Error and attack tolerance of complex networks

Komplex hlzatok hiba- s tmadstrse Kivonat

Komplex hlzatok hiba- s tmadstrse (kivonat)Szerzk: Albert Rka, Hawoong Jeong, Barabsi Albert-LszlDepartment of Physics, University of Notre Dame, Notre Dame, IN 46556A kivonatot ksztette Blint Balzs az ELTE-IKKK rszre1.Sok komplex rendszer meglepen magas fok tolerancit mutat a hibkkal szemben. A komplex kommunikcis-hlzatok is nagyon robosztusak, mikzben kulcskomponensek rendszeresen hibsan mkdnek, a loklis hibk ritkn vezetnek a hlzat globlis informciszllt funkcijnak elvesztshez. Ezen (s ms) hlzatok stabilitst gyakran a rendszer komponenseinek redundns sszekttetseivel magyarzzk. Ez a tanulmny azt hivatott demonstrlni, hogy a hibatrs nem minden redundns rendszerre jellemz, csak az inhomogn-mdon sszekttt rendszerek egy osztlynak sajtja, melyet sklafggetlen hlzatnak neveznk. A sklafggetlen hlzatok (Internet, WWW stb.) nagyfok robosztussgot mutatnak, vagyis a csompontok kpessgt a kommunikcira mg valszntlenl magas meghibsodsi arnyok sem zavarjk. De ezek a rendszerek nagyon vdtelenek a tmadsokkal szemben, nevezetesen azzal szemben, hogy nhny, az sszefggsgben kulcsszerepet jtsz, csompontot kivlasztanak s eltvoltanak. Ez a hibatrs s tmadsokkal szembeni vdtelensg a kommunikcis-hlzatok sajtja.gy tnik, hogy a komplex hlzatok kt osztlyba sorolhatk az sszekapcsoltsgi megoszlsuk P(k) alapjn. A P(k) azt adja, hogy mekkora a valsznsge, hogy egy csompont k msikkal ssze van ktve. Az els osztlyt olyan P(k) jellemzi, ami egy tlagnl tetzik, s a nagyobb k-k fel exponencilisan cskken. Ilyen exponencilis hlzat pl. Erds s Rnyi random grf modellje s Watts s Strogatz kis-vilg modellje, mindkett elg homogn hlzathoz vezet, minden csompontnak kapcsolata van. Eredmnyek az Internetrl, WWW-rl s ms nagy hlzatokrl azt mutatjk, hogy sok rendszer az inhomogn rendszerek egy osztlyba, a sklafggetlen hlzatok osztlyba tartozik. Itt P(k) egy hatvnyfggvny szerint cskken: P(k) k, karakterisztikus skltl fggetlenl. Mg az exponencilis hlzatokban annak valsznsge gyakorlatilag kizrhat, hogy egy csompontnak sok kapcsolata van (k >>), addig a sklafggetlen hlzatokban statisztikailag jelents a sok kapcsolattal rendelkez csompontok szma.A kt alap hlzati modell robosztussgnak vizsglatval kezdjk: Az Erds-Rnyi (ER) (exponencilis) modellel s egy sklafggetlen modellel.

Az ER-ben definilunk N cscsot majd p valsznsggel sszektnk minden cscs-prt. Ez egy homogn hlzatot eredmnyez, ahol az sszekapcsoltsg egy Poisson-eloszlst kvet, ami -nl tetzik, s exponencilisan cskken k >> fel. A sok valdi hlzatra jellemz, inhomogn sszekapcsoltsgi eloszlst reproduklja a sklafggetlen modell. Ez megtestest kt sszetevt ami jellemz a valdi hlzatokra: a nvekedst s a preferencilism kapcsoldst (preferential attachment). A model m csccsal indul. Minden t id-lpsben egy j cscs addik hozz, m kapcsolattal a mr meglev cscsokhoz. A

EMBED Equation.3 valszinsge annak, hogy az j cscs kapcsoldik az i cscshoz az i cscs k sszekapcsoltsgtl fgg,. Nagy t esetn az sszekapcsoltsgi eloszlst egy hatvnyfggvny hatrozza meg : P(k) = 2.

