rabotna tetratka po matematika izu~uvaweto na matematikata vo oddelenie ti pomaga u~ebnikot po vii...
TRANSCRIPT
Rabotna tetratka po
MATEMATIKA za VII oddelenie
PREDGOVOR Pri izu~uvaweto na matematikata vo VII oddelenie ti pomaga u~ebnikot po matematika od koj mo`e{ da razbere{ i nau~i{ mnogu novi poimi, kako i da se potseti{ na ve}e izu~enite, da se zapoznae{ so mnogu pravila {to ti ovozmo`u-вaat da navleze{ vo tajnite na matematikata. Rabotnata tetratka po matematika za VII oddelenie, kako sostaven del na u~ebnikot ti pomaga da gi prodlabo~i{, pro{iri{ i proveri{ so kakvi i kolka-vi znaewa si se steknal vo nastavata. Rabotnata tetratka isto kako i u~ebnikot e podelena na пет delovi soglasno temite so nastavnata programa po matematika za VII oddelenie. Taa sodr`i:
• Tematski ve`bi za sekoja od nastavnite sodr`ini so po 10 zada~i (nekade i pomalku) zavisno od obemnosta na sodr`inata. • Testovi za samoproverka za sekoja tema, {to se dadeni na krajot od sekoja tema.
Во тестовите од тема I, тема IV и тема V, prvite 5 pra{awa (zada~i, koi se re{avaat usno ili bez pogolemi pote{kotii), predlagame da se vrednuvaat so 6 bodovi, dodeka pak vtorite 5 zada~i od testot da se vrednuvaat so 14 bodovi. Site zada~i od testovite vo tema II se vrednuvaat so 20 bodovi, a site zada~i od testovite vo tema III se vrednuvaat so 10 bodovi. Zna~i vo sekoj test vkupniot broj na mo`ni bodovi e 100. Za pretvorawe na bodovite od testot vo ocenki ja predlagame slednava tabe-la:
Bodovi 85 – 100 65 – 84 45 – 64 25 – 44 0 – 24
Ocenka Odli~en (5)
Mnogu dobar (4)
Dobar (3) Dovolen (2)
Nedovolen (1)
5
Tema I VEKTORI.
TRANSLACIJA
1. PRAVEC I NASOKA. NASO^ENA OTSE^KA - VEKTOR
1. Relacijata R: “pravata p e paralelna na ...” gi ima slednite svojstva:
a) Pravata p e ________________________________________________________ sama na sebe.
b) Ako pravata p e paralelna na pravata q, toga{ ___________________________________ .
v) Ako p II q i q II r, toga{ i ________________________________________________________ .
2. a) [ to e pravec opredelen so dadena prava? b) Kolku nasoki ima daden pravec? Odgovor: a) Mno`estvoto ____________________________________________________________
___________________________________________________________________________
b) Sekoj pravec ____________________________________________________________
___________________________________________________________________________
3. Kolku pravi minuvaat niz: a) edna to~ka; b) dve razli~ni to~ki. Odgovor: a) Niz edna to~ka __________________________________________________________
___________________________________________________________________________
b) Niz dve razli~ni to~ki __________________________________________________
___________________________________________________________________________
4. Dadeni se pravite a, b, c i d, taka {to a II b, a ја сече правата c, i pravata d gi se~e trite
pravi. Vo vrska so tie pravi, dadeni se nekolku iskazi. Koj od niv e to~en?
a) O1A2 ↑↑ O1A3 g) O2B1 ↑↓ O1A b) O
3
1A3 ↑↓ O1A1 __________ d) O2B2 ↑↑ O3C v) O
2
1A1 ↑↑ O3C3 |) O1A1 ↑↓ O3C
1
Odgovor: To~ni se slednite iskazi: ___________________________________________________ 5. Koja otse~ka se vika vektor? Odgovor: Otse~kata _________________________________________________________________
__________________________________________________________________________ .
6
6. Izberi tri razli~ni to~ki A, B i C. Kolku vektori mo`at da se formiraat so po~etok vo edna, a krajot vo druga dadena to~ka? Kolku vkupno vektori obrazuvaat dadenite to~ki? Odgovor: Mo`e da se formiraat ____________________ vektori.
Ima vkupno ____________________ vektori.
7. Dadeni se vektorite fedcba ,,,,, . Koi od niv se:
a) kolinearni; b) istonaso~eni; v) sprotivnonaso~eni?
Odgovor: a) Kolinearni se: __________, __________ . b) Istonaso~eni se: __________.
v) Sprotivnonaso~eni se: __________, __________ .
8. Vektorot a e napolno (ednozna~no) opredelen so: Odgovor: a) ________________________________________________________________________ .
b) _______________________________________________________________________ .
v) ________________________________________________________________________ .
9. Neka to~kite M i N se sovpa|aat vo edna ramnina. a) Zapi{i vektor so po~etna to~ka M i krajna N; b) Zapi{i ja goleminata na toj vektor; v) Koja otse~ka se narekuva nulti vektor? Odgovor: a) ________________________________________________________________________ .
b) _______________________________________________________________________ .
v) ________________________________________________________________________ .
7
2. EDNAKVOST NA VEKTORI 1. Na crte`ot se dadeni pove}e vektori: a) Istonaso~eni se vektorite _________________ .
b) Sprotivnonaso~eni se vektorite ___________ .
v) Ednakvi se vektorite _______________________ .
2. Koga dva vektora a i b
se ednakvi?
Odgovor: Vektorite a i b
se ednakvi ako: a) _______________________________________________________________________________ .
b) ______________________________________________________________________________ .
3. Za koi dva vektori m i n velime deka se sprotivni? Odgovor: Vektorite m i n se sprotivni ako: a) _______________________________________________________________________ .
b) ________________________________________________________________________ .
4. Daden e vektorot MN ( MN = 3 cm). Prenesi go vektorot MN , taka {to to~kata SM ≡ .
Kolku takvi vektori ima? Odgovor: __________________________________________________________________________ .
5. Daden e vektorot AB . Konstruiraj:
a) Vektor MN ednakov na AB ,
b) Vektor EF sprotiven na AB . Odgovor: a) b)
8
6. Daden e paralelogramot ABCD (AB II CD i AD II BC) i to~kata S, presek na dijagonalite AC i BD.
a) Koi vektori se kolinearni, a ne se ednakvi? b) Koi vektori se ednakvi? v) Koi vektori se sprotivni? Odgovor: a) _____________________________ . b) ________________________________ .
v) _____________________________ .
7. Dadena e kru`nicata k (O,r) i na nea se ozna~eni vektorite OP i MN . Konstruiraj vektor,
a) Sprotiven na vektor OP ?
b) Ednakov na vektor MN ? 8. Proveri ja to~nosta na iskazot:
Ako vektorot EFMN = , toga{ i vektorot NFME = . (Napravi crte`!).
9. Ako vektorite CDAB = i CNAM = , toga{ sleduva i vektorot DNBM = . Doka`i!
Dadeno: CDAB = i CNAM =
Tvrdime: DNBM = Dokaz:
9
3. SOBIRAWE NA VEKTORI. SVOJSTVA 1. Najdi go zbirot, konstruktivno, na kolinearnite vektori:
a) ba
+ , b) cba ++
Odgovor: a) b)
2. Najdi go zbirot na vektorite AB i CD , konstruktivno, po praviloto na triagolnikot. 3. Konstruiraj go zbirot na nekolinearnite vektori m , n i p so nadovrzuvawe i po~etna
to~ka S. 4. Na {to e ednakov zbirot na vektorite:
a) CABCAB ++ b) DACDBCAB +++ Odgovor:
a) CABCAB ++ = _______________ b) DACDBCAB +++ = _______________
10
5. Konstruiraj go zbirot na vektorite MN i PQ po praviloto na paralelogram so po~etna to~ka S.
6. Poka`i deka za koi bilo vektori m i n va`i mnnm
+=+ (koristi go praviloto na pa-ralelogram za sobirawe na vektori).
7. Neka vektorite e i f
se sprotivni. Konstruiraj go nivniot zbir fe
+ .
8. Daden e trapezot ABCD (ABIICD). To~kite M i N se sredini na kracite AD i BC soodvet-
no. Izrazi go vektorot MN so pomo{ na vektorot AB i CD (obrazlo`i go odgovorot).
Odgovor: =MN _____________________ 9. Daden e ~etiriagolnikot ABCD kako na crte`ot. Izrazi go vektorot:
a) AC so pomo{ na vektorite a i b
;
b) BD so pomo{ na vektorite b
i c ;
v) AD so pomo{ na vektorite AC i c ;
g) AD so pomo{ na vektorite a i BD ; [ to zaklu~uva{ za operacijata sobirawe vektori:
a) _________________ b) ___________________ v) ___________________ g) ________________ Odgovor: Operacijata sobirawe vektori e ____________________________________________
11
4. ODZEMAWE NA VEKTORI. MNO@EWE NA VEKTORI SO BROJ 1. Opredeli go zbirot na sprotivnonaso~enite vektori a i b
:
a) ba
+ ako ba
> , b) ba
+ ako ba
< .
2. Opredeli ja, konstruktivno, razlikata na kolinearnite vektori m i n : a) nm
− ako nm > , b) nm
− ako nm < .
3. [ to zna~i vektorot b
da se odzeme od vektorot a ?
Odgovor: Da se odzeme vektorot b
od vektorot a _______________________________________
___________________________________________________________________________
4. Dadeni se nekolinearnite vektori AB i CD . Konstruiraj ja razlikata CDAB− so po~etna to~ka S.
5. Neka n e proizvolen vektor. Opredeli ja razlikata: a) on
− b) nn − v) mn
− kade nm −=
12
6. Daden e paralelogramot ABCD (ABIICD i ADIIBC) i S prese~na to~ka na dijagonalite AC i BD. Razlikata na vektorite e:
a) =−ADAB ______________
b) =−BDBC _______________
v) =− BCAB _______________
g) =−SCAS _______________
7. Vo koi slu~ai va`i ravenstvoto:
a) baba
+=+ b) baba
−=+ v) baba
−=−
Odgovor: a) _________________________________________________________________________
b) ________________________________________________________________________
v) _________________________________________________________________________
8. Neka a e proizvolen vektor. Opredeli go, konstruktivno, vektorot:
a) am 3= b) an
43
=
9. Opredeli go, konstruktivno, vektorot:
a) ba
32 + b) ba
23 − ako a i b
se dadeni vektori.
13
5. TRANSLACIJA 1. Neka vagon~eto se dvi`i pravoliniski po
{inite na prugata, pri {to vo sekoja na-
redna polo`ba ostanuva paralelno so pr-
vobitnata i pritoa formata i goleminata
ostanuvaat postojani. Vakvoto dvi`ewe
se vika paralelno pomestuvawe ili
______________________________________
2. Koe preslikuvawe se vika translacija? Odgovor: Translacija za vektorot a se vika
_____________________________________________________________________________________
3. So pomo{ na translacija nacrtaj: a) prava a paralelna na dadena prava p, b) prava b paralelna na dadena prava p i minuva niz dadena to~ka B. 4. a) Pri translacija aτ , vektorot a se vika __________________________________________
to~kata ( )MM1 aτ= e _________________________________ na originalot ________________
b) Translacijata a−τ se narekuva _________________________ za translacijata _________
5. Dadeni se nekolinearnite to~ki A, B i C. Konstruiraj gi slikite na ovie to~ki pri
translacija AB
τ .
14
6. Dadena e pravata p i to~kite M, N, P i Q od taa prava. Konstruiraj gi slikite na tie to~-ki pri translacija
PNτ .
Odgovor: PN
τ (M) = _________; PN
τ (N) = _________; PN
τ (P) = _________; PN
τ (Q) = _________. 7. Dadena e otse~kata MN i vektorot n . Konstruiraj ja slikata M1N1
nτ na otse~kata MN pri
translacija .
Odgovor: nτ (MN) = _________ 8. Konstruiraj ja slikata na ∆ABC pri translacija τ za vektorot a . Odgovor: aτ (∆ABC) = _________
9. Neka a i b
se dva nekolinearni vektora i M dadena to~ka. Da se konstruiraat to~kite
M1 ba
+τ = (M) i M2 ab +τ = (M). Dali to~kite M1 i M2
se sovpa|aat?
Odgovor: To~kite M1 i M2 _________________________________________________________ .
15
6. SVOJSTVA NA TRANSLACIJATA 1. Osnovni svojstva na translacijata aτ se:
a) Translacijata go zapazuva ________________________________________________________
b) Ako to~kata M le`i me|u to~kite A i B, toga{ i ___________________________________
v) Sekoja figura F pri translacija aτ se preslikuva vo _______________________________
2. Izvr{i translacija τ za vektorot a na otse~kata MN. Ako ( )Μ= aτ1M i ( )NN1 aτ= , to-
ga{ sporedi gi otse~kite MN i M1N1
.
Odgovor: MN __________________ 11NM 3. Dadena e otse~kata AB i to~kata P sredina na AB. Konstruiraj ja slikata na AB pri
translacija nτ . Sporedi go redosledot na to~kite A, M i B i nivnite sliki.
Odgovor: Redosledot na slikite od to~kite A, M i B e ______________________________
redosledot na to~kite A, M i B. 4. Daden e ∆ABC i vektor a . Konstruiraj ja slikata na ABC∆ pri translacija aτ . [ to mo-
`e{ da zaklu~i{ za ABC∆ i negovata slika pri translacija aτ .
Odgovor: ∆ABC i negovata slika ________________________________________________________
16
5. Nacrtaj proizvolen ostar agol, a potoa konstruiraj ja slikata pri translacija τ za dade-niot vektor a .
6. Konstruiraj ja slikata na pravata p pri translacija τ za vektorot a , ako a || p. Odgovor: Pri ovaa translacija pravata p se preslikuva vo_______________________________ 7. Dadeni se paralelnite pravi p i q i to~kite P i Q taka {to p∈P i q∈Q . Izvr{i trans-
lacija na pravite p i q za vektorot PQ . Odgovor: Pravata p pri
PQτ se preslikuva vo ____________, a pravata q vo _____________ .
8. Konstruiraj ja slikata na pravoagolnikot ABCD pri translacija τ za vektorot
DCAD +=x .
9. Izvr{i translacija τ na kru`nicata k (O,r = 2 sm) za vektorot ОP=а , P to~ka od kru`-nicata k.
17
7. PRIMENA NA TRANSLACIJA
1. Izvr{i translacija na kru`nicata k (O,r = 2,5 cm) pri translacija τ za vektor x so dol-
`ina rx 2=
, pravec i nasoka po tvoj izbor.
2. Dadeni se pravata a, b i vektorot n . Konstruiraj ja slikata M1
nτ na pravata b pri transla-
cija na to~ka M od pravata a. 3. Dadeni se dva agla so zaemno paralelni i sprotivnonaso~eni kraci. So pomo{ na trans-
lacija doka`i deka tie se ednakvi. Dadeno: OA↑↓O1A1 i OB↑↓O1B Tvrdime:
1 ∠AOB ≅ ∠A1O1B
1
Dokaz: 4. So pomo{ na translacija, doka`i deka sosednite agli kaj rombot se suplementni.
18
5. Konstruiraj kru`nica koja minuva niz dadena to~ka P i dopira dve paralelni pravi p i q. 6. Ako pravite a, b se zaemno normalni i ako a1 nτ= (a) i b1 nτ= (b), toga{ i pravite a1 i b1
se, isto taka, zaemno normalni. Doka`i!
Dadeno: a ⊥ b ( ) ( )bbaa nn ττ == 11 ,i
Tvrdime: a1 ⊥ b
1
Dokaz: 7. Konstruiraj ramnokrak trapez ABCD (AB||CD), ako se dadeni osnovite a, b i krakot c.
Dadeno Skica Konstrukcija
8. Dadena e kru`nica k (0,r), pravata p i vektorot a . Konstruiraj ja to~kata M1
aτ na pravata p,
slika na to~kata M {to le`i na kru`nicata k pri translacijata .
29
Tema II STEPENI.
KVADRATEN KOREN
1. POIM ZA STEPEN SO POKAZATEL PRIRODEN BROJ.
1. Zapi{i gi najkratko slednive izrazi: a) =++ 444 i =⋅⋅ 444 b) =⋅⋅⋅ xxxx i =+++ xxxx
v) =⋅⋅⋅⋅22222aaaaa
g) ( ) ( ) ( ) ( ) mno`iteli10−
=⋅⋅⋅ xxxx 2.....222
2. Zapi{i gi vo vid na proizvod slednite stepeni:
a) ( ) =− 34 b) ( ) =42x v) =
2
43
g) ( ) =− 53a
3. Popolni ja tablicava:
Stepen 32 2
42
( )42x
( )5−
2
53
−
( )01+x ( )73−
Osnova 3− 1,3− 3n 32⋅
Eksponent 1 0 5 4
4. Presmetaj ja vrednosta na izrazot:
a) 32 23 − ; b) ( )52 25 −+ ; v) 32 32 xx − ; za { }2,1,0,1,2 −−∈x
30
5. Odredi go znakot na brojot:
a) ( )201− ; b) ( )151− ; v) ( )33− ; g) ( )1004− .
6. Zapi{i gi kratko, so pomo{ na stepen so osnova 10 broevite:
a) 1000; b) 100 000; v) 1500; g) 74 000 000.
7. Zapi{i gi kratko, so pomo{ na stepen so osnova 0,1 broevite:
a) 0,001; b) 0,000001; v) 0,0000001; g) 0,1.
