sat pert by ob lateness

7/23/2019 Sat Pert by Ob Lateness

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S A T E L L I T E M O T I O N A R O U N D A N O B L A T E

P L A N E T : A P E R T U R B A T I O N S O L U T I O N F O R

A L L O R B I T A L P A R A M E T E R S

D . A . D a n i e l s o n , P r o f e s s o r

G . E . L a t t a , P r o f e s s o r

C . P . S a g o v a c , L T , U . S . N a v y

S . D . K r a m b e c k , L T , U . S . N a v y

J . R . S n i d e r , L T C , U . S . A r m y

M a t h e m a t i c s D e p a r t m e n t

N a v a l P o s t g r a d u a t e S c h o o l

M o n t e r e y , C a l i f o r n i a 9 3 9 4 3

A b s t r a c t

T h e s e a r c h f o r a u n i v e r s a l s o l u t i o n o f t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n f o r a

s a t e l l i t e o r b i t i n g a n o b l a t e p l a n e t i s a s u b j e c t t h a t h a s m e r i t e d g r e a t

i n t e r e s t b e c a u s e o f i t s t h e o r e t i c a l a n d p r a c t i c a l i m p l i c a t i o n s . H e r e , a

c o m p l e t e r s t - o r d e r p e r t u r b a t i o n s o l u t i o n , i n c l u d i n g t h e e e c t s o f t h e

J

2

t e r m s i n t h e p l a n e t ' s p o t e n t i a l , i s g i v e n i n t e r m s o f s t a n d a r d o r b i t a l

p a r a m e t e r s . T h e s i m p l e f o r m u l a s p r o v i d e a f a s t m e t h o d f o r p r e d i c t -

i n g s a t e l l i t e o r b i t s t h a t i s m o r e a c c u r a t e t h a n t h e t w o - b o d y f o r m u l a s .

T h e s e p r e d i c t i o n s a r e s h o w n t o a g r e e w e l l w i t h t h o s e o f a c o m p l e t e l y

n u m e r i c a l c o d e a n d w i t h a c t u a l s a t e l l i t e d a t a . A l s o , i n a n a p p e n d i x , i t

i s r i g o r o u s l y p r o v e n t h a t a s a t e l l i t e h a v i n g n e g a t i v e m e c h a n i c a l e n e r g y

r e m a i n s f o r a l l t i m e w i t h i n a s p h e r i c a l a n n u l u s w i t h r a d i i a p p r o x i m a t e l y

e q u a l t o t h e p e r i g e e a n d a p o g e e o f i t s i n i t i a l o s c u l a t i n g e l l i p s e .

1



1 I n t r o d u c t i o n

A c h a r a c t e r i s t i c f e a t u r e o f p r a c t i c a l o r b i t p r e d i c t i o n i s t h a t t h e e n g i n e e r m a y d e a l w i t h

n u m e r o u s s a t e l l i t e s i n a g r e a t v a r i e t y o f o r b i t s . U n d e r t h e s e c i r c u m s t a n c e s a n a l y t i c a l r e l a t i o n s

w h i c h c a n q u i c k l y a p p r o x i m a t e a n o r b i t m a y b e f a r s u p e r i o r t o l a r g e n u m e r i c a l p r o g r a m s .

W h i l e m a n y a n a l y t i c a l m o d e l s h a v e b e e n d e v e l o p e d f o r t h e a r t i c i a l s a t e l l i t e a g e , m o s t a r e

n o t u s e d i n p r a c t i c a l o r b i t p r e d i c t i o n b e c a u s e t h e y v i o l a t e o n e o r m o r e o f t h e f o l l o w i n g

p r i n c i p l e s :

T h e m e t h o d s h o u l d p r o v i d e a s o l u t i o n t h a t i s s i g n i c a n t l y m o r e a c c u r a t e t h a n t h e

t w o - b o d y s o l u t i o n .

T h e r e a l p h y s i c a l e e c t s o f t h e o r b i t s h o u l d b e e a s i l y d i s t i n g u i s h a b l e i n t h e s o l u t i o n .

T h e s o l u t i o n s h o u l d b e u n i v e r s a l i t s h o u l d b e v a l i d f o r a l l o r b i t a l p a r a m e t e r s .

T h e p r o b l e m o f p r e d i c t i n g t h e m o t i o n o f a s a t e l l i t e p e r t u r b e d o n l y b y t h e o b l a t e n e s s o f t h e

p l a n e t h a s r e c e i v e d c o n s i d e r a b l e a t t e n t i o n f o l l o w i n g t h e r s t l a u n c h i n g s o f a r t i c i a l s a t e l l i t e s

a b o u t t h e E a r t h . S o m e o f t h e s t u d i e s o f t h i s p r o b l e m b y m e a n s o f g e n e r a l p e r t u r b a t i o n

t h e o r i e s a r e l i s t e d a t t h e e n d o f t h i s p a p e r . T e c h n i q u e s h a v e i n v o l v e d e x p a n s i o n s i n p o w e r s

o f

p

J

2

, a v e r a g i n g p r o c e s s e s , t h e u s e o f s p h e r o i d a l c o o r d i n a t e s , a n d t h e e d i c e o f H a m i l t o n i a n

m e c h a n i c s . I t i s n o t t h e i n t e n t i o n o f t h i s p r e s e n t p a p e r t o c o m p a r e t h e v a r i o u s m e t h o d o l o g i e s

u s e d . S u c e i t t o s a y t h a t m a n y r e s e a r c h e r s b e l i e v e a s o l u t i o n w h i c h e m b o d i e s a l l o f t h e

a b o v e p r i n c i p l e s w a s n o t a c h i e v e d ( e . g . , s e e T a ) .

T h e b a s i c p r o c e d u r e u s e d i n t h i s p a p e r t o s o l v e t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n s o f m o t i o n i s

t h e p e r t u r b a t i o n t e c h n i q u e k n o w n a s t h e M e t h o d o f S t r a i n e d C o o r d i n a t e s . T h i s t e c h n i q u e

w a s r s t a p p l i e d t o t h e t i t l e p r o b l e m b y B r e n n e r , L a t t a , a n d W e i s e l d . U s i n g a m e a n o r b i t a l

p l a n e t o s p e c i f y a n a r b i t r a r y o r b i t , t h e y w e r e o n l y a b l e t o o b t a i n a p a r t i a l s o l u t i o n ( e . g . , t h e

e c c e n t r i c i t y w a s a s s u m e d s m a l l a n d i n i t i a l c o n d i t i o n s w e r e n o t c o n s i d e r e d ) .

2



H e r e w e u s e c o o r d i n a t e s i n t h e t r u e o r b i t a l p l a n e t o c a s t t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n s i n t o a

s i m p l i e d f o r m , a s w a s o r i g i n a l l y d o n e b y S t r u b l e .

2 O r b i t a l K i n e m a t i c s

F i g u r e 1 s h o w s t h e u s u a l r e f e r e n c e s y s t e m o f s p h e r i c a l c o o r d i n a t e s ( r ) . T h e r a d i a l

d i s t a n c e r i s m e a s u r e d f r o m t h e c e n t e r o f t h e p l a n e t O t o t h e s a t e l l i t e S . T h e l i n e O i s i n

a d i r e c t i o n x e d w i t h r e s p e c t t o a n i n e r t i a l c o o r d i n a t e s y s t e m . T h e r i g h t a s c e n s i o n i s t h e

a n g l e m e a s u r e d i n t h e p l a n e t ' s e q u a t o r i a l p l a n e e a s t w a r d f r o m t h e l i n e O . T h e d e c l i n a t i o n

o r l a t i t u d e i s t h e a n g l e m e a s u r e d n o r t h w a r d f r o m t h e e q u a t o r . T h e p o s i t i o n v e c t o r r o f

t h e s a t e l l i t e i n t h e s p h e r i c a l c o o r d i n a t e s y s t e m i s

r = r ( c o s c o s ) b

1

+ r ( s i n c o s ) b

2

+ r ( s i n ) b

3

( 1 )

w h e r e ( b

1

b

2

b

3

) a r e o r t h o n o r m a l b a s e v e c t o r s x e d i n t h e d i r e c t i o n s s h o w n .

W e c a n a l s o l o c a t e t h e s a t e l l i t e b y i t s p o l a r c o o r d i n a t e s ( r ) w i t h i n a ( p o s s i b l y r o t a t i n g )

o r b i t a l p l a n e t h a t i n s t a n t a n e o u s l y c o n t a i n s i t s p o s i t i o n a n d v e l o c i t y v e c t o r s . H e r e i s t h e

a r g u m e n t o f l a t i t u d e , i . e . , t h e a n g l e m e a s u r e d i n t h e o r b i t a l p l a n e f r o m t h e a s c e n d i n g n o d e t o

t h e s a t e l l i t e . T h e o r b i t a l p l a n e i s i n c l i n e d a t a n a n g l e i t o t h e e q u a t o r i a l p l a n e a n d i n t e r s e c t s

t h e e q u a t o r i a l p l a n e i n t h e l i n e o f n o d e s , m a k i n g a n a n g l e w i t h t h e O l i n e .