Egy hlzat sszefggsgt az tmrje (d) jellemzi, ami a brmely kt cscs kzti legrvidebb utak tlaga. Az tmr jellemzi kt cscs kpessgt a kommunikcira egymssal. A nagyon sok csomponttal rendelkez hlzatoknak meglehetsen kicsi az tmrje (pl.: WWW 800 milli csompont, az tmr kb. 19).

A kt hlzati modell sszehasonltsra kt hlzatot generltunk, ugyanannyi csomponttal s kapcsolattal, gy hogy a P(k) Poisson eloszlst kvessen az exponencilis hlzatnl s hatvnyfggvny eloszlst a sklafggetlen modellnl.Hibatrs

Az tmr vltozst tanulmnyoztuk a cscspontok kis tredknek f eltvoltsa esetn. Az exponencilis hlzatnl az tmr monoton n f-fel, vagyis a redundns sszekapcsoltsg ellenre egyre nehezebb a csompontoknak egymssal kommuniklni. Ez a homogenits eredmnye, mivel brmely csompont eltvoltsa nagyjbl ugyanakkora krt okoz.Ezzel szemben a sklafggetlen hlzatnl a hibk egy bizonyos szintje alatt az tmr nem vltozik. Teht ha akr a csompontok 5%-a is meghibsodik, az sem befolysolja a maradk csompontok kzti kommunikcit. Ez a robosztussg az inhomogn sszekapcsoltsgi eloszlsban gykerezik, mivel a hatvnyfggvny szerinti eloszls kvetkeztben a csompontok tbbsgnek kevs kapcsolata van sokkal nagyobb valsznsggel vlasztdik ki kevs kapcsolat pont, s ezen kicsi csompontok eltvoltsa nem vltoztatja meg a maradk csompontok t struktrjt, gy nincs hatsa az ltalnos hlzati topolgira.Tmadstllsi kpessgEgy jl informlt tmad a legtbb sszekttetssel rendelkez csompontokat tmadja. A tmads szimullsra elszr a legtbb sszekttetssel rendelkez csompontot tvoltjuk el, majd folytatjuk tovbb az eltvoltst, a csompontok sszekapcsoltsgnak k cskken sorrendjben. A homogn hlzatnl az tmrre nagyjbl ugyanolyan hatssal van, ha vletlenszeren, vagy ha k szerint cskken sorrendben tvoltjuk el a csompontokat.A sklafggetlen hlzatnl a legtbb sszekttetssel rendelkez csompontok eltvoltsval az tmr gyorsan n, 5% eltvoltsval dupljra. Ennek oka az inhomogn sszefggsgi eloszls, az sszefggsget nhny jl sszekttetett csompont biztostja, melyek eltvoltsa drasztikusan megvltoztatja a hlzat topolgijt.Hlzat-tredezettsgMikor egy hlzatbl csompontokat tvoltunk el, csompontok vagy klaszterek vlhatnak le a f klaszterrl. A legnagyobb klaszter mrett az egsz hlzat mretvel osztva kapjuk S-t, s ezt mrjk mikor a hlzat csompontjainak f tredkt eltvoltjuk. Azt talltuk, hogy exponencilis hlzatnl f emelse az S-re kszbszeren hat, vagyis f > 0.28 esetn S 0. Hasonl viselkeds figyelhet meg az izollt klaszterek (minden klaszter kivve a legnagyobb) tlagos mretnek tanulmnyozsnl is. Az gyorsan n 2 ig, -nl, majd cskkenni kezd =1 ig.