8. Presmetaj ja vrednosta na sekoj od izrazite:
a) =⋅+−⋅ ⋅
641
449:7104,0 343 b) =+− 332 104:8200
31
2. MNO@EWE I DELEWE NA STEPENI SO EDNAKVI OSNOVI. STEPENUVAWE NA PROIZVOD. KOLI^NIK I STEPEN
1. Izvr{i go mno`eweto na stepenite:
a) =⋅442 b) ( ) ( ) =−⋅− 52 33 v) =⋅⋅ 34 xxx g) ( ) ( ) ( ) =−⋅−⋅− 20 222 aaa
2. Za koj broj Ν∈n e to~no tvrdeweto:
a) 72 222 =⋅ n ; b) nxxxx =⋅⋅ 32 ?
3. Poka`i deka:
a) izrazot 45 1212 − e deliv so 11; b) izrazot 1012 55 − e deliv so 24.
4. Presmetaj gi slednive koli~nici:
a) =24 3:3 b) =
−
−
310
54:
54
v) =1230 : aa g) ( ) ( ) =−− 55 3:3 xx
5. Presmetaj:
a) ( ) 325 : xxx ⋅ ; b) ( )3210 : yyy ⋅ ; v) ( )
13
238
aaaa ⋅⋅
; g) ( )5
555 054 ⋅⋅.
32
6. Izrazi go stepenuvaweto:
a) ( )24xy ; b) ( )3axy− ; v) 4
23
21
− xa ; g)
233
52
yx.
7. Stepenuvaj gi dropkite:
a) 3
43
; b)
2
2
a
; v) 3
127
− ; g)
5
35
43
32
yaya
.
8. Zapi{i go izrazot vo vid na stepen so osnova a:
a) ( )23a ; b) ( ) ( )4224 aa ⋅ ; v) ( )283 aa ⋅ ; g) ( )
7
233
aaaa ⋅⋅
.
9. Presmetaj ja vrednosta na izrazot ( )10
325
xxx ⋅
za 2,4−=x .
33
3. POIM ZA KVADRAT NA RACIONALEN BROJ. POIM ZA KVADRATEN KOREN OD RACIONALEN BROJ
1. Zapi{i gi vo vid na proizvod slednive stepeni:
a) 24 ; b) ( )23− ; v) ( ) 25,0− ; g) 2
7
4
.
2. Zapi{i gi proizvodite vo vid na kvadrat (stepen) na broj:
a) 33 ⋅ ; b) ( ) ( )44 −⋅− ; v) 32
32⋅ ; g) 00 ⋅ .
3. Popolni ja tablicata:
x 21
31
− 1− 1 0 4,0− 73
01,0 10 3− 2
2x
4. Presmetaj go kvadratot na broevite: -6, 6, -2, -10, 7, -5. 5. Presmetaj ja vrednosta na izrazot:
a) ( ) ( )22 34 −−− ; b) ( ) 1434 2 +−⋅ ; v) ( ) 0370 22 ⋅+−⋅ ; g) 22
41
31
−−
.
34
6. Re{i gi ravenkite:
a) 492 =a ; b) 642 =x ; v) 12 =a ; g) .1002 =x
7. Presmetaj ja vrednosta na kvadratniot koren:
a) 9 ; b) 144 ; v) 25,6 ; g) 225
169.
8. Presmetaj ja vrednosta na izrazot:
a) 254 ⋅ ; b) 1002− ; v) 01,010− ; g) 5625
.
9. Odredi ja vrednosta na izrazot:
a) 26 ; b) 2
74
; v) 25,0100 ⋅ ; g) 04,0:64 .
10. Uprosti go izrazot:
a) 264a ; b) 2100x ; v) 2
2
6425
ba
; g) 22 81:36 yx .
35
4. PRESMETUVAWE KVADRATEN KOREN OD RACIONALEN BROJ 5. POIM ZA IRACIONALEN BROJ. 6. REALNI BROEVI. 7. PRETSTAVUVAWE NA REALNITE BROEVI NA BROJNA OSKA.
1. Presmetaj:
a) 256 ; b) 3600 ; v) 25,12 ; g) 04,27 .
2. So pomo{ na tablica ili digitron odredi ja pribli`nata vrednost na broevite na dve
decimali:
a) 28 ; b) 280 ; v) 5,12 ; g) 8,47 . 3. Presmetaj ja vrednosta na izrazot:
a) 25,725,664 +− ; b) 26,025,23253252 −−⋅−⋅ .
4. So pomo{ na tablica ili digitron odredi ja vrednosta na:
a) 2 ; b) 3 ; v) 10 ; g) 200 so to~nost od 0,01.
5. Na brojnata oska pretstavi gi iracionalnite broevi:
a) 5− ; b) 7 ; v) 6− ; g) 13 .
36
6. Re{i gi ravenkite:
a) 102 =x ; b) 252 =x ; v) 502 =a ; g) 1002 =b .
7. Dadeno e mno`estvoto:
−−−= 5,2,3,
31,2,3,3R . Zapi{i gi mno`estvata tabelarno:
{ RA ∈= xx i }Q∈x i { RB ∈= xx i }J∈x .
8. Odredi gi decimalnite zapisi na broevite ;1015;2;
100141
a potoa sredi gi.
9. Na brojnata oska xO , pretstavi gi realnite broevi:
a) 31
; b) 17 ; v) 3,75; g) 10 .
10. Na brojnata oska na crte`ot pretstavi gi to~kite:
A(-2), B(+4), C(-3,5), D( 2− ), E( 2 ) i F( 21+ )
43
Tema III
POLINOMI
1. ALGEBARSKI IZRAZ.BROJNA VREDNOST NA IZRAZ (BROJNI IZRAZI. IZRAZI SO PROMENLIVI)
1. Odredi ja brojnata vrednost na izrazot:
a) 2423 ⋅− ; b) 2224:820
−+
; v) 1,0
64:8)4( 22 +−; g) 24:86532 224 ⋅+⋅−⋅ .
2. Odredi koj od dadenite brojni izrazi nemaat (brojna vrednost) smisla i zo{to:
a)
41205
5,0314
⋅−
⋅−; b)
3557168+⋅−
−; v)
1121001,010
3
2
+⋅⋅−
; g) 42
2
2411417
−+⋅−
.
3. Odredi ja brojnata vrednost na algebarskiot izraz:
a) 232 3 −− xx za 1−=x ; b) 2
2
35
abba
−+
za 1−=a i 3−=b .
4. Za racionalniot izraz x
xx−−
=3
1)(A3
, odredi )2(A − i )0(A .
44
5. Na polesen na~in opredeli ja vrednosta na izrazot:
a) 3
5
34
⋅⋅
aaaa
za 2−=a ; b) 2
3
54
⋅b
bbza 2−=b ; v) 45
234
xxxxx
⋅⋅⋅
za 1−=x .
6. Daden e izrazot P1
222
2
−−+−
=a
aa. Odredi ja negovata brojna vrednost za ( )24,1,0,1,2 −−∈a .
Za koi od dadenite vrednosti na promenlivata a izrazot ne e definiran?
7. Odredi ja brojnata vrednost na izrazot: yxx ⋅− 33 , za:
a) 1,2 −== yx ; b) 0,2 =−= yx ; v) 1,0 −== yx ; g) 31
=x .2−=y
8. Popolni ja tablicata na vrednosta na izrazite:
),( ba ba − ab − ba −2 ab −2
)2,1(
)1,3( −
)4,2( −−
)5,1;21( −
[ to zabele`uva{? Kakvi se vrednosite na izrazite ba − i ab − t.e. ba −2 i ab −2 za ist par vrednosti na promenlivite a i b ?
45
2. POIM ZA MONOM. SLI^NI I SPROTIVNI MONOMI
1. Dovedi gi vo normalen vid monomite:
a) 42 aa ⋅ ; b) )6(5,0 223 baab −⋅− ; v) )522(
41 2 aa −⋅ ; g) )
21(10
52 32 yyxx −⋅⋅ .
2. Odredi ja glavnata vrednost i koeficientot na monomot:
a) )2(5 4yx −⋅ ; b) )43(
32 32 aba −⋅− ; v) 34axy− ; g) 42 32 aab ⋅ .
3. Napi{i monomi so:
a) glavna vrednost 2xy i koeficient 21
− ; b) koeficient a31
i glavna vrednost 23 yx− ;
v) koeficient 1− i glavna vrednost yx3− ; g) glavna vrednost 23ba i koeficient 1 . 4. Presmetaj ja brojnata vrednost na monomot:
a) 324 ba− za 1−=a i 2=b ; b) yx2
21
− za 21
−=x i 4−=y .
46
5. Popolni ja tablicata:
monom sprotiven monom sli~en monom
23axy−
bxy31
+
425,0 yx−
axy214
6. Odredi koi, od dadenive monomi se sli~ni:
a) 32xy ; b) xy3− ; v) xy31
− ; g) 32,0 xy .
7. Odredi koi od slednive monomi se sprotivni:
a) ab31
− ; b) 322,0 ba+ ; v) ab31
; g) ab2,0− .
47
3. BINOM. TRINOM. POLINOM. 4. STEPEN NA MONOMOT I POLINOMOT.
1. Od monomite: ;4ax ,2 2 xa− ,7ay ,2x− ,8− ,3x− formuliraj eden
a) binom; b) trinom; v) polinom.
2. Dovedi go polinomot vo normalen vid:
a) )3(4)3(2 22 yxyxyx −−−⋅ ; b) 322232 4,23,45,25,1 yaayayya +−+ .
3. Pretstavi gi vo vid na polinom broevite:
a) xy ; b) yx ; v) xyz ; g) abcd . 4. Odredi ja definicionata oblast na polinomot:
a) 322 23 +− aa ; b) 231 2 −− xyx ; v)
5134 −+ ba
.
5. Svedi go polinomot vo normalen vid:
a) bababaaba 222 53473 −⋅+⋅−⋅⋅ ; b) 3333
103
51 yxyx − + baba 22
21
43
− .
48
6. Odredi ja brojnata vrednost na polinomot:
a) 532 2 −+ aa za 5−=a ; b) yxxyxy 234 22 ++−− za 2−=x i 5−=y
7. Odredi go stepenot na monomot:
a) 2
312 xy ; b) 2a− ; v) 232 yx− ; g)
514 .
8. Zapi{i polinom {to e sprotiven na polinomot:
a) 122 23 −+− xxx ; b) yxyxxy 3222 3,45,12,0 −+− .
9. Odredi go stepenot na sekoj od dadenite polinomi so promenliva x i y
a) 753 6423 xyyy ++−− ; b) xxyyxx 426,45,0 2536 −−+− . 10. Podredi gi spored stepenot na promenlivata x , po~nuvaj}i od najvisokiot stepen poli-
nomite:
a) 32543 352 +−+−− xxxx ; b) 7543 5,02,112 xyxyx +− .
49
5. SOBIRAWE I ODZEMAWE NA MONOMI 6. SPROTIVNI POLINOMI. OSLOBODUVAWE OD ZAGRADI
1. Odredi go zbirot na monomite:
a) 22xy , 2xy− , 23xy− , 25,0 xy ; b) 324 yx− , xy2− , xyyx 2,21 22 ++ .
2. Od monomot 233 yx− odzemi go monomot:
a) 235 yx− ; b) 233 yx+ ; v) 233 yx− ; g) 23 yx . 3. Odredi go monomot x za koj e to~no ravenstvoto:
a) 2323
41
213 babax =− ; b) baxba 22 2,35,4 −=− .
4. Odredi momom {to e ednakov na izrazot:
a) 2222 25,535,4 xyxyxyxy −+− ; b) 222
31
41 bababa +− .
5. Zapi{i polinom {to e sprotiven na polinomot:
a) 122 23 −+− xxx ; b) yxyxxy 3222 3,45,12,0 −+− .
50
6. Transformiraj go izrazot vo polimom od normalen vid:
a) );3()22( 2 xxx −+− b) )4()4( 33 −+−−−− aaaa .
7. Uprosti go izrazot:
a) )22()2( 2323 −+−++−+ xxxxx ; b) )342()342( 22 +−−+− xxxx .
8. Re{i gi ravenkite:
a) −+ a24 7)43( =−a ; b) 100)107()34( =−−+ xx .
9. Doka`i deka vrednosta na izrazot:
)152()235()123( −−−−+−+− bababa ne zavisi od a i b .
10. Pretstavi go trinomot:
a) 242 2 +− aa ; b) 233 2 −+ xx vo vid na zbir od dva binoma.
51
7. SOBIRAWE I ODZEMAWE NA POLINOMI
1. Transformiraj go vo normalen vid, polinomot:
a) =+−−+−+ )1()12( 22 xxxx b) =−−− )32()34( 2222 abbaabba
2. Dadeni se polinomite: A ,132 2 +−= xx B 122 −+= xx , i C 32 −= x . Poka`i deka va`at zakonite:
a) ABBA +=+ ; b) )CB(AC)BA( ++=++
3. Odredi polinom A , koj e ednakov na zbirot na polinomite:
a) xyxyyx +− 23 42 i xyxyyx −+ 23 2 ; b) 331
41 2 −− abba i 5
41
21 2 ++ abba .
4. Odredi polinom M , koj e ednakov na razlikata na polinomite:
a) 224 xx −+− i 423 2 −− xx ; b) 52 23 −+− xxax i 54 23 +−+− xxax .
52
5. Za polinomite: A 132 23 −+−= xxx , B 422 23 −++−= xxx i C 522 23 ++−= xxx odredi:
a) CBA ++ ; b) )CB(A ++ ; v) )CB(A +− ; g) )CB(A −− .
6. Poka`i deka e to~no ravenstvoto:
a) 0)432()423( 22 =−−++− xxxx ; b) 3232233223 8,4)4,23()4,23( xaxaxaxaxa =−−−+− .
7. Za koja vrednost na x brojnata vrednost na izrazot )5()54( −−−+ xx e ednakva na 0. 8. Doka`i deka zbirot od koj bilo dvocifren broj i brojot napi{an so isti cifri, no po
obraten red e deliv so 11.
53
8. MNO@EWE I DELEWE NA MONOMI 9. STEPENUVAWE NA MONOMI 10. MNO@EWE NA POLINOM SO MONOM
1. Presmetaj go proizvodot na monomite:
a) 34 aa ⋅ ; b) )3(4 2 abab −⋅ ; v) )3(2 2 xx −⋅ ; g) )5,0()4( 22 xxy −⋅− .
2. Presmetaj:
a) xyyx434 24 ⋅− ; b) )4(6 22 ababx −⋅ ; v) )5,0()6,0( 2332 yxyx −⋅− .
3. Odredi gi slednive proizvodi:
a) nn xyyx 33 2 ⋅ ; b) nnn yxyx 2221
54
41 ++ ⋅ .
4. Izvr{i go nazna~enoto delewe na monomite:
a) )6(:24 45 xyccyx − ; b) yxyx 424 12,0:6,3 ; v) 222244
211:
311 yxayxa− .
5. Presmetaj:
a) )5,0(:4,0 333457 zyxzyx − ; b) )21(:
32 23234 xyayxa −− .
54
6. Stepenuvaj gi monomite:
a) 2)2( x ; b) 23)3( abx− ; v) 32 )( zxy− ; g) 342 )21( ba− .
7. Presmetaj:
a) 2)4( xy ; b) 3222 )2(43 abba −⋅− ; v) )()4( 2232 xyyx −⋅ .
8. Presmetaj:
a) xyx 2)32( ⋅− ; b) )2()346( 2 abaabab −⋅+− . 9. Odredi go polinomot P , taka {to:
a) 222 P)1()1( aaaaa +=+⋅+⋅+ ; b) )12(3)2(P 22 −−⋅=−− xxxxx . 10. Za koja vrednost na x brojnata vrednost na izrazot:
a) 6)2(3 ++x e ednakva na 10; b) )2(3)1(2 ++− xx e ednakva na 8?
55
11. MNO@EWE NA POLINOMI 1. Presmetaj gi proizvodite:
a) )5()12( +⋅− aa ; b) )33()1( 2 +−⋅− xxx ; v) )53()24( yxyxxy −⋅+ .
2. Izvr{i gi nazna~enite operacii:
a) )2()4()2()2()3()1( +⋅−+−⋅+−+⋅− xxxxxx ; b) )13(4)1()12( 22 −−⋅−+⋅+− xxxxxx .
3. Dadeni se polinomite: 1A += x , 23B += x , 32C −= x . Presmetaj:
a) CA ⋅ ; b) CB ⋅ ; v) CBA ⋅⋅ ; g) B)(A)(C −⋅⋅ .
4. Pretstavi go, kako polinom vo normalen vid, izrazot:
a) 10)4()32()23)(126( 22 −−⋅+−−+− xaaaa ; b) )1()1( 234 +⋅+−+− aaaaa .
56
5. Poka`i deka ravenstvoto e to~no:
2)1)(1()1()1( 22 +−++=+⋅+− aaaaaa .
6. Odredi ja vrednosta na x za koja izrazot:
)23)(32(6 2 −−− xxx ima vrednost 7.
7. Doka`i deka za N∈a izrazot:
)5)(11()5( +−−+⋅ aaaa e deliv so 11.
8. Odredi )(C)(B)(A xxx ⋅− ako 1)12()(A +=++ xxx .
12)1()(B 2 −=+− xxx i 2)(C2 +=− xxx
9. Doka`i deka, pri sekoja vrednost na n, izrazot
)23(3)12(5)2()3( 2 +++−+−⋅+ nnnnn e sekoga{ pozitiven.
57
12. FORMULI ZA SKRATENO MNO@EWE 1. Presmetaj gi proizvodite:
a) )2)(2( +− aa ; b) )12)(12( −− xx ; v) )53)(35( xyyx +− .
2. Uprosti go izrazot:
a) ),())(( 22 yxyxyx +⋅+− b) )1()1)(1( 2aaa +⋅−+ .
3. Transformiraj go izrazot vo vid na polinom vo normalen vid:
a) )2()3()3( −−−⋅+ xxxx ; b) ( xyyxxyxyx 2)(2)2)(2 +−−+− .
