q- questoes deformacoes na flexao_compac

Deformações na flexão – Questões de testes e provas

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS XI - Engenharia Mecânica – Prof. Pamplona 2004-01

L

B

e

A

w

1,0m

2,0m

1,0m

A

B

C

D d=100mm

d=105mm

d=100mm

5,0 kN

5,0 kN

L/2 L/2

d

A

B

C

P

1,0m 1,0m

1,0m 1,0m 6,0kN

(1) 1a. Questão - Para a chapa triangular em balanço, submetida a uma carga uniforme w, pede-se calcular a flecha em seu vértice livre A, em função de suas dimensões (B, e, e L), de seu módulo de elasticidade E e da carga distribuída w. (Bônus) Calcule a máxima tensão normal na chapa.

(2) 2a. Questão - Para o eixo de aço (E = 200GPa) com diâmetros escalonados como mostrado na figura, pede-se determinar as flechas:

a) nas seções de transição B e C; b) no meio do vão. (Bônus): Calcule a máxima tensão normal no eixo;

(3) 3a. Questão - Para o vergalhão de material elástico (módulos de elasticidade E= 2,5 G), diâmetro d e comprimento L, dobrado a meio comprimento (em B), engastado na extremidade A e submetido a uma força P na extremidade livre C (como mostrado na figura), pede-se calcular a flecha nessa extremidade C. (Bônus): calcule a maior tensão tangencial, considerando o estado duplo.

(4) 4a. Questão - Para as duas vigas esquematizadas (perfil S 130x22 em aço (σ escoamento =250MPa, E = 200GPa) pede-se: a) traçar os diagramas de momentos fletores; b) calcular a flecha na extremidade A. (Bônus) – calcular o coeficiente de segurança do conjunto para o escoamento.

Perfil S130x22

A

90º

apoio móvel

apoio móvel

Área Altura Ix Wx rx Iy Wy ry

2800 mm2

127 mm

6,33 106mm4

99,7 103mm3

47,5 mm

0,695 106mm4

16,75 103mm3

15,75 mm


24

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE – DEPARTAMENTO DE E NGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS XI - Engenharia Mecânica – Prof. Pamplona

L

w

A

2,0m

1,0m

B C

d=110mm d=100mm

5,0 kN

5,0 kN

L/3 L/3

d

A

C

P

(5) 1a.Questão - Para a barra chata em balanço, submetida a uma carga linearmente distribuída, de zero a w, pede-se calcular a flecha em seu vértice livre A, em função de suas dimensões (b, h, e L), de seu módulo de elasticidade E e do valor máximo da carga distribuída w. (Bônus) Calcule a máxima tensão normal na barra.

(6) 2a. Questão - Para o eixo de aço (E = 200GPa) com diâmetros escalonados como mostrado na figura, pede-se determinar as flechas:

a) na seção de transição B; b) na extremidade livre C. (Bônus): Calcule a máxima tensão normal no eixo;

(7) 3a.Questão - Para o vergalhão de material elástico (módulos de elasticidade E= 2,5 G), diâmetro d e comprimento L, dobrado em três partes iguais (em B e C), engastado na extremidade A e submetido a uma força P na extremidade livre D (como mostrado na figura), pede-se calcular a flecha nessa extremidade. (Bônus): calcule a maior tensão tangencial, considerando o estado duplo.

A

90º

B

1,0m 1,0m

1,0m

6,0kN

Perfil S130x15

b

h

A

L/3

90º

D

2ª avaliação – em 08/07/04

(8) 4a.Questão - Para as duas vigas engastadas esquematizadas (perfil S 130x15 em aço, σ escoamento =250MPa, E = 200GPa) pede-se: a) traçar os diagramas de momentos fletores; b) calcular a flecha na extremidade A. (Bônus) – calcular o coeficiente de segurança do conjunto para o escoamento.

