resumo teórico matemática b - 11º ano

7/24/2019 resumo terico Matemtica B - 11 ano

1/15

1 Funcoes polinomiais

Funcao afim:

E uma funcao polinomial definida por y = mx +b, com m, b R. Onde m e o decliveda recta e b e a ordenada na origem.

x

y m >0b

x

y

m 0 x

y

k

h

a


2/15

2 Operacoes com polinomios

Adicao de polinomios:

ex: Sejam P(x) =x3 +x+ 3 e Q(x) =x2 + 2x 1. Entao,

P(x) +Q(x) =x3 +x+ 3 +x2 + 2x

1 =x3 +x2 + 3x+ 2

Subtraccao de polinomios:

ex: Sejam P(x) =x2 +x+ 1 e Q(x) = 2x2 +x. Entao,

P(x) +Q(x) =x2 +x+ 1 (2x2 +x) =x2 +x+ 1 2x2 x=x2 + 1

Multiplicacao de polinomios:

ex: Sejam P(x) =x + 1 e Q(x) =x2 + 1. Entao,

P(x) Q(x) = (x+ 1)(x2 + 1) =x x2 +x+ 1 x2 + 1 1 =x3 +x2 + 1

3 Funcoes racionais

Hiperbole:

A funcao f, definida por f : x 1x

, e denominada por hiperbole e e um exemplo de

uma funcao racional, e o seu grafico e da forma

x

y

Funcao racional:e uma funcao da forma P(x)

Q(x), onde P e Q sao polinomios e Q(x)= 0 (ou seja, o denomi-

nador nunca pode ser igual a zero).

Nota: todas as funcoes polino miais sao funcoes racionais.


3/15

Domnio de uma funcao racional f:

e o conjunto dos numeros reais x que nao anulam o denominador Q(x), ou seja

Df={x R :Q(x)= 0}.

4 Estudo de uma funcao racional

Para termos nocao do comportamento de uma funcao e necessario estudar as suas ca-

ractersticas, nomeadamente o domnio, o contradomnio, o sinal, a monotonia e a

paridade.

Sinal de uma funcao:

f diz-se:

par se f(x) = f(x),x Df (o grafico da funcao f e simetrico em relacao aoeixo dos yy). ex: x2, x2 + 3 e 1

x21.

mparse f(x) =f(x),xDf (o grafico da funcao f e simetrico em relacaoa origem). ex: x3.

x

y x

2

x

y x3

5 Conceito de limite - Assntotas.

Numa funcao f e possvel estudar o comportamento dos valores das imagens (y = f(x))

considerando a variacao dos valores dos objectos (x), ou seja, podemos verificar como variam

os valores das imagens a medida que x e maior, menor ou proximo de um determinado valor.

Assim, e introduzido o conceito de limite de uma funcao: limxa

f(x) = b. Pode ler-se as

imagens de faproximam-se do valor b quando os valores de x se aproximam de a.

Dependendo do comportamento dos valores das imagens, o grafico pode ter ou nao

assntotas.


4/15

Assntota vertical (A.V.):

Diz-se quex = a e uma assntota vertical do grafico de uma funcao f sef(x) tende para

+ ou paraquando x tende para a por valores a esquerda ou a direita +,ou seja

limxa

f(x) =

Assntota horizontal:

Diz-se que y = b e uma assntota horizontal do grafico de uma funcao f se f(x) tende

para bquando x tende para + ou, ou seja

limx

f(x) =b

Exemplos:

x

y

1

x= 1

f(x) = 1x1

x

y

2

x=2

f(x) = 1x+2

Estes graficos tem assntotas verticais para x= 1 e x=2 pois quando x se aproximaa direita ou a esquerda de 1 e2 as imagens de f(x) e g(x) aproximam-se de +ou.Para ambos os graficos as assntotas horizontais tem por equacaoy = 0 pois quando os valores

para x aproximam-se de + ou, as imagens de f(x) e g(x) aproximam-se de 0.

x

y

y= 1

1

x= 1

f(x) = 1x1

+ 1

x

y

y =12

2

x=2

f(x) = 1x+2

12

Estes graficos tem assntotas verticais iguais as dos graficos anteriores pelos mesmos mo-

tivos. No primeiro grafico a assntota horizontal tem por equacao y = 1 pois quando osvalores para x aproximam-se de + ou, as imagens de h(x) aproximam-se de 1. Nosegundo grafico a assntota horizontal tem por equacao y =1

2pois quando os valores para

x aproximam-se de + ou, as imagens de h(x) aproximam-se de12

.


5/15

6 Divisao inteira de polinomios

Algoritmo da divisao:

7 = 2 3+ 1

7 e denominadoDividendo;

2 e denominadodivisor;

3 e denominadoquociente;

1 e denominadoresto.

