

k o c k á n a k ó r iá s i

lesz

a k ö b t a r t a l m a . P l . 1 k i l o m é t e r nem is olyan nagy

hosszúság, m i n d e n k i

e l

t u d j a k é p z e l n i ,

h a

arra

g o n d o l ,

hogy

a

N a g ym e z ő u t c a

k b, 1

k i l o m é t e r

h o s sz ú . D e h a a k k o r a k o c k á t é p í t e n é n e k , h o g y a z e g yik é l e é p p e n a N a g y

mező u t c a v o l n a , e n n e k m á r a k k o r a l e n n e a

k o b t a r t a l m a ,

hogy be l e f é r n e

a z e g é s z

e m b e r i sé g . A ki nem

h i s z i , s z á m o l j o n u t á n a ; m o n d j u k , h o g y

2

m é t e r

né l

m a g a s a b b e m b e r

nincs,

t e h á t

2

m é t e r e n k é n t h ú z n á n k e g y e g y

pa d l ó t , íg y

a z 1

k i l o m é t e r , azaz 1000 m é t e r magasságban

5 0 0

e m e l e t

fér el. Ha

e z e k e t

a

p adl ók at

h o s s zú s á g u k b a n is ,

s z é le s s é g ü k b e n is i m é t e r e s s á v o k r a o sz t ju k , í g y ;

lm

.'.TI

lm lm

a k k o r e gy eg y h o s s z m e n t i s á v b a n 1000 n é g y z e t k e l e t k e z i k és 1 0 0 0 i l ye n hossz

menti sáv jön lécre összesen, t e h á t 10001000 1 0 0 0 0 0 0

i lye n

négyzet v a n

egyegy p a d l ó n . M i n d e n n é g y z e t hosszúsága

is,

s z é l e s s é g e is 1

r n é t e r ; 4 e m b e r t

biz t o s a n r á l e h e t

á l l í t a n i

e g y i l y e n n é g y z e t r e , k e t t e n e g y e g y

k i s g y e r e k e t

is

t a r t h a t n a k

a

k a r j u k o n , t e h á t egyegy e m e l e t r e

1 0 0 0

000szor

6 ,

azaz

6

millió

e m b e r e l é g

jó l

b e g y ö m ö s z ö l h e t ő .

A z 5 0 0

e m e l e t r e t e h á t

500szor 6 m i l l i ó ,

a z a z 3 0 0 0

m i l l i ó ,

v a g y i s 3

m i l l i á r d ,

ennyi ember pedig még nem is él t a Föl

d ö n ,

a m i ko r n e k e m m e s é l t e k

t;rröl

a k o c k á r ó l .

Pedig a k o c k a k ö b t a r t a l m á n a k k i s z á m í t á s a k o r m é g

c i a k

a h a r m a d i k h a t

v á n y

s z e r e p e l ;

n a g y o b b k i t e v ő m é g s o k k a l ro h a m o s a b b a n

v i s z

fölfelé a számok

s o rá b a n. E z a l a p o s m e g l e p e t é s t o k o z h a t o t t a n n a k a f e j e d e l e m n e k , a k i t ő l a

s a k k

j á t é k

fe l

t á l a l ó j a

s z e r é n y e n

csak

n é h á n y b ú z a s z e m e t

k é r t

j u t á i

múl:

6 4 m e z ős


16/260

3 .

A M Ű V E L E T E K L A Z G Ö R B É I 2 1

s a k k t á b l á j á n a k első m e z ő j é r e

1et. a

m á s o d i k r a 2szer e n n y i t , aza z 2t,

a

har

m a d i k r a i s m é c 2 s z e r e n n y i t ,

a z a z 22 =

2

Z

=

4et

és [gy

t o v á b b . E le i nt e

v a l ó b a n s z e r é n y n e k

tűnik

e z

a k é r é s, de

a m i n t e l ő r e h a l a d u n k

a

mezőkön.

2nek mind m a g a s a b b h a t v á n y a i k e r ü l n e k s orra , v égül is

1 +

2 +

2

2

+

2

3

+

4

1

4

. . . +

2

M

b úz a s z er nr öl va n

szó

(a

k ö z b e e s ő h a t v á n y o k a t

is tes s ék o dago ndo lni , ne m

vök

t ü r e l m e m m i n d a 6 4

ö s s z e a d a n d ó t leírni),és

ha v a l a k i n e k k e d v e va n k i s z á m í

tani,

hogy e z

m e n n y i ,

a n n y i b úzá t f og ere dm ény ül ka pni , a m i v e l a z egész

f ö l d f e l ü t e t e t be

l e h e t n e

v o n n i c s a k n e m 1 c m

magas

rétegben.

E z e k u t á n

már nem is

meglepő, hogy

a

h a t v á n y o z á s iterációja mi lyen

m a g a s s á g o k ba

r a g a d :

csak

e g y e t

e m l í t e k

m é g a z

érdekes s ég kedv éért :

m e g

l e h e t b e c s ü l n i , hogy 9 '

J9

a k k o r a s z ám o t

a d e r e d m é n y ü l ,

hogy a nna k pus zta

l e í r á s á h o z 1 8 e z e r k i l o m é t e r hosszú p a p í r r a v o ln a s z ü ks é g (félcentiméceres

szélességű

s z á m j e g y e k e t í rv a ) . 9

M

é r t é k é n e k p o n t o s k i s z á m í t á s á h o z p e d i g

egy e m b e r é l e t

se m

volna

e leg endő.

