sintesi sottrattiva

7/31/2019 Sintesi sottrattiva

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Sintesi sottrattiva

Per 'sintesi sottrattiva' ci siriferisce ad un modello di sintesi nella quale una sorgente sonora,ricca diarmoniche (parziali), viene ad essere modificata da un puntodi vista spettrale 'sottraendo' opportunamenteda essa bande difrequenze o singole parziali. Gli aspetti pi interessantivengono evidenziati attraverso unprocesso dinamico , ovvero quandoquesta operazione di filtraggio si sviluppa durantel'evoluzionetemporale del segnale.

esempio di configurazionebase per la sintesi sottrattiva

Come sorgente per la sintesisottrattiva pu essere usato qualsiasi tipo di suono, inquanto la sintesisottrattiva altera il bilanciamento spettrale di unsegnale: questa tecnica d i migliori risultati quando(comegi detto) viene applicata a segnali dotati di uno spettromolto ricco di armoniche come, ad esempio,quelli prodotti dageneratori di rumore o di impulsi.Un generatore di rumore produce uno spettro distribuito a largabanda: un generatore di impulsi produceinvece una forma d'ondaperiodica ad una frequenza specifica che possiede una grandequantit di energianelle sue armoniche.

Una forma d'onda impulsiva (si osservi l'immagine seguente) possiede un'ampiezza significativasolodurante un breve intervallo di tempo. La durata di questointervallo viene chiamata larghezza dell'impulso.Quando unaforma d'onda impulsiva viene ripetuta periodicamente, il segnalerisultante avr uno spettromolto ricco di armoniche. Lecaratteristiche spettrali di un tale segnale sono determinate dallaformadell'impulso e dal rapporto tra la larghezza dell'impulso e ilperiodo della forma d'onda totale. Un valore

piccolo come rapporto(ad es., un impulso stretto) provoca la produzione di una grandequantit di energiaalle alte frequenze.


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La forma d'onda di impulsia banda limitata contenenti N armonici.

E' possibile produrre impulsi dalleforme pi svariate - triangolari, trapezoidali, rettangolari,etc. - ma solopoche forme possiedono uno spettro a banda limitata.Per evitare l'aliasing quando si usa un generatore diimpulsi nellasintesi digitale, il musicista deve selezionare forme d'onda a bandalimitata per produrrel'impulso. Un generatore d'impulsi che vienecomunemente usato nella sintesi sottrattiva produce unaforma d'ondacon una forma che dipende dal rapporto tra la frequenza fondamentaledell'impulso e lafrequenza di campionamento del sistema. Questo tipodi impulso viene meglio descritto in termini del suospettro. Essocontiene tutte le possibili armoniche della fondamentale fino allafrequenza di Nyquist, eciascuna armonica ha la stessa ampiezza. Ilnumero di armoniche nello spettro, N, determinatodallafrequenza fondamentale di oscillazione(0) del generatore d'impulsi e la frequenza di

campionamentostramite la formula:

La figura sopra mostra la formad'onda risultante per 4 diversi valori di N. Si noti comel'impulso diventapi stretto via via che N diventapi grande. Per evitare il foldover con frequenze fondamentalialte,l'impulso deve contenere meno armoniche, e quindi diventarepi largo. Ad esempio, se s= 40 KHz e 0=

440 Hz, allora N = 45; ma per0= 1046 Hz, l'impulsodovrebbe contenere solo 19 armoniche.

E' possibile generare degli impulsida applicare a filtri singoli o a banchi di filtri (in serie o inparallelo)utilizzando, a frequenza audio (l'a-rate di Csound)il modulo linseg, (od anche expseg) che ci consentediapplicare degli impulsi di qualsiasi forma e durata all'ingresso delsistema di filtraggio.

Inoltre, in tutti i linguaggi disintesi (e quindi anche in Csound) esistono dei moduli generatori diparziali


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correlate armonicamente molto utili per la sintesisottrattiva (in Csound di base ne esistono tre: buzz,gbuzze poscil): i parametri d'ingresso per il modulogbuzz (che ritroveremo negli esempi)sono:l'ampiezza delsegnale, la frequenza della fondamentale,il numero di armoniche chedeve contenere lospettro, il numero d'ordine della pi bassaparziale presente, ed il moltiplicatore nella serie deicoefficientid'ampiezza.

Infine, possibile generarerumore bianco mediante i moduli rand, randh erandi: l'utilizzo dei generatori

di rumore diventa molto utile(e non solo in ambito didattico) per apprezzare le caratteristiche dirisposta infrequenza di un filtro.

Dopo questa doverosa introduzionerelativa alla generazione di segnali con ricco contenutoarmonicotramite vari tipi di generatori , possiamo finalmente formulare unaprecisa definizione di filtro:

un filtro cambia lecaratteristiche spettrali dei suoni 'eliminando' le parzialiindesiderate in un segnale, o,detto in altro modo, modellando il suospettro.

Questo avviene in quanto un filtromodifica l' ampiezza e la fase di un segnale che passi attraverso diesso,

senza alterare la frequenza di alcuna componente spettrale delsegnale stesso.

In questa sezione verranno descrittiin dettaglio gli effetti del filtraggio sull' ampiezza delle parzialidellospettro del segnale d'ingresso e verranno illustrati l'uso dibanchi di filtri in serie (cascata) e in parallelo.Sitenga benpresente che qui tratteremo solo l' implementazione 'analogica' deisistemi di filtraggio mediantei moduli ad esso preposti esistenti inCsound, pi che sufficienti per la maggior parte delleapplicazionimusicali: non si parler quindi dei filtridigitali veri e propri, la cui trattazione andrebbe ben oltre gliscopidi questo sito, (che vuole essere solo un corso introduttivoinerente l'Informatica Musicale), avendo a chefare con l'elaborazione digitale dei segnali (ovvero il Digital SignalProcessing), il che richiederebbe l'usodi ben altra matematica eduna approfonditissima trattazione teorica.

