slides am nozioni finanziarie
DESCRIPTION
Nozioni di base di Analisi e Matematica finanziariaTRANSCRIPT
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Ripasso di finanza di base
Nicola Borri
LUISS
Questa versione: October 2, 2014
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I Le slides che seguono sono basate su J. Cochrane, InvestmentNotes, November 2006, disponibile sulla pagina web del corsoo direttamente sulla sua pagina personale.
I Dovreste avere studiato la maggior parte dei concetticontenuti nelle slides che seguono - o almeno una gran parte -nei corsi di finanza e/o matematica finanziaria e econometriadei corsi triennali.
I Qualora questi concetti risultino del tutto nuovi, fateriferimento a Cochrane (2006) o a qualsiasi altro testointroduttivo di finanza per una analisi piu dettagliata diquella che potro fare in classe.
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Nota linguistica
Come potete ben immaginare, in finanza linglese e la lingua piuutilizzata, sia nella teoria che nella pratica. Per questa ragione,manterro in inglese molti termini la cui traduzione, pur possibile,suonerebbe artificiale.
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Outline
Notazione e definizione di rendimenti
Probabilita e statisticaProbabilitaStatisticaRegressioniSerie storiche
Massimizzazione
Algebra lineare
Stocks
Fixed income (bonds)NotazioneValore attesoYieldForward ratesHolding period returnsYield curveDurationImmunizzazione
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Outline
Notazione e definizione di rendimenti
Probabilita e statisticaProbabilitaStatisticaRegressioniSerie storiche
Massimizzazione
Algebra lineare
Stocks
Fixed income (bonds)NotazioneValore attesoYieldForward ratesHolding period returnsYield curveDurationImmunizzazione
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Notazione temporale
I Utilizzeremo pedici per descrivere quando una cosa avviene:e.g., P2014 e il prezzo alla fine dellanno 2014.
I Indicheremo il prezzo al tempo t con Pt , il tasso di interesseal tempo t con Rt , etc.
I Talvolta, quando il timing e particolarmente importante,utilizzeremo una notazione piu precisa: e.g., Rt,t+1 denota iltasso di rendimento dal tempo t al tempo t + 1.
I Oggi e in genere indicato come tempo t = 0.
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Rendimenti
I Con R indichiamo il rendimento lordo (o piu comunemente iningelse gross return): e.g.,
R =$ payoff
$ investment.
I Per unazione che paga un dividendo pari a Dt :
Rt+1 =Pt+1 + Dt+1
Pt=
$ payoff at t + 1
$ investment at t.
I Un gross return e un numero come 1.1 per un rendimento del10%.
I Il rendimento netto (o piu comunemente in inglese netreturn) e pari a:
rt+1 = Rt+1 1.I Il rendimento percentuale e:
100 rt+1.
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Rendimenti
I Il rendimento log o continuously compounded e pari a:
rt = ln Rt ,
per esempio, ln(1.10) = 0.09531 or 9.531%.
I Il real return corregge per il tasso di inflazione:
R realt+1 =Goods back at t + 1
Goods paid at t.
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Rendimenti
I Lindice dei prezzi al consumo e definito come:
CPIt $t
Goodst; t+1
CPIt+1CPIt
.
I Possiamo utilizzare i dati su CPI per trovare i rendimenti reali:
R realt+1 =$t+1
Goodst+1$t+1
$t Goodst$t=
$t+1 1CPIt+1$t 1CPIt
= Rnominalt+1CPIt
CPIt+1=
Rnominalt+1t+1
.
I Quindi, per trovare i rendimenti reali dobbiamo semplicementedividere i gross returns per il gross inflation rate.
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Rendimenti
I E lequazione di Fisher? Nota che questa equazione vale per ilog returns:
ln R realt+1 = ln Rnominalt+1 ln t+1.
I E quindi vero solo dopo una approssimazione che possiamofare la stessa cosa per i net returns:
Rnominalt+1t+1
=1 + r nominal
1 + r nominal ,
lapprossimazione e innocua per tassi di inflazione bassi.
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Rendimenti
I Utilizzando la stessa idea utilizzata per trovare i rendimentireali, possiamo trovare i rendimenti in dollari di strumentifinanziari denominati in valuta diversa dal dollaro.
I Supponi di avere un titolo italiano che paga un rendimentolordo in Euro (E):
R ITt+1 =E payoff at t + 1
E investment at t.
I Definisci il tasso di cambio come:
e$/Et =$tEt
,
allora:
R$t+1 =$t+1$t
=Et+1
Et
$t+1/Et+1$t/Et
= REt+1e$/Et+1
e$/Et.
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Rendimenti capitalizzati (compound returns)
I Supponi di detenere uno strumento che paga il 10% per annoper 10 anni.
I Cosa ottieni con un investimento di $1?
I La risposta corretta non e certo $2 ($1 + 10 0.1), dalmomento che accumuli interessi sugli interessi
I La risposta corretta e data dal rendimento capitalizzato ocompounded (compound return).
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Rendimenti composti
I Denota con Vt il valore al tempo t. Allora:
V1 = RV0 = (1 + r)V0
V2 = R (RV0) = R2V0VT = R
TV0.
I Quindi, RT e il compound return.
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Rendimenti capitalizzati (compound returns)
I Calcolare esponenziali con carta e penna non e sempre facile.Per questa ragione, i log returns sono molto utili.
I Ricorda che:
ln(ab) = ln a + ln b; ln(a2) = 2 ln a.
I Quindi:
ln V1 = ln R + ln V0
ln VT = T ln R + ln V0.
I In altre parole, il compound log return e pari a T volte il logreturn periodale.
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Rendimenti capitalizzati (compound returns)
I Considera ora un problema multi-periodale. Il T -period returne pari a:
R1 R2 . . . RT ,
mentre il T -period log return e pari a:
ln R1 + ln R2 + . . . ln RT .
I Con i log returns, possiamo anche sottrarre al posto didividere per ottenere i rendimenti reali esatti, o per fareconversioni di valuta:
R real =Rnominal
ln(R real) = ln Rnominal ln .
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Rendimento capitalizzato intra-periodale
I Considera un bond che paga il 10% capitalizzato semi-annualmente:i.e., due pagamenti del 5% sono fatti con un intervallo di sei mesi.
I In questo caso, il rendimento complessivo annuale (lordo) e pari a:
(1.05)(1.05) = 1.1025 = 10.25% > 10%.
I E se il rendimento fosse capitalizzato trimestralmente?
(1.025)4 = 1.1038 = 10.38% > 10.25%.
I Capitalizzato N volte:
(1 +r
N)N .
I Se capitalizziamo in maniera continua o istantanea:
limN
(1 +r
N)N = 1 + r +
1
2r2 + . . . = er .