4. Presmetaj gi proizvodite:
a) 23 17⋅ ; b) 7,5 6,5⋅ ; v) 10298 ⋅ ; g) 219
2110 ⋅ .
5. So koristewe na formulata za kvadrat na binom, presmetaj:
a) 2)3( +x ; b) 2)4( a− ; v) 2)121( +x ; g) .)23( 2ba −
58
6. Odredi go monomot M , taka {to ravenstvoto da bide to~no:
a) ,8M)4( 2222 bbaba +−=− b) 422 4129)M3( xx ++=+ . 7. Uprosti go izrazot:
a) )3)(3()32()52( 22 xxxx +−++−− ; b) )1)(1(6)1(4)1( 22 −+−+−− aaaa . 8. Re{i gi ravenkite:
a) 20)5(2)1(2 2 =−−+ xxx ; b) 22)1)(1(4)12( 2 =+−−+ xxx . 9. So pomo{ na formulata za kvadrat na binom kvadriraj gi broevite:
a) 251 ; b) 25,199 ; v) 22 99101 + ; g) 2105 .
59
13. DELEWE NA POLINOM SO MONOM. 14. DELEWE NA POLINOM SO POLINOM
1. Izvr{i gi nazna~enite operacii:
a) 3:)186( yx + ; b) )5(:)1525( 2243 xyyxyx −− ; v) xxxx 8,0:)22,14,0( 23 +− . 2. Transformiraj gi vo polinom vo normalen vid izrazite:
a) )42(65:)1510( −⋅+− xx ; b) ⋅−⋅−−− )43
21(4)4(:)816( 2 aaaa
3. Odredi ja brojnata vrednost na izrazot:
)13(:)1378169( 33334334 babababa −+− za 1−=a i 2=b .
4. Re{i ja ravenkata:
921:)32()2(:10 223 =−−−− xxxxx .
5. Odredi go koli~nikot:
a) )3(:)12( 2 −−+ aaa ; b) )1(:)12( 2 −+− xxx .
60
6. Prvo, podredi go polinomot, a potoa izvr{i go deleweto:
( ) ( )4 3 7 420 41 16 20 10 : 5 4x x x x x− + + − − .
7. Presmetaj gi koli~nicite:
a) )1(:)1( 2 −− aa ; b) )1(:)1( 5 ++ aa ; v) )1(:)1( 9 ++ xx .
8. Re{i gi ravenkite:
a) 4)12(:)352( 2 =−−+ aaa ; b) 4)32(:)6136( 2 =−+− xxx .
9. Ako 3223 24128)(B)(A yxyyxxxx +−−=⋅ i yxx += 2)(B . Opredeli go )(A x . 10. Izvr{i go nazna~enoto delewe na polinomot so ostatok:
a) )23(:)4415( 2 −+− aaa ; b) )532(:)2537( 2234 ++++++ xxxxxx .
61
15. VIDOVI RACIONALNI IZRAZI 1. Odredi koi od slednive racionalni izrazi se celi, a koi drobni racionalni izrazi:
a) x2 ; b) 4
2 yx −; v)
y2
; g) 132
−−
aa
.
2. Zapi{i dva algebarski izraza: a) koi se racionalni; b) koi ne se racionalni. 3. Odredi ja definicionata oblast na drobno-racionalniot izraz:
a) 1
2−xx
; b) y
a 12 − ; v) )2)(1(
2+− xx
; g) a
aa31
12
−−−
.
4. Skrati gi dropkite:
a) 2
2
)1(1−−
xx
; b) )3)(3(
92
+−−xx
x; v) 22
2)(baba−+
.
62
5. Za koja vrednost na a izrazot ne e definiran:
a) aa
314−−
; b) a
a22
1++
; v) aa
513+−
; g) )23)(3( −+
+aaba
?
6. Odredi go mno`estvoto na dopu{tenite vrednosti na promenlivata, za koi racionalnite
izrazi imaat smisla:
a)12
1+a
; b) 4
22 −a
a; v)
)23)(3( −++
aaba
.
7. Za koja vrednost na promenlivata x dadeniot izraz ima smisla? a)
xx
324−−
; b) x
x22
2++
; v) x
x71
1−−
; g) 6
5−+
xx
.
63
16. RAZLO@UVAWE NA POLINOMITE NA PROSTI MNO@ITELI
1. Izvle~i gi zaedni~kite mno`iteli pred zagrada:
a) 22 −a ; b) xyx −2 ; v) axay 63 − ; g) xax 43 −− .
2. Razlo`i gi polinomite na mno`iteli:
a) 23 4 xyxyxy +− ; b) 4332 201510 yxxyyx +− ; v) abbaba 24126 2243 +− .
3. Skrati ja dropkata:
a) 2)(22yx
yx++
; b) x
x927)3( 2
−−
; v) yyxxyyxx
⋅++−)(
2)(; g)
)(3)(2 2
baaabba
++++
.
4. So razlo`uvawe na mno`iteli poka`i deka izrazot:
a) 456 888 +− e deliv so 57; b) 12137 6636 +− e deliv so 31.
5. Razlo`i go na prosti mno`iteli izrazot cxbxax ++ , a potoa presmetaj ja brojnata vred-
nost za: 41=a , 34=b , 25=c i 55,0=x . 6. Razlo`i gi slednive binomi na mno`iteli: a) 19 22 −ba ; b) 222 25 yxx − ; v) 22 9100 yx − .
64
7. Presmetaj:
a) 22 1939 − ; b) 22 39111 − ; v) 22 )425()
437( − .
8. Skrati gi dropkite:
a) 255
2
2
−−
aaa
; b) 4
242 −−
xx
; v) 1
1 2
−−x
x.
9. Doka`i deka, za koj bilo N∈a vrednosta na izrazot:
a) 22)11( aa −+ e deliv so 11, b) 1)74( 2 −+a e deliv so 4. 10. Razlo`i gi na mno`iteli polinomite:
a) 269 xx ++ ; b) 22 44 yxyx +− ; v) 2
32
91 aa ++ ; g) 22 92416 baba ++ .
11. Presmetaj ja vrednosta na izrazot:
a) 962 ++ xx za 2−=x ; b) 22 4129 baba +− za 31
=a i 21
−=b .
12. Presmetaj ja na najednostaven na~in vrednosta na izrazot:
a) =+⋅⋅+ 22 232369269 b) =+⋅⋅− 22 8,58,53,823,8
13. Skrati ja dropkata:
a) 169
3+−
−yy
xxy; b) 2
2
92525159
xxx
−+−
.
79
Tema IV KRU@NICA I MNOGUAGOLNIK.
PLO[ TINA
1. CENTRALEN AGOL. SVOJSTVA
1. Eden kru`en lak pretstavuva:
a) 125
; b) 53
; od kru`nicata.
Odredi go soodvetniot centralen agol, a potoa nacrtaj go vo dadenata kru`nica. a). b). 2. Kolkav centralen agol odgovara na edna polukru`nica kako del od kru`nica? Odgovor: ________________________________ 3. Kolkav del od kru`nicata zafa}a eden centralen agol so golemina od 135O
?
Odgovor: ________________________________ 4. Centralniot agol na dadenata kru`nica razdeli go na tri agli, ~ii golemini se odnesu-
vaat kako 1 : 2 : 3. 5. Neka ABCDEF e {estagolnik ~ii temiwa le`at na edna kru`nica so centar vo to~ka O i
pritoa EFCDAB == i FADEBC == . Doka`i deka ∠AOC = 120O
.
80
2. PERIFEREN AGOL. TALESOVA TEOREMA 1. Vo dadena kru`nica ozna~i periferen agol so golemina: a) 70O; b) 130O; v) 90O
.
2. Kolkav periferen agol odgovara na eden centralen agol so golemina: a) 180O; b) 43O; v) 235O
25’ 36”?
Odgovor: a) __________ ; b) __________ ; v) __________ 3. Doka`i deka perifernite agli nad dva skladni kru`ni laka vo edna kru`nica se skladni. 4. Doka`i deka bisektrisite na site periferni agli nad ist kru`en lak se se~at vo sredi-
nata S na toj lak. 5. Konstruiraj pravoagolen triagolnik, ako se poznati hipotenuzata c i visinata hc
kon nea.
81
3. KONSTRUKCIJA NA TANGENTA NA KRU@NICA
1. Konstruiraj tangenta od to~kata A kon dadenata kru`nica k. a) b) 2. Kakvo mno`estvo od to~ki obrazuvaat centrite na kru`nicite koi se dopiraat: a) do kracite na daden konveksen agol, b) do dve paralelni pravi ? Odgovor: a) ____________________ b) ____________________ 3. Neka pravite p i q se tangenti na kru`nica k pri {to p ≠ q i p || q. Doka`i deka dopirni-
te to~ki p ∩ k i q ∩ k se dijametralno sprotivni to~ki na kru`nicata. 4. Dadena e kru`nicata k i dve zaemnonormalni tangenti p i q na k. Kakvo mno`estvo od to~-
ki obrazuvaat presecite p ∩ q na site pravi p i q so toa svojstvo? 5. Neka ∠AOB e centralen agol na kru`nicata k. Ako a i b se tangenti na kru`nicata k vo
to~kite A i B, kolkav e agolot me|u to~kite A i B?
82
4. TETIVEN ^ETIRIAGOLNIK
1. Dali okolu pravoagolen trapez mo`e da se opi{e kru`nica? Obrazlo`i go odgovorot i
napravi crte`. Odgovor: _________________________________ 2. Dali okolu eden ~etiriagolnik ~ii tri agli se: a) ∠A = 50O, ∠B = 70O, ∠C = 130O, b) ∠A = 65O, ∠B = 115O, ∠D = 80O
v) ∠B = 50,
O, ∠C = 60O, ∠D = 80O,
mo`e da se opi{e kru`nica?
Odgovor: a) __________ ; b) __________ ; v) __________. 3. Dali mo`e da se konstruira tetiven ~etiriagolnik, ako zbirot na tri negovi agli se ed-
nakvi na: a) 80O, 56O, 124O, b) 130O, 150O, 40O, v) 20O, 70O, 160O
?
Odgovor: a) __________ ; b) __________ ; v) __________ . 4. Dali okolu deltoid mo`e da se opi{e kru`nica? Obrazlo`i go odgovorot? Odgovor: _________________________________ 5. Vo dadenata kru`nica vpi{i ~etiriagolnik ~ii tri posledovatelni agli se 70O, 80O i
140O
.
83
5. TANGENTEN ^ETIRIAGOLNIK
1. Vo koi paralelogrami mo`e da se vpi{e kru`nica? Zo{to? Odgovor: ________________________________ 2. Odredi ja dol`inata na ~etvrtata strana na eden ~etiriagolnik ABCD, za toj da bide tan-
genten, ako:
a) AB = 5 cm, CD = 7 cm i AD = 8 cm ; b) BC = 6 cm, CD = 8 cm i DA = 5 cm . Odgovor: a) __________ ; b) __________ ; 3. Dali postoi tangenten ~etiriagolnik ~ii tri posledovatelni strani imaat dol`ini
2 cm, 8 cm i 5 cm? Zo{to? Odgovor: ________________________________ 4. Doka`i deka vo pravoagolnik {to ne e kvadrat ne mo`e da se vpi{e kru`nica! 5. Nacrtaj trapez vo koj mo`e da se vpi{e i se opi{e kru`nica.
84
6. OP[ TO ZA MNOGUAGOLNIKOT
1. Nacrtaj konveksen ~etiriagolnik i nekonveksen petagolnik. 2. Kolku dijagonali mo`e da se povle~at: a) od edno teme, b) od site temiwa na eden sedumagolnik? Odgovor: a) __________ ; b) __________ . 3. Eden n – agolnik e takov {to vo nego mo`e da se povle~at vkupno n dijagonali. Koja e
vrednosta na n? Odgovor: _________________________________ 4. Odredi go {estiot agol na eden {estagolnik, ako pet negovi agli imaat golemini: 165O,
148O, 172O, 155O i 163O
.
5. Dali postoi konveksen n – agolnik, ako osum negovi vnatre{ni agli se ednakvi na 130O
? Zo{to? (Upatstvo: Razgledaj gi nadvore{nite agli!)
Odgovor: _________________________________
85
7. PRAVILNI MNOGUAGOLNICI
1. Nacrtaj mnoguagolnik so ednakvi: a) agli, b) strani, koj ne e pravilen mnoguagolnik. 2. Kaj koj pravilen mnoguagolnik eden nadvore{en agol iznesuva 45O
?
3. Doka`i deka kaj sekoj pravilen mnoguagolnik, negoviot centralen agol e ednakov so nad-
vore{niot agol. 4. Neka za petagolnikot ABCDE, triagolnicite ABC, BCD, CDE, DEA i EAB se skladni ram-
nokraki triagolnici so temiwa vo B, C, D, E i A, soodvetno. Dali ABCDE e pravilen pet-agolnik?
Odgovor: ________________________________ 5. Ako A1A2A3A4 ..... An e pravilen n – agolnik, doka`i deka A1A4|| A2A3
.
86
8. OPI[ ANA I VPI[ ANA KRU@NICA
1. Odredi go mno`estvoto od site to~ki vo ramninata koi se ednakvo oddale~eni od: a) temiwata, b) sredinite na stranite, na eden pravilen mnoguagolnik. Odgovor: a) __________ ; b) __________ . 2. Za koj pravilen n – agolnik karakteristi~niot triagolnik e ramnostran triagolnik? Odgovor: n = __________ 3. Ako A1A2A3 ..... A2k e pravilen 2k – agolnik (k > 2), poka`i deka A1A3A5 ..... A2k-1
e pravilen k – agolnik.
4. Eden pravilen n – agolnik ima 9 oski na simetrija. Kolkav e negoviot centralen agol? Odgovor: _________________________________ 5. Vo koj pravilen mnoguagolnik vnatre{niot agol e za 108O
pogolem od centralniot agol?
Odgovor: _________________________________
87
9. KONSTRUKCIJA NA NEKOI
PRAVILNI MNOGUAGOLNICI 1. Konstruiraj ramnostran (pravilen) triagolnik koj e vpi{an vo dadenata kru`nica. 2. Okolu dadenata kru`nica opi{i pravilen {estagolnik. 3. So pomo{ na aglomer, okolu dadenata kru`nica opi{i pravilen petagolnik. 4. So pomo{ na aglomer, konstruiraj pravilen petagolnik so strana a = 1,5 cm. 5. Vo dadenata kru`nica so pomo{ na aglomer vpi{i pravilen desetagolnik.
88
10. PITAGOROVA TEOREMA
1. Najdi ja dol`inata na ednata kateta, ako se dadeni hipotenuzata i drugata kateta: a) c = 20 cm, b = 16 cm ; b) c = 29 cm, b = 21 cm ; v) c = 7 cm, b = 3 cm . Odgovor: a) __________ ; b) __________ ; v) __________. 2. Strelkite na eden ~asovnik se dolgi 2,4 cm i 1,8 cm. Kolku se oddale~eni vrvovite na
strelkite koga tie poka`uvaat 3 ~asot? Odgovor: _________________________________ 3. Kolkav e dijametarot na opi{anata kru`nica okolu pravoagolen triagolnik, ~ii kateti
se dolgi: a = 6 cm, b = 2,5 cm? 4. Katetite na eden pravoagolen triagolnik se dolgi 2,4 dm i 7 dm. Odredi ja dol`inata na
te`i{nata linija {to e povle~ena kon hipotenuzata. Odgovor: _________________________________ 5. Dali triagolnikot so strani: a) 15 cm, 2 dm i 2,5 dm ; b) 5 cm, 1 cm i 14 cm, e pravoagolen?
89
Odgovor: a) __________ ; b) __________ . 11. PRIMENA NA PITAGOROVA TEOREMA
1. Odredi ja katetata na ramnokrak pravoagolen triagolnik so hipotenuza c = 20 cm. Odgovor: ________________________________ 2. Vo pravilen {estagolnik so strana 4 cm vpi{ana e kru`nica. Presmetaj go radiusot na
taa kru`nica. Odgovor: ________________________________ 3. Presmetaj go perimetarot na pravoagolen trapez, ako se poznati negovite osnovi a = 5,7
cm, b = 1,9 cm i visinata h = 2,5 cm. Odgovor: ________________________________ 4. Centrite na dve ednakvi kru`nici so radius 3,9 cm se na rastojanie eden od drug 7,2 cm.
Presmetajte ja dol`inata na nivnata zaedni~ka tetiva. Odgovor: ________________________________ 5. Vo edna kru`nica so radius 5 cm e vpi{an ramnokrak triagolnik, kaj koj visinata kaj os-
novata e dolga 6,4 cm. Odredete gi dol`inite na stranite na triagolnikot.
90
Odgovor: _________________________________ 12. KONSTRUKCIJA NA TO^KI NA BROJNATA OSKA
KOI ODGOVARAAT NA BROEVITE 2 , 3 , 5 , ... 1. Da se konstruira otse~ka so dol`ina:
a) 10 cm; b) 13 cm. 2. Da se konstruira otse~ka so dol`ina:
a) 15 cm; b) 21 cm.
3. Dadeni se otse~ki so dol`ini a i b. Da se konstruira otse~ka so dol`ina 22 9ba + .
4. Dadeni se otse~ki so dol`ini a i b. Da se konstruira otse~ka so dol`ina 224 ab − .
5. Dadeni se otse~ki so dol`ini a i b. Da se konstruira otse~ka so dol`ina ab4 .
(Upatstvo: ( ) ( )224 babaab −−+= )
91
13. POIM ZA PLO[ TINA
1. Nacrtaj eden triagolnik i eden ~etiriaglonik koi se ednakvoplo{ni. 2. Plo{tinata od 4 m 2
a) cm, izrazi ja vo:
2 ; b) mm 2
.
