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0

11

- 1

992

Rducteurs de vitesse engrenages

par Robert LE BORZECProfesseur de Construction mcanique lcole Nationale Suprieuredes Arts et Mtiers de Lille

1. Rle dun rducteur de vitesse ............................................................ B 5 640 - 3

2. Rducteurs lmentaires ....................................................................... 52.1 Rducteur engrenage cylindrique extrieur........................................... 52.2 Rducteur engrenage cylindrique intrieur............................................ 82.3 Rducteur engrenage conique ................................................................ 92.4 Rducteur engrenage spatial................................................................... 11

3. Rducteurs lmentaires drivs ........................................................ 113.1 Rducteur roue intermdiaire (ou roue parasite) ............................... 113.2 Rducteur coaxial arbre intermdiaire ................................................... 123.3 Rducteur picyclodal plan lmentaire .................................................. 133.4 Rducteur picyclodal sphrique lmentaire......................................... 17

4. Discussion et analyse des caractristiques des engrenagescylindriques ............................................................................................... 18

5. Groupement en srie de rducteurs lmentaires ......................... 19

6. Groupement en parallle de rducteurs lmentaires .................. 24utorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie mcanique B 5 640 1

ans cet article, les units des dimensions linaires ne sont pas indiquesmais, sauf mention contraire, sont en millimtres.

Le lecteur se reportera utilement larticle Engrenages. lments pratiquesde dfinition, de dessin et de calcul [B 636] dans ce trait.

7. Groupements composs mixtes .......................................................... 287.1 Trains picyclodaux en srie ..................................................................... 287.2 Trains picyclodaux gnraliss ............................................................... 297.3 Groupements imbriqus ............................................................................. 317.4 Rducteurs grand rapport de rduction ................................................. 34

8. Conclusion ................................................................................................. 35

Pour en savoir plus........................................................................................... Doc. B 5 642

D

RDUCTEURS DE VITESSE ENGRENAGES __________________________________________________________________________________________________

TouteB 5 640 2

Notations et Symboles

Symbole Dfinition Symbole Dfinition

B0 Bti rfrentiel dV 1m, dV 2m Diamtres primitifs de lengrenage cylindriqueCm , Cs Couples ct moteur et ct sortie quivalent au coniqueC1 , C2 Couples exercs sur le pignon(1), sur la roue (2) im , ir Rapport global de multiplication ou de rduction

Cr Coefficient de rapport de transmission k Rapport intermdiaire de transmissionen cylindrique m n , m n0 Modules rels de fonctionnement et de fabricationCoefficient de rapport en cylindrique quivalent m t , m t0 Modules apparents de fonctionnementau conique et de fabrication

Ea Module dlasticit longitudinal de lacier m , m0 Modules de fonctionnement et de fabricationFn , F t , Fa , Fr Actions mcaniques entre dentures (normale, en denture droite

tangentielle, axiale, radiale) rb Rayon du cylindre de baseF tm Composante tangentielle entre dentures u Rapport de multiplication ou de rduction

au diamtre moyen en conique dun engrenageGV Grande vitesse vt Vitesse linaire tangentielle

Hh , H Dure probable du mcanisme v12 Vitesse de glissement de (1) sur (2)KB Coefficient de service x1 , x2 , x3 Coefficients de dport de denture

KGF , KGH Coefficient gnral de calcul en flexion xij Axe concidant entre les pices i et jet en pre

KLi CoefficieKS CoefficieKVi Coefficie

Nm0 , Ns0 Vitesses (en tr/mi

Oij Point coPV Petite vitP PuissancR0 Longueu

S lat Surface lVol Volume m

Z1 , Z2 , Z3 NombresZ1 v Nombre

Nombres dentureet au con

a0 Entraxe db Longueu

d1 , d 2 , d 3 Diamtred 01 , d 02 , d 03 Diamtre

da Diamtred b Diamtredf Diamtre

d1m, d2m Diamtre

C*r

Z *1 , Z *2 reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie mcanique

ssion superficielle n , n0 Angles de pression rels en fonctionnementnt dencombrement linaire et au taillagent spcial de calcul t , t0 Angles de pression apparents en fonctionnementnt de volume et au taillageangulaires de moteur et de sortie , 0 Angles de pression en fonctionnement et au taillagen) en denture droitencidant entre les pices i et j , 0 Angles dhlice aux primitifs de fonctionnementesse et de taillagee transmise b Angle dhlice sur le cylindre de baser de gnratrice dun engrenage conique 1 , 2 Angles primitifs de cnesatrale dune roue dente Rapport de conduite apparente

atire de lengrenage Rapport de recouvrement ou de conduite axiale de dents des roues (1), (2), (3) Rendement dun mcanismede dents valu du pignon Rapport de base dun train picyclodal de dents fictifs de lengrenage cylindrique 1 , 2 , eq Rayons de courbure sur (1), sur (2) et quivalent droite quivalent au cylindrique hlicodal en modle de Hertzique denture droite ou spirale 0 Angle des axesun engrenage 0 Critre de rsistance la racine

r de denture F lim Contrainte limite en fatigue la flexions primitifs de fonctionnement H lim Contrainte limite en fatigue la pressions primitifs de taillage superficielle de tte H Contrainte maximale en pression superficielle, de base modle de Hertz de pied Coefficient de longueur dun pignons primitifs moyens en coniques m0 , s0 Vitesses angulaires de moteur et de sortie

0 Critre de rsistance superficielle

_________________________________________________________________________________________________ RDUCTEURS DE VITESSE ENGRENAGES


1. Rle dun rducteurde vitesse

Une transmission de puissance est installe entre un moteur etune machine commander.

Un moteur vitesse de fonctionnement unique et couple nominalunique est utilis, dans la majorit des cas, quil soit lectrique,thermique, hydraulique ou pneumatique, car cest la solution co-nomiquement acceptable. Ces deux caractristiques voluent entredeux valeurs voisines : vitesse en charge (Nm0 Nm0), couple encharge (Cm Cm), les variations acceptes se situant entre 2 %et 10 % suivant le type de moteur et le rendement nergtiquesouhait.

La machine commander fonctionne en gnral vitesse et couple uniques dits caractristiques dutilisation : (Ns0 Ns0),(Cs Cs), avec des variations de lordre de 2 % 20 %.

Il est donc ncessaire dadapter les caractristiques du moteur celles de la machine et pour cela llment dadaptation entremoteur et machine est un rducteur de vitesse ou un multiplica-teur de vitesse de rapport i constant. Il se nomme aussi rducteurde couple ou multiplicateur de couple de rapport constant i avec,si lon admet un rendement unit :

rducteur ir = |Nm0|/|Ns0| = |Cs|/|Cm| = Cte ir > 1

multiplicateur im = |Ns0|/|Nm0 | = |Cm|/|Cs| = Cte im > 1

Le rducteur et le multiplicateur tant deux mcanismes rci-proques, seul le rducteur sera tudi par la suite.

Diffrents types de transmissions existent : mcaniques, hydrau-liques, pneumatiques, lectriques, etc. Parmi les transmissionsmcaniques, on rencontre les roues de friction, les poulies etcourroies, les roues dentes et chanes et les engrenages, utilisablessuivant les critres de fonctionnement impodans ce trait).

Lengrenage est la solution la plus rpand il assure une scurit cinmatique, car il

de glissement ; la rsistance aux efforts est trs imp

bonne fiabilit ; la puissance transmise par unit de m

obtenue parmi toutes les solutions : avec plusnage ralis avec des aciers de cmentation,il est possible dvaluer le rapport du covitesse PV) en rducteur de vitesse la masvaleurs de lordre de 15 40 N m/ kg ;

lencombrement est trs rduit ; le rendement mcanique est trs voisi

dune bonne fabrication ( = 0,96 0,99) ; le prix est trs variable suivant la prc

en gnral lev.

Le cahier des charges dun rducteur doit tla puissance transmettre ntant quun lLe rapport de transmission apparat soit cinvitesse dentre et la vitesse de sortie, soicouple dentre et le couple de sortie et le

gomtrie impose est dcrire : axes parallles, axes concourantsperpendiculaires ou dangle quelconque, axes orthogonaux, axesconcentriques ou position quelconque. Lenvironnement est carac-triser tant au point de vue chimique quau point de vue physique.Fiabilit, scurit, maintenance sont prciser. Le maintien delappareil est dfinir : maintien rigide par semelle lie au bti, lieau moteur ou monte articule ou flottante sur laxe du moteur oulaxe li au bti.

Dans une premire partie, les rducteurs lmentaires seronttudis en dtail. Le rducteur lmentaire ou train dengrenage estlensemble de base nomm engrenage compos dun pignon (petiteroue), dune roue (grande roue dente) et dun carter ou bti. Suivantla gomtrie des axes, il sagit :

de lengrenage cylindrique extrieur en gomtrie de paral-llisme ;

de lengrenage cylindrique intrieur en gomtrie de paral-llisme ;

de lengrenage conique en gomtrie de concourance desaxes ;

de lengrenage spatial (cylindrique, roue et vis, hypode, etc.)en gomtrie quelconque.

Ensuite seront prsents les rducteurs lmentaires drivs : uneou plusieurs roues dentes intermdiaires ou un arbre intermdiaireinterviennent pour complter les rducteurs lmentaires dans le butdobtenir une gomtrie particulire (entraxe important en go-

De nombreux constructeurs proposent leurs gammes defabrication assorties des conditions de montage, de rglage etdentretien [Doc. 5 642]. Si lon ne trouve pas cependant en cata-logue la transmission souhaite, une tude particuliresimpose dont les principaux lments sont proposs dans cetarticle.utorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie mcanique B 5 640 3

ss (articles spcialiss

ue : ne peut pas se produire

ortante avec une trs

asse est la plus forte de prcision, en engre- trempe et rectification,uple de sortie (petitese de lensemble des

n de lunit dans le cas

ision demande, il est

re tabli avec prcision,ment parmi les autres.matiquement avec la

t statiquement avec le rendement espr. La

mtrie parallle, gomtrie de concentricit, etc.) ou une cinma-tique choisie (rapport entier, sens de rotation, etc.) :

utilisation dune roue intermdiaire ou roue parasite en cylin-drique extrieur ;

utilisation dune ou plusieurs roues intermdiaires en cylin-drique intrieur ;

utilisation dun arbre intermdiaire en rducteur coaxial ; utilisation de roues et arbres intermdiaires en train pi-

cyclodal cylindrique ou conique.

Enfin, les solutions prcdentes ne permettant pas de dpasserdes rapports de transmission de 8 20 et imposant des encombre-ments importants et des masses trs leves, des groupements derducteurs lmentaires interviendront :

groupement en srie pour obtenir des rapports importants(jusqu 6 000 8 000) ;

groupement en parallle pour rduire lencombrement, levolume et la masse ;

groupement compos associant lobtention de rapports impor-tants et une rduction des dimensions et des volumes.

