revision intra

8/16/2019 Revision Intra

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MAT2080

Exercices de révision pour l'intra

Problème IOn prélève un échantillon de 474 employés d’une certaine compagnie. Pour chacun, on note la catégorie

d’emploi (commis ou cadre), et sa classification ethnique (membre d’une minorité visible ou pas). Les résultats

sont présentés ci-dessous. Présentez les données de manière à rendre claire toute dépendance éventuelle entre la classification et lacatégorie d’emploi. S’il y a dépendance, décrivez-en la nature en un langage non technique.

Catégorie d'emploiCommis Cadre Total

Non 290 80 370 Minorité visible?

Oui 100 4 104

390 84 474

Ce sont les distributions conditionnelles qui permettront de bien voir la dépendance entre les deux variables:

Catégorie d'emploi

Commis Cadre Total Non 78.4% 21.6% 100%

Minorité visible?Oui 96.2% 3.8% 100%

Il y a bien une dépendance: le pourcentage de cadres est plus faible parmi les minorités visibles.

Problème IIUn marchand se plaint à la ville du fait que des travaux effectués par la municipalité ont causé une diminu-

tion de la circulation sur la rue du marchand et par conséquent une baisse dans ses recettes. Pour appuyer saplainte, il signale que ses recettes sont en moyenne de 20 000 $ par jour, et que le jour des travaux ils n'étaient

que de 19 500 $. La ville réplique qu'un écart de 500 $, pour des recettes de 20 000 $, est trop petit et donc ne

démontre rien. Le marchand calcule alors l'écart-type de ses recettes quotidiennes. Il trouve σ = 100 $. Quia raison?

La cote Z qui correspond aux recettes du jour des travaux est Z = (19 500 – 20 000)/100 = -5. Il est exces-sivement rare qu'une cote Z prenne une valeur aussi élevée (en valeur absolue), ce qui affaiblit grandementl’argument de la ville.

Problème IIILes rouleaux de pièces de 25 ¢ contiennent 40 pièces, mesurent en moyenne 66 mm avec un écart-type de 0,99

mm. Une caissière de banque reçoit en dépôt un rouleau de pièces de 25 ¢ qui mesure 62 mm. A-t-elle raisonde soupçonner que le rouleau contient moins de 40 pièces?

La cote Z qui correspond à une longueur de 62 mm est Z = (62 – 66)/0,99 = -4,04. Un rouleau de 62 mm esteffectivement très suspect car il est très peu probable qu'une cote Z soit si petite.

Problème IV

Un test de dextérité manuelle donne un score moyen de 60 pour la population. Un score moyen de 65 est doncsupérieur à la moyenne. Dans lequel des deux cas suivants un score de 65 est-t-il le plus spectaculaire: i)

l'écart-type de la population est égal à 1; ou ii) l'écart-type de la population est égal à 20.

Un écart de 5 points par rapport à la moyenne est particulièrement remarquable lorsque la population n'est pastrès dispersée. Dans une population où σ = 1, cet écart équivaut à une cote Z de 5, ce qui est énorme; alors quelorsque σ = 20, un écart de 5 points équivaut à une cote Z de ¼ , ce qui n'est pas excessif.


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MAT2080 Exercices de révision – Intra 2

Problème VDans un certain cours, il y a deux examens de même importance : un intra et un final. La note moyenne de la

classe est 60 pour les deux examens, mais l'écart-type est 10 à l'intra et 20 au final. Un étudiant a eu 60 à

l'intra et 80 au final; un autre a eu 80 à l'intra et 60 au final. Lequel est meilleur?

Le premier a une cote Z de 0 à l'intra et 1 au final; le second a une cote Z de 2 à l'intra et 0 au final. Donc ledeuxième a eu un meilleur résultat dans l'ensemble. Les deux avaient un résultat moyen et un résultat au-dessus

de la moyenne. Mais alors que le premier étudiant a eu des résultats à peu près moyens aux deux examens, ledeuxième s’est fait distinguer dans l’un des deux.

Problème VILes notes des élèves dans un cours ont une moyenne de 40 avec un écart-type de 10. Le professeur décide de

majorer les notes de 50%, et ensuite d'ajouter 10 à la note majorée. Quelles sont la moyenne et la variance

des notes ajustées?

