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SISTEMAS DINÁMICOS – IEM2º - Modelos de Sistemas Mecánicos

PROBLEMAS

P4.11 Para los sistemas mecánicos de traslación mostrados en la figura, se pide:

a) Funciones de transferencia entre la fuerza f y las velocidades de la masas.

b) Diagrama de bloques para la entrada y las salidas especificadas en a)

c) Estudiar las ganancias estáticas de las FdeT, y justificarlas físicamente.

P4.12 Para el sistema mecánico mostrado en la figura, se pide:

a) Función de transferencia entre la fuerza f y la compresión del muelle. Supóngase que todos los parámetros valen 1 en unidades del Sistema Internacional.

b) Diagrama de bloques del sistema para la entrada y salida especificadas en a)

c) Transformada de Laplace de la salida si la fuerza aplicada f es la mostrada en la figura e inicialmente las velocidades de las dos masas valen 0.5 m/s (en el sentido de la fuerza f ) y la compresión del muelle es igual 0.2 m.

K

4M

M 2D

f

D

t

f

2 N

5 N

3 s

2

P4.13 Para el sistema mecánico de la figura, obténgase:

a) La función de transferencia entre la fuerza f aplicada y la compresión del muelle, indicando la ganancia estática y la constante de tiempo.

b) Diagrama de bloques del sistema para la entrada y salida especificadas en a).

c) La respuesta en régimen permanente, en función de los parámetros mecánicos,

cuando la fuerza aplicada es f (t) = 2− cos ω ct +

π4

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

, siendo ωc la pulsación de

corte del sistema (la inversa de la constante de tiempo en este caso).

f

D1K

D2

P4.14 Para el sistema mecánico mostrado en la figura, se pide:

a) La función de transferencia entre una fuerza aplicada sobre la masa m1 (entrada) y la elongación del muelle de constante K2.

b) La función de transferencia entre una fuerza aplicada sobre la masa m2 (entrada) y la misma variable de salida del apartado a).

c) La elongación del muelle de constante K2 en régimen permanente, cuando se aplica una fuerza f = 20cos(2t + π/3) en N. Considérese también el efecto del peso de ambas masas tomando g = 10 m/s2.

3

P4.15 En la figura se muestra el dispensador de platos de un restaurante que consiste en una pila de platos apoyada en un pistón soportado por un muelle. Cada vez que se dispensa un plato, la reducción del peso sobre el resto de platos ocasiona que el pistón y la pila de platos ascienda. Supóngase que inicialmente hay n+1 platos apilados, que la masa de cada plato es m, que la masa del pistón es M, que la fricción viscosa entre el pistón y las paredes del cilindro es D y que la constante del muelle es K. Obténgase:

a) La transformada de Laplace de la deformación y del muelle, suponiendo que el origen de tiempos es el instante en el que se dispensa el plato superior.

b) Calcúlese el número máximo de platos que garantiza una respuesta sobreamortiguada compuesta de términos exponenciales.

P4.16 Para los sistemas mecánicos de rotación mostrados en la figura, se pide:

a) Funciones de transferencia entre el par T y las velocidades angulares de los elementos inerciales.

b) Diagrama de bloques para la entrada y salidas especificadas en a)

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P4.17 Para el sistema mecánico de rotación de la figura, se pide:

a) Diagrama de bloques con entrada el par T y salida la velocidad ω, donde únicamente aparezcan integradores, ganancias y sumadores y usando valores genéricos para los parámetros.

b) Función de transferencia entre ambas variables.

c) Si T es una sinusoide de amplitud igual a 2 Nm, frecuencia 0.5 Hz y con un valor medio de 1 Nm, obtener el valor medio, la amplitud, frecuencia y desfase de la sinusoide que resulta en régimen permanente en la aceleración angular del elemento inercial.

P4.18 Para el sistema mecánico de rotación de la figura, obténgase la transformada de Laplace de la velocidad angular relativa entre los dos elementos inerciales J1 y J2 si el par T aplicado es el mostrado en la figura e inicialmente las posiciones angulares de los elementos inerciales valen 0.5 rad y 0.25 rad y sus velocidades angulares iniciales valen -2 rad/s y 1 rad/s, respectivamente. Considérese el sentido del par como el sentido positivo para los desplazamientos y velocidades angulares.

J1

J2

D

T

K1

K2

K1

K2

D

T ω

D1

D2

J

K1

K2

J1 = 2 Kg.m2  J2 = 1 Kg.m2  K1 = 1 N.m K2 = 0.5 N.m D = 2 N.m.s

T

-2 Nm

5 Nm

8 s t

J = 2 kg.m2 D1 = 1 N.m.s D2 = 0.5 N.m.s K1 = 1 N.m K2 = 2 N.m

5

P4.19 El sistema mecánico de la figura consta de un cilindro lleno de aceite que puede rotar libremente sobre su eje y un émbolo que puede girar en su interior. El eje del émbolo tiene una resistencia a la torsión representada por los muelles que aparecen en la figura. Se pide:

a) Un diagrama de bloques donde la entrada sea el par T aplicado al cilindro y la salida sea la velocidad angular relativa entre el émbolo y el cilindro.

b) La función de transferencia, obtenida a partir del diagrama de bloques anterior, si todos los parámetros valen 1 en unidades del sistema internacional.