W e i n t r o d u c e a n o t h e r o r t h o n o r m a l s e t o f b a s e v e c t o r s ( B

1

B

2

B

3

) w h i c h m o v e w i t h t h e

s a t e l l i t e s o t h a t B

1

i s i n t h e d i r e c t i o n o f t h e p o s i t i o n v e c t o r r , B

2

i s a l s o i n t h e o r b i t a l p l a n e ,

a n d B

3

= B

1

B

2

. T h e b a s i s ( b

1

b

2

b

3

) m a y b e t r a n s f o r m e d i n t o t h e b a s i s ( B

1

B

2

B

3

) b y

a s u c c e s s i o n o f t h r e e r o t a t i o n s . F i r s t t h e b a s i s ( b

1

b

2

b

3

) i s r o t a t e d a b o u t t h e b

3

d i r e c t i o n

b y t h e a n g l e , n e x t t h e b a s i s i s r o t a t e d a b o u t t h e n e w 1 { d i r e c t i o n b y t h e a n g l e i , a n d

n a l l y t h e b a s i s i s a g a i n r o t a t e d a b o u t t h e n e w 3 { d i r e c t i o n b y t h e a n g l e . T h e t w o s e t s o f

b a s e v e c t o r s a r e r e l a t e d b y t h e p r o d u c t o f t h e r o t a t i o n m a t r i c e s r e p r e s e n t i n g e a c h s u c c e s s i v e

3



r o t a t i o n ( a s e x p l a i n e d i n t h e b o o k b y D a n i e l s o n ) :

2

6

4

B

1

B

2

B

3

3

7

5

=

2

6

4

c o s s i n 0

; s i n c o s 0

0 0 1

3

7

5

2

6

4

1 0 0

0 c o s i s i n i

0 ; s i n i c o s i

3

7

5

2

6

4

c o s s i n 0

; s i n c o s 0

0 0 1

3

7

5

2

6

4

b

1

b

2

b

3

3

7

5

( 2 )

o r

2

6

4

B

1

B

2

B

3

3

7

5

=

2

6

4

c o s c o s ; s i n c o s i s i n c o s s i n + s i n c o s i c o s s i n s i n i

; s i n c o s ; c o s c o s i s i n ; s i n s i n + c o s c o s i c o s c o s s i n i

s i n i s i n

; s i n i c o s c o s i

3

7

5

2

6

4

b

1

b

2

b

3

3

7

5

T h e p o s i t i o n v e c t o r r h a s o n l y o n e c o m p o n e n t i n t h e r o t a t i n g b a s i s :

r = r B

1

( 3 )

U s i n g t h e r s t o f e q u a t i o n s ( 2 ) , w e o b t a i n t h e c o m p o n e n t s o f r i n t h e x e d b a s i s :

r = r ( c o s c o s ; s i n c o s i s i n ) b

1

+ r ( c o s s i n + s i n c o s i c o s ) b

2

+ r ( s i n s i n i ) b

3

( 4 )

E q u a t i n g t h e c o m p o n e n t s o f e q u a t i o n s ( 1 ) a n d ( 4 ) , w e c a n o b t a i n t h e f o l l o w i n g r e l a t i o n s

a m o n g t h e a n g l e s ( ) o f t h e s p h e r i c a l c o o r d i n a t e s y s t e m a n d t h e a s t r o n o m i c a l a n g l e s

( i ) :

s i n = s i n s i n i ( 5 )

c o s = c o s s e c ( ; )

T h e v e l o c i t y d r = d t o f t h e s a t e l l i t e i s o b t a i n e d b y d i e r e n t i a t i n g ( 3 ) w i t h r e s p e c t t o t h e

t i m e t :

d r

d t

=

d r

d t

B

1

+ r

d B

1

d t

( 6 )

S i n c e t h e o r b i t a l p l a n e m u s t c o n t a i n t h e v e l o c i t y v e c t o r , w e h a v e t o e n f o r c e

d B

1

d t

B

3

= 0 ( 7 )

S u b s t i t u t i o n o f e q u a t i o n s ( 2 ) i n t o e q u a t i o n ( 7 ) l e a d s t o a r e l a t i o n s h i p w h i c h u n c o u p l e s t h e

e q u a t i o n s f o r ( ) a n d i ( ) :

d

d

=

t a n

s i n i

d i

d

( 8 )

4



T h e v e l o c i t y ( 6 ) c a n t h e n b e w r i t t e n

d r

d t

=

d r

d t

B

1

+ r

d

d t

1 + t a n c o t i

d i

d

!

B

2

( 9 )

I n t h e f o l l o w i n g p a r t o f t h i s p a p e r , w e w i l l o b t a i n e x p r e s s i o n s f o r r ( ) , i ( ) , ( ) , a n d

d t = d ( ) . T h e p o s i t i o n a n d v e l o c i t y v e c t o r s o f t h e s a t e l l i t e t h e n m a y b e c a l c u l a t e d f r o m

t h e f o r m u l a s i n t h i s s e c t i o n . T h e c l a s s i c a l o r b i t a l e l e m e n t s p e , a n d ! a r e t h e s e m i l a t u s

r e c t u m , e c c e n t r i c i t y , a n d a r g u m e n t o f p e r i g e e o f t h e i n s t a n t a n e o u s ( o s c u l a t i n g ) c o n i c s e c t i o n

d e t e r m i n e d b y t h e p o s i t i o n a n d v e l o c i t y v e c t o r s . I f n e e d e d , p ( ) , e ( ) , a n d ! ( ) c a n b e

o b t a i n e d f r o m o u r s o l u t i o n r ( ) a n d d t = d ( ) :

p =

r

4

G M

d t

d

2

e c o s (

; ! ) =

p

r

; 1

e s i n ( ; ! ) =

p

r

2

d r

d

!

3 E q u a t i o n s o f M o t i o n

T h e e x p r e s s i o n s f o r t h e k i n e t i c a n d p o t e n t i a l e n e r g i e s p e r u n i t m a s s o f a s a t e l l i t e o r b i t i n g

a r o u n d a n o b l a t e p l a n e t a r e r e s p e c t i v e l y :

T =

1

2

2

4

d r

d t

!

2

+ r

2

d

d t

!

2

+ r

2

c o s

2

d

d t

!

2

3

5

( 1 0 )

V = ;

G M

r

"

1 +

J

2

R

2

2 r

2

1 ; 3 s i n

2

#

( 1 1 )

w h e r e G i s t h e g r a v i t a t i o n a l c o n s t a n t , M i s t h e m a s s o f t h e p l a n e t , R i s t h e e q u a t o r i a l r a d i u s

o f t h e p l a n e t , a n d J

2

i s t h e c o n s t a n t c o e c i e n t o f t h e s p h e r i c a l h a r m o n i c o f d e g r e e 2 a n d

o r d e r 0 i n t h e p l a n e t ' s g r a v i t a t i o n a l e l d . S u b s t i t u t i o n o f t h e s e e q u a t i o n s i n t o L a g r a n g e ' s

e q u a t i o n s

d

d t

@ ( T ; V )

@

d q

d t

;

@

@ q

( T ; V ) = 0 q = r o r

5



r e s u l t s i n t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n s o f m o t i o n :

d

2

r

d t

2

; r

d

d t

!

2

; r c o s

2

d

d t

!

2

= ;

@ V

@ r

( 1 2 )

d

d t

r

2

c o s

2

d

d t

!

= 0

d

d t

r

2

d

d t

!

+ r

2

s i n c o s

d

d t

!

2

= ;

@ V

@

( 1 3 )

I n i t i a l c o n d i t i o n s a r e e s t a b l i s h e d b y r e q u i r i n g t h a t a t t h e i n i t i a l t i m e t

0

t h e o r b i t a l p a -

r a m e t e r s o f t h e u s u a l t w o - b o d y o r b i t , t h e c o n i c s e c t i o n d e t e r m i n e d b y t h e i n i t i a l p o s i t i o n a n d

v e l o c i t y v e c t o r s , a r e k n o w n . T h e a c t u a l o r b i t i s t h e n t a n g e n t t o t h i s i n i t i a l i n s t a n t a n e o u s

c o n i c s e c t i o n a t t

0

( s e e F i g u r e 1 ) . E q u a t i n g t h e i n i t i a l p o s i t i o n a n d v e l o c i t y v e c t o r s g i v e n b y

e q u a t i o n s ( 3 ) a n d ( 9 ) t o t h e t w o - b o d y e x p r e s s i o n s , w e o b t a i n

r ( t

0

) =

p

0

1 + e

0

c o s (

0

; !

0

)

( 1 4 )

d r

d t

( t

0

) =

e

0

h

0

s i n (

0

; !