Si X représente la note originale, Y la note modifiée, alors nous avons la relation Y = 1,5 X + 10. Donc la

moyenne des notes ajustées est Y = 1,5 X + 10 = 1,5(40) + 10 = 70; et la variance est = (1,5)2 = 225.2Y σ2 X σ

Problème VIIVoici les salaires moyens des Montréalais en 1995, par tranche d'âge

Âge Moyenne Fréquence15-24 21 385 0,053447

25-34 33 720 0,265843

35-44 41 380 0,326714

45-54 43 219 0,249447

55-64 40 309 0,092183

65+ 32 717 0,012365

Déterminez la moyenne des salaires de tous les Montréalais.

Il faut juste se rappeler qu'une moyenne de moyennes doit être pondérée. En d'autres termes, la moyenne de la population totale n'est pas la somme des moyennes des groupes d'âge divisée par 6: il faut multiplier chaquemoyenne de groupe par la fréquence du groupe. La moyenne globale est donc

(21385)(0,053447) + (33720)(0,265843) + … + (31717)(0,012365) = 38 528.

Problème VIIIOn lance un dé deux fois. Déterminez les fonctions de masse des variables aléatoires suivantes:

1. Le plus grand des deux résultatsValeurs possibles

Deuxième lancer

1 2 3 4 5 6

1 1 2 3 4 5 6

2 2 2 3 4 5 6

3 3 3 3 4 5 6

4 4 4 4 4 5 6

5 5 5 5 5 5 6 P r e m i e r l a n c e r

6 6 6 6 6 6 6

Distribution x 1 2 3 4 5 6

p( x) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36 1

MAT2080 Révision intra H03 2 lundi, décembre 30, 2002


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2. Le plus petit des deux résultatsValeurs possibles

Deuxième lancer

1 2 3 4 5 6

1 1 1 1 1 1 1

2 1 2 2 2 2 2

3 1 2 3 3 3 34 1 2 3 4 4 4

5 1 2 3 4 5 5 P r e m i e r l a n c e r

6 1 2 3 4 5 6


p( x) 11/36 9/36 7/36 5/36 3/36 1/36 1

3. La somme des deux résultatsValeurs possibles

Deuxième lancer

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 72 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11 P r e m i e r l a n c e r

6 7 8 9 10 11 12

Distribution x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

p( x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 1

4. Le premier résultat moins le deuxièmeValeurs possibles

Deuxième lancer

1 2 3 4 5 6

1 0 -1 -2 -3 -4 -5

2 1 0 -1 -2 -3 -4

3 2 1 0 -1 -2 -3

4 3 2 1 0 -1 -2

5 4 3 2 1 0 -1 P r e m i e r l a n c e r

6 5 4 3 2 1 0

Distribution x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

p( x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 1

5. La différence absolue entre les résultats des deux dés

Valeurs possiblesDeuxième lancer

1 2 3 4 5 6

1 0 1 2 3 4 5

2 1 0 1 2 3 4

3 2 1 0 1 2 3

4 3 2 1 0 1 2

5 4 3 2 1 0 1 P r e m i e r l a n c e r

6 5 4 3 2 1 0



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p( x) 6/36 10/36 8/36 6/36 4/36 2/36 1

Problème IXOn lance une pièce de monnaie 2 fois. Soit X le nombre de faces moins le nombre de piles. Déterminez E( X ).

Les valeurs de X correspondant aux éléments de l'espace échantillon PP, PF, FP, FF sont, respectivement,-2 , 0 , 0 , 2.On a donc la distribution suivante:

x -2 0 2

p( x) ¼ ½ ¼ 1

Donc E( X ) = -2(¼ ) + 0(½ ) + 2(¼) = 0.

Problème XVous avez 3 soucoupes: une verte, une rouge et une bleue; et 3 tasses de couleurs correspondantes. Vous pla-

cez les tasses sur les soucoupes au hasard. Soit X le nombre de paires (tasse-soucoupe) de couleurs appareil-lées. Déterminez E( X ).

Voici une description de l'espace échantillon:

Soucoupe v r b v r b v r b v r b v r b v r bTasse v r b v b r r v b r b v b r v b v r

X 3 1 1 0 1 0

Donc la fonction de masse de X est

x 0 1 3 p( x) 2/6 3/6 1/6

E( X ) = 0(2/6) + 1(3/6) + 3(1/6) = 1.

Problème XIVous devez partir pour Winnipeg, via la ligne aérienne A, qui demande 250 $ pour le billet. Mais vous êtes

tenté par un autre vol, offert par la ligne B qui partira une heure plus tard et qui ne coûte que 200 $. Le mal-heur, c’est que l’avion est plein, et qu’il n’y aura de place que s’il y a une annulation de dernière minute. Si

cela vous arrive, vous devrez prendre un billet en classe d’affaires, à 400 $. Le préposé de la ligne B vous

assure qu’il y a des annulations dans 60% des cas, et que vous êtes première dans la liste d’attente. Quelle estla stratégie qui vous donne l'espérance de coût la plus basse?

