razones trigonométricas de un triángulo rectángulo€¦ · sea abc un triangulo rectangulo...

Guía de Matemáticas.

Breve resumen teórico.Teacher: Samuel Munoz

Razones trigonométricas de un triángulo rectángulo: Las razones trigonométricas de un triángulo rectángulo son las siguientes funciones:

La función seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente.

Todas ellas pueden entenderse como relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo.

Veamos las expresiones de cada una de ellas referidas a los ángulos α y β del triángulo rectángulo aquí representado:

a) Para el ángulo α:

b) Para el ángulo β:

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Valores del seno, coseno y tangente para ciertos ángulos significativos (en grados y radianes)

Significado geométrico de las razones trigonométricas.Se cuenta con una circunferencia que tiene por radio la unidad. Para dicha circunferencia es posible dar un sentido muy intuitivo a todas las razones trigonométricas. Vamos a verlo mediante el siguiente dibujo.





Resolución de triángulos: Teoremas del seno y del coseno

fin resumen!exito con la guia!!

Regla de Oro!!

Estudiante es aquel que estudia antes





Resuelva los siguientes ejercicios

1.- El triangulo ADC es un triangulo rectangulo, con angulo 90 grados en el vertice D. Hallar la altura (x) de las torres, y las distancias de y y z.

Respuesta:

---------





2.- Hallar la altura de la montaña.

xRespuesta:Rehacemos el dibujo y de él extraeremos dos ecuaciones, cada una de ellas perteneciente a un triángulo rectángulo (el CBB y el ACC)́





3.- Calcula el valor de los lados x e y, aplicando el Teorema del seno.

Respuesta:Sustituimos los valores dados en la

expresión del teorema del seno:

4.- Calcula el valor de y (las longitudes están expresadas en m)

Respuesta:

Aplicamos el teorema del coseno: a2 =b2 +c2 −2⋅b⋅c⋅cosA

5.- Calcular “X”





Respuesta:

Tenemos dos triángulos. De cada uno de ellos obtendremos una ecuación trigonométrica.

6.- Calcular x e y:

Respuesta:

Aplicamos la relación tgθ = (b/a) a los dos triángulos rectángulos, obteniendo el siguiente sistema

de ecuaciones:





7.- Calcula la altura de un árbol que a una distancia de 10 m se ve bajo un ángulo de 30 grados.

Respuesta:La altura, y, del árbol la deducimos de la relación siguiente:

8.- Calcular las relaciones trigonométricas seno,coseno y tangente para los ángulos del siguiente triángulo.

Respuesta:





9.- Sea ABC un triangulo rectangulo siendo D un lado del segmento AB.Determine el valor de x en funcin de “a” y “c”.

Respuesta:

10.- Sea ABC un triangulo equilatero de lado 2m y AD es perpendicular a BC. determine el valor del segmento AD.

Respuesta:Luego BD = DC= 1m. Además cada angulo interior mide 60 grados

tambien se puede obtener por el teorema de pitagoras.





11.- Una chimenea tiene 30m de altura mas que otra. Un observador que esta a 100m de distancia de la mas baja, observa las cuspides de ellas en una misma direccion con un angulo de elvacion de 30 grados. Determinar las alturas de las chimeneas y distancias entre ellas.

Respuesta:

12.- Una Escalera de 13.8m de longitud se apoya en un muro, formando un angulo de 60 grados. Si la parte superior de la escalera coincide con la parte suerior del muro, determinar la altura de este y la distancia entre el pie de la escalera y el muro.

Respuesta:





13.- Desde el punto medio de la distancia entre los pies de dos torres, se observan sus extremos con angulos de elevacion de 30 grados y 60 grados. Demostrar que la altura de las torres es igual al triple de la otra.

Respuesta:





14.- Un automovil parte de un lugar A y recorre 30km en direccion norte. Luego se dirige a un lugar B situado en la direccion noeste, recorriendo 20km y formando un angulo de inclinacion de 30 grados. ¿Que distancia hay entre A y B?

Respuesta:





15.- Un avion que pasa 60m sobre la azotea de un edificio de 40m de altura desciende 200m hatsa tocar tierra en un lugar A. ¿con que angulo descendio? ¿que distancia hay enre la base del edificion y el lugar A?

Respuesta:





16.- Una valla cuyo perímetro tiene forma triangular mide 20 metros en su lado mayor, 6 metros en otro y 60grados en el ángulo que forman entre ambos. Calcular cuánto mide el perímetro de la valla.