Odgovor: a) __________ ; b) __________ . 3. Daden e paralelogram ABCD. Na polupravata AB odredi to~ka M, taka {to triagolnikot
AMB e ednakvoplo{ten so paralelogramot ABCD. 4. Dadeniot triagolnik ABC razdeli go na 4 ednakvoplo{ni delovi. 5. Neka F1 i F2 P (F
se dve geometriski figuri. Obidi se da doka`e{ deka: 1 ∪ F2) = P (F1) + P (F2) - P (F1 ∩ F2
).
92
14. PLO[ TINA NA PRAVOAGOLNIK
1. Edna niva vo forma na pravoagolnik so strani 240 m i 180 m treba da se nasadi so lozje.
Kolku lozi }e se nasadat na taa niva, ako rastojanieto na lozite vo redot e 1 m, a rastojanieto me|u redovite e 1,2 m?
Odgovor: _________________________________ 2. Kvadrat so strana 12 cm i pravoagolnik so edna strana 8 cm imaat ednakvi plo{tini. Ko-
ja od tie dve figuri ima pogolem perimetar? Odgovor: _________________________________ 3. Konstruiraj kvadrat ~ija plo{tina e ednakva na zbirot od plo{tinite na dva dadeni
kvadrata so strani a i b. 4. Vo kvadrat ABCD so strana 8 cm vpi{an e drug kvadrat MNKL, ~ii temiwa le`at na stra-
nite na kvadratot ABCD. Presmetaj ja plo{tinata na kvadratot MNKL. Odgovor: ________________________________ 5. Vo kru`nica so radius 6,5 cm vpi{an e pravoagolnik na koj ednata strana mu e dolga 5 cm.
Presmetaj go perimetarot i plo{tinata na toj pravoagolnik. Odgovor: _____________________________________________________________________________
93
15. PLO[ TINA NA PARALELOGRAM
1. Ako dol`inata na osnovata na paralelogramot ja zgolemime 3 pati, kako treba da ja prome-
nime soodvetnata visina pri {to plo{tinata na paralelogramot da ostane nepromeneta? Odgovor: ________________________________ 2. Romb so strana a = 8 cm ima plo{tina 43,2 cm 2
. Presmetaj ja visinata na rombot.
Odgovor: ________________________________ 3. Edna niva ima forma na paralelogram so osnova 500 m i soodvetna visina 280 m. Za kolku
dena taa }e bide izorana: a) so dva kowa koi za eden den izoruvaat 40 ari; b) od eden traktor koj izoruva po 3,5 ha dnevno?
Odgovor: a) __________ ; b) __________ . 4. Da se presmeta plo{tinata na eden romb ako se znae deka negovata strana ima dol`ina 6
cm, a pomaliot agol me|u stranite iznesuva 60O
.
Odgovor: ________________________________ 5. Presekot na dijagonalite na eden paralelogram e na rastojanie 2,5 cm i 3 cm od pravite
na koi le`at negovite strani. Presmetaj go perimetarot na toj paralelogram, ako negova-ta plo{tina iznesuva 60 cm 2
.
Odgovor: ________________________________
94
16. PLO[ TINA NA TRIAGOLNIK
1. Stranata i soodvetnata visina na eden triagolnik se dolgi 5 cm i 8 cm. Mo`e li negovata
plo{tina da bide ednakva na: a) 16 cm 2; b) 20 cm 2; v) 25 cm 2
Zo{to? ?
Odgovor: a) __________ ; b) __________ ; v) __________ . 2. Presmetaj ja plo{tinata na ramnokrak triagolnik ~ij krak e b = 4,8 cm, a visinata {to í
odgovara na osnovata ima dol`ina 3,6 cm. Odgovor: _________________________________ 3. Vo kru`nica so radius 6,6 cm vpi{an e ramnostran triagolnik. Presmetaj gi perimeta-
rot i plo{tinata na triagolnikot. Odgovor: _________________________________ 4. Eden dvor vo forma na triagolnik ima strani 15 m, 10 m i 12 m. Presmetaj ja plo{tinata
na dvorot. Odgovor: _________________________________ 5. Poznato e deka triagolnikot ABC ima plo{tina P = 10 cm2
i perimetar 20 cm. Presmetaj go radiusot na vpi{anata kru`nica.
95
Odgovor: ________________________________ 17. PLO[ TINA NA TRAPEZ
1. Da se presmeta plo{tinata na trapez ako negovite osnovi se 7 cm i 5 cm, a visinata mu e
5,5 cm. Odgovor: ________________________________ 2. Osnovite na pravoagolen trapez se dolgi 2 dm i 2,5 dm, a podolgiot krak e 13 cm. Presme-
tajte go perimetarot i plo{tinata na toj trapez. Odgovor: ________________________________ 3. Presmetajte ja plo{tinata na ramnokrak trapez, ako se poznati negovite osnovi: a = 26
cm, b = 12 cm i krakot c = 17 cm. Odgovor: ________________________________ 4. Plo{tinata na eden ramnokrak trapez e P = 68 cm 2
, a osnovite mu se dolgi 13 cm i 4 cm. Presmetaj go negoviot perimetar.
Odgovor: ________________________________ 5. Perimetarot na eden ramnokrak trapez iznesuva 149 cm, a osnovite mu se dolgi 63 cm i 32
cm. Presmetaj ja negovata plo{tina.
96
Odgovor: _________________________________ 18. PLO[ TINA NA DELTOID
1. Dijagonalite na eden romb se dolgi d1 = 7,3 dm i d2
= 5,6 dm. Presmetaj ja negovata plo{-tina.
Odgovor: _________________________________ 2. Plo{tinata na eden deltoid e 256 cm2
. Presmetaj gi dol`inite na negovite dijagonali, ako se znae deka ednata dijagonala e dvapati podolga od drugata dijagonala.
Odgovor: _________________________________ 3. Presmetaj ja plo{tinata na eden tetiven deltoid, ako se znae deka podolgata strana ima
dol`ina 3 cm, a pokratkata dijagonala isto taka ima dol`ina 3 cm. Odgovor: _________________________________ 4. Presmetaj ja plo{tinata na eden deltoid, ako pokratkata negova strana ima dol`ina 2 cm
i ako se znae deka dijagonalata koja ne e simetrala na deltoidot zafa}a agli od 45O i 60O
so pomalata i pogolemata strana, soodvetno.
Odgovor: _________________________________ 5. Presmetaj ja plo{tinata na eden ~etiriagolnik so normalni dijagonali, ako negovite di-
jagonali imaat dol`ini d1 = 7 cm i d2
= 11 cm.
97
Odgovor: ________________________________ 19. PLO[ TINA NA PRAVILEN MNOGUAGOLNIK
1. Radiusot na vpi{anata kru`nica vo ramnostran triagolnik e r = 2,5 cm. Presmetaj gi pe-
rimetarot i plo{tinata na triagolnikot. Odgovor: ________________________________ 2. Stranata na pravilen {estagolnik e 3,4 cm. Presmetaj gi perimetarot i plo{tinata na
{es tagolnikot. Odgovor: ________________________________ 3. Stranata na eden pravilen osumagolnik e a = 2 cm. Da se presmeta plo{tinata na osuma-
golnikot, ako se znae deka radiusot na vpi{anata kru`nicata ima dol`ina ( )21+=r cm. Odgovor: ________________________________ 4. Okolu kru`nica so radius r opi{ani se ramnostran triagolnik, kvadrat i pravilen
{es tagolnik. Koj od opi{anite mnoguagolnici ima najgolema, a koj najmala plo{tina? Odgovor: ________________________________ 5. Okolu kru`nica so radius 3 cm opi{an e petagolnik so perimetar 32 cm. Presmetaj ja
plo{tinata na petagolnikot. Odgovor: ________________________________
98
20. DOL@INA NA KRU@NICA
1. Presmetaj ja dol`inata na edna kru`nica so radius r = 3,14 cm. Odgovor: _________________________________ 2. Okolu kvadrat so dijagonala d = 4,6 cm opi{ana e kru`nica. Presmetaj ja dol`inata na
taa kru`nica. Odgovor: _________________________________ 3. Trkalata na eden avtomobil imaat dijametar 0,6 m. Kolku zavrtuvawa }e napravi ednoto
trkalo otkako avtomobilot }e izmine pat dolg 17 km? Odgovor: _________________________________ 4. Edna trka~ka pateka ima radius 350 m. Eden motociklist taa kru`na pateka ja obikoluva
6 pati za 11 minuti. Presmetaj ja brzinata na motociklistot vo: a) metri vo sekunda, b) kilometri na ~as. Odgovor: _________________________________ 5. Eden kru`en stolb mo`e da se namota to~no 4 pati so edno ja`e ~ija dol`ina e 5 m. Pres-
metaj go radiusot na stolbot.
99
Odgovor: ________________________________ 21. DOL@INA NA KRU@EN LAK
1. Presmetaj ja dol`inata na kru`en lak od kru`nicata so radius r = 6,8 cm, {to odgovara
na centralen agol od 75O
.
Odgovor: ________________________________ 2. Eden kru`en obra~ so radius r = 0,7 m e prese~en i od nego e napraven kru`en lak {to od-
govara na kru`nica so radius 0,9 m. Presmetaj go centralniot agol {to odgovara na toj kru`en lak.
Odgovor: ________________________________ 3. Pri vrteweto na Zemjata okolu svojata oska, kolkav pat izminuva sekoja to~ka od ekvato-
rot za vreme od: a) 1 ~as, b) 1 minuta, v) 1 sekunda? (Radiusot na Zemjata e 6370 km.) Odgovor: ________________________________ 4. Ohrid i Belgrad se nao|aat pribli`no na ist meridijan. Presmetaj ja nivnata me|usebna
oddale~enost, ako e poznato deka geografskata {irina na Ohrid e α1 = 41O7’, a na Belgrad e α2 = 44O
48’. (Radiusot na Zemjata e 6370 km.)
Odgovor: ________________________________ 5. Eden gumen kai{ opfa}a tri kru`nici so radiusi 1 cm koi me|usebno se dopiraat (vidi
go crte`ot). Presmetaj ja dol`inata na kai{ot.
100
Odgovor: _____________________________________ 22. PLO[ TINA NA KRUG
1. Presmetaj ja plo{tinata na eden kru`en bazen, ako perimetarot na bazenot e 100 m. Odgovor: _________________________________ 2. Kvadrat so strana 15,7 cm i eden krug imaat pribli`no ednakvi perimetri. Koja od tie
dve figuri ima pogolema plo{tina i za kolku? Odgovor: _________________________________ 3. Zemjotresot se {iri so brzina od 800 m/s. Presmetaj kolkava povr{ina mo`e da zafati
zemjotresot po 5 sekundi od negoviot po~etok? Odgovor: _________________________________ 4. Edna {uma ima forma na krug so radius 2 km. Drvjata vo {umata se rasporedeni pribli`-
no po 3 drva na sekoi 10 m2
. Presmetaj go pribli`no brojot na drvata vo taa {uma.
Odgovor: _________________________________ 5. Edna kru`na sala so radius r = 10 m e poplo~ena so plo~ki vo forma na pravilen {esta-
golnik. Kolku plo~ki pribli`no se koristeni za poplo~uvawe, ako stranata na sekoja plo~ka iznesuva 10 cm ?
Odgovor: _________________________________
101
23. PLO[ TINA NA KRU@EN ISE^OK I KRU@EN PRSTEN
1. Plo{tina na eden krug e P = 140 cm 2. Presmetaj ja plo{tinata na kru`en ise~ok, {to mu
odgovara na centralen agol od 70O
.
Odgovor: ________________________________ 2. Perimetarot na eden krug e L = 25,2 cm, a dol`inata na lakot na eden kru`en ise~ok od
nego e l = 8,4 cm. Odredi go centralniot agol i plo{tinata na kru`niot ise~ok. Odgovor: ________________________________ 3. Dve koncentri~ni kru`nici imaat dol`ini L1 = 9,42 dm i L2
= 6,28 dm. Presmetaj ja plo{tinata i {irinata na kru`niot prsten, {to tie go obrazuvaat.
Odgovor: ________________________________ 4. ^etiri kru`nici so ednakvi radiusi r = 2,8 cm se dopiraat edna so druga odnadvor. Pres-
metaj ja plo{tinata na delot od ramninata me|u niv. Napravi crte`. Odgovor: ________________________________ 5. Presmetaj go radiusot na kru`nicata, koja razdeluva daden krug so radius r na dve ednak-
voplo{ni figuri – kru`en prsten i krug.
102
Odgovor: _________________________________ 24. DIJAGRAMI
1. Eden zemjodelec posadil 3 dekari so zelen~uk, 2,6 dekari so ovo{je, a 3,5 dekari posadil
so `itarici. Ovie podatoci pretstavi gi so: a) stolbest dijagram, b) sektoren dijagram. 2. Podatocite od sektorniot dijagram pretstavi gi so stolbest dijagram. 3. Vo edna fabrika vo poslednite 5 godini se proizvedeni slednite koli~estva na hrana:
1997 1998 1999 2000 2001 1600 toni 1750 toni 1870 toni 1720 toni 1690 toni
Ovie podatoci pretstavi gi so dijagram. Koj dijagram }e go izbere{? 4. Na eden natprevar na koj u~estvuvale 163 sportisti dodeleni se 5 zlatni, 16 srebreni i 40
bronzeni medali. Pretstavi gi ovie podatoci so sektoren dijagram. Na kolku delovi }e go podeli{ krugot?
5. Edna fabrika ima proizvedeno 105
proizvodi. 9% od proizvodite se so lo{ kvalitet, 53% se so zadovoluva~ki kvalitet, a ostanatite proizvodi se so prvoklasen kvalitet. Pret-stavi gi ovie podatoci so sektoren i stolbest dijagram.
103
115
Tema V FUNKCIJA.
PROPORCIONALNOST.
1. DEKARTOV PROIZVOD NA MNO@ESTVA 1. Vo podredeniot par ),( yx , prva komponenta e _________ , a vtora komponenta e _________ . 2. Zapi{i gi site podredeni parovi koi mo`at da se formiraat od elementite na mno`est-
voto { }6,4,2A = Odgovor: ____________________________________________________________________________ 3. Zapi{i gi site podredeni parovi ~ija prva komponenta mu pripa|a na mno`estvoto
{ }6,5,2A = , a vtora komponenta na mno`estvoto { }ba,B = . Odgovor: ____________________________________________________________________________ 4. Pretstavi gi so graf podredenite parovi: a) (4,5); b) (6,2); v) (3,3). Odgovor: 5. Dadeni se mno`estvata { }7,5,3A = i { }4,2B = . Zapi{i go tabelarno i pretstavi go so graf
mno`estvoto: a) {=×BA b)
116
6. Dadeni se mno`estvata { }ba,A = i { }5,4,3B = . Pretstavi go: tabelarno i so koordinantna {ema mno`estvoto =×AB
Re{enie:
a) {=×AB b) 7. Dadeno e mno`estvoto { NxxA ∈= i }74 ≤< x . Pretstavi go na a) tabelaren na~in i b) so
graf mno`estvoto 2AAA =× Re{enie: a) =2A b) 8. Dadeno e mno`estvoto { })9,5(),8,2(),4,3(),4,2(),4,5(),8,3(BA =× . Zapi{i gi tabelarno mno-
`estvata: {=A {=B 9. Dadeni se mno`estvata { }5,3,1M = i { }4,2B = . Formiraj gi mno`estvata BA× i AB× i
obrazlo`i zo{to ABBA ×≠× Re{enie: a) {=×BA b) {=×AB v) ABBA ×≠× bidej}i ____________________________________________________________ 10. Dadeni se mno`estvata { }2,1,0A = , { }3,2B = i { }5,4C = . Poka`i deka e to~no slednovo
ravenstvo: C)(BC)(ACB)(A ×∪×=×∪
117
2. PRAVOAGOLEN KOORDINATEN SISTEM
1. Na brojnata oska odredi ja mestopolo`bata na to~kite: )5,2(A ,
431B ; )3(C − ; )0(0 .
Odgovor: 2. Odredi go rastojanieto na to~kata M
od pravite Ox i Oy na crte`ot. Odgovor: To~kata M: od Ox e oddale~ena _____ edinici. od Oy e oddale~ena _____ edinici. 3. Odredi gi apscisata i ordinatata na
to~kata )5,2;21(A −
Odgovor:
apscisa e: ___________________________
ordinata e: _________________________
4. Vo koj kvadrant se nao|aat
to~kite NT,M, i K , crte` 2. Odgovor: M se nao|a vo ___________________
T se nao|a vo ____________________
N se nao|a vo ___________________
K se nao|a vo ___________________
5. Zapi{i gi koordinatite na to~kite NT,M, i K , crte` 2. Odgovor: M( , ); T( , ); N( , ); K( , ). 6. Vo pravoagolniot koordinaten
sistem pretstavi gi to~kite: 3,2)A(− ; )4,1(B − ; )3;3(C ; )2;0(D − ; )0;1(E −
118
7. Vo pravoagolen koordinaten sistem pretstavi ja otse~kata AB , ako:
)1;2(A −− i )4;3(B 8. Vo pravoagolen koordinaten sistem
pretstavi go triagolnikot ⌠ABC, ako )2;1(A − )2;1(B − i )3,3(C
9. Vo pravoagolen koordinaten
sistem dadeni se koordinatite na to~kite )2;4(A −− i )3;2(D − . Konstruiraj go trapezot ABCD , na koj temiwata B i C se simetri~ni so A i D soodvetno vo odnos na koordinatnite oski.
10. Odredi gi koordinatite na
temiwata na kvadrat na koj ednoto teme e to~kata )2;1(A −− , dve po dve strani mu se paralel-ni so koordinantnite oski i stranata mu e dolga 4 edinici.
119
3. RELACIJA 1. Ako A i B se neprazni mno`estva, sekoe podmno`estvo od Dekartoviot proizvod BA × se
vika_______________________ od A vo B .
