seminario - aseguramiento de la calidad en el laboratorio analítico - parte 1
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Seminario - Aseguramiento de La Calidad en El Laboratorio Analítico - Parte 1TRANSCRIPT
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Montevideo. Abril de 2015. Lic. Sergio G. Chesniuk
Seminario
Aseguramiento de la Calidad en el
Laboratorio Analtico
29 de abril de 2015.
Docente: Lic. Sergio Gustavo Chesniuk
Email: [email protected]
Telfono: +54 351 4710602
Mvil: +549 351 5915918
Skype: sergio.chesniuk
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Objetivos
Comprender los conceptos estadsticos involucrados con la exactitud de los resultados
de los mtodos de ensayo para poder aplicarlos a la construccin e interpretacin de
sistemas de control de calidad interno y externos. Aprender a desarrollar distintos sistemas para controlar la calidad de los
resultados de los ensayos tanto de manera interna como externa.
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Temario
Las herramientas cualimtricas bsicas.
Control interno de la calidad
Control externo de la calidad
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Enlace para descargas
http://1drv.ms/1QkdKjo(deben respetarse maysculas y minsculas)
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Primera Parte
Las herramientas cualimtricas
bsicas
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Las herramientas cualimtricas.
Por qu mediciones repetidas o replicadas?
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Las herramientas cualimtricas. Media y Varianza.
Parmetros estadsticos usados en el tratamiento de datos analticos
Estimador del valor central
Media aritmtica
Estimador de la dispersin
Varianza
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Las herramientas cualimtricas. Media y Varianza.
Qu mide y que nos indica la
varianza?
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Las herramientas cualimtricas. Distribucin Normal.
nMedia
aritmticaDesviacin estndar
Poblacin (n > 30) m s
Muestra (n < 30) sx
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Las herramientas cualimtricas. Distribucin Normal.
Resultados de 50 determinaciones de concentracin de
NO3- en mg/mL
0.51 0.51 0.51 0.50 0.51 0.49 0.52 0.53 0.50 0.47
0.51 0.52 0.53 0.48 0.49 0.50 0.52 0.49 0.49 0.50
0.49 0.48 0.46 0.49 0.49 0.48 0.49 0.49 0.51 0.47
0.51 0.51 0.51 0.48 0.50 0.47 0.50 0.51 0.49 0.48
0.51 0.50 0.50 0.53 0.52 0.52 0.50 0.50 0.51 0.51
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Las herramientas cualimtricas. Distribucin Normal.
Tabla de frecuencias para medidas de
concentracin de ion nitrato
[NO3- / mg/mL] Frecuencia
0.46 1
0.47 3
0.48 5
0.49 10
0.50 10
0.51 13
0.52 5
0.53 3
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Las herramientas cualimtricas. Distribucin Normal.
Herramientas para graficar mediciones repetitivas Histogramas
Curva de distribucin
normal
# clases = n
rea total = 1 (100%)
+
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Las herramientas cualimtricas. Distribucin Normal.
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La ecuacin de la curva normal
viene dada por la expresin
Los valores de x estn distribuidos
normalmente con promedio m y una
varianza s2
]2/)(exp[2
1)( 22 sm
s xxf
),( 2smNx
Las herramientas cualimtricas. Distribucin Normal.
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Funcin de densidad de probabilidad normal para distintos valores
de m y s2.
Las herramientas cualimtricas. Distribucin Normal.
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Las herramientas cualimtricas. Distribucin Normal.
La desviacin estndar, s, mide la distancia desde la media, m, hasta elpunto de inflexin de la curva.
Un 95% de los valores estn comprendidos en el intervalo m 1,9600s.
Un 99% de los valores estn comprendidos en el intervalo m 2,576s.
Un 99,7% de Ios valores estn comprendidos en el intervalo m 2,970s.
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Las herramientas cualimtricas. Distribucin Normal.
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Las herramientas cualimtricas. Distribucin Normal.
Estandarizacin de variables
Planillas declculo, tablas
s
mx
z
2exp
2
1)(
2zzf
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Las herramientas cualimtricas. Teorema del lmite central.
El teorema del lmite central proporciona el fundamento estadsticoque permite esperar dicha tendencia de los datos experimentales.
An cuando la poblacin original no est distribuidanormalmente, tiende a la distribucin normal cuando aumenta n(valores medios)
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Transformacin de escala
Logaritmo base 10
Transformacin de la escala
Mtodos de Ensayos Microbiolgicos
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Las herramientas cualimtricas. Teorema del lmite central.
