Un rectángulo cuyos lados están en una proporción igual a la razón áurea es llamado un rectángulo áureo. Este es un rectángulo muy especial como veremos. Los griegos lo consideraban de particular belleza y lo utilizaron asiduamente en su arquitectura. Al parecer a la mayoría de las personas también les parece más agradable a la vista un rectángulo con esas proporciones entre sus lados.

El rectángulo áureo tiene una propiedad muy interesante. A partir de él podemos obtener una infinidad de nuevos rectángulos áureos.

La Espiral dorada (denominada también espiral áurea) es una espiral logarítmica asociada a las propiedades geométricas del rectángulo dorado.1 La razón de crecimiento es Φ, es decir la razón dorada.2 Aparece esta espiral representada en diversas figuras de la naturaleza (plantas, galaxias espirales, ), así como en el arte.

Es fácil construir un rectángulo áureo a partir de un segmento de recta inicial, trazarle la mediatriz, formar un cuadrado a partir del segmento y luego hacer una circunferencia con radio el tramo que va desde el punto medio del segmento hasta el vértice superior derecho.

La Proporción Aurea, también conocida como Razón Aurea, Proporción Divina, Número Dorado, etc. es aquella que cumple que la relación entre el sector mayor y el sector menor es igual a la relación entre la suma de las partes y la mayor de ellas. O sea: Vale aproximadamente ocho quintos.

· Esta relación numérica posee importantes propiedades matemáticas, fue estudiada por Leonardo da Vinci, Luca Paccioli, Robin Cook, Johannes Kepler y Pitágoras entre otros. · Se dice que esta proporción es la esencia de la belleza, que aquellas figuras que poseen la proporción aurea nos resultan las más bellas de todas las formas, podemos apreciarla en la naturaleza por ej. en los caparazones de ciertos moluscos: También se encuentra en el cuerpo humano, en las personas de mayor atractivo.

Una espiral de Fibonacci se aproxima a la espiral dorada; cuando se inscribe en cuadrados cuyos lados responden a la sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 y 34.

La primera referencia a la proporción áurea que se conoce la hace Euclides. En su obra los Elementos se refiere a la división de un segmento en lo que él denomina su media y su extrema razón del siguiente modo:

"Se dice que un segmento está dividido en media y extrema razón cuando el segmento total es a la parte mayor como la parte mayor es a la menor"

El valor de esta razón se conoce también como número de oro y suele representarse con la letra griega Φ (se lee Fi), en honor al escultor griego Fidias, que lo tuvo presente en sus obras.

La proporción áurea puede expresarse de esta manera: Un segmento se dice que está dividido en su razón extrema y media cuando el total del segmento es a la parte mayor como la parte mayor a la menor. (Euclides)

Así podemos obtener el número áureo:

El hecho de que el proceso de obtención de rectángulos áureos es infinito sugiere que el número áureo es inconmensurable, es decir, que el número áureo es irracional.

Puesto que el lado de un pentágono regular y su diagonal están en proporción áurea y el pentágono y el pentagrama fueron los símbolos de los pitagóricos cabe la posibilidad de que se conociera que la diagonal de un pentágono y su lado son inconmensurables. Siendo éstos los primeros inconmensurables conocidos. Sin embargo, la primera demostración de la inconmensurabilidad de dos segmentos de la que tenemos constancia corresponde al lado y diagonal de un cuadrado (Euclides).

Seguramente Euclides jamás pudo imaginar que esa división de un segmento, que definía únicamente para propósitos geométricos, llegaría a alcanzar tanta relevancia en la historia de la

humanidad. Tal era la atracción que ejercía que Luca Pacioli, matemático italiano del siglo XV, la denominó divina proporción.

Podemos encontrarla en múltiples situaciones, que van de las artes a las ciencias, apareciendo como canon de belleza o ligada al crecimiento de especies vegetales o animales o, incluso, en la estructura de las galaxias. Esta proporción ha fascinado no solamente a muchos grandes matemáticos a lo largo de la historia, sino también a biólogos, artistas, músicos, historiadores, arquitectos, psicólogos e incluso místicos.

Para hacer el rectángulo ÁUREO dibujamos un cuadrado. Sobre este cuadrado marcamos el punto medio de uno de los lados. A continuación trazamos un arco de circunferencia cuyo radio sea desde este punto medio, hasta el vértice superior tratando de encontrar la prolongación del lado inferior.

Éste va a ser el primer vértice de nuestro rectángulo áureo. El segundo lo obtenemos trazando paralelas a los lados del cuadrado. A partir de ahora obtener rectángulos áureos es fácil, basta con trazar solo sobre el lado más largo del rectángulo anterior un cuadrado, y así obtendríamos nuestro segundo rectángulo áureo.

Si sobre este nuevo rectángulo áureo, trazamos otro cuadrado, cuyo lado sea la longitud del lado mayor del rectángulo, obtendremos un tercer rectángulo áureo. Estos rectángulos tienen una

propiedad interesante: si unimos mediante arcos de circunferencias los vértices consecutivos de los cuadrados, obtendremos una curva especial que se llama espiral de Durero.