Le caratteristiche di un filtropossono essere descritte per mezzo della sua risposta in frequenza(frequencyresponse) , che viene determinata sperimentalmenteapplicando un' onda sinusoidale all' ingresso del filtroe misurandole caratteristiche dell' onda sinusoidale in uscita.

La risposta in frequenza di un filtroconsiste di due parti - la risposta in ampiezza (in inglese:amplituderesponse) e la risposta in fase (phaseresponse) (vedi Fig.1).

Fig.1


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La risposta in ampiezza di un filtrovaria con la frequenza ed data dal rapporto tra l' ampiezzadell' ondasinusoidale in uscita e l' ampiezza dell' onda sinusoidalein ingresso.

La risposta in fase descrive l'ammontare di variazione di fase in un' onda sinusoidale mentre essapassaattraverso il filtro: si tenga presente che la quantitdi variazione di fase cambia anch' essa con la frequenza

dell' ondasinusoidale.

I filtri vengono generalmentedistinti per mezzo della forma caratteristica assunta dalla lororisposta inampiezza . La Fig. 2 mostra il diagramma della rispostain ampiezza generalizzata per un filtro passa-basso:

Fig.2

e la Fig.3 quello di un filtropassa-alto:

Fig.3

Un filtro passa-basso (Fig.2)consente alle frequenze che precedono il punto chiamato frequenza ditaglio fc


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(cutoff frequency) di passare attraverso di essocon una minima alterazione, mentre le parziali che vengonoa trovarsidopo il punto di taglio verranno attenuate. Viceversa, un filtropassa-alto (Fig.3) attenua lefrequenze che precedono il punto ditaglio fc ,mentre quelle che lo seguono passerannoattraverso il filtro

con una minima modifica.

C' sempre una fase ditransizione graduale tra la banda passante e la banda eliminata, equindi necessariauna regola per specificare la frequenza ditaglio: essa pi spesso definita come quellafrequenza alla qualel' energia trasmessa dal filtro diminuisce dimet (-3dB) rispetto alla massima energia trasmessadallabanda passante.

Questa la convenzione usatanel presente testo, e corrisponde ad una riduzione della risposta inampiezzadi un fattore di 0.707.

Un filtro che rifiuta sia frequenzebasse che alte, e sia dotato di una banda passante fra loro chiamato unfiltro passa banda (band-pass filter). I parametri dibase di un tal tipo di filtro sono:

la frequenza centrale (siglatacon CF oppure f0), cio center frequency,

e:

la larghezza di banda (o BW,bandwidth), vista anche come due frequenze di taglio, una superiore(fu) ed

una inferiore (fl).

La Fig.4 mostra la risposta inampiezza di generico un filtro passabanda. La frequenza centrale fcindica lalocazione del centro del passabanda.

Fig.4


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Nei filtri digitali implementatinella maggior parte dei linguaggi per macchine virtuali, lafrequenzacentrale data dalla media aritmetica della frequenza ditaglio superiore ed inferiore.

La larghezza di banda unamisura della selettivit del filtro ed uguale alladifferenza tra frequenza di

taglio superiore ed inferiore. Larisposta di un filtro passabanda spesso descritta per mezzodi terminicome 'stretta' o 'larga', a seconda della larghezza dibanda attuale. La selettivit di un filtro passabanda

spesso quantificata per mezzo di un fattore di qualit (ofattore di merito) Q.

Quando le frequenze di taglio sonodefinite a - 3 dB, il fattore Q dato da:

Ne consegue che un alto Q denota unabanda stretta.

La larghezza di banda puanche essere descritta come una percentuale della frequenza centrale(o dicentrobanda). La selettivit di un filtro scelta in funzione al tipo di applicazione per il quale essodovroperare. Ad esempio, un filtro passabanda con unastrettissima larghezza di banda pu essere usato perestrarreda un segnale una specifica componente in frequenza (cio, unaparziale).

Il quarto tipo di filtro ilfiltro elimina-banda (Fig.5):

Fig.5


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esso attenua una singola banda difrequenze e lascia passare tutte le altre. Come un filtro passabanda,caratterizzato da una frequenza di centrobanda ed unalarghezza di banda, ma un altro parametroimportante costituito dall' ammontare dell' attenuazione al centro della bandaeliminata (stopband).

La maggior parte dei linguaggi tipoCsound include un' unit modificatrice (spesso chiamatareson, ma

oggi esistono molti altri moduli come quelli delgruppo butter,ad esempio butterbp) che ha la funzionedifiltro ad uso generale. Normalmente costituita da unfiltro del secondo ordine a tutti poli. La discussionein questasezione riguarda i filtri digitali di questo tipo.

Un simbolo di tipo generale perquesto tipo di filtro mostrato in Fig.6.

Fig.6

Questo elemento un filtropassa-banda con due ingressi di controllo relativi alla frequenzacentrale ofrequenza di centrobanda (CF) e la larghezza di banda(BW). In certe particolari condizioni esso puessere usatocome un filtro passa-basso o passa-alto.

Per esempio, un filtro passa-bassopu essere realizzato, partendo da un filtro passa-banda,regolando la suafrequenza centrale (CF) a zero. Intuitivamente, unopotrebbe pensare che la risultante frequenza di tagliodovrebbeessere corrispondente a met della larghezza di banda,poich la banda passante centrata a 0 Hz.Quindi, lafrequenza di taglio superiore del passabanda dovrebbe essere lafrequenza di taglio del filtropassa-bassso.

