semana 03 cinematica i en una dimension 2009 b

CINEMTICA I /MOVIMIENTO UNIDIMENSIONAL

1 WALTER PEREZ TERREL / [email protected]

CINEMTICA I 1. CONCEPTO

Es una parte de la Mecnica, que tiene por finalidad describir matemticamente todos los tipos posibles de movimiento mecnico sin relacionarlo con las causas que determinan cada tipo concreto de movimiento. La cinemtica estudia las propiedades geomtricas del movimiento, independientemente de las fuerzas aplicadas y de la masa de la partcula.

2. MOVIMIENTO En general es una propiedad fundamental de la materia asociada a ella y que se manifiesta a travs de cambios, transformaciones y desarrollo. Los cuerpos macroscpicos poseen internamente mltiples movimientos moleculares tales como: Movimiento Trmico, Movimiento Biolgico, Movimiento Electrnico, etc. Externamente los cuerpos macroscpicos con el tiempo experimentan transformaciones, cambios en cantidad y calidad, esta realidad objetiva es precisamente la materia en movimiento. El movimiento mecnico es el movimiento ms simple de la materia, es decir el cambio de posicin. El movimiento mecnico es el cambio de posicin respecto de un sistema de referencia. De otro modo, el movimiento mecnico es relativo.

3. MOVIMIENTO MECNICO Es aquel cambio de posicin que realiza o experimenta un cuerpo con respecto a un sistema de referencia. La visual del observador se considera en el origen de coordenadas y que la tierra no se mueve.

4. SISTEMA DE REFERENCIA Es aquel lugar del espacio en donde en forma real o imaginara se sita un observador para analizar un fenmeno. Sobre un cuerpo en el espacio se fija rigurosamente un sistema coordenado (cartesiano, cilndrico, polar, etc.), lugar en el cual se instala un reloj (sistema horario) y se ubica un observador en forma real o imaginaria, quien estudiar el fenmeno (movimiento mecnico) en el espacio y en el tiempo. A este conjunto se le denomina sistema de referencia.

X (m)

Y (m)

0

r

Trayectoria

Fig. 01. MOVIMIENTO MECNICO Fig. 02. DESPLAZAMIENTO

Y (m)

0

1r

d

2r

X (m)



5. ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO MECNICO

5.1) Mvil.- Es el cuerpo o partcula que realiza un movimiento mecnico o que puede moverse.

5.2) Trayectoria.- Es la lnea recta o curva que describe el mvil al desplazarse. si la trayectoria es curvilnea, el recorrido es mayor que la distancia. En cambio si la trayectoria es rectilnea, entonces el recorrido es igual a la distancia.

5.3) Vector Posicin )r( .- Es aquel vector utilizado por el observador con el fin de ubicar en el espaci y en el tiempo, al mvil. Este vector se traza desde la visual del observador (origen de coordenadas) al mvil en un cierto instante.

5.4) Recorrido (e).- Es la medida de la longitud de la trayectoria entre dos puntos considerados. Es una magnitud fsica escalar.

5.5) Desplazamiento )d( .- Es una magnitud fsica vectorial, que sirve para expresar el cambio de posicin efectivo entre dos puntos efectuado por un mvil. De la figura 02, adicin de vectores:

1 2r d r

+ = despejando el desplazamiento: 2 1d r r

=

El desplazamiento se define como el cambio de posicin: d r

=

5.6) Distancia (d).- Es el mdulo del vector desplazamiento. Es la medida del segmento que une el punto inicial con el punto final del movimiento.

5.7) Tiempo: Es una forma real de existencia de la materia, que se encuentra asociada a su movimiento y espacio ocupado. El Tiempo en Mecnica sirve para medir la duracin de un fenmeno fsico y su ubicacin respectiva. El Tiempo para un evento fsico definido previamente se puede clasificar en: - Intervalo de Tiempo (t).- Denominado tambin tiempo transcurrido, es aquel que sirve para medir la duracin de un evento fsico. - Instante de Tiempo (t0).- Es aquel intervalo de tiempo pequesimo que nos permitir ubicar la tendencia de ocurrencia de un fenmeno fsico y su ubicacin principalmente en el espacio.

6. MEDIDAS DEL MOVIMIENTO El movimiento mecnico se puede expresar en funcin a la rapidez de cambio de posicin en el tiempo, a travs de la velocidad y la aceleracin, y tambin en funcin a la naturaleza de las transformaciones y considerando la masa del cuerpo el movimiento se mide en base al concepto de ENERGA y cantidad de movimiento, que estudiaremos ms adelante.

7. VELOCIDAD Es una magnitud fsica vectorial que nos expresa el cambio de la posicin en un intervalo de tiempo.

8. VELOCIDAD MEDIA (Vm) Es aquella magnitud fsica vectorial que

Fig. 03 VELOCIDAD MEDIA

Y (m)

0

1r

d

2r

mV

X (m)



expresa la rapidez de cambio de posicin de un mvil, evaluada en un intervalo de tiempo. La velocidad media Vm es colineal y del mismo sentido que el desplazamiento, es decir la velocidad media tiene la misma direccin del desplazamiento. La velocidad media se evala entre dos puntos de la trayectoria. Matemticamente se expresa as:

m

r dVt t

= =

La velocidad media es independiente de la trayectoria.

Para un movimiento unidimensional en el eje X se expresa as:

0Fm

X XXVt t

= =

9. VELOCIDAD INSTANTNEA (V) Es aquella magnitud fsica que expresa la rapidez probable de cambio de posicin que tiende a poseer o posee un mvil en un instante de tiempo. Matemticamente la velocidad instantnea viene a ser el lmite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero. Se define como:

instantanea m0V = lim V

t

Con el uso del clculo diferencial, la velocidad instantnea se expresa as:

drVdt

==== Se lee derivada de la

posicin respecto del tiempo. Para un movimiento unidimensional en el eje X.

dXVdt

==== , se lee derivada de la posicin en el eje X respecto del tiempo. Donde X es un polinomio cuya variable es el tiempo.

Unidades de la velocidad: cm/s; m/s; km/h

La velocidad instantnea se representa mediante un vector tangente a la curva.

EJEMPLO 01: La posicin de un partcula en el eje X se define mediante la ley: 2 3( ) 4 5. 6. 2.X t t t t= + + + , donde t se mide en segundos y X en metros. Determine la velocidad de

la partcula en el instante t = 5 segundos.

Resolucin La velocidad se define como la derivada de la posicin respecto del tiempo:

0 1 2( ) 0 5. 6.2 2.3.d xV t t t td t

= = + + +

t (s)

V

Tangente X (t)

t 0

V = Tg

Fig. 04. VELOCIDAD INSTANTNEA

X (m)



1 2( ) 5 12 6V t t t= + + Clculo de la rapidez para t = 5 s V = 5 + 60 + 150 = 215 m/s Clculo de la velocidad para t = 5 s V = 215 i (m/s)

EJEMPLO 02: La posicin de un partcula en el eje X se define mediante la ley: 2 4( ) 4. 5. 2.X t t t t= + , donde t se mide en segundos y X en metros. Determine la velocidad de la

partcula en el instante t = 4 segundos.

Resolucin La velocidad se define como la derivada de la posicin respecto del tiempo:

0 1 3( ) 4.1. 5.2 2.4.d xV t t t td t

= = +

1 3( ) 4 10. 8.V t t t= + Clculo de la rapidez para t = 4 s

1 34 10.4 8.4V = + 34 40 8.4 468V = + =

La velocidad media para t = 4 s V = -458 i (m/s)

10. POSICIN DE UNA PARTCULA La posicin final de una partcula, es igual a la posicin inicial ms el desplazamiento. El desplazamiento se define como el producto de la velocidad por el intervalo de tiempo.

0 .fr r v dt= +

= dtvrr f .0

= dtvr .

= dtvd .

El desplazamiento que experimenta un punto material es igual al producto de la velocidad por el intervalo de tiempo.

11. VELOCIDAD RELATIVA Es la velocidad del cuerpo A respecto de un observador ubicado en el cuerpo B que tambin se mueve. La velocidad de A respecto de B, se define como la diferencia de las velocidades.

/A B A BV V V=

La velocidad relativa de A respecto de B, es el vector diferencia entre la velocidad de A (minuendo) y la velocidad de B (sustraendo).

d

Fig. 05. VELOCIDAD RELATIVA

VB VA

Mvil B

Mvil A



12. PRINCIPIO DE RELATIVIDAD DE GALILEO: La velocidad de absoluta del mvil A, es igual a la velocidad del mvil B ms la velocidad relativa de A respecto de B.

/A B A BV V V= +

13. ACELERACIN RELATIVA Es la aceleracin del cuerpo A respecto de un observador ubicado en el cuerpo B que tambin se mueve con aceleracin constante. La aceleracin de A respecto de B, se define como la diferencia de las aceleraciones. /A B A Ba a a=

La aceleracin relativa de A respecto de B, es el vector diferencia entre la aceleracin de A (minuendo) y la aceleracin de B (sustraendo).

14. TEOREMA PLUS UNO. La distancia de separacin entre dos mviles que se mueven sobre una recta, tomara un valor extremo (mximo o mnimo relativo) cuando sus velocidades se igualen.

DEMOSTRACIN Sean 1 1( )=x x t y 2 2 ( )=x x t las leyes del movimiento de los mviles que se mueven sobre el eje x. La distancia de separacin entre estos ser: 1 2= x x x Esta distancia tomar un valor mximo o mnimo cuando su derivada respecto del tiempo, sea

cero: 0=d xd t

entonces ( )1 2 0 =d x x

d t

1 2=

d x d xd t d t

finalmente podemos decir que: 1 2=

v v

15. TEOREMA PLUS DOS. La velocidad relativa entre dos mviles que se mueven sobre una misma recta tomar un valor extremo (mximo o mnimo relativo) cuando sus aceleraciones se igualen.