0

)

p

0

( 1 5 )

d

d t

( t

0

) =

h

0

r

2

0

h

1 + t a n

0

c o t i

0

d i

d

(

0

)

i

( 1 6 )

i (

0

) = i

0

( 1 7 )

(

0

) =

0

( 1 8 )

H e r e h

0

=

p

G M p

0

i s t h e i n i t i a l v a l u e o f t h e s a t e l l i t e ' s s p e c i c a n g u l a r m o m e n t u m a b o u t t h e

c e n t e r o f t h e p l a n e t , a n d t h e s u b s c r i p t 0 o n a s y m b o l d e n o t e s t h a t t h e p a r a m e t e r i s e v a l u a t e d

a t t h e i n i t i a l t i m e t

0

.

W e i m m e d i a t e l y h a v e t w o i n t e g r a l s o f t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n :

T + V = c o n s t a n t ( 1 9 )

r

2

c o s

2

d

d t

= c o n s t a n t ( 2 0 )

6



E q u a t i o n ( 1 9 ) s i m p l y s t a t e s t h a t t h e m e c h a n i c a l e n e r g y o f t h e s a t e l l i t e r e m a i n s c o n s t a n t .

N o w , f r o m e q u a t i o n s ( 1 ) a n d ( 1 6 )

r

2

c o s

2

d

d t

= r

d r

d t

b

3

= h

0

c o s i

0

( 2 1 )

E q u a t i o n ( 2 1 ) s i m p l y s t a t e s t h a t t h e c o m p o n e n t a l o n g t h e p o l a r a x i s o f t h e s p e c i c a n g u l a r

m o m e n t u m o f t h e s a t e l l i t e r e m a i n s c o n s t a n t . I n s e r t i n g e q u a t i o n s ( 3 ) a n d ( 9 ) i n t o e q u a t i o n

( 2 1 ) , w e o b t a i n

d t

d

=

r

2

c o s i

h

0

c o s i

0

1 + t a n c o t i

d i

d

!

( 2 2 )

T h i s a l l o w s t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e t o b e c h a n g e d f r o m t t o .

L e t t i n g u = p

0

= r , a n d u s i n g e q u a t i o n s ( 5 ) , ( 2 1 ) , a n d ( 2 2 ) , w e c a n r e w r i t e t h e r e m a i n i n g

e q u a t i o n s o f m o t i o n ( 1 2 ) { ( 1 3 ) :

d i

d

=

; 2 J u s i n c o s s i n i c o s

2

i

c

2

c o s i

+ 2 J u s i n

2

c o s

3

i

( 2 3 )

d

2

u

d

2

+ u =

c o s

2

i

c

2

+

J c o s

2

i

c

2

u

2

( 1 ; 3 s i n

2

s i n

2

i ) + 2 u

d u

d

s i n c o s ( 1 ; 3 c o s

2

i )

; 4 u

d

2

u

d

2

s i n

2

c o s

2

i ; 2

d u

d

!

2

s i n

2

c o s

2

i

;

4 J

2

u s i n

3

c o s

6

i

c

4

( 2 4 )

"

u

d u

d

c o s ( 2 + s i n

2

i ) +

d

d

u

d u

d

!

s i n c o s

2

i

#

T h e t e r m s i n ( 2 4 ) w i t h d

2

u = d

2

c a n b e c o m b i n e d , y i e l d i n g t h e e q u i v a l e n t e q u a t i o n

d

2

u

d

2

+ u =

(

c o s

2

i

c

2

+

J c o s

2

i

c

2

u

2

( 1 + s i n

2

( 7 c o s

2

i ; 3 ) )

+ 2 u

d u

d

s i n c o s ( 1 ; 3 c o s

2

i ) ; 2

d u

d

!

2

s i n

2

c o s

2

i ]

+

4 J

2

u s i n

3

c o s

6

i

c

4

2

4

u

2

s i n c o s

2

i ; u

d u

d

c o s ( 2 + s i n

2

i ) ;

d u

d

!

2

s i n c o s

2

i

3

5

9

=

( 2 5 )

1 +

4 J u s i n

2

c o s

4

i

c

2

+

4 J

2

u

2

s i n

4

c o s

8

i

c

4

!

7



H e r e w e h a v e i n t r o d u c e d t h e s h o r t h a n d n o t a t i o n c = c o s i

0

, s = s i n i

0

, J = 3 J

2

R

2

= 2 p

2

0

.

4 P e r t u r b a t i o n P r o c e d u r e

T h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n s ( 2 3 ) { ( 2 4 ) a r e c o u p l e d b y t h e n o n l i n e a r t e r m s a n d a p p a r e n t l y

c a n n o t b e s o l v e d a n a l y t i c a l l y . I f w e e x p a n d t h e r i g h t s i d e s o f ( 2 3 ) a n d ( 2 5 ) i n a T a y l o r s e r i e s

e x p a n s i o n i n p o w e r s o f J a n d r e t a i n o n l y t e r m s u p t o o r d e r J

2

, t h e e q u a t i o n s s i m p l i f y t o

d i

d

=

; 2 J u s i n c o s s i n i c o s

3

i

c

2

+

4 J

2

u

2

s i n i c o s

7

i

c

4

s i n

3

c o s + O ( J

3

) ( 2 6 )

d

2

u

d

2

+ u =

c o s

2

i

c

2

+

J c o s

2

i

c

2

; 4 u s i n

2

c o s

4

i

c

2

+ u

2

1 + s i n

2

( 7 c o s

2

i ; 3 ) ]

+ 2 u

d u

d

s i n c o s ( 1

; 3 c o s

2

i )

; 2

d u

d

!

2

s i n

2

c o s

2

i

( 2 7 )

+

4 J

2

u s i n

2

c o s

6

i

c

4

u

2

; 1 + 3 s i n

2

( 1 ; 2 c o s

2

i ) ] +

3 u s i n

2

c o s

4

i

c

2

+ u

d u

d

s i n c o s 7 c o s

2

i

; 5 ] +

d u

d

!

2

s i n

2

c o s

2

i

+ O ( J

3

)

H e r e t h e t e r m i n t h e O s y m b o l s i n d i c a t e s t h a t , f o r a l l s u c i e n t l y s m a l l J , t h e e r r o r i s l e s s

t h a n a c o n s t a n t t i m e s J

3

. T h e e q u a t i o n s ( 2 6 ) { ( 2 7 ) a r e i d e n t i c a l t o t h o s e u s e d a s t h e s t a r t i n g

p o i n t i n t h e a n a l y s i s o f E c k s t e i n , e t a l .

I t i s r e a s o n a b l e t o e x p e c t t h a t t h e s o l u t i o n f o r u w i l l b e a r b i t r a r i l y c l o s e t o t h e t w o b o d y

s o l u t i o n , 1 + e

0

c o s (

; !

0

) , w h e n J i s c l o s e t o z e r o . T h i s a s s u m p t i o n i s c o n s i s t e n t w i t h

l e t t i n g

u = 1 + e

0

c o s y + J u

1

+ J

2

u

2

+ : : : ( 2 8 )

y = ; !

0

+ J y

1

+ J

2

y

2

+ : : : ( 2 9 )

i = i

0

+ J i

1

+ J

2

i

2

+ : : : ( 3 0 )

A n a l g o r i t h m f o r t h e p e r t u r b a t i o n p r o c e d u r e i s :

L e t n = 1

S u b s t i t u t e e x p r e s s i o n s ( 2 8 ) { ( 3 0 ) i n t o t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n ( 2 6 ) { ( 2 7 )

8



E q u a t e t h e c o e c i e n t s o f J

n

C h o o s e t h e a r b i t r a r y c o n s t a n t s s o s e c u l a r t e r m s w i l l n o t a r i s e .

S o l v e f o r t h e n

t h

o r d e r s o l u t i o n

S a t i s f y t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s ( 1 4 ) { ( 1 8 )

I t e r a t e o n n

T h e c a l c u l a t i o n s w e r e c a r r i e d o u t w i t h t h e s y m b o l i c m a n i p u l a t i o n p r o g r a m M A C S Y M A .

I n t h i s p a p e r w e o n l y b r i e y o u t l i n e t h e s e c a l c u l a t i o n s f o r m o r e d e t a i l s s e e t h e t h e s e s o f

S a g o v a c a n d S n i d e r .

B e g i n n i n g b y s u b s t i t u t i n g e q u a t i o n s ( 2 8 ) a n d ( 3 0 ) i n t o ( 2 6 ) , a n d e q u a t i n g t h e t e r m s

m u l t i p l i e d b y J , w e o b t a i n

d i

1

d

= ; s c s i n 2 ;

s c e

0

2

s i n ( y + 2 ) +

s c e

0

2

s i n ( y ; 2 ) ( 3 1 )

A s o l u t i o n t o t h i s e q u a t i o n i s

i

1

=

s c

2

c o s 2 +

s c e

0

6

c o s ( y + 2 ) +

s c e

0

2

c o s ( y ; 2 ) + K

1

c o s ( 2 y ; 2 ) + K

2

( 3 2 )

T h e l a s t t w o t e r m s m a y b e a d d e d b e c a u s e t h e y a r e t o l o w e s t o r d e r h o m o g e n o u s s o l u t i o n s

t o e q u a t i o n ( 3 0 ) . T h e t e r m m u l t i p l i e d b y t h e c o n s t a n t K

1

w a s a d d e d t o e l i m i n a t e s e c u l a r

t e r m s i n i

2

n o t e t h a t d i e r e n t i a t i n g t h i s t e r m w i t h r e s p e c t t o p r o d u c e s t e r m s m u l t i p l i e d

b y J , f r o m e q u a t i o n ( 2 9 ) . T h e c o n s t a n t K

2

w a s a d d e d t o s a t i s f y t h e i n i t i a l c o n d i t i o n ( 1 7 ) ,

w h i c h i m p l i e s t h a t i

1

(

0

) = 0 s o

K

2

= ;

s c

2

c o s 2

0

;

s c e

0

6

c o s ( 3

0

; !