Comunque, a causa della natura dell'approssimazione fatta nell' implementazione dei filtri digitali chepossibile trovare nella maggior parte dei linguaggi virtualiper la computer music, la frequenza di taglio,fc, del risultantepassa-basso uguale a 0.707 volte la larghezza di bandaspecificata, non 0.5 volte.

Ad esempio, per ottenere unpassa-basso con una frequenza di taglio di 500 Hz, specificare una CF= 0 ed

una BW = 707 Hz.

Questa approssimazionecondizioner anche la risposta di filtri passa-banda confrequenze centrali divalore basso. Come la frequenza centrale delfiltro passa-banda viene situata pi vicina a zero, ilpassa-banda inizia ad allargarsi oltre la larghezza di bandaspecificata. La Fig. 7 illustra questo effetto.


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Fig.7

Osservare che la la risposta inampiezza simmetrica quando la frequenza centrale del filtro 10.000 Hz eche il lato sinistro inizia ad inclinarsi versol'alto con il diminuire della frequenza centrale.

Sempre partendo dal moduloreson, possibile implementare un filtro passa-altorendendo uguale allafrequenza di Nyquist la sua frequenza centrale.Anche questo tipo di filtro, cos ottenuto, soffre deglistessiproblemi di approssimazione che condizionano i filtripassa-basso. Per ottenere in questo modo un filtro

passa -alto con unfrequenza di taglio fc necessario specificare lalarghezza di banda (BW) secondo laseguente formula:

ove: fs lafrequenza di campionamento ed fc l frequenza dicentrobanda.

Ad esempio, un filtro passa-alto conuna frequenza di taglio di 15 kHz in un sistema con una frequenzadicampionamento di 40 kHz realizzabile regolando i parametridi controllo in modo che CF = 20 kHz eBW = 7071 Hz. Nel momento incui la frequenza di centrobanda di un filtro passabanda si approssimaallafrequenza di Nyquist, il passabanda si 'deforma' nello stessomodo descritto prima e riguardante i filtri conbassi valori difrequenza di centrobanda.

L' altro parametro normalmenteassociato con i filtri il guadagno di centrobanda, ovvero ilrapportointercorrente tra l' ampiezza del segnale d'uscita e quelladel segnale d'ingresso al centro della bandapassante. Il rapportonaturale senza scalatura in un filtro digitale ha una dipendenzacomplessa sia dalla


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frequenza di centrobanda che dalla larghezza dibanda: quindi l' ampiezza di un segnale alla frequenza dicentrobandapu essere radicalmente cambiata, ottenendo cos chel'elemento filtro possa servire anche daattenuatore o daamplificatore. Lo scopo di un fattore di scala quello diprevenire questa circostanzamoltiplicando l'ingresso del filtro perun numero tale che porti il guadagno di centrobanda ad 1.Moltiprogrammi offrono la scelta di tre tipi di fattori di scalatura: unoper segnali periodici, uno persegnali non periodici (rumore), ed unoche consente all' uscita del filtro di rimanere invariata

(senzascalatura). L' uscita del filtro non viene scalata qualora ilmusicista abbia attentamente determinatouna successione di elementidi filtraggio tali da poter essere usati per ottenere la desideratarisposta infrequenza.

Per semplici filtri come quelliappena descritti, l' attenuazione nella banda eliminata minima in prossimitdella frequenza di taglio ed aumentaallontanandosi da essa. Una frequenza non rilevabile nellabandapassante non usualmente stata completamente rimossa dalsegnale; essa stata semplicementeattenuata pi chese fosse stata rilevata nella banda passante stessa.

La velocit alla quale l'attenuazione incrementa conosciuta come la pendenza (slope)del filtro.

La pendenza, o rolloff, normalmente espressa come l' attenuazione per unitd'intervallo, come adesempio 30 dB per ottava. Nella banda eliminatadi un filtro passa-basso con una pendenza di 30dB/ottava,ogni voltache la frequenza raddoppia, l' attenuazione aumenta di 30 dB. Ad unvalore corrispondente aquattro volte la frequenza di taglio, l'attenuazione di 30 dB pi grande che a due volte lafrequenza ditaglio; ad otto volte di 60 dB pigrande, e cos via. Un filtro usato per eliminare segnaliindesiderati deveavere una pendenza (rolloff) ripida.

La scelta di un determinato tipo difiltro piuttosto che un altro cosa piuttosto delicata, inquantototalmente correlata a considerazioni di caratteresquisitamente estetico (almeno nell' ambito musicale nelquale cistiamo muovendo): pertanto, necessario avere ben chiare inmente le caratteristiche del filtro chesi desidera ottenere, tenendopresente che, nella maggior parte dei casi, vanno preferiti filtricon pendenzeabbastanza 'dolci', tali da conservare le relazioninaturali esistenti tra le parziali dello spettro (a meno chenon sidesideri proprio modificare profondamente o stravolgere il segnaleoriginale). Vedremo pi avanticome l'uso di particolaricombinazioni di filtri possa consentire sofisticate elaborazioni disorgenti audio divario tipo.

Ritornando al nostro discorso base,si tenga presente che la pendenza di attenuazione determinata dall'ordine del filtro. L'ordine una misuramatematica della complessit di una filtro. In un filtroanalogico,esso legato al numero di componenti elettroniciusati. In un filtro digitale, l'ordine invece correlato

conil numero di calcoli eseguiti su ciascun campione.

In un semplice filtro analogicopassa-basso o passa-alto, la massima pendenza ottenibile circa 6 dB/ottavamoltiplicata per l' ordine del filtro. Un filtropassabanda ha generalmente un ordine pari e la pendenza siasopra chesotto la banda passante ordinariamente 6 dB/ottavamoltiplicato per la met dell' ordine. Quindila pendenza,come ripidit, sar la met di quella di unfiltro passa-basso o passa-alto dello stesso ordineimplementatitramite Csound.