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Rendimento capitalizzato intra-periodale
I Se il rendimento capitalizzato lordo e pari a R = er quandocapitalizziamo nel continuo, allora possiamo trovare ilcontinuously compouneded o log return come r = ln R.
I Per esempio: un rendimento dichiarato del 10% capitalizzatonel continuo e in realta un rendimento lordo pari ae10% = 1.1057 = 10.517%.
I Quale il rendimento su tre anni di un titolo che paga unrendimento dichiarato pari a R, capitalizzatosemi-annualmente?
I Deve essere pari a:
(1 +r
2)23.
I In maniera simile, il rendimento capitalizzato nel continuo suT anni e pari a: erT .
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Outline
Notazione e definizione di rendimenti
Probabilita e statisticaProbabilitaStatisticaRegressioniSerie storiche
Massimizzazione
Algebra lineare
Stocks
Fixed income (bonds)NotazioneValore attesoYieldForward ratesHolding period returnsYield curveDurationImmunizzazione
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Variabili aleatorie (random variables)
I Modelliamo i rendimenti azionari come random variables.
I Una random variable puo assumere uno tra diversi valori, conuna probabilita associata.
I Per esempio:
Value Probability1.1 1/5
R = 1.05 1/51.00 2/50.00 1/5
I Ogni valore e una delle possibili realizzazioni della randomvariable.
I Nota come le probabilita sommino a 1.
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Random variables
I La distribuzione (o density) di una random variable e una listadei valori che puo assumere insieme alle associate probabilita.
I Per esempio, la distribuzione dellesempio precedente puoessere illustrata graficamente come segue:
0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
gross return
pro
babili
ty
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Random variables
I Spesso pensiamo a random variables continue, ovvero chepossano assumere un qualsiasi numero reale.
I In maniera simile al caso appena visto di distribuzionediscreta, ora parleremo di distribuzione di probabilitacontinua f (R) (continuos density).
I La density ci dice la probabilita per unita di R: f (R0)R cidice la probabilita che la random variable R sia tra Ro eR0 + R.
I Unipotesi molto comune e che i returns (o i log returns)siano distribuiti come una normale (normally distributed). Inquesto caso la density e data da una funzione specifica:
f (R) =12
exp[ (R )2
22].
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Distribuzione normale
0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.5
1
1.5
2
2.5
= 8%, = 16%
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Distribuzione normale
I Circa il 30% della probabilita di una distribuzione normale sitrova piu di una standard deviation () dalla media ().
I E circa il 5% si trova piu di due standard deviations dallamedia (per la precisione, la linea del 5% si trova 1.96 standarddeviation dalla media).
I Interpretazione: vi e solo una probabilita pari a 1/20 = 5%di osservare un valore piu di due standard deviations dallamedia di una distribuzione normale.
I I rendimenti azionari hanno fat tails, nel senso che e un popiu facile osservare valori estremi rispetto al caso di unadistribuzione normale.
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Momenti
I Spesso riassumiamo il comportamento di una variabilealeatoria attraverso alcuni momenti (moments), come lamedia e la varianza.
I Con Ri denotiamo il valore generico che una random variableR assume con probabilita i .
I La media e definita come:
E (R) = possible values i
iRi ,
e ci dice dove si trova R in media.
I La varianza e definita come:
2(R) = E [(R E (R))2] = i
i [Ri E (R)]2,
e ci dice quanto lontano R sia in genere dalla media.
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Momenti
I La covarianza e definita come:
cov (Ra,Rb) = E [(RaE (Ra))(RbE (Rb))] = i
i [Rai E (Ra)][Rbi E (Rb)],
e misura la tendenza di due rendimenti a muoversi insieme.
I Quando la covarianza e positiva (negativa) i rendimenti si muovononella stessa (opposta) direzione. Se la covarianza e zero, non vi enessuna tendenza per un rendimento ad essere elevato quando ilsecondo e basso.
I La dimensione della covarianza dipende dallunita di misura (deirendimenti).
I Il correlation coefficient risolve questo problema:
Corr(Ra, Rb) = =cov(Ra, Rb)
(Ra)(Rb).
I Il correlation coefficient e per definizione tra -1 e 1.
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Momenti
I Per random variables nel continuo, le somme diventanointegrali.
I Per esempio, la media diventa:
E (R) =
Rf (R)dR.
I Nel caso di distribuzione normale, la media e pari alparametro e la varianza al parametro 2.
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Momenti di combinazioni di random variables
I Le costanti escono dai valori attesi, e il valore atteso di unasomma e pari alla somma dei valori attesi.
I Se c e d sono numeri:
E (cRa) = cE (Ra),
E (Ra + Rb) = E (Ra) + E (Rb).
I Piu in generale:
E [cRa + dRb] = cE (Ra) + dE (Rb).
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Momenti di combinazioni di random variables
I La varianza di somme funziona come per calcolare unquadrato:
var(cRa+dRb) = c2var(Ra)+d2var(Rb)+ 2cd cov(Ra, Rb).
I Le covarianza funzionano in maniera lineare:
cov(cRa, dRb) = cd cov(Ra, Rb).
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Distribuzioni normali
I Le distribuzioni normali hanno unaltra proprietaparticolarmente utile.
I Combinazioni lineari di random variables distribuite come unanormale sono a loro volta distribuite come una normale.
I Se Ra e Rb sono distribuite come normale, allora:
Rp = cRa + dRb
e anche distribuito come una normale, con media e varianzache seguono le formule viste nelle slides precedenti.
I Nota che possiamo pensare a Rp come il rendimento di unportafoglio composto dai titoli a e b, con pensi c e d .
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Distribuzioni log-normali
I Una variabile R e lognormally distributed se r ln(R) enormally distributed.
I Questa e una distribuzione particolarmente utile per azioni eobbligazioni in quanto i (gross) returns sono tali per cui non sipossa perdere piu di quanto si e investito (R > 0).
I Al contrario, se R e distribuito come una normale stiamoimplicitamente assumendo che possa assumere valori negativi.
I Dal momento che R = e lnR = er per definizione, e per casoanche vero che E (R) = eE (r )?
I Certamente no, dal momento che E [f (x)] 6= f [E (x)] ... maqualcosa di non troppo diverso e vero:
E (R) = eE (r )+1/22(r ).
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Distribuzioni log-normali
I Per la varianza le cose sono leggermente piu complicate.
I Nota come R2 = e2r e quindi e lognormally distributed.
I Allora:2(R) = e2E (r )+
2(r )[e2(r ) 1].
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Distribuzioni log-normali
I Dal momento che combinazioni lineari di normali sononormali, il prodotto di log-normali e distribuito come unalog-normale.
I Per esempio:R1R2 = e
r1+r2 ,
dal momento che r1 e r2 sono normali, allora lo e ancher1 + r2, e quindi R1R2 si distribuisce come una log-normale.