Qu ocurre con la distribucin
de probabilidad normal si a
nuestros resultados de medicin
los representamos como
promedios (en lugar de
resultados individuales)?
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Las herramientas cualimtricas. Distribucin Normal.
Intervalos de confianza
Para una distribucin normal el 95 % de los datos cae dentro de los lmites z=-1,96 a z=1,96 (m 1,96s)
Los promedios de las muestras tambien se
distribuyen normalmente
Existe un 95 % de probabilidad de que (estimador de m) este
comprendido en ese rango X
n
sm 96.1
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Las herramientas cualimtricas. Distribucin Normal.
Para muestras grandes (n>30), los lmites de confianza de
la media vienen dados por :
nzsm
Donde z depende del nivel de confianza requerido
Para el 95%, z = 1.96
Para el 99%, z = 2.58
Para el 99.7%, z = 2.97
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Las herramientas cualimtricas. Distribucin t de Student.
Para muestras pequeas (n
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Las herramientas cualimtricas. Distribucin t de Student.
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Las herramientas cualimtricas. Resultados Discrepantes
Resultados Discrepantes (Outliers)
Resultados que no pertenecen a un conjunto
(muestra o poblacin)
Baja probabilidad de pertenecer a dicho
conjunto
o
Para identificarlos estadsticamente (y asegurar una distribucin normal) deben aplicarse tests
de aceptacin/rechazo
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Las herramientas cualimtricas. Hiptesis estadsticas.
No existen diferencias significativas entre nuestras
observaciones y una referencia o entre conjuntos de datos
Hiptesis Nula (H0) Hiptesis Alternativa (H1)
Si existen diferencias significativas entre nuestras
observaciones y una referencia o entre conjuntos de datos
Las diferencias entre nuestras observaciones y una referencia o entre conjuntos de datos son de naturaleza qumica (por ejemplo) o estadstica?
Sistemtica a seguir: Comprobacin de hiptesis
Validez
Tests Estadsticos
Una decisin no es estrictamente verdadera, sino que, NO puede demostrarse su falsedad
(probabilidades)
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Las herramientas cualimtricas. Hiptesis estadsticas.
Prueba T para una muestra Prueba T para dos muestras Prueba T de muestras apareadas Prueba F
Tests usuales
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Las herramientas cualimtricas. Hiptesis estadsticas.
Tipos de errores en el analisis inferencial de datos
Decisin Tomada
Aceptar H0 Rechazar H0
Resultado
verdadero
H0 verdadera
No existe
error
Tipo I (falso
positivo, )
H0 falsaTipo II (falso
negativo, b)
No existe
error
La implementacin de los procedimientos estadsticos tienen por
objetivo minimizar los errores y b
: b : b : b : n
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Las herramientas cualimtricas. Resultados Discrepantes
Test de Grubbs
s
XXG
i
max media
desviacin estndar
A 2 colas
A 1 cola
s
XX
s
XXG minmax ........
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Las herramientas cualimtricas. Resultados Discrepantes
G valor crtico (5%)
Valor crtico (1%) G > Valor crtico (5%)
G > Valor crtico (1%)
Se acepta el tem
Dudoso
Outlier
Test de Grubbs
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Las herramientas cualimtricas. Resultados Discrepantes.
Test de Grubbs
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Las herramientas cualimtricas. Resultados Discrepantes
2),2/(2
2),2/(2
2
)1(
NN
NN
tN
t
N
NG
Para una prueba a 2 colas, la hiptesis de no outliers debe
rechazarse si:
Los valores de G pueden hallarse en tablas
Test de Grubbs
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En el trabajo analtico suelen presentarse a menudo comparaciones en lasque intervienen ms de dos medias.
Ejemplos
Comparar la concentracin media de protena en una solucin para muestras almacenadas en condiciones diferentes
Comparar los resultados medios obtenidos de la concentracin de un mensurando utilizando diferentes mtodos
Comparar la media de los resultados en una valoracin obtenidos por diferentes operadores que usan los mismos aparatos
Determinar una varianza de muestreo
Las herramientas cualimtricas. ANOVA.
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ANOVA se utiliza para analizar medidas que dependen de varios tipos de efectos que actuan
simultneamente con el doble fin de decidir cuales de ellos son importantes y de poder estimarlos
(Scheff, 1953)
Compara medias de diversos conjuntos, a travs de sus varianzas
Las herramientas cualimtricas. ANOVA.