Le tableau 1 regroupe lensemble des caractristiques principalesde ces diffrentes familles.

(0)


TouteB 5 640 4

Tableau 1 Rducteurs et multiplicateurs de vitesse caractristiques

Rducteurs lmentaires

Engrenage extrieur : Engrenage intrieur : Engrenage conique : Engrenage spatial :vitesses de sens contraire vitesses de mme sens

u jusqu 100 200 rduit = 0,95 0,5

= 0,98 0,96 = 0,98 0,96 = 0,98 0,95

Rducteurs lmentaires drivs

Engrenages extrieurs avintermdiaire :

a0 peut tre importantvitesses de mme sens

Gr

rapport

nombre de trains n de 2

rendement = 0,96 0,9

u 6 8u 6 8 u 6 8vt 100 150 m/s vt 10 25 m/s vt 10 25 m/s

i 6 000 8 000 reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie mcanique

ec roue Arbre intermdiaire daxe x i : Train picyclodal cylindrique : Train picyclodal sphrique :

gomtrie de concentricit axe x i in termdia i re avecsatellite (s)

engrenages coniques et axe(s) x i intermdiaire(s)

Groupements de rducteurs lmentaires

oupements en srie Groupement en parallle

Gomtrie de paralllisme

Gomtrie de concentricit

= 0,96 0,98

Groupements composs

Gomtrie dangularitGomtrie de concentricit

Gomtrie de concentricit

nombre de trains n = 2 5

= 0,98 0,92

Gomtrie dangularitet de concentricit

Gomtrie de perpendicularitet de concentricit

nombre de trains n = 2 5

6 = 0,98 0,900

i 8 12

i 5 000 10 000

i 5 000 10 000



2. Rducteurs lmentaires

Les rducteurs lmentaires sont les lments de base les plussimples forms dun engrenage unique (pignon et roue) avec lesguidages et le maintien de contact assurs par un carter ; ils sontcaractriss par leur gomtrie et leur cinmatique (figure

1

) :

avec

a

0

entraxe linaire,

0

position angulaire,

lindice 0 signifiant simplement : par rapport au rfrentiel :

2.1 Rducteur engrenage cylindrique extrieur

tude gnrale des caractristiques pteur

. Le rducteur engrenage cylindriqu

convient une

gomtrie de paralllisme elarbre de sortie

:

0

= 0 et

a

0

=

Cte

Les sens des rotations

N

m0

et

N

s0

sont o

Les surfaces primitives ou axodes sont desde diamtres

d

1

et

d

2

tangents extrieurememalise, profil ISO en hlicodes dvelopparente en dveloppante de cercle (article

Engre

droite ou denture hlicodale.

Les caractristiques de dfinitions demodule

m

n0

, langle dhlice

0

, les nombre

coefficients de dports de dentures

x

1

et

x

2

,

et lentraxe a0. Ces lments sont dtermindes charges comprenant essentiellement la pP (kW) ou le couple de sortie en petite vitesvitesses nominales (Nm0 ) et (Ns0 Ns0), le cet la dure espre de fonctionnement H (h

Le comportement, en rsistance des matriaux, est gr par lesdeux relations ISO pour la rsistance en pression superficielle, dfi-nie dans ltude dynamique de larticle Engrenages [B 636] :

et pour la rsistance la rupture la racine, dfinies dans ltudedynamique de larticle Engrenages [B 636] :

Ces relations, trop complexes en avant-projet, peuvent scriresous forme simplifie :

(1)

avec (2)

Figure 1 Rducteur lmentaire : gomtrie

O10, x 10( ), O20, x20( ) a0, 0( )=

10 10 x 10=

20 20 x20=

rapport i 10 /20=

ZH ZE Z Z Ftbd1------------ u 1+

u--------------- KAKVKHKH

1/2

H lim ZN ZLZR ZV ZW

Ftbmn0----------------- YFaYSaYY KAKV KFKF( ) F lim YST YNTY rel T YR rel T YX

Ft 0bd1u

u 1+--------------- Z P

2 Z V2

K KV KB----------------------------

0H lim( )2

Z E2 Z H

2 Z 2 Z

2----------------------------------------=

1utorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie mcanique B 5 640 5

rincipales du rduc-e extrieur (figure 2)

ntre larbre dentre et

pposs.

cylindres de rvolutionnt. La denture est nor-bles, de section appa-nages [B 636]), denture

lengrenage sont les de dents Z1 et Z2 , lesla longueur de roues b

,

er en fonction du cahieruissance transmettre

se (PV) :

C

s

(N m), les

oefficient de service

K

B

).

et

(3)

avec

(4)

Y

=

Y

rel T

Y

R rel T

Y

X

avec

F

t

(N) composante tangentielle transmise,

b

(mm) longueur de roues dentes,

m

n0

(mm) module normal de taillage,

d

1

(mm) diamtre primitif de fonctionnement du pignon,

u

rapport de rduction :

u

=

N

10

/

N

20

=

d

2

/

d

1

,

K

V

facteur dynamique de vitesse,

K

B

facteur de service correspondant ou (

K

A

/

Y

NT

),

K

facteur de rpartition des charges sur les dents,correspondant (

K

H

K

H

) ou (

K

F

K

F

),

Z

V

facteur de film dhuile,

Z

P

facteur de rugosit correspondant (

Z

L

Z

R

Z

W

),

les diffrents facteurs

Z

E

,

Z

H

,

Z

,

Z

et

Y

ST

,

Y

relT

,

Y

R relT

,

Y

X

,

Y

Sa

,

Y

Fa

,

Y

,

Y

tant tous dfinis dans larticle

Engrenages

[B 636].

et cinmatique

Figure 2 Rducteur engrenage cylindrique extrieur

Ft 0bmn0 KKV KB----------------------------0

F lim YSTYYSaYFaYY------------------------------------=

KA /Z N2( )


TouteB 5 640 6

Il faut remarquer que les deux quations de rsistance (1) et (3)font intervenir les dimensions b, d1 et mn0 ainsi que le nombre dedents du pignon Z1 tel que d1 = mZ1.

Lquation (3) caractrise le risque de ruine par cassure de dentset lquation (1) caractrise un risque dcaillage superficiel ou depiqres. Dans le but dviter des dommages importants dus unecassure de dents, il est prfrable dobtenir un caillage superficielgnrateur de bruit avant datteindre la cassure la racine, ce quipermet dcrire :

aboutissant :

(5)

Cette inquation limitera le choix du nombre de dents envisagerpour le pignon. Il ne reste plus, en prdtermination, quelinquation (1) de rsistance la pression superficielle dans laquellela composante tangentielle F peut tre remplace par 2C /davec C1 (en N mm) couplepignon :

Deux dimensions intervide calculer b si lon conna

Dans le cas gnral dunsions nest connue mais, lment, le pignon, il est ptions entre b et d1 ; ce seb = d1 .

Ainsi, une seule inconnuedtermin par linquation

est de lordre de 1, varutiliss et le type de constvitesses, matriaux de haumatriaux de faible rsistanlavant-projet peut se dro

Un choix de matriauxune dcision sur la prcisio(droite ou oblique) permrsistance 0 et 0 .

Les valeurs des contraincielle et F lim en flexion de larticle Engrenages [B 6

Lvaluation de fait i

ZE tant le facteur dlastic

ZH tant le facteur gomtrique (article Engrenages [B 636]) ; il estpossible dvaluer b # 0 , angle dhlice dfini partir du choix durapport de recouvrement : = 1 ou 2 ou 3 (entier si possible) :

avec b = d1et d1 = m t Z1

soit tan 0 = / Z1. Il faut simposer une valeur de (voisin de 1)et une valeur de Z1 (20 40).

t langle apparent de fonctionnement est, en gnral, suprieur 20o : 21 22o en denture droite et 21 25o en denture hlicodale ;

en denture droite ;

en denture hlicodale, pour des dentures trs charges (contraintes

0bd1u

u 1+---------------

Z P2 Z V

2

K KV KB------------------------------ 0bmn0

1K KV KB------------------------------ 0 et

Les dports de dentures caractriss parsont choisis, dune part, pour assurer un engun entraxe donn a0 et, dautre part, pour qen glissements relatifs (article Engrenages [Bdusure, soit en rapport de glissement aux exconduite apparente.

Les lments danalyse (article Engrenagela fabrication :

mn0 , 0 , n0 = 20omn0 = m t0 cos 0tan n0 = tan t0 cos tan b = tan 0 cos t0

lentraxe a0 tant fix :

On rappelle que inv = tan .

Lquilibrage des produits dusure (H v12)mits du segment de conduite apparente sela vitesse de glissement est proportionnellede contact par rapport au centre instantanEngrenages [B 636]) :

(v12)A = 12 |IA| (v12)B =

La pression superficielle est proportionnelle linverse du rayonquivalent (1/eq)1/2, ce rayon quivalent en relation de Hertz tantdfini par :

(article Engrenages [B 636]) qui, exprim en A ou en B, devient :

(10)

Il est souhaitable que lon obtienne les deux tests t gaux (ce quicorrespond galiser les glissements relatifs maximaux) :

Ce calcul impose lanalyse de la conduite apparente pour x1 et x2fixs, donc un bouclage ou un calcul itratif, le calcul direct de x1et x2 , ntant pas possible.

m t2a0

Z1 Z 2+( )--------------------------- et mt tcos m t0= =

x1 x2+( ) inv t inv t0( )Z(

2 t-------=

1eq( ) M

------------------

12----- bcosT1M---------------------

bcosT2M

---------------------+ T1M T2M+( ) bcos2 T1M( ) T2M( )----------------------------------------------------------= =T1T2( ) bcos

2 T1M( ) T2M( )-----------------------------------------=

eq( )A2 T1A( ) T2A( )T1T2( ) bcos----------------------------------------= et eq( )B

2 T1B( ) T2B( )T1T2( ) bcos----------------------------------------=

tA IA/ eq( )A1/2 et tB IB/ eq( ) B

1/2= = moins de 5 % prs

utorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie mcanique

B 5 640

7

l de fabrication ; gn-dents pour un matriel

qui reprsente le casau choix de cet entraxeents :cid ; il se situe dans

2

m

n0

)

(8)

1

et

x

2

seront adapts

ts

x

1

et

x

2

, partir des

B 636] et lentraxe sera

x

2

> 0).

les coefficients

x

1

et x2rnement sans jeu pour

uilibrer la denture soit 636] ), soit en produits

trmits du segment de

s [B 636]) sont issus de

0

(9)

A = (H v12)B aux extr- simplifie aisment car la position du point de rotation I (article

12 |IB|

Il ne reste plus qu adapter la longueur de roues dentes b toutes les autres caractristiques. Le diamtre de fonctionnementest calculable : d1 = m t Z 1 , et la composante tangentielle vautF t = 2C1/d1.