Ou seja, de uma forma geral: D= d q+r

+3

+276

1

Isto sucedera da mesma forma para a Divisao Inteira de Polinomios, ou seja,

D(x) =d(x).q(x) +r(x)

ex: Para efectuar a divisao de P(x) =x2 +x+ 1 por Q(x) =x + 1.

x

x+ 1x2 +x+ 1

x2

x0 + 0 + 1

Logo P(x) =x + 1x+1

Assntotas de uma funcao racional:

Toda a funcao racional fdo tipo f(x) =a + bxc admite como assntotas as retas:

x= c (A.V.) e y=a (A.H.).

Toda a funcao racionalfdo tipo f(x) =mx + a + bxc admite como assntotas as retas:

x= c (A.V.) e y=mx+a (A.N.V.).


6/15

7 Resolucao de equacoes racionais

Passos para a resolucao de uma equacao racional:

1o - Escrever a equacao na forma P(x)

Q(x)= 0

2o - Resolver a condicao P(x) = 0 Q(x)= 0

3o - Apresentar o conjunto solucao

Exemplo:1x

+ 1 = 2x1

1x(x1)

+ 11x(x1)

2x1x = 0

x1x(x1)+

x(x1)x(x1)

2xx(x1)= 0

x1+x(x1)2xx(x1) = 0

x1+x2x2x

x(x1) = 0

x22x1x(x1) = 0

x2 2x 1 = 0 x(x 1)= 0

x = 1 2 x= 0 x 1= 0

x = 1 2

C.S.={1 2, 1 + 2}


7/15

8 Resolucao de inequacoes racionais

Passos para a resolucao de uma inequacao racional:

1o - Igualar o 2o membro da inequacao a 0

2o - Escrever o primeiro membro na forma P(x)Q(x)

3o - Calcular os zeros de P e de Q

4o - Fazer tabela de sinais e tirar conclusoes

Exemplo:1x

+1 2x1

1x(x1)

+ 11x(x1)

2x1x 0

x1x(x1)+

x(x1)x(x1)

2xx(x1)0

x1+x(x1)2xx(x1) 0

x1+x2x2x

x(x1) 0

x22x1x(x1) 0

zeros:

x2 2x 1 = 0x = 1 2

x(x 1) = 0x = 0 x= 1

Tabela

x 1 2 0 1 1 + 2 +x2 2x 1 + 0 0 +

x(x 1) + + 0 0 + +x22x1

x(x1) + 0 s.s. + s.s. 0 +

C.S.= [1 2, 0[]1, 1 + 2]


8/15

Taxa de variacao:

A taxa de variacao de uma funcao no intervalo [a, b] e dada por:

f(b) f(a)

Taxa de media de variacao (velocidade media):

A taxa de variacao de variacao de uma funcao no intervalo [a, b] e dada por:

T M V[a,b]= f(b) f(a)

b a

Observacoes:Geometricamente, a T M V[a,b] representa o declive da reta secante ao grafico da funcao

fnos pontos de abcissa ae b.

Se f e estritamente crescente em [a, b] entao T M V[a,b] > 0 (ATENCAO: o contrario

pode ser falso).

Se f e estritamente decrescente em [a, b] entao T M V[a,b] < 0 (ATENCAO: o contrario

pode ser falso).

Se f e constante em [a, b] entao T M V[a,b] = 0 (ATENCAO: o contrario pode ser falso).

Taxa de variacao (velocidade instantanea ou derivada no ponto):

A taxa variacao de uma funcao num ponto x0 e dada por:

f(x0) = limh0

f(x0+h) f(x0)h

Observacoes:

Geometricamente, a derivada de uma funcao num ponto x0 representa o declive da reta

tangente ao grafico da funcao fno ponto de abcissa x0.

Se f(x0)> 0 entao f e crescente em x0.

Se f(x0)< 0 entao f e decrescente em x0.


9/15

9 Probabilidades

Operacoes com conjuntos

Reuniao Interseccao Diferenca

A

= A

=A

A\B =A BA {}= A A {}={}A A= A A={}

Leis de Morgan

A B =A BA B =A B

A e B incompatveis A

B =

{}Nota: dois acontecimentos elementares sao incompatveis

Definicao frequencista de probabilidade:

A Probabilidade de um acontecimento A, associado uma experiencia aleatoria, e o valor

para o qual tende a frequencia relativa quando o numero de repeticoes tende para o

infinito. Ou seja,

P(A) = limn

f rA = limn

fA

n ,

onde:n - numero de repeticoes da experiencia

f rA - frequencia relativa do acontecimento A

fA - frequencia absoluta do acontecimentoA

Na pratica, esta definicao de probabilidade permite a utilizacao da frequencia relativa

de um acontecimento A (f rA) como uma aproximacao do valor da probabilidade do

acontecimentoA.

Lei de Laplace:

Numa experiencia aleatoria cujos acontecimentos elementares sao todos equiprovaveis,

a probabilidade de um acontecimento A e dada pelo quociente entre o numero de casos

favoraveis a realizacao desse acontecimento e o numero de casos possveis da experiencia.

P(A) =C.F.

C.P.