La maggior parte dei filtri digitalisono progettati come un' approssimazione dei filtri analogici.Lapendenza di un filtro digitale sar simile ma non identica alfiltro analogico che viene imitato. A causadella natura dei filtridigitali, non possibile mantenere una pendenza costante pertutta la banda eliminata,e, quindi, non possibile fornireuna relazione precisa tra ordine e pendenza. Comunque, ilcaratteregenerale della relazione di base resta ancora valido - pialto l'ordine del filtro, pi ripida risulta


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lapendenza dello stesso.

Le unit di filtraggionormalmente disponibili nei pi comuni linguaggi per lacomputer music (tra cuiovviamente Csound) sono filtri del primo osecondo ordine. Il filtro usato per simulare l'effettodellaregolazione dei controlli di tono di un amplificatore unfiltro del primo ordine (spesso chiamatotone). I filtri risonantinormalmente forniti (come reson) sono filtri del secondo ordine. Essitendono verso

una pendenza di 6 dB/ottava sia sopra che sotto labanda passante.

La progettazione di filtri non devenecessariamente essere ristretta ai quattro tipi base di curve dirisposta inampiezza descritte precedentemente. Si pudefinire arbitrariamente la risposta in ampiezza di unfiltromodellandola allo scopo di ottenere un profilo pi articolatoe complesso, ed ovviamente tutto cifornisce al musicista unostrumento molto versatile per la creazione di spettri interessantiper la definizionedi strumenti in Csound. Vedremo qui di seguitocome ottenere filtri con risposte di tipo statico e/odinamico(queste ultime molto utili per creare situazioni spettrali variantinel tempo di evoluzione di unsegnale). Un metodo utile econcettualmente semplice per ottenere risposte in ampiezza complesse quellodi usare i quattro tipi di filtri base come elementicostitutivi che possono essere combinati fra loro performare ununico filtro la cui risposta in ampiezza finale sar datadalla particolare disposizione scelta per i

vari moduli.

Prendiamo il caso della Fig.8, dove imoduli di filtraggio sono connessi in parallelo : in questoparticolaretipo di configurazione, i due o pi elementi chela compongono ricevono simultaneamente il segnaled'ingresso, e leuscite dei vari moduli di filtraggio vengono quindi sommate tutteinsieme per ottenere un'unica uscita. Sostanzialmente, laconnessione in parallelo somma insieme le risposte in frequenza dituttigli elementi da cui formata, col risultato che se unafrequenza presente nella banda passante di unoqualsiasi deifiltri, essa sar passata all' uscita. Saranno quindiattenuate solo le frequenze che non sonopresenti all' interno dellabanda passante di nessuno degli elementi di filtraggio. Ad esempio,un filtrorifiuta-banda pu essere ottenuto connettendo inparallelo un filtro passa-basso e passa-alto. La banda

eliminata delfiltro cos ottenuto ricadr fra le frequenze di tagliodei due elementi di filtraggio.

Fig.8

Un altro esempio dato dallaFig.9, la quale mostra la risposta in ampiezza di un filtro ottenutoda duepassabanda connessi in parallelo, ciascuno dei quali ha unadiversa frequenza di centrobanda.


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Fig.9

L' evidente risultato prodotto da unsimile tipo di filtro che in uscita saranno presenti solo lefrequenzeche si trovano all' interno delle due bande passanti, inmodo particolare quelle pi prossime alla frequenzadicentrobanda, mentre tutte le altre risulteranno attenuate in manieracrescente verso gli estremi dellabanda, secondo le regoleprecedentemente esposte. Con un simile filtro quindi sarpossibile far 'passare' inuscita solo determinate bande di frequenzerispetto ad un intero spettro (semprech lo spettro lecontenga!)col risultato di porre in evidenza solo determinateparziali dello stesso. E' inoltre teoricamente possibile,usandofiltri di ordine molto elevato, e quindi dotati di un Q altissimo,estrarre 'singole' parziali dallospettro: ci ottenibile quindi con pendenze estremamente ripide ( e ciocon 'strettissime' larghezze di

banda).

L' altro metodo fondamentale dicombinazione di elementi di filtraggio il collegamento dettoin serie ocascata , dove i filtri sono connessi tra loro uno dopol'altro (vedi Fig.10): l'uscita del primo elemento dellaserie collegata all' ingresso del secondo e cos via, finoall' ultimo elemento, la cui uscita rappresental'uscita dell' interosistema di filtraggio.


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Fig.10

La risposta in ampiezza del filtrocos ottenuto viene calcolata moltiplicando tutte insieme lerisposteindividuali. Se viene espressa in dB, la risposta inampiezza totale ad una data frequenza la somma

dellerisposte dei singoli elementi espressa in dB a quellafrequenza.

L' ordine di un filtro complessoottenuto connettendo tra loro pi elementi in serie uguale alla sommadegli ordini di tutti i singoli elementi difiltraggio che lo compongono, cosicch il filtro completoavr unapendenza pi ripida. Cominciamo l' analisi diquesto sistema di connessione considerando i due filtripassa-banda acui sono stati attribuiti i medesimi parametri riguardo allafrequenza di centrobanda ed allalarghezza di banda, come mostrato inFig.11:

Fig.11

il filtro risultante sar unfiltro passabanda con la stessa frequenza centrale ed una pendenzapi ripida (vediFig.12).