Soit X votre coût si vous attendez une place dans la ligne B. X prend les valeurs 200 et 400 avec probabilités 0,6 et 0,4, respectivement.E( X ) = 200(0,6) + 400(0,4) = 280 $, ce qui est plus cher que les 250 $ que vous pouvez payer maintenant en

prenant la ligne A. Si le seul critère est le critère de coût, on choisira de partir tout de suite avec la ligne A.

Problème XIIUne compagnie pétrolière estime à 85% la probabilité de trouver assez de pétrole dans un puits qu’elle

s’apprête à creuser. Dans ce cas, elle s’attend à réaliser un profit net de 7 millions de dollars. Sinon, ellerenoncera à l’exploiter, et aura ainsi perdu 2,5 millions de dollars en coûts de forage. Quelle est son

espérance de profit?

Son profit X est, en millions de dollars, 7 ou –2,5, avec probabilités 0,85 et 0,15, respectivement.Alors E( X ) = 7(0,85) – 2,5(0,15) = 5,575.



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Problème XIIIDebout devant la vendeuse de la boutique BPBQ, Julie hésite. Cette robe qu'elle tient à acheter pour le

mariage de sa fille lui est offerte pour 1 800 $. Elle doit l'acheter aujourd'hui, car ce soir la robe sera rendue

au manufacturier. Elle sait que la seule autre boutique qui a cette robe, la très chique ERQP, la vend pour 2

200 $. Pourquoi hésite-t-elle? Parce qu'il y a des chances que demain ERQP mette la robe en vente à demiprix! Pas très probable, lui dit-on, environ 25% de chance. Quand même, la tentation d'attendre est forte,

car l'épargne serait importante. Le risque, c'est que la robe ne soit pas réduite, auquel cas Julie paiera leplein prix (2 200 $). Que doit-elle faire? (Elle est disposée à prendre une décision sur la base d'espérance decoût)

Soit X le prix que Julie paiera si elle attend au lendemain. X prend les valeurs 2 200 avec probabilité 0,75 et 1 100 avec probabilité 0,25.Donc l'espérance de X est 2 200(0,75) + 1 100(0,25) = 1 925 $. Ceci étant plus cher que le prix de 1 800 $qu'elle paierait chez BPBQ, elle préfère acheter tout de suite sa robe chez BPBQ.

Problème XIVDans chacun des numéros suivants, on décrit une expérience et deux variables aléatoires, X et Y . Dites si X etY sont indépendantes ou non et justifiez.

a) Je tire au hasard deux personnes dans une salle de cours, avec remise.

X: Note au dernier examen de la première personne;

Y : Note au dernier examen de la deuxième personne.

Puisqu’on tire avec remise, les deux variables sont indépendantes.

b) Même contexte qu’en a), sauf qu’on tire sans remise.

X: Note au dernier examen de la première personne;

Y: Note au dernier examen de la deuxième personne.

Lorsqu’on tire sans remise, la valeur observée au premier tirage affecte les probabilités au deuxième.Plus X est grand, plus Y a tendance à être petit. Et inversement. La corrélation est négative.

c) Lundi prochain, vous prendrez votre pression artérielle.

X: votre pression systolique;Y: votre pression diastolique.

Ceux qui prennent souvent leur pression constatent que les deux évoluent ensemble : quand la pression systoli-que est forte, la pression diastolique l’est aussi; inversement, quand la pression systolique est faible, la pressiondiastolique l’est aussi. Donc X et Y sont dépendantes.

d) Lundi prochain, vous prendrez la pression systolique de Gilles Péladeau, un résident dans un foyer; et

vous recommencerez deux mois plus tard.

X: la pression systolique de Gilles Péladeau lundi prochain;Y: la pression systolique de Gilles Péladeau dans deux mois.

X et Y sont probablement indépendantes.Votre pression aujourd'hui ne laisse rien présager quant à votre pression dans deux mois

e) Lundi prochain, vous choisirez au hasard quelqu’un à l'UQAM (parmi les étudiants et employés) et vous

prendrez sa pression systolique le jour même et une deuxième fois deux mois plus tard. X: la pression systolique lundi;Y: la pression systolique dans deux mois.

