Quale delle funzioni elencate ha il grafico in figura?

1) f(x)=x3 -22) f(x)= x3 -2x2 -(x-2)3) f(x)= x3 -2x2 + x-24) f(x)= x4 -x2 -2

SOLUZIONE: Si esclude subito la funzione 2) perchéper x=0 vale 2 e non -2 come mostra il grafico; Siesclude la 4) perché è una funzione pari, quindi il suografico è simmetrico rispetto all’asse y; si esclude la 1)perché vale 0 per x=21/3

La funzione che ha il grafico in fig. è la 3) si ha infattif(2)=0 e tutte le altre caratteristiche mostrate dal grafico

Quale delle funzioni elencate ha il grafico in figura?

1) f(x)=1/x + 22) f(x)= 1/(x+1) + 23) f(x)=1/(x-1) + 24) f(x)= -1/(x+1) + 2

SOLUZIONE:Il grafico in figura è relativo ad unafunzione che non è definita per x= -1, dunque siescludono subito le funzioni 1) e 3).Il grafico mostra che la funzione in 0 vale 3, mentre lafunzione 4) in 0 vale 1. Controllando la funzione 2) sivede che essa soddisfa a tutte le proprietà evidenziatedal grafico (insieme di def.x≠ -1 , limiti.., segno…,f(0)=3…)

Quale delle funzioni elencate ha il grafico in figura?

1) f(x)= ex/x +12) f(x)= logx/x3) f(x)= ex/x4) f(x)= ex/(x-2)

SOLUZIONE: Si esclude la 4) perché non è definita perx=2 e la 2) perché definita solo per x>0.Si esclude la 1) perché il suo limite per x→-∞ è 1.La funzione 3) ha tutte le proprietà evidenziate dalgrafico compreso il limite per x→-∞ uguale a 0.

Quale delle funzioni elencate ha il grafico in figura?

1) f(x)= logx/x2) f(x)= 2log(x-1)/(x+1)3) f(x)= 5log(x+1)/(x-1)4) f(x)= logx2 /(x+1) + 1

SOLUZIONE: si esclude la funzione 1) perchédefinita per x>0; si esclude la funzione 2) perchédefinita per x>1; si esclude la 4) perché è definita nelpunto x=1 al contrario di quanto appare nel grafico;La funzione 3) va bene perché soddisfa a tutte leproprietà evidenziate dal grafico (insieme di def datoda x>-1 con x≠1 , ecc…)

1- Scrivi l’espressione analitica di una funzione f(x) continua,definita e crescente su tutto R, che abbia limite per x→+∞ uguale a3 e sia f(0)= -2.SOLUZIONE: Tra le tante funzioni possibili, una volta disegnato ungrafico compatibile con le richieste, si può pensare, ad esempio aduna funzione del tipo f(x)=Aexp(-x) +B, dove A e B sono opportunecostanti che si determinano in base alla condizione di limiteB=3 (infatti exp(-x) tende a 0 per x che tende a + ∞ )e alla condizione f(0)=-2 che ci daA+ B=-2, vale a dire A+3=-2, da cui A=-5, quindi abbiamo ottenutola funzione f(x)=-5exp(-x)+3;Altro esempioRagionando in modo analogo si potrebbe cercare una funzionef(x)=Aarctanx+B, imponendo le condizioni assegnate si otterrebbeA(π/2) +B=3, B=-2, da cui f(x)=(10/π)arctanx-2

2- Scrivi l’espressione analitica di una funzione f(x) continua,definita e decrescente su tutto R, che sia limitata tra i valori -2 e 1.

SOLUZIONE: Ci sono molte funnzioni che soddisfano alla richiesta,ad esempio una funzione limitata del tipo f(x)= A+ Barctanx, doveA e B sono opportune costanti da determinare in base alle richiestedell’esercizio, in particolare ricordando che la funzione arctanxtende a π/2 per x→+∞, mentre tende a -π/2 per x→-∞ , si poneA−(π/2)B = 1A+(π/2)B = -2da cui otteniamo A= -1/2, B= -3/π e quindi f(x)= -1/2 –3/π arctanx

3- Scrivi l’espressione analitica di una funzione f(x) continua,definita per x>1, tale che f(x)<0 per 2<x<3; inoltre si abbialim x→1+ f(x) = +∞, lim x→+∞ f(x)= +∞SOLUZIONE: Il fatto che la funzione debba essere definita per x>1,può far pensare a ln(x-1), ma bisogna sistemare il segno, in quantoln(x-1)>0 per x>2, possiamo quindi pensare di moltiplicare ln(x-1)per una funzione che sia positiva per x>3 e negativa per x<3, dunquead esempio f(x)=(x-3)ln(x-1) soddisfa ai requisiti richiesti.Altro esempio:Per essere definita per x>1 possiamo anche pensare a 1/√ (x-1), peraggiustare il segno e i limiti possiamo mettere al numeratore unpolinomio che sia negativo per 2<x<3 e positivo all’esterno, quindiad esempio f(x)=(x-2)(x-3) /√ (x-1) soddisfa ai requisiti richiesti.

