Investigación de Operaciones I

Formulación

Ejercicio 01

Una empresa fabrica 5 tipos de productos utilizando fundamentalmente 2 tipos de recursos (3 tornos y 2 fresas). Tras deducir el coste de la materia prima cada producto aporta el beneficio expresado en la tabla. En la misma tabla se representa los tiempos de operación necesarios para hacer cada producto en cada máquina.

La semana tiene 6 días de 16 horas.Al acabar el proceso de fabricación es necesario proceder al montaje final de cada producto que exige 20 horas de operario. La empresa dispone de 8 operarios trabajando en los dos turnos

Prod 1 Prod 2 Prod 3 Prod 4 Prod 5

Torno 12 20 0 25 15

Fresa 10 8 16 0 0

Beneficio 550 600 350 400 200

Formulación del Problema• Variables de Decisión:

X1 : Producto tipo 1

X2 : Producto tipo 2

X3 : Producto tipo 3

X4 : Producto tipo 4

X5 : Producto tipo 5

• Función Objetivo:Obtener el mayor beneficio de la fabricación de los productos.Maximizar Z = 550 X1 + 600 X2 + 350 X3 + 400 X4 + 200 X5

Formulación

• Restricciones:12 X1+ 20 X2 + + 25 X4+ 15 X5 ≤ 288

10 X1+ 8 X2 + 16 X3 ≤ 192

20 X1+ 20 X2 + 20X3+ 20X4+ 20X5 ≤ 384

Xi ≥ 0 ---- No negatividad

Ejercicio 02

Un herrero dispone de 80 kg. de acero y 120 kg. de aluminio quiere hacer bicicletas de paseo y de montaña que quiere vender, respectivamente a 120 euros y 90 euros para sacar el máximo beneficio. Para la de paseo empleará 1 kg. De acero y 3 de aluminio, y para la de montaña 2 kg. De los dos metales. Formular el problema

Formulación del Problema• Variables de Decisión:

X1 : Producto tipo 1

X2 : Producto tipo 2

• Función Objetivo:Obtener el mayor beneficio de la fabricación de los productos.Maximizar Z = 120 X1 + 90 X2

Formulación

• Restricciones:3 X1+ 2 X2 ≤ 120 --- Kilogramos de aluminio

X1+ 2 X2 ≤ 80 --- Kilogramos de acero

Xi ≥ 0 ---- No negatividad

Ejercicio 03

La compañía Bluegrass Farm., Lexington, Kentucky, está experimentando una ración especial para caballos de carreras. Los componentes disponibles para la ración son un peso común para caballos, un producto de avena enriquecido con vitaminas y minerales. Los valores nutritivos por unidad de libra y los costes para los tres componentes alimenticios son los siguientes:

Supóngase que el entrenador de los caballos fija los requerimientos diarios de la ración en 3 unidades del ingrediente A, en 6 unidades del ingrediente B y en 4 unidades del ingrediente C. para efectos de control de peso, el entrenador no desea que el alimento total diario de un caballo exceda las 6 libras. Plantear el problema para determinar cuál es la mezcla optima diaria de los tres componentes alimenticios.

Pienso Avena AditivoIngrediente A 0.8 0.2 0Ingrediente B 1.0 1.5 3.0Ingrediente C 0.1 0.6 2.0Precio por Libra 25 50 300

Formulación del Problema• Variables de Decisión:

X1 : Libras de pienso

X2 : Libras de avena

X3 : Libras de aditivo

• Función Objetivo:Obtener el menor costo del consumo de los ingredientes.Minimizar Z = 25 X1 + 50 X2 + 300 X3

Formulación

• Restricciones:0.8 X1+ 0.2 X2 = 3 --- Ingred. A

X1+ 1.5 X2 + 3 X3 = 6 --- Ingred. B

0.1 X1+ 0.6 X2 + 2 X3 = 4 --- Ingred. C

X1+ X2 + X3 ≤ 6 --- Control de peso

Xi ≥ 0 ---- No negatividad

Ejercicio 04

Supóngase que por un momento es dueño de una planta que produce únicamente dos tipos de cerveza: clara y obscura. Existen tecnologías bastante diferentes para la elaboración de cada uno de los tipos de cerveza, obviamente cada tecnología a un costo diferente.El precio al mayoreo de 1 000 litros de cerveza clara es de 5 000 mientras que el precio al mayoreo de 1 000 litros de cerveza obscura es de $ 3 000

Un estudio de tiempos y movimientos ha demostrado que para producir 1 000 litros de cerveza clara se requiere un total de 3 obreros en el proceso de producción. En cambio se requieren 5 obreros para producir 1 000 litros de cerveza obscura. Se supone que la planta tiene un total de 15 obreros. Se supone que producir 1000 litros de cerveza clara le cuestan al dueño de la planta $ 500, mientras que 1 000 litros de cerveza obscura le cuestan solamente $200. Su capital no le permite gastar más de $ 1 000 semanales en la producción