X et Y sont dépendantes dans le sens que si X est élevé, je peux prédire que Y le sera aussi. Chaque personne aune pression moyenne qui diffère de celle des autres, et celle-ci peut être faible, moyenne, ou forte. Si voustombez lundi sur quelqu'un avec pression faible, il y a de fortes chances que sa pression soit faible deux mois

plus tard. Inversement, si vous tombez lundi sur quelqu'un avec pression forte, il y a de fortes chances que sa pression soit forte deux mois plus tard.



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f) Je tire au hasard un garçon parmi tous les garçons du secondaire II.

X: une mesure de sa force physique;

Y: une mesure de son vocabulaire.

X et Y sont probablement indépendantes: les gens forts n’ont pas nécessairement un vocabulaire plus riche (ou plus pauvre) que les autres.

g) Je tire au hasard une fille parmi toutes les filles du secondaire (tous les niveaux confondus) X: une mesure de sa force physique;

Y: une mesure de son vocabulaire.

X et Y sont presque sûrement dépendantes.Les filles dans les classes avancées sont physiquement plus fortes et ont un vocabulaire plus riche que cellesdans les classes plus basses.Et les filles dans les classes élémentaires sont physiquement moins fortes et ont un vocabulaire moins riche quecelles dans les classes plus avancées.

h) Demain matin je tirerai au hasard deux pommes de mon pommier (qui contient un nombre quasi infini

de pommes).

X: le poids de la première pomme;

Y: le poids de la deuxième pomme. X et Y sont indépendantes

i)* Même contexte qu’en h), sauf que j’ai deux pommiers de deux espèces différentes, A (qui donne des pom-mes petites ) et B (qui donne des pommes grandes), et je choisis au hasard celui des deux dans lequel je

cueillerai mes deux pommes.

X: le poids de la première pomme;

Y: le poids de la deuxième pomme.

X et Y sont dépendantes: les pommes auront tendance à être soit toutes deux petites (si elles sont tirées de A),soit toutes deux grandes (si elles sont tirées de B).

j)* Même contexte qu’en i) sauf que je cueille une pomme de chaque pommier (plutôt que les deux dans le

même pommier).

X: le poids de la pomme cueillie dans le pommier A;

Y: le poids de la pomme cueillie dans le pommier B.

X et Y sont indépendantes: le poids de la pomme cueillie dans A ne donne aucune information sur le poids pos-sible de la pomme cueillie de B

k)* Même contexte qu’en j) sauf que je choisis les pommiers dans un ordre aléatoire.

X: le poids de la première pomme (qui peut avoir été cueillie dans le pommier A ou dans le pommier B);Y: le poids de la deuxième pomme (cueillie dans l’autre pommier).

X et Y sont dépendantes : X est petit est accompagné de Y sera grand; et X grand est accompagné de Y petit.

l) Je tire au hasard une personne dans une grande population :X : La longueur de son fémur

Y : La longueur de son tibia

X et Y sont presque sûrement dépendantes: les grand fémurs vont généralement avec les grands tibias; et les pe-tits fémurs avec les petits tibias.

m) Je tire au hasard un ménage dans une population de ménages :

X : Revenu familial

Y : Superficie du logement



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X et Y sont probablement dépendantes puisque les familles avec de gros revenus se paient normalement desgrands logements.

n) Stéphanie et Mélanie, deux femmes qui ne se connaissent pas, attendent un enfant :

X : Le poids du bébé de Stéphanie

Y : Le poids du bébé de Mélanie

X et Y sont indépendantes: si vous connaissez le poids du bébé de Stéphanie, vous n'en ferez pas une meilleure prédiction de celui du bébé de Mélanie

o)* Stéphanie et Mélanie, deux sœurs, attendent un enfant :

X : Le poids du bébé de Stéphanie

Y : Le poids du bébé de Mélanie

X et Y sont probablement aussi indépendantes que si Stéphanie et Mélanie ne se connaissaient pas

p)* Au hasard, on choisit deux sœurs adultes ayant donné naissance à des bébés

X : Le poids du bébé de l'une d'elles

Y : Le poids du bébé de l'autre

X et Y sont dépendantes (sans doute faiblement) si on suppose que la tendance à avoir de gros bébés est un trait

familial. Car alors on peut prédire que si la première a un gros bébé, la deuxième aussi aura un gros bébé.

q) On tire au hasard une famille parmi toutes les familles avec deux enfants adultes :

X : La taille de l'aîné

Y : La taille du cadet

X et Y sont presque certainement dépendantes.

Problème XVQuelle est la probabilité que dans une famille de 7 enfants il y ait 2 filles et 5 garçons? On sait que la proba-

bilité d’un garçon est de 51,3%. (Négligez les naissances de jumeaux)

Soit X le nombre de garçons. Alors X ~B(7 ;0,513).