Durero fue uno de los artistas del Renacimiento alemán más importantes de la época. Fue conocido en todo el mundo por sus pinturas, dibujos, grabados y escritos teóricos sobre arte, que ejercieron una profunda influencia en los artistas y matemáticos (debido a su famosa espiral) del siglo XV.

Podemos ver que el rectángulo ABDF y el rectángulo CDFH son semejantes y que CDFH se ha rotado un cuarto de vuelta.

Entonces

Llamaremos O al punto de intersección.

Ahora podemos considerar la recta OC:

Puesto que

Entonces OC biseca el ángulo recto BOD

Análogamente

O está en la recta CG. Lo mismo para AE y entonces

Estas cuatro rectas, perpendiculares a pares, contienen todos los vértices de todos los infinitos rectángulos áureos. Cada pareja es la bisectriz de la otra pareja de rectas.

Cuando dividimos un rectángulo áureo en un cuadrado y otro rectángulo este nuevo rectángulo es semejante al inicial y es, también, un rectángulo áureo. Podemos repetir este proceso

indefinidamente y obtendremos una sucesión de rectángulos.

Existe un punto especial que llamamos O

Para obtener el siguiente rectángulo a partir de uno inicial podemos considerar la transformación que es un producto (composición) de una dilatación de centro O

y una rotación (un cuarto de vuelta en sentido horario o negativo en torno a O)

Esta transformación es una rotación dilatativa.

El número áureo es la relación o proporción que guardan entre sí dos segmentos de rectas. Fue descubierto en la antigüedad, y puede encontrarse no solo en figuras geométricas, sino también en la naturaleza. A menudo se le atribuye un carácter estético especial a los objetos que contienen este número, y es posible encontrar esta relación en diversas obras de la arquitectura u el arteEl descubrimiento de este número se atribuye a la escuela Pitagórica, de hecho los pitagóricos utilizaban como símbolo la estrella de cinco puntas, en la que aparecen distintas razones áureas.

Es fácil encontrar distintas proporciones áureas en diversas figuras. Este número aparece repetidamente en el mundo que nos rodea, como elemento de diseño en construcciones

arquitectónicas tan antiguas como la pirámide de Keops, o en distintos seres vivos, tanto en el reino vegetal (flores, semillas,...) como en el reino animal (estrellas de mar, caracolas que crecen en función de relaciones áureas,...) Leonardo da Vinci en su "Esquema de las proporciones del cuerpo humano" señala distintas relaciones áureas que existen en el ser humano.

FI (j) Este número recibe su nombre del escultor Fidias (siglo V adC, autor del friso y del frontis del Partenón), quien utilizó ampliamente sus propiedades en su destacada obra artística.

El primero en hacer un estudio formal sobre el número áureo fue Euclides, unos tres siglos antes de Cristo, en su obra Los Elementos. Euclides definió su valor diciendo que "una línea recta está dividida en el extremo y su proporcional cuando la línea entera es al segmento mayor como el mayor es al menor."

Se divide un segmento cualquiera en dos partes de forma que la razón entre la totalidad del segmento y una parte (la mayor) sea igual a la razón entre esta parte y la otra (la menor).

Matemáticamente, siendo las partes a y b:

Esta razón, que cumple la propiedad, es denominada razón áurea. Se puede obtener este número a partir de la expresión anterior:

Se puede despejar a utilizando la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado, teniendo en cuenta que a > 0 y b > 0, o en otras palabras, tomando su valor positivo:

Dividiendo todo por b se obtiene:

. El valor de esta relación es un número que, como también demostró Euclides, no puede ser descrito como la razón de dos números enteros (es decir, es irracional y posee infinitos decimales) cuyo su valor aproximado es 1,6180339887498...

Sucesión de Fibonacci

En matemática, la sucesión de Fibonacci es la siguiente sucesión infinita de números naturales:

La sucesión inicia con 0 y 1, y a partir de ahí cada elemento es la suma de los dos anteriores.

A cada elemento de esta sucesión se le llama número de Fibonacci. Esta sucesión fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci. Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemáticas y teoría de juegos. También aparece en configuraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas de los árboles, en la disposición de las hojas en el tallo, en la flora de la alcachofa y en el arreglo de un cono.

Historia

Antes de que Fibonacci escribiera su trabajo, la sucesión de los números de Fibonacci había sido descubierta por matemáticos indios tales como Pingala (200 a.c.), Gopala (antes de 1135) y Hemachandra (c. 1150), quienes habían investigado los patrones rítmicos que se formaban con sílabas o notas de uno o dos pulsos. El número de tales ritmos (teniendo juntos una cantidad n de pulsos) era fn + 1, que produce explícitamente los números 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, etc.