DEMOSTRACIN Sean 1 1( )=v v t y 2 2 ( )=v v t la velocidad de dos mviles que se mueven sobre el eje x. La velocidad relativa entre estos ser: 1 2= relv v v Esta velocidad relativa tomar un valor mximo o mnimo cuando su derivada respecto del tiempo,

d

Fig. 05. ACELERACIN RELATIVA

aB aA

Mvil B

Mvil A



sea nula: 0=reld vd t

entonces ( )1 2 0 =d v v

d t

1 2=

d v d vd t d t

finalmente podemos decir que: 1 2=

a a

Frmulas de derivadas inmediatas 1. Derivada de una constante

ktX =)( la derivada es ktX = )(

2. Derivada de x

ttX =)( la derivada es 1)( = tX

3. Derivada de funcin af n

btatX += .)( la derivada es atX = )(

4. Derivada de una potencia

)(tuu = k

utX =)( la derivada es uuktX k = ..)( 1

5. Derivada de una raz cuadrada

utX =)( la derivada es u

utX

.2)( =

6. Derivada de una raz

k utX =)( la derivada es k kuku

tX1

.

)(

=

7. Derivada de suma

)(tuu = y )(tvv = vutX =)( su derivada es vutX = )(

8. Derivada de una constante por una funcin

uktX .)( = la derivada es uktX = .)(

9. Derivada de un producto

vutX .)( = su derivada es vuuvtX += ..)(



10. Derivada de constante part ida por una funcin

v

ktX =)( la derivada es 2

.)(v

vktX

=

11. Derivada de un cociente

v

utX =)(

la derivada es 2..)(

v

vuuvtX

=

12. Derivada de la funcin exponencial

a es un nmero real .

uatX =)( la derivada es aLnautX u ..)( =

13. Derivada de la funcin exponencial de base e

e es un nmero real .

uetX =)( la derivada es ueutX .)( =

14. Derivada de un logari tmo

15. Derivada de un logari tmo neperiano

16. Derivada del seno

17. Derivada del coseno

18. CALCULO DE LA DERIVADA. OPERADOR DERIVADA.

A) Determinar la primera derivada de las siguientes funciones. Determinar la VELOCIDAD para: t = 2 segundos.

1. ttX .5)( = 2. ttX .6)( = 3. 4)( =tX 4. 3

)( ttX = 5. 2

)( ttX =



6. 3.4)( ttX = 7. 3

)(3t

tX = 8. 2.3)( ttX = 9. 2

)(2t

tX = 10. 4

)(4t

tX =

11. 4.4)( ttX = 12. 4

)(4t

tX = 13. 5.2)( ttX = 14. ttttX .5.3)( 24 =

15. 8.5.3.2)( 24 ++= ttttX 16. 2.5.5.2)( 23 = ttttX 17. 5( )X tt

=

18. 23( )X tt

= 19. 32( )X tt

= 20. ttX =)( 21. 3)( += ttX

22. 3)( 2 += ttX 23. tttX .3)( 2 += 24. 5.3)( 2 ++= tttX 25. )()( tSentX = 26. )(.5)( tSentX = 27. ).2(.4)( tSentX = 28. ).3(.8)( tSentX = 29. ).3(.8)( 2tSentX = 30. )2.3(.8)( += tSentX 31. )2.3(.8)( 2 += tSentX 32. ).2.3(.2)( 2 ttSentX += 33. )5.2.3(.4)( 2 += ttSentX 34. )()( tSentX = 35. )1.2()( 2 ++= ttSentX 36. )1.2()( 2 ++= ttCostX 37. )()( tCostX = 38. )()( tCostX = 39. ).2()( tCostX = 40. ).3()( 2tCostX = 41. )()( tCostX = 42. ).2.3()( 2 ttCostX += 43. 24 .3)( tttX += 44. 5)( ttX = 45. 46)( tttX +=

46. 23

)(46 tt

tX += 47. 23

)(46 tt

tX = 48. 46

)(46 tt

tX += 49. )(.)( tSenttX =

50. )(.)( 2 tSenttX = 51. )2(.)( 2 tSenttX = 52. )(.)( tCosttX = 53. )2(.3)( tCosttX = 54. )3(.)( tCosttX = 55. )(.)( 2 tCosttX =

B) Determinar la segunda derivada de las siguientes funciones. Determinar la ACELERACIN para: t = 3 segundos.

1. 2.5)( ttX = 2. ttX .4)( = 3. 3.4)( ttX = 4. 4.3)( ttX = 5. 5.4)( ttX = 6. ttttX .5.3)( 23 = 7. 8.5.3.2)( 24 ++= ttttX 8. 2.5.5.2)( 23 = ttttX

9. t

tX 5)( = 10. 23)(t

tX = 11. 32)(t

tX = 12. )()( tSentX = 12. )(.5)( tSentX = 13. ).2(.4)( tSentX = 14. ).3(.8)( tSentX = 15. )2.3(.8)( += tSentX 16. )()( tSentX = 17. )()( tCostX = 18. ).2()( tCostX = 19. ).3()( 2tCostX = 20. )()( tCostX = 21. ttX =)( 22. 3)( += ttX

C) Determinar la tercera derivada de las siguientes funciones. Determinar la CELERIDAD para: t = 1 segundo.

1. 2

)(2t

tX = 2. 3

)(3t

tX = 3. 8

)(4t

tX = 4. ).3()( tSentX = 5. ).4()( tSentX =

6. )()( pi+= tSentX 7. )2()( pi+= tSentX 8. )()( 2 pi+= tSentX 9. ).2()( pipi += tSentX 10. ).2()( tCostX = 11. ).3()( tCostX = 12. ).4()( tCostX = 13. )()( pi+= tCostX



14. ( )tCostX .2)( pi= 15. ( )pipi = tCostX .2)( 16.

+=

2.2)( pipi tCostX

17.

=

2.2)( pipi tCostX

19. EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS

Tema: MOVIMIENTO UNIDIMENSIONAL (Nivel Bsico) 1. Un cuerpo tiene la siguiente ley del movimiento: X (t) 23 4.t t= + += + += + += + + , donde t se mide en

segundos y X se mide en metros. Determine la distancia que recorre entre los instantes t = 2 s y t = 5 s.

2. La posicin de un partcula en el eje X se define mediante la ley: 2 3( ) 4 5. 6. 2.X t t t t= + + + , donde t se mide en segundos y X en metros. Determine la velocidad de la partcula en el instante t = 5 segundos.

3. Se conoce la ley del movimiento de una partcula que se mueve en el eje x. ( )X t t t23 12 5= + , donde t se mide en segundos y x en metros.

a) Determine la velocidad en el instante t = 1 s. b) Determine la velocidad en el instante t = 5 s. c) En qu instante la velocidad es nula?







7. Se conoce la ley del movimiento de una partcula que se mueve en el eje x. ( )X t t t23 12 5= + , donde t se mide en segundos y x en metros. Determine la velocidad

media entre los instantes t = 1 s y t = 5 s. 8. Se conoce la ley del movimiento de una partcula que se mueve en el eje x.

( )X t t t25 24 10= + , donde t se mide en segundos y x en metros. Determine la velocidad media entre los instantes t = 2 s y t = 5 s




media entre los instantes t = 3 s y t = 9 s


media entre los instantes t = 3 s y t = 8 s.

11. Se conoce la ley del movimiento de una partcula que se mueve en el eje x. ( )X t t t3 22 12 5= + , donde t se mide en segundos y x en metros.

a) Determine la aceleracin en el instante t = 1 s. b) Determine la aceleracin en el instante t = 5 s. c) En qu instante la aceleracin es nula?






a) Determine la velocidad en el instante t = 4 s. b) Determine la velocidad en el instante t = 8 s. c) Determine la aceleracin media entre los instantes t = 4 s y t = 8 s.

15. Se conoce la ley del movimiento de una partcula que se mueve en el eje x. ( )X t t t3 22 12 5= + , donde t se mide en segundos y x en metros.




17. Se conoce la ley del movimiento de una partcula que se mueve en el eje x. ( ) ( )X t Sen t20. .= pi + pi , donde t se mide en segundos y x en metros.

a) Determine la velocidad en el instante t = 1 s. b) Determine la velocidad en el instante t = 3 s.



c) En qu instante la velocidad es nula?

18. Se conoce la ley del movimiento de una partcula que se mueve en el eje x. ( ) tX t Sen 2.10. 8 2

pi pi=

, donde t se mide en segundos y x en metros. En qu instante la

velocidad es nula?

19. Conociendo la ley del movimiento: 10.1223

)(23

+= ttt

tX , donde X se mide

en metros y t se mide en segundos. Determinar : a) Determinar la ve loc idad en cualquier instante de t iempo. b) En qu instante la ve loc idad es nula? c) En qu posic in su veloc idad es nula? d) Cul es su recorr ido y desplazamiento ent re st 0= y st 5= ? e) Cul es su veloc idad media ent re st 1= y st 5= ? f ) Cul es su acelerac in media entre st 2= y st 5= ? g) Determinar la acelerac in en cualquier instante de t iempo. h) Cul es su acelerac in en st 4= ? i ) En qu instante la acelerac in es nula? j ) En qu posic in su acelerac in es nula?

20. Conociendo la ley del movimiento: 10.102.3

3)(

23

+= ttt

tX , donde X se

mide en metros y t se mide en segundos. Determinar : a) Determinar la ve loc idad en cualquier instante de t iempo. b) En qu instante la ve loc idad es nula? c) En qu posic in su veloc idad es nula? d) Cul es su recorr ido y desplazamiento ent re st 0= y st 5= ? e) Cul es su veloc idad media ent re st 1= y st 5= ? f ) Cul es su acelerac in media entre st 2= y st 5= ? g) Determinar la acelerac in en cualquier instante de t iempo. h) Cul es su acelerac in en st 4= ? i ) En qu instante la acelerac in es nula? j ) En qu posic in su acelerac in es nula?