0

) ;

s c e

0

2

c o s (

0

+ !

0

) ; K

1

c o s 2 !

0

S u b s t i t u t i n g e q u a t i o n s ( 2 8 ) { ( 3 0 ) a n d ( 3 2 ) i n t o ( 2 7 ) , a n d e q u a t i n g t e r m s m u l t i p l i e d b y J

y i e l d s

d

2

u

1

d

2

+ u

1

= 1 ;

3 s

2

2

+ e

2

0

;

5 s

2

4

+ 1

!

+

1

4

( 2 + 5 e

2

0

) s

2

; 2 e

2

0

] c o s 2

+

e

2

0

4

( ; 9 s

2

+ 8 ) c o s 2 y +

e

0

3

( 1 1 s

2

; 6 ) c o s ( y + 2 ) +

1 5 e

2

0

2 4

( 3 s

2

; 2 ) c o s ( 2 y + 2 ) ( 3 3 )

9



+

"

e

2

0

8

( 3 s

2

; 2 ) ;

2 s K

1

c

#

c o s ( 2 y ; 2 ) ;

2 s K

2

c

+ e

0

2

d y

1

d

+ 4 ; 5 s

2

!

c o s y + e

0

d

2

y

1

d

2

s i n y

I n t h e a b o v e e q u a t i o n , t h e c o s y a n d s i n y t e r m s w o u l d p r o d u c e s e c u l a r t e r m s s i n y a n d

c o s y i n u

1

. T h e c h o i c e d y

1

= d = 5 s

2

= 2 ; 2 w i l l e l i m i n a t e t h e s e p o s s i b i l i t i e s . I n t e g r a t i n g

y i e l d s

y

1

=

5 s

2

2

; 2

!

( ;

0

) + K

3

s i n ( 2 y ; 2 ) + s i n 2 !

0

] ( 3 4 )

T h e t e r m m u l t i p l i e d b y K

3

w a s a d d e d t o e l i m i n a t e s e c u l a r t e r m s i n u

2

. T h e c o n s t a n t t e r m s

i n ( 3 4 ) w e r e a d d e d t o s a t i s f y t h e i n i t i a l c o n d i t i o n y (

0

) =

0

; !

0

.

A s o l u t i o n t o l o w e s t o r d e r o f e q u a t i o n ( 3 3 ) i s t h e n

u

1

= 1 ;

3 s

2

2

+ e

2

0

; 5 s

2

4

+ 1

!

+

1

1 2

; s

2

( 2 + 5 e

2

0

) + 2 e

2

0

] c o s 2

+

e

2

0

1 2

( 9 s

2

; 8 ) c o s 2 y +

e

0

2 4

( ; 1 1 s

2

+ 6 ) c o s ( y + 2 ) +

e

2

0

2 4

( ; 3 s

2

+ 2 ) c o s ( 2 y + 2 ) ( 3 5 )

+

"

e

2

0

8

( 3 s

2

; 2 ) ;

2 s K

1

c

#

c o s ( 2 y ; 2 ) ;

2 s K

2

c

+ K

4

c o s ( y ; 2 )

+ K

5

c o s ( y ;

0

+ !

0

) + K

6

s i n ( y ;

0

+ !

0

)

T h e t e r m m u l t i p l i e d b y K

4

w a s a d d e d t o e l i m i n a t e s e c u l a r t e r m s i n u

2

. T h e t e r m s m u l t i p l i e d

b y K

5

a n d K

6

w e r e a d d e d t o s a t i s f y t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s ( 1 4 ) { ( 1 6 ) .

W i t h a l l t e r m s i n p l a c e t o d e a l w i t h s e c u l a r t e r m s , t h e c a l c u l a t i o n s a r e c o n t i n u e d b y

s u b s t i t u t i n g e q u a t i o n s ( 2 8 ) { ( 3 0 ) , ( 3 2 ) , ( 3 4 ) , a n d ( 3 5 ) i n t o ( 2 6 ) a n d e q u a t i n g t e r m s m u l t i p l i e d

b y J

2

:

d i

2

d

=

"

K

1

+

s c e

2

0

( 1 5 s

2

; 1 4 )

2 4 ( 5 s

2

; 4 )

#

s i n ( 2 y ; 2 ) + : : : ( 3 6 )

W e h a v e f o r b r e v i t y o n l y i n d i c a t e d o n t h e r i g h t s i d e o f e q u a t i o n ( 3 6 ) t h e t e r m t h a t w o u l d

p r o d u c e s e c u l a r t e r m s i n i

2

. R e m o v a l o f t h i s t e r m b y m a k i n g i t s c o e c i e n t z e r o d e t e r m i n e s

K

1

. E q u a t i o n ( 3 6 ) i s t h e n i n t e g r a t e d t o d e t e r m i n e i

2

.

C o n t i n u i n g t h e p r o c e d u r e b y e q u a t i n g t h e t e r m s m u l t i p l i e d b y J

2

i n t h e e x p a n s i o n o f

e q u a t i o n ( 2 7 ) d e t e r m i n e s y

2

, K

3

, a n d K

4

. F i n a l v a l u e s o f a l l t h e c o n s t a n t s a r e l i s t e d i n

A p p e n d i x I .

1 0



K n o w i n g t h e s o l u t i o n f o r i ( ) , w e c a n d e t e r m i n e ( ) b y i n t e g r a t i n g e q u a t i o n ( 8 ) a n d

a p p l y i n g t h e i n i t i a l c o n d i t i o n ( 1 8 ) . T h e a n g l e , w h i c h i n c r e a s e s c o n t i n u o u s l y f r o m a n i n i t i a l

v a l u e

0

, m a y b e r e l a t e d t o t h e t i m e t b y n u m e r i c a l l y i n t e g r a t i n g ( 2 2 ) .

5 S o l u t i o n

H e r e w e a s s e m b l e t h e c o m p l e t e s o l u t i o n :

r = p

0

=

1 + e

0

c o s y + J

1 ;

3 s

2

2

+ e

2

0

1 ;

5 s

2

4

!

+

1

1 2

( ; ( 2 + 5 e

2

0

) s

2

+ 2 e

2

0

) c o s 2

+

e

2

0

1 2

( 9 s

2

; 8 ) c o s 2 y +

e

0

2 4

( ; 1 1 s

2

+ 6 ) c o s ( y + 2 ) +

e

2

0

2 4

( ; 3 s

2

+ 2 ) c o s ( 2 y + 2 )

+

e

2

0

8

( 3 s

2

; 2 ) c o s ( 2 y ; 2 )

+

e

0

1 5 ( 2 + e

2

0

) s

4

; 1 4 ( 4 + e

2

0

) s

2

+ 2 4 ] s i n

h

J

2

( 5 s

2

; 4 )

i

s i n + !

0

]

1 2 ( 5 s

2

; 4 )

+

e

2

0

s

2

( 1 5 s

2

; 1 4 ) s i n

h

J

2

( 5 s

2

; 4 )

i

s i n

h

2 !

0

;

J

2

( 5 s

2

; 4 )

i

6 ( 5 s

2

; 4 )

;

e

2

0

s

2

1 6

c o s ( y ;

0

+ 3 !

0

)

+

e

2

0

2 4

( 3 s

2

; 2 ) c o s ( y ; 3

0

+ 3 !

0

) ;

e

2

0

s

2

1 6

c o s ( y ; 5

0

+ 3 !

0

) ( 3 7 )

+

e

0

4

( 3 s

2

; 2 ) c o s ( y ; 2

0

+ 2 !

0

) ;

3 e

0

s

2

8

c o s ( y ; 4

0

+ 2 !

0

)

;

e

0

4

( s

2

+ 1 ) c o s ( y + 2 !

0

) +

1

8

( ; 2 + 5 e

2

0

) s

2

; 2 e

2

0

] c o s ( y +

0

+ !

0

)

+

1

4

( 6 + 5 e

2

0

) s

2

; 4 ( 1 + e

2

0

) ] c o s ( y ;

0

+ !

0

)

+

1

2 4

; ( 1 4 + 5 e

2

0

) s

2

+ 2 e

2

0

] c o s ( y ; 3

0

+ !

0

)

+

e

2

0

4 8

( 9 s

2

; 4 ) c o s ( y + 3

0

; !

0

) +

e

2

0

8

( ; 7 s

2

+ 6 ) c o s ( y +

0

; !