2. Vo mno`estvoto M so graf zadadena e relacijata R . Zapi{i ja tabelarno relacijata R . Odgovor: R = ______________________________________________ 3. Vo mno`estvoto { }8,7,6,5,4,3,2,1A = zadadena e relacijata R “...... e za dva pogolemo od ..... “.
Pretstavi ja relacijata : a) na tabelaren na~in; b) na opisen na~in. Odgovor: a) R = _______________________ b) R = _______________________ 4. Od mno`estvoto { }10,8,6,4,2A = kon mno`estvoto { }5,4,3,2,1B = dadena e relacijata: R ”..... e dva pati pomal od ..... “. a) Relacijata R pretstavi ja so graf; b) Grafikonot na relacijata R zapi{i go na tabelaren na~in. Odgovor: a) b) R = _______________________ 5. Vo mno`estvoto { }6,4,2M = сe dadenи relaciите: а) ":"1 ≤R и б) ":"2 =R . Пretstavi ги овие релации табеларно. Odgovor: a) b)
120
4. FUNKCIJA 1. Na crte`ot so graf dadeni se tri relacii. Opredeli: a) koja od tie relacii e funkcija; b) domenot i kodomenot na funkcijata. Odgovor: a) Funkcija e _______ ; b) Domen e mno`estvo _________________________________ ; v) Kodomen e mno`estvo ___________________ . 2. Kaj funkcijata BA: →f , simbolot A∈x se vika ___________, a y ili B(x)∈f se vika
___________. 3. Od mno`estvoto { NxxA ∈= i }8x ≤ kon mno`estvoto { }cba ,,B = dadeno e preslikuvawe-
to ...:f ako x e prost broj, toga{ ax → , ako x e slo`en broj, toga{ bx → , ako x ne e ni prost ni slo`en broj, toga{ cx → . Preslikuvaweto treba da se pretstavi so graf.
4. Sekoja to~ka ),K( yx od koordinatnata ramnina se preslikuva vo to~ka ),('K xy . Pri toa preslikuvawe, vo koja to~ka }e se preslika sekoja od to~kite:
)0,5(D);2,0(C);4,3(B);3,1(A −−− . Napravi crte`i:
Odgovor: 5. Funkcijata f e zadadena so grafikonot:
{ })5,2(),4,1(),3,0(),2,1(),1,2(),0,3( −−−=f . Opredeli gi : a) domenot na f ; b) kodomenot na f . Odgovor:
a) D = ____________________ ; b) B = ____________________ ;
121
5. ZADAVAWE NA FUNKCII 1. Zadadeni se funkciite: { }),4)(,3)(,2)(,1( acbaf = { }),3)(,2)(,1( cbaq = i { }),4)(,3)(,2)(,1( cacbh = .
Koi od ovie funkcii se ednakvi: Odgovor: Ednakvi se funkciite _______________________________________________________ 2. Za edna funkcija BA: →f velime deka e zadadena, ako se poznati: __________________________________________________________________________________ 3. Traktor pri orawe pominuva prese~no po 4,5 km na ~as. Izrazi ja zavisnosta pome|u po-
minatiot pat i potro{enoto vreme: Odgovor: 4. Grafikot na funkcijata e { })1,2(),4,5(),1,3(),0,2(),1,1( −−−−=f . Pretstavi ja funkcijata so tablica. Odgovor:
x
f(x)
5. Dnevnata temperatura vo edno mesto se meri sekoi 3 ~asa i e dobiena slednata tablica.
~as 6 9 12 15 18 21 24 tem -6 -2 8 6 2 0 -4
Od tablicata odredi: a) )24()18();9( fff . b) vo kolku ~asot temperaturata bila najvisoka Odgovor: a) =)9(f _______________; =)18(f _______________; =)24(f _______________;
b) Temperaturata bila najvisoka vo _________ ~asot.
6. Grafikot na edna funkcija e { })1,0(),3,2(),1,1)(3,1(),5,2( −−−−=f .
Pretstavi ja funkcijata )(xf : a) tabelarno , b) grafi~ki. Re{enie: a) b)
x
f(x)
122
7. Zapi{i ja analiti~ki funkcijata definirana vo mno`estvoto Z so koja e izrazeno: “sekoj argument x e za tri pogolem od vrednosta na funkcijata”.
Odgovor: =)(xf ___________________________ 8. Pretstavi ja tabelarno i grafi~ki funkcija-
ta ZA: →f 2)( −= xxf , ako definicionata oblast na funkcijata e mno`estvoto
{ }2;1;0;1;2;3A −−−=
x
f(x)
9. Dadena e funkcijata 1:)ZA(: −→→ xxq . Opredeli go mno`estvoto podredeni parovi
qyx ∈),( , ako { }4;2;0;1;3;5A −−−= Odgovor: =Γq _____________________________ 10. Funkcijata h e zadadena so tablica.
x -2 -1 0 1 2
h(x) 5 3 1 -1 -3
Pretstavi ja grafi~ki.
123
6. RAZMER. PROPORCIJA. PRODOL@ENA PROPORCIJA 1. Koi od slednive koli~nici se razmeri
a) 7 : 9; b) 54:
43
; v) 9 m : 5 km ; g) 0,7 : 2 kg ; d) gg21:1,0 .
Odgovor: Razmeri se: __________________________________________________________________
2. Zapi{i go obratniot razmer na razmerot yx
.
Odgovor: Obratniot razmer e: _________________________________________________________ 3. Napi{i gi to~no slednite odnosi:
a) 64 km : 8 m; b) 5 ~asa : 2 min; v) 1,2m2:4dm
2.
Odgovor: a) _____________ b)_______________ v)_________________ 4. Slednive razmeri pretstavi gi so celi broevi:
a) 0,6 : 0,7; b) 41:
32
; v) 4,0:438 .
Re{enie: Odgovor: a) _____________ b)_______________ v)_________________ 5. Presmetaj go nepoznatiot ~len na razmerot:
a) 6:72 =x b) 511
412: =x
Odgovor: a) x = _____________ ; b) x =_______________ .
124
6. Sostavi proporcija od slednive ravenstva na proizvodite:
a) 12503020 ⋅=⋅ b) 56,142 ⋅=⋅
Odgovor: a) 20 : 50 = b) 2 : 1,6 = 7. Kolku treba da iznesuva x vo ravenstvoto: 20:9:5,4 =x Odgovor: x = _____________ ; 8. Presmetaj go x vo slednata proporcija: 21:42)2(:18 =+x Odgovor: x = _____________ ; 9. Vo edno u~ili{te brojot na mомчиња sprema brojot na девојчиња se odnesuva kako 4 : 5.
Opredeli kolku bile mомочиња, a kolku девојчиња, ako vo u~ili{teto imalo vkupno 990 u~enici.
Re{enie: Odgovor: mомчиња bile _________________________
девојчиња ____________________________
10. Opredeli gi vnatre{nite agli na triagolnikot, ako nivnite golemini se odnesuvaat ka-
ko 3 : 4 : 5. Re{enie: Odgovor: α= ____________ ; β= ____________ ; ν= ____________ ;
125
7. PRAVA PROPORCIONALNOST
1. Veli~inite x i y se pravoproporcionalni so koeficient na proporcionalnosta 32
.
Zapi{i ja zavisnosta so formula. Odgovor: 2. Ako elementot x od mno`estvoto A (domen) se preslikuva vo elementot y od mno`est-
voto B (kodomen) po formulata kxy = , toga{ zavisnosta me|u tie dve veli~ini e________
__________________________________________________________________________________ 3. Pravata proporcionalnost na veli~inite x i y se dadeni so podredenite parovi: (2,8),
(3,12), (5,20). Odredi go koeficientot na proporcionalnosta: Odgovor: ______=k _________ 4. Eden avtobus se dvi`i so 75 km na ~as. Kolkav pat }e pomine za t ~asa. Odgovor: Za t ~asa }e pomine_______ km. 5. Veli~inite x i y se pravoproporcionalni so koeficient na proporcionalnost 4=k .
Opredeli go mno`estvoto na vrednosta y , ako { }5,4,0,1,2,3 −−−∈x . Re{enie: Odgovor: {∈y 6. Opredeli koi od veli~inite dadeni so tablicata se pravoproporcionalni. a) b) v)
x 3 6 9 12 x 4 8 12 16 x 9 12 15 18
y 5 10 15 20 y 6 12 8 4 y 3 4 5 6
Odgovor: Pravoproporcionalni veli~ini se: __________________________________________
126
7. Popolni ja tablicata, ako veli~inite x i y se pravoproporcionalni so koeficient na porcionalnosta 4,0=k .
x 0.5 1,25 211
81
2
y
8. Popolni ja tablicata, ako e poznato deka veli~inite x i y se pravoproporcionalni:
x -3 -2 5 8
y -10 10 25 50
9. Pretstavi ja grafi~ki pravata proporcionalnost xy 2−=
x -2 -1 0 1 2 3
y
10. Koeficientot na pravoproporciolanost e 212 .
Popolni ja tablicata i nacrtaj go nejziniot grafik
x -4 -2 0 2 4
y
127
8. OBRATNA PROPORCIONALNOST 1. Veli~inite x i y se obratnoproporcionalni. Zapi{i ja taa zavisnost so formula ako ko-
eficientot na proporcionalnost e 5. Odgovor: 2. So koja od slednite formuli e pretstavena obratnata proporcionalnost.
a) x
y 2−= ; b) xy
43
= ; v) x
y 12 ⋅=
Odgovor: Obratnoproporcionalni se: _________________.
3. Veli~inite x i y se obratnoproporcionalni so koeficient na proporcionalnost 21
=k .
Odredi ja vrednosta na y , ako 6,0=x Odgovor: _________=y
4. Veli~inite x i y se obratnoproporcionalni so koeficient na proporcionalnosta 52
.
Odredi ja vrednosta x ako 4,0=y . Odgovor: _______=x _____ 5. Odnosot na dve proizvolni vrednosti od domenot e ednakov na obratniot odnos na : __________________________________________________________________________________ 6. Veli~inite x i y se obratno proporcionalni so koeficient na proporcionalnost 4.
Sostavi tablica za ovie veli~ini ako { }5,2,1,0,1,2,5 −−−∈x . Re{enie:
x -5 -2 -1 0 1 2 5
y
128
7. Ako x i y se obratnoproporcionalni veli~ini. Popolni ja tablicata otkako }e go od-redi{ koeficientot na proporcionalnosta.
Re{enie: k = _____________________
x 4 6 8 24
y 8 4
8. Veli~inite x i y zadadeni so tablicata se obratnoproporcionalni. Od tablicata opre-
deli go koeficientot na proporcionalnost i zapi{i ja formulata so koja e izrazena za-visnosta me|u x i y .
x 24 12 6 3
y 2 1 21
41
Odgovor: a) ______=k b) y =
9. Popolni ja tablicata i nacrtaj go grafot na funkcijata x
y 4=
x 1 2 21
-21
-1 -2 -4 4
y
10. Nacrtaj go grafikot na funkcijata x
y 8−=
x
y
129
9. PROSTO TROJNO PRAVILO 1. Za {iewe na 12 ma{ki kostumi upotrebeno e 36 m {tof. Kolku metri e potrebno za {ie-
we na 16 takvi kostumi. Odgovor: Potrebni se _________ metri {tof. 2. Od 0,5 toni sve`i jabolka se dobivaat 95 kg suvi jabolka. Kolku kilogrami suvi jabolka
}e se dobijat od 2,1 ton sve`i jabolka. Odgovor: ] e se dobijat _________ jabolka. 3. Edna pumpa za voda dava 72 m3 voda za 4 ~asa i 12 minuti. Za kolku vreme pumpata }e dade
2143 m3
voda?
Odgovor: Za vreme od ____________ 4. 24 kravi se hranat so nekoja hrana 6 dena. Kolku dolgo }e se hranat so istata hrana 36
kravi? Odgovor: 36 kravi }e se hranat _________ dena. 5. Eden avtomobil na 120 km vozewe tro{i 9 litri benzin. Kolku benzin }e potro{i na pat
od 216 km? Odgovor: ] e potro{i _________ litri benzin.
130
6. Edno ni{alo pravi 67 oscilacii (ni{awa) vo edna minuta. Za kolku sekundi }e napravi 2278 oscilacii?
Odgovor: ] e napravi za ________ oscilacii ___________ minuti. 7. Eden traktor so tri pluga mo`e da izora 84 dekari zemja. Kolku dekari zemja }e izora
ako raboti so 4 pluga so ista brzina. Odgovor: ] e izora ________ dekari zemja. 8. Eden zap~enik so 30 zapci pravi 80 zavrtuvawa vo minuta. Kolku zapci ima drug zap~enik
koj e svrzan so nego, ako za isto vreme pravi 60 zavrtuvawa. Odgovor: Ima ________ zapci. 9. Edna rabota ja zapo~nale 33 rabotnici, i po planot bi ja zavr{ile za 80 dena. Me|utoa
posle 16 dena rabotewe, 9 rabotnici se premesteni na drugo gradili{te. Za kolku dena e zavr{ena rabotata.
Odgovor: Rabotata }e se zavr{i za ________ dena. 10. 32 rabotnika mo`at da asfaltiraat edna ulica za 12 dena. Brojot na rabotnicite se
zgolemil za 16. Za kolku dena }e se zavr{i istata rabota. Odgovor: Istata rabota }e se zavr{i za _______ dena.
131
10. RABOTA SO PODATOCI
1. Prose~nata temperatura vo tekot na edna nedela vo mesec januari iznesuva: -9OC, -11,5 OC, -7,8 OC, -3,2 OC, 2 OC, 5,5 OC i 6 O
vozduhot vo taa nedela: C. Presmetaj ja srednata temperatura na
Re{enie: Odgovor: Srednata temperatura e: _____ O
C
2. Odredi ja geometriskata sredina na broevite
a) 3 i 27 b) 365
i 54
Odgovor: a) _______________ ; b) _______________. 3. Vo nizata (podatoci) broevi: 1, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 7 opredeli go modot. Odgovor: Mod _________
4. Dadena e nizata broevi 2; ;312 3; 3,5; 4; 5; 6. Opredeli go rangot.
Odgovor: Rang _________
5. Opredeli go rangot, modot i medijanata na podatoci. 2; ;436;
213 8; 8; 9; 9; 9; 12.
Odgovor: a) Rang ___________ ; b) Mod ___________ ; v) Medijana ___________
132
6. Vo edna kutija ima 15 beli, 25 crveni i 20 sini top~iwa. Koлку проценти од топчињата
биле а) бели, б) црвени, в) сини? Odgovor: а) __________ ; б) __________ ; в) __________ . 7. Една коцка за играње фрли ја 100 пати и запиши ги добиените броеви. Потоа, врз основа на тие податоци, најди ја аритметичката средина, модот и медијаната. Odgovor: ________________________________________________________________________ 8. Од еден шпил на карти извлечи 20 карти по случаен избор, а потоа запиши ги добиените броеви
од тој избор (за џандар запишувај број 12, за дама - број 13, а за поп - број 14). Од добиените податоци најди го рангот, аритметичката средина, модот и медијаната.
Odgovor: ________________________________________________________________________ 9. Нека 0<a<b. Обиди се да докажeш дека за aритметичката средина А и геометриската средина G,
важат неравенствата: a < A < G < b. 10. Најди низа од седум броеви, така што аритметичката средина да биде 5, медијаната да биде 5,
модот да биде 6, а рангот да биде 10. Odgovor: ___________________________________________
19
TEST - 1 1. Dopolni gi re~enicite za da bide to~en iskazot -
a) Mno`estvoto P od site pravi {to se ___________________________________ so pravata a
se vika ____________________________________ zadaden so pravata a.
b) Dva vektora se sprotivni samo, ako _______________________________________________ 2. Spored dadeniot crte` opredeli go vektorot:
a) CBAC + b) CBDCAD ++
Odgovor: a) CBAC + = ________________ b) CBDCAD ++ = ________________ 3. Spored dadeniot crte` opredeli go vektorot:
a) ADAB− b) ABAC −
Odgovor: a) ADAB− =________________ b) ABAC − = ________________
4. Vo paralelogramot ADPN vektorite n=== CDBCAB i m== MNAM .
Izrazi go vektorot AP so pomo{ na vektorite m i n .
Odgovor: AP = _________________________________________ 5. Dopolni ja re~enicata za da bide to~en iskazot -
Pri translacija aτ pravata se preslikuva ___________________________________________
___________________________________________________________________________________
6. Daden e trapezot ABCD (AB 7 CD), to~kite M i N sredini na kracite AD i BC, soodvetno
i MP 7 BC. Izrazi go zbirot MPMN + so pomo{ na vektorite AB , DC i CB .
Odgovor: MPMN + = ___________________________________
20
7. Dadeni se nekolinearnite vektori m i n . Konstruiraj go vektorot: a) m + n b) m - n Odgovor: a) m + n = ________________
b) m - n = ________________
8. Dadeni se pravite p, q i vektorot a . Konstruiraj otse~ka AB, taka {to A ∈ p, B ∈ q i
a=AB .
9. Nacrtaj kru`nica k(O,r=2,5cm), a potoa preslikaj ja so pomo{ na транслација за даден
вектор AB , чија должина е 2,5cm.
10. Nacrtaj произволен триаголник ABC, а потоа транслтирај го за вектор АТ , каде што Т е тежиштето на дадениот триаголник.
21
TEST - 2
1. Dopolni ja re~enicata za da bide to~en iskazot -
a) Dve polupravi se istonaso~eni, ako le`at na edna prava i imaat _____________________
______________________ili le`at na razli~ni paralelni pravi, ako ___________________
___________________________________________________________________________________
b) Dva vektora se ednakvi, ako ______________________________________________________
2. Spored dadeniot crte` opredeli go vektorot:
a) CBAC + b) DADC +
Odgovor: a) CBAC + = ________________ b) DADC + = ________________
3. Spored crte`ot opredeli go vektorot:
a) ABAC − b) ACAD −
Odgovor: a) ABAC − = ________________ b) ACAD − = ________________
4. Vo ∆ABC vektorite a=== NBMNAM i
b
== PCAP . Izrazi go vektorot CB so
pomo{ na vektorite a i b
.