P( X = 5) = 0,176955.

Problème XVISi X ~ B(15 ; 0,6), calculer la probabilité que le nombre de succès moins le nombre d’échecs soit supérieur à

9.

P( X - (15- X ) > 9) = P(2 X - 15 > 9) = P( X > 12) = 0,0271.

Problème XVIIUn restaurateur sait qu'en moyenne 20 % des clients qui réservent une table ne se présentent pas. Un soir

donc, il accepte 7 réservations alors qu'il n'a que 5 tables.

a) Quelle est la probabilité qu'il y ait de la place pour tous ceux qui se présentent?

Soit X le nombre de clients (ou groupe de clients ayant réservé une même table) qui se présentent.Alors X ~B(7 ; 0,8).

Il y aura de la place pour tout le monde si X ≤ 5.

P( X ≤ 5) = 1 – P( X ≥ 6) = 1 – [P( X = 6) + P( X = 7)] = 1 – [0,36700 + 0,20972] = 0,4233.

b) Quelle est l'espérance du nombre de réservations qui ne sont pas respectées?

Le nombre Y de réservations qui ne seront pas respectées prend les valeurs 0, 1, 2 avec probabilitésP(Y = 0) = P( X ≤ 5) = 0,4232832 ; P(Y = 1) = P( X = 6) = 0,3670016; P(Y = 2) = P( X = 7) = 0,2097152.E(Y ) = (0)(0,4232832) + 1(0,3670016) + 2(0,2097152) = 0,786432.



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Problème XVIII

Dans chacun des cas suivants, on présente deux variables aléatoires, X et Y . Dites si σ X > σY , σ X < σY , σ X = σY ,ou s’il est impossible d’en décider sans information supplémentaire. Justifiez brièvement votre réponse (à

l'aide de calculs s'il y a lieu).

a) On effectue des essais indépendants jusqu'au moment du premier succès. La probabilité de succès est p.

X : Nombre d'essais nécessaires lorsque p = 0,1 Y : Nombre d'essais nécessaires lorsque p = 0,5

Les deux variables sont de loi géométrique. Leur variance est (1- p)/ p2 Var( X ) = (1- p)/ p2 = 0,9/(0,1)2 = 90Var(Y) = (1- p)/ p2 = 0,5/(0,5)2 = 2Donc σ X > σY

b) On tire avec remise un échantillon de n personnes dans une salle de 40 personnes.

X : Nombre de fumeurs dans l’échantillon lorsque n = 5 Y : Nombre de fumeurs dans l’échantillon lorsque n = 20

X et Y sont de loi B(5 ; p) etB(20 ; p), respectivement.

Var( X ) = 5 p(1- p) < 20 p(1- p) = Var(Y ). Donc σ X


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bable d'avoir un F grand et un T grand — il faudrait que les deux événements se produisent simultanément.Mais s'il s'agit d'une même personne, un F grand va presque automatiquement entraîner un T grand.

g) La quantité d'ingrédient actif d'une certaine pilule a un écart-type de 0,01 mg, quelle que soit la grosseur

de la pilule

X : La quantité d'ingrédient actif dans une pilule de 10 mgY : La quantité totale d'ingrédient actif dans deux pilules de 5 mg chacune

Var( X ) = 0,012 alors que Var(Y ) = Var(Y 1+Y2) , où Y 1 et Y 2 sont les quantités des deux pilules, etVar(Y 1) = Var(Y 2) = 0,01

2, par hypothèse.Alors Var(Y ) = Var(Y 1) + Var(Y 2) = 2(0,01)

2. Donc σ X


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E( X ) = np = 5(13/24) = 2,7083 Var( X ) = npq( N - n)/( N - 1) = 5(13/24)(11/24)(24-5)/(24-1) = 1,0254378

f) On observe les arrivées au service d’urgence d’un hôpital un lundi après-midi. On sait que les lundis

après-midi il y a en moyenne 25 arrivées durant la période de 13h00 à 17h00 X = le nombre d’arrivées un lundi de 13h00 à 13h30

X ~P(3,125) [En supposant que le taux moyen d'arrivées est constant au cours de l'après-midi.E( X ) = 3,125; Var( X ) = 3,125

g) On tire un échantillon de 10 lentilles cornéennes dans un lot de 10 000 lentilles dont 25 sont défectueuses. X = le nombre de lentilles défectueuses dans l’échantillon

X ~ H(10 ; 25 ; 9975). Posons p = 25/10000 , q = 1-p.

