sistemas de segundo orden

Sistemas de segundo orden

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DE CHIMBORAZO

Ing. Janeth Ileana Arias Guadalupe

FACULTAD INFORMÁTICA Y ELECTRÓNICA

ESCUELA INGENIERÍA ELECTRÓNICA EN CONTROL Y REDES INDUSTRIALES

CARRERA INGENIERÍA EN ELECTRÓNICA CONTROL Y REDES INDUSTRIALES

Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

Los sistemas de segundo orden continuos son aquellos que responden auna ecuación diferencial lineal de segundo orden

)()()(

)()()(

212

2

0212

2

0 trbdt

tdrb

dt

trdbtca

dttdc

adt

tcda

Sin pérdida de generalidad se analizará un caso muy común donde:

.0,,,1 102210 bbKbapaa

Que corresponde al siguiente sistema de segundo orden:

)( pssK

)(sR )(sC)(sE K

p

dondees una const.que representauna ganancia.

es una const. realrepresenta al polodel sistema.

Su función de transferencia de lazo cerrado es:

Kpss

KsRsC

2)()(

Como se aprecia, los polos de lazo cerrado pueden ser de tres tipos


Kpp

sKpp

s

KsRsC

4242

)()(

22

1. Reales diferentes si: Kp 4

2K

p 4

2

Kp 4

2, 2. Reales iguales si:

3. Complejos si

Para facilitar el análisis se realiza el siguiente cambio de variables2nK 22 np


22

2

2)()(

nn

n

sssRsC

forma estándar del sistema

de segundo orden.

donde es la frecuencia natural no amortiguada, se denomina atenuación, es el factor de amortiguamiento. Ahora el comportamiento dinámico del sistema de segundo orden se describe en términos de los parámetros y . n

Se analizará la respuesta transitoria ante una entrada escalón unitario:

(1) Caso subamortiguado : en este caso se escribe)10( )()( sRsC

donde se denomina fracuencia natural amortiguada. Si21 nd

n

))(()()( 2

dndn

n

jsjssRsC

)(sRes una entrada escalón, entonces

ssssC

nn

n

)2()(

22

2


Utilizando fracciones parciales

2222 )()(

1)(

dn

n

dn

n

ss

ss

sC

y conociendo que

tes

sd

t

dn

n n

cos)( 22

1-L

tsenes

dt

dn

d n

22)(1-L

Se obtiene la salida en el tiempo

)0(1

tan1

1)(2

12

ttsene

tc d

tn


(2) Caso de amortiguamiento crítico :)1(

)(sC

sssC

n

n2

2

)()(

)0()1(1)( ttetc ntn

la transformada inversa arroja

en este caso se tienen dos polos reales iguales y ante un escalón es


ssssC

nnnn

n

)1)(1()(

22

2

t

t

n

n

e

etc

)1(22

)1(22

2

2

)1(12

1

)1(12

11)(

en este caso se tienen dos polos reales negativos y diferentes. Para unaentrada escalón, es

(3) Caso sobreamortiguado :)1(

)(sC

La transformada inversa de Laplace de la ecuación anterior es


Fig. Curvas de respuesta al escalón unitario.

0 2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

sa1

ca1

0

2.0

4.0

7.08.0

Figura. Respuesta al escalón de diferentes sistemas de segundo orden.


Respuesta impulsiva de sistemas de segundo orden

22

2

2)(

nn

n

sssC

)10( )0(11

)( 22

ttsenetc ntn n

)1(

)0(1212

)( )1(2

)1(2

22

teetc tntn nn

para

para

)1(

)0()( 2 ttetc tn

n

Utilizando transformada inversa obtenemos las siguientes soluciones de )(tc

para


0 2 4 6 8 10 12-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

sa1

ca1

02.0

4.0

7.0

Figura. Respuesta al impulso de diferentes sistemas de segundo orden.


Definición de los parámetros de la respuesta transitoria

Las características de desempeño de un sistema de control se comparan basándose en el tiempo de la repuesta transitoria. La característica transitoria de los sistemas dinámicos se presenta por la incapacidad de responder de manera instantánea a las entradas o perturbaciones. La respuesta transitoria es común clasificarla con base a los siguientes parámetros.

1. Tiempo de retardo

2. Tiempo de crecimiento

3. Tiempo pico

4. Sobreimpulso máximo

5. Tiempo de establecimiento

rtdt

pt

pM

st

a continuación se definen…0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t

c(t)

1

0st

pM

rt pt

Tiempo de retardo

. Es el tiempo que tarda la respuesta en alcanzar la mitad del valor final por primera vez.dt

Sistemas de segundo orden

2.- Tiempo de crecimiento, . Es el tiempo requerido para que la respuesta aumente de 0 a 100% para sistemas subamortiguados, del 5 al 95% o del 10 al 90% para sistemas críticamente amortiguados o sobreamortiguados.

rt

El tiempo de crecimiento se obtiene dando un valor de uno en la ecuación de respuesta de un sistema de segundo orden ante una entrada escalón.

1)1

(cos1)(2

rdrd

t tsentetc rn

01

cos2

rdrd tsent


0tan1

1costancos1

cos22

rdrdrdrdrd ttttt

o bien

d

d

d

drt

11 tan,tan1

d

rd t 21

tan

el tiempo de crecimiento es

d


3.- Tiempo pico, . Es el tiempo requerido para que la respuesta alcance el primer pico de sobreimpulso. El tiempo pico se obtiene derivando la ecuación de respuesta c(t) e igualándola a cero, con lo que se obtiene

pt

01

)(2

pntnpd etsen

dppd

pd

tt

sosobreimpulprimereleligese

sonecuaciónestasatisfacenquevaloreslostsen

.,,3,2,,0

,0

Sistemas de segundo ordenSOBREPASO

1)( pp tcM

dd

dd sene dn

2)(

1cos

ddn ee

21eM p

st

4. Es el valor pico máximo de la curva de respuesta medido desde la unidad o valor deseado. El sobreimpulso máximo se obtiene de la respuesta evaluada en el tiempo pico.

pM

5.- Tiempo de establecimiento,5.- Tiempo de establecimiento, . Es el tiempo mínimo donde la curva de respuesta alcanza y se mantiene dentro de un rango de error preestablecido, generalmente es del 2% o del 5%, el rango más común es el del 2%. Para sistemas de primer y segundo orden, la respuesta se mantiene dentro del 2% después de 4 constantes de tiempo:

44

4 n

s Tt


Ejemplo: Definir los parámetros de respuesta transitoria del sistema

)34(75ss

)(sR )(sC

Desarrollo:

La función de transferencia de lazo cerrado es

7534

75)()(

2

sssRsC

Se utiliza la siguiente igualdad

22

2

2 27534

75

nn

n

ssss


se obtiene

3752 n

342 n

375n

877876.03752

34

17

A partir de aquí se obtienen los parámetros de respuesta transitoria

segundostd

r 2849.0

86d

.499.0tan 1 radd

segundostd

p 33876.0

%315.000315.0 deM p

segundosts 23529.04

Nota: Analizar porque prs ttt


Ejemplo: De los siguientes parámetros de respuesta transitoria obtener la función de transferencia.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t

c(t)

127

0

142

0.75

Desarrollo: de la gráfica

1181.0127

127142 pMsegundosts 75.0

Estos dosParámetrosSon suficientes


De st3333.5

44 s

s tt

De y conociendo pM

84335.7ln

pdp M

eM d

Entonces

3333.584335.7d

48486.922 dn 56229.0

nn

96256.89666.10

96256.89

2)(

222

2

sssssG

nn

n

sistemas de segundo orden

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