21. Conociendo la ley del movimiento: 10.623

)(23

+= ttt


en metros y t se mide en segundos. Determinar : a) Determinar la ve loc idad en cualquier instante de t iempo. b) En qu instante la ve loc idad es nula? c) En qu posic in su veloc idad es nula? d) Cul es su recorr ido y desplazamiento ent re st 0= y st 5= ? e) Cul es su veloc idad media ent re st 1= y st 5= ? f ) Cul es su acelerac in media entre st 2= y st 5= ? g) Determinar la acelerac in en cualquier instante de t iempo. h) Cul es su acelerac in en st 4= ? i ) En qu instante la acelerac in es nula?



j ) En qu posic in su acelerac in es nula?


3)(

23

+= ttt

tX , donde X se

mide en metros y t se mide en segundos. Determinar : a) Determinar la ve loc idad en cualquier instante de t iempo. b) En qu instante la ve loc idad es nula? c) En qu posic in su veloc idad es nula? d) Cul es su recorr ido y desplazamiento ent re st 0= y st 5= ? e) Cul es su veloc idad media ent re st 1= y st 5= ? f ) Cul es su acelerac in media entre st 2= y st 5= ? g) Determinar la acelerac in en cualquier instante de t iempo. h) Cul es su acelerac in en st 4= ? i ) En qu instante la acelerac in es nula? j ) En qu posic in su acelerac in es nula?


)( 23

+= ttt



24. Conociendo la ley del movimiento: 5)( 23 += ttttX , donde X se mide en metros y t se mide en segundos. Determinar : a) Determinar la ve loc idad en cualquier instante de t iempo. b) En qu instante la ve loc idad es nula? c) En qu posic in su veloc idad es nula? d) Cul es su recorr ido y desplazamiento ent re st 0= y st 2= ? e) Cul es su veloc idad media ent re st 3= y st 5= ? f ) Cul es su acelerac in media entre st 2= y st 5= ? g) Determinar la acelerac in en cualquier instante de t iempo. h) Cul es su acelerac in en st 5= ?i) En qu instante la acelerac in es nula? j ) En qu posic in su acelerac in es nula?


3)(

23

++= ttt


en metros y t se mide en segundos. Determinar : a) Determinar la ve loc idad en cualquier instante de t iempo. b) En qu instante la ve loc idad es nula? c) En qu posic in su veloc idad es nula?



d) Cul es su recorr ido y desplazamiento ent re st 0= y st 4= ? e) Cul es su veloc idad media ent re st 1= y st 5= ? f ) Cul es su acelerac in media entre st 2= y st 5= ? g) Determinar la acelerac in en cualquier instante de t iempo. h) Cul es su acelerac in en st 5,2= ? i ) En qu instante la acelerac in es nula? j ) En qu posic in su acelerac in es nula?


3)(

23

++= ttt


en metros y t se mide en segundos. Determinar : a) Determinar la ve loc idad en cualquier instante de t iempo. b) En qu instante la ve loc idad es nula? c) En qu posic in su veloc idad es nula? d) Cul es su recorr ido y desplazamiento ent re st 0= y st 6= ? e) Cul es su veloc idad media ent re st 3= y st 5= ? f ) Cul es su acelerac in media entre st 1= y st 4= ? g) Determinar la acelerac in en cualquier instante de t iempo. h) Cul es su acelerac in en st 5,3= ? i ) En qu instante la acelerac in es nula? j ) En qu posic in su acelerac in es nula?


3)(

23

++= ttt




3)(

23

++= ttt

tX , donde X se

mide en metros y t se mide en segundos. Determinar : a) Determinar la ve loc idad en cualquier instante de t iempo. b) En qu instante la ve loc idad es nula? c) En qu posic in su veloc idad es nula? d) Cul es su recorr ido y desplazamiento ent re st 4= y st 9= ? e) Cul es su veloc idad media ent re st 4= y st 7= ? f ) Cul es su acelerac in media entre st 3= y st 6= ? g) Determinar la acelerac in en cualquier instante de t iempo. h) Cul es su acelerac in en st 6= ?


FSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931 Pgina 14

29. i ) En qu instante la acelerac in es nula? j ) En qu posic in su acelerac in es nula?

FUNDAMENTO TERICO I. La velocidad es la anti-derivada de la aceleracin:

1).()( CdttatV +=

II. La Posicin en un eje de coordenadas es la anti-derivada de la velocidad. 2).()( CdttVtX +=

III. Variacin o cambio de la velocidad:

=b

a

dttaV ).(

IV. Variacin o cambio de la posicin o desplazamiento:

=b

a

dttVX ).(

Resolver cada caso: 1. dtt. 2. dtt .

2 3. dtt .

3 4. dxx .

4 5. dxx .

5 6. dxx

N.

7. ( ) + dyy .3 8. ( ) + dyyy .32 9. ( ) +++ dxxxx 5223 10. ( ) +++ dxxxxx .1234 11. ( ) ++ dxxxx .235 12. kdxxk N ... 13.

4

2

.dxx 14. ( ) +4

2

1 dxx

15. ( ) +4

2

2 1. dxx 16. 4

0

.dtt 17. ( )

3

0

23 dtt 18. ( ) +

1

0

2 23. dttt 19. ( ) +

4

3

2 3. dttt

20. ( ) 1

0

2 2. dtt 21. dttSen ).( 22. dttSen ).2( 23. dttSen ).3( 24. dttSen ).4(

25. dttSen ).5( 26. dttCos ).( 27. dttCos ).2( 28. dttCos ).3(

29. dttCos ).4( 30. dttCos ).5(

PROBLEMAS PROPUESTOS (NIVEL INTERMEDIO)

1. Una partcula se mueve en el eje X cuya aceleracin vara con el tiempo con la siguiente ley: 2

.)32()( += smtta En el instante st 2= la velocidad es ).(20 1smi . Determine la velocidad en el instante st 10=


.)32()( = smtta En el instante st 5= la velocidad es ).(10 1smi . Determine la velocidad en el instante st 8=




.)52()( = smtta En el instante st 3= la velocidad es ).(20 1smi . Determine la velocidad en el instante

st 10= 4. Una partcula se mueve en el eje X cuya aceleracin vara con el tiempo con la siguiente ley:

2.)54()( = smtta

En el instante st 3= la velocidad es ).(20 1smi . Determine la velocidad en el instante st 10=


.)5.3()( = smtta En el instante st 3= la velocidad es ).(20 1smi . Determine la velocidad en el instante


22.).3()( = smtta



.)4()( = smtta En el instante st 3= la velocidad es ).(20 1smi . Determine la velocidad en el instante


2.)5()( = smta



.)10()( = smta En el instante st 2= la velocidad es ).(20 1smi . Determine la velocidad en el instante


2.)5()( = smta

En el instante st 5= la velocidad es ).(10 1smi . En el instante st 0= la posicin es )(10 mi Determine la posicin en el instante st 10=


.)10()( = smta En el instante st 5= la velocidad es ).(10 1smi . En el instante st 0= la posicin es

)(10 mi Determine la posicin en el instante st 10= 12. Una partcula se mueve en el eje X cuya aceleracin vara con el tiempo con la siguiente ley:

2.)5()( = smtta



En el instante st 5= la velocidad es ).(10 1smi . En el instante st 0= la posicin es )(10 mi Determine la posicin en el instante st 10=


.)5()( = smtta En el instante st 5= la velocidad es ).(20 1smi . En el instante st 0= la posicin es

)(10 mi Determine la posicin en el instante st 10= 14. Una partcula se mueve en el eje X cuya aceleracin vara con el tiempo con la siguiente ley:

2.)5()( += smtta

En el instante st 5= la velocidad es ).(20 1smi En el instante st 0= la posicin es )(10 mi Determine la posicin en el instante st 10=


.)1.2()( += smtta

En el instante st 5= la velocidad es ).(20 1smi

En el instante st 0= la posicin es )(10 mi

Determine la posicin en el instante st 10=


.)1()( += smtta En el instante st 5= la velocidad es ).(20 1smi


Determine la posicin en el instante st 10= 17. Una partcula se mueve en el eje X cuya aceleracin vara con el tiempo con la siguiente ley:

2.)1()( += smtta

En el instante st 5= la velocidad es ).(20 1smi En el instante st 0= la posicin es )(10 mi

Determine la posicin en el instante st 10= } 18. Una partcula se mueve en el eje X cuya aceleracin vara con el tiempo con la siguiente ley:

2.)32()( += smtta

En el instante st 5= la velocidad es ).(20 1smi En el instante st 0= la posicin es )(10 mi

Determine la posicin en el instante st 10= } 19. Una partcula se mueve en el eje X cuya aceleracin vara con el tiempo con la siguiente ley:

2.)2()( = smtta

En el instante st 5= la velocidad es ).(20 1 smi En el instante st 0= la posicin es )(10 mi


2.)2()( = smtta






.)10()( = smta En el instante st 4= la velocidad es ).(20 1 smi

En el instante st 0= la posicin es )(10 mi Determine la posicin en el instante st 10=


.)20()( = smta En el instante st 4= la velocidad es ).(40 1 smi



22.).10()( = smtta



2.)10()( = smta



25. Determinar el cambio de la velocidad: 4

2

.V t dt =

26. Determinar el cambio de la velocidad: ( )4

2

1V t dt = +

27. Determinar el cambio de la velocidad:

( ) =6

2

2 2 dttV


( ) =4

3

2 1 dttV


( )=4

0

.2 dttV

30. Determinar el cambio de la velocidad: ( ) =3

0

23 dttV


( )=3

0

23 dttV

32. Determinar el cambio de la velocidad: =3

0

)( dttSenV




=3

0

)( dttCosV

34. Determinar el desplazamiento: ( )3 21

3 2X t dt =

35. Determinar el desplazamiento:

( ) +=4

2

53 dttX


( ) +=5

2

2 10.3 dttX


( ) +=6

2

2 10.3 dttX

38. Determinar el desplazamiento: ( ) =9

3

22 dttX

39. Determinar el desplazamiento: =9

3

)( dttSenX


3

)2( dttSenX


3

)( dtostCosX


3

)2( dttCosX

PROBLEMAS PROPUESTOS

30. Una partcula que se mueve sobre el eje x tiene la aceleracin variable segn la ley: ( )Xa t i= + 8 donde t se mide en segundos y la aceleracin en m.s-2. Para 0=t la rapidez es

V y para 4=t s la rapidez es 3V . Determinar la rapidez para 6=t s

31. Una partcula que se mueve sobre el eje x tiene la aceleracin variable segn la ley: ( )Xa t i= + 6 2 donde t se mide en segundos y la aceleracin en m.s-2. Inicia su movimiento

0=t , desde el reposo, en x m= 5 . Determinar la posicin en el instante 2=t s .