Le critre de rsistance superficielle 0 peut tre actualis puisque t et b sont connus, ainsi que et de fonctionnement(tan b = tan cos t). Il est alors possible de dterminer, partir dela relation (1) :

(11)

Un bouclage sur K (inverse de ) est possible et permet dechoisir la longueur b ; une vrification simpose quant au rapportde recouvrement .

t0cos d o t

1 Z2+ ) n0an

---------------------

Exemple numrique dun rducteur transmettant une puis-sance de 100 kW avec une vitesse motrice N10 = 2 100 tr/min, unevitesse de sortie N20 = 500 tr/min 3 %, un coefficient de serviceKB = 1,4 et une dure H = 40 000 h (la dure tant trs importante, lescoefficients ZN et YNT ont la valeur asymptotique de la courbe deWhler gale 1). Un acier alli de cmentation 20 MC 5 est choisi, ila pour caractristiques : H lim = 1 400 N/mm

2, F lim = 400 N/mm2

qualit ISO 6. Lvaluation des critres de rsistance permet dobtenir, avec une

denture hlicodale :

avec

soit 0 = 12opour = 0,8, Z1 = 20 et = 1

t valu 23o et v = 1,6

avec Y = 1,et (YSa YFa ) correspondant, a priori, Z0 = 30 et x0 = + 0,4 [1] 0 = 12oet = 1,6.

bK------------

Ft KV KB

0d1 Z2/ Z1 Z2+( )[ ]Z P2 Z V2--------------------------------------------------------------------------

C B5

1

01 400 ( ) 2

36 750 5,44 0,625 0,98 ---------------------------------------------------------------------------------------------- 16 N/mm 2 = =

0tan 0,8 20---------------------------=

0400 2,1 1

4,14 0,72 0,9-------------------------------------------------------- 310 N/mm 2 = =


TouteB 5 640 8

2.2 Rducteur eintrieur

La gomtrie est encore larbre de sortie : 0 = 0 et

Les sens de rotation son

Le mme type de denture normalise ISO est utilis mais les sur-faces primitives sont des cylindres de rvolution de diamtre d1et d tangents intrieurement.

Le rapport de rduction vaut u = 2 100/500 = 4,2 et le coefficientde rapport Cr = u /(u + 1) = 0,81 :

do

avec une scurit de 10 20 %, Z1v = 19 22. Avec une vitesse dentre 10 = 220 rd/s, un couple moteur

C1 = 455 N m, lvaluation du diamtre du pignon est telle que :

do d1 = 57,avec le choix de K = 1,25 ; et KV = 1,2.

Le bouclage est possible puisque vt = 6,3 m/s, b # 45 et Z1 # 18,ce qui permet dobtenir :

[1]

K = 1/0,8 = 1,25do d1 = 56.

Les dcisions suivanteset d1v = 56 :

0 = 13o (avec = 0,8m n0 = 3, Z1 = 18, Z2 =

Ltude de ladaptation

t0 = 20,483 m t0 = 3

x1 + x2 = 1,35

avec x1 = 0,600 et x2 = 0 = 1,46.

Il ne reste plus que le

d1 = 56,84 F t = 16 010

et

si K = 1,23, , ce qLes caractristiques de module mn0 = 3 angle dhlice 0 = 13 pignon : Z1 = 18, x1 = roue : Z2 = 77, x2 = + entraxe a0 = 150 mm longueur de denture

Z P2 1 (rectification du pignon et de la roue) et Z V

2 1= =

Z1max310

16 0,81 1 1------------------------------------------------------ 24= =

d 13 2 455 103 1,25 1,2 1,4

16 0,8 0,81 1 1------------------------------------------------------------------------------------------------------=

Z V2 1=

C3 Z V2 /K V 0,88= =

bK--------------

15,4-----------------

b 45

Figure 3 Rducteur engrenage cylindrique intrieur

reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite.

Techniques de lIngnieur, trait Gnie mcanique

ngrenage cylindrique

de paralllisme entre larbre dentre et

a

0

=

Cte

(figure

3

).

t les mmes.

2

Lencombrement gnral est rduit par rapport la solutionprcdente mais le pignon, en gnral, est en porte faux, ce quiinterviendra sur le coefficient de porte des dentures sous forme,par exemple, dun coefficient spcial

K

S

= 0,9.

Les

lments nouveaux,

diffrents de ceux vus prcdemment,sont :

la relation dentraxe :

a

0

= (

d

2

d

1

)/2 =

m

t

(

Z

2

Z

1

)/2

connaissant les caractristiques

0, mn0 , Z1, Z2, x1, x2, a0 ; le coefficient de rapport :

Cr = u /(u 1) avec u = d2 /d1 = Z2/Z1 = N10 /N20

car le contact entre dentures est de nature convexo-concave ; la relation dfinissant les coefficients de dports sous la forme :

(12)

Les caractristiques dimensionnelles de la roue denture int-rieure sont dfinies dans larticle Engrenages [B 636]. La conduitesanalyse sous une forme analogue celle utilise en engrenageextrieur mais T1T2 = IT2 IT1 et les relations relatives aux rayonsde courbure quivalents prennent la forme :

interviennent partir de Z1 v = 19 22

, Z1 choisi = 19 et = 1)77 et Ns0 = 2 100 18/77 = 491 tr/min

(inclus dans 500 15)

a0 = 150 mm

permet de calculer :

,078 9 m t = 3,157 9 t = 24,028 6

7 b = 12,204 = 13,322,757, les dentures sont quilibres avec

calcul de la longueur b, avec :

N

0 = 15,4 N/mm2

ui permet dassurer =1. fabrication du rducteur sont alors :

o

+ 0,6 0,757

b = 45

Z H2 5,26 Z

2 0,68= = Z 2 0,97=

16 010 1,4 56,84

0,81

1

0,88

-------------------------------------------------------------------------------- 36 =

x2 x1( ) inv t inv t0( ) Z2 Z1( )/2 n0tan= avec n0 20o=

a0mn0 Z2 Z1( )

2 0cos--------------------------------------- 0 2 m n0 ( ) +=

m

t

2

a

0

Z

2

Z

1

( )

------------------------=

m

t

t

cos

m

t0

t0

cos

=

1eq( )M

--------------------

12----- bcosT1M---------------------

bcosT2M

--------------------- bcos2--------------------T1T2( )

T1M( ) T2M( )--------------------------------------= =



ceci devenant, en A et en B :

(13)

2.3 Rducteur engrenage

Un rducteur engrenage conique (figursphrique utilis dans le cas dune gomtraxes :

Les surfaces primitives sont des cnes de rvolution de mmesommet, tangents extrieurement (article Engrenages [B 636]) etle rapport de rduction u vaut :

u = N10 /N20 = d2 /d1 = R0 sin 2/R0 sin 1

Exemple numrique : un rducteur de mmes caractristiques queprcdemment peut tre tudi : puissance 100 kW, vitesse dentreN10 = 2 100 tr/min, vitesse de sortie N20 = 500 tr/min 3 %, coeffi-cient de service KB = 1,4, dure probable H = 40 000 h. Le mme typede matriau ne peut pas tre choisi pour la roue denture intrieure carla rectification nest pas possible, do le choix dun acier tremp dansla masse 35 NCD 12 (HV10 = 360) avec H lim = 900 N/mm

2 et, pourle p ignon , un ac ie r 42 CD 4 cment e t rec t ifi avec

F lim = 340 N/mm2, (ou C6) = 0,87, qualit ISO 7.

De mme que prcdemment, avec = 0,8, Z 1 = 25, 0 = 9o, = 1, t = 23o et = 1,5 :

Avec C r = u /(u 1) = 4,2/3,2 = 1,31 :

et Z1 v = 28 32

Avec C3 = 0,86, b = 60,

Les premires dcisions imposent :

= 9o, mn0 = 3, Z1 = 25,

Ns0 = 495,3 tr/min et a0 = 1

Ladaptation suit :

m t0 = 3,037 395 t0 = 20,229 2 mt = 2

t = 23,640 b = 8,453 et x2et ltude dquilibrage de lusure en extrconduite permet dobtenir : x1 = + 0,590, x2 =

Il reste le calcul de la longueur de roues :

d1 = 77,78 Ft = 11 700 N 0

et

b = 60 pour que = 1.

eq( )A2 T1A( ) T2A( )T1T2( ) bcos---------------------------------------= et eq( )B

2 T1B( ) T2B( )T1T2( ) bcos---------------------------------------=

Z P2

0900( )2

36 750 5,5 0,67 0,99 -------------------------------------------------------------------------------------- 6 N/mm 2 = =

0

340 2,1

1

4,14 0,75 0,93

------------------------------------------------------------ 250 N/mm 2 = =

Z1max250

6 1,31 0,87--------------------------------------------------- 36= =

d 13 2 455 103 1,4 1,4

6 0,8 1,31 0,87 0,87 0,9--------------------------------------------------------------------------------------=

C3 Z V2 /KV 0,85 et C B5= =C B5 0,7 1/1,43 (ISO= =

0

bK-----------

11 700 1,4 6 77,78

1,31

0,87

0,85

0

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

O, x 10( ), O, x 20( ) 0,(=

Figure 4 Rducteur engrenage conique


B 5 640

9

conique

e

4

) est un mcanisme

ie de concourance des

donc

u

= sin

2

/sin

1

et

1

+

2

=

0

do lon tire tan

1

= sin

0

/(

u

+ cos

0

)

(14)

Seules les dentures extrieures peuvent tre tailles en rouesconiques, avec pour limite la roue plate : .

Les

relations de rsistance de la denture adoptent toujours lamme forme en assimilant lengrenage conique lengrenagecylindrique quivalent dfini sur les diamtres moyens (articleEngrenages [B 636]) :

dV1m = d1/ cos 1 dV 2m = d2/cos 2Les relations compltes sont donnes dans ltude dynamique

de larticle Engrenages [B 636] ; elles peuvent, l encore, scriresous une forme simplifie :

(15)

avec

(16)

avec

Ces relations correspondent celles vues en engrenage cylin-drique (1) et (3), les lments diffrents tant le coefficient dhomo-thtie de lengrenage conique :

(R0 b)/R0

et le coefficient de rapport qui correspond Cr = u /(u + 1) delengrenage cylindrique devenant :

= u /(u cos 1 + cos 2) (17)

,.

Z2 = 106

26 mm

126/81 = 3,111 11

x1 = 1,078

mits de segment de + 1,668 avec = 1,44.

= 6 N/mm2

--- d o d1 75=

1/1,4, v t 8,3 m/s= = 7) et d 1 75 mm=

,9------- 40,3 et b 58=

0)

2 /2

Ft 0bd1C*rZ P

2 Z V2

K KV KB------------------------------

R0 b( )R0

------------------------

0H lim( )2

Z E2 Z H

2 Z 2 Z

2------------------------------------------=

Ft 0bmn01

K KV KB------------------------------

R0 b( )R0

------------------------

0F lim( )YST YYSaYFa Y Y

-----------------------------------------=

C*r

C*r


TouteB 5 640 10

Le facteur de rpartition des charges K est diffrent ; il est donndans ltude dynamique de larticle Engrenages [B 636]. Enfin, pourque le rayon de raccord constant en pied de dent ne soit pas tropimportant par rapport la hauteur de dent, la longueur b ne doitpas dpasser R0 /3.