1- A partire dalla conoscenza della funzione lnx e del suo grafico,disegna il grafico della funzione f(x)= 2 - lnx/x.

Determina per f(x):1) Dominio2) Eventuali intersezioni con gli assi coordinati3) per quali x si ha, eventualmente, f(x)≥04) limiti ai bordi del dominio5) Insieme immagine

SOLUZIONE:Al punto 1) si risponde facilmente: dominio x>0;Per il resto conviene fare riferimento al grafico di lnx/x, si osserva

che lnx/x è positiva per x>1, ha un punto di max relativo perx=e dove vale 1/e, tende a -∞ per x che tende a 0+, e tende a 0per x che tende a + ∞; la funzione opposta -lnx/x, avrà quindivalore minimo in x=e e varrà -1/e, sarà positiva per 0<x<1,tenderà a 0 per x che tende a + ∞, e a +∞ per x che tende a 0+;

Se sommiamo per 2, la funzione f(x)=2-lnx/x avrà limite + ∞ perx che tende a 0+, limite 2 per x che tende a + ∞ , e punto diminimo per x=e, in cui vale 2-1/e, dunque f(x) risulta semprepositiva e non ci sono intersezioni con l’asse delle ascisse (conquello delle ordinate non ci possono essere in quanto ildominio è dato da x>0); infine l’insieme immagine è lasemiretta [2-1/e, + ∞);

Vedi slide successivo per il grafico

2- A partire dalla conoscenza della funzione arctanx e delsuo grafico, disegna il grafico della funzione

f(x)= 1/(arctanx + π/4), e determina per f(x):1) Dominio2) Eventuali intersezioni con gli assi coordinati3) per quali x si ha, eventualmente, f(x)≥04) limiti ai bordi del dominio5) insieme immagineSOLUZIONE: 1) Dominio R/{-1}; 2) f(0)= 4/π, mentre non

ci sono intersezioni con l’asse delle ascisse (f(x)≠0 perogni x ); 3) si ha f(x)>0 per x>-1; 4) limite per x→ -∞uguale a –4/π, limite per x→ +∞ uguale a 4/(3π), limitesinistro per x che tende a –1 uguale a -∞, limite destrouguale a +∞; l’insieme immagine è dato dall’unione delleseguenti semirette (-∞,–4/π) ∪ (4/(3π), +∞)

2-

3- A partire dalla conoscenza della funzione ex e del suografico, disegna il grafico della funzione

f(x)= 1/(ex - 2), e determina per f(x):1) Dominio2) Eventuali intersezioni con gli assi coordinati3) per quali x si ha, eventualmente, f(x)≥04) limiti ai bordi del dominio5) insieme immagine

SOLUZIONE: Dominio: R/{ ln2}, dovendo essere ex - 2≠0;Disegnando il grafico di ex - 2 (ottenuto da quello di ex abbassando

di 2 unità parallelamente all’asse delle ordinate), si costruiscefacilmente il grafico della funzione reciproco, infatti anch’essasarà positiva per x>ln2 e negativa per x<ln2; si avrà unaintersezione con l’asse delle ordinate nel punto (0,-1), infatti perx=0 dove f(0)= -1, non ci sono intersezioni con l’asse delleascisse, infatti f(x) non assume mai valore 0, vale a dire f(x)≠0

SOLUZIONE (continua…): il limite destro per x che tendea ln2 è +∞, il limite sinistro è - ∞, il limite di f(x) per x chetende a + ∞ è 0, il limite di f(x) per x che tende a - ∞ è -1/2;l’insieme immagine è dato dall’unione delle semirette (- ∞,-1/2)∪(0, + ∞)

1- Studia la monotonia, eventuali punti di massimo o minimorelativi o assoluti, concavità, convessità ed eventualipunti di flesso della funzione f(x)= (3+2xlnx)/2x

SOLUZIONE: La funzione è definita solo per x>0; si haf’(x)=[(2lnx+2)2x-(3+2xlnx)2]/4x2 = (4x-6)/4x2