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Statistica
I Supponi di non conoscere le probabilita.
I In questo caso devi stimarle in un campione.
I In maniera simile, se non conosci media, varianze, etc. alloradovrai stimarle.
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Media campionaria (sample mean)
I La media o media campionaria e pari a:
R =1
T
T
t=1
Rt ,
dove {R1, R2, . . . , RT} e un campione di dati sui rendimentiazionari.
I Tieni a mente la distinzione tra sample mean e la media verao population mean.
I Quando il campione diviene sempre piu grande, la samplemean si avvicina alla population mean. Questa proprieta echiamata consistency.
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Varianza campionaria (sample variance)
I La varianza campionaria e pari a:
s2 = 2 =1
T 1T
t=1
[Rt R ]2.
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Variazione dei momenti campionari
I Nota come la sample mean, la standard deviation, e altrestatistiche, variano da campione a campione e quindi sonorandom variables.
I Al contrario, la population mean e variance sono solo numeri.
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Variazione dei momenti campionari
I Iniziamo con la variazione della sample mean.
I Supponiamo che tutti gli Rt siano estratti dalla stessadistribuzione, allora:
R =1
T
T
t=1
Rt
E (R) =1
T
T
t=1
E (Rt) = E (R).
I Questo risultato dimostra come la sample mean sia unbiased:in media, su diversi campioni, la sample mean rivela la veramedia.
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Variazione dei momenti campionari
I La varianza della sample mean e pari a:
2(R) = 2(1
T
T
t=1
Rt) =1
T 2
T
t=1
2(Rt) + covariance terms.
I Se ipotizziamo che i rendimenti siano i.i.d. (independent andidentically distributed) otteniamo una formula che probabilmentericorderai:
2(R) =2(R)
T,
or
(R) =(R)
T.
I Per i rendimenti azionari, lipotesi che cov(Rt , Rt+1) e abbastanzabuona.
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Variazione dei momenti campionari
I Supponi ora di non conoscere .
I Puoi stimare la variazione campionaria della sample meanutilizzando la tua stima per , ovvero la standard deviation:
(R) =(R)
T.
I Questa formula e in genere utilizzata per misurare lincertezza dellamedia campionaria, e per testare che la media campionaria siauguale a qualche valore, tipicamente zero (ti ricorda nientelespressione t-test?).
I Questo test e in genere basato su un intervallo di confidenza(confidence interval).
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Intervallo di confidenza
I Supponi ora di assumere distribuzioni normali.
I Lintervallo di confidenza per la media e dato dalla sample meanpiu o meno 2 standard errors (per essere precisi: 1.96).
I Interpretazione: se la vera media fosse al di fuori dellintervallo,allora ci sarebbe una probabilita inferiore al 5% di osservare unamedia campionaria grande (o piccola) quanto quella che osserviamo.
I Con la potenza di calcolo dei computer abbiamo ora a disposizioneun metodo piu semplice: il p-value o probability value.
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P-value
I Possiamo calcolare la probabilita che la sample mean risulti esserealmeno grande come il valore osservato () data lipotesi nulla.
I Questa operazione e equivalente a calcolare larea al di sotto delladistribuzione della media campionaria passato il valore della mediacampionaria che osserviamo, data una ipotesi (null hypothesis)relativa al vero valore della media.
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P-value
0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.5
1
1.5
2
2.5
distribution ofsample mean
hypothesis: the true samplemean is here
sample mean thistime
pvalue = area to the rightof vetical bar
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T-test
I In genere, i test sono fatti utilizzando la t-distribution.
I Infatti e possibile dimostrare che il rapporto:
T
R E (R)
si distribuisce come una t-distribution.
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Regressioni
I In finanza in genere utilizziamo regressioni del tipo: unrendimento sul rendimento di mercato:
Rt = + Rm,t + et ; t = 1, 2, . . . , T ,
o regressioni multiple di rendimenti sul rendimento di unaserie di portafogli:
Rt = + Rm,t + Rp,t + et ; t = 1, 2, . . . , T .
I Utilizzeremo pacchetti software che utilizzano formulestandard per fare regressioni (per esempio Excel, o Matlab).
I Queste formule sono basate su una serie di ipotesi (che sonoin genere sbagliate per una data regressione!) che e beneavere a mente.
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Regressioni
I Ecco una lista di alcuni risultati importanti che riguardano leregressioni:
1. il valore in una popolazione di un singolo coefficiente e:
=cov(y , x)
var(x);
2. la regressione restituisce il vero (o meglio: e unbiased)solo se il termine di errore non e correlato con le variabili adestra delluguale;
3. in una regressione multipla, 1 cattura leffetto su yesclusivamente di movimenti di x1 che non sono correlati conmovimenti di x2.
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Regressioni: formule con matrici
I Il modello di regressione lineare e: Y = X + e, dove Y eun vettore (T,1), X e una matrice (T,k), e un vettore(k,1) e e e un vettore (T,1).
I La stima nel modello OLS e pari a:
= (X X )1X Y .
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Regressioni: formule con matrici
I Gli standard errors misurano la variabilita di rispetto adiversi campioni:
2() = (X X )12e .
I Questa formula e valida solo se gli errori hanno la stessavarianza e non sono correlati luno con laltro.
I Per stimare questa quantita iniziamo dal trovare gli errori:e = Y X per poi formare la varianza degli erroris2 = var(e).
I Quindi:2() = (X X )1s2.
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R-square
I Una volta ottenuti gli errori, possiamo anche calcolare ilR-square:
R2 =var(X )
var(Y )= 1 var(e)
var(Y ).
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Cosa accade se gli errori hanno diversa varianza, o sonocorrelati? (1/2)
I Ricorda come si calcola la varianza di :
2() = 2[(X X )1X Y ]
= 2[(X X )1X (X + e)]
= 2[(X X )1X e]
= E [X X )1X eeXX X )1]
I Nellultima riga abbiamo utilizzato lipotesi che E (e) = 0 e laformula var(Ax) = Acov(x , x )A.
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Cosa accade se gli errori hanno diversa varianza, o sonocorrelati? (2/2)
I Definisci = E (ee).I Allora:
2() = (X X )1X X (X X )1. (1)
I Se i 2(et) sono tutti identici (per ogni t) e (etes) = 0 (noncorrelati) allora e diagonale:
E (ee) = = 2e I ,
e la formula e quella standard.
I Altrimenti dobbiamo utilizzare la formula (1) con .
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Regressioni GLS
I Se 6= 2I , allora la stima GLS e piu efficiente:
GLS = (X1X )1X 1Y .
I In practica, la procedura GLS funziona come segue:
1. fai una OLS;2. trova e;3. usa e per stimare ;4. fai una GLS.