A m i n t e l o l v a s o m , a m i t e d d ig írtam, m a g a m n a k

is

feltűnik, h o g y csupa

i l y e n k i f e j e zé st h a s z n á l t a m ; e g y b i z o n y o s m ű v e l e t „ m a g a s r a lendít", „fölfelé

v i s z " , „ m a g a s s á g o k b a r a g a d " a s z á m o k

s o r á b a n , holott

a s z á m o k s o r a e gy

v í z s z i n t e s

1, 2, 3. 4,

5, . . .

so r,

jo g s z e r i n t

csak

a n n y i t m o n d h a t n é k , h o g y j o b b r a , l e g f e l j e b b m é g a zt .

hogy e l ő r e m e g y e k a

nagy

s z á m o k f e l é . A

k i f e j e zé st

m á r a h a n g u l a t i e lem b e

f o l y á s o l t a :

e g y r e n a g y o b b á v á l n i , a z n ö v e k e d é s t j e l e n t , a n ö v e k e d é s p e d i g n

f e l f e l é t ö r é s

é r z é s é t k e l t i b e n n ü n k . A m a t e m a t i ku s

k o n k r é t

f o r m á b a i s önti

e zt az é r z é s é t : e l k é p z e l é s e i t ig e n g y a k r a n k í s é r i ra jzzal , é s a r o h a m o s n ö v e k e

dés

r a j z a

a

m e r e d e k e n fö lfe lé törő v ona l .

A

b e t e g e k

jó l i s m e r i k a z i l y e n r a j z o t : t u d j á k , h o g y c s a k e gy

p i l l a n t á s t

k e l l v e t n i

a

l á z g ö r b é j ü k r c .

és ez e l á r u l j a a betegség egész

l e f o l y á s á t . T e g y ü k

fel,

hogy

a

s z a b á l y o s

i d ő k ö z ö k b e n

m é r t

h ő m é r s é k l e t e k e z e k v o l t a k :

3 8 , 3 8 , 5 \ 3 9 , 3 9 ° , 3 3 ,

3 8 , 5 ^ .

3 7

1

, 3 6 , 5

:i

,

n k k o r e z e k e t ú gy á b r á z o l j á k , h o g y e l ő s z ö r is r a j z o l n a k e g y v í z s z i n t e s v o n a l a t

és e z e n e g y e n l ő t á v o l s á g o k k a l á b r á z o l j á k a z e g y e n l ő i d ő k ö z ö k e t :

3

t 5 6 7 8

a z u t á n e g y b i z o n y o s t á v o l s á g o t e l ne v e z n e k e g y f o k n a k , é s m i n d e n i d ő p o n t t ó l


17/260

2 2

l. A BŰVÉSZINAS

fölfelé (az em elkedő láznak megfelelően)* rajzolják e távolság annyiszorosát.

a h á n y

fo k

volt

a

szóban forgó Időpontban

a be te g

h ő m é r s é k l e t e .

De nem is

kell

ilyen

hosszú

v o n a l a k a t

húzni,

hiszen

36° alá

sohasem

szállt

betegünk hő

m é r s é k le t e , t e h á t a b b a n

is

megállapodhatunk, hogy

a v í zs zintes

v o n a l magas

sága

már a

3 6 °nak felel meg,

és

e z e n felül kell

m ég sorra

2,

2,5,

3. 3, 2.

2.5.

1, 0,5

fokot felrajzolni,

így ezt a k é p e t k a p j u k :

1 lök l

IfoK

l

2 ,5

3 3

2

2 .5

1 2 3 4 5 6 7

és

ha a

felrajzolt v o n a l a k v é g p o n t j a i t összekötjük:

36"

3 6 °

8

Az

így

nyert

lázgörbe mindent elbeszél.

A fölfelé törő

vonalak

a láz

e m e l k e

déséről,

a

lefelé

esők a z

alászállásáról adnak számot,

a

v í z sz int es d a r a b o n

stagnált a betegség; a z e m e lk e d é s eleinte egyenletes volt;

erre

vall, hogy a z

első két v o n a l d a r a b eg y enlően meredek^és (gy e z e k e gy e g y e n e sb e e s n e k ; egy

kis

v isszaeséstől

e l tek int je

a

6jk lázméréskor,

a

gyógyulás e lég r ohamos volt:

a v o n a l esése a

6ik

és a 7ik lázm ér és közt igen m er e de k, mer edekeb b,m nt

b á r m e l y i k e m e l ke d é s .

* A

,.fölfelé"

tulajdonképpen

Itt

is

csak

képletes

b e s z e d :

a

v í z s z i n t e s e n

f e k v ő p a p i

roson csakis v í z s z i n t e s

vonalakat lehet

húzni. Mégis ú g y érezzük,

hogy

e g y

ilyen i r á n y ú

vonal: |fölfelé halad.


18/260

AM ŰVE LE TE K L AZG O R 8 E I

23

S e m m i akadálya

sincs

annak, hogy ugyanígy megrajzoljuk műveleteink

lázgörbéit is.