0

)

+

e

2

0

1 6

( ; 5 s

2

+ 4 ) c o s ( y ;

0

; !

0

)

+

e

0

4

( 2 s

2

; 1 ) c o s ( y + 2

0

) +

e

0

4

( ; 3 s

2

+ 1 ) c o s ( y ; 2

0

) +

e

0

4

( ; 3 s

2

+ 2 ) c o s y

+ e

0

s

2

c o s (

0

+ !

0

) +

e

0

s

2

3

c o s ( 3

0

; !

0

) + s

2

c o s 2

0

]

+ p

0

O ( J

2

J

3

)

1 1



y = ; !

0

+ J

5 s

2

2

; 2

!

( ;

0

)

+

J e

2

0

2 4 ( 5 s

2

; 4 )

(

( ; 7 5 s

6

+ 2 6 0 s

4

; 2 9 6 s

2

+ 1 1 2 ) s i n

h

J

2

( 5 s

2

; 4 )

i

c o s

h

2 !

0

;

J

2

( 5 s

2

; 4 )

i

( 5 s

2

; 4 )

+ J s

2

( ; 1 5 s

2

+ 1 4 ) ( 1 5 s

2

; 1 3 ) c o s 2 !

0

)

+ J

2

e

0

s

2

2

( 1 5 s

2

; 1 3 ) c o s (

0

+ !

0

)

+

e

0

s

2

6

( 1 5 s

2

; 1 3 ) c o s ( 3

0

; !

0

) +

s

2

2

( 1 5 s

2

; 1 3 ) c o s 2

0

+

1

9 6

5 ( 9 e

2

0

+ 3 4 ) s

4

+ 4 ( 9 e

2

0

; 3 4 ) s

2

; 5 6 e

2

0

]

+ O ( J

2

J

3

) ( 3 8 )

i = i

0

+ s c J

(

1

2

c o s 2 +

e

0

6

c o s ( y + 2 )

+

e

0

2

c o s ( y ; 2 ) +

e

2

0

( ; 1 5 s

2

+ 1 4 ) s i n

h

J

2

( 5 s

2

; 4 )

i

s i n

h

2 !

0

;

J

2

( 5 s

2

; 4 )

i

1 2 ( 5 s

2

; 4 )

;

1

2

c o s 2

0

;

e

0

6

c o s ( 3

0

; !

0

) ;

e

0

2

c o s (

0

+ !

0

)

)

+ O ( J

2

J

3

) ( 3 9 )

=

0

+ c J

"

0

; +

1

2

s i n 2 ; e

0

s i n y +

e

0

6

s i n ( y + 2 ) ;

e

0

2

s i n ( y ; 2 ) ;

1

2

s i n 2

0

+ e

0

s i n (

0

; !

0

) ;

e

0

6

s i n ( 3

0

; !

0

) ;

e

0

2

s i n (

0

+ !

0

)

#

+

c J e

2

0

1 2 ( 5 s

2

; 4 )

2 ( 1 5 s

4

; 4 5 s

2

+ 2 8 ) s i n

h

J

2

( 5 s

2

; 4 )

i

c o s

h

2 !

0

;

J

2

( 5 s

2

; 4 )

i

( 5 s

2

; 4 )

+ J s

2

( 1 5 s

2

; 1 4 ) c o s 2 !

0

+ c J

2

; e

0

s

2

c o s (

0

+ !

0

) ;

e

0

s

2

3

c o s ( 3

0

; !

0

)

; s

2

c o s 2

0

+

e

2

0

2 4

( 7 s

2

; 4 ) +

1

1 2

( ; s

2

+ 6 )

k + O ( J

2

J

3

) ( 4 0 )

t = t

0

+

1

h

0

Z

0

r

2

1 + J

( ; 3 s

2

+ 2 )

2

c o s 2 + e

0

( s

2

; 1 )

1 2



c o s y +

e

0

( ; 4 s

2

+ 3 )

6

c o s ( y + 2 ) +

e

0

( ; 2 s

2

+ 1 )

2

c o s ( y ; 2 )

+

e

2

0

s

2

( 1 5 s

2

; 1 4 ) s i n

h

J

2

( 5 s

2

; 4 )

i

s i n

h

2 !

0

;

J

2

( 5 s

2

; 4 )

i

1 2 ( 5 s

2

; 4 )

( 4 1 )

+ s

2

; 1 +

s

2

2

c o s 2

0

+

e

0

s

2

6

c o s ( 3

0

; !

0

) +

e

0

s

2

2

c o s (

0

+ !

0

)

d +

p

2

0

h

0

O ( J

2

J

2

)

I n o b t a i n i n g t h e e q u a t i o n s ( 3 7 ) { ( 4 1 ) , u s e h a s b e e n m a d e o f t r i g o n o m e t r i c f o r m u l a s

t o s i m p l i f y t e r m s c o n t a i n i n g t h e f a c t o r 5 s

2

; 4 i n t h e d e n o m i n a t o r . I n t h e f o r m g i v e n ,

t h e s e t e r m s c a n c l e a r l y b e s e e n t o a p p r o a c h a n i t e l i m i t a t t h e \ c r i t i c a l i n c l i n a t i o n "

i

0

= s i n

; 1

q

4 = 5 = 6 3

2 6

0

o r 1 1 6

3 4

0

. H e n c e t h e s o l u t i o n i s a c t u a l l y v a l i d f o r a l l v a l u e s

o f i

0

. I f j i

0

; s i n

; 1

q

4 = 5 j < J , t h e f o r m u l a s ( 3 7 ) { ( 4 1 ) c a n s t i l l b e u s e d b y l e t t i n g 5 s

2

; 4 = J ,

o r t h e l i m i t i n g f o r m s f o r i

0

! s i n

; 1

q

4 = 5 c a n b e u s e d .

T o c h e c k t h e s o l u t i o n , w e c a n s e e i f t h e s p e c i c m e c h a n i c a l e n e r g y ( 1 8 ) o f t h e s a t e l l i t e

r e m a i n s c o n s t a n t . S u b s t i t u t i o n o f t h e s o l u t i o n ( 3 6 ) { ( 3 7 ) i n t o e q u a t i o n ( 1 0 ) p l u s ( 1 1 ) y i e l d s

T + V = ;

G M ( 1

; e

2

0

)

2 p

0

;

G M J

2

R

2

( 1

; 3 s i n

2

0

)

2 r

3

0

+

G M

p

0

O ( J

2

)

T h e r i g h t s i d e i s e a s i l y r e c o g n i z e d a s t h e v a l u e o f t h e s p e c i c m e c h a n i c a l e n e r g y a t t h e i n i t i a l

t i m e t

0

.

A s a f u r t h e r c h e c k o n t h e s o l u t i o n , w e c a n s e e i f i t r e d u c e s t o o u r p r e v i o u s r e s u l t s f o r

e q u a t o r i a l a n d p o l a r o r b i t s , o b t a i n e d b y c o m p l e t e l y s e p a r a t e d e r i v a t i o n s ( D a n i e l s o n a n d

S n i d e r , 1 9 8 9 ) . S e t t i n g i

0

= 0 a n d u s i n g t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e m e a s u r e d f r o m t h e l i n e

O , w e n d t h a t e q u a t i o n s ( 3 7 ) { ( 4 1 ) r e d u c e t o e q u a t i o n s ( 1 8 ) { ( 2 2 ) o f o u r p r e v i o u s p a p e r .

S e t t i n g i

0

= = 2 a n d u s i n g t h e e x p a n s i o n c o s ( y + J k ) c o s y ; J k s i n y , w e n d t h a t

e q u a t i o n s ( 3 7 ) { ( 4 1 ) r e d u c e t o e q u a t i o n s ( 3 8 ) { ( 4 1 ) o f o u r p r e v i o u s p a p e r .

C o m p a r i n g t h e t e r m s i n t h e O - s y m b o l s , w e s e e t h a t t h e r e l a t i v e e r r o r i n e q u a t i o n ( 4 1 )

m a y b e g r e a t e r t h a n t h a t o f e q u a t i o n s ( 3 7 ) { ( 4 0 ) . S i n c e t h e u n d e r l i n e d t e r m s i n e q u a t i o n s

( 3 7 ) { ( 4 0 ) a r e o f t h i s s a m e o r d e r o f m a g n i t u d e , w e c a n d r o p t h e u n d e r l i n e d t e r m s e x c e p t

w h e n ( 3 7 ) { ( 3 8 ) a r e u s e d t o c a l c u l a t e r i n e q u a t i o n ( 4 1 ) . T h e r e l a t i v e e r r o r o f o u r s o l u t i o n

1 3



w i l l t h e n s t i l l b e o f o r d e r ( ;

0

) J

2

.

I f w e r e t a i n o n l y t h e t w o - b o d y s o l u t i o n , t h e r e l a t i v e e r r o r t e r m s w i l l b e o f t h e o r d e r

( ;

0

) J . H e r e t h e e r r o r i n o u r s o l u t i o n , a s c o m p a r e d t o t h e e x a c t s o l u t i o n o f t h e e q u a t i o n s

o f m o t i o n , s h o u l d b e o f t h e o r d e r J t i m e s t h e e r r o r i n t h e t w o - b o d y s o l u t i o n ( f o r a n E a r t h

s a t e l l i t e J < : 0 0 1 5 ) .

