SISTEM PERSAMAAN LINIER

SISTEM PERSAMAAN LINIER

A. Bentuk Umum Persamaan :

a11X1 + a12X2 + a13X3 + a14X4 + .............+ a1nXn = b1

a21X1 + a22X2 + a23X3 + a24X4 + .............+ a2nXn = b2

a31X1 + a32X2 + a33X3 + a34X4 + .............+ a3nXn = b3

a41X1 + a42X2 + a43X3 + a44X4 + .............+ a4nXn = b4

an1X1 + an2X2 + an3X3 + an4X4 + .............+ annXn = bn

Sistem persamaan linier dengan n variabel dan n persamaan akan mempunyai satu jawab.

Dalam bentuk matriks

=

B. Metoda Gauss Jordan

Untuk menyelesaikan system persamaan linier (SPL) dilakukan dengan menggunakan operasi baris elementer (OBE). Hasil akhir dari proses OBE ini adalah :

= ; m = konstanta

Contoh soal 1

15 A 2B + 3C + 6D = - 6

2 A + 14B - C + 3D = 45

-3A + 3B - 12C - D = - 2

A + B - 4C + 9D = 16

Secara matriks :

=

Penyederhanaan bentuk matriks

B1 B4\

=

(1). B2 2B1 ; (2). B3 + 3B1; (3). B4 15B1=

B3 : 2 (1) B2 - 4B3 : (2) B4 + 5B3 =

=

B3 + B4 (1) B1 - B3 ; (2) B4 + 2B3=

=

B2 B3 (1) B2 - B4 ; (2) B3 + 4B4=

=

(1) B1 + B3 ; (2) .B2 + B3 ; (3). B4 - 3B3 =

B4 : 2027

=

(1) B1 + 671 B4 ; (2) .B2 + 616B4 ; (3). B3 - 731 B4=

B3 : - 5 B2 - B3

=

=

Jadi : A = -1 ; B= 3; C = 1; D = 2C. Metoda Cramer

Untuk menyelesaikan system persamaan linier (SPL) dilakukan dengan menggunakan konsep determinan.

= Nilai determinan untuk SPL :

=

Nilai determinan untuk pengganti variable X1 (kolom 1)

Nilai determinan untuk pengganti variable X2 (kolom 2)

Nilai determinan untuk pengganti variable X3 (kolom 3)

Nilai determinan untuk pengganti variable Xn (kolom n)

=

Untuk menentukan nilai nilai , ,.Xn

Contoh soal ( sama seperti contoh soal -1 )

=

A = B = C = D = D. Metoda Iterasi Gauss Seidel

Pandang system persamaan linier berikut ini :

a11A + a12B + a13C + a14D = b1

a21 A + a22 B + a23 C + a24 D = b2

a31 A + a32 B + a33 C + a34 D = b3

a41 A + a42 B + a43 C + a44 D = b4A,B,C dan D ditentukan dengan cara membentuk SPL menjadi :A(k+1) =

B(k+1) =

EMBED Equation.3

C(k+1) =

EMBED Equation.3 D(k+1) =

EMBED Equation.3

Sistem persamaan diatas diselesaikan secara iterasi yang dapat dimulai dengan mengambil iterasi ke-0 (k = 0) misalnya : A(0) = B(0) = C(0) = D(0) = 1. Proses iterasi selesai apabila hasil iterasi (k = n-1) sama nilainya dengan iterasi (k = n).

Contoh soal : 15 A 2B + 3C + 6D = - 6

2 A + 14B - C + 3D = 45

-3A + 3B - 12C - D = - 2

A + B - 4C + 9D = 16

Solusi : Bentuk umum untuk proses iterasi Gauss Seidel :

K= 0 A0 = 1A(k+1) =

B(k+1) =

C(k+1) =

D(k+1) =

Asumsi untuk iterasi ke nol ( k = 0): A(0) = B(0) = C(0) = D(0) = 1.

Hasil-hasil proses iterasi Gauss Seidel Yaitu :

Iterasi ke-ABCD

01111

1 0,86673,19521,09882,0074

2 0,99673,00500,99981,9990

3 0,99893,00000,99981,9998

4 0,99993,00001,00002,0000

5 1,00003,00001,00002,0000

Hasil iterasi ke-5 telah sama dengan hasil iterasi ke-4, sehingga dapat diketahui bahwa : A = -1; B = 3; C = 1; D = 2

_1455692386.unknown

_1455702780.unknown

_1455703726.unknown

_1455777204.unknown

_1455784692.unknown

_1455784890.unknown

_1455785922.unknown

_1455785944.unknown

_1456485808.unknown

_1455785932.unknown

_1455785894.unknown

_1455784880.unknown

_1455784529.unknown

_1455784591.unknown

_1455778021.unknown

_1455784453.unknown

_1455704544.unknown

_1455704860.unknown

_1455704419.unknown

_1455703009.unknown

_1455703162.unknown

_1455703717.unknown

_1455703020.unknown

_1455702947.unknown

_1455703000.unknown

_1455702809.unknown

_1455700391.unknown

_1455702337.unknown

_1455702547.unknown

_1455702625.unknown

_1455702387.unknown

_1455700662.unknown

_1455701506.unknown

_1455700434.unknown

_1455692686.unknown

_1455699687.unknown

_1455699800.unknown

_1455692712.unknown

_1455692613.unknown

_1455692652.unknown

_1455692398.unknown

_1455685884.unknown

_1455688074.unknown

_1455689094.unknown

_1455689610.unknown

_1455689628.unknown

_1455689195.unknown

_1455688595.unknown

_1455688646.unknown

_1455688156.unknown

_1455686998.unknown

_1455687139.unknown

_1455687334.unknown

_1455687102.unknown

_1455686211.unknown

_1455686280.unknown

_1455685979.unknown

_1234567898.unknown

_1234567901.unknown

_1234567903.unknown

_1234567904.unknown

_1234567902.unknown

_1234567899.unknown

_1234567900.unknown

_1234567893.unknown

_1234567895.unknown

_1234567896.unknown

_1234567897.unknown

_1234567894.unknown

_1234567891.unknown

_1234567892.unknown

_1234567890.unknown