M ár

magukat

a

számokat

is szokás ábrázolni, egy

úgynevezett

s zá mv ona

lon:

e gy

egyenes en, a m e l y e n

felveszünk

e gy

tetszés

szerinti kiindulópontot,

e zt

0nak

n e v e z z ü k , és

innen kezdve egyénid távolságokat mérünk

egymás

mellé,

egyegy

ilyen

távolsággal számlálunk tovább:

A ki

k é n y e l m e s

a

s zá molá s hoz,

az egy Ilyen

szintvonalon géplesen

is

elvégez

heti

a

műveleteket:

h a

például

2 + 3

volna

a kijelölt

művelet, akkor

a 2 e s t ő t

három

lépéssel

kell

csak

jobbra

rnennle.és

o tt

mindjárt

leo lvash at ja

a z

5ös

e r e d m é n y t . 5

—

3

e s e t é n

a z

5Östól

balfelé kell haladnia 3

lépéssel,

s. f. t.;

e z csak m ás kivitele a

k is isk o l ás számológépnek, a m e ly n e k

r ú d j a l n eltolható

gömbökkel

lehet

gépiesen

számolni.

D e

mos t

lépjünk

ki

a vízszintesből, fölfelé. Induljunk

ki

e gy bizonyos

számból,

például

3 b ó l , é s

nézzük

meg.

hogy hogyan növekszik

ez, ha

sorra

1et,

2t, 3at,

s.

l.

t.

adunk hozzá,

illetőleg, ha

sorra 1gyel,

2vel, 3 m a l

szorozzuk, végre,

ha a z első, második,

harmadik hatványra emeljük ( h a t v á n y r á

,,emelni": e b b e n

a

kifejezésben

is m e g v a n a

felfelé mutatás).

K e z d j ü k

a z

összeadáson.

A z

egyik összeadandó mindig

3 , a

változó

másik

összeadandót

fogom

a

v ízszintes

vonalon

ábrázolni

és

fölfelé

a

megfelelő

Össze

get.

3

+1 = 4

3 h 2 = S

3

+ 3=6

3+4 = 7,

tehát

a z

összeadás lázgörbéje,

ha 1 egészet v ízszintese n e gy

i l y e n : »

1

é s

fölfelé

e gy

ilyen:

]

távo l ság g al

ábrázolunk:

It t

minden összekötő

v o n a l d a r a b

egyetlen

egyenesbe

esik:

a z

összeg egyen

letesen növekszik, h a az eg y ik

összeadandó]át

növeljük.


19/260

2 4

I. A

B Ű V É S Z I N A S

Szorzás

e s e t é n :

1

= 3

2 = 6

3 i 9

3 4 1 2

Lá tha tó , hogy a s zorza t is e g y e n l e t e s e n

n ö v e k s z i k ,

h a a z e g y i k

t é n y e z ő j é t

n ö v e l j ü k , d e

j ó v a l

r o h a m o s a b b a n ,

m i n t

a z

ö s s z e g :

a z it t k a p o t t

e g y e n e s j ó v a l

m e r e d e k e b b .

V é g r e ,

ha

h a t v á n y o z u n k :

3 *

=

3

3'

, 3 . 3 =

S' 3 3 3 27

A

h a t v á n y

má r nem i s e g y e n l e te se n , h a n e m

e g y r e

r o h a m o s a b b a n n ö v e k s z i k ;

3 *

már el sem

f érne ezen a z o lda lon. Ez a há ttere a nna k a min

d e n n a p o s

szólásmódnak,

hogy

v a l a m i l y e n

hatás

„ h a t v á n y o z o t t a n érvényesül".

2 3


20/260

i. A V É G T E L EN S Z A M S O H

P A R C E L L Á Z Á S A

25

U g y a n í g y

k é s z í t h e t ő e l a fordított

műv eletek lá zgörb éje

is , p éldáu l a

k i v o n á s é :

3—1

=2

3—2

=1

3 — 3 =0

e z

lefelé

h a l a d ó e g y e n e s t ad, a k ü l ö n b s é g t e h á t

e g y e n l e te se n

cs ökken, ha a

k i v o n a n d ó t növeljük.

A z o s z t á s k é n y e s m ü v e l e t ; a n n a k a l á z g ö r b é j é r e is csak k é s ő b b t é r e k

v i s s za.

M é g

csak

a n n y i t j e g y z e k m e g , h o g y a m i t

mi itt c s i n á l t u n k , azt a

m a t e m a

t i k u s í g y n e v e z i : f ü g g v é n y e k g r a f ik u s á b r á zo lá s a . A z

összeg

függ

attól,

hogy

h o g y a n v á l a s z t j u k

m e g a

v á l t o z ó

össze

a d a n d ó j á t; ezt úgy

f e j e z i k

k i,

hogy

a z

összeg a v á l t o z ó ö s s z e a d a n d ó n a k f ü g g v é n y e , és e n n e k a f ü g g v é n y n e k a növ e

k e d é s é t

á b r á z o l t u k . U g y a n í g y f ü g g v é n y e a s z o r z a t a

v á l t o z ó

t é n y e z ő j é n e k , a

h a t v á n y

a

k i te v ő j é n e k

s.

1.1.