32. Una partcula se mueve en el eje X con velocidad: ( )2 2 2= + +xv t t i m/s. Si el mvil inicia su movimiento en 6=x m , determinar la posicin en el instante 3=t s .

33. Una partcula se mueve en el eje X con velocidad: ( )2 3 3= xv t i m/s. Determinar la longitud del recorrido en el intervalo 0 2= =t hasta t s .



34. Una partcula se mueve en el eje X con velocidad: ( )2 3 12= xv t i m/s. Determinar el desplazamiento en el intervalo 1 3= =t s hasta t s .

35. Una partcula que se mueve sobre el eje x tiene la aceleracin variable segn la ley: ( )a t t12. 36= , donde t se mide en segundos y a en m.s-2. Si en el instante t = 3 s, la

velocidad es nula; y en el instante t = 1,0 s, su posicin es x = 3 m, determine la ley del movimiento.

36. Una partcula se mueve en el eje X con velocidad: ( )2 3 4= xv t i m/s. Si e mvil inicia su movimiento en 5=x m , determinar 1) el recorrido que experimenta en los primeros 2 segundos. 2) el desplazamiento que experimenta en los primeros 4 segundos.

37. Si la ley de movimiento de una partcula que se mueve sobre el eje x es: 2 3( ) 24. 9.X t t t t= +

Determinar la longitud del recorrido en el intervalo 0 6t y t s= =

38. Una partcula que se mueve sobre el eje x tiene la aceleracin variable segn la ley: ( )a t t24. 8= , donde t se mide en segundos y a en m.s-2. Si en el instante t = 2 s, la

velocidad es +42 i (m/s); y en el instante t = 1,0 s, su posicin es x = 15 m, determine la ley del movimiento.

39. Una partcula se mueve sobre el eje X, cuya velocidad en funcin de la posicin es: iXV .2= (m/s). Determine la aceleracin en funcin de la posicin.

40. El movimiento de una partcula viene definido por la relacin ( )itttx 61562 23 += , donde x se expresa en metros y t en segundos. Determine: 1) la posicin de la partcula en el instante en que la aceleracin sea nula. 2) la velocidad de la partcula en el instante en que la aceleracin sea nula.

41. Una partcula se mueve en el eje x, desde 0t = , con la siguiente ley de movimiento: ( )2. 3

3t t

X

= donde X se expresa en metros t en segundos. Determine en qu intervalos de

tiempo el movimiento es acelerado y en qu intervalos es desacelerado.

42. Sean: 21 8 2X t t= + y 2

2 10X t t= las leyes de movimiento de dos mviles (1) y (2) que partiendo del origen de coordenadas ( )0x = se mueven en el eje X. a) Despus de cuntos segundos se encuentran juntos por segunda vez? b) En qu posicin se encuentran cada uno de los mviles cuando se detienen instantneamente? c) Determine la distancia de mximo alejamiento entre los mviles.

43. Un mvil se mueve a lo largo del eje x d acuerdo a la ley: 22 2 3xV t t= + + donde xV se mide en m/s y t en segundos. Sabiendo que cuando 0t = la posicin es 1x m= a) Encontrar el valor de x cuando 2t s= b) Determine la aceleracin cuando 3t s=



44. Una partcula se mueve en el eje X con velocidad: ( )2 1= xv t i donde xv se mide en m/s y t en segundos. Determinar: a) La aceleracin cuando 24=xv i m/s. b) El desplazamiento en el intervalo de 0t = a 3=t s c) El recorrido en el intervalo de 0t = a 3=t s

45. Si x e y se miden en metros y t en segundos, entonces determinar las frmulas dimensionales de las expresiones:

I. dtdy

II. xdyd

2

2

III. tdyd

2

2

IV. dxx .2

V. dtx .2

46. Si v se mede en m/s, a se miden en m/s2 y t en segundos, entonces determinar las frmulas dimensionales de las expresiones:

I. dtdx

II. tdxd

2

2

III. tdvd

2

2

IV. dtv. V. dta. VII. dta.



PROBLEMAS PROPUESTOS (NIVEL avanzado)

1. Una partcula de mueve rectilneamente sobre el eje X, donde la aceleracin instantnea est dada por 4.xa x= donde x se mide en metros y xa en

2.m s . Si el mvil parte del reposo

en la posicin 3x m= + , determinar la velocidad cuando pasa por 0x = .

2. La grafica x t muestra la ley de movimiento de los mviles A y B que se mueven rectilneamente sobre el eje x. Determinar la mxima distancia de separacin entre A y B, adems en que instante ocurre esto.

3. La grafica v t mostrada describe el movimiento de dos mviles A y B que se mueven son el eje x. Si los dos mviles parten desde un mismo punto en 0t = , hallar la ventaja que le sac el mvil A al mvil B hasta el instante en que sus aceleraciones se hacen iguales. En la figura las curvas son cuartos de circunferencias.

4. La grafica muestra la manera como vara la velocidad de un mvil, que se mueve rectilneamente en funcin del tiempo transcurrido. Determinar el desplazamiento que experimenta el mvil hasta el instante en su aceleracin es numricamente igual al tiempo transcurrido. El la figura la curva es un cuarto de circunferencia.

5. La figura muestra la grafica x t de un mvil A que parte del origen de coordenadas en el instante 0t = , y sigue la trayectoria rectilnea en el eje x. Si despus de 5 segundos, otro mvil B comienza a moverse con M.R.U sobre el eje x, determinar con qu velocidad mnima debe desplazarse para alcanzar al mvil B.

6. Las leyes del movimiento de dos partculas A y B estn dadas por: 25 2 2= + += + += + += + +Ax .t t y

26= += += += +Bx .t t donde x se mide en metros y t en segundos. Determinar el mnimo valor que toma la distancia de separacin entre los mviles A y B.

O

t (s)

Para el problema 2

-3

3

(B)

X (m)

12

6

9

(A)

+6

+3

O

t (s)

Para el problema 3

(B)

V (m/s)

2

2

(A)

O

t (s)

Para el problema 4

V (m/s)

2

2



7. Las leyes del movimiento de dos partculas A y B que se mueven en el eje x estn dadas por: 36

3

====

Ax .sen tpi

y (((( ))))2====Bx .Sen .tpi donde x se mide en metros y t en segundos. Determinar el instante en que, por primera vez, la velocidad relativa entre A y B toma su mximo valor.

8. Las leyes del movimiento de dos partculas A y B estn dadas por: (((( ))))2 2= = = = Ax t t y (((( ))))22= = = = Bx t donde x se mide en metros y t en segundos. Determinar el mnimo valor que toma la velocidad relativa entre los mviles A y B.

9. La aceleracin de una partcula se define mediante la relacin 2a k.t==== en (m/s2) y t en segundos. Si para

0t ==== la velocidad es 32 v i= = = = (m/s), y para 4t s==== la velocidad es 32 v i= += += += + y la posicin es 0x ==== en metros. Determinar: a) La constante k. b) La velocidad y posicin en cualquier instante de tiempo. c) El instante de tiempo en el cual la velocidad es nula.

10. El punto material se desplaza con velocidad: (((( ))))2 3 2x v t t i= += += += + en (m/s). Si para 0t ==== la posicin es 0 x i==== (m). Calcular: a) la posicin en el instante en que la velocidad es nula. b) el valor de la velocidad cuando la aceleracin es nula.

11. Una partcula tiene un movimiento rectilneo con aceleracin: (((( ))))6 4x a k.t i= = = = en (m/s2) y t en segundos. Si para 0t ==== la velocidad es 3 v i= = = = (m/s) y la posicin es 0x ==== en metros. Determinar: a) el valor de la constante k, si para 4t s==== la velocidad es 3 v i= += += += + (m/s) b) la velocidad cuando 5t s==== c) el desplazamiento en los primeros 4 segundos. d) En qu instante pasa por 0x ==== ?

12. Un punto material se desplaza en el eje x con velocidad: 81 8160x

v x= += += += + . Si para 0t ====

segundos la posicin es 0x ==== metros. Calcular: a) la aceleracin y la velocidad en cualquier instante. c) el tiempo que demora en recorrer los primeros 60 metros.

13. Un punto material se desplaza en el eje x con aceleracin (((( ))))2x a k.v i==== en (m/s2) y t en segundos donde 10 5k , m==== . Si para 0t ==== la velocidad es 0 2

v i==== (m/s) y la posicin es

(A)

t (s)

Para el problema 5

X (m)

10

10

5

O

(B)



0x ==== en metros. Determinar la posicin del punto material en funcin de la velocidad v.

14. Un punto material se desplaza en el eje x con aceleracin (((( ))))220x a . .x i==== en (m/s2), si el mvil parte de 0 2x ==== metros y la velocidad inicial es 0 2

v i==== (m/s). Determina la posicin de la partcula y el valor del desplazamiento cuando se detiene.

15. El movimiento de una partcula esta expresado por la siguiente ley: 2x t==== , (((( ))))21y t= = = = , 8z .t==== donde x, y, z se expresan en metros t en segundos. Calcular;

a) el instante para el cual la velocidad es mnima b) el valor de la velocidad mnima c) el valor de la aceleracin normal y tangencial para 0 5t , s==== d) el radio de curvatura para 0 5t , s====

BIBLIOGRAFA VIRTUAL Y FUENTES DE INFORMACIN: http://grups.es/didactika/yahoo.com http://grups.es/albert_einstein_koch/yahoo.com www.didactika.com Blog: DIDACTIKA.COM

M.R.U. (MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORME)

1. CONCEPTO. El mvil describe una trayectoria rectilnea, avanzando distancias iguales en intervalos de tiempos iguales. El cuerpo se mueve con velocidad constante (mdulo y direccin). El movimiento rectilneo uniforme, es el movimiento ms simple de la materia.