Respuesta:

17.- Tres amigos se sitúan en un campo de fútbol. Entre Alberto y Berto hay 25 metros, y entre Berto y Camilo, 12 metros. El ángulo formado en la esquina de Camilo es de 20grados. Calcula la distancia entre Alberto y Camilo.

18. Los lados de un triángulo forman un ángulo de 80grados con la base. Si el triángulo tiene 30 centímetros de base, calcula la longitud de sus lados.





Respuesta:

19.- Desde lo alto de un globo se observa un pueblo A con un ángulo de 50grados, y otro B, situado al otro lado y en línea recta, con un ángulo de 60grados. Sabiendo que el globo se encuentra a una distancia de 6 kilómetros del pueblo A y a 4 del pueblo B, calcula la distancia entre los pueblos A y B.

Respuesta:El ángulo debajo del globo es de 110o porque si trazáramos una perpendicular desde el globo al suelo, a la izquierda tendríamos 50grados y a la derecha 60grados (por cierto, también nos podrían preguntar la altura a la que está el globo; usaríamos entonces el teorema de la altura).Aquí tendremos que usar el teorema del coseno, porque el ángulo que conocemos es el que forman los dos lados de los cuales tenemos su longitud.

d2 = 62 + 42 - 2·6·4·cos 110

d2 = 52 – 48·(-0,34)

d2 = 52 + 16,32d = 8,27Km





20.- En los siguientes triángulos, halla los lados y ángulos restantes:

Respuesta a:

Respuesta b.-





Respuesta c:

Respuesta d:





21.- El vector resultante de dos vectores tiene 10 unidades de longitud y forma un ángulo de 35° con uno de los vectores componentes, el cual tiene 12 unidades de longitud. Encontrar la magnitud del otro vector y el ángulo entre ellos.

Respuesta:Eligiendo el triángulo OQP se obtiene el esquema:

Como se conoce dos lados del triángulo OPQ y el ángulo comprendido entre ellos, es posible aplicar el teorema del coseno para determinar el valor de F2 , es decir :





22.- Calcular el ángulo entre dos vectores de 8 y 10 unidades de longitud, cuando su resultante forma un ángulo de 50° con el vector mayor. Calcular la magnitud del vector resultante.

Respuesta:





Ejercicios 23-29

6-d, 7-b,8-b,9-b 23.-De acuerdo con la figura anterior, la componente x de la fuerza resultante es: (d)a) 873,181N b) 819,808N c) 634,752N d) 801,873N

-----

24.- De acuerdo con la figura anterior, la componente y de la fuerza resultante es: (b)

a) 873,181N b) 467,824N c) 526,912N d) 634,523N

-----

25. Según la figura anterior ,el módulo de la fuerza resultante es: (b)

a) 9284 N b) 928,364N c) 861,926N d) 861926,56 N

----

29.- De acuerdo con la figura no1, la dirección de la fuerza resultante es: (b)

a) θ = -30,3g b) θ=30,3g c) θ=59,7g d)θ = 120,3g





Ejercicios 30-33

19-a 20- a 21-b 22-b

30.- De acuerdo con la figura anterior, la componente X de la fuerza resultante es: (a)

a) - 535,996 N b) - 663,874 N c) - 698,556 N d) - 724,528 N

-----

31. De acuerdo con la figura anteror, la componente Y de la fuerza resultante es: (a)

a) 590,828 N b) 768,649N c) 1311,571N d) 1676,755 N --------

32.- La magnitud de la fuerza resultante del sistema de la figura anterior es: (b)

a) 490,628 N b) 768,649N c) 797,727N d) 636369,016 N ------

33.- La dirección de la resultante del sistema de fuerzas de la figura anterior es: (b)

a)39,628g b)42,649g c)47,785g d) 56,369g

------





34.-

Respuesta:

35.- Hallar las distancias AC y BC

Respuesta:





36.- Hallar la distancia c = AB

Respuesta:

37.- Un barco A envía un S.O.S. y las señales son recibidas por dos estaciones de radio B y C,que distan entre sí 80 km. La visual que va desde la estación B al barco forma un ángulo de80º con la visual que va de la estación B a la C y la visual que va desde la estación C al barcoforma un ángulo de 70º con la visual que va de la estación C a la B. ¿ A qué distancia de cadaestación se encuentra el barco?

Respuesta:





38.- Calcula la distancia d = AC:

Respuesta:

39.-Transformar de radianes a grados decimales los siguientes valores

1π/5 rad a grados =

2π/5 rad =

3π/10 rad.





40.- Transformar de grados decimales a radianes los siguientes valores

135º a radianes =

210º a radianes =

316° a radianes =

10° a radianes =





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