Már a le g e ls ő m ű v e l e t e k n é l f ü g g v é n y e k k e l k e r ü l

tünk szem be "; összefüggéseket fogunk v izsgálni

a

továbbiakban

is: a

függ

v é n y f o g a t o m

a z egész

m a t e m a t i k a i

m ű

ger ince.

3.

A

V É G T E L E N S Z Á M S O R


D e mes s zire

jutottunk

a z u j j a k k a l v a l ó játéktól M ár szinte el is

fe le j tet

tük, hogy

1 0

u j j u n k

v a n .

D e csak a z é r t ,

m e r t

ne m

a k a r t a m

a z

o l v a s ó t

so k

számolással f á r a s z t a n i . M á s k é p p

m ár r é g

é s z r e k e l l e t t v o l n a v e n n i e , h o g y

a k á r m i l y e n

nagy

s z á m o t írunk i s t e , m i n d ö s s z e 1 0 különböző j e l e t

ha s z ná l unk

f e l . e z e k e t :

0. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

Hogy lehet pus ztá n 1 0 J e l l e l a v é g t e l e n so k

szám b á r m e l y i k é t le í rni?

Úgy,

hogy

a v é g t e l e n s é g i g e g y h a n g ú a n t o v a n y ú l ó s z á m s o r t p a r c e l lá z z u k ,

körülzár

j u k e g y e g y r é s z l e t é t : a m i n t 1 0 e g y s é ge t m e g s z á m l ál tu n k , a z t m o n d j u k , h o gy

e n n y i t rnég

egy

p i l l a n t á s s a l

át

tudunk f ogni ,

fo g ju k

e z e k e t

e gy

csokorba

é s

nev ezzünk

e g y

i l y e n c s o k r o t

ú j

n é v e n ;

a tíz egy es

e g y ü t t e s n e v e :

1 t í z e s .

1 0

e g y f o r i n t o s t

is

fe l c s e r é l h e t ü n k e g y e t l e n

t í z fo r i n t o s s a l .

Mos t

m ár

n a g y o b b

l é p é s e k b e n

s z á m l á l h a t u n k t o v á b b : t í z e s e n k é n t h a l a d v a e lő re, tíz t í z e s t i s m é t

ös s zef ogha tunk,

pl,

á t k ö t h e t j ü k

e gy szalaggal,

melyre ráírjuk, hogy „1 s zá za s ".

Ezt

f o l y t a t v a ,

1 0

százast

1

e z r e s s é ,

1 0

e z r e s t

1

t í zezres s é,

1 0

t í z e z r e s t

1

száz

e zre s s é , 1 0

százezrest

1

m i l li ó s s á f o g h a t u n k ö s sz e ,

íg y

v a l ó b a n m i n d e n

szám


21/260

26

I. A B Ű V É S Z I N A S

felírható a z említett 1 0 j e l s egí ts égével : amint 9en túlhaladunk, i s m é t 1et

írhatunk, csakhogy

1

tízest,

az

ezután következő szám

1

tízesből

és 1

egy es b ő l

áll,

tehát

kct

1 jel

segítségével

leírható

s.

1.1.

íg y

azonban

a

,.tízes",

..százas"

és hasonló s zav ak at is alkalmaznunk kell írás közben. Egy ügyes ötlet ezeket

is feleslegessé teszi:

a

bolt pénztárosa fiókjának különböző rekeszeibe

teszi

a z e g y f o r in to so k at ,

a kétforintosokat s. (.

t,,

jobb ké z felöl a z aprópénzt.

a m i h e z

sokszor kell nyúlnia, amikor v isszaad, é s b a l felé h a l a d v a egyre na

g y o b b p énz egy s égek et.

A pénztáros

keze

úgy megszokja ezt a beosztást.

hogy

odanézés

nélkül

is

mindig tudja, milyen pénzdarabot vesz

ki pl. a

har

madik rekeszből.

Mi is

megállapodhatunk

az

egyesek, tízesek, százasok helyé

ben.

Jobb felöl írjuk a z egyeseket, azután b a l felé h a l a d v a sorra a z

e g yre

na

g y o bb

e g y s é g e k e t : a

második hely

a

t í z e s e k é ,

a

harmadik

a

százasoké,

így a

s zav ak at

el is

hagyhatjuk,

mert

a

számjelek értékét

a

helyükről

is

f e l i s m e r

hetjük; ezeknek helyi

értékük

is van:

35 4

4

egyesből,

5

tízesből

és 3 százasból

áll.

Ezt

fejezik

ki

úgy, hogy

m i a

t ízes

számrendszert használjuk.

D e

igazán

nem lett volna semmi akadálya se m annak,

hogy 10nél

előbb

vagy később álljunk meg. Hallottam primitív népekről, akiknek

a

számolási

tu do m án y a

ennyiből áll: egy, kettő, sok.

Az ő

számukra

is

készíthetünk

s z á mr end s z er t :

fogjuk

Össze

a

számokat

kettőnként.

Itt

tehát

már 2

egyes

új egységet a d : 1 kettest. 2 kettes i s m é t új egységet: 1 négyest. 2 négyes 1

nyolcast s. 1.1. és ebben a kettes s zám re n d s ze rbe n már két jel:

0. 1

is

elég ahhoz, hogy bármilyen számot felírjunk. Legkönnyebben így

lehet ezt

belátni: tegyük fel, hogy ilyen pénzeink vannak:

f.

