PolskaAkademiaNaukInstytutPodstawowychProblemwTechnikiRozprawa doktorskaMODELOWANIEPRZEPYWUCIEPAPRZEZPOWIERZCHNIKONTAKTUCIACHROPOWATYCHWPROCESACHPRZERBKIPLASTYCZNEJmgrin.PrzemysawSadowskiPromotor:doc.drhab.StanisawStupkiewiczWarszawa 2008Spistreci1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52. Modelowaniekontaktuciachropowatych . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1. Wybrane modele w zakresie maych wartoci . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2. Model wyznaczania dla oblicze cieplnych . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3. Rzeczywista powierzchnia kontaktu w procesach przerbki plastycznej . . . 212.3.1. Makroskopowa deformacja materiau . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3.2. Wpyw tarcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4. Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243. Przepywciepaprzezpowierzchnikontaktu. . . . . . . . . . . . . . . . 273.1. Mechanizmy transportu ciepa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2. Podstawowe rwnania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.3. Kontaktowy opr cieplny. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.4. Eksperymentalne i teoretyczne wyznaczanieRc . . . . . . . . . . . . . . . . 323.4.1. Badania dowiadczalne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.4.2. Wybrane modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.5. Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394. Dwuskalowymodelprzewodzeniaciepa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.1. Sformuowanie zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2. Mikroskopowy problem brzegowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.3. Obliczenia metod elementw skoczonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.3.1. Implementacja modelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.3.2. Schemat oblicze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.3.3. Wyniki oblicze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.3.4. Aproksymacja wynikw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.4. Werykacja zaproponowanego modelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.4.1. Porwnanie wynikw dla maych wartoci . . . . . . . . . . . . . 504.4.2. Porwnanie z modelem WSL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.5. Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555. Wpyw wybranych czynnikw na warto kontaktowego oporu cieplnego575.1. Cakowanie numeryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.2. Warunki brzegowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.3. Reprezentatywno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.4. Kt pochylenia nierwnoci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.5. Rozkad obszarw rzeczywistego styku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654 Spis treci5.6. Stosunek wspczynnikw przewodnoci cieplnej . . . . . . . . . . . . . . . 665.7. Ruch wzgldny cia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.7.1. Metoda SUPG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.7.2. Wpyw prdkoci nahe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.8. Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746. Dugocharakterystycznachropowatoci . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.1. Kontaktowy wspczynnik przewodzenia ciepa dla rnych powierzchni . . 776.2. Dugo charakterystyczna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.3. Korelacja pomidzy dugoci charakterystyczn i parametrami chropowa-toci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.4. Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867. EksperymentyzwykorzystaniemtestuSRT. . . . . . . . . . . . . . . . . 877.1. Smarowanie w przerbce plastycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877.2. Stanowisko pomiarowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 907.3. Badanie granicy smarowania. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917.3.1. Modykacja powierzchni blachy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917.4. Pomiar temperatury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947.4.1. Przykadowe wyniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 967.5. Wnioski kocowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1008. UproszczonymodeltestuSRT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1038.1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1038.2. Podstawowe zalenoci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1048.3. Porwnanie z analiz termomechaniczn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1088.4. Wpyw gstoci siatki oraz dugoci kroku czasowego . . . . . . . . . . . . 1118.5. Identykacja parametrw modelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1128.6. Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1179. Podsumowaniepracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119A. Wpywtarcianaspaszczanienierwnoci . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123A.1. Sformuowanie problemu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123A.2. Podstawowe rwnania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123A.3. Implementacja modelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126A.4. Przykadowe wyniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126Bibliograa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133Rozdzia1WprowadzeniePowierzchnie cia staych nie s idealnie gadkie lecz z reguy pokryte nierwnociami.Na rysunku 1.1 pokazano schematycznie kontakt dwch cia chropowatych. W zalenociodprzyjtegopoziomuobserwacji widocznajest gadkapowierzchniarozdziau, poje-dyncze nierwnoci lub nierwnoci wyszego rzdu. Stosujc coraz wiksze powikszeniedochodzi si do rozwaa kontaktu na poziomie atomowym.Brakmoliwoci uzyskaniagadkichpowierzchni sprawia, ekontaktciawystpujejedynie w pewnych obszarach, nazywanych dalej obszarami rzeczywistego styku. Ich wiel-koorazrozkadwobrbiepowierzchninominalnejjestcilezwizanyzewzajemnymoddziaywaniempojedynczychnierwnoci. Cakowityudzia obszarwstykuwnomi-nalnej powierzchni kontaktu jest okrelony mianem rzeczywistejpowierzchnikontaktu,ktra jest jedn z podstawowych zmiennych opisujcych warunki kontaktu.Wiele zjawisk kontaktowych oraz procesw zachodzcych w stree kontaktu, do kt-rych mona zaliczy tarcie oraz zwizane z nim zuycie, przepyw ciepa i prdu pomidzyciaami w kontakcie, smarowanie, zaley od rozkadu obszarw rzeczywistego styku i war-toci rzeczywistej powierzchni kontaktu. Wymienioneczynniki majzkolei wpywnajako wyrobw, trwao narzdzi czy waciwoci cia.Omawiane w pracy zjawiska kontaktowe rozpatrywane s na dwch poziomach obser-wacji. Analizowane zjawiska w skali mikro, ktra odpowiada nierwnociom powierzchni,slepiejpoznane, aichopisjestatwiejszy(Stupkiewicz[94]). Uzyskanewyniki wyko-rzystuje si nastpnie do okrelenia waciwoci cia w skali makro. Te z kolei mog byw prosty sposb uyte w modelowaniu skomplikowanych procesw, umoliwiajc uwzgld-nienie podstawowych praw rzdzcych danym zjawiskiem.MotywacjapracyMotywacj do podjcia prac opisanych w niniejszej rozprawie s zjawiska towarzyszceprocesom przerbki plastycznej. Powstajce siy pomidzy narzdziem, a przedmiotem ob-rabianym decyduj o moliwociach ksztatowania metali. Niewaciwy przebieg procesumoe prowadzi do uzyskania wadliwych powierzchni wyrobw (rysunek 1.2(a)) oraz znisz-czenia narzdzi (rysunek 1.2(b)), co wie si z zatrzymaniem produkcji lub w najgorszymprzypadku moe prowadzi do zagroenie zdrowia1. Wymienionym niekorzystnym efektomtowarzysz zjawiska zwizane z ewolucj rzeczywistej powierzchni kontaktu, przerwaniemlmu olejowego, rysowaniem (ang. scoring) i zacieraniem (ang. galling) powierzchni.1Na przykad, stosowane na szerok skal oleje na bazie paran chlorowanych (ang. chlorinated paranoils), cho skuteczne, s szkodliwe dla rodowiska.6 Rozdzia 1. WprowadzenieRysunek 1.1: Kontakt cia chropowatych schemat.Puste przestrzenie pomidzy ciaami mog by wypenione gazem, zanieczyszczeniamilubsmarem. Gdydodatkowociaaznajdujsipodobcieniemi mogprzemieszczasi wzgldem siebie wwczas w stree kontaktu zachodzi wiele powizanych ze sob zja-wisk. Wzajemnezblianiesiciaoraztarciebdpowodowaichdeformacj, azatemi odksztacenia nierwnoci powierzchni. Zmieniajcej si w trakcie procesu geometrii po-wierzchni cia towarzyszy zmiana temperatury. Ta z kolei wpywa bezporednio na wa-ciwoci wszystkichelementwskadowychrozpatrywanegozagadnienia. Wwarunkachzmiennego cinienia i temperatury mog zachodzi reakcje chemiczne pomidzy ciaami,a materi wypeniajc pustki. Liczba zjawisk zachodzcych w stree wzajemnego oddzia-ywania cia oraz ich wzajemne powizania powoduj trudnoci w ich opisie, a poniewazagadnienia kontaktu cia dotycz zarwno ycia codziennego jak i wielu dziaw technikizainteresowanie t tematyk jest cigle aktualne.Wymienione problemy spotykane w procesach przerbki plastycznej metali oraz towa-rzyszceimzjawiskabyyrozwaane,zarwnoodstronypraktycznejjakiteoretycznej,podczas prac prowadzonych w ramach projektu ENLUB [26], w ktrym autor bra udzia.Celemprojektubyo, tamgdziejest tomoliwe, wprowadzeniedoprodukcji smarw,ktreniesszkodliwedlarodowiska, ajednoczeniesrwnieskutecznejakparanychlorowane. Warunki tarciaorazsmarowaniawprocesachprzerbki plastycznej zaleod wielu parametrw. Nale do nich m.in. temperatura, waciwoci mechaniczne narz-dzi, przedmiotuobrabianegoi smaru, geometria, topograapowierzchni kontaktowych,parametry procesu takie jak cinienia kontaktowe, prdko oraz wiele innych. Zbadaniewpywu wszystkich parametrw na proces formowania metalu nie jest moliwe ze wzgl-du na ich liczb oraz wzajemne powizania. W tym celu opracowano szereg testw, ktredostarczyywynikweksperymentalnych,bardzopotrzebnychwpracachteoretycznych,jakrwniepozwoliynalepszepoznanieniektrychzjawisktowarzyszcychprocesomprzerbki plastycznej.Temperatura jest jednym z waniejszych parametrw decydujcych o przebiegu proce-su. W procesach prowadzonych na zimno jej warto na powierzchniach roboczych narz-dzia moe osiga 80-100C, a lokalnie przekracza nawet 200C. Dokadniejsze poznaniezjawiska przepywu ciepa pomidzy elementami skadowymi danego procesu, generowa-nego na skutek tarcia i odksztace plastycznych, moe umoliwi lepsz kontrol zmiantemperatury.7(a) (b)Rysunek1.2: Skutki nieprawidowej obrbki plastycznej naprzykadzietestwlabora-toryjnych: (a)przerwanaprbkazwidocznymi zarysowaniami powierzchni powstaymina skutek przerwania lmu olejowego i (b) uszkodzenie narzdzia pomiarowego powstaew wyniku wadliwego smarowania powierzchni roboczych.CelizakrespracyNierwnoci powierzchni, wypeniajcy pustki pyn, zanieczyszczenia, tlenki powodu-j, epyncecieponapotykanaopr. Rozkadwartoci kontaktowegooporubdziedecydowa o rozkadzie temperatury w ciaach pary kontaktowej oraz pomidzy nimi.Gwnymcelempracyjestopracowaniemodeluprzewodzeniaciepapomidzysty-kajcymi sichropowatymi ciaami, ktrymgbyzostawykorzystanywsymulacjachproceswprzerbki plastycznej. Owartoci kontaktowej przewodnoci cieplnej decydu-jewgwnejmierzeaktualnawartorzeczywistejpowierzchnikontaktu,ktrazmieniasiodzeradoniemal jednoci wrozpatrywanymobszarzezagadnie. Rwniewanymczynnikiem jest rozkad obszarw rzeczywistego styku.Wikszo znanych modeli nie pozwala na wyznaczenie