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Es posible separar la variacin debida al error aleatorio de cualquier otra variacin provocada al cambiar el factor de control. Podemos as evidenciar si una modificacin del factor de control generadiferencias significativas entre los valores medios obtenidos.
Posibles fuentes de variacin
Errores aleatorios Factor controlado
Para los ejemplos anteriores
Condiciones bajo las cuales se almacen la solucin
Mtodo de anlisis empleado
Operadores que realizaron la titulacin
Las herramientas cualimtricas. ANOVA.
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ANOVA puede emplearse en situaciones donde existe ms de unafuente de variacin aleatoria
Por ejemplo: Una situacin de muestreo
Las muestras se toman al azar
Las herramientas cualimtricas. ANOVA.
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Ambos tipos de anlisis estadsticos, en donde hay un factor,ya sea controlado o aleatorio, adems del error aleatorio de
las medidas, se conoce como ANOVA de un factor
Este tipo de analisis, con mayor grado de dificultad, tambien esaplicable a situaciones ms complejas en las que existen dos oms factores, posiblemente interactuando entre s
Las herramientas cualimtricas. ANOVA.
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Ejemplo:
Ejercicio interlaboratorio: Se comparan k laboratorios que determinan nj veces la concentracin de una determinada especie en una misma muestra con un mismo mtodo.
Quien patrocina el ejercicio intentar detectar si alguno de los laboratorios genera resultados estadsticamente diferentes al resto
Hiptesis a cumplirse
Los conjuntos de datos son independientes entre si
La distribucin de los datos obtenidos para cada conjunto es normal
Las varianzas de cada conjunto de datos no difieren significativamente
Las herramientas cualimtricas. ANOVA.
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OpsResultados
Media
aritmtica
1 X11 X12 X13 X1i X1
2 X21 X22 X23 X2iX2n X2
3 X31 X32 X33 X3iX3n X3
j Xj1 Xj2 Xj3XjiXjn Xj
k Xk1 Xk2 Xk3XkiXkn Xk
Las herramientas cualimtricas. ANOVA.
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Medida de dispersin
dentro de los laboratorios
Medida de dispersin entre los
laboratorios
i
ii
k
iy
ii j
y xxnxxxx222
TSS RSS labSS
)(
)1(
kNSS
kSSF
R
labcal
Las herramientas cualimtricas. ANOVA.
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Si Fcal > Ftab
Al menos uno de los laboratorios genera
valores diferentes del resto
Las herramientas cualimtricas. ANOVA.
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ANOVA no nos indica cuantos laboratorios difieren entre si ni cuales son
ANOVA evidencia o no la existencia de diferencias significativas entre laboratorios
Pero ...
Las herramientas cualimtricas. ANOVA.
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Ejemplo:Se analizan los resultados obtenidos en una investigacin acerca de laestabilidad de un reactivo fluorescente en diferentes condiciones de almacenamiento. Los valores dados son las respuestas de fluorescencia(en unidades arbitrarias) de soluciones diluidas de la misma concentracin. Se tomaron tres medidas sobre cada muestra.
Condiciones Medidas repetidas Media
A recientemente preparada 102, 100, 101 101
B una hora en la oscuridad 101, 101, 104 102
C una hora con luz tenue 97, 95,99 97
D una hora con luz brillante 90, 92, 94 92
Media global 98
Las herramientas cualimtricas. ANOVA.
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Minitab
Las herramientas cualimtricas. ANOVA.
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Las herramientas cualimtricas. ANOVA.
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Fuente: Estadstica y Quimiometra para Qumica Analtica.
4ta Ed. Miller & Miller
Varianza en la medida
Varianza muestral
2
0s2
1s
Muestra Pureza (%)
A 98,8 98,7 98,9 98,8
B 99,3 98,7 98,8 99,2
C 98,3 98,5 98,8 98,8
D 98 97,7 97,4 97,3
E 99,3 99,4 99,9 99,4
Las herramientas cualimtricas. ANOVA.
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Excel
Las herramientas cualimtricas. ANOVA.