1

;

szóval a

kettes számrendszeregységei szerepelnek,

mint

pénzegységek;

ho

gyan lehet a legkevesebb

p é n z d a r a b b ó l

11 forintot összeáll ítani? Világos,

hogy

ez a 3 darab:

(1.)


22/260

}, A

V É G T E L E N

SZÁMSOR


2 7

e g y ü t t 11 forintot ad. és kevesebb pénzdarabból nem is lehet 11 forintot

összerakni. Hasonlóan

9

forintot,

8

Ft

(3.)

15

forintot

ad

ö s s z e s e n ;

t e s s é k próbálgatni, hogy 1től 15ig minden szám

úgy rakható

Össze

f T\ f̂\ f̂\

(^~^\

\£̂

\ÍX

V£y V2x bői. h o g y

mindegyi

küket legfeljebb egyszer

használjuk fel:

tehát

v a g y

0szor,

v a g y 1

szer.

(16ot

m á r

ne m

sikerül

[g y

összerakni,

d e e z n e m i s

c s o d a , hiszen

2 8

16 lévén,

1

tizenhatos éppen

a

következő egység.)Az (1.) példa

szerint

tehát

a

kettes

s z á m r e n d s z e r b e n

11 fgy

írható

fel:

1011,

h i s z e n

ez itt 1

egyest,

1 kettest, 0 n é g y e s t és 1

nyolcast jelent

és

ezek együtt

v é v e

valóban 11et adnak; hasonlóan az olvasható ki a (2.) és (3.) példánkból,

hogy

9,

illetőleg

15 a kettes számrendszerben [gy

írhatók fel:

1001, i l l e t ő l e g 1111.

Tehát

valóban beérhetjük

itt két

jellel.

Fordítva

is

érdemes

gyakorolni:

A kettes számrendszerbeli

11101

=1 e g y e s + 1 négyes f 1 nyolcas +

i 1

tizenhatos

— 1

(

4 + 8

f

16 = 29 a t í z e s

számrendszerben.

Mire jó a számrendszerek h a s z ná l a t a ? Minden

művelet

hasonlíthatatlanul

könnyebb lesz, ha ilyen rendet

tartunk

a számok

közt.

és például egyesekhez

e g y e s e k e t , tízesekhez tízeseket adunk összeadáskor; a pénztáros s e m össze

vissza o l v a s s a meg este a bevételt, hanem az egyegy rekeszben levő egyenlő

pénznemeket külön számlálja meg, azután összegezi az eredményeket. A ké

nyelem sokszor visszatérő

fontos

szempont

a

matematika

fejlődésében.

A

leg

kényelmetlenebb művelet

az

osztás, bizonyára

ár

ezzel

járó kínlódás adta

a z

első lökést a

számsor parcellázásához

is.

Milyen kellemes

osztások

azok,

ame


23/260

28

l

*B Ű V É S Z I N A S

l y e k m a r a d é k nélkül v é g e z h e t ő k

el

V a n n a k k e d v e s , d e r é k s z á m o k , a m e l y e k

b en

so k so k

m ás szám va n meg

m a r a d ék

n é l k ü l . I lyen pl . a 60:

60

1 6 0

2 3 0

3 . 2 0

4 1 5

5 1 2

6 1 0 ,

t e h á t

1 , 2 , 3 . 4 . 5 ,

6,10,12,

1 5 , 2 0 , 3 0, 6 0 m in d m ar adé k nélkül v a n n a k m eg

60ban. H a t e h á t e 1 2 szám

v a l a m e l y i k é v e l

a k a r u n k o s z t a n i

(bár

a z

1et

kár

b e v e n n i

k ö zé j ü k , e z

s z e r e n c s é r e

s e nem

szoroz,

s e nem

oszt),

a k k o r e m l é

kezzünk

v issza

arra, hogy az

o s z ta n d ó h o z

is (mint m in de n szám h o z) 1 e se k k e l

val ó

számlálás ú t j á n

jutottunk; m o s t t e h á t s z á m l á l j u n k

külön 60at e z e k b ő l

a z 1 e s e k b ő l ,

m aj d ism é t 60at, a m í g

c s a k l e h e t ; e 60asok

osztása

játszi

köny

nyedséggel e l v é g e z h e t ő

és

k í v ü l ü k

m é g

legfeljebb

5 9

m a r a d , t e h á t

nem

nagy

s z á m ; e n n e k o sztásár a

m ár

r á s z á n h a t j u k m ag u n k at,

h a

lesz

is

m a r a d é k . E b b ő l

a sze m p o n tb ól te h át 6 0 an k é nt k e l l e n e Ö ssze f o g ni

a

s z á m o k a t ,

és a

régiek

a

m a g u k c s i l l a g á s z a t i t e v é k e n y s é g é b e n ,

a m i s o k

k e l te m e t l e n o sztást k iván t

meg. valóban a 60as

számrendszert vezették

b e a szögek és az idő

mérésére:

egy t e l j e s k ö r í v n e k m a i s a 6 6 0 — 3 6 0 ad r é szé t nevez z ü k 1 foknak, 1 f o k

60 percre, 1 perc 6 0 m á s o d p e r c r e o s z l ik . é s u g y a n il y e n az óra beosztása is

p e r c e k r e

és

m á s o d p e r c e k r e .