Lavant-projet suit un droulement analogue celui dcrit pourlengrenage cylindrique avec, comme diffrences :

le choix du coefficient de longueur b, utilis dans lquation (7) :b = d1 , devient en conique :

donc

une tude cinmatique est ncessaire pour valuer 1 et 2 ,angles intervenant dans la valeur de et dans celle de ;

le coefficient (R0 b )/R0 peut tre estim au minimum 2/3 ;

le coefficient ou C6 est dfini dans ltude dynamique delarticle Engrenages [B 636], le rodage remplaant la rectificationen finition de denture.

Ainsi, nous obtenons les deux relations dvaluation :

Puis les dcisions sont p

Il est habituel de choisir et x2 assurant lgalit derelatifs aux extrmits dulengrenage cylindrique q

ZV 1 = Z1 /cos

avec

1

= arctan [

Z

1

sin

0

/

Le dernier calcul est ce

rsoudre une quation du

comme longueur

b

et dans

devenant :

b2 R0b + K = 0

Lquation a deux racinescurit se situe entre ces infrieure R0 /3. Une expliparadoxal dobtenir deux vation utilise F t en I tel que Fcoefficient (R0 b )/R0 fait autre partie caractrise d

(figure 5). la valeur b , la pfaible et fort alors qupondent im

b R0/3 et d1 # 2R0 1sin

1/ 6 1sin( )

C*r

Z P2

Z1v 0(=

d1v 0--------------=

Ft 0d1C=

d 1mF t 2C1/d 1m=

Exemple numrique : lexemple le plus classique correspond unengrenage conique denture droite car la normalisation est assezprcise et souvent respecte.

Soit les donnes suivantes : P = 80 kW, N10 = 1 460 tr/min,N20 = 500 tr/min 3 %, KB = 1,2 et 0 = 80o.

Ltude cinmatique utilise u = 1 460/500 = 2,92 et 0 = 80o :

tan 1 = sin 80/(2,92 + cos 80)soit 1 = 17,7 et 2 = 62,3puis = 1/(6 sin 17,7) = 0,55et

Un acier de nitruration est choisi : 31 CDV 9, avec rodage, prcisionISO 6 :

H lim = 1 290 N/mm2

F lim = 425 N/mm2 et possible

Do

C*r 2,92/(2,92 cos 17,7 + cos 62,3) = 0,9=

Z P2 1=

01 290 ( ) 2

36 750 6,22 0,75 -------------------------------------------------------------------- 9,7 N/mm 2 = =



(18)

(19)

rendre :

0

,

m

n0

,

Z

1

,

Z

2

,

1

,

2

,

x

1

et

x

2

.

x

1

+

x

2

= 0, les coefficients de dports

x

1

s produits dusure ou des glissements segment de conduite dans ltude deuivalent :

1

Z

V

2

=

Z

2

/ cos

2(Z2 + Z1 cos 0)] et 2 = 0 1.lui de b mais, ici, ce calcul aboutit second degr puisque b apparat en (15) le coefficient [(R0 b )/R0] :

avec (20)

s positives et la longueur adopter endeux valeurs, la plus petite devant trecation rapide simpose car il peut paratreleurs, et de choisir la plus petite. La rela-

t = 2C1/d1 mais, en ralit, une partie duintervenir Ftm au diamtre moyen, une

1m , diamtre moyen correspondant

lus faible, correspondent la valeur b , la plus grande, corres-portant et plus faible.

,8 0,9) 00C *r Z P

2 Z V2

----------------------------------------

2C1K KV KBC *r Z P

2 Z V2 R0 b( )/R0

------------------------------------------------------------------1/3

*rZ P

2 Z V2

K KV KB------------------------------ b

R0 b( )R0

------------------------

KFtR0 K KV KB0d1C *r Z P

2 Z V2

----------------------------------------------=

F t 2C1/d 1m=

d 1m

Le calcul des lments valus donne, avec 10 = 152,9 rd/s etC1 = 523 N m :

et :

do d1 = 90

Avec v t = 6,9 m/s, b = 50, et K = 1,42, lebouclage permet dobtenir d1 = 86, do le choix :

mn0 = 3 Z1 = 31 Z2 = 91 (Ns0 = 497 tr/min)

1 = 17,575 2 = 62,425 ZV 1 = 32,52 ZV 2 = 196,58x1 = + 0,27 x 2 = 0,27 avec = 1,73

d1 = 93 F t = 11 250 N 0 = 9,6 N/mm2 et R0 = 154

b2 154b + 4 115 = 0 b = 35 < 51

Si une denture spirale est utilise pour rduire le bruit et amliorer larsistance, le projet est beaucoup plus dlicat, chaque type de denturespirale ayant sa dfinition propre donc assujettie un calcul particulierdes dimensions (article Engrenages [B 636]).

Un acier de cmentation est choisi 20 MC 5 avec rodage et prcisionISO 6 :

H lim = 1 400 N/mm2 et F lim = 480 N/mm

2

Avec 0 = 30o, = 1,2 (denture hlicodale), t = 22o :

et

0425 2,1 14,12 0,68

--------------------------------------------- 320 N/mm 2 = =

Z1v320

9,7 0,9------------------------------ 0,8 0,9( ) 29 33= =

d1v 2 523 103 1,45 1,2 1,25 39,7 0,55 0,9 1 1 2---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1/ 3

=

C3 Z V2 /KV 0,93= =

01 400 ( ) 2

36 750 5 0,83 0,87 ------------------------------------------------------------------------------- 14,8 N/mm 2 = =

0

400 2,1

4,12 0,88

0,75

------------------------------------------------------------ 310 N/mm 2 = =

Z1v310

14,8 0,9---------------------------------- 0,8 0,9( ) 19 21= =

d 1v3 2 523 103 1,42 1,2 1,25

14,8 0,55 0,9 1 1----------------------------------------------------------------------------------------------------------

32------- d o d1 77= =



2.4 Rducteur engrenage spatial

Cest ici le cas dune gomtrie quelconque dans laquelle lesaxes ne sont ni parallles ni concourants. La seule particularitpossible dans la position :

est celle de lorthogonalit pour laquelle 0Plusieurs solutions sont utilises : lengrenage gauche hlicodal (article E lengrenage globique dans lequel des su

loppent mutuellement et la denture est de pr lengrenage vis sans fin utilisant d

(article Engrenages [B 636]) ; lengrenage hypode dont les surfaces

des cnes de rvolution nayant pas le mmprofils sont particuliers [2] [3].

Dans tous ces cas, le rapport u = Z2 /Z1 peles lments de rsistance des matriaux soet grer, le contact tant en gnral polinique.

Le rendement est aussi, dans de nombrecelui obtenu en engrenage cylindrique et enfabrication est aussi trs dlicate et ne pequelques spcialistes peu nombreux, dans lede puissance.

3. Rducteurs lmentaires drivs

Sans en arriver aux groupements dengrenages simples, il estpossible de constituer des rducteurs de base forms de plus dedeux roues dentes.

3.1 Rducteur roue intermdiaire(ou roue parasite)

Le pignon (1) de diamtre d1 nest pas en contact avec la roue (2)de diamtre d2 (figure 6), lentraxe tant suprieur la demi-sommedes diamtres de ttes :

a0 > (da1 + da2)/2

Une roue intermdiaire (3) de diamtre d 3 engrne avec lepignon (1) en A et avec la roue (2) en B par adaptation des deuxentraxes a13 et a23 . Lengrnement impose, en denture normalise :

Avec v t = 5,9 m/s, b = 42, et K = 1,41, onobtient : d1 = 74, do les dcisions :

0 = 30o(article Engrenages [B 636]) pour un rapport de recouvrement lev :

> 1et m n0 = 4 Z1 = 17 Z2 = 50 Ns0 = 496,4 tr/min

1 = 17,545 2 = 62,455x1 = + 0,3 x2 = 0,3 et = 1,32

Figure 5 Rducteur engrenage conique : c

C 3 Z V2 /KV 0,93= =

O10, x10( ), O20, x20( ) a0, 0( )=


B 5 640

11

=

/2.

ngrenages

[B 636]) ;rfaces toriques senve-ofil trs spcial [2] [3] ;es profils trs varis

pseudo-primitives sonte sommet et dont les

ut tre trs vari maisnt trs dlicats tablirnctuel et quelquefois

ux cas, trs infrieur engrenage conique. Laut tre gre que par cas dune transmission

le mme module

m

n0

, le mme angle dhlice

0

puisque

n0

= 20

o

.Chaque contact extrieur en A et B change le sens de rotation. Onobtient donc, ainsi, un rducteur lmentaire form de roues dentures extrieures dont les vitesses sont de mme sens.

Le prix est rduit par rapport une denture intrieure et la pr-cision est plus grande.

Si les nombres de dents sont

Z

1

,

Z

2

,

Z

3

, le rapport de vitesse vaut :

ce rapport est indpendant de

Z

3

, do le nom de

roue parasite

pourla roue (3).