E( X ) = 10(25/10000) = 0,025;Var( X ) = 10 pq[(10000-10)/(10000-1)] = 0,02492.Étant donné la taille de la population, la loi hypergéométrique est très proche de la loi binomiale, X ~B(10 ; 0,0025) approximativement et donc E( X ) = np = 0,025 et Var( X ) ≈ npq = 0,02494.

Remarque : contrairement à ce que nous ferait croire la taille de l'échantillon, en principe trop petite, la loi dePoisson fait l'affaire aussi, avec λ = 0,025. Vous pouvez calculer quelques probabilités avec les trois lois et

constater à quel point elles sont proches.h) On tire un échantillon de 100 lentilles cornéennes dans un lot de 100 000 lentilles dont 25 sont défectueu-

ses. X = le nombre de lentilles défectueuses dans l’échantillon

X ~ H(100 ; 25 ; 99975)

E( X ) = 100(25/100000) = 0,025;Var( X ) = 100(25/100000)(99975/100000)[(100000-100)/(100000-1)] = 0,02497.Étant donné la taille de la population, X est aussi approximativement de loiB(100 ; 0,00025) et donc E( X ) =

0,025 et Var( X ) ≈ 100(0,00025)(0,9975) = 0,02499Finalement, la loi de Poisson peut également s'appliquer approximativement: X ~P(0,025), auquel cas E( X ) =

0,025 et Var( X ) ≈ 0,025.

i) On observe les appels reçus dans un bureau entre 13h00 et 16h00 un certain après-midi. Normalement

les appels arrivent dans cet intervalle de temps au rythme d’un appel par deux minutes.

X = le nombre d’appels reçus entre 13h00 et 16h00 cet après-midi

X ~P(90)

E( X ) = 90; Var( X ) = 90

j) On observe 25 appels effectués par un vendeur au téléphone. Dans le passé, ce vendeur a réussi enmoyenne une vente à chaque 100 appels.

X = le nombre de ventes

X ~B(25 ; p) où p est estimé à 0,01

E( X ) = 25( p) = 0,25 ; Var( X ) = npq = 0,2475

k) On tire un échantillon de 100 vis dans un lot de 100 000 vis dont 250 sont défectueuses X = le nombre de vis défectueuses dans l’échantillon

X ~ H(100 ; 250 ; 99750)

Définissons p = 250/100000 = 0,0025E( X ) = np = 100(0,0025) = 0,25 Var( X ) = npq( N -n)/( N -1) = 100(0,0025)(0,9975)(100000-100)/(100000-1) = 0,2491.On peut aussi considérer que X suit approximativement une loiB(100 ; 0,0025), auquel cas Var( X ) ≈ npq =

0,2494.



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Enfin, la loi de Poisson peut aussi servir comme approximation : X ~P(0,25), avec E( X ) = 0,25 et Var( X ) ≈

0,25.

l) X = le nombre d’adultes au chômage dans l’échantillon

On tire un échantillon de 100 adultes d’une population de 100 000 adultes dont 30 000 sont au chômage.

X ~ H(100 ; 30000 ; 70 000)

Définissons p = 30000/100000 = 0,3E( X ) = np = 100(0,3) = 30

X Var( ) = q( - )/( -1) = 100(0,3)(0e X ~B(1

np N n N ,7)(100000-100)/(100000-1) = 20,9792.On peut aussi considérer qu 00 ; 0,3) approximativement, auquel cas on a Var( X ) ≈ npq = 21.

[ Remarque La loi de Poisson ne peut pas servir d’approximation ici car p est trop grand. Remarquez,d’Ailleurs, que si on employait l’approximation par la loi de Poisson, on aurait trouvé pour variance la

2

valeur

σ = λ = 30, une surestimation de près de 50 %]

Un vendeur décide qu’il terminera sa journée dès qu’il aura réussi 1 vente. La probabilité d’une vente

est de 25 % à chaque essai.

m)*

u'en un jour il fasse plus de 10 essais.

X = le nombre de jours parmi les 5 jours de la semaine prochaine où il fera plus de 10 essais

X ~B(5 ; p) où p est la probabilité q

Donc p = P( Z > 10 | Z ~ G(0,25)) = (0,75)10 = 0,056313515E( X ) = np = 0,28157 Var( X ) = npq = 0,2657115.

n)* s dans une page est une variable de loi de Poisson (à peu près) de moyenne = 0,5.ombre de pages sans erreur parmi les 100 premières pages

Le nombre d'erreur X = le n

X ~B(100 ; p) où p est la probabilité d'une page sans erreur, soit

p = e-0 530,5 = 0,606 7E( X ) = np = 100(0,6065307) = 60,65307 Var( X ) = npq = 100(0,6065307)(1-0,6065307) = 23,86512.

o)* une variable de loi de Poisson de moyenne = 0,5. On vérifie les

moins une erreur.