kontaktowego oporu dla duychwartoci rzeczywistej powierzchni kontaktu. W symulacjach procesw przerbki plastycz-nej czsto przyjmuje si sta warto kontaktowej przewodnoci w obszarze nominalnegostyku.Biorcpoduwagzalenooporuodwieluczynnikw,ktresobecnepodczasksztatowania metalu, jest to silne uproszczenie.Zakresporuszanychwpracyzagadniedotyczyprzepywuciepapomidzychropo-watymi ciaami w kontakcie dla caego zakresu zmian rzeczywistej powierzchni kontaktu.Pominito sprzenia termomechaniczne przyjmujc, e znany jest rozkad obszarw rze-czywistego styku. Rozwaania, w ktrych wykorzystano rzeczywiste topograe powierzch-ni uzyskanemetodprolometrii skaningowej, ograniczonodoproceswprzerbki pla-stycznej metali. Jednak zaproponowany sposb wyznaczenia efektywnego wspczynnikaprzewodzenia ciepa moe by zastosowany rwnie w innych przypadkach, gdzie wartorzeczywistej powierzchni kontaktu przyjmuje due wartoci (np. jedno ze stykajcych sicia jest elastomerem).UkadpracyZgodnie z propozycj Bahramiego [7] oraz Yovanovicha [115]uzyskanie modelu kon-taktowego oporu cieplnego polega na rozwizaniu trzech zagadnie. S to analiza geome-8 Rozdzia 1. WprowadzenieRysunek 1.3: Koncepcja modelowania kontaktowego oporu cieplnego schemat zapropo-nowany przez Bahramiego [7].tryczna, ktra dostarcza ilociowego opisu topograi powierzchni kontaktujcych si cia,analiza mechaniczna opisujca deformacj cia i spaszczanie nierwnoci oraz analiza ter-miczna, w ktrej okrela si przepyw ciepa pomidzy ciaami w kontakcie (por. schematnarysunku1.3). Pomijajcwpywtemperaturynageometripowierzchni orazwaci-woci mechanicznecia, przedstawioneproblemysrozprzonei kadyznichmonarozwiza niezalenie od pozostaych wykorzystujc modelowanie wieloskalowe.Kluczowymparametremwzagadnieniachkontaktowychjestrzeczywistapowierzch-nia kontaktu. Istnieje wiele czynnikw, ktre wpywaj na jej warto. Najbardziej oczy-wistymwydajesibycinieniekontaktowe. Kolejnymczynnikiemcharakterystycznymzwaszczawprocesachprzerbki plastycznej jestmakroskopowadeformacjamateriau.Rozdzia2powiconyjestmodelowaniuzmianrzeczywistejpowierzchni kontaktu, po-niewa w zaproponowanym w rozdziale 4 podejciu traktuje si j jako jeden z parame-trwwejciowychmodelu, pomijajcsposbjej wyznaczenia. Zaprezentowanorwniewyniki wasne uwzgldniajce wpyw tarcia oraz makroskopowej deformacji materiau naspaszczanie nierwnoci powierzchni. W rozdziale 2 podano rwnie sposb wyznaczeniarozkadu obszarw rzeczywistego styku wykorzystany w obliczeniach cieplnych.Rozdzia 3 stanowi wprowadzenie, na podstawie literatury, do zagadnie zwizanychz przepywem ciepa pomidzy ciaami w kontakcie. Przedstawiono mechanizmy transpor-tu ciepa ze zwrceniem uwagi na te posiadajce istotne znaczenie w procesach przerbkiplastycznej. Podanodenicjkontaktowegooporucieplnegowielkoci, ktrastanowigwny punkt rozwaa podejmowanych w rozprawie. Przytoczono podstawowe zaleno-ci wykorzystane do opisu przepywu ciepa. Omwiono kilka znanych modeli kontakto-wego oporu cieplnego oraz scharakteryzowano prace prowadzone w celu dowiadczalnegowyznaczenia wartoci kontaktowej przewodnoci cieplnej.W rozdziale 4 zaproponowano model przewodzenia ciepa przez powierzchni kontaktucia chropowatych. Wykonanie oblicze przy wykorzystaniu metody elementw skoczo-nych(MES) pozwoliowyznaczymakroskopowewaciwoci powierzchni chropowatejzwizane z przepywem ciepa. S one opisane efektywnym kontaktowym wspczynnikiemprzewodzeniaciepa. Zuwagi napotrzebzastosowaniamodeludosymulacji proceswprzerbki plastycznej wspczynniktenzosta uzalenionyodrzeczywistej powierzchni9kontaktu w caym zakresie jej zmian. Brak danych dowiadczalnych dotyczcych warto-cioporuwzakresiewysokichciniekontaktowychuniemoliwiadokadnwerykacjwynikw otrzymywanych z wykorzystaniem zaproponowanego modelu. Wykonane porw-nania z istniejcymi modelami oraz danymi eksperymentalnymi dla maych rzeczywistychpowierzchni kontaktu daj zadowalajc zgodno. Uzyskane wyniki symulacji numerycz-nychudaosiaproksymowafunkcjanalitycznopisujczmianznormalizowanegokontaktowegowspczynnikaprzewodzeniaciepawcaymzakresiezmianrzeczywistejpowierzchni kontaktu. Jedyny parametr tej funkcji zaley od fenomenologicznego parame-tru modelu wprowadzonego lokalnego wspczynnika przewodzenia ciepa w obszarachrzeczywistegostyku. Zaproponowanafunkcjapozwalauwzgldnizmianwartoci kon-taktowego oporu cieplnego w modelowaniu procesw plastycznego ksztatowania metali.Wrozdziale5sprawdzono, jakniektrezprzyjtychzaoewpywajnawartoprzewidywanegokontaktowegooporucieplnego. Zbadanom.in. dwiemetodycakowa-nianumerycznegowelementachpowierzchniowychorazwpywwarunkwbrzegowych.Sprawdzonoreprezentatywnopodobszaruzeskanowanej powierzchni chropowatej wy-korzystanegowobliczeniach.Poniewazaproponowanametodaobliczenieuwzgldniaktw pochylenia pojedynczych nierwnoci zbadano wpyw tego zaoenia upraszczaj-cego na wyniki. Pokazano te jak zmienia si przepyw ciepa w zalenoci od przyjtegosposobu uzyskania rozkadu obszarw rzeczywistego styku. W interesujcych autora za-gadnieniach, ciaa mog przemieszcza si wzgldem siebie, dlatego zbadano jak zmieniasi efektywne przewodzenie ciepa dla cia w ruchu.W rozdziale 6 sprawdzono, z wykorzystaniem zaproponowanego modelu, jak wygldaefektywne przewodzenie ciepa przez rne powierzchnie chropowate. Zaproponowano pa-rametr, dugo charakterystyczn, ktry charakteryzuje chropowato powierzchni w za-gadnieniach przepywu ciepa. Pokazano, jak warto tego parametru zaley od redniejpodziakipowierzchni.Efektemprowadzonychpracjestoglnazaleno,napodstawiektrej mona okreli efektywny wspczynnik przewodzenia ciepa dla zadanej powierzch-ni i materiaw cia w caym zakresie zmian rzeczywistej powierzchni kontaktu.Rozdzia 7 zawiera przykadowe wyniki pomiaru temperatury w tecie redukcji grubo-ci blachy (SRT) wykonane przez autora w ramach projektu ENLUB. Stanowi one pod-stawdoidentykacji parametrwzaproponowanegomodeluprzewodzeniaciepa. Opi-sanostanowiskopomiaroweorazschemat postpowaniapodczaswykonywaniatestw.Oprcz pomiarw temperatury przeprowadzono szereg dowiadcze, ktrych celem byom.in. zbadanie wpywu modykacji powierzchni blachy na efektywno smarowania.Rozwizanie uproszczonego problemu nieustalonego przepywu ciepa w tecie SRT po-zwolio uzyska, podobnie jak w dowiadczeniach, zmian temperatury narzdzia w czasie,cojesttematemrozdziau8. Wceluocenyprzydatnoci uzyskanychwynikwwykona-no porwnanie z analiz termomechaniczn dla pocztkowej fazy przecigania w zadaniudwuwymiarowym.Wobuprzypadkachwymianciepapomidzynarzdziami,aprzed-miotem obrabianym opisano za pomoc zaproponowanego modelu. Zmiana temperaturywczasieuzyskanaweksperymencieorazsymulacji numerycznej posuyadoidenty-kacji parametrw modelu. Zaproponowane obliczenia cieplne pozwalaj w szybki sposboszacowarozkadtemperaturywrozpatrywanychelementachdlarnychparametrwprocesu.Jednym z oryginalnych wynikw zaprezentowanych w rozprawie jest model przewodze-niaciepaprzezpowierzchnikontaktuciachropowatych.Zostaonopracowanyzmy-l o modelowaniu procesw przerbki plastycznej, a zaproponowane funkcje analitycznepozwalaj na jego atwe zastosowanie do opisu makroskopowego przepywu ciepa pomi-10 Rozdzia 1. Wprowadzeniedzy ciaami. Model bazuje na obliczeniach metod elementw skoczonych prowadzonychdla reprezentatywnej komrki warstwy wierzchniej. Ponadto zaproponowano metod wy-znaczenia dugoci charakterystycznej chropowatoci w zagadnieniach przepywu ciepa.Uczestnictwo w projekcie ENLUB dao autorowi moliwo bezporedniego zapoznania siz problemami ksztatowania metali. Dostarczyo rwnie, rzadko spotykanych w literatu-rze, wynikw pomiaru temperatury, ktre wykorzystano w rozwaaniach teoretycznych.Wszystkie obliczenia wykonane na potrzeby prezentowanej rozprawy przeprowadzonowprogramieMathematica[112] zwykorzystaniempakietwdodatkowychAceGen[44]i AceFEM [45]. Pierwszy z nich posuy do opracowania elementw skoczonych. Nato-miast obliczenia metod elementw skoczonych wykonano w rodowisku AceFEM.Pomiary topograi powierzchni chropowatych zostay wykonane w Pracowni WarstwyWierzchniejwInstytuciePodstawowychProblemwTechnikiPANprzezdraGrzegorzaStarzyskiego i mgr. Ann Bartoszewicz. Eksperymenty z wykorzystaniem testu SRT zo-stay przeprowadzone przez autora niniejszej rozprawy w Technical University of Denmark(DTU), Lyngby pod opiek dra Davida Dam Olssona.Rozdzia2ModelowaniekontaktuciachropowatychPrzedstawiono dostpne w literaturze wybrane modele zmian rzeczywistej powierzchni kontaktuwykorzystywanedo opisuprzepywuciepa pomidzystykajcymisi ciaami.Opisano sposbuzyskiwania rozkadu obszarw rzeczywistego styku zastosowany w obliczeniach cieplnych. Scha-rakteryzowano, na podstawie literatury, czynniki decydujce o wartoci rzeczywistej powierzchnikontaktu w procesach przerbki plastycznej oraz zbadano wpyw tarcia.2.1. WybranemodelewzakresiemaychwartociOpis zmian topograi powierzchni kontaktowych cia pod wpywem obcienia zwi-zany jest z analiz makroskopowej deformacji materiau oraz deformacj nierwnoci po-wierzchni. Badacze zajmujcy si problemem przepywu ciepa pomidzy ciaami w kon-takcie gwny nacisk kad na dokadny opis rozwoju rzeczywistej powierzchni kontaktu(Furmaski i Winiewski [30]). Ma on na celu powizanie napre kontaktowych z licz-b, wielkociorazrozkademobszarw, wktrychzachodzi kontaktpomidzyciaami(Cooperiin.[24]).Podstawowezaoenianajakichbazujmodelespaszczanianierw-noci opisane w tej czci pracy s nastpujce: chropowate powierzchnie s izotropowe,wysokoci nierwnoci podlegaj rozkadowi Gaussa1, pomija si tarcie, a pola deformacjiposzczeglnychnierwnocinieoddziaywujzesob(Bahramiiin.[11]).Poszczeglneobszarystykumodelujesiwpostacik,kwadratwlubelipsrozoonychnapaskiej,nominalnej powierzchni kontaktu. Podstawowymi parametrami wejciowymi modeli s:liczba obszarw rzeczywistego styku oraz redni promie pojedynczego obszaru. Parame-trytewiesizwielkociami, ktredajsistosunkowoatwozmierzy, np. redniekwadratowe odchylenie wysokoci nierwnoci od paszczyzny redniej2Sq oraz redni ktpochylenianierwnoci , zdeniowanenp. wmonograi Nowickiego[75], falistopo-wierzchni, cinienie kontaktowe i mikrotwardo (Furmaski i Winiewski [30]). Zgrubneoszacowaniepochylenianierwnociprzyznanymodchyleniustandardowymmonawy-kona w oparciu o zaleno empiryczn zaproponowan przez Lamberta i Fletchera [49].W ramach istniejcych teorii rozwaa si spaszczanie nierwnoci (Bahrami [7]) przyj-1Dla licznej grupy powierzchni cia staych stosowanych w aplikacjach inynierskich rozkad wysokocinierwnoci powierzchni jest bardzo zbliony do rozkadu normalnego (Greenwood i Williamson [34]).2Dla powierzchni, ktrych wysokoci nierwnoci podlegaj rozkadowi normalnemu, wielkoSqod-powiada odchyleniu standardowemu.12 Rozdzia 2. Modelowanie kontaktu cia chropowatychmujc uproszczony opis geometrii powierzchni cia pary kontaktowej (Johnson [40]). Kon-takt dwch chropowatych powierzchni zastpuje si kontaktem idealnie gadkiej, paskiejpowierzchni z powierzchni o chropowatoci zastpczej, opisanej wielkociami ekwiwalent-nymi =_21 + 22_1/2oraz =_21 + 22_1/2, gdzie indeksy1,2 odpowiadaj powierzchniomwyjciowym cia. Takie podejcie mona znale w pracach m.in. Clausinga i Chao [23],Yovanovicha i Fenecha [117], Coopera i in. [24] oraz Mikia [64].Wyznaczeniewartoci rzeczywistej powierzchni kontaktuorazpowizaniejej zmianz cinieniem kontaktowym zaley od przyjtego modelu spaszczania (oddziaywania) nie-rwnoci, ktrezakadasijakoplastyczne, sprystelubsprysto-plastyczne. Poniejprzedstawionokilkawybranychmodeli uszeregowanychwedugprzyjtegomechanizmudeformacji.Plastyczne oddziaywanie nierwnoci Obcienie ciaa niewielkim cinieniem ma-kroskopowymmoespowodowa, ecinienienaszczytachnierwnoci, ktreznalazysi w kontakcie osignie warto granicy plastycznoci materiau (Bowden i Tabor [17]).W tej grupie modeli zakada si, e warto rzeczywistej powierzchni kontaktu dwch no-minalnie paskich powierzchni wynika z plastycznej deformacji najwyszych nierwnoci.W efekcie jest wprost proporcjonalne do obcienia (Greenwood i Williamson [34]).Model zaproponowany przez Abbotta i Firestonea [1], szeroko stosowany przez innychbadaczy,zakadaspaszczanienierwnocibezzmianyksztatupowierzchniniebdcejwdanej chwili wkontakcie. Jesttorwnoznacznezodcinaniemszczytwnierwnoci,ktre znalazy si w kontakcie z pask powierzchni3. W tym przypadku zaleno rze-czywistej powierzchni kontaktu od obcienia zostaa podana przez Bowdena i Tabora [17]w postaci =pNHmic, (2.1)gdziepNoznaczamakroskopowecinieniekontaktowe,aHmicmikrotwardomikszegomateriau. DlawikszychobciePulleni Williamson[81] zaoyli, eobjtoma-teriaupozostajestaa. Wtymprzypadkuodcinaniuszczytwnierwnoci towarzyszyrwnomierne podnoszenie si powierzchni nie bdcej aktualnie w kontakcie, bez zmianyksztatu, takabyspeniwarunekstaej objtoci. Rzeczywistapowierzchniakontaktunie zmienia si jak poprzednio proporcjonalnie do obcienia lecz ronie asymptotyczniedo jednoci zgodnie z zalenoci =pN/Hmic1 + pN/Hmic, (2.2)co pokazane jestna rysunku 2.1.Zgodnie z przewidywaniami modelu(2.1) warto rze-czywistej powierzchni kontaktu przyjmuje niezyczne wartoci (wiksze od jednoci) dladuych cinie kontaktowych.Bahrami [7] poda za Hegazym [36], e warto mikrotwardoci w warstwie wierzchniejmaleje wraz z gbokoci wciskania wgbnika, osigajc warto twardoci materiau. He-gazy [36] opisa t zaleno uwzgldniajc wielko chropowatoci powierzchni (wartoparametrw Sq i ). Song i Yovanovich [93] uzalenili dodatkowo Hmic od makroskopowegocinienia kontaktowego.Cooper i in. [24] zamodelowali pojedyncze nierwnoci w ksztacie wycinkw sfer, sy-metrycznych wzgldem paszczyzny kontaktu. Przyjmujc teori spaszczania nierwnoci3Takie zaoenie prowadzi do wniosku, e objto materiau zmniejsza si.130 2 4 6 8 10Dimensionless pressure, P

pNHmic00.20.40.60.811.21.4Realcontactarea,Bowden & Tabor 1954Pullen & Williamson1972Rysunek 2.1: Zmiana rzeczywistej powierzchni kontaktu w funkcji obcienia dla mode-lu (2.1) oraz (2.2).analogiczn do zaproponowanej w pracy Abbotta i Firestonea [1], uzalenili zmian rze-czywistejpowierzchni kontaktuododlegoci paszczyznrednichYkontaktujcychsipowierzchni w postaci =12 erfc_/2_, (2.3)gdzie = Y/. Z rwnania (2.3) wynika, e dla cakowitego zblienia powierzchni (Y= 0)warto rzeczywistej powierzchni kontaktu = 0.5.Nayak[71]bazujcnawynikachpracyPullenaiWilliamsona[81]zaproponowa,epodczasplastycznejdeformacjinierwnocipowierzchninastpujeczeniesipojedyn-czychobszarwrzeczywistegostykuwmiarwzrostucinieniakontaktowego. Wwczasprzewidywana gsto obszarw styku jest mniejsza w porwnaniu do innych modeli, a po-czone obszary styku, z wyjtkiem maych obcie, nie s koami. W efekcie rzeczywistapowierzchnia kontaktu nie jest proporcjonalna do cinienia kontaktowego.Spryste oddziaywanie nierwnoci Archard[4] uwaa, ewruchomychcz-ciachmaszynnierwnocimogbyodksztacane plastyczniejedyniew pierwszychcy-klachobcienia. Poosigniciustanuustalonegoodksztacajsijutylkosprycie.Zaproponowa model, w ktrym nierwnoci pokryte s mikronierwnociami, a te z koleikolejnymi nierwnociami itd. Rozpatrywanie coraz to wikszej liczby poziomw daje lep-sze przyblienie liniowej zalenoci od obcienia. Postawione przez Archarda pytanie,czywzrostobcieniaprowadzidozwikszaniasiistniejcychobszarwstyku,czytedopowstawanianowych, jestcigleaktualne. Przyjciedowolnegomodelusprystego,wktrymliczbaobszarwstykupozostajestaadajezmian p2/3N. Natomiastgdyredni rozmiar pojedynczych obszarw styku nie zmienia si, a ronie ich liczba pN(Archard [4]).Model sprystegospaszczanianierwnoci wprowadzonyprzezGreenwoodai Wil-liamsona [34] posiada trzy parametry wejciowe: odchylenie standardowe wysokoci wierz-chokw nierwnoci, gsto wierzchokwsoraz promie zaokrglenia wierzchokw14 Rozdzia 2. Modelowanie kontaktu cia chropowatych0 0.5 1 1.5 2Dimensionless approach,Y00.10.20.30.40.5Realcontactarea,Cooper et al. 1969GW, 1966GW, 1966Rysunek 2.2: Zmiana rzeczywistej powierzchni kontaktu w funkcji znormalizowanej odle-goci paszczyzn rednich; linia kropkowa odpowiada modelowi (2.4) dla s = 0.03 (),linia kreskowa modelowi (2.4) dlas = 0.3 (), a linia ciga modelowi (2.3)., ktry zakada si rwny dla wszystkich nierwnoci. Warto rzeczywistej powierzchnikontaktu jest m.in. funkcj odlegoci mierzonej pomidzy zbliajc si pask powierzch-ni, a paszczyzn redni wierzchokw4zgodnie z zalenoci = s12_(s ) exp_0.5s2_ds (2.4)dla rozkadu normalnego wysokoci wierzchokw nierwnoci. Zmiana dla dwch war-toci iloczynusw porwnaniu z modelem Coopera i in. [24] pokazana jest na rysun-ku2.2(wartoiloczynus=0.03przyjtazaGreenwoodemi Williamsonem[34]).Gsto oraz promie zaokrglenia wierzchokw nierwnoci nie mog by mierzone bez-porednio, lecz wyznacza si je z oblicze statystycznych. Niestety wielkoci te zale odprzyjtejgstoci prbkowaniawczasiepomiaru(Greenwoodi Wu[35], Johnson[40]),co utrudnia wnioskowanie na podstawie przewidywa modelu (2.4). Ponadto Greenwoodi Wu [35] stwierdzili, e pomiar i zliczanie wierzchokw nie pozwala wnioskowa o liczbiei ksztacie nierwnoci powierzchni.Greenwood i Tripp [33] zbadali wpyw chropowatoci na rozkad cinienia i deformacjdla sprystego kontaktu sferycznych powierzchni. Zauwaalne rnice w porwnaniu doteoriiHertzauzyskalijedyniedlamaychobcie.Efektywnypromieobszaru,wkt-rym zachodzi kontakt pojedynczych nierwnoci ze sferyczn powierzchni drugiego cia-a, wzrastawrazzezwikszajcsichropowatocipowierzchni , jednakrzeczywistapowierzchnia kontaktu jest mniejsza od tej wynikajcej z analizy zagadnienia Hertza. Na-tomiastgdyroniegstolubpromiezaokrgleniawierzchokw, efektywnypromiemaleje.Sprysto-plastyczneoddziaywanienierwnoci Bowdeni Tabor[17] zaoyli,e w czasie wzrostu obcienia oprcz odksztace sprystych pojawi si odksztacenia4Wikszo modeli bazuje na denicji paszczyzny redniej powierzchni.15plastyczne zwaszcza najwyszych nierwnoci. Greenwood [32], werykujc wczeniejszerozumowanie zaproponowane w pracy Greenwooda i Williamsona [34], skania si do pro-pozycji przedstawionej przezNayaka[71], gdziepojedynczeobszarystykupowikszajsi podczas deformacji oddziaywujc z obszarami ssiednimi. Przyjty model spaszcza-nianierwnoci (Greenwoodi Williamson[34])powinienzatemuwzgldniawzajemneoddziaywaniapojedynczychnierwnocipodczasdeformacji,awkonsekwencjizmniej-szanie si liczby obszarw styku i zmian ich ksztatu w paszczynie kontaktu.Model kontaktu chropowatych powierzchni zaproponowany przez Kucharskiego i in. [47]polega na spaszczeniu pojedynczej nierwnoci metod elementw skoczonych. Wnio-skowaniedotyczcekontaktuchropowatychpowierzchni opartejestnawynikachMESw poczeniu ze statystycznym opisem powierzchni. Zastosowanie sprysto-plastycznegoopisudeformacji pozwoliouzyskalepszzgodnozwynikami eksperymentwwpo-rwnaniudoznanychrozwizauwzgldniajcychtylkosprystelubtylkoplastyczneodksztacenia.Miki [65] przyj, e w pierwszym cyklu obcienia nierwnoci odksztacaj si pla-stycznie. Natomiast w kolejnych cyklach zachodzi tylko deformacja sprysta. W efekcieuzyskuje si wiksz powierzchni styku dla tej samej wartoci cinienia. Przewidywaniamodelu pokazuj, e rzeczywista powierzchnia kontaktu oraz liczba obszarw, w ktrychzachodzi kontakt s wiksze podczas odciania ni dla obciania w pierwszym cyklu.Bahrami i in. [9] uwzgldnili chropowato powierzchni w skali mikro i makro, co moeodpowiadapojedynczymnierwnociomorazfalistocipowierzchni.Problemwmikro-skali dotyczyplastycznej deformacji nierwnoci, ktremonatraktowajakpodatnwarstw na powierzchni kontaktowej kadego z cia. Autorzy do jego rozwizania wyko-rzystali wyniki Coopera i in. [24]. Rozwizanie w skali makro bazuje na teorii GreenwoodaiTrippa[33],gdziefalistoscharakteryzowanajestpromieniemkrzywizny.Zaprezento-wany model pozwala wyznaczy rozkad cinienia oraz wielko makroskopowego obszarustyku, w obrbie ktrego rozoone s obszary styku wynikajce z kontaktu pojedynczychnierwnoci.Indeksplastycznoci Obcienie, przyktrympojawiasiplastycznepyniciema-teriauzwizane jest z granicplastycznoci ciaaomniejszej twardoci (Greenwoodi Tripp [33]). Poniewa trudno jest zaoy a priori sposb spaszczania nierwnoci po-wierzchni Greenwood i Williamson [34] zaproponowali denicj indeksu plastycznociGW= (E

/Hmic)_/, (2.5)gdzieE

oznacza zastpczy modu sprysty kontaktujcych si cia.Indeks plastyczno-cipozwalaoszacowanaprenie,przyktrymdeformacjazmieniasizesprystejnaplastyczn. DlaGW< 0.6 odksztacenie plastyczne moe by wywoane jedynie bardzoduym cinieniem makroskopowym. Natomiast gdy GW> 1 ju niedua warto cinieniamoe spowodowa plastyczne pynicie. W praktyce wartoci indeksu plastycznoci (2.5)s zwykle wiksze od jednoci. Dlatego, za wyjtkiem gadkich powierzchni, nierwnociodksztacaj si plastycznie ju przy niewielkim obcieniu makroskopowym.Miki [66] poda denicj indeksu plastycznoci w postaciM= Hmic/ (E

tan ) . (2.6)Sprystadeformacjanierwnoci przewaagdyM,3. DlaM1/3spaszczanienierwnoci odbywa si gwnie na skutek odksztace plastycznych.16 Rozdzia 2. Modelowanie kontaktu cia chropowatych(a) (b)Rysunek 2.3: Schemat otrzymywania rozkadu obszarw rzeczywistego styku dla (a) geo-metrycznego cinania i (b) spaszczania nierwnoci.2.2. ModelwyznaczaniadlaobliczecieplnychObliczenia przepywu ciepa przeprowadzono dla kilkunastu chropowatoci uzyskanychz pomiarw prolometrycznych, tabela 2.1. W celu okrelenia kontaktowej przewodnocicieplnej wymagana jest znajomo rozkadu obszarw rzeczywistego styku w funkcji rze-czywistejpowierzchnikontaktulubcinieniakontaktowego.Omwionepowyejmetodystosowanedlamaychwartoci niemogbywykorzystanewzakresiewartoci rze-czywistej powierzchni kontaktu charakterystycznych dla procesw przerbki plastycznej.Dlategodowyznaczeniarozkaduobszarwrzeczywistegostykuwtrakciespaszczanianierwnoci zastosowano dwa podejcia, w ktrych rozpatruje si kontakt gadkiej, sztyw-nejpowierzchnizanalizowanpowierzchnichropowat.Przyjtomonotonicznywzrostrzeczywistej powierzchni kontaktu, ktry odpowiada spaszczaniu nierwnoci. Zaniedbujesi inne efekty, jak np. wtrny wzrost chropowatoci powierzchni wywoany makroskopo-wym odksztaceniem plastycznym.Schemat pierwszej metody jest przedstawiony na rysunku 2.3(a). Pokazany jest poje-dynczy prol, ale postpowanie w przypadku trjwymiarowej chropowatoci jest identycz-ne. Wybran chropowat powierzchni przecina si paszczyzn rwnoleg (linia ciga)do paszczyzny redniej (linia przerywana). W zalenoci od zblienia paszczyzn uzyskujesi rn warto i odpowiadajcy jej rozkad obszarw rzeczywistego styku. Przyjtepostpowanie, zastosowanerwnieprzezMikia[66], jestanalogicznedowyznaczaniakrzywej nonoci (Abbott-Firestone [1]). Parametr r oznacza aktualn odlego punktwpowierzchni od paszczyzny. Dla r , 0 (punkty na i powyej paszczyzny) zakada si kon-taktnierwnoci,wprzeciwnymprzypadkujegobrak.Liczbacizaleyodporzdanejgstoci dyskretyzacji dla0 1. Tengeometrycznysposbpozwalaatwoi szyb-ko otrzyma rozkad obszarw rzeczywistego styku