Fig.12


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Alla frequenza alla quale un singoloelemento ha un' attenuazione di 3 dB, il collegamento incascatafornisce un' attenuazione totale di 6 dB: quindi, la larghezza dibanda -3dB di un singolo elementodi filtraggio diventa la larghezzadi banda -6dB del filtro completo. La larghezza di banda -3dB delfiltrototale uguale alla larghezza di banda alla qualeciascun elemento di filtraggio contribuisce con 1.5 dBdiattenuazione. Quindi , in questo caso, la connessione in serie nonsolo incrementa la pendenza del filtro,ma restringe anche lalarghezza di banda. Ad esempio, la larghezza di banda -1.5dB di unfiltro passa-

banda del secondo ordine del tipo gi vistoprecedentemente in questo capitolo circa il 65% dellasualarghezza di banda -3dB. Si immagini di aver connesso in cascata duefiltri di questo tipo con unafrequenza di centrobanda di 1 kHz (1000Hz) ed una larghezza di banda di 100 Hz: il filtro totalerisultanteavr una frequenza di centrobanda di 1 kHz ed una larghezza dibanda di 65 Hz.

Oltre che ad ottenere pendenzepi accentuate, restringimenti della larghezza di banda (equindi filtri piselettivi), il collegamento in serie ciconsente di ottenere filtri con pendenza pi ripida ma con unabandapassante pi ampia rispetto ai singoli elementi,purch venga effettuata una scelta molto precisadellefrequenze di centrobanda e delle larghezze di banda di ogni singoloelemento che costituisce laconnessione in serie effettuata (vediFig.13):

Fig.13

questo si pu ottenerescegliendo le frequenze di centrobanda dei singoli elementi difiltraggio in modo taleche siano piuttosto vicine l'una all' altra,ottenendo quindi una sovrapposizione delle due bandepassantiindividuali. La Fig.14 evidenzia che il filtro complesso cosottenuto ha una banda passante pi

ampia e piatta.


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Fig.14

Il guadagno di centrobanda totale minore di quello di ogni elemento, ma questo fenomenopu esserecompensato per mezzo dell' amplificazione: disolito, la scelta delle frequenze di centrobanda e dellelarghezze dibanda effettivamente fatta attraverso metodi di analisimatematica ma, come dimostra questoesempio, si pu comunquerealizzare molto anche intuitivamente: ci si ricordi sempre che l'obiettivo di

questo testo quello di introdurre il musicistaall' uso di Csound, non di allontanarlo da esso, ed questoilmotivo per cui di formule ne vedrete poche, proprio quelleindispensabili. Pertanto, date alcuneconoscenze fondamentali perl'utilizzo di determinati moduli, molto pu essere raggiuntoattraversol'osservazione sistematica e la continua sperimentazioneche,al di l degliaspetti scientifici, comunquevolta verso obiettivi estetici(la creazione di una composizione musicale).

C' comunque ancora molto dadire riguardo l' argomento del filtraggio in serie : ad esempio, necessarioprestare molta attenzione nel progettare filtriconnessi in cascata con differenti frequenze di centrobanda:si notiche, diversamente dal collegamento in parallelo, la specificazione diuna banda passante di unelemento di filtraggio non garantisce chel ci sar energia significativa passata in quellabanda difrequenza. Se uno qualsiasi degli elementi di unaconnessione in serie fornisce una significativaattenuazione inquella gamma di frequenza, la risposta in ampiezza sarpiuttosto bassa. Il risultato dellaconnessione in cascata di duefiltri passa-banda con differenti frequenze di centrobanda mostrata inFig.15:

Fig.15

Come facile vedere, le duebande passanti non si sovrappongono, e cos il filtrorisultante avr due picchinella curva di risposta, ma l'ampiezza totale sar piccola.

Comunque, un filtro di questo tipopu essere reso utile moltiplicando la sua uscita per unacostante alloscopo di rigenerare la sua ampiezza. Affinch unmusicista possa usare liberamente una connessione dielementi difiltraggio in cascata, senza dover calcolare il guadagno totale dicentrobanda del filtro, Csound(come altri linguaggi) fornisce unaunit che effettua una funzione di bilanciamento (e non a casosi chiamabalance). Il musicista dovr solo specificareun punto di riferimento nel flusso del segnale, comepuvedersi in Fig. 16:


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Fig.16

quando viene usato, il modulo balancemodifica l' ampiezza del segnale che si presenta al suo ingressocosche la potenza media del segnale che viene fuori da essosia uguale alla potenza media del segnale presenteal punto diriferimento. Questo tipo di connessione utile quando siimplementano filtri complessicomposti da numerosi elementi in quantoil punto di riferimento pu essere l'ingresso del primoelementodel filtro, e l'unit balance pu essere postaall' uscita finale del filtro (come si vede in Fig.16).Quindi,grazie a questa tecnica, l' ampiezza del segnale d'uscita dovrebbeessere uguale all' ampiezza delsegnale d'ingresso; comunque questatecnica efficace solo quando un sostanziale ammontaredellapotenza del segnale ricade nella banda passante. Ovviamente, sel'ingresso del filtro consiste di unasingola frequenza che all' esterno della banda passante, la funzione di bilanciamentoesalter l' ampiezzadel segnale per compensare l'attenuazione introdotta dal filtro, quindi negando l'effetto delfiltro: si tengacomunque presente che se il segnale applicato alfiltro ha molte componenti spettrali distribuite su di un'ampiagamma, come avviene nel caso di sorgenti di rumore o di impulsi, lafunzione di bilanciamento putornare piuttosto utile inquanto permette al musicista di modificare lo spettro del segnalesenza alterarnedrasticamente la potenza.Per determinare la potenza media di un segnale, il modulobalance rettifica il segnale e lo passa attraversoun filtropassabasso. Il processo di rettificazione consiste nel prendere ilvalore assoluto dei campioni, cosche tutti i valori deicampioni negativi siano cambiati in positivi, come mostrato inFig.17a e 17b.