Le nombre d'erreurs dans une page est

pages une à une en commençant par la page 1. X = le numéro de la première page dans laquelle on trouve une erreur

X ~ G( p) où p est la probabilité d'une page avec au

p -0,5 = 0,39= 1 – e 34693E( X ) = 1/ p = 1/0,3934693 = 2,54149

2 2Var( X ) = q/ p = (1-0,3934693)/(0,3934693) = 3,917698.

Problème XIXIl y " ne soit pas en fait dénoyautée. Une épicerie les

de 12 et pour créer une atmosphère dans le quartier le gérant offre une garantie : si plus

; 0,02). La proportion de clients0,0231

b)* .

a une probabilité de 0,02 qu’une datte dite "dénoyautée

vend en paquets

d’une datte dans le paquet n’est pas dénoyautée, il offre un paquet gratuit.

a) Quel est le pourcentage de clients qui reçoivent un paquet gratuit?

Si X est le nombre de dattes non dénoyautées dans un paquet, alors X ~B(12qui recevront un paquet gratuit est P( X > 1) = 1 – P( X = 0) - P( X = 1) =

Un client décide de se continuer à acheter des paquets jusqu’au moment où il reçoit un paquet gratuit

Quelle est la probabilité qu'il doive acheter plus de 3 paquets?

Si X est le nombre de paquets qu'il achète, alors X ~ G( p) où p = 0,0231. P(acheter plus de 3 paquets) = P( X >

10) = 0,02313 = 0,0000123264.



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Problème XXVous comptez acheter un immeuble de 22 appartements, et le propriétaire actuel affirme que seulement 5 des

locataires ont un animal domestique. Vous visitez 5 appartements au hasard, et constatez que 4 d'entre eux

ont un animal domestique. Avez-vous de bonnes raisons de douter de l'affirmation du propriétaire? Votre

conclusion doit être basée sur des chiffres.

Soit X le nombre d'appartements avec animaux domestiques dans un échantillon de taille 5.

Alors X ~ H(5 ; N 1 ; 22- N 1), où N 1 = nombre d'appartements dans l'immeuble ayant un ou des animauxdomestiques.Admettons l'hypothèse que le propriétaire dit vrai.Alors X ~ H(5 ; 5 ; 17) et la probabilité, sous cette hypothèse, d'un résultat aussi extrême que celui qui a été

observé est P( X ≥ 4) = 0,00327.Le résultat observé étant très peu probable sous l'hypothèse que le propriétaire dit la vérité, nous devons rejetercette hypothèse.Une autre approche, approximative et moins formelle, est celle-ci : si le propriétaire dit vrai, µ = E( X ) = 5(5/22)= 1,13636 et σ2 = Var( X ) = 5(5/22)(17/22)(22-5)/(22-1) = 0,7108. Donc la valeur X = 5 correspond à une cote

Z de (5 = 4,31, une valeur énorme et très peu probable (sous l’hypothèse que le1,13636)/ 0,7108−

propriétaire dit vrai). Nous concluons donc que le propriétaire ne dit pas la vérité.

Problème XXIUn professeur prétend pouvoir distinguer l’écriture des femmes de celle des hommes. Pour démontrer cette

capacité, il accepte de se livrer à l’expérience suivante : on lui présente 11 textes, et il classe chacun selon ce

qu’il pense être le sexe de l’auteur.

1. Supposons que le professeur est tout à fait incapable de distinguer les deux écritures, et son mode de déci-

sion équivaut essentiellement à choisir ses réponses au hasard. Quelle est l'espérance du nombre de bons

choix?

Soit X le nombre de décisions correctes. Alors X ~B(11 ; ½) et E( X ) = 11( ½) = 5,5 .

2. Supposons qu'il a deviné correctement 9 fois. Peut-on conclure qu’il a une certaine capacité de distinguerles écritures? Déterminer la probabilité d’un tel succès (c'est-à-dire, que le nombre de succès soit supé-

rieur ou égal à 9) et concluez à partir de cette probabilité.