Odgovor: CB = ___________________________________
5. Dopolni ja re~enicata za da bide to~en iskazot -
Pri translacijata aτ agolot se preslikuva vo ________________________________________
___________________________________________________________________________________
6. Neka m , n i p se tri proizvolni vektori. Poka`i ja konstruktivno to~nosta na ravenst-
voto ( ) ( )pnmpnm ++=++ - asocijativniot zakon.
22
7. Dadeni se kolinearnite vektori a i b
. Konstruiraj go vektorot:
a) ba
+
b) ba
− Odgovor: a) ba
+ = ________________
b) ba
− = ________________
8. Nacrtaj kru`nica k(O,r). So pomo{ na translacija mτ preslikaj ja kru`nicata, ako
OP2 ⋅=m i P to~ka od kru`nicata.
9. Nacrtaj две прави што се сечат, а потоа транслатирај ги за даден вектор AB .
10. Naцртај квадрат ABCD со центар во точка О. Транслатирај го квадратот за вектор CО .
23
TEST - 3 1. Dopolni ja re~enicata za da bide to~en iskazot -
a) Podredeniot par to~ki (A,B) go opredeluva ________________________________________
b) Vektorite m i n se kolinearni, ako ______________________________________________
2. Spored dadeniot crte` opredeli go vektorot
a) BDAB+ b) CDBC +
Odgovor: a) BDAB+ = ________________ b) CDBC + = ________________ 3. Spored dadeniot crte` opredeli go vektorot
a) MQMN − b) QPMN −
Odgovor: a) MQMN − = ________________ b) QPMN − = ________________ 4. Daden e trapezot ABCD (AB||CD). Neka M i N
se sredini na kracite AD i BC, soodvetno.
Izrazi go vektorot MN so pomo{ na vektorite
a=AB i b
=DC .
Odgovor: MN = ___________________________________
5. Dopolni ja re~enicata za da bide to~en iskazot -
Translacija τ za vektorot a se vika ____________________________pri koe na sekoja
to~ka M i se pridru`uva ___________________________________________________________
6. Otse~kite AA1, BB1 i CC1
111 CCBBAA ++
se тежишни линии na
∆ABC. Izrazi go vektorot so
pomo{ na vektorite bac
=== CA,BC,AB . Odgovor: 111 CCBBAA ++ = _______________________
24
7. Dadeni se nekolinearnite vektori a i b
. Opredeli go konstruktivno vektorot:
a) ba
+
b) ba
−
Odgovor:
a) ba
+ = ________________
b) ba
− = ________________
8. Preslikaj go ramnokrakiot ∆ABC so pomo{ na
translacijata aτ , kade vektorot AM=a i M e
sredi{na to~ka na stranata BC od ∆ABC.
9. Daden e pravoagolnikot ABCD i to~kata O kako presek na dijagonalite AC i BD. Izvr{i
транслација на правоаголникот за вектор OB . 10. Nad stranite AB i CD od paralelogramot ABCD konstruirani se kvadratite ABB1A1 i
DCC1D1 1AA, taka {to vektorite i 1DD se istonaso~ni. Ako prese~nite to~ki od dijago-
nalite na tie kvadrati se M i N, toga{ doka`i deka BCMN = . Dadeno: ABB1A1 i DCC1D1 M=AB
1∩BA1; N=DC1∩CD
Tvrdime: 1
BCMN = Dokaz:
25
TEST - 4 1. Dopolni gi re~enicite za da bide to~en iskazot -
a) Vektorot e napolno opredelen so _________________________________________________
b) Niz sekoja to~ka od ramninata _______________________________________ daden pravec.
2. Spored dadeniot crte` opredeli go vektorot
a) BCAB+ b) MNAP +
Odgovor: a) BCAB+ = ________________ b) MNAP + = ________________
3. Spored dadeniot crte` opredeli go vektorot
a) ADAB− b). DCAB−
Odgovor: a) ADAB− = ________________ b) DCAB− = ________________
4. Dadena e otse~kata MN, to~kata P sredina na
MN i to~kata S ∉ AB. Izrazi go vektorot SP so
pomo{ na vektorot SM i SN .
Odgovor: SP = ___________________________________
5. Dopolni gi re~enicite za da bide to~en iskazot -
Translacijata aτ gi ima slednite svojstva:
- __________________________________________________________________________________
- __________________________________________________________________________________
- __________________________________________________________________________________
6. Vo ∆ABC, to~kite M, N i P se sredini na
stranite AB, BC i AC, soodvetno.
Izrazi go vektorot PMPN + so vektorite AB i
CB .
Odgovor: PMPN + = _____________________________
26
7. Dadeni se nekolinearnite vektori a i b
. Konstruiraj go vektorot:
a) ba
+
b) ba
− Odgovor: a) ba
+ = ________________
b) ba
− = ________________ 8. So pomo{ na translacija aτ preslikaj go
rombot ABCD za vektorot ADAB−=a . 9. Konstruiraj ramnostran triagolnik ∆ABC so strana 3 cm. Потоа тој триаголник
транслатирај го така што темето С да дојде во центарот О на рамностраниот триаголник.
10. So pomo{ na translacija konstruiraj trapez ABCD, ako se dadeni site strani, t.e. a=AB ,
d=BC , b=CD i c=AD Dadeno Skica Konstrukcija
27
TEST - 5 1. Dopolni gi re~enicite za da bide to~en iskazot -
a) Za sekoi dva vektora va`i ____________________________ zakon, a za sekoi tri vektori
va`i ____________________________ zakon.
b) Proizvod na nenulti vektor a so brojot K ≠ 0 se vika ______________________________ 2. Spored dadeniot crte` opredeli go vektorot
a) BCAB+ b) CDBCAB ++
Odgovor: a) BCAB+ = ________________ b) CDBCAB ++ = ________________
3. Spored dadeniot crte` opredeli go vektorot -
a) ABAC − b) ACAD −
Odgovor: a) ABAC − = ________________ b) ACAD − = ________________
4. Po te~enieto na edna reka se dvi`i brod so brzina 42 km/h, a sproti te~enieto na rekata
so brzina 28 km/h. Kolkava e brzinata samo na brodot, a kolkava na vodata na rekata. Odgovor: Brzinata na brodot e _______________________, a na vodata e _____________________
5. Dopolni gi re~enicite za da bide to~en iskazot -
a) Translacijata τ za vektorot - a , t.e. a−τ e _______________________ na translacija aτ .
b) Скаларни величини се: ____________________________________________________________
Векторски величини се: ____________________________________________________________
6. Neka vektorot CDAB = i CTAS = . Doka`i deka TDSB = .
Dadeno: CDAB = i CTAS =
Tvrdime: TDSB = Dokaz:
28
7. Dadeni se nekolinearnite vektori a , b
i c . Odredi go konstruktivno vektorot:
a) cba ++
b) ca −
Odgovor:
a) cba ++ = ______________________
b) ca − = ______________________
8. Dadeni se dva agla so zaemnoparalelni kraci od koi edniot par kraci se isto naso~eni, a
drugiot sprotivno naso~eni. Doka`i so pomo{ na translacija deka tie agli se suplement-ni.
Dadeno: OA↑↓O1A1 i OB↑↑O1B Tvrdime:
1 ∠AOB + ∠A1O1B1 = 180
o
Dokaz:
9. Daden e trapezot ABCD (AB||CD). Izvr{i trans-
lacija na trapezot za vektorot DCAD +=x . 10. Dadeni se dve skladni kru`nici k1(S1,r) i k2(S2 a,r). Odredi go векторот на транслација
таков што aτ (k2) = k1
.
Odgovor:
Векторот на транслација е _________.
37
TEST - 1 1. Izvr{i gi nazna~enite operacii so sistemi:
a) =⋅⋅⋅ 503 aaaa
b) =73 )(a
v) =2
4
63
xx
g) =⋅⋅⋅⋅ 2
23
83)(
xxxxxx
2. Presmetaj i izvr{i proverka:
a) =3600 b) =25,12 3. Presmetaj ja vrednosta na izrazot:
=−⋅−⋅ 222 )8,0(55,42
4. Докажи дека 5 е ирационален број.
5. Нацртај бројна права и нанеси ги броевите: 2,6; -1,4; 2 +1; 13 − ; 32
− ; 2,5,
a potoa zapi{i gi ovie broevi po golemina, po~nuvaj}i od najmaliot.
38
TEST - 2 1. Zapi{i gi kako stepen so osnova x, slednive izrazi:
a) =⋅⋅ 23 xxx
b) =46 )(x
v) =3
12
xx
g) 232
45)(
xxxxx
⋅⋅⋅ =
2. Presmetaj со помош на таблица i izvr{i proverka:
a) =2116 b) =04,27 3. Presmetaj ja vrednosta na izrazot:
=⋅−−⋅ 2332 4)21()2()
43(
4. Dali ima pove}e santimetri vo eden kilometer ili ima pove}e kubni santimetri vo eden
kuben metar?
Re{enie: 5. Zaokru`i gi to~nite iskazi: a) Sekoj priroden broj e cel i racionalen, no ne e iracionelen broj. b) Sekoj cel broj e racionalen, no ne e realen broj. v) Postoi realen broj koj e racionelen i iracionalen broj. g) Ne postoi iracionalen broj koj e i cel broj. d) Sekoj realen broj e racionalen ili iracionalen broj, no ne mo`e da bide i racionalen i iracionalen broj. |) Zbirot na dva iracionalni broja e sekoga{ iracionalen broj. e) Proizvodot na dva iracionalni broja e sekoga{ racionalen broj.
39
TEST - 3
1. Izvr{i gi nazna~enite operacii so stepeni:
a) =⋅⋅ 056 xxx
b) =1510 : xx
v) =53 )(x
g) =⋅⋅
236
327
)()(
xxxx
2. Presmetaj i izvr{i proverka:
a) 57 ; b) 5,38 . 3. Presmetaj ja vrednosta na izrazot:
=+⋅⋅+ )7529(439 22
4. Uprosti go izrazot 75 55 ⋅ , a potoa odgovori dali toj izraz pretstavuva racionalen ili iracionalen broj. Re{enie:
5. Daden e izrazot 1
132
)( −+−
=a
aaaA . Оdredi:
a) )2(A − , b) )2(A
40
TEST - 4 1. Zapi{i gi kako stepen so osnova a izrazite:
a) =⋅⋅⋅ aaaa 035
b) =84 )(a
v) =⋅⋅⋅⋅ 3
543
32)(
aaaaaa
g) =10
20
aa
2. Presmetaj (со дигитрон или таблица) i izvr{i proverka:
a) 13600 = b) 25,2 = 3. Presmetaj ja vrednosta na izrazot:
=−+−−−+ 5333 )1()2()3(2
4. Daden e izrazot 1
41C 2
3
)(−−−
=y
yyy . Odredi:
a) )2(C − , b) )
21(
C
5. Odговори на следните прашања: а) Колку грами има во еден тон? б) Колку нанометри има во еден милиметар? Одговор: а) б)
41
TEST - 5 1. Presmetaj:
a) =⋅⋅ 085 xxx
b) =⋅ 2)2( 43 yx
v) =714 : xx
g) =⋅⋅ 2
43)2(
yxyx
2. Presmetaj i izvr{i proverka:
a) 625 = b) 437,94 = 3. Presmetaj ja vrednosta na izrazot:
=⋅−+⋅−− 323 2:1249:33)2(5
4. Daden e izrazot 2
222A2
)( −−−
=x
xxx . Odredi:
a) )4(A − ; b) )0(A .
5. Докажи дека 13 + е ирационален број. Решение:
42
TEST - 6 1. Presmetaj ja vrednosta na izrazot:
a) =− 3)2(
b) =610
v) =− 100)1(
g) =4)1,0(
2. Presmetaj i izvr{i proverka:
a) 961 = b) 25,42 =
3. Daden e izrazot ( )1
32B 2
2
++−
=x
xxx . Odredi:
a) ( )0B ; b) ( )1B − . 4. Presmetaj ja vrednosta na изразот:
a) =− 200)1(
b) =4)1,0(
5. Daden e izrazot 1
52
2
)( −+−
=x
xxC x . Odredi:
a) )
21
(C ; b) )2(−C .
65
TEST - 1
1. Od monomite: xy , 222 yx− , xy3− i 22
21 yx
a) sostavi polinom -
b) svedi go vo normalen vid -
v) odredi go stepenot na polinomot po )(x -
г) одреди го спротивниот полином -
2. Za polinomite: 12A 23 −+−= xxx , 42B 2 −+−= xx i 24C 23 −−+= xxx , odredi B)(AC +− . 3. Izvr{i gi nazna~enite operacii:
a) )32(:
43 3245 yxzyx − =
b) 332 )6( yx− =
v) )3()24( 223 axaxx −⋅− =
g) )32)(236( 222 xyyxxyxy +−+− =
4. Daden e monomot 43
21 yx . Оdredi:
a) sli~en monom -
b) sprotiven monom -
v) stepen na monomot -
g) koeficient na monomot -
5. Zbirot na polinomite: 234 2 +− xx i xx 445 2 −− namali go za trinomot 462 +− xx .
66
6. Izvr{i gi nazna~enite operacii:
a) 232
32
21 xyyx ⋅− =
b) 342 )21( ba− =
v) )22( 232 aaaa −− =
g) )22)(125( 2 −+− xxx =
7. Pretstavi go so polinom vo normalen vid, proizvodot:
a) =+− )3)(3( xx
b) =− 2)2(x
v) =272
8. Izvr{i gi nazna~enite operacii:
a) abbaab32:)
87
43( 322− ; b) )347(:)7612139( 524725 xxxxxx ++−−++− .
9. Razlo`i go polinomot na prosti mno`iteli:
a) 1644 23 +++ aaa ; b) adacab 8124 −+ ; v) xxcxb −+−+− 3)3()3( . 10. Doka`i go identitetot:
25)1(100)510( 2 ++=+ nnn .
67
TEST - 2 1. Pretstavi go kako polinom vo normalen vid, proizvodot:
a) 2)35( a− =
b) =⋅ 5,65,7
v) =+ 22 )34( x
2. Izvr{i gi nazna~enite operacii:
a) =−+21:)1( ba b) =+++ )2(:)65( 22 bababa
3. Razlo`i go polinomot na prosti mno`iteli:
a) =−+− )23(7)32(9 ybya
b) =+− 2222 12186 yxyxxy
v) =+++ yaxbybxa
4. Daden e monomot 235,0 xya− . Оdredi:
a) sli~en monom -
b) sprotiven monom -
v) stepen na monomot -
g) koeficient na monomot -
5. Od polinomot 3642 23 −+− aaa odzemi go zbirot na polinomite:
524 23 +−+− aaa i 132 23 −+− aaa .
68
6. Izvr{i gi nazna~enite operacii:
a) yaxax 2121,0 ⋅ =
b) 232 )2,0( yx− =
v) )22(2 22 yxxyx −− =
g) )1()72( 2 −⋅−+ aaa =
7. Pretstavi go kako polinom vo normalen vid proizvodot:
a) =−+ )5)(5( aa
b) 2)3( −a =
v) 2)32( +a =
8. Izvr{i gi nazna~enite operacii:
a) =− xyxyx 4:)1816( 243 b) =−+−−+− )43(:)91212228( 432 xxxxx
9. Razlo`i go polinomot na prosti mno`iteli:
a) 32223 1269 bababa +− ; b) nynxyxn −+− )( ; v) yxayaxyaxa ++−−+ 22 . 10. Doka`i go identitetot:
2
6)12)(1(
6)12)(1( nnnnnnn
=⋅−−
−++ .
69
TEST - 3
1. Od monomite: 32ba− ; ab3− ; ab21
i 327 ba−
a) sostavi polinom -
b) svedi go vo normalen vid -
v) odredi go stepenot na polinomot po ),( ba -
g) odredi go sprotivniot polinom -
2. Odredi go polinomot M , taka {to: 422M)132( 2332 −−−=−++− xxxxxx . 3. Doka`i deka za sekoja vrednost na x izrazot: )21(5)424(5,1)87)(43( xxxxx −−+⋅−+− e negativen.
4. Daden e monomot 42
43 ba− . Оdredi:
a) koeficient na monomot -
b) stepen na monomot -
v) sli~en monom -
g) sprotiven monom -
5. Na polinomot 3653 23 −+−− xxx , dodaj ja razlikata na polinomite: 5452 32 −+− xxx i
xxx 321 23 −+− .
70
6. Izvr{i gi nazna~enite operacii:
a) )3()2( 2xyxy −⋅ =
b) nyx )( 32 =
v) )32(4 cba +−⋅ =
g) )()2( 22 yxyxyx −−⋅− =
7. Pretstavi go vo normalen vid proizvodot:
a) =+ 2)52( x
b) =+− )72)(72( xx
v) 692
=
8. Izvr{i gi nazna~enite operacii:
a) )5(:)1525( 322 abbyxyax −− ; b) )32(:)610159( 2432 ++−− xxxxx . 9. Razlo`i go polinomot na prosti mno`iteli:
a) mxxmxm 36 23 +−− ; b) )1()1()1( +++++−++ yxryxqyxp ; v) babzazbzaz +++++ 22 . 10. Doka`i go identitetot:
41)1()
21( 2 ++=+ aaa .