6 0 a z o n b a n a r á n y l a g na g y s z á m , n e m e lé g k é n y e l m e s dolgozni v e l e . A tíz

körüli számok közül 12nek

van a legtöb b

o s z t ó j a :

(1,12

12

26

1 3 . 4 ,

1, 2, 3, 4, 6, 12, ez hat osztó, m íg 1 0 csak négy s z á m m a l o s z t h a t ó m a r a d é k

n é l k ü l : 1 g y e l .

2vel, 5 t e l és

10zel,

V a n n a k is n y o m a i a

12es

sz á m r e n d s z e r

h a s z n á l a t á n a k : a z év 1 2

h ó n a p b ó l ,

a

t u c a t

1 2

d a r a b b ó l

áll.

Hogy mégis

a

t í z e s

s z á m r e n d s z e r

k e r e k e d e t t felül, a z arra

v a l l .

hogy a z u j j ak k al va l ó j áté k erő

s e b b e n befolyásol ja

a z

e m b e r t , m i n t

a

c é l s z e r ű s é g .

A f r a nciá k m é g

ar r a

is

emlékeznek,

hogy

valamikor a

l ábu j j a ik k al

is el lehetett

(átszadozni:

csak

o l y a n e m b e r n e v e z h e t i a n y o l c v a n a t , , n é g y s z e r húsz"nak (qu atr e vin g t) , ak i

a

húszas

s z á m r e n d s z e r h e z s z o k o t t

v a l a h a .

D e m i

m o st

m ár

s z o r í t k o z z u n k

a

t í ze s s z á m r e n d s z e r r e ,

és

nézzük meg,

hogy ez

m i l y e n e l ő n y ö k e t j e l e n t

a z

osztás s z á m á r a .

El s ős o r ba n

p e r s ze a k k o r j e l e n t

e l ő n y t ,

h a 1 0 v a l a m e l y o s z t ó já v a l a k a r u n k

osztani:

2vel,

Stel ,

v a g y

m a g á v a l

10zel.

E z e k m e g v a n n a k m a r a d é k n é l k ü l


24/260

1 . A V É G T E L E N S Z Á M S O R P A R C E L L Á Z Á S A 29

1 0b en. t e h á t

2 ' 1 0 b e n ,

a za z 20ban,

3 . 1 0 b e n ,

a z a z 30ban

is, így az

összes

t í z e s b e n , 1 0 1 0 b e n , a z a z 100ban is, de

ennélfogva 2100ban,

azaz 200ban,

3 1 0 0 b a n ,

azaz 300ban

is ,

így az

összes

százasban

s.

1.1.;

tehá t

l á t j u k ,

hogy

2 , 5 és 1 0 m a r a d é k n é l k ü l m e g v a n a t í z esekben, sz áz aso kban, e z r e s e k b e n

s. 1 .

t.; csak

az nem

biztos, hogy

az

egyes ekb en megv a nna ke.

1 0

például

m i n d e n e g y e s n é l n a g y o b b , t e h á t b á r m i ly e n é r t é k

van is az

egyes ek helyén,

a szám ne m l e h e t ( m a r a d é k n é l k ü l )

o s z t h a t ó

10zel; ennélfogva

10zel

azok

a s z á m o k o s zt h a t ó k, a m e l y e k b e n n in c s e g ye s. A hiányzó e g y e s t 0

pótolja,

íg y

jutunk a z I s m e r t s z a b á l y h o z , hogy 10zel aOra végződő számok

o s z t h a t ó k .

A z

e g y e d ü l i e g y e s, a m i v e l

5

osztható, maga

a z

5,

ezért van az,

hogy 5tel

a

0ra v a g y 5 r e v é g z ő d ő s z á m o k o s z t h a t ó k . Végre

a 2vel

o s z t h a t ó e g y e s e k :

2. 4. 6, 8,

t e h á t

2 v e l a z o k

a

s zá mok

o s z t h a t ó k ,

amelyek 0ra, 2re,

4re,

6ra

v a g y

8 r a v é g z ő d n e k :

e z e k e t

nevezik páros számoknak.

Ezzel

k i m e r í t e t t ü k 1 0

osztóit,

d e a t íz es

s zá mrends zer a dta

leh et őség eket

m ég nem. E s z á m r e n d s z e r k ö v e t ke z ő

egysége

a 100, Ez módot a d arra, hogy

1 00 os z tó iv a l is könnye n b á nju nk e l. P éldául 4 a 1 0b en nincs meg ma ra dék

n é l k ü l ,

de

100ban

igen,

h i s z e n

4 2 5 =

100. Tehát

4 is megvan 2100ban,

azaz 2 00b a n, á l ta lá b a n

1 00

m i n d e n t ö b b s z ö r ö s é b e n

is

m a r a d é k nélkül, tehát

m i n d e n s z á z a s ba n ,

1 0 1 0 0 b a n ,

a za z 1000ben

is ,

tehát minden ezres b en

s. t.

t,,

csak az nem b iztos, hogy a t í zes ekb en és a z egyes ekb en megv a ne.