Dunque f’(x)=0 per x=3/2, poiché f’(x)>0 per x>3/2 e quindif(x) è crescente per x>3/2, mentre f’(x)<0 per x<3/2 equindi f(x) è decrescente per x<3/2, il punto singolarex=3/2 è un punto di minimo relativo per la funzione, cherisulta anche essere di minimo assoluto, essendo i limitisia per x che tende a 0 da destra che per x che tende a +∞uguali a + ∞

2- Studia la monotonia, eventuali punti di massimo o minimorelativi o assoluti, concavità, convesità ed eventuali puntidi flesso della funzione f(x)= 2sinx -x

3- Studia la monotonia, eventuali punti di massimo o minimorelativi o assoluti, concavità, convesità ed eventuali puntidi flesso della funzione f(x)= e-x (3x-1)

1- Studia la monotonia, eventuali punti di massimo o minimorelativi o assoluti, concavità, convessità ed eventualipunti di flesso della funzione f(x)= (3+2xlnx)/2x

SOLUZIONE: La funzione è definita solo per x>0; si haf’(x)=[(2lnx+2)2x-(3+2xlnx)2]/4x2 = (4x-6)/4x2

Dunque f’(x)=0 per x=3/2, poiché f’(x)>0 per x>3/2 e quindif(x) è crescente per x>3/2, mentre f’(x)<0 per x<3/2 equindi f(x) è decrescente per x<3/2, il punto singolarex=3/2 è un punto di minimo relativo per la funzione, cherisulta anche essere di minimo assoluto, essendo i limitisia per x che tende a 0 da destra che per x che tende a +∞uguali a + ∞; calcoliamo f”(x)= (3-x)/x da cui si ottienef”(x)=0 per x=3, f”(x)>0 per x<3 e quindi f(x) convessaper x<3, mentre f”(x)<0 per x>3, dunque f(x) concavaper x>3, x=3 è quindi un punto di flesso.

2- Studia la monotonia, eventuali punti di massimo o minimorelativi o assoluti, concavità, convesità ed eventuali puntidi flesso della funzione f(x)= 2sinx -x

SOLUZIONE: La funzione è definita su tutti i numeri reali,f’(x)= 2cosx -1, f’(x)=0 per x=π/6 +2kπ oppure perx=-π/6 +2kπ per ogni k∈Z e si ha per tutti i puntisingolari x=π/6 +2kπ f’(x)<0, e quindi f(x) decrescente,in un opportuno intorno sinistro della singolarità ,mentre f’(x)>0, e quindi f(x) crescente, in un opportunointorno destro, quindi i punti sono punti di minimorelativo (non ci sono minimi assoluti poiché la funzionetende a -∞ per x che tende a +∞); mentre per i puntix= - π/6 +2kπ si ha f’(x)>0 in un opportuno intornosinistro e f’(x)<0 in un opportuno intorno destro quinditali punti sono di massimo relativo (non ci sono massimiassoluti poiché la funzione tende a +∞ per x che tende a- ∞); calcoliamo f”(x)= -2sinx

SOLUZIONE (continua…): poiché f”(x)= -2sinx, avremof”(x)=0 per x=2kπ oppure per x=(2k+1) π che sono puntidi flesso in quanto in un intorno opportuno di ciascuno diquesti punti f”(x) cambia segno, in particolare per x=2kπsi ha che f”(x)>0 in un opportuno intorno sinistro equindi f(x) è convessa, e a destra f”(x)<0 e quindi f(x)diventa concava, viceversa per i punti x=(2k+1) π si haf(x) concava in un opportuno intorno sinistro e convessanell’intorno destro.

3- Studia la monotonia, eventuali punti di massimo o minimorelativi o assoluti, concavità, convessità ed eventualipunti di flesso della funzione f(x)= e-x (3x-1)

SOLUZIONE: la funzione è definita per ogni x reale;calcoliamo f’(x)= (4-3x)/ex quindi f’(x)=0 per x=4/3,inoltre f’(x)>0, e quindi f(x) crescente, per x<4/3 ef’(x)<0, e quindi f(x) decrescente, per x>4/3, quindix=4/3 è un punto di massimo relativo, calcolando illimite di f(x) per x che tende a -∞ si ha -∞, mentre f(x)tende a 0 per x che tende a +∞, dunque il punto x=4/3 èdi massimo assoluto; calcoliamo f”(x) = (3x-7)/e dunquef”(x)=0 per x=7/3, inoltre f”(x)>0 per x>7/3, f”(x)<0 perx<7/3, x=7/3 è perciò un punto di flesso e f(x) è concavaper x<7/3 e convessa per x>7/3