Az eredmnyek a kvetkez meghibsodsi forgatknyvet valsznstik:

Kis f esetn csak egyedlll csompontok szakadnak le, 1, de f emelkedsvel a f klaszterrl levl tredkek mrete is n, sajtos viselkedst mutatva -nl. Az -nl a rendszer gyakorlatilag sztesik, a f klaszter kicsi rszekre esik, S 0 s itt tetzik. Tovbb nvelve f-et az izollt klaszterek is tredezett vlnak,amitl cskken.A sklafggetlen hlzat reakcija a hibkra s tmadsokra nagyon eltr ettl.Vletlen hibk esetn a tredezettsgnek nincs kszbe, a legnagyobb klaszter mrete lassan cskken. Az, hogy 1 a legtbb f esetn, azt jelzi, hogy a nvekv hibaszint csak egyedli csompontok izolcijhoz, nem pedig klaszterek izolcijhoz vezet. Teht a sklafggetlen hlzat egyben marad, mint egy nagyon nagy klaszter, mg nagyon nagy f-nl is. Ez jabb bizonytk, hogy a hlzat topolgikusan nagyon stabil vletlen hibk esetn. A kritikus pont teht csak nagyon ksn jn el, a hlzat csak azutn omlik ssze miutn a f klaszter teljesen lebomlott.De intelligens tmads esetn a sklafggetlen hlzat hasonlan, csak gyorsabban, omlik ssze, mint az exponencilis hlzat tmads vagy hiba esetn. Mr

0.18-as kritikus kszbnl (ami kisebb mint az

EMBED Equation.3 0.28 az exponencilisnl) sszeomlik, s sok izollt klaszterre bomlik.2.A tovbbiakban az Internetet s a WWW hiba s tmads trst tanulmnyoztuk.

Nemrg Faloutsos s msok az Inernet topolgiai tulajdonsgait tanulmnyoztk router s inter-domain szinten. Azt talltk, hogy az sszekapcsoltsgi eloszlst egy hatvnyfggvny hatrozza meg: P(k). Ezrt a vrakozs szerint az eddig lertak szerinti hibatrst s tmadssal szembeni sebezhetsget kellene mutatnia. Az internet topolgijra vonatkoz legjabb felmrs szerint adtuk meg a hlzatot inter-domain (autonm) szinten. s valban azt talltuk, hogy az Internet tmrjt mg a csompontok 2.5%-nak (ami jval nagyobb nagysgrend, mint az Internet routerek 0,33%-os meghibsodsi rtja) vletlenszer eltvoltsa sem befolysolja.De ha a 2.5%-ot a legjobban sszekttetett cscspontok teszik ki (tmads esete), akkor az tmr meghromszorozdik. Hasonlan, ha vletlenszeren tvoltjuk el a csompontokat, a nagy sszekapcsolt klaszter sokig kitart, de tmads esetn a levl tredkek mrete gyorsan n, a kritikus pont 0.03 nl van.

A WWW is egy sklafggetlen hlzat. Hasonlkppen viselkedik, mint az elzek, annak ellenre, hogy az lei irnytottak.sszegezve, azt talltuk, hogy a sklafggetlen hlzatok, szemben az exponencilisakkal, nagyon tolernsak a vletlen hibkkal szemben. Valsznleg ez a robosztussg az alapja sok komplex rendszer hibatrsnek. Azt is megmagyarzza, hogy a gyakori router problmk ellenre mirt ritkk a globlis hlzati kimaradsok, vagy hogy sok web-lap ideiglenes elrhetetlensge ellenre mirt szrflhetnk zavartalanul az interneten. De a robosztussg ra a tmadsokkal szembeni vdtelensg: Ha a legjobban sszekapcsolt csompontokat tmadjk, az tmr gyorsan n s a hlzat izollt tredkekre bomlik. Ez a tmadsokkal szembeni vdtelensg nem tl biztat a kommunikcis rendszerek esetn.Mg az ltalnosan elfogadott nzet szerint az elosztott forrsmenedzsmenttel rendelkez hlzatok tmadsa kevss lehet sikeres, addig a fenti eredmnyek azt mutatjk, hogy a jelenlegi kommunikcis-hlzatok topolgiai gyengesgei, amik az inhomogn sszekapcsoltsgi eloszlsban gykereznek, komoly kihatssal vannak a tmadstllsi kpessgre, amit kihasznlhatnak azok, akik meg akarjk tmadni ezeket a rendszereket.