Área Altura h Ix Wx rx Iy Wy ry

1884 mm2

127 mm

5,12 106mm4

80,6 103mm3

52,1 mm

0,508 106mm4

13,37 103mm3

16,33 mm


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UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE – DEPARTAMENTO DE E NGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS XI - Engenharia Mecânica – Prof. Pamplona 2a. Prova; em 18/11/2004

1,0m

1,0m

1,0m

1,0m

6,0kN

(9) 1a. Questão - Para a viga de madeira (E = 20GPa) seção retangular (b = 100mm x h = 200 mm), submetida ao carregamento indicado, pede-se calcular a flecha no meio do vão. (Bônus)(0,3 p) Calcule a máxima tensão normal na viga.

(10) 3a. Questão - Para as duas vigas esquematizadas (perfil S 130x22 em aço (σ escoamento =250MPa, E = 200GPa) pede-se: a) traçar os diagramas de momentos fletores; b) calcular a flecha no meio do vão da viga AB. (Bônus) – calcular o coeficiente de segurança do conjunto para o escoamento.

Perfil S130x22

A


2800 mm2

127 mm

6,33 106mm4

99,7 103mm3

47,5 mm

0,695 106mm4

16,75 103mm3

15,75 mm

2,0kN

1,0 kN/m

1m 1m

2m

B

Perfil S130x22

(11) 4a. Questão - Mostre que a flecha no meio do vão de uma viga prismática (tendo produto de rigidez EI e comprimento L) submetida a uma carga P concentrada no meio do vão vale:

f = P L3/ 48 EI: a) utilizando o método da integração; b) utilizando a analogia de Mohr; c) utilizando a energia elástica; d) utilizando o teorema de Castigliano. (12) 1ª Questão – O eixo de aço, com

140mm de diâmetro e 6m de comprimento, apoiado sobre dois mancais B e C, espaçados de 4m e tendo um balanço de 2m, é submetido ao carregamento indicado. Pede-se determinar as flechas na extremidade A do balanço e no meio do vão BC entre os mancais. Bônus - calcular a maior tensão de cisalhamento no eixo.

2,00m 2,00m 1,00m 1,00m

8,00kN 10,0 kN/m

A B C

d=140mm


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2ª PROVA – Em 17/05/05


2ª PROVA (B) – Em 24/05/05

3,64m 3,64m

1,82m 1,82m

356kN

254 16

603 x W610x101

(13) 2ª Questão - Duas placas de aço (16x254x3640mm3) são aparafusadas como reforço às mesas do perfil W610x101 (com 603mm de altura e Ix = 762x106 mm4), também de aço, conforme indica a figura. Determinar a flecha no meio do vão da viga, para a carga de 356kN. Bônus - calcular a maior tensão normal no perfil.

1,8 m

1,8 m 1,8 m

1,8 m

P=592 N

(14) 3ª Questão – Duas barras de aço com 3,6 m de comprimento e seção retangular de 12 x 24 mm2 são montadas ortogonalmente e bi-apoiadas para suportar a carga P = 592 N no meio do vão. A peça superior é posicionada deitada (com a dimensão 24mm na horizontal) enquanto a peça inferior é posicionada com a dimensão 24mm na vertical, uma tocando a outra no meio de seus vãos. Pede-se determinar o maior valor do momento fletor nas duas peças. Bônus - calcular a maior tensão normal nas peças.

P P

a a a a

B C

(15) 4ª Questão – Traçar o diagrama de momentos fletores para a viga contínua simétrica representada, indicando seus valores extremos, positivo e negativo, bem como as seções em que ocorrem as inversões de seus sinais.

Eaço = 200GPa

A

1,50m 1,50m 2,00m

12 kN 9,6 kN/m

(16) 1ª QUESTÃO - Traçar o diagrama de momentos fletores para a viga hiperestática esquematizada, indicando os valores extremos alcançados (positivo e negativo) bem como as seções onde ocorrem. Bônus: determinar o módulo de resistência (W) admissível para a seção da viga supondo uma tensão normal de no máximo 100MPa.


27


600

300 180

12

P

600

300 180

12

P

A

A

P

(2/3)L

(1/3)L

(17) 2ª QUESTÃO - As duas pranchas de madeira (E=20GPa) mostradas foram montadas aparafusadas (5 parafusos de diâmetro 10mm) e engastadas no reparo fixo A. Pede-se calcular a flecha na extremidade do balanço quando lá for aplicada a carga P = 100 N. Bônus: determinar a máxima tensão de cisalhamento nos parafusos de união das pranchas.