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Fig.17a

Fig.17b

Questa una forma diwaveshapingnon lineare (vedere la sezione relativa) ed ha l'effetto dienfatizzaregrandemente le componenti armoniche pari del segnale,incluso il termine di frequenza zero (dc). Tantopi elevata l'ampiezza del segnale inviato al rettificatore, tantopi grande sar l'ampiezza dellearmoniche pari.L'uscita del rettificatore viene quindi passata attraverso un filtropassabasso con unabassissima frequenza di taglio cheattenuer tutte le componenti tranne il termine a frequenzazero. Quindi,l'uscita del modulo balance proporzionale all'ampiezza del segnale, e fornisce di conseguenza unamisuradella potenza media del segnale. L'utilizzatore puspecificare la frequenza di taglio del filtro, ma essanormalmente sub-audio (tipicamente 10 Hz), se lo scopo quello di ottenere la potenza media del

segnale.

Ogni filtro caratterizzatodalla sua risposta in frequenza ma anche, equivalentemente, dalla suarispostaall' impulso (o risposta impulsiva). La risposta impulsiva una descrizione nel dominio del tempo dellarisposta delfiltro ad un impulso di durata molto breve. Inoltre, essa puessere usata per determinare larisposta del filtro a qualsiasi tipodi cambiamento che avviene nel segnale d'ingresso.

Precedentemente abbiamo ristretto lanostra discussione sulle propriet dei filtri dipendenti dallafrequenza:si assumeva che il segnale applicato all' ingresso delfiltro fosse stato presente abbastanza da consentire all'uscita delfiltro di stabilizzarsi. Le propriet di un filtro dopo che si stabilizzato costituiscono la sua

risposta allo statostazionario . Comunque, affinch un musicista possa usare unfiltro in maniera piconcreta, dovrebbe comprendere non solole sue propriet in uno stato stazionario, ma anche il suoeffettosu segnali che cambiano nel tempo (anche rapidamente). Ilmodo in cui un filtro reagisce ai transitori di
http://www.fisica.unina.it/mfa/acust/materiale%20sito/Sistemi%20di%20sintesi/waveshap.htm


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a acco e es nz one un suono cos an e c ama o a sua r spos a a rans en o r spos a rans or a .

La risposta transitoria dipendedalla risposta impulsiva del filtro e dall' inviluppo del suono chevienefornito al filtro stesso. La durata della risposta transitoria correlata in modo inverso alla larghezza dibanda delfiltro. Pi stretta la banda, pi tempo vieneimpiegato dal filtro per rispondere ai transienti.

Ad esempio, quando un suonosinusoidale applicato all' ingresso di un filtro con unafrequenza dicentrobanda uguale alla frequenza del segnaled'ingresso, l' intero segnale non appare immediatamente all'

uscitanella maggior parte dei casi. Allo stesso modo, una volta che ilsegnale in ingresso al filtro terminato, il segnale presenteall' uscita non decade immediatamente a zero: esso prende tempopercostruire una valore di stato stazionario e tempo per decadere dopoche il segnale in ingresso terminato. La Fig. 18 mostra leforme d'onda relative ai segnali d'ingresso e d'uscita di un filtrocon unastretta larghezza di banda: si noti come il filtro tenda adallungare sia il tempo d'attacco che didecadimento.

Fig.18

Si pu quindi concludere cheun filtro pu anche modificare l'inviluppo di un suono. Quandosi usa lasintesi sottrattiva, la descrizione dell' inviluppo delsuono applicato al filtro pu dover essere mitigata allo

scopodi permettere la risposta ai transitori del filtro stesso.

Questo importante in specialmodo quando vengono impiegati grandi banchi di filtri connessi incascatapoich ciascun filtro pu condizionarel'inviluppo del suono.

Esempi di implementazionetramite Csound

La presente sezione si conclude con ilistati, commentati, di qualche esempio di implementazione inCsoundriguardante alcuni dei modelli di filtraggio precedentementetrattati: per consentire un' agevole

'


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,

filtri, e che quindi producano sorgenti spettrali 'ricche'di armoniche (e quindi spettri discreti) e sorgentiformate daspettri continui (cio rumore). Iniziamo con il modulo gbuzz,che consente di produrre spettri incui le parziali sono correlatetra loro secondo la successione f, 2f, 3f ....nf .

Esempio 1

Il primo strumento della nostra seriedi esempi produce il segnale base senza alcuna modificazione,tranneun inviluppo d'ampiezza (utilizzato soprattutto per mandare icampioni a zero), cos da consentirci diapprezzare lesuccessive elaborazioni:

schema a blocchi dell'esempio 1

; gbuzz.orc

; by Giancarlo Sica 1996

;questi commenti saranno presenticos numerosi solo in questo primo

;esempio, mentre nei successiviverranno commentate solo le

;istruzioni di tipo diverso o di nonfacile comprensione.

;questo strumento serve a produrreuno dei due tipi di suoni


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; che sar il nostro 'segnaled'ingresso' per i

;vari tipi di filtri che andremo aprovare: esso

; prodotto mediante il modulo'gbuzz'

;inviluppato tramite il modulo'linen'.

sr = 44100

kr = 2450

ksmps = 18

nchnls = 1

instr 4

idur = p3 ; durata in secondi delsegnale

iamp = ampdb(p4) ; converte decibelsin lineari

ipch = p5 ; valore di pitch (inHz)

iatck = p6 ; tempo d'attacco dell'inviluppo

idec = p7 ; tempo di decadimentodell' inviluppo

ifunc = p8 ; per cambiarefunzione

iloharm = p9 ; la pi bassaarmonica presente

itotharm = p10 ; numero totale dellearmoniche

; moltiplicatore per le serie deicoefficienti d' ampiezza

imultcoeff = p11

; modulo per inviluppolineare


20/40



k1 linen iamp, iatck, idur, idec

;modulo generatore segnaleaudio

; (si noti la var. 'k1', ovverol'inviluppo d'ampiezza totale)

a1 gbuzz k1, ipch,itotharm,iloharm,imultcoeff, ifunc

out a1

endin

segue quindi il relativo file.sco:

; gbuzz.sco

;funzione coseno per il modulo GBUZZ

f1 0 8192 9 1 1 0

; p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8 p9 p10p11

; ins strt idur iamp ipch iatck idecifunc itotharm iloharm imultcoeff

i4 0 2 78 110 1 1 1 40 1.4


21/40



e

Esempio 2

Proviamo quindi ad implementare unfiltro passabanda costituito da una sola cella, e quindi conunapendenza di 3dB/ott, attribuendogli una frequenza di taglio di 500Hz, e una larghezza di banda di 100Hz,facendo uso del moduloreson e del modulo balance applicati all' uscita delmodulo gbuzz, come nelseguente esempio:


;passabanda3dB.orc

;by Giancarlo Sica


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kr = 2450

ksmps = 18

nchnls = 1

instr 4

iamp = ampdb(p4) ; converte db inlineari

ifreq = p5 ;frequenza di pitchespressa in in cps(cio in Hz)

ifunc = p8 ;per cambiarefunzione

k1 linen iamp, p6, p3, p7 ; inviluppod'ampiezza per gbuzz

asig gbuzz k1, ifreq, p9, p10, p11,ifunc ;generatore gbuzz

; filtro con pendenza di -3 dB/ott (1cella ), statico

a1 reson asig, p12,p13

;bilanciamento del segnale filtratocon l'originale

asig2 balance a1, asig


23/40



out asig2

endin

Anche qui, ovviamente, segue il file.sco:

;passabanda3dB.sco

;funzione coseno per moduloGBUZZ

f1 0 8192 9 1 1 0

; p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8 p9 p10 p11p12 p13

;ins strt idur amp freq atck rlseifun tothrm lowhrm ampcoef cf bw

i4 0 2 78 110 1 1 1 40 1 .4 500100

e

Esempio 3


24/40



,

sarebbe necessario aumentarel'ordine del filtro, unendo pi celle di filtraggio dellostesso tipo in serie (cioin cascata) e, in questo casospecifico, conservando uguale frequenza di taglio e larghezza dibanda perogni stadio, come nel seguente esempio:


;passabanda6dB.orc

;by Giancarlo Sica

sr = 44100

kr = 2450


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ksmps = 18

nchnls = 1

gasig init 0

instr 4

ifunc = p8 ;per cambiarefunzione

iamp = ampdb(p4) ; converte db inlineari

ifreq = p5 ;frequenza di pitchespressa in in cps

k1 linen iamp, p6, p3, p7 ; inviluppod'ampiezza per gbuzz

asig gbuzz k1, ifreq, p9, p10, p11,ifunc ;generatore gbuzz

; filtro con pendenza di -6 dB/ott (2celle in serie), statico

a1 reson asig, p12,p13

a2 reson a1, p12,p13 ; si noti comeil secondo filtro

; (la cui variabile risultato 'a2'), prenda come inputlavariabile risultato delprimo

; filtro, e cio'a1',effettivamenterealizzandola'serie di filtri'.

;bilanciamento del segnale filtratocon l'originale

asig2 balance a2, asig


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out asig2

endin

e relativa, sempre identica,partitura:

;passabanda6dB.sco

;funzione coseno per moduloGBUZZ

f1 0 8192 9 1 1 0

; p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8 p9 p10 p11p12 p13

;ins strt idur amp freq atck rlseifun tothrm lowhrm ampcoef cf bw

i4 0 2 80 110 1 1 1 40 1 .4 500100

e

Esempio 4

Seguendo ancora questamodalit, possibile costruire filtri estremamenteselettivi, con un elevato numerodi collegamenti in serie: perapprezzare ancora meglio l' efficacia di questi filtraggi, partiamoda unasorgente di rumore, ottenuta con il modulo rand, di cui seguelo strumento, che si consiglia di realizzare ed

ascoltare, per esserepoi in grado di apprezzare meglio l'azione dei filtri:


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;randinit.orc

;by Giancarlo Sica

sr = 44100

kr = 2450

ksmps = 18

nchnls = 1

instr 4


;generazione rumore bianco

a1 rand iamp

out a1


28/40



endin

segue la (semplicissima...per ora!)partitura del file .sco:

;randinit.sco

; p1 p2 p3 p4

; ins strt dur amp

i4 0 2 80

e

Esempio 5

Nell'esempio precedente dovreste averascoltato del rumore bianco: a differenza di un segnaleperiodico,che contiene uno spettro con componenti ben definite, dovecio l'energia trovata solo allespecifiche frequenze(ed pertanto definito 'discreto'), nel nostro caso l'energia distribuita ovunque all'interno di una gamma di frequenze(e lo spettro risultante quindi definito'continuo').

Nel caso dello spettro 'discreto', ladensit spettrale , in genere, bassa (ed ecco quindiperch stato datopi volte l' avvertimento dicontrollare che nel segnale ci sia la frequenza che vogliamofiltrare, ondeevitare di filtrare...il nulla!) mentre, ovviamente,tale densit massima nel rumore: pertanto, glieffettidelle operazioni di filtraggio saranno molto pievidenti e spettacolari. Proviamo quindi ad applicare primaunsingolo filtro passabanda al nostro modulo rand, come nel seguenteesempio:


29/40




; randnoise.orc

;by Giancarlo Sica

sr = 44100

kr = 2450

ksmps = 18

nchnls = 1


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instr 4

idur = p3


kcf = p5

kbw = p6

irise = p7

idec = p8

ifnenv = p9

iatss = p10

iatdec = p11


a1 rand iamp

;filtro passabasso (pendenza -3 dB,una cella)

asig reson a1, kcf, kbw

;funzione balance

abal balance asig, a1

;inviluppo esponenziale

asnd envlpx abal, irise, idur, idec,ifnenv, iatss, iatdec


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;visualizzazione segnaled'uscita

display asnd, p3

out asnd

endin

segue il file .sco:

; randnoise.sco

;funzione per inviluppo

f1 0.0 513 5 0.001 513 1

; p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8 p9 p10p11

; ins strt dur amp kcf kbw irise idecifnenv iatss iatdec

i4 0 2 80 1000 200 0.01 1.99 1 1.20.01

e


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Si noti che CF=1000 e BW = 200, eche, diversamente dagli altri esempi, abbiamo applicato un

inviluppo di tipo esponenziale dopol'operazione di filtraggio: proviamo ancora ad elevare di moltolaselettivit del filtro con il listato seguente:

; randnoisemod.orc

;by Giancarlo Sica

sr = 44100

kr = 2450

ksmps = 18

nchnls = 1

instr 4

idur = p3


kcf = p5

irise = p6

idec = p7

ifnenv = p8

iatss = p9

iatdec = p10

ibwmin = p11 ;valore inpercentuale

ibwmax = p12 ;valore inpercentuale

;valori in frequenza per la larghezzadi banda, in percentuale


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ibwini = (p5 * p11) / 100

ibwfin = (p5 * p12) / 100


a1 rand iamp

; controllo dinamico larghezza dibanda del filtro

kevcntrl expseg ibwini, idur,ibwfin

;visualizza controllo esponenzialedella larghezza di banda

display kevcntrl, p3

;filtro passabasso (pendenza -9 dB,tre celle in serie)

asig reson a1, kcf,kevcntrl

asig1 reson asig,kcf,kevcntrl

asig2 reson asig1, kcf,kevcntrl

;funzione balance


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abal balance asig2, a1

;inviluppo esponenziale

asnd envlpx abal, irise, idur, idec,ifnenv, iatss, iatdec

;visualizzazione segnaled'uscita

display asnd, p3

out asnd

endin

e il file .sco:

; randnoise.sco

;funzione per inviluppo

f1 0.0 513 5 0.001 513 1

;p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8 p9 p10 p11p12

;ins strt dur amp kcf irise idecifnenv iatss iatdec ibwini(%) ibwfin(%)


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i4 0 2 85 1000 0.01 1.99 1 1.2 0.0110 100

e

Ci sarebbero molte pagine di commentoda aggiungere a questo esempio, ma ci limiteremo a segnalare ipuntipi salienti e lasciare i dettagli all' attenta analisi dellostudioso: la prima cosa che balza all' occhio che lalarghezza di banda del nostro filtro complesso dinamica,infatti varia nel tempo tramite l'invilupposecondo una percentualestabilita, e questa caratteristica consente di passare da un suonocon un pitchmolto ben definito ad una situazione di 'rumorecolorato' verso la fine dell' inviluppo: ovvio chealrisultato finale contribuisce molto la pendenza totale del filtrostesso: si provi a realizzare lo stessoesempio, ma con un solofiltro al posto di tre... .

Concludiamo questo nostro capitolosui filtri in Csound con un esempio molto complesso, ovevieneutilizzato un banco di filtri paralleli, di ordine elevato, edinamici:

; multirndmod.orc

;by Giancarlo Sica

sr=44100

kr=2450

ksmps=18

nchnls=1

instr 4

iamp=ampdb(p4) ; converte da db alineari

; parametri per il controllo delbanco di filtri


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icfrqsft1=p6 ; offset freq. dicentrobanda filtro 1

ibwth1=p7 ; larghezza di bandainiziale filtro 1

ibwsft1=p8 ; offset larghezza dibanda filtro 1

icenfreq2=p9 ; frequenza dicentrobanda iniziale filtro 2












; funzioni di controllo frequenza dicentrobanda e larghezza di banda di ogni filtro

; le durate dei segmenti dell'inviluppo sono ottenute dal campo p3 (durata)

;ma ovvio che, con opportunemodifiche, esse siano riassegnabili dal file .sco

; filtro1


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kcf1 linseg icenfreq1, p3/2,icfrqsft1, p3/2, icenfreq1 ; funzione di controllo frequenza dicentrobanda

kbw1 linseg ibwth1, p3/2, ibwsft1,p3/2, ibwth1 ; funzione di controllo larghezza di banda

; filtro2



; filtro3



; filtro4



; generatore di rumorebianco

agen rand iamp

; banco di 4 filtri passabanda inparallelo da -9dB (3 celle in serie per ogni filtro)


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;per un totale di 12 elementi difiltraggio).

a1 reson agen, kcf1, kbw1

a1a reson a1, kcf1, kbw1

a1b reson a1a, kcf1, kbw1










asig1 balance a1b, agen ; modifical'ampiezza finale del filtro comparandola con agen




asig5= asig1+asig2+asig3+asig4

out asig5


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endin

ed il relativo file .sco:

; multirnd.sco

; p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8 p9 p10 p11p12 p13 p14 p15 p16 p17 p18 p19 p20

; ins start dur amp icfrq1 icfsft1bw1 ibsft1 icfrq2 icfsft2 ibw2 ibsft2 icfrq3 icfsft3 ibw3 ibsft3icfrq4 icfsft4ibw4 ibsft4

i4 0 4 72 660 40 50 40 1320 100 10050 1760 150 200 100 2520 300 150 125

e

Lo studio di questo e degli altristrumenti visti va fatto con calma, consultando frequentemente ilmanualedi riferimento per una completa comprensione delle istruzioni( e prestando comunque molta attenzione,perch anche sulReference Manual di Csound, come in tutti o quasi i libri, vi sonoerrori o "significatinascosti" che risulta arduo comprendere) ma,come ho gi detto, vedrete che le soddisfazioni e irisultatinon mancheranno.

Buon lavoro a tutti voi.


40/40


sintesi sottrattiva

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