Formulación del Problema• Variables de Decisión:

X1 : Miles de Litros de cerveza clara / semana

X2 : Miles de Litros de cerveza oscura / semana

• Función Objetivo:Obtener el mayor beneficio de la fabricación de los productos.Maximizar Z = 5000 X1 + 3000 X2

Formulación

• Restricciones: 3 X1+ 5 X2 ≤ 15 --- Cantidad de obreros

500 X1+ 200 X2 ≤ 1000 --- Capital semanalXi ≥ 0 ---- No negatividad

Ejercicio 05Juan acaba de entrar a la universidad, y se da cuenta que si sólo estudia y no juega, su personalidad será gris. Desea repartir su tiempo disponible, aproximadamente de 10 horas por día, entre juego y estudio. Estima que el juego es doblemente divertido que el estudio. También desea estudiar cuando menos un tiempo igual al que pasa jugando. Sin embargo, se da cuenta que si debe hacer todas sus tareas escolares, no puede jugar más de 4 horas diarias. ¿Cómo debe repartir Juan su tiempo, para maximizar su placer de estudiar y jugar?

Formulación del Problema• Variables de Decisión:

X1 : Horas dedicadas a jugar

X2 : Horas dedicadas a estudiar

• Función Objetivo:Obtener el máximo placer de estudiar y jugar.Maximizar Z = 2 X1 + X2

Formulación

• Restricciones:X1 + X2 ≤ 10 --- Horas por día

X1 ≤ X2

X1 ≤ 4 --- Máximo de horas de juego

Xi ≥ 0 ---- No negatividad

Ejercicio 06

Una familia dispone de una explotación agraria de 100 Ha de terreno cultivable y dispone de $4 000 000. Para invertir. Los miembros de la familia pueden producir un total de 3500 Horas-hombre de mano de obra durante los meses de invierno y de 4000 horas hombre durante el resto del tiempo, el verano. Si no fuesen necesarias en la explotación familiar una parte de esas horas hombre se emplearan para trabajar en un campo vecino a razón de $ 500 la hora en invierno y de $ 600 en verano.

En la explotación se pueden obtener ingresos produciendo tres tipos de cosecha Soja, Maíz y Avena y cuidando las vacas lecheras y gallinas ponedoras. Para las cosechas no se necesitan inversión (se autoabastecen), pero cada vaca exige un desembolso de $ 1200; y cada gallina les cuesta $800. Para el pasto de las vacas se necesitan 1,5 Ha por cada vaca, 70 horas-hombre durante el invierno y 50 Horas-hombre durante el verano. Cada vaca produce un ingreso neto de $100.000. Las gallinas se pueden pasear por cualquier lugar, no necesitando pues de un terreno propio, pero hay que dedicar 0,6 horas-hombre en invierno y 0,3 horas-hombre en verano para cada gallina, de cada una de ellas se obtiene un beneficio de $ 700.

Por la noche hay que recoger las gallinas y las vacas, para ello se disponen de un gallinero de 300 plazas y de un establo para treinta y dos vacas, si hubiera más morirían asfixiadas. La cosecha de Soja requiere 20 Horas-hombre de trabajo por Ha, en invierno y 50 en verano; la de maíz requiere 35 horas-hombre de trabajo por Ha en invierno y 75 en verano y la de avena requiere 10 horas-hombre de trabajo por Has en invierno y 40 en verano. El rendimiento neto que se obtiene, por cada Ha de la cosecha de Soja es de $51000, por cada Ha de la cosecha de maíz es de $ 79000, y por cada Ha de la cosecha de avena es de $ 32000. Como es lógico la familia quiere maximizar sus ingresos. Plantea el problema de programación lineal que corresponda.

Formulación del Problema• Variables de Decisión:

X1 : Hectáreas a cultivar de Soja

X2 : Hectáreas a cultivar de Maíz

X3 : Hectáreas a cultivar de Avena

X4 : Cantidad de vacas

X5 : Cantidad de gallinas

X6 : Horas trabajadas en invierno

X7 : Horas trabajadas en verano

• Función Objetivo:Obtener el mejor rendimiento.Maximizar Z = 51 000 X1 + 79 000X2 + 32 000X3 + 100 000X4 + 700 X5 + 500 X6

+ 600 X7

Formulación

• Restricciones:

X1 + X2 + X3 + 1.5 X4 ≤ 100

1200 X4 + 800 X5 ≤ 4 000 000

20 X1 + 35 X2 + 10 X3 + 70 X4 +0.6 X5 + X6 = 3500

50 X1 + 75 X2 + 40 X3 + 50 X4 + 0.3 X5 + X7 = 4000

X4 ≤ 32

X5 ≤ 300Xi ≥ 0 ---- No negatividad