X , le nombre de décisions correctes est de loiB(11 ; p). S’il est totalement incapable de distinguer les écritu-

res, p = ½ et alors P( X ≥ 9) = 0,0327. Cette probabilité est plutôt petite (convenons de déclarer « petite » toutevaleur inférieure à 0,05), ce qui veut dire qu’il est peu probable qu’il réussisse si bien s’il n’a aucune capacité dedistinguer les écritures. On conclut donc qu’il a une certaine capacité.Une approche moins précise mais plus simple est celle-ci : sous l’hypothèse que le professeur n’au aucune capa-cité de distinguer les écritures, µ = E( X ) = 5,5 et σ2 = Var( X ) = 2,75. La valeur observée X = 9 correspond alors

à une cote Z égale à (9 5, 5) / 2, 75− = 2,11, ce qui est plutôt grand, une valeur peu probable sous l’hypothèse.

Nous allons donc rejeter cette hypothèse.

3.* Supposez maintenant qu’on lui ait dit d’avance qu’il y a 6 femmes parmi les auteurs des 11 textes. Ils'arrangera pour attribuer exactement 6 textes à des femmes. S’il a deviné correctement 9 fois, que peut-

on conclure? Calculer l'espérance du nombre de bons choix sous l’hypothèse qu’il n’a aucune capacité de

distinguer; déterminez la probabilité d’un nombre aussi important de succès sous cette hypothèse.

Soit X le nombre de textes réellement écrits par des femmes parmi les 6 qu'il a choisis.Alors s’il n’a vraiment aucune capacité de distinguer les écritures, X ~ H(6 ; 6; 5), E( X ) = 6(6/11) = 3,2727.

Le nombre de réussites est Y = 2 X -1, comme le montre le schéma suivant:

Le prof a déclaré que le texte est écrit par

une femme un homme

une femme X 6- X 6Le texte est écrit parun homme 6- X X -1 5

6 5 11



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Donc E(Y ) = E(2 X -1) = 2E( X ) – 1 = 2[3,2727]-1 = 5,5454. Remarquez que l’espérance est supérieure ici à celleobtenue en 1: on s’attend à un plus grand nombre de succès lorsque le prof bénéficie d’une information supplé-mentaire (« le nombre de femmes est 6 »).La probabilité d’un nombre de succès aussi imposant est P(Y ≥ 9) = P(2 X -1 ≥ 9) = P( X ≥ 5) = 0,0671.Si nous utilisons le même critère de « petitesse » qu’en 2, on déclare que cette probabilité n’est pas excessive-ment petite et on ne peut pas conclure que le prof a la capacité de distinguer les deux écritures.

[L’approche via la cote Z donne Z = 2,003 et nous mènerait à la conclusion contraire; mais cette approche estapproximative. Elle est basée sur la supposition que cette valeur de Z est très improbable, c’est-à-dire, sur lasupposition que P(| Z | ≥ 2,003) < 0,05.]

4.* L’approche en 3 a été basée sur Y , le nombre de bons choix, ce qui est naturel : on décidera de sacompétence à partir du nombre de succès. Mais il aurait été parfaitement légitime—et plus simple—de

s’en tenir à X , le nombre de textes réellement écrits par des femmes parmi les 6 qu’il a pointés commeayant été écrits par des femmes : plus il est capable de distinguer les écritures, plus X a tendance à êtregrand. Reprenez l’argumentation en 3 en vous basant uniquement sur X . S’il a fait en tout 9 bons choix, c’est que 5 des 6 textes qu’il a pointés comme ayabt été écrits par des femmesont réellement été écrits par des femmes. Donc on a observé X = 5, et la probabilité d’un nombre aussi impor-tant est P( X ≥ 5) = 0,0671 —la même probabilité que tantôt. Cette approche est tout à fait équivalente à celle

basée sur Y .

Problème XXIIUn vendeur passe la journée au téléphone. Le nombre de ventes qu'il réalise est une variable de loi de Pois-

son avec = 3. On sait que 30% des ventes seront annulées par la suite.

a) Quelle est la probabilité que le vendeur doive faire plus de 5 ventes pour en avoir une qui ne soit pas an-

nulée?

Si X est le nombre de ventes qu'il fait jusqu'au moment de la première qui n'est pas annulée,alors X suit une loi géométrique de paramètre p = 0,7. P( X > 5) = (1- p)5 = 0,00243.

b) Quelle est la probabilité qu’Albert fasse 5 ventes, mais que toutes soient annulées?

On cherche P(X = 5 et 5 ventes annulées) = P( X = 5)P(5 ventes annulées),où X est le nombre de ventes que fait Albert.P( X = 5)P(5 ventes annulées) = (0,1008188)(0,3)5 = 0,000245.

revision intra

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