(18) 3ª QUESTÃO - As duas pranchas de madeira (E=20GPa) mostradas foram engastadas no reparo fixo A , espaçadas de uma distância d e estando encostadas através de um rolete de diâmetro d, ficando paralelas. Pede-se calcular a flecha na extremidade do balanço quando lá for aplicada a carga P = 100 N. Bônus: determinar a máxima tensão normal nas pranchas.

d

d

(19) 4ª QUESTÃO - Deduza a expressão que dá a flecha no meio do vão da viga bi-apoiada submetida à carga P na seção assinalada (a 1/3 do comprimento da viga em ralação a um dos apoios) em função de P, L e do produto de rigidez EI da viga. Bônus: repita a demonstração utilizando outro método.

5 parafusos de diâmetro 10mm

2ª avaliação – em 25/10/05 10 kN 24 kN/m

2,0m 4,0m

(20) 1ª QUESTÃO - Traçar o diagrama de momentos fletores para a viga prismática e homogênea esquematizada, indicando os valores extremos (+ e -)


28



16 kN / m

15 kN

d = 126 mm

2,00 m 1,00 m 1,00 m

2,00 m

2,00 m 100 kN

250

15

10

10

100

Aba 228 x 14,9 mm2

Alma 573 x 10,5 mm2

L/4 L/4 L/2

P

f

(22) 1ª QUESTÃO - Para o eixo de aço maciço esquematizado (d = 126 mm, L = 4,00 m, E = 200GPa), apoiado no mancal Ae engastado no flange F, pede-se determinar:

(a) o momento fletor máximo; (b) a flecha no meio do vão, entre o

mancal e o flange. A

F

(23) 2ª QUESTÃO - O perfil de aba larga W610x101, com 4 m de comprimento é engastado e reforçado na metade de sua extensão por duas barras chatas de mesmo material (250 x 15 mm2) soldadas ao longo das abas por 12 cordões como indicado na figura. Para a força de 100 kNaplicada na extremidade em balanço pede-se determinar a flecha máxima. (E = 200GPa) BÔNUS : calcular a tensão tangencial média nos cordões de solda.

(24) 4ª QUESTÃO - Mostre que a flecha no meio do vão de uma viga, de comprimento L e produto de rigidez EI, submetida a uma força concentrada P aplicada a ¼ L de um dos apoios vale: f1/2 L = - (11/768) PL3/EI a) utilizando o método da integração; b) utilizando a analogia de Mohr; BÔNUS: c) utilizando o teorema da reciprocidade (Maxwell).

Ix 762 x 106

mm4

B 1,0m

1,0m

1,0m 1,0m 5,0kN (21) VS – 3/8/2004 Para as duas vigas esquematizadas (perfil S 130x22 em aço (σ escoamento =250MPa, E = 200GPa) pede-se: a) traçar os diagramas de momentos fletores; b) calcular o coeficiente de segurança do conjunto para o escoamento.

Perfil S130x22

A


2800 mm2

127 mm

6,33 106mm4

99,7 103mm3

47,5 mm

0,695 106mm4

16,75 103mm3

15,75 mm


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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS XI - Engenharia Mecânica – Prof. Pamplona

2,0m

2,0m

B C

d=120mm 100x100 mm2

5,0 kN

5,0 kN

(25) 2a. Questão - Para a peça de aço (E = 200 GPa) , pede-se determinar as flechas:

a) na seção de transição B; b) na extremidade livre C. (Bônus): Calcule a máxima tensão normal no eixo;

(26) 3a.Questão - Para as duas vigas engastadas esquematizadas (perfil S 130x15 em aço, σ escoamento =250MPa, E = 200GPa) pede-se: a) traçar o diagrama de momentos fletores da viga ABC b) calcular a flecha na extremidade A. (Bônus) – calcular o coeficiente de segurança do conjunto para o escoamento.