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Regressioni GLS
I Gli standard errors di una stima GLS sono:
(GLS ) = (X1X )1.
I Dimostrazione:
(GLS ) = 2[(X 1X )1X 1Y ]
= 2[(X 1X )1X 1(X + e)]
= 2[(X 1X )1X 1e]
= E [(X 1X )1X 1ee1X (X 1X )1] (2)
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OLS vs. GLS
I Quando gli errori non soddisfano lipotesi OLS ( 6= 2e I ),allora GLS e piu efficiente.
I Questo significa che per un T grande, abbiamo che(GLS ) < (OLS ).
I Tuttavia, e abbastanza comune in finanza utilizzarecomunque le stime OLS:
1. OLS e comunque unbiased (non distorto): E (OLS ) = .2. OLS e potenzialmente inefficiente, ma questa caratteristica
non e sempre vitale.3. Perch utilizziamo comunque OLS? Perche talvolta invertire
una matrice 1 puo creare problemi.
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OLS vs. GLS
I Nota che sebbene in finanza sia comune luso di OLS, questonon significa che si utilizzi la standard error formula.
I Se 6= 2e I , allora la standard formula OLS e distorta etroppo ottimistica.
I Per questa ragione, se usiamo stime OLS, allora e importanteutilizzare la formula generale (1) o qualche proceduraequivalente (cf. Fama-MacBeth).
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Serie storiche
I Una serie storica (time series) e un insieme di osservazioniripetute di una random variable: per esempio, il rendimento diun titolo azionario i ogni mese per un dato intervallotemporale.
I Denotiamo una time series come: x1, x2, . . . , xt , . . ..I Time series hanno medie e varianze: E (xt) e 2(xt).
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Momenti condizionali vs. non-condizionali
I A volte le time series si muovono lentamente nel tempo(temperatura, price-earning ratios, etc.); altre volte sono menoprevedibili (stock returns, una serie di lanci di una monetina).
I Queste proprieta sono catturate dalle conditional mean evariances.
I Per esempio, utilizzando tutta linformazione disponibile a t,quale e la media di xt+1? Possiamo scrivere la stessadomanda come Et(xt+1), o E (xt+1|It), dove con It si indica ilinformation set.
I Al contrario, le mean e variances regolari sono chiamateunconditional.
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White noise
I Il blocco di partenza di un modello time series e il cosiddettoprocesso white noise, in genere indicato con e.
I Un white noise e come il lancio di una moneta, ovverocompletamente imprevedibile nel tempo.
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White noise
I Iniziamo con un white noise a media zero:
Et(et+1) = E (et+1),
e conditional variance costante:
2t (et+1) = 2(et+1) =
2e .
I Chiaramente, la autocorrelation del white noise e pari a zero:
corr(et , et+j ) = corr(et , etj ) = 0.
I Dal momento che abbiamo ipotizzato un processo a mediazero, possiamo anche scrivere:
E (etet+j ) = E (etetj ) = 0.
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Processo MA
I Utilizzando come punto di partenza il white noise, possiamoora costruire un processo moving average o processo MA.
I Il processo MA(1) e:
xt = et + et1.
I In maniera simile, il processo MA(2) e:
xt = et + 1et1 + 2et2.
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Processo MA
I Il processo MA(1) introduce persistenza, e serve a catturare ilfatto che la conditional mean possa essere diversa dallaunconditional mean:
Et(xt+1) = Et(et+1 + et) = et
Et(xt+2) = Et(et+2 + et+1) = 0
I Il processo MA(2) ricorda shocks per 2 periodi.
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Processo MA
I Trucco per lavorare con processi MA: elementi con indiceminore o uguale a t sono noti al tempo t e quindi sono solonumeri, non random variables: rimangono nella formula per laconditional mean. Elementi con indice maggiore di t sonoinvece random variables con conditional mean pari a zero.
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Processo MA
I Le conditional mean per un processo MA(1) sono:
2t (xt+1) = 2t (et+1 + et) =
2e
2t (xt+2) = 2t (et+2 + et+1) = (1 +
2)2e2t (xt+3) =
2t (et+3 + et+3) = (1 +
2)2e2t (xt+j ) =
2t (et+j + et+j1) = (1 +
2)2e ; j 3
I Nota che abbiamo utilizzato il fatto che gli et non sonocorrelati nel tempo e hanno la stessa conditional variance adogni orizzonte.
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Processo MA
I Il processo MA(k) ha un memoria di k periodi: dopo k periodidimentica da dove viene.
I Nella slide che segue, rappresento graficamente la conditionalmean e variance di un processo MA(2), ipotizzando1 = 2 = 1 e et = et1 = et2 = 1.
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Processo MA
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.5
1
1.5
2
2.5
3
j periods ahead
Conditional mean and standard deviation of MA(2)
E
t (x
t+j)
t (x
t+j)
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Medie e trends
I Molte time series non si muovono attorno a un trend a mediazero.
I Per tenerne in conto, possiamo semplicemente aggiungere unacostante:
xt = + et + 1et1,
in modo che tutto si sposti parallelamente verso lalto di .
I Alcune time series (per esempio, il PIL) hanno un trendpositivo nel tempo t:
xt = a + b t + et + 1et1.
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Modelli AR
I Una diversa strada per complicare il modello white noise einvece quella del processo autoregressivo o processo AR.
I Il processo AR(1) e:
xt = xt1 + et .
I Il processo AR(2) e:
xt = 1xt1 + 2xt2 + et .
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Modelli AR
0 1 2 3 4 5 6 7 8 90
0.5
1
1.5
j periods ahead
Conditional mean and standard deviation of AR(1)
E
t (x
t+j)
t (x
t+j)
-
Modelli AR
0 5 10 15 20 25 30 35 408
6
4
2
0
2
4
6Simulations of AR(1)
rho = 0.1
rho=0.9
-
Modelli AR
I Nota come:
1. la conditional mean decade geometricamente verso launconditional mean;
2. la conditional standard deviation aumenta lentamente e tendealla unconditional standard deviation;
3. valori maggiori di inducono una maggiore persistenza nellatime series.
-
Fittare un modello
I Per iniziare, cosa significa fittare un modello? Per esempio,capire quale processo AR o MA meglio descrive unatime-series (stock returns, etc.).
I I processi AR sono particolarmente convenienti perchepossono essere fittati con una semplice regressione(aggiungendo una constante).
-
Modelli piu complessi (1/2)
I Il valore futuro di una variabile, xt , potrebbe essere legato ai valoripassati di unaltra variabile yt .