71
TEST - 4 1. Izvr{i gi nazna~enite operacii:
a) )5(7 2223 yxzyx −⋅− =
b) 23 )43( cxy− =
v) 323 3)24( axaxa ⋅− =
g) )34()912( 23 +⋅−+ xxx = 2. Pretstavi go kako polinomot vo normalen vid, proizvodot:
a) =− 2)32( ba
b) =+ 2)43
21( yx
v) =⋅10298
3. Izvr{i gi nazna~enite operacii:
a) =+− 2234 4,0:)32,104,04,2( xxxx b) =−−+− )53(:)15953( 23 xxxx
4. Dovedi go vo normalen vid monomot )()2( 3332 yxyx −⋅−⋅− , a potoa odredi:
a) sprotiven monom -
b) sli~en monom -
v) stepen na monomot -
g) koeficient na monomot -
5. Od zbirot na polinomite 22 24 abab +− i 22 552 baba +− , odzemi ja razlikata na polinomi-
te 22 432 baab −+ i 22 323 aabb ++− .
72
6. Izvr{i gi nazna~enite operacii:
a) )32(:
414 322 yxxyyx −⋅ =
b) 322 )4()5,0( xyxy ⋅− =
v) )32(4 32 xaxaxx −+−− =
g) )34()1( 222 yxyxxx +−⋅+− =
7. Izvr{i gi nazna~enite operacii:
a) =− 2)32( a
b) =+− )3)(3( yxyx
v) =273
8. Pretstavi go kako polinom vo normalen vid proizvodot:
a) =−+− 334253 2:)268,4( ababbaba
b) =−− )1(:)1( 7 aa
9. Razlo`i go polinomot na prosti mno`iteli:
a) 2324 3126 xyyxxy −+ ; b) )1()1( +−+ xbxa ; v) bcacaba +++ 224 2 . 10. Ako 10=+ cb , toga{ bcaacaba ++=++ )1(100)10)(10( . Doka`i!
73
TEST - 5 1. Razlo`i go polinomot na prosti mno`iteli:
a) =−+ 222443
313
312
95 nmnmnm
b) =+−+ )2(8)2(4 22 axyayx
v) =+−− xbyaybxa 2222
2. Od monomite: 2
21 ac , ac4− , 2
21 ac− i ac10
a) sostavi polinom -
b) svedi go vo normalen vid -
v) odredi go stepenot na polinomot po ),( ca -
g) odredi go sprotivniot polinom -
3. Doka`i deka ravenstvoto e to~no:
222 3148))((2)4( nmmnnmnmnm +=−−+−+ .
4. Dovedi go vo normalen vid monomot )2(931 22 xyxyx −⋅ , a potoa odredi:
a) koeficient na monomot -
b) stepen na monomot -
v) sprotiven monom -
g) sli~en monom -
5. Presmetaj )B(A C−+ , ako e:
2562A 23 −+−= xxx ; 634B 23 −+−−= xxx i 1422C 23 −++−= xxx .
74
6. Izvr{i gi nazna~enite operacii:
a) )(:)2(2 222 axyaxxya −−⋅ =
b) 2432 )21()( xyyx ⋅− =
v) axxxx 2)765( 32 ⋅−+− =
g) )3)(42( xx −− =
7. Pretstavi go kako binom vo normalen vid, proizvodot:
a) =−⋅+ )43()34( ayya
b) 2)72( yx + =
v) =298
8. Izvr{i gi nazna~enite operacii:
a) =−+− )2(:)46( 24 abbaba
b) =++ )1(:)1( 9 aa
9. Razlo`i go polinomot na prosti mno`iteli:
a) 243322 423630 bababa −− ; b) )(4)(5 baxybax −−− ; v) yaxbybxa +++ .
10. Doka`i deka izrazot 22 22 ba + mo`e da se pretstavi kako zbir od dva kvadrata.
75
TEST - 6 1. Odredi go polinomot N , taka {to:
342)122(N 2323 −+−=−−++ aaaaaa .
2. Izvr{i gi nazna~enite operacii:
a) )4(:16 3268 yxyx −− =
b) 43 )3( zxy− =
v) )532(4 2 +−⋅− xxx =
g) )354()27( 2 +−⋅+ aaa =
3. Pretstavi go kako polinom vo normalen vid, proizvodot:
a) =⋅ 5,95,10
b) 22 )53( xx + =
v) =− 2)32( ca
4. Od monomite: 33 ;4;2 xyxyxy −−− i xy7
a) sostavi polinom -
b) svedi go vo normalen vid -
v) odredi go stepenot na polinomot po )(y -
g) odredi go sprotivniot polinom -
5. Presmetaj ja tretata strana na triagolnikot, ako perimetarot e ba 340 − , a dvete strani
se ba 317 + i ab 311 − .
76
6. Izvr{i gi nazna~enite operacii:
a) )3(2 25 abba −⋅− =
b) )21()4( 2235 xayx −⋅− =
v) )3()52( xx +⋅− =
g) )212(4 32 −+−− xxx =
7. Pretstavi go proizvodot vo normalen vid:
a) =+⋅− )53()35( xyyx
b) =− 2)53( ba
v) =284
8. Izvr{i gi nazna~enite operacii:
a) =+− 32325344
23:)639( pcpcpcpc
b) =++ )1(:)1( 7 xx
9. Razlo`i go polinomot na prosti mno`iteli:
a) 222443
313
312
95 yxyxyx −+ ; b) )8)(2(4)2( 22 xyayxa +−+ ; v) ybyaybxa 2222 −−− .
10. Doka`i go identitetot:
))(()()( 222222 yxbabxaybyax −−=+−+
77
TEST - 7 1. Izvr{i gi nazna~enite operacii:
a) =+− xyxyyxyx 4:)163224( 5245 b) =+−−+− )32(:)674( 223 yyyyy 2. Razlo`i go polinomot na prosti mno`iteli:
a) =−+ 33245
105
411
212 bababa
b) =−+− )(18)(9 32 bayxbax
v) bybxayax 3232 +++ =
3. Doka`i deka ravenstvoto e to~no:
22)432()12()2( 22322 −=+−−⋅−+− xxxxxxxx .
4. Od monomite: yx32 ; 222 yx− ; 3xy+ ; yx34−
a) sostavi polinom -
b) svedi go vo normalen vid -
v) odredi go stepenot na polinomot po )(xy -
g) odredi go sprotivniot polinom -
5. Zbirot 2073 +x denari e podelen na tri lica, taka {to liceto A dobilo 531 +x denari,
liceto B dobilo 520 −x denari, a tretoto lice go dobilo ostatokot. Po kolku denari dobile licata A, B i C.
78
6. Izvr{i gi nazna~enite operacii:
a) )3(:24 243 yxyx =
b) 33 )43( xy− =
v) )534(2 2 +−⋅− xxax =
g) )23()458( 223 xxxx −⋅+− =
7. Pretstavi go kako polinom vo normalen vid, proizvodot:
a) =⋅1624
b) =+ 2)121( a
v) =− 2)32( yx
8. Izvr{i gi nazna~enite operacii:
a) =+− 2356 4:)42,56( aaaa
b) =−− )1(:)1( 9 xx
9. Razlo`i go polinomot na prosti mno`iteli:
a) =+ 2534 86,1 yaxa b) =+++− )(3)(12 yxabyxa v) =−−+ pxpxp 22 2
10. Doka`i deka ravenstvoto e to~no:
4245232 6)613(6)
3142(3 ccccccc =+−−+− .
103
TEST - 1 1. Neka ABCDE e pravilen petagolnik. Negovite vnatre{ni agli se __________,
nadvore{nite agli se __________, a centralnite agli se __________.
2. Proizvolen pravilen n – agolnik ima _______________ oski na simetrija. 3. Dve figuri koi imaat ednakvi plo{tini se vikaat ___________________________________ 4. [ irinata (R - r) na eden kru`en prsten e 1 cm, a negovata plo{tina e 5π cm 2
. Radiusite na
dvete koncentri~ni kru`nici se ____________________________________________________
5. Dali postoi pravilen n – agolnik so nadvore{en agol 37O
?
Odgovor: ___________________________ , bidej}i ______________________________________ 6. Obratnata na Pitagorinata teorema glasi: __________________________________________
___________________________________________________________________________________
104
7. Konstruiraj otse~ka so dol`ina 13 , ako e dadena edini~na dol`ina 1. 8. Presmetaj ja plo{tinata na eden triagolnik, ako dve negovi strani imaat dol`ini 3 cm i
6 cm, a agolot me|u niv e 60O
.
Odgovor: _________________________________ 9. Daden e krug so centar vo O i radius 6 cm. Presmetaj go radiusot na krug so centar vo
istata to~ka O, takov {to, plo{tinata na kru`niot prsten e 8 pati pogolema od plo{ti-nata na toj krug.
Odgovor: _________________________________ 10. Konstruiraj pravoagolen triagolnik ABC so prav agol vo to~kata C, ako se poznati ot-
se~kite c1 i c2
na koi visinata spu{tena od praviot agol ja razdeluva hipotenuzata.
105
TEST - 2 1. Neka ABCDEF e pravilen {estagolnik so centar vo to~kata O. Goleminata na agolot BAD
e ____________________________________ .
2. Neka aglite na eden tetiven ~etiriagolnik se 60O, 80O, 100O, 120O
. Toga{ eden mo`en
posledovatelen redosled na goleminite na negovite agli e ____________________________
3. Perimetarot na eden deltoid iznesuva 30 cm, a radiusot na vpi{anata kru`nica e 1,5 cm.
Plo{tinata na deltoidot e _________________________________________________________
4. Dol`inata na kru`en lak {to odgovara na centralen agol α i radius r e ednakva na _____
___________________________________________________________________________________
5. Plo{tinata na pravilen {estagolnik so strana 2 cm iznesuva _________________________ 6. Da se presmeta plo{tinata na eden triagolnik ako se poznati dol`inite na negovite
strani: a=10cm, b=15cm i c=12cm.
Re{enie:
106
7. Dve kru`nici so radiusi 6 cm i 10 cm se dopiraat odnadvor. Presmetaj ja dol`inata na nivnata zaedni~ka tangenta, {to e zaklu~ena me|u to~kite na dopir.
Odgovor: _________________________________ 8. Edna kru`na sala so dijametar 15 m pokriena e so parket. Dimenziite na edno par~e par-
ket se 4 cm × 22 cm. Kolku takvi par~iwa pribli`no se potrebni za pokrivawe na salata? Odgovor: _________________________________ 9. Vo dadenata kru`nica vpi{i deltoid, a potoa vo deltoidot vpi{i kru`nica. 10. Tri strani na eden tangenten ~etiriagolnik imaat dol`ini 12cm, 14cm i 16cm. Odredi gi
site mo`ni vrednosti na dol`inite na ~etvrtata strana. Odgovor: _________________________________
107
TEST - 3 1. Site periferni agli vo edna kru`nica {to se nad ist kru`en lak se ___________________ 2. Zbirot na site nadvore{ni agli vo eden konveksen n – agolnik iznesuva ________________ 3. Kako }e se promeni plo{tinata na eden triagolnik, ako negovata osnova se namali 6
pati, a visinata se nagolemi 2 pati. Odgovor : _____________________________________________________________________________ 4. Kako }e se promeni plo{tinata na eden krug ako negoviot radius se zgolemi 3 pati? Odgovor : _____________________________________________________________________________ 5. Visinata na eden ramnostran triagolnik so strana 4 cm iznesuva ______________________ 6. Plo{tinata na triagolnik so strani a, b i c e dadena so __________________________ , kade
___________________________________________________________________________________
108
7. Dve kru`nici so radiusi 6 cm i 8 cm se se~at, pri {to tangentata na ednata kru`nica vo edna od prese~nite to~ki minuva niz centarot na drugata kru`nica. Presmetaj go rastoja-nieto me|u centrite na dvete kru`nici.
Odgovor: _________________________________ 8. Presmetaj ja plo{tinata na eden deltoid, ako dvete pomali strani zafa}aat agol od 60O
i imaat dol`ina 3 cm, a podolgata dijagonala ima dol`ina 8 cm.
Odgovor: _________________________________ 9. Od kru`en lak od edna kru`nica so radius 20 cm {to odgovara na centralen agol od 72O
napravena e kru`nica. Kolkava e plo{tinata na taka dobienata kru`nica?
Odgovor: _________________________________ 10. ^etiri agli na eden petagolnik se ednakvi na 110O, 111O, 112O, 113O
. Najdi go pettiot agol na petagolnikot.
Odgovor: _________________________________
109
TEST - 4 1. Neka radiusite na OA i OB na kru`nicata k (O,r) zafa}aat agol α. Toga{ agolot pome|u
tangentite ta i tb
na kru`nicata k vo to~kite A i B e __________________________________
2. Pravilen mnoguagolnik e takov mnoguagolnik na koj __________________________________
___________________________________________________________________________________
3. Plo{tinata na eden ramnokrak trapez so normalni dijagonali so dol`ini 8 cm iznesuva
___________________________________________________________________________________
4. Dol`inata na kru`en lak iznesuva 4,5 cm, a radiusot na kru`nicata e 6 cm. Plo{tinata
na soodvetniot kru`en ise~ok e _____________________________________________________
5. Eden pravilen n – agolnik ima neparen broj oski na simetrija. Dali toj e centralno
simetri~en? Odgovor: _____________________________________________________________________________ 6. Nabroj gi vidovite dijagrami koi gi poznava{:
___________________________________________________________________________________
110
7. Neka triagolnikot ABC e pravoagolen so prav agol vo temeto C. Nad stranite AB, BC i CA od nadvore{nata strana na triagolnikot nacrtani se polukrugovi so dijametri AB, BC i CA. Doka`i deka PAB = PAC + PBC, kade PAB
e plo{tina na polukrugot so dijametar AB itn.
8. Najdi ja plo{tinata na eden paralelogram so strani 6 cm i 2 cm, ako agolot me|u osnovite
e ednakov na 60O
.
Odgovor: _________________________________ 9. Plo{tinata na kru`en ise~ok {to odgovara na centralen agol od 130O e 25 cm2
. Presme-taj go radiusot na kru`nicata.
Odgovor: _________________________________ 10. Neka ABCDE e pravilen petagolnik. Presmetaj gi aglite na triagolnikot ACD. Odgovor: _________________________________
111
TEST - 5 1. Centralen agol {to odgovara na
85
od kru`nicata iznesuva ___________________________
2. Neka dol`inite na stranite na eden ~etiriagolnik se 6 cm, 7 cm, 9 cm i 4 cm. Toga{ eden
mo`en posledovatelen redosled na dol`inite na negovite strani e _______________________
3. Radiusot na vpi{anata kru`nica vo pravilen {estagolnik so strana 6 cm iznesuva
___________________________________________________________________________________
4. Kako }e se promeni dol`inata na eden kru`en lak, ako centralniot agol se namali 9 pa-
ti, a radiusot se zgolemi 3 pati? Odgovor: _____________________________________________________________________________ 5. Dijagonalata na eden pravoagolnik iznesuva 10 cm, a ednata strana e dolga 8 cm. Drugata
strana ima dol`ina ________________________________________________________________
6. Dva od aglite na eden tetiven ~etiriagolnik se ednakvi na 55 O i 45 O
. Najdi gi ostanatite dva agla na ~etiriagolnikot.
Odgovor: ____________________________________________________________________________
112
7. Presmetaj ja plo{tinata na eden pravoagolnik ako edna negova strana ima dol`ina 21 cm, a dijagonalata ima dol`ina 29 cm.
Odgovor: _________________________________ 8. Dol`inata na edna kru`nica e za 5 cm podolga od nejziniot dijametar. Presmetaj ja plo{-
tinata na krugot. Odgovor: _________________________________ 9. Najdi go vkupniot broj dijagonali vo konveksen mnoguagolnik so: a) 7 strani, b) 9 strani. Odgovor: _________________________________ 10. Eden zemjodelec posadil 3 dekari so lozje, 2 dekari so praski i 2,5 dekari so kajsii.
Pretstavi go toa so sektoren dijagram.
113
TEST - 6 1. Goleminata na eden centralen agol e 146O
. Soodvetniot periferen agol e ______________
2. Brojot na site dijagonali vo eden n – agolnik iznesuva ________________________________ 3. Plo{tinata na ramnostran triagolnik so strana 4 cm iznesuva ________________________ 4. Ako dol`inata na kru`en lak e l, a soodvetniot centralen agol e α, toga{ radiusot na
kru`nicata iznesuva ______________________________
5. Dijagonalite na eden romb imaat dol`ini 6 cm i 8 cm. Stranata na rombot iznesuva
__________________________
6. Plo{tinata na eden mnoguagolnik so perimetar L, vo koj mo`e da se vpi{e kru`nica so
radius r, e ednakva na _______________________________________________________________
114
7. Presmetaj ja plo{tinata na ramnokrak trapez so osnovi 2 cm i 10 cm, a krakot ima dol`i-na 5 cm.
Odgovor: _________________________________ 8. Eden kai{ povrzuva tri kruga so centri vo to~kite A, B i C so radius 1 cm. Presmetaj ja
dol`inata na kai{ot ako se znae deka AB = 3 cm, BC = 4 cm i CA = 5 cm. Odgovor: _________________________________ 9. Vo deltoid eden od vnatre{nite agli obrazuvan od neednakvi strani e 40O
. Odredi gi dru-gite agli, ako deltoidot e tetiven.
Odgovor: _________________________________ 10. Tri posledovatelni strani na eden tangenten ~etiriagolnik imaat dol`ini 5 cm, 10 cm, 8
cm. Najdi ja dol`inata na ~etvrtata strana. Odgovor: _________________________________
133
TEST - 1
1. Mno`estvo R od podredenite parovi na relacijata R, go vikame _______________________ 2. Нека е дадено множеството М={1,2,3,4} и во него е зададена релација R на следниот начин:
(x,y)∈R ако и само ако |x−y|≤1. Apretstavi ja ovaa relacija so graf.