A

1,5m 1,5m

1,5m

5,0kN

Área Altura h Ix Wx rx Iy Wy ry

1884 mm2

127 mm

5,12 106mm4

80,6 103mm3

52,1 mm

0,508 106mm4

13,37 103mm3

16,33 mm

A

C

B

(27) Questão Extra I – No estudo das tensões despertadas em peças submetidas a cargas dinâmicas (choque), foi dito que, em peças de seção uniforme, quanto maior o seu volume, menor a tensão máxima produzida.

Tal circunstância é aplicada, por exemplo, no fechamento de cilindros pneumáticos, onde são utilizados parafusos longos submetidos à tração (fig. a) ao invés da solução mais simples de parafusos curtos (fig.b). Deve-se, no entanto, analisar com cautela tal propriedade, no caso de peças que têm seção variável.

É o ca Bônus (0,1p): Calcule a máxima tensão normal nas vigas.

o alcançada na peça da fig. (d) devido ao choque é 26,5% maior do que aquela atingida na peça da fig. (c), apesar desta ter um menor volume do que aquela.

Perfil S130x15

d d 2d

L/2 L/2 L


30

Solução: ½ Pequiv fdin = U = ½ Pequiv [Pequiv L

3 / 48 EI] = (Pequiv )2 L3/ 96 EI

U = ½ mv2 = mgh portanto, Pequiv = [ 96 EI mgh / L3 ]1/2.

No caso, I = 80 x 1003 / 12 – 60 x 803 / 12 = 4,107 x 106 mm4 = 4,107 x 10-6 m4. Pequiv = [96 x 70 x 109 x 4,107 x 10-6 x 6,0 x 9,81 x 0,200 / 1,83]1/2 = 7,464 kN, A máxima tensão normal, σmáx = [(Peq L/4)/I]ymáx = (7,464 x 103 x 1,8 / 4 x 4,107 x 10 –6 )x 0,050 = = 40,9 MPa A deformação máxima valerá: δdinâmico = Pequiv L

3 / 48 EI = 3,15 mm O fator de ampliação devido ao choque corresponde a 7,464 x 103 / 6 x 9,81 = 127

900

900

200

6kg

80

100 10

(28) QUESTÃO EXTRA II – O duto de alumínio (E = 70 GPa), de seção retangular 100 x 80 mm2 e espessura de parede 10 mm, com um comprimento de 1,80m, está bi-apoiado pelas extremidades, quando recebe o impacto decorrente da queda de uma placa de 6,0 kg de uma altura de 200 mm. Pede-se determinar: 1º) a carga estática equivalente 2º) a máxima tensão normal despertada; 3º) a máxima deflexão produzida.

(29) QUESTÃO EXTRA III – Para os pórticos hiperestáticos representados, de seção uniforme ao longo dos tramos verticais (h) e horizontal (L), sendo h = ββββL , pede-se mostrar que os esforços solicitantes apresentados nos diagramas, correspondem aos valores indicados nas expressões abaixo (foram tomados como referência os valores de momentos fletores correspondentes a uma viga de comprimento L, bi-apoiada e bi-engastada)

h h h h

½ L ½ L ½ L ½ L

P P

P/2 P/2 P/2 P/2

H H H

H

M* M* M* M*

M** M**

M 0 M 0

H = (3/8)[1/(3β+2β2)] (P)

M* = ½ [3β/(3β+2β2)](PL/4)

M**= ½ [( 3β+4β2)/(3β+2β2)](PL/4)

H = (3/8)[1/(2β+β2)] (P)

M0 = [β/(2β+β2)](PL/8)

M* = 2[β/(2β+β2)](PL/8)

M** = 2[( β+β2)/(2β+β2)](PL/8)

M 0 M 0


31

2,05m

2a. Questão (2,5 p) A viga CD repousa sobre a viga AB, sendo ambas constituídas de perfis I 250 x 52 de aço e montadas como indica a figura. Para a carga de 120 kN pede-se calcular a deflexão vertical em mm sofrida pelo ponto médio E da viga CD. Bônus (0,1p): Calcule a máxima tensão normal nas vigas.