6 C o m p a r i s o n o f P e r t u r b a t i o n , T w o - B o d y , N u m e r i c a l , a n d M e a -

s u r e d S o l u t i o n s

I n t h i s s e c t i o n w e c o m p a r e t h e p r e c e d i n g p e r t u r b a t i o n s o l u t i o n , t h e t w o - b o d y s o l u t i o n , a

c o m p l e t e l y n u m e r i c a l s o l u t i o n o f t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n s , a n d a c t u a l m e a s u r e d s a t e l l i t e

d a t a f o r m o r e c o m p a r i s o n s s e e t h e t h e s i s o f K r a m b e c k . T h e d i e r e n c e b e t w e e n t h e p o s i t i o n

v e c t o r r d e t e r m i n e d b y t h e n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n c o d e o r m e a s u r e d d a t a a n d t h e p o s i t i o n

v e c t o r r

r e f

c a l c u l a t e d f r o m o u r p e r t u r b a t i o n s o l u t i o n o r t h e t w o - b o d y s o l u t i o n i s t h e e r r o r

r :

r = r

; r

r e f

I f t h e e r r o r s ( r i ) i n t h e o r b i t a l p a r a m e t e r s ( r i ) a r e s m a l l , w e c a n e s t i m a t e

r f r o m e q u a t i o n ( 4 ) a n d t h e l i n e a r a p p r o x i m a t i o n

r

@ r

@ r

r +

@ r

@

+

@ r

@ i

i +

@ r

@

( 4 2 )

I t i s c u s t o m a r y t o d e c o m p o s e r i n t o c o m p o n e n t s (

1

2

3

) a l o n g t h e m o v i n g t r i a d ( B

1

B

2

B

3

) :

r =

1

B

1

+

2

B

2

+

3

B

3

T h e c o m p o n e n t

1

i s c a l l e d t h e r a d i a l e r r o r ,

2

i s t h e d o w n t r a c k e r r o r , a n d

3

i s t h e c r o s s

t r a c k e r r o r . A p p l y i n g ( 4 2 ) t o e q u a t i o n ( 4 ) , a n d e x p r e s s i n g t h e b a s e v e c t o r s ( b

1

b

2

b

3

) i n

t e r m s o f ( B

1

B

2

B

3

) , w e o b t a i n t h e f o l l o w i n g a p p r o x i m a t i o n s :

1

r

2

r ( + c o s i )

3

r ( s i n i ; c o s s i n i ) ( 4 3 )

1 4



W e o b t a i n e d t h e n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n c o d e U T O P I A f r o m t h e C o l o r a d o C e n t e r f o r

A s t r o d y n a m i c s R e s e a r c h l o c a t e d o n t h e c a m p u s o f t h e U n i v e r s i t y o f C o l o r a d o . T h e c o d e

w a s s p e c i a l i z e d t o t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n s u s e d i n t h i s p a p e r . W e c o m p a r e d t h e s o l u t i o n s

f o r a n e a r t h s a t e l l i t e w i t h t h e f o l l o w i n g i n i t i a l c o n d i t i o n s :

r

0

= 7 3 8 6 : 1 8 k m

e

0

= : 0 0 3 9 9 1

0

= 1 0 4 : 0 5

!

0

= 2 2 4 : 3 8

i

0

= 9 0 : 0 3

0

= 3 2 2 : 6 3

t

0

= 0

T h e s e i n i t i a l c o n d i t i o n s r e p r e s e n t a n e s s e n t i a l l y p o l a r o r b i t a t a n a l t i t u d e o f a p p r o x i m a t e l y

1 0 0 0 k i l o m e t e r s a n d p e r i o d a b o u t 1

3

4

h o u r s . F o r t h i s s a t e l l i t e t h e p e r t u r b a t i o n a n d n u m e r i c a l

o r b i t s m a t c h e x t r e m e l y w e l l w h i l e t h e t w o - b o d y o r b i t i s g r o s s l y e r r o n e o u s . T h e m a g n i t u d e o f

t h e e r r o r i n r i s s h o w n i n F i g u r e 2 . N o t e t h a t t h e r e l a t i v e e r r o r i n o u r p e r t u r b a t i o n s o l u t i o n

i s 2 : 8 J

2

( ;

0

) , a n d t h a t t h i s e r r o r i s 1 : 1 J t i m e s t h e e r r o r i n t h e t w o - b o d y s o l u t i o n .

W e o b t a i n e d m e a s u r e d s a t e l l i t e d a t a f r o m t h e F i r s t S a t e l l i t e C o n t r o l S q u a d r o n l o c a t e d

a t F a l c o n A i r F o r c e B a s e , C o l o r a d o . A n e a r e a r t h s a t e l l i t e p r o c e s s e d t h e f o l l o w i n g i n i t i a l

c o n d i t i o n s :

r

0

= 7 7 7 6 : 5 8 k m

e

0

= : 0 0 0 3 0 7 1

0

= 1 4 9 : 1 4

!

0

= 9 : 5 7

i

0

= 9 8 : 8 1

1 5



0

= 3 7 : 1 0

t

0

= 0 0 0 0 Z 2 6 J u l y 1 9 9 0

A g a i n , t h e p e r t u r b a t i o n o r b i t i s f a r s u p e r i o r t o t h e t w o - b o d y o r b i t . T h e r a d i a l , d o w n t r a c k ,

a n d c r o s s t r a c k e r r o r s (

1

2

3

) a r e s h o w n i n F i g u r e 3 . N o t e t h a t a l t h o u g h t h e p e r t u r b a t i o n

s o l u t i o n p r o d u c e s o n l y a s m a l l i m p r o v e m e n t i n t h e r a d i a l e r r o r , t h i s e r r o r i s n e g l i g i b l e i n

c o m p a r i s o n t o t h e d o w n t r a c k e r r o r .

7 C o n c l u s i o n s

O u r s o l u t i o n e m b o d i e s t h e p r i n c i p l e s o u t l i n e d i n t h e i n t r o d u c t i o n . T h e r e l a t i v e e r r o r o f o u r

s o l u t i o n i s o f o r d e r ( ;

0

) J

2

, w h i c h i s a f a c t o r o f J t i m e s t h e r e l a t i v e e r r o r o f t h e t w o - b o d y

s o l u t i o n o u r s o l u t i o n l o s e s i t s v a l i d i t y a f t e r a n a n g u l a r c h a n g e ( ;

0

) o f o r d e r 1 = J

2

, w h i c h

i s a f a c t o r o f

1

J

l o n g e r t h a n t h e i n t e r v a l o f v a l i d i t y o f t h e t w o - b o d y s o l u t i o n . S e c o n d l y , o u r

s o l u t i o n i s i n t e r m s o f c l a s s i c a l o r b i t a l e l e m e n t s n o t r a n s f o r m a t i o n t o a n a l t e r n a t i v e n o n -

p h y s i c a l s e t o f e l e m e n t s i s r e q u i r e d . F i n a l l y , o u r s o l u t i o n i s f r e e o f s i n g u l a r i t i e s f o r a l l v a l u e s

o f t h e i n i t i a l o r b i t a l p a r a m e t e r s , i n c l u d i n g e l l i p t i c , p a r a b o l i c , a n d h y p e r b o l i c o r b i t s .

O u r f o r m u l a s s h o u l d a g r e e c l o s e l y w i t h s a t e l l i t e o r b i t s w h o s e d o m i n a n t p e r t u r b a t i o n i s

t h e p l a n e t ' s o b l a t e n e s s . O f c o u r s e , t h e e e c t s o f h i g h e r - o r d e r t e r m s i n t h e s e e x p a n s i o n s ,

h i g h e r - o r d e r t e r m s i n t h e p l a n e t ' s p o t e n t i a l , a n d o f o t h e r p e r t u r b a t i o n f o r c e s m a y a l s o b e

i m p o r t a n t . T h e f o r m u l a s w i l l h a v e t o b e a m e n d e d t o i n c l u d e t h e s e a d d i t i o n a l e e c t s .

A P P E N D I X I : V a l u e s o f t h e C o n s t a n t s K

1

{ K

6

K

1

=

c s e

2

0

(

; 1 5 s

2

+ 1 4 )

2 4 ( 5 s

2

; 4 )

K

2

= ;

s c

2

c o s 2

0

;

s c e

0

6

c o s ( 3

0

; !

0

) ;

s c e

0

2

c o s (

0

+ !

0

) +

c s e

2

0

( 1 5 s

2

; 1 4 )

2 4 ( 5 s

2

; 4 )

c o s 2 !