brk

1. bra: Az exponencilis s a sklafggetlen (Scale-free) hlzatok kzti klnbsg vizulis illusztrcija.Az exponencilis hlzat meglehetsen homogn, vagyis a csompontoknak nagyjbl ugyanannyi kapcsolatuk van. Ezzel szemben a sklafggetlen hlzat nagyon inhomogn, mg a legtbb csompontnak egy vagy kt kapcsolata van, addig egy kevsnek nagyszm kapcsolata van, garantlva a hlzat sszefggsgt. A legtbb kapcsolattal rendelkez csompontokat pirosra szneztk, a kzvetlen szomszdjaikat pedig zldre. Mg az exponencilis hlzatban az t legtbb kapcsolattal rendelkez csompont csak a csompontok 27%-hoz kapcsoldik, addig a sklafggetlenben 60%-hoz, demonstrlva milyen kulcsszerepet jtszanak a legjobban sszekttetett csompontok a sklafggetlen hlzatban. Mindkt hlzat 130 csompontot s 215 kapcsolatot tartalmaz (= 3.3). A hlzat vizualizcija a nagy hlzatok analzisre hasznlt Pajek programmal trtnt, .

2. bra: A hlzat tmrjnek vltozsa az eltvoltott csompontok hnyadnak fggvnyben.a. Az exponencilis (E) s a sklafggetlen (SF) modell sszehasonltsa, mindkett N=10 000 csompontot s 20 000 kapcsolatot tartalmaz (vagyis =4 ). A kk szimblumok az exponencilis (hromszgek) s a sklafggetlen (ngyzetek) hlzatok tmrjnek felelnek meg, mikor a csompontok f hnyadt vletlenszeren eltvoltjk (hibatrs). A piros szimblumok az exponencilis (gymntok) s a sklafggetlen (krk) hlzatok tmadsra adott vlaszt mutatjk, mikor a legtbb kapcsolattal rendelkez csompontokat tvoltjk el. Megllaptottuk azt, hogyan fgg az tmr f-tl klnbz rendszermretek esetn (N=1000, 5000, 20 000), s azt talltuk, hogy a kapott grbk, egy logaritmikus mret korrekcitl eltekintve, tfedsben vannak azzal, amit az a mutat, ami azt jelzi, hogy az eredmnyek fggetlenek a rendszer mrettl. Vegyk szre, hogy az unperturblt (f=0) sklafggetlen hlzat tmrje kisebb mint az exponencilis, ami azt mutatja, hogy a sklafggetlen hlzatok hatkonyabban hasznljk a rendelkezsre ll kapcsolatokat, egy jobban sszekapcsolt hlt generlva.

b. Az Internet tmrjnek vltozsai vletlenszer hibk (ngyzetek) s tmadsok (krk) esetn. Az Internet topolgikus trkpt hasznltuk, 6209 csompontot s 12200 kapcsolatot tartlamaz (=3.4), amit a National

Laboratory for Applied Network Research lltott ssze.c. A WWW hiba (ngyzet) s tmads (kr) tllsi kpessge, egy mintn mrve, ami 325729 csompontot s 1498353 kapcsolatot tartalmaz [3] , s = 4.59.

3. bra. A hlzat tredezettsge vletlen hibk s tmadsok esetn.

A legnagyobb klaszter relatv mrete S (res szimblumok) s az izollt klaszterek tlagos mrete (teli szimblumok) az eltvoltott csompontok hnyadnak f fggvnyben ugyanazon rendszerek esetn, mint a 2. brnl. Az S-t gy definiljuk, hogy a legnagyobb klaszter az sszes csompont hnyad rszt tartalmazza (vagyis S=1, ha f=0).

a. Az exponencilis hlzat tredezettsge vletlen hibk (ngyzetek) s tmadsok (krk) esetn. b. A sklafggetlen hlzat tredezettsge vletlen hibk (kk ngyzetek) s tmadsok (piros krk) esetn. A kis bra a hibatrsi grbket brzolja f teljes terjedelmn, azt mutatvn, hogy a f klaszter csak azutn esik szt, hogy teljesen lecskkent. Vegyk szre, hogy a sklafggetlen hlzat viselkedse hibk esetn konzisztens egy nagyon ksleltetett perkolcis fzistmenettel, irrelisan magas hibaszinteknl (