I Per esempio: sembra sia possibile prevedere i rendimenti azionariattraverso il D/P ratio oltre che utilizzando rendimenti passati.Possiamo modellizzare questo risultato attraverso un multi-variableAR(1):
xt = x + xxxt1 + xyyt1 + ext
yt = y + yxxt1 + yyyt1 + eyt
I Possiamo scrivere la stessa cosa in forma compatta attraverso unavector autoregression (VAR):
zt = + Azt1 + et
zt =
[xtyt
]; =
[xy
]; A =
[xx xyyx yy
]; et =
[exteyt
],
che possiamo fittare attraverso due regressioni OLS separate.
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Modelli piu complessi (2/2)
I Supponi invece di volere modellare una time series che mostripersistenza nella volatilita come nella media.
I I modelli visti fino ad ora non sono adatti, in quanto t(xt+1) econstante.
I ARCH e GARCH sono modelli adatti a questo scopo.
I Per esempio, i tassi di interesse sono piu volatili quando i tassi diinteresse sono elevati. Possiamo rappresentare questaipotesi/evidenza in un modello di term structure come segue:
xt+1 = + xt +
xtet+1.
I In questo modello, quando il livello di x e elevato, anche laconditional variance e elevata (questo modello e chiamato squareroot ).
-
Outline
Notazione e definizione di rendimenti
Probabilita e statisticaProbabilitaStatisticaRegressioniSerie storiche
Massimizzazione
Algebra lineare
Stocks
Fixed income (bonds)NotazioneValore attesoYieldForward ratesHolding period returnsYield curveDurationImmunizzazione
-
Massimizzazione
I Tipico problema in finanza:I Quanto un investitore deve consumare vs. risparmiare?I Quale asset deve comprare?
I Questi problemi sono risolti attraverso la massimizzazione diuna funzione obiettivo (utilita) soggetta a un vincolo dibilancio (i.e., linvestitore ha una certa quantita di risorse).
-
Massimizzazione vincolata
I Considera questo semplice esempio: un consumatore vuolemassimizzare lutilita che deriva da due beni, mele X epesche Y dato un vincolo di bilancio:
max{X ,Y }
U(X , Y ) s.t. PXX + PY Y = W .
I Per potere risolvere numericamente questo problema, supponiche la funzione di utilita sia log e separabile nei due beni:
max{X ,Y }
[log(X ) + a log(Y )] s.t. PXX + PY Y = W .
-
Soluzione per sostituzione (1/3)
I Quando il problema e cosi semplice, possiamo utilizzare il vincolo esostituire per uno dei due beni:
max{X ,Y }
[log(X ) + a log(W PXX
PY)].
I Troviamo quindi il massimo ponendo la derivata della funzioneobiettivo rispetto alla variabile di scelta pari a zero (in genere,questa derivata e definita come first order condition o FOC):
d
dX{log(X ) + a log(W PXX
PY)} = 0
1
X a PX
PY
PYW PXX
= 0
1
X=
aPXW PXX
W PXX = aXPXW = (a + 1)PXX
X =W
(1 + a)PX
-
Soluzione per sostituzione (2/3)
I La soluzione X = W(1+a)PX
e una curva di domanda: quanto
un investitore domanda del bene X data la sua ricchezza, ilprezzo del bene, e potenzialmente i prezzi degli altri benidisponibili.
I Nota come la domanda abbia una pendenza negativa: sePX , allora X .
I Il fatto che PY non entri nella curva di domanda e unrisultato che dipende dalla scelta della funzione di utilita log.
I In generale, infatti, la domanda di un bene dipende dal prezzorelativo PX /PY .
-
Soluzione per sostituzione (3/3)
I Per trovare Y , utilizza il vincolo e la soluzione per X :
Y =W PXX
PY=
a
1 + a
W
PY.
-
Soluzione per Lagrangiano (1/4)
I La soluzione per sostituzione funziona bene quando il numero dibeni tra cui scegliere e limitato.
I Ovviamente, quando abbiamo molti beni (pensa per esempio a titoliazionari!) tra cui scegliere, il metodo per sostituzione e pocoadatto.
I In questo caso, e meglio risolvere il problema utilizzando ilLagrangiano.
I Ecco come funziona:
1. aggiungi (o sottrai) volte il vincolo del problema;2. differenzia rispetto a X , Y e il associato al vincolo;3. risolvi il sistema di tre equazioni che ne risulta.
-
Soluzione per Lagrangiano (2/4)
I Applicando il metodo al nostro esempio:
max{X ,Y ,}
U(X , Y ) (PXX + PY Y W )
X :U
X= PX
Y :U
Y= PY
: PXX + PY Y = W
I Combinando le prime due equazioni otteniamo una relazioneclassica: saggio marginale di sostituzione uguale al rapporto tra iprezzi:
U/XU/Y
=PXPY
.
-
Soluzione per Lagrangiano (3/4)
I Con log utility:
1
X= PX X =
1
PXa
Y= PY Y =
a
PYPXX + PY Y = W
I Sostituisci X e Y nel vincolo e risolvi per :
PX (1
PX) + PY (
a
PY) = W
(1
) + (
a
) = W
=1 + a
W
-
Soluzione per Lagrangiano (4/4)
I E ora utilizza (anche chiamato shadow price del vincolo) pertrovare X e Y :
X =1
PX=
W
1 + a
1
PX
Y =a
PY=
aW
1 + a
1
PY
I Commento: il risultato e chiaramente lo stesso ottenuto con ilmetodo di sostituzione, ma utilizzare il Lagrangiano e piu elegante,consente di trattare X e Y in maniera simmetrica ed e il metododa utilizzare in problemi di portafoglio in cui il numero delle variabilidi scelta e elevato.
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Notazione e definizione di rendimenti
Probabilita e statisticaProbabilitaStatisticaRegressioniSerie storiche
Massimizzazione
Algebra lineare
Stocks
Fixed income (bonds)NotazioneValore attesoYieldForward ratesHolding period returnsYield curveDurationImmunizzazione
-
Algebra lineare
I Supponi di dovere considerare 25 portfolios, 3 risk factors, 600 mesidi dati, etc.
I Se non vuoi impazzire, dovrai fare affidamento allalgebra lineare eorganizzare i dati in matrici.
I Una matrice e semplicemente un insieme rettangolare di dati (comeun range di celle in Excel):
A =
a b cd e fg h ij k l
I La dimensione di una matrice e data dal numero di righe e colonne.
Per esempio, la matrice A e di dimensione (4, 3).
I Un vettore e un caso speciale di matrice con una sola colonna.
I Per sommare matrici (della stessa dimensione) basta sommare glielementi corrispondenti.
-
Algebra lineare
I La moltiplicazione tra matrici e piu complicata.
I Date due matrici A, di dimensione (mA, nA), e B, di dimensione(mB , nB ), la regola e che la moltiplicazione AB e possibile quandoil numero di colonne della prima matrice e lo stesso del numero dirighe della seconda matrice (nA = mB ).