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Grupos Cuenta Suma Promedio Varianza
Fila 1 4 395,2 98,8 0,006666667
Fila 2 4 396,0 99,0 0,086666667
Fila 3 4 394,4 98,6 0,06
Fila 4 4 390,4 97,6 0,1
Fila 5 4 398,0 99,5 0,073333333
Origen de las
variaciones
Suma de
cuadrados
Grados de
libertad
Promedio de
los
cuadrados
FProbabilida
d
Valor crtico
para F
Entre grupos 7,84 4 1,96 30 5,343E-07 3,05556828
Dentro de los
grupos0,98 15 0,065333333
Total 8,82 19
Cuadrado medio entre muestras =
varianza de entre muestras ~
muestreo
2
1
2
0 ss n
Las herramientas cualimtricas. ANOVA.
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Mtodos ampliamente utilizados en el campo del anlisis instrumental
Se calculan los resultados y se evalan los errores aleatorios de una manera diferente a la que se utiliza cuando se repite una solamedicin varias veces
Permite trabajar en un intervalo amplio de concentraciones
Curva de calibracin (seal vs
[mensurando])
Comparacin de dos mtodos analticos
RL puede aplicarse en:
Las herramientas cualimtricas. Regresin lineal.
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Grado de linealidad en nuestro intervalo de trabajo.Lmites de confianza para la pendiente y la ordenada en el origen de la recta.Errores y lmites de confianza para la concentracin determinada de una muestra incgnita.
Lmite de deteccin del mtodo (menor concentracin de mensurando que se puede detectar con un nivel de confianza predeterminado).
y = bx + a
Pendiente
Ordenada al origen
Parmetros a tener en cuenta
Las herramientas cualimtricas. Regresin lineal.
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Anlisis de regresin: Curva de Calibracin
La concentracin de muestras incgnita se determina generalmente porinterpolacin y no por extrapolacin
Inclusin de muestra blanco
Utiliza dos suposiciones bsicas
Los errores en la calibracin slo ocurren en los valores de ordenadas (seal)
La magnitud de los errores en ordenadas es constante (homocedasticidad) e independiente de la concentracin de mensurando
Las herramientas cualimtricas. Regresin lineal.
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y = bx + a
Grado de linealidad
Coeficiente de correlacin r
Las herramientas cualimtricas. Regresin lineal.
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y = bx + aInterpretaciones
errneas de r
Es necesario tambien efectuar la representacin grfica y tal vez un
test estadstico
t se compara con el valor tabulado para el nivel de significacin deseado usando un prueba t de dos colas y (n-2) grados de libertad.
H0 : no existe correlacin entre x e y.
Si tcal > ttab , H0 debe rechazarse.
Las herramientas cualimtricas. Regresin lineal.
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Las herramientas cualimtricas. Regresin lineal.
Otros tests de linealidad
Examen visual
Grficas de residuos
Test Lack of fit
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Para y = bx + a
El mtodo de los cuadrados mnimos encuentra la recta de regresin de y sobre x que mejor se ajusta a nuestros puntos experimentales
La obtencin de rectas de regresin ponderadas se adaptan mejor al problema pero requieren informacion adicional respecto a los errores en distintos niveles de concentracin
Las herramientas cualimtricas. Regresin lineal.
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y = bx + a
Error tpico
Las herramientas cualimtricas. Regresin lineal.
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y = bx + a
Errores en la pendiente y ordenada al origen
Las herramientas cualimtricas. Regresin lineal.
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Es posible obtener los lmites de confianza para la pendiente y la ordenada al origen de nuestra recta de ajuste
b tSb a tSa
Para un nivel de confianza deseado y (n-2) grados de libertad
y = bx + a
Las herramientas cualimtricas. Regresin lineal.
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Clculo de una concentracin
x0 = (y0 a)/b
Seal obtenida de la incgnita
Error asociado a X0
De determinacin compleja
Las herramientas cualimtricas. Regresin lineal.
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Expresiones aproximadas comunmente utilizadas
Solo una lectura de y0
m lecturas de y0
Los lmites de confianza se calculan como: x0 tsx0 , con (n-2) grados de libertad para los niveles de confianza deseados
Las herramientas cualimtricas. Regresin lineal.
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Forma general de los lmites de confianza para una concentracin dada
empleando una recta de regresin no ponderada
Las herramientas cualimtricas. Regresin lineal.
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Ejemplo
Mediante Espectrometra de Absorcin Atmica se obtuvieron la siguientes respuestas para soluciones patrn de mercurio (UAA:
Unidades Arbitrarias de Absorbancia)
[Hg] mg/l Respuesta (UAA)
0 2.1
2 5.0
4 9.0
6 12.6
8 17.3
10 21.0
12 24.7
Las herramientas cualimtricas. Regresin lineal.