Le choix des caractristiques de la roue (3)

:

Z

3

,

d

3

paratalatoire. Il nen est rien car la roue (3) tant monte libre sur son axe,les composantes tangentielles en A et en B sont de mme valeur :

|

F

nA

| = |

F

nB

| = 2

C

1

/

db1

hoix de la longueur b

Figure 6 Rducteur roue intermdiaire (ou roue parasite)

uN10N20------------

N10N30------------

N30N20

-------------

Z3Z1---------

Z2Z3

---------

Z2Z1---------= = = =


TouteB 5 640 12

Le diamtre d1 tant le plus petit vis--vis de d 3 et de d2 , le pointfaible est en A entre (1) et (3). Lvaluation de d1 correspond larelation :

(21)

avec k = Z3 /Z1 et

Le diamtre du pignon d1 , pour une transmission de caractris-tiques dfinies, varie en fonction du rapport k sous la forme de[(k + 1)/k ]1/ 3. Si lon souhaite optimiser la transmission, il fautrechercher la masse minimale ou le volume minimal. Ce volume destrois roues a pour expression :

avec b = d1 ; d3 = kd1 et d2 = ud1

Ce volume varie sous la forme de :

puisque est constant.Le rapport u tant dfini,

correspond au minimum dencore lquation rsoud

2k 3

La valeur de k nous raboutit au choix de : 0 , mcoefficients de dports x1 eau choix de x2 et de a32, simple adaptation puisque lou bien une adaptation srdusure et un matriau mroue (2) ou une longueur b

Il est remarquer que, si 0 ) sont les mmes pour lristiques de fonctionnemen

en A, engrnement en

m t

cos

do x1 + x3 = (inv

en B, engrnement en

do

sont les deuxde la roue (3), respectivem

3.2 Rducteur coaxial arbre intermdiaire

2C1 0d 13 kk 1+--------------- KGH=

KGHZ P

2 Z V2

K KV KB------------------------------=

Vd 1

2b4

------------------

d 32b

4------------------

d 22b

4------------------+ +=

V 4

----------d 13 1 k 2 u 2+ +( )=

f k( ) =

d3( )

m*t*tcos

d3( )Bx3 x2+ inv (=

d*3 et d**3

Exemple numrique : si lon reprend lexemple du paragraphe 2.1,u = 4,2 permet le calcul de k = 1,95 ; un mme choix de matriaudfinit Z1v = 22 ; d1v = 60 ; do les dcisions :

0 = 11o mn0 = 2,5 Z1 = 23 Z2 = 97 Z3 = 45 Ns0 = 498 tr/mina13 = 90 avec x1 = + 0,7 x3 = + 0,837 et b = 46

et par approximations successives :

a23 = 185,5 et x2 = + 1,197

Il reste dfinir lentraxe a12 = 163 avec .Une longueur b2 = 25 suffirait sur la roue (2) constitue du mme

matriau.Il est remarquer que, si le pignon moteur fonctionne toujours dans

le mme sens, la position de la roue intermdiaire doit tre telle quelaction sur les guidages soit de la plus faible intensit (analyse de

).

a12 da1 da2+( )/2

F nA F nB F O 30+ + 0= reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie mcanique

donc invariant, le choix de la variable ke la fonction f (k ), soit df (k )/dk = 0 oure est :

+ k 2 (1 + u2) = 0 (22)

amne au projet classique ( 2.1) etn0 , Z1 , Z2 , Z3 , puis de lentraxe a13 , dest x3 , et de la longueur de roue b. Quant

bien des solutions sont possibles : unees contraintes sont plus faibles (d3 > d1),ieuse : x2 et a32 quilibrant les produitsoins cher pouvant tre utilis pour la

2 plus faible tant prvue.

les caractristiques de taillage (mn0, n0 ,es trois roues (1), (2) et (3), les caract-t sont trs diffrentes car :tre (1) et (3) :

= 2a13 /(Z1 + Z3)

t = (m t0 cos t0)/m t

t inv t0)(Z1 + Z3)/2 tan 20o (23)

tre (3) et (2) :

(24)

diamtres primitifs de fonctionnementent ct (1) et ct (2).

Ce type de rducteur (figure 7a) permet dassurer une gomtriede coaxialit conomique, puisquil ny a que des roues denturesextrieures et, de plus, il est possible dviter les porte--faux :

Par contre, deux engrenages sont ncessaires ainsi quun arbreintermdiaire parallle aux deux autres. Chaque engrenage a unrapport de valeur :

u1 = d21/d11 = N10 /Ni0 et u2 = d22 /d12 = N i0 /N20

soit u = N10 /N20 = u1u2

et lentraxe est le mme pour les deux engrenages :

2a 0 = (d11 + d21) = (d12 + d22)

Si, par souci dhomognit, en plus dun mme matriau, onadopte un mme coefficient de longueur = b1 /d11 = b2 /d12 , il serapossible de dterminer u1 et u2 pour u impos.

Les calculs dvaluation du diamtre des pignons sont de la forme :

soit

en admettant .

Les relations dentraxe scrivent :

2a0 = d11 (1 + u1) = d12 (1 + u2)

devenant

ou encore (25)

Ce systme dquations se rsout aisment par itration. Il ne resteplus qu traiter un projet classique sur lengrenage de rapport u1 ,puis adapter le deuxime engrenage lentraxe a0 et au rapportu2 fixs.

k 1+( )k

------------------- 1 k2 u2+ +( )

A mtZ3 d*3= =

2a23 / Z3 Z2+( )=m t0 t0 cos( )/m*t=m*t Z3 d**3= =

*t inv t0 ) Z2 Z3+( )/2 tan 20 o

O10, x 10( ), O20, x 20( ) a0 0, 0 0= =( )=

2Cm 0d 113 u1

u1 1+-------------------KGH1=

2C i 2u1Cm 0d 123 u2

u2 1+-------------------KGH2= =

pour le premier engrenage

pour le second engrenage

d 113 proportionnel

u1 1+u1

------------------- et d 123 proportionnel

u2 1+( )u1u2

------------------------------

KGH1 # KGH2

d 113 1 u1+( )3 d 123 1 u2+( )3=

u1 1+( )4u1

2--------------------------

u2 1+( )4u2

-------------------------- avec u1u2 u= =



Pour des raisons trs particulires, il lengrenage intrieur, ce qui, la limite, csolutions supplmentaires (figure 8). Une hypothses que prcdemment, aboutit aux

avec le signe (+) dans le cas de lengrenage dans le cas de lengrenage intrieur.

Enfin, dans la solution classique (figure roues dentures extrieures, il est possible dsite sur lun des deux engrenages de rapporobtenir des vitesses Nm0 et Ns0 de sens cont

3.3 Rducteur picyclodalplan lmentaire

Cest un groupement particulier de roupermettant dassurer une transmission dearbres coaxiaux avec des combinaisons dcorrespondant des rapports de rduction ovariables. Il comprend quatre pices mobilefixe B0 ; trois pices sont guides par assem

unique : le plantaire solaire (1), le pet le porte-satellite (4) ; la pice intermdia

guide par assemblage rotode daxe

Une tude cinmatique aboutit la relatlarticle Engrenages [B 636]. Elle se traite en arelatif des diffrentes pices par rapport au

Exemple numrique : tudions un rducteur coaxial de caract-r i s t iques imposes : P = 100 kW ; N m 0 = 2 100 t r /m in ;Ns0 = 140 tr/ min 3 % ; KB = 1,4 et lacier 20 MC 5 choisi comme auparagraphe 2.1.

Ltude initiale et particulire consiste rsoudre :

avec u1 u2 = 15 ; on obtient u1 = 5,85 et u2 = 2,56.Lavant-projet se traite sur le premier engrenage :

u1 = 5,85 C r = 0,85 10 = 220 rd/s C1 = 455 N m

0 = 16 N/mm2 0 = 290 N/mm2 = 0,8

on obtient Z1 v = 17 et d11 = 55

do les dcisions :

( 0 )1 = 14o (mn0)1 = 3 Z11 = 17 Z21 = 100 et a0 = 184Les dports de dentures sont adapter, la longueur b1 est calculer.Le second engrenage est adapter partir lentraxe : d12 + d 22 = 2a0 = 368 ; le rapport u 2 rvalu partir de u et d

u2 = d22/d12 ; le nombre de dents du pignon

C r = u2/(u 2 + 1) = 0,72 ; Z12 v = 21.Le choix de 0 est classique de mme que

les dcisions sur les valeurs de Z12 et de Z22est ncessaire dassurer un rapport correct, unet les particularits sur les nombres Z12 et Zconviennent ; Ns0 = 140 tr/min et les dports ecalculent aisment : (0)2 = 12o et (mn0)2 = 5

Il est remarquer que les hlices devront troues dentes de larbre intermdiaire pouaxiales des efforts supports soient en oppos

u1 1+( )4/u 12 u 2 1+( )4/u2=

u1u2 u= et u1 1( )4/u 12 u(=

O, x0( )

O24 ,(


B 5 640

13

est possible dutiliser

onduit proposer trois

tude, avec les mmes deux relations :

(26)

extrieur et le signe ()

7

a

) nutilisant que dese placer une

roue para-

t

u

1

ou

u

2

, et cela pour

raires (figure

7

b

).

es dentes

(figure

9

) puissance entre deuxutilisations multiplesu de multiplication trss par rapport un bti

blages rotodes daxe

lantaire couronne (3)ire (2), ou satellite, est

.

ion de Willis cite dansnalysant le mouvementporte-satellite (4) pour

de trois conditions :

e u1 = Z21 /Z11 devient :

est valuer avec

celui de mn0 ; par contre, sont plus dlicates car il renforcement des dents

22 : Z12 = 20 et Z22 = 51t longueur de denture se

.re de mme sens sur lesr que les composantesition.

2 1 ) 4/u2

x24)

Figure 7 Rducteur coaxial arbre intermdiaire :engrenage extrieur

Figure 8 Rducteur coaxial arbre intermdiaire :engrenage intrieur


TouteB 5 640 14

que lon se retrouve dans le cas dun engrenage classique axes fixeset roue intermdiaire (2) entre roues dentures extrieures (contacten A) et roues intrieures (contact en B) :

(N14 /N34) = (N10

dans laquelle les vitesses sorapport dit rapport de batif puisque le contact en A cen B conserve le sens. Lqsous la forme :

N10

Cette quation montre qest de deux puisque deux vitre fixes pour que tous lesla troisime vitesse parmi

Lanalyse directe du mcaest de deux, ceci sans hypemouvement spatial ; il fautcinmatiques (trois compode translation pour chaquedegrs dobstacles ou resantes cinmatiques :

cinq pour un assemblaici ;

une pour un assemdentures bombes, en A e

Il y a donc (5 4) + (2 1[4].

Dans le cas gnral, un sy24 inconnues et 22 relatioconsiste choisir arbitrairdeux inconnues dans le bu

Pour ramener ce mcla solution gnrale consisment asservi et un lment

Llment asservi peut l un second moteur,

lment vitesse constant un variateur entrane l

est variable ; elle peut mmde sens ;

llment asservi est immanent sur le bti B0 , cest picyclodaux.

Le tableau 2 rsume les six cas possibles lorsque les fonctionsde (1), (4), (3) sont permutes entre lment moteur, rcepteur oufrein. On obtient six courbes exprimant le rapport u i = Nm0 /Ns0 enfonction de dans le cas gnral. Les zones utilisables, en trans-mission lmentaire, sont celle qui correspond < 1 dans laquelleZ3 > Z1 et celle qui correspond > 1 dans laquelle il y a deux rouesparasites pour que soit positif.