I Se la moltiplicazione e possibile, allora si procede moltiplicandoogni riga della prima matrice per le colonne della seconda matrice esommando quindi gli elementi.
-
Algebra lineare
I Esempio:
A =
[a b cd e f
]; B =
g hi jk l
.I Allora AB e pari a:
AB =
[a b cd e f
] g hi jk l
= [ag + bi + ck ah + bj + cldg + ei + fk dh + ej + fl
].
-
Algebra lineare
I Molte regole della moltiplicazione standard valgono anche per quellatra matrici.
I Per esempio: (A + B)C = AC + BC .
I Una grande differenza e che AB 6= BA.I La matrice identita I e la matrice equivalente al numero 1 per gli
scalari, ed e una matrice quadrata con tutti 1 sulla diagonaleprincipale e 0 nelle altre posizioni.
I Considera una matrice identita I = I3, con tre righe e tre colonne.
I Nota che: AI = IA = A per ogni A.
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Matlab e matrici
I Matlab e un software basato sullalgebra lineare (Matlab sta permatrix laboratory).
I In Matlab e comunque possibile effettuare la moltiplicazioneelemento per elemento per matrici con la stessa dimensione.
I Questa operazione e chiamata dot product e il comando e .I In maniera simile, puoi effettuare una divisione elemento per
elemento con il comando ./
I Per fare la trasposta di una matrice, utilizziamo il comando prime :
A =
[a bc d
] A =
[a cb d
].
-
Algebra lineare
I Una matrice si dice simmetrica quando gli elementi non sulladiagonale sono gli stessi, in modo che la matrice sia uguale alla suatrasposta.
I Il trasposto di un vettore colonna e uguale a un vettore riga.
I Quando moltiplichiamo una matrice quadrata per un vettoreotteniamo un altro vettore:
Ax =
[a bc d
] [ef
]=
[bf + aedf + ce
]= y .
I Quando moltiplichiamo un vettore riga per una matrice quadrataotteniamo un altro vettore riga:
x A =[ef] [a b
c d
]=[cf + ae df + be
]= y .
-
Algebra lineare
I Il prodotto di un vettore riga per un vettore colonna e uguale a unoscalare. Questa operazione e in genere chiamata inner product.
I Loperazione inversa, il prodotto di un vettore colonna per unvettore riga produce una matrice. Questa operazione e in generechiamata outer product.
I Un oggetto molto utile e la forma quadratica. Anche questaoperazione produce un numero, e in genere e fatta con una matricesimmetrica al centro:
x Ax =[e f
] [a bb d
] [ef
]= [ae2 + df 2 + 2bef ].
-
Inversione di una matrice
I Supponi di avere Ax = b, con A una matrice e x e b vettori.
I Sarebbe comodo potere fare qualcosa del tipo: x = A1b.
I La matrice inversa ha la proprieta che:
AA1 = A1A = I .
I Perche una matrice sia invertibile, deve essere quadrata e deveessere full rank (ricorda: il suo determinante deve essere diverso da0, o le sue colonne devono essere linearmente indipendenti), il cheequivale a dire che non si puo dividere per zero nel caso degliscalari.
I Per il caso di matrici di dimensioni 2 2 esiste una formulasemplice:
A1 =
[a bc d
]1=
1
ad bc
[d bc a
].
I Nota: il determinante di A e ad bc: questa e la ragione per cuiabbiamo bisogno della condizione di full rank!
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Esempio 1
I Supponi di volere formare un portfolio Rp a partire da un insieme diassets R1, R2, . . . , RN , con pesi w1, w2, . . . , wN .
I Possiamo scrivere:
Rp = w1R1 + w2R
2 + . . . + wNRN =
N
i=1
wiRi .
I O possiamo usare una notazione compatta:
Rp = w R,
dove: w1w2...
wN
; R =
R1
R2
...
RN
.
-
Esempio 2 (1/2)
I In finanza e molto comune lavorare con varianze.
I Possiamo conservare linformazione sulle varianze di x and y e sullaloro covarianza in una covariance matrix:[
2(x) cov(x , y)cov(x , y) 2(y)
].
I Supponi che x e y siano elementi del vettore z :[xy
],
allora possiamo pensare alla varianza di z come:
E (zz ) = E (
[xy
][xy ]) =
[E (x2) E (xy)E (xy) E (y2)
].
I Se x e y hanno media zero, allora questa e la covariance matrix.
-
Esempio 2 (2/2)
I Se z non e a media zero, allora la formula standard2(z) = E (z2) E (z)2 funziona e
cov(z , z ) = E (zz ) E (z)E (z ).
I Utilizziamo forme quadratiche per trovare la varianza di unportafoglio data la varianza dei rendimenti sottostanti.
I Con R a media zero:
var(w R) = E ((w R)(R w)) = w E (RR )w .
I Nota: i w sono numeri, gli R sono random, cosi che i numeripossono uscire dalloperatore valore atteso.
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Fixed income (bonds)NotazioneValore attesoYieldForward ratesHolding period returnsYield curveDurationImmunizzazione
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La fallacia della time-diversification
I E molto comune sentire dire che un investitore dovrebbe mantenerelinvestimento in azioni for the long run, in quanto i loro rendimentisono piu stabili su un orizzonte temporale lungo (per esempio,Jeremy Siegel e un fautore di questa tesi).
I Ma e vero?
I Iniziamo dalla definizione di 2-period gross return:
R0,2 = R0,1R1,2.
Quindi, in logs:ln R0,2 = ln R0,1 + ln R1,2.
-
La fallacia della time-diversification
I Quali sono la media e la standard deviation del 2-period return,assumendo che i rendimenti medi siano gli stessi ogni anno e che irendimenti siano indipendenti nel tempo?
E (ln R0,2) = E (ln R0,1) + E (ln R1,2) = 2E (ln R)
2(ln R0,2) = 2(ln R0,1) +
2(ln R1,2) = 22(ln R)
I Nota: il rapporto tra rendimento medio e varianza dei rendimenti eindependente rispetto allorizzonte temporale (i.e., il 2 si cancella).
-
Da dove proviene questa fallacia?
I Considera ora il rendimento annualizzato (periodale):
Rann0,2 = (R0,1R1,2)1/2,
quindi:
ln Rann0,2 =1
2(ln R0,1 + ln R1,2).
I In questo caso:
E (ln Rann0,2 ) =1
2[E (ln R0,1) + E (ln R1,2)] = E (ln R)
2(ln Rann0,2 ) = 2[
1
2(ln R0,1 + ln R1,2)] =
1
4[22(ln R)] =
1
22(ln R).
I Quindi, la media del rendimento annualizzato non varia al variaredellorizzonte, ma la varianza del rendimento annualizzatodiminuisce quando lorizzonte aumenta.