4J

J

D

T

KK

P4.20 En la figura se muestra el sistema de control de la posición angular θ del eje de un motor. Un amplificador suministra la corriente i al motor proporcional (con ganancia KP) al error o diferencia entre el valor deseado de la posición (representado por una tensión vref) y la tensión de medida de la misma vo . La tensión de medida vo es suministrada por un sensor de ganancia KS. El motor aplica un par M proporcional a su corriente i, con constante de proporcionalidad KM, accionando una carga mecánica de inercia J, fricción viscosa D y constante de deformación angular K. Se pide.

a) Un diagrama de bloques con entrada vref y salida vo donde únicamente aparezcan integradores, ganancias y sumadores.

b) Valor de KP para que la función de transferencia del diagrama de bloques obtenido en a) tenga un polo real doble.

c) Pulsación de la sinusoide que habría que aplicar en la entrada para obtener un desfase de -90º en la sinusoide que aparece en la salida. Calcúlese, en ese caso, la amplitud de la sinusoide en vo, si la amplitud de la sinusoide en vref es 5 V.

θM J

D

+

-KP

vo

vref

i

K

Sensorde

posición

KM = 3 N.m/A KS = 10 V/rad J = 2 kg. m2 D = 20 N.m.s K = 20 N.m

6

SOLUCIONES

P4.11

1. ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−++=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

120

XX

KKKKDsMs

F

451

)()(1

+=ssF

sV

GE=1/D. La fuerza se equilibra con el rozamiento.

2. ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

++−−

−−++=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

2

12

2

0 XX

KDssMKDsKDsKDssMF

)22(1

)()(

2

21

++++

=sssss

sFsV

)22(1

)()(

22

+++

=sss

ssFsV

GE=”∞” Sistemas inestables. Una fuerza constante F produce aceleraciones constantes: a1=a2=F/(M1+ M2)

3. ( ) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++−

−+−

−

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

211

1120

0

00

XXX

sDDMssDsDKsDK

KKF

2101

)()(3

+=

ssFsV

GE=1/D2. Las velocidades de los tres nudos son iguales, y la fuerza se equilibra

con el segundo rozamiento.

V1 X1V1

X1X2F F

V2 X2

X1 X2F

V3 X3

V2

1s

1s

1s

1s

1s

1s

1s

1s

1s

K

K1/K

1/M2

K

D

1/M1

1/K

D1

D1+D2

1/M

1/D1

D

1/M

7

4. ( ) ( )( ) ( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−−

−+++++−

−+−+++

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

33

34321221

212112

2

00

XXX

KsDsDKsDsDDDDsMsDDKsDDKsDDsMF

601701001620174

)()(

23

21

+++++

=sss

sssFsV

6017010016158

)()(

232

++++

=sss

ssFsV

GE1=1/3 m/N.s GE2=1/4 m/N.s En régimen permanente constante:

V1=V3 F=D4V2=(D1+D2+D3)(V1-V2)

V1 X1F

V2 X2

V3 X31s

1s

1s

1s

1s

D3

1/D3

1/M2

K

D1+D2

1/M1

D4

D3

P4.12

a) La función de transferencia es s4s3 +11s2 + 7s +1

b) Diagrama de bloques:

8

c) La transformada de Laplace de la salida es: 5 1− e−3s( )

4s3 +11s2 + 7s +1+ 0.8s

2 + 2.2s − 0.14s3 +11s2 + 7s +1

P4.13

a) La función de transferencia es

G(s) =

D2

K D1 + D2( )

G(0)

D1D2

K D1 + D2( )τ

s +1

b) Diagrama de bloques:

c) La respuesta en régimen permanente es

D2

K D1 + D2( ) 2− 1

2cos

K D1 + D2( )D1D2

t⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

P4.14

Considerando desplazamientos y fuerzas hacia abajo:

a) La función de transferencia es G1(s) =0.2s2 + 0.02s +1

s4 + 0.1s3 +19s2 + 0.4s + 20

9

b) La función de transferencia es G2 (s) =−0.5s2

s4 + 0.1s3 +19s2 + 0.4s + 20

c) La elongación en régimen permanente es 2.5 − cos 2t + 4π3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

P4.15

a) La transformada de Laplace de la deformación del muelle es:

Y (s) = 1M +mn( )s2 + Ds + K

− M +mn( )gs

+

− M +m n +1( )( )gK

M +mn( )s + D( )M +mn( )s2 + Ds + K

b) El número máximo de platos es D2

4K−M

m

P4.16

1. ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+++−−

−−+++=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

322222

2222112

2 )(0θ

θ

KKsDsJKsDKsDKsDDsJ

T

2799953215

)9()()(

2341

++++

+=

ssssss

sTsV

2799953215)995(

)()(

234

22

++++

++=

sssssss

sTsV

V2 th2T

V1 th11s

1s

1s

1s

1/J1

K2

D2

1/J2

D1

K3

10

2. ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

++−−

−−+++=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

322

2211

)()(

0

2

θ

θ

KsDDKsDKsDKsDDsJT

24212

)()(

21

++

+=

sss

sTsV

V1 th1T

V2 th21s

1s

1s

1/D3

K

D2

1/J1

D1

P4.17

a) Diagrama de bloques:

b) La función de transferencia es G (s) = 0.5s2 + 2ss3 + 4.5s2 + 3.5s + 2

c) La aceleración angular en régimen permanente es 1.07sen π t + 0.225( )

11

P4.18

La transformada de Laplace de la salida es:

( )2 8 3 2

4 3 2 4 3 2

2.5 1 3 0.875 0.256 2.5 4 1 6 2.5 4 1

−− − − − −+

+ + + + + + + +

ss e s s ss s s s s s s s

P4.19

a) Diagrama de bloques:

b) La función de transferencia es G (s) = −0.25s2 − 0.5s3 +1.25s2 + 2s + 0.5

P4.20

a) Diagrama de bloques:

b) KP = 1

c) La pulsación es 5 rad/s y la amplitud de la sinusoide en la salida es 1,5 V