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Minitab
Las herramientas cualimtricas. Regresin lineal.
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Excel
Las herramientas cualimtricas. Regresin lineal.
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y = 1.9304x + 1.5179
R = 0.9989
0
5
10
15
20
25
30
0 5 10 15
[Hg] / ppb
Re
spu
est
a /
UA
Obtencin de la pendiente, ordenada al orgen y coeficiente de correlacin (software)
Las herramientas cualimtricas. Regresin lineal.
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El coeficiente de correlacin es significativo?
H0: No existe correlacin entre x e y
tcal = 47.6
t0.025, 5 = 2.57
Se rechaza H0:
Existe correlacin significativa al 95 % entre x e y
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Las herramientas cualimtricas. Regresin lineal.
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Y = A + B * X
Parametro Valor Error
-----------------------------------------------
a 1.51786 Sa = 0.29494
b 1.93036 Sb = 0.0409
------------------------------------------------
b = 1.93 2.57 * 0.0409 = 1.93 0.11
a = 1.52 2.57 * 0.2949 = 1.52 0.76
Clculo de lmites de confianza para b y a
Valor de t (n-2) = 5 al nivel de confianza del
95 %
Las herramientas cualimtricas. Regresin lineal.
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Clculo de una concentracin
Para la curva de calibracin anterior, determinar los valores de x0 y sx0 y los lmites de confianza de x0 para soluciones cuyas respuestas son 2.9, 13.5, y
23.0 UA.
A partir de x0 = (y0 a)/b obtenemos los valores de x0 respectivos:
0.72, 6.21 y 11.3 mg/L
Las herramientas cualimtricas. Regresin lineal.
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Utilizando
Obtenemos los valores sx0 respectivos: 0.26, 0.24, 0.26. Los lmites de confianza al 95 % (t = 2.57) son:
0.72 0.68, 6.21 0.62 y 11.3 0.68 mg/L respectivamente
Las herramientas cualimtricas. Regresin lineal.
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0 2 4 6 8 10 12
0
5
10
15
20
25
Respuesta
/ U
A
[Hg] / ppb
Linear Fit of Data1_B
Upper 95% Confidence Limit
Lower 95% Confidence Limit
En los extremos de la curva los intervalos de confianza se incrementan
Hacia el centro de la curva los intervalos de confianza decrecen
Intervalos al 95% de
confianza
Las herramientas cualimtricas. Regresin lineal.
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Lmite de deteccin
Aquella concentracin que proporciona una seal en el instrumento significativamente diferente (?) de
la seal del blanco o seal de fondo
Cantidad de concentracin de mensurando que proporciona una seal igual a la seal del blanco, yB, mas tres veces la desviacin estndar del blanco , sB
y yB = 3sB
Las herramientas cualimtricas. Regresin lineal.
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Suposicin: La variacin est distribuida normalmente (solo en y) con una desviacin estndar estimada por sy/x (es por ello que las distribuciones de las curvas en la grafica tiene la misma amplitud).
Las herramientas cualimtricas. Regresin lineal.
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Obtencin de los trminos yB y sB utilizando una recta de regresin convencional para la
calibracin
Se utiliza sy/x en lugar de sB para estimar el limite de deteccin
a puede utilizarse como una estimacin de yB (la seal del blanco)
Las herramientas cualimtricas. Regresin lineal.
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Ejemplo:
Estimar el limite de deteccin para el ejemplo anterior (curva de calibracin para patrones de mercurio)
Utilizamos: y yB = 3sB
1.52 + 3 * 0.4329 = 2.82 (seal estadsticamente distinguible de la lnea de fondo),
Introducimos este valor en x0 = (y0 a)/b
[Hg]lmite = 0.67 mg / L
Las herramientas cualimtricas. Regresin lineal.
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Al ser un mtodo de extrapolacin es menos preciso que uno de interpolacin
Mtodo de las Adiciones EstndarMinimiza el efecto matriz
Se agregan cantidades conocidas de un determinado mensurando a una misma muestra o a porciones de sta y se representa la curva.,
Se debe extrapolar a y = 0
La desviacin estndar del valor extrapolado se calcula segn:
Al aumentar n mejora la precisin al igual que maximizando:
Los limites de confianza se calculan como xE tsxE
Las herramientas cualimtricas. Regresin lineal.
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Desde las ecuaciones anteriores se obtiene que: a = 0.3218 y b = 0.0186.