0

K

3

=

e

2

0

( ; 7 5 s

6

+ 2 6 0 s

4

; 2 9 6 s

2

+ 1 1 2 )

4 8 ( 5 s

2

; 4 )

2

1 6



K

4

= e

0

1 5 ( e

2

0

+ 2 ) s

4

; 1 4 ( e

2

0

+ 4 ) s

2

+ 2 4 ]

2 4 ( 5 s

2

; 4 )

K

5

=

e

2

0

1 2

( ; 9 s

2

+ 8 ) c o s ( 2

0

; 2 !

0

) +

e

2

0

2 4

( 3 s

2

; 2 ) c o s ( 4

0

; 2 !

0

)

; ( e

0

s

2

+ K

4

) c o s (

0

+ !

0

) +

e

0

8

( s

2

; 2 ) c o s ( 3

0

; !

0

) +

e

2

0

8

( ; 3 s

2

+ 2 ) c o s 2 !

0

;

1

1 2

5 ( 2

; e

2

0

) s

2

+ 2 e

2

0

] c o s 2

0

+

1

1 2

( 1 5 e

2

0

+ 1 8 ) s

2

; ( e

2

0

+ 1 )

K

6

= +

e

2

0

6

( 6 s

2

; 5 ) s i n ( 2

0

; 2 !

0

) +

e

2

0

1 2

( ; 3 s

2

+ 1 ) s i n ( 4

0

; 2 !

0

)

+

1

2

e

0

( ; s

2

+ 1 ) + 2 K

4

] s i n (

0

+ !

0

) +

e

0

2

( 3 s

2

; 2 ) s i n (

0

; !

0

)

+

e

0

8

( ; 7 s

2

+ 2 ) s i n ( 3

0

; !

0

) +

e

2

0

4

( ; s

2

+ 1 ) s i n 2 !

0

+

1

6

; ( 5 e

2

0

+ 2 ) s

2

+ 2 e

2

0

] s i n 2

0

A P P E N D I X I I : R i g o r o u s B o u n d s o n t h e O r b i t

I t f o l l o w s f r o m ( 1 0 ) { ( 1 2 ) t h a t

T + V =

1

2

d r

d t

!

2

+

r

2

d

2

r

d t

2

;

G M

2 r

+

G M J

2

R

2

4 r

3

( 1

; 3 s i n

2

)

T h i s c a n b e r e w r i t t e n i n t h e f o r m

d

d r

2

4

r

2

d r

d t

!

2

3

5

= 4 ( T + V ) r + 2 G M +

G M J

2

R

2

r

2

( 3 s i n

2

; 1 )

f r o m w h e n c e i t f o l l o w s t h a t

d

d r

2

4

r

2

d r

d t

!

2

3

5

4 ( T + V ) r + 2 G M +

2 G M J

2

R

2

r

2

I n t e g r a t i n g f r o m r ( t

0

) t o r ( t ) y i e l d s

r

2

d r

d t

!

2

2 ( T + V ) r

2

+ 2 G M r ;

2 G M J

2

R

2

r

; h

2

0

+

3 h

2

0

J

2

R

2

p

0

r

0

I t f o l l o w s t h a t

0 < 2 ( T + V ) r

2

+ 2 G M r ; h

2

0

1 ;

3 J

2

R

2

p

0

r

0

] ( 4 4 )

1 7



W h e n T + V < 0 , t h e q u a d r a t i c p o l y n o m i a l o n t h e r i g h t s i d e o f ( 4 4 ) h a s t h e r o o t s ( e x a c t

v a l u e s c a n b e f o u n d f r o m t h e q u a d r a t i c f o r m u l a )

r

m i n

=

p

0

1 + e

0

1 + O ( J

2

) ] r

m a x

=

p

0

1 ; e

0

1 + O ( J

2

) ]

H e n c e a s a t e l l i t e h a v i n g n e g a t i v e m e c h a n i c a l e n e r g y r e m a i n s f o r a l l t i m e w i t h i n t h e s p h e r i c a l

a n n u l u s r

m i n

< r < r

m a x

. S i n c e t h e p o s i t i o n v e c t o r i s b o u n d e d , w e c a n i n v o k e t h e r e c u r r e n c e

t h e o r e m i . e . , t h e s a t e l l i t e w i l l c o m e a s c l o s e a s d e s i r e d t o i t s i n i t i a l p o s i t i o n i n a s u c i e n t l y

l o n g p e r i o d o f t i m e ( a s s h o w n b y P o i n c a r e ) . F u r t h e r m o r e , w e a r e g u a r a n t e e d o f t h e v a l i d i t y

o f s u p r e s s i n g s e c u l a r t e r m s t o d e s c r i b e t h e o r b i t v i a p e r t u r b a t i o n a n a l y s i s .

A c k n o w l e d g e m e n t s

J o h n R o d e l l f r o m t h e C o l o r a d o C e n t e r f o r A s t r o d y n a m i c s R e s e a r c h p r o d u c e d t h e n u m e r i c a l

d a t a f o r t h e c o m p a r i s o n s h o w n i n F i g u r e 2 . C a p t . G r e g P e t r i c k a n d 1 s t L t . B r u c e

H i b e r t f r o m t h e F i r s t S a t e l l i t e C o n t r o l S q u a d r o n s u p p l i e d t h e m e a s u r e d s a t e l l i t e d a t a s h o w n

i n F i g u r e 3 . M i s p r i n t s i n e q u a t i o n s ( 2 4 ) { ( 2 6 ) a n d t h e f o r m u l a f o r K

6

i n o u r e a r l i e r w o r k

( D a n i e l s o n , S a g o v a c , S n i d e r , 1 9 9 0 ) w e r e p o i n t e d o u t b y P r o f e s s o r C l y d e S c a n d r e t t . T h e

r e s e a r c h w a s s u p p o r t e d b y t h e N a v a l P o s t g r a d u a t e s c h o o l .

R e f e r e n c e s

B r e n n e r , J . L . , L a t t a , G . E . , a n d W e i s e l d , M . , 1 9 5 9 , \ A N e w C o o r d i n a t e S y s t e m f o r S a t e l l i t e

O r b i t T h e o r y , " S t a n f o r d R e s e a r c h I n s t i t u t e P r o j e c t N o . S U - 2 5 8 7 , A F M D C T R 5 9 - 2 7 , A S T I A

A D - 2 1 6 4 5 5 .

B r e n n e r , J . L . , a n d L a t t a , G . E . , 1 9 6 0 , \ T h e T h e o r y o f S a t e l l i t e O r b i t s , B a s e d o n a N e w

C o o r d i n a t e S y s t e m , " P r o c . t h e R o y a l S o c i e t y , A , V o l . 2 5 8 , p p . 4 7 0 { 4 8 5 .

D a n i e l s o n , D . A . , 1 9 9 2 , V e c t o r s a n d T e n s o r s i n E n g i n e e r i n g a n d P h y s i c s , A d d i s o n - W e s l e y .

D a n i e l s o n , D . A . , a n d S n i d e r , J . R . , 1 9 8 9 , \ S a t e l l i t e M o t i o n A r o u n d a n O b l a t e E a r t h : A

P e r t u r b a t i o n P r o c e d u r e f o r a l l O r b i t a l P a r a m e t e r s : P a r t 1 | E q u a t o r i a l a n d P o l a r O r b i t s , "

P r o c . A A S / A I A A A s t r o d y n a m i c s C o n f . , h e l d i n S t o w e , V e r m o n t .

D a n i e l s o n , D . A . , S a g o v a c , C . P . , a n d S n i d e r , J . R . , 1 9 9 0 , \ S a t e l l i t e M o t i o n A r o u n d a n

O b l a t e P l a n e t : A P e r t u r b a t i o n S o l u t i o n f o r a l l O r b i t a l P a r a m e t e r s : P a r t I I | O r b i t s f o r a l l

I n c l i n a t i o n s , " P r o c . A A S / A I A A A s t r o d y n a m i c s C o n f . , h e l d i n P o r t l a n d , O r e g o n .

1 8



E c k s t e i n , M . C . , S h i , Y . Y . , a n d K e v o r k i a n , J . , 1 9 6 6 , \ S a t e l l i t e M o t i o n f o r a l l I n c l i n a t i o n s

A r o u n d a n O b l a t e P l a n e t , " P r o c . S y m p . N o . 2 5 , I n t e r n a t i o n a l A s t r o n o m i c a l U n i o n , A c a -

d e m i c P r e s s , p p . 2 9 1 { 3 2 2 , e q u a t i o n s 6 1 .

K r a m b e c k , S . D . , 1 9 9 0 , \ A n a l y s i s o f a P e r t u r b a t i o n S o l u t i o n o f t h e M a i n P r o b l e m i n A r t i c i a l

S a t e l l i t e T h e o r y , " M . S . T h e s i s , N a v a l P o s t g r a d u a t e S c h o o l .

P o i n c a r e , H . , 1 9 6 7 , \ N e w M e t h o d s o f C e l e s t i a l M e c h a n i c s " ( t r a n s l a t i o n ) , V o l . I I I , N A S A

T T F - 4 5 2 .

S a g o v a c , C . P . , 1 9 9 0 , \ A P e r t u r b a t i o n S o l u t i o n o f t h e M a i n P r o b l e m i n A r t i c i a l S a t e l l i t e

T h e o r y , " M . S . t h e s i s , N a v a l P o s t g r a d u a t e S c h o o l .