I Ma ... che importa che la varianza del rendimento annualizzatodiminuisca? Come investitore dovresti essere interessato alrendimento totale!
-
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Algebra lineare
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Notazione
I Dobbiamo distinguere bond con diverse scadenze (maturity).
I Denotero la maturity con un indice tra parentesi: peresempio, P (4) e il prezzo di un 4-year zero-coupon bond.
I Nota: uno zero coupon e un bond che non paga coupons, masolo il valore facciale a scadenza.
I Tutti i log sono log naturali (i.e., base e).
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Valore atteso
I Iniziamo ignorando lincertezza: tutti i flussi di cassa futurisono noti (no default risk) e tutti i tassi di interesse futurisono noti.
I Un qualsiasi bond rappresenta un diritto su una sequenza diflussi di monetari: {CF1, CF2, . . . , CFN}.
I Possiamo scrivere il suo valore come:
P =N
j=1
CFjR0R1 . . . Rj1
,
dove R0 e il tasso di interesse da 0 a 1, etc.
-
Valore attesoI Problemi con questa formula: dove prendiamo il tasso di
interesse Rj?I Supponi di conoscere i tassi di interesse che le banche
applicheranno e che i tassi per prendere e dare a prestito sianogli stessi, allora questi sono i tassi da utilizzare (perarbitraggio). Tuttavia, questa situazione accade purtropposolo nei libri di testo!
I Piu comunemente, potrai utilizzare il prezzo di mercato dizero-coupon bonds. Questi dovrebbero essere uguali a:
P (N) =1
R0R1 . . . RN1.
I In questo caso, possiamo applicare questi prezzi alla formulaper un bond generico con flusso di cassa CFj :
P =N
j=1
P (j)CFj .
-
Valore atteso
I Nota che la formula
P =N
j=1
P (j)CFj ,
afferma che ogni bond puo essere replicato attraverso unacombinazione (o portfolio) di zero-coupon bonds.
I Nota anche che possiamo fare inferenza sui prezzi degli zero apartire dai prezzi dei coupon bonds (se, per esempio, nonabbiamo il prezzo di mercato degli zero), e quindi possiamoutilizzare il prezzo di questi zero per prezzare altri couponbonds.
-
Yield
DefinitionLo yield (to maturity, or YTM) e definito come il tasso di interessecostante, e fittizio, annuale che giustifica il prezzo di mercato di unbond, sotto lipotesi che il bond non possa andare in default.
-
Yield
I Nota che la definizione di yield della slide precedente eleggermente diversa - ma sostanzialmente uguale - rispetto aquella che forse ricordi (per esempio, la YTM e il tassocostante che eguaglia il prezzo di un bond al valore presentescontato dei suoi flussi di cassa).
I In maniera piu formale, lo yield di uno zero coupon bond e ilnumero Y (N) che soddisfa:
P (N) =1
[Y (N)]N.
I Quindi:
Y (N) =1
[P (N)]1/N; ln Y (N) = 1
Nln P (N).
-
Yield
I In generale, lo yield di un qualsiasi flusso di pagamenti e quelvalore costante Y che soddisfa:
P =N
j=1
CFjY j
.
I In pratica, dovrai cercare numericamente quel valore Y cherisolve lequazione dati i flussi di cassa e il prezzo.
I Fino a che tutti i flussi di cassa sono positivi, questaoperazione e abbastanza semplice utilizzando un computer.
I Per riepilogare, lo yield e una maniera conveniente perquotare il prezzo di un bond.
-
Forward rate
DefinitionIl forward rate e il tasso di interesse che puoi fissare oggi perprendere o dare a prestito denaro a partire dal periodo N, darestituire al periodo N + 1.
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Forward rate
I A partire dal prezzo di zero-coupon bonds, possiamo trovare ilprezzo implicito dei tassi futuri, o tassi forward.
I Ricorda che:
P (N) =1
R0R1 . . . RN1.
I Allora:
RN =P (N)
P (N+1).
I Per quale ragione questo e un tasso forward? La maniera piusemplice per capirlo e iniziare con il sintetizzare un contrattoforward utilizzando un insieme di zero coupon bonds (vedislide successiva).
-
Forward rate
I Supponi di avere comprato 1 N-period zero e contestualmentedi avere venduto una quantita x di N + 1-period zero couponbonds.
I Quali sono i flussi di cassa per ogni periodo?
-
Forward rate
Buy N-period zero Sell x N+1-period zeros Net cash flow
Today 0 P(N) +xP(N+1) xP(N+1) P(N)Time N 1 1Time N+1 x x
-
Forward rate
I Ora non devi che scegliere la quantita x in modo che il flussonetto iniziale sia pari a 0:
x =P (N)
P (N+1).
I Quindi, non paghi o ricevi niente oggi, ricevi 1 al tempo N epaghi P (N)/P (N+1) al tempo N+1. Hai appena sintetizzatoun contratto firmato oggi per un prestito da N a N+1, ovveroun forward contract!
I Per riepilogare:
FN = Forward rate N N + 1 =P (N)
P (N+1),
e:ln FN = ln P
(N) ln P (N+1).
-
Forward rate
I Quando sono utili i forward rates?I Esempi:
1. Stai pianificando un investimento che richiede di prendere aprestito nel futuro e vuoi fissare oggi il tasso di interesse.
2. Pensi di sapere in che direzione andranno i tassi di interesse evuoi speculare.
-
Holding period returns
I Supponi ora di comprare al tempo t un N-period bond per poivenderlo dopo un periodo, quando la maturity sara N-1.
I Il tuo rendimento e pari a:
HPR(N)t+1 =
P(N1)t+1
P(N)t
,
e:ln HPR
(N)t+1 = ln P
(N1)t+1 ln P
(N)t .
I Attenzione alla notazione: utilizziamo lindice t + 1 perquesto rendimento (da t a t + 1) in quanto e realizzato altempo t + 1.
-
Yield curve
DefinitionLa yield curve (o curva dei tassi a termine) e un grafico degliyields di zero coupon bonds come funzione della loro maturity.
-
Yield curve senza incertezza
I Supponi ora di sapere in che direzione stanno andando i tassidi interesse (o gli yields futuri su 1-period bonds). Allora laformula del valore attuale e:
P(N)0 = (
1
R0
1
R1. . .
1
RN1) = (
1
Y(1)0
1
Y(1)1
. . .1
Y(1)N1
).
I Ricorda la definizione di yield:
P (N) =1
[Y (N)]N.
I Quindi:Y
(N)0 = (Y
(1)0 Y
(1)1 . . . Y
(1)N1)
1N ,
che e equivalente al dire che lo yield su un N-period zero epari alla media geometrica dei tassi di interesse futuri.
