Sistemas de segundo orden

Sistemas de segundo orden. y Un sistema convencional de segundo orden se muestra a continuacin:

y La ecuacin dinmica del sistema de carga es: + cBcJT

y Tomando la transformada de Laplace:

+= cBcJT

)()()( 2 B CCJT +y As que la funcin de transferencia es:

)()()( 2 sBsCsCJssT +=

sC 1)(BsJssT

sC+= 21

)()(

Sistemas de segundo orden. y Utilizando la funcin transformada:

y Calculando el sistema de lazo cerrado:y Calculando el sistema de lazo cerrado:

/)( JKKsC ==)/()/()( 22 JKsJBsKBsJssR ++++

Sistemas de segundo orden. y Respuesta al escaln unitario.y Reescribiendo la funcin de transferencia del sistema de lazo cerrado:

+ ++

=KBBsKBBs

JKsRsC

22

/)()(

+

++ JJJsJJJs 2222

y Los polos en lazo cerrado son complejos conjugados si:

042

Sistemas de segundo orden. y Respuesta al escaln unitario.y Para el anlisis de la respuesta transitoria se define:

K B

y Donde:

2nJ

K = nJB 22 ==

y Atenuacin.y n Frecuencia natural no amortiguada.y Factor de amortiguamiento relativo, tambin definido como:

B=JK2

Sistemas de segundo orden. y Respuesta al escaln unitario.y En trminos de yn, el sistema se convierte en:

y La funcin de transferencia del lazo cerrado se reescribe como:

2)(sC Forma estndar del22 2)(

)(nn

n

sssRsC

++=Forma estndar delsistema de segundo orden.

Sistemas de segundo orden. y Respuesta al escaln unitario.y Finalmente se obtendr la respuesta del sistema redefinido para unaentrada escaln unitario considerando tres casos diferentes:entrada escaln unitario, considerando tres casos diferentes:

1. Caso sub-amortiguado (0

Sistemas de segundo orden. y Respuesta al escaln unitario.1. Caso sub-amortiguado (0

Sistemas de segundo orden. y Respuesta al escaln unitario.1. Caso sub-amortiguado (0

Sistemas de segundo orden. y Respuesta al escaln unitario.1. Caso sub-amortiguado (0

Sistemas de segundo orden. y Respuesta al escaln unitario.1. Caso sub-amortiguado (0

Sistemas de segundo orden. y Respuesta al escaln unitario.1. Caso sub-amortiguado (0

Sistemas de segundo orden. y Respuesta al escaln unitario.2. Caso crticamente-amortiguado (=1):

Si 1 l d l i i l l ly Si =1, los dos polos son casi iguales, y la respuesta para un escalnunitario se escribe como:

C nn 11)(22

Y l f d d L l

ssssssC

n

n

nn

n

)(2)( 222 +=++=

y Y la transformada inversa de Laplace es:

)1(1)( tetc ntn +=

y Esto considerando el siguiente lmite:

( )tt 21sin)sin( ( ) ttt nnd == 2121 1 1sinlim1 )sin(lim

Sistemas de segundo orden. y Respuesta al escaln unitario.3. Caso sobre-amortiguado (>1):

Si >1 l d l l di i P d l ly Si >1, los dos polos son reales distintos. Para una entrada escaln, lasalida se escribe como:

C n 1)(2

Y l f d d L l

( )( ) ssssC nnnn n 11)( 22 +++= y Y la transformada inversa de Laplace es:

( ) ( ) ( ) ( ) tt nn eetc 122122 22 111)( + += ( ) ( ) 2222 112112)( +

Sistemas de segundo orden. y Respuesta al escaln unitario.3. Caso sobre-amortiguado (>1):

Si d fi Si se define:

( ) ns 121 += ( ) ns 122 = La salida del sistema se puede reescribir como:

( ) n1 ( ) n2

+=

2

21

121)( eetc

tstsn

212 12 ss

Sistemas de segundo orden. y Especificaciones de la respuesta transitoria.

y Al ifi l t ti d l t t it i d i t dy Al especificar las caractersticas de la respuesta transitoria de un sistema decontrol para una entrada escaln unitario, es comn especificar losiguiente:

1. Tiempo de retardo, td.

2 Tiempo de subida t2. Tiempo de subida, tr.

3. Tiempo pico, tp.

4. Sobreelongacin,Mp.

5. Tiempo de asentamiento, ts.

Sistemas de segundo orden. y Especificaciones de la respuesta transitoria.1. Tiempo de retardo, td.

2. Tiempo de subida, tr.p

3. Tiempo pico, tp.

4. Sobreelongacin,Mp.

5. Tiempo de asentamiento, ts.p

Sistemas de segundo orden. y Especificaciones de la respuesta transitoria.

y C id iy Consideraciones:

y La respuesta transitoria debe ser suficientemente rpida y amortiguada.p p y gy Para una respuesta transitoria conveniente, debe estar entre 0.4 y 0.8.y Valores pequeos de (0.8) producen respuestas muy lentas.y No es posible hacer que la sobreelongacin y el tiempo de subida seo es pos e ace que a so ee o gac y e t e po e su a sereduzcan de manera simultnea, es decir, si uno se reduce el otronecesariamente aumenta.

Sistemas de segundo orden. y Clculo de las especificaciones de la respuesta transitoria.y Tiempo de subida tr:

+== )sin(

1)cos(11)(

2 rdrdt

r ttetc rn

0)sin(

1)cos(

2=+ rdrd tt

1

drd t ==21)tan(

= drt 1tan1 dr

Sistemas de segundo orden. y Clculo de las especificaciones de la respuesta transitoria.y Tiempo pico tp:

0)( =tcdtd

01

)sin()(2

==

=pntn

pdtt

etdttdc

1= ptt

( ) 0sin =pdtpt

=d

p

Sistemas de segundo orden. y Clculo de las especificaciones de la respuesta transitoria.y Sobreelongacin mxima Mp:

1)( = pp tcM

t

+= )sin(

1)cos(

2 pdpdt

p tteM pn

+= ))/(sin(

1))/(cos(

2)/(

ddddpdneM

( ) 21/ = eM p

Sistemas de segundo orden. y Clculo de las especificaciones de la respuesta transitoria.y Tiempo de asentamiento ts:

n

T 1=

s Tt 44 == (Criterio del 2%)n

s Tt 33 == (Criterio del 5%)n

s

Sistemas de segundo orden. y Clculo de las especificaciones de la respuesta transitoria.

y Ej l bt l ti d bid d t i t iy Ejemplo: obtener el tiempo de subida, de asentamiento, pico ysobreelongacin mxima de un sistema de segundo orden sujeto a unaentrada escaln unitario y caracterizado por: =0.6 y n=5rad/s.