na nominalnej powierzchni kontaktu.W celu opisania tego rozkadu wprowadzono lokaln wielkoI(x1, x2) =_1 kontakt w skali mikro0 separacja w skali mikro(2.7)Na podstawie rozkadu (2.7), stosujc operacj uredniania (Stupkiewicz [94]) 1[c[_c() d, (2.8)17Tabela2.1:Powierzchniechropowatewykorzystanewobliczeniach.NrSa[m]Sq[m]Sk1[deg]2[deg]Sm1[m]Sm2[m]MateriaSposbobrbki16.017.98-0.0923.5414.26161206stalC45piaskowanie27.179.000.1513.4011.50178288stalnierdzewna1H18N9elektroiskrowa30.911.160.342.120.73383587stalnierdzewna1H18N9frezowanieczoowe43.174.080.282.672.407031050stalnierdzewna1H18N9frezowaniewalcowe54.856.170.078.499.61359312stalnierdzewna1H18N9kulowanie65.006.53-0.7912.3612.11257221stalnierdzewna1H18N9piaskowanie75.987.68-0.1613.2812.93234233stal45elektroiskrowa82.483.26-0.396.933.36175806stal45frezowanieczoowe90.620.810.183.843.6089.595.5stal45piaskowanie109.6912.490.4215.4715.78273268stalA10Xelektroiskrowa111.862.56-1.256.002.33163786stalA10Xfrezowanieczoowe120.650.840.294.174.0780.478.3stalA10Xpiaskowanie134.315.63-0.2716.9911.45220229stal35elektroiskrowa143.874.76-0.097.684.08439920stal35frezowanieczoowe151.782.80-1.795.362.92510827frezowanieczoowe160.440.59-0.636.360.7240.8511stalnierdzewna1H18N9szlifowanie171.301.56-0.156.414.03125147Saredniearytmetyczneodchylenie;Sqredniekwadratoweodchylenie;Skskono;1redniekwadratowepochylenienakierunkux1;2redniekwadratowepochylenienakierunkux2;Sm1redniodstpnakierunkux1;Sm2redniodstpnakierunkux2.18 Rozdzia 2. Modelowanie kontaktu cia chropowatych(a) (b)Rysunek2.4: Widokpowierzchni piaskowanej nr1: (a)zeskanowanyobszar66 mmi (b) podobszar 1.08 1.08 mm wybrany do oblicze.gdzie [c[ = _c d, wyznacza si warto rzeczywistej powierzchni kontaktu = I(x1, x2) =1An_I(x1, x2) dx1dx2(2.9)dladanegomakroskopowegozblieniacia, gdzie Anoznaczanominalnpowierzchnikontaktu.Drugisposbwyznaczeniarozkaduobszarwrzeczywistegostykupoleganaspasz-czeniunierwnoci przywykorzystaniumetodyelementwskoczonych(patrzStupkie-wicz[94]). Rozpatrywanyjestkontakt(beztarcia)sztywnego, gadkiegoi nieodkszta-calnego ciaa z ciaem chropowatym przedstawiony schematycznie na rysunku 2.3(b). Doopisu deformacji przyjto model sprysty lub sprysto-plastyczny. Zaoono, e waci-woci warstwy wierzchniej w pobliu powierzchni kontaktu s takie same jak dla materia-u wewntrz ciaa. Jest to silne zaoenie, gdy np. twardo warstwy wierzchniej moe,wzalenoci odobrbki powierzchniowej, kilkakrotnieprzewyszatwardomateriau(Yovanovich[115]).Zbliajcasipaskapowierzchniawchodziwkontaktzposzczegl-nymi nierwnociami powierzchni powodujc ich spaszczanie i tworzenie obszarw styku.Scakowanie powierzchni tych obszarw w obrbie nominalnej powierzchni kontaktu po-zwala wyznaczy warto rzeczywistej powierzchni kontaktu w trakcie deformacji.Porwnaniezaproponowanychmetodwyznaczeniarozkaduobszarwrzeczywistegostyku podczas spaszczania nierwnoci powierzchni wykonano na przykadzie powierzch-ni nr 1, tabela 2.1. Zeskanowany fragment (rysunek 2.4(a)) ma wymiary 66 mm przy roz-dzielczoci aparatury pomiarowej 2 20 m. Wykorzystanie wszystkich punktw pomia-rowych do oblicze metod elementw skoczonych wymagaoby rozwizania zagadnieniao duej liczbie stopni swobody. Wybrano zatem podobszar o wymiarach 1.081.08 mm(czerwonykwadratnarysunku2.4(a)),ktregowidokpokazanyjestnarysunku2.4(b),zmniejszajc rwnoczenie gsto prbkowania w stosunku do rozdzielczoci pomiarowej.Reprezentatywno tego obszaru ze wzgldu na zmian w funkcjipNpokaza Stupkie-wicz [94], natomiast reprezentatywno ze wzgldu na przepyw ciepa omwiono w roz-dziale 5.3.Na rysunku 2.5 zaznaczono kolorem czerwonym obszary rzeczywistego styku dla wy-branych wartoci . Dla tych samych wartoci rzeczywistej powierzchni kontaktu otrzy-manornicewrozkadachobszarwstykuuzyskanychprzezspaszczanienierwnocizwykorzystaniemmodelusprystego(rysunek2.5(a))i sprysto-plastycznego(rysu-nek2.5(b)). Wwynikugeometrycznegocinaniarozkadobszarwrzeczywistegostyku19 = 0.23 = 0.49 = 0.71(a) (b) (c)Rysunek2.5: Rozkadobszarwrzeczywistegostyku(kolorczerwony)wfunkcji dlaspaszczania nierwnoci przy zaoeniu: (a) sprystego modelu materiau, (b) sprysto-plastycznego modelu materiau i (c) geometrycznego cinania dla powierzchni piaskowanejnr 1.20 Rozdzia 2. Modelowanie kontaktu cia chropowatych0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06Dimensionless pressure, pNE00.20.40.60.81Realcontactarea,elastic modelelastoplastic model0 1 2 3 4 5 6 7Dimensionless pressure, PNpNk00.20.40.60.81Realcontactarea,FE resultsWanheimet al. 1974Pullen & Williamson1972(a) (b)Rysunek2.6: Rzeczywistapowierzchniakontaktuwfunkcji makroskopowegocinieniauzyskana przez spaszczanie nierwnoci dla (a) sprystego i sprysto-plastycznego mo-delu materiau (rozwizanie MES) i (b) modelu sprysto-plastycznego (rozwizanie MES)w porwnaniu z przewidywaniami modelu Wanheima i in. [106] oraz Pullena i William-sona [81].(patrz rysunek 2.5(c)) jest bardzo zbliony do otrzymanego przez spaszczanie sprysto-plastycznegomateriau. Zatemwtymprzypadkumonazastpianalizmechanicznprostym i atwym w implementacji geometrycznym cinaniem. Sposb uzyskania rozkaduobszarw rzeczywistego styku ma duy wpyw na wyniki analiz zwizanych z przepywempynu midzy powierzchniami chropowatymi (Marciniszyn i Stupkiewicz [62]). Natomiastjego wpyw na warto kontaktowej przewodnoci cieplnej zosta zbadany w rozdziale 5.5.Zmianarzeczywistej powierzchni kontaktuwfunkcji makroskopowegocinieniadlaspaszczania nierwnoci opisanych modelem sprystym i sprysto-plastycznym jest po-kazana na rysunku 2.6(a). Natomiast na rysunku 2.6(b) przedstawiono wyniki spaszcza-nia nierwnoci dla modelu sprysto-plastycznego w porwnaniu do znanych z literaturydwch modeli teoretycznych. Lini cig zaznaczono aproksymacj rozwizania metodlinii polizgu (Wanheim i in. [106]) zaproponowan przez Baya [13]. Warto rzeczywistejpowierzchni kontaktu przy pominiciu tarcia wynosi w tym przypadku =___PN/(2 + ) dla PN (2 + )/21 0.5 exp (1 2 PN/(2 + )) dla PN> (2 + )/2, (2.10)gdziePN=pN/kjest bezwymiarowym makroskopowym cinieniem, a k oznacza granicplastycznoci przy czystym cinaniu. W zaproponowanym przez Wanheima i in. [106] po-dejciu wielko zmienia si proporcjonalnie wraz z obcieniem dla wartoci cinieniakontaktowego PN (2+)/2, a nastpnie dy asymptotycznie do jednoci. Zmiana linio-wa zachodzi do momentu, w ktrym pola deformacji ssiadujcych nierwnoci nie oddzia-ywuj ze sob. Uzyskane linie polizgu dla 0.5 odpowiadaj rozwizaniu Prandtla,a dla wikszych obcie s analogiczne do rozwizania Hilla [37]. Lini kreskow zazna-czonorozwizaniedlamodeluPullenai Williamsona[81] przyjmujcwrwnaniu(2.2)warto mikrotwardociHmic = (2 + ) k.21Gdy na makroskopowej powierzchni kontaktu dziaa bezwymiarowe cinienie PN ww-czas rednie cinienie dziaajce na nierwnociach w kontakcie okrelone jest przez bez-wymiarow efektywn twardo (Wilson i Sheu [109], Stupkiewicz i Mrz [95])H = PN/. (2.11)Dla geometrycznego cinania mona wyznaczy zmian oraz rozkad obszarw rze-czywistegostykujedyniewfunkcjizblieniapaskiejpowierzchni.Ewentualnie,wpo-czeniu np. z modelem Wanheima i in. [106] lub Pullena i Williamsona [81] mona uzyskazmian rzeczywistej powierzchni kontaktu w funkcji cinienia.2.3. RzeczywistapowierzchniakontaktuwprocesachprzerbkiplastycznejWysokiecinieniakontaktowe,makroskopowadeformacjamateriau,wysokarnicatemperatur w procesach przerbki na gorco maj znaczcy wpyw na wzajemne oddzia-ywanie cia w obszarze kontaktu (Stupkiewicz i Mrz [96]). W takich warunkach nierw-noci powierzchni s znaczco spaszczane i w efekcie rzeczywista powierzchnia kontaktumoe osiga wartoci bliskie jednoci.Wprzerbceplastycznejmetaliistniejdwagwneczynniki,ktremajwpywnawzrost rzeczywistej powierzchni kontaktu (Sutclie [99]). Pierwszy z nich to makroskopo-wa deformacja materiau. Drugi stanowi wysokie naprenia kontaktowe, ktre powodujwzajemne oddziaywanie pl deformacji poszczeglnych nierwnoci (Wanheim i in. [106]).2.3.1. MakroskopowadeformacjamateriauDue odksztacenia trwae podczas plastycznego formowania metali wpywaj na pro-ces deformacji nierwnoci powierzchni. Jest to szczeglnie widoczne w procesach kszta-towania blach, gdzie dla wzgldnie maych cinie uzyskuje si wysokie wartoci rzeczywi-stej powierzchni kontaktu (Mrz i Stupkiewicz [69]). W celu zbadania wzajemnych relacjiwymienionychzjawiskprowadzonesbadaniaeksperymentalnei teoretyczne. Jednymz podej jest rozwizanie zagadnienia wciskania stempla w pprzestrze. Przy zaoeniumaych ktw pochylenia nierwnoci, cinienie wymagane do wcinicia stempla w ma-teria jest rwne cinieniu niezbdnemu do spaszczenia nierwnoci.Wykorzystujc metod linii polizgu Sutclie [99] rozwiza zagadnienie spaszczanianierwnoci uoonych poprzecznie do kierunku makroskopowego odksztacenia materiau.Potwierdziteoretycznieorazeksperymentalniewzrostrzeczywistejpowierzchnikontak-tu, przy staym cinieniu makroskopowym, na skutek efektywnej deformacji plastycznej.Przyczyn takiego zachowania jest niejednorodne pole deformacji, ktre powoduje szybszepynicie materiau w ssiedztwie obszarw rzeczywistego styku, w stosunku do obszarwmateriau oddalonych od powierzchni kontaktu.Wilson i Sheu [109] rozwizali zadanie wciskania periodycznego ukadu stempli w nie-ciliwy materia sztywno-plastyczny metod grnej oceny. Wzrost makroskopowej prd-koci odksztaceniapowodujemonotonicznyspadektwardoci, couatwiaspaszczanienierwnoci powierzchni.Korzekwa i in. [46] wykorzystali metod elementw skoczonych do modelownia spasz-czanianierwnoci. Podobniejakwpoprzednichpracachrozwizanozadaniewciskania22 Rozdzia 2. Modelowanie kontaktu cia chropowatych(a) (b)Rysunek 2.7: Model tarcia: (a) Orowan [79] i (b) Shaw i in [92].sztywnych, gadkich stempli (pominito tarcie) badajc wpyw schematu makroskopowegoodksztacenia materiau na spaszczanie nierwnoci.2.3.2. WpywtarciaModeletarcia Siytarciapomidzynarzdziem, aprzedmiotemobrabianymwpro-cesachprzerbki plastycznejmajduywpywnawartosipotrzebnychdoprzepro-wadzeniaprocesu,sposbdeformacji,waciwociwykonanychwyrobworazwynikowchropowatopowierzchni (Bayi in. [15]). Rozkadnaprei odksztacewgotowymwyrobie i zwizane z nimi ewentualne uszkodzenia bd w duej mierze zalee od tarcia.Opismechanizmwdecydujcychosiachstycznychwobszarzekontaktujestkoniecz-ny, ale bardzo skomplikowany. Naley bowiem uwzgldni lm olejowy, jego waciwocizyczne i mechaniczne, odksztacenia lokalne warstwy wierzchniej oraz przyleganie w ob-szarach styku (Korzekwa i in. [46]).Warunki kontaktu, jakie wystpuj w procesach przerbki plastycznej metali, rni siznaczco od tych spotykanych np. w ruchomych czciach maszyn. Stosowanie w modelo-waniu tych procesw klasycznego prawa tarcia Coulomba jest ograniczone poniewa w tychwarunkach wspczynnik tarcia zaley od cinienia. Zastosowanie prawa Coulomba suge-ruje wystpowanie bardzo wysokich napre stycznych znacznie przekraczajcych granicplastycznoci przy czystym cinaniu k. Orowan [79] zaproponowa model, w ktrym na-preniestycznedlamaychciniejestproporcjonalnedonaprenormalnych,adlacinie wysokichrwna si granicy plastycznoci dlaczystego cinania (rysunek 2.7(a)).Shaw i in. [92] w oparciu o teori tarcia adhezyjnego Bowdena i Tabora [17] wprowadziliagodne przejcie naprenia stycznego do wartoci pT = k w warunkach wysokich cinie(rysunek 2.7(b)).Mikromechaniczny model Wanheima i in. [106] wprowadza gadkie przejcie pomidzystaym wspczynnikiem tarcia dla maych cinie, a staym lokalnym czynnikiem tarciam dla cinie wysokich wykorzystujc metod linii polizgu. W modelu przyjto, e lokalnenaprenia cinajce na szczytach nierwnoci znajdujcych si aktualnie w kontakcie sstae i wynoszpaT = mk. Zatem makroskopowe naprenie styczne jest rwnepT = paT = mk, (2.12)gdziewartorzeczywistej powierzchni kontaktumonawyznaczynapodstawiefunk-cji zaproponowanej przez Baya[13]. Podobnie jakwprzypadkuzmianyrzeczywistejpowierzchni kontaktuwfunkcji cinienia(por. rwnanie(2.10)), bezwymiarowemakro-skopowenapreniestycznePT=pT/kzmieniasiproporcjonalniezmakroskopowym230 2 4 6 8 10Dimensionless pressure, PNpNk00.20.40.60.81Realcontactarea,m0m0.5m0.8m1Rysunek2.8: Zmianarzeczywistej powierzchni kontaktuwfunkcji bezwymiarowegoci-nienia kontaktowego (Wanheim i in. [106]).cinieniemPNdowartoci PN= (2 + )/2.NastpniedyasymptotyczniedowartocigranicznejpaT/k = m.Bay [13] uwzgldni dodatkowo zmian kta pochylenia nierwnoci. Jego wzrost po-wodujezwikszenietarciaprzytymsamymcinieniu. Efekttenjestobserwowanydladuych wartoci czynnika tarcia.Model tarcia zaproponowany przez Mroza i Stupkiewicza [69] zakada oddziaywanienierwnoci w dwch skalach. W skali makro uwzgldnili spaszczanie nierwnoci mate-riau obrabianego, natomiast w skali mikro bruzdowanie (ang. ploughing) spaszczanychnierwnoci powierzchni.Wpywtarcianawarto Wprzedstawionychwrozdziale2.1modelachprzyj-mowano, eodlegoci pomidzyssiednimi nierwnociami snatyledue, enieod-dziaywuj one ze sob w czasie deformacji. Zaoenie to jest suszne dla maych wartocirzeczywistej powierzchni kontaktu. W procesach przerbki plastycznej naprenia kontak-towe przyjmuj z reguy wysokie wartoci. W efekcie strefy odksztace plastycznych odposzczeglnych nierwnoci oddziaywuj ze sob powodujc wzrost efektywnej twardoci.Wpywtarcianazmianrzeczywistej powierzchni kontaktuwfunkcji makroskopo-wego cinienia kontaktowego dla modelu Wanheima i in. [106] pokazano na rysunku 2.8.DlastaejwartocicinieniapNwzrostwartocilokalnegoczynnikatarciamprzyczyniasi do zwikszenia rzeczywistej powierzchni kontaktu. Wzrost pocztkowej wartoci ktapochylenia nierwnoci powoduje uzyskanie wikszych wartoci rzeczywistej powierzchnikontaktu oraz przesunicie granicy proporcjonalnoci w stron niszych cinie (Bay [13]).ZmianawartociparametruRawprocesachplastycznegoformowaniametalizostaawyznaczonaprzezBayai in. [15]. Wpocztkowej faziedeformacji, dopki pojedynczenierwnoci nie oddziaywuj na ssiednie, wpyw makroskopowego cinienia oraz tarciajestpomijalny.Dalszywzrostcinieniaprowadzi dowzajemnegooddziaywaniapl de-formacji od poszczeglnych nierwnoci powodujc spadek wartociRado zera. Rwnienapreniastyczne przyspieszajspaszczanie nierwnoci.Ichwzrostdaje odpowiednio24 Rozdzia 2. Modelowanie kontaktu cia chropowatychmniejsze wartociRa przy ustalonym cinieniu kontaktowym.Wwarunkachsmarowaniarzeczywistapowierzchniakontakturonieosigajcstanustalonywtrakcieruchuwzgldnegociaprzystaymcinieniu(WanheimiBay[105]).W przypadku tarcia suchego nie obserwuje si wysycenia, ale dalszy liniowy wzrost.Tarcie oraz makroskopowa deformacja Stupkiewicz i Mrz [95] zaproponowali feno-menologiczny model spaszczania nierwnoci, ktry uwzgldnia tarcie oraz makroskopoweodksztacenie materiau. Warstwa wierzchnia charakteryzujca si niejednorodnym polemdeformacji wywoanym odksztaceniami nierwnoci zostaa zastpiona warstw jednorod-n. Na podstawie zaproponowanych zwizkw konstytutywnych dla warstwy ekwiwalent-nejautorzywyprowadzilizalenocipomidzynapreniamikontaktowymi,rzeczywistpowierzchnikontaktui makroskopowymodksztaceniemplastycznym. Przewidywaniamodelupokazujwzrost efektywnej twardoci dlarosncej powierzchni stykuorazjejspadek przy rosncej makroskopowej prdkoci odksztacenia plastycznego.Stupkiewicz i Mrz [97] wykorzystali opracowane modele tarcia(Mrz i Stupkie-wicz [69]) oraz makroskopowej deformacji materiau (Stupkiewicz i Mrz [95]) do rozwi-zaniazadaniaciskaniamateriauwpaskimstanieodksztaceniapomidzywalcowymstemplem, a pask matryc. Wpyw tarcia na uzyskane wyniki by znikomy. Natomiastpominicie makroskopowej deformacji dao rne jakociowo i ilociowo wyniki.Wpywtarciaorazmakroskopowegoodksztaceniamateriaunaprocesspaszczanianierwnoci zosta rwnie przeanalizowany przez autora niniejszej rozprawy. Wykorzystu-jc metod elementw skoczonych rozwizano zagadnienie wciskania sztywnego stemplawpprzestrze(por. Korzekwai in. [46]), uwzgldniajcdodatkowostaenapreniestycznedziaajcepomidzystemplem, amateriaem. Zaoono, ewarstwawierzchniapoddana jest jednorodnemu makroskopowemu odksztaceniu plastycznemu. Dziaajce napowierzchni stemple powoduj lokalne zaburzenia jednorodnego pola odksztace (Wilsoni Sheu [109], Korzekwa i in. [46]).Na rysunku 2.9 przedstawiono zmian bezwymiarowej prdkoci spaszczania nierw-noci 1/Efw funkcji bezwymiarowej twardoci H z zaznaczonym wpywem tarcia repre-zentowanymlokalnymczynnikiemtarciam. Wielko1/Efoznaczastosunekprdkocispaszczania nierwnoci do makroskopowej prdkoci odksztacenia materiau. CinieniePNwynikazsireakcji powstaychnaskutekdziaaniastempla. Gdyprdkospasz-czania nierwnoci jest wiksza od prdkoci odksztacenia materiau (1/Ef> 1) wzrosttarciapowoduje,etensamstopiespaszczenianierwnociuzyskujesidlamniejszejwartoci cinienia kontaktowego. Spadek efektywnej twardoci dla rosncego czynnika tar-cia przedstawia rysunek 2.10(a).Efekt odwrotny do opisanego powyej otrzymano dla bezwymiarowej prdkoci spasz-czania nierwnoci 1/Ef< 1 (por. rysunek 2.10(b)). W tym zakresie prdkoci spaszcza-nia tarcie spowalnia, a nie przyspiesza jakby si mogo wydawa, spaszczanie nierwnoci.Sformuowanie rozwaanego zagadnienia wciskania stempli oraz inne wyniki przedstawio-no w dodatku A.2.4. PodsumowaniePrzedstawiono na podstawie literatury rne propozycje wyznaczania rozkadu obsza-rwrzeczywistegostykuorazwartoci rzeczywistej powierzchni kontaktu. Wymienione250 1 2 3 4 5Dimensionless effective hardness, H00.511.522.533.5FlatteningRate,1

Efm0m0.5m1Rysunek 2.9: Zmiana prdkoci spaszczania nierwnoci w funkcji bezwymiarowej twar-doci dlarnychnaprestycznych(mlokalnyczynniktarcia, n=0.02, =0.5).0 0.2 0.4 0.6 0.8 1Friction factor, m12345Dimensionlesshardness,H0 0.2 0.4 0.6 0.8 1Friction factor, m0.10.20.30.40.50.6Dimensionlesshardness,H(a) (b)Rysunek 2.10: Bezwymiarowa twardo H w funkcji lokalnego czynnika tarcia m dla bez-wymiarowej prdkoci spaszczanianierwnoci rwnej (a)1/Ef=3i (b)1/Ef=0.5(n = 0.02, = 0.5).26 Rozdzia 2. Modelowanie kontaktu cia chropowatychczynniki sistotnezpunktuwidzeniarozwaaprowadzonychwdalszychrozdziaachdotyczcych przepywu ciepa.Modelerozwojurzeczywistej powierzchni kontaktuwzakresiemaych, ktrenieuwzgldniajwzajemnegooddziaywanianierwnoci wczasiedeformacji, szreguywykorzystywanewpracachnadkontaktowprzewodnociciepln. Bazujnawielko-ciach wyznaczonych podczas pomiarw powierzchni. Parametry chropowatoci, takie jakwysokoorazgstowierzchokwczyktpochylenianierwnoci,zaleodprzyjtejrozdzielczoci pomiarowej. Wyniki uzyskane z wykorzystaniem tych modeli bd zaleayod przyjtego sposobu pomiaru chropowatoci.Nayak [70] pokaza, e nie mona utosamia statystycznego opisu prolu powierzchniz opisem caej powierzchni. Rozbienoci pojawiaj si w liczbie wierzchokw, wartociachkrzywizn oraz ktach pochylenia nierwnoci. Zatem wyciganie wnioskw o charakterzepowierzchni chropowatej zpomiarwpojedynczychproli moebyobarczoneduymbdem (Nayak [72]).Drugagrupaomwionychmodeli dotyczyasposobwwyznaczaniarzeczywistejpo-wierzchni kontaktu w procesach przerbki plastycznej. Spaszczanie nierwnoci powierzch-ni nastpuje duo atwiej i szybciej gdy jednoczenie zachodzi makroskopowa deformacjamateriau. Badaniawpywutarcianaspaszczanienierwnoci powierzchni wobecno-ci makroskopowego odksztacenia dao zaskakujcy wynik. W zakresie maych prdkocispaszczania tarcie nie jest czynnikiem, ktry przyspiesza deformacj nierwnoci. W celuwyjanienia tego efektu konieczne s dalsze badania.Wikszozaproponowanychrozwizaprzewidujezmianrzeczywistej powierzchnikontaktudojednoci.Jednakwrzeczywistociobecnosmarwwypeniajcychdolinychropowatoci hamujewzrost. WrozwizaniuKimuryi Childsa[42] rzeczywistapo-wierzchnia kontaktu osiga pewn graniczn warto mniejsz od jednoci.Wtejczci pracyprzedstawionorwniedwiemetodyotrzymywaniarozkaduob-szarwrzeczywistegostykudlarzeczywistychtopograi powierzchni. Wykorzystanojewmodelowaniuprzewodzeniaciepaprzezpowierzchniechropowate. Wyniki spaszcza-nianierwnocidlasprysto-plastycznegomodelumateriauniernisiznaczcoodrozwizania otrzymanego przez Wanheima i in. [106]. Ponadto otrzymany rozkad obsza-rw rzeczywistego styku dla powierzchni piaskowanej jest bardzo podobny do uzyskanegoprzez geometryczne cinanie wierzchokw nierwnoci.Naleypodkreli, erzeczywistapowierzchniakontaktunieokrelajednoznacznierozkaduobszarwstyku.Dlatejsamejwartoci smarowanie(MarciniszyniStupkie-wicz [62]) czy przepyw ciepa przez nominaln powierzchni kontaktu (patrz rozdzia 5.5)mog ulega zmianie.Rozdzia3PrzepywciepaprzezpowierzchnikontaktuNiniejszy rozdzia zawiera podstawowe informacje zwizane z przepywem ciepa pomidzy cia-ami wkontakcieuzyskanenapodstawieliteratury. Dotyczoneprowadzonychdowiadczeorazmodelowaniatransportuciepa,aprzedewszystkimwyznaczaniaoporunaprzepywcie-pa pomidzy skadowymi pary kontaktowej. Przedstawiono te oglne rwnanie nieustalonegoprzepywu ciepa z warunkami pocztkowymi i brzegowymi.3.1. MechanizmytransportuciepaWyrnia si trzy mechanizmy odpowiedzialne za transport ciepa: przewodzenie, kon-wekcj i radiacj. Niniejsza rozprawa dotyczy przepywu ciepa pomidzy ciaami w kon-takcie, ktrych powierzchnie s chropowate, a wic nie idealnie gadkie. W oglnym przy-padkutransportciepazuwaginazoonokontaktu,rodzajorodkaznajdujcegosiw mikropustkach pomidzy ciaami (ciecz, gaz i/lub ciao stae) moe zachodzi poprzezwszystkie wyej wymienione mechanizmy.Uzyskanie idealnie gadkich powierzchni jest niemoliwe i w efekcie bezporedni kon-takt cia zachodzi na pewnej ograniczonej powierzchni tak jak to zostao omwione w roz-dziale2ischematyczniepokazanenarysunku1.1.Ponadtopowierzchnieciamogbypokrytewarstwtlenkwi zanieczyszcze, aprzestrzeniepomidzynimi wypenioneciaemtrzecimjaknp. smarwprzerbceplastycznej, czyspoiwowzczach. Oglnie,przepyw ciepa nastpuje poprzez przewodzenie przez obszary rzeczywistego styku orazmateri wypeniajc puste przestrzenie pomidzy ciaami w kontakcie. Jeli jest ni gaz,wwczasreimprzewodzeniaprzezwarstwgazuzaleyodliczbyKnudsenai mazna-czeniedlawzgldniemaychciniekontaktowychlubgdygazjest dobrymprzewod-nikiem(FurmaskiiWiniewski[30]).Wprzypadkuruchuwzgldnegorozpatrywanychpowierzchni,pynwypeniajcypustkiznajdujesiwruchuiwwczaspojawiasikon-wekcyjne unoszenie ciepa. Jeli temperatury powierzchni obu cia znacznie rni si odsiebie,acinieniekontaktoweprzyjmujemaewartocinaleyuwzgldnitrzecimecha-nizmwymianycieparadiacj, wktrej doopisustrumieniaciepawykorzystujesiprawo Stefana-Boltzmanna.Tematyka pracy skupiona jest wok zagadnie dotyczcych procesw przerbki pla-stycznej metali, dlatego opis przepywu ciepa pomidzy ciaami mona znacznie uprocipomijajc niektre efekty. Na skutek nieduych rozmiarw pustek, konwekcyjny ruch cie-28 Rozdzia 3. Przepyw ciepa przez powierzchni kontaktu(a) (b)Rysunek 3.1: Kontaktowy opr cieplny dla przewodzenia ciepa tylko przez obszary rze-czywistego styku: (a) schemat rozkadu linii strumienia ciepa dla cia w kontakcie w skalimikro i (b) skok redniej (makroskopowej) temperatury na powierzchni kontaktu.pawpyniejestmocnoograniczony. Ponadtornicatemperaturciawkontakcieniejestnatyledua,abystrumieciepawywoanyradiacjmiaistotneznaczenie.Kolej-nym czynnikiem wpywajcym na uproszczenie opisu jest warto przewodnoci cieplnejcia staych. Z reguy jest ona kilka rzdw wielkoci wiksza od przewodnoci pynw czygazw. Biorc pod uwag powysze, opis transportu ciepa przez powierzchni kontaktudwchcia,ktraniejestidealniegadka,uwzgldniatylkoprzewodzenieprzezobszaryrzeczywistego styku1(Fenech i Rohsenow [27], ang. constriction resistance). Wwczas liniestrumienia ciepa ulegaj zaweniu, co schematycznie pokazano na rysunku 3.1(a).3.2. PodstawowerwnaniaRwnanie nieustalonego przepywu ciepa ma posta (Carslaw i Jaeger [19])c DTDt+ q Q = 0, (3.1)gdzie T [K] oznacza temperatur, DT/Dt pochodn materialn temperatury, Q[W/m3]rdociepa, c[J/(kgK)] ciepowaciwe, a [kg/m3] gsto. Gstoprzewo-dzonego strumienia ciepaq, zgodnie z prawem Fouriera, jest wprost proporcjonalna dogradientu temperaturyq = kT. (3.2)Wspczynnikproporcjonalnoci k, nazywanyprzewodnociciepln(wspczynnikiemprzewodzenia ciepa), dla cia anizotropowych jest symetrycznym tensorem drugiego rz-du. W przypadku oglnym wielkoci k, i c s funkcjami pooenia i temperatury, a Q pooenia i czasu.1Mechanizm ten nie bdzie dominowa w przypadku maych cinie kontaktowych, gdy ciaa w kontak-cie s sabymi przewodnikami, a pyn wypeniajcy pustki charakteryzuje wysoka przewodno cieplna.29Zakadajc, e rozpatrywane ciaa s jednorodne, a ich waciwoci jak rwnie szyb-ko generowanego ciepa nie zale od temperatury oraz rozwijajc wyraenie na pochod-n materialn i wykorzystujc rwnanie Fouriera (3.2), rwnanie nieustalonego przepywuciepa (3.1) jest liniowe i ma postac Tt+ c vT k2T Q = 0. (3.3)Pierwszy czon rwnania (3.3) opisuje zmian temperatury w czasie. W warunkach usta-lonych przyjmuje warto rwn zero. Drugi czon zwizany jest z konwekcyjnym przepy-wem ciepa. Wielko v oznacza prdko unoszenia. Trzeci czon okrela transport ciepapoprzez przewodzenie.Wcelurozwizaniarwnania(3.3) wobszarzeograniczonympowierzchni=1 2 3naleyzaoywarunkipocztkoweibrzegowe.Stosowanestrzyrodzajewarunkw brzegowych:1. Warunek DirichletaT= Tdla x 1, (3.4)gdzieT(x) jest zadan temperatur na brzegu rozpatrywanego obszaru.2. Warunek Neumannaqn = qdla x 2, (3.5)gdzieq(x) oznacza zadany strumie ciepa przepywajcy przez powierzchni 2;szczeglnym przypadkiem jest izolowany brzeg lub powierzchnia symetrii ciaa, ww-czasq= 0.3. Warunek Robinaqn = (Tsurf T) dla x 3, (3.6)gdzie (x) oznacza wspczynnik przejmowania ciepa, Tsurf redni temperaturpowierzchni, aT temperatur w znacznej odlegoci od rozpatrywanego brzegu.W przypadku zagadnie zalenych od czasu naley dodatkowo zdeniowa warunek po-cztkowyT(x, t0) = T0(x) dla x . (3.7)Wwczas wielkociT,qiw powyszych rwnaniach mog by funkcjami zalenymiod czasu.Rozpatrujc zagadnienia przepywu ciepa pomidzy ciaami w kontakcie w skali mikronaleyzaoyodpowiedni warunekbrzegowyzwizanyzprzepywemciepawobrbienominalnej powierzchni kontaktu. Wzalenoci odsposobutransportuciepa, lokalnystrumieciepanarozpatrywanymbrzegukontaktowymc, zgodnyzkierunkiemnor-malnejn, mona zapisa jako wariant warunku Robina dla:przewodzenia ciepa przez powierzchni obszarw rzeczywistego stykuqcc = hc T dla x cc, (3.8)gdzie Toznacza rnic lokalnych temperatur stykajcych si powierzchni;30 Rozdzia 3. Przepyw ciepa przez powierzchni kontaktukontaktu ciaa z cieczqfc = hf T dla x fc, (3.9)gdzieT oznaczarnicredniej temperaturypowierzchni ciaai temperaturycieczy2, ahfwzalenoci odzwrotuwektorastrumieniaciepa(nazewntrzlubdo wewntrz ciaa) jest wspczynnikiem odpowiednio przejmowania lub wnikaniaciepa;przepywu na skutek radiacjiqrc = e SB_T14T24_dla x rc, (3.10)gdzie e oznacza efektywn emisyjno powierzchni dwch cia pozostajcych w kon-takcie, SBto staa Stefana-Boltzmanna, a Ti oznacza temperatur powierzchni kon-taktowej i-tego ciaa.W oglnym przypadku przepyw ciepa przez rozpatrywan powierzchni c = ccfcrcjest skomplikowany, a wtedy do opisu strumienia ciepa trzeba wykorzysta warunki (3.8)(3.10).Zagadnienia przepywu ciepa rozpatruje si czsto w postaci bezwymiarowej. Wwczasstosuje si nastpujce wielkoci bezwymiarowe:x=xL(3.11)t= tL2(3.12)T=T TT0T(3.13)Q= QL2k (T0T)(3.14)v= v L= Pe (3.15)Wystpujce w powyszych rwnaniach wielkoci wymiarowe to dugo charakterystycz-na L [m], dyfuzyjno cieplna = k/c [m2/s] oraz temperatura pocztkowaT0 [K]. Bez-wymiarowa prdko (3.15) nosi nazw liczby Peclet.Wykorzystujc wielkoci bezwymiarowe (3.11)(3.15) rwnanie przepywu ciepa (3.3)mona zapisa w postaciTt+v T2TQ = 0, (3.16)gdzie () = () /x.3.3. KontaktowyoprcieplnyBadania dowiadczalne przepywu ciepa pomidzy ciaami w kontakcie wskazuj naobecno skokowej zmiany makroskopowej temperatury przy przejciu z jednego ciaa do2Temperaturamierzonawpunkcieodlegymodrozpatrywanejpowierzchniciaalubredniatempe-ratura cieczy.31drugiego(patrzrysunek3.1(b)). Wskali mikrokontaktciazachodzi napojedynczychnierwnociach3. Gdybypowierzchniecia byyidealniegadkiewobrbiepowierzchninominalnejipozbawionewszelkichzanieczyszczewwczaswprzyjtejskaliobserwacjimona by przyj cigo temperatury na powierzchni kontaktu. Natomiast wspomnia-nachropowatopowierzchniorazrnicewewaciwociachcieplnychimechanicznychwarstwy wierzchniej w stosunku do materiau wewntrz ciaa, powstaych np. w wynikuobrbki powierzchniowej czy obecnej warstwy tlenkw, stanowi przyczyn obserwowanejwskali makroniecigoci temperatury. Dlaustalonegoprzepywuciepaobserwujesirwnieniejednorodnyrozkadtemperaturywewntrzizotropowychciawpobliuroz-patrywanejpowierzchni.Szerokotegoobszaru(liniakropkowanarysunku3.1)zaleyod wymienionych wyej czynnikw.Z obserwowanym makroskopowo skokiem temperatury na granicy styku cia zwizanejest pojcie kontaktowego oporu cieplnego Rc (ang. thermal contact resistance). Wielkot,podobniejakoprnaprzepywprduelektrycznego4(KakaciYener[41]),deniujesi w nastpujcy sposbRc =T1T2q, (3.17)gdzieT1 iT2 oznaczaj wartoci temperatury uzyskane w stanie ustalonym poprzez eks-trapolacj(liniowych)prolwtemperaturywewntrzkadegozcia(liniakreskowanarysunku3.1(b))namakroskopowpowierzchnikontaktu(monajeinterpretowajakorednietemperaturypowierzchni kontaktowychcia), aqtocakowitystrumieciepaprzepywajcego pomidzy ciaami.W literaturze funkcjonuje zamiennie pojcie kontaktowej przewodnoci cieplnej (ang.thermal contact conductance), ktra zdeniowana jest jako odwrotno kontaktowego opo-ru cieplnegohc =1Rc=qT. (3.18)Winiewski [110] badajcwymianciepaprzyperiodycznymstykucia staych(ang.periodic contact resistance) nazywa wielko hcwpowyszymrwnaniuefektywnymwspczynnikiem wymiany ciepa. W niniejszej rozprawie rozwaania dotyczce przepy-wu ciepa ograniczaj si do zagadnie przewodzenia przez powierzchni kontaktu. Dla-tego wielko zdeniowana zalenoci (3.18) bdzie okrelana jako efektywny kontaktowywspczynnik przewodzenia ciepa.Zmiana temperatury powoduje m.in. zmian waciwoci materiaw, wymiarw przed-miotw, parametrw procesw technologicznych, warunkw kontaktowych (zmiana rzeczy-wistej powierzchni kontaktu oraz wspczynnika tarcia), warunkw smarowania (zmianalepkoci lub degradacja smaru). Kontrola temperatury cia w kontakcie moe odbywa siw sposb poredni poprzez zmian wartoci kontaktowego oporu cieplnego, ktry decydujeo przepywie ciepa pomidzy nimi. W zalenoci od zastosowa dy si do poprawy od-prowadzenia ciepa poprzez zmniejszenie wartoci parametru Rc lub jak np. w przypadkuizolatorwdojej zwikszenia. Gwnymczynnikiemdecydujcymowartoci kontakto-wegooporucieplnegojestrzeczywistapowierzchniakontaktu(Kakaci Yener[41]). Na3W odpowiednio maej skali, ale jeszcze dla kontinuum, zmiana temperatury przy ustalonym przepy-wie ciepa zachodzi w sposb cigy.4Analogiawopisieprzepywuprduelektrycznegoi ciepaprzezpowierzchnikontaktucia: oprcieplny odpowiada oporowi elektrycznemu, rnica temperatur rnicy potencjaw, strumie ciepa gstoci strumienia prdu.32 Rozdzia 3. Przepyw ciepa przez powierzchni kontaktuwartoRcwpywa rwnie rodzaj materii wypeniajcej wolne przestrzenie midzy po-wierzchniami.Elektronika(efektywnechodzenieukadwelektronicznych), cyklicznykontaktcia(np. stykzaworwzgniazdami, kucie), ruchomepoczeniaczci maszyn, osonyter-micznetotylkoprzykadoweobszary,wktrychwartokontaktowegooporucieplnegoodgrywa kluczowe znaczenie. Problem przewodnoci cieplnej wystpuje rwnie wewntrzcia o niejednorodnej strukturze, skadajcych si z dwch lub wicej komponentw (np.materiayporowate,kompozyty),gdzieoprnastykuwkienzmatryc,ziaren,laminmoedecydowaomakroskopowychwaciwociachmateriau(Furmaski i Winiew-ski [30]).W procesach przerbki plastycznej pynicie metalu zaley w duym stopniu od tem-peratury.DokadnainformacjaoaktualnejwartociwspczynnikaRcnaetapiemode-lowaniatychproceswmoezapewnilepszkontrolwaciwoci materiaowychorazjakoci powierzchni wyrobw. Wzastosowaniachpraktycznych, zuwagi naograniczonyzakres stosowalnoci istniejcych modeli, przyjmuje si zwykle sta warto kontaktowegowspczynnika oporu cieplnego, ktr wyznacza si na podstawie eksperymentw w po-czeniu z symulacjami (Micari i in. [63], Pietrzyk i Lenard [80]). Zaoenie to w odniesieniudo procesw ksztatowania metali jest jednak duym uproszczeniem (Lenard i Davies [53],Nshama i Jeswiet [76]).Uwzgldniajc, e w oglnym przypadku przepyw ciepa pomidzy ciaami w kontak-cie odbywa si poprzez przewodzenie przez obszary rzeczywistego styku i pyn wystpujcypomidzypowierzchniamiciaorazradiacj,efektywnykontaktowyoprcieplnymonawyznaczy z zalenoci (Wriggers [113])1Rc=1Rkontakt+1Rpyn+1Rradiacja. (3.19)Powysza zaleno jest prawdziwa gdy przewodno cieplna pynu jest duo mniejsza nikontaktujcych si cia oraz gdy rzeczywista powierzchnia kontaktu jest znacznie mniejszaodpowierzchni nominalnej(Marchandi Raynaud[60]). Wniniejszejpracyskoncentro-wanosijedynienapierwszymczoniepoprawej stronierwnania(3.19), bomaondecydujce znaczenie w przerbce plastycznej.3.4. EksperymentalneiteoretycznewyznaczanieRcBadanianadmoliwociprawidowegoi dokadnegowyznaczeniawartoci kontak-towegooporucieplnegotrwajodlat30-stychubiegegostuleciaiwpierwszymokresieprowadzone byy na potrzeby kriogeniki (Yovanovich [115]). Kolejne lata przyniosy zain-teresowanie t tematyk przemysu lotniczego, nuklearnego (wpyw wysokich temperaturorazcinieniagazwwypeniajcychpustki pomidzyciaami, duestrumienieciepapynce od paliwa do zbiornika) i kosmicznego (poczenia w warunkach prni; Clausingi Chao [23], Yovanovich i Fenech [117]). Rozwj elektroniki spowodowa, e i tutaj pojawi-a si ch gbszego poznania przeszkd na jakie napotyka ciepo pynce od pracujcegourzdzeniadoorodkachodzcego. Budowaefektywniejszychsystemwodprowadzaj-cych ciepo wymusza rozpoznanie mechanizmw wpywajcych na kontaktow przewod-no ciepln. Dokadne poznanie i opis zjawisk towarzyszcych przepywowi ciepa przezpowierzchni kontaktu staje si rwnie istotne w zastosowaniach z zakresu nanotechno-logii. Podsumowanie dotychczasowych osigni zwizanych z badaniem przepywu ciepa33pomidzy ciaami w kontakcie mona znale m.in. w pracach Lamberta i Fletchera [48],Furmaskiego i Winiewskiego [30], Yovanovicha [115] oraz Bahramiego i in. [11].3.4.1. BadaniadowiadczalneMetodologiapostpowaniapodczaswyznaczaniawartocikontaktowegooporuciepl-nego na drodze eksperymentalnej stosowana przez rnych badaczy jest bardzo podobna.Cylindryczneprbkiumieszczasiwszczkachmaszynydoprowadzajcjedokontaktupoprzez wytworzenie zadanego cinienia. Ich powierzchnie s odpowiednio obrobione w ce-lu uzyskania zaoonego stopnia chropowatoci. Przepyw ciepa wymuszony jest rnictemperaturzadanychnabrzegachprbekumieszczonychwszczkach. Wkadejzpr-bek wykonane s otwory w ustalonych odlegociach od powierzchni kontaktu, w ktrychumieszczonestermopary5. Dowiadczeniawykonywaneswkomorzeprniowej lubzestaw prbek izoluje si od otoczenia w taki sposb aby zapewni jednowymiarowy prze-pywciepa.Wtrakciebadamierzonejestcinieniekontaktoweitemperaturaprbekw warunkach ustalonych. Uzyskane prole rozkadu temperatury w prbkach maj cha-rakter zbliony do przedstawionego na rysunku 3.1(b).SposbwyznaczeniakontaktowejprzewodnocicieplnejopisanyprzezFurmaskiegoiWiniewskiego[30]rnisinieznacznieodprzedstawionegopowyej.Prbkaumiesz-czona jest pomidzy narzdziami, w ktrych zainstalowane s termopary, a nastpnie jestonaciskana.Znajomoprzewodnocicieplnejmateriauprbkiorazstrumieniaciepapozwala wyznaczy spadek temperatury w prbce oraz warto kontaktowego oporu, kt-ry stanowi warto redni dla dwch powierzchni kontaktowych prbki. Dlatego te dwiepowierzchnie pomiarowe powinny charakteryzowa si t sam chropowatoci i stopniemzanieczyszczenia. Zalety takiego eksperymentu to m.in. pomiar kontaktowej przewodno-ci dlaplastycznejdeformacji prbki, moliwowielokrotnegowykorzystaniatermoparponiewa nie ulegaj zniszczeniu oraz moliwo wykonania pomiarw w stanie nieusta-lonym.Thomas i Probert [101] podsumowali w 1966 roku badania eksperymentalne dotycz-ce przepywu ciepa pomidzy ciaami pozostajcymi w kontakcie. Podstawowy wniosekdotyczy drogi jak pokonuje ciepo. Przy pominiciu radiacji ciepo pynie przez mikro-kontakty i mikroszczeliny.Czynniki majce wpyw na kontaktowy opr cieplny Jacobs i Starr [39] wyzna-czyli dowiadczalnie kontaktowy opr cieplny w prni w temperaturze pokojowej (25C)i temperaturze wrzenia azotu (195C) dla zota, srebra i miedzi. Ujemne temperaturypowodoway wzrost oporu na przepyw ciepa pomidzy ciaami w kontakcie. Maksymalneobcienie wynosio 0.25MPa.Bahrami i in. [8] uwzgldnili wpyw falistoci powierzchni wykorzystujc w dowiadcze-niach prbki o sferycznej, gadkiej, polerowanej powierzchni. Uzyskane wyniki porwnanoz wynikami modelowania uwzgldniajcego chropowatoci powierzchni w dwch ronychskalach. Zakres stosowanych cinie kontaktowych by may i nie przekracza 20MPa.Cykliczne obcianie, powodujc sprysto-plastyczne deformacje nierwnoci powierz-chni, prowadzi dozmniejszaniasikontaktowejopornoci wczasiepocztkowychcykli,a nastpnie jej warto stabilizuje si (Winiewski i Furmaski [111], Li i in. [55]). Ma to5Termopary s atwe w uyciu, jednak z uwagi na swe skoczone wymiary mierz temperatur ciaa,a nie powierzchni w kontakcie. Ponadto umieszczanie ich wewntrz prbek zaburza przepyw ciepa.34 Rozdzia 3. Przepyw ciepa przez powierzchni kontaktubezporedni zwizekzewzrostemrzeczywistejpowierzchni kontaktu. Efektten, wyra-niejszy dla powierzchni o wikszej chropowatoci, mona wykorzysta do poprawy kontak-towej przewodnoci poprzez pocztkowe przecienie zcza, a nastpnie jego odcieniedo zadanego cinienia roboczego.Zmiana wartoci kontaktowej przewodnoci cieplnej, gdy dokadna obrbka powierzch-ni jest nieopacalna, odbywa si poprzez wykorzystanie materiaw porednich (smary, fo-lie metaliczne, polimery, ceramika) pomidzy powierzchniami cia w kontakcie. Folie meta-liczne wykonane z indu, oowiu, miedzi, cyny, aluminium, zota i srebra zwykle polepszajkontaktow przewodno (Furmaski i Winiewski [30]). Yovanovich [115] przeprowadzibadania,wktrychwykaza,eistniejeoptymalnagrubofolii,dlaktrejkontaktowyopr cieplny przyjmuje najmniejsze wartoci w danym zczu.Warstwy niemetaliczne (np. tlenki) z reguy pogarszaj warunki przepywu ciepa po-midzy ciaami. Clausing i Chao [23] przebadali czyste oraz pokryte warstw tlenku prb-ki wykonanezmagnezu. Zaobserwowano, ekontaktowaopornocieplnabyaorzdwielkociwikszadlapowierzchniprbekpokrytychtlenkiem.Jesttodowdnato,jakobecno trzeciego ciaa (np. smarw, past, zanieczyszcze powierzchni) moe wpywa narozkad temperatury kontaktujcych si cia. Natomiast Madhusudana [57] zauway, ecienka warstwa tlenkw na chropowatej powierzchni, moe przyczyni si do jej wygadze-nia zwikszenia rzeczywistej powierzchni kontaktu i w efekcie polepszy kontaktowprzewodno.DlaparykontaktowejzoonejzaluminiumistaliRogers[83]zaobserwowazmiankontaktowego oporu cieplnego w zalenoci od kierunku przepywu ciepa. Williams [107]przypisa wystpowanie takiej zalenoci zanieczyszczeniom obecnym na powierzchni sty-ku. Dowiadczenia6wykonaneprzezClausinga[22] naparachkontaktowychzoonychzrnychmateriawrwniepotwierdziyzalenokontaktowejprzewodnoci odkie-runkustrumieniaciepa,odktregowbezporednisposbzaleywartolokalnejtem-peratury.Wartorzeczywistejpowierzchnikontaktuzmieniaasiwzalenociodkie-runkugradientutemperaturyzewzgldunarnicewrozszerzalnoci cieplnej prbek.Efekt sprze termomechanicznych, ktry nie jest uwzgldniany w niniejszej rozprawie,przestawa mie znaczenie dla maych wartoci strumienia ciepa. Thomas i Probert [102]uzyskali zmian kontaktowej przewodnoci cieplnej w zalenoci od kierunku strumieniaciepa dla pary kontaktowej zoonej z tych samych materiaw. Zatem nie tylko rozsze-rzalno cieplna decyduje o tym efekcie.PomiarRcwprocesachksztatowaniametali Pomiary kontaktowej przewodnocicieplnej w procesach przerbki plastycznej napotykaj na szereg problemw natury tech-nicznej z uwagi na zoono zjawisk tam zachodzcych. Wykorzystywanie termopar wiesizzaburzeniemgeometriinarzdzi,atymsamympolatemperatury.Ponadtouywa-na aparatura musi by dostosowana do szybkich zmian wielkoci mierzonych. Malinowskii in. [59] zmierzyli zmian kontaktowej przewodnoci cieplnej w funkcji pocztkowej tempe-ratury matrycy, cinienia kontaktowego oraz czasu pozostawania cia w kontakcie. Zapro-ponowali rwnie zaleno pozwalajca wyznaczy wspczynnik przewodnoci w funkcjitych trzech parametrw. Maksymalne zastosowane cinienie kontaktowe wynosio 90MPa.Skuteczno i poprawno modelowania procesw przerbki plastycznej na gorco za-leyodwaciwegoopisuwarunkwbrzegowych, awicrwniewaciwegookreleniakontaktowego wspczynnika przewodzenia ciepa. Lenard i Davies [53] wykonali test wal-6Maksymalna warto zastosowanego cinienia kontaktowego wynosia 1MPa.35cowania na gorco oraz ciskania w celu wyznaczenia wspczynnika oporu. Stwierdzono,ewaciwoci powierzchni kontaktowej (obecnotlenkw, smaru, itp.) majowielewikszy wpyw na warto strumienia ciepa ni parametry procesu walcowania (redukcjagruboci, temperatura, wejciowa grubo blachy, prdko).Bariani i in. [12] przedstawili badania dowiadczalne i wyniki analiz numerycznych do-tyczcych kucia na gorco. Pokazali jak zmienia si warto kontaktowego wspczynnikaprzewodzenia ciepa w okrelonych obszarach matrycy w czasie trwania procesu.Sadokiin.[85]przedstawiliprzegldwynikwpracdotyczcycheksperymentalnychpomiarwkontaktowegowspczynnikaprzewodzeniaciepawprocesachprzerbkipla-stycznej (walcowanienazimno, nagorco, ciskanie). Szerokiespektrumuzyskiwanychwartoci wiadczy o znacznej liczbie parametrw, ktre maj wpyw na kontaktowy oprcieplny.3.4.2. WybranemodeleIstnieje liczna grupa modeli umoliwiajcych wyznaczenie kontaktowego oporu ciepl-nego, ktre powstay w oparciu o nastpujce zaoenia:1. rozpatrywane ciaa s jednorodne i izotropowe;2. wymiarycia orazmakroskopowej powierzchni kontaktusznaczniewikszeodwymiaru falistoci i chropowatoci powierzchni;3. powierzchnie kontaktowe s pozbawione zanieczyszcze;4. pominite s naprenia styczne w obszarach rzeczywistego styku;5. lokalna temperatura jest ciga w obszarach rzeczywistego styku cia;6. transportciepaodbywasinadrodzeprzewodzeniaprzezobszaryrzeczywistegostyku (pominita jest obecno gazw pomidzy powierzchniami) i ewentualnie pynwypeniajcy wolne przestrzenie;7. obszary rzeczywistego styku modelowane s w ksztacie k w paszczynie kontak-tu7, a z kadym z nich skojarzony jest cylindryczny kana, ktrym pynie ciepo;8. wszystkie obszary styku w obrbie nominalnej powierzchni kontaktu posiadaj taksam temperatur (ang. isothermal microcontacts, Cooper i in. [24]).Na rysunku 3.2 pokazano podzia modeli kontaktowego oporu cieplnego ze wzgldu nageometri kontaktu cia zaproponowany przez Yovanovicha [115]. Podzia ten jest podsta-w wieloskalowego modelowania oporu cieplnego. Model przedstawiony na rysunku 3.2(a)jest wykorzystany do opisu kontaktowego oporu dla pojedynczego obszaru styku, co mo-erwnieodpowiadakontaktowi powierzchni gadkichi niedopasowanych(ang. non-conformingsmoothsurfaces). Kontakt dwch nominalnie gadkich, paskich powierzchni7Bahrami [7] powouje si na prac Yovanovicha [116], w ktrej wyznaczono kontaktowy opr cieplnydlaobszarwstykuodowolnymksztacie. Znalezionowymiarcharakterystycznyrwnypierwiastkowikwadratowemu pola pojedynczego obszaru styku. Stwierdzono, e geometria obszarw rzeczywistego stykuma drugorzdne znaczenie i mona je modelowa w ksztacie k przy zachowaniu wartoci powierzchni.S prace, w ktrych zakada si inne ksztaty obszarw rzeczywistego styku (Laraqi [50], Rostami i in. [84],Salti i Laraqi [87], Vick i Furey [104], Zhang i in. [119]).36 Rozdzia 3. Przepyw ciepa przez powierzchni kontaktu(a) (b) (c)Rysunek3.2: Modelekontaktudwchcia opowierzchniach: (a)gadkichi niedopaso-wanych, (b) chropowatych i dopasowanych oraz (c) chropowatych i niedopasowanych (zaYovanovichem [115]).(ang. conforming nominally at rough surfaces), pokazany na rysunku 3.2(b), jest zamo-delowanyprzypomocypojedynczychobszarwstykurozoonychnacaej powierzchninominalnej. Uwzgldnienie wystpowania nierwnoci w dwch skalach, co moe odpowia-da kontaktowi powierzchni chropowatych i niedopasowanych (ang. nonconforming roughsurfaces), pokazano na rysunku 3.2(c). W tym przypadku obszary styku odpowiadajcepojedynczymnierwnociomwkontakcie(mikroopor)srozoonejedyniewobrbieobszarw wynikajcych z kontaktu wikszych nierwnoci w skali makro (makroopr).Clausing i Chao [23] zaproponowali wykorzystanie rozwizania dla pojedynczego r-da ciepa na pprzestrzeni do okrelenia kontaktowego oporu dla pojedynczej nierwno-ci, rysunek 3.2(a). Podejcie takie jest suszne dla obszarw rzeczywistego styku, ktrychwielko jest duo mniejsza od odlegoci midzy nimi. Rozwizanie stanu ustalonego dlakolistego rda ciepa o promieniu a na pprzestrzeni o przewodnoci cieplnej k zostaopodane przez Carslawa i Jaegera [19] dla dwch typw warunkw brzegowych. Kontakto-wy opr cieplny dla przepywu ciepa wymuszonego staym strumieniem wynosiRq=832ka , (3.20)natomiast dla izotermicznego warunku brzegowego ma postaRT=14ka . (3.21)Rnicawartocioporuwzalenociodprzyjtychwarunkwbrzegowychwynosiokoo8%.Wzrost cinienia kontaktowego prowadzi do zwikszenia liczby obszarw rzeczywistegostykuorazichwielkoci. Wceluuwzgldnieniawzajemnychoddziaywawprowadzonobezwymiarow funkcj (), gdzie = a/b, czyli = 2. Wwczas warto kontaktowego37oporu cieplnego mona przedstawi jakoRc = ()4k1a+ ()4k2a= ()2kea, (3.22)gdzie ke = 2k1k2/(k1+k2) jest redni harmoniczn przewodnoci ciepln. Posta funkcji () zostaa wyznaczona m.in. przez Coopera i in. [24], Gibsona [31], Negusa i Yovano-vicha [73], Mikia i Rohsenowa [67] oraz Roessa [82]. Porwnanie wynikw otrzymanychprzez wymienionych autorw wskazuje na bardzo dobr zgodno dla < 0.3, odpowiada-jcemu rzeczywistej powierzchni kontaktu < 0.09, co stanowi typowy zakres zaintereso-wa w rozwaaniach na temat kontaktowego oporu cieplnego (Bahrami [7]). W przypadkugranicznym gdy dy do zera, warto funkcji () dy do jednoci, co odpowiada roz-wizaniu dla pojedynczego rda ciepa na pprzestrzeni.Zgodnie z modelem Coopera i in. [24] kontaktowa przewodno cieplna dla pojedyn-czegokolistegoobszarustykuprzedstawionegoschematycznienarysunku3.2(a)wynosihsinglec=2keab2() . (3.23)Funkcja zostaa okrelona rwnaniem (1 a/b)1.5=_1 _1.5. (3.24)Dla = 1 nie ma kontaktowego oporu na przepyw ciepa, co wynika z zaoenia, e tem-peraturypowierzchnikontaktujcychsiciassobierwnewobszarachrzeczywistegostyku. Gdy rodek rozpatrywanego obszaru styku nie pokrywa si z osi symetrii hipote-tycznego cylindra podana jest empiryczna zaleno na zwikszon kontaktow opornocieplnwynikajczmimorodowoci. Dlawielupojedynczychobszarwrzeczywistegostyku rozoonych na nominalnej powierzchni kontaktu (rysunek 3.2(b)) Cooper i in. [24]wyprowadzilizalenonazmiankontaktowejprzewodnociwfunkcjirzeczywistejpo-wierzchni kontaktu opisanej rwnaniem (2.1). Wykorzystujc dane dowiadczalne otrzy-mane rozwizanie aproksymowali zalenocihCc= 1.45ke/ tan _pNHmic_0.985. (3.25)Analizujcprzepywciepadlaciaonominalniepaskichchropowatychpowierzch-niachMiki[66] zaproponowafunkcjeokrelajcekontaktowprzewodnocieplndlatrzechprzypadkwdeformacji materiau. Dlamodeluplastycznegouzyskarozwizanieanalogiczne do przedstawionego powyejhp1c= 1.13ke/ tan _pNHmic_0.94. (3.26)Uwzgldniajczmianrzeczywistej powierzchni kontaktuwczasieobcieniawposta-ci (2.2), wyraenie na kontaktow przewodno ciepln ma postahp2c= 1.13ke/ tan _pNHmic + pN_0.94. (3.27)Takamodykacjapowodujezmniejszeniewartoci przewodnoci dlawysokichobciew porwnaniu z rwnaniem (3.26). W przypadku sprystego odksztacenia podoa orazplastycznej deformacji nierwnoci warto kontaktowej przewodnoci cieplnej wynosihepc= hp2c_1 + 0.6M_, (3.28)38 Rozdzia 3. Przepyw ciepa przez powierzchni kontaktuTabela 3.1: Wartoci parametrwwykorzystane do porwnania modeli (3.25) (3.29)przedstawionego na rysunku 3.3.parametr [m] [deg] ke[W/mK] Hmic[GPa] E

[GPa]warto 4.91 5 58 2.3 1150 50 100 150 200pNMPa020406080100120hc

kW

m2K

hcChcp1hcp2hcephceRysunek 3.3: Zmiana kontaktowego wspczynnika przewodzenia ciepa w funkcji makro-skopowego cinienia dla modeli (3.25) (3.29).gdzie Moznacza indeks plastycznoci zdeniowany rwnaniem (2.6). W przypadku spr-ystegoodksztaceniapodoaoraznierwnoci powierzchni wspczynnikkontaktowejprzewodnoci cieplnej jest opisany zalenocihec = 1.55ke/ tan _ pN/2E

tan _0.94. (3.29)Porwnanie przedstawionych modeli przedstawiono na rysunku 3.3. Wartoci parametrwprzyjto zgodnie z tabel 3.1. Rwnania (3.25) (3.29) zostay uzyskane poprzez aproksy-macj rozwaa teoretycznych z wykorzystaniem wynikw dowiadczalnych.Yovanovich i Fenech [117] zastosowali sprysto-plastyczny model spaszczania nierw-noci powierzchni poniewazaoeniewycznieplastycznegolubsprystegoschematudeformacji dawao niezadowalajc zgodno przewidywa modelu z wynikami bada.Uywanie w modelowaniu kontaktowej przewodnoci cieplnej redniego pochylenia nie-rwnoci jest dyskusyjne, bowiem warto tego parametru silnie zaley od rozdzielczociaparaturypomiarowej. Majumdar i Tien[58] uzalenili kontaktowyopr odwymiarufraktalnego powierzchni. Zaoyli, e kady opr skada si z szeregu oporw wywoanychmniejszymi nierwnociami, ktre s osadzone na wikszych. Opory te dziaaj rwnoleglezatem przepyw ciepa napotyka na skomplikowany schemat poczonych oporw.Prace nad wyznaczeniem kontaktowego oporu cieplnego, w ktrych uwzgldnia si wy-stpowanie nierwnoci powierzchni w kilku skalach, byy prowadzone m.in. przez Clau-singa i Chao [23], Yovanovicha [114], Bahramiego i in. [8, 10] oraz Jacksona i in. [38].39Wybraneczynniki majcewpywnawartokontaktowegooporu Rostamize wsppracownikami [84], stosujc model przepywu ciepa o geometrii analogicznej dozwki wprzypadkuprzepywupynu,zbadawpywksztatupowierzchni mikropustki(stoek, wycinek okrgu), rzeczywistej powierzchni kontaktu oraz rnych warunkw brze-gowych (kombinacje warunkw (3.4) i (3.5) dla rozpatrywanej komrki na paszczyznachprostopadych do kierunku strumienia ciepa daleko od powierzchni kontaktu) na wartokontaktowejprzewodnocicieplnej.Wpyw warunkw brzegowychnawartokontakto-wejprzewodnocicieplnejwystpowajedyniedlaktapochylenianierwnocirwnegozero. Wpywksztatupowierzchni swobodnej(niebdcejwdanejchwili wkontakcie)obserwowanyjestdla T2na brzegach komrki periodycznej (x3 = H). Przykadowe rozwizanie69mikroskopowegoproblemubrzegowegoustalonegoprzepywuciepadlanierwnocikli-nowej pokazano na rysunku 5.14(b d) na przykadzie pl temperatury. Liczba elementwskoczonychdlakadegociaabyarwna2500. Wrazzewzrostemprdkoci zmieniasi rozkad temperatury w pobliu powierzchni kontaktu. To z kolei musi mie wpyw nawarto efektywnego kontaktowego wspczynnika przewodzenia ciepa he. Zatem rozwi-zanie bdzie zalee od prdkoci, ktrej posta bezwymiarowv uzyskano dla wymiarucharakterystycznegoodpowiadajcegowymiarowi komrki periodycznej L. Wzaleno-ciodjejwartocidecydujcymmechanizmemtransportuciepawgrnymcielebdzieprzewodzenie (vdy do zera) lub konwekcja (vdy do nieskoczonoci). DodatkoworozkadtemperaturywgrnymcielestajesijednorodnydladuychliczbPeclet, por.rysunek 5.14(d), podobnie jak w rozwizaniu z wykorzystaniem modelu zaproponowanegoprzez Chantrennea i Raynauda [20].5.7.1. MetodaSUPGDo wyznaczenia kontaktowego wspczynnika przewodzenia ciepa z uwzgldnieniemruchuciawykorzystanometodelementwskoczonych.Numerycznerozwizaniepro-blemuprzepywuciepaklasycznmetodGalerkina, wktrymdominujemechanizmkonwekcji, zaburzonejest oscylacjami (podobnyproblempojawiasiwzagadnieniachmechaniki pynw). Wynikajonezrozwizaniadyskretnegoukadurwnazujemndyfuzyjnoci wystpujc dla wyszych prdkoci (Lewis i in. [54]). Zagadnienie to zilu-strowane jest na przykadzie jednowymiarowego zagadnienia ustalonego przepywu ciepaz konwekcj (Brooks i Hughes [18]).Rozkad temperatury w prcie wynikajcy z rozwizania ukadu rwna___cvT= k2T, 0 x 1,T= 0, x = 0,T= 1, x = L,(5.4)ma postaT(x) =1 evx/L1 ev, (5.5)gdzie v=v cL/k oznaczaprdko bezwymiarow(liczb Peclet), aparametry ,ci k tostae materiaowe gsto, ciepowaciwe i przewodno cieplna. ZmianatemperaturywprciedlaliczbyPeclet v=500pokazanajestczarnlininarysun-ku 5.15. Rozwizanie rwnania (5.4)1 metod elementw skoczonych dla warunkw brze-gowych(5.4)2i (5.4)3jestzaznaczoneliniczerwon1, patrzrysunek5.15(a). Jestonozaburzone oscylacjami, ktrych amplituda zwiksza si ze wzrostem prdkociv.W omawianych zagadnieniach przepywu ciepa zastosowano metod SUPG (ang. stre-amlineupwind/Petrov-Galerkin,BrooksiHughes[18])dlabiliniowychelementwsko-czonych2. WklasycznejmetodzieGalerkinazakadasi, efunkcjawagowaTwrw-naniu(4.10)jestciganagranicyelementwwewntrzrozpatrywanegoobszaru,patrzrysunek 5.16. Naley do tej samej przestrzeni co funkcje ksztatu wykorzystane do aprok-symacji rozwizania. W metodzie SUPG wprowadza si poprawk p tak, e nowa funkcja1Prt podzielono na 50 elementw liniowych.2Wceluwyeliminowanianiezycznychoscylacji wrozwizaniachnumerycznychzagadniezdomi-nujckonwekcjstosujesirwnieinnemetody, np. niecigmetodGalerkina(ang. discontinousGalerkin method, Zienkiewicz i in. [120]).70 Rozdzia 5. Wpyw wybranych czynnikw na warto kontaktowego oporu cieplnego0 0.2 0.4 0.6 0.8 1Position, xL0.50.2500.250.50.751Temperature,TFEMAnalytical solution0 0.2 0.4 0.6 0.8 1Position, xL00.20.40.60.81Temperature,TFEMSUPGAnalytical solution(a) (b)Rysunek5.15: Rozkadtemperaturywprcie(v=500)dlarozwizaniaanalityczne-go (5.5) oznaczonego lini czarn oraz: (a) rozwizania MES z klasyczn funkcj wagow(liniaczerwona)i(b)rozwizaniaMESzzaimplementowanmetodSUPG(liniaczer-wona).Rysunek 5.16: Porwnanie przebiegu funkcji wagowej Tdla klasycznej metody Galerkinaoznaczone lini przerywan i metody SUPG oznaczone lini cig (Brooks i Hughes [18]).71Rysunek5.17: Geometriaelementuczterowzowegozzaznaczonymlokalnymukademwsprzdnych (Brooks i Hughes [18]).wagowaTprzestaje by ciga, gdyv ,= 0 (patrz rysunek 5.16),T= T + p. (5.6)Zakadasi, efunkcje T i psgadkiewewntrzelementw. Zaburzenieklasycznejfunkcji wagowej dane jest rwnaniemp = T vv|v|, (5.7)gdzie |v| jest norm wektora prdkoci. W przypadku braku ruchu wzgldnego cia p = 0.Dla elementu czworoktnego wielko ma posta =vh + vh2, (5.8)gdzie = coth 1/, = coth 1/, (5.9) =vh c2k, =vh c2k, (5.10)v = e v, v = e v. (5.11)Wielkoci e i e s to wektory jednostkowe, a h i h oznaczaj dugoci charakterystyczneelementu zdeniowane na rysunku 5.17. Wielkoci i okrelone s analogicznie do licz-by Peclet (3.15). Mona zatem traktowa je jako bezwymiarowe prdkoci na kierunkachgwnychlokalnegoukaduwsprzdnych0zwizanegozpojedynczymelementem.Podsumowujc,poprawkapfunkcjiwagowejzaleybezporednioodwielkocielementu(gstoci siatki) i prdkoci unoszenia.Zastosowanie metody SUPG pozwala wyeliminowa oscylacje, co jest pokazane czer-wonlininarysunku5.15(b),awynikiobliczeodpowiadajzdobrymprzyblieniemrozwizaniu analitycznemu.72 Rozdzia 5. Wpyw wybranych czynnikw na warto kontaktowego oporu cieplnegoAceGen0.995Min.1.Max.0.740.490.240.232e20.2510.5010.750AceGen0.318e2Min.1.Max.0.1220.2470.3730.4980.6230.7490.874(a) (b)Rysunek 5.18: Pole temperatury w analizowanym obszarze dla siatki elementw skoczo-nych wykorzystujcych (a) klasyczn metod Galerkina i (b) metod SUPG.W celusprawdzenie poprawnociimplementacjiwykonano analiz przepywuciepa,ztymewprzestrzeni dwuwymiarowej. Zaoono, eprzepywciepajestwymuszonytylkowjednymkierunkux1.Dzikitemupoletemperaturyzaleytylkoodwsprzd-nej x1, aniezaleyodx2, i jest opisanerwnaniem(5.5). Elementysiatki (5050elementw)zostayrozoonenierwnomierniedziki czemurniysiwielkociorazksztatem, a ponadto byy rnie rozoone wzgldem zadanego kierunku prdkoci uno-szenia. Rysunek 5.18 przedstawia pola temperatury dla analizowanego obszaru uzyskanedla klasycznej metody Galerkina i metody SUPG. Warto liczby Peclet w tym przypad-kuwynosi 2500, copowodujewystpieniesilnychoscylacji zaburzajcychrozwizanie,patrzrysunek5.18(a)irysunek5.19(czerwonelinie).ZastosowaniemetodySUPGsku-tecznie niweluje opisywany problem, por. rysunek 5.18(b). W efekcie prole temperaturynagrnejidolnejkrawdzirozpatrywanegoobszarumajprzebiegprzedstawionyczar-nciglininarysunku5.19, ktrywzadowalajcysposbodpowiadarozwizaniuanalitycznemu.5.7.2. WpywprdkocinaheWpywprdkoci przemieszczaniasigrnegociaanaefektywnkontaktowprze-wodnocieplnpokazanonaprzykadziepowierzchni nr1, tabela2.1. Dlawybranychrozkadwobszarwrzeczywistegostyku(wyznaczonychprzezgeometrycznecinanie),kilku wartoci bezwymiarowego lokalnego kontaktowego wspczynnika przewodzenia cie-pa oraz rosncej prdkoci grnego ciaa zosta wyznaczony efektywny kontaktowy wsp-czynnik przewodzenia ciepa he. Jego zmian w odniesieniu do wartoci h0ewyznaczonejdlav= 0przedstawiononarysunku5.20wfunkcjiliczbyPeclet.Dlamaychwartocirzeczywistej powierzchni kontaktu (patrz rysunek 5.20(a)) wzrost prdkoci powodujewiksze zmiany oporu w stosunku do tych wystpujcych dla wartoci bliszych jednoci,por. rysunek 5.20(b).Zmiana pomidzy maksymaln, a minimaln w danych warunkach (ustalone wartociparametrwi hloc)wartociefektywnegokontaktowegowspczynnikaprzewodzeniaciepa przebiega w zakresie v rzdu 1010000. Odpowiada to przemieszczaniu si grnegociaa z prdkoci rwn odpowiednio 0.0666 m/s. Druga z podanych wartoci odpowiadaprdkociom, ktrych nie obserwuje si w procesach przerbki plastycznej. Zatem zakreszmian oporu na prze