Annak

e l d ö n t é s é r e

tehát, hogy

e gy

a k á r m i l y e n h o s s z ú s z á m

oszthatóe 4gyel,

csak

a z

utols ó

k é t

h e t y e t kel l megvizsgálni. Pl.:

3 4 7 8 5 2 _ 4

osztható 4gyel, mert 2 4

osztható

vele; ezt egy pil lantással eldönthetjük,

m i n t h a

a z

előző

ö t

j e g y

o t t sem

volna. Ugyanígy dönthetjük

e l egy pillanat

a l a t t , hogy

3 1 2 4 8 6 4 3 4

ne m

o s z t h a t ó

4gyel,

m e r t 3 4 b e n

a 4

nincs

m eg

m a r a d é k

nélkül.

1 00 os ztó t utá n 1 000 os ztó i kerülnek s orra . Példá ul 8 a

100nak

ne m osz

tója, mert 80ban m e g v a n ,

de a m é g

h á tra lev ő 2 0b a n

m ár

nincs

m eg

ma ra dék

nélkül , 1 000nek a zonb a n os ztó ja , m e r t 1000 íg y

tago lható

s z é t :

80011604

40 é s m i n d e n r é s z l e t é b e n m a r a d é k n é l k ü l m e g v a n a 8 . E nnél f ogv a 8 minden

e z r e s b e n , t í z e z r e s b e n , s z á z ez r es b en s. í. t. m e g v a n m a r a d é k nélkül; és (gy

a nna k

e l d ö n t é s é r e , h o g y egy a k á r m i l y e n h o s s z ú s z á m oszthatóe 8cal, csak

a h á r o m u t o l s ó h e l y e t k e l l m e g n é z n i .

íg y

van egy

receptünk a nna k e ldöntés ére, hogy

m i ko r oszthatók a

számok

egy

b i z o n y o s k i v á l a s z t o t t s z á m m a l :

csak

a zt kel l megnéznünk, hogy ez a k i

v á l a s z t o t t

szám o s z t ó j a e a

10nek,

e z e s e t b e n a z

oszthatóságot

m ár az egye

se k

e l d ö n t i k ; ha

n e m , a k k o r t o v á b b

kell

menni

é s

megnézni, hogy 100nak,


25/260

30 I. A BŰVÉSZINAS

1000nck, 1 0

000nek

o s z t ó j a e a kér déses szám.

é s

ennek megfelelően e g y r e

t öbb helyet

kell

megvizsgálni

a z

oszthatóság

eldöntésére.

Per sze vannak

olyan számok,

melyek

se m

10nek,

se m

100nak,

sem

1000nek,

sem a

t iz es

számrendszer

bármilyen egységének

nem

osztói,

sőt

könnyen be látható,

hogy a

számok többsége

i lyen.

Ezekre

is

adna k azonban

a z i lyen vizsgálódások

v a l a m i l y e n tö rvényszerűséget.

Legegyszerűbb ez a 9 esetén:

1 0 9

+

1 . 1 0 0 9 9 + 1 . 1 0 0 0 9 9 9

:

1

t e h á t

9 nem

lehet

osztója sem

1 0nek,

sem

100nak,

sem

1 000nek,

m e r t

bár

melyiket próbáljuk osztani vele, marad

1; de

éppen

e z.

hogy mindig

1

m a r a d ,

v e z e t e gy egyszer ű oszthatósági szabályr a: h a 10et

osztunk

9cel. 1 mar ad,

t e h á t ha

20at osztunk

vele 2, ha

3 0at

3 .

ál ta lában,

ha

t ízeseket osztunk 9cel.

a n n y i marad, ahány t ízest

o s z t o t t u n k.

U g y a n í g y , h a 100at osztunk 9cel, 1

ma ra d,

tehát

ha 200at

osztunk vele

2. á l ta l ában

százasok osztásakor 9cel

a n n y i

mar ad,

a h á n y százast osz t ot t u n k .

S. í. t. T e h á t , ha egy

számnak 9cel

v a l ó

oszthatóságát kell

e l d ö n t en ü n k,

legcélszerűbb

e zt a

számot széttagolni

e g v e i a k r e , t ízesekre,

százasokra

s . í. t. Pl.

2 3 4

=

1 s z á z a s

+ 3

t í z e s \

4

e g y e s .

a 2 százas osztásakor 2 marad, a 3 t ízes osztásakor 3, a 4 egyes osztásakor 4.

összesen

tehát

2 + 3 + 4 marad, de

2 + 3 + 4 9,

ez

osztható 9cel: a maradékok együttvéve

9cel

osztható számot

a d n a k ;

t e h á t 23 4 osztható 9cel. íme a

k e r e s e t t s z a b á l y :

e gy

szám osztható

9cel,

ha

számjegyeit összeadva 9cel

osztható

számot

k a p u n k .

Egy többjegyű szám

sz ámjeg y einek összege pedig jóva l kev ese b b szokott lenni,

mint

rnaga

a

s z á m :

rendszerint

egy

pillantással eldönthető róla, hogy oszthatóe 9cel, Legyen

például a megvizsgálandó szám:

2 3 0 4

576.

A számjegyek összege:

2 + 3 + 4 + 5

l

7 + 6 2 7 ,

aki az egyszeregyet tud ja, az egy pillanat a latt lát ja,

hogy

ez osztható 9cel.