La sucesión fue descrita por Fibonacci como la solución a un problema de la cría de conejos: conocer el número de conejos (parejas de conejos) que habrá en 12 meses, si estos se reproducen continuamente y cada pareja de conejos produce una nueva pareja de conejos (un macho y una hembra). Cada conejo se puede cruzar a la edad de un mes, siendo su periodo de gestación un mes. Siendo así, se tiene que:

De esta manera Fibonacci presentó la sucesión en su libro Liber Abaci, publicado en 1202. Muchas propiedades de la sucesión de Fibonacci fueron descubiertas por Édouard Lucas, responsable de haberla denominado como se la conoce en la actualidad.Nota: al contar la cantidad de letras distintas en cada mes, se puede saber la cantidad de parejas totales que hay hasta ese mes.

También Kepler describió los números de Fibonacci, y el matemático escocés Robert Simson descubrió en 1753 que la relación entre dos números de Fibonacci sucesivos fn + 1 / fn se acerca a la relación áurea fi cuanto más se acerque a infinito; es más: el cociente de dos términos sucesivos de toda sucesión recurrente de orden dos tiende al mismo límite. Esta serie ha tenido popularidad en el siglo XX especialmente en el ámbito musical, en el que compositores con tanto renombre como Béla Bartók, Olivier Messiaen y Delia Derbyshire la han utilizado para la creación de acordes y de nuevas estructuras de frases musicales.

Propiedades de la sucesión

Los números de Fibonacci aparecen en numerosas aplicaciones de diferentes áreas. Por ejemplo, en modelos de la crianza de conejos o de plantas, al contar el número de cadenas de bits de longitud n que no tienen ceros consecutivos y en una vasta cantidad de contextos diferentes. De hecho, existe una publicación especializada llamada Fibonacci Quarterly dedicada al estudio de la sucesión de Fibonacci y temas afines. Se trata de un tributo a cuán ampliamente los números de Fibonacci aparecen en matemáticas y sus aplicaciones en otras áreas.

TRIÁNGULO ÁUREO Y SUCESIÓN DE TRIÁNGULOS ÁUREOS:Consideremos uno de los clásicos triángulos áureos. Se trata del triángulo isósceles de ángulos 36º, 72º y 72º que satisface la propiedad $\frac{BC}{AB}= \Phi$. Este triángulo isósceles se conoce con el nombre de triángulo áureo.

Tiene muchas propiedades interesantes. Una de ellas consiste en que al trazar la bisectriz del vértice B, el punto D obtenido sobre el lado Ac da lugar a dos nuevos triángulos isósceles, de los cuales el primero, $\triangle DAB$, tiene ángulos iguales a 36º, 72º y 72º, por lo que es semejante al triángulo inicial $\triangle ABC$ y por ello también se trata de un triángulo áureo.Si nos fijamos en el otro triángulo, $\triangle BCD$, vemos que sus medidas angulares son 108º, 36º y 36º y se puede comprobar que $\frac{BC}{DC}=\Phi$, por lo que también se trata de un triángulo áureo, aunque de características distintas a las del triángulo inicial $\triangle ABC$

Si ahora en el triángulo $\triangle DAB$ trazamos la bisectriz correspondiente al vértice A obtenmos un nuevo punto E sobre el lado DB (ver primera imagen), lo que da lugar a un nuevo triángulo áureo $\triangle DEA$, semejante al inicial. El proceso se puede continuar indefinidamente, obteniéndose cada vez triángulos áureos semejantes al inicial y más pequeños. El factor de semejanza es $\frac{1}{\Phi}$.

Existen muchos mitos acerca de que objetos de uso diario contienen las medidas de un triángulo áurea como el carnet de identidad, una tarjeta de crédito o una cajetilla de tabaco, por eso nosotros en el siguiente espacio lo comprobaremos para así desmentir o afirmar un mito:

CARNET DE IDENTIDAD

Para esta prueba usaremos un carnet de identidad de los antiguos y que aún tienen validez, tal como este:

Sus medidas son de 4.5cm de ancho y 7.84cm de largo y en una representación informática como la siguiente podemos observar que sus medidas no coinciden con un rectángulo aurea.

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También lo podemos demostrar de forma analítica con los siguientes cálculos, la división entre el largo y el ancho es, 7.84/4.5=1,7422222, por tanto no cumple con un rectángulo áureo.

CAJETILLA DE TABACO

También supuestamente una cajetilla de tabaco posee las medidas de un rectángulo áureo

Podemos observar en la siguiente fotografía que esto no es verdad pero sí que es cierto que se parece bastante:

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TARJETA DE CRÉDITO. DNI ELECTRÓNICO

Otro ejemplo es una tarjeta de crédito de circulación legal por España. Sus dimensiones coinciden con las del DNI electrónico ¿podría cumplir las medidas, o No?

Como en los casos anteriores en este tampoco se cumple un rectángulo áureo en su forma. Sus medidas son de 5.1cm de ancho y 8.25cm de largo. 8.25/5.1 =1,61764