2. VELOCIDAD CONSTANTE La particula se mueve con velocidad constante en mdulo y direccion. Es decir la trayectoria es rectilinea siempre.

3. CARACTERSTICAS DE LA VELOCIDAD EN EL M.R.U. La velocidad instantnea es constante. La velocidad media es constante. La velocidad instantnea es igual a la velocidad media. La velocidad es una cantidad fsica vectorial, es decir tiene mdulo y direccin. La rapidez es el mdulo de la velocidad.

Clculo de la rapidez: dVt

=

Clculo de la distancia: .d V t=

Clculo del tiempo transcurrido: dtV

=



Unidades: d : metros ; t : segundos ; V : m/s

4. ECUACIN DEL MOVIMIENTO (M.R.U.) La posicin final de la partcula es igual a la adicin de la posicin inicial ms el desplazamiento.

0.

Fx x V t= +

El signo positivo o negativo representan la direccin de la cantidad vectorial. De otro modo, se reemplaza en la ecuacin en signo de cada cantidad fsica vectorial.

fx : Posicin final 0x : Posicin inicial V : Velocidad t: tiempo transcurrido

5. EQUIVALENCIA Un kilmetro equivale a mil metros. Una hora equivale a 3 600 segundos. Una hora equivale a 60 minutos. Un minuto equivale a 60 segundos. La rapidez 36 km/h equivale a 10 m/s.

6. SONIDO Y ECO El eco es un fenmeno acstico. El sonido en una onda mecnica. El sonido necesita para propagarse un medio diferente al vaco. En el aire se propaga con una rapidez promedio de 340 m/s. El eco se produce cuando el observador percibe el mismo sonido por segunda vez debido al rebote de la onda sonora en algn obstculo (montaa, cerro, pared, muro, etc.). La rapidez del sonido en el aire seco a 0 C es de unos 330 m/s. La presencia de vapor de agua en el aire incrementa ligeramente dicha rapidez. Un aumento de la temperatura del aire tambin aumenta la rapidez del sonido. La rapidez del sonido en aire aumenta en 0,6 m/s por cada grado centgrado. La rapidez del sonido en un material dado no depende de la densidad material, sino de su elasticidad. El acero en un material elstico. Los tomos de un material elstico estn relativamente juntos. El sonido se propaga unas quince veces ms a prisa en el acero que en el aire, y unas cuatro veces ms a prisa en agua que en el aire. La ecuacin muestra la variacin de la rapidez del sonido en el aire debido al cambio de la temperatura en grados Celsius.

(((( )))) (((( )))) 0330 0 6 0T mV , .T T Cs= + >= + >= + >= + >

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Un auto que tiene M.R.U., se mueve en direccin a una montaa con rapidez constante de 20 m/s, en cierto instante el chofer toca la bocina y escucha el eco luego de 4 segundos. Si la rapidez del sonido en el aire es 340 m/s, A qu distancia de la montaa se encontrar el auto cuando el chofer escucha el eco?

2. Un auto que tiene M.R.U., se mueve alejndose de una montaa con rapidez constante de 20 m/s, en cierto instante de la montaa el chofer toca la bocina y escucha el eco luego de 4 segundos. Si la rapidez del sonido en el aire es 340 m/s, A qu distancia de la montaa toc la bocina?

L

Para el problema 07

(1) (2)



3. Una persona ubicada entre dos montaas, en cierto instante emite un grito y percibe el primer eco a los 3,0 segundos y a los 3,6 segundos correspondientes a la otra montaa. Sabiendo que la rapidez del sonido en el aire es 340 m/s, determinar la distancia entre las montaas.

4. Dos relojes electrnicos estn separados 1 020 metros, cuando dan la hora, uno de ellos se adelanta 2,0 segundos. A qu distancia del reloj adelantado una persona oir a los dos relojes dar la hora al mismo instante?

5. Un hombre dispara una bala en direccin horizontal con rapidez 170 m/s, contra un blanco y escucha el impacto luego de 3 segundos. Si la rapidez del sonido en el aire es 340 m/s, A qu distancia del hombre se encuentra el blanco?

6. Dos personas A y B estn separadas una distancia X. En cierto instante la persona A dispara una bala horizontalmente con rapidez de 170 m/s, en direccin del blanco que se encuentra junto a la persona B. Sabiendo que B escucha el disparo y 3,0 segundos despus percibe el impacto con el blanco. Si la rapidez del sonido en el aire es 340 m/s, determine el valor de X en metros.

7. Se tiene dos velas (1) y (2) de tamaos iguales, los cuales tienen una duracin T1 = 4 horas y T2 = 3 horas emitiendo energa luminosa. Si las velas empiezan e emitir luz simultneamente, despus de cuanto tiempo en tamao de uno e de ellos es el doble que el otro?

8. Dos velas cuyas alturas H, en el momento inicial eran iguales, se encuentran a una distancia d una de otra, la distancia entre cada una de las velas y la pared mas prxima es tambin d. Con qu rapidez se mueven las sombras de las velas por las paredes, si una vela se consume durante un tiempo T1 y la otra durante T2?

M.R.U.V. (MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORMEMENTE VARIADO)

1. CONCEPTO. Es aquel movimiento donde el mvil describe una lnea recta y adems en intervalos de tiempo iguales los cambios de velocidad son iguales y las distancias recorridas son diferentes. Tiene aceleracin constante. Los cambios de velocidad son iguales en tiempos iguales. La trayectoria o camino de la partcula es una lnea recta. El mvil recorre distancias diferentes en tiempos iguales.

2. ACELERACIN LINEAL O TANGENCIAL. La aceleracin lineal mide la rapidez de cambio de la velocidad en mdulo. En el M.R.U.V. la aceleracin lineal es constante, es decir no cambia la direccin ni el mdulo de la aceleracin.

dtvd

a

=

d d d

H

Para el problema 08



La aceleracin es igual a la derivada de la velocidad respecto del tiempo.

2

2

dtrd

a

=

La aceleracin es igual a la segunda derivada de la posicin respecto del tiempo.

dtavd . =

= dtavv f .0

La velocidad final de la partcula, es igual a la velocidad inicial mas el producto de la aceleracin por el intervalo de tiempo:

+= dtavv f .0

Pero en el M.R.U.V la aceleracin es constante:

0fv v a dt= +

+=t

f dtavv0

0

tavv f .0 +=

Unidad de la aceleracin en el S.I.: m/s o m.s-2

Va

t

= . (1) 0FV Va

t

= . (2) 0 .FV V a t= + . (3)

3. VELOCIDAD MEDIA EN EL M.R.U.V. Dado que la velocidad vara linealmente, la velocidad media es igual a la semisuma de las velocidades inicial y final en cierto intervalo de tiempo. La velocidad media, es una velocidad constante en intervalo de tiempo t donde el mvil recorre una distancia d, cumplindose la siguiente ecuacin:

.md V t= . (4) 0( )

.

2FV Vd t+= . (5)

Reemplazando (3) en (5): 0 0 0( ) ( . )

. .

2 2+ + +

= =FV V V V a td t d t

Obtenemos: 210 2. .d V t a t= + (6)

De (2): 0 .FV V a t = (7) De (5): 02

FdV Vt

+ = . (8)

Multiplicado miembro a miembro (7) y (8): 2 20 2FV V ad = Despejando tenemos que:

0

2 2 2FV V ad= + . (9) De (3): 0 .FV V a t= (10)

V0

VF

t

0

t (s)

VELOCIDAD MEDIA

VMEDIA

V (m/s)



Reemplazando (10) en (5)

0( ) ( . ). .

2 2F F FV V V a t Vd t d t+ += =

Obtenemos: 212. .Fd V t a t=

4. SIGNOS DE LA ACELERACIN Si la velocidad aumenta en mdulo decimos que el movimiento es acelerado, en cambio si la velocidad disminuye en mdulo decimos que el movimiento es desacelerado.

0 .FV V a t= V0 : velocidad inicial VF : velocidad final (+) : Movimiento acelerado (-) : Movimiento desacelerado

En el movimiento acelerado la aceleracin y la velocidad tienen la misma direccin. En cambio si el movimiento es desacelerado la aceleracin tiene direccin opuesta (sentido opuesto) a la velocidad.

5. NMEROS DE GALILEO GALILEI. Analicemos el movimiento rectilneo uniformemente acelerado, cuando tiene velocidad inicial diferente de cero.

210 2. .d V t a t= +

Cuando aumenta la velocidad Cuando disminuye la velocidad Acelera

1) 210 2. .d V t a t= + 2) 212. .Fd V t a t= 3) 0 .FV V a t= + 4) 2 20 2 .FV V a d= +

5) 0( ) .2

FV Vd t+=

Desacelera

1) 210 2. .d V t a t= 2) 212. .Fd V t a t= + 3) 0 .FV V a t= 4) 2 20 2 .FV V a d=

5) 0( ) .2

FV Vd t+=

3K 5K

a

K

V0 = 0

t = 0 t = 2 s t = 1 s t = 3 s



Para. t = n 211 0 2. .d V n a n= + Para. t = n-1 212 0 2.( 1) .( 1)d V n a n= + Restando: 1 2nd d d= Obtenemos que: 10 2 .(2 1)nd V a n= +

CASO PARTICULAR Si la partcula inicia su movimiento desde el reposo, con M.R.U.V., entonces el mvil recorre en cada segundo distancias directamente proporcionales a nmeros los impares. Cuando 0 0V =

12 .(2 1) .(2 1)n nd a n d K n= = Donde el valor de K es la mitad del valor de la

aceleracin. 2aK =

6. DESPLAZAMIENTO EN EL ENSIMO SEGUNDO Analicemos el caso, cuando el cuerpo acelera. El ensimo segundo est comprendido entre los instantes t = n-1 y t = n. Entonces la distancia que recorre en el ensimo segundo se determina restando, las distancias que recorre el mvil en los primeros n segundos y en los (n-1) segundos.