-
Yield curve senza incertezza
I Se non ti piace la media geometrica, e preferisci qualcosa dipiu compatto, prendi i logs dellultima equazione della slideprecedente:
ln Y(N)0 =
1
N(ln Y
(1)0 + ln Y
(1)1 + . . . + ln Y
(1)N1),
o, il log yield su un N-period zero e pari alla media aritmeticadei tassi di interesse futuri.
I Interpretazione:I La parte a destra delluguale della formula rappresenta una
maniera di portare un dollaro da oggi a N periodi da oggi,facendo roll-over di 1-period bonds.
I La parte a sinistra delluguale esprime una maniera alternativadi portare un dollaro da oggi a N periodi da oggi, macomprando un N-period zero coupon bond (a lungo termine).
I Senza incertezza, per arbitraggio, queste due strategie devonorestituire lo stesso rendimento.
-
Yield curve con incertezza
I Come cambiano le cose se non conosciamo i tassi futuri?
I Se gli investitori sono abbastanza neutrali rispetto al rischio,allora acquisteranno N-period zeros o faranno roll-over di1-period bonds a seconda di quale delle due strategiepromette una migliore performance in media.
I Nota che laffermazione di cui sopra non si basa unacondizione di arbitraggio pura, dal momento che non ci sonoprofitti sicuri da potere fare.
I Possiamo poi aggiungere un fattore che catturi il risk premium(premio al rischio) in modo da assorbire eventuali errori.
-
Yield curve con incertezza
DefinitionIl N-period yield e la media degli yield periodali futuri attesi, conlaggiunta possibile di un risk-premium.
-
Yield curve con incertezza
I In maniera piu formale:
Y(N)0 = E0[(Y
(1)0 Y
(1)1 . . . Y
(1)N1)
1N ] + risk premium,
o:
ln Y(N)0 =
1
NE0(ln Y
(1)0 + ln Y
(1)1 + . . .+ ln Y
(1)N1)+ risk premium.
I Nota che le espressioni di cui sopra sono tautologie a menoche non caratterizziamo il risk-premium.
I Prova a ricordare la expectation hypothesis: il risk-premiumnon e in genere presente quindi e una buonaapprossimazione quando il premio al rischio e piccolo e nonvaria molto nel tempo.
I Modelli piu avanzati della term-structure cercano proprio diquantificare la dimensione e i movimenti del termine checattura il premio al rischio.
-
Forward yield curve
I Supponi ora che avevamo ragione e conoscevamocorrettamente i tassi di interesse futuri.
I In questo caso, per arbitraggio deve essere vero che:
F (N) = RN,N+1,
o che il forward rate e pari al tasso spot futuro.
-
Forward yield curve
I Nota come il fatto che il forward rate sia pari al tasso spot futuroimplica la yield curve.
I Inizia con il prendere in esame il forward rate nel periodoimmediatamente successivo a quello odierno: F (1) = R1,2.
I Sostituisci il forward rate nella formula per il forward rate:
P(1)
P(2)= R1,2.
I Utilizza R0,1 = 1/P (1) e Y (2) = 1/
P (2):
[Y (2)]2 = R0,1R1,2 Y (2) = [R0R1]1/2.
I Con incertezza, aggiungi il risk premium: forward rate = expectedfuture spot rate + risk premium.
-
Holding period return yield curve
I Considera ora due strategie per portare del denaro da oggi adomani:
1. mantieni un N-period zero coupon bond per un periodo,vendilo come N-1-period zero coupon bond.
2. mantieni un 1-period zero coupon bond per un periodo.
I Se gli investitori (o i bond traders) sono neutrali rispetto al rischio,ci attendiamo che il rendimento di queste due strategie sia lo stesso,eccetto per un piccolo premio al rischio.
I In maniera formale:
E0(HPR(N)t+1) = E0(HPR
(M)t+1 ) + risk premium.
-
Holding period return yield curve
I Anche il risultato che gli HPR attesi per bond con diverse scadenzesono gli stessi implica la yield curve.
I Per comprendere questa affermazione, considera il caso senzaincertezza:
HPR(2)1 = HPR
(1)1
P(1)1
P(2)0
=1
P(1)t
[Y(2)0 ]
2
Y(1)1
= Y(1)0
Y(2)0 = [Y
(1)0 Y
(1)1 ]
1/2.
-
Duration
I Ora sappiamo come trovare il valore di un bond.
I Come varia questo valore quando il tasso di interesse varia?
I La duration e la risposta a questa domanda: e la misuraprincipale di sensibilit del prezzo di un bond a movimenti neltasso di interesse.
-
Duration
I La duration misura la sensitivita dei prezzi (P) agli yields (Y). Inmaniera formale:
D = % Change in P% Change in Y
= YP
dP
dY= d ln P
d ln Y.
I A partire dalla definizione di cui sopra, e molto facile trovare laduration per uno zero-coupon bond:
P (N) =1
Y N
YP
dP
dY=
Y
PN
1
Y N+1= N.
I Quindi, per gli zeros: duration = maturity.
-
Duration
I Per coupon bonds, ricorda che P = Nj=1CFjY j
.
I Applica la formula per la duration:
YP
dP
dY=
Y
P
N
j=1
jCFj
Y j+1=
1
P
N
j=1
jCFj
Y j=
N
j=1
jCFj/Y j
Nj=1 CFj/Y j.
I Questo e lo stesso che dire:
Duration = cash flows
duration of cash flows value of cash flowtotal value
.
-
Duration
La duration per ogni bond = media ponderata delle durations deiflussi di cassa individuali.
-
Duration
I Nota come la duration di un coupon bond e inferiore alla maturity.
I La modified duration e la variazione percentuale per un puntopercentuale di variazione nello yield, al posto che una variazione paria un percento nello yield:
M-duration % in P in Y
= 1P
dP
dY=
1
Y(Y
P
dP
dY) =
1
Yduration.
-
Immunizzazione
I Come possiamo costruire un portafoglio in modo che non siasensibile a variazione dei tassi di interesse?
1. Dedicated portfolio: per ogni flusso di cassa di attivita opassivita compra o vendi uno zero-coupon bondcorrispondente. Nota come questa strategia sia in generecostosa in quanto richiede molti acquisti e vendite.
2. Duration matching: modifica due attivit o passivit in modoche 1) il valore attuale degli attivi = valore attuale dellepassivita e 2) la duration degli attivi = la duration dellepassivita. In questo caso la posizione totale sara insensibile(immunizzata) rispetto a variazioni nel tasso di interesse.
Notazione e definizione di rendimentiProbabilita' e statisticaProbabilita'StatisticaRegressioniSerie storiche
MassimizzazioneAlgebra lineareStocksFixed income (bonds)NotazioneValore attesoYieldForward ratesHolding period returnsYield curveDurationImmunizzazione