V i s z on t

2 3 04 577

nem osztható 9cel. mert

2

+ 3 + 4 + 5 + 7 + 7 28,

é s

28ban a 9 nincs meg maradék nélkül.


26/260

4, A

BŰVÉSZINAS

31

M i n d a z ,

a m i

i t t

t ö r t é n i k , a z osztás o k o z t a n e h é z s é g e k k e r ü l g e t é s e . M á r

e z a

k e r ü l g e t é s

i s t e r m é k e n y :

l é p t e n n y o m o n

n e m

v á r t

é r d e k e s

ö s s z e f ü g g é

s e k r e

b u k k a n u n k k ö z b e n . E g y s z e r m a j d r á s z án j u k m a g u n k a t é s s z e m b e n é z ü n k

a z z a l

a z o s z t á s s a l ,

a m e l y

n e m v é g e z h e t ő e l m a r a d é k

n é l k ü l :

e z m a j d t á v l a t o k a t

n y i t a m a t e m a t i k a

l e g m e r é s z e b b

e l g o n d o l á s a i f e l é i s .

4 .

A

B Ű V É S Z I N A S

A z

o s z t h a t ós á g f o g a l m a

m é g s o k é r d e k e s s é g r e v e z e t ,

a m i k k e l é r d e m e s

e l j á t s z a d o z n i .

I l y e n

p é l d á u l

a z

a f e l f e d e z é s , h o g y v a n n a k

„ b a r á t s ág o s

sz á m o k " :

k é t szám b a r á t s á g o s , h a a z

e g y i k n e k v a l ó d i o s z t ó i t ö s sz e a d v a

a

m á s i k s z á m o t

k a p j u k e r e d m é n y ü l é s

v i s z o n t .

A

, , v a l ó d i "

o s z t ó k k ö z é

m a g á t

a

s z ám ot

n e m

s zo k á s s z á m í t a n i ,

i g y p l . 1 0

v a l ó d i o s z t ó i : 1.

2 é s 5 .

I l y e n b a r á t s á g o s s zá mo k

220 és 284, m e r t

1 2 2 0

2 1 1 0

220

4 . 5 5

1

'

284

5 . 4 4

l

4 71

1 0 2 2

4

'

71

'

1 1 2 0

c e h á t

2 2 0 v a f ó d i

o s z t ó i n a k

ö s sz e g e :

1 +2 + 4 + 5+10 +

11+20

+ 22 + 44 +

55+110

2

84

é s 2 8 4

v a l ó d i

o s z t ó i n a k összege:

1 +2 + 4 j 7 1 + 142 = 220.

S Ő t

„ t ö k é l e te s

s z á m "

i s v a n :

o l y a n

s z á m , m e l y

s a j á t

v a l ó d i o s z t ó i n a k ő s z

s z e g é v e l e g y e n l ő . I l y e n p é l d á u l

a 6 ,

m e r t v a l ó d i

o s z t ó i :

1 , 2 és 3 , és

1+2 +

3 =6 .

A

r é g i e k b i z o n y o s

m á g i k u s

t u l a j d o n s á g o k a t

t u l a j d o n í t ot t a k

a z

i l y e n

s z á m o k

n a k , é s e z é r t k u t a t á s i n d u l t m e g t ö k é l e t e s s z á m o k u t á n . T a l á l t a k

i s

t ö b b

t ö k é l e t e s s z á m o t ; e z e k

k ö z ü l a

28at k ö n n y e n e l l e n ő r i z h e t j ü k :

( 1 2 8

2 8 2 1 4

U7,

1

i 2

[ 4

f

7

i

1 4 28 ;


27/260

32 I. A BŰVÉSZINAS

a többi m ár

J ó va l na gyo b b . Mindezek pá ros

s z á m o k ;

p á r o s t ö k é l e t e s s z á m o k

előál l í tására még recepté: is t u d t a k a d n i , d e máig se m t u d j u k , hogy ez a

recept akárhány t ö k é l e t e s számot szolgáltate, v a gy pedig mega ka d

v a l a h o l .

P á r a t l a n

tökéletes számot eddig egyet sem

t a l á l t a k ; n y i t o t t

kérdé s , hogy v a ne

e g y ál ta l án .

Miről is van itt

szó?

A z e m b e r m e g t e r e m t e t t e a maga

c é l j a i r a

a

t e r m é s z e

te s s z á m s o r t , ez az

&

a l k o tása, a számlálás és a

s z á m lá lá s b ó l

e r e d ő m ű v e l e t e k

c é l j a i t szolgálja. D e h a m á r egys zer

m e g t e r e m t e t t e ,

t ö b b é n incs h a t a l m a

f ö l öt t e .

A

termés zetes s zá ms or v a n, önálló létet ka pott , töb b é

ne m

lehet

m ó d o s í t a n i r a j t a , m e g v a n n a k

a

sa ját t ö r v é n y e i , s a j á t e g y é n i t u l a j d o n s á g a i ,

olya n tu la jdons á gok, a mikre á l m á b a n se m g o n d o l t a z e m b e r , a m i k o r m e g

a l k o t t a . A b űv és zina s ká prá zó s zemmel áll a

felidézett

s z e l l e m e k

előtt.

A m a

t e m a t i k u s

, , s e m m i b ő l

t e r e m t

ú j

v i l

pter rzsa - jtk a vgtelennel

Documents