210 2. .d V t a t= +

Para. t = n: 211 0 2. .d V n a n= + Para. t = n-1: 212 0 2.( 1) .( 1)d V n a n= + Restando: 1 2nd d d=

Obtenemos que: 10 2 .(2 1)nd V a n= +

CASOS PARTICULARES a) Cuando el cuerpo acelera desde el reposo ( )0 0V = , se cumple que: 12 .(2 1)nd a n= b) Cuando el cuerpo desacelera: 10 2 .(2 1)nd V a n= * Si dn es positivo el cuerpo se aleja del punto de lanzamiento. * Si dn es negativo el cuerpo se aleja del punto de lanzamiento en la direccin opuesta. * Si dn es cero el cuerpo regresa al punto inicial.

7. POSICIN DE LA PARTCULA EN EL EJE X Analizamos el movimiento de la partcula con aceleracin constante, sobre el eje X, respecto de un sistema de referencia. Cambio de posicin: 0Fd X X= (1) La posicin final: 0FX X d= + (2)

Para el M.R.U.V.: 210 2. .d V t a t= + (3) Reemplazando (3) en (2) tenemos:

210 0 2. .FX X V t a t= + +

0 1 20 0. . .

0! 1! 2!FX t V t a tX = + +

8. MOVIMIENTO RECTILNEO CON ACELERACIN VARIABLE



Si el mvil tiene movimiento con aceleracin que vara linealmente, entonces definimos una nueva medida del movimiento, denominada CELERIDAD (c), que mide la rapidez de cambio de aceleracin en mdulo.

0

0Fa aac

t t

= =

Despejando tenemos que, la aceleracin final es:

0 .Fa a c t= +

La velocidad final es: 2

0 0.

.

2Fc tV V a t= + +

La posicin final en el eje X es: 2 3

00 0

. .

.

2 6Fa t c tX X V t= + + +

0 1 2 30 0. . . .

0! 1! 2! 3!FX t V t a t c tX = + + +

En la grfica la razn tangente nos da el valor de la celeridad: 0= = Fa ac Tgt

Ahora podemos generalizar el movimiento rectilneo: 0 1 2 3

0 0. . . . ....

0! 1! 2! 3! !

n

FX t V t a t c t Z tX

n= + + + + +

Donde, Z es la ltima medida del movimiento de mdulo constante.

PROBLEMAS PROPUESTOS DE M.R.U.V

1. Un mvil que parte del reposo se mueve en lnea recta y desarrolla una velocidad cuya grafica es mostrada en la figura. Calcular el que instante t de tiempo el mvil vuelve al punto de partida.

t (s)

a (m/s2)

t

ACELERACIN vs. TIEMPO

a0

af

0

VX (m/s)

t (s) 0 5

12 15 18

10

- 4

Para el problema 2

0 6

8

10

V (m/s)

t(s)

Para el problema 01



2. Se muestra la variacin de la velocidad de un mvil. Determine el mdulo del desplazamiento en los 10 primeros segundos.

3. En el instante t = 0, dos partculas parten de un mismo punto y se mueven en lnea recta en la misma direccin y sentido. Una de ellas se mueve con velocidad constante y la otra con aceleracin constante. La figura muestra las graficas de ambas velocidades. La distancia d, en metros, que recorren y en tiempo empleado t en segundos que tardan hasta que vuelven a encontrarse, respectivamente son:

4. Un patrullero est estacionado al lado de una carretera rectilnea, frente a l pasa una mujer en un auto deportivo a 100 m/s. Despus de varios intentos de poner en marcha su motocicleta, el Oficial arranca 2 segundos despus con M.R.U.V con aceleracin de modulo 10 m/s2 y su rapidez mxima es 120 m/s. despus de cuntos segundos, desde que sale el oficial, alcanza al auto?

5. Se muestra la variacin de la velocidad de un mvil. Determine el modulo del desplazamiento en los 18 primeros segundos.

6. La grfica indica el comportamiento de la aceleracin de un auto que se mueve a lo largo del eje x, en funcin al tiempo. Si en t = 0 se encuentra en 20 (m) con una velocidad 3 (m/s) Cul ser la posicin (en m) del auto cuando t = 8 s?

7. Un automvil que parte del reposo se mueve con M.R.U.V. con aceleracin de mdulo constate de 1 m/s2, en direccin a una montaa. Al partir el chofer toca la bocina y cuando ha recorrido 32 metros escucha el eco. Determinar la distancia de separacin inicial entre el auto y la montaa. Rapidez del sonido en el aire 340 m/s.

Para el problema 05

t (s) 0 5

12 15 18

10

- 4

VX (m/s)

120

100

0 0

V (m/s)

t(s)

Para el problema 04

OFICIAL

AUTO

2

a (m/s2)

t (s)

3

-3

0 4

6 8

Para el problema 06

2

1

2

0 3 6

t(s)

V (m/s)

Para el problema 03



8. Con una velocidad de 10 i m/s el chofer de un automvil observa el semforo cuando cambia la luz de Verde a Rojo, reacciona despus de 0,2 segundo y aplica los frenos generando una desaceleracin de 20 i m/s2. Qu distancia recorri el auto hasta detenerse desde el momento que el chofer observo la luz roja?

9. Un automvil se mueve con velocidad de 30 i m/s, cuando cambia la luz de Verde a Roja de un semforo ubicado a 150 m de l. Si el tiempo de reaccin del conductor es 0,5 segundo y el auto desacelera con -5 i m/s2 tan pronto el conductor aplica los frenos. A qu distancia del semforo se detiene?

10. Un mvil que tiene M.R.U.V. se mueve en el eje X, pasa por el punto A con velocidad 40 i (m/s), pero 50 segundos despus su velocidad es 60 i (m/s). Sabiendo que el mvil parte del reposo en el punto P, qu distancia recorre desde el punto de partida hasta el punto A?

11. Un cuerpo parte del reposo con M.R.U.V., si al transcurrir t segundos posee una rapidez V y luego de recorrer 15 m en 3 s su rapidez es 4V. Determinar t.

12. Un mvil parte del reposo con M.R.U.V, y avanza 54 m en los 6 primeros segundos. Cuntos metros avanza en los 4 segundos siguientes?

13. Un auto parte del reposo desde el punto P con M.R.U.V. y recorre entre los puntos A y B de su trayectoria la distancia de 1 km durante 10 segundos, si al pasar por el punto B su rapidez es el triple de la que tuvo en el punto A. Determine la distancia que recorre entre el punto de partida y el punto A.

14. Un automvil que tiene M.R.U.V, se mueve en el eje X con aceleracin 2 i (m/s2), despus de 5 segundos de pasar por un punto P posee una velocidad 20 i (m/s). Qu velocidad tena el auto cuando le faltaban 9 m para llegar al punto P?

15. Un ciclista que tiene M.R.U.V. inicia su movimiento con velocidad 2 i (m/s), despus de 2 segundos recorre 12 m. Qu distancia recorre el ciclista en el tercer segundo?

16. Un mnibus se encuentra detenido y hacia el corre un pasajero con una rapidez constante de 4 m/s. En el instante que se encuentra a 8 m del mnibus, ste parte y se mueve con aceleracin constante cuyo valor es 2 m/s2. Determinar al cabo de qu tiempo la distancia de separacin entre el pasajero y el mnibus es mnima.



CADA LIBRE VERTICAL

1. CONCEPTO. Es aquel tipo de movimiento rectilneo uniformemente variado (M.R.U.V.) cuya trayectoria es una lnea recta vertical y que se debe a la presencia del campo de gravedad. La nica fuerza que acta sobre el cuerpo es su propio peso, ya que no considera la resistencia del aire. Este tipo de movimiento se obtiene, cuando un cuerpo es lanzado hacia arriba, hacia abajo, o simplemente es soltado. En las ecuaciones cinemticas no se considera la masa ni la fuerza resultante. La cinemtica en general estudia as propiedades geomtricas del movimiento.

2. CONSIDERACIONES DEL MOVIMIENTO DE CADA LIBRE * No se considera la resistencia del aire. * La altura mxima alcanzada es suficientemente pequea como parar despreciar la variacin de la aceleracin de la gravedad. * La velocidad mxima alcanzada por el cuerpo es suficientemente pequea para despreciar la resistencia del aire. * La altura alcanzada es suficientemente pequea para considerar un campo gravitatorio homogneo y uniforme.

* El valor o mdulo de la aceleracin de la gravedad es: 29,8 9,8m Ngs kg

= =

dtvdga

==

La aceleracin es igual a la derivada de la velocidad respecto del tiempo:

2

2

dtrd

a

=

La aceleracin es igual a la segunda derivada de la posicin respecto del tiempo:

dtgvd . =

La velocidad final de la partcula, es igual a la velocidad inicial mas el producto de la aceleracin por el intervalo de tiempo:

+= dtgvv f .0

Pero la aceleracin de la gravedad es constante:

+= dtgvv f

0

tgvv f .0 +=

La altura es el desplazamiento de la partcula en el eje Y o eje vertical y se define como el producto de la velocidad media por el intervalo de tiempo:

221

0 .. tgtvyy f ++=

221

0 .. tgtvyy f +=

221

.. tgtvh

+=

El desplazamiento vertical o altura se define como el producto de la velocidad media por el

tiempo transcurrido: tvv

h f .2

)( 0 +=



3. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE CADA LIBRE VERTICAL Analticamente el movimiento de cada libre es un caso es especial del M.R.U.V., donde la distancia se reemplaza por la altura y la aceleracin lineal por la aceleracin de la gravedad.