Si u i > 1 lappareil est un rducteur de mme sens.Si 1 > u i > 0 lappareil est un multiplicateur de mme sens.Si 0 > u i > 1 lappareil est un multiplicateur de sens contraire.Si 1 > u i lappareil est un rducteur de sens contraire. (0)

Ltude statique dans le but de connatre les efforts transmis estaise dans le cas du frottement nglig et dune denture droite ; elleconsiste analyser lquilibre du satellite (2) (figure 10) :

les actions mcaniques de contact ponctuel entre dentures profils en dveloppantes de cercles sont tangentes au cercle de basedes dveloppantes du cercle de base de (2) de diamtred b2 = m0 Z2 cos 0 avec langle de taillage 0 = 20

o et le module detaillage normalis m0 . Par contre, suivant le choix des coefficientsde dports de dentures (x1 , x2 , x3), les angles de fonctionnement : (en A) et * (en B) sont frquemment diffrents et autres que 20o ;

laction mcanique de contact au guidage de laxe en O24

Figure 9 Rducteur picyclodal plan lmentaire reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie mcanique

N40)/(N30 N40) = = Z3 /Z1 (27)

nt exprimes en valeurs algbriques ; lese est indpendant de Z2 et il est nga-hange le sens de la rotation et le contactuation caractristique peut aussi scrire

N30 + ( 1)N40 = 0 (28)

ue le degr de mobilit du mcanismetesses de valeurs indpendantes doivent mouvements soient dfinis, entre autresN10 , N30 , N40 .

nisme confirme que le degr de mobilitrstatisme, puisque quatre pices sont en donc dterminer 6 4 = 24 paramtressantes de rotation et trois composantes pice) ; chaque assemblage dfinit deslations dobstacles entre les compo-

ge rotode (ou pivot), il y a quatre pivots

blage ponctuel du type contact entret en B.

) = 22 quations ou relations dobstacles

stme dquations linaires comprenantns est indtermin dordre 2, ce qui iciement des valeurs indpendantes pourt de dfinir toutes les autres.

anisme un seul degr de mobilit,te choisir un lment moteur, un l- rcepteur parmi les pices (1), (4), (3).

tre de trois faons diffrentes :indpendant du premier, entrane cete ;lment asservi, ainsi la vitesse de sortiee, dans certains cas, sannuler et changer

mobilis (vitesse nulle) par blocage per-la solution la plus courante en rducteurs

est .

Nous sommes en statique plane, donc :

ltude statique des autres pices en dcoule rapidement si lon

recherche la valeur des couples transmis puisque est gnr

par le couple transmis par le solaire (1) :

est gnr par le couple transmis par la couronne (3) :

et est gnr par le couple transmis par le porte-satellite (4).

Lquilibre de lensemble correspond :

(figure 10) ; sont de mme sens et est de sens oppos.

Les relations sont simples tablir, car amne :

|C3| = |C1| (db3 /db1) avec db3 /db1 = Z3 /Z1 =

soit

et, enfin (29)

Il est remarquer que le thorme des puissances virtuellesscrit :

et remplaant par leur valeur en fonction de , on a :

nous retrouvons ainsi la relation cinmatique de base (28).

F n42

F n32 F n12 et Fn42 Fn32 Fn12+ + 0= =

Fn12

C1

C1 Fn12 db1/ 2( )=Fn32 C3

C3 Fn32 db3 / 2( )=Fn42 C4

C1 C3 C4+ + 0=

C1 et C3 C4

Fn32 Fn12=

C3 C1=

C4 C1 C3 C1 1( )= =

C1 10 C3 30 C4 40+ + 0=

C3 et C4 C1

C1 10 C1 30 C1 1( ) 40+ 0=



Tableau 2 Diffrentes solutions pour ramener le mcanisme un seul degr de mobilit

Moteur Rcepteur Frein Relation Rapport u i1 4 3 Nm0 = (1 )Ns0 u1 = (1 )1 3 4 Nm0 = Ns0 u2 = ()4 3 1 Nm0( 1) = Ns0 u3 = /( 1)4 1 3 Nm0( 1) = Ns0 u4 = 1/(1 )3 1 4 Nm0 = Ns0 u 5 = 1/3 4 1 Nm0 = ( 1)Ns0 u6 = ( 1)/

Reprsentation symbolique

Figure 10 Rducteur picyclodal plan lmefforts transmisutorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie mcanique B 5 640 15

Parmi les six solutions gnrales, les deux les plus utilises cor-respondent au train couronne fixe et au train porte-satellite fixe.

tude dun train couronne fixe et satellite unique (figure 11) :les trois roues dentes (1), (2) et (3) sont tailles au mme module etau mme angle de pression. Si, dans une premire valuation, nousngligeons les dports de dentures, les diamtres primitifsimposent :

d3 = d1 + 2d2

et la relation de Willis devient :

(m0 s0)/(0 s0) = Z3 /Z1

ou m0 /s0 = (Z3 /Z1) + 1 et Z3 /Z1 = u 1 (30)

Le point faible de la transmission est en A car, si les actions nor-

males transmises sont gales , les rayons quiva-lents en relation de Hertz [1] [3] sont trs diffrents. Pour un lmentcommun (2), le satellite, il y a contact convexo-convexe en A avecune petite roue de diamtre d1 et contact convexo-concave en B avecune grande couronne de diamtre d3 . Le coefficient de rapport estde la forme :

Cr = k /(k + 1) avec k = Z2/Z1 (31)

dans lutilisation des quations davant-projet.

entaire :

Fn12 Fn32=


TouteB 5 640 16

Avec les donnes habituel les : P (kW), Nm0 (tr /min) ,Ns0 Ns0 (tr/min), KB et un choix de matriaux prcis permettentdvaluer 0 (N/mm2) et 0 (N/mm2).

Ltude cinmatique dfinit :

u = Nm0/Ns0 Z3 /Z1 = u 1

et comme Z3 = Z1 + 2Z2 ou Z3/Z1 = 1 + 2Z2 /Z1 :

k = Z2 /Z1 = (u 2)/2 (32)

et Cr = k /(k + 1)

Les deux quations sont de la forme :

et

vues en (5) et (7) et cela avec deux particularits :

et KV (ou les coefficients C3 et CB3) dpendent de la vitessetangentielle en A : (v t)A = (

le coefficient de proporoue (1) ou (2) :

si k > 1, le solaire (1) normalement et ,

si k < 1, le sateb = d2 = (d2d1)/d1 = (

linconnue dimensionnelle tion * (* = k ) sera utili

Les dcisions dcoulent enormalis, voisin de (d1v /puis Z3 = Z1(u 1) ; Z3 essuprieur 100.

Le choix de Z2 est aussiintressant que Z2 soit prquemment, il sera choisi invoisin.

Le choix de la valeur de leparagraphe 3.1 car cet entr(1)/(2) extrieur et (2)/(3) in

a0 = [m0 (Z1 + Za0 = [m0 (Z3 Z

une valeur est choisie dan

Il reste appliquer les relations correspondantes avec 0 = 20o :

m = 2a0 /(Z1 + Z2) et cos = (m0 cos 0)/m

x1 + x2 = (inv inv 0)(Z1 + Z2)/2 tan 0

(9)

m* = 2a0 /(Z3 Z2) do *x3 x2 = (inv * inv 0)(Z3 Z2)/2 tan 0

(12) (34)

Dans ce cas, le point faible tant en A entre (1) et (2), un quilibragedes produits dusure peut seffectuer comme au paragraphe 2.1, cequi fixe x1 et x2 ; ensuite, x3 se dduit de ltude de (2) et (3) maisles produits dusure ne seront pas quilibrs en B, ce qui nest pasgnant en gnral, les dentures tant beaucoup plus rsistantes duct de la couronne. Si, par contre, il est souhait dquilibrer lesproduits dusure en A et en B, il faut travailler sur les relations (33)et (34), puis sur les relations vues aux paragraphes 2.1 et 2.2. Lesbouclages sont multiples, bass sur la valeur correcte de a0 et lestests dusure en A et en B. Une application est traite auparagraphe 6.

tude dun train porte-satellite fixe (figure 12) : ce train estsouvent utilis pour les grandes vitesses (3 000 8 000 tr/min) car ilest plus facile quilibrer dynamiquement que le train vu prcdem-ment ; le porte-satellite de formes complexes est fixe ; de plus, un

Figure 11 Train couronn

Z1v # 0,7 0,9( )00---------

k 1+( )k

--------------------

1

Z P2 Z V

2---------------------

d1v # 2C1K KV KB0 k / k 1+( )[ ] Z P2 Z V2------------------------------------------------------------------1/3

Z V2

u 4

reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie mcanique

m0 s0)d1/2 dans ce cas ;rtion doit correspondre la plus petite

est le plus petit et b = d1 ; est choisi

llite (2) est le plus petit etk )d1 ,

tant d1, un coefficient fictif de propor-s et .

nsuite, toujours en denture droite : m0Z1v), puis Z1 entier voisin de (d1v/m0),t un entier non premier absolu sil est

particulier car, si Z2 # (Z3 Z1)/2, il estemier avec Z1 et premier avec Z3 ; fr-frieur (Z3 Z1)/2, tout en demeurant

ntraxe a0 est beaucoup plus dlicat quauaxe est commun aux deux engrenagestrieur. Utilisant la mthode classique :

2)/2] + (0 2m0) (8)

2)/2] + (0 2m0) (12) (33)

s lintersection des deux intervalles.

carter en deux parties spares par un joint parallle la semelle etpassant par laxe gnral permet une surveillance et une mainte-nance plus faciles.

La relation cinmatique est simple :

Nm0/Ns0 = = |u | = Z3/Z1Gomtriquement, on utilise encore : d3 = d1 + 2d2.

Le droulement du projet est aussi de la mme forme deuxdiffrences prs :

k = Z2/Z1 = (u 1)/2

et le choix de est normal si et * = k si k < 1ou u < 3.

Le tableau 2 montre les deux combinaisons possibles de telle sortequen plaant un seul satellite (2) entre (1) et (3), avec deux contacts A

et B, on obtient < 1 ( ne sont pas de mme sens) ; parcontre, en plaant deux satellites en srie (21) et (22), il y a trois

contacts A, B et C et lon obtient > + 1( sont de mmesens) ; le satellite (22) complmentaire doit tre plus grand que laplus petite des deux roues (1) ou (21) pour que lengrnement en Areste le plus faible, donc utilis pour les calculs. Une application esttraite au paragraphe 6.

e fixe et satellite unique

u 4

Figure 12 Train porte-satellite fixe

x0

k 1 ou u 3

14 et 34

14 et 34



3.4 Rducteur picyclodalsphrique lmentaire

Ainsi quen rducteur picyclodal plan, un groupement de rouesdentes est utilis mais ce sont des coniques (figure 13). Par contre,

il y a toujours coaxialit daxe entre lentre et la sortie. Trois

pices sont guides en rotodes daxe : le plantaire-solaire (1), le plantaire-couronne (3) et le porte-satellite (4) ; le satel-

lite (2) est guid en rotode daxe . Il y a contacts ponctuelsentre les dentures en A et B.

La relation de Willis a la mme forme :

(N10 N40)/(N30 N40) = = Z3 /Z1 (27)

et cela avec les mmes discussions et les mmes utilisations. Il y aaussi deux degrs de mobilit lorsque le bti B0 est distinct desautres pices.