10/15

Distribuicao de probabilidades

Variavel aleatoria: uma variavel aleatoria e uma funcao que a cada elemento do espaco

amostral faz corresponder um numero real.

SejaXuma variavel aleatoria comn valores distintos, entao a seguinte tabela desigana-se

por tabela de distribuicao de probabilidades

X=xi x1 x2 . . . xn

P(X=xi) p1 p2 . . . pn

Propriedades da distribuicao de uma variavel aleatoria:

0pi1

ni=1

pi = 1 p1+p2+. . .+pn = 1

Valor medio: =

xi pi= x1 p1+x2 p2+. . .+xn pn

Desvio padrao: =

(xi )2 pi=

(x1 )2 p1+ (x2 )2 p2+. . .+ (xn )2 pn

Modelo binomial - B (n, p) (Usa-se quando se pretende obter a probabilidade de obter k

sucessos emnrepeticoes de uma experiencia aleatoria sempre nas mesmas condicoes. Ou seja,

apenas interessa observar dois acontecimentos: sucesso e insucesso (que e o acontecimentocontrario do sucesso).)

k e o numero de sucessos pretendidosn e o numero de repeticoesp e a probabilidade de sucesso (observada em apenas uma qualquer das n ex-

periencias).

(Calcula-se usando a funcao especfica da calculadora)

Modelo Normal

x

0.9973

0.9545

0.6827

3

2 + + 2

+ 3


11/15

10 Sucessoes

Uma sucessao de numeros reais, (un), e uma funcao, u, real de variavel natural, ou seja,

e uma funcao de domnio N e contradomnio R.

u: N Rn unNotas:

n e a ordem (posicao) do termo

un e o termo geral da sucessao

Uma sucessao pode ser definida por:

termo geral: Por exemplo un = 2n+ 1

recorrencia: Por exemplo un= 5 se n e par

3 un1 2 se n e impar

Sucessoes monotonas (TESTE: un+1 un=???):un e monotona crescente sse un+1un, nN un+1 un0, nN- se un+1 un >0, nN, diz-se que un e estritamente crescente- se un+1 un0 nN: un+1 un = 0, diz-se que un e crescente em sentido lato

un e constante sse un+1=un, nN un+1 un = 0, nN

un e monotona decrescente sse un+1un, nN un+1 un0, nN- se un+1 un


12/15

11 Progressoes

Progressao aritmetica (TESTE: un+1 un= r?):

(un) e uma progressao aritmetica sserR: un+1 un = r, nN

(diz-se que r e a razao da progressao aritmetica)

Nota:

se r >0 a progressao e estritamente crescente

se r= 0 a progressao e constante

se r 1 u1 >0 a progressao e estritamente crescente

se r >1 u1


13/15

12 Modelos contnuos nao lineares

Funcao Exponencial Funcao logartmica

f(x) =ax , a R+\{1} g(x) = loga x, a R+\{1} e x R+

Df= R e Df= R

+ Dg = R+ e Dg = R

a >1 0< a 1 0< a 2 2x 3> e2 2x 3> 02) ln(x2 x) = 1 x2 x= e x2 x >0


14/15

Modelos de rendimento associado a uma taxa anual:

1) Juros simples (sem capitalizacao) - o rendimento (juro) e sempre calculado sobre

o montante inicial

M0montante inicialj

taxa de juro anual

knumero de vezes que o juro e calculado por anonnumero total de vezes que o juro e calculadoMnmontante acumulado

Mn = M0+M0

j

k

n

(progressao aritmetica de razao r= jk M0)

2) Juros compostos (com capitalizacao) - o rendimento (juro) e sempre calculado

sobre o ultimo montante acumulado

M0montante inicialjtaxa de juro anualknumero de vezes que o juro e calculado por anonnumero total de vezes que o juro e calculadoMn

montante acumulado

Mn= M0

1 + j

k

n

(progressao geometrica de razao r= 1 + jk

)

3) Juros contnuo (com capitalizacao contnua) - o rendimento (juro) e calculado a

todo o instante

M0montante inicialjtaxa de juro anual

M1 = M0 ej montante acumulado no final do primeiro anoMp =M0 ejp montante acumulado no final de p anos

(O modelo contnuo indica o valor maximo que a taxa de juro j pode render no perodo

considerado)


15/15

Modelo logstico:

Diz-se que f e um modelo logstico se se poder escrever na forma:

f(x) = N

1 +C ekx , onde N, C e k sao constantes positivas.

Nota que f(0) = N

1+C

e y=N e A.H. do grafico de f.

Casos notaveis

(a +b)2 =a2 + 2ab+b2

(a b)2 =a2 2ab+b2(a b)(a +b) =a2 b2

Regras das operacoes com potencias

Sejam a, b R+

e x, y Ra0 = 1

1x = 1

ax ay =ax+y

ax bx = (a b)x

axay

=axy

ax

bx

ab

x

(ax)y =axy

ax = 1ax

a

1

q

= q

a

ap

q = q

ap

resumo teórico matemática b - 11º ano

Documents