4. TIEMPO DE VUELO Consideremos un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba. Cuando el cuerpo alcanza la altura mxima su velocidad es nula. De la ecuacin:

0 .FV V g t= reemplazando los datos:

00 .V g T= Despejando:

0VTg

=

Tempo de subida: 0SUBIDAV

t Tg

= =

Tiempo de vuelo: 02. 2VUELO

Vt T

g= =

5. ALTURA MXIMA (H) Un cuerpo que es lanzado verticalmente hacia arriba alcanza su altura mxima cuando su velocidad final en el punto ms alto es igual a cero. Aplicando la ecuacin: 2 20 2 .FV V g h= Reemplazando los datos: 200 2 .V g H=

20

2VH

g=

6. CAMBIO DE LA ACELERACIN DE LA GRAVEDAD La intensidad de la gravedad no es el mismo para todos los lugares de la Tierra, depende de la altura sobre el nivel del Mar y de la latitud. El movimiento de cada libre plantea la misma aceleracin para todos los cuerpos cualquiera que sea su masa, a esta aceleracin se le llama aceleracin de la gravedad normal, cuyo valor es

45 de latitud es: 29,8 9,8m Ngs kg

= =

* En los polos: g = 9,83 m/s (Mxima) * En el Ecuador: g = 9,78 m/s (Mnima)

7. CAMPO GRAVITACIONAL No slo la Tierra atrae a los cuerpos, tambin el Sol, la Luna y todo astro. Se entiende por gravedad a la regin de espacio que rodea a un astro gracias al cual atrae a los cuerpos. Todos los planetas (Tierra) y satlites (Luna) generan a su alrededor un campo de gravedad.

====Tierra

Lunag

g6

8. INTENSIDAD DEL CAMPO GRAVITATORIO La aceleracin de la gravedad g depende de la masa y el radio terrestre. Es decir la

VF = 0

TIEMPO DE VUELO Y ALTURA MXIMA

g

V0

T

H



aceleracin de la gravedad depende de la forma que tiene el cuerpo creador del campo gravitatorio.

Donde: T2T

Mg G

R====

G: Constante de gravitacin universal. G = 6,67.10-11 N.m2.kg-2 MT = masa de la tierra = 5,9.1024 kg RT = radio de la tierra = 6 400 km

9. NMEROS DE GALILEO Si abandonamos un cuerpo de cierta altura, entonces la altura que recorre en cada segundo es directamente proporcional a los nmeros impares.

Primer segundo 1K = 5 m

Segundo segundo 3K = 15 m Tercer segundo 5K = 25 m Cuarto segundo 7K = 35 m Quinto segundo 9K = 45 m Sexto segundo 11K = 55 m Stimo segundo 13K = 65 m Octavo segundo 15K =75 m

210 2. .h V t g t= +

Para. t = n 21

1 0 2. .h V n g n= +

Para. t = n-1 21

2 0 2.( 1) .( 1)h V n g n= + Restando:

1 2nh h h= Obtenemos que:

10 2 .(2 1)nh V g n= +

CASO PARTICULAR Cuando 0 0V =

12 .(2 1)nh g n= .(2 1)nh K n=

Donde el valor de K es la mitad del valor de la aceleracin.

2gK = = 5

Considerando: g = 10 m/s2. En el primer segundo recorre 5 metros.

3K

5K

K V0 = 0 t = 0 s

t = 1 s

t = 2 s

t = 3 s

g



En el segundo segundo recorre 15 metros. En el tercer segundo recorre 25 metros. En el cuarto segundo recorre 35 metros. En el quito segundo recorre 45 metros. En el ensimo segundo recorre 5(2n-1) metros.

10. CUANDO EL CUERPO ASCIENDE (DESACELERA) Analicemos el movimiento de subida respecto de un sistema de referencia. Ecuaciones: 1) 210 2. .h V t g t= 2) 212. .Fh V t g t= + 3) 0 .FV V g t= 4) 2 20 2 .FV V g h= 5) 0

( ).

2FV Vh t+= 6) 10 2 .(2 1)nh V g n=

11. CUANDO EL CUERPO DESCIENDE (ACELERA) Analicemos el movimiento de bajada respecto de un sistema de referencia. Ecuaciones: 1) 210 2. .h V t g t= + 2) 212. .Fh V t g t= 3)

0 .FV V g t= +

4) 2 20 2 .FV V g h= + 5) 0( )

.

2FV Vh t+= 6)

10 2 .(2 1)nh V g n= +

12. LA ALTURA ES DESPLAZAMIENTO VERTICAL Si lanzamos un cuerpo verticalmente hacia arriba respecto de un sistema de referencia. Ahora analizamos el movimiento de cuerpo en cada libre en forma vectorial, es decir considerando los signos. Entonces la altura tendr signos positivo o negativo: (1) Si la altura tiene signo positivo significa que el cuerpo se encuentra sobre el nivel de referencia, subiendo o bajando. (2) Si la altura tiene signo negativo significa que el cuerpo se encuentra debajo de la lnea de referencia descendiendo. (3) Si la altura es cero significa que el cuerpo ha regresado o est pasando en ese instante por el nivel de referencia (N.R.).

13. DISTANCIA QUE RECORRE EN EL ENSIMO SEGUNDO Analicemos el caso, cuando el cuerpo es lanzado verticalmente hacia abajo. El ensimo segundo est comprendido entre los instantes t = n-1 y t = n. Entonces la distancia que recorre en el ensimo segundo se determina restando las distancias que recorre el mvil en los primeros n segundos y en los (n-1) segundos.

210 2. .= +h V t g t

Para. t = n 211 0 2. .h V n g n= +

C

A

+h1

-h3

N.R. B

g

DESPLAZAMIENTO VERTICAL

h2 = 0



Para. t = n-1 212 0 2.( 1) .( 1)h V n g n= +

Restando: 1 2nh h h=

Obtenemos que: 10 2 .(2 1)nh V g n= +

CASOS PARTICULARES

a) Cuando el cuerpo es abandonado, soltado o dejado caer ( )0 0V = , se cumple que:

12 .(2 1)nh g n=

b) Cuando el cuerpo es lanzado verticalmente hacia ARRIBA, el cuerpo inicia su movimiento en contra del campo de gravedad, es decir desacelera.

10 2 .(2 1)nh V g n=

* Si hn es positivo el cuerpo se desplaza verticalmente hacia arriba.

* Si hn es negativo el cuerpo se desplaza verticalmente hacia abajo.

* Si hn es cero el cuerpo regresa al punto inicial.

PROBLEMAS PROPUESTOS DE CADA LIBRE

1. Un cuerpo es lanzado con velocidad 60 j (m/s). A qu distancia del nivel de lanzamiento se encuentra el cuerpo despus de 4 segundos?. (g = 10 m/s2)

2. De lo alto de una Torre, un cuerpo es lanzado con velocidad 20 j (m/s). A qu distancia del nivel de lanzamiento se encuentra el cuerpo despus de 8 segundos?. (g = 10 m/s2)

3. Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba desde la azotea de un edificio, si luego de 6 s su rapidez se duplica, determinar la velocidad de lanzamiento. (g = 10 m/s2)

4. Un globo aerosttico sube con velocidad 10 j (m/s) y cuando se encuentra a una altura de 75 m respecto del suelo desde el globo se deja caer una piedra. Qu tiempo demora la piedra en llegar

t = n

t = n-1

t = 0

h1

h2

hn

V0

g



al suelo? (g = 10 m/s2)

5.Un cuerpo se suelta desde 80 m de altura respecto del piso. Qu velocidad tendr 35 m antes de impactar con el piso?. (g = 10 m/s2)

6. Desde el piso se lanza verticalmente hacia arriba un proyectil y cuando le falta 2 segundos para alcanzar la altura mxima se encuentra a 60 m del piso. Cul fue la velocidad de lanzamiento?. (g = 10 m/s2)

7. Un globo aerosttico sube con velocidad constante V j (m/s), si el piloto suelta una piedra, qu separacin existir entre el globo y la piedra luego de 3 segundos?. (g = 10 m/s2)

8. Un globo se encuentra subiendo con velocidad de 5 j (m/s) y en el instante que se encuentra a 360 m del piso, desde el globo se deja caer una piedra. Qu tiempo tarda la piedra en llegar a la superficie terrestre?. (g = 10 m/s2)

9. Coquito suelta un objeto y observa que durante el penltimo segundo de su movimiento recorri 25 m. Con qu velocidad impacto en el piso?. (g = 10 m/s2)

10. Desde una altura de 20 m respecto de la superficie de un lago, se suelta una esfera pequea, el cual tarda 2,8 s en llegar hasta el fondo. Si cuando ingresa al agua mantiene su velocidad constante, determinar la profundidad del lago. (g = 10 m/s2)

11. Desde 5 m de altura sobre el nivel de un lago, se suelta una esfera pequea. Hasta qu profundidad mxima llegar la esfera?, si la desaceleracin que experimenta dentro del agua es

j8 (m/s2). (g = 10 m/s2)

12. Una partcula es lanzada hacia arriba con rapidez V0. Determinar la altura mxima que alcanza dicha partcula (m) si despus de 2 segundos retorna a su posicin inicial. (g = 10 m/s2)

13. Desde la azotea de un edificio de 20 m de altura, una pelota A es lanzada verticalmente hacia arriba con rapidez de 15 m/s. Al mismo instante se lanza una pelota B verticalmente hacia abajo con igual rapidez. Cul es el intervalo de tiempo entre las llegadas de las pelotas al nivel del piso? (g = 10 m/s2)

14. Una persona se encuentra en un globo aerosttico en reposo, desde una altura H suelta una piedra y despus de 8,75 segundos escucha el impacto con el piso, Despreciando la resistencia del aire y considerando la rapidez del sonido en el aire 300 m/s, determinar la rapidez de la piedra (en m/s) en el instante de chocar con el piso. (g = 10 m/s2)

15. Un cuerpo de lanza desde la superficie terrestre verticalmente hacia arriba con rapidez 40 m/s. Un segundo despus se lanza otro, desde el mismo punto de manera que cuando de crucen ambos tienen la misma rapidez. Determina la altura mxima (en m) que alcanza el segundo cuerpo. (g = 10 m/s2)

16. Un globo aerosttico se encuentra a 50 m del suelo subiendo en forma vertical con una rapidez constante de 5 m/s. Una piedra en lanzada desde el globo hacia arriba con rapidez de 10 m/s con respecto del globo. Determine la velocidad de la piedra instante antes de chocar con el suelo.