Re{enie:
3. Razmerite 24 : 6 i 16 : x se ednakvi za x = _____________________________________________ 4. Daden e grafikot na funkcijata { })6,3)(4,2();2,1();0,0();2,1( −−=f . Nejziniot analiti~ki zapis e: =)(xf _______________________________ 5. Popolni ja tablicata vo koja x i y se obratnoproporcionalni veli~ini:
x 2 3 6
y 12 4
6. Presmetaj ja geometriskata sredina za broevite 8 i 18. Re{enie: Odgovor: Geometriskata sredina e brojot ____________ . 7. Dadeno e mno`estvoto { }5,3,1A = . Zapi{i go so graf i tabelarno mno`estvoto A2
.
Odgovor: a) b)
{=2A
134
8. Presekot na dijagonalite na kvadratot le`i vo koordinatniot po~etok. Temeto A ima koordi-nati (-4,-4). Opredeli gi koordinatite na osta-natite tri temiwa na kvadratot.
9. Vo eden den dvi`eweto na temperaturata na vozduhot bilo zapi{ano so sledniov grafik.
~as 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
temp. O C
Koristej}i go grafikot popolni ja tablicata, a potoa opredeli ja najniskata i najvisoka-ta temperatura na denot:
Odgovor: Тemperaturata bila najvisoka vo _______ ~asot, a najniska vo _______ ~asot. 10. Masata na `elezoto od 120 m3 e 93,6 g. Kolkava e masata na `elezoto od 20 cm3
?
Re{enie: Odgovor: Masata na `elezoto od 20 cm3 e ________ g.
135
TEST - 2
1. Mno`estvoto od podredenite parovi na koi prvata komponenta e od mno`estvoto A, a
vtorata od B se vika __________________ na mno`estvoto A i B i se ozna~uva so _________.
2. Vrednostite na apscisata i ordinatata na edna to~ka so edno ime se vikaat _____________
na to~kata.
3. Izrazi ja so formula zavisnosta me|u stranite i perimetarot na kvadrat. Odgovor: 4. Kolku treba da iznesuva h vo ravenstvoto 3 : h = 6 : 8, za ravenstvoto da bide proporcija. Odgovor: h=_________ 5. Popolni ja tablicata vo koja x i y se pravoproporcionalni veli~ini so koeficient na
proporcionalnost 12=k . Odgovor:
x 2 3 4
y
6. Opredeli go procentot na sol vo rastvor, ako vo 5 kg rastvor ima 250 g sol. Re{enie: Odgovor: Vo rastvorot ima _________% sol. 7. Vo mno`estvoto { NxA ∈= x i }13<x zadadena e relacijata { A),(R ∈= xyx i y A∈ i
}12=⋅ yx . Пretstavi ja relacijata tabelarno. Re{enie: Odgovor: a) R = ______________________________________________________________
b) Relacijata R e ____________________________________________________
136
8. Vodostojot na rekata od 1 do 6 juni se menuva spored dadenata tablica. Nacrtaj go grafi-kot na vodostojot na rekata vo ovoj vremenski period.
Datum 1 2 3 4 5 6
Vodostoj 4 0 -2 -3 -5 -6
9. Veli~inite x i y vo dadenata tablica se obratnoproporcionalni. Odredi go koefici-
entot na proporcionalnosta, a potoa popolni ja tablicata. Odgovor: a) ______=k ; b)
x 8 4 1 0,5
y 5 20 21
10. ^etiri traktori mo`at da izoraat edna niva za 12 dena. Za kolku dena istata niva }e ja
izoraat 6 traktori so ista mo}nost. Re{enie: Re{enie: [ este traktori }e ja izoraat nivata za __________ dena.
137
TEST - 3
1. Mno`estvoto AA× se vika________________________________ i se ozna~uva so __________. 2. Kako od grafot na edna relacija se utvrduva deka taa e simetri~na? Odgovor: _____________________________________________________________________________ 3. Нека grafikot na funkcijata e { })7,5(),6,4(),5,3(),4,2(),3,1(),2,0=f . Zapi{i ja funkcijata
analiti~ki. Odgovor: =)(xf
4. So formulata 3=xy
iska`ana e _______________________ proporcionalnost me|u veli~i-
nata x i y so koeficient na proporcionalnosta ______=k ____. 5. Popolni ja tablicata vo koja veli~inite x i y se vo obratna proporcionalnost.
x 1 3 9
y 18 6 1
6. Konstruiraj go grafikot na prvata proporcionalnost xy 2−= . Re{enie:
x
y
138
7. Grafikot na edna funkcija e { })6,3(),4,2(),1,1(),0,0(),0,3(),4,2(),1,1( −−−=f . Pretstavi ja grafi~ki funkcijata. Re{enie:
x
y
8. Opredeli ja vrednosta m vo proporcijata 2:149:)3( =+m . Re{enie: Odgovor: m = ____________ 9. Na slikata grafi~ki e pretstavena zavisnosta na vremeto t i brzinata v na telo koe se
dvi`i od mestoto A do mestoto B. So pomo{ na grafikot opredeli so koja brzina }e se dvi`i teloto na patot od A do B, ako mu e potrebno vreme od: a) 1 ~as; b) 2 ~asa; v) 4 ~asa; g) 8 ~asa.
Odgovor: a)________km,
b)________km,
v)________km,
g)________km
10. Eden patnik za 11 ~asa }e pomine 55 km. Kolku km pat, patnikot }e pomine za 9 ~asa, ako
se dvi`i so ista brzina? Re{enie: Odgovor: Za 9 ~asa }e pomine ________ km.
139
TEST - 4
1. Zapi{i gi site podredeni parovi ~ija{to prva komponenta mu pripa|a na mno`estvoto
{ }8,5,2A = , a vtorata na mno`estvoto { }ba,B = . Odgovor: 2. Vo grafot docrtaj dve strelki za relacijata da
bide relacija za podreduvawe. 3. Dopolni ja re~enicata za tvrdeweto da bide to~no. Za edna relacija R od mno`estvoto A
kon mno`estvoto B velime deka e preslikuvawe (funkcija), ako ________________________
___________________________________________________________________________________
4. Od broevite 3, 5, 9 i 15 sostavi edna proporcija. Odgovor:
5. So formulata x
y 6= opredlena e ________________________ proporcionalnost so koefi-
cient na proporcionalnost _________=k 6. Vo edno oddelenie imalo 30 u~enici, od koi 6 bile odli~ni. Izrazi go brojot na drugite
u~enici vo procent. Re{enie: Odgovor: Procentot na drugite u~enici bil_________%. 7. Funkcijata f e zadadena so mno`estvoto parovi, { })3,2(),2,1(),1,0(),0,1(),1,2(),2,3(),1,4( −−−− .
Opredeli: a) definiciona oblast (mno`estvo) i b) mno`estvo na vrednosti
Odgovor: a) {=D b) {=V
140
8. Dadena e funkcijata R,2 ∈+−= xxy . Popolni ja tablicata i nacrtaj go nejziniot grafik. Re{enie:
x -2 -1 0 1 2
y
9. Opredeli dali se pravoproporcionalni veli~inite dadeni vo tabelata, a potoa opredeli
go koeficientot na proporcionalnost ako go ima.
x 3 -4 -3 2,5 -6,1
y 9 -12 -9 7,5 -18,3
Odgovor: a) Veli~inite se: _______________ ; b) Koeficient na proporcionalnosta e ________=k . 10. Edna rabota 72 rabotnika }e ja zavr{at za 45 dena. Za kolku dena istata rabota }e ja zavr-{at 60 rabotnici? Re{enie: Odgovor: 60 rabotnici rabotata }e ja zavr{at za ___________ dena.
141
TEST - 5
1. Dadeno e mno`estvo { })6,5)(5,4)(4,3)(3,2)(2,1(BA =× . Zapi{i gi na tabelaren na~in
mno`estvata: {=A {=B 2. To~kata A (-3,-2) le`i vo _____________________ kvadrat od koordinatnata ramnina. 3. Od mno`estvoto A kon mno`estvoto B so graf zadadena e funkcijata f Od grafot odredi: _______)1( =f ; _____)3( =f __; _____)4( =f ___ Odgovor: _______)1( =f ; _____)3( =f __; _____)4( =f ___ 4. Funkcijata f zadadena e so mno`estvo poredeni parovi { })5,2(),4,1(),2,1(),0,3(),2,5( −−−− . Pretstavi ja funkcijata so tablica:
x
y
5. Pravata proporcionalnost na veli~inite x i y dadena e so podredenite parovi (2,8);
(3,12); (4,16); (6,24). Odredi go koeficientot na proporcionalnost? Odgovor: _______=k
142
6. Konstruiraj go grafot na obratna proporcionalnost x
y 8= .
X -1 -2 -4 -8 1 2 4 8
Y
7. Vo mno`estvoto M = {A,B,V,G,D,\ ,E} e zadadena relaci-
jata R, “.... e sestra na ....”. a) relacijata pretstavi ja na tabelaren na~in R =________________________________________ b) zapi{i go mno`estvoto na mомчиња
=A ________________________________________
8. Vo edno u~ili{te brojot na u~enici ~lenovi na grupite, mladi matemati~ari, mladi fi-
zi~ari i mladi biolozi se odnesuva kako 5 : 4 : 2 soodvetno, a nivniot vkupen broj e 55. Opredeli go brojot na ~lenovite vo sekoja grupa:
Re{enie: Odgovor: matemati~ari: ________; fizi~ari: ________ ; biolozi: ________ . 9. Se znae deka veli~inite x i y se obratnoproporcionalni.
a) Пopolni ja slednava tabela.
x 1 2 4 8 -1 -2 -4
y -2
b) Нapi{i ja formulata {to ja izrazuva proporcionalnosta me|u veli~inite x i y .
___________________________________)( =xf
10. 32 rabotnika mo`at da asfaltiraat edna ulica za 12 dena. Brojot na rabotnicite se
zgolemil za 16. Za kolku dena }e bide zavr{ena istata rabota? Re{enie: Odgovor: Rabotata }e bide zavr{ena za _________ dena.
143
SODR@INA
TEMA I - VEKTORI. TRANSLACIJA
1. PRAVEC I NASOKA. NASO^ENA OTSE^KA – VEKTOR ....................................................................................... 5 2. EDNAKVOST NA VEKTORI .................................................................................................................................... 7 3. SOBIRAWE NA VEKTORI. SVOJSTVA ................................................................................................................. 9 4. ODZEMAWE NA VEKTORI. MNO@EWE NA VEKTORI SO BROJ ...................................................................... 11 5. TRANSLACIJA ...................................................................................................................................................... 13 6. SVOJSTVA NA TRANSLACIJATA ........................................................................................................................ 15 7. PRIMENA NA TRANSLACIJA .............................................................................................................................. 17 TEST 1 ............................................................................................................................................................................ 19 TEST 2 ............................................................................................................................................................................ 21 TEST 3 ............................................................................................................................................................................ 23 TEST 4 ............................................................................................................................................................................ 25 TEST 5 ............................................................................................................................................................................ 27
TEMA II – STEPENI. KVADRATEN KOREN
1. POIM ZA STEPEN SO POKAZATEL PRIRODEN BROJ ..................................................................................... 29 2. MNO@EWE I DELEWE NA STEPENI SO EDNAKVI OSNOVI. STEPENUVAWE NA PROIZVOD. KOLI^NIK I STEPEN .................................................................................. 31 3. POIM ZA KVADRAT NA RACIONALEN BROJ. POIM ZA KVADRATEN KOREN OD RACIONALEN BROJ ................................................................................... 33
4. PRESMETUVAWE KVADRATEN KOREN OD RACIONALEN BROJ ..................................................................... 35 5. POIM ZA IRACIONALEN BROJ ......................................................................................................................... 35 6. REALNI BROEVI .................................................................................................................................................. 35 7. PRETSTAVUVAWE NA REALNITE BROEVI NA BROJNA OSKA ....................................................................... 35 TEST 1 ............................................................................................................................................................................ 37 TEST 2 ............................................................................................................................................................................ 38 TEST 3 ............................................................................................................................................................................ 39 TEST 4 ............................................................................................................................................................................ 40 TEST 5 ............................................................................................................................................................................ 41 TEST 6 ............................................................................................................................................................................ 42
TEMA III – POLINOMI
1. ALGEBARSKI IZRAZ.BROJNA VREDNOST NA IZRAZ (BROJNI IZRAZI. IZRAZI SO PROMENLIVI) ................................................................................................ 43
2. POIM ZA MONOM. SLI^NI I SPROTIVNI MONOMI .................................................................................... 45 3. BINOM. TRINOM. POLINOM .............................................................................................................................. 47 4. STEPEN NA MONOMOT I POLINOMOT ............................................................................................................. 47 5. SOBIRAWE I ODZEMAWE NA MONOMI ........................................................................................................... 49 6. SPROTIVNI POLINOMI. OSLOBODUVAWE OD ZAGRADI ............................................................................ 49 7. SOBIRAWE I ODZEMAWE NA POLINOMI ....................................................................................................... 51 8. MNO@EWE I DELEWE NA MONOMI .................................................................................................................. 53 9. STEPENUVAWE NA MONOMI .............................................................................................................................. 53 10. MNO@EWE NA POLINOM SO MONOM ............................................................................................................... 53 11. MNO@EWE NA POLINOMI ................................................................................................................................ 55 12. FORMULI ZA SKRATENO MNO@EWE ................................................................................................................ 57 13. DELEWE NA POLINOM SO MONOM ................................................................................................................... 59 14. DELEWE NA POLINOM SO POLINOM ............................................................................................................... 59 15. VIDOVI RACIONALNI IZRAZI ......................................................................................................................... 61 16. RAZLO@UVAWE NA POLINOMITE NA PROSTI MNO@ITELI ...................................................................... 63
144
TEST 1 ............................................................................................................................................................................ 65 TEST 2 ............................................................................................................................................................................ 67 TEST 3 ............................................................................................................................................................................ 69 TEST 4 ............................................................................................................................................................................ 71 TEST 5 ............................................................................................................................................................................ 73 TEST 6 ............................................................................................................................................................................ 75 TEST 7 ............................................................................................................................................................................ 77
TEMA IV – KRU@NICA I MNOGUAGOLNIK. PLO[ TINA
1. CENTRALEN AGOL. SVOJSTVA ............................................................................................................................ 79 2. PERIFEREN AGOL. TALESOVA TEOREMA ......................................................................................................... 80 3. KONSTRUKCIJA NA TANGENTA NA KRU@NICA ............................................................................................... 81 4. TETIVEN ^ETIRIAGOLNIK ................................................................................................................................ 82 5. TANGENTEN ^ETIRIAGOLNIK ........................................................................................................................... 83 6. OP[ TO ZA MNOGUAGOLNIKOT .......................................................................................................................... 84 7. PRAVILNI MNOGUAGOLNICI ............................................................................................................................ 85 8. OPI[ ANA I VPI[ ANA KRU@NICA .................................................................................................................. 86 9. KONSTRUKCIJA NA NEKOI PRAVILNI MNOGUAGOLNICI ........................................................................... 87 10. PITAGOROVA TEOREMA ....................................................................................................................................... 88 11. PRIMENA NA PITAGOROVA TEOREMA .............................................................................................................. 89 12. KONSTRUKCIJA NA TO^KI NA BROJNATA OSKA
KOI ODGOVARAAT NA BROEVITE 2 , 3 , 5 , .. ......................................................................................... 90 13. POIM ZA PLO[ TINA............................................................................................................................................ 91 14. PLO[ TINA NA PRAVOAGOLNIK ......................................................................................................................... 92 15. PLO[ TINA NA PARALELOGRAM ......................................................................................................................... 93 16. PLO[ TINA NA TRIAGOLNIK .............................................................................................................................. 94 17. PLO[ TINA NA TRAPEZ ........................................................................................................................................ 95 18. PLO[ TINA NA DELTOID ..................................................................................................................................... 96 19. PLO[ TINA NA PRAVILEN MNOGUAGOLNIK .................................................................................................... 97 20. DOL@INA NA KRU@NICA .................................................................................................................................... 98 21. DOL@INA NA KRU@EN LAK ................................................................................................................................. 99 22. PLO[ TINA NA KRUG ........................................................................................................................................... 100 23. PLO[ TINA NA KRU@EN ISE^OK I KRU@EN PRSTEN ................................................................................. 101 24. DIJAGRAMI .......................................................................................................................................................... 102 TEST 1 .......................................................................................................................................................................... 103 TEST 2 .......................................................................................................................................................................... 105 TEST 3 .......................................................................................................................................................................... 107 TEST 4 .......................................................................................................................................................................... 109 TEST 5 .......................................................................................................................................................................... 111 TEST 6 .......................................................................................................................................................................... 113
TEMA V – FUNKCIJA. PROPORCIONALNOST
1. DEKARTOV PROIZVOD NA MNO@ESTVA ........................................................................................................ 115 2. PRAVOAGOLEN KOORDINATIVEN SISTEM ................................................................................................... 117 3. RELACIJA ............................................................................................................................................................ 119 4. FUNKCIJA ........................................................................................................................................................... 120 5. ZADAVAWE NA FUNKCII .................................................................................................................................. 121 6. RAZMER. PROPORCIJA. PRODOL@ENA PROPORCIJA ................................................................................ 123 7. PRAVA PRAPORCIONALNOST .......................................................................................................................... 125 8. OBRATNA PROPORCIONALNOST .................................................................................................................... 127 9. PROSTO TROJNO PRAVILO .............................................................................................................................. 129 10. RABOTA SO PODATOCI ..................................................................................................................................... 131 TEST 1 .......................................................................................................................................................................... 133 TEST 2 .......................................................................................................................................................................... 135 TEST 3 .......................................................................................................................................................................... 137 TEST 4 .......................................................................................................................................................................... 139 TEST 5 .......................................................................................................................................................................... 141