Lanalyse statique est toujours base sur lisolement du satellite,analyse simplifie par les dports de dentures utiliss (mmes cnesprimitifs de taillage et de fonctionnement) ; on obtient, par analogie :

La gomtrie de coaxialit et de tangence des cnes primitifsimpose :

1 + 2 2 + 3 = Le module est le mme pour toutes les roues : d1 = m0Z1 ,

d2 = m0Z2, d3 = m0Z3 et le roulement sans glissement des cnesprimitifs peut scrire :

soit

Si lon introduit langle 0 du porte-satellite tel que :

0 = 1 + 2 = (2 + 3)lquation (14) a deux critures :

tan 2 = sin 0 /(u1 + cos 0)avec u1 = Z1/Z2 = 24 /14 = sin 1/sin 2

tan 2 = sin ( 0) [u2 + cos ( 0)]

Figure 13 Rducteur picyclodal sphrique

O, x0( )O, x0( )

O, x 24( )

F t12 F t32 C3 C1= = C4 1( )= C1

14 1sin 24 2sin 34 3sin= =

14 Z1 24 Z2 34 Z3= =

Tableau

0 /2

Axes fixes < 1 Cutorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie mcanique B 5 640 17

avec u2 = Z3 /Z2 = 24 /34 = sin 3 /sin 22 et 0 sont invariants donc u1 + cos 0 = u2 cos 0soit cos 0 = (u2 u1)/2 = (Z3 Z1)/2Z2 (35)

Une dcision tant prise sur Z1, | | tant impos, Z3 est dterminpour la cinmatique gnrale. Z2 nintervient pas dans le rapport ||cinmatique mais, dans ce cas, il a cependant une influence double :

une premire influence sur les caractristiques gomtriques :1 , 2 , 3 , 0 sont calculables et, pour que le taillage soit possible,

; une seconde influence sur les dimensions, car le choix de Z2

et les valeurs des angles interviennent sur lencombrement et surle volume gnral dengrenage.

Le cas particulier dutilisation dun tel rducteur, en gnral beau-coup plus cher que le rducteur plan, est dtre capable dassurer = 1 avec 0 = /2 et Z1 = Z3 beaucoup plus simple quen engre-nage cylindrique (tableau 3). (0) lmentaire

i /2

3 Diffrentes dispositions en fonction de

0 = /2

ouronne fixe < 1 Axes fixes = 1 Couronne fixe = 1

et 0


TouteB 5 640 18

4. Discussion et analysedes caractristiquesdes engrenages cylindriques

Dans le cas dun cahier des charges habituel sont prcises lesvaleurs suivantes : puissance transmise P (kW), vitesse motrice Nm0 ,vitesse de sortie Ns0 Ns0 , coefficient de service KB et dure H (h) ;deux relations permettent dvaluer :

le nombre de dents du pignon :

(0,7 0,9 tant le facteur de scurit) ;

le diamtre primitif du pignon :

2C1 = 0 (d1 v)3 Cr KGHle coefficient de rapport Cr dpendant du type dengrenage lmen-taire choisi.

Que choisir comme nature de matriaux ? Que choisir commerapport de proportion ? Y a-t-il une limite au rapport u = N10 /N20impos ?

Une premire analyse se traite dans le cas dun rapport u fixconstant et de coefficients de fonctionnement constants. Ainsi, lana-lyse dimensionnelle du diamtre du pignon correspond :

(36)

avec d2v = ud1v et (2a0)v = (u + 1) d1v

et signifiant correspon

Ces caractristiques dimcit de taillage des outillagcontrle, traitement curviennent aussi en encombr

Une deuxime analysela finition et les traitemefabrication :

Une troisime analyseposant, a priori, des roues p

soit

cela intervient sur le prix davec les problmes de tran

Le dernier lment tudier est lintensit de la composantetangentielle |F t | car elle conditionne tous les organes auxiliaires delengrenage : arbres en flexion et roulements en capacit radiale (oucoussinets en rsistance) :

(39)

Si lon dresse un premier bilan, il nous faut retenir que : lorsque le couple sur le pignon C1 augmente, le volume matire

est directement proportionnel ce couple ; laire de la surface usineet lintensit de la composante tangentielle augmentent aussi, maisun peu moins, ainsi que la dimension des roues dentes etlencombrement gnral, ces derniers beaucoup plus faiblement ;

le choix dun matriau haute rsistance superficielle 0 esten gnral bnfique, car il rduit considrablement le volume dematire utilis, il rduit aussi laire de la surface latrale usine doncle prix de fabrication ; il rduit un peu moins les dimensions etlencombrement ; par contre, la composante tangentielle augmenteavec les consquences sur les arbres et les guidages ;

le choix dun rapport de proportion = b /d1 nintervient passur le volume et sur la masse de lengrenage, ce qui est importanten mcanique gnrale ; il permet de rduire les dimensions doncladaptation aux moyens de fabrication (capacit des machines-outils et des fours de traitement) ; il accrot, par contre, laire de lasurface usine, donc le prix de la ralisation (important en ce quiconcerne les trs grandes sries avec couple assez faible, du typesries vhicules automobiles) ; il accrot aussi lintensit de lacomposante tangentielle donc les dimensions des lments deguidage.

Z1v 0,7 0,9( )0KGF

0CrKGH---------------------------=

d1v C 11/3 0

1/3 1/3

Slat d1=

S lat d 12

Vol d 12b/4( ) +=

Remarque : un matriau haute rsistance superficielleconduit un nombre de dents du pignon assez rduit (Z1 = 15 25), un rapport de conduite apparente rduit ( = 1,4 1,6), des produits dusure importants aux grandes vitesses. Les

F t 2C1/d1 soit F t C 12/3 0

1/31/3= reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie mcanique

d .

ensionnelles interviennent dans la capa-es de fabrication (taillage, rectification,, traitement en surface, etc.), elles inter-ement (sur site et en transport).

permet dvaluer la surface de taillage,nts, laire intervenant dans le prix de

(37)

dfinit un coefficient de volume en sup-leines :

(38)

u matriau, sur linertie et sur la massesport et de manutention.

La transmission doit ensuite sadapter au rapport de transmissiongnral : Nm0 /Ns0 = i et au couple support en petite vitesse Cs0 enrducteur de vitesse :

un rapport i important risque dimposer une dimension inac-ceptable pour la roue et pour le carter ; un groupement en srie derducteurs lmentaires (figure 14a) est envisager ( 5) ;

un couple important Cs en petite vitesse conduit une dimen-sion de roue et de carter trop importante ; un groupement en paral-lle (figure 14b ), divisant les puissances, permet de rduire lesdimensions ( 6) ;

si, enfin, le rapport i et le couple Cs augmentent simultanment,un groupement mixte ou compos (figure 14c) savre ncessairepour raliser une transmission de dimensions acceptables ( 7).

b d2b+ d 12 1 u+( )=

ou Slat C 12/3 0

2/3 1/3

d 22b/4( ) /4( )d 13 1 u2+( )=

Vol C1 01

matriels de traitement superficiel et de finition limitent lesdimensions des diamtres de lordre de 1 1,5 m.



5. Groupement en sde rducteurs l

Ce type de groupement a surtout pour busation de rapports de rduction trs implencombrement et la masse. Le schma dsapplique aussi bien un rducteur qu un mavec :

Nm0 /Ns0 = ir ou Ns0 /Nm0 = im

Si chaque rducteur lmentaire a un rappvaleur ui (i 1, 2, ..., n), la loi cinmatique

i = u1u2u3 ... un

le rapport global est gal au produit des rap

Si, en tude dynamique, on admet un ren

Chaque lment de base (figure 15) a une en rducteur de vitesse :

(i + 1)0 = i 0 /ui et Ci +

en multiplicateur de vitesse :

(i + 1)0 = i 0 ui et Ci +

Si, par contre, il est tenu compte dun redant lengrenage lmentaire de rang i, lvalable sil ny a pas arc-boutement ; la losimple : Ps = Pm(1 2 3 ... i ... n ), et la lollment de base de rang i devient :

en rducteur :

(i + 1)0 = i0 /ui et Ci +

Pm Cm m0 Ps C s s0= = = =utorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie mcanique B 5 640 19

riementaires

t de permettre la rali-ortants en optimisante structure (figure 15)ultiplicateur de vitesse

avec i > 1

ort de transmission descrit :

(40)

ports lmentaires.

dement de i = 1 :

loi de comportement :

1 = Ciui

1 = Ci /ui

ndement i correspon-a loi cinmatique restei dynamique est assezi de comportement de

1 = Ciuii

en multiplicateur :

(i + 1)0 = i 0 ui et Ci + 1 = (Ci i )/ui

Analyse prliminaire : cest la comparaison, dans le cas dunrducteur de vitesse, entre une solution A nutilisant quun seulengrenage lmentaire cylindrique extrieur et une solution B uti-lisant deux engrenages cylindriques extrieurs placs en srie. Lerapport de rduction i = m0 / s0 , la nature des matriaux, la puis-sance transmettre, les vitesses et les conditions gnrales dutili-sation sont les mmes dans les deux cas (figure 16).

La solution A est trs classique :

u = m0/s0 = d2/d1 = Z2 /Z1 et = b /d1 avec C1 = P /m0la relation de prdtermination, vue au paragraphe 2.1, scrit :

Figure 14 Diffrents types de groupements de rducteurs lmentaires : srie, parallleet compos

Pi C i i0=

Figure 15 Groupement en srie de rducteurs lmentaires

Ltude a pour but de dterminer le nombre n dlments debase placer en srie, puis de prciser la forme dagencementsouhaitable en ce qui concerne les valeurs des rapports inter-mdiaires ui .

2C1 0d 13 u / u 1+( )[ ]KGH et, en simplifiant, d 13 u 1+( )/u=


TouteB 5 640 20

car u est la seule variable, ce qui nous permet dexprimer les varia-tions des diffrentes caractristiques :

dimensions linaires (encombrement, capacit des machines,transport, etc.) :

d1 (u + 1)1/3u 1/3 d2 = ud1 (u + 1)

1/3u 2/3

et lentraxe devient :

2a0 = d1 (u + 1) (u + 1)4/3u 1/3

aire des surfaces latrales (prix de lusinage, finition, traitementde surface, etc.) :

volume gnral en considrant les roues pleines (prix de lamatire, inertie, masse, etc.) :

La solution B est tout aussi classique avec les particularits :

= b1/d11 = b2/d12 u1 = m0/ i0 = d21/d11u2 = i0 /s0 = d22/d12

i = u1u2 et, si le rendemen

P1 = Cm

ce qui nous donne :

et :

La comparaison principaque gnrale, il conditionn

do les deux graphes de l

Une optimisation du volume en solution B consiste annuler ladrive dKV2 /du1, ce qui revient rsoudre lquation :

(42)

soit u1 # 7,25 pour i = 30 (KV1 = 931, KV2 = 224)

u1 # 2,80 pour i = 8 (KV1 = 73, KV 2 = 47)

S d 12 u 1+( ) Slat u 1+( )5/3u 2/3 =

V /4( )d 13 u2 1+( ) Vol u 1+( ) u 2 1+( )/u=

2Cm 0d 113 u1/ u1([=

2Ci 2u1C1 u10d 123

= =

en solution A, le coefKV1 u 1+( ) u2(=

en solution B :

K

V

2

u

1

1

+

( )

u

12

+

([=e

u 13 i 1+( ) u 12i+ i i 2 1+( )/ 2= reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie mcanique

t est trs voisin de 1 :

m0 = Ci i0 = Css0

le porte sur le volume car, en mcani-e le prix de la matire :

(41)

a figure 17.