EMBED Equation.3 0.75) egy nagyon kis cscs figyelhet meg az -ben (1.06) mg vletlen hibk esetn is, jelezvn, hogy ltezik egy kritikus pont. Az a-nl s b-nl megismteltk az analzist N=1000, 5000, s 20000 mret rendszerekre is, s azt talltuk, hogy a kapott S s grbk tfedsben vannak az itt lthatval, azt jelezve, hogy a klaszetereseds ltalnos forgatknyve s a kritikus pont rtke fggetlen a rendszer mrettl. Az Internet (c) s a WWW (d) tredezettsge a 2. brnl leirt topolgiai adatok hasznlatval. A szimblumok ugyanazok, mint b-nl. Az d-n tmads esetn ms skln van brzolva, ami a keret jobb oldaln van feltntetve. Mg kis f-nl

1.5 addig = 0.067-nl az tlagos tredkmret hirtelen nni kezd, 60-nl tetzik, majd gyorsan cskken. A tmadsi-grbnl d-nl a csompontokat a kimen lek szma szerint rendeztk. Mikzben a hrom tanulmnyozott hlzat, a sklafggetlen modell, az Internet s a WWW klnbz -val, -val s klaszterezsi egytthatval rendelkezik, a tmadsokra s hibkra adott vlaszuk egyforma.Valjban azt talljuk, hogy ezen mennyisgek kzti klnbsgek csak az -t, valamint d, S s nagysgt vltoztatjk meg, de a rendszer perturbcikra adott vlasznak termszett nem.

4. bra. Egy hlzat hibkra s tmadsokra adott vlasznak sszefoglalsa.A kis brk a klaszter mret eloszlst mutatjk klnbz f rtkek esetn, mikor egy a 3. bra szerint paramterezett sklafggetlen hlzat vletlen hibknak (a-c) vagy tmadsoknak (d-f) van kitve. Fels panel: Az exponencilis hlzat hiba s tmads esetn illetve a sklafggetlen tmads esetn hasonlan viselkednek: kis f-nl klnbz mret klaszterek szakadnak le, de egy nagy klaszter tovbbra is megmarad. Ezt a klasztermret eloszls tmasztja al: mikzben lthat nhny 1 s 16 kztti mret tredk, van egy nagy 9000 mret klaszter (az eredeti hlzat mrete 10000). Egy kritikus az -nl (lsd 3. bra) a hlzat kis 1 s 100 kzti mret tredkekre bomlik (b), s a nagy klaszter eltnik. Mg magasabb f-nl (c) a klaszterek egyedlll csompontokra s kttag klaszterekre bomlanak. Als panel: A sklafggetlen modellek ms forgatknyvet kvetnek vletlen hibk esetn: A legnagyobb klaszter mrete lassan cskken, ahogy elszr egyedli csompontok majd kisebb klaszterek szakadnak le. Valban, f=0.05-nl csak egyedli s dupla csompontok szakadnak le (d). f=0.18-nl, mikor a tmads alatti hlzat mr tredezett (b), a hibktl sjtott hlzatban egy nagy 8000-es mret klaszter tallunk s 1-tl 5-ig mret izollt klasztereket (e). Mg f=0.45-s, irrelisan magas, hibaszintnl is kitart a nagy klaszter, a leszakadt klaszterek nagysga nem haladja meg a 11-et (f). PAGE 9/9

_1220343247.unknown

_1220344040.unknown

_1220344396.unknown

_1220344717.unknown

_1220344957.unknown

_1220345063.unknown

_1220345094.unknown

_1220344810.unknown

_1220344662.unknown

_1220344447.unknown

_1220344574.unknown

_1220344141.unknown

_1220344190.unknown

_1220344052.unknown

_1220343614.unknown

_1220343964.unknown

_1220344007.unknown

_1220343634.unknown

_1220343558.unknown

_1220343573.unknown

_1220343375.unknown

_1220343073.unknown

_1220343141.unknown

_1220343155.unknown

_1220343087.unknown

_1220342896.unknown

_1220342995.unknown

_1220342842.unknown

_1220342607.unknown