17. Un automvil se mueve con velocidad constante iv 20= (m/s). Con que velocidad se debe lanzar una piedra desde el automvil, para que despus de recorrer 80 m la piedra regrese al punto de lanzamiento?

18. Se lanzan simultneamente dos partculas P y Q desde la superficie de la tierra, con velocidades iniciales de ( )196 .Pv j m s= y ( )132 .Qv j m s= Despus de que tiempo de haber sido lanzados la velocidad del punto medio del segmento imaginario que los unes es nula?

19. Una esfera pequea se abandona en el extremo A del tubo AB. El radio de la circunferencia es R = 10 m. Si no hay rozamiento, determine el intervalo de tiempo que invierte en recorre el tramo AB. (g = 10 m/s2)

R

R

g

A

B

MOVIMIENTO ARMNICO SIMPLE (M.A.S.)

Podemos observar en la figura que la partcula realiza un movimiento circunferencial uniforme y la proyeccin de sta realiza sobre el dimetro horizontal hace un movimiento oscilatorio armnico. Analicemos el movimiento armnico simple de una partcula que se mueve sobre una lnea recta horizontal. Cuando la partcula inicia su movimiento en uno de los extremos, la distancia x respecto del origen de coordenadas vara segn la ley:

( ). .x A Cos k t= donde A es la amplitud y k es la frecuencia angular o la rapidez angular.

2 2 .k ft T pi

pi= = = =

Cuando nos referimos a la velocidad angular , estamos relacionando con el movimiento circunferencial uniforme. En cambio cuando nos referimos a la frecuencia f estamos relacionndolo con el movimiento oscilatorio. El mximo alejamiento del origen de coordenadas se denomina amplitud de oscilacin cuyo valor es x A= . El movimiento oscilatorio es peridico; en cada intervalo de tiempo t T= , la partcula completa una vuelta: .k t = entonces . 2k T pi= y 2T

kpi

=

CLCULO DE LA VELOCIDAD SOBRE EL EJE HORIZONTAL La velocidad del punto material sobre el eje X se obtiene derivando la posicin x respecto del tiempo:

A

x

A



. . ( . )x

d xv v A k Sen k t

d t= = =

La mxima velocidad se consigue cuando ( . ) 1Sen k t = es decir cuando pasa por el origen de coordenadas ( )0x = , entonces .maxv A k=

CLCULO DE LA ACELERACIN SOBRE EL EJE HORIZONTAL La aceleracin del punto material se obtiene derivando la velocidad v respecto del tiempo:

2. . os( . )

x

d va a A k C k t

d t= = =

La mxima aceleracin se consigue cuando ( . ) 1Cos k t = es decir cuando se encuentra en los extremos ( )x A= , entonces 2.maxa A k=

Relacin entre el M.C.U y el M.A.S. Si una partcula realiza un movimiento circunferencial uniforme sobre un plano vertical, sus proyecciones sobre el dimetro realizan un M.A.S. a) Proyeccin sobre el dimetro horizontal: ( ) . ( )=x t A Cos t b) Proyeccin sobre el dimetro vertical: ( ) . ( )=x t A Sen t

PROBLEMAS PROPUESTOS DE MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

1. Un cuerpo est vibrando con movimiento armnico simple ( ). .x A Sen t = + de amplitud 8 cm y frecuencia es 2 ciclos por segundo. Determinar los valores mximos de la velocidad y la aceleracin.

2. La ecuacin del movimiento de un objeto pequeo es: 2. 0,5. 4x Cos t ipi = +

Determine el

valor mximo de la velocidad y de la aceleracin.

3. Un bloque asociado a un resorte tiene la siguiente ley de

movimiento:

+=

88.

.20)( pipi tSentX donde t se mide en segundos y X se mide en

centmetros. Determine: a) La velocidad en cualquier instante. b) La velocidad en el instante st 8= c) En qu instante la velocidad es nula? d) la aceleracin en cualquier instante. e) La aceleracin en el instante st 8= f) En qu instante la posicin es 10 cm por primera vez? g) En qu instante la posicin es -10 cm por primera vez? h) La posicin inicial ( )st 0= i) El periodo de oscilacin.



j) el valor mximo de la velocidad. k) el valor mximo de la aceleracin. i) la frecuencia de oscilacin.


movimiento:

+=

55.

.80)( pipi tSentX donde t se mide en segundos y X se mide en

centmetros. Determine: a) La velocidad en cualquier instante. b) La velocidad en el instante st 5= c) En qu instante la velocidad es nula? d) la aceleracin en cualquier instante. e) La aceleracin en el instante st 10= f) En qu instante la posicin es 40 cm por primera vez? g) En qu instante la posicin es -40 cm por primera vez? h) La posicin inicial ( )st 0= i) El periodo de oscilacin. j) el valor mximo de la velocidad. k) el valor mximo de la aceleracin. i) la frecuencia de oscilacin.


movimiento:

+=

22.

.10)( pipi tCostX donde t se mide en segundos y X se mide en

centmetros. Determine: a) La velocidad en cualquier instante. b) La velocidad en el instante st 1= c) En qu instante la velocidad es nula? d) la aceleracin en cualquier instante. e) La aceleracin en el instante st 1= f) En qu instante la posicin es 5 cm por primera vez? g) En qu instante la posicin es -5 cm por primera vez? h) La posicin inicial ( )st 0= i) El periodo de oscilacin. j) el valor mximo de la velocidad. k) el valor mximo de la aceleracin. i) la frecuencia de oscilacin.


movimiento:

+=

3..10)( pipi tSentX donde t se mide en segundos y X se mide en

centmetros. Determine:



a) La velocidad en cualquier instante. b) La velocidad en el instante st 2= c) En qu instante la velocidad es nula? d) la aceleracin en cualquier instante. e) La aceleracin en el instante st 2= f) En qu instante la posicin es 5 cm por primera vez? g) En qu instante la posicin es -5 cm por primera vez? h) La posicin inicial ( )st 0= i) El periodo de oscilacin. j) el valor mximo de la velocidad. k) el valor mximo de la aceleracin. i) la frecuencia de oscilacin.

7. Un bloque asociado a un resorte tiene la siguiente ley de movimiento:

+=

42.

.20)( pipi tSentX donde t se mide en segundos y X se mide en centmetros.

Determine: a) La velocidad en cualquier instante. b) La velocidad en el instante st 3= c) En qu instante la velocidad es nula? d) la aceleracin en cualquier instante. e) La aceleracin en el instante st 3= f) En qu instante la posicin es 10 cm por primera vez? g) En qu instante la posicin es -10 cm por primera vez? h) La posicin inicial ( )st 0= i) El periodo de oscilacin. j) el valor mximo de la velocidad. i) la frecuencia de oscilacin. k) el valor mximo de la aceleracin.


+=

42.3

.30)( pipi tCostX donde t se mide en segundos y X se mide en centmetros.

Determine: a) La velocidad en cualquier instante. b) La velocidad en el instante st 3= c) En qu instante la velocidad es nula? d) la aceleracin en cualquier instante. e) La aceleracin en el instante st 3= f) En qu instante la posicin es 15 cm por primera vez? g) En qu instante la posicin es -40 cm por primera vez? h) La posicin inicial ( )st 0=



i) El periodo de oscilacin. j) el valor mximo de la velocidad. k) el valor mximo de la aceleracin. i) la frecuencia de oscilacin.


+=

33.2


Determine: a) La velocidad en cualquier instante. b) La velocidad en el instante st 1= c) En qu instante la velocidad es nula? d) la aceleracin en cualquier instante. e) La aceleracin en el instante st 1= f) En qu instante la posicin es 25 cm por primera vez? g) En qu instante la posicin es -25 cm por primera vez? h) La posicin inicial ( )st 0= i) El periodo de oscilacin. j) el valor mximo de la velocidad. k) el valor mximo de la aceleracin. i) la frecuencia de oscilacin.

10. Un bloque asociado a un resorte tiene la siguiente ley de movimiento: ).3(.60)( tSentX pi= donde t se mide en segundos y X se mide en centmetros. Determine: a) La velocidad en cualquier instante. b) La velocidad en el instante st 2= c) En qu instante la velocidad es nula? d) la aceleracin en cualquier instante. e) La aceleracin en el instante st 2= f) En qu instante la posicin es 30 cm por primera vez? g) En qu instante la posicin es -30 cm por primera vez? h) La posicin inicial ( )st 0= i) El periodo de oscilacin. j) el valor mximo de la velocidad. k) el valor mximo de la aceleracin. i) la frecuencia de oscilacin.


= tSentX .

25

.20)( pi donde t se mide en segundos y X se mide en centmetros.

Determine: a) La velocidad en cualquier instante.



b) La velocidad en el instante st 3= c) En qu instante la velocidad es nula? d) la aceleracin en cualquier instante. e) La aceleracin en el instante st 3= f) En qu instante la posicin es 10 cm por primera vez? g) En qu instante la posicin es -15 cm por primera vez? h) La posicin inicial ( )st 0= i) El periodo de oscilacin. j) el valor mximo de la velocidad. k) el valor mximo de la aceleracin. i) la frecuencia de oscilacin.


+=

4.

43


Determine: a) La velocidad en cualquier instante. b) La velocidad en el instante st 3= c) En qu instante la velocidad es nula? d) la aceleracin en cualquier instante. e) La aceleracin en el instante st 3= f) En qu instante la posicin es 15 cm por primera vez?

g) En qu instante la posicin es -5 cm por primera vez? h) La posicin inicial ( )st 0= i) El periodo de oscilacin. j) el valor mximo de la velocidad. k) el valor mximo de la aceleracin. i) la frecuencia de oscilacin.


=

4.

43

.30)( pipi tSentX donde t se mide en segundos y X se mide en centmetros.

Determine: a) La velocidad en cualquier instante. b) La velocidad en el instante st 4= c) En qu instante la velocidad es nula? d) la aceleracin en cualquier instante. e) La ac

semana 03 cinematica i en una dimension 2009 b

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