Su cociente proporciona el valor de [U] en la muestra: 17.3 mg/L.
Los limites de confianza son calculados teniendo en cuenta:
Ejemplo:
La [U] en una muestra de orina de un trabajador de una mina de este metal, es determinada por tcnicas voltamperometricas con preconcentracin utilizando el mtodo de las adiciones estndar:
U adicionado, mg/L en lasolucion de la muestra
original
0 5 10 15 20 25 30
Corriente de pico / mA 0.32 0.41 0.52 0.60 0.70 0.77 0.89
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Entonces sxE = 0.749, por lo tanto los lmites de confianza son:
17.3 2.57 * 0.749 = (17.3 1.9) mg/L
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Comparacin de mtodos analticos
Identificacin de errores sistemticos
Se utilizan para intervalos relativamente grandes de concentracin
En cada eje se representan los resultados de cada mtodo a analizar
Si se utiliza el mtodo de los cuadrados mnimos debe colocarse en el eje x el mtodo analtico mas preciso (referencia), (este mtodo no admite error en el eje de abscisas)
Recientemente se ha desarrollado el test conjunto para la ordenada al origen y la pendiente considerando errores en ambos mtodos analticos (RIU 1996)
Si los dos mtodos comparados producen resultados que no difierensignificativamente a un nivel de significancia la ordenada de la recta de regresin no ha de ser estadsticamente diferente de 0 y la pendiente no ha de serlo de 1
Supone que los errores en el eje de ordenadas son constantes
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Situacin ideal: a = 0, b = r= 1 curva a
Un error sistemtico proporcional: b 1 curva b
Un error sistemtico constante: a 0 curva c
Error sistemtico constante + error sistemtico proporcional + errores aleatorios: curva d
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El nivel de plomo de diez muestras de jugo de fruta se determin por un nuevo mtodo de anlisis potenciomtrico de redisolucin (APR) empleando un electrodo de trabajo de carbonovtreo, y los resultados fueron comparados con los obtenidos mediante la tcnica de espectrometra de absorcin atmica de llama (EAA). Se obtuvieron los siguientes datos (todo los resultados en mg/L).
Ejemplo
Muestra EAA APR
1 35 35
2 75 70
3 75 80
4 80 80
5 125 120
6 205 200
7 205 220
8 215 200
9 240 250
10 350 330
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y = 0.9634x + 3.8666
R2 = 0.9891
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0 50 100 150 200 250 300 350 400
EAA [Pb] / ug/L
AP
R [
Pb
] /
ug
/L
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El nivel de plomo de diez muestras de jugo de fruta se determin por un nuevo mtodo de anlisispotenciomtrico de redisolucin (APR) empleando un electrodo de trabajo de carbono vtreo, y los resultados fueron comparados con los obtenidos mediante la tcnica de espectrometra de absorcin atmica de llama (EAA). Se obtuvieron los siguientes datos (todo los resultados en mg/L).
Ejemplo
Desde las expresiones anteriores:
a = 3.87, b = 0.968, r = 0.9945
sy/x = 10.56, sa = 6.64, sb = 0.0357
Para 8 grados de libertad y 95 % de confianza: t = 2.31
a = 3.87 15.34 y b = 0.968 0.083
No existe diferencia significativa entre 0 y 1 respectivamente (valores ideales)
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Ensayos prcticos y simulaciones muestran que esta aproximacin
conduce a resultados fiables siempre y cuando:
El mtodo mas preciso se represente en el eje x
Se comparen al menos 10 puntos
El rango de concentracin de inters est cubierto uniformemente por
puntos experimentales
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mxpss *0
La funcin
precisin
Desviacin
Estndar, s
Concentracin de mensurando, xm
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Nivelar la dispersin en diferentes conjuntos de datos
Normalizar una distribucin de residuos
Lograr aditividad en efectos de tratamientos
Razones tcnicas para efectuar clculos sobre una escala
transformada:
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Transformaciones
para lograr linealidad
y
y
y
/1
)log(
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Ejemplos:
HpH 10log
Ley de Beer
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Un ejemplo de cmo una transformacin puede crear varianza constante
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Un ejemplo de como una transformacin
puede crear varianza no constante
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Las herramientas cualimtricas. Regresin Lineal Ponderada.
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La desviacin estndar de una prediccin sobre la concentracin
viene dada por:
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Regresin lineal ponderada con Minitab
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Fin Primera Parte
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