3a.Questão (2,5 p) A viga de aço bi-apoiada ABC (perfil I 250 x 52), de 4,8 m, é reforçada na metade de sua extensão (trecho BC) por duas barras chatas de aço (165 x 12,5 mm2), fixadas às mesas, sendo submetida a um momento M = 120kNm na extremidade do apoio C. Pede-se calcular: a)(1,5p) a flecha na transição (B) e b)(1,0p) o ângulo (em graus) de giro da seção C (Bônus) (0,2p) – calcular a maior tensão normal na viga e em seu reforço.

4a.Questão (2,5p) Para a viga de aço ABC (perfil S 310 x 47, 3, com Iz = 90,7 x 106

mm4 e Wz = 595 x 103 mm3), engastada em A e apoiada em C, submetida ao carregamento indicado, pede-se calcular a máxima flecha. (Bônus) (0,1) calcular a maior tensão normal na viga.

Área Altura h Ix Wx 6640 mm2

254 mm

61,2 106mm4

482 103mm3


2,00m 3,00m 1,00m

24,0kN

12,0 kN/m

A B

C

1ª Questão (2,5p) – O eixo de aço, com 160mm de diâmetro e 6m de comprimento, apoiado sobre os mancais A e B, tendo um balanço BC de 2m, é submetido ao carregamento indicado. Pede-se determinar as flechas na extremidade C do balanço e no meio do vão AB. Bônus (0,1) traçar o diagrama de momentos fletores indicando os valores extremos

d=160mm

12,0 kN

C

0,500m 0,500m 1,50 m 1,50 m

120 kN

D

B A

E

Perfil I 250x52

2,40 m 2,40 m

254

126 12,5

15,1

165 12,5

M = 120 kNm

B A C

1,45m

P = 70,0 kN

A

B

C

z

y

Adotar E = 200 GPa para o aço nas 4 questões


32


1a. Questão (3,0p) O hélice H de 800 kg, em balanço na extremidade de um eixo de aço de 1,53 toneladas, com 10,0 m de extensão e 160 mm de diâmetro, é apoiado no mancal A e flangeado no mancal de escora B. Pede-se calcular (considerando apenas a flexão): a) – (1,0) a flecha (em mm) na extremidade em balanço H; b) – (1,0) a flecha (em mm) na seção média do eixo entre os mancais A e B; c) – (1,0) a máxima tensão normal no eixo;

A

1,50m

1,2m

0.50m

1,2m

6,0 kN 3a. Questão (3,0p) Para as duas vigas esquematizadas (perfil S 130x22) em aço (σ escoamento = 250 MPa) pede-se: a) (1,0p) traçar os diagramas de momentos fletores; b) (1,0p) calcular a flecha no meio do vão da viga AB. c) (1,0p) a máxima tensão normal.

Perfil S130x22

A


2800 mm2

127 mm

6,33 106mm4

99,7 103mm3

47,5 mm

0,695 106mm4

16,75 103mm3

15,75 mm

B

Perfil S130x22

4a. Questão (2,0p) Demonstre que a flecha na extremidade em balanço de uma viga prismática (tendo produto de rigidez EI e comprimento L), engastada na outra extremidade e submetida a uma carga P concentrada na extremidade em balanço vale:

f = P L3/ 3 EI: e) (0,5p) utilizando o método da integração; f) (0,5p) utilizando a analogia de Mohr; g) (0,5p) utilizando a igualdade entre o trabalho da força e a energia elástica armazenada; h) (0,5p) utilizando o teorema de Castigliano.

3,00m 7,00m

D=160 mm B H

120 kN

254

15

2ª QUESTÃO (2,0 p) A barra retangular de aço (42 x 603 mm2), com 5,0 m de comprimento, é engastada numa extremidadee reforçada na metade de sua extensão por duas barras chatas de mesmo material (254 x 15 mm2) fixadas ao longo da barra por 14 parafusos como indicado na figura. Para a força de 120 kN aplicada na extremidade em balanço pede-se determinar a flecha nesta extremidade.

2,50 m

2,50 m

603

42

Nas 3 questões acima use Eaço = 200 GPa

q- questoes deformacoes na flexao_compac

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