1+ )]KGH d o d 113 u1 1+( )/u1

u2 / u2 1+( )[ ]KGH et d 123 u1 u2 1+( )/u2

ficient de volume correspond : 1+ )/u et u i m0 /s0= =

1)

/

u

1

]

u

1

u

2

1

+

( )

u

22

1

+

( )

/

u

2

[ ]

+

u

1

u

2

i

=

t

Figure 16 Comparaison entre deux groupements en srie : solutions A et B

Figure 17 Coefficient de volumeen fonction du rapport

u

pour les deux solutions A et B



Une

optimisation sur lencombrement gnral

peut aussi trerecherche :

en solution A, elle correspond

K

L

1

= (

u

+ 1)4/3u 1/3 (aveclentraxe 2a0 tudi ci-dessus) ;

en solution B, il est possible destimer lencombrement (2a02 + a01) en bonne approximation, ce qui correspond, en fonctiondes rapports intermdiaires u1 et u2, avec u1u2 = i :

et, pour dKL2 /du1 = 0 :

(43)

ainsi, par exemple :

u1 # 8 pour i = 30 (KL1 = 31,3, KL2 = 15)

u1 # 3,3 pour i = 8 (KL1 = 9,4, KL2 = 8,1)

Les solutions aboutissant sur les valeurs de u1 au volume minimalet lencombrement minimal correspondent bien. Si lon souhaiteobtenir des surfaces usines daire minimale, les solutions sont dif-frentes et donc tudier.

Pour des valeurs i plus nombreuses et si, au prix de lusinage des roues dentes, on ajoauxiliaires tels que les arbres et les guidagnombre augmente lorsquon passe de la solil est possible de tirer quelques concdutilisation.

En engrenage cylindrique, le train lmlmentaire) a un rapport qui ne doit pas d

Pour raliser une rduction ou une multiplirieur cette valeur u 0 (i > u0), il est ncessairelmentaires groups en srie, le nombre n dayant une valeur minimale respectant la rel

Lagencement ou lorganisation des diffredoit permettre dassurer une optimisation volume et en prix. En gnral, la solution conports importants en grande vitesse (GV) et den petite vitesse (PV), soit :

uGV = u1 > u2 > u3 > ... > un

en vitant de dpasser la valeur maximale

Ltude mathmatique a t traite (solutinages en srie et avec des roues pleines. Ldlicate pour n = 3 ou 4 (gnralement, on mais elle peut tre traite de proche en prochmisation souhaite.

Ltude peut aussi tre organise avec deroues vides lorsque le rapport lmentaircertains cas de couples levs ; lpaisseur dforme e = km0 avec k = 5 8, le volume de

mais

cela est aussi valable dans le cas, peu frquenintrieure.

Solutions en gomtrie de paralllismpour lengrenage cylindrique utilis en sschmas des figures 18a et b . Dans la pluptout pour ceux de grandes dimensions, les ax

plan qui est utilis comme plan de joint entre les deux parties ducarter, ce qui permet un montage et un dmontage aiss parsous-ensembles, ainsi quune maintenance facile. Lorsque le rduc-teur est de petites dimensions, dans le but de rduire lencombre-ment, lensemble peut senrouler autour de laxe PV (figure 18c) ouautour de laxe GV ; le joint assurant le montage des sous-ensemblesest perpendiculaire aux axes (il peut mme y avoir plusieurs jointsperpendiculaires aux axes).

Les catalogues des constructeurs offrent lventail suivant :n = 2 pour i = (6 ou 8) (25 ou 30)n = 3 pour i = (20 ou 30) (100 ou 160)n = 4 pour i = (100 ou 125) (500 ou 800)n = 5 pour i = 560 2 500n = 6 (cas trs particulier) permet daboutir

i u1+( )4/3i 1/3 u 1 2/3 u1 1+( )4/3u 1 1/3/2+ KL2=

4 i u1( )3u1 1( )

--------------------------- u1 1+( )iu1i u1+( )--------------------------------1/3

=

u 0n 1( ) i u 0

n< uPV ;

lengrenage conique en GV est suprieure lauGV > ui conique ; ui # uPV ;

lengrenage conique uGV > ui > uPV , en gnra

x m0 , x s0( ) 0=

O10 x1(

Figure 19 Rducteurs cylindroconiques : solutions classiquesen gomtrie dangularit reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie mcanique

ages cylindriques (pour des raisons de

passer en engrenage lmentaire est

V sont plus importants que les rapports

placer lengrenage conique du ct obles (ct GV) et cela sans que la vitesseur limite tolre (10 20 m/s suivant le

ements classiques sont schmatissosition de lengrenage conique et lesrapports des diffrents trains. Trs fr-nt dans un mme plan, le plan horizontal maintenance aiss, le plan vertical tant

tie est vertical. Des solutions avec arbres majorit, en faible puissance et arbreslus rarement, en forte puissance et arbre

nd celui qui a t vu avec les arbres

(16 ou 25)

ou 500)

ques exemples de rducteurs avec grou-

, sont noter :e deux arbres quelconques telle que 2) est toujours ralisable en rducteur

en utilisant, ene et un ou plusieurs engrenages cylin-

rendement suprieur celui obtenu par

utilisation de lengrenage roue et vis ; seul lencombrement risquedtre un peu plus important pour les transmissions de rapport i trslev (figure 20) ;

dans certains cas, trs peu frquents, deux engrenagesconiques placs en srie peuvent tre utiliss (figure 22) lorsquelentraxe a0 a une trs grande valeur vis--vis de la dimension desengrenages.

Solution en gomtrie de coaxialit : il reste assurer la go-mtrie de coaxialit : , les arbresdentre et de sortie sont coaxiaux. Deux lments de base inter-viennent : le rducteur coaxial arbre intermdiaire ( 3.2, figure 7)et le rducteur picyclodal plan lmentaire [( 3.3), figures 11et 12].

Seul le rducteur coaxial arbre intermdiaire peut tre utilisen groupement srie et les cas sont peu frquents, si ce nest enbotes de vitesses (figure 23). Compte tenu des relations tablies

(25) et u0 = 6 7, le rducteur coaxialne permet dobtenir quune rduction limite uc0 # 20 (avec u1 = 7et u2 = 3). On ne dpasse pas n = 2 dans ce cas de groupement.

Les trains picyclodaux plans groups en srie (figure 24) sontsurtout utiliss en groupements complexes, que nous aborderonsau paragraphe 7.1.

Notons, enfin, quun groupement mixte peut tre envisag,faisant intervenir engrenage cylindrique, engrenage conique etengrenage coaxial arbre intermdiaire (figure 25).

rcis dans le cas dun rducteur cylindro- en srie, permettant dassurer un rapport i

PV :est plac en GV si et u GV # ui ;

est plac en inter si la vitesse tangentielle vitesse limite et si , puis

est plac en PV si vt inter > v t lim avecl, en petite vitesse : v t < vt lim.

v t v lim

v t inter v t lim

0), O20 x20( ) a0, 0( )=

Figure 20 Rducteur cylindroconique avec arbres enrouls

Om0 xm0( ), Os0 xs0( ) 0, 0( )=

u1 1+( )4/u 12 u2 1+( )4/u2=



Figure 21 Rducteurs avec groupement en

Figure 22 Deux engrenages coniques en srie avec un entraxe importantutorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie mcanique B 5 640 23

srie

Figure 23 Deux rducteurs coaxiaux arbre intermdiaire en srie

Figure 24 Deux trains picyclodaux plans en srie

Prenons lexemple dun engrenage cylindrique en GV si la vitessetangentielle est assez leve (v t > 10 20 m/s et uGV = 7), un engre-nage conique en intermdiaire si suivant le type dedenture (u i = 5) et un engrenage cylindrique coaxial en PV tel queuPV = 8 (uPV1 = 4 et uPV2 = 2) pour rduire lencombrement ; le rapportainsi obtenu est de i = 280 correspondant bien un groupementde n = 4 trains en srie.

v t 10 20 m/s


TouteB 5 640 24

6. Groupement en paralllede rduct

Si le groupement en sritants, lencombrement, mdes carters est trs dissymaugmente. Le groupement eet couple dans le but de rensembles plus compacts. forme de la figure 26.

La premire loi, dordre

i = Nm0 /Ns0 = u1 = u2

Tous les rapports interm

La seconde loi, dordre d si les rendements inter

si lon nomme P1 , P2

, ...,

P

n

teurs lmentaires 1, 2, ...,

P

m

=

P

1

+

P

2

+

P

3

+ ...

par contre, rien ne permet,

puissance lmentaire qui

si lon tient compte dsances dentre tant

P

1

,

P

la perte de puissance scr

et lon obtient :

Chaque puissance Pi daque (positive ou ngative)peut qutre positive, dorelation (49).

Il est remarquer que si, pbien tudie, toutes les puiil y a division de puissanc

est correct (proche de 1). Par contre, si certaines puissances sontpositives et dautres sont ngatives parmi les Pi , Ps restant positive,il y a circulation de puissance et la somme des pertes P devientimportante ; le rendement global est beaucoup plus faible que dans

le cas prcdent ( la limite, , toute la puissance est

Figure 25 Groupement mixte dengrenages cylindrique,conique et coaxial arbre intermdiaire

Pm P1 P+=

Ps =

Figure 26 Groupement en parallle de rducteurs lmentaires

Pm Pi ii n=

=



eurs lmentaires

e permet dobtenir des rapports

i

impor-me optimis, est assez grand et la formetrique surtout lorsque le couple en PV

n parallle essaye de partager puissanceduire les dimensions et daboutir des

Le schma de structure obtenu prend la

cinmatique,

est simple mais prcise :

= ... =

u

n

en rducteur de vitesse

(47)

diaires sont

parfaitement

gaux.

ynamique

, est plus complexe :mdiaires

1

,

2

, ...,

n

sont voisins de 1,

les puissances transmises par les rduc-n, il est vident que :

+ Pn = Ps en valeurs algbriques

a priori, de connatre la valeur de chaquepeut tre positive, ngative ou nulle ;

es rendements intermdiaires, les puis-2 , P3 , ..., Pi , ...Pn , on a :

(48)

it :

(49)

ns la relation (48) est en valeur algbri- ; par contre, la perte de puissance ne la valeur absolue |Pi | utilise dans la

ar une organisation interne du rducteurssances intermdiaires Pi sont positives,e et le rendement global G = |Ps|/ |Pm|

transforme en chaleur !).

Une analyse prliminaire

réducteurs de vitesse à engrenages.pdf

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