S n i d e r , J . R . , 1 9 8 9 , \ S a t e l l i t e M o t i o n A r o u n d a n O b l a t e P l a n e t : A P e r t u r b a t i o n S o l u t i o n

f o r a l l O r b i t a l P a r a m e t e r s , " P h . D . t h e s i s , N a v a l P o s t g r a d u a t e S c h o o l .

S t r u b l e , R . A . , 1 9 6 0 , \ A G e o m e t r i c a l D e r i v a t i o n o f t h e S a t e l l i t e E q u a t i o n s , " J . M a t h e m a t i c a l

A n a l y s i s a n d A p p l i c a t i o n s , V o l . 1 , p p . 3 0 0 { 3 0 7 .

S t r u b l e , R . A . , 1 9 6 1 , \ T h e G e o m e t r y o f t h e O r b i t s o f A r t i c i a l S a t e l l i t e s , " A r c h . R a t i o n a l

M e c h . A n a l y s i s , V o l . 7 , p p . 8 7 { 1 0 4 .

S t r u b l e , R . A . , 1 9 6 1 , \ A n A p p l i c a t i o n o f t h e M e t h o d o f A v e r a g i n g i n t h e T h e o r y o f S a t e l l i t e

M o t i o n , " J . M a t h e m a t i c s a n d M e c h a n i c s , V o l . 1 0 , p p . 6 9 1 { 7 0 4 .

T a , L . G . , 1 9 8 5 , C e l e s t i a l M e c h a n i c s , J o h n W i l e y a n d S o n s , p . 3 4 0 .

W e i s e l d , M . , 1 9 6 0 , \ A n A p p r o x i m a t i o n o f P o l a r O r b i t s o f N e a r S a t e l l i t e s A r o u n d a n O b l a t e

E a r t h , " S t a n f o r d R e s e a r c h I n s t i t u t e R e p o r t 3 1 6 3 - 3 ( T ) .

O t h e r P a p e r s o n t h i s S u b j e c t

A r s e n a u l t , J . L . , E n r i g h t , J . D . , a n d P u r s e l l , C . , 1 9 6 4 , \ G e n e r a l P e r t u r b a t i o n T e c h n i q u e s

f o r S a t e l l i t e O r b i t P r e d i c t i o n S t u d y , " T e c h n i c a l D o c u m e n t a r y R e p o r t N o . A L - T D R - 6 4 - 7 0 ,

V o l s . I a n d I I .

B r o u w e r , D . , 1 9 5 9 , \ S o l u t i o n o f t h e P r o b l e m o f A r t i c i a l S a t e l l i t e T h e o r y W i t h o u t D r a g , "

A s t r o n . J . , V o l . 6 4 , p p . 3 7 8 { 3 9 7 .

C e f o l a , P . , a n d M c C l a i n , W . D . , 1 9 7 8 , \ A R e c u r s i v e F o r m u l a t i o n o f t h e S h o r t - P e r i o d i c P e r -

t u r b a t i o n s i n E q u i n o c t i a l V a r i a b l e s , " A I A A / A A S A s t r o d y n a m i c s C o n f . , P a l o A l t o , R e p o r t

N o . 7 8 - 1 3 8 3 .

C o e y , S . L . , D e p r i t , A . , a n d M i l l e r , B . , 1 9 8 6 , \ T h e C r i t i c a l I n c l i n a t i o n i n A r t i c i a l S a t e l l i t e

T h e o r y , " C e l e s t i a l M e c h a n i c s , V o l . 3 9 , p p . 3 6 5 { 4 0 6 .

d e L a f o n t a i n e , J . , a n d H u g h e s , P . C . , 1 9 8 7 , \ A S e m i a n a l y t i c T h e o r y f o r O r b i t a l D e c a y P r e -

d i c t i o n s , " J . A s t r o n . S c i . , V o l . 3 5 , N o . 3 , p p . 2 4 5 { 2 8 6 .

G a r n k e l , B . , 1 9 5 9 , \ T h e O r b i t o f a S a t e l l i t e o f a n O b l a t e P l a n e t , " A s t r o n . J . , V o l . 6 4 , p p .

3 5 3 { 3 6 7 .

H o o t s , F . R . , \ T h e o r y o f t h e M o t i o n o f a n A r t i c i a l E a r t h S a t e l l i t e , " 1 9 8 1 , C e l e s t i a l M e -

c h a n i c s , V o l . 2 3 , p p . 3 0 7 { 3 6 3 .

1 9



H u g h e s , S . , \ T h e C r i t i c a l I n c l i n a t i o n : A n o t h e r L o o k , " 1 9 8 1 , C e l e s t i a l M e c h a n i c s , V o l . 2 5 ,

p p . 2 3 5 { 2 6 6 .

J u p p , A . H . , 1 9 8 0 , \ T h e C r i t i c a l I n c l i n a t i o n P r o b l e m w i t h S m a l l E c c e n t r i c i t y , " , C e l e s t i a l

M e c h a n i c s , V o l . 2 1 , p p . 3 6 1 { 3 9 3 .

K i n g - H e l e , D . G . , 1 9 5 8 , \ T h e E e c t o f t h e E a r t h ' s O b l a t e n e s s o n t h e O r b i t o f a N e a r

S a t e l l i t e , " P r o c . R o y . S o c . ( L o n d o n ) , S e r . A , V o l . 2 4 7 , p p . 4 9 { 7 2 .

K o z a i , Y . , 1 9 6 2 , \ S e c o n d - O r d e r S o l u t i o n o f A r t i c i a l S a t e l l i t e T h e o r y W i t h o u t A i r D r a g , "

A s t r o n . J . , V o l . 6 7 , p p . 4 4 6 { 4 6 1 .

L u b o w e , A . , 1 9 6 9 , \ H o w C r i t i c a l i s t h e C r i t i c a l I n c l i n a t i o n , " C e l e s t i a l M e c h a n i c s , V o l . 1 ,

p p . 6 { 1 0 .

M o r r i s o n , A . G . , 1 9 7 7 , \ A n A n a l y t i c a l T r a j e c t o r y A l g o r i t h m I n c l u d i n g E a r t h O b l a t e n e s s , "

J . A s t r o n . S c i . , V o l . 2 5 , N o . 1 , p p . 3 5 { 6 2 .

P e t t y , C . M . , a n d B r e a k w e l l , J . V . , 1 9 6 0 , \ S a t e l l i t e O r b i t s A b o u t a P l a n e t w i t h R o t a t i o n a l

S y m m e t r y , " J . F r a n k l i n I n s t i t u t e , V o l . 2 7 0 , p p . 2 5 9 { 2 8 2 .

S m a l l , H . W . , 1 9 6 3 , \ S a t e l l i t e M o t i o n A r o u n d a n O b l a t e P l a n e t , " A I A A A s t r o d y n a m i c s

C o n f . , h e l d a t Y a l e U n i v . , P a p e r N o . 6 3 - 3 9 3 .

S t e l l m a c h e r , I . , 1 9 8 1 , \ P e r i o d i c O r b i t s A r o u n d a n O b l a t e S p h e r o i d , " C e l e s t i a l M e c h a n i c s ,

V o l . 2 3 , p p . 1 4 5 { 1 5 8 .

S t e r n e , T . E . , 1 9 5 7 , \ T h e G r a v i t a t i o n a l O r b i t o f a S a t e l l i t e o f a n O b l a t e P l a n e t , " A s t r o n .

J . , V o l . 6 3 , N o . 1 2 5 5 , p p . 2 8 { 4 0 .

V i n t i , J . P . , 1 9 6 1 , \ T h e o r y o f a n A c c u r a t e I n t e r m e d i a r y O r b i t f o r S a t e l l i t e A s t r o n o m y , " J .

R e s . N a t . B u r . S t a n d . B . , V o l . 6 5 , p p . 1 6 9 { 2 0 4 .

Z a r o p o u l o s , B . , 1 9 8 7 , \ T h e M o t i o n o f a S a t e l l i t e i n a n A x i - S y m m e t r i c G r a v i t a t i o n a l F i e l d , "

A s t r o p h y s i c s a n d S p a c e S c i e n c e , V o l . 1 3 9 , p p . 1 1 1 { 1 2 8 .

Z a r e , K . , 1 9 8 3 , \ T h e P o s s i b l e M o t i o n s o f a S a t e l l i t e A b o u t a n O b l a t e P l a n e t , " C e l e s t i a l

M e c h a n i c s , V o l . 3 0 , p p . 4 9 { 5 8 .

2 0



F i g u r e 1 : O r b i t a l g e o m e t r y .

F i g u r e 2 : C o m p a r i s o n o f p e r t u r b a t i o n , t w o - b o d y , a n d n u m e r i c a l o r b i t s .

F i g u r e 3 : C o m p a r i s o n o f p e r t u r b a t i o n , t w o - b o d y , a n d m e a s u r e d o r